考点26 方差、标准差-庖丁解题2019学年高一数学人教版(必修3)(原卷版)

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高中数苏教必修三案：第二单元 2.3.2 方差与标准差 Word含答案

2.3.2 方差与标准差学习目标1.理解样本数据方差、标准差的意义，会计算方差、标准差；2.会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计总体的基本数字特征；3.体会用样本估计总体的思想．知识点一用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征1．样本的基本数字特征包括________、__________、__________、__________、________. 2．平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的．因此，还需要刻画数据的分散程度．3．一组数据的____________________的差称为极差，用极差刻画数据的分散程度简便易行，但集中程度差异不大时，不易得出结论．知识点二方差、标准差思考若两名同学的两门学科的平均分都是80分，一名是两门均为80分，另一名是一门40分，一门120分，如何刻画这种差异？梳理标准差与方差：一般地，(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．s ＝ 1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. (2)标准差的平方s 2叫做方差．s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2](x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数)．(3)标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近．s ＝0时，每一组样本数据均为x .类型一感受数据的离散程度例1分别计算下列四组样本数据的平均数，并画出条形图，说明它们的异同点．(1)5，5，5，5，5，5，5，5，5；(2)4，4，4，5，5，5，6，6，6；(3)3，3，4，4，5，6，6，7，7；(4)2，2，2，2，5，8，8，8，8.反思与感悟标准差能够衡量样本数据的稳定性，标准差越大，数据的离散程度就越大，也就越不稳定．标准差越小，数据的离散程度就越小，也就越稳定．跟踪训练1有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：7879549107 4乙：9578768677试求出甲、乙两人本次射击的平均成绩，并画出两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？类型二方差、标准差的计算例2从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下：甲：25，41，40，37，22，14，19，39，21，42；乙：27，16，44，27，44，16，40，40，16，40.试计算甲、乙两组数据的方差和标准差．反思与感悟计算方差(或标准差)时要先计算平均数．跟踪训练2求出跟踪训练1中的甲、乙两运动员射击成绩的标准差，结合跟踪训练1的条形图体会标准差的大小与数据离散程度的关系．类型三标准差及方差的应用例3甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件．为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下(单位：mm)：甲25．4625.3225.4525.3925.3625．3425.4225.4525.3825.4225．3925.4325.3925.4025.4425．4025.4225.3525.4125.39乙25．4025.4325.4425.4825.4825．4725.4925.4925.3625.3425．3325.4325.4325.3225.4725．3125.3225.3225.3225.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高？(结果保留小数点后3位)反思与感悟比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及标准差这两个方面考虑．其中标准差与样本数据单位一样，比方差更能直观地刻画出与平均数的平均距离．跟踪训练3甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．1．下列说法正确的是________．①在两组数据中，平均值较大的一组方差较大；②平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小；③方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和；④在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高．2．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为________．3．如果数据x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，则(1)新数据x1＋b，x2＋b，…，x n＋b的平均数为________，方差为________．(2)新数据ax1，ax2，…，ax n的平均数为______，方差为________．(3)新数据ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b的平均数为____，方差为______．4．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4.则：(1)平均命中环数为________；(2)命中环数的标准差为________．5．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．1．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．2．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．3．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性．用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一★答案★．★答案★精析问题导学知识点一1．众数中位数平均数标准差极差3．最大值与最小值知识点二思考可以通过考察样本数据的分散程度的大小．题型探究例1解四组样本数据的条形图如下：四组数据的平均数都是5，但数据的离散程度不一样，其中(1)最集中，(4)的离散程度最大．跟踪训练1解x甲＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，同理可得x乙＝7.条形图如下：通过频率分布条形图直观地看，虽然平均数相同，还是有差异的．甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中．例2解x甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30，s2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋…＋(42－30)2]＝104.2，s甲＝104.2＝10.208.x乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31，同理s 2乙＝128.8， s 乙＝128.8＝11.349. 跟踪训练2 解 x 甲＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，同理可得x 乙＝7.根据标准差的公式，得 s 甲＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋…＋(4－7)2]＝2；同理可得s 乙≈1.095.所以s 甲>s 乙．因此说明离散程度越大，标准差就越大．例3 解用计算器计算可得x 甲≈25.401，x 乙≈25.406；s 甲≈0.037，s 乙≈0.068.从样本平均数看，甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40mm)，差异很小；从样本标准差看，由于s 甲＜s 乙，因此甲生产的零件内径尺寸比乙的稳定程度高得多．于是，可以作出判断，甲生产的零件的质量比乙的高一些．跟踪训练3 解甲品种的样本平均数为10，样本方差为[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02.乙品种的样本平均数也为10，样本方差为[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]÷5＝0.244.因为0.244>0.02，所以由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定．当堂训练 1．②解析 ①中平均值和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；③中求和后还需取平均数；④中方差越大，射击越不平稳，水平越低． 2.367解析由题意知这组数据平均数是 87＋94＋90＋91＋90＋90＋x ＋917＝91，解得x ＝4.所以这组数据的方差是s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝367.3．(1)x ＋b s 2 (2)a x a 2s 2 (3)a x ＋b a 2s 2 4．(1)7 (2)2解析 (1)x ＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7010＝7.(2)s 2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s ＝2.∴命中环数标准差为2. 5．2解析由题意知15(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a ＝－1，所以样本方差为s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.。

