弹塑性力学 第3章弹性与塑性应力应变关系

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弹塑性力学与有限元-弹塑性应力-应变关系

弹塑性力学与有限元-弹塑性应力-应变关系

f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
卸载
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
(a) 理想塑性材料
加载和卸载准则
(b) 强化材料
《弹塑性力学与有限元》
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
g f1 1 2 2k 0 (AB面)
C
g f2 1 3 2k 0 (BC面)
f2 0
B
对AB面
d1p
d1
f1
1
d1
f1 0 A
d
p 2
d1
f1
2
d1
d1p : d2p : d3p d1 : 1 : 0
d3p
因为有
f
ij
J 2
ij
J 2 sij
sij
2
J2 k 0 y
故理想塑性材料与Mises条件相关 连的流动法则为:
dipj sijd
0
1
x
3
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
上式表明应变增量张量与应力偏张量成比例,也可以写成 ➢ Mises屈服条件的流动法则:
d p d p d p d p d p d p
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元 —弹塑性应力-应变关系
弹塑性应力-应变关系

弹塑性力学

弹塑性力学

ij 0 橡皮和铁盒之间无摩擦力 1 2 q, 3 q max 1 3 (1 2 ) q 1 2 2(1 )
ME6011 弹性塑性力学 21
3-3 3 3 Tresca和Mises屈服条件
研究塑性变形和作用力之间的关系及在塑性变形后 物体内部应力分布规律的学科称为塑性力学。 塑性力学问题的特点(4点) 应力与应变之间的关系(本构关系)是非线性的, 其非线性性质与具体材料有关; 应力与应变之间没有一一对应的关系,它与加载 历史有关; 在变形体中有弹性变形区 和塑性变形区,而在求 解问题时需要找出弹性区和塑性区的分界线;
xy yz
zx
xy
G
1 2 E 1 2 0 0 E
yz zxG NhomakorabeaG
1 1 1 2 [ x 0 ] x 0 [(1 ) x ] 0 E E E ex 应变偏量分量 sx 1 2G 应力偏量分量
ME6011 弹性塑性力学
9
不考虑材料强化性质
考虑材料强化性质
①理想弹塑性模型
E s ( s ) 韧性 ( s ) 材料
②线性强化弹塑性模型
( s ) E s E ( s ) ( s )
双线性强化模型
力学问题中各量间关系
ME6011 弹性塑性力学 3
• 本构关系
–反映应力应变之间的联系 映 –材料的固有特性:每一种材料,应力、应变有 着固有的关系 –广义Hook定律:线性 –增量理论:非线性,应变与应力状态和变形历 增量理论 非线性 应变与应力状态和变形历 史有关,研究应力和应变增强之间的关系
E

工程弹塑性力学-第三章_应力-应变关系

工程弹塑性力学-第三章_应力-应变关系

11 C1 C2 11 C2 22 C1 C2 22 C2 33 C1 C2 33 C2 23 2C3 23 31 2C3 31 12 2C312
JUST
C33 C44 C55
弹性矩阵
C11 C 22 D
则广义胡克定律又可写为:
C33 C44 C55
D
由于弹性举证为对称矩阵, 即使各向异性材料其常数 也为21个。
JUST
3.2 广义胡克定律 Jiangsu University of Science and Technology 江苏科技大学
C11 C11 C33 C1 C12 C23 C31 C2 C C C C 55 66 3 44
应力与应变关系
C1 C2 C 1 D
C2 C2 C1
0 0 0 C3
0 0 0 0 0 0 0 C3 0 C3 0
dA dK ij dV ij V dt dt
绝热过程
du dA dK dQ ij ij dV , 0 V dt dt dt dt
对于单位体积的内能: 存在势函数:
dui* ij ij dt
dW ij d ij
dW
W d ij ij
得: ij 由
ij 1i j , ij 0i j
1 ij 11 22 33 ij E 1
1 1 11 22 33 11 11 11 22 33 E 1 E 1 22 22 11 33 12 1 12 , 13 1 13 , 23 1 23 E 2G 2G 2G 1 33 33 11 22 E

弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解

弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解

➢ 各向同性材料的胡克(Hooke)定律(一维问题,
1678)
单向拉压
E——拉压弹性模量;
纯剪切
G——剪切弹性模量;
——泊松比
横向与纵向变形关系
➢ 广义胡克定律——对复杂应力状态,在弹性力学 假设条件下,应用叠加原理:
考虑x方向的正应变:
产生的x方向应变:
产生的x方向应变:
叠加后得
产生的x方向应变:
屈服下限
强化阶段 软化阶段 卸载
低碳钢在单向拉伸时的典型应力应变曲线
包辛格(Bauschinger)效应
➢ 具当有应强力化超性 质 着过 后 (的 塑或屈,材 性压服拉料变缩点伸随形) 的应增力加的,硬屈 服化极将限引在起一 个反方向向加上载提
高时,压而在缩相
反(方或向拉降伸低) 屈服应力 的弱化
2 2 1 3 1 3 2 2 1 3 1 3
说明, =,=
3-4 特雷斯卡和米泽斯屈服条件
➢ 塑性变形——当作用在物体上的外力卸去 后,物体中没有完全恢复的那部分永久变 形称为塑性变形。
➢ 塑性力学——研究塑性变形和作用力之间 的关系以及在塑性变形后物体内部应力分 布规律的学科称为塑性力学。
如果s+s =2s,则称为理想包辛格效应
名义应力与真实应力
➢ 在体积不可压缩的假设前提下
荷载
➢ 拉伸(压缩)时的名义应力 P
A0
初始截面积
➢ 拉伸时的真实应力
➢ 压缩时的真实应力
T
P A
(1 )
变形后截面积
T
P A
(1 )
3-2 弹塑性力学中常用的简化力学 模型
➢理想弹塑性
模型:
➢ 屈服条件——屈服条件又称塑性条件,它 是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶 段的准则。

3-弹塑性力学-应变分析

3-弹塑性力学-应变分析

第三章 应变分析 (strain analysis)
讨论:
1. 物理意义:表示各应变分量之间的相互关系;“连续 协调”即变形体在变形过程中不开裂,不堆积;
2. 应变协调方程说明:同一平面上的三个应变分量中 有两个确定,则第三个也就能确定;在三维空间内 三个切应变分量如果确 定,则正应变分量也就可 以确定;
z 2

2 xz
zx
2 2 x ( yz xz xy )
yz x x y z
2 2 y



(
yz


xz


xy )
zx y x y z
2 2 z ( yz xz xy )
xy z x y z
第三章 应变分析 (strain analysis)
3.1 几何方程(geometry equation)
xx
x

u x x
, yy
y

u y y
, zz
z

u z z
xy
yx

1 2

xy

1 ( ux 2 y

u y x
)
yz
zy

1 2

yz

1 ( uz 2 y

u y ) z
zx
xz

1 2

xz

1 ( uz 2 x

ux ) z
第三章 应变分析 (strain analysis)
讨论:
1. 物理意义:表示位移 (displacement)与
应变(strain) 之间的关系; 2. 位移包含变形体内质点的相对位移

第3章弹性与塑性应力应变关系(修改)解读

第3章弹性与塑性应力应变关系(修改)解读

四、名义应力与真实应力
在一般的拉伸实验中,设 A0 为初始截面积,P为外载,
则有:
名义应力: P / A0
若试件标距长度为 l0,伸长为 l,则有:
2020/3/12周书敬
9
第三章 弹性与塑性应力应变关系
名义应变: l / l0
这里的 并不是试件截面上的真实应力,这是因为在
3-1中的 DO、HO ,可以看出当逐渐卸除拉力,应力和应变
关系将沿着与OB平行的斜线 DH 和 HO回到O 点和O点。
如果由点 O"开始再加载,则加载过程仍沿 O"H线' 进行, 直到H点后材料才开始屈服,因此材料的比例极限得到了提 高。
5、局部变形阶段: b点以后
在b点之前,试件处于均匀的应变 状态,到达b点之后,试件出现颈缩现
2020/3/12周书敬
8
第三章 弹性与塑性应力应变关系
一般认为“包辛格效应”是由多晶材料晶界间的残余应 力引起的。 “包辛格效应”使材料具有各向异性性质。
理想包辛格效应:若一个方向屈服极限提高的数值和相 反方向屈服极限降低的数值相等,则称为理想包辛格效应。
包辛格效应的数学描述比较复杂,因而在塑性力学中, 对这一效应的数学描述经常要进行相应的简化。
E
(3-1)
式中:E—弹性模量(moculus of elastics) ;
2020/3/12周书敬
3
第三章 弹性与塑性应力应变关系
A点对应的应力称为比例极限(Propotional limit)
2、弹性变形阶段 : AB段
这时, 与 之间的关系不再
是线性,但变形仍然是弹性的; B点 对 应 的 应 力 称 为 弹 性 极 限 (elastic limit)。

