浙江省金华十校2016年高考模拟考试数学(理科)试卷(扫描版)
浙江省金华十校2016-2017学年高二下学期期末考试数学试题含答案
金华十校2016—2017学年第二学期期末调研考试高二数学试题卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．设11z i=-（i 为虚数单位）,则z =( ）A ．2B ．C ．2D ．122．不等式(2)(3)0m m -+<的一个充分不必要条件是（ ）A ．30m -<<B ．32m -<<C ．34m -<<D ．13m -<< 3．在25(4)x-的展开式中,含6x 的项的系数为（ ）A ．20B ．40C ．80D ．1604．设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下面四个命题中不正确．．．的是( )A ．若,,,a b a b αα⊥⊥⊄则//b αB ．若,,a b a b αβ⊥⊥⊥,则αβ⊥C ． 若//,a a αβ⊥,则αβ⊥D ．若,a βαβ⊥⊥,则//a α5．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点在直线5x y +=上,则双曲线的渐近线方程为( ）A ．34y x =± B ．43y x =± C ．3y x =±D ．y x =6．用数学归纳法证明不等式111()232n n n N *+++≤∈时，从n k =到1n k =+不等式左边增添的项数是（ ）A ．kB ．21k- C ．2k D ．21k+7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ）A ．64B ．128C ． 252D ．80253+8．A B C D E 、、、、五个人参加抽奖活动，现有5个红包，每人各摸一个,5个红包中有2个8元，1个18元,1个28元，1个0元,（红包中金额相同视为相同红包），则A 、B 两人都获奖（0元视为不获奖)的情况有( ）A ．18种B ．24种C ． 36种D ．48种9．椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F P 、为椭圆M上任一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围是22[2,3]b b ，椭圆M 的离心率为e ，1e e-的最小值是（ ） A ．22-B ．2-C ．66-D ．63-10．底面为正方形的四棱锥S ABCD -,且SD ⊥平面ABCD ，2SD =1AB =，线段SB 上一M 点满足12SMMB=，N 为线段CD 的中点,P 为四棱锥S ABCD -表面上一点，且DM PN ⊥,则点P 形成的轨迹的长度为( ） A 2 B 52 C ．32 D ．22二、填空题：本大题有7小题,多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在答题卷的相应位置．11．在1()2n x x-的展开式中,只有第5项的二项式系数最大，则n = ；展开式中常数项是 ．12．在正棱柱111ABC A B C -中，M 为111A B C ∆的重心，若1,,AB a AC b AA c ===，则1AC =;CM = ．13．已知直线:1l mx y -=，若直线l 与直线(1)2x m y --=垂直，则m 的值为 ．动直线:1l mx y -=被圆22:280C x x y -+-=截得的最短弦长为 ．14．在正三棱锥S ABC -中,M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，底面边长AB =则正三棱锥S ABC -的体积为 ，其外接球的表面积为 ．15．已知点(4,0)A ,抛物线2:2(04)C ypx p =<<的焦点为F ，点P 在C 上，PFA∆为正三角形，则P = ． 16．P 为曲线1:xC y e =上一点，Q 为曲线2:1Cy nx =上一点，则PQ 的最小值为 ．17．已知椭圆22194x y +=与x 轴交于,A B 两点，过椭圆上一点00(,)P x y (P 不与,A B 重合）的切线l 的方程为00194x x y y+=,过点,A B 且垂直于x 轴垂线分别与l 交于,C D 两点，设CB AD 、交于点Q ，则点Q 的轨迹方程为 ．第Ⅱ卷三、解答题 :本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．已知圆22:4C x y +=，直线:0l y x t +-=,P 为直线l 上一动点,O 为坐标原点（Ⅰ）若直线l 交圆C 于,A B 两点,且23AOB π∠=,求实数t 的值;（Ⅱ）若4t =,过点P 做圆的切线,切点为T ，求PO PT ⋅的最小值． 19．甲、乙同学参加学校“一站到底”闯关活动，活动规则：①依次闯关过程中，若闯关成功则继续答题；若没通关则被淘汰；②每人最多闯3关；③闯第一关得10分，闯第二关得20分，闯第三关得30分，一关都没过则没有得分．已知甲每次闯关成功的概率为14，乙每次闯关成功的概率为13．(Ⅰ)设乙的得分总数为ξ,求ξ得分布列和数学期望； （Ⅱ）求甲恰好比乙多30分的概率．20．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠==︒,2AD DC ==,22AB PA ==，且E 为线段PB 上的一动点．(Ⅰ）若E 为线段PB 的中点，求证://CE 平面PAD ；（Ⅱ)当直线CE 与平面PAC 所成角小于3π，求PE 长度的取值范围．21．已知抛物线2:C y x =，点(0,2)P ,,A B 是抛物线上两个动点，点P 到直线AB 的距离为1．（Ⅰ）若直线AB 的倾斜角为3π，求直线AB 的方程；（Ⅱ)求AB 的最小值． 22．设函数32(),()1xf x ex h x kx kx x =-=-+-+．（Ⅰ)求()f x 的最小值；（Ⅱ）设()()h x f x ≤对任意[0,1]x ∈恒成立时k 的最大值为λ，证明：46λ<<．试卷答案一、选择题1—5： CADDB 6-10: CBCAB 二、填空题11．358,812．26,33a b c c ++- 13．1,214．4,123π15．851617．221(3)9x y x +=≠±三、解答题18．解：（Ⅰ）∵23AOB π∠=，∴圆心到直线l 的距离为=1，∴t =（Ⅱ)∵22cos 4PO PT PO PT PTPO θ⋅=⋅⋅==-,∴求PO PT ⋅的最小值相当于求PO 的最小值d ．d ==∴PO PT ⋅的最小值为244-=．19．解：(Ⅰ）ξ的取值为0，10,30,60．12(0)133P ξ==-=，112(10)(1)339P ξ==⨯-=，1112(30)(1)33327P ξ==⨯⨯-=，311(60)()327P ξ===．则ξ的分布如下表：120()01030603927273E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（Ⅱ）设甲恰好比乙多30分为事件A ，甲恰好得30分且乙恰好得0分为事件1B ，甲恰好得60分且乙恰好得30分为事件2B ，则12A BB =，12B B 、为互斥事件．231212132127()()()()()()443427216P A P B B P B P B =+=+=⨯⨯+⨯=．所以，甲恰好比乙多30分的概率为7216．20．解：（Ⅰ）取PA 的中点F ，连接EF DF 、,∵E 为PB 的中点． ∴//,//,2AB EF AB EF DC EF DC ==，∴四边形EFDC 是平行四边形，∴//CE DF ，又CE ⊄平面PAD , ∴//CE 平面PAD ．（Ⅱ)方法一:∵AD DC ==∴2AC =，又45AB BAC =∠=︒，∴2BC =，∴BC AC ⊥,又BC PA ⊥，∴BC ⊥平面PAC∴CE 与平面PAC 所成角就是PCE ∠，∴3PCE π∠<．∵2PA AC ==，∴2,4PC BC PB ===,∴6CPE π∠=．∵3PCE π∠<，∴3PE <．方法二：以A 为坐标原点,以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴，直线AP 为z 轴，则(0,0,0),A B C P ,取线段AB 中点M，则M D ．易得0,0MD AC MD PA ⋅=⋅=，所以MD 为平面PAC 的一个法向量．可求得(MD =-．设(2PE tPBt ==-，((2CE CP PE t=+=-(22t -设CE 与平面PAC 所成的角θ, 所以3cos()sin 22CE DM CE DMπθθ⋅-==<, 化简得281890tt -+>，易得34t <,所以3PE <． 21．解：(Ⅰ）设直线AB 的方程：y m =+1=,∴0m =或4m =,∴直线AB 的方程:y =或4y +．（Ⅱ）设直线AB 的方程：y kx m =+1=，∴221(2)km +=-．由2y kx my x=+⎧⎨=⎩，得到20x kx m --=，∴1212,x x k x x m +==-，∴2221212||(1)[()4]AB kx x x x =++- 2222(1)(4)(2)(3)k k m m m =++=-+，记22()(2)(3)f m m m =-+,∴2()2(2)(223)f m m m m '=--+，又221(2)1km +=-≥，∴1m ≤或3m ≥，当(,1]m ∈-∞时，()0,()f m f m '<递减, 当[3,)m ∈+∞时，()0,()f m f m '>递增,min ()(1)4f m f ==，∴min ||2AB =．22．解:（Ⅰ)∵()xf x ex =-，∴()1x f x e '=-当(,0)x ∈-∞时，()0,()f x f x '<递减， 当(0,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '>递增, ∴min()(0)1f x f ==．（Ⅱ)由()()h x f x ≤，化简可得23()1x k x x e -≤-，当0,1x =时，k R ∈，当(0,1)x ∈时，231x e k x x-≤-，要证：46λ<<,则需证以下两个问题：①2314x e x x->-对任意()0,1x ∈恒成立；②存在()00,1x ∈,使得0230016x e x x -<-成立．先证：①2314x e x x->-，即证2314()x e x x ->-，由（Ⅰ）可知,11xe -≥恒成立 ，所以1xex -≥，又0x ≠，∴1x e x ->，即证234()1x xx ≥-⇔224()(21)0x x x ≥-⇔-≥，2(21)0x -≥，显然成立，∴2314x e x x->-对任意()00,1x ∈恒成立；再证②存在()00,1x ∈，使得0230016x e x x -<-成立取012x=，11)1148=-，∵74<，∴31)664<⨯=, 所以存在()00,1x ∈，使得0230016x e x x -<-，由①②可知，46λ<<．。
2016-2017学年浙江省金华十校联考高三(上)期末数学试卷(解析版)
2016-2017学年浙江省金华十校联考高三（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）计算：=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={x|x2﹣5x+6=0}，则A∩（∁U B）=（）A．{4，5}B．{2，3}C．{1}D．{4}3．（4分）双曲线x2﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．4．（4分）有各不相同的5红球、3黄球、2白球，事件A：从红球和黄球中各选1球，事件B：从所有球中选取2球，则事件A发生是事件B发生的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（）A．7 B．8 C．9 D．106．（4分）若等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，记b n=，则（）A．数列{b n}是等差数列，{b n}的公差也为dB．数列{b n}是等差数列，{b n}的公差为2dC．数列{a n+b n}是等差数列，{a n+b n}的公差为dD．数列{a n﹣b n}是等差数列，{a n﹣b n}的公差为7．（4分）如图所示是函数y=f（x）的图象，则函数f（x）可能是（）A．（x+）cosx B．（x+）sinx C．xcosx D．8．（4分）设x1，x2∈（0，），且x1≠x2，下列不等式中成立的是（）①＞sin；②（cosx1+cosx2）＞cos；③（tanx1+tanx2）＞tan；④（+）＞．A．①②B．③④C．①④D．②③9．（4分）设x，y∈R，下列不等式成立的是（）A．1+|x+y|+|xy|≥|x|+|y|B．1+2|x+y|≥|x|+|y|C．1+2|xy|≥|x|+|y|D．|x+y|+2|xy|≥|x|+|y|10．（4分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知E，F分别是线段AB1与CA1上的动点，异面直线AB1与CA1所成角为θ，记线段EF中点M的轨边为L，则|L|等于（）A．|AB1|B．C．|AB1|•|CA1|•sinθB1C1的体积）D．•V（V是三棱柱ABC﹣A二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）11．（6分）已知直线l1：2x﹣2y+1=0，直线l2：x+by﹣3=0，若l1⊥l2，则b=；若l1∥l2，则两直线间的距离为．12．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．13．（6分）已知函数f（x）=，在F（x）=f（x）+1和G（x）=f（x）﹣1中，为奇函数，若f（b）=，则f（﹣b）=．14．（6分）已知随机变量X的分布列如下：则a=，数学期望E（X）=．15．（4分）己知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则直线的斜率为时，|AF|+4|BF|取得最小值．16．（4分）设单位向量，的夹角为锐角，若对任意的（x，y）∈{（x，y）|x+y|=1，xy ≥0}，都有|x+2y|≤成立，则•的最小值为．17．（4分）若函数f（x）=|asinx+bcosx﹣1|+|bsinx﹣acosx|（a，b∈R）的最大值为11，则a2+b2=．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cos2B=4cosB﹣3（Ⅰ）求角B的大小=，asinA+csinC=5sinB，求边b．（Ⅱ）若S△ABC19．（15分）已知四边形ABCD为直角梯形，∠BCD=90°，AB∥CD，且AD=3，BC=2CD=4，点E，F分别在线段AD和BC上，使FECD为正方形，将四边形ABFE沿EF翻折至使二面角B﹣EF﹣C的所成角为60°（Ⅰ）求证：CE∥面A′DB′（Ⅱ）求直线A′B′与平面FECD所成角的正弦值20．（15分）已知函数f（x）=（Ⅰ）求f（）及x∈[2，3]时函数f（x）的解析式（Ⅱ）若f（x）≤对任意x∈（0，3]恒成立，求实数k的最小值．21．（15分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F的坐标为（1，0），且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4（Ⅰ）求椭圆C的标准方程（Ⅱ）过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为Q′，试问△FPQ′的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．22．（14分）已知数列{x n}按如下方式构成：x n∈（0，1）（n∈N*），函数f（x）=ln（）在点（x n，f（x n））处的切线与x轴交点的横坐标为x n+1（Ⅰ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＞2x＜x n3（Ⅱ）证明：x n+1（Ⅲ）若x 1∈（0，a），a∈（0，1），求证：对任意的正整数m，都有log a+log a+…+log a＜•（）n﹣2（n∈N*）2016-2017学年浙江省金华十校联考高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）（2016•延庆县一模）计算：=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】按照复数除法的运算法则，分子分母同乘以1﹣i，计算化简即可．【解答】解：===1+i故选A【点评】本题考查复数除法的运算法则，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．2．（4分）（2016秋•金华期末）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={x|x2﹣5x+6=0}，则A∩（∁U B）=（）A．{4，5}B．{2，3}C．{1}D．{4}【分析】求出B中方程的解确定出B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由B中方程变形得：（x﹣2）（x﹣3）=0，解得：x=2或x=3，即B={2，3}，∵全集U={1，2，3，4，5}，∴∁U B={1，4，5}，∵A={1，2}，∴A∩（∁U B）={1}，故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．（4分）（2016秋•金华期末）双曲线x2﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．【分析】直接利用双曲线方程，求出实轴长以及焦距的长，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：双曲线x2﹣=1的实轴长为：2，焦距的长为：2=2，双曲线的离心率为：e===．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．4．（4分）（2016秋•金华期末）有各不相同的5红球、3黄球、2白球，事件A：从红球和黄球中各选1球，事件B：从所有球中选取2球，则事件A发生是事件B发生的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：事件A：从红球和黄球中各选1球，能推出事件B：从所有球中选取2球，是充分条件，事件B：从所有球中选取2球，推不出事件A：从红球和黄球中各选1球，不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题．5．（4分）（2013•广元二模）在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）【分析】由二项展开式的通项公式T r+12+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式T r=•（﹣1）r x r，+1∴该项的系数a r=（﹣1）r•，∵2a2+a n=0，﹣5∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即2+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．【点评】本题考查二项式定理的应用，着重考查二项式系数的概念与应用，由二项展开式的通项公式得到二项式系数a n=（﹣1）r•是关键，属于中档题．6．（4分）（2016秋•金华期末）若等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，记b n=，则（）A．数列{b n}是等差数列，{b n}的公差也为dB．数列{b n}是等差数列，{b n}的公差为2dC．数列{a n+b n}是等差数列，{a n+b n}的公差为dD．数列{a n﹣b n}是等差数列，{a n﹣b n}的公差为【分析】证明b n是等差数列．求出公差，然后依次对个选项判断即可【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，．b n==．b n﹣b n﹣1═﹣=（常数）．故得b n的公差为，∴A，B不对．数列{a n+b n}是等差数列，{a n+b n}的公差为d+=，∴C不对．数列{a n﹣b n}是等差数列，{a n﹣b n}的公差为d﹣=，∴D对．故选D【点评】本题考查了等差数列的定义证明和判断．属于基础题．7．（4分）（2016秋•金华期末）如图所示是函数y=f（x）的图象，则函数f（x）可能是（）A．（x+）cosx B．（x+）sinx C．xcosx D．【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，然后利用函数的变换趋势推出结果即可．【解答】解：由函数的图形可知：函数是奇函数，可知y=（x+）sinx不满足题意；当x→+∞时，y=（x+）cosx与y=xcosx满足题意，y=不满足题意；当x→0时，y=（x+）cosx满足题意，y=xcosx不满足题意，故选：A．【点评】本题考查函数的图象的应用，注意函数的奇偶性以及函数的变换趋势，是解题的关键．8．（4分）（2016秋•金华期末）设x1，x2∈（0，），且x1≠x2，下列不等式中成立的是（）①＞sin；②（cosx1+cosx2）＞cos；③（tanx1+tanx2）＞tan；④（+）＞．A．①②B．③④C．①④D．②③【分析】分别取，x2=验证①②不成立，取x1=，x2=验证③④成立，即可得答案．【解答】解：对于①，＞sin，取，x2=，则=，故①不成立，对于②，（cosx1+cosx2）＞cos，取，x2=，则（cosx1+cosx2）=，故②不成立，对于③，（tanx1+tanx2）＞tan，取x1=，x2=，则（tanx1+tanx2）=＞，故③成立，对于④，（+）＞，取x1=，x2=，则（+）=＞，故④成立．∴不等式中成立的是：③④．故选：B．【点评】本题考查了三角函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．9．（4分）（2016秋•金华期末）设x，y∈R，下列不等式成立的是（）A．1+|x+y|+|xy|≥|x|+|y|B．1+2|x+y|≥|x|+|y|C．1+2|xy|≥|x|+|y|D．|x+y|+2|xy|≥|x|+|y|【分析】根据特殊值法判断B、C、D错误，根据排除法判断A正确．【解答】解：对于B，令x=100，y=﹣100，不合题意，对于C，令x=100，y=，不合题意，对于D，令x=，y=﹣，不合题意，故选：A．【点评】本题考查了绝对值的性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题．10．（4分）（2016秋•金华期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知E，F分别是线段AB1与CA1上的动点，异面直线AB1与CA1所成角为θ，记线段EF中点M的轨边为L，则|L|等于（）A．|AB1|B．C．|AB1|•|CA1|•sinθB1C1的体积）D．•V（V是三棱柱ABC﹣A【分析】由题意画出图形，取特殊点得到M的轨迹为平行四边形区域，再由三角形面积求解．【解答】解：当E位于B1，A，而F在A1C上移动时，M的轨迹为平行于A1C的两条线段，当F位于A1，C，而E在AB1上移动时，M的轨迹为平行与AB1的两条线段．其它情况下，M的轨迹构成图中平行四边形内部区域．∴|L|=2×|AB1|•|CA1|•sinθ=|AB1|•|CA1|•sinθ．故选：C．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，利用特殊点得到M的轨迹是解答该题的关键，是压轴题．二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）11．（6分）（2016秋•金华期末）已知直线l1：2x﹣2y+1=0，直线l2：x+by﹣3=0，若l1⊥l2，则b=1；若l1∥l2，则两直线间的距离为．【分析】①由l1⊥l2，则﹣×=﹣1，解得b．②若l1∥l2，则﹣=﹣，解得b．利用平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：①∵l1⊥l2，则﹣×=﹣1，解得b=1．②若l1∥l2，则﹣=﹣，解得b=﹣1．∴两条直线方程分别为：x﹣y+=0，x﹣y﹣3=0．则两直线间的距离==．故答案为：1，．【点评】本题考查了平行与相互垂直的充要条件和平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．（6分）（2016•湖南模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为38+π．【分析】由三视图可知：该几何体是由了部分组成，上面是一个半球，下面是一个长方体．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由了部分组成，上面是一个半球，下面是一个长方体．∴该几何体的体积=+4×3×1=；其表面积=2×（3×1+3×4+1×4）﹣π×12+=38+π．故答案为：；38+π．【点评】本题考查了三视图的有关计算、长方体的体积与球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（6分）（2016秋•金华期末）已知函数f（x）=，在F（x）=f（x）+1和G（x）=f（x）﹣1中，G（x）为奇函数，若f（b）=，则f（﹣b）=．【分析】分别求出F（x）和G（x），根据函数的奇偶性判断即可，根据f（b）=，求出e b 的值，从而求出f（﹣b）的值即可．【解答】解：f（x）=，故F（x）=，G（x）=，而G（﹣x）=﹣G（x），是奇函数，若f（b）=，即=，解得：e b=3，则f（﹣b）===，故答案为：G（x），．【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数求值问题，是一道基础题．14．（6分）（2016秋•金华期末）已知随机变量X的分布列如下：则a=，数学期望E（X）=．【分析】由分布列的性质可得：+a++=1，解得a．再利用数学期望计算公式即可得出E（X）．【解答】解：由分布列的性质可得：+a++=1，解得a=．E（X）=1×+2×+3×+4×=．故答案为：，．【点评】本题考查了分布列的性质、数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（4分）（2016秋•金华期末）己知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则直线的斜率为±2时，|AF|+4|BF|取得最小值．【分析】由题意，设|AF|=m，|BF|=n，则=1，利用基本不等式可求m+4n的最小值时，m=2n．设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x1，y1），B（x2，y2）根据韦达定理可求得x1x2=1，x1+x2=2+根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，即可得出结论．