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河南省开封市高三数学上学期10月定位考试试题理(含解析)

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河南省开封市2015届高三上学期定位考试模拟数学(理)试题 Word版含答案

河南省开封市2015届高三上学期定位考试模拟数学(理)试题 Word版含答案

2015届河南省开封市高三上学期定位模拟考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A=(){}{}2|lg 1,|230x y x B y y y =-=--≤，则AB =A. {}|13x x <<B. {}|13y y ≤≤C. {}|13x x <≤D. {}|13x x ≤< 2．已知i 是虚数单位，m.n R ∈,则“m=n=1”是“()22m ni i -=-”的A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3．已知双曲线224312x y -=，则双曲线的离心率为A.B. C. D. 4()2,2,a b a b a ==-⊥，则,a b 的夹角是A.B. C. D. 5．如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框图，P 表示估计的结果，则图中空白框内应填入P=A.B. C. D.6．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是 A. 3108cm B.1003cm C.92 3cm D.84 3cm7．设变量x 、y 满足约束条件122x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数22z x y =+的取值范围为A. []2,8B. []4,13C. []2,13D. 8.已知函数()()()cos sin 2,0f x x x ϕϕπ=-+≤≤有一个零点，则ϕ的值是 AB.C.D.9.将边长为2的等边PAB 沿x 轴正方向滚动，某时刻P 与坐标原点重合，设顶点(),P x y 的轨迹方程是()y f x =，关于函数()y f x =的说法①()f x 的值域为[]0,2：②()f x 是周期函数：③()()()4.12013f ff π<<；④ A.0 B. 1 C. 2 3 10．三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为P 是111A B C ∆中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小是A.B.C.D.11.已知函数()323f x ax bx x =+-在1x =±处取得极值，若过点A ()0,16作曲线()y f x =的切线，则切线方程是A. 9160x y +-=B. 9160x y -+=C. 9160x y +-=D. 9160x y -+=12．设x R ∈，若函数()f x 为单调递增函数，且对任意实数x ，都有()1xf f x e e ⎡⎤-=+⎣⎦（e 是自然对数的底数），则()ln 2f = A.1 B.e+1 C.3 D.e+3 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知函数()2log ,(0)(x)3,0x x x f x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，则()0f f =⎡⎤⎣⎦ .14.M ，各项二项式系数之和为N 且64M N +=，则展开式中含2x 项的系数为15.已知点A ()2,0抛物线C ：24x y =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N 16．如图，已知ABC ∆中，90ABC ∠=，延长AC 到D,连接BD,若30CBD ∠=且AB=CD=1，则AC=三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足()2*111,+,n n n a n a a a n n n N +=-=+∈(1) (2) ，求正项数列{}n b 的前n 项和n S .18.根据据《中华人民共和国道路交通安全法 》 规定，车辆驾驶员血液酒精浓度在[20,80)（单位：/100mg ml ）之间 属于“ 酒驾 ” 血液酒精浓度在80/100mg ml （含80）以上时，属于“醉驾”某市交警在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查， 经过一晚的抽查 ，共查出酒后驾车者 60名 ，图甲是用酒精测试仪对这60名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图（I ）若血液酒精浓度在[50,60)和[60,70)的分别有 9人和6 人， 请补全频率分布直方图 ，图乙的程序框图是对这名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计 ，求出图乙输出的S 的值，并说明S 的统计意义：（图乙中数据i m 与i f 分别表示图甲中各组的组中点值及频率）;(II)本次行动中 ,吴、李2人都被酒精测试仪测得酒精浓度属于7090/100mg ml 的范围 ，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准 ，交警大队队长决定在被酒精测试仪测得酒数精浓度属于7090/100mg ml 范围的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，设ξ为吴，李2人被抽中的人数，求ξ的分布列，并求吴、李2人至少1人被抽中的概率. 19.已知四棱锥P ABCD-，底面ABCD 为梯形，,,1,ABCD PA=AD=DC=2AB AB CD AD CD AB PA ⊥=⊥平面，，点E 是PC 中点.(I)求证：BE DC ⊥(II)若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥,求二面角F —AB —P 的余弦值.20.M ()00,x y ，设M 关于x 轴对称点为1M ，双曲线的左右顶点分别为12,A A .(I)求直线1A M 与直线11A M 的交点P 的轨迹C 的方程.(II)设点()2,0F -，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作直线l TF ⊥交()I 中轨迹C 于P 、Q两点，①证明：OT 经过线段PQ 中点（O 为坐标原点）T 的坐标.21.已知常数0b >，函像过()2,1点，函数()()ln 1g x bx =+设()()()h x g x f x =-(I)讨论()h x 在区间()0,+∞上的单调性.(II)若()h x 存在两个极值点12,x x ，求b 的取值范围，使()()120h x h x +>请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB 为O 的直径，点D 是O 上的一点，点C 是AD 的中点，弦CE AB ⊥于F ，GD 是O 的切线，且与EC 的延长线相交于点G ，连接AD ，交CE 于点P .(I)证明：ACDAPC(II)PE 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线l 经过点()1,0P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为26cos 50ρρθ-+=.(I) 若直线l 与曲线C 有公共点，求a 的取值范围： (II) 设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知a,b 都是正实数，且1a b +=(I) (II).23、解：(I)将曲线C 的极坐标方程26cos 50ρρθ-+=化为直角坐标方程为22650x y x +-+=直线l 的参数方程为()1cos sin x t t y t θθ=-+⎧⎨=⎩为参数将1cos sin x t y t θθ=-+⎧⎨=⎩代入22650x y x +-+=整理得28cos 120t t θ-+=直线l 与曲线C 有公共点，3[0,)θπ∴(II)曲线C 的方程22650x y x +-+=可化为()2234x y -+=其参数方程为()()32cosM ,2sin x x y y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数为曲线上任意一点，24、解：(I)2a b +≥.。

河南省开封市2023届高三一模考试 理科数学试题(后附参考答案)

河南省开封市2023届高三一模考试 理科数学试题(后附参考答案)

理科数学 第 页 (共4页)开封市2023届高三年级第一次模拟考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名㊁考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一㊁选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A =x 12<2x<8,B =-1,0,1,2 ,则A ɘB =A .2B .-1,0C .0,1,2D .-1,0,1,22.设命题p :∀x ɪR ,e xȡx +1,则¬p 是A .∀x ɪR ,e xɤx +1B .∀x ɪR ,e x<x +1C .∃x ɪR ,e x ɤx +1D .∃x ɪR ,e x<x +13.若3+4iz 是纯虚数,则复数z 可以是A .-3+4iB .3-4iC .4+3i D.4-3i4.已知әA B C 中,D 为B C 边上一点,且B D =13B C ,则A D ң=A .13A C ң+23AB ңB .23AC ң+13A B ңC .14A C ң+34A B ңD .34A C ң+14A B ң5.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的体积为A .3π6B .3π3C .3πD .π36.如图为甲㊁乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图,已知两位同学的平均成绩相等,则甲同学成绩的方差为A .4B .2C .3 D.27.已知x +y -3ɤ0,x -y +1ȡ0,x ȡ0,y ȡ0,则x +2y 的最大值为A .2B .3C .5 D.68.设f (x )是定义域为R 的偶函数,且在[0,+ɕ)上单调递减,则满足f (x )<f (x -2)的x 的取值范围是A .(-ɕ,-2)B .(-2,+ɕ)C .(-ɕ,1)D .(1,+ɕ)1理科数学 第 页 (共4页)9.已知数列a n 的前n 项和S n =2n +1-2,若p +q =5(p ,q ɪN *),则a p a q =A .8B .16C .32D .6410.已知点P (x ,y )到点F 1(-3,0)和点F 2(3,0)的距离之和为4,则x yA.有最大值1B .有最大值4C .有最小值1 D.有最小值-411.如图,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,点M ,N 分别是A 1D ,D 1B 的中点,则下述结论中正确的个数为①MN ʊ平面A B C D ;②平面A 1N D ʅ平面D 1M B ;③直线MN 与B 1D 1所成的角为45ʎ;④直线D 1B 与平面A 1N D 所成的角为45ʎ.A .1B .2C .3D .412.在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间,并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x ),存在点x 0,使得f (x 0)=x 0,那么我们称该函数为 不动点 函数.若函数f (x )=x (a e x-l n x )为 不动点 函数,则实数a 的取值范围是A .(-ɕ,0]B .-ɕ,1eC .(-ɕ,1]D .(-ɕ,e ]二㊁填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若函数f (x )=A s i n x -c o s x 的一个零点为π6,则f 5π12=.14.已知点A (1,0),B(2,2),C 为y 轴上一点,若øB A C =π4,则A B ң㊃A C ң=.15.3D 打印是快速成型技术的一种,它是一种以数字模型文件为基础,运用粉末状金属或塑料等可粘合材料,通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔筒,该塔筒是由离心率为5的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的,已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6c m ,下底直径为9c m ,高为9c m ,则喉部(最细处)的直径为c m.16.在数列a n 中,a 1=1,a n +2+(-1)n a n =2(n ɪN *).记S n 是数列a n的前n 项和,则S 4n =.三㊁解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22㊁23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)在әA B C 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a c o s B +C2=b s i n A ,2a =3b .(1)求c o s B 的值;(2)若a =3,求c .2理科数学 第 页 (共4页)18.(12分)甲㊁乙两人组成 星队 参加猜成语活动,每轮活动由甲㊁乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为23,乙每轮猜对的概率为p .在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.已知 星队 在第一轮活动中猜对1个成语的概率为12.(1)求p 的值;(2)记 星队 在两轮活动中猜对成语的总数为X ,求X 的分布列与期望.19.(12分)如图,әA B C 是正三角形,在等腰梯形A B E F 中,A B ʊE F ,A F =E F =B E =12A B .平面A B C ʅ平面A B E F ,M ,N 分别是A F ,C E 的中点,C E =4.(1)证明:MN ʊ平面A B C ;(2)求二面角M -A B -N 的余弦值.20.(12分)已知函数f (x )=2s i n x -a x ,a ɪR .(1)若f (x )是R 上的单调递增函数,求实数a 的取值范围;(2)当a =1时,求g (x )=f (x )-l n (x +1)在0,π6上的最小值;(3)证明:s i n12+s i n 13+s i n 14+ +s i n 1n >l n n +12.3理科数学 第 页 (共4页)21.(12分)如图1所示是一种作图工具,在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ,N ,有一根旋杆将两个滑标连成一体,|MN |=3,D 为旋杆上的一点且在M ,N 两点之间,且|N D |=λ|DM |.当滑标M 在滑槽E F 内做往复运动,滑标N 在滑槽G H 内随之运动时,将笔尖放置于D 处进行作图,当λ=1和λ=2时分别得到曲线C 1和C 2.如图2所示,设E F 与G H 交于点O ,以E F 所在的直线为x 轴,以G H 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系.(1)求曲线C 1和C 2的方程;(2)已知直线l 与曲线C 1相切,且与曲线C 2交于A ,B 两点,记әO A B 的面积为S ,证明:S ɤ378.(二)选考题:共10分.请考生在22㊁23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系x O y 中,曲线C 的参数方程为x =2pt y =2pt 2(t 为参数),(2,4)为曲线C 上一点的坐标.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程;(2)过点O 任意作两条相互垂直的射线分别与曲线C 交于点A ,B ,以直线O A 的斜率k 为参数,求线段A B 的中点M 的轨迹的参数方程,并化为普通方程.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数f (x )=|x +a |+2|x -1|.(1)当a =1时,求f (x )的最小值;(2)若a >0,b >0时,对任意x ɪ[1,2]使得不等式f (x )>x 2-b +1恒成立,证明:a +122+b +122>2.4开封市2023届高三年级第一次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案C D D A B BCDCACB二、填空题（每小题5分，共20分）13.14.515.16.24+2n n三、解答题（共70分）17.（1）因为A B C π++=，所以222B C A π+=-，得cos sin 22B C A+=，……1分由正弦定理，可得sin sin sin sin 2A A B A ⋅=⋅，sin 0A ≠，所以sin sin 2AB =，……2分又因为,A B 均为三角形内角，所以2AB =，即2A B =，……3分又因为23a b =，即2sin 3sin A B =，即4sin cos 3sin B B B =，……4分sin 0B ≠，得3cos 4B =；……5分（2）若3a =，则2b =，由（1）知3cos 4B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得29502c c -+=，……7分即()5202c c ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以2c =或52，……9分当2c =时，b c =，则22A B C ==，即ABC ∆为等腰直角三角形，又因为a ≠，此时不满足题意，……11分所以52c =.……12分18.（1）“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为12，所以()2211+1=332p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得1=2p .……4分（2）设i A 表示事件“甲在两轮中猜对i 个成语”，i B 表示事件“乙在两轮中猜对i 个成语”()0,1,2i =，根据独立性假定，得()()()012111124224===2===339339339P A P A P A ⨯⨯⨯⨯，()()()012111===424P B P B P B ，，，……6分X 的可能取值为0,1,2,3,4，所以()()001110===9436P X P A B =⨯()()()0110114131=+=+=929418P X P A B P A B =⨯⨯()()()()021120114141132=++=++=94929436P X P A B P A B P A B =⨯⨯⨯，()()()1221414133=+=+=94929P X P A B P A B =⨯⨯，()()224114===949P X P A B =⨯X 的分布列如下表所示：X 01234P13631813363919……10分()1313311=0+1+2+3+4=2.361836993E X ⨯⨯⨯⨯⨯……12分19.（1）取CF 的中点D ，连接DM DN ，，M N ，分别是AF CE ，的中点，DM AC DN EF ∴∥，∥，又DM ABC AC ABC ⊄⊂ 平面，平面，.DM ABC ∴∥平面……2分又EF AB ∥，DN AB ∴∥，同理可得，DN ABC ∥平面.……3分=DM MND DN MND DM DN D ⊂⊂ 平面，平面，，.MND ABC ∴平面∥平面……5分.MN MND MN ABC ⊂∴ 平面，∥平面……6分（2）取AB 的中点O ，连接OC OE ，.由已知得=OA EF ∥，OAFE ∴是平行四边形，=OE AF ∴∥.ABC ∆ 是正三角形，OC AB ∴⊥，ABC ABEF ⊥ 平面平面，=ABC ABEF AB 平面平面，OC ABEF∴⊥平面，又OE ABEF ⊂平面，OC OE ∴⊥.……7分设1====2AF EF EB AB a ，OC ，在Rt COE ∆中，由222+=OC OE CE ，解得=2a ，即1====22AF EF EB AB (8)分取EF 的中点P ，连接OP，则OP AB ⊥，以O 为原点，OP OB OC ，，所在直线分别为x y z ，，轴，建立直角坐标系如图所示.则()()310,2,022A C E N -⎝，，，，()1=0,2,0=,22OA ON -⎝ ，，由已知易得，平面ABM 的一个法向量为(=OC，……9分设平面ABN 的法向量为()=,,x y z n ,则2=0=01=022y OA x y ON -⎧⎧⋅⎪⎨+⋅⎪⎪⎩⎩ ，，即，，n n 取2x =，则平面ABN 的一个法向量为()=2,0,1-n .……10分cos ,O OC OC C ⋅〈〉==∴n n n 分二面角--M AB N 为锐角，∴二面角--M AB N ……12分20.（1）由已知可得：0cos 2)(≥-='a x x f ，……1分即x a cos 2≤恒成立，则有]2,(--∞∈a .……3分（2）由已知可得：111cos 2)(+--='x x x g，令()=()h x g x '，21()2sin (1)h'x x x =-++在[0,6π上单调递减，……4分又因为，(0)h'0>，(6h'π0<，所以存在6,0(0π∈x 使得()0h'x =，……5分则有又有115(0)=0(1101631162g g ππ''=-->--->++，，所以在(0,6π上)(x g '0>，……7分则)(x g 在]6,0[π∈x 上单调递增，所以最小值为0)0(=g .……8分（3）由（2）可得x x x ++>)1ln(sin 2在(0,)6π上恒成立，令()()=ln +1x x x ϕ-，在(0,)6π上()=0+1x 'x x ϕ>，所以()x ϕ单调递增且(0)0ϕ=，所以ln(1)x x >+，)1ln(2sin 2+>x x ，从而当(0,)6x π∈时)1ln(sin +>x x ，……10分令n x 1,,41,31,21 =，得到23ln 21sin >，34ln 31sin >，45ln 41sin >，⋯，nn n 1ln 1sin +>，相加得：11111sin sin sin sin ln2342n n +++++> .……12分21.（1）由题意，=ND DM λ，设()()()00,,00,，，，D x y M x N y 所以()()00,=,=---，，ND x y y DM x x y ()()00,=,---，x y y x x y λ……1分由()()00==-⎧⎪⎨--⎪⎩，，x x x y y y λλ解得()()001+==1+⎧⎪⎨⎪⎩，，x x y y λλλ又因为2200+=9，x y 所以()()222221++1+=9，x y λλλ……3分将=1=2λλ和分别代入，得2219+=4：C x y ……4分222+=1.4x C y ：……5分（2）①直线l 斜率不存在时，3=2l x ±：，带入2C方程得ABS 分②直线l 斜率存在时，设=+l y kx m ：，l 与曲线1C()229+13=24k m ，即，……7分联立22+=14=+x y y kx m ⎧⎪⎨⎪⎩，，可得()2221+4+8+44=0k x kmx m -，x),0(0x )6,(0πx ()h'x 正负)(x g '递增递减()()222225=641614107k m k m k ∆-+->>由得，()2121222418==1414m km x x x x k k--+，，……8分1222=1+41+4AB x k k-，……10分()4224247+25=16+8+1k k AB k k -，因为()()422424247+2572487=016+8+14416+8+1k k k k k k k ----<，所以2AB <，8S <.……11分综合①②可证，S ……12分22.（1）消去参数t 可得：22x py =，将点()2,4带入可得12p =，……2分所以曲线C 的普通方程为：y x =2.……4分（2）由已知得：OB OA ,的斜率存在且不为0，设OA 的斜率为k ，方程为kx y =，则OB 的方程为：x ky 1-=，联立方程2y kx x y =⎧⎨=⎩，，可得：()2,k k A ，同理可得：211,B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，……6分设()y x M ,，所以22112112x k k y k k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，，……8分所以=24x 222122-=-+y kk ，所以=22x 1-y 即为点M 轨迹的普通方程.……10分23.（1）当1a =时，()121-++=x x x f ，当()()()min 1,31,14;x f x x f x f ≤-=-+=-=当()()()11,3,2,4;x f x x f x -<<=-+∈当()()()min 1,31,12;x f x x f x f ≥=-==……2分∴当1a =时，()f x 的最小值为2.……4分（2）00a b >>，，当12x ≤≤时，221+1x a x x b ++-->可化为233a b x x +>-+……6分令()233h x x x =-+，[]1,2x ∈，()()max 11h x h ==，∴1a b +>，……8分∴()222221111222222a b a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+++=+++++++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥.……10分。