弹塑性力学应力应变关系

弹塑性力学应力应变关系

我所认识的应力和应变关系在这之前我认识了应力和应变的概念、性质以及从静力学和几何学的角度出发所得到的平衡方程和几何方程。

但是平衡方程仅反映了应力分量和外力分量的关系;几何方程仅建立了位移分量和应变分量的关系。

而谈到应力与应变的关系,对于可变形固体,在弹塑性力学中,在外力的作用下,其将发生变形。

变形分为两个阶段,弹性阶段和塑性阶段。

在弹性阶段,发生的弹性变形可以完全恢复,它是一个可逆过程。

此时,应力与应变的关系是一一对应的,是单值函数关系。

而在塑性阶段,所发生的塑性变形是不可以恢复的,是不可逆过程。

相对应的,塑性阶段的应力应变的关系是非线性关系,不存在一一对应的关系。

我所认识的应力和应变的关系就是本构关系。

本构关系也称为物理关系,它反应的是可变形材料的固有属性,实质上是一组联系力学参数和运动参数的方程式,也就是我们所说的本构方程。

在说应力与应变的关系之前,先说一下本构关系的相关影响因素,包括材料、环境、加载类型、以及加载速度。

即,),,(T t f εσ=。

另外,有各种各样的本构系,比如:弹性本构关系、塑性本构关系、粘弹性本构关系、粘塑性本构关系、各向同性本构关系、各向同性本构关系等等。

简单情况的本构关系:应力和应变的关系包括弹性和塑性的应力应变关系。

我们所说的是线性弹性体的应力应变关系,又分为简单应力状态和复杂应力状态。

在简单拉伸情况下,理想弹性材料的应力和应变的关系很简单,就是材料力学中的胡克定律: 。

而在塑性阶段,应力应变之间不再是简单的胡克定律,而是 。

另外,简单拉伸情况下的卸载定律是 。

在后继弹性阶段,也就是卸载后重新加载的材料会继续发生新的塑性变形,在此时的屈服称为后继屈服,相应的屈服点称为后继屈服点。

初始屈服和后继屈服的不同是:第一,应力的数值不一样,后继屈服的应力值更大;第二,屈服点的个数不一样。

初始屈服点只有一个,而后继屈服点会有好多个,则其对应的应力值也会有很多个。

最后,在卸载全部载荷后进行反向加载比如说把拉伸改成压缩,此时会产生Bauschinger 效应。

弹塑性力学与有限元-弹塑性应力-应变关系

弹塑性力学与有限元-弹塑性应力-应变关系

《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
强化法则
Mises初始屈服条件
J2
2 s
3
0
3J 2 s 0
加载(后继屈服)条件
3J 2 0
3
2
sij
sij
0
( d p )0
函数可通过单轴拉伸下实验曲线确定.
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
强化法则
➢ 随动强化
• 几何特点(在应力空间):形状和大小、方向保持不变,只 是中心位置发生改变,加载面作刚体移动。
量,硬化参量记为 .
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
强化法则
目前常用的硬化参量有如下几种:
1.塑性功 w p, w p
ij
d
p ij
是目前岩土弹塑性理论中用得较多的。
2.有效塑性应变
p ij
3.等效塑性剪应变 p S
2 3
d
ijpd
p ij
4.塑性体应变
p v
p x
p y
p z
弹塑性应力-应变关系
强化材料的增量应力-应变关系
其中, 是弹塑性柔度张量,表示为 • 以应变增量表示的应力增量
考虑到式(7.29)和式(7.105)有
把dλ和应变增量联系起来,则有 其中 从式(7.4),式(7.179)和式(7.112)可得
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
强化材料的增量应力-应变关系
• 物理意义:材料在强化后为各向异性。