数学必修3知识导引 2.3.2方差与标准差含解析精品

6.3．2方差与标准差平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是，平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，某地区的统计报表显示，此地区的年平均家庭收入是10万元，给人的印象是这个地区的家庭收入普遍较高.但是，如果这个平均数是从200户贫困家庭和20户极富有的家庭收入计算出来的，那么，它就既不能代表贫困户家庭的年收入，也不能代表极富有家庭的年收入.因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的.因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际状态.案例探究甲、乙两班学生各50人，其语文平均成绩都是80分，但甲班最高成绩98分，最低42分，而乙班最高成绩86分，最低60分.初步看出，两班语文成绩是不一样的，甲班学生的语文成绩个别差异程度大、水平参差不齐；而乙班学生的语文成绩差异程度小，语文水平整齐度大些.如果你是老师，你应当如何对这两个班的成绩作出评价呢？分析：我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差，由数据可知甲班的极差较大，数据点较分散，乙班的极差较小，数据点分布较集中，这说明乙班成绩比甲班稳定，运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论.我们还可以考虑每一个学生的成绩与平均成绩的离差，离差越小，稳定性就越高.结合上节有关离差的讨论，可用每个同学的成绩与平均成绩的差的平方和表示.由于两组数据的容量可能不同，因此应将上述平方和除以数据的个数，我们把由此所得的值称为这组数据的方差（variance）.因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差开方后的值称为这组数据的标准差（standard deviation）.标准差也可以刻画数据的稳定程度.一般地，设一组数据x1，x2，…，x n，其平均数为x，则称S2=∑=-niix xn12) (1为这个样本的方差，其算术平方根S=n xx ni i∑=-12)(（*）为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差.根据上述方差计算公式可算出甲、乙两个班样本的方差，从而比较哪个班成绩好些.计算标准差时，首先要计算数据的平均数x，接着要计算各数据与平均数之间的离差平方，即（x i-x）2，最后由公式（*）计算标准差S.例如，4名儿童的身高分别是110厘米，100厘米，120厘米和150厘米，若求4名儿童身高数据的标准差时，其基本步骤如下：（1）求平均数：x=4150 120100110+++=120（厘米）（2）求离差平方和：∑（x i -x ）2=（110―120）2+（100―120）2+（120―120）2+（150―120）2 =100+400+0+900=1 400（平方厘米）（3）求标准差S ：S=41400=350= 18.71（厘米）这样，我们大体可认为，这4名儿童身高差异程度，从平均角度来看，约相差18.71厘米.自党导引1．天气预报说今天最高气温7 ℃，最低气温－2 ℃，则今天气温的极差为多少？答案：9℃2．据统计，某小区居民中年龄最大的为89岁，年纪最小的为1岁，那么小区人口年龄的极差为多少？答案：88岁3．你认为下面几种说法中正确的是（） A ．一组数据的平均值总是正数 B ．一组数据的方差有可能是负数C ．用一组数据中的每个数分别减去平均值，再将得到的差相加，和一定为零D ．一组数据的标准差一定比方差小答案：C4．我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围.用这种方法得到的差称为极差.5．方差实际上是一种表示一组数据的离散程度的量，我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到.6．标准差与方差有什么关系？这二者与原数据在单位上有什么关系？答案：标准差是方差的算术平方根，标准差与原数据具有相同的单位，方差的单位是原单位的平方.7．反映数据离散程度的指标是什么？在一次数学测试中，甲、乙两班的平均成绩相同，甲班成绩的方差为42，乙班成绩的方差为35，这样的结果说明两个班的数学学习状况各有什么特点？答案：反映数据离散程度的指标是方差和标准差．甲班的方差大于乙班的方差，说明甲班的学生成绩较分散，优生和成绩差的学生较多．而乙班的学生成绩较集中，优生和成绩差的学生较少.8．观察下面的折线图，回答问题：（1）a组数据的极差较大.（2）a组数据的方差较大.9．比较下面两幅频数分布图中的数据，哪组的平均值较大？哪组的标准差较大？答案：b组的平均值较大，a组的标准差较大.10．观察下面的几组图，分别指出各组中哪一组的标准差较大，并说说为什么. （1）（2）（3）答案：（1）标准差相同，因为虽然数据排列不同，但其实是相同的两组数据；（2）b组的标准差较大，因为a组有一些数距离平均值较近；（3）b组的标准差较大，因为b组中每个数据都是a组中的两倍，因此标准差也是它的两倍.疑难剖析【例1】某校团委举办了英语口语竞赛．甲、乙两个团小组成绩如下：甲组：76908486818786乙组：82848589809476（1）分别求出甲、乙两个团小组的平均分、标准差（精确到0．01）；（2）说明哪个团小组成绩比较稳定？思路分析：由于所给数据较整，用定义公式求x及S．再由所学统计知识即可作此判断.解：（1）∵7868781868490761++++++=x=84.29,7769480898584822++++++=x =84.29,，233.47)86()87()81()86()84()90()76(212121212121211≈-+-+-+-+-+-+-=x x x x x x x S，47.57)67()94()08()98()85()84()82(222222222222222≈-+-+-+-+-+-+-=x x x x x x x S（2）∵S 1<S 2，∴甲小组的成绩比较稳定.思维启示：方差的概念是本单元的一个重点，也是本章的重点和难点，中考命题常常涉及到方差的概念比较抽象，理解有一定的困难，因此在复习时要多接触一些实例，以加深理解计算方差的公式.【例2】某校从甲、乙两名优秀选手中选1名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表：根据测试成绩，请你运用所学过的统计知识作出判断，派哪一位选手参加比赛更好？为什么？思路分析：首先计算甲、乙两选手的成绩的平均数，然后看每位同学成绩的方差，利用方差比较两位同学成绩的稳定性.解：设甲的平均数是x 1，乙的平均数是x 2,甲的方差是S 甲2，乙的方差是S 乙2，则由题意可求得：x 1=82.124.125.121.135.12132.121.12+++++++=12.5；x 2=85.123.128.122.12138.124.1212+++++++=12.5；S 甲2＝［（12.1－12.5）2＋（12.2－12.5）2＋（13－12.5）2＋（12.5－12.5）2＋（13.1－12.5）2＋（12.5－12.5）2＋（12.4－12.5）2＋（12.2－12.5）2］＝0.12 S 乙2＝［（12－12.5）2＋（12.4－12.5）2＋（12.8－12.5）2＋（13－12.5）2＋（12.2－12.5）2＋（12.8－12.5）2＋（12.3－12.5）2＋（12.5－12.5）2］＝0.10.∵S 甲2>S 乙2，∴虽然甲乙两人的平均成绩相同，但乙的成绩较稳定，应选乙选手参加比赛.思维启示：在显示数据离散程度（波动大小）的一类数中，方差是刻画总体或样本波动大小的一个重要特征数据，其定义是用各偏差的平方的平均数建立起来的，对于一组数据，除需了解它们的平均水平外，还常常需要了解它们的波动大小（即偏离平均数的大小）.对于两组可比的数据，平均数只能反映它们的集中趋势，而比较它们的波动大小，就要通过计算标准差或方差的大小来确定.还应注意，只有当两组数据的平均数相等或比较接近时，方差或标准差才能反映数据波动大小的实际情况——方差或标准差越大（小），波动也越大（小）.【例3】为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换，已知某校使用的100只日光灯在必须更换掉前的使用天数如下表：（1）试估计这种日光灯的平均使用寿命；（2）若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？思路分析：总体的平均数与标准差往往是很难求，甚至是不可能求的，通常的做法就是用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差，只要样本的代表性好，这种做法就是合理的. 解：（1）各组中值分别为165，195，225，255，285，315，345，375，由此可算得平均数约为10025285202551822511195165⨯+⨯+⨯+⨯++1002375734516315⨯+⨯+⨯=267.9≈268（天）.（3）将组中值对于此平均数求方差：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯⨯22222222)268375(2)268345(7)268315(16)268285(25)268225(20)268225(18)268195(11)268165(11001=2 128.60（天2）故标准差为60.1282≈46（天）.答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，故可在222天到314天左右统一更换较合适.思维启示：（1）在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.（2）平均数和标准差是工业生产中检测产品质量的重要指标，当样本的平均数或标准差超过了规定界限的时候，说明这批产品的质量可能距生产要求有较大的偏离，应该进行检查，找出原因，从而及时解决问题.在Excel 中，可分别用函数“V ARP （）”和“STDEVP （）”计算方差和标准差.也可用计算器，在“统计”模式下输入数据，按“SHIFT SVAR 2”键，得标准差，再按x 2键即为方差.拓展迁移【拓展点1】标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有什么特点？答案：非负，标准差为0意味着所有的样本数据都相等.【拓展点2】甲乙两人同时生产内径为25.4mm的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽取20件，量得其内径尺寸如下（单位mm）：甲25.4625.3225.4525.3925.36 25.3425.4225.4525.3825.4225.3925.4325.3925.4025.44 25.40 25.4225.3525.4125.39乙25.4025.4325.4425.4825.4825.4725.4925.4925.3625.3425.3325.4325.4325.3225.47 25.3125.3225.3225.3225.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高？思考：两个总体的平均数与标准差知不知道？25.40 mm是不是它们的平均数？答案：每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体.由于零件的生产标准已经给出（内径25.40mm），生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量.总体的平均数与内径标准尺寸25.40 mm的差异大时质量低，差异小时质量高，当总体的平均数与标准尺寸很接近时，总体的标准差小时质量高，标准差大时质量低.这样，比较两人的生产质量，只要比较他们所生产的零件尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可.但是，这两个总体的平均数与标准差都是不知道的，根据用样本估计总体的思想，我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据，然后比较这两个样本的平均数、标准差，以此作为两个总体之间差异的估计值.∵x甲=25.400 5, x乙=25.405 5,S甲≈0.037,S乙≈0.068,∴S甲<S乙.因此，甲生产的质量较高.。