【解答】解：由题意，设|AF|=m，|BF|=n，则=1，∴m+4n=（+）（m+4n）=5++≥9，当且仅当m=2n时，m+4n的最小值为9，设直线的斜率为k，方程为y=k（x﹣1），代入抛物线方程，得k2（x﹣1）2=4x．化简后为：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有x1x2=1，x1+x2=2+根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，∴x1+1=2（x2+1），联立可得k=±2．故答案为：±2．【点评】本题考查抛物线的性质和应用，正确运用基本不等式是关键．对于过抛物线焦点的直线与抛物线关系，常用抛物线的定义来解决．16．（4分）（2016秋•金华期末）设单位向量，的夹角为锐角，若对任意的（x，y）∈{（x，y）|x+y|=1，xy≥0}，都有|x+2y|≤成立，则•的最小值为．【分析】设单位向量，的夹角为θ，由|x+y|=1，xy≥0，得（x+ycosθ）2+（ysinθ）2=1；由|x+2y|≤得出[（x+ycosθ）2+（ysinθ）2][1+]≥，令t=cosθ，得出1+≥，求不等式的解集即可得•=cosθ的最小值．【解答】解：设单位向量，的夹角为锐角θ，由|x+y|=1，xy≥0，得x2+y2+2xycosθ=1，即（x+ycosθ）2+（ysinθ）2=1；又|x+2y|≤，所以[（x+ycosθ）2+（ysinθ）2][1+]≥（x+2y）2=，令t=cosθ，则1+≥，化简得64t2﹣60t+11≤0，即（16t﹣11）（4t﹣1）≤0，解得≤t≤，所以•=cosθ≥，即•的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量数量积与不等式的解法与应用问题，是综合性题目．17．（4分）（2016秋•金华期末）若函数f（x）=|asinx+bcosx﹣1|+|bsinx﹣acosx|（a，b∈R）的最大值为11，则a2+b2=50．【分析】化简asinx+bcosx为sin（x+α），化简bsinx﹣acosx 为﹣cos（x+α），可得f（x）的解析式，当f（x）达到最大值时，f（x）=﹣sin（x+α）+1+cos（x+α）=1+•cos（x+α+），结合题意可得1+•=11，由此求得a2+b2的值．【解答】解：∵asinx+bcosx=（sinx+cosx）=sin（x+α），其中，tanα=，又bsinx﹣acosx=[（﹣cosx ）+sinx]=﹣[cosx﹣sinx]=﹣cos（x+α）．∴函数f（x）=|asinx+bcosx﹣1|+|bsinx﹣acosx|=|sin（x+α）﹣1|+|cos（x+α）|f（x）达到最大值时，f（x）=﹣sin（x+α）+1+cos（x+α）=1+•cos（x+α+）．由于函数f（x）的最大值为11，∴1+•=11，∴a2+b2=50，故答案为：50．【点评】本题主要考查辅助角公式，三角恒等变换，余弦函数的值域，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（15分）（2016秋•金华期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cos2B=4cosB ﹣3（Ⅰ）求角B的大小（Ⅱ）若S=，asinA+csinC=5sinB，求边b．△ABC【分析】（Ⅰ）根据二倍角公式求出cosB的值，即可得出角B的大小；（Ⅱ）由三角形面积公式以及正弦、余弦定理，即可求出边b的大小．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，2cos2B=4cosB﹣3，∴2（2cos2B﹣1）=4cosB﹣3，即4cos2B﹣4cosB+1=0，解得cosB=；又B∈[0，π]，∴B=；=acsinB=acsin=，（Ⅱ）由面积公式得S△ABC解得ac=4，又asinA+csinC=5sinB，∴a2+c2=5b，由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB=5b﹣2×4×=5b﹣4，∴b2﹣5b+4=0，解得b=1或b=4；又a2+c2=5b≥2ac=8，∴b≥，故b=4．【点评】本题考查了三角恒等变换以及正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．19．（15分）（2016秋•金华期末）已知四边形ABCD为直角梯形，∠BCD=90°，AB∥CD，且AD=3，BC=2CD=4，点E，F分别在线段AD和BC上，使FECD为正方形，将四边形ABFE沿EF 翻折至使二面角B﹣EF﹣C的所成角为60°（Ⅰ）求证：CE∥面A′DB′（Ⅱ）求直线A′B′与平面FECD所成角的正弦值【分析】（I）如图所示，取FB′的中点M，连接CM，A′M．可得四边形A′EMB′是平行四边形．A′B′∥EM．同理可得A′D∥CM，可得平面EMC∥平面A′DB′，即可证明CE∥面A′DB′．（II）取DE的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系．∠A′ED=∠B′FC=60°．平面EFCD的一个法向量为=（0，0，1）．可得=．可得直线A′B′与平面FECD 所成角的正弦值=||．【解答】（I）证明：如图所示，取FB′的中点M，连接CM，A′M．∵A′E B′M，∴四边形A′EMB′是平行四边形．∴A′B′∥EM．∵A′M CD，∴四边形A′MCD是平行四边形，∴A′D∥CM，又∵CM∩EM=M，A′B′∩A′D=A′，∴平面EMC∥平面A′DB′，由CE⊂平面CME．∴CE∥面A′DB′．（II）解：取DE的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系．∠A′E D=∠B′FC=60°．则，A′，=．平面EFCD的一个法向量为=（0，0，1）．∴===﹣．∴直线A′B′与平面FECD所成角的正弦值=||=．【点评】本题考查了面面平行的判定定理与性质定理、平行四边形的判定与性质、线面角、数量积运算性质、直角三角形的边角关系、法向量的应用，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．20．（15分）（2016秋•金华期末）已知函数f（x）=（Ⅰ）求f（）及x∈[2，3]时函数f（x）的解析式（Ⅱ）若f（x）≤对任意x∈（0，3]恒成立，求实数k的最小值．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=可求f（）的值，由x∈[2，3]⇒x﹣2∈[0，1]，可求得此时函数f（x）的解析式；（Ⅱ）依题意，分x∈（0，1]、x∈（1，2]、x∈（2，3]三类讨论，利用导数由f（x）≤对任意x∈（0，3]恒成立，即可求得实数k的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（）=﹣f（）=f（）=×=．当x∈[2，3]时，x﹣2∈[0，1]，所以f（x）=[（x﹣2）﹣（x﹣2）2]=（x﹣2）（3﹣x）．（Ⅱ）①当x∈（0，1]时，f（x）=x﹣x2，则对任意x∈（0，1]，x﹣x2≤恒成立⇒k≥（x2﹣x3）max，令h（x）=x2﹣x3，则h′（x）=2x﹣3x2，令h′（x）=0，可得x=，当x∈（0，）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（，1）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，∴h（x）max=h（）=；②当x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，所以f（x）=﹣[（x﹣1）﹣（x﹣1）2]≤恒成立⇔k≥（x3﹣3x2+2x），x∈（1，2]．令t（x）=x3﹣3x2+2x，x∈（1，2]．则t′（x）=3x2﹣6x+2=3（x﹣1）2﹣1，当x∈（1，1+）时，t（x）单调递减，当x∈（1+，2]时，t（x）单调递增，t（x）max=t（2）=0，∴k≥0（当且仅当x=2时取“=”）；③当x∈（2，3]时，x﹣2∈[0，1]，令x﹣2=t∈（0，1]，则k≥（t+2）（t﹣t2）=g（t），在t∈（0，1]恒成立．g′（t）=﹣（3t2+2t﹣2）=0可得，存在t0∈[，1]，函数在t=t0时取得最大值．而t0∈[，1]时，h（t）﹣g（t）=（t2﹣t3）+（t+2）（t2﹣t）=t（1﹣t）（2t﹣1）＞0，所以，h（t）max＞g（t）max，当k≥时，k≥h（t）max＞g（t）max成立，综上所述，k≥0，即k min=0．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查分段函数的应用，突出考查分类讨论思想、函数方程思想及等价转化思想的综合运用，属于难题．21．（15分）（2016秋•金华期末）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F的坐标为（1，0），且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4（Ⅰ）求椭圆C的标准方程（Ⅱ）过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为Q′，试问△FPQ′的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的定义与几何性质，即可求出它的标准方程；（Ⅱ）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立，消去一个未知数，化为一元二次方程的问题，是否有最大值，利用基本不等式的性质，即可求得△FPQ′的面积是否存在最大值．判断S△TRQ【解答】解：（1）由题意可知：c=1，2a=4，即a=2，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）设直线l的方程为x=my+4，与椭圆的方程联立，得，消去x，得（3m2+4）y2+24my+36=0，∴△=（24m）2﹣4×36（3m2+4）=144（m2﹣4）＞0，即m2＞4；…6分设Q（x1，y1），R（x2，y2），则Q1（x1，﹣y1），由根与系数的关系，得y1+y2=﹣，y1•y2=；直线RQ1的斜率为k==，且Q1（x1，y1），∴直线RQ1的方程为y+y1=（x﹣x1）；令y=0，得x===，将①②代入上式得x=1；…9分又S=|ST|•|y1﹣y2|=•=18×=18×=18×△TRQ≤，当=，即m2=时取得“=”；∴△TRQ的面积存在最大值，最大值是．【点评】本题考查了圆锥曲线的定义域几何性质的应用问题，也考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，利用基本不等式求函数的最值问题，是综合性题目，属于中档题．22．（14分）（2016秋•金华期末）已知数列{x n}按如下方式构成：x n∈（0，1）（n∈N*），函数f（x）=ln（）在点（x n，f（x n））处的切线与x轴交点的横坐标为x n+1（Ⅰ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＞2x＜x n3（Ⅱ）证明：x n+1（Ⅲ）若x 1∈（0，a），a∈（0，1），求证：对任意的正整数m，都有log a+log a+…+log a＜•（）n﹣2（n∈N*）【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出f（x）＞2x即可；=ln（﹣1）+x n，从而证出（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，求出曲线方程，得到x n+1结论即可；（Ⅲ）得到b=＜a=b k﹣1＜b k﹣2＜…＜b0，问题转化为b0＜，根据（Ⅱ）证出即可．【解答】证明：（Ⅰ）设g（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x，则g′（x）=，故x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，1）递增，∴g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞2x；（Ⅱ）由f′（x）=+=，故曲线在点（x n，f（x n））处的切线方程是：y=（x﹣x n）+f（x n），=x n+f（x n）（﹣1），令y=0，则x n+1则x n=ln（﹣1）+x n，+1＜（2x n）•（﹣1）+x n=x n3；由（Ⅰ）及﹣1＜0得：x n+1（Ⅲ）令=b k，（k=0，1，2，…，m），∵x n＜，且a∈（0，1），x n∈（0，1），+k∴log a x n+k＞log a，从而b=＜a=b k﹣1＜b k﹣2＜…＜b0，∴log a+log a+…+log a=b0+b1+…+b m＜b0（1+++）=b0（1﹣）＜b0，要证log a+log a+…+log a＜•（）n﹣2（n∈N*），只需b0＜，即证b 0＜⇔a＜⇔x n＜，由（Ⅱ）以及x1∈（0，a）得：x n＜＜＜…＜＜，故原结论成立．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，曲线方程问题，考查不等式的证明，是一道综合题．。
金华一中16届高三考前模拟考试试题.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作金华一中2016届高三考前模拟考试试题数 学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ={x |1122x -<<}，N ={x | x 2 ≤ x }，则M ∩N = ( ▲ ) A ．1[0,)2 B ．1(,0]2- C ．1(,1]2- D ．1[1,)2- 2．“a =1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的 （ ▲ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确．．的是 ( ▲ ) A ．若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则m n ⊥ B ．若,m n αβ⊥⊥且m n ⊥，则αβ⊥C ．若/,/n m αβ⊥且n β⊥，则//m αD ．若,m n αβ⊂⊂且//m n ，则//αβ4．已知,αβ是锐角，且α≠45°，若cos()sin()αβαβ-=+，则tan β= （ ▲ ）A ． 2B ．3C ． 1D ．335.若函数y =)1(log 2+-ax x a 有最小值，则a 的取值范围是 ( ▲ )A.0<a <1B. 0<a <2，a≠1C. a ≥2D. 1<a <2 6．若数列{n a }满足11n a －－1=nd a （d N n ,*∈为常数），则称数列{n a }为调和数列．已知数列 {1}为调和数列，且x ＋x ＋…＋x ＝200，则x x +等于 ( ▲ )A ．10B ．20C ．30D ．407.双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 的左右焦点为21,F F ,渐近线分别为21,l l ，点P 在第一象限内 且在1l 上，若212,l PF l ⊥∥2PF ,则双曲线的离心率为 ( ▲ )A . 2 B. 3 C. 2 D. 528．已知函数R x f ∈)(,R x g ∈)(，有以下命题：① 若)()]([x f x f f =，则x x f =)(； ② 若x x f f =)]([，则x x f =)(；③若x x g f =)]([，且)()(y g x g =，则y x =；④若存在实数x ，使得x x g f =)]([有解，则存在实数x ，使得1)]([2++=x x x f g 。
浙江省高考数学模拟试卷15理科含答案word精校打印版可编辑
2016年高考模拟试卷数学卷命题双向细目表说明：题型及考点分布按照《2016考试说明》参考样卷。
说明1、本试卷的命题方向和命题意图主要从以下几点为出发点：（1）强化主干知识，强化知识之间的交叉，渗透和综合：基础知识全面考，重点知识重点考，注意信息的重组及知识网络的交叉点。
（2）淡化特殊技巧，强调数学思想方法。
考查与数学知识联系的基本方法、解决数学问题的科学方法。
（3）深化能力立意，突出考察能力与素质，对知识的考察侧重于理解和运用。
淡化繁琐、强调能力，提倡学生用简洁方法得出结论。
（4）控制难度. “易︰中︰难=3︰5︰2” .（5）新增知识考查力度及所占分数比例可略超课时比例。
基础题象“会考”，压轴题似“竞赛”.2、试卷结构与2016年样卷保持一致（1）题型结构为， 8道选择、7道填空、5道解答的结构；（2）赋分设计为，选择每题5分、填空题单空体每题4分，多空题每题6分，解答题共74分；（3）考查的内容，注重考查高中数学的主干知识：函数，三角函数和解三角形，立体几何，解析几何，数列等。
3、立足基础，突出主干命题把重点放在高中数学课程中最基础、最核心的内容上，充分关注考生在学习数学和应用数学解决问题中必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用技能。
对基础知识的考查主要集中在小题上，具体知识点分布在集合、向量、直线与圆、数列、函数图像、函数性质、线性规划、三视图、三角函数、圆锥曲线性质、空间角等内容上，而且小题的考查直接了当，大部分是直接考查单一知识点，试卷对中学数学的核心内容和基本能力，特别是对高中数学的主干知识进行较为全面地考查。
注重了知识之间的内在联系，重点内容重点考，没有片面追求知识及基本思想、方法的覆盖面，反映了新课程的理念。
4、试题难度适中，层次分明试卷在三种题型中体现出明显的层次感，选择题、填空题、解答题，层层递进。
试卷的入口题和每种题型的入口题较好的把握了难度。
试卷对较难的解答题利用分步给分的设计方法，在化解难度的同时，又合理区分不同层次的考生。
浙江省金华十校2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题含答案
金华十校2016-2017学年第二学期期末调研考试高一数学试题卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合11{|}22M x x =-<<，2{|}N x xx =≤，则MN =（ )A ．1[0,)2B ．1(,1]2- C ．1[1,)2- D ．1(,0]2- 2．直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是( ） A ．2350x y -+= B ．2380x y -+= C ．3210x y +-= D ．3270x y ++=3．已知奇函数()f x 当0x >时，()(1)f x x x =-，则当0x <时，()f x 的表达式是( ）A ．(1)x x -+B ．(1)x x --C ．(1)x x +D ．(1)x x - 4．将函数sin(2)y x ϕ=+的图像沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图像,则ϕ的一个可能取值为（ ）A ．34π B ．4π C ．0 D ．4π-5．设等差数列{}na 的前n 项和为nS ，若111a=-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于（ ）A ．9B ．8C ． 7D ．66．在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知14b c a -=,2sin 3sin B C =，则cos A =（ ）A ．14- B ．14C ． 78D ．11167．已知,x y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若z x y λ=+的最小值为6,则λ的值为（ )A ．2B ．4C ． 2和4D ．[2,4]中的任意值 8．已知,a b 是单位向量，且,a b 的夹角为3π，若向量c 满足|2|2c a b -+=，则||c 的最大值为( ) A．2 B．2 C2 D29．已知实数,x y 满足方程22220xy x y ++-=，则||||x y +的最大值为（)A ．2B ．4 C． D．2+10．已知各项均不为零的数列{}na ，定义向量*1(,),(,1),nn n n ca ab n n n N +==+∈．下列命题中真命题是（ ) A ．若任意*n N ∈总有nn cb ⊥成立,则数列{}n a 是等比数列B ．若任意*n N ∈总有//nn cb 成立，则数列{}n a 是等比数列 C ．若任意*n N ∈总有nn cb ⊥成立,则数列{}n a 是等差数列D ．若任意*n N ∈总有//nn cb 成立，则数列{}n a 是等差数列二、填空题：本大题有7小题，多空题每题6分,单空题每题4分，共36分，把答案填在答题卷的相应位置． 11．设函数220()log 0xx f x xx ⎧≤=⎨>⎩，设1(())2f f = ．12．若1sin()cos()5x x ππ+++=-，(0,)x π∈,则sin 2x =,tan x = ．13．已知点(2,1)P ，直线:40l x y --=，则点P 到直线l 的距离为 ，点P 关于直线l 对称点的坐标为 ． 14．设nS 表示数列{}na 的前n 项和,已知51013SS =，若{}n a 是等比数列，则公比q = ;若{}na 是等差数列，则1020SS = ．15．在ABC ∆中,角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知3,2,3a b A π===,则B =； ABC S ∆= ．16．已知正数,a b 满足1ab a b =++，则2a b +的最小值为 ． 17．已知m R ∈,要使函数2()|492|2f x xx m m =-+-+在区间[0,4]上的最大值是9，则m 的取值范围是 ．三、解答题 ：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点(3,1)A ，点B 是x 轴上一点,AB OA ⊥，OAB ∆的外接圆为圆C ．(Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ） 求圆C 在点A 处的切线方程． 19．已知函数23()cos sin()334f x x x x π=++，x R ∈． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；(Ⅱ） 求()f x 在闭区间[,]44ππ-上的最大值和最小值．20．在ABC ∆中，23AB AC ==120BAC ∠=，点,M N 在线段BC 上． （Ⅰ)若7AM =BM的长；（Ⅱ）若1MN =，求AMAN 的取值范围．21．已知函数222||2(1)()1(1)x a x a x f x ax a x ⎧---≥-⎪=⎨--<-⎪⎩（a R ∈)． (Ⅰ）当2a =时，解不等式()2f x ≤；(Ⅱ)证明:方程()0f x =最少有1个解,最多有2个解，并求该方程有2个解时实数a 的取值范围．22．已知各项均不相等的等差数列{}na 的前n 项和为nS ,1045S=，且359,,a a a 恰为等比数列{}nb 的前三项，记1()()nn m n m cb a b a +=--．(Ⅰ）分别求数列{}na 、{}nb 的通项公式； （Ⅱ)若17m =，求nc 取得最小值时n 的值；(Ⅲ）当1c 为数列{}n c 的最小项时，m 有相应的可取值，我们把所有ma 的和记为1;A ；当ic 为数列{}nc 的最小项时,m 有相应的可取值，我们把所有ma 的和记为;iA ，令12nn TA A A =+++，求n T ．试卷答案一、选择题1-5： ACCBD 6-10： ABABD 二、填空题11． 1212．2425-；43- 13;(5,2)-1431015．4π 16．7 17．7(,]2-∞三、解答题18．解:(Ⅰ)设(,0)B a 由1OAOB KK =-得a =∵Rt OAB ∆，∴圆C 以OB 为直径， C ， r =．圆C 的方程为224(3x y +=．（Ⅱ）可得3ACk=,则切线斜率33k =-．∴过点A 的切线方程为:31(3)3y x -=--即323y x =-+．19．解:（Ⅰ）13()cos (sin )2f x x x x =233x -+2133sin cos 224x x x =-+13sin 2244x x =- 1sin(2)23x π=-， ∴()f x 的最小正周期22T ππ==．(Ⅱ）由3222232k x k πππππ-≤-≤-解得71212k x k ππππ-≤≤-； 由222232k x k πππππ-≤-≤+解得51212k x k ππππ-≤≤-；∴()f x 的单调递减区间是7[,]1212k k ππππ--，k Z ∈;单调递增区间是5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈，∴()f x 在区间[,]412ππ--上是减函数，在区间[,]124ππ-上是增函数,又1()44f π-=-，1()122f π-=-，1()44f π-=,∴函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值为14，最小值为12-．20．解：(Ⅰ)在ABM ∆中由余弦定理得2223AM BM AB BM =+,即2712323BMBM =+得2650BM BM -+=解得1BM =或5．(Ⅱ）取BC 的中点O ，连接AO ,以,BC OA 分别为,x y 轴，建立直角坐标系，则(3,0),(3,0)A B C -设(,0),(1,0M t N t +），(,AM t =，(1,AN t =+23AM AN t t =++=2111()(32)24t t ++-≤≤当12t =-时，有最小值为114，当2t =时有最大值为9．AM AN 的范围11[,9]4．21．解：（Ⅰ)∵2a =，∴22||6(1)()25(1)x x x f x x x ⎧--≥-=⎨-<-⎩， 当1x ≥-时，由2()2||62f x xx =--≤，解得2||4x -≤≤，∴14x -≤≤,当1x <-时，由()252f x x =-≤,解得72x ≤，∴1x <-， 综上所得，不等式()2f x ≤的解集是{}|4x x ≤． （Ⅱ）证明：（1)当0x ≥时，注意到：2580a ∆=+>,记2220x ax a ---=的两根为12,x x ，∵21220x xa =--<，∴()0f x =在(0,)+∞上有且只有1个解；(2）当1x <-时,2()10f x ax a =--=，1）当0a =时方程无解，2)当0a ≠时，得1x a a=+,01 若0a >,则10x a a=+>，此时()0f x =在(,1)-∞-上没有解；02若0a <，则12x a a=+≤-，此时()0f x =在(,1)-∞-上有1个解；（3）当10x -≤<时，22()2f x x ax a =+--,∵2(0)20f a=--<,2(1)10f a a -=---<,∴22()20f x x ax a =+--<，∴()0f x =在[1,0)-上没有解．综上可得,当0a ≥时()0f x =只有1个解；当0a <时()0f x =有2个解．22．解:（Ⅰ)由25391045a a a S ⎧=⋅⎪⎨=⎪⎩21111(4)(2)(8)10(101)10452a d a d a d a d ⎧+=++⎪⇒⎨⋅-+=⎪⎩101a d =⎧⇒⎨=⎩， ∴1nan =-，∴1325392,4,8b ab a b a ======，易得2n n b =．（Ⅱ)若17m =,则12(216)(216)2(212)32n n n nc+=--=--，当3n =或4n =，nc 取得最小值0． （Ⅲ）1()()nn m n m c b a b a +=--21223(1)2(1)n n m m +=--+-，令2nn t =，则22()23(1)(1)n n n n c f t t m t m ==--+-，根据二次函数的图象和性质,当1c 取得最小值时，1t 在抛物线对称轴3(1)4nm t-=的左、右侧都有可能，但234tt t ≤≤≤都在对称轴的右侧，必有234cc c ≤≤≤．而1c 取得最小值，∴1234c c c c ≤≤≤≤,等价于12cc ≤．由12cc ≤解得15m ≤≤，∴112510A a a a =+++=，同理,当(2,3,)ic i =取得最小值时,只需1212i i i i i i c c c c c c --++≤≤≤⎧⎨≤≤≤⎩11i ii ic c c c -+≥⎧⇔⎨≥⎩ 解得12121ii m ++≤≤+，∴1212221i i i iA aa a ++++=+++2113232i i --=⋅+⋅．可得10(1)24324(2)nn nn Tn =⎧=⎨⋅+⋅-≥⎩*24324()n n n N =⋅+⋅-∈．。
