下篇-1 坐标系、典型方程及定解问题

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坐标系与参数方程典型例题含高考题----答案详细)

选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：①理解坐标系的作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：①了解参数方程，了解参数的意义. ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、基础知识归纳总结：1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ.极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。

极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。

如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

(完整版)直角坐标系中的方程知识点归纳总结

(完整版)直角坐标系中的方程知识点归纳总结完整版直角坐标系中的方程知识点归纳总结直角坐标系是平面上的一种常见坐标系统，用于描述点在平面上的位置。

在直角坐标系中，我们可以使用方程来表示图形和曲线。

本文将对直角坐标系中的方程知识点进行归纳总结，包括以下内容：1. 直线方程直线是直角坐标系中最简单的图形之一。

在直角坐标系中，直线可以用不同的方程表示，常见的有：- 斜率截距形式：y = mx + b，其中m表示斜率，b表示截距。

- 两点式：(x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1)，其中P1(x1,y1)，P2(x2, y2)表示两点的坐标。

- 截距式：x / a + y / b = 1，其中a和b分别表示x轴和y轴上的截距。

2. 圆的方程圆是直角坐标系中的另一种常见图形。

在直角坐标系中，圆的方程可以用不同的形式表示，主要有：- 标准形式：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k)表示圆心的坐标，r表示半径的长度。

- 中心半径形式：(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2，其中(a, b)表示圆心的坐标，R表示半径的长度。

3. 抛物线方程抛物线是直角坐标系中一类曲线，它可以用不同的方程表示，常见的有：- 标准形式：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，a不为0。

- 顶点形式：y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)表示顶点的坐标。

- 焦点形式：y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)表示焦点的坐标。

4. 椭圆和双曲线方程椭圆和双曲线是直角坐标系中的另外两类常见曲线，它们也可以用方程表示，常见的形式有：- 椭圆标准形式：(x - h)^2 / a^2 + (y - k)^2 / b^2 = 1，其中(h, k)表示椭圆中心的坐标，a和b分别表示横轴和纵轴的半轴长度。

- 双曲线标准形式：(x - h)^2 / a^2 - (y - k)^2 / b^2 = 1，其中(h, k)表示双曲线中心的坐标，a和b分别表示横轴和纵轴的半轴长度。

第一章三类典型方程和定解条件

a 其中，ij (x), bi (x), c x , f (x)都只是 x1 , x2, , xm 的已知函数，与未知函数无关。
若一个函数具有某偏微分方程中所需要的各阶连续偏导数，并且代入该方程中能使它变成恒等式，则此函数称为该方程的解（古典解）。初始条件和边界条件都称为定解条件。把某个偏微分方程和相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。只有初始条件，没有边界条件的定解问题称为始值问题（或柯西问题）。反之，只有边界条件，没有初始条件的定解问题称为边值问题。既有初始条件又有边界条件的定解问题，称为混合问题。
数学物理方程
第一章三类典型方程和定解条件第二章分离变量法第三章 Laplace方程的格林函数法
第四章贝塞尔函数及勒让德多项式
第一章三类典型方程和定解条件
数学物理方程的研究对象——定解问题。一个定解问题是由偏微分方程和相应的定解条件组成。我们先来介绍三类典型的方程：

三类典型方程
一、波动方程二、热传导方程
用以说明初始状态的条件称为初始条件。用以说明边界上的约束情况的条件称为边界条件。
一、初始条件
比如说波动方程（1.3）其初始条件有两个，一个是参数u，一个是u的一阶导数。即： u u t 0 及都已知。 t
t 0
而热传导方程（1.7）其初始条件只有一个，就是参数u。即：
Байду номын сангаасu t 0 是已知。
一个定解问题提的是否符合实际情况，从数学角度来看，有三方面可以加以检验：
1、解的存在性，看定解问题是否有解。
2、解的唯一性，看是否只有一个解。
3、解的稳定性，看当定解条件有微小
变动时，解是否相应地只有微小的变动，若确实如此，则称此解是稳定的。

01坐标系(含经典例题+答案)