北师大版高中数学必修3第1章《平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差》练习

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大B ．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小C ．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和D ．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高【解析】平均值的大小与方差的大小无任何联系，故A 错，由方差的公式s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]知C 错．对于D ，方差大的表示其射击环数比较分散，而非射击水平高，故D 错．【答案】 B2．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x 为 ( )A ．21B ．22C ．20D ．23【解析】由中位数的概念知x ＋232＝22，所以x ＝21. 【答案】 A3．(2016·长沙四校联考)为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图1-4-3所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是( )图1-4-3A ．中位数为83B ．众数为85C ．平均数为85D ．方差为19【解析】易知该同学的6次数学测试成绩的中位数为84，众数为83，平均数为85.【答案】 C4．为了了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m．由此可推断我国13岁男孩的平均身高为()A．1.54 m B．1.55 mC．1.56 m D．1.57 m【解析】x＝300×1.60＋200×1.50300＋200＝1.56(m)．【答案】 C5．为了普及环保知识，增强环境意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)如图1-4-4所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m0，平均值为x，则()图1-4-4A．m e＝m0＝xB．m e＝m0＜xC．m e＜m0＜xD．m0＜m e＜x【解析】由图知30名学生的得分情况依次为2个人得3分，3个人得4分、10个人得5分、6个人得6分、3个人得7分，2个人得8分、2个人得9分、2个人得10分，中位数为第15、16个数的平均数，即m e＝5＋62＝5.5,5出现次数最多，故m0＝5.x＝130(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10)≈5.97.于是m 0＜m e ＜x . 【答案】 D 二、填空题6．某年级举行校园歌曲演唱比赛，七位评委为学生甲打出的演唱分数的茎叶图如右图1-4-5所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为________．图1-4-5【解析】由茎叶图可知，学生甲的演唱分数分别为79,83,84,86,84,88,93，去掉一个最高分和一个最低分后，得分如下：83,84,84,86,88，则平均数为85，方差为s 2＝15×[(－2)2＋(－1)2＋(－1)2＋12＋32]＝3.2.【答案】 85,3.27．一组数据的方差为s 2，将这一组数据中的每个数都乘2，所得到的一组新数据的方差为________．【解析】每个数都乘以2，则x ＝2x ， S ＝1n [(2x 1－2x )2＋…＋(2x n －2x )2] ＝4n [(x 1－x )2＋…＋(x n －x )2]＝4s 2. 【答案】 4s 28．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________(从小到大排列)．【解析】不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4且x 1，x 2，x 3，x 4为正整数．由条件知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝2，x 2＋x 32＝2，即⎩⎨⎧x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，x 2＋x 3＝4，又x1、x2、x3、x4为正整数，∴x1＝x2＝x3＝x4＝2或x1＝1，x2＝x3＝2，x4＝3或x1＝x2＝1，x3＝x4＝3. ∵s＝1 4[](x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2＝1，∴x1＝x2＝1，x3＝x4＝3.由此可得4个数分别为1,1,3,3.【答案】1,1,3,3三、解答题9．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如下表：(1)求这50(2)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差．【解】(1)平均数x＝150×(2×6＋3×16＋4×15＋5×13)＝18550＝3.7.众数是3，中位数是4.(2)这50户居民每天丢弃旧塑料袋的方差为s2＝150×[6×(2－3.7)2＋16×(3－3.7)2＋15×(4－3.7)2＋13×(5－3.7)2]＝150×48.5＝0.97.所以标准差s≈0.985.10．(2014·广东高考)某车间20名工人年龄数据如下表：(1)求这20名工人年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差．【解】 (1)这20名工人年龄的众数为：30；这20名工人年龄的极差为：40－19＝21.(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图如下：(3)这20名工人年龄的平均数为：(19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30；所以这20名工人年龄的方差为：120(30－19)2＋320(30－28)2＋320(30－29)2＋520(30－30)2＋420(30－31)2＋320(30－32)2＋120(30－40)2＝12.6.[能力提升]1．(2015·山东高考)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图1-4-5所示的茎叶图．考虑以下结论：图1-4-5①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的序号为()A．①③B．①④C．②③D．②④【解析】甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确，故选B.【答案】 B2．对“小康县”的经济评价标准：①年人均收入不小于7 000元；②年人均食品支出不大于收入的35%.某县有40万人口，年人均收入如下表所示，年人均食品支出如图1-4-6所示．则该县()图1-4-6A．是小康县B．达到标准①，未达到标准②，不是小康县C．达到标准②，未达到标准①，不是小康县D．两个标准都未达到，不是小康县【解析】由图表可知年人均收入为(2 000×3＋4 000×5＋6 000×5＋8 000×6＋10 000×7＋12 000×5＋16 000×3)÷40＝7 050(元)>7 000元，达到了标准①；年人均食品支出为(1 400×3＋2 000×5＋2 400×13＋3 000×10＋3 600×9)÷40＝2 695(元)，则年人均食品支出占收入的2 6957 050×100%≈38.2%>35%，未达到标准②.所以不是小康县．【答案】 B3．已知样本9,10,11，x ，y 的平均数为10，方差为4，则xy ＝________. 【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9＋10＋11＋x ＋y5＝10，15[(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x －10)2＋(y －10)2]＝4.化简得x ＋y ＝20， ① (x －10)2＋(y －10)2＝18， ② 由①得x 2＋y 2＋2xy ＝400， ③ 代入②化简得xy ＝91. 【答案】 914．某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表：(1)甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！”(2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议．【解】 (1)由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游．但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对本阶段的学习内容掌握较好．(2)甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，标准差很大，说明低分也多，两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，标准差小，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率．。