河南省开封市高三上学期定位考试(10月)数学(理)Word版含答案

河南省开封市高三上学期定位考试(10月)数学(理)Word版含答案

高三数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则（ ）A.B.C.D. （0,1）2.复数，则 ( )A. z 的共轭复数为B. z 的实部为1C.D. z 的虚部为3．下列选项中，说法正确的个数是( )(1)若命题p :0x R ∃∈，2000x x -≤，则p ⌝：20000x x x ∃∈->，R ”；(2)命题“在ABC ∆中，30A >，则1sin 2A >”的逆否命题为真命题； (3)设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的充分必要条件； (4)若统计数据n x x x ,,,21 的方差为1,则n x x x 2,,2,221 的方差为2. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1541016a a +==，S ，则数列}{n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45.已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-+，当(0,2]x ∈时，2()2log x f x x =+，则(2015)f =（ ）A ．5B ．21C ．2D ．-2 6.已知实数,x y 满足约束条件202201x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，则21()2x y z -=的最大值是（ ）A ．132 B ．116C. 32 D ．64 7.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，下面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”.执行该程序框图（图中“aMODb ”表示a 除以b 的余数），若输入的a ，b 分别为675,125，则输出的（ ）A. 0B. 25C. 50D. 758.某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科.学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲共有多少种选考方法（ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．199. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.10.如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数2()sin ()f x x ωϕ=+的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．411. 过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点(),0F c -作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为（ ）A 21 D. 1212.函数()(,2)x f x x e x =⋅∈-∞，，函数1()1[2,2][2,2]g x ax x x =+∈-∀∈-，，，总存在唯一0(,2)x ∈-∞，使得01()()f x g x =成立，则实数的取值范围为 （ ）A ．11(,)22- B. 11[,]22- C. 11(,)22e e e e ++- D. 11[,]22e e e e++-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知平面向量a ，b ，c ，(1,1)a =-，(2,3)b =，(2,)c k =-，若()//a b c +，则实数k = ． 14.在平面区域Ω={（x ，y ）|≤x≤，0≤y≤1}内任取一点P ，则点P 落在曲线y=cosx15. 在中，角，，的对边分别为，，，tan tan 2tan b B b A c B +=，且5a =，的面积为的值为__________．16.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C ，此时四面体ABCD 外接球的表面积为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =,且122(1)(1)n n na n a n n +-+=+. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若1n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18. （本小题满分12分）如图，在三棱锥D-ABC 中，AB=2AC=2，，CD=3，平面ADC ⊥平面ABC. （Ⅰ）证明：平面BDC ⊥平面ADC ； （Ⅱ）求二面角B-AD-C 的余弦值.19. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1，2，…，8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：且1X 的数学期望16EX =，求a ，b 的值；（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望； （Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价； ②“性价比”大的产品更具可购买性． 20．（本小题满分12分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆E截抛物线的准线所得弦长为3． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两个不同的点，线段AB 的中点为C ，O 为坐标原点，若△OAB ，求||||AB OC ⋅的最大值． 21. （本小题满分12分）已知函数()2()ln 0,1x f x a x x a a a =+->≠． （Ⅰ）求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）若存在[]12,1,1x x ∈-，使得12()()1f x f x e -≥-（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围.22.（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为:cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩()t 为参数 ，圆2C ：()222y 4x -+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程和交点坐标A (非坐标原点)； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为B (非坐标原点),求△OAB 的最大面积(O 为坐标原点) .23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f （x ）=|x ﹣m|，m ＜0．（Ⅰ）当m=-1时，求解不等式f （x ）+f （-x ）≥2-x ；（Ⅱ）若不等式f （x ）+f （2x ）<1的解集非空，求m 的取值范围．高三数学试题（理科）参考答案二、填空题（每小题5分，共20分）13. -8 14. 15. 7 16. 7π三、解答题17. 解：（Ⅰ）由已知可得1112n n a a n n +-=+， ∴数列{}n a n 是以1为首项，12为公差的等差数列， ．．．．．．．．．．．．3分∴(1)2n n n a +=. ．．．．．．．．．．．．6分 （Ⅱ）2112()(1)1n b n n n n ==⨯-++， ．．．．．．．．．．．．8分111112[(1)()()]2231n S n n =⨯-+-++-+…… ．．．．．．．．．．．．10分122(1)11nn n =⨯-=++ ．．．．．．．．．．．．12分18.解：（Ⅰ）由已知可得，∴BC ⊥AC ， ．．．．．．．．．．．．2分∵平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC=AC ，∴BC ⊥平面ADC ，．．．．．．．．．4分 又∵BC ⊂平面BDC ，∴平面BDC ⊥ADC. ．．．．．．．．．．．．5分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，∵平面ADC ⊥平面ABC ，过D 作'DD CA ⊥的延长线于'D ，∴'DD ABC ⊥平面，由余弦定理可得2cos 3ACD ∠=，∴sin ACD ∠=∴'sin DD CD ACD =⋅∠='s 2CD CD co ACD =⋅∠=，C （0,0,0），A （1,0,0），B （0,，0），D （2,0），∵BC ⊥平面ADC，∴n CB ==为平面ADC 的法向量，．．．．．．．．．．．．7分 设(,,)m x y z =为平面ADB的一个法向量，AD =，(AB =-∴0m AD m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可取(m =，．．．．．．．．．．．．9分cos ,||||23m n m n m n ⋅<>==-⋅，∴二面角B-AD-C. ．．．．．．12分 19.解：（Ⅰ）0.30.2a b =⎧⎨=⎩；．．．．．．．．．．．．3分（Ⅱ）由已知，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率， 可得等级系数2X 的概率分布列如下：．．．．．．．．．．．．4分∴230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8；．．．．．．．．．．．．6分 （Ⅲ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，∴其性价比为616=，．．．．8分 ∵乙厂产品的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，∴其性价比为4.81.24=，．．10分 据此，乙厂的产品更具可购买性. ．．．．．．．．．．．．12分20.解：（Ⅰ）由题意得c =23b a =，∴1a b ==. ∴椭圆E 的方程为2213x y +=． ······································································ 4分（Ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)当l 的斜率不存在时，A ，B 两点关于x 轴对称， 由△OAB面积1||||2OAB S AB OC ∆=⋅=||||AB OC ⋅= ·························· 5分 (2)当l 的斜率存在时，设直线l ：y kx m =+，联立方程组22,1,3y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222316330k x kmx m +++-=， 由2212(31)0k m ∆=-+>得2231m k <+，则122631kmx x k -+=+，21223331m x x k -=+，（*） ························································· 6分||AB 原点O 到直线l的距离d =，所以△OAB的面积1||2S AB d =⋅==，整理得222224(31)(31)m k m k +-=+，即222222(31)4(31)(2)0k m k m +-++=所以222(312)0k m +-=，即22312k m +=，满足2212(31)0k m ∆=-+>，··············· 8分 结合（*）得123k x x m -+=，2212123(21)1()222k m y y k x x m m m m m m ---+=++=+=+=，则C 31(,)22k m m-，所以222222913(21)131||4422k m OC m m m +-+===-， 22222222222222223121221||12(1)12(1)(33)2(1)(31)(2)k m m m m AB k k k k m m m m -+-+=+⋅=+⋅=+==++，··············································································································· 10分 所以222222211[(3)(1)]11||||(3)(1)44m m AB OC m m-++⋅=-+≤=，当且仅当2211(3)(1)m m-=+，即m ＝±1时，等号成立，故||||2AB OC ⋅≤， 综上||||AB OC ⋅的最大值为2 ．．．．．．．．．．．．12分21.解：（Ⅰ）()ln 2ln 2(1)ln x xf x a a x a x a a '=-=-++．∵当1a >时，ln 0a >，()1ln xa a -在R 上是增函数， ∵当01a <<时，ln 0a <，()1ln xa a -在R 上也是增函数，∴当1a >或01a <<，总有()f x '在R 上是增函数， ．．．．．．．．．．．．2分 又(0)0f '=，所以()0f x '>的解集为(0,)∞+，()'0f x <的解集为(),0-∞， 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+，单调减区间为(),0-∞，∴函数()f x 在x=0处取得极小值为1． ．．．．．．．．．．．．4分 （Ⅱ）∵存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立， 而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，∴只要max min ()()e 1f x f x --≥即可． ．．．．．．．．．．．．5分 又∵x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：∴()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值 ．．．．．．．．．7分 ∵11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，∴1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-． ．．．．．．．．．．．．9分 ∴当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥； 当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a+-≥， 函数1ln y a a =+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10e a <≤． ．．．．．．．．．．．．11分综上可知，所求a 的取值范1(0,][e,)e a ∈∞+． ．．．．．．．．．．．12分22.解：（Ⅰ）1C :=θαρ∈（R ） ；2C ：=4cos ρθ ；交点坐标A ()4cos ,αα.（写出直角坐标同样给分） ……………5分 （Ⅱ）4B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴14cos sin 24OABSπαα⎛⎫=⋅⋅- ⎪⎝⎭=224πα⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 故△OAB的最大面积是 ……………10分23. 解：（Ⅰ）设()2(1)112(11)2(1)x x F x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤<⎨⎪≥⎩)2Gx x =-（ 可解得{}20x x x ≤-≥或 ……………5分 （Ⅱ）f （x ）+f （2x ）=|x ﹣m|+|2x ﹣m|，m ＜0．当x≤m 时，f （x ）=m ﹣x+m ﹣2x=2m ﹣3x ，则f （x ）≥﹣m ； 当m ＜x ＜2m 时，f （x ）=x ﹣m+m ﹣2x=﹣x ，则﹣2m＜f （x ）＜﹣m ； 当x 2m ≥时，f （x ）=x ﹣m+2x ﹣m=3x ﹣2m ，则f （x ）≥-2m ．则f （x ）的值域为[-2m，+∞）， 不等式f （x ）+f （2x ）<1的解集非空，即为1＞-2m，解得，m ＞-2， 由于m ＜0，则m 的取值范围是（-2，0）． ……………10分。

2020-2021学年河南省开封市某校高三(上)10月联考数学(理)试卷(有答案)

2020-2021学年河南省开封市某校高三(上)10月联考数学(理)试卷(有答案)