数学表示:f (ij,ij)=f 0(ij-ij) k = 0
f 0(ij-ij) = k
ij 是一个表征加载面中心移动的应力值,称为反(背)应力

弹塑性力学-第3章 应变状态

弹塑性力学-第3章 应变状态

第三章 应变状态理论在外力、温度变化或其他因素作用下,物体内部各质点将产生位置的变化,即发生位移。

如果物体内各点发生位移后仍保持各质点间初始状态的相对位置,则物体实际上只发生了刚体平移和转动,这种位移称为刚体位移。

如果物体各质点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置,则物体同时也产生了形状的变化,其中包括体积改变和形状畸变,物体的这种变化称为物体的变形运动或简称为变形,它包括微元体的纯变形和整体运动。

应变状态理论就是研究物变形后的几何特性。

即给定物体内各点变形前后的位置,确定无限接近的任意两点之间所连矢量因物体变形所引起剧烈变化。

这是一个单纯的几何问题,并不涉及物体变形的原因,也就是说并不涉及物体抵抗变形的物理规律。

本章主要从物体变形前后的几何变化论述物体内一点的应变状态。

位移与线元长度、方向的变化坐标与位移设变形前物体上各点的位置在笛卡尔坐标(Descarter coordinate)系的轴(X 、、Y、Z )上的投影为(z y x ,,),又设物体上各点得到一位移,并在同一坐标轴上的投影为(u 、v 、w ),这些位移分量可看作是坐标(z y x ,,)的函数。

于是物体上任点的最终位置由下述坐标值决定。

即⎪⎭⎪⎬⎫+=+=+=),,(),,(),,(z y x w z z y x v y z y x u x ζηξ上式中函数u 、v 、w 以及它们对坐标(z y x ,,)的偏导数假设是连续的,则式确定了变量(z y x ,,)与),,(ζηξ之间的关系。

因为物体中变形前各点对应看变形后的各点,因此式是单值的,所以式可看成是坐标的一个变换。

如果在中,假设00,y y x x ==,则由式可得如下三个方程⎪⎭⎪⎬⎫+=+=+=),,(),,(),,((00000000z y x w z z y x v y z y x u x ςηξ式决定了一条曲线,曲线上各点Λ,,21**M M ,在物体变形前为平行于z 轴的直线(00,y y x x ==)上(图。

第三章 弹塑性本构关系

第三章 弹塑性本构关系

d ij d 0 dσ n 0
p ij
加载准则
意义:只有当应力增量指向加载面的外部时才能产生塑性变形。
3德鲁克塑性公设的评述
德鲁克公设的适用条件:
(1)应力循环中外载所作 的真实功与ij0起点无关;

p ij
ij d ij 0
(2)附加应力功不符合功的 定义,并非真实功
1 屈服曲面的外凸性
0 ( ij ij )dijp | A0 A || d p | cos 0
ij
此式限制了屈服面的形状: 对于任意应力状态,应力增量方向 与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90° 稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
0 ij
由得屈服条件流动法则硬化规律判断何时达到屈服屈服后塑性应变增量的方向也即各分量的比值决定给定的应力增量引起的塑性应变增量大小本节内容屈服后塑性应变增量的方向也即各分量的比值1加载曲面后继屈服面由单向拉伸试验知道对理想塑性材料一旦屈服以后其应力保持常值屈服应力卸载后再重新加载时其屈服应力的大小也不改变没有强化现象
3.1.4 塑性位势理论与流动法则
与弹性位势理论相类似,Mises于1928年提出塑性 位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M,必有 一塑性位势等势面存在,其数学表达式称为塑性位势 函数,记为:
g I1, J 2 , J3 , H 0
g ij , H 0

式中, H 为硬化参数。 塑性应变增量可以用塑性位势函数对应力微分的表达 式来表示,即: g p
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系:
p p d ij D d ij
式中,D为弹性矩阵。 根据依留申公设,在 完成上述应变循环中, 外部功不为负,即

弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件

弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件

有限差分法
有限差分法(Finite Difference Method,简称FDM)是一种基于差分原 理的数值模拟方法。
它通过将连续的时间和空间离散化为有限个差分节点,并利用差分近似代 替微分方程中的导数项,从而将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限差分法适用于求解偏微分方程,尤其在求解波动问题和热传导问题方 面具有优势。
05
弹塑性力学的数值模拟方法
有限元法
有限元法(Finite Element Method,简称 FEM)是一种广泛应用于解决复杂工程问题 的数值模拟方法。
它通过将连续的求解域离散化为有限个小的 单元,并对每个单元进行数学建模,从而将 复杂的连续场问题转化为离散的有限元问题。
有限元法具有灵活性和通用性,可以处理各 种复杂的几何形状和边界条件,广泛应用于 结构分析、热传导、流体动力学等领域。
与应变之间不再是线性关系。
重要性
03
了解塑性应力应变关系对于工程设计和结构安全评估具有重要
意义。
屈服准 则
屈服准则定义
描述材料开始进入塑性变形 阶段的条件。
常用屈服准则
例如,Von Mises屈服准则、 Tresca屈服准则等。
屈服准则的意义
为判断材料是否进入塑性变 形阶段提供依据,是弹塑性 力学中的重要概念。
弹塑性力学弹性与塑性应 力应变关系详解课件
目录
• 弹性应力应变关系 • 塑性应力应变关系 • 弹塑性本构模型 • 弹塑性力学的数值模拟方法
01
弹塑性力学基 础
弹塑性力学定义
01
02
03
弹塑性力学
是一门研究材料在弹性与 塑性范围内应力应变关系 的学科。
弹性
材料在受到外力作用后能 够恢复到原始状态的性质。

弹塑性力学 应力和应变之间的关系

弹塑性力学  应力和应变之间的关系

我所认识的应力和应变之间的关系在单向应力状态下,理想弹性材料的应力和应变之间的关系是满足胡克定律的一一对应的关系。

在三维应力状态下描述一点处的应力状态需要9个分量,相应的应变状态也要用9个应变分量来表示。

对于一个具体的理想弹性体来讲,如果在三维应力状态下,应力与应变之间仍然有线性一一对应关系存在,则称这类弹性体为线性弹性体。

所谓各向弹性体,从力学意义上讲,就是弹性体内的每一点沿各个方向的力学性质都完全相同的。

这类线性弹性体独立的唐兴常数只有两个。

各向同性体本构关系特点:1.主应力与主应变方向重合。

2.体积应力与体积应变成比例。

3.应力强度与应变强度成比例。

4.应力偏量与应变偏量成比例。

工程应用中,常把各向同性弹性体的本构方程写下成11()11()11()x y z xy xy y x z yz yz z y x xz xz E G E G E G εσμσσγτεσμσσγτεσμσσγτ⎧⎡⎤=-+=⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=-+=⎨⎣⎦⎪⎪⎡⎤=-+=⎪⎣⎦⎩,式中分别为弹性模量、泊松比和剪切模量。

在E G μ、、这三个参数之间,实际上独立的常量只有两个,它们之间存在关系为()21E G μ=+。

屈服条件:弹性和塑性的最主要区别在于变形是可以恢复。

习惯上,根据破坏时变形的大小把工程材料分为脆性材料和塑性材料两类。

对于加载过程如图1OA: 比例阶段;线性弹性阶段AB: 非弹性变形阶段 BC : 初始屈服阶段 s σσ≤ CDE :强化阶段;应变强化硬化阶段EF : 颈缩阶段;应变弱化,软化阶段s σσ≥ C 点为初始屈服点具有唯一性。

在应力超过屈服应力后,如果在曲线上任意一点D 处卸载,应力和应变之间将不再遵循原有的加载曲线规律,而是沿一条接近平行于OA 的直线DO ’变化,直到应力下降为零,这时应变并不为零,即有塑性应变产生。

如果用OD ’表示总应变ε,O ’D ’表示可以恢复的弹性应变eε,OO ’表示不能恢复的塑性应变p ε,则有e p εεε=+,即总应变等于弹性应变加上塑性应变。