【全国百强校首发】浙江省金华十校2016届高三上学期调研考试(理)数学试题
1金华十校2015-2016学年第一学期调研考试高三数学（理科）试题卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集R U =，集合{}0322≤--=x x x M ，{}12+-==x y y N ，则=)(N C M U （ ）A ．{}11≤≤-x xB ．{}11<≤-x xC ．{}31≤≤x xD ．{}31≤<x x 2.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的体积是（ ） A ．34 B ．2 C ．38D ．43.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，32a S =，且k a a a ,,21成等比数列，则=k （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.对于命题,:0R x p ∈∃使0202sin 4sin x x +最小值为4；命题R x q ∈∀:，都有012>++x x ，给出下列结论正确的是（ ）A ．命题“q p ∧”是真命题B ．命题“q p ∧⌝”是真命题C ．命题“q p ⌝∧”是真命题D ．命题“q p ⌝∨⌝”是假命题5.已知抛物线)0(2:2>=p px y C ，O 为坐标原点，F 为其焦点，准线与x 轴交点为E ，P 为抛物线上任意一点，则PEPF ( )2A ．有最小值22B ．有最小值1C ．无最小值D ．最小值与p 有关6.“%”运算使]4,2)%[3,1(]4,2()5,4)%(5,2(=，则{}{}{}=6,4,2%5,3,1%5,4,3,2,1（ ） A ．{}6,5,4,3,2,1 B ．∅ C ．{}4,2 D ．{}5,3,17.设函数)(x f y =定义域为D ，且对任意D a ∈，都有唯一的实数b 满足b a f b f -=)(2)(.则该函数可能是（ ）A ．x x f 1)(=B ．x x f =)(C ．x x f 2)(=D ．xx x f 1)(+= 8.在四面体ABCD 中，已知BC AD ⊥，6=AD ，2=BC ，且2==CDACBD AB ，则ABCD V 四边形的最大值为（ ）A ．6B ．112C ．152D ．8第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.将答案填在答题纸上）9.已知双曲线14522=-y x 的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线右支上一点，则=-21PF PF _____；离心率=e _____.10.已知函数⎩⎨⎧>-≤-=1),1(1,13)(x x f x x f x ，则=))2((f f _____，值域为______.11.将函数x y 2si n =的图象向右平移ϕ个单位长度后所得图象的解析式为)62sin(π-=x y ，则3=ϕ___)20(πϕ<<，再将函数)62sin(π-=x y 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象的解析式为_______.12.若34=a，则=+3log 3log 82____.（用a 表示） 13.实数y x ,满足不等式组⎩⎨⎧≤≤≥-+--,20,0)52)(1(x y x y x 则1++=x y x t 的取值范围是_____.14.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，动点M 在线段11D C 上，E 、F 分别为AD 、AB 的中点.设异面直线ME 与DF 所成的角为θ，则θsin 的最小值为_____.15.已知ABC ∆的外心为O ，c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,的对边，且0236=⋅+⋅+⋅ABCO CA BO BC AO ，则c b a ,,的关系为_____，B ∠的取值范围为______.三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本题满分15分）在锐角ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且21=a ，C B A c b a sin sin sin ++=++. （1）求角A 的大小； （2）求ABC ∆周长的最大值. 17.（本题满分15分）如图，在矩形ABCD 中，已知4,2==AD AB ，点E 、F 分别在AD 、BC 上，且1=AE ，3=BF ，将四边形AEFB 沿EF 折起，使点B 在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上. （1）求证：BE CD ⊥； （2）求线段BH 的长度；4（3）求直线AF 与平面EFCD 所成角的正弦值.19.（本题满分15分）椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的上、下顶点分别为B A ,，右焦点为F ，点)13392,13132(P 在椭圆C 上，且AF OP ⊥.（1）求椭圆C 的方程；（2）设不经过顶点B A ,的直线l 与椭圆交于两个不同的点),(),,(2211y x N y x M ，且21121=+x x ，求椭圆右顶点D 到直线l 距离的取值范围.20.（本题14分）已知数列{}n a 满足11=a ，)(121*-∈+=N n a a a nnn .5（1）证明：当1≥n ，*∈N n 时，122≤≤+n a n ； （2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：)(12*∈-≤N n n S n .金华十校2015-2016学年第一学期调研考试高三数学（理科）卷参考答案一、选择题1.D2.A3.D4.B5.A6.B7.C8.C 二、填空题9.553,52 10.]2,1(,2- 11.)6sin(,12ππ-=x y12.38a 13.]5,0[ 14.521 15.30,2222π≤<=+B b c a 三、解答题16.解：（1）设ABC ∆的外接圆的半径为R ，则)sin sin (sin 2C B A R c b a ++=++，)sin(3221)sin()231(41212ϕϕ+++=++++=B B ， 故ABC ∆周长的最大值3221++（或2621++）. 17.解：（1）由于⊥BH 平面CDEF ，∴CD BH ⊥，又由于DE CD ⊥，H DE BH = ， ∴E B D CD 平面⊥，∴BE CD ⊥.法一：（2）设h BH =，k EH =，过F 作FG 垂直ED 于点G ，因为线段BE ，BF 在翻折过程中长度不6变，根据勾股定理：⎩⎨⎧-++=+=⇒⎩⎨⎧++=+=+=22222222222222)2(295k h k h GH FG BH FH BH BF EH BH BE ，可解得⎩⎨⎧==12k h ， ∴线段BH 的长度为2.（2）延长BA 交EF 于点M ，因为3:1::==MB MA BF AE ，∴点A 到平面EFCD 的距离为点B 到平面EFCD 距离的31，∴点A 到平面EFCD 的距离为32，而13=AF ，直线AF 与平面EFCD 所成角的正弦值为39132. 法二：（2）如图，过点E 作DC ER ∥，过点E 作⊥ES 平面EFCD ，分别以ER 、ED 、ES 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点)0,0)(,,0(>>z y z y B ，由于)0,2,2(F ，5=BE ，3=BF ，∴⎩⎨⎧=+-+=+9)2(4,52222z y z y 解得⎩⎨⎧==,2,1z y 于是)2,1,0(B ，所以线段BH 的长度为2. （3）从而)2,1,2(--=FB ，故)32,31,32(31--==FB EA ，)32,37,38(--=+=EA FE FA ， 设平面EFCD 的一个法向量为)1,0,0(=n ，设直线AF 与平面EFCD 所成角的大小为θ，则39132sin =⋅⋅=nFA n FA θ. 18.解：（1）8)1(8)1(-=>+=-a f a f ，216)4(≥=aaf ， ①当40≤<a 时，即a41≤，则8)1()(max +=-=a f x f ； ②当84≤<a 时，8)1()(max +=-=a f x f 或aa f 16)4(=，7当aa 168=+时，424-=a ，所以当424->a 时，8)1()(max +=-=a f x f . 综上，8)(max +=a x f.（2）282)(2--=-=x ax x f y ，对称轴ax 4=， ①8≥a 时，要使函数2)(-=x f y 在区间],0[b 上单调递减， 则]4,0[],0[a b ⊆，即a b 4≤，又因为2140≤<a ，所以21≤b ； ②当80<<a 时，aax 21642--=，要使函数2)(-=x f y 在区间],0[b 上单调递减，则]2164,0[],0[a a b --⊆，即aa ab 216422164-+=--≤， 又因为42160<-<a ，∴821644<-+<a ，∴212164241<-+<a ，即21<b .综上，21max =b . 19.解：（1）因为点)13392,13132(P ，所以3=O P k ，又因为OP AF ⊥，13-=⨯-c b ，∴b c 3=，∴224b a =.又点)13392,13132(P 在椭圆上，∴1131313124134131213422222==+=+b b b b a ， 解之得42=a ，12=b ，故椭圆方程为1422=+y x .8（2）①当直线l 的斜率不存在时，方程为：1=x ，此时1=d . ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：)1(±≠+=m m kx y联立椭圆方程得：0)1(48)14(222=-+++m kmx x k ，设点),(),,(2211y x N y x M ，由韦达定理：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+14)1(41482221221k m x x k km x x ，014022>+-⇒>∆m k （1） 由14)1(421482)(211222212121+-=+-⇒=+⇒=+k m k km x x x x x x ， 即：)0(112≠-=⇒-=m mk m km （2） 把（2）式代入（1）式得：342>m 或102<<m ，椭圆右顶点)0,2(D 到直线l 的距离1211212242222+--=-+-=++=m m m m mm mk m k d1)1(311442422424+---=+-+-=m m m m m m m ， 令),31()0,1(12+∞-∈=- t m ，则)2,1()1,0[11311312 ∈++-=++-=tt t t t d ，由①②可知：)2,0[∈d .20.解：（1）由已知条件易知：0>n a ，且n nn a a a +=+111，（*） ∴0111>>+nn a a ，因此n n a a <+1，即数列{}n a 是递减数列，故11=≤a a n . 当*∈≥N n n ,2时，212=≤a a n .9又由（*）知，)2(211111≥+≤+=+n a a a a n n n n ， 利用累加可得：121)2(21112+=-+≤n n a a n ，即*∈≥+≥N n n n a n ,2,22， 经验证：当1=n 时，3221211=+≥=a 也成立. 因此当*∈≥N n n ,1时，122≤≤+n a n . （2）将（*）式平方可得：2112221++=+n nn a a a ， 累加可得：)2(,2)1(22)1(211212221212≥=-+≥-++⋅⋅⋅+++=-n n n n a a a a a n n ， ∴)1(21222--=-+≤≤n n n n n a n . 因此当*∈≥N n n ,2时，212)12312(2121-+=--+⋅⋅⋅+-+-+≤+⋅⋅⋅++=n n n a a a S n n ，只需证：12212-≤-+n n ，即证21212+-≤+n n ,两边平方整理得：1222122212-++≤++n n n n ，即12-≤n n ， 再次两边平方即证：1≥n ，显然成立.经验证：当1=n 时，111211=-⨯≤=S 也成立. 故)(12*∈-≤N n n S n .1。
2016-2017学年浙江省金华十校高二下学期期末考试数学试题(解析版)
2016-2017学年金华十校第二学期期末调研考试高二数学试题卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设（为虚数单位），则（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】..故选C.2.不等式的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得，即不等式的等价条件是，则不等式的一个充分不必要条件一个是的一个真子集，则满足条件是，故选：A.3.在的展开式中，含的项的系数为（）A. 20B. 40C. 80D. 160【答案】D【解析】∵，∴，令，解得，∴含的项的系数为.故选：D.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面四个命题中不正确．．．的是（）A. 若则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】由a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，知：在A中,若a⊥b,a⊥α,b⊄α,则由线面平行的判定定理得b∥α，故A正确；在B中，若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中,若a∥α，α⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中,若a⊥β,α⊥β,则a∥α或a⊂α，故D错误。
故选：D.5.已知双曲线的一个焦点在直线x＋y＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】根据题意,双曲线的方程为，则其焦点在x轴上，直线与x轴交点的坐标为，则双曲线的焦点坐标为，则有，解可得，，则双曲线的方程为：，其渐近线方程为：，故选：B.6.用数学归纳法证明不等式时，从到不等式左边增添的项数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时,不等式左边为,共有项，当时,不等式坐左边为,共有项，∴增添的项数.故答案为：C.7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 64B. 128C. 252D.【答案】B【解析】由三视图得到几何体是底面为直角三角形的三棱锥,高为8,表面积为；故选：B.点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．8.五个人参加抽奖活动，现有5个红包，每人各摸一个，5个红包中有2个8元，1个18元，1个28元，1个0元，（红包中金额相同视为相同红包），则两人都获奖（0元视为不获奖）的情况有（）A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 48种【答案】C【解析】A，B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有三类：即获奖的四人为：ABCD，ABCE，ABDE，在每类情况中,获奖的情况有：种，∴由乘法原理得：A.B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有：3×12=36种。
2016年高考理科数学浙江卷(含答案解析)
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学(理科)本试卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至6页.满分150分，考试时间120分钟. 考生注意:1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别书写在试卷和答题纸规定的位置上.2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上书写作答，在本试卷上作答，一律无效.选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{13}P x x =∈R ≤≤，2{4}Q x x =∈R ≥，则()P Q =R( )A . []2,3B . (]2,3-C . [)1,2D . (][),21,-∞-+∞2．已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m α∥，n β⊥，则 ( ) A . m l ∥ B . m n ∥ C . n l ⊥D . m n ⊥2．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域20,0,340,x x y x y -⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ，则||AB =( )A . 22B . 4C . 32D . 6 4．命题“*x n ∀∈∃∈R N ，，使得2n x >”的定义形式是( )A . *x n ∀∈∃∈R N ，，使得2n x <B . *x n ∀∈∀∈R N ，，使得2n x <C . *x n ∃∈∃∈R N ，，使得2n x <D . *x n ∃∈∀∈R N ，，使得2n x <5.设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期( )A . 与b 有关，且与c 有关B . 与b 有关，但与c 无关C . 与b 无关，且与c 无关D . 与b 无关，但与c 有关6.如图，点列{},{}n n A B 分别在某锐角的两边上，且112||||n n n n A A A A +++=，2n n A A +≠，*n ∈N ，112||||n n n n B B B B +++=，2n n B B +≠，*n ∈N （P Q ≠表示点P 与Q 不重合），若||n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则( )A . {}n S 是等差数列B . 2{}nS 是等差数列 C . {}n d 是等差数列 D . 2{}nd 是等差数列 7. 已知椭圆()212211x m C y m +=>：与双曲线()2222–10n x C y n=>：的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则( )A . 121m n e e >>且B . 121m n e e ><且C . 121m n e e <>且D . 121m n e e <<且 8. 已知实数a ，b ，c .( )A . 若22|||1|a b c a b c +++++≤，则222100a b c ++<B . 若22|||1|–a b c a b c ++++≤，则222100a b c ++<C . 若22|||–1|a b c a b c ++++≤，则222100a b c ++<D . 若22|||–1|a b c a b c ++++≤，则222100a b c ++<非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 9. 若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______. 10. 已知()()2sin 2cos i 20s n x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______，b =________. 11. 某几何体的三视图如图所示（单位:cm ），则该几何体的表面积是______cm 2，体积是______cm 3.12. 已知1a b >>.若log lo 52g a b b a +=，b a a b =，则a = ，b = . 13. 设数列{}n a 的前n 项和为n S 若21421n n S a S n +==+∈*N ，，，则1a = ，5S = .14. 如图，在ABC △中，2120AB BC ABC ==∠=︒，.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD DA PB BA ==，，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .15. 已知向量a ，b ，|a |=1，|b |=2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |+|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是 .-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________三、解答题:本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分14分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2cos b c a B +=. （Ⅰ）证明:2A B =； （Ⅱ）若ABC △的面积2=4aS ，求角A 的大小.17.（本小题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面BCFE ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，BE =1EF FC ==，2BC =，3AC =.（Ⅰ）求证:BF ⊥平面ACFD ；（Ⅱ）求二面角B AD F --的平面角的余弦值.18.（本小题满分15分） 已知3a ≥，函数2{||min 2}1242F x x x ax a =--+-（），，其中,min{}.,p p q q p q p q ⎨⎩=⎧≤，＞， （Ⅰ）求使得等式2242F x x ax a =-+-（）成立的x 的取值范围； （Ⅱ）（i ）求()F x 的最小值()m a ； （ii ）求()F x 在区间[0,6]上的最大值()M a .19.（本小题满分15分）如图，设椭圆22211x y a a+=（＞）.（Ⅰ）求直线1y kx =+被椭圆截得的线段长（用a ，k 表示）；（Ⅱ）若任意以点0,1A （）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.20.（本小题满分15分）设数列{}n a 满足1||12n n a a +-≤，n ∈*Ν. （Ⅰ）证明：112(||2)n n a a --≥，n ∈*Ν；（Ⅱ）若3||2nn a ≤（），n ∈*Ν，证明：||2n a ≤，n ∈*Ν.2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科数学答案解析选择题部分一、选择题 1.【答案】B【解析】2{|}{Q x x 4x |x 2x 2}=∈≥=∈≥≤R R 或﹣，即有R{|Q x 2}x 2-=∈<<R ，则R P(Q)23](,=-【提示】运用二次不等式的解法，求得集合Q ，求得Q 的补集，再由两集合的并集运算，即可得到所求 【考点】并集及其运算 2.【答案】C【解析】∵互相垂直的平面α，β交于直线l ，直线m ，n 满足m α∥，∴m β∥，m ⊆β或m ⊥β，l ⊆β，∵n ⊥β，∴n l ⊥．故选：C ． 【提示】由已知条件推导出l ⊆β，再由n ⊥β，推导出n l ⊥ 【考点】直线与平面垂直的判定 3.【答案】C【解析】做出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），区域内的点在直线x y 20+-=上的投影构成线段R Q ''，即SAB ，而R Q RQ ''=，由x 3y 44x y 0-+=⎧⎨+=⎩得x 1y 1=-⎧⎨=⎩，即Q(1,1)-，由x 2x y 0=⎧⎨+=⎩得x 2y 2=⎧⎨=-⎩，即R(2,2)﹣，则AB QR ==故选：C【提示】做出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可 【考点】简单线性规划的应用． 4.【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“x ∀∈R ，n ∃∈*N ，使得2n x ≥”的否定形式是：x ∃∈R ，n ∀∈*N ，使得2n x <.故选：D ．【提示】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【考点】命题的否定． 5.【答案】B【解析】∵设函数2f (x)sin x bsinx c =++，∴c 是图像的纵坐标增加了c ，横坐标不变，故周期与c 无关，当b 0=时，211f (x)sin x bsinx c cos2x c 22=++=-++的最小正周期为2πT π2==，当b 0≠时，11f x cos2x bsinx c 22=-+++（）， ∵y cos2x =的最小正周期为π，y bsinx =的最小正周期为2π， ∴f (x)的最小正周期为2π，故f (x)的最小正周期与b 有关，故选：B. 【提示】根据三角函数的图像和性质即可判断 【考点】三角函数的周期性及其求法． 6.