2.1--2.2随机变量和离散型

k

e

k!
k 0



e e

1
在某个时段内： ① ② ③ ④ ⑤ 大卖场的顾客数； 市级医院急诊病人数； 某地区拨错号的电话呼唤次数； 某地区发生的交通事故的次数. 放射性物质发出的 粒子数；
泊松 分布 应用 场合
⑥ 一匹布上的疵点个数； ⑦ 一个容器中的细菌数； ⑧ 一本书一页中的印刷错误数；
1 1 P{ X 3} 3 C5 10
1 C 6 P{ X 5} 3 C5 10
2 4
1 C32 3 P{ X 4} 3 C5 10
X
3 4 5
P
1 10
3 10
6 10
二、几个重要的离散型随机变量及其分布列
1、两点分布（也称（0-1）分布）
定义：设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为 X = xk Pk 1 p 0 1-p 记为 X～B(1, P)。 0<p<1
解 设 X 为10 人中被治愈的人数，根据题意知 X ~ B(10,0.75) ，则所求 的概率为
P{X 8} P{ X 8} P{X 9} P{X 10}
C (0.75) (0.25) C (0.75) (0.25) C (0.75)
8 10 8 2
9 10 9 1 10 10
10
0.2816 0.1877 0.0563 0.5256
X ~ B(10, 0.75)
X ~ B(6,0.5)
从图中可以看出，对于二项分布， X 取 k 值的概率随着 k 的增大先是逐渐增大，直至
达到最大值，然后再下降．使 X 取值达到最大概率的点，称为二项分布的最可能取值．
证明得，当 (n 1) p m 为正整数时， m 和 m 1 均为最可能取值；当 (n 1) p 不是正整数时， 则满足 (n 1) p 1 m (n 1) p 的整数即为最可能取值．

例6： 某商店根据过去的销售记录,总结出某种商品每 月的销售量可以用参数为 5 的泊松分布来描述,试 求： (1)下个月该商店销售2件此种商品的概率是多少？
解 设该商店每月销售该商品的件数为 X 依题意 X ~ P(5) ，且
5 5 P{X k} e ,(k 0,1,2, ) k!
练习 ：已知有一大批这类的灯泡,次品率是0.2。随
机抽出20只灯泡做寿命试验,求这20只灯泡中恰有3
只是次品的概率。
解: 设X为20只灯泡中次品的个数，则 X ~ B (20, 0.2)，
20 3
P( X k )
C (0.2) (0.8)
3 20 3
0.205
请注意：
1、若将本例中的“有放回”改为”无放回”, 那么 各次试验条件就不同了, 此试验就不是伯努利试验 . 此时, 只能用古典概型求解.------超几何分布
离散型随机变量分布律也可以用列表法表示 X
x1 p1
x2 p2
xk pk
pk
离散型随机变量可完全由其分布律来刻划． 即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这 些值的概率唯一确定．
例题1： 设随机变量X的分布列为
a P X k , k 1, 2, N
, N,
试确定常数a.
解 由离散型随机变量分布列的性质（2）规范性，
2、如果产品总数很大，且抽查的产品个 数相对于产品总数来说很小，则可以当作 有放回抽样处理。
3. 泊松分布 定义： 设随机变量 X 所有可能取的值为: 0, 1, 2,„, 概率分布为：
P{ X k}