坐标系一、极坐标系与极坐标在平面内取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox 、一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 点称为极点，Ox 称为极轴．平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为极径，θ称为极角．二、点的极坐标和直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y)，极坐标是(ρ，θ)，可以得出它们之间的关系：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.又可得到关系式：ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．这就是极坐标与直角坐标的互化公式．三、常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r 的圆ρ＝2rcos θ (0≤θ＜2π)圆心为(r ，π2)，半径为r 的圆ρ＝2rsin θ (0≤θ＜2π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R) 或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcosθ＝a (－π2＜θ＜π2)过点(a ，π2)，与极轴平行的直线ρsinθ＝a (0＜θ＜π)例1：在极坐标系中，求经过点P 24,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭且与极轴所在直线垂直的直线方程．解：∵x ＝ρcos θ＝4cos 23π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－2，y ＝ρsin θ＝4sin 23π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－23，∴点P 的直角坐标为()－2，－23.∴过点P 且与x 轴垂直的直线方程为x ＝－2，即极坐标方程为ρcos θ＝－2.例2：求圆心为C 3,6⎛⎫⎪⎝⎭，半径为3的圆的极坐标方程．解：如图，设圆上任一点为P (ρ，θ)，则|OP |＝ρ，∠POA ＝θ－π6，|OA |＝2×3＝6，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |×cos ∠POA ，∴ρ＝6cos 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴圆的极坐标方程为ρ＝6cos 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.例3：已知直线l 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin θ，试判断直线l 与解：将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ty ＝1＋4t 化为普通方程得y ＝1＋2x ，圆ρ＝22sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝2，圆心(0，2)到直线y ＝1＋2x 的距离为2－15，小于圆的半径，所以直线与圆相交．与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．2．由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程ρ＝ρ(θ)的图形的对称性：若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称；若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝π2所在的直线对称；若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点Ο对称．例4：在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1.解：将变换后的椭圆的方程x 29＋y 24＝1改写为x ′29＋y ′24＝1，设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入上式得λ2x 29＋μ2y 24＝1，即23λ⎛⎫ ⎪⎝⎭x 2＋22μ⎛⎫ ⎪⎝⎭y 2＝1.与x 2＋y 2＝1比较系数，得221312λμ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩故⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，μ＝2，所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y ，即先使圆x 2＋y 2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆x 29＋y 2＝1，再将该椭圆的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆x 29＋y 24＝1.本例条件变为“求圆x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎪⎨⎪⎧x ′＝2x 后的图形”解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y ∴⎩⎨⎧x ＝12x ′y ＝13y ′代入x 2＋y 2＝1，得x ′24＋y ′29＝1.∴经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y 后圆x 2＋y 2＝1变为椭圆例5：设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为例6：通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换，可以把椭圆(x ＋1)29＋(y －1)24＝1变为中心在原点的单1．平移变换：在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为(x ，y )，向量a ＝(h ，k )，平移后的对应点为P ′(x ′，y ′)，则有(x ，y )＋(h ，k )＝(x ′，y ′)，或表示成⎩⎪⎨⎪⎧x ＋h ＝x ′，y ＋k ＝y ′.2．伸缩变换：一般地，由⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，y ＝y ′k >0所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 向着y 轴的伸缩变换(当k＞1时，表示伸长；当0<k ＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k 倍(这里，P (x ，y )是变换前的点，P ′(x ′，y ′)是变换后的点).例7：进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：(1)y 2＝4x ；(2)x 2＋y 2－2x －1＝0；(3)ρ＝1cos θ.x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是________．解：ρ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝－31＝－3，θ＝－π3＋2k π.例9:在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方1.将点的直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)即可．在[0,2π)范围内，由tan θ＝yx(x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π(k ∈Z)即可．2．极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常会用到同乘(或除以)ρ等技巧.例10：(1)(设点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，则直线l 的极坐标方程为_____________．（2）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ例11：在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2cos θ，曲线C 2：θ＝π4，若曲线C 1与C 2交于A 、B 两点，求线段AB 的例12：已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐例13：在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ＝3，求点2,6⎛⎫⎪到直线l 的距离．例14：已知直线l 经过点P 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；(2)设l 与圆C 相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．例15：已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．标系的单位长度相同，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)若直线l 的斜率为－1，求直线l 与曲线C 交点的极坐标；(2)若直线l 与曲线C 相交弦长为23，例17：在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α，(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP ＝2OM ，P 点的轨迹为曲线C 2·(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.解：(1)设P (x ，y )，则由条件知M ,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭.由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.12(1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若两圆的圆心距为5，求a 的值．解：(1)由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ.所以⊙O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.由ρ＝2a sin θ，得ρ2＝2aρsin θ.所以⊙O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2ay ，即x 2＋(y －a )2＝a 2. (2)⊙O 1与⊙O 2的圆心距为12＋a 2＝5，解得a ＝±2.例19：极点O 引定圆ρ＝2cos θ的弦OP ，延长OP 到Q 使OP PQ ＝23，求点Q 的轨迹方程，并说明所求轨迹是解：设Q (ρ，θ)，P (ρ0，θ0)则θ＝θ0，ρ0ρ－ρ0＝23，∴ρ0＝25ρ.∵ρ0＝2cos θ0.∴25ρ＝2cos θ.即ρ＝5cos θ它表示一个圆．例20：已知双曲线的极坐标方程为ρ＝31－2cos θ，过极点作直线与它交于A 、B 两点，且|AB |＝6.解：设直线AB 的极坐标方程为θ＝θ1.A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ1＋π)，ρ1＝31－2cos θ1，ρ2＝31－2cos θ1＋π＝31＋2cos θ1.|AB |＝|ρ1＋ρ2|＝⎪⎪⎪⎪31－2cos θ1＋31＋2cos θ1＝⎪⎪⎪⎪61－4cos 2θ1，∴11－4cos 2θ1＝±1，∴cos θ1＝0或cos θ1＝±22 故直线AB 的极坐标方程为θ＝π2，θ＝π4或θ＝3π4.。

数学物理方程第一章典型方程和定解条件

温度分布满足2u F f k
特别，如果 f0,则2u 0
位势 (Poisson)方程 Laplace 方程
☆ 三种典型的数学物理方程
方程类型方程形式
典型例子
弦振动方程
2u t 2
a2
2u x2
波动方程
2u t 2
a22u
膜的横振动方程
2u t 2
a2
(
2u x2
2u y2
我们就称其为齐次边界条件，反之，称非齐次的。
三、定解问题的概念
1、定解问题
把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。
(1) 初值问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；
(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；
其中： u (x x d x ,t) u (x x ,t) x u (x x ,t) d x 2 u ( x x 2 ,t)d x
Tu 2(xx2,t)gdx2u(tx2,t)dx
Tu 2(xx2,t)gdx2u(tx2,t)dx
Tu2(x,t)
2u(x,t)
g
x2
t2
令： a 2 T
运动时，弦上各点的运动规律。
简化假设：
(1)柔软：弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向；细：与张力相比可略去重力,弦的截面直径与长度相比可忽略，弦视为曲
线均匀：质量是均匀的，线密度为常数。
(2)横振动：振动发生在同一平面内。若弦的平衡位置为x轴，横向是指弦上各点在同一平面内垂直于x轴的方向运动；
(3)热交换状态
(或u f) ns
第二类边界条件