考点35 基本事件-庖丁解题2019学年高一数学人教版(必修3)(原卷版)

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1．基本事件的定义
一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件．例如，在掷骰子试验中，出现“1点”“2
点”“3点”“4点”“5点”“6点”
共6个结果，就是该随机试验的6个基本事件．
2．基本事件的特点
（1）任何两个基本事件是互斥的；
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．
【例】口袋中有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，求基本事件的总数．
【解析】把2个白球和2个黑球分别编号为1，2，3，4，于是4个人按顺序依次从口袋中摸出一球的所有可能结果用如图所示的树状图表示．由图可知共有24个基本事件．
【解题技巧】利用树状图或是列表，是解决这类问题的最佳途径．求基本事件的关键是按顺序写，要保证所有的基本事件不重不漏，求出基本事件的总数和事件A 包含的基本事件数是确定概率的基础． 1．一个家庭有两个小孩，则基本事件空间Ω是( )
A ．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}。

关于方差和标准差的例题

一、选择题1、下列哪一项是方差的数学定义？A. 所有数据与平均数的差的平方和的平均数。

（正确答案）B. 所有数据与平均数的差的绝对值之和的平均数。

C. 所有数据与中位数的差的平方和的平均数。

D. 所有数据与平均数的和的平方的平均数。

2、如果一组数据的每个数都增加5，那么这组数据的方差将：A. 增加5。

B. 减少5。

C. 不变。

（正确答案）D. 变为原来的5倍。

3、下列哪一项不是标准差的特点？A. 标准差越大，数据越分散。

B. 标准差可以为负数。

C. 标准差是方差的平方根。

（正确答案）D. 标准差常用于衡量数据的离散程度。

4、下列哪一项描述的是标准差与方差的关系？A. 标准差是方差的平方。

B. 方差是标准差的平方。

（正确答案）C. 标准差与方差没有直接关系。

D. 标准差是方差的两倍。

5、如果一组数据的方差为0，那么这组数据的特点是：A. 所有数据都相等。

（正确答案）B. 所有数据都不相等。

C. 数据个数为0。

D. 数据中至少有一个负数。

6、下列哪一项不是计算方差时需要注意的？A. 先计算数据的平均数。

B. 计算每个数据与平均数的差。

C. 计算差的平方和的平均数。

D. 忽略数据中的异常值。

（正确答案）7、在比较两组数据的离散程度时，如果它们的方差相等，那么可以推断出：A. 这两组数据的平均数也一定相等。

B. 这两组数据的标准差也一定相等。

（正确答案）C. 这两组数据的中位数也一定相等。

D. 这两组数据的最大值和最小值也一定相等。

数学必修三用样本估计总体(二)练习

一、平均数、方差（标准差）题一题面：某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）。

现用分层抽样方法（按A类、B类分两层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。

(1) A类工人和B类工人各抽查多少名？(2) A类工人和B类工人的抽查结果分别见表1和表2。

表1：表2：差异程度与B类工人中个体间差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接得出结论）。

②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工人的生产能力的平均数。

（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）。

题二题面：对甲、乙两名划艇运动员在相同条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下：甲：27,38,30,37,35,31乙：33,29,38,34,28,36根据以上数据，判断他们谁更好一些.二、直方图中的统计数据题三题面：某班共有40名学生，在一次数学考试中，他们的得分情况如下：男生：86, 75, 63, 92, 78, 75, 82, 70, 90, 6573, 80, 95, 80, 70, 70, 78, 66, 86, 80女生：76, 88, 80, 68, 75, 92, 96, 72, 75, 7381, 83, 70, 78, 65, 90, 80, 90, 86, 77(1)分别作出男生、女生和全班学生得分情况的频率分布直方图；(2)利用(1)中的直方图，估计男生、女生、全班的得分情况的平均数、中位数；(3)估计全班学生中分数在[72,84]之间的比例.练习题一题面：为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表，解答下列问题：(1)若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，799，试写出第五组第一位学生的编号；(2)填充频率分布表的空格（直接填在表格内），并作出频率分布直方图；(3)若成绩在85.5～95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？题二题面：为了了解高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．(1)第二小组的频率是多少？(2)若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？题1：题面：某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( ).A.90B.75C. 60D.45题2：题面：假设你是一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为2000万元人民币，另外25个项目的投资是20~100万元。

必修3第二章第二节方差、标准差

必修三第二章第二节方差、标准差1．正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。

2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。

形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

P 74~ P 78，思考并回答下列问题）阅读课本P 74-78内容回答下面问题：1．平均数、众数、中位数描述数据的；方差、极差和标准差描述数据，也可以说方差、标准差和极差反映。