【答案】A【解析】设锐角的顶点为O ，1|OA |a =，1|OB |b =，n n 1n 1n 2A A A |||A b |+++==，n n 1n 1n 2B B B |||B d |+++==，由于a ，b 不确定，则n {d }不一定是等差数列，2n {d }不一定是等差数列，设n n n 1A B B +△的底边n n 1B B +上的高为n h ，由三角形的相似可得n n n 1n 1h OA a (n 1)bh OA a nb+++-==+，n 2n 2n 1n 1h OA a (n 1)bh OA a nb++++++==+， 两式相加可得n n 2n 1h h 2a 2b2h a nb ++++==+，即有n n 2h h 2++=，由n n 1S d h 2=，可得n n 2n 1S S 2S +++=，即为n 2n 1n 1n S S S S +++-=-，则数列n {S }为等差数列．故选：A ．【提示】设锐角的顶点为O ，1|OA |a =，1|OB |b =，n n 1n 1n 2A A A |||A b |+++==，n n 1n 1n 2B B B |||B d |+++==，由于a ，b 不确定，判断C ，D 不正确，设n n n 1A B B +△的底边n n 1B B +上的高为n h ，运用三角形相似知识，n n 2n 1h h 2h +++=，由n n 1S d h 2=，可得n n 2n 1S S 2S +++=，进而得到数列n {S }为等差数列 【考点】数列与函数的综合． 7.【答案】A【解析】∵椭圆2212C y 1,(x 1m ):m +=>与双曲线2222C y 1,(x )m0:n =->的焦点重合，∴满足222c m 1n 1-==+，即22m n 20-=>，∴22m n >，则m n >，排除C ，D 则222c m 1m -=<，222c n 1n =+>，则c m <、c n >，1c e m =，2ce n=， 则212c c c e e m n mn==， 则221222222222222222222c c (e e m n m n (m 1)(n 1)m n (m n )1m m n m n n 111m n )11-+----⎛⎫==⎛⎫= ⎪⎝⎭=+=+> ⎪⎝⎭∴12e e 1>，故选：A ．【提示】根据椭圆和双曲线有相同的焦点，得到222c m 1n 1-==+，即22m n 2-=，进行判断，能得m n>，求出两个离心率，先平方进行化简进行判断即可 【考点】椭圆的简单性质，双曲线的简单性质． 8.【答案】D【解析】A ．设a b 10==，c 110=-，则22a b c ||a c 1||b 0+++++=≤，222a b c 100++>；B ．设a 10=，b 100=-，c 0=，则22a b c ||a b c 0|1|++++-=≤，222a b c 100++>；C ．设a 100=，b 100=-，c 0=，则22a b c a b c 0|||1|+++-=≤+，222a b c 100++>；故选：D ．【提示】本题可根据选项特点对a ，b ，c 设定特定值，采用排除法解答 【考点】命题的真假判断与应用．非选择题部分二、填空题 9.【答案】9【解析】解：抛物线的准线x 1=-，∵点M 到焦点的距离为10，∴点M 到准线x 1=-的距离为10，∴点M 到y 轴的距离为9，故答案为：9【提示】根据抛物线的性质得出M 到准线x 1=-的距离为10，故到y 轴的距离为9 【考点】抛物线的简单性质． 10.【解析】∵22cos x sin2x 1cos2x sin2x +=++1122⎫=+++⎪⎪⎭π2x 14⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴A =b 1=【提示】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案 【考点】两角和与差的正弦函数． 11.【答案】72 32【解析】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm 的小正方体所构成的，则其表面积为222(246)72cm ⨯-=，其体积为34232⨯=，故答案为：72，32【提示】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm 的小正方体所构成的，代入体积公式和面积公式计算即可． 【考点】由三视图求面积、体积 12.【答案】4 2【解析】解：设b t log a =，由a b 1>>知t 1>，代入a b 5log b log a 2+=得15t t 2+=，即22t 5t 20-+=，解得t 2=或1t 2=（舍去），所以b log a 2=，即2a b =，因为b a a b =，所以2b a b b =，则2a 2b b ==，解得b 2=，a 4=， 故答案为：4；2.【提示】设b t log a =并由条件求出t 的范围，代入a b 5log b log a 2+=化简后求出t 的值，得到a 与b 的关系式代入b a a b =化简后列出方程，求出a 、b 的值． 【考点】对数的运算性质． 13.【答案】1 121【解析】由n 1=时，11a S =，可得211a 2S 12a 1=+=+，又2S 4=，即12a a 4+=， 即有13a 14+=，解得1a 1=；由n 1n 1n a S S ++-=，可得n 1n S 3S 1+=+，由2S 4=，可得3S 34113=⨯+=，4S 313140=⨯+=，5S 3401121=⨯+= 故答案为：1，121.【提示】运用n 1=时，11a S =，代入条件，结合2S 4=，解方程可得首项；再由n 1>时，n 1n 1n a S S ++-=，结合条件，计算即可得到所求和．【考点】数列的概念及简单表示法． 14.【答案】12【解析】如图，M 是AC 的中点．①当AD t AM3=<=时，如图，此时高为P 到BD 的距离，也就是A 到BD 的距离，即图中AE ，DM t =，由ADE BDM △∽△，可得h 1， ∴h =，22211t 13(3t)V (23t)1326(3t)1(3t)--=-=-+-+，t ∈ ②当AD t AM 3=>=时，如图，此时高为P 到BD 的距离，也就是A 到BD 的距离，即图中AH ，DM t =，由等面积，可得11AD BM BD AH 22=，∴11t 1(t 22= ∴h =，∴22211t 13(3t)V (23t)1326(3t)1(3t)--=-=-+-+，t ∈综上所述，213(3V 6(3t)--=-，t ∈令[)m 1,2则214m V 6m-=，∴m 1=时，max 1V 2=． 故答案为：12【提示】由题意，ABD PBD △≌△，可以理解为PBD △是由△ABD 绕着BD 旋转得到的，对于每段固定的AD ，底面积BCD 为定值，要使得体积最大，PBD △必定垂直于平面ABC ，此时高最大，体积也最大． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．15.【答案】12【解析】∵(a b)e a e b e a e b e 6+=+≤+≤，∴(a b)e a b 6+=+≤，平方得：22a b 2a b 6++≤，即22122a b 6++≤，则1a b 2≤，故a b 的最大值是12，故答案为：12．【提示】根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论 【考点】平面向量数量积的运算． 三、解答题16.【答案】（Ⅰ）由正弦定理得sinB sinC 2sinAcosB +=2sinAcosB sinB sin(A B)sinB sinAcosB cosAsinB =++=++，于是sinB sin(A B)=-又A,B (0,π)∈， 故0A B π<-<，所以B π(A B)=--或B A B =-， 因此A π=（舍去）或A 2B =， 所以，A 2B =（Ⅱ）由2a S 4=得21a absinC 24=，故有1sinBsinC sin2B sinBcosB 2==， 因sinB 0≠，得sinC cosB =．又B,C (0,π)∈，所以C B 2π=±．当πB C 2+=时，πA 2=；当πC B 2-=时，πA 4=．综上，πA 2=或πA 4=．【提示】（Ⅰ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明A 2B =（Ⅱ）若ABC △的面积2a S 4=，则21a absinC 24=，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A 的大小．【考点】余弦定理，正弦定理．17.【答案】解：（Ⅰ）延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示． 因为平面BCFE ABC ⊥平面，且AC BC ⊥， 所以，AC ⊥平面BCK ， 因此，BF AC ⊥．又因为EFBC ∥，BE EF FC 1===，BC 2=， 所以BCK △为等边三角形，且F为CK 的中点， 则BF CK ⊥，所以BF ⊥平面ACFD ．（Ⅱ）过点F 作FQ AK ⊥，连结BQ ． 因为BF ⊥平面ACK ，所以BF AK ⊥，则AK ⊥平面BQF ， 所以BQ AK ⊥．所以BQF ∠是二面角B AD F --的平面角． 在Rt ACK △中，AC 3=，CK 2=，得FQ 在Rt BQF △中，FQ =BF =，得cos BQF ∠=所以，二面角B AD F --的平面角的余弦值为4．【提示】（Ⅰ）先证明BF AC ⊥，再证明BF CK ⊥，进而得到BF ⊥平面ACFD ． （Ⅱ）先找二面角B AD F --的平面角，再在Rt BQF △中计算，即可得出； 【考点】二面角的平面角及求法，空间中直线与直线之间的位置关系． 18.【答案】解：（Ⅰ）由于a 3≥，故当x 1≤时，22(x 2ax 4a 2)2x 1x 2(a 1)(2x)0-+---=+-->，当x 1>时，2(x 2ax 4a 2)2x 1(x 2)(x 2a)-+---=--．所以，使得等式2F(x)x2ax 4a 2=-+-成立的x 的取值范围为[2,2a]．（Ⅱ）（ⅰ）设函数f (x)2x 1=-，2g(x)x 2ax 4a 2=-+-，则min f (x)f (x)0==，2min g(x)g(a)a 4a 2==-+-，所以，由F(x)的定义知{}m(a)min f (1),g(a)=，即20,3a 2m(a)a 4a 2,a 2⎧≤≤+⎪=⎨-+->+⎪⎩ （ⅱ）当0x 2≤≤时，{}F(x)f (x)max f (0),f (2)2F(2)≤≤==，当2x 6≤≤时，F(x)g(x)max{g(2),g(6)}max{2,348a}max{F(2),F(6)}≤≤=-=．所以，348a,3a 4M(a)2,a 4-≤<⎧=⎨≥⎩． 【提示】（Ⅰ）由a 3≥，讨论x 1≤时，x 1>，去掉绝对值，化简2x 2ax 4a 22x 1-+---，判断符号，即可得到2F(x)x 2ax 4a 2=-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（ⅰ）设f (x)2x 1=-，2g(x)x 2ax 4a 2=-+-，求得f (x)和g(x)的最小值，再由新定义，可得F(x)的最小值；（ⅱ）分别对当0x 2≤≤时，当2x 6<≤时，讨论F(x)的最大值，即可得到F(x)在[0,6]上的最大值M【考点】函数最值的应用，函数的最值及其几何意义．19.【答案】解：（Ⅰ）设直线y kx 1=+被椭圆截得的线段为AP ，由222y kx 1x y 1a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(1a k )x 2a kx 0++=，故1x 0=，22222a k x 1a k =-+．因此2212222a k AP x 1k 1a k =-=++．（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，2k 0>，12k k ≠．由（Ⅰ）知，1AP =2AQ =12=，所以22222222121212(k k )[1k k a (2a )k k ]0-+++-=．由于12k k ≠，1k ，2k 0>得22222212121k k a (2a )k k 0+++-=，因此22221211111a (a 2)k k ⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭①因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是：221a (a 2)1+->，所以a >因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a 2<≤，由c e a ==得，所求离心率的取值范围为0e 2<≤【提示】（Ⅰ）联立直线y kx 1=+与椭圆方程，利用弦长公式求解即可．（Ⅱ）写出圆的方程，假设圆A 与椭圆由4个公共点，再利用对称性有解已知条件可得任意A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，a 的取值范围，进而可得椭圆的离心率的取值范围．【考点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合． 20.【答案】解：（Ⅰ）由n 1n a a 12+-≤得n n 11a a 12+-≤，故n n 1n n 1n a a 1222++-≤，n ∈*Ν， 所以1n1223n 1n 1n 1223n 1n 12n 1a a a a a a a a 111122222222222---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+-≤++⋅⋅⋅+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因此n 1n 1a 2(a 2)-≥-．（Ⅱ）任取n ∈*Ν，由（Ⅰ）知，对于任意m n >，n m n n 1n 1n 2m 1m nmnn 1n 1n 2m 1m n n 1m 1n 1a a a a a a a a 1111222222222222+++-+++-+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+-≤++⋅⋅⋅+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故m mm n n nn n 1m n 1m a 11133a 2222222224--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+≤+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦．从而对于任意m n >，均有mn n 3a 224⎛⎫<+ ⎪⎝⎭．由m 的任意性得n a 2≤①否则，存在0n ∈*Ν，有0n a 2>，取正整数00n 03n 4a 2m log 2->且00m n >，则n 003n 040a 2m log 2m n n 3322a 244-⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与①式矛盾．综上，对于任意n ∈*Ν，均有n a 2≤ 【提示】（Ⅰ）使用三角不等式得出n 1n a a 12+-≤，变形得n n 1n n 1na a 1222++-≤，使用累加法可求得n n 11a a 12+-≤，即结论成立； （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论得出n m n m n 1a a 1222--<，进而得出mn n 3a 224⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，利用m 的任意性可证n a 2≤ 【考点】数列与不等式的综合。
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2016 年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．2R ）1．（ 5 分）（2016?浙江）已知集合 P={x ∈R|1≤x ≤3} ，Q={x ∈R|x ≥4} ，则 P ∪（? Q ）=（A ． [2， 3]B ．（﹣ 2， 3]C ． [1， 2）D ．（﹣ ∞，﹣ 2]∪ [1， +∞）2．（ 5 分）（ 2016?浙江）已知互相垂直的平面 α，β交于直线 l ，若直线 m ，n 满足 m ∥ α，n ⊥ β，则（ ） A ． m ∥ l B ． m ∥ n C ． n ⊥ l D ． m ⊥ n3．（ 5 分）（ 2016?浙江）在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影，由区域 中的点在直线 x+y ﹣ 2=0 上的投影构成的线段记为 AB ，则|AB|= （ ）A ． 2B ． 4C ． 3D ． 64．（ 5 分）（ 2016?浙江）命题 “? x ∈R ， ?n ∈N * ，使得 n ≥x 2”的否定形式是（ ）A ． ? x ∈R ， ?n ∈N * ，使得 n ＜ x 2B ． ?x ∈R ，? n ∈N * ，使得 n ＜ x 2C ． ?x ∈R ， ?n ∈N * ，使得 n ＜ x 2D ．? x ∈R ， ?n ∈N * ，使得 n ＜ x 25．（ 5 分）（ 2016?浙江）设函数f （ x ） =sin 2x+bsinx+c ，则 f （x ）的最小正周期（ ）A ．与 b 有关，且与 c 有关B ．与 b 有关，但与 c 无关C ．与 b 无关，且与 c 无关D ．与 b 无关，但与 c 有关6．（ 5 分）（ 2016?浙江）如图，点列 {A n } 、{B n } 分别在某锐角的两边上， 且 |A n A n+1|=|A n+1A n+2|，*，|B *，（ P ≠Q 表示点 P 与 Q 不重合）若 d A n ≠A n+1，n ∈Nn B n+1|=|B n+1B n+2|，B n ≠B n+1，n ∈Nn =|A n B n |，S 为 △ A B B的面积，则（）n n n n+1A ． {S n } 是等差数列 2 } 是等差数列B ． {S nC ． {d n } 是等差数列2} 是等差数列D ．{d n7．（ 5 分）（ 2016?浙江）已知椭圆C 1： +y 2=1（ m ＞ 1）与双曲线 C 2： ﹣ y 2=1（n ＞ 0）的焦点重合， e 1， e 2 分别为 C 1，C 2 的离心率，则（）D ．m ＜n 且 e e ＜ 1A ． m ＞ n 且 e e ＞ 1B ． m ＞n 且 e e ＜ 1C ． m ＜ n 且 e e ＞ 11 21 21 21 28．（ 5 分）（ 2016?浙江）已知实数 a ， b ，c ．（）A ．若 |a 2 +b+c|+|a+b 2+c|≤1，则 a 2+b 2+c 2＜ 100B ．若 |a 2+b+c|+|a 2 +b ﹣ c|≤1，则 a 2+b 2+c 2＜ 100C ．若 |a+b+c 2|+|a+b ﹣ c 2|≤1，则 a 2+b 2+c 2＜ 1002 2 2 2 2D ．若 |a +b+c|+|a+b ﹣ c|≤1，则 a +b +c ＜ 100二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题4 分，共 36 分．9．（ 4 分）（ 2016?浙江）若抛物线 2y =4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离 是 ．10．（ 6 分）（ 2016?浙江）已知 2cos 2x+sin2x=Asin （ ωx+ φ）+b （ A ＞0），则 A=，b= ．11．（ 6 分）（ 2016?浙江）某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的表面积是cm 2，体积是 cm 3．12．（ 6 分）（ 2016?浙江）已知 a ＞ b ＞ 1，若 log a b+log b a= ， a b =b a，则 a= ，b=．13．（ 6 分）（ 2016?浙江）设数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 2 =4， a n+1=2S n +1， n ∈N *，则 a 1= ， S 5= ．14．（ 4 分）（ 2016?浙江）如图，在 △ ABC 中， AB=BC=2 ，∠ABC=120 °．若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D ，满足 PD=DA ，PB=BA ，则四面体 PBCD 的体积的最大值是．15．（ 4 分）（ 2016?浙江）已知向量 ， ， | |=1， | |=2，若对任意单位向量 ，均有| ? |+| ? |≤ ，则 ? 的最大值是．三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（ 14 分）（ 2016?浙江）在 △ ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 b+c=2acosB ．（Ⅰ ）证明： A=2B（Ⅱ ）若 △ABC 的面积 S=，求角 A 的大小．17．（ 15 分）（ 2016?浙江）如图，在三棱台 ABC ﹣ DEF 中，已知平面 BCFE ⊥平面 ABC ，∠ A CB=90 °，BE=EF=FC=1 ， BC=2 ， AC=3 ， （Ⅰ ）求证： EF ⊥ 平面 ACFD ；（Ⅱ ）求二面角 B ﹣ AD ﹣F 的余弦值．18．（15 分）（ 2016?浙江）已知a ≥3，函数 F （x ） =min{2|x ﹣ 1|，x 2﹣ 2ax+4a ﹣ 2} ，其中 min（ p ， q ） =（Ⅰ ）求使得等式 F （ x ） =x 2﹣ 2ax+4a ﹣ 2 成立的 x 的取值范围 （Ⅱ ）（ i ）求 F （ x ）的最小值 m （ a ）（ii ）求 F （ x ）在 [0，6] 上的最大值 M （ a ）19．（ 15 分）（ 2016?浙江）如图，设椭圆 C ：+y 2=1（ a ＞ 1）（Ⅰ ）求直线 y=kx+1 被椭圆截得到的弦长（用 a ，k 表示）（Ⅱ ）若任意以点 A （ 0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．20．（ 15 分）（ 2016?浙江）设数列满足n﹣* ．|a |≤1， n∈N（Ⅰ ）求证： |a n n﹣1（ |a1|﹣ 2）（ n∈N* ）|≥2（Ⅱ ）若 |a n|≤（）n，n∈N*，证明：|a n|≤2，n∈N*．2016 年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．（ 5 分）【考点】 并集及其运算．【分析】 运用二次不等式的解法，求得集合 Q ，求得 Q 的补集，再由两集合的并集运算，即可得到所求．【解答】 解： Q={x ∈R|x 2≥4}={x ∈R|x ≥2 或 x ≤﹣ 2} ， 即有 ?R Q={x ∈R|﹣ 2＜ x ＜ 2} ，则 P ∪ （ ?R Q ） =（﹣ 2， 3]． 故选： B ．【点评】 本题考查集合的运算， 主要是并集和补集的运算， 考查不等式的解法， 属于基础题．2．（ 5 分）【考点】 直线与平面垂直的判定．【分析】 由已知条件推导出 l? β，再由 n ⊥ β，推导出 n ⊥ l ．【解答】 解： ∵ 互相垂直的平面 α， β交于直线 l ，直线 m ， n 满足 m ∥ α，∴m ∥ β或 m? β或 m ⊥β， l? β， ∵n ⊥ β， ∴n ⊥ l ． 故选： C ．【点评】 本题考查两直线关系的判断，是基础题， 解题时要认真审题， 注意空间思维能力的培养． 3．（ 5 分）【考点】 简单线性规划的应用．【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可． 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： （阴影部分），区域内的点在直线 x+y ﹣ 2=0 上的投影构成线段 R ′Q ′，即 SAB ，而 R ′Q ′=RQ ，由得，即 Q （﹣ 1， 1），由得，即 R （ 2，﹣ 2），则|AB|=|QR|== =3 ，故选： C【点评】 本题主要考查线性规划的应用， 作出不等式组对应的平面区域， 利用投影的定义以及数形结合是解决本题的关键．4．（ 5 分）【考点】 命题的否定．【分析】 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题 “?x ∈R ， ?n ∈N * ，使得 n ≥x 2”的否定形式是： ?x ∈R ，? n ∈N * ，使得 n ＜ x 2． 故选： D ．【点评】 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题． 5．（ 5 分）【考点】 三角函数的周期性及其求法．【分析】 根据三角函数的图象和性质即可判断．2∴c 是图象的纵坐标增加了c ，横坐标不变，故周期与 c 无关，当 b=0 时， f （ x ） =sin 2x+bsinx+c= ﹣ cos2x+ +c 的最小正周期为 T==π，当 b ≠0 时， f （ x ） =﹣ cos2x+bsinx+ +c ，∵ y =cos2x 的最小正周期为 π， y=bsinx 的最小正周期为 2π， ∴f （x ）的最小正周期为 2π，故 f （x ）的最小正周期与 b 有关，故选： B【点评】 本题考查了三额角函数的最小正周期， 关键掌握三角函数的图象和性质， 属于中档题．6．（ 5 分） 【考点】 数列与函数的综合．【分析】 设锐角的顶点为 O ，再设 |OA 1|=a ， |OB 1|=b ， |A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b ，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d ，由于 a ，b 不确定，判断 C ，D 不正确，设 △ A n B n B n+1 的底边 B n B n+1 上的高为 h n n n+2 n+1 n n n n+2 n+1，运用三角形相似知识， h +h =2h ，由 S = d?h ，可得 S +S =2S ，进 而得到数列 {S n } 为等差数列．【解答】 解：设锐角的顶点为 O ， |OA 1 |=a ， |OB 1|=b ，|A A |=|A A n+2 |=b ， |B B n+1 |=|B B |=d ，n n+1 n+1 n n+1 n+2由于 a ， b 不确定，则 {d n } 不一定是等差数列，{d n 2} 不一定是等差数列， 设△ A n B n B n+1 的底边 B n B n+1 上的高为 h n ，由三角形的相似可得= = ，= = ，两式相加可得， = =2，即有 h n +h n+2=2h n+1，由 S n = d?h n ，可得 S n +S n+2=2S n+1，即为 S n+2﹣S n+1=S n+1﹣ S n ， 则数列 {S n } 为等差数列． 故选： A ．【点评】 本题考查等差数列的判断， 注意运用三角形的相似和等差数列的性质， 考查化简整理的推理能力，属于中档题．7．（ 5 分）【考点】 椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】 根据椭圆和双曲线有相同的焦点，得到c 2=m 2﹣ 1=n 2+1，即 m 2﹣ n 2=2，进行判断，能得 m ＞ n ，求出两个离心率，先平方进行化简进行判断即可．