坐标系与参数方程几种常见题型的解法

• 58 •中学数学研究2020年第3期点评：解题中抓住垂直平分线的“垂直”、“平数量积及时转化为已知的模的问题，目标明确，思路分"的几何性质，通过有目的地拆分向量，使向量的简洁.坐标系与参数方程几种常见题型的解法安徽省机阳县会宫中学(246740) 方明生坐标系与参数方程作为高考的选考内容之一，笔者在高考阅卷中发现,相对于绝对值不等式而言，大部分学生都会选择坐标系与参数方程的这一题.尽管学生在平时的学习中进行了多次的模拟考试以及大量训练，但在实际解题过程中依旧会出现障碍.第一问一般考察基本知识，主要涉及参数方程、普通方程和极坐标方程三者间的相互转化，此问5分学生基本都能够得到•相对于第一问而言，第二问的得分却大打折扣，究其原因，主要是学生在解题的过程中没有完全明白命题老师的意图，解题的方法不当导致运算量增大或者无从下手，笔者根据近几年的高考试题,对于第二小问常考题型进行了整理，供各位方家指正.一、利用直线参数方程t 的几何意义不少学生在学习新课的时候好高鸯远，不愿意深入教材，对于参数方程问题，往往是通过转化为普通方程运算，无形中因为方法不当而导致运算量增大，最终可能导致无功而返•人教版选修4 - 4第36数方程页有一个思考:“由=恳,你能得到直线Z 的参4-tCOSa ..(t 为参数)中参数t 的几何.y = y 0 + £sina意义吗？”而后给出了 t 的几何意义：“I fl 表示直线上的动点M 到定点的距离，但t>Q^,M 0M 的方向向上;若t < 0,则的方向向下；若t =0,则点M 与点重合.笔者观察近期的模拟试题以及高考试题，不少习题采用参数t 的几何意义去解题能够做到事半功倍的效果.例1 (2019江苏苏北四市高三期末)在直角x = 3 -坐标系中，直线2的参数方程为 (t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点。

(完整版)立体直角坐标系常见题型

(完整版)立体直角坐标系常见题型立体直角坐标系常见题型（完整版）本文档将介绍立体直角坐标系中常见的题型及解答方法。

一、点的坐标计算1. 已知点P在立体直角坐标系中的坐标为(x₁, y₁, z₁)，则点P'关于y轴的对称点的坐标为(x₁, -y₁, z₁)。

2. 已知点P、Q在立体直角坐标系中的坐标分别为(x₁, y₁, z₁)和(x₂, y₂, z₂)，则线段PQ的中点的坐标为((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2)。

3. 若点P在立体直角坐标系中的坐标为(x₁, y₁, z₁)，则点P关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(-x₁, y₁, z₁)、(x₁, -y₁, z₁)、(x₁, y₁, -z₁)。

二、直线与平面1. 已知直线L过点P(x₁, y₁, z₁)且与向量a = (a₁, a₂, a₃)平行，则直线L的参数方程可表示为：x = x₁ + a₁ty = y₁ + a₂tz = z₁ + a₃t2. 已知平面π过点P(x₁, y₁, z₁)且法向量为n = (n₁, n₂, n₃)，则平面π的方程可表示为：n₁(x - x₁) + n₂(y - y₁) + n₃(z - z₁) = 0三、向量运算1. 向量a = (a₁, a₂, a₃)的模长计算公式为：|a| = sqrt(a₁² + a₂² + a₃²)2. 向量a与向量b的点积计算公式为：a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃3. 向量a与向量b的叉积计算公式为：a ×b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)四、空间中的图形1. 球的方程：已知球心为C(x₁, y₁, z₁)且半径为r，则球的方程为：(x - x₁)² + (y - y₁)² + (z - z₁)² = r²2. 锥面的方程：已知顶点为V(x₁, y₁, z₁)且开口方向为向量a = (a₁, a₂, a₃)，则锥面的方程可表示为：((x - x₁)/a₁)² + ((y - y₁)/a₂)² + ((z - z₁)/a₃)² = 0以上为立体直角坐标系常见题型及解答方法的简要介绍。

数学物理方程举例和基本概念讲解

① 弦振动方程和定解条件
物理模型（弦的微小横振动问题）
设有一根拉紧的均匀柔软细弦，其长为l，线密度为，且在单位长度上受到
垂直于弦向上的力F初始小扰动后，在平衡位置附近作微小横振动.
试确定该弦上各点的运动规律.
分析. 如图选择坐标系，设u x,t 表示弦上各点在时刻t沿垂直于x方向的位移.
利用微元法建立方程.
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定解问题的适定性
1923年，阿达马（J.S. Hadamard，法国）提出
定解问题是否能够反映实际，或者，定解问题的提法是否适合？从数学的角度看主要从下面三个方面来验证：
解的存在性：即在给定的定解条件下，定解问题是否有解存在?
解的唯一性：即在给定的定解条件下，定解问题的解若存在，是否唯一？若能确定问题解的存在唯一性，就能采用合适的方法去寻找它。
超星数字图书馆（注: 网络图书馆）
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㈡方程的几个基本概念 ⑴ 数学物理方程：
① 定义：
主要指从物理学以及其他自然科学、工程技术中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的一些常微分方程、积分方程、微分积分方程等。例如：
1 描绘振动和波振动波，电磁波动特征的波动方程:
utt a2uxx f .
数学物理问题的研究繁荣起来是在十九世纪，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。如：Fourier（ 1811年），在研究热的传播中，提出了三维空间的热传导方程。他的研究对偏微分方程的发展产生了重大影响。Cauchy 给出了第一个关于解的存在定理，开创了PDE的现代理论。到19世纪末，二阶线性PDE的一般理论已基本建立，PDE这门学科开始形成。
线性偏微分方程可分为