2020-2021学年河南省开封市某校高三（上）10月联考数学（理）试卷一、选择题1. 设命题p:∀x <−1,x 2+x2>0，则¬p 为( )A.∃x 0<−1,x 02+x 02≤0B.∃x 0≥−1,x 02+x 02≤0C.∀x <−1,x 2+x 2≤0D.∀x ≥−1,x 2+x2≤02. 已知集合M ={x|ln x <0},N ={x|x ≤12}，则M ∩N =( )A.⌀B.{x|x ≤12}C.{x|x <1}D.{x|0<x ≤12}3. 函数f (x )=x ln x −x 3的图象在点(1,f (1))处的切线的倾斜角为α，则tan α=( ) A.−1 B.−2 C.−3 D.−44. 中央电视台综合频道每天晚上的“焦点访谈”是时事、政治评论性较强的一个节目，坚持用“事实说话”，深受广大人民群众的喜爱，其播出时间是晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上7点半到8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻也是时针与分针重合的时刻，高度显示“聚焦”之意，比喻时事、政治的“焦点”，则这个时刻大约是( ) A.7点36分 B.7点38分 C.7点39分 D.7点40分5. 若a =(12)35，b =(35)12，c =log 3512，则下列结论正确的是( )A.b >c >aB.c >a >bC.a >b >cD.c >b >a6. 函数f (x )=x cos x+sin x x 2+1的部分图象大致为（ ）A.B.C.D.7. 企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：ℎ）间的关系为P =P 0e −kt （其中P 0，k 是正的常数）．如果在前10ℎ消除了20%的污染物，则20ℎ后废气中污染物的含量是未处理前的( ) A.40% B.50% C.64% D.81%8. 在边长为2的正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 交BD 于F ．若AF →=xAB →+3yAD →，则x +y =( )A.1B.59C.−13D.−599. 若a (sin x +cos x )≤2+sin x cos x 对任意x ∈(0,π2)恒成立，则a 的最大值为( )A.2B.3C.5√22D.5√2410. 若p:a <b ；q:3a −3b <5−a −5−b ，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11. 已知函数f (x )=√3sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)，当f (x 1)f (x 2)=3时，|x 1−x 2|min =π,f (0)=32，则下列结论正确的是( )A.函数f (x )的最小正周期为2πB.函数f (x )的图象的一个对称中心为(π6,0) C.函数f (x )的图象的一条对称轴方程为x =π3D.函数f (x )的图象可以由函数y =√3cos ωx 的图象向右平移π12个单位长度得到12. 已知定义在R 上的偶函数f (x )在区间[6,8]上为减函数，且满足f (x +4)=f (x ),f (6)=1,f (8)=0.若函数y =f (x )+√4x −x 2−k 有两个零点，则实数k 的取值范围是( ) A.[0,1） B.[0,2） C.[0,3） D.[0,4)二、填空题设平面向量a →=(2,−1),b →=(x,4)，若a →⊥b →，则x 的值为________.若3a=(23)b=2，则1a +1b =________．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．假定在水流稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为4m ，筒车转轮的中心O 到水面的距离为2m ，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈．规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即P 0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ．设盛水筒M 从点P 0运动到点P 时所经过的时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为ℎ（单位：m ），则ℎ与t 的函数关系式为________，点P 第一次到达最高点需要的时间为________s ．已知函数f (x )=(x 2−4x )sin (x −2)+ax (a ∈R )在区间[2−π,2+π]上的最大值与最小值的和为8，则a =________.三、解答题已知向量a →=(2sin x,−sin 2x ),b →=(−2√3sin x,2)，函数f (x )=a →⋅b →+2√3+1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的单调递减区间．已知函数f (x )=(k −1)2x +2−x (k ∈R ). (1)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，求k 的值；(2)当−1≤x ≤1时，f (x )≥4，求实数k 的取值范围．将一块圆心角为120∘，半径为20cm 的扇形铁片裁成一块矩形，如图有两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA 上（图1），或让矩形一边与弦AB 平行（图2）．对于图1和图2均记∠MOA =θ，问哪种裁法得到的矩形的面积最大？已知f (x )=2x 3−mx 2−12x +6的一个极值点为2. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在区间[−2,2]上的最值．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足√3a =√3b cos C −c sin B. (1)求B ；(2)若b =2√3，AD 为BC 边上的中线，当△ABC 的面积取得最大值时，求AD 的长．已知函数f (x )=(x 2−2x +a )e x . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当a =1时，判断函数g (x )=f (x )−12x 2+ln x 零点的个数，并说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年河南省开封市某校高三（上）10月联考数学（理）试卷一、选择题1.【答案】A【考点】命题的否定【解析】此题暂无解析【解答】解：全称命题的否定为特称命题，∴原命题的否定为$\neg p:``\exists x_{0} < - 1,x_{0}^{2} + \frac{x_{0}}{2} \leq 0"$．故选A．2.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：易知M={x|ln x<0}={x|0<x<1}，∴M∩N={x|0<x≤1}．2故选D．3.【答案】B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得f′(x)=ln x+1−3x2，所以切线斜率k=f′(1)=−2．所以tanα=−2．故选B．4.【答案】B根据实际问题选择函数类型 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：设7点t 分(30<1<60)时针OA 与分针OB 重合．在7点时，时针OC 与分针OD 所夹的角为210∘， 时针每分钟转0.5∘，分针每分钟转6∘，则分针从OD 到达OB 需旋转6∘t ，时针从OC 到达OA 需旋转0.5∘t ， 于是6∘t =0.5∘t +210∘， 解得t =38211≈38（分）. 故选B ． 5.【答案】 D【考点】对数值大小的比较 指数函数单调性的应用【解析】本题考查了指数函数、对数函数及幂函数的单调性. 首先得到0<a,b <1,c >1,比较a,b 的大小可引入中间量(12)12，即可得到结果. 【解答】解：∵ a =(12)35<(12)0=1，b =(35)12<(35)0=1, ∴ 0<a <1,0<b <1, 又∵ (12)35<(12)12<(35)12, ∴ 0<a <b <1, ∵ log 3512>log 3535,∴ c >1, ∴ a <b <c, 即c >b >a. 故选D. 6.A【考点】函数奇偶性的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(x)=x cos x+sin x，x2+1所以f(−x)=−x cos(−x)+sin(−x)(−x)2+1=−f(x)，=−x cos x+sin xx2+1所以函数f(x)为奇函数，排除选项C,D,)时，f(x)>0，所以排除选项B．又当x∈(0,π2故选A．7.【答案】C【考点】指数函数与对数函数的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：当t=0时，P=P0当t=10时，(1−20%)P0=P0e−10k，即e−10k=0.8，化为对数式，得：−10k=ln0.8，即k=−1ln0.8，10代入P=P0e−kt，化简得P=P0⋅0.8t10,当t=20时，P=P0⋅0.82010=0.64P0．故选C．8.【答案】B【考点】向量的线性运算性质及几何意义向量在几何中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：建立以A 为原点，AB 为x 轴的直角坐标系，则AB →=(2,0),AD →=(0,2),xAB →+3yAD →=(2x,6y )， 又根据题意，得FEAF =DEAB =12,AE →=(1,2)， ∴ AF →=23AE →=(23,43)， ∴ 2x =23,6y =43， ∴ x =13,y =29， ∴ x +y =13+29=59. 故选B ． 9.【答案】 D【考点】三角函数的化简求值 函数恒成立问题 基本不等式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意，得a ≤2+sin x cos x sin x+cos x，令y =2+sin x cos x sin x+cos x，则a ≤y min ，令sin x +cos x =t, 则sin x cos x =t 2−12，且t ∈(1,√2]，∴ y =f (t )=t 2+32t=12(t +3t )，且f (t )在(1,√2]上为减函数，∴ f (t )min =f(√2)=5√24，∴a≤5√2．4故选D．10.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：令f(x)=3x−5−x，则f(x)为R上的单调递增函数.若3a−3b<5−a−5−b，则3a−5−a<3b−5−b，即f(a)<f(b)，所以a<b，所以p是q的必要条件；反之，若a<b，则f(a)<f(b)，所以3a−5−a<3b−5−b，即3a−3b<5−a−5−b，所以p是q的充分条件.所以p是q的充要条件．故选C．11.【答案】D【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性三角函数的周期性及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：∵f(x)=√3sin(ωx+φ)，∴f(x)max=√3，又∵f(x1)f(x2)=3，∴f(x1)=f(x2)=√3或f(x1)=f(x2)=−√3，∵|x1−x2|min=π,∴f(x)的最小正周期为π，ω=2，故A错误；∵f(0)=3，2∴sinφ=√3，2，又∵|φ|<π2∴ φ=π3， ∴ f (x )=√3sin (2x +π3)， 令2x +π3=kπ(k ∈Z )，得x =−π6+kπ2(k ∈Z )，∴ 函数f (x )图象的对称中心为(−π6+kπ2,0)(k ∈Z )，故B 错误；对称轴为 2x +π3=π2+kπ(k ∈Z )， 解得x =π12+kπ2(k ∈Z )，故C 错误；y =√3cos ωx =√3sin (2x +π2)， 向右平移π12单位长度得： y =√3sin [2(x −π12)+π2]=√3sin (2x +π3)=f (x )，故D 正确． 故选D ．12.【答案】C【考点】函数零点的判定定理函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：函数y =f (x )+√4x −x 2−k 的定义域为4x −x 2≥0，解得0≤x ≤4，∵ f (x +4)=f (x )，且f(x)为偶函数，∴ f (4−x )=f (−x )=f (x )，∴ 函数关于x =2对称，∴ f (0)=f (4)=f (8)=0，f (2)=f (6)=1；∵ 曲线y =f (x )关于直线x =0和x =2对称且f (x )在区间[6,8]上为减函数，∴ 画出f(x)图象的示意图，如图所示，函数y =−√4x −x 2+k 转化为：(x −2)2+(y −k )2=4(y ≤k )，如图所示，当k >3时，y =−√4x −x 2+k 与y =f (x )(0≤x ≤4)无公共点； 当k =3时，y =−√4x −x 2+k 与y =f (x )(0≤x ≤4)只有一个交点； 当0≤k <3时，y =−√4x −x 2+1与y =f (x )(0≤x ≤4)有两个交点． 当k <0时，y =−√4x −x 2+k 与y =f (x )(0≤x ≤4)无公共点． 综上，当0≤k <3时，y =−√4x −x 2+k 与y =f (x )(0≤x ≤4)有两个交点． 故选C ．二、填空题【答案】2【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由a →⊥b →，得a →⋅b →=(2,−1)⋅(x,4)=2x −4=0，解得x =2.故答案为：2．【答案】1【考点】指数式与对数式的互化【解析】此题暂无解析【解答】解：由3a =(23)b =2，得a =log 32，b =log 232， ∴ 1a +1b =1log 32+1log 232 =log 23+log 223=1，故答案为：1．【答案】ℎ=4sin (2π15t −π6)+2 ,5 【考点】已知三角函数模型的应用问题在实际问题中建立三角函数模型函数模型的选择与应用【解析】此题暂无解析【解答】解：因为∠xOP 0=π6，所以−π6是以Ox 为始边，OP 0为终边的角． 由OP 在t (s )内转过的角为4×2π60t =2π15t ，可知以Ox 为始边， 以OP 为终边的角为2π15t −π6，则点P 的纵坐标为4sin (2π15t −π6)，所以点P 距水面的高度ℎ(m )表示为时间t (s )的函数是ℎ=4sin (2π15t −π6)+2.令ℎ=4sin (2π15t −π6)+2=6，得sin (2π15t −π6)=1，取2π15t −π6=π2,t =5.故经过5s 后点P 第一次到达最高点．故答案为：ℎ=4sin (2π15t −π6)+2；5．【答案】2【考点】三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：令x −2=t ，则x =t +2且t ∈[−π,π]，∴ 原函数变为y =(t 2−4)sin t +at +2a (t ∈[−π,π])，设g (t )=(t 2−4)sin t +at ，则f (x )=g (t )+2a ，∴ f(x)max =g(t)max +2a,f(x)min =g(t)min +2a ，∴ f (x )max +f (x )min =g(t)max +g(t)min +4a ，∵ g (t )=(t 2−4)sin t +at 是[−π,π]上的奇函数，∴ g (t )max +g (t )min =0，∴ f (x )max +f (x )min =4a =8，∴ a =2.故答案为：2．三、解答题【答案】解：（1）∵ a →=(2sin x,−sin 2x ),b →=(−2√3sin x,2)∴ a →⋅b →=−4√3sin 2x −2sin 2x=−4√3⋅1−cos 2x 2−2sin 2x =2√3cos 2x −2sin 2x −2√3， ∴ f (x )=2√3cos 2x −2sin 2x +1=4cos (2x +π6)+1 ，∴ 函数f (x )的最小正周期是T =2π2=π. (2)由f (x )=4cos (2x +π6)+1， 得2kπ≤2x +π6≤2kπ+π(k ∈Z )，解得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递减区间为[kπ−π12,kπ+5π12](k ∈Z )．【考点】二倍角的正弦公式两角和与差的余弦公式平面向量数量积的运算复合三角函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）∵ a →=(2sin x,−sin 2x ),b →=(−2√3sin x,2)∴ a →⋅b →=−4√3sin 2x −2sin 2x=−4√3⋅1−cos 2x 2−2sin 2x =2√3cos 2x −2sin 2x −2√3， ∴ f (x )=2√3cos 2x −2sin 2x +1=4cos (2x +π6)+1 ， ∴ 函数f (x )的最小正周期是T =2π2=π.(2)由f (x )=4cos (2x +π6)+1， 得2kπ≤2x +π6≤2kπ+π(k ∈Z )，解得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递减区间为[kπ−π12,kπ+5π12](k ∈Z )．【答案】解：(1)因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (−x )=−f (x )对任意x ∈R 恒成立，即(k−1)2−x+2x=−(k−1)2x−2−x对任意x∈R恒成立，整理得k(22x+1)=0对任意x∈R恒成立，所以k=0．(2)根据题意，不等式(k−1)⋅2x+2−x≥4对于任意的x∈[−1,1]恒成立，即不等式k−1≥42x −(12x)2对于任意的x∈[−1,1]恒成立．令12x =t，则t∈[12,2]令g(t)=−t2+4t，所以k−1≥g(t)max．而g(t)=−t2+4t=−(t−2)2+4在[12,2]上单调递增，所以g(t)max=g(2)=4，所以k−1≥4，解得k≥5.故k的取值范围是[5,+∞）.【考点】函数恒成立问题函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(−x)=−f(x)对任意x∈R恒成立，即(k−1)2−x+2x=−(k−1)2x−2−x对任意x∈R恒成立，整理得k(22x+1)=0对任意x∈R恒成立，所以k=0．(2)根据题意，不等式(k−1)⋅2x+2−x≥4对于任意的x∈[−1,1]恒成立，即不等式k−1≥42x −(12x)2对于任意的x∈[−1,1]恒成立．令12x =t，则t∈[12,2]令g(t)=−t2+4t，所以k−1≥g(t)max．而g(t)=−t2+4t=−(t−2)2+4在[12,2]上单调递增，所以g(t)max=g(2)=4，所以k−1≥4，解得k≥5.故k的取值范围是[5,+∞）.【答案】解：如图1，矩形PMNO的面积为：S1=20sinθ×20cosθ=200sin2θ(0∘<θ<90∘)，当θ=45∘时，(S1)max=200；如图2，在△OMQ中，由正弦定理得QM=OM sinθsin120∘，由对称性可知，∠AOB的平分线OC为对称轴，则MN=2OM sin(60∘−θ)，∴矩形PQMN的面积为S2=QM×MN=2OM2√32sinθsin(60∘−θ)=800√33[sin(2θ+30∘)−12](0∘<0<60∘)，当θ=30∘时，(S2)max=400√33，综上，S2>S1，选择图2裁法能得到面积最大的矩形．【考点】二倍角的正弦公式正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：如图1，矩形PMNO的面积为：S1=20sinθ×20cosθ=200sin2θ(0∘<θ<90∘)，当θ=45∘时，(S1)max=200；如图2，在△OMQ中，由正弦定理得QM=OM sinθsin120∘，由对称性可知，∠AOB的平分线OC为对称轴，则MN=2OM sin(60∘−θ)，∴矩形PQMN的面积为S2=QM×MN=2√32sinθsin(60∘−θ)=800√33[sin(2θ+30∘)−12](0∘<0<60∘)，当θ=30∘时，(S2)max=400√33，综上，S2>S1，选择图2裁法能得到面积最大的矩形．【答案】解：(1)∵f(x)=2x2−mx2−12x+6，∴f′(x)=6x2−2mx−12，∵f(x)=2x2−mx2−12x+6的一个极值点为2，∴f′(2)=6×22−2m×2−12=0，解得，m=3，此时f(x)=2x3−3x2−12x+6，f′(x)=6x2−6x−12=6(x+1)(x−2)，令f′(x)=0，得x=−1或x=2；令f′(x)<0，得−1<x<2；令f′(x)>0，得x<−1或x>2；∴函数f(x)在区间(−1,2)上单调递减，在区间(−∞,−1)，(2，+∞)上单调递增．(2)由(1)知f(x)=2x2−3x−12x+6，f′(x)=6(x+1)(x−2)，当-2≤x<1时，f′(x)>0；当−1<x≤2时，f′(x)<0，∴f(x)[−2,−1)上为增函数，在(−1, 2]上为减函数，∴x=−1是极大值点，又f(−2)=2，f(−1)=13，f(2)=−14∴函数f(x)在[−2, 2]上的最小值是−14，最大值是13．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：(1)∵f(x)=2x2−mx2−12x+6，∴f′(x)=6x2−2mx−12，∵f(x)=2x2−mx2−12x+6的一个极值点为2，∴f′(2)=6×22−2m×2−12=0，解得，m=3，此时f(x)=2x3−3x2−12x+6，f′(x)=6x2−6x−12=6(x+1)(x−2)，令f′(x)=0，得x=−1或x=2；令f′(x)<0，得−1<x<2；令f′(x)>0，得x<−1或x>2；∴函数f(x)在区间(−1,2)上单调递减，在区间(−∞,−1)，(2，+∞)上单调递增．(2)由(1)知f(x)=2x2−3x−12x+6，f′(x)=6(x+1)(x−2)，当-2≤x<1时，f′(x)>0；当−1<x≤2时，f′(x)<0，∴f(x)[−2,−1)上为增函数，在(−1, 2]上为减函数，∴x=−1是极大值点，又f(−2)=2，f(−1)=13，f(2)=−14∴函数f(x)在[−2, 2]上的最小值是−14，最大值是13．【答案】解：(1)由正弦定理及已知得√3sin A=√3sin B cos C−sin C sin B,又∵sin A=sin(B+C)，∴√3cos B sin C=−sin C sin B,∵sin C≠0，∴tan B=sin B=−√3，cos B∵B∈(0,π)，∴B=2π.3(2)在△ABC中，由余弦定理得12=a2+c2+ac，∵a2+c2+ac≥3a，∴ac≤4,当且仅当a=c=2时，△ABC的面积取得最大值，此时C=π，6在△ACD中，由余弦定理得AD2=CA2+CD2−2⋅CA⋅CD⋅cos π6=12+1−2×2√3×1×(√32)=7，∴AD=√7.【考点】余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由正弦定理及已知得√3sin A=√3sin B cos C−sin C sin B,又∵sin A=sin(B+C)，∴√3cos B sin C=−sin C sin B,∵sin C≠0，∴tan B=sin Bcos B=−√3，∵B∈(0,π)，∴B=2π3.(2)在△ABC中，由余弦定理得12=a2+c2+ac，∵a2+c2+ac≥3a，∴ac≤4,当且仅当a=c=2时，△ABC的面积取得最大值，此时C=π6，在△ACD中，由余弦定理得AD2=CA2+CD2−2⋅CA⋅CD⋅cos π6=12+1−2×2√3×1×(√32)=7，∴AD=√7.【答案】解：(1)f(x)的定义域为R，f′(x)=(2x−2)e x+(x2−2x+a)e x=(x2+a−2)e x，当a≥2时，f′(x)≥0，则f(x)在R上是增函数；当a<2时，f′(x)=[x2−(2−a)]e x=(x+√2−a)(x−√2−a)e x，∴f′(x)=0⇔x=±√2−a；f′(x)>0⇔x<−√2−a或x>√2−a；f′(x)<0⇔−√2−a<x<√2−a；∴f(x)在(−√2−a,√2−a)上是减函数，在(−∞,−√2−a)和(√2,+∞)上是增函数．(2)当a=1时，g(x)=(x−1)2e2−12x2+ln x，其定义域为(0,+∞)，∴g′(x)=(x+1)(x−1)(e x−1x)，设ℎ(x)=e x−1x(x>0)，∴ℎ′(x)=e x+1x2>0，∴ℎ(x)在(0,+∞)上是增函数，又∵ℎ(12)=√e−2<0，ℎ(1)=e−1>0，∴存在x0∈(12,1)，使得ℎ(x0)=e0x−1x0=0，即e x0=1x0,x0=−ln x0列表如下：由表格，可得g(x)的极小值为g(1)=−12；∴g(x)的极大值为g(x0)=(x0−1)2e x0−12x02+ln x0=x02−2x0+1x0−12x02−x0=12x02+1x0−2，∵g(x0)是关于x0的减函数，且x0∈(12,1)，∴−32<g(x0)<−18，∴g(x)在(0,1]内没有零点．又∵g(1)=−12<0,g(2)=e2−2+ln2>0，∴g(x)在(1,+∞)内有一个零点．综上，g(x)只有一个零点．【考点】利用导数研究函数的单调性函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)f(x)的定义域为R，f′(x)=(2x−2)e x+(x2−2x+a)e x=(x2+a−2)e x，当a≥2时，f′(x)≥0，则f(x)在R上是增函数；当a<2时，f′(x)=[x2−(2−a)]e x=(x+√2−a)(x−√2−a)e x，∴f′(x)=0⇔x=±√2−a；f′(x)>0⇔x<−√2−a或x>√2−a；f′(x)<0⇔−√2−a<x<√2−a；∴f(x)在(−√2−a,√2−a)上是减函数，在(−∞,−√2−a)和(√2,+∞)上是增函数．(2)当a=1时，g(x)=(x−1)2e2−12x2+ln x，其定义域为(0,+∞)，∴g′(x)=(x+1)(x−1)(e x−1x)，设ℎ(x)=e x−1x(x>0)，∴ℎ′(x)=e x+1x2>0，∴ℎ(x)在(0,+∞)上是增函数，又∵ℎ(12)=√e−2<0，ℎ(1)=e−1>0，∴存在x0∈(12,1)，使得ℎ(x0)=e0x−1x0=0，即e x0=1x0,x0=−ln x0列表如下：由表格，可得g(x)的极小值为g(1)=−12；∴g(x)的极大值为g(x0)=(x0−1)2e x0−12x02+ln x0=x02−2x0+1x0−12x02−x0=12x02+1x0−2，∵g(x0)是关于x0的减函数，且x0∈(12,1)，∴−32<g(x0)<−18，∴g(x)在(0,1]内没有零点．又∵g(1)=−12<0,g(2)=e2−2+ln2>0，∴g(x)在(1,+∞)内有一个零点．综上，g(x)只有一个零点．。

河南省开封市高三上学期定位考试(10月)数学(理)Word版含答案

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高三数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则（ ）A.B.C.D. （0,1）2.复数，则 ( )A. z 的共轭复数为B. z 的实部为1C.D. z 的虚部为3．下列选项中，说法正确的个数是( )(1)若命题p :0x R ∃∈，2000x x -≤，则p ⌝：20000x x x ∃∈->，R ”； (2)命题“在ABC ∆中，30A >，则1sin 2A >”的逆否命题为真命题； (3)设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的充分必要条件； (4)若统计数据n x x x ,,,21 的方差为1,则n x x x 2,,2,221 的方差为2. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1541016a a +==，S ，则数列}{n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45.已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-+，当(0,2]x ∈时，2()2log x f x x =+，则(2015)f =（ ）A ．5B ．21C ．2D ．-2 6.已知实数,x y 满足约束条件202201x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，则21()2x y z -=的最大值是（ ）A ．132 B ．116C. 32 D ．64 7.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，下面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”.执行该程序框图（图中错误！未找到引用源。