弹性与塑性应力应变关系

弹性与塑性应力应变关系
1/1/2023周书敬
分析式(3-9),该式中只包括了材料常数 和 ,故不能描述应力应变曲线旳全部特征;又因为在 处解析体现式有变化,给详细计算带来一定困难。 该力学模型抓住了韧性材料旳主要特征,因而与实际情况符合得很好。
2、(双)线性强化弹塑性模型(图b)
1/1/2023周书敬
a. 理想弹塑性材料 在塑性变形时,需要考虑塑性变形之前旳弹性变形,而不考虑硬化旳材料,也即材料进入塑性状态后,应力不再增长可连续产生塑性变形。 b. 弹塑性硬化材料 在塑性变形时,既要考虑塑性变形之前旳弹性变形,又要考虑加工硬化旳材料,这种材料在进入塑性状态后,如应力保持不变,则不能进一步变形。只有在应力不断增长,也即在加载条件下才干连续产生塑性变形。 4、刚塑性材料 在研究塑性变形时不考虑塑性变形之前旳弹性变形。 这
1/1/2023周书敬
第三节 广义胡克定律
这里研究旳是复杂应力状态下旳弹性本构方程。
对各向同性均匀材料,其广义胡克定律为:
1/1/2023周书敬
其中,E为弹性模量(modulus of elasticity)
G为剪切弹性模量(Shear modulus of elasticity)
1/1/2023周书敬
在弹性变形阶段,把应力与应变之间看成是一种线性关系。
1、理想弹性塑性(材料)模型(见图a)
当材料进入塑性状态后,若不考虑材料旳强化性质,则可得到理想弹塑性模型。这里旳强化指旳是当材料在经过塑性形变后,于第二次加载时旳弹性极限提升了。
1/1/2023周书敬
1/1/2023周书敬
一般以为“包辛格效应”是由多晶材料晶界间旳残余应力引起旳。 “包辛格效应”使材料具有各向异性性质。 理想包辛格效应:若一种方向屈服极限提升旳数值和相反方向屈服极限降低旳数值相等,则称为理想包辛格效应。 包辛格效应旳数学描述比较复杂,因而在塑性力学中,对这一效应旳数学描述经常要进行相应旳简化。

弹塑性力学第三章 应力与应变讲解

弹塑性力学第三章  应力与应变讲解
pn nn ns (3.2)
式中:n和s分别为微分面的法线和切线方向的单位 矢量。全应力和应力分量之间有
n pn n

n pn s
pn2


2 n

(3.3)
研究具体问题时,总是在一个可以选定坐标系里进 行。对给定的直角坐标系,全应力还可以沿坐标系 方向进行分解。
p 的单位法向量,它与三个坐标轴之间的夹角余弦为 l1、l2、l3
则该主平面上的应力矢量 n 可表示为
pn n (3.14)

px py
l1 l2

(3.15)
pz
l3

式中: 表示主应力
将应力分量表达式(3.7)代入上式,经移项并整理后得
(
x


)l1
设给定的坐标系Oxyz下,某点M的应力张量为
ij yxx
xy y

xz yz

zx zy z
现让该坐标系原点不动,坐标轴任意旋转一个角度而得 到新坐标系Ox’y’z’,新旧坐标关系如下表:
x
y
z
X’ l11 cos(x ', x) l12 cos(x ', y) l13 cos(x ', z)
要使主方向存在,也即要使方程组(3.17)或(3 .18)有 非零解,则其系数行列式必须为零。
x yx zx
xy y
zy
xz yz 0 z
(3.19a)
方程组(3.19)也可以写成
det ij ij 0
(3.19b)
式(3.19)展开后,得
对面)上有9个应力分量。这9个应力分量的整

弹性与塑性应力应变关系

弹性与塑性应力应变关系

1 H / H 0 (3-6)
2013-7-25周书敬
第三章 弹性与塑性应力应变关系
13
第二节 简单应力状态的本构方程
• 对于不同的材料,不同的应用领域,其本构方程是
完全不同的 ,特别是对于塑性力学问题其应力应变关系为
非线性,叠加原理不能应用,而且应力应变关系还和变形 的历史有关。 • 根据不同材料简单拉压试验,提出以下几种不同的 简化力学模型(本构方程),在第0章已给出过,在此给 出具体分析。
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间的联系,所以,平衡方程和几何方程是两类完全相互独立 的方程,它们之间还缺乏必要的联系。对于所求解的问题来
讲,因为未知量数目多于任何一类方程的个数,所以,无法
利用这两类方程求得全部未知量。 为了求解具体的力学问题,还必须引进一些关系式, 这些关系式即是所谓的本构关系。本构关系反映可变形固体 材料的固有特性,故也称为物理关系,它实际上是一组联系
1 x (1 ) x E 1 y (1 ) y E 1 z E (1 ) z
间的关系是线性的,即可用胡克 定律(Hooke) 表示。
E
(3-1)
式中:E—弹性模量(moculus of elastics) ;
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A点对应的应力称为比例极限(Propotional limit) 2、弹性变形阶段 : AB段
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随动强化模型
20
ห้องสมุดไป่ตู้
在塑性成形理论中的多数情况下,塑性应变一般都比弹
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3-5 塑性应力应变关系
在塑性变形阶段,应力与应变关系是非线性的,应
变不仅和应力状态有关,而且还和变形历史有关。 如果不知道变形的历史,便不能只根据即时应力状 态唯一地确定塑性应变状态。而且如果只知道最终 的应变状态,也不能唯一地确定应力状态。
考虑应变历史,研究应力和应变增量之间的关系,
以这种关系为基础的理论称为增量理论。增量理论 是塑性力学中的基本理论。