解析几何中的定点与定值问题

题型一、设点坐标强化坐标运算、整体运算、消元思想
例1：在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆T的方程为

+ = , 设, , 是椭圆上的三点（异于椭圆顶
点），且存在锐角θ，使
= + .
(1)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
(2)求 + 的值。
两点，设两直线的斜率分别为
, , 且 + = , 求直线
AB恒过定点的坐标。
小结：
2、通过设动直线方程再利用
条件，寻找动直线中的字母关
系（k与b）；或者解出动点坐
标，再出动直线方程，通过
化简求出定点；或者利用两个
特殊位置先求出定点，再证明。
变式训练：
在平面直角坐标系xoy中，椭圆C；
右顶点B的任意一点P，
记直线PA,PB的斜率分别为 , ,则 ∙
的值为_____________.
题型二、特值法（再证明）、设动直线方程、
解动点坐标等方法处理定点问题

例2、已知椭圆C: + =1,M(0,2)

是椭圆的一个顶点，过点M分
别作直线MA,MB交椭圆于A,B

+

= , 过点， −
的动直线与
椭圆交于, 两点，试判断以为
直径的圆是否恒过定点，说明理
由。
课堂小结：
本节课你学习到了？
小结：
1、设曲线上的动点坐
标，利用动点在曲线上
进行坐标运算、
以及整体运算、和消元
思想。
变式训练：

1、设M为双曲线

− =1(a>0,b>0)上的任意

坐标系与参数方程_知识点总结

坐标系与参数方程_知识点总结一、坐标系1.直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系，在平面上由两个垂直的坐标轴组成，分别为x轴和y轴。