表示a 除以b 的余数），若输入的a ，b 分别为675,125，则输出的（ ）A. 0B. 25C. 50D. 758.某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科.学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲共有多少种选考方法（ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．199. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.10.如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数2()sin ()f x x ωϕ=+的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．411. 过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点(),0F c -作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为（ ）A 1 12.函数()(,2)x f x x e x =⋅∈-∞，，函数1()1[2,2][2,2]g x ax x x =+∈-∀∈-，，，总存在唯一0(,2)x ∈-∞，使得01()()f x g x =成立，则实数的取值范围为 （ ）A ．11(,)22- B. 11[,]22- C. 11(,)22e e e e ++- D. 11[,]22e e e e++-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知平面向量a ，b ，c ，(1,1)a =-，(2,3)b =，(2,)c k =-，若()//a b c +，则实数k = ． 14.在平面区域Ω={（x ，y ）|≤x≤，0≤y≤1}内任取一点P ，则点P 落在曲线y=cosx15. 在中，角，，的对边分别为，，，tan tan 2tan b B b A c B +=，且5a =，的面积为的值为__________．16.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 面体ABCD 外接球的表面积为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =,且122(1)(1)n n na n a n n +-+=+. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若1n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18. （本小题满分12分）如图，在三棱锥D-ABC 中，AB=2AC=2，CD=3，平面ADC ⊥平面ABC. （Ⅰ）证明：平面BDC ⊥平面ADC ； （Ⅱ）求二面角B-AD-C 的余弦值.19. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1，2，…，8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：且1X 的数学期望16EX =，求a ，b 的值；（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望； （Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价； ②“性价比”大的产品更具可购买性．20．（本小题满分12分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆E（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两个不同的点，线段AB 的中点为C ，O 为坐标原点，若△OAB ||||AB OC ⋅的最大值．21. （本小题满分12分）已知函数()2()ln 0,1x f x a x x a a a =+->≠． （Ⅰ）求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）若存在[]12,1,1x x ∈-，使得12()()1f x f x e -≥-（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围.22.（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为:cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩()t 为参数 ，圆2C ：()222y 4x -+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程和交点坐标A (非坐标原点)； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为B (非坐标原点),求△OAB 的最大面积(O 为坐标原点) .23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f （x ）=|x ﹣m|，m ＜0．（Ⅰ）当m=-1时，求解不等式f （x ）+f （-x ）≥2-x ；（Ⅱ）若不等式f （x ）+f （2x ）<1的解集非空，求m 的取值范围．高三数学试题（理科）参考答案二、填空题（每小题5分，共20分）13. -8 14. 15. 7 16. 7π三、解答题17. 解：（Ⅰ）由已知可得1112n n a a n n +-=+， ∴数列{}n a n 是以1为首项，12为公差的等差数列， ．．．．．．．．．．．．3分 ∴(1)2n n n a +=. ．．．．．．．．．．．．6分 （Ⅱ）2112()(1)1n b n n n n ==⨯-++， ．．．．．．．．．．．．8分111112[(1)()()]2231n S n n =⨯-+-++-+…… ．．．．．．．．．．．．10分122(1)11nn n =⨯-=++ ．．．．．．．．．．．．12分18.解：（Ⅰ）由已知可得BC ⊥AC ， ．．．．．．．．．．．．2分∵平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC=AC ，∴BC ⊥平面ADC ，．．．．．．．．．4分 又∵BC ⊂平面BDC ，∴平面BDC ⊥ADC. ．．．．．．．．．．．．5分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，∵平面ADC ⊥平面ABC ，过D 作'DD CA ⊥的延长线于'D ，∴'DD ABC ⊥平面，由余弦定理可得2cos 3ACD ∠=，∴sin ACD ∠=，∴'sin DD CD ACD =⋅∠='s 2CD CD co ACD =⋅∠=，C （0,0,0），A （1,0,0），B （0,0），D （2,0∵BC ⊥平面ADC，∴n CB ==为平面ADC 的法向量，．．．．．．．．．．．．7分 设(,,)m x y z =为平面ADB的一个法向量，AD =，(AB =-∴0m AD m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可取(m =，．．．．．．．．．．．．9分cos ,||||23m n m n m n ⋅<>==-⋅，∴二面角B-AD-C的余弦值为23. ．．．．．．12分 19.解：（Ⅰ）0.30.2a b =⎧⎨=⎩；．．．．．．．．．．．．3分（Ⅱ）由已知，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率， 可得等级系数2X 的概率分布列如下：．．．．．．．．．．．．4分∴230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8；．．．．．．．．．．．．6分（Ⅲ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，∴其性价比为616=，．．．．8分 ∵乙厂产品的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，∴其性价比为4.81.24=，．．10分 据此，乙厂的产品更具可购买性. ．．．．．．．．．．．．12分20.解：（Ⅰ）由题意得c =2b a =1a b ==. ∴椭圆E 的方程为2213x y +=． ····································································· 4分（Ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)当l 的斜率不存在时，A ，B 两点关于x 轴对称，由△OAB面积1||||2OAB S AB OC ∆=⋅=||||AB OC ⋅ ·························· 5分 (2)当l 的斜率存在时，设直线l ：y kx m =+，联立方程组22,1,3y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222316330k x kmx m +++-=， 由2212(31)0k m ∆=-+>得2231m k <+，则122631kmx x k -+=+，21223331m x x k -=+，（*） ························································· 6分||AB = 原点O 到直线l的距离d =所以△OAB的面积1||2S AB d =⋅==， 整理得222224(31)(31)m k m k +-=+，即222222(31)4(31)(2)0k m k m +-++=所以222(312)0k m +-=，即22312k m +=，满足2212(31)0k m ∆=-+>，··············· 8分 结合（*）得123k x x m -+=，2212123(21)1()222k m y y k x x m m m m m m---+=++=+=+=，则C 31(,)22k m m -，所以222222913(21)131||4422k m OC m m m+-+===-， 22222222222222223121221||12(1)12(1)(33)2(1)(31)(2)k m m m m AB k k k k m m m m-+-+=+⋅=+⋅=+==++， ··············································································································· 10分所以222222211[(3)(1)]11||||(3)(1)44m m AB OC m m -++⋅=-+≤=， 当且仅当2211(3)(1)m m-=+，即m ＝±1时，等号成立，故||||2AB OC ⋅≤，综上||||AB OC ⋅的最大值为2 ．．．．．．．．．．．．12分21.解：（Ⅰ）()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．∵当1a >时，ln 0a >，()1ln xa a -在R 上是增函数，∵当01a <<时，ln 0a <，()1ln xa a -在R 上也是增函数，∴当1a >或01a <<，总有()f x '在R 上是增函数， ．．．．．．．．．．．．2分 又(0)0f '=，所以()0f x '>的解集为(0,)∞+，()'0f x <的解集为(),0-∞， 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+，单调减区间为(),0-∞，∴函数()f x 在x=0处取得极小值为1． ．．．．．．．．．．．．4分 （Ⅱ）∵存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立， 而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，∴只要max min ()()e 1f x f x --≥即可． ．．．．．．．．．．．．5分 又∵x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：∴()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值 ．．．．．．．．．7分∵11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，∴1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-． ．．．．．．．．．．．．9分 ∴当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a+-≥， 函数1ln y a a =+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10e a <≤． ．．．．．．．．．．．．11分综上可知，所求a 的取值范1(0,][e,)e a ∈∞+． ．．．．．．．．．．．12分22.解：（Ⅰ）1C :=θαρ∈（R ） ；2C ：=4cos ρθ ；交点坐标A ()4cos ,αα.（写出直角坐标同样给分） ……………5分 （Ⅱ）4B π⎛⎫⎪⎝⎭，∴14cos sin 24OAB S παα⎛⎫=⋅⋅- ⎪⎝⎭=224πα⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 故△OAB的最大面积是 ……………10分23. 解：（Ⅰ）设()2(1)112(11)2(1)x x F x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤<⎨⎪≥⎩)2Gx x =-（ 可解得{}20x x x ≤-≥或 ……………5分 （Ⅱ）f （x ）+f （2x ）=|x ﹣m|+|2x ﹣m|，m ＜0．当x≤m 时，f （x ）=m ﹣x+m ﹣2x=2m ﹣3x ，则f （x ）≥﹣m ； 当m ＜x ＜2m 时，f （x ）=x ﹣m+m ﹣2x=﹣x ，则﹣2m＜f （x ）＜﹣m ； 当x 2m ≥时，f （x ）=x ﹣m+2x ﹣m=3x ﹣2m ，则f （x ）≥-2m ．则f （x ）的值域为[-2m，+∞）， 不等式f （x ）+f （2x ）<1的解集非空，即为1＞-2m，解得，m ＞-2， 由于m ＜0，则m 的取值范围是（-2，0）． ……………10分。

河南省开封市高三数学上学期定位模拟考试试题 文

河南省开封市高三数学上学期定位模拟考试试题 文

2016年数学定位试题（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（22）-（23）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式s13V Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh 24S R 343V R其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 0,1,2,3,4,5,1,2,B 2,4()u U A A B U 集合则ð B（A ） 1,2,4 （B ） 0,3,5 （C ） 0,1,3,4,5 （D ）2. 若复数Z R a iia(213，i 是虚数单位）是纯虚数，则在复平面内Z 对应点的坐标为 C A ．（0，2） B ．（0，3i ） C ．（0，3） D ．（0，i 2） 3. 下列命题正确的是 DA ．已知011:,011:x p x p 则;B ．存在实数R x ，使2cos sinx x 成立;C ．命题p ：对任意的01,2 x x R x ，则p ：对任意的01,2 x x R x ;D ．若p 或q 为假命题,则p ,q 均为假命题4. 把函数)6sin(x y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再将图象向右平移3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 D A ．8 x B ．4 x C ．4 x D ．2x5. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 B A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石6. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 C A.10 B.15 C.20 D.307. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为CA.3B. -6C. 10D. 124 3 58. ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ．若CB a uu r r ，CA b uu r r ，1a r ，2b r，则CD uu u rBA 1233a b r rB 2133a b r rC 3455a b r rD 4355a b r r 9.若点（4，tan θ）在函数y=log 2x 的图像上，则2cos 2θ= A A.25 B. 15 C. 12 D. 3510. 已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x+2）=﹣f （x ），若f （﹣1）＞﹣2，f （﹣7）=，则实数a 的取值范围为 DA ．B ．（﹣2，1）C ．D ．11．若曲线y=与曲线y=alnx 在它们的公共点P （s ，t ）处具有公共切线，则实数a= C A ．﹣2B ．C ． 1D ． 212. 已知椭圆（a ＞b ＞0）的半焦距为c （c ＞0），左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线与椭圆交于B 、C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是 DA ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。

2021年高三数学上学期10月模块考试试题 理(含解析)

2021年高三数学上学期10月模块考试试题 理(含解析)

2021年高三数学上学期10月模块考试试题理（含解析）【试卷综析】本次试卷考查的范围是三角函数和数列。

试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况。

整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查。

第Ⅰ卷选择题（共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

1.若a、b为实数，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．L4【答案解析】B 解析：若a、b为实数，，令a=﹣1，b=1，ab=﹣1＜1，推不出，若，可得b＞0，∴0＜，⇒，∴”是“必要不充分条件，故选B．【思路点拨】令a=﹣1，b=1特殊值法代入再根据必要条件和充分条件的定义进行判断.【题文】2.已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（）A． B.C. D.【知识点】指数函数的图像与性质．L4【答案解析】A 解析：∵实数满足，∴x＞y，A．当x＞y时，，恒成立，B．当x=π，y=时，满足x＞y，但不成立．C．若，则等价为x2＞y2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立．D．若，则等价为x2+1＜y2+1，即x2＜y2，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＜y2不成立．故选：A．【思路点拨】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．【题文】3．下列四个图中,函数的图象可能是（）【知识点】函数的图象．L4【答案解析】C 解析：当x＞0时，y＜0，排除A、B两项；当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，排除D 项．故选：C．【思路点拨】根据四个选择项判断函数值的符号即可选择正确选项．【题文】4.已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数满足, 则的最小值是（）A． B．1 C． D．2【知识点】奇偶性与单调性的综合．L4【答案解析】C 解析：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴，等价为f（log2a）+f（﹣log2a）=2f（log2a）≤2f（1），即f（log2a）≤f（1）．∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增，∴f（log2a）≤f（1）等价为f（|log2a|）≤f（1）．即|log2a|≤1，∴﹣1≤log2a≤1，解得，故a的最小值是，故选：C【思路点拨】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行化简，即可得到结论．【题文】5.已知向量，其中，，且，则向量和的夹角是（）A． B． C． D．【知识点】数量积表示两个向量的夹角．L4【答案解析】A 解析：设两个向量的夹角为θ∵，∴，∴，即∴，∵θ∈[0，π]，∴，故选A【思路点拨】利用向量垂直的数量积为0列出方程；利用向量的平方等于向量模的平方及向量的数量积公式将方程用模与夹角表示求出夹角．【题文】6.把函数的图象适当变化就可以得的图象，这个变化可以是（）A．沿轴方向向右平移 B．沿轴方向向左平移C．沿轴方向向右平移 D．沿轴方向向左平移【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．L4【答案解析】C 解析：∵函数=sin（3x﹣）=sin3（x﹣），∴把函数的图象沿x轴方向向右平移个单位，可得的图象，故选：C．【思路点拨】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【题文】7.已知等差数列的前n项和为，又知，且，，则为（）A．33 B．46 C．48 D．50【知识点】等差数列的性质；定积分的简单应用．L4【答案解析】C 解析：=（xlnx﹣x）=e﹣e﹣（﹣1）=1∵等差数列中，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20为等差数列，即1，17﹣1，S 30﹣17为等差数列，∴32=1+S 30﹣17，∴S 30=48，故选 C 。

河南省开封市2019届高三10月定位考试数学(理)试题

河南省开封市2019届高三10月定位考试数学(理)试题

1开封市2019届高三定位考试数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，其中第n 卷第（ 22）—（ 23）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。

12小题，每小题 5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 .已知集合 M = {0, 1 , 2}, N = {x |A . M = NB. N M1—2i2•若 z = ------ ，则 I z | =1+2i3A .B . 15C . M n N = MD . M U N = M7CD. 553. 若命题 p ： 一x € R , x — Inx >0，则—p 为4.等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a 2+，则公比q =A . — 1 B. 1C .— 2D . 25.某商场经营的某种包装的大米质量 E （单位：kg ）服从正态分布 N（ 10, b 2）,根据检测结果可知P （9. 9W Z w 10. 1）= 0. 96,某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若 该公司有1000名职工，则分发到的大米质量在 9. 9kg 以下的职工数大约为A . 10 B. 20 C . 30D . 406 .执行如右图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的x 为、选择题：本大题共I x — 1 |w 1}，则A . T X o € R , x o — Inx °w 0 C . 一x € R , x — Inx W 0B .-J x0€ R , x 0 — Inx °>0D . 一x € R , x — Inx v 0L 输丽,A . —1B . 0C . —1或1D . —1或0l x — y +4》07.已知 x , y 满足约束条件x W 2 ，贝U z = x + 3y 的最小值x + y —2》0为A . 0B . 2 C. 6D . 8y —^+4&某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为D. 1 A.14 4—x12 .已知函数 f (x ) = ( k +) Inx +-k x本卷包括必考题和选考题两部分，第（ 13）题〜第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做 答，第（22）题〜第（23）题为选考题，考生根据要求做答。

河南省开封市金科新未来2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题

河南省开封市金科新未来2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题

河南省开封市金科新未来2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--≤，集合{}2230B x x x =+-≤，则集合A B ⋂在集合A 中的补集是（ ） A ．{}13x x << B ．{}13x x ≤≤ C ． x 1<x ≤3D ．{}31x x -≤<-2．已知()1i 2i z +=+（i 为虚数单位），那么复数z 的虚部是（ ）A ．12B ．i 2C ．12-D ．i 2-3．已知 1.10.8a =，22log b =ln 0.98c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >>D ．b c a >>4．已知向量()3,4a =r ，向量a r 与向量b r 的夹角为π3，则a b -r r 的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．52D 5．在有意义的前提下，下列各项与3πtan()2α+相等的是（ ） A ．tan αB ．tan α-C ．1tan αD ．1tan α-6．已知0a >，0b >，且211a b b+=+，则2+a b 的最小值为（ ）A B ．3+C ．D ．67．在等腰ABC V 中，4AC =，3AB BC ==，以点A 为圆心作半径为1的圆，点P 为此圆上的动点，若动点M 满足2PM MC =u u u u r u u u u r，则BM u u u u r 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知关于x 的方程3333333x x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间()0,2上有解，则实数a 的最大值为（ ）A B C D二、多选题9．下列命题为假命题的是（ ） A ．若0a b >>，0c ≠，则22a b c c > B ．若0a b <<，则22a b ab >>．C ．“1x >”的一个必要不充分条件是“2x >”D ．若0a b >>，0m <，则b m ba m a+>+ 10．设奇函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，()f x '的图象关于点()1,1成中心对称，则下列说法正确的是（ ）A ．()()f x f x ''=-B ．()()112f x f x ''++--=C ．()f x '的周期为4D ．()19f '=11．在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22b a ac -=，则下列说法正确的是A ．2B A =B ．π6π4B <<C ．tan tan tan ta 1n A B A B ⎛⎫⋅∈- ⎪ ⎪-⎝⎭D ．若2c a b =+，则3cos 4A =三、填空题12．已知α是第二象限角，且1sin 23α=-，则sin cos αα-=．13．已知函数()()2ln ,11272,1a a x x f x a x a x +≥⎧=⎨-+-<⎩，对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则实数a 的取值范围为．14．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足：()()3f x f x x --=．当0x ≥时，()232x f x '≥，则不等式()()327331212x x x f x f x ----+>的解集为．四、解答题15．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．16．已知集合(){}2lg 23A x y x x ==+-，集合22{|lg()}B y y x ax a ==-+，(1)若集合R B =，求实数a 的值； (2)若集合B A ⊆，求实数a 的取值范围.17．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos sin A B b Ca c+=+．(1)求C 的值；(2)若ABC V 内有一点P ，满足23APB APC CPB π===∠∠∠，1CP =，求ABC V 面积的最小值．18．已知()2ln 2af x b x x=+-． (1)若()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为5416ln 2200x y ++-=，求实数a ，b 的值； (2)当2b =时，函数1()()e xF x xf x =-，若()0F x ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 19．已知数列123:,,,,t A a a a a L （正整数3t ≥且t 为常数）的各项均为正整数，设集合{},1j i M x x a a i j t ==-≤<≤，记M 中的元素个数为()P M .(1)若数列:2,5,7,9A 求集合M 及()P M 的值； (2)若数列A 为等差数列，求()P M 的值；P M的最大值．(3)求()。