A B
模型:
s
e E E s s e
O


线性强化弹
塑性模型:
A
B E1
s
E
O
s

e E E1 ( s ) s e

B
线性强化刚塑性
A
模型:
s
O

E s
或 其中
i s
i
3 2
0 3J 2
按照Mises条件
s
s
3
应力强度、等效应力
i
1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
形变比能
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 Ws 12G
用主应力偏量与主应变偏量表示
e1 e2 e3 1 s1 s2 s3 2G
用主应力差与主应变差表示
1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2G
说明,在弹性阶段,应变莫尔圆与应力莫尔 圆成比例。 用3个主应力差与3个主应变差表示
屈服条件——屈服条件又称塑性条件,它
是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶 段的准则。 在应力空间中,将从弹性阶段进入塑性阶 段的各个界限点(屈服应力点)连接起来 就形成一个区分弹性区和塑性区的分界面, 这个分界面即称为屈服面,而描述这个屈 服面的数学表达式称为屈服函数或称为屈 服条件。
特雷斯卡(Tresca)条件(1864)
罗德(Lode)的试验结果
应力罗德参
数与塑性应 变增量罗德 参数相等:
d
p
d
2 2 1 3 1 3
p
2d 2p d 1p d 3p d 1p d 3p

由于
d
p
2 i cos 3 2 s2 i cos 120 3 2 s3 i cos 240 3 s1
——泊松比
广义胡克定律——对复杂应力状态,在弹性力学
假设条件下,应用叠加原理:
考虑x方向的正应变:
产生的x方向应变: 产生的x方向应变: 产生的x方向应变: 即 同理: 叠加后得
剪应变:
物理方程: 说明:
1.方程表示了各向同性材料的 应力与应变的关系,称为广义 Hooke定律。也称为弹性问题 物理方程。
名义应力与真实应力
在体积不可压缩的假设前提下
拉伸(压缩)时的名义应力
荷载
P A0
初始截面积
拉伸时的真实应力 压缩时的真实应力
P T (1 ) A
变形后截面积
P T (1 ) A
3-2 弹塑性力学中常用的简化力学 模型
理想弹塑性
低碳钢在单向拉伸时的典型应力应变曲线
包辛格(Bauschinger)效应
具有强化性 当应力超
如果s+s =2s,则称为理想包辛格效应
过屈服点 质的材料随 后,拉伸 着塑性变形 (或压缩) 的增加,屈 应力的硬 服极限在一 化将引起 个方向上提 反向加载 时 压 缩 高,而在相 (或拉伸) 反方向降低 屈服应力 的弱化
在 平面上,Mises屈服曲线为一圆。
在 3 = 0的平面上,Mises屈服曲线为一个
以原点为中心,以静水压力 m 与广义剪应 力i为长短轴的椭圆。 在主应力空间,Mises屈服面为一以等倾线 为轴的正圆柱体表面。
Mises屈服条件的几何表示(屈服面)
2
Mises条件
平面上的屈服轨迹

d ip cos d p d ip cos d p 120 d ip cos d p 240 2 2 2 i cos i cos 120 i cos 240 3 3 3
de1p de2p de3p s1 s2 s3
Mises屈服条件数学表达式
1 2 2 3 3 1
2 2
2
2
2 s