一个点在直角坐标系中的位置可以用坐标(x,y)来表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。

2.极坐标系3.球坐标系球坐标系是一种用于描述空间点位置的坐标系统，它由径向距离、极角和方位角组成。

一个点的位置可以用有序数组(r,θ,φ)来表示，其中r为点到原点的距离，θ为点与一些固定轴的夹角，φ为点的方位角。

二、参数方程1.一维参数方程一维参数方程是指由一个参数确定的直线或曲线的方程。

例如，一个点在直线上的一维参数方程可以表示为x=f(t)，其中x为点在直线上的位置，t为参数，f(t)为关于参数t的函数。

2.二维参数方程二维参数方程是指由两个参数确定的平面曲线的方程。

一个点在平面上的位置可以表示为(x(t),y(t))，其中x(t)和y(t)分别为关于参数t的函数。

二维参数方程常用于描述曲线、圆、椭圆等几何图形。

3.三维参数方程三维参数方程是指由三个参数确定的空间曲线的方程。

一个点在空间中的位置可以表示为(x(t),y(t),z(t))，其中x(t)、y(t)和z(t)分别为关于参数t的函数。

三维参数方程常用于描述空间曲线、曲面等几何图形。

三、坐标系与参数方程的关系坐标系和参数方程之间存在着密切的关系。

在直角坐标系中，一个函数的参数方程可以通过将x和y用参数表示来得到，即将x=f(t)和y=g(t)的参数方程转化为直角坐标系中的函数y=f(x)的形式。

反之，一个函数的直角坐标系方程也可以通过将x和y用参数表示来得到参数方程。

参数方程在极坐标系和球坐标系中也可以通过类似的方式转化。

总结：坐标系是描述点的位置的系统，常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和球坐标系。

参数方程是用参数表示的函数方程，常用于描述直线、曲线、曲面等几何图形。

坐标系和参数方程之间存在密切的关系，可以通过转化将一个方程从坐标系表示转化为参数方程，反之亦然。

2018届高三数学(文理通用)坐标系与参数方程解题方法规律技巧详细总结版

2018届高三理科数学坐标系与参数方程解题方法规律技巧详细总结版【简介】坐标系与参数方程作为选做题，和不等式以二选一的形式出现，主要考查极坐标方程及应用，直线，圆和椭圆的参数方程的应用，难度一般不大，但是在做题过程有许多细节需要注意，例如审题时注意问的是参数方程还是极坐标方程，在应用上要从极坐标和参数方程中做出适合的选取，应用直线的参数方程解题时要理解参数t 的意义，如果理解不准极易出错，总之，对于本章的复习，要对概念要有准确的理解.【3年高考试题比较】坐标系与参数方程每年都以解答题的形式，和不等式以二选一的形式出现，在试卷中是最后一道题，但不是压轴题，属于解答题中的容易或比较容易的试题.内容主要涉及曲线与极坐标方程、参数方程、普通方程的关系，求曲线的轨迹、求曲线的交点，极坐标与直角坐标的转化等知识与方程，综合三年的高考题，对于极坐标的考察较多，不仅会极坐标与直角坐标转化，也要掌握极坐标的应用，同时椭圆、圆和直线的参数方程也要应用熟练，尤其是直线的参数方程易错点较多，复习时要引起重视. 【必备基础知识融合】1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换ϕ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ＞0），y ′＝μy （μ＞0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换. 2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O (极点)；自极点O 引一条射线Ox (极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标.其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角. 3.极坐标与直角坐标的互化4.5.(1)直线l 过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R ). (2)直线l 过点M (a ，0)且垂直于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρcos__θ＝a .(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρsin__θ＝b . 6.曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数. 7.参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使用x ，y 的取值范围保持一致. 8.常见曲线的参数方程和普通方程(t 为参数)(θ为参数)(φ为参数)提醒一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离. 【解题方法规律技巧】典例1：将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)求曲线C 的标准方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.典例2：在极坐标系中，已知极坐标方程C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，C 2：ρ＝2cos θ. (1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求两交点间的距离. 解 (1)由C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0， ∴x －3y －1＝0，表示一条直线. 由C 2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ. ∴x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1. 所以C 2是圆心为(1，0)，半径r ＝1的圆. (2)由(1)知，点(1，0)在直线x －3y －1＝0上，所以直线C 1过圆C 2的圆心.因此两交点A ，B 的连线段是圆C 2的直径. 所以两交点A ，B 间的距离|AB |＝2r ＝2.典例3：在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 解 (1)消去t ，得C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2， ∴曲线C 1表示以点(0，1)为圆心，a 为半径的圆.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上. 所以a ＝1.典例4：以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程.典例5：在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，半径r ＝3.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且OQ →＝2QP →，求动点P 的轨迹方程.解 (1)设M (ρ，θ)是圆C 上任意一点. 在△OCM 中，∠COM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π3，由余弦定理得 |CM |2＝|OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，化简得ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.(2)设点Q (ρ1，θ1)，P (ρ，θ)，由OQ →＝2QP →，得OQ →＝23OP →，∴ρ1＝23ρ，θ1＝θ，代入圆C 的方程，得23ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，即ρ＝9cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3. 典例6：已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数).以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位. (1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离.典例7：已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值. 解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.典例8：平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m ，0)，且倾斜角为π6.