(全优试卷)河南省开封市高三上学期定位考试(10月)数学(理)Word版含答案

(全优试卷)河南省开封市高三上学期定位考试(10月)数学(理)Word版含答案

高三数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则（ ）A.B.C.D. （0,1）2.复数，则 ( )A. z 的共轭复数为B. z 的实部为1C.D. z 的虚部为3．下列选项中，说法正确的个数是( )(1)若命题p :0x R ∃∈，2000x x -≤，则p ⌝：20000x x x ∃∈->，R ”；(2)命题“在ABC ∆中，30A >，则1sin 2A >”的逆否命题为真命题； (3)设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的充分必要条件； (4)若统计数据n x x x ,,,21 的方差为1,则n x x x 2,,2,221 的方差为2. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1541016a a +==，S ，则数列}{n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45.已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-+，当(0,2]x ∈时，2()2log x f x x =+，则(2015)f =（ ）A ．5B ．21C ．2D ．-2 6.已知实数,x y 满足约束条件202201x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，则21()2x y z -=的最大值是（ ）A ．132 B ．116C. 32 D ．64 7.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，下面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”.执行该程序框图（图中“aMODb ”表示a 除以b 的余数），若输入的a ，b 分别为675,125，则输出的（ ）A. 0B. 25C. 50D. 758.某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科.学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲共有多少种选考方法（ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．199. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.10.如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数2()sin ()f x x ωϕ=+的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．411. 过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点(),0F c -作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为（ ）A 21 D. 1212.函数()(,2)x f x x e x =⋅∈-∞，，函数1()1[2,2][2,2]g x ax x x =+∈-∀∈-，，，总存在唯一0(,2)x ∈-∞，使得01()()f x g x =成立，则实数的取值范围为 （ ）A ．11(,)22- B. 11[,]22- C. 11(,)22e e e e ++- D. 11[,]22e e e e++-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知平面向量a ，b ，c ，(1,1)a =-，(2,3)b =，(2,)c k =-，若()//a b c +，则实数k = ． 14.在平面区域Ω={（x ，y ）|≤x≤，0≤y≤1}内任取一点P ，则点P 落在曲线y=cosx15. 在中，角，，的对边分别为，，，tan tan 2tan b B b A c B +=，且5a =，的面积为的值为__________．16.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C ，此时四面体ABCD 外接球的表面积为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =,且122(1)(1)n n na n a n n +-+=+. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若1n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18. （本小题满分12分）如图，在三棱锥D-ABC 中，AB=2AC=2，，CD=3，平面ADC ⊥平面ABC. （Ⅰ）证明：平面BDC ⊥平面ADC ； （Ⅱ）求二面角B-AD-C 的余弦值.19. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1，2，…，8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：且1X 的数学期望16EX =，求a ，b 的值；（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望； （Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价； ②“性价比”大的产品更具可购买性． 20．（本小题满分12分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆E截抛物线的准线所得弦长为3． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两个不同的点，线段AB 的中点为C ，O 为坐标原点，若△OAB ，求||||AB OC ⋅的最大值． 21. （本小题满分12分）已知函数()2()ln 0,1x f x a x x a a a =+->≠． （Ⅰ）求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）若存在[]12,1,1x x ∈-，使得12()()1f x f x e -≥-（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围.22.（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为:cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩()t 为参数 ，圆2C ：()222y 4x -+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程和交点坐标A (非坐标原点)； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为B (非坐标原点),求△OAB 的最大面积(O 为坐标原点) .23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f （x ）=|x ﹣m|，m ＜0．（Ⅰ）当m=-1时，求解不等式f （x ）+f （-x ）≥2-x ；（Ⅱ）若不等式f （x ）+f （2x ）<1的解集非空，求m 的取值范围．高三数学试题（理科）参考答案二、填空题（每小题5分，共20分）13. -8 14. 15. 7 16. 7π三、解答题17. 解：（Ⅰ）由已知可得1112n n a a n n +-=+， ∴数列{}n a n 是以1为首项，12为公差的等差数列， ．．．．．．．．．．．．3分∴(1)2n n n a +=. ．．．．．．．．．．．．6分 （Ⅱ）2112()(1)1n b n n n n ==⨯-++， ．．．．．．．．．．．．8分111112[(1)()()]2231n S n n =⨯-+-++-+…… ．．．．．．．．．．．．10分122(1)11nn n =⨯-=++ ．．．．．．．．．．．．12分18.解：（Ⅰ）由已知可得，∴BC ⊥AC ， ．．．．．．．．．．．．2分∵平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC=AC ，∴BC ⊥平面ADC ，．．．．．．．．．4分 又∵BC ⊂平面BDC ，∴平面BDC ⊥ADC. ．．．．．．．．．．．．5分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，∵平面ADC ⊥平面ABC ，过D 作'DD CA ⊥的延长线于'D ，∴'DD ABC ⊥平面，由余弦定理可得2cos 3ACD ∠=，∴sin ACD ∠=∴'sin DD CD ACD =⋅∠='s 2CD CD co ACD =⋅∠=，C （0,0,0），A （1,0,0），B （0,，0），D （2,0），∵BC ⊥平面ADC，∴n CB ==为平面ADC 的法向量，．．．．．．．．．．．．7分 设(,,)m x y z =为平面ADB的一个法向量，AD =，(AB =-∴0m AD m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可取(m =，．．．．．．．．．．．．9分cos ,||||23m n m n m n ⋅<>==-⋅，∴二面角B-AD-C. ．．．．．．12分 19.解：（Ⅰ）0.30.2a b =⎧⎨=⎩；．．．．．．．．．．．．3分（Ⅱ）由已知，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率， 可得等级系数2X 的概率分布列如下：．．．．．．．．．．．．4分∴230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8；．．．．．．．．．．．．6分 （Ⅲ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，∴其性价比为616=，．．．．8分 ∵乙厂产品的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，∴其性价比为4.81.24=，．．10分 据此，乙厂的产品更具可购买性. ．．．．．．．．．．．．12分20.解：（Ⅰ）由题意得c =23b a =，∴1a b ==. ∴椭圆E 的方程为2213x y +=． ······································································ 4分（Ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)当l 的斜率不存在时，A ，B 两点关于x 轴对称， 由△OAB面积1||||2OAB S AB OC ∆=⋅=||||AB OC ⋅= ·························· 5分 (2)当l 的斜率存在时，设直线l ：y kx m =+，联立方程组22,1,3y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222316330k x kmx m +++-=， 由2212(31)0k m ∆=-+>得2231m k <+，则122631kmx x k -+=+，21223331m x x k -=+，（*） ························································· 6分||AB 原点O 到直线l的距离d =，所以△OAB的面积1||2S AB d =⋅==，整理得222224(31)(31)m k m k +-=+，即222222(31)4(31)(2)0k m k m +-++=所以222(312)0k m +-=，即22312k m +=，满足2212(31)0k m ∆=-+>，··············· 8分 结合（*）得123k x x m -+=，2212123(21)1()222k m y y k x x m m m m m m ---+=++=+=+=，则C 31(,)22k m m-，所以222222913(21)131||4422k m OC m m m +-+===-， 22222222222222223121221||12(1)12(1)(33)2(1)(31)(2)k m m m m AB k k k k m m m m -+-+=+⋅=+⋅=+==++，··············································································································· 10分 所以222222211[(3)(1)]11||||(3)(1)44m m AB OC m m-++⋅=-+≤=，当且仅当2211(3)(1)m m-=+，即m ＝±1时，等号成立，故||||2AB OC ⋅≤， 综上||||AB OC ⋅的最大值为2 ．．．．．．．．．．．．12分21.解：（Ⅰ）()ln 2ln 2(1)ln x xf x a a x a x a a '=-=-++．∵当1a >时，ln 0a >，()1ln xa a -在R 上是增函数， ∵当01a <<时，ln 0a <，()1ln xa a -在R 上也是增函数，∴当1a >或01a <<，总有()f x '在R 上是增函数， ．．．．．．．．．．．．2分 又(0)0f '=，所以()0f x '>的解集为(0,)∞+，()'0f x <的解集为(),0-∞， 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+，单调减区间为(),0-∞，∴函数()f x 在x=0处取得极小值为1． ．．．．．．．．．．．．4分 （Ⅱ）∵存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立， 而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，∴只要max min ()()e 1f x f x --≥即可． ．．．．．．．．．．．．5分 又∵x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：∴()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值 ．．．．．．．．．7分 ∵11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，∴1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-． ．．．．．．．．．．．．9分 ∴当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥； 当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a+-≥， 函数1ln y a a =+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10e a <≤． ．．．．．．．．．．．．11分综上可知，所求a 的取值范1(0,][e,)e a ∈∞+． ．．．．．．．．．．．12分22.解：（Ⅰ）1C :=θαρ∈（R ） ；2C ：=4cos ρθ ；交点坐标A ()4cos ,αα.（写出直角坐标同样给分） ……………5分 （Ⅱ）4B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴14cos sin 24OABSπαα⎛⎫=⋅⋅- ⎪⎝⎭=224πα⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 故△OAB的最大面积是 ……………10分23. 解：（Ⅰ）设()2(1)112(11)2(1)x x F x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤<⎨⎪≥⎩)2Gx x =-（ 可解得{}20x x x ≤-≥或 ……………5分 （Ⅱ）f （x ）+f （2x ）=|x ﹣m|+|2x ﹣m|，m ＜0．当x≤m 时，f （x ）=m ﹣x+m ﹣2x=2m ﹣3x ，则f （x ）≥﹣m ； 当m ＜x ＜2m 时，f （x ）=x ﹣m+m ﹣2x=﹣x ，则﹣2m＜f （x ）＜﹣m ； 当x 2m ≥时，f （x ）=x ﹣m+2x ﹣m=3x ﹣2m ，则f （x ）≥-2m ．则f （x ）的值域为[-2m，+∞）， 不等式f （x ）+f （2x ）<1的解集非空，即为1＞-2m，解得，m ＞-2， 由于m ＜0，则m 的取值范围是（-2，0）． ……………10分。