2．方差S 2= 。

①在刻画样本数据的分散程序上，和是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用。

②标准差越大，数据的离散程度；标准差越小，数据的离散程度。

3．计算样本数据1,2,,n x x x 的标准差的步骤是：（1）算出样本数据的 x 。

（2）算出每个样本数据与样本数据平均数的差：(1,2,)i x x i n -= （3）算出（２）中(1,2,)ix x i n -= 的平方。

（4）算出（３）中n 个平方数的平均数，即为样本方差。

（5）算出（４）中平均数的算术平方根，，即为样本标准差。

其计算公式为：显然，标准差较大，数据的离散程度；标准差较小，数据的离散程度。

4.标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？从标准差的定义和计算公式都可以得出：0s ≥。

当0s =时，意味着所有的样本数据都等于。

※ 典型例题例1 画出下列四组样本数据的条形图,说明它们的异同点. (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5； (2)4,4,4,5,5,5,6,6,6； (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7； (4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.s =7 8 9944647 3例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm):从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高?※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.下列说法中,正确的是( )．A．数据5,4,4,3,5,2的众数是4B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C．数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数2.从甲、乙两班分别任意抽出10名学生进行英语口语测验,其测验成绩的方差分别为S12= 13.2,S22=26.26,则( )．A．甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐B．乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐C．甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐D．不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度3．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4、8.4、9.4、9.9、9.6、9.4、9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为。

考点32 事件的关系与运算-庖丁解题2019学年高一数学人教版(必修3)(解析版)

（3）“取出 3 个红球”与“取出的球中至少有 1 个红球” ．
【归纳总结】判断两个事件是不是互斥事件，就是看两个事件能否同时发生，如果不能同时发生，则是互斥事件，否则就不是互斥事件．
考题速递
1．从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个求，那么互斥但不对立的事件是（） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少有一个红球 C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少有一个黑球与都是红球【答案】C
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
4．一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？
事件 A ：命中环数大于 7 环；事件 B ：命中环数为 10 环；事件 C ：命中环数小于 6 环；事件 D ：命中环数为 6、7、8、9、10 环．
【解析】 A B 10环，故 A 与 B 不互斥；
A．A⊆D
B．B∩D＝∅
C．A∪C＝D
D．A∪B＝B∪D
【答案】 D
【解析】 “恰有一炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一炮弹
击中”包含两种情况：一种是恰有一炮弹击中，一种是两炮弹都击中，∴A∪B≠B∪D．
3．给出以下三个命题：（1）将一枚硬币抛掷两次，记事件 A：“二次都出现正面”，事件 B：“二次都出现
4
显然 B C ，所以 B 与 C 互斥．又因为 B C 全集，缺少 6 环、7 环、8 环、9 环，因此 B 与 C
要点阐述
名称包含关系
定义
符号
图示
对于事件 A 与事件 B ，如果事件 A 发生，则事件 B 一定发 B A （或

考点29 事件的相关概念-庖丁解题2019学年高一数学人教版(必修3)(原卷版)

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1
【例】指出下列试验的条件和结果：
（1）某人射击一次，命中整数环；
（2
）从装有大小相同但颜色不同的,,,a b c d 这4个球的袋中，任取1个球；
（3）从装有大小相同但颜色不同的,,,a b c d 这4个球的袋中，任取2个球；
【解析】（1）条件为射击一次，结果为命中整数环0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共11种．
（2）条件为从袋中任取1个球，结果为,,,a b c d ，共四种．
（3）条件为从袋中任取2个球，若记(),a b 表示一次试验中取出的球是a 和b ，则试验的分部结果为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d ，共6种．
【解题策略】准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们判断一些事件，指出试验结果，这是求概率的基础．在写试验结果时，一般采用列举法，必须明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．
1．下列试验能构成事件的是（）
A ．抛掷一次硬币
B ．射击一次
C ．标准大气压下，水烧至100℃
D ．摸彩票中头奖。

极差.方差与标准差(知识点讲解)

极差.方差与标准差(知识点讲解)极差、方差与标准差一、本节知识导学本节以自主探索为主，并初步体验：对图的观察和分析是科学研究的重要方法。

通过例题发现极差（最大值-最小值）的作用：用来表示数据高低起伏的变化大小；同时也希望同学们通过深入思考发现极差的不足之处：极差只能反应一组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他数据的波动情况不敏感。

因此有必要重新找一个对整组数据的波动情况更敏感的指标, 构造方差前请同学们注意以下几个方面： 1．为什么要用“每次成绩”和“平均成绩”相减。

2．为什么要“平方”。

3．为什么“求平均数”比“求和”更好。

同时请同学们意识到：比较两组数据的方差有一个前提条件是，两组数据要一样多。

对于方差的学习，重点在于方差公式的导出和对于方差概念的理解，而不是数字的计算，应充分利用计算器和计算机去完成繁杂的计算。

对于方差与标准差之间除了计算公式不一样，数量单位也不一样但通过求算术平方根运算又可以将他们联系在一起。

二、例题1．不通过计算，比较图中（1）（2）两组数据的平均值和标准差分析：平均值是反映一组数据的平均水平，标准差是反映一组数据与其平均值的离散程度。

本例不通过计算，从折线图来估算标准差，应先估算平均值的大小。

解：从图（1）（2）中可以看出，两组数据的平均值相等。

（图（1）中数据与图（2）中前10个数据相等, 且图（2）中后几个数据不影响平均值）。

图（1）的标准差比图（2）的标准差大。

（因为图（1）中各数据与其平均值离散程度大，图（2）中前10个数据与其平均值的离散程度与图（1）相同，而后几个数据与其平均值的离散程度小。

因此整体上说图（2）所有数据与其平均值的离散程度小于图（1）。

）2．求下列数据的方差（小数点后保留两位）：5，7，9，9，10，11，13，14。

分析：要求方差，必须先求平均数。

解：= （5+7+9+9+10+11+13+14）=9.75方差s 2= =7.69[（5-9.75）2+(7-9.75)2+……+(14-9.75) 2]3．求下列一组数据的极差、方差和标准差（小数点后保留两位）：50，55，96，98,65，100，70，90，85，100分析：由于标准差是方差的变形所以一般情况下先求方差解：极差为100-50=50平均数为=（50+55+96+98+65+100+70+90+85+100）=80.9方差为：s 2= =334.69 标准差为：s=[(50-80.9)2+(55-80.9)2+……+(100-80.9) 2]=18.294．在某次数学竞赛中，甲、乙两班的成绩如下已经算出两班的平均数都是80分，请你根据已有的统计知识分析两个班的成绩。