【解答】 解： ∵ 椭圆 C 1：+y 2=1 （m ＞1）与双曲线 C 2： ﹣ y 2=1（ n ＞0）的焦点重合，∴满足 c 2=m 2﹣ 1=n 2+1 ，即 m 2﹣n 2=2＞ 0，∴ m 2＞ n 2，则 m ＞ n ，排除 C ， D则 c 2=m 2﹣ 1＜ m 2， c 2=n 2+1＞ n 2，则 c ＜ m ． c ＞ n ，e 1= ， e 2= ， 则 e 1?e 2= ? =，则（ e 1?e 2） 2=（ ）2?（ ）2= = = =1+ =1+ =1+ ＞ 1，∴ e 1e 2＞ 1，故选： A ．【点评】 本题主要考查圆锥曲线离心率的大小关系的判断， 根据条件结合双曲线和椭圆离心率以及不等式的性质进行转化是解决本题的关键．考查学生的转化能力．8．（ 5 分）【考点】 命题的真假判断与应用． 【分析】 本题可根据选项特点对a ，b ，c 设定特定值，采用排除法解答．【解答】 解： A ．设 a=b=10， c=﹣ 110，则 |a 2+b+c|+|a+b 2+c|=0 ≤1， a 2+b 2+c 2＞100；B ．设 a=10， b=﹣ 100， c=0，则 |a 2+b+c|+|a 2+b ﹣ c|=0≤1， a 2+b 2+c 2＞100；C ．设 a=100， b=﹣100， c=0，则 |a+b+c 2|+|a+b ﹣ c 2|=0≤1， a 2+b 2 +c 2＞100；故选： D ．【点评】 本题主要考查命题的真假判断， 由于正面证明比较复杂， 故利用特殊值法进行排除是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．9．（ 4 分）【考点】 抛物线的简单性质． 【分析】 根据抛物线的性质得出 M 到准线 x= ﹣ 1 的距离为 10，故到 y 轴的距离为 9．【解答】 解：抛物线的准线为 x=﹣ 1，∵点 M 到焦点的距离为 10， ∴点 M 到准线 x= ﹣ 1 的距离为 10，∴点 M 到 y 轴的距离为 9．故答案为： 9．【点评】 本题考查了抛物线的性质，属于基础题． 10．（ 6 分）【考点】 两角和与差的正弦函数．【分析】 根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案．2=1+ （ cos2x+ sin2x ） +1=sin （ 2x+ ） +1，∴ A =， b=1 ， 故答案为：； 1．【点评】 本题考查了二倍角的余弦公式、 两角和的正弦函数的应用， 熟练掌握公式是解题的关键．11．（6 分）【考点】 由三视图求面积、体积．【分析】 由三视图可得，原几何体为由四个棱长为 2cm 的小正方体所构成的，代入体积公式和面积公式计算即可．【解答】 解：由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm 的小正方体所构成的，则其表面积为 22×（ 24﹣ 6） =72cm 2，其体积为 4×23=32 ， 故答案为： 72， 32【点评】 本题考查了由三视图求几何体的体积和表面积， 解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力． 12．（ 6 分） 【考点】 对数的运算性质．【分析】 设 t=log b a 并由条件求出 t 的范围，代入log a b+log ba= 化简后求出 t 的值，得到 ab a化简后列出方程，求出 a 、 b 的值． 与 b 的关系式代入 a =b 【解答】 解：设 t=log b a ，由 a ＞b ＞ 1 知 t ＞ 1， 代入 log a b+log b a= 得，即 2t 2﹣5t+2=0 ，解得 t=2 或 t= （舍去），所以 log b a=2，即 a=b 2，ba2b a2， 因为 a =b ，所以 b =b ，则 a=2b=b 解得 b=2 ，a=4， 故答案为： 4； 2．【点评】 本题考查对数的运算性质，以及换元法在解方程中的应用，属于基础题．13．（ 6 分）【考点】 数列的概念及简单表示法．【分析】运用 n=1 时，a 1=S 1，代入条件， 结合 S 2=4，解方程可得首项； 再由 n ＞ 1 时，a n+1=S n+1﹣S n ，结合条件，计算即可得到所求和．【解答】 解：由 n=1 时， a 1=S 1，可得 a 2=2S 1+1=2a 1+1，又 S 2=4，即 a 1+a 2=4， 即有 3a 1+1=4 ，解得 a 1=1；由 a n+1=S n+1﹣ S n ，可得 S n+1=3S n +1，由 S 2=4，可得 S 3=3×4+1=13 ， S 4=3 ×13+1=40 ， S 5=3 ×40+1=121 ． 故答案为： 1， 121．【点评】本题考查数列的通项和前 n 项和的关系： n=1 时， a1=S1， n＞1 时， a n=S n﹣ S n﹣1，考查运算能力，属于中档题．14．（ 4 分）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意，△ABD ≌△ PBD ，可以理解为△ PBD 是由△ ABD 绕着 BD 旋转得到的，对于每段固定的 AD ，底面积 BCD 为定值，要使得体积最大，△ PBD 必定垂直于平面 ABC ，此时高最大，体积也最大．【解答】解：如图， M 是 AC 的中点．①当 AD=t ＜ AM=时，如图，此时高为P 到 BD 的距离，也就是 A 到 BD 的距离，即图中AE ，DM=﹣ t，由△ ADE ∽ △ BDM ，可得，∴h=，V==，t∈（0，）②当 AD=t ＞ AM=时，如图，此时高为P 到 BD 的距离，也就是 A 到 BD 的距离，即图中AH ，DM=t ﹣，由等面积，可得，∴，∴h=，∴V==，t∈（，2）综上所述， V=，t∈（0，2）令 m=∈[1，2），则V=，∴ m=1时，V max=．故答案为：．【点评】本题考查体积最大值的计算， 考查学生转化问题的能力， 考查分类讨论的数学思想，对思维能力和解题技巧有一定要求，难度大． 15．（ 4 分）【考点】 平面向量数量积的运算．【分析】 根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论．【解答】 解： ∵ |（ + ） ? |=| ? + ? |≤| ? |+| ? |≤ ，∴ |（ + ） ? |≤| + |≤ ，平方得： | |2+| |2+2 ? ≤6，即12+22+2 ? ≤6，则 ? ≤ ，故 ? 的最大值是 ，故答案为： ．【点评】 本题主要考查平面向量数量积的应用， 根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．三、解答题：本大题共5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（ 14 分）【考点】 余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明 A=2B（Ⅱ ）若 △ABC 的面积 S=，则 bcsinA=，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A的大小．【解答】（Ⅰ ）证明： ∵ b+c=2acosB ，∴ s inB+sinC=2sinAcosB ， ∴ s inB+sin （A+B ） =2sinAcosB ∴ s inB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB∴ s inB=2=sinAcosB ﹣ cosAsinB=sin （ A ﹣ B ） ∵A ，B 是三角形中的角， ∴ B =A ﹣ B ，∴ A =2B ；（Ⅱ ）解： ∵ △ ABC 的面积 S=，∴ bcsinA=，∴ 2bcsinA=a 2，∴ 2sinBsinC=sinA=sin2B ，∴ s inC=cosB ，∴B+C=90 °，或 C=B+90 °，∴A=90 °或 A=45 °．【点评】本题考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的运用，属于中档题．17．（ 15 分）【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（ I ）先证明 BF⊥ AC ，再证明BF⊥CK ，进而得到BF⊥平面 ACFD ．（II ）方法一：先找二面角 B ﹣AD ﹣ F 的平面角，再在Rt△BQF 中计算，即可得出；方法二：通过建立空间直角坐标系，分别计算平面ACK 与平面 ABK 的法向量，进而可得二面角 B﹣ AD ﹣ F 的平面角的余弦值．【解答】（ I ）证明：延长 AD ，BE ，CF 相交于点 K ，如图所示，∵平面 BCFE ⊥平面 ABC ，∠ACB=90 °，∴AC ⊥平面 BCK ，∴BF ⊥ AC ．又EF∥BC ，BE=EF=FC=1 ，BC=2 ，∴△ BCK 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点，则 BF⊥ CK ，∴B F ⊥平面 ACFD ．（I I ）方法一：过点 F 作 FQ⊥ AK ，连接 BQ，∵ BF⊥平面 ACFD ．∴ BF⊥ AK ，则 AK ⊥平面BQF ，∴BQ ⊥ AK ．∴∠ BQF 是二面角 B﹣ AD ﹣F 的平面角．在 Rt△ ACK 中， AC=3 ， CK=2 ，可得 FQ=．在 Rt△ BQF 中， BF=，FQ=．可得：cos∠ BQF=．∴二面角 B ﹣ AD ﹣F 的平面角的余弦值为．方法二：如图，延长AD ， BE， CF 相交于点K ，则△BCK 为等边三角形，取 BC 的中点，则KO ⊥ BC ，又平面BCFE ⊥平面 ABC ，∴ KO ⊥平面 BAC ，以点 O 为原点，分别以OB ，OK 的方向为x， z 的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．可得： B（ 1，0，0），C（﹣ 1，0，0），K（ 0，0，），A（﹣1，﹣3，0），，．=（ 0， 3， 0），=，（2，3，0）．设平面 ACK 的法向量为=（ x1，y1，z1），平面 ABK 的法向量为=（ x2，y2，z2），由，可得，取=．由，可得 ，取 = ．∴= = ．∴二面角 B ﹣ AD ﹣F 的余弦值为．【点评】 本题考查了空间位置关系、法向量的应用、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．18．（ 15 分）【考点】 函数最值的应用；函数的最值及其几何意义．【分析】（ Ⅰ ）由 a ≥3，讨论 x ≤1 时， x ＞ 1，去掉绝对值，化简 x 2﹣ 2ax+4a ﹣ 2﹣ 2|x ﹣ 1|，判断符号，即可得到 F （ x ） =x 2﹣ 2ax+4a ﹣ 2 成立的 x 的取值范围；（Ⅱ ）（ i ）设 f （ x ） =2|x ﹣ 1|， g （ x ） =x 2﹣ 2ax+4a ﹣ 2，求得 f （ x ）和 g （ x ）的最小值，再 由新定义，可得 F （ x ）的最小值；（ii ）分别对当 0≤x ≤2 时，当 2＜ x ≤6 时，讨论 F （ x ）的最大值，即可得到F （ x ）在 [0， 6] 上的最大值 M （ a ）．【解答】 解：（ Ⅰ ）由 a ≥3，故 x ≤1 时，x 2﹣2ax+4a ﹣ 2﹣ 2|x ﹣ 1|=x 2+2（ a ﹣ 1）（2﹣ x ）＞ 0；当 x ＞ 1 时， x 2﹣ 2ax+4a ﹣ 2﹣ 2|x ﹣ 1|=x 2﹣（ 2+2a ） x+4a= （ x ﹣ 2）（ x ﹣ 2a ），2则等式 F （ x ） =x ﹣ 2ax+4a ﹣ 2 成立的 x 的取值范围是（ 2， 2a ）；则 f （x ） min =f （ 1） =0， g （x ） min =g （ a ） =﹣ a 2+4a ﹣ 2．由﹣ a 2+4a ﹣ 2=0，解得 a=2+ （负的舍去），由 F （ x ）的定义可得 m （ a ） =min{f （ 1），g （ a ） } ，即 m （ a ） =；（ i i ）当 0≤x ≤2 时， F （ x ） ≤f （x ） ≤max{f （ 0）， f （ 2） }=2=F （ 2）；当 2＜ x ≤6 时， F （ x ） ≤g （ x ） ≤max{g （ 2）， g （ 6） }=max{2 ， 34﹣8a}=max{F （ 2）， F （ 6） } ．则 M （ a ） =．【点评】 本题考查新定义的理解和运用， 考查分类讨论的思想方法， 以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19．（ 15 分）【考点】 椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合．【分析】（Ⅰ ）联立直线 y=kx+1 与椭圆方程，利用弦长公式求解即可．（Ⅱ ）写出圆的方程，假设圆 A 与椭圆由 4 个公共点，再利用对称性有解已知条件可得任意一 A （ 0， 1）为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点， a 的取值范围，进而可得椭圆的离心率的取值范围．【解答】 解：（ Ⅰ ）由题意可得：，可得：（1+a 2k 2） x 2+2ka 2x=0 ，得 x 1=0 或 x 2=，直线 y=kx+1 被椭圆截得到的弦长为：= ．（Ⅱ ）假设圆 A 与椭圆由 4 个公共点，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足 |AP|=|AQ| ，记直线 AP ， AQ 的斜率分别为： k 1，k 2；且 k 1，k 2 ＞ 0， k 1≠k 2，由（ 1）可知|AP|=， |AQ|=，故： =2 2 2 2 2 2，所以，（ k 1 ﹣k 2 ） [1+k 1 +k 2 +a （ 2﹣ a ）22，由 k 1≠k 2，k 1 k 2] =0 222222k 1，k 2＞ 0，可得： 1+k1 +k2 +a （ 2﹣ a ）k 1 k 2 =0，因此a 2（ a 2﹣ 2） ① ，因为 ① 式关于 k 1， k 2；的方程有解的充要条件是：1+a 2（ a 2﹣ 2）＞ 1，所以 a ＞ ．因此，任意点 A （0， 1） 心的 与 至多有三个公共点的充要条件 ：1＜ a ＜2，e= = 得，所求离心率的取 范 是： ．【点 】 本 考 直 与 的位置关系的 合 用， 与 的位置关系的 合 用，考分析 解决 的能力，考 化思想以及 算能力．20．（ 15 分）【考点】 数列与不等式的 合．【分析】（ I ）使用三角不等式得出|a n ||a n+1|≤1， 形得≤，使用累加法可求得＜ 1，即 成立；（II ）利用（ I ）的 得出＜ ， 而得出 |a n |＜2+（） m 2n，利用 m的任意性可 |a n |≤2．【解答】 解：（ I ） ∵ |a nnn+1，|≤1， ∴ |a | |a |≤1∴≤， n ∈N *，∴=（ ） +（ ）+⋯+（ ）≤ ++ +⋯+ = =1 ＜ 1．∴ |a n |≥2n ﹣ 1（ |a 1| 2）（ n ∈N * ）．（II ）任取 n ∈N *，由（ I ）知， 于任意m ＞ n ，=（） +（） +⋯+（）≤+ +⋯+ = ＜ ．∴|a n |＜（+） ?2n ≤[+ ?（） m ]?2n=2+（ ） m ?2n． ①由 m 的任意性可知 |a n |≤2．否则，存在 n 0∈N *，使得 |a|＞ 2，取正整数 m 0＞ log且 m 0＞ n 0，则2 ?（ ） ＜ 2 ?（ ） =|a |﹣ 2，与 ① 式矛盾．综上，对于任意 n ∈N *，都有 |a n |≤2．【点评】 本题考查了不等式的应用与证明，等比数列的求和公式， 放缩法证明不等式， 难度较大．。
浙江省金华十校2016届高三上学期调研考试(理)数学试题 Word版含答案
金华十校2015-2016学年第一学期调研考试高三数学（理科）试题卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集R U =，集合{}0322≤--=x x x M ，{}12+-==x y y N ，则=)(N C M U （ ） A ．{}11≤≤-x x B ．{}11<≤-x x C ．{}31≤≤x x D ．{}31≤<x x 2.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的体积是（ ） A ．34B ．2C ．38 D ．43.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，32a S =，且k a a a ,,21成等比数列，则=k （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.对于命题,:0R x p ∈∃使0202sin 4sin x x +最小值为4；命题R x q ∈∀:，都有012>++x x ，给出下列结论正确的是（ ）A ．命题“q p ∧”是真命题B ．命题“q p ∧⌝”是真命题C ．命题“q p ⌝∧”是真命题D ．命题“q p ⌝∨⌝”是假命题5.已知抛物线)0(2:2>=p px y C ，O 为坐标原点，F 为其焦点，准线与x 轴交点为E ，P为抛物线上任意一点，则PEPF ( )A ．有最小值22B ．有最小值1C ．无最小值D ．最小值与p 有关6.“%”运算使]4,2)%[3,1(]4,2()5,4)%(5,2(=，则{}{}{}=6,4,2%5,3,1%5,4,3,2,1（ ）A ．{}6,5,4,3,2,1B ．∅C ．{}4,2D ．{}5,3,1 7.设函数)(x f y =定义域为D ，且对任意D a ∈，都有唯一的实数b 满足b a f b f -=)(2)(.则该函数可能是（ ）A ．x x f 1)(=B ．x x f =)(C ．x x f 2)(=D ．xx x f 1)(+= 8.在四面体ABCD 中，已知BC AD ⊥，6=AD ，2=BC ，且2==CDACBD AB ，则ABCD V 四边形的最大值为（ ）A ．6B ．112C ．152D ．8第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.将答案填在答题纸上）9.已知双曲线14522=-y x 的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线右支上一点，则=-21PF PF _____；离心率=e _____.10.已知函数⎩⎨⎧>-≤-=1),1(1,13)(x x f x x f x ，则=))2((f f _____，值域为______.11.将函数x y 2sin =的图象向右平移ϕ个单位长度后所得图象的解+析+式为)62sin(π-=x y ，则=ϕ___)20(πϕ<<，再将函数)62sin(π-=x y 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象的解+析+式为_______. 12.若34=a，则=+3log 3log 82____.（用a 表示）13.实数y x ,满足不等式组⎩⎨⎧≤≤≥-+--,20,0)52)(1(x y x y x 则1++=x y x t 的取值范围是_____.14.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，动点M 在线段11D C 上，E 、F 分别为AD 、AB 的中点.设异面直线ME 与DF 所成的角为θ，则θsin 的最小值为_____.15.已知ABC ∆的外心为O ，c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,的对边，且0236=⋅+⋅+⋅ABCO CA BO BC AO ，则c b a ,,的关系为_____，B ∠的取值范围为______. 三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本题满分15分） 在锐角ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且21=a ，C B A cb a sin sin sin ++=++.（1）求角A 的大小； （2）求ABC ∆周长的最大值. 17.（本题满分15分）如图，在矩形ABCD 中，已知4,2==AD AB ，点E 、F 分别在AD 、BC 上，且1=AE ，3=BF ，将四边形AEFB 沿EF 折起，使点B 在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上.（1）求证：BE CD ⊥； （2）求线段BH 的长度；（3）求直线AF 与平面EFCD 所成角的正弦值.19.（本题满分15分）椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的上、下顶点分别为B A ,，右焦点为F ，点)13392,13132(P 在椭圆C 上，且AF OP ⊥. （1）求椭圆C 的方程；（2）设不经过顶点B A ,的直线l 与椭圆交于两个不同的点),(),,(2211y x N y x M ，且21121=+x x ，求椭圆右顶点D 到直线l 距离的取值范围.20.（本题14分）已知数列{}n a 满足11=a ，)(121*-∈+=N n a a a nn n . （1）证明：当1≥n ，*∈N n 时，122≤≤+n a n ； （2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：)(12*∈-≤N n n S n .金华十校2015-2016学年第一学期调研考试高三数学（理科）卷参考答案一、选择题1.D2.A3.D4.B5.A6.B7.C8.C 二、填空题9.553,52 10.]2,1(,2- 11.)6sin(,12ππ-=x y 12.38a 13.]5,0[ 14.521 15.30,2222π≤<=+B b c a三、解答题16.解：（1）设ABC ∆的外接圆的半径为R ，则)sin sin (sin 2C B A R c b a ++=++，)sin(3221)sin()231(41212ϕϕ+++=++++=B B ， 故ABC ∆周长的最大值3221++（或2621++）. 17.解：（1）由于⊥BH平面CDEF ，∴CD BH ⊥，又由于DE CD ⊥，H DE BH = ，∴E B D CD 平面⊥，∴BE CD ⊥.法一：（2）设h BH =，k EH =，过F 作FG 垂直ED 于点G ，因为线段BE ，BF 在翻折过程中长度不变，根据勾股定理：⎩⎨⎧-++=+=⇒⎩⎨⎧++=+=+=22222222222222)2(295k h k h GH FG BH FH BH BF EH BH BE ，可解得⎩⎨⎧==12k h ， ∴线段BH 的长度为2.（2）延长BA 交EF 于点M ，因为3:1::==MB MA BF AE ，∴点A 到平面EFCD 的距离为点B 到平面EFCD 距离的31，∴点A 到平面EFCD 的距离为32，而13=AF ，直线AF与平面EFCD 所成角的正弦值为39132. 法二：（2）如图，过点E 作DC ER ∥，过点E 作⊥ES 平面EFCD ，分别以ER 、ED 、ES 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点)0,0)(,,0(>>zy z y B ，由于)0,2,2(F ，5=BE ，3=BF ，∴⎩⎨⎧=+-+=+9)2(4,52222z y z y 解得⎩⎨⎧==,2,1z y 于是)2,1,0(B ，所以线段BH 的长度为2. （3）从而)2,1,2(--=FB，故)32,31,32(--==EA ，)32,37,38(--=+=EA FE FA ，设平面EFCD 的一个法向量为)1,0,0(=n ，设直线AF 与平面EFCD 所成角的大小为θ，则39132sin θ. 18.解：（1）8)1(8)1(-=>+=-a f a f ，216)4(≥=aaf ， ①当40≤<a 时，即a41≤，则8)1()(max +=-=a f x f ； ②当84≤<a 时，8)1()(max +=-=a f x f 或aa f 16)4(=，当aa 168=+时，424-=a ，所以当424->a 时，8)1()(max +=-=a f x f .综上，8)(max +=a x f .（2）282)(2--=-=x ax x f y ，对称轴ax 4=， ①8≥a 时，要使函数2)(-=x f y 在区间],0[b 上单调递减， 则]4,0[],0[a b ⊆，即a b 4≤，又因为2140≤<a ，所以21≤b ；②当80<<a 时，aax 21642--=，要使函数2)(-=x f y 在区间],0[b 上单调递减，则]2164,0[],0[a a b --⊆，即aa ab 216422164-+=--≤， 又因为42160<-<a ，∴821644<-+<a ，∴212164241<-+<a ，即21<b . 综上，21max =b . 19.解：（1）因为点)13392,13132(P ，所以3=OP k ，又因为OP AF ⊥，13-=⨯-cb， ∴b c 3=，∴224b a =.又点)13392,13132(P 在椭圆上，∴1131313124134131213422222==+=+b b b b a ， 解之得42=a ，12=b ，故椭圆方程为1422=+y x . （2）①当直线l 的斜率不存在时，方程为：1=x ，此时1=d . ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：)1(±≠+=m m kx y联立椭圆方程得：0)1(48)14(222=-+++m kmx x k ，设点),(),,(2211y x N y x M ，由韦达定理：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+14)1(41482221221k m x x k km x x ，014022>+-⇒>∆m k （1） 由14)1(421482)(211222212121+-=+-⇒=+⇒=+k m k km x x x x x x ， 即：)0(112≠-=⇒-=m mk m km （2） 把（2）式代入（1）式得：342>m 或102<<m ，椭圆右顶点)0,2(D 到直线l 的距离1211212242222+--=-+-=++=m m m m mm mk m k d1)1(311442422424+---=+-+-=m m m m m m m ， 令),31()0,1(12+∞-∈=- t m ，则)2,1()1,0[11311312∈++-=++-=tt t t t d ， 由①②可知：)2,0[∈d .20.解：（1）由已知条件易知：0>n a ，且n nn a a a +=+111，（*） ∴0111>>+nn a a ，因此n n a a <+1，即数列{}n a 是递减数列，故11=≤a a n . 当*∈≥N n n ,2时，212=≤a a n . 又由（*）知，)2(211111≥+≤+=+n a a a a n n n n ， 利用累加可得：121)2(21112+=-+≤n n a a n ，即*∈≥+≥N n n n a n ,2,22， 经验证：当1=n 时，3221211=+≥=a 也成立. 因此当*∈≥N n n ,1时，122≤≤+n a n . （2）将（*）式平方可得：2112221++=+n nn a a a ， 累加可得：)2(,2)1(22)1(211212221212≥=-+≥-++⋅⋅⋅+++=-n n n n a a a a a n n ， ∴)1(21222--=-+≤≤n n n n na n .因此当*∈≥N n n ,2时，212)12312(2121-+=--+⋅⋅⋅+-+-+≤+⋅⋅⋅++=n n n a a a S n n ，只需证：12212-≤-+n n ，即证21212+-≤+n n ,两边平方整理得：1222122212-++≤++n n n n ，即12-≤n n ，再次两边平方即证：1≥n ，显然成立. 经验证：当1=n 时，111211=-⨯≤=S 也成立.故)(12*∈-≤N n n S n .。