河南省开封市届高二数学上学期定位试卷理(含解析)【含答案】

河南省开封市届高二数学上学期定位试卷理(含解析)【含答案】

2015-2016学年河南省开封市高三（上）定位数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|2x﹣2＜1}，B={x|1﹣x≥0}，则A∩B等于（）A．{x|x≤1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1}D．{x|0＜x＜1}2．若复数Z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则在复平面内Z对应点的坐标为（）A．（0，2） B．（0，3i ）C．（0，3） D．（0，2i）3．下列命题正确的是（）A．已知p：＞0，则﹣p：≤0B．存在实数x∈R，使sinx+cosx=成立C．命题p：对任意的x∈R，x2+x+1＞0，则﹣p：对任意的x∈R，x2+x+1≤0D．若p或q为假命题，则p，q均为假命题4．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．5．某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．10 B．15 C．20 D．306．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．10 B．﹣6 C．3 D．127．△ABC中，点D在AB上，CD平分∠ACB．若=， =，||=1，||=2，则=（）A．+B．+C．+D．+8．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，若棱AB上存在点P，使得D1P⊥PC，则AD的取值范围是（）A．[1，2）B．C．（0，1] D．（0，2）9．若点（4，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则2cos2θ=（）A．B．C．D．10．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）=，则实数a的取值范围为（）A．B．（﹣2，1）C．D．11．若曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则实数a=（）A．﹣2 B．C．1 D．212．已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．在（1+x）6（1+y）4的展开式中，xy2项的系数是．14．已知函数f（x）=，则f（2016）= ．15．在平面直角坐标系中，已知点P（4，0），Q（0，4），M，N分别是x轴和y轴上的动点，若以MN为直径的圆C与直线PQ相切，当圆C的面积最小时，在四边形MPQN内任取一点，则这点落在圆C内的概率为．16．在△ABC中，若（sinA+sinB）：（sinA+sinC）：（sinB+sinC）=4：5：6，且该三角形面积为，则△ABC的最大边长等于．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤17．已知数列{a n}满足（a n+1﹣1）（a n﹣1）=3（a n﹣a n+1），a1=2，令b n=．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{b n•3n}的前n项和S n．18．某电子广告牌连续播出四个广告，假设每个广告所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计，以往播出100次所需的时间（t）的情况如下：每次随机播出，若将频率视为概率．（Ⅰ）求恰好在第6分钟后开始播出第3号广告的概率；（Ⅱ）用X表示至第4分钟末已完整播出广告的次数，求x的分布列及数学期望．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4．（1）若PB中点为E．求证：AE∥平面PCD；（2）若∠PAB=60°，求直线BD与平面PCD所成角的正弦值．20．定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣1（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若关于x的不等式f（x）≥b（x﹣1）在[，+∞）上恒成立，其中a，b为实数，求a，b所满足的关系式及a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB为⊙O的直径，CE⊥AB于点H，与⊙O交于点C、D，且AB=10，CD=8，DE=4，EF与⊙O切于点F，BF与HD交于点G．（Ⅰ）证明：EF=EG；（Ⅱ）求GH的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年河南省开封市高三（上）定位数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|2x﹣2＜1}，B={x|1﹣x≥0}，则A∩B等于（）A．{x|x≤1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1}D．{x|0＜x＜1}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】集合A与集合B的公共元素构成集合A∩B，由此利用A={x|2x﹣2＜1}={x|x＜2}，B={x|1﹣x≥0}={x|x≤1}，能求出A∩B．【解答】解：∵A={x|2x﹣2＜1}={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，B={x|1﹣x≥0}={x|x≤1}，∴A∩B={x|x≤1}．故选A．【点评】本题考查集合的交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．若复数Z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则在复平面内Z对应点的坐标为（）A．（0，2） B．（0，3i ）C．（0，3） D．（0，2i）【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数为纯虚数求得a值，则答案可求．【解答】解：∵Z==是纯虚数，∴，即a=6．∴Z=3i．∴在复平面内Z对应点的坐标为（0，3）．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．下列命题正确的是（）A．已知p：＞0，则﹣p：≤0B．存在实数x∈R，使sinx+cosx=成立C．命题p：对任意的x∈R，x2+x+1＞0，则﹣p：对任意的x∈R，x2+x+1≤0D．若p或q为假命题，则p，q均为假命题【考点】命题的真假判断与应用．【专题】证明题．【分析】由于原命题中X=﹣1时，不等式无意义，故否定中应包含x=﹣1，进而判断A的真假；根据三角函数的值域，分析出sinx+cosx的取值范围，进而判断B的真假；根据全称命题的否定一定是一个特称命题，可判断C的真假；根据复合命题真假判断的真值表，可以判断D的真假．【解答】解：已知p：＞0，则﹣p：≤0或x=﹣1，故A错误；sinx+cosx∈[，]，故存在实数x∈R，使sinx+cosx=成立错误；命题p：对任意的x∈R，x2+x+1＞0，则﹣p：存在x∈R，x2+x+1≤0，故C错误；根据p或q一真为真，同假为假的原则，可得若p或q为假命题，则p，q均为假命题，故D 正确故选D【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断，熟练掌握命题的否定，三角函数的值域，复合命题真假判断真值表等基本知识点是解答的关键．4．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的对称性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选A．【点评】本小题综合考查三角函数的图象变换和性质．图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视．一般地，y=Asin（ωx+φ）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值．5．某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．10 B．15 C．20 D．30【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视力可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，切去一个同底等高的三棱锥所得的几何体，分别求出棱柱和棱锥的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视力可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，切去一个同底等高的三棱锥所得的几何体，∵底面面积S=×4×3=6，高h=5，故组合体的体积V=Sh ﹣Sh=Sh=20， 故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．6．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．10B ．﹣6C ．3D ．12【考点】程序框图．【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序的功能是计算并输出S=﹣12+22﹣32+42的值，得出数值即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得； 该程序的功能是计算并输出S=﹣12+22﹣32+42的值， 所以S=﹣12+22﹣32+42=10． 故选：A ．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应根据循环条件判断出循环变量的终值，结合循环体分析出程序的功能，是基础题．7．△ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分∠ACB．若=，=，||=1，||=2，则=（ ）A ． +B ． +C ． +D ． +【考点】向量加减混合运算及其几何意义． 【专题】计算题．【分析】由题意可得D为AB的三等分点，且==（﹣），所以=+=+，从而得出结论．【解答】解：因为CD平分∠ACB，由角平分线定理得==2，所以D为AB的三等分点，且==（﹣），所以=+=+=+，故选B．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．8．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，若棱AB上存在点P，使得D1P⊥PC，则AD的取值范围是（）A．[1，2）B．C．（0，1] D．（0，2）【考点】直线与平面垂直的性质．【专题】空间位置关系与距离．【分析】建立空间直角坐标系，设AD=a，求出、，利用•=0求出a的范围．【解答】解：如图建立坐标系，设AD=a（a＞0），AP=x（0＜x＜2），则P（a，x，2），C（0，2，2），∴=（a，x，2），=（a，x﹣2，0），∵D1P⊥PC，∴•=0，即a2+x（x﹣2）=0，a==，当0＜x＜2时，a∈（0，1]．故选：C．【点评】本题考查棱柱的结构特征，是基础题．9．若点（4，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则2cos2θ=（）A．B．C．D．【考点】对数的运算性质．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得tanθ的值，再根据同角三角函数的基本关系求得2cos2θ=的值．【解答】解：∵点（4，tanθ）在函数y=log2x的图象上，∴log24=tanθ，求得tanθ=2，∴2cos2θ====，故选：A．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．10．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）=，则实数a的取值范围为（）A．B．（﹣2，1）C．D．【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），求出函数的周期，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），函数的周期为4，则f（﹣7）=f（8﹣7）=f（1）=﹣f（﹣1），又f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）==﹣f（﹣1），∴﹣＞﹣2，即，即解得a∈，故选：D．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．11．若曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则实数a=（）A．﹣2 B．C．1 D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出两个函数的导数然后求出公共点的斜率，利用向量相等，有公共点解方程即可求出a的值．【解答】解：曲线y=的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=．曲线y=alnx的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=．曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，可得，并且t=，t=alns，即，解得lns=，解得s2=e．可得a=1．故选：C．【点评】本题考查函数的导数，导数的几何意义切线的斜率以及切线方程的求法，考查计算能力．12．已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由椭圆方程求出F和A的坐标，由对称性设出B、C的坐标，根据菱形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出B的纵坐标，将点B的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e的方程，即可得到该椭圆的离心率．【解答】解：由题意得，椭圆（a＞b＞0，c为半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，则A（a，0），F（﹣c，0），∵抛物线y2=（a+c）x于椭圆交于B，C两点，∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）∵四边形ABFC是菱形，∴BC⊥AF，2m=a﹣c，则m=（a﹣c），将B（m，n）代入抛物线方程得，n2=（a+c）m=（a+c）（a﹣c）=（a2﹣c2），∴n2=b2，则不妨设B（（a﹣c），b），再代入椭圆方程得，+=1，化简得=，由e=，即有4e2﹣8e+3=0，解得e=或（舍去）．故选D．【点评】本题考查椭圆、抛物线的标准方程，以及它们的简单几何性质，菱形的性质，主要考查了椭圆的离心率e，属于中档题．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．在（1+x）6（1+y）4的展开式中，xy2项的系数是36 ．【考点】二项式定理的应用．【专题】二项式定理．【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式，求得xy2项的系数．【解答】解：在（1+x）6（1+y）4的展开式中，xy2项的系数为•=36，故答案为：36．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14．已知函数f（x）=，则f（2016）= 0 ．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知条件利用分段函数的性质先由函数的周期性求出f（2016）=f（0），再由指数的性质能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（2016）=（2016﹣2×2013）=f（0）=3﹣0﹣1=0．故答案为：0．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．15．在平面直角坐标系中，已知点P （4，0），Q （0，4），M ，N 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以MN 为直径的圆C 与直线PQ 相切，当圆C 的面积最小时，在四边形MPQN 内任取一点，则这点落在圆C 内的概率为 ．【考点】几何概型． 【专题】概率与统计．【分析】由题意，圆C 的面积最小时，圆C 的半径为，面积为2π，四边形MPQN 的面积为=6，即可得出结论．【解答】解：由题意，圆C 的面积最小时，圆C 的半径为，面积为2π，四边形MPQN 的面积为=6，∴当圆C 的面积最小时，在四边形MPQN 内任取一点，则这点落在圆C 内的概率为．故答案为：．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，确定面积是关键．16．在△ABC 中，若（sinA+sinB ）：（sinA+sinC ）：（sinB+sinC ）=4：5：6，且该三角形面积为，则△ABC 的最大边长等于 14 ．【考点】余弦定理；正弦定理． 【专题】计算题；解三角形．【分析】利用正弦定理化简已知可得：（a+b ）：（a+c ）：（b+c ）=4：5：6，从而解得：a ：b ：c=3：5：7，不妨设a=3x ，那么b=5x c=7x ，则c 为△ABC 的最大边长．由余弦定理可求C ，利用三角形面积公式解得ab=60．由余弦定理即可解得x 的值，从而可求c 的值． 【解答】解：∵（sinA+sinB ）：（sinA+sinC ）：（sinB+sinC ）=4：5：6，∴利用正弦定理可得：sinA=，sinB=，sinC=，代入上式可得：（a+b ）：（a+c ）：（b+c ）=4：5：6，从而解得：a ：b ：c=3：5：7，不妨设a=3x ，那么b=5x c=7x ，则c 为△ABC 的最大边长．∴cosC==﹣，∴由0＜C＜180°，可得：C=120°，sinC=，∴由S△ABC=absinC=ab=15，解得ab=60．∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：49x2=9x2+25x2﹣2×60×（﹣），解得：x2=4，x=2，从而可得△ABC的最大边长c=7×2=14．故答案为：14．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，熟练掌握公式及定理是解题的关键，属于基本知识的考查．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤17．已知数列{a n}满足（a n+1﹣1）（a n﹣1）=3（a n﹣a n+1），a1=2，令b n=．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{b n•3n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由（a n+1﹣1）（a n﹣1）=3（a n﹣a n+1）=3[（a n﹣1）﹣（a n+1﹣1）]，可得=，即b n+1﹣b n=．利用等差数列的通项公式即可得出．（2）=（n+2）•3n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵（a n+1﹣1）（a n﹣1）=3（a n﹣a n+1）=3[（a n﹣1）﹣（a n+1﹣1）]，∴=，即b n+1﹣b n=．∴数列{b n}是等差数列，首项为1，公差为．∴b n=1+（n﹣1）=．（2）=（n+2）•3n﹣1．∴数列{b n•3n}的前n项和S n=3+4×3+5×32+…+（n+2）•3n﹣1．∴3S n=3×3+4×32+…+（n+1）×3n﹣1+（n+2）•3n，∴﹣2S n=3+3+32+…+3n﹣1﹣+（n+2）•3n=2+﹣（n+2）•3n=2+，∴S n=．【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．18．某电子广告牌连续播出四个广告，假设每个广告所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计，以往播出100次所需的时间（t）的情况如下：每次随机播出，若将频率视为概率．（Ⅰ）求恰好在第6分钟后开始播出第3号广告的概率；（Ⅱ）用X表示至第4分钟末已完整播出广告的次数，求x的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）恰好在第6分钟后开始播出第3号广告包含四种情况：①1号广告连播3次，然后播第3号广告；②2号广告连播2次，然后播第3号广告；③1号广告和3号广告播完后，播第3号广告；④4号广告播完后，播第3号广告．由此能求出恰好在第6分钟后开始播出第3号广告的概率．（II）由已知得X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示“播1号广告”，事件B表示“播2号广告”，事件C表示“播3号广告”，事件D表示“播4号广告”，由条件知P（A）==，P（B）=，P（C）==，P（B）==，恰好在第6分钟后开始播出第3号广告包含四种情况：①1号广告连播3次，然后播第3号广告；②2号广告连播2次，然后播第3号广告；③1号广告和3号广告播完后，播第3号广告；④4号广告播完后，播第3号广告，∴恰好在第6分钟后开始播出第3号广告的概率：p=×+++=．（II）由已知得X的可能取值为0，1，2，P（X=0）=，P（X=1）=++++=，P（X=2）==，EX==0.94．【点评】本题考查概率的求法，考查离散随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4．（1）若PB中点为E．求证：AE∥平面PCD；（2）若∠PAB=60°，求直线BD与平面PCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）取PC中点F，并连接DF，FE，根据已知条件容易说明四边形ADFE为平行四边形，从而有AE∥DF，根据线面平行的判定定理即得到AE∥平面PCD；（2）设B到平面PCD的距离为h，从而直线BD与平面PCD所成角的正弦值便可表示为，BD根据已知条件容易求出，而求h可通过V P﹣BCD=V B﹣PCD求出：取AB中点O，连接PO，可以说明PO⊥平面ABCD，而根据已知条件能够求出S△BCD，S△PCD，从而求出h，从而求得答案．【解答】解：（1）证明：如图，取PC的中点F，连结DF，EF；∵EF∥AD，且AD=EF，所以ADFE为平行四边形；∴AE∥DF，且AE⊄平面PCD，DF⊂平面PCD；∴AE∥平面PCD；（2）∵∠PAB=60°，PA=AB；∴△PAB为等边三角形，取AB中点O，连接PO；则PO⊥AB；又侧面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB；∴PO⊥平面ABCD；根据已知条件可求得PO=，S△BCD=4，PD=CD=，PC=2，；设点B到平面PCD的距离为h；∴，；∵V P﹣BCD=V B﹣PCD；∴；∴直线BD与平面PCD所成角θ的正弦值．【点评】考查中位线的性质，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，以及直角三角形边的关系，面面垂直的性质定理，棱锥的体积公式，线面角的定义．20．定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'，易知a=2，b=m，n=，根据椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，可得关于a，b，m，n的方程，解出即可；（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：．与椭圆C2的方程联立消掉x得y的二次方程，则△＞0，由弦长公式可表示出|MN|，由点到直线的距离公式可表示出△F2MN的高h，则△F2MN 的面积S=，变形后运用基本不等式即可求得S的最大值；【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'．由已知a=2，b=m，．∵椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，即，∴，即∴，即bm=b2=an=1，∴b=m=1，∴椭圆C1的方程是，椭圆C2的方程是；（Ⅱ）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：．联立：，得，即， ∴△=192m 2﹣44（1+4m 2）=16m 2﹣44＞0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则，，∴，△F 2MN 的高即为点F 2到直线的距离h==，∴△F 2MN 的面积，∵，等号成立当且仅当，即时，∴，即△F 2MN 的面积的最大值为．【点评】本题考查椭圆方程及其性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式求函数的最值，考查学生的运算能力、分析解决问题的能力．21．已知函数f （x ）=alnx+x 2﹣1（1）求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（2）若关于x 的不等式f （x ）≥b（x ﹣1）在[，+∞）上恒成立，其中a ，b 为实数，求a ，b 所满足的关系式及a 的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）求出原函数的导函数，得f′（1），进一步求得f （1）=0，然后由直线方程的点斜式得答案；（2）构造函数g （x ）=f （x ）﹣b （x ﹣1），把不等式f （x ）≥b（x ﹣1）在[，+∞）上恒成立转化为g （x ）≥0在[，+∞）上恒成立，根据g （1）=0，可得g （x ）≥g（1）恒成立，得到g（x）在x=1处取得极小值，从而有g′（1）=a+2﹣b=0，得到a，b的关系，得到g′（x）=．然后对a分类讨论，进一步转化为关于a的不等式求得a的取值范围．【解答】解：（1）求导f′（x）=，∴f′（1）=a+2，又f（1）=0，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（a+2）（x﹣1），即（a+2）x﹣y﹣a﹣2=0；（2）设g（x）=f（x）﹣b（x﹣1），即g（x）≥0在[，+∞）上恒成立，又g（1）=0，有g（x）≥g（1）恒成立，即g（x）在x=1处取得极小值，得g′（1）=a+2﹣b=0，∴b=a+2，从而g′（x）=．（ⅰ）当时，g（x）在上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（1），即；（ⅱ）当时，g（x）在上单调递增，在单调递减，在（1，+∞）上单调递增，则只需，解得：；（ⅲ）当时，g（x）在上单调递增，单调递减，在（1，+∞）上单调递增，由知不符合题意．综上，a的取值范围是．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，着重考查了分类讨论的数学思想方法，考查数学转化思想方法，是压轴题．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB为⊙O的直径，CE⊥AB于点H，与⊙O交于点C、D，且AB=10，CD=8，DE=4，EF与⊙O切于点F，BF与HD交于点G．（Ⅰ）证明：EF=EG；（Ⅱ）求GH的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）证明：连接 AF、OE、OF，则A，F，G，H四点共圆，证明∠FGE=∠BAF=∠EFG，即可证明EF=EG；（Ⅱ）求出EG，EH，即可求GH的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接 AF、OE、OF，则A，F，G，H四点共圆由EF是切线知OF⊥EF，∠BAF=∠EFG∵CE⊥AB于点H，AF⊥BF，∴∠FGE=∠BAF∴∠FGE=∠EFG，∴EF=EG…（Ⅱ）解：∵OE2=OH2+HE2=OF2+EF2，∴EF2=OH2+HE2﹣OF2=48，∴EF=EG=4，∴GH=EH﹣EG=8﹣4…【点评】本题考查圆的内接四边形的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l的普通方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；（2）设点M（x0，y0）以及平行于直线l1的直线参数方程，直线l1与曲线C联立方程组，通过|MA|•|MB|=，即可求点M轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围，【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；曲线C的参数方程为．消去参数θ，可得曲线…（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为由直线l1与曲线C相交可得：，即：，x2+2y2=6表示一椭圆…取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0由△≥0得故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧…【点评】本题以直线与椭圆的参数方程为载体，考查直线与椭圆的综合应用，轨迹方程的求法，注意轨迹的范围的求解，是易错点．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…【点评】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．。

河南省开封市2021届高三上学期定位考试(10月) 数学 (理) Word版含答案

河南省开封市2021届高三上学期定位考试(10月) 数学 (理) Word版含答案

2021届高三数学练习（理科）一、选择题1. 已知集合{1,0,1,2}M =-，{|21,}N y y x x M ==+∈，则M N = AA. {1,1}-B. }2,1{C. {1,1,3,5}-D. {1,0,1,2}-2. 复数z 满足（1-i ）z=m+i （m ∈R, i 为虚数单位），在复平面上z 对应的点不行能在 DA. 第一象限B. 其次象限C. 第三象限D. 第四象限 3. 已知命题p ：0x ，总有11x x e ，则p 为 BA.x ，使得11x x e B.x ，使得11x x eC. 0x，总有11xx eD. 0x，总有11xx e4. 执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 B A. 4 B. 5 C. 6 D.75. 有5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5从这5张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为（ ）ＣA 31B 32C 107D 1036. 函数y=4cosx-e |x|（e 为自然对数的底数）的图象可能是 AA B C D7. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 BA ．73B ．83π-C ．83D ．73π-8.已知实数,x y 满足401010x y y x +-≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，则2y z x =的最大值是 B A ．13 B ．9 C ．2 D ．119. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上单调，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为 DA ．2πB ．2πC ．4πD ．π10. 如图,已知一个八面体的各条棱长均为1, 四边形ABCD 为正方形，则下列命题中的真命题是 CA.不平行的两条棱所在的直线所成的角是60o 或90o；B. 四边形AECF 是正方形；C. 点A 到平面BCE 的距离为64;D. 该八面体的顶点不会在同一个球面上.11．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，M ，N 两点在双曲线C 上，且MN ∥F 1F 2，12||4||F F MN =，线段F 1N 交双曲线C 于点Q ，且1||||F Q QN =，则双曲线C 的离心率为 D A ．2 B ．3C ．5D ．612．已知变量a,b 满足b=－12a 2+3lna (a>0),若点Q(m,n)在直线y=2x+12上, 则(a-m)2+(b-n)2的最小值为 CA. 9B.C.D.3二、填空题13. 已知向量a =（1，3），b =（3, m ），且b 在a 上的投影为3，则向量a 与b 夹角为 30014. 设函数2log ,0()(),0x x f x g x x >⎧=⎨<⎩，且f （x ）为奇函数，则g （14-）= 2 15. 在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，则c = ．516．过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-，则双曲线的离心率是5三、解答题17. (本小题满分12分)已知数列{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1=1，b 2=13，a n b n+1+b n+1=nb n ．（Ⅰ）分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； （Ⅱ）令c n = a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ． 解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n ．当n=1时，a 1b 2+b 2=b 1． ∵b 1=1，b 2=13， ∴a 1=2，又∵{a n }是公差为3的等差数列， ∴a n =3n-1，…………………………3分 ∴（3n-1）b n+1+b n+1=nb n ． 即3b n+1=b n ．即数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列， ∴b n =113n -，…………………………6分（Ⅱ）c n = a n b n =（3n-1）113n -∴T n =2×013+5×13+8×213+……+（3n-1）113n - ① 13T n = 2×13+5×213+8×313+……+（3n-1）13n ② …………………………9分 ① - ②：23T n =2 +3×13+3×213+……+3×113n - -（3n-1）13n=2 + 3×1133113n---（3n-1）13n ∴T n = 214- 14（6n+7）31-n …………………………12分18. (本小题满分12分)随机询问某高校40名不同性别的高校生在购买食物时是否读养分说明，得到如下列联表： 性别与读养分说明列联表（Ⅰ）依据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读养分说明之间有关系？（Ⅱ）从被询问的16名不读养分说明的高校生中，随机抽取2名同学，求抽到男生人数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．（注：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=为样本容量．）（Ⅰ）由表中数据，得635.667.620201624)481216(402>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k ……4分（列式2分，计算1分，比较1分），因此，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为性别与读养分说明有关……5分 （Ⅱ）ξ的取值为0，1，2……6分2011)0(216212===C C P ξ，52)1(21614112=⨯==C CC P ξ，201)2(21624===C C P ξ ξ的分布列为……10分ξ的均值为21201252120110=⨯+⨯+⨯=ξE ……12分．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，面11ABB A 为矩形，11,2,AB BC AA D ===为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点1,O BC AB ⊥. （Ⅰ）证明：1CD AB ⊥； （Ⅱ）若33OC =，求BC 与平面ACD 所成角的正弦值.（Ⅰ）证明：由已知得，12AB BB AD AB==, ∴Rt △BAD ∽Rt △ABB 1 ∴∠BDA=∠B 1AB, ∴∠ABD+∠B 1AB=∠ABD+∠BDA=90º∴在△AOB 中，∠AOB=180º -(∠ABO+∠OAB ) =90º,即BD ⊥AB 1 …………………………4分 另BC ⊥AB 1，BD ∩BC=B ，∴AB 1⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD, ∴CD ⊥AB 1 …………………………6分 (Ⅱ) 在Rt △ABD 中，AB=1，AD=22 ∴AO=33在Rt △AOB 中, 得BO=63, 222BO CO BC ∴+= 即BO CO ⊥ CO AOB ∴⊥平面 ----8分建立如图坐标系，设BC 与平面ACD 所成的角为θ3633(,0,0),(0,,0),(0,0,),(0,,0),3333A B C D - 设平面ADC 的法向量为n.解得n=()1,1,1. 63210,,,sin .333n BC BC n BC θ⎛⎫⋅+=∴== ⎪⎝⎭即BC 与平面ACD 所成角的正弦值为2+1.3 12分20. （本题满分12分）如图，O 为坐标原点，点F 为抛物线C 1：22(0)x py p =>的焦点，且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2：221x y +=相切于点Q ．（Ⅰ）当直线PQ 的方程为20x y --=时，求 抛物线C 1的方程；（Ⅱ）当正数P 变化时，记S 1 ，S 2分别为△FPQ ，△FOQ 的面积，求12S S 的最小值．解：（Ⅰ）设点P （x 0，202x p ），由x 2=2py （p ＞0）得，y=22x p ，求导y′=x p ， 由于直线PQ 的斜率为1，所以0x p =1且x 0 -202x p -√2=0，解得p=22所以抛物线C 1 的方程为x 2=42．…………………………4分（Ⅱ）由于点P 处的切线方程为：y-202x p =0x p （x-x 0），即2x 0x-2py-x 02=0，∴ OQ 的方程为y=-p x x依据切线与圆切，得d=r ，即20220144x p=+，化简得x 04=4x 02+4p 2，由方程组2000220x x py x p y x x ⎧--=⎪⎨=-⎪⎩，解得Q （02x ，2042x p -），…………………………7分所以|PQ|=√1+k 2|x P -x Q |=222200020221||||o p x x x x p x p x +-+-=点F （0，2p ）到切线PQ 的距离是d=22220220||1244o p x x p x p --=++， 所以S 1=222000112||||22p x x PQ d p x +-=2212o x p +=2220002||4x p x p x +-，S 2=01||||22||Q p OF x x =， …………………………9分而由x 04=4x 02+4p 2知，4p 2=x 04-4x 02＞0，得|x 0|＞2，所以22222210000022022||()(2)||42S x p x x x p x S p x p p +-+-== =242222000000422000(44)(2)(2)2(4)2(4)x x x x x x x x x +---=-- =20204424x x -+-+3≥22+3，当且仅当20204424x x -=-时取“=”号， 即x 02=4+22，此时，p=222+．所以12S S 的最小值为22+3．…………………………12分21. (本小题满分12分)设函数f （x ）=（x ﹣a ）2lnx ，a ∈R ．（I ）若x=e 是y=f （x ）的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数y=f （x ）﹣4e 2只有一个零点，求实数a 的取值范围解：（Ⅰ）函数f （x ）=（x ﹣a ）2 lnx ，a ∈R ．∴ f′（x ）=2（x ﹣a ）lnx+2()x a x -=（x ﹣a ）（2lnx+1﹣a x ），…………………………2分由x=e 是f （x ）的极值点，所以f′（e ）=0 解得a=e 或a=3e ．经检验，a=e 或a=3e 符合题意，所以a=e 或a=3e ；…………………………4分 （Ⅱ）由已知得方程f （x ）=4e 2只有一个根，即曲线f （x ）与直线y=4e 2只有一个公共点．易知f （x ）∈（﹣∞，+∞），设()2ln 1ah x x x =+-，①当a≤0时，易知函数f （x ）在（0，+∞）上是单调递增的，满足题意；…………………6分 ②当0＜a≤1时，易知h （x ）是单调递增的，又h （a ）=2lna ＜0，h （1）=1﹣a≥0， ∴∃x 0∈（a ，1），h （x 0）=0，当0＜x ＜a 时，f′（x ）=（x ﹣a ）（2lnx+1﹣ax ）>o∴f （x ）在（0，a ）上是单调递增，同理f （x ）在（a ，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增，又极大值f （a ）=0，所以曲线f （x ） 满足题意；…………………………8分 ③当a ＞1时，h （1）=1﹣a ＜0，h （a ）=2lna ＞0， ∴∃x 0∈（1，a ），h （x 0）=0，即，得a ﹣x 0=2x 0lnx 0，可得f （x ）在（0，x 0）上单调增，在（x 0，a ）上单调递减，在（a ，+∞）上单调递增…………10分又f （a ）=0，若要函数f （x ）满足题意，只需f （x 0）<4e 2，即（x 0-a ）2lnx 0<4e 2 ∴x 02ln 3x 0<e 2, 由x 0>1，知g （x ）=x 2ln 3x>0,且在[1, ＋∞）上单调递增， 由g （e ）=e 2，得1＜x 0＜e ，由于a=x 0+2x 0lnx 0在[1，+∞）上单调递增， 所以1＜a ＜3e ；综上知，a∈（－∞，3e ）…………………………12分选考题22．（本小题满分10分）选修4 - 1：几何证明选讲如图，EF 是⊙O 的直径，AB ∥EF ，点M 在EF 上，AM 、BM 分别交⊙O 于点C 、D 。