( x y )2 ( y z )2 ( z x ) 2 6( xy yz zx ) 2
2 2 2 2 s
当最大剪应力达到材料的某一定值时,材料就开
始屈服,进入塑性状态。表示为 max = k 当 1 > 2 > 3 时可写作 1 - 2 = 2k 在主应力的次序未知的情况下,Tresca屈服条件应 表示为: 1 2 2k 2 3 2k 3 1 2k 上式中至少一个等式成立时,材料就开始进入塑 性变形。
Mises条件
平面上的屈服轨迹
Tresca条件
O
1
3
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
2
3= 0 平面上的屈服轨迹
Tresca条件
O
1
Mises条件
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
2
应力空间屈服面
o
3
1
对Tresca屈服条件的评价
Tresca屈服条件是主应力的线性函数,对
Tresca屈服条件参数
常数k由试验确定。如由单拉试验,一般取
k = s/2 (有时取k = s/ )。如由纯剪切试验, 3 k = s。因此,按照Tresca屈服条件,材料 的剪切屈服极限与拉伸屈服极限之间存在 s = s/2。
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
在三维应力空间中,1 - 2 = 2k 是一对与
2.方程组在线弹性条件下成立。
体积应变与体积弹性模量
令: 则:
m称为平均应力;
q 称为体积应变
广义胡克定律的其他表示形式
物理方程:
物理方程:
用应变表示应力:
或:
各种弹性常数之间的关系
广义胡克定律——应力偏量与应变 偏量的关系
用应力偏量与应变偏量表示
e ij
1 sij 2G
平面的法线(等倾线)以及3轴平行的平面。
因此,Tresca屈服条件的屈服面是由三对 互相平行、垂直于 平面的平面组成的正六 角柱体表面。它与 平面的截线(屈服线) 是一个正六边形。它的外接圆半径是 2 / 3 2k (内切圆半径是 k / 2)。
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
2
第3章 弹性与塑性应力应变关系
第3章 弹性与塑性应力应变关系
1. 拉伸和压缩时的应力应变曲线
2. 弹塑性力学中常用的简化力学模型 3. 广义胡克定律
4. 特雷斯卡和米泽斯屈服条件
5. 塑性应力应变关系
6. 德鲁克公设和伊柳辛公设
7. 塑性本构关系的内在联系
弹塑性力学 弹塑性力学 静力学 静力学
平衡微 分方程
外切Tresca条件
O
1
内接Tresca条件
3
Mises屈服条件的几何表示(屈服面)
2
3= 0 平面上的屈服轨迹
Tresca条件
O
1
Mises条件
Tresca条件与Mises条件的比较
Tresca条件与Mises条件的比较
两种屈服条件的差别与确定常数的方法有
关。 若用单向拉伸时的屈服极限确定常数,则 在纯剪应力状态下两种屈服条件相差最大, Mises条件所确定的最大剪应力比Tresca条 件所确定的最大剪应力大15. 5%。 若用纯剪时的屈服极限确定常数,则在单 向拉伸时两种屈服条件相差最大,用Mises 条件所确定的最大拉应力比用Tresca条件 所确定的最大拉应力小13.4%。
塑性力学问题的特点
塑性力学问题有如下几个特点:
(1)应力与应变之问题的关系(本构关系)是非 线性的,其非线性性质与具体材料有关; (2)应力与应变之间没有一一对应的关系,它与 加载历史有关; (3)在变形体中有弹性变形区和塑性变形区,而 在求解问题时需要找出弹性区和塑性区的分界 线; (4)在分析问题时,需要区分是加载过程还是卸 载过程。在塑性区,在加载过程中要使用塑性 的应力应变关系,而在卸载过程中则应使用广 义的胡克定律。


应力偏量张量第二不变量 1 J 2 ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 6


2
八面体(等倾面)上的剪应力
1 0 3
1 2 2 3 3 1
2 2
Mises屈服条件几何表示
de1p de2p de3p 3 d ip d s1 s2 s3 2 i
d的物理意义
d 为比例系数,它在塑性变形过程中,随
着dip 和 i比值的变化而变化,但在变形的 某一瞬间,应变偏量增量的每一分量与相 对应的应力偏量分量的比值都相同为d。 对于理想塑性材料,i = s,因此,比例系 数d又可以写成 p p 莱维-米泽 deij 3 d ip 3 d i d , d 斯流动法则 斯本构方程 2 s sij 2 i 在塑性变形的过程中,比例系数d 不仅与 材料的屈服极限有关,而且还和变形程度 有关。
s

B
理想刚塑性模型:
A
s
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