(1)求圆C 和直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|PA |·|PB |＝1，求实数m 的值.典例9：以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，0＜α＜π)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值. 解 (1)由ρsin 2θ＝4cos θ得(ρsin θ)2＝4ρcos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝4x 得到t 2sin 2α－4t cos α－4＝0. 设A ，B 两点对应的参数分别是t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4cos αsin 2 α，t 1t 2＝－4sin 2α. ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4sin 2α≥4，当α＝π2时取到等号. ∴|AB |min ＝4，即|AB |的最小值为4.典例9:在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0，2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |的值.(2)由(1)知，点P (0，2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos π4，y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，代入x 29＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0， Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1825＜0，t 1t 2＝275＞0，所以t 1＜0，t 2＜0，所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1825.典例10：在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为；（1）求直线的直角坐标系方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交点分别为，，点，求的值．【答案】（1），曲线;(2) .【易错易混温馨提醒】一、直线参数方程的应用参数t解题时注意正负易错1：已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程及曲线上的动点到坐标原点的距离的最大值；（Ⅱ）若曲线与曲线相交于，两点，且与轴相交于点，求的值．【答案】（1），（2）二、注意直线与圆锥曲线联立时的判别式大于0易错2：在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)在平面直角坐标系中，将曲线C 的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线D ，过点()2,0M 作直线l ，交曲线D 于A B 、两点，若2MA MB ⋅=，求直线l 的斜率.【答案】（1）2220x y y +-=；（2）线l 的斜率为【解析】试题分析：（1）利用222,sin x y y ρρθ=+=把极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l 的参试题解析：(1)由2sin ρθ=，得22sin ρρθ=，将222,sin x y y ρρθ=+=，代入整理得2220x y y +-=. (2)把2220x y y +-=中的x 换成2x ，即得曲线D 的直角坐标方程2204x y y +-=. 设直线l 的参数方程为2,{x tcos y tsin φφ=+=（t 为参数， [)0,φπ∈），代入曲线D 的方程，整理得()()222cos 4sin 4cos 8sin 40t t φφφφ++-+=，()()2224cos 8sin 16cos 4sin 0φφφφ∆=--+>,cos sin 0φφ⇒<.设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则12,t t 为上述方程的两个根. 由122240cos 4sin t t φφ=>+，得,MA MB 同向共线. 故由122242cos 4sin MA MB t t φφ⋅===21sin tan 3φφ⇒=⇒=.由cos sin 0φφ<，得tan 2φ=-即直线l 的斜率为2-..三、非标准形式的直线参数方程应用参数t 时要注意换为标准的参数. 易错3：在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是1{x y ==（t 为参数），以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22223cos 4sin 12ρθρθ+=，且直线l 与曲线C 交于,P Q 两点.（Ⅰ）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）把直线l 与x 轴的交点记为A ，求AP AQ ⋅的值. 【答案】(1)见解析；（2）18.7（II ）解法1：在10x y --=中，令0y =，得1x =，则()1,0A ．由223412{10x y x y +=--=消去y 得27880x x --=.设()11,P x y ， ()22,Q x y ，其中12x x < ，则有1287x x +=， 1287x x =-.故)1111AP x =-=-，)2211AQ x =-=-，所以AP AQ ⋅ ()()12211x x =--- ()121218217x x x x ⎡⎤=--++=⎣⎦.解法2：把()()112,{2,2x t y t =+=+==代入223412x y +=，整理得21490t +-=，则12914t t =-，所以AP AQ ⋅ ()()1212182247t t t t =-⋅=-=. 四、注意参数范围对于方程的影响易错4：在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22,{32x cos y sin αα=+=+（α为参数， 2παπ≤≤），以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；（2）当1C 与2C 有两个公共点时，求实数t 的取值范围．【答案】（1）曲线2C 的直角坐标方程为0x y t -+=；（2）11t -<≤-.1C 有两个公共点，则当2C 与1C2=，整理得1t -=∴1t =-或1t =（舍去），当2C 过点()4,3时， 430t -+=，所以t=-1. ∴当1C 与2C 有两个公共点时，11t -<≤-．点睛：本题的易错点在把曲线1C 的参数方程化为直角坐标方程时，忽略了2παπ≤≤，得到曲线1C 是整个圆，那后面就会出错，所以在解题时，一定要注意认真审题，实行等价转化. 五、求轨迹方程时注意一些特殊点的取舍.易错5：在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为{x tcos y tsin αα== (t 为参数)，其中0απ<<，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是sin 5ρθ=， P 为曲线1C 与2C 的交点. (1)当3πα=时，求点P 的极径；(2)点Q 在线段OP 上，且满足20OP OQ ⋅=，求点Q 的轨迹的直角坐标方程.【答案】(2) ()()22240x y y +-=≠(2)在极坐标系中，设点(),Q ρθ， ()1,P ρθ，由题意可得， 1120[ 5sin ρρρθ==，进而可得4sin ρθ=，从而点Q 的轨迹的直角坐标方程为()()22240x y y +-=≠.六、参数方程化为普通方程时注意范围的变化在平面直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为{x t y kt ==（t 为参数），直线2l的参数程为{3x mm y k==（m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C . （1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，点Q 为曲线1C 的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最小值. 【答案】（1）1C 的普通方程为()22103x y y +=≠;(2) d的最小值为由于1C的参数方程为{x y sina==（a 为参数， a k π≠， k Z ∈），所以曲线1C上的点)sin Qa a ，到直线80x y +-=的距离为d ==所以当sin 13a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时， d的最小值为。