河南省开封市高三数学上学期定位模拟考试试题 理(含解析)

河南省开封市高三数学上学期定位模拟考试试题 理(含解析)

2015届河南省开封市高三上学期定位模拟考试数学试题（理科）【试卷综析】基本符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，体现了稳中求进的精神。

考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，有相当一部分的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。

这套试题以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。

试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1．已知集合A=(){}{}2|lg 1,|230x y x B y yy =-=--≤，则A B =IA.{}|13x x << B. {}|13y y ≤≤ C. {}|13x x <≤ D. {}|13x x ≤<【知识点】函数的定义域；一元二次不等式的解法；集合运算. A1 B1 E3【答案解析】C 解析：A={x|x>1},B={y|-13y ≤≤},所以{}|13A B x x =<≤I ，故选C.【思路点拨】化简集合A 、B ，求得这两个数集的交集.【题文】2．已知i 是虚数单位，m.n R ∈,则“m=n=1”是“()22m ni i-=-”的A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【知识点】 充分必要条件.A2【答案解析】 A 解析：解：因为m=n=1时()212i i-=-成立，而()22222220,11,1m ni m m ni n i m n m n m n m n -=-⋅+∴-=⋅=∴====-，所以正确选项为A.【思路点拨】由题意可解复数成立的条件，再根据充分必要关系确定命题的关系.【题文】3．已知双曲线224312x y -=，则双曲线的离心率为 A. 73 B. 213 C. 77 D. 72【知识点】双曲线的性质. H6【答案解析】B 解析：已知双曲线为22134x y -=，其中a=3,347c =+=,所以双曲线的离心率为213，故选B.【思路点拨】把已知方程化成标准方程，求得a,c ，从而利用公式ce a =求出离心率e.【题文】4．若()2,2,a b a b a ==-⊥r rr r r，则,a br r的夹角是A.512πB. 3πC. 6πD. 4π【知识点】平面向量单元综合. F4【答案解析】D 解析：()(),0a b a a b a-⊥∴-⋅=r r r r r rQ，即()2222cos,0a ab a b-⋅=-=r r r r r，2cos,2a b∴=r r，∴,a br r的夹角是4π.【思路点拨】由向量垂直则它们的数量积为0，得关于向量,a br r夹角的方程.【题文】5．如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框图，P表示估计的结果，则图中空白框内应填入P=A. 1000MB.1000M C.41000MD.10004M【知识点】算法与程序框图. L1【答案解析】C 解析：由于圆221x y+=在以O（0,0），A（0,1）B(1,1),C(1,0)为顶点的正方形中的面积为4π，所以441110001000M Mππ=⇒=⨯,故选C.【思路点拨】由圆在单位正方形中的面积与单位正方形的面积比，等于落在圆中的点个数M与总的点个数1000的比得结论.【题文】6．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是A. 3108cmB.1003cm C.92 3cm D.84 3cm【知识点】几何体的三视图. G2【答案解析】B 解析：由三视图可知此几何体是一个直四棱柱截去一个角后所得几何体，如下图,此几何体的体积为1163644310032⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，故选B.【思路点拨】由三视图得此几何体的结构，从而求得此几何体的体积.【题文】7．设变量x、y满足约束条件122x yx yy-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数22z x y=+的取值范围为 A.[]2,8B.[]4,13C.[]2,13D.5,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦【知识点】线性规划的应用. E5【答案解析】C 解析：画出可行域如图ABC∆内部（包括边界），目标函数为可行域中点到原点距离的平方，由图可知z 的最小值是原点到直线x+y=2距离的平方，由点到直线距离公式得值这个值为2；z 的最大值是222||3213OA =+=.【思路点拨】画出可行域，由图可知目标函数取得最值的最优解.【题文】8.已知函数()()()cos sin 2,0f x x x ϕϕπ=-+≤≤有一个零点13π，则ϕ的值是A ．6πB. 3πC. 4πD. 2π【知识点】 三角函数.C3【答案解析】A 解析：解：当3x π=时，代入各项的值可知，只有A 正确.【思路点拨】特殊值法可直接求出结果.【题文】9.将边长为2的等边PAB V 沿x 轴正方向滚动，某时刻P 与坐标原点重合，设顶点(),P x y 的轨迹方程是()y f x =，关于函数()y f x =的说法①()f x 的值域为[]0,2：②()f x 是周期函数：③()()()4.12013f f f π<<；④()692f x dx π=⎰其中正确的个数是A.0B. 1C. 2D. 3 【知识点】函数的性质. B3,B4【答案解析】C 解析：解：根据题意画出顶点P （x ，y ）的轨迹，如图所示．轨迹是一段一段的圆弧组成的图形．从图形中可以看出，关于函数y=f （x ）的有下列说法：①f （x ）的值域为[0，2]正确； ②f （x ）是周期函数，周期为6，②正确；③由于f （-1.9）=f （4.1），f （2013）=f （3）； 而f （3）＜f （π）＜f （4.1），∴f （-1.9）＞f （π）＞f （2013）；故③不正确；④()6f x dx ⎰表示函数f （x ）在区间[0，6]上与x 轴所围成的图形的面积，其大小为一个正三角形和二段扇形的面积和，其值为2223162223343ππ⨯⨯⨯+⨯=+故④错误．故选C ．【思路点拨】先根据题意画出顶点P （x ，y ）的轨迹，如图所示．轨迹是一段一段的圆弧组成的图形．从图形中可以看出，关于函数y=f （x ）的说法的正确性【题文】10．三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为94，高为3，底面是正三角形，若P 是111A B C ∆中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小是A. 12πB. 3πC. 4πD. 6π【知识点】空间几何体的结构；线面角的求法. G1 G11【答案解析】B 解析：设此正三棱柱的底面边长a ，由柱体体积公式得3a =，从而得底面中线长的三分之二为1，即11A P =,若PA 与平面ABC 所成角为θ，则113tan 31AA A P θ===,所以3πθ=，故选B. 【思路点拨】设PA 与平面ABC 所成角为θ，则11tan AA A P θ=，所以只需求出1A P 的长，而1A P 的长是正三棱柱的底面中线长的三分之二，所以需求正三棱柱的底面边长a ，由柱体体积公式得3a =，由此可求得PA 与平面ABC 所成角的大小.【题文】11.已知函数()323f x ax bx x=+-在1x =±处取得极值，若过点A()0,16作曲线()y f x =的切线，则切线方程是A. 9160x y +-=B. 9160x y -+=C. 9160x y +-=D. 9160x y -+= 【知识点】 导数;直线方程.B11,H1 【答案解析】C 解析：解：（I ）()f x '=3ax2+2ax-3，∵函数f （x ）在x=±1处取得极值，()()110f f ''=-=，即32303230a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得a=1，b=0．曲线f （x ）=x3-3x ，点（0，-16）不在曲线上．设切点为P （s ，t ），则t=s3-3s ．f′（s ）=3（s2-1），因此切线方程为：y-t=3（s2-1）（x-s ）．∵点（0，-16）在切线上，∴-16-（s3-3s ）=3（s2-1）（0-s ）， 化为s3=8，解得s=2，∴切点为P （2，2），故曲线方程为：9x-y-16=0．【思路点拨】考查了利用导数研究函数的单调性极值、导数的几何意义、切线的方程，利用推理能力和计算.【题文】12．设x R ∈，若函数()f x 为单调递增函数，且对任意实数x ，都有()1xf f x e e ⎡⎤-=+⎣⎦（e 是自然对数的底数），则()ln 2f =A.1B.e+1C.3D.e+3【知识点】函数的单调性； B3【答案解析】C 解析：因为x R ∈时，函数()f x 为单调递增函数，所以定义域中的值与值域中的值是一一对应的，又对任意实数x ，都有()1x f f x e e ⎡⎤-=+⎣⎦（e 是自然对数的底数），则()xf x e -是常数，设()()x x f x e m f x e m-=⇒=+，所以()1m f m e m e =+=+，因为函数x y e x =+是R 上增函数，所以m=1，从而()1,x f x e =+所以(ln 2)3f =，故选C. 【思路点拨】根据函数()f x 为R 上单调递增函数，且对任意实数x ，都有()1xf f x e e ⎡⎤-=+⎣⎦（e 是自然对数的底数），则()x f x e -是常数，设()()x x f x e m f x e m-=⇒=+，所以()1m f m e m e =+=+，因为函数xy e x =+是R 上增函数，所以m=1，从而()1,xf x e =+所以(ln 2)3f =. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.【题文】13．已知函数()2log ,(0)(x)3,0xx x f x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，则()0f f =⎡⎤⎣⎦ . 【知识点】分段函数；函数值的意义. B1 【答案解析】0 解析：因为()0031,f ==所以()0f f =⎡⎤⎣⎦()21log 10f ==.【思路点拨】根据分段函数的意义，自变量取哪个区间上的值就用哪个区间上的解析式求函数值.【题文】14.在二项式3nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为M ，各项二项式系数之和为N 且64M N +=，则展开式中含2x 项的系数为【知识点】 二项定理；特定项的系数.J3【答案解析】-90解析：解：∵二项式3nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，令x=1得：各项系数之和M=2n ，又各项二项式系数之和为N ，故N=2n ，又M+N=64，∴2×2n=64，∴n=5．设二项式53x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为Tr+1，则()()15521531r r r r r r T C x --+-+=⋅⋅-⋅令()1522r r --+=得：r=3．∴展开式中含x2项的系数为()335351390C -⋅-⋅=-.【思路点拨】由已知条件可求出n 的值，再利用特定的求法求出二次项的系数. 【题文】15.已知点A()2,0抛物线C ：24x y =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =【知识点】 直线与抛物线.H7【答案解析】C 解析：解：∵抛物线C ：x2=4y 的焦点为F （0，1），点A 坐标为（2，0），∴抛物线的准线方程为l ：y=-1，直线AF 的斜率为011202k -==--过M 作MP ⊥l 于P ，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，∵Rt △MPN 中，tan ∠MNP=-k=1212PM PN ∴=，可得|PN|=2|PM|，得225MN PN PMPM=+=因此可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1:5．故答案为：1:5．【思路点拨】求出抛物线C 的焦点F 的坐标，从而得到AF 的斜率k ．过M 作MP ⊥l 于P ，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt △MPN 中，根据tan ∠MNP ，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|= 5|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．【题文】16．如图，已知ABC ∆中，90ABC ∠=o，延长AC 到D,连接BD,若30CBD ∠=o且AB=CD=1，则AC=【知识点】正弦定理. C8【答案解析】32 解析：设AC=b,则在ABD ∆中，()113sin sin120sin 21b D D b +=⇒=+o ，在BCD ∆中，22111sin sin 30sin 2b b D D ++=⇒=o ，所以()231212b b +=+，整理得：432240b b b +--=，解得b=-2（舍去），或32b =.【思路点拨】在ABD ∆和BCD ∆中，用正弦定理得关于边AC 的方程，解此方程得AC 长. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤 【题文】17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()2*111,+,n n n a n a a a n n n N +=-=+∈证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；设23nn n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求正项数列{}n b 的前n 项和n S . 【知识点】等差数列的定义；数列求和. D2 D4【答案解析】(1)证明：略；（2）()1213344n n n S +-=+解析：(1)由已知得111n n n a a a n nn +⎧⎫-=⇒⎨⎬+⎩⎭是等差数列，------6分 （2）由（1）得：2,3nn n a n b n ==⋅从而，-------8分231323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅L ，231313233n n S n +=⋅+⋅++⋅L ，错位相减得()1213344n n n S +-=+.-------12分【思路点拨】（1）由等差数列的定义证得结论；（2）由错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n S .【题文】18.根据据《中华人民共和国道路交通安全法 》 规定，车辆驾驶员血液酒精浓度在[20,80)（单位：/100mg ml ）之间 属于“ 酒驾 ” 血液酒精浓度在80/100mg ml （含80）以上时，属于“醉驾”某市交警在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查， 经过一晚的抽查 ，共查出酒后驾车者 60名 ，图甲是用酒精测试仪对这60名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图（I ）若血液酒精浓度在[50,60)和[60,70)的分别有 9人和6 人， 请补全频率分布直方图 ，图乙的程序框图是对这名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计 ，求出图乙输出的S 的值，并说明S 的统计意义：（图乙中数据i m 与i f 分别表示图甲中各组的组中点值及频率）;(II)本次行动中 ,吴、李2人都被酒精测试仪测得酒精浓度属于7090/100mg ml :的范围 ，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准 ，交警大队队长决定在被酒精测试仪测得酒数精浓度属于7090/100mg ml :范围的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，设ξ为吴，李2人被抽中的人数，求ξ的分布列，并求吴、李2人至少1人被抽中的概率. 【知识点】 数据的特征数；分布列与期望.I2,K6【答案解析】(I) [50,60)的频率为90.1560=，则=0.015频率组距[6070)，的频率为60.160=，则=0.01频率组距，S统计意义：酒精浓度的平均数为250.25+350.15+450.2+550.15+650.1+750.1+850.05=47⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯(II)()()51012P A Pξ=-==解析：解：(I)[50,60)的频率为90.1560=，则=0.015频率组距[6070)，的频率为60.160=，则=0.01频率组距，S统计意义：酒精浓度的平均数为250.25+350.15+450.2+550.15+650.1+750.1+850.05=47⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（II）7090:共有600.15=9⨯人，ξ的可能值为0，1，2()()()2112787222299921141P0,1,2363636C C C CP PC C Cξξξ=========所以，ξ的分布列为：记“吴、李2人至少有1人被抽中”为事件A()()51012P A Pξ=-==【思路点拨】根据已知条件求出各特征数，再求出随机变量的各取值情况并列出分布列. 【题文】19.已知四棱锥P ABCD-，底面ABCD为梯形，,,1,ABCD PA=AD=DC=2ABAB CD AD CD AB PA⊥=⊥P平面，，点E是PC中点.(I)求证：BE DC⊥(II)若F为棱PC上一点，满足BF AC⊥,求二面角F—AB—P的余弦值.【知识点】根据已知条件建立空间坐标系，利用向量求直线的垂直关系.G9,G10【答案解析】(I)略 (II) 31010解析：解：(I)取CD 中点M ，连MB ，证得BEM BE CD CD ⊥⇒⊥平面(II)以A 为原点建立坐标系O xyz -,AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，则()()()()()()1,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2,1,2,0,2,2,2B C D P BC CP ==--u u u v u u u v()()2,2,0,1,0,0AC AB ==u u u v u u u v，设()()01,12,22,2CF CP BF BC CF BC CP λλλλλλ=≤≤=+=+=--u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v由0BF AC ⋅=u u u v u u u v 得34λ=，则113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v ，设()0,3,1n =-v 为平面FAB 的一个法向量，平面ABP 的一个法向量()0,1,0m =u v 310cos 10m n ⋅=-u v v ，由已知得二面角F —AB —P 余弦值31010.【思路点拨】根据题意可以直接证明线段垂直，再建立空间坐标系利用向量求出二面角的余弦值.【题文】20.已知双曲线22162x y -=上任一点M ()00,x y ，设M 关于x 轴对称点为1M ，双曲线的左右顶点分别为12,A A .(I)求直线1A M 与直线11A M 的交点P 的轨迹C 的方程.(II)设点()2,0F -，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作直线l TF ⊥交()I 中轨迹C 于P 、Q 两点，①证明：OT 经过线段PQ 中点（O 为坐标原点）：②当TFPQ最小时，求点T 的坐标.【知识点】 轨迹方程；直线与双曲线.H8,H9【答案解析】(I) 22162x y +=(II) ()()3,1;3,1T T ---解析：解(I)()()()121006,0,6,0,,A A M x y -,直线1A M方程是()0066y y x x =++直线21A M方程()066y y x x -=--两式子相乘得()22202066y y x x -=--，又2200162x y -=得22162x y +=为轨迹方程.(II)()()2,0,3,F T m --,直线PQ 方程：2x my =-，设()()1122,y ,Q ,y P x x 联立()()22222223420,16830162x my m y my m m x y =-⎧⎪⇒+--=∆=++>⎨+=⎪⎩()()()121212122224212,,x 4333m y y y y x m y y m m m --+==+=+-=+++PQ 的中点M 2262,33m m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，3OT m k =-，所以M 在OT 上，所以OT 平分PQ; ()()222121222411,143m TF m PQ m y y y y m +=+=++-=+22143142413TF m PQ m ⎛⎫=+++≥ ⎪+⎝⎭,仅当22411m m +=+，1m =±等号成立，此时TFPQ最小()()3,1;3,1T T ---【思路点拨】由已知条件可利用交轨法求出轨迹方程.再联立直线与椭圆方程，最后求出比值.【题文】21.已知常数0b >，函数()axf x x a =+图像过()2,1点，函数()()ln 1g x bx =+设()()()h x g x f x =-(I)讨论()h x 在区间()0,+∞上的单调性.(II)若()h x 存在两个极值点12,x x ，求b 的取值范围，使()()120h x h x +>【知识点】 导数；导数证明不等式.B11,B12 【答案解析】(I)当()()10,b h x ≥+∞时在增，当()()1010,2b b h x h x b ⎛⎫-'<<∈ ⎪ ⎪⎝⎭时当x 时<0,递减，()()12,b h x h x b ⎛⎫-'∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭当x 时>0,递增.(II) 1,12b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭解析：解：由已知2a =，()()()()()()()22222ln 1,h 212x x x bh x g x f x bx x x bx x +-'=-=+-=-+++()()()224121bx b x bx +-=++当1b ≥时()0h x '>此时，()h x 在()0,+∞增当01b <<得()12110,22b bh x x x b b ⎛⎫--'===- ⎪ ⎪⎝⎭舍去当()10,x x ∈时，()0h x '<，当()1,x x ∈+∞时，()0h x '>，故()h x 在()10,x x ∈递减，在()1,x x ∈+∞递增.综上：当()()10,b h x ≥+∞时在增，当()()1010,2b b h x h x b ⎛⎫-'<<∈ ⎪ ⎪⎝⎭时当x 时<0,递减，()()12,b h x h x b ⎛⎫-'∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭当x 时>0,递增.(II)由()()()()224121bx b h x x bx +-'=++知1b ≥时，()0h x '≥此时不存在极值点，因而要使得()h x 有两个极值点必有01b <<，又()h x 极值点只可能是12112,2b bx x b b --==-，且由()h x 有意义11111,22;222b b x x b b b b b -->-≠-⇒->--≠-⇒≠此时，()h x 极小值点和极大值点只能是12112,2b bx x b b--==-而()()()()()212121212222ln 1ln 1ln 2122221x x h x h x bx bx b x x b +=+-++-=-+-++-设21b x -=当()()()212220,10;2ln 2;02b x x x x x x x ϕϕ'<<-<<=-+-=-<()x ϕ在()1,0-递减，()()140x ϕϕ<-=-<，不满足题意()()120h x h x +<.当()()()2212221,01ln 2,0,2b x x x x x x x x ϕϕϕ'<<<<=+-=-<记在()0,1递减，()()10x ϕϕ>=，满足题意，()()120h x h x +>，综上：1,12b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 【思路点拨】利用导数判定函数单调性；再构造函数证明不等式.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.【题文】22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 为O e 的直径，点D 是O e 上的一点，点C 是»AD 的中点，弦CE AB ⊥于F ，GD是O e 的切线，且与EC 的延长线相交于点G ，连接AD ，交CE 于点P. (I)证明：ACD APC V :V (II)若2 1.1,GD GC =+=求PE 的长.【知识点】相似三角形；圆.N1,H3【答案解析】(I)略（II ）22PE GE GP ∴=-=+ 解析：解：(I)证明：AB Q 为O e 的直径，CE AB⊥»»AC AE∴=Q点C 是»AD的中点，»»¼,,AC CD AE ACE ADC CAP ∴==∴∠=∠∴∠为公共角，ACD APC V :V(II)连接DE，GDQ 是Oe 的切线，,GDC CED ∴∠=∠Q»»¼,AC CD AE ∴==GED ADE CDA GPD GDP∴∠=∠=∠∴∠=∠221,322GP GD GD GC GE GE ∴==+=⋅∴=+Q 22PE GE GP ∴=-=+【思路点拨】根据已知可求证明两三角形相似，再利用切线性质求出PE.【题文】23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，直线l 经过点()1,0P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为26cos 50ρρθ-+=. 若直线l 与曲线C 有公共点，求a 的取值范围： 设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.【知识点】直线与圆.H4【答案解析】(I)5066πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，， (II) 322,322⎡⎤-+⎣⎦解析：解：(I)将曲线C 的极坐标方程26cos 50ρρθ-+=化为直角坐标方程为22650x y x +-+=直线l 的参数方程为()1cos sin x t t y t θθ=-+⎧⎨=⎩为参数将1cos sin x t y t θθ=-+⎧⎨=⎩代入22650x y x +-+=整理得28cos 120t t θ-+=Q直线l与曲线C有公共点，264cos 480θ∴∆=-≥33cos cos [0,)22θθθπθ∴≥≤-∴Q 或的取值范围是5066πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，(II)曲线C 的方程22650x y x +-+=可化为()2234x y -+=其参数方程为()()32cos M ,2sin x x y y θθθ=+⎧⎨=⎩Q 为参数为曲线上任意一点，32cos 2sin 32sin 4x y x yπθθθ⎛⎫∴+=++=++∴+ ⎪⎝⎭的取值范围是322,322⎡⎤-+⎣⎦【思路点拨】根据直线与圆的位置关系可直接求出结果. 【题文】24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知a,b 都是正实数，且1a b +=(I)求证：114a b +≥; (II)求2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值. 【知识点】不等式，最值.E1,B3【答案解析】(I)略(II) 2211252a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+++≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解析：解：(I)证明：112224a b a b b a b aa b a b a b a b +++=+=++≥+⋅=(II) 22111124a b a b a b a b ⎛⎫+++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++≥⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22211112ab a b a b ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又2a b ab +≥Q 得104ab <≤即11415ab ab ≥∴+≥2211252a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+++≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当12a b ==上式等号成立.【思路点拨】根据基本不等式可直接证明，再利用不等式证明最值.。