k
k!
e
,
k 0, 1, 2,
.
其中λ>0 是常数， 则称 X 服从参数为λ的泊松分布, 记作 X ～ P(λ) 。
5 5 1 e 0.8754 k 0 k !
2 k
5 的泊松概率分布
2.7 的泊松概率分布
对比两图， 我们看到泊松分布的性质和二项分布的性质很相近．X 取 值的概率也是先增大后减小， 也有概率最大的点， 这个点也称作最可 能取值．可以证明，若 X ~ P( ) ，当 为整数时，概率最大的点发生 在 X 或 X 1 ； 当 不是整数时， 概率最大的点发生在不超过 的 最大整数，记为 X [ ] ．
定义1 ：若随机变量X的所有可能取值是有限多个 或可列无限多个, 则称X为离散型随机变量 . 例如：1、设X表示抛三次硬币的试验中出现正
面朝上的次数. X的可能取值为0，1，2，3. 2、设Y表示120急救电话台一昼夜收到的呼次数 则Y的可能取值为0,1,2,3,……
X和Y都是离散型随机变量
二、离散型随机变量的分布律
二项分布的泊松近似
历史上，泊松分布是作为二项分布的近 似，于1837年由法国数学家泊松（Poisson)引 入的 .
二、随机变量的分类
我们将研究两类随机变量：
随 机 变 量
离散型随机变量
连续型随机变量
这两种类型的随机变量因为都是随机变量， 自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不 同，又有其各自的特点.
第二节
离散型随机变量及其分布律 离散型随机变量定义 离散型随机变量分布律 几种常见分布
一、离散型随机变量定义
a a P{ X k} N 1 N k 1 k 1 N
N
N
a 1
例2：某篮球运动员投中篮筐概率是0.9，求其两次独
立投篮后，投中次数 X 的概率分布。
解：X 可取的值为 ：0, 1, 2，且 P(X=0) = 0.1*0.1 = 0.01， P(X=1) = 0.9*0.1+ 0.1*0.9= 0.18 ,
pk
0 1 2
1
练习 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那么,若规定
1, 取得不合格品, X 0, 取得合格品.
X
0
190 200
1
10 200
X 的分布列为:
pk
则随机变量 X 服从(0 -1)分布.
2. 二项分布
产生背景：n 重伯努利试验
设试验 E 只有两个可能结果 : A 及 A 设 P( A) p (0 p 1), 此时P ( A) 1 p.
1 P{ X 2} 2
1 P{ X 3} 6
P{X 1} P{ X 2} P{ X 3}
1 1 2 2 6 3
•
一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4， 5，从中随机抽取3个，以X表示取出的3个球 中最大的号码，求X的分布列．
解 依题意 X 可能取到的值为 3, 4,5 ，
主要内容
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节 小结
随机变量
离散型随机变量及其分布律 连续型随机变量及其概率密度 随机变量的分布函数 随机变量的函数的分布
第二章知识结构图
随机变量
离散型随 机变量
连续型随 机变量
分布律
分布 函数 常用分布
函数的 分布
定义
概率 密度
分布 函数
函数的 分布
定义
常用分布
第一节
随机变量的概念
随机变量概念的引入
引入随机变量的意义
随机变量的分类
一、随机变量概念的引入
(1)、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一 个数）. 例如，掷一颗骰子面上出现的点数； 每天进入公共教学楼的人数； 9月份承德的最高温度；

(2)、在有些试验中，试验结果看来与数值无关， 但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也 就是说，把试验结果数值化.
练习：某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数X服 从参数 =3 的泊松分布。求： (1)一分钟内恰好收到3次寻呼的概率； (2)一分钟内收到2至5次寻呼的概率。 解: (1). P{X=3} = (33/3!)e-3 ≈ 0.2240； (2). P{2≤X≤5} = P{X=2} + P{X=3} + P{X=4} + P{X=5} = [ (32/2!) + (33/3!) + (34/4!) + (35/5!) ]e-3 ≈ 0.7169.
定义 设随机试验的样本空间为S={e}. X= X(e)是 定义在样本空间S上的实值单值函数.称X= X(e)为 随机变量. 简记为 r.v. 说明 （1）它是一个变量, 它的取值随试验结果而改变 （2）由于试验结果的出现具有一定的概率，故 随机变量取每个值和每个确定范围内的值也有一 定的概率. (3)随机变量通常用大写字母X,Y,Z,W,N 等表 示,而表示随机变量所取的值时,一般采用小写 字母 x, y, z, w, n等.
销售2件产品的概率为
k
52 5 P{ X 2} e 0.0842 2!
例6某商店根据过去的销售记录,总结出某种商品每月 的销售量可以用参数为 5 的泊松分布来描述,试求： (2)下个月该商店销售此种商品多于2件的概率是多少？
解：多于 2 件的概率为
P{ X 2} 1 P{ X 2}
4 次独立射击，求 恰有 k 次命中10环的概率。 解：用X 表示 4 次射击后, 命中10环的次数, 则 X 的概率分布为
P { X k k 0,1, 2, 3, 4 .
例 某特效药的临床有效率为75%，今有10人服 用，问至少有8人治愈的概率是多少？
第二章 随机变量及其分布
Random Variable and Distribution 在前面的学习中,我们用字母A、B、 C...表示事件，并视之为样本空间S的子 集；针对等可能概型，主要研究了用排 列组合手段计算事件的概率。 本章，将引入随机变量表示随机事件， 以便采用高等数学的方法描述、研究随 机现象。