2021年高考数学经典例题专题十一坐标系参数方程与不等式选讲含解析

专题十一坐标系参数方程与不等式选讲一、解答题1．在极坐标系中，点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上〔其中0ρ≥，02θπ≤<〕．〔1〕求1ρ，2ρ的值〔2〕求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．【答案】〔1〕1242ρρ==，〔2〕)4π【解析】(1)将A,B 点坐标代入即得结果；〔2〕联立直线与圆极坐标方程，解得结果.【详解】〔1〕以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，11cos2,43πρρ=∴=，因为点B为直线6πθ=上，故其直角坐标方程为y x =，又4sin ρθ=对应的圆的直角坐标方程为：2240x y y +-=，由2240y x x y y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩解得00xy ==⎧⎨⎩或1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩对应的点为())0,0,，故对应的极径为20ρ=或22ρ=.〔2〕cos 2,4sin ,4sin cos 2,sin 21ρθρθθθθ==∴=∴=，5[0,2),,44ππθπθ∈∴=，当4πθ=时ρ=当54πθ=时0ρ=-<，舍；即所求交点坐标为当),4π 2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩，(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点.〔1〕求|AB |：〔2〕以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程. 【答案】〔1〕〔2〕3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】〔1〕由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值；〔2〕由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】〔1〕令0x =，如此220t t +-=，解得2t =-或1t =〔舍〕，如此26412y =++=，即(0,12)A . 令0y =，如此2320t t -+=，解得2t =或1t =〔舍〕，如此2244x =--=-，即(4,0)B -.AB ∴==〔2〕由〔1〕可知12030(4)AB k -==--，如此直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.3．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．〔1〕当1k =时，1C 是什么曲线？〔2〕当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．【答案】〔1〕曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；〔2〕11(,)44.【解析】〔1〕利用22sin cos 1t t +=消去参数t ，求出曲线1C 的普通方程，即可得出结论；〔2〕当4k =时，0,0x y ≥≥，曲线1C 的参数方程化为22cos (sin tt t==为参数〕，两式相加消去参数t ，得1C 普通方程，由cos ,sin x y ρθρθ==，将曲线 2C 化为直角坐标方程，联立12,C C 方程，即可求解.【详解】〔1〕当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos (sin x tt y t =⎧⎨=⎩为参数〕，两式平方相加得221x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；〔2〕当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos (sin x tt y t ⎧=⎨=⎩为参数〕，所以0,0x y ≥≥，曲线1C的参数方程化为22cos (sin tt t=为参数〕，两式相加得曲线1C1=，1=1,01,01y x x y =-≤≤≤≤，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=，曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=，联立12,C C方程141630y x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x -+=12=或136=〔舍去〕， 11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为 11(,)44.4．曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，〔θ为参数〕，C 2：1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩〔t 为参数〕. 〔1〕将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；〔2〕以坐标原点为极点，xC 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】〔1〕()1:404C x y x +=≤≤；222:4C x y -=；〔2〕17cos 5ρθ=.【解析】〔1〕分别消去参数θ和t 即可得到所求普通方程；〔2〕两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】〔1〕由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：()404x y x +=≤≤；由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=.〔2〕由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；设所求圆圆心的直角坐标为(),0a ，其中0a >，如此22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =，∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=， ∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=. 5．曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩〔θ为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 12ρθρθ-=. 〔1〕求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；〔2〕假如点P 为直线l 上的动点，点Q 是曲线C 上的动点，求PQ 的最小值.【答案】〔1〕C 的普通方程是2214x y +=，l 的直角坐标方程是23120x y --=；〔2【解析】〔1〕由22cos sin 1θθ+=可将曲线C 的参数方程化为普通方程，利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可得出直线l 的直角坐标方程；〔2〕设点()2cos ,sin Q θθ，利用点到直线的距离公式、辅助角公式以与余弦函数的有界性可求得PQ 的最小值.【详解】〔1〕由2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩得，2222cos sin 12x y θθ⎫⎛+=+= ⎪⎝⎭，即2214x y +=，故曲线C 的普通方程是2214x y +=.由2cos 3sin 12ρθρθ-=与公式cos sin xy ρθρθ=⎧⎨=⎩，得2312x y -=，故直线l 的直角坐标方程是23120x y --=；〔2〕直线l 的普通方程为23120x y --=，曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩〔θ为参数〕，设()2cos ,sin Q θθ，点Q 到直线23120x y --=距离为d =125cos θϕ-+=〔其中3tan 4ϕ=〕，当()cos 1θϕ+=时，mind =minPQ =6．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的方程为2cos sin 10ρθρθ-+=.〔1〕求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；〔2〕点()0,1P ，曲线2C 和曲线1C 交于A ，B 两点，求||||PA PB ⋅的值.【答案】〔1〕1C 的普通方程为：224y x -=，2C 的直角坐标方程为：210x y -+=；〔2〕5.【解析】〔1〕由极坐标与直角的互化公式，求得曲线2C 的直角坐标方程，再由曲线1C 的参数方程，消去参数，即可得到曲线1C 的普通方程；〔2〕由点()0,1P 在直线l 上，得出曲线2C的一个参数方程为15x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕，代入曲线1C ，利用根与系数的关系，结合参数的几何意义，即可求解.【详解】〔1〕曲线1C 的参数方程为11x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕，消去参数得224y x -=，故曲线1C 的普通方程为：224y x -=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线2C 的直角坐标方程为：210x y -+=；〔2〕由〔1〕得曲线2C的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕，代人1C的方程得2214⎛⎫⎫-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得23150t +-=，设A ，B 两点所对应的参数分别为12t t ，，所以0∆>，125t t =-，∴由参数t 的几何意义知12||||5PA PB t t ⋅==.7．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2,2,x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin cos m ρθθ=+.〔1〕求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；〔2〕假如1C 与2C 交于P ，Q 两点，求证：11OQ OP k k +为定值.【答案】〔1〕1C 的普通方程为212x y =，2C 的直角坐标方程为40x my +-=；〔2〕证明见解析. 【解析】〔1〕消去参数t 后，得到曲线1C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式sin x ρθ=，sin y ρθ=，求曲线2C 的直角坐标方程；〔2〕首先判断2t 的几何意义是抛物线212x y =上的点(除原点外)与原点连线的斜率，再将曲线2,2,x t y t =⎧⎨=⎩代入40x my +-=，转化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系表示11OQ OPk k +. 