浙江金华十校2016年高考数学模拟联考试卷(理科含解析)
浙江金华十校2016年高考数学模拟联考试卷（理科含解析）浙江省金华市2016年十校联考高考数学模拟试卷（理科）（解析版）一、选择题 1．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（） A．πB． C． D．2π2．命题“∀x∈[1，3]，x2�a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（） A．a≥9 B．a≤9 C．a≥10 D．a≤10 3．若正数x，y满足4x+9y=xy，则x+y的最小值为（） A．16 B．20 C．25 D．36 4．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足 = （ + +2 ），则为（） A． B． C．2 D． 5．定义：max{a，b}= ，若实数x，y满足：|x|≤3，|y|≤3，�4x≤y≤ x，则max{|3x�y|，x+2y}的取值范围是（） A．[ ，7] B．[0，12] C．[3， ] D．[0，7] 6．已知实数对（x，y），设映射f：（x，y）→（，），并定义|（x，y）|= ，若|f[f（f（x，y））]|=8，则|（x，y）|的值为（） A．4 B．8 C．16 D．32 7．函数f（x）= 若a，b，c，d各不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd 的取值范围是（） A．（24，25） B．[16，25） C．（1，25） D．（0，25] 8．设Rt△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC= ，D是线段AC（除端点A、C）上一点，将△ABD沿BD翻折至平面A′BD，使平面A′BD⊥平面ABC，当A′在平面ABC的射影H到平面ABA′的距离最大时，AD的长度为（） A． B． C． D．二、填空题 9．（6分）（2016金华模拟）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，S={1，2，5}，T={2，3，6}，则S∩（∁UT）= ，集合S共有个子集． 10．（6分）（2016金华模拟）已知数列{an}满足a1=1，并且a2n=2an，a2n+1=an+1（n∈N*），则a5= ，a2016= ． 11．（6分）（2016金华模拟）已知α∈[0，π]，（1）若cosα= ，则tan2α= ；（2）若sinα＞cosα＞，则α的取值范围是． 12．（4分）（2016金华模拟）设对一切实数x，函数f（x）都满足：xf（x）=2f（2�x）+1，则f（4）= ． 13．（4分）（2016金华模拟）平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，则异面直线EF与BC所成角大小为． 14．（4分）（2016金华模拟）已知F1，F2分别是双曲线C：� =1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线与双曲线C的右支交于点P，若线段F1P的中点Q恰好在双曲线C的一条渐近线，且 =0，则双曲线的离心率为． 15．（6分）（2016金华模拟）自平面上一点O引两条射线OA，OB，P在OA上运动，Q在OB上运动且保持| |为定值2 （P，Q不与O重合）．已知∠AOB=120°，（1）PQ的中点M的轨迹是的一部分（不需写具体方程）；（2）N是线段PQ上任�点，若|OM|=1，则的取值范围是．三、解答题 16．（14分）（2016金华模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2 = ，△ABC的面积为4．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若2sinB=5sinC，求a的值． 17．（15分）（2016金华模拟）如图，在三棱椎P�ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2 ．（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面APC．（Ⅱ）若动点M在底面三角形ABC内（包括边界）运动，使二面角M�PA�C的余弦值为，求此时∠MAB的余弦值． 18．（15分）（2016金华模拟）已知数列{an}满足a1= ，an+1an=2an+1�1（n∈N*），令bn=an�1．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn= ，求证：c1+c2+…+cn＜n+ ． 19．（15分）（2016金华模拟）已知F1、F2是椭圆C的左右焦点，点A，B为其左右顶点，P为椭圆C上（异于A、B）的一动点，当P点坐标为（1，）时，△PF1F2的面积为，分别过点A、B、P作椭圆C的切线l1，l2，l，直线l与l1，l2分别交于点R，T．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）（i）求证：以RT为直径的圆过定点，并求出定点M的坐标；（ii）求△RTM的面积最小值． 20．（15分）（2016金华模拟）设函数f（x）=x2+ax+b，a，b∈R．（Ⅰ）若2a+b=4，证明：|f（x）|在区间[0，4]上的最大值M（a）≥12；（Ⅱ）存在实数a，使得当x∈[0，b]时，1≤f（x）≤10恒成立，求实数b的最大值．2016年浙江省金华市十校联考高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题 1．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（） A．πB． C． D．2π【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是下部是半球，半径为：1，上部是圆锥，底面半径为1，高为：2，几何体的体积为： = ．故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查计算能力． 2．命题“∀x∈[1，3]，x2�a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（） A．a≥9 B．a≤9 C．a≥10 D．a≤10 【分析】先求命题“∀x∈[1，3]，x2�a≤0”为真命题的一个充要条件即可【解答】解：命题“∀x∈[1，3]，x2�a≤0”⇔“∀x∈[1，3]，x2≤a”⇔9≤a a≥10是命题“∀x∈[1，3]，x2�a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选：C．【点评】本题考查充分必要条件的概念，属于基础题． 3．若正数x，y满足4x+9y=xy，则x+y的最小值为（） A．16 B．20 C．25 D．36 【分析】变形已知式子可得 + =1，整体代入可得x+y=（x+y）（ + ）=13+ + ，由基本不等式可得．【解答】解：∵正数x，y满足4x+9y=xy，∴ =1，即 + =1，∴x+y=（x+y）（ + ）=13+ + ≥13+2 =25，当且仅当 = 即2x=3y时取等号，结合 + =1可解得x=15且y=10，故选：C．【点评】本题考查基本不等式求最值，变形并整体代入化已知式子为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题． 4．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足 = （ + +2 ），则为（） A． B． C．2 D．【分析】作出图形：延长CO交边AB的中点于D，根据O是△ABC的重心，以及向量加法的平行四边形法则、向量数乘的几何意义和向量的数乘运算便可以得出，从而便可得到，而，这样即可求出的值．【解答】解：如图，延长CO，交AB中点D，O是△ABC的重心，则： = = = ；∴ ；∴ ，；∴ ．故选A．【点评】考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，三角形重心的性质，以及向量的数乘运算，三角形的面积公式． 5．定义：max{a，b}= ，若实数x，y满足：|x|≤3，|y|≤3，�4x≤y≤ x，则max{|3x�y|，x+2y}的取值范围是（） A．[ ，7] B．[0，12] C．[3， ] D．[0，7] 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用作差法求出z的表达式，然后根据平移，根据数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分．由y�3x的几何意义为在y轴上的纵截距，平移直线y=3x，可得经过点（0，0）时，取得最大值0；经过点（3，�3）时，取得最小值�12． max{|3x�y|，x+2y}=max{3x�y，x+2y}，由y≤ ，可得3x�y≥x+2y，即有z=max{3x�y，x+2y}=3x�y．显然平移直线y=3x，可得经过点（0，0）时，z取得最小值0；经过点（3，�3）时，z取得最大值12．即所求取值范围是[0，12]．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义确定对应的直线方程是截距是本题的关键，属于中档题． 6．已知实数对（x，y），设映射f：（x，y）→（，），并定义|（x，y）|= ，若|f[f（f（x，y））]|=8，则|（x，y）|的值为（） A．4 B．8 C．16 D．32 【分析】根据新定义得出|f[f（f（x，y））]|=8，|（，）|=8，计算即可．【解答】解：∵映射f：（x，y）→（，），∴f[f（f（x，y））]=f（f（，））=f（，）=（，），∵定义|（x，y）|= ，若|f[f（f（x，y））]|=8，∴|（，）|=8，∴ =8，∴|（x，y）|的值为16 ，故选：C 【点评】本题考察了映射的概念，关键是理解题目条件的含义，展开计算即可，属于中档题目． 7．函数f（x）= 若a，b，c，d各不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（） A．（24，25） B．[16，25） C．（1，25） D．（0，25] 【分析】先画出函数f（x）的图象，再根据条件利用对数函数的运算性质以及指数函数的对称性，利用数形结合，即可求出其范围．【解答】解：函数f（x）的图象如下图所示：若a、b、c、d互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），不妨令a＜b＜c＜d，则0＜a＜1，1＜b＜4，则log2a=�log2b，即log2a+log2b=log2ab=0，则ab=1，同时c∈（4，5），d∈（5，6），∵c，d关于x=5对称，∴ =5，则c+d=10，则10=c+d，同时cd=c（10�c）=�c2+10c=�（c�5）2+25，∵c∈（4，5），∴cd∈（24，25），即abcd=cd∈（24，25），故选：A 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，由题意正确画出图象和熟练掌握对数函数的图象是解题的关键．利用对数函数的运算性质以及指数函数的对称性转化为一元二次函数是解决本题的关键． 8．设Rt△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC= ，D是线段AC（除端点A、C）上一点，将△ABD 沿BD翻折至平面A′BD，使平面A′BD⊥平面ABC，当A′在平面ABC 的射影H到平面ABA′的距离最大时，AD的长度为（）A． B． C． D．【分析】如图所示，连接A′A．设AD=x，．点H 到平面A′AB的距离为h．由于 = ，可得S△ABH= h ，又A′H= =AH，S△ABH= ，BH= ．A′A= ， = ，代入化简利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：如图所示，连接A′A．设AD=x，．点H到平面A′AB的距离为h．∵ = ，S△ABH= h ，又A′H= =AH，S△ABH= ，BH= ．A′A= ， = ，h= = = = ≤ ，当且仅当x= 时取等号．∴当A′在平面ABC的射影H到平面ABA′的距离最大时，AD的长度为．故选：A．【点评】本题考查了空间线面位置关系、三棱锥体积计算公式、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题 9．（6分）（2016金华模拟）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，S={1，2，5}，T={2，3，6}，则S∩（∁UT）= {1，5} ，集合S共有8 个子集．【分析】利用补集的定义求出T的补集；利用交集的定义求出两个集合的交集．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，S={1，2，5}，T={2，3，6}，∴∁UT={1，4，5}，∴S∩（∁UT）={1，5}， S={1，2，5}的子集的个数为23=8，故答案为：{1，5}，8．【点评】本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义求集合的交、并、补运算． 10．（6分）（2016金华模拟）已知数列{an}满足a1=1，并且a2n=2an，a2n+1=an+1（n∈N*），则a5= 3 ，a2016= 192 ．【分析】利用a2n=2an，a2n+1=an+1逐层转换，从而求得．【解答】解：a5=a2+1=2a1+1=3，a2016=2a1008=4a504=… =32a63=32（a31+1） =32（a15+1+1） =32（a7+3） =32（a3+4） =32（a1+5）=32×6=192；故答案为：3，192．【点评】本题考查了递推公式的应用，属于中档题． 11．（6分）（2016金华模拟）已知α∈[0，π]，（1）若cosα= ，则tan2α= �；（2）若sinα＞cosα＞，则α的取值范围是（，）．【分析】（1）cosα= ，α∈[0，π]，α= ，∴tan2α=tan =�，（2）观察函数图象，写出α的取值范围．【解答】解：cosα= ，α∈[0，π]，α= ，∴tan2α=tan =�，（2）α∈[0，π]，由函数图象可知：sinα＞cosα，∴α＞， cosα＞，∴α＜，综上可知：α的取值范围是（，）．【点评】本题考查特殊角的函数值及正弦函数余弦函数图象，属于基础题． 12．（4分）（2016金华模拟）设对一切实数x，函数f（x）都满足：xf（x）=2f（2�x）+1，则f（4）= 0 ．【分析】由题意知4f（4）=2f（�2）+1，�2f（�2）=2f（4）+1，从而解方程即可．【解答】解：∵xf（x）=2f（2�x）+1，∴4f（4）=2f（�2）+1，�2f（�2）=2f（4）+1，∴4f（4）=�2f（4）�1+1，解得，f（4）=0；故答案为：0．【点评】本题考查了函数的基本性质应用及方程思想的应用． 13．（4分）（2016金华模拟）平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，则异面直线EF与BC所成角大小为30°．【分析】延长AD，FE交于Q，∠AQF是异面直线EF与BC所成的角，由此能求出异面直线EF与BC所成角．【解答】解：延长AD，FE交于Q．∵ABCD 是矩形，∴BC∥AD，∴∠AQF是异面直线EF与BC所成的角．在梯形ADEF中，由DE∥AF，AF⊥FE，AF=2，DE=1得∠AQF=30°．即异面直线EF与BC所成角为30°．故答案为：30°．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 14．（4分）（2016金华模拟）已知F1，F2分别是双曲线C：� =1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线与双曲线C的右支交于点P，若线段F1P的中点Q恰好在双曲线C 的一条渐近线，且 =0，则双曲线的离心率为．【分析】由题意可得F1（�c，0），设P（m，n），代入双曲线的方程，运用中点坐标公式和向量垂直的条件：数量积为0，由两直线垂直的条件：斜率之积为0，解方程可得P的坐标，代入双曲线的方程，化简可得b=2a，由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：由题意可得F1（�c，0），设P（m，n），可得� =1，③ 中点Q的坐标为（，），且Q 在渐近线y=�x上，由 =0，可得PF1⊥PF2，即有OQ⊥PF1，可得= ，① 又 =�，② 由①②解得m= ，n= ，代入③可得，�=1，由c2=a2+b2，化简可得b=2a， c= = a，可得e= = ．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和向量垂直的条件，以及两直线垂直的条件：斜率之积为�1，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 15．（6分）（2016金华模拟）自平面上一点O引两条射线OA，OB，P在OA上运动，Q在OB上运动且保持| |为定值2 （P，Q不与O重合）．已知∠AOB=120°，（1）PQ的中点M的轨迹是椭圆的一部分（不需写具体方程）；（2）N是线段PQ上任�点，若|OM|=1，则的取值范围是[1�，1+ ] ．【分析】（1）以OB为x轴，过O垂直于OB的直线为y轴，求出P，Q，M 的坐标，利用余弦定理，可得结论；（2）利用平行四边形的对角线的平方和等于1，结合a2+b2+ab=8，求出a，b，可得P，Q，M的坐标，利用向量的数量积公式可得结论．【解答】解：（1）以OB为x 轴，过O垂直于OB的直线为y轴，|OQ|=a，|OP|=b，则P（�， b），Q（a，0），∴M（， b），设M（x，y），则x= ，y= b，∴a=2x+ y，b= y 由余弦定理可得a2+b2+ab=8，∴3x2+4 xy+7y2=6，∴PQ的中点M的轨迹是椭圆的一部分；（2）∵| |为定值2 ，|OM|=1，∴a2+b2=6，∵a2+b2+ab=8，∴ab=2，∴a= ，b= ，∴P（�，），Q（，0），M（，），∴ =1�， =1+ ，=1 ∴ 的取值范围是[1�，1+ ]．故答案为：椭圆；[1�，1+ ]．【点评】本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度大．三、解答题 16．（14分）（2016金华模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2 = ，△ABC的面积为4．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若2sinB=5sinC，求a的值．【分析】（I）由cos2 = ，可得= ，化为cosA= ，A∈（0，π），利用sinA= 即可得出．利用S△ABC=4= bcsinA，可得bc．即可得出．（II）由2sinB=5sinC，得2b=5c，又bc=10，解得b，c．再利用余弦定理即可得出．【解答】解：（I）在△ABC中，∵cos2 = ，∴ = ，∴ ，解得cosA= ，A∈（0，π），∴sinA= = ．∵S△ABC=4= bcsinA= bc× ，可得bc=10．=bccosA=10× =6．（II）由2sinB=5sinC，得2b=5c，又bc=10，解得b=5，c=2．∴a2=b2+c2�2bccosA=17，∴a= ．【点评】本题考查了余弦定理、倍角公式、三角函数的面积计算公式、同角三角函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．（15分）（2016金华模拟）如图，在三棱椎P�ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2 ．（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面APC．（Ⅱ）若动点M在底面三角形ABC内（包括边界）运动，使二面角M�PA�C的余弦值为，求此时∠MAB的余弦值．【分析】（Ⅰ）取AC中点O，连结OP，OB，推导出OP⊥OC，OP⊥OB，由此能证明OP⊥平面APC．（Ⅱ）以O为坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出∠MAB的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AC中点O，连结OP，OB，∵AP=CP，∴OP⊥OC，∵在三棱椎P�ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2 ，∴OP=2 ，OB=2，PB=4，∴PB2=OP2+OB2，△POB是直角三角形，∴OP⊥OB，又OC与OB交于点O，∴OP⊥平面APC．解：（Ⅱ）以O为坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， A（0，�2，0），B（2，0，0），P（0，0，2 ），平面PAC的法向量 =（1，0，0），设平面PAM的法向量 =（x，y，z），M（m，n，0），∴ =（0，2，2 ）， =（m，n+2，0），则，取z=�1，得 =（），∵二面角M�PA�C的余弦值为，∴|cos＜＞|= = = ，整理，得（n+2）2=9m2，∴n+2=3m或n+2=�3m（舍），∴cos∠MAB= = = = ．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 18．（15分）（2016金华模拟）已知数列{an}满足a1= ，an+1an=2an+1�1（n∈N*），令bn=an�1．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn= ，求证：c1+c2+…+cn＜n+ ．【分析】（I）an+1an=2an+1�1（n∈N*），bn=an�1，即an=bn+1．代入化为：�=�1，利用等差数列的通项公式即可得出．（II）由（I）可得：an=bn+1=1�= ．代入cn= =1+ ，由于n≥2时，2n+2≤2n+1�1，可得＜，利用“裂项求和”、数列的单调性即可得出．【解答】（I）解：∵an+1an=2an+1�1（n∈N*），bn=an�1，即an=bn+1．∴（bn+1+1）（bn+1）=2（bn+1+1）�1，化为：�=�1，∴数列是等差数列，首项为�2，公差为�1．∴ =�2�（n�1）=�1�n，∴bn=�．（II）证明：由（I）可得：an=bn+1=1� = ．∴cn= = = =1+ ，∵n≥2时，2n+2≤2n+1�1，∴ ＜，∴c1+c2+…+cn≤n+ + =n+ �＜n+ ．【点评】本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19．（15分）（2016金华模拟）已知F1、F2是椭圆C的左右焦点，点A，B为其左右顶点，P为椭圆C上（异于A、B）的一动点，当P点坐标为（1，）时，△PF1F2的面积为，分别过点A、B、P作椭圆C的切线l1，l2，l，直线l与l1，l2分别交于点R，T．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）（i）求证：以RT为直径的圆过定点，并求出定点M的坐标；（ii）求△RTM的面积最小值．【分析】（Ⅰ）由当P点坐标为（1，）时，△PF1F2的面积为，求出c=1，2a=|PF1|+|PF2|=4，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）（i）设直线l为：y=kx+m，与椭圆联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2�12=0，由此利用根的判别式、椭圆对称性，向量数量积，结合已知条件能证明以RT为直径的圆过定点，并求出定点M的坐标．（ii）由图形的对称性，取M为右焦点F2（1，0），S△RTM=S四边形ABTR�S△BDA=2（m+k），由此能求出△RTM的面积的最小值为3．【解答】解：（Ⅰ）∵F1、F2是椭圆C的左右焦点，点A，B为其左右顶点， P为椭圆C上（异于A、B）的一动点，当P点坐标为（1，）时，△PF1F2的面积为，∴ = ，解得c=1，又∵2a=|PF1|+|PF2|=4，∴a=2，b= ，故椭圆C 的方程为．证明：（Ⅱ）（i）由题意直线l的斜率存在，设直线l 为：y=kx+m，联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2�12=0，△=64k2m2�4（3+4k2）（4m2�12）=0，化简，得m2=3+4k2， R（�2，�2k+m），T（2，2k+m），由对称性，知定点M在x轴上，设M（x，0），M在RT为直线的圆上，∴MR⊥MT，∴ =（�2�x）（2�x）+（�2k+m）（2k+m）=x2�4+m2�4k2=0，解得x=±1，∴定点M即为左右焦点F1，F2，其坐标为（±1，0）．解：（ii）由图形的对称性，不妨取M为右焦点F2（1，0），点P在x轴上方，S△RTM=S四边形ABTR�S△BDA=2（m+k），令m+k=t，则m=t�k，代入m2=3+4k2，得3k2+2tk+3�t2=0，△=4（4t2�9）≥0，∵t＞0，∴t≥ ，S△RDA≥3，当m=2，k=�时，取等号，故△RTM的面积的最小值为3．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查圆过定点的证明及定点坐标的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、椭圆对称性，向量数量积的合理运用． 20．（15分）（2016金华模拟）设函数f（x）=x2+ax+b，a，b∈R．（Ⅰ）若2a+b=4，证明：|f（x）|在区间[0，4]上的最大值M（a）≥12；（Ⅱ）存在实数a，使得当x∈[0，b]时，1≤f（x）≤10恒成立，求实数b 的最大值．【分析】（Ⅰ）把2a+b=4代入函数解析式，利用f（x）的对称轴为进行分类，求出f（x）在[0，4]上的最值，进一步求得|f（x）|在区间[0，4]上的最大值．由最大值的最小值为12证得答案；（Ⅱ）f（x）的对称轴为x=�，根据对称轴与区间[0，b]的关系分情况讨论f（x）的单调性，求出最值，根据1≤f（x）≤10列出不等式组，化简得出b的取值范围，从而得到实数b的最大值．【解答】（Ⅰ）证明：∵2a+b=4，∴f（x）=x2+ax+b=x2+ax+4�2a= ，当，即a≥0时，f（x）在[0，4]上为增函数，f（x）∈[�2a+4，2a+20]， |f（x）|的最大值为M（a）=2a+20；当，即a≤�8时，f（x）在[0，4]上为减函数，f（x）∈[2a+20，�2a+4]，此时�2a+4＞|2a+20|，|f（x）|的最大值为M（a）=�2a+4；当0 ，即�4≤a ＜0时，f（x）在[0，4]上的最小值为， f（x）在[0，4]上的最大值为f（4）=2a+20，∵2a+20≥12，4＜，∴|f（x）|在区间[0，4]上的最大值M（a）=2a+20；当，即�8＜a＜�4时，f（x）在[0，4]上的最小值为， f（x）在[0，4]上的最大值为f（0）=�2a+4，∵�2a+4＞12，4＜，∴|f（x）|在区间[0，4]上的最大值M（a）=�2a+4．∴M（a）= ，则M（a）≥12；（Ⅱ）f（x）=x2+ax+b的对称轴为x= ．①若a≥0，则≤0，∴f（x）在[0，b）上单调递增，∴ ．由b2+ab+b≤10，得≥a≥0，解不等式组，得1 ．②若0＜＜，即�b＜a＜0时，f（x）在[0， ]上单调递减，在（�，b]单调递增，∴ ．∴ ，即，得1＜b＜10．③若0＜＜b，即�2b＜a＜�b＜0时，f（x）在[0， ]单调递减，在（，b]单调递增，∴ ，即，则1＜b≤10．④若≥b，即a≤�2b时，f（x）在[0，b）上单调递减，∴ ，∴ ，即，则b∈∅．综上，b的取值范围是[1，10]，b的最大值为10．【点评】本题考查恒成立问题，主要考查二次函数的图象和性质，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，体现了分类类讨论的思想方法，难度较大．。