版高中数学统计方差与标准差学案

2.3.2 方差与标准差1．理解样本数据方差与标准差的意义和作用，会计算数据的方差、标准差．(重点、难点)2．掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想．(难点)[基础·初探]教材整理方差与标准差阅读教材P69～P70“例4”上边的内容，并完成下列问题．1．极差的概念我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差．2．方差与标准差的概念(1)设一组样本数据x1，x2，…，x n，其平均数为x－，则称s2＝1n∑i＝1n(x i－x－)2为这个样本的方差．(2)方差的算术平方根s＝1n∑i＝1n?x i－x－?2为样本的标准差．填空：(1)已知样本方差为s2＝110∑i＝1n(x i－5)2，则样本的平均数x－＝________；x1＋x2＋…＋x10＝________. 【导学号：】【解析】由题意得x＝5，n＝10，∴x＝x1＋x2＋x3＋…＋x1010＝5，∴x1＋x2＋x3＋…＋x10＝50.【答案】 5 50(2)数据10,6,8,5,6的方差s2＝________.【解析】 5个数的平均数x ＝10＋6＋8＋5＋65＝7，所以s 2＝15×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝.【答案】[小组合作型]方差与标准差的计算(1)某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图如图2-3-7，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．图2-3-7(2)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和标准差分别为________、________.【精彩点拨】根据方差和均值的定义进行计算．【自主解答】 (1)依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均数为8＋9＋10＋13＋155＝11.故方差为s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝15(9＋4＋1＋4＋16)＝.(2)样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值x ＝110(x 1＋x 2＋…＋x 10)＝1，方差s ′2＝110[(x 1－1)2＋(x 2－1)2＋…＋(x 10－1)2]＝4，新数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x 10＋a 的均值x ＝110(x 1＋a ＋x 2＋a ＋…＋x 10＋a )＝110(x 1＋x 2＋…＋x 10)＋a ＝1＋a .新数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x 10＋a 的方差s 2＝110[(x 1＋a －1－a )2＋(x 2＋a －1－a )2＋…＋(x 10＋a －1－a )2]＝110[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2]＝4.∴s＝2.【答案】(1) (2)1＋a 2求样本方差或标准差的步骤：(1)求样本的平均数x－＝1n∑i＝1nx i；(2)利用公式s2＝1n∑i＝1n(x i－x－)2求方差s2；(3)利用s＝s2求标准差s.[再练一题]1．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．【解析】由题意知15(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1，所以样本方差为s2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.【答案】 2方差与标准差的应用件中抽取6件测量，所得数据为：甲：99 100 98 100 100 103乙：99 100 102 99 100 100(1)分别计算两组数据的平均数与方差；(2)根据计算的结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．【精彩点拨】求平均数→计算方差→根据方差的大小进行判断【自主解答】(1)x甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同．又s 2甲＞s 2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定．1．方差和标准差都是反映一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．方差、标准差越大，数据的离散程度越大；方差、标准差越小，数据的离散程度越小或数据越集中，稳定．2．比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及方差或标准差这两个方面考虑．[再练一题]2．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5次测试，成绩记录如下：甲：78 76 74 90 82 乙：90 70 75 85 80现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，应选择________同学．(填“甲”或“乙”)【解析】 x 甲＝80，x 乙＝80，而s 2甲＝15×[(78－80)2＋(76－80)2＋(74－80)2＋(90－80)2＋(82－80)2]＝32.s 2乙＝15×[(90－80)2＋(70－80)2＋(75－80)2＋(85－80)2＋(80－80)2]＝50.∵x 甲＝x 乙，s 2甲＜s 2乙，∴从统计学的角度考虑，选甲参加更合适．【答案】甲[探究共研型]平均数、方差的性质探究 1 s ＝0表示怎样的意义？【提示】由于方差进行了平方运算，故方差的单位是原始数据单位的平方，从而标准差的单位与原始数据的单位相同．由标准差的定义知s ≥0，当s ＝0时，表示所有的样本数据都相同．探究2 所有样本数据均加上一个常数，其平均数、方差改变吗？若所有样本数据均乘以一个非零常数时，结果又会怎样？【提示】设样本x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，方差为s 2，则样本x 1＋b ，x 2＋b ，…，x n ＋b 的平均数为x －＋b ，方差为s 2；样本ax 1，ax 2，…，ax n 的平均数为a x －，方差为a 2s 2.从某班抽取5名学生测量身高(单位：cm)数据如下：161,163,162,165,164.求这5名学生身高的平均数及标准差．【精彩点拨】本题可用两种解法．方法一是直接套公式计算．方法二把原数据统一减去一个常数160，通过新数据的平均数、方差求解．【自主解答】法一：身高的平均数x －＝ 161＋163＋162＋165＋1645＝163(cm)，标准差s ＝15[?161－163?2＋?163－163?2＋?162－163?2＋?165－163?2＋?164－163?2] ＝2(cm)．法二：将原数据都减去160之后得到一组新数据为1,3,2,5,4，新数据的平均数x －′＝15(1＋3＋2＋5＋4)＝3，新数据的方差s ′2＝15[(1－3)2＋(3－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝2，由平均数及方差的性质得原数据的平均数x －＝160＋3＝163(cm)，原数据的标准差s ＝s ′2＝2(cm)．1．平均数、方差具有以下性质．(1)数据x 1，x 2，…，x n 与数据x 1′＝x 1＋a ，x 2′＝x 2＋a ，…，x n ′＝x n ＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变．(2)若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，方差为s 2，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数为m x －＋a ，方差为m 2s 2.2．利用以上性质可使平均数，方差的计算变得简单．[再练一题]3．已知k 1，k 2，…，k n 的方差为5，则3(k 1－4)，3(k 2－4)，…，3(k n －4)的方差为________. 【解析】设k 1，k 2，…，k n 的平均数为k ，则3(k 1－4)，3(k 2－4)，…，3(k n －4)的平均数为3(k －4)，∴s 2＝1n ∑i ＝1n [3(k i －4)－3(k －4)]2＝1n ∑i ＝1n [3(k i －k )]2＝9×1n ∑i ＝1n (k i －k )2＝9×5＝45.【答案】 451．下列叙述不正确的是________．(填序号) ①样本的平均数可以近似地描述总体的平均水平； ②极差描述了一组数据变化的幅度；③样本的方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小； ④一个班级的数学成绩的方差越大说明成绩越稳定．【解析】选项①②③都是对三个基本概念的正确描述，方差越大说明一组数据围绕平均数的波动越大，所以，一个班级的数学成绩的方差越大，说明成绩越不稳定，因此选项④是不正确的．故选④.【答案】 ④2．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差见表：甲乙丙丁平均数x －8 方差s 2【解析】由平均数及方差的定义知，丙的平均成绩较高且较稳定．【答案】丙3．若1,2,3，x 的平均数是5，而1,3,3，x ，y 的平均数是6，则1,2,3，x ，y 的方差是________．【解析】由5＝1＋2＋3＋x4得x ＝14.同理y ＝9.由s 2＝15(12＋22＋32＋142＋92)－＝.【答案】4．已知样本9,10,11，x ，y 的平均数是10，方差是4，则xy ＝________. 【解析】由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧9＋10＋11＋x ＋y5＝10，15()92＋102＋112＋x 2＋y 2－102＝4，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20， ①x 2＋y 2＝218， ②①2－②得2xy ＝182， ∴xy ＝91. 【答案】 915．假定下述数据是甲、乙两个供货商的交货天数，甲：10,9,10,10,11,11,9,11,10,10；乙：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12.根据两个供货商的交货情况．并计算哪个供货商交货时间短一些，哪个供货商交货时间较具一致性与可靠性？【解】 x －甲＝110(10＋9＋…＋10)＝，s 2甲＝110(102＋92＋…＋102)－＝， x －乙＝110(8＋10＋…＋12)＝，s 2乙＝110(82＋…＋122)－＝. ∴s 2甲<s 2乙.从交货天数的平均值来看，甲供货商的供货天数短一些，从方差来看，甲供货商的交货天数较稳定，因此甲是较具一致性与可靠性的厂商．。