河南省开封市高三上学期数学10月月考试卷

河南省开封市高三上学期数学10月月考试卷

河南省开封市高三上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·彭山月考) 已知集合 ,若 ,则有（）A .B .C .D .2. （2分）下列函数中，定义域为的是（）A .B .C .D .3. （2分）(2016·潮州模拟) 对于函数f（x）=x3cos3（x+ ），下列说法正确的是（）A . f（x）是奇函数且在（﹣，）上递增B . f（x）是奇函数且在（﹣，）上递减C . f（x）是偶函数且在（0，）上递增D . f（x）是偶函数且在（0，）上递减4. （2分）设为正实数，则“”是“”成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）下列命题的否定不正确的是（）A . 存在偶数 2n 是7的倍数；B . 在平面内存在一个三角形的内角和大于；C . 所有一元二次方程在区间［－1，1］内都有近似解；D . 存在两个向量的和的模小于这两个向量的模。

6. （2分）已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）的解析式是（）A . f（x）=﹣x（x+2）B . f（x）=x（x﹣2）C . f（x）=﹣x（x﹣2）D . f（x）=x（x+2）7. （2分） (2019高一上·会宁期中) 已知是上的偶函数，且在是减函数，若，则不等式的解集是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高一上·三明期中) 当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（）A .B .C .D .9. （2分）如果｜x｜≤，那么函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值是（）A .B .C .D . －110. （2分） (2019高三上·内蒙古月考) 函数的图像是（）A .B .C .D .11. （2分）方程 =3sinx的根的个数是（）A . 3B . 4C . 5D . 612. （2分）是虚数单位，复数的共轭复数是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·绵阳期中) 设，若复数 ( 是虚数单位)的实部为，则________．14. （1分） (2019高一上·温州期中) 设函数，则 =________.15. （1分） (2018高一上·台州期末) 函数的定义域是________.16. （1分）设是方程的解，且，，则 ________.三、解答题 (共6题；共65分)17. （5分）写出命题“已知a ，b∈R ，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．18. （10分） (2019高一上·宾县月考) 函数是定义在上的偶函数，，当时，.（1）求函数的解析式；（2）解不等式；19. （10分） (2019高三上·湖北月考) 已知函数（且）的图象经过点.（1）求的解析式；（2）求的值域.20. （10分） (2016高一上·湖州期中) 已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）=|t（x+ ）﹣5|，其中常数t＞0．（1）若函数f（x）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，试求实数t的取值范围；（2）当t=1时，方程f（x）=m有四个不相等的实根x1 ， x2 ， x3 ， x4 ．①求四根之积x1x2x3x4的值；②在[1，4]上是否存在实数a，b（a＜b），使得f（x）在[a，b]上单调且取值范围为[ma，mb]？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．21. （15分）设函数f（x）=x+（x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞））的图象为c1 ， c1关于点A（2，1）的对称图象为c2 ， c2对应的函数为g（x）．（1）求函数g（x）的解析式，并确定其定义域；（2）若直线y=b与c2只有一个交点，求b的值，并求出交点坐标．22. （15分）综合题。

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河南省开封市高三数学上学期10月定位考试试题理（含解析）数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x｜｜x－1｜≤1}，则A. M＝NB. N MC. M∩N＝MD. M∪N＝M【答案】C【解析】【分析】先化简集合N,再判断每一个选项得解.【详解】由题得N＝{x｜｜x－1｜≤1}={x|0≤x≤2}，所以M∩N＝M.故答案为：C【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2.若z＝，则｜z｜＝A. B. 1 C. D. 5【答案】B【解析】【分析】先化简复数z,再求|z|.【详解】由题得z＝=.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复数的模.3.若命题p：∈R，x－lnx＞0，则为A. ∈R，x0－lnx0≤0B. ∈R，x0－lnx0＞0C. ∈R，x－lnx≤0D. ∈R，x－lnx＜0【解析】【分析】直接利用全称命题的否定解答.【详解】根据全称命题的否定得为：∈R，x0－lnx0≤0 .故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 全称命题：，全称命题的否定（）：.特称命题,特称命题的否定,所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.4.等比数列的前项和为，若，则公比（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将转化为关于的方程，解方程可得的值．【详解】∵，∴，又，∴．故选A．【点睛】本题考查等比数列的基本运算，等比数列中共有五个量，其中是基本量，这五个量可“知三求二”，求解的实质是解方程或解方程组．5.某商场经营的某种包装的大米质量ξ（单位：kg）服从正态分布N（10，σ2），根据检测结果可知P（9．9≤ζ≤10．1）＝0．96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有1000名职工，则分发到的大米质量在9．9kg以下的职工数大约为A. 10B. 20C. 30D. 40【答案】B【解析】根据考试的成绩ξ服从正态分布N（10，σ2）．得到考试的成绩ξ关于ξ=10对称，根据P （9.9≤ξ≤10.1）=0.96，得到P（ξ＜9.9）==0.023，根据频率乘以样本容量得到分发到的大米质量在9.9kg以下的职工数．【详解】∵考试的成绩ξ服从正态分布N（10，σ2）．∴考试的成绩ξ关于ξ=10对称，∵P（9.9≤ξ≤10.1）=0.96，∴P（ξ＜9.9）==0.02，∴公司有1000名职工，则分发到的大米质量在9.9kg以下的职工数大约为0.02×1000=20．故答案为：B．【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ=10对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的x为A. －1B. 0C. －1或1D. －1或0【答案】D【分析】先写出分段函数的表达式，再求x的值.【详解】由题得，当x＜0时，当x≥0时，综合得x=-1或0.故答案为：D【点睛】本题主要考查程序框图和分段函数求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7.已知x，y满足约束条件，则z＝x＋3y的最小值为A. 0B. 2C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】作出平面区域，平移直线x+3y=0确定最优解，再求解最小值即可．【详解】作出x，y满足约束条件所表示的平面区域如图，作出直线x+3y=0，对该直线进行平移，可以发现经过点A（2，0）时Z取得最小值：2；故答案为：B．【点睛】(1)本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】先根据三视图得到几何体原图，再求几何体的体积.【详解】由三视图得知几何体原图为下图所示的三棱锥A-BCD,所以几何体的体积为.故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查三视图找原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)通过三视图找几何体原图常用的方法有直接法、模型法.9.已知π为圆周率，e为自然对数的底数，则A. ＜B. π＜3C. ＞D. π＞3【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质即可得出．【详解】对于A：函数y=x e是（0，+∞）上的增函数，A错；对于B：π3e﹣2＜3πe﹣2⇔3e﹣3＜πe﹣3，而函数y=x e﹣3是（0，+∞）上的减函数，B错；对于C：，而函数y=log e x是（0，+∞）上的增函数，C错，对于D：，D正确；故答案为：D．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.已知空间四边形ABCD，∠BAC＝，AB＝AC＝2，BD＝CD＝6，且平面ABC⊥平面BCD，则空间四边形ABCD的外接球的表面积为A. 60πB. 36πC. 24πD. 12π【答案】A【解析】【分析】先利用正弦定理求出底面三角形ABC外接圆的半径r，设外接球的半径为R,球心到底面的距离为h,得到关于R和h的方程组，解方程组即得R和外接球的表面积.【详解】由余弦定理得由正弦定理得，所以三角形ABC的外接圆半径为.设外接球的球心为O,半径为R,球心到底面的距离为h,设三角形ABC的外接圆圆心为E,BC的中点为F,过点O作OG⊥DF,连接DO,BE,OE.在直角△OBE中，（1）,在直角△DOG中，（2）,.所以外接球的表面积为故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查几何体的外接球的表面积的计算，考查空间位置关系，考查正弦定理和余弦定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求几何体外接球的半径常用模型法、方程法.11.将函数y＝sin2x－cos2x的图象向左平移m（m＞0）个单位以后得到的图象与函数y＝ksinxcosx（k＞0）的图象关于（，0）对称，则k＋m的最小正值是A. 2＋B. 2＋C. 2＋D. 2＋【答案】C【解析】【分析】由题意可得y=﹣cos（2x﹣2m）的图象和y=sin2x（k＞0）的图象关于点对称，设点P（x0，y0）为y=﹣cos（2x﹣2m）上任意一点，则该点关于对称点为在y=sin2x（k＞0）的图象上，故有，求得k=2，且cos（2x0﹣）=cos （2x0﹣2m），由此求得k+m的最小正值．【详解】将函数y=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x的函数图象向右平移m个单位以后得到y=﹣cos2（x﹣m）=﹣cos（2x﹣2m）的图象，根据所得图象与y=ksinxcosx=sin2x（k＞0）的图象关于对称，设点P（x0，y0）为y=﹣cos（2x﹣2m）上任意一点，则该点关于对称点为在y=sin2x（k＞0）的图象上，故有，所以k=2，sin（2x0﹣）=cos（2x0﹣2m），即cos（2x0﹣）=cos（2x0﹣2m），∴﹣2m=﹣+2kπ，k∈Z，即 2m=﹣2kπ，k∈Z，故m的最小正值为，则k+m的最小正值为2+．故答案为：C【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象，两个函数的图象关于某个点对称的性质，属于中档题．12.已知函数f（x）＝（k＋）lnx＋，k∈[4，＋∞），曲线y＝f（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2），使曲线y＝f（x）在M，N两点处的切线互相平行，则x1＋x2的取值范围为A. （，＋∞）B. （，＋∞）C. [，＋∞）D. [，＋∞）【答案】B【解析】【分析】利用过M、N点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x1+x2的取值范围．【详解】由题得f′（x）=﹣﹣1=﹣=﹣，（x＞0，k＞0）由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2），即﹣1=﹣﹣1，化简得4（x1+x2）=（k+）x1x2，而x1x2＜，4（x1+x2）＜（k+），即x1+x2＞对k∈[4，+∞）恒成立，令g（k）=k+，则g′（k）=1﹣=＞0对k∈[4，+∞）恒成立，∴g（k）≥g（4）=5，∴≤，∴x1+x2＞，故x1+x2的取值范围为（，+∞）.故答案为：B【点睛】本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分。

13.已知向量a＝（2，－6），b＝（3，m），且a⊥b，则｜a＋b｜＝___________．【答案】【解析】【分析】先根据已知求出m的值，再求.【详解】由题得2×3-6m=0,所以m=1,所以=（5，-5），所以.故答案为：【点睛】本题主要考查向量的运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14.若sinα＋cosα＝，则sin2α的值为___________．【答案】【解析】【分析】直接把已知方程两边同时平方即得解.【详解】由题得1+故答案为：【点睛】本题主要考查二倍角的正弦，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，乙只能参加数学竞赛，则不同的参赛方案种数为_____________．【答案】36【解析】【分析】分三种情况讨论，分别求出每一种情况下的方法数，即得解.【详解】(1)当甲上乙不上时，共有种方法；（2）当甲不上乙上时，共有种方法；（3）当甲乙都上时，共有种方法.综上所述，不同的参赛方案种数为18+6+12=36种.故答案为：36【点睛】（1）本题主要考查计数原理和排列组合的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 排列组合一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.16.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知焦点在x轴上的双曲线C的离心率e ＝，焦点到其渐近线的距离为2．直线y＝0与y＝2在第一象限内与双曲线C及其渐近线围成如图所示的图形OABN，则它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积为___________．【答案】【解析】【分析】由题意得双曲线方程为=1，y=2在第一象限内与渐近线的交点N的坐标和与双曲线第一象限交点B的坐标，记y=2与y轴交于点M，由π|MB|2﹣π|MN|2=π，根据祖晅原理，能求出它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积．【详解】由题得，所以a=1,b=2.∴双曲线方程为=1，y=2在第一象限内与渐近线y=2x的交点N的坐标为（，2），y=2与双曲线=1在第一象限交点B的坐标为（，2），记y=2与y轴交于点M（0，2），A（1，0），∵π|MB|2﹣π|MN|2==π，根据祖晅原理，它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积为=2π．故答案为：2π．【点睛】本题考查几何体的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意祖暅原理的合理运用．三、解答题：共70分。

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