浙江省金华市东阳市届高考数学模拟试卷理(含解析)【含答案】
2016年浙江省金华市东阳市高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，集合A={x|x≥0}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|﹣3＜x＜0} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|0＜0＜1} D．{x|0＜x＜3}2．在△ABC中，“sinA＞”是“A＞”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知△ABC的面积为3，若动点P满足=2λ+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB，AC所围成封闭区域的面积是（）A．3 B．4 C．6 D．124．如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A、B到l的距离分别是a和b．AB与α、β所成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影分别是m和n．若a＞b，则（）A．θ＞φ，m＞n B．θ＞φ，m＜n C．θ＜φ，m＜n D．θ＜φ，m＞n5．已知x＞0，y＞0，且4x++y+=17，则函数F（x，y）=4x+y的最大值与最小值的差为（）A．14 B．15 C．16 D．176．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M，若∠F1MF2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．（，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）7．已知函数f（x）=，则函数y=f（2x2+x）﹣a（a＞2）的零点个数不可能（）A．3 B．4 C．5 D．68．已知二次函数f（x）=ax2+bx（|b|≤2|a|），定义f1（x）=max{f（t）|﹣1≤t≤x≤1}，f2（x）=min{f（t）|﹣1≤t≤x≤1}，其中max{a，b}表示a，b中的较大者，min{a，b}表示a，b中的较小者，则下列命题正确的是（）A．若f1（﹣1）=f1（1），则f（﹣1）＞f（1）B．若f2（﹣1）=f2（1），则f（﹣1）＞f （1）C．若f（﹣1）=f（1），则f2（﹣1）＞f2（1）D．若f2（1）=f1（﹣1），则f1（﹣1）＜f1（1）二、填空题：本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在答题卷的相应位置.9．如果函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2．那么a= ；f （﹣t）= ．10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥体积是，四个面的面积中最大的是．11．已知数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+1=，n∈N*，则a n= ，b2016= ．12．已知点P（x，y），其中x，y满足，则z1=的取值范围，z=的最大值是．13．若圆x2+y2=R2（R＞0）与曲线||x|﹣|y||=1的全体公共点恰好是一个正多边形的顶点，则R= ．14．已知P为抛物线C：y2=4x上的一点，F为抛物线C的焦点，其准线与x轴交于点N，直线NP与抛物线交于另一点Q，且|PF|=3|QF|，则点P坐标为．15．已知a＞0，b＞0，c＞0，则的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（x）在x∈上的最大值为c，且C=．求△ABC的面积的最大值．17．如图，四边形ABCD中，△BCD为正三角形，AD=AB=2，，AC与BD交于O点．将△ACD沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为θ，且P点在平面ABCD 内的射影落在△ACD内．（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）若已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，求θ的大小．18．{a n}前n项和为S n，2S n=a n+1﹣2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数列（1）求a1的值；（2）求{a n}通项公式；（3）证明++…+＜．19．已知椭圆+y2=1（a＞1），（1）若A（0，1）到焦点的距离为，求椭圆的离心率．（2）Rt△ABC以A（0，1）为直角顶点，边AB、AC与椭圆交于两点B、C．若△ABC面积的最大值为，求a的值．20．已知函数f（x）=ax2+x|x﹣b|．（Ⅰ）当b=﹣1时，若不等式f（x）≥﹣2x﹣1恒成立．求实数a的最小值；（Ⅱ）若a＜0，且对任意b∈，总存在实数m，使得方程|f（x）﹣m|=在上有6个互不相同的解，求实数a的取值范围．2016年浙江省金华市东阳市高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，集合A={x|x≥0}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|﹣3＜x＜0} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|0＜0＜1} D．{x|0＜x＜3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A的补集．把集合B化简，然后取交集．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x≥0}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴（C U A）∩B={x|x＜0}∩{x|﹣1＜x＜3}={x|﹣1＜x＜0}．故选B．2．在△ABC中，“sinA＞”是“A＞”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先看由sinA能否得到：A时，根据y=sinx在上的单调性即可得到，而A时显然满足A；然后看能否得到sinA，这个可通过y=sinx在（0，π）上的图象判断出得不到sinA，并可举反例比如A=．综合这两个方面便可得到“sinA＞”是“A＞”的充分不必要条件．【解答】解：△ABC中，若A∈（0，]， =sin，所以sinA得到A；若A，显然得到；即sinA能得到A；而，得不到sinA，比如，A=，；∴“sinA”是“A”的充分不必要条件．故选A．3．已知△ABC的面积为3，若动点P满足=2λ+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB，AC所围成封闭区域的面积是（）A．3 B．4 C．6 D．12【考点】轨迹方程．【分析】根据向量加法的几何意义得出P点轨迹，利用△ABC的面积为3，从而求出围成封闭区域的面积．【解答】解：延长AB至D，使得AD=2AB，连结CD，则∵=2λ+（1﹣λ）=λ+（1﹣λ）．∴C，D，P三点共线．∴P点轨迹为直线CD．∵△ABC的面积为3，∴S△ACD=2S△ABC=6．故选：C．4．如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A、B到l的距离分别是a和b．AB与α、β所成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影分别是m和n．若a＞b，则（）A．θ＞φ，m＞n B．θ＞φ，m＜n C．θ＜φ，m＜n D．θ＜φ，m＞n【考点】平面与平面垂直的性质；三垂线定理．【分析】在图象中作出射影，在直角三角形中利用勾股定理与三角函数的定义建立相关等式，运算即可．【解答】解：由题意可得，即有，故选D．5．已知x＞0，y＞0，且4x++y+=17，则函数F（x，y）=4x+y的最大值与最小值的差为（）A．14 B．15 C．16 D．17【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】设4x+y=t，代入条件可得4xy=，（0＜t＜17），将4x，y可看作二次方程m2﹣tm+=0的两根，由△≥0，运用二次不等式的解法即可得到所求最值，进而得到它们的差．【解答】解：设4x+y=t，4x++y+=17，即为（4x+y）+=17，即有t+=17，可得xy=，即4xy=，（0＜t＜17），即有4x，y可看作二次方程m2﹣tm+=0的两根，由△≥0，可得t2﹣≥0，化为t2﹣17t+16≤0，解得1≤t≤16，当x=，y=时，函数F（x，y）取得最小值1；当x=2，y=8时，函数F（x，y）取得最大值16．可得函数F（x，y）=4x+y的最大值与最小值的差为15．故选：B．6．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M，若∠F1MF2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．（，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】可得M，F1，F2的坐标，进而可得，的坐标，由＞0，结合abc的关系可得关于ac的不等式，结合离心率的定义可得范围．【解答】解：联立，解得，∴M（，），F1（﹣c，0），F2（c，0），∴=（，），=（，），由题意可得＞0，即＞0，化简可得b2＞3a2，即c2﹣a2＞3a2，故可得c2＞4a2，c＞2a，可得e=＞2故选D7．已知函数f（x）=，则函数y=f（2x2+x）﹣a（a＞2）的零点个数不可能（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由已知中函数的解析式，我们画出函数y=f（2x2+x）的图象，结合图象观察y=f（2x2+x）与y=a的交点情况，即可得函数y=f（2x2+x）﹣a（a＞2）的零点个数所有的情况，进而得到答案．【解答】解：∵函数y=f（2x2+x）﹣a（a＞2）的零点个数即函数y=f（2x2+x）和y=a的交点个数，先画出函数y=f（2x2+x）的图象，如图所示．（1）当2＜a＜3时，函数y=f（2x2+x）和y=a的图象有4个交点，则函数y=f（2x2+x）﹣a （a＞2）的零点个数是4，（2）当a=3时，函数y=f（2x2+x）和y=a的图象有5个交点，则函数y=f（2x2+x）﹣a（a＞2）的零点个数是5，（3）当a＞3时，函数y=f（2x2+x）和y=a的图象的交点个数都不小于4，则函数y=f（2x2+x）﹣a（a＞2）的零点个数不小于4，故选A．8．已知二次函数f（x）=ax2+bx（|b|≤2|a|），定义f1（x）=max{f（t）|﹣1≤t≤x≤1}，f2（x）=min{f（t）|﹣1≤t≤x≤1}，其中max{a，b}表示a，b中的较大者，min{a，b}表示a，b中的较小者，则下列命题正确的是（）A．若f1（﹣1）=f1（1），则f（﹣1）＞f（1）B．若f2（﹣1）=f2（1），则f（﹣1）＞f （1）C．若f（﹣1）=f（1），则f2（﹣1）＞f2（1）D．若f2（1）=f1（﹣1），则f1（﹣1）＜f1（1）【考点】二次函数的性质．【分析】由新定义可知f1（﹣1）=f2（﹣1）=f（﹣1），f（x）在上的最大值为f1（1），最小值为f2（1）．【解答】解：（1）若f1（﹣1）=f1（1），则f（﹣1）为f（x）在上的最大值，∴f（﹣1）＞f（1）或f（﹣1）=f（1）．故A错误；（2）若f2（﹣1）=f2（1），则f（﹣1）是f（x）在上的最小值，∴f（﹣1）＜f（1）或f（﹣1）=f（1），故B错误．（3）若f（﹣1）=f（1），则f（x）关于y轴对称，∴当a＞0时，f2（1）=f（0）≠f（﹣1）=f2（﹣1），故C错误．（4）若f2（1）=f1（﹣1），则f（﹣1）为f（x）在上的最小值，而f1（﹣1）=f（﹣1），f1（1）表示f（x）在上的最大值，∴f1（﹣1）＜f1（1）．故D正确．故选：D．二、填空题：本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在答题卷的相应位置.9．如果函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2．那么a= 1 ；f（﹣t）= 0 ．【考点】函数的值．【分析】由函数性质列出方程组，求出a=1，t2sint=1，由此能求出f（﹣t）．【解答】解：∵函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2，∴，解得a=1，t2sint=1，∴f（﹣t）=t2sin（﹣t）+a=﹣t2sint+1=﹣1+1=0．故答案为：1，0．10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥体积是 1 ，四个面的面积中最大的是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图画出三棱锥P﹣ABC的直观图，并做出辅助线，由三视图求出棱长、判断出线面位置关系，由椎体的体积公式求出该三棱锥体积；由勾股定理求出其它棱长，判断该三棱锥的四个面中最大的面，由三角形的面积公式求出答案．【解答】解：根据三视图画出三棱锥P﹣ABC的直观图如图所示：过A作AD⊥BC，垂足为D，连结PD，由三视图可知，PA⊥平面ABC，且BD=AD=1，CD=PA=2，①该三棱锥体积V===1；②BC=3，PD==，同理可求AC=，AB=，PB=，PC=3，∴△PBC是该三棱锥的四个面中最大的面积，∴△PBC的面积S===．故答案为：1；．11．已知数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+1=，n∈N*，则a n=，b2016= ．【考点】数列递推式．【分析】a n+b n=1，b n+1=，n∈N*，可得b1=1﹣a1=．又b n+1==，可得b2，b3，…，猜想：b n=，利用数学归纳法证明即可．进而得出a n=1﹣b n．【解答】解：∵a n+b n=1，b n+1=，n∈N*，∴b1=1﹣a1=．b n+1==，∴b2=，b3=，…，猜想：b n=，下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，b1=成立．②假设当n=k≥1（k∈N*）时成立，即b k=．∴b k+1==，因此n=k+1时成立．综上可得：∀n∈N*，b n=，∴b2016=．经过验证可知：b n=成立．∴a n=1﹣b n==．故答案分别为：；．12．已知点P（x，y），其中x，y满足，则z1=的取值范围，z=的最大值是9 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，由z1=表示过平面区域的点（x，y）与（0，0）的直线的斜率，通过图象即可得出．作出不等式组对应的平面区域要使z=最大，则x最小，y最大即可，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由z1=表示过平面区域的点（x，y）与（0，0）的直线的斜率，由，得，即A（1，3），显然直线过A（1，3）时，z1==3，直线过（2，2）时，z1==1，故答案为：．解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x≥1，y≥2，要使z=最大，则x最小，y最大即可，由图象知当z=经过点A时，z取得最大值，则z的最大值是z==9，故答案为：；9．13．若圆x2+y2=R2（R＞0）与曲线||x|﹣|y||=1的全体公共点恰好是一个正多边形的顶点，则R= ．【考点】圆的标准方程．【分析】由题意画出图形，可得正多边形为正八边形，然后由已知通过解三角形求得答案．【解答】解：由||x|﹣|y||=1，得|x|﹣|y|=±1，即，作出图象如图，正多边形为正八边形，在△AOB中，∠AOB=45°，AB=，∴AB2=OA2+OB2﹣2OA•OB•cos45°，即2=2R2﹣，∴，则R=．故答案为：．14．已知P为抛物线C：y2=4x上的一点，F为抛物线C的焦点，其准线与x轴交于点N，直线NP与抛物线交于另一点Q，且|PF|=3|QF|，则点P坐标为（3，）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】作出抛物线对应的图象，根据抛物线的定义建立条件关系，利用三点共线即可得到结论．【解答】解：∵y2=4x，∴焦点坐标F（1，0），准线方程x=﹣1．过P，Q分别作准线的射影分别为A，B，则由抛物线的定义可知：|PA|=|PF|，|QF|=|BQ|，∵|PF|=3|QF|，∴|AP|=3|QB|，即|BN|=3|AN|，∴P，Q的纵坐标满足y P=3y Q，设P（），y≠0，则Q（），则N（﹣1，0），∵N，Q，P三点共线，∴，解得y2=12，∴y=，此时，即点P坐标为（3，），故答案为：（3，）15．已知a＞0，b＞0，c＞0，则的最大值是．【考点】一般形式的柯西不等式．【分析】a2+b2+4c2=（a2+a2）+（b2+b2）+（c2+3c2），调整，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：设a2+b2+4c2=（a2+a2）+（b2+b2）+（c2+3c2）=（a2+b2）+（a2+c2）+（b2+3c2）≥ab+ac+3bc∴ab+2ac+3bc≤（a2+b2+4c2），∴≤当且仅当a=，b=2c=时，等号成立．∴的最大值是．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（x）在x∈上的最大值为c，且C=．求△ABC的面积的最大值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数y=f（x）的解析式．（Ⅱ）在△ABC中，由条件求出c，再利用余弦定理求得ab的最大值为1，可得△ABC的面积为ab•sinC 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）根据函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜）的图象可得A=， ==6+2，∴ω=．再根据五点法作图可得﹣2×+φ=0，∴φ=，∴f（x）=sin（x+）．（Ⅱ）在△ABC中，f（x）=sin（x+）在x∈上的最大值为c=1（此时，x=4）．由C=，利用余弦定理可得c2=1=a2+b2﹣2ab•cosC≥2ab﹣ab=ab，当且仅当a=b时，取等号，故ab的最大值为1．则△ABC的面积为ab•sinC=×ab×≤，故△ABC的面积的最大值为．17．如图，四边形ABCD中，△BCD为正三角形，AD=AB=2，，AC与BD交于O 点．将△ACD沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为θ，且P点在平面ABCD内的射影落在△ACD内．（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）若已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，求θ的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理，可证AC⊥平面PBD；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，可求θ的大小．【解答】（Ⅰ）证明：由题意，O为BD的中点，则AC⊥BD，又AC⊥PO，BD∩PO=O，所以AC⊥平面PBD；（Ⅱ）解：以OB为x轴，OC为y轴，过O垂直于平面ABC向上的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），B（），P（，），则，平面PBD的法向量为设平面ABP的法向量为则由得，，令x=1，则∴cos＜＞===∴=3，即，又θ∈，∴．18．{a n}前n项和为S n，2S n=a n+1﹣2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数列（1）求a1的值；（2）求{a n}通项公式；（3）证明++…+＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由2S n=a n+1﹣2n+1+1，n∈N*，分别取n=1，2时，可得a2=2a1+3，a3=6a1+13．利用a1，a2+5，a3成等差数列，即可得出；（2）当n≥2时，2a n=2S n﹣2S n﹣1，化为，变形，利用等比数列的通项公式即可得出；（3）由≥3n﹣1．可得，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（1）解：∵2S n=a n+1﹣2n+1+1，n∈N*，∴n=1，2时，2a1=a2﹣3，2a1+2a2=a3﹣7，∴a2=2a1+3，a3=6a1+13．∵a1，a2+5，a3成等差数列，∴2（a2+5）=a1+a3，∴2（2a1+8）=a1+6a1+13，解得a1=1．（2）解：当n≥2时，2a n=2S n﹣2S n﹣=，化为1，∴，a1+2=3．∴数列是等比数列，∴，∴．（3）证明：∵≥3n﹣1．∴，∴++…++…+==．19．已知椭圆+y2=1（a＞1），（1）若A（0，1）到焦点的距离为，求椭圆的离心率．（2）Rt△ABC以A（0，1）为直角顶点，边AB、AC与椭圆交于两点B、C．若△ABC面积的最大值为，求a的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由A（0，1）到焦点的距离为，可得a=，c=，即可得出e=．（2）不妨设AB斜率k＞0，则AB：y=kx+1，AC：y=．分别与椭圆方程联立可得：，，|AB|==，|AC|=．S=|AB||AC|=2a4×，令=t≥2，通过换元利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵A（0，1）到焦点的距离为，∴a=，c==，e===．（2）不妨设AB斜率k＞0，则AB：y=kx+1，AC：y=．由，得（1+a2k2）x2+2a2kx=0，解得，同理，|AB|==，同理可得：|AC|=．S=|AB||AC|=2a4×=2a4×，令=t≥2，则S=2a4×=≤，当且仅当t=≥2，即a时取等号．由，解得a=3，或a=（舍去）．1＜a＜1+时无解．∴a=3．20．已知函数f（x）=ax2+x|x﹣b|．（Ⅰ）当b=﹣1时，若不等式f（x）≥﹣2x﹣1恒成立．求实数a的最小值；（Ⅱ）若a＜0，且对任意b∈，总存在实数m，使得方程|f（x）﹣m|=在上有6个互不相同的解，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得ax2≥﹣x|x+1|﹣2x﹣1恒成立，讨论x=0，x≠0时，运用参数分离，求得右边函数的最大值即可；（Ⅱ）对a讨论，（1）当a＜﹣1时，（2）当a=﹣1时，（3）﹣1＜a＜0时，①当＜b，即﹣，②当＞b，即﹣1＜a＜﹣，运用二次函数的单调性和最值的求法，讨论对称轴和区间的关系，解不等式，求交集即可．【解答】解：（Ⅰ）当b=﹣1时，若不等式f（x）≥﹣2x﹣1恒成立，即为ax2≥﹣x|x+1|﹣2x﹣1，当x=0时，0＞﹣1成立；当x≠0时，a≥，令g（x）=，即有g（x）=，当x≥﹣1，x≠0时，x=﹣时，g（x）取得最大值；当x＜﹣1时，x=﹣2时，g（x）取得最大值．则有g（x）的最大值为．即有a≥，则a的最小值为；（Ⅱ）若a＜0，且对任意b∈，总存在实数m，使得方程f（x）=m±在上有6个互不相同的解．而f（x）=，（1）当a＜﹣1时，f（x）在（﹣∞，）递增，在（，+∞）递减．方程f（x）=m±在上不可能有6个互不相同的解；（2）当a=﹣1时，f（x）在（﹣∞，）递增，在（，+∞）递减，方程f（x）=m±在上不可能有6个互不相同的解；（3）﹣1＜a＜0时，①当＜b，即﹣，f（x）在（﹣∞，）递增，在（，b）递减，在（b，+∞）递增．又1≤b≤2，﹣，2[]﹣b＞﹣3，要使方程f（x）=m±在上有6个互不相同的解．则f（）﹣f（b）＞，∀b∈，都有a（9﹣b2）＞3b﹣，b2[﹣a]＞．当a（9﹣b2）＞3b﹣，即a＞，令6b﹣17=t∈，g（b）==，当t=﹣5即b=2时，g（x）max=﹣，即有a＞﹣，当b2[﹣a]＞．则4a2﹣2a﹣1＞0，解得a＞（舍去）或a＜．即有﹣＜a＜；②当＞b，即﹣1＜a＜﹣，f（x）在（﹣∞，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增．∀b∈，＜3，f（3）﹣f（）=9（a+1）﹣3b+＞，当＜3，∀b∈恒成立，解得a＞﹣，当9（a+1）﹣3b+＞，∀b∈恒成立，取b=2代入得a＞﹣或a＜﹣．所以无解．综上可得，a的取值范围为（﹣，）．。
2016年浙江高考数学(理科)试卷(含答案)