高中数学方差与标准差

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解 (1) x 甲＝110×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋ 42)＝110×300＝30(cm)，
x 乙＝110×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝110 ×310＝31(cm)，
∵ x 甲＜ x 乙， ∴乙种玉米的苗长得高．
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【示例】某校从甲、乙两名优秀选手中选拔1名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表：
测试次数 1 2 3 4 5 6 7 8 甲选手成绩(s) 12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2 乙选手成绩(s) 12 12.4 12.8 13 12.2 12.8 12.3 12.5
高中数学方差与标准差
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自学导引 1．一组数据的最大值与最小值的差称为极差．
2．设一组样本数据 x1，x2，…，xn，其平均数为 x ，则称 s2
＝
1 n
n
(xi－ x )2
i＝1
为这个样本的方差，其算术平方根 s
＝
1 n
n
xi－ x 2为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标
s2
＝
1 60
[10×(45
－
237)2
＋
2×(85
－
237)2
＋
4×(125
－
237)2
＋
3×(165 － 237)2 ＋ 3×(205 － 237)2 ＋ 7×(245 － 237)2 ＋ 8×(285 －
237)2＋10×(325－237)2＋13×(365－237)2]＝13 216(mm2)，

新课标人教A版数学必修3全部课件：2.2.2方差和标准差

S2=
1 n
[ (x1-x)2+(x2-x)2+ +(xn-x)2 ]
2.方差用来衡量一批数据的波动大小(即这批数据偏离平均数的大小).在样本容量相同的情况下,方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定. 3.标准差:方差的算术平方根叫做标准差.
S=
1 [ (x1-x)2+(x2-x)2+ n
标准差: 方差的算术平方根.
S=
1 [ (x1-x)2+(x2-x)2+ n

+(xn-x)2 ]
问题:根据方差或标准差来比较两组数据的波动大小, 必须在什么前提条件下? 两组数据的容量相同
练习2
1、在方差的计算公式 20)2+ S2=
+(x10－20)2]中,数字10和20分别表示(
例: 为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中抽出 10株苗,测得苗高如下(单位:cm): 甲: 12 乙: 11 13 16 14 17 15 14 10 13 16 13 11 15 19 6 8 10 11 16
问哪种小麦长得比较整齐?
思考：求数据方差的一般步骤是什么？
1、求数据的平均数； 2、利用方差公式求方差。
例2:某农场种植甲、乙两种不同品种的水 1 稻,6年中各年的平均每 15 公顷产量如下(单位:kg): 甲:450 458 450 425 455 462
乙:446
476
473
429
432
444
问哪一个品种水稻的产量比较稳定?
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 s [0 (0.2) 0.1 0.2 (0.1) 0 0.2 (0.2) 0.2 (0.2) ] 10

标准差(方差)的概念与应用

标准差公式标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如图。

简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。

一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。

例如，两组数的集合{0, 5, 9, 14} 和{5, 6, 8, 9} 其平均值都是7 ，但第二个集合具有较小的标准差。

标准差可以当作不确定性的一种测量。

例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。

当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。

这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。

标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。

标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。

相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。

例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、7 5、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。

这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.07分，B组的标准差为2.37分（此数据时在R统计软件中运行获得），说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。

如是总体，标准差公式根号内除以n如是样本，标准差公式根号内除以（n-1)因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-1)公式意义所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或个数减一)，再把所得值开根号，所得之数就是这组数据的标准差。

[编辑本段]标准差的意义标准差越高,表示实验数据越离散,也就是说越不精确反之,标准差越低,代表实验的数据越精确[编辑本段]离散度标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最要指标。

说起标准差首先得搞清楚它出现的目的。

数据分析初步之数值的方差和标准差

第3章数据分析初步
3.3 方差和标准差
1 课堂讲解 2 课时流程
方差的概念和计算标准差的概念和计算方差的变化规律统计量的选择
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
如果要选拔射击手参加射击比赛，应该挑选测试成绩中曾达到最好成绩的选手，还是成绩最稳定的选手？
知识点 1 方差的概念和计算
知1－导
导引：分别求平均数与方差，寻找规律，然后根据规律解决问题．
知3－讲
解： (2)A与B比较，B组中各数据比A组中对应的数据
多
xB xA10,
1S0B，2 相S应A2 . 地
而方差不变，即
A与C比较，C组x 中C 各1 数0 据x 为A ,AS C 组2 中10 对2应S 的A 2.数据的 10倍，相应地 A与D比较，D组中x各D 数2据xA 比A1,组SD 中2 对2应2 的SA 2 数.据的 23倍x多21;，9S相2 应地 (3)
1 一分钟投篮测试规定，得6分及以上为合格，得9分及以上
为优秀，甲、乙两组同学的一次测试成绩如下：成绩(分) 4 5 6 7 8 9 甲组人数 1 2 5 2 1 4 乙组人数 1 1 4 5 2 2
(1)请你根据上述统计数据，
把下面的图和表补充完
整；
组别甲组乙组
一分钟投篮成绩统计分析表
平均数 (分)
度的量是( )
A．平均数
B．众数
C．方差
D．频率
知1－练
3 (中考·广州)两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经
计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学
的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的(
)
A．众数
B．中位数
C．方差

高一数学必修三2.2.2——标准差及方差

x甲 =x乙，s甲 s乙
x乙
=
1（25+24+22+25+24）=24 5
即，甲、乙生产的零件内径的平均数
s甲
1 [(2)2 12 (1)2 (1)2 +32 ] 5