n n 2016 年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5 分）（2016•浙江）已知集合 P={x ∈R|1≤x ≤3}，Q={x ∈R|x 2≥4}，则 P ∪（C R Q ）=（ ）A ．[2，3]B ．（﹣2，3]C ．[1，2）D ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）2．（5 分）（2016•浙江）已知互相垂直的平面 α，β 交于直线 l ，若直线 m ，n 满足 m ∥α，n ⊥β，则（ ）A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n3．（5 分）（2016•浙江）在平面上，过点 P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影，由区域 中的点在直线 x+y ﹣2=0 上的投影构成的线段记为 AB ，则 |AB|=（ ）A ．2B ．4C ．3D ．64．（5 分）（2016•浙江）命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得 n ≥x 2”的否定形式是（ ）A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得 n ＜x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得 n ＜x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得 n ＜x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得 n ＜x 25．（5 分）（2016•浙江）设函数 f （x ）=sin 2x+bsinx+c ，则 f （x ）的最小正周期（）A ．与 b 有关，且与 c 有关B ．与 b 有关，但与 c 无关C ．与 b 无关，且与 c 无关D ．与 b 无关，但与 c 有关 6．（5 分）（2016•浙江）如图，点列{A n }、{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|， A n ≠A n+1，n ∈N *，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|，B n ≠B n+1，n ∈N *，（P ≠Q 表示点P 与Q 不重合）若 d n =|A n B n |， S n 为△A n B n B n+1 的面积，则（ ）A ．{S n }是等差数列B ．{S 2}是等差数列C ．{d n }是等差数列D ．{d 2}是等差数列7．（5 分）（2016•浙江）已知椭圆 C 1：+y 2=1（m ＞1）与双曲线 C 2：﹣y 2=1（n ＞0）的焦点重合，e 1，e 2 分别为 C 1，C 2 的离心率，则（ ）A ．m ＞n 且 e 1e 2＞1B ．m ＞n 且 e 1e 2＜1C ．m ＜n 且 e 1e 2＞1D ．m ＜n 且 e 1e 2＜18．（5 分）（2016•浙江）已知实数 a ，b ，c ．（ ）A ．若|a 2+b+c|+|a+b 2+c|≤1，则 a 2+b 2+c 2＜100B ．若|a 2+b+c|+|a 2+b ﹣c|≤1，则 a 2+b 2+c 2＜100C ．若|a+b+c 2|+|a+b ﹣c 2|≤1，则 a 2+b 2+c 2＜100D．若|a2+b+c|+|a+b2﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分．9．（4 分）（2016•浙江）若抛物线y2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是．10．（6分）（2016•浙江）已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A= ，b= ．11．（6 分）（2016•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3．12．（6 分）（2016•浙江）已知a＞b＞1，若log a b+log b a=，a b=b a，则a= ，b= ．13．（6 分）（2016•浙江）设数列{a n}的前n 项和为S n，若S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*，则a1= ，S5= ．14．（4 分）（2016•浙江）如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD 的体积的最大值是．15．（4 分）（2016•浙江）已知向量，，||=1，||=2，若对任意单位向量，均有|•|+|•|≤，则•的最大值是．三、解答题：本大题共5 小题，共74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14 分）（2016•浙江）在△ABC 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（I）证明：A=2B（II）若△ABC 的面积S= ，求角A 的大小．17．（15 分）（2016•浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF 中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，（I）求证：EF⊥平面ACFD；（II）求二面角B﹣AD﹣F 的余弦值．18．（15 分）（2016•浙江）已知a≥3，函数F（x）=min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中min （p，q）=（I）求使得等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2 成立的x 的取值范围（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）（ii）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）19．（15 分）（2016•浙江）如图，设椭圆C：+y2=1（a＞1）（I）求直线y=kx+1 被椭圆截得到的弦长（用a，k 表示）（II）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．20．（15 分）（2016•浙江）设数列满足|a n﹣|≤1，n∈N*．（Ⅰ）求证：|a n|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）（Ⅱ）若|a n|≤（）n，n∈N*，证明：|a n|≤2，n∈N*．2016 年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5 分）【考点】并集及其运算．【分析】运用二次不等式的解法，求得集合Q，求得Q 的补集，再由两集合的并集运算，即可得到所求．【解答】解：Q={x∈R|x2≥4}={x∈R|x≥2 或x≤﹣2}，即有C R Q={x∈R|﹣2＜x＜2}，则P∪（C R Q）=（﹣2，3]．故选：B．【点评】本题考查集合的运算，主要是并集和补集的运算，考查不等式的解法，属于基础题．2．（5 分）【考点】直线与平面垂直的判定．【分析】由已知条件推导出l⊂β，再由n⊥β，推导出n⊥l．【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n 满足m∥α，∴m∥β或m⊂β或m⊥β，l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l．故选：C．【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．3．（5 分）【考点】简单线性规划的应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），区域内的点在直线x+y﹣2=0 上的投影构成线段R′Q′，即SAB，而R′Q′=RQ，由得，即Q（﹣1，1），由得，即R（2，﹣2），则|AB|=|QR|== =3，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义以及数形结合是解决本题的关键．4．（5 分）【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是：∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．5．（5 分）【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据三角函数的图象和性质即可判断．【解答】解：∵设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，∴c 是图象的纵坐标增加了c，横坐标不变，故周期与c 无关，当b=0 时，f（x）=sin2x+bsinx+c=﹣cos2x++c 的最小正周期为T==π，当b≠0 时，f（x）=﹣cos2x+bsinx++c，∵y=cos2x 的最小正周期为π，y=bsinx 的最小正周期为2π，∴f（x）的最小正周期为2π，故f（x）的最小正周期与b 有关，故选：B【点评】本题考查了三额角函数的最小正周期，关键掌握三角函数的图象和性质，属于中档题．6．（5 分）【考点】数列与函数的综合．【分析】设锐角的顶点为O，再设|OA1|=a，|OB1|=b，|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d，由于a，b 不确定，判断C，D 不正确，设△A n B n B n+1 的底边B n B n+1 上的高为h n，运用三角形相似知识，h n+h n+2=2h n+1，由S n=d•h n，可得S n+S n+2=2S n+1，进而得到数列{S n}为等差数列．【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=b，|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d，n 由于 a ，b 不确定，则{d n }不一定是等差数列，{d 2}不一定是等差数列，设△A n B n B n+1 的底边B n B n+1 上的高为h n ，由三角形的相似可得==，==，两式相加可得，==2，即有 h n +h n+2=2h n+1， 由 S n =d •h n ，可得S n +S n+2=2S n+1，即为 S n+2﹣S n+1=S n+1﹣S n ，则数列{S n }为等差数列．故选：A ．【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题．7．（5 分）【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】根据椭圆和双曲线有相同的焦点，得到c 2=m 2﹣1=n 2+1，即 m 2﹣n 2=2，进行判断，能得 m ＞n ，求出两个离心率，先平方进行化简进行判断即可．【解答】解：∵椭圆 C 1：+y 2=1（m ＞1）与双曲线C 2：﹣y 2=1（n ＞0）的焦点重合， ∴满足 c 2=m 2﹣1=n 2+1，即 m 2﹣n 2=2＞0，∴m 2＞n 2，则 m ＞n ，排除C ，D则 c 2=m 2﹣1＜m 2，c 2=n 2+1＞n 2，则 c ＜m ．c ＞n ，e 1=，e 2=，则 e 1•e 2= • = ，则（e1•e2）2=（）2•（）2====1+=1+= 1+＞1，∴e1e2＞1，故选：A．【点评】本题主要考查圆锥曲线离心率的大小关系的判断，根据条件结合双曲线和椭圆离心率以及不等式的性质进行转化是解决本题的关键．考查学生的转化能力．8．（5 分）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】本题可根据选项特点对a，b，c 设定特定值，采用排除法解答．【解答】解：A．设a=b=10，c=﹣110，则|a2+b+c|+|a+b2+c|=0≤1，a2+b2+c2＞100；B．设a=10，b=﹣100，c=0，则|a2+b+c|+|a2+b﹣c|=0≤1，a2+b2+c2＞100；C．设a=100，b=﹣100，c=0，则|a+b+c2|+|a+b﹣c2|=0≤1，a2+b2+c2＞100；故选：D．【点评】本题主要考查命题的真假判断，由于正面证明比较复杂，故利用特殊值法进行排除是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分．9．（4 分）【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的性质得出M 到准线x=﹣1 的距离为10，故到y 轴的距离为9．【解答】解：抛物线的准线为x=﹣1，∵点M 到焦点的距离为10，∴点M 到准线x=﹣1 的距离为10，∴点M 到y 轴的距离为9．故答案为：9．【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．10．（6 分）【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案．【解答】解：∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+ （cos2x+sin2x）+1= sin（2x+）+1，∴A=，b=1，故答案为：；1．【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键．11．（6 分）【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm 的小正方体所构成的，代入体积公式和面积公式计算即可．【解答】解：由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm 的小正方体所构成的，则其表面积为22×（24﹣6）=72cm2，其体积为4×23=32，故答案为：72，32【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积和表面积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力．12．（6 分）【考点】对数的运算性质．【分析】设t=log b a 并由条件求出t 的范围，代入log a b+log b a=化简后求出t 的值，得到a与b 的关系式代入a b=b a 化简后列出方程，求出a、b 的值．【解答】解：设t=log b a，由a＞b＞1 知t＞1，代入log a b+log b a=得，即2t2﹣5t+2=0，解得t=2 或t=（舍去），所以log b a=2，即a=b2，因为a b=b a，所以b2b=b a，则a=2b=b2，解得b=2，a=4，故答案为：4；2．【点评】本题考查对数的运算性质，以及换元法在解方程中的应用，属于基础题．13．（6 分）【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】运用n=1 时，a1=S1，代入条件，结合S2=4，解方程可得首项；再由n＞1 时，a n+1=S n+1 ﹣S n，结合条件，计算即可得到所求和．【解答】解：由n=1 时，a1=S1，可得a2=2S1+1=2a1+1，又S2=4，即a1+a2=4，即有3a1+1=4，解得a1=1；由a n+1=S n+1﹣S n，可得S n+1=3S n+1，由S2=4，可得S3=3×4+1=13，S4=3×13+1=40，S5=3×40+1=121．故答案为：1，121．【点评】本题考查数列的通项和前n 项和的关系：n=1 时，a1=S1，n＞1 时，a n=S n﹣S n﹣1，考查运算能力，属于中档题．14．（4 分）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意，△ABD≌△PBD，可以理解为△PBD 是由△ABD 绕着BD 旋转得到的，对于每段固定的AD，底面积BCD 为定值，要使得体积最大，△PBD 必定垂直于平面ABC，此时高最大，体积也最大．【解答】解：如图，M 是AC 的中点．①当AD=t＜AM=时，如图，此时高为P 到BD 的距离，也就是A 到BD 的距离，即图中AE，DM=﹣t，由△ADE∽△BDM，可得，∴h= ，V= = ，t∈（0，）②当AD=t＞AM=时，如图，此时高为P 到BD 的距离，也就是A 到BD 的距离，即图中AH，DM=t﹣，由等面积，可得，∴，∴h= ，∴V= = ，t∈（，2）综上所述，V= ，t∈（0，2）令m= ∈[1，2），则V=，∴m=1 时，V max=．故答案为：．【点评】本题考查体积最大值的计算，考查学生转化问题的能力，考查分类讨论的数学思想，对思维能力和解题技巧有一定要求，难度大．15．（4 分）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论．【解答】解：∵|（+）•|=|•+•|≤|•|+|•|≤，∴|（+）•|≤|+|≤，平方得：||2+||2+2•≤6，即12+22+2•≤6，则•≤，故•的最大值是，故答案为：．【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．三、解答题：本大题共5 小题，共74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14 分）【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明A=2B（Ⅱ）若△ABC 的面积S=，则bcsinA=，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB∴sinB=2=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）∵A，B 是三角形中的角，∴B=A﹣B，∴A=2B；（Ⅱ）解：∵△ABC 的面积S=，∴bcsinA=，∴2bcsinA=a2，∴2sinBsinC=sinA=sin2B，∴sinC=cosB，，∴B+C=90°，或 C=B+90°，∴A=90°或A=45°．【点评】本题考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的运用，属于中档题．17．（15 分）【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I ）先证明 BF ⊥AC ，再证明 BF ⊥CK ，进而得到 BF ⊥平面 ACFD ．（II ）方法一：先找二面角 B ﹣AD ﹣F 的平面角，再在Rt △BQF 中计算，即可得出； 方法二：通过建立空间直角坐标系，分别计算平面ACK 与平面ABK 的法向量，进而可得二面角 B ﹣AD ﹣F 的平面角的余弦值．【解答】（I ）证明：延长 AD ，BE ，CF 相交于点 K ，如图所示，∵平面BCFE ⊥平面 ABC ， ∠ACB=90°，∴AC ⊥平面 BCK ，∴BF ⊥AC ．又 EF ∥BC ，BE=EF=FC=1，BC=2，∴△BCK 为等边三角形，且 F 为CK 的中点，则 BF ⊥CK ， ∴BF ⊥平面 ACFD ．（II ）方法一：过点 F 作 FQ ⊥AK ，连接 BQ ，∵BF ⊥平面 ACFD ．∴BF ⊥AK ，则 AK ⊥平面 BQF ，∴BQ ⊥AK ．∴∠BQF 是二面角 B ﹣AD ﹣F 的平面角．在 Rt △ACK 中，AC=3，CK=2，可得 FQ=． 在 Rt △BQF 中，BF= ，FQ=．可得：cos ∠BQF=． ∴二面角B ﹣AD ﹣F 的平面角的余弦值为． 方法二：如图，延长 AD ，BE ，CF 相交于点K ，则△BCK 为等边三角形，取 BC 的中点，则 KO ⊥BC ，又平面 BCFE ⊥平面ABC ，∴KO ⊥平面 BAC ，以点O 为原点，分别以 OB ，OK 的方向为 x ，z 的正方向，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ．可得：B （1，0，0），C （﹣1，0，0），K （0，0 ），A （﹣1，﹣3，0），，． =（0，3，0），= ，（2，3，0）．设平面 ACK 的法向量为 =（x 1，y 1，z 1），平面 ABK 的法向量为 =（x 2，y 2，z 2），由，可得 ，取= ．由，可得 ，取= ．∴==．∴二面角B﹣AD﹣F 的余弦值为．【点评】本题考查了空间位置关系、法向量的应用、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．18．（15 分）【考点】函数最值的应用；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）由a≥3，讨论x≤1 时，x＞1，去掉绝对值，化简x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|，判断符号，即可得到F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2 成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（i）设f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，求得f（x）和g（x）的最小值，再由新定义，可得F（x）的最小值；（ii）分别对当0≤x≤2 时，当2＜x≤6 时，讨论F（x）的最大值，即可得到F（x）在[0，6] 上的最大值M（a）．【解答】解：（Ⅰ）由a≥3，故x≤1 时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2+2（a﹣1）（2﹣x）＞0；当x＞1 时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2﹣（2+2a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a），则等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2 成立的x 的取值范围是（2，2a）；（Ⅱ）（i）设f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，则f（x）min=f（1）=0，g（x）min=g（a）=﹣a2+4a﹣2．由﹣a2+4a﹣2=0，解得a=2+（负的舍去），由F（x）的定义可得m（a）=min{f（1），g（a）}，即m（a）= ；（ii）当0≤x≤2 时，F（x）≤f（x）≤max{f（0），f（2）}=2=F（2）；2 1 2 1 2 1 2当 2＜x ≤6 时，F （x ）≤g （x ）≤max{g （2），g （6）}=max{2，34﹣8a}=max{F （2），F （6）}．则 M （a ）= ．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19．（15 分）【考点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合．【分析】（Ⅰ）联立直线 y=kx+1 与椭圆方程，利用弦长公式求解即可．（Ⅱ）写出圆的方程，假设圆A 与椭圆由 4 个公共点，再利用对称性有解已知条件可得任意一A （0，1）为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，a 的取值范围，进而可得椭圆的离心率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得： ，可得：（1+a 2k 2）x 2+2ka 2x=0，得 x 1=0 或 x 2=，直线 y=kx+1 被椭圆截得到的弦长为： =．（Ⅱ）假设圆A 与椭圆由 4 个公共点，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P ， Q ，满足|AP|=|AQ|，记直线 AP ，AQ 的斜率分别为：k 1，k 2；且 k 1，k 2＞0，k 1≠k 2，由（1）可知|AP|= ，|AQ|= ，故：=，所以，（k 12﹣k 22）[1+k 12+k 2+a 2（2﹣a 2） k 2k 2]=0，由 k ≠k ， k 1，k 2＞0，可得：1+k 12+k 22+a 2（2﹣a 2）k 2k 2=0，因此 a 2（a 2﹣2）①，因为①式关于k 1，k 2；的方程有解的充要条件是：1+a 2（a 2﹣2）＞1，所以 a ＞．因此，任意点A （0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为：1＜a ＜2， e= = 得，所求离心率的取值范围是： ．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆与圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想以及计算能力．20．（15 分）【考点】数列与不等式的综合．【分析】（I）使用三角不等式得出|a n|﹣|a n+1|≤1，变形得﹣≤，使用累加法可求得＜1，即结论成立；（II）利用（I）的结论得出﹣＜，进而得出|a n|＜2+（）m•2n，利用m的任意性可证|a n|≤2．【解答】解：（I）∵|a n﹣|≤1，∴|a n|﹣|a n+1|≤1，∴﹣≤，n∈N*，∴=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）≤+++…+= =1﹣＜1．∴|a n|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）．（II）任取n∈N*，由（I）知，对于任意m＞n，-=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）≤++…+= ＜．∴|a n|＜（+）•2n≤[+•（）m]•2n=2+（）m•2n．①由m 的任意性可知|a n|≤2．否则，存在n0∈N*，使得|a |＞2，取正整数m0＞log 且m0＞n0，则2•（）＜2•（）=|a|﹣2，与①式矛盾．综上，对于任意n∈N*，都有|a n|≤2．【点评】本题考查了不等式的应用与证明，等比数列的求和公式，放缩法证明不等式，难度较大．。
(精校版)2016年浙江理数高考试题文档版(含答案)
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合P=，Q=，则P=（）A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.2.已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m,n满足，，则（）A. B. C. D.3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（）A. B.4 C. D.64.命题“，，使得”的否定形式是（）A.，，使得B.，，使得C.，，使得D.，，使得5.设函数，则的最小正周期（）A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关6.如图，点列、分别在某锐角的两边上，且，，，，，.（表示点P与Q不重合）学.科.网若，为的面积，则（）A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列7.已知椭圆；与双曲线：的焦点重合，，分别为，的离心率，则（）A.且B.且C.且D.且8.已知实数，，. （）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
9.若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是 .10.已知，则A= ，b= .11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是cm3.12.已知 ，若， ，则a= ，b= .13.设数列 的前n 项和为 ，若 ， ， ，则 = ， = .14.如图，在 中，AB=BC=2， .若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .15.已知向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，学.科.网若对任意单位向量e ，均有|a ·e |+|b ·e | ，则a ·b 的最大值是 .三、解答题：本大题共5小题，共74分。