16 5
相等，但乙的稳定程度高，
s乙
1 [12 02 (2)2 (1)2 +02 ] = 5
人数
31． 0，某1篮 1，球1队2，在1一1，个1赛4，季8的. 六则场该比球赛队中平分均别每进场球进的球201个__1数__为个：，方差为_____1_0__/_3_________。
10
5
0 0.5
4、某校随机调查了50名学 20 人数生在某天各自的课外阅读所
用的时间结果如图所示，根据条形图可得这50名学生这 10
【预习自测】
B 1．设 x1 4, x2 5, x3 6 ，则该样本的标准差为(
)
A. 3
3
B. 6
3
C. 5 3
D. 7 3
2．甲、乙两射击运动员在一次连续10 次的射击中，
C 所射中环数的平均数一样，但方差不同，则( )
A、他们水平相同
B、方差较大的，潜力较大
C、方差较小的，发挥较稳定 D、方差较小的，发挥较不稳定
4、若40个数据的平方和是48，平均数是 1 ，则这组数据
的方差是_____1_9__/2__0__。
2
5、为了参加广州亚运会，特对甲、乙两个划艇运动员
在相同条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数
据如下：甲：27，38，30，37，35，31；乙：33，29，

2019-2020学年高中数学第一章统计 4.2 极差、方差、标准差练习(含解析)北师大版必修3

第2课时极差、方差、标准差填一填极差、方差、标准差(1)极差一组数据中________________称为这组数据的极差．（2）方差标准差的平方s2叫作方差．s2＝________________.其中，x n是样本数据，n是样本容量,错误!是样本平均数．（3）标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．s＝________________。

判一判1.数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定．（)2．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定．（)3．一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近．( ) 4．一组数据的标准差就是这组数据方差的平方根（)5．方差、标准差越大，数据越分散．（）6．方差、标准差越小，数据越分散．( )7．极差表示了一组数据变化范围的大小．( ）8．方差反映的是一组数据与平均值的离散程度或一组数据的稳定程度．( )想一想1.提示：用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差．2．方差的作用是什么？提示：①方差描述了一组数据波动的大小．②方差的值越小，数据波动越小，越整齐．3．样本数据的分散程度是计算样本数据的什么值？提示:样本数据的分散程度是样本数据到平均数的平均距离．4．极差、方差和标准差的联系是什么？提示：都是衡量(或描述)一组数据偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况．思考感悟练一练1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46,45,56B．46，45,53C．47,45,56D．45，47，532．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分,方差为75，后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实得80分，却记了50分，乙实得70分，却记了100分，更正后平均分和方差分别是（)A．70,75 B．70,50C．75，1.04 D．62,2.353．PM2。

考点06 条件结构-庖丁解题2019学年高一数学人教版(必修3)(解析版)

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1
定义框图形式执行情况
特点
先判断条
件是否成
立，再决
定执行哪
一种操作
的结构称
为条件结
构图（1）中根据条件判断后，选择了执
行步骤A 或步骤B ，无论条件是否成
立，只能执行步骤A 或步骤B 之一，
不可能既执行步骤A ，又执行步骤B ，也不可能步骤A ，步骤B 都不执行，
无论走哪一条路径，在执行完步骤A
或步骤B 之后，脱离本条件结构；在
图（2）中，当条件成立时，执行了步
骤A 程序后脱离本条件结构，当条件
不成立时，不执行任何操作，直接脱
离本条件结构算法的流程根
据条件是否成立有不同的流向【例】中山市的士收费办法如下：不超过2公里收7元(即起步价7元)，超过2公里的里程每公里收2．6元，另每车次超过2公里收燃油附加费1元(不考虑其他因素)．相应收费系统的程序框图如图所示，则①处应填。

高一数学必修三课件第章方差与标准差

极差、四分位数间距应用
01
02
03
极差
一组数据中最大值与最小值之差，反映数据的波动范围。
四分位数间距
上四分位数与下四分位数之差，反映中间50%数据的离散程度。
应用
在数据分析中，极差和四分位数间距常用于初步了解数据的分布情况和离散程度。
平均差、方差和标准差比较
平均差
所有数据与平均数之差的绝对值的平均数，反映数据离散程度的另一种方法。
04
概率论中方差与标准差应用
随机变量及其分布概述
随机变量定义
随机变量是描述随机试验结果的变量，常用大
写字母表示。
离散型随机变量
取值可数的随机变量，如抛硬币试验中的正面
、反面次数。
连续型随机变量
取值充满某个区间的随机变量，如测量误差、
气温等。
随机变量的分布
描述随机变量取值的概率分布，包括离散型分
的平均数。
性质
01
02
03
方差非负。
方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度。
04
05
如果一组数据中的每一个数都加上或减去一个常数，方
差不变。
标准差定义及性质
定义：标准差是方差的算术平方根，用s 表示。
对于同一组数据，标准差越小，说明数据越集中；标准差越大，说明数据越分散。
标准差反映了数据与平均数的偏离程度，但与方差相比，它提供了更直观的度量单位。
标准差
标准差是方差的算术平方根，用s表示。标准差用s表示。标准差在数学上定义为方差的平方根，标准差与方差一样，表示的也是数据点的离散程度。
样本波动大小描述方法
样本方差
样本方差是各样本数据与其平均数差的平方和的平均数，用s^2 表示。样本方差用于描述样本数据的离散程度。

人教版高中数学必修3课件第二章标准差

(3)样本中共有五个个体，其值分别为 a,0,1,2,3，若该样本的平均值为 1，则样本方差为___2_____．
解析由题意知15×(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得 a＝－1. 所以样本方差为 s2＝15×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2 ＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
课堂互动探究
解 (1)根据题中所给数据，可得甲的平均数为
x 甲＝110×(8＋9＋7＋9＋7＋6＋10＋10＋8＋6)＝8，
乙的平均数为 x 乙＝110×(10＋9＋8＋6＋8＋7＋9＋7＋8
＋8)＝8，
甲的标准差为
s
甲
＝
110×[8－82＋9－82＋…＋6－82]＝ 2，
乙的标准差为
s
乙
＝
110×[10－82＋9－82＋…＋8－82]＝ 530，
＝6，ຫໍສະໝຸດ 则标准差为
51×[2－62＋4－62＋6－62＋8－62＋10－62] ＝
2 2.
3．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是___丙_____．(填“甲”“乙”“丙”“丁” 中的一个)
拓展提升由图形分析标准差、方差的大小
从四个图形可以直观看出第一组数据没有波动性，第二、三组数据的波动性都比较小，而第四组数据的波动性相对较大，利用标准差的意义可以直观得到答案．
【跟踪训练 3】甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差