【详解】〔1〕解：由2,2,x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)，消去参数t ，得212x y =，即1C 的普通方程为212x y =. 由4sin cos m ρθθ=+，得sin cos 4m ρθρθ+=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得40x my +-=，∴2C 的直角坐标方程为40x my +-=.〔2〕证明：由2,2,x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)，得()20yt x x=≠，故2t 的几何意义是抛物线212x y =上的点(除原点外)与原点连线的斜率. 由〔1〕知，当0m =时，2C ：4x =，如此1C 与2C 只有一个交点，不合题意，故0m ≠.把2,2,x t y t =⎧⎨=⎩代入40x my +-=，得2240mt t +-=，设P ，Q 两点所对应的参数分别为1t ，2t ，如此1212t t m +=-，122t t m⋅=-， ∴1212121111112222282OP OQ t t m k k t t t t m -++=+===⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭. 8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l3cos 14πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭〔1〕求曲线C 的普通方程和直线l 的倾斜角;〔2〕点M 的直角坐标为()0,1，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求MA MB +的值.【答案】〔1〕222x y +=，4π；〔2【解析】〔1〕根据参数方程与普通方程的转化可得曲线C 的普通方程；由极坐标与直角坐标的转化可得直线l 的直角坐标方程，即可得直线的倾斜角；〔2〕将直线l 的直角坐标方程化为标准参数方程，联立椭圆方程，结合参数方程的几何意义即可求解.【详解】〔1〕曲线C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，如此有cos sin αα==，如此2222cos sin 122x y αα+=+=，即曲线C 的普通方程为222x y +=.直线l3cos 14πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭33cos cos sin sin144ππρθρθ⎫+=⎪⎭，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩1y x ⎫=⎪⎪⎭，即1y x -=，即10x y -+=，所以斜率1k =，如此tan 1θ=，由[)0,θπ∈，可得4πθ=，所以直线l 的倾斜角为4π. 〔2〕由〔1〕知，点()0,1M 在直线:10l x y -+=上，如此直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，得221222⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得：210t +-=，设点,A B 对应的参数分别为12,t t，如此12121t t t t +==-.所以1212MA MB t t t t +=+=-=【点睛】方法点睛：此题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程几何意义求线段关系，利用直线的参数方程求直线与圆锥曲线相交的弦长，方法是：〔1〕将直线参数方程代入圆锥曲线方程，得到关于参数t 的一元二次方程；〔2〕利用韦达定理写出12t t +，12t t ；〔3〕利用弦长公式12AB t t =-=.9．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的参数方程为sin ,cos 2,x y αα=⎧⎨=⎩〔α为参数〕，直线2C 的极坐标方程为π6θ=-．〔1〕将1C 的参数方程化为普通方程，2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；〔2〕求与直线2C 平行且与曲线1C 相切的直线l 的直角坐标方程．【答案】〔1〕212yx =-()30,0y x +=≥；〔2〕2524y x =+. 【解析】〔1〕将sin ,cos 2,x y αα=⎧⎨=⎩转化为2sin ,12sin ,x y αα=⎧⎨=-⎩消去α求解；〔2〕设切线方程为33yxb ，联立212y x b y x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，由0∆=求解.【详解】〔1〕因为曲线1C 的参数方程为sin ,cos 2,x y αα=⎧⎨=⎩〔α为参数〕，所以2sin ,12sin ,x y αα=⎧⎨=-⎩消去α得212y x =-. 因为直线2C 的极坐标方程为π6θ=-，所以πsin tan tan 6cos 3ρθθρθ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，即3y x =-()30,0y x +=≥. 〔2〕设切线方程为33yxb ，由2312y x b y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，得2210x x b +-=，所以()28103b ⎛∆=--⨯-= ⎝⎭，解得2524b =，所以切线方程是25324y x =-+， 10．在花语中，四叶草象征幸运.在极坐标系下，方程2sin 2ρθ=对应的曲线如下列图，我们把这条曲线形象地称为“四叶草〞.〔1〕当“四叶草〞中的π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求以极点为圆心的单位圆与“四叶草〞交点的极坐标；〔2〕A 为“四叶草〞上的点，求点A 到直线π:sin 34l ρθ⎫⎛+= ⎪⎝⎭距离的最小值以与此时点A 的极坐标. 【答案】〔1〕π1,12⎫⎛ ⎪⎝⎭和5π1,12⎫⎛ ⎪⎝⎭；〔2〕最小值为1，π2,4A ⎫⎛ ⎪⎝⎭.【解析】〔1〕直接利用单位圆1ρ=与方程2sin 2ρθ=联立即可求解；〔2〕将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，观察发现点π2,4A ⎫⎛⎪⎝⎭到直线l 的距离即为最小值【详解】〔1〕以极点为圆心的单位圆的极坐标方程为：1ρ=，所以联立12sin 2ρρθ=⎧⎨=⎩，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得π12θ=或5π12θ=，所以所求交点的极坐标为π1,12⎫⎛ ⎪⎝⎭和5π1,12⎫⎛ ⎪⎝⎭.〔2〕直线π:sin 34l ρθ⎫⎛+= ⎪⎝⎭的直角坐标方程为x y +=“四叶草〞2sin 2ρθ=极径的最大值为2，且可于点π2,4A ⎫⎛ ⎪⎝⎭处取得，连接OA且与直线x y +=π3,4M ⎫⎛ ⎪⎝⎭，所以点A 与点M 的距离的最小值为1.11．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为33cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩〔α为参数〕，点P 的坐标为()0m ,．〔1〕以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；〔2〕假如直线l：12x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 为参数〕与曲线C 交于A ，B 两点，假如2PA PB ⋅≥，求26m m -的取值X 围．【答案】〔1〕6cos ρθ=；〔2〕[][)9,22,3--⋃．【解析】〔1〕先消去参数得到C 的直角坐标方程，再利用cos ,sin x y ρθρθ==代入即得C 的极坐标方程；〔2〕将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得到关于t 的二次方程，再根据判别式大于零和122PA PB t t ⋅=≥，即解得 26m m -的取值X 围.【详解】解：〔1〕因为C 的参数方程为33cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩〔α为参数〕，所以C 的直角坐标方程为()2239x y -+=，即 226x y x +=，故C 的极坐标方程为6cos ρθ=；〔2〕将直线l：122x m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 为参数〕代入226x y x +=，可得：()22360t m t m m +-+-=，如此()()223460m m m ∆=--->，即263m m -<，因为21262PA PB t t m m ⋅==-≥，所以 2962m m -≤-≤-或2263m m ≤-<，故26m m -的取值X 围为[][)9,22,3--⋃． 12．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin k kx ty t⎧=⎨=⎩〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin 120ρθρθ--=．〔1〕当2k =时，求出1C 的普通方程，并说明该曲线的图形形状．〔2〕当1k =时，P 是曲线1C 上一点，Q 是曲线2C 上一点，求PQ 的最小值．【答案】〔1〕22,02x y x +=≤≤，是以(2,0)A ，(0,1)B 为端点的线段；〔2【解析】〔1〕利用22sin cos 1t t +=消去参数t ，求出曲线1C 的普通方程，即可得出结论；〔2〕当1k =时，曲线得1C 普通方程，由cos ,sin x y ρθρθ==，将曲线 2C 化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式可求解.【详解】〔1〕当2k =时，消t 得22,0,0x y x y +=≥≥，是以(2,0)A ，(0,1)B 为端点的线段．〔2〕当1k =时，曲线1C 的普通方程为椭圆：2214x y +=；由cos ,sin x y ρθρθ==得曲线2C 的普通方程为直线：23120x y --=；由221423120x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩得272128250y y ++=， 2518412807210080120=-∆-⨯<=，可知直线与椭圆相离，如此PQ 的最小值为P 到直线的距离最小值，如此d ===，当sin()1t ϕ-=时，有最小值13．〔Ⅰ〕求21234x +x --<的解集M ；〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下，设a ，b ，c M ∈，证明：(2)a b -，(2)b c -，(2)c a -不能都大于1．【答案】〔Ⅰ〕{|02}x x <<；〔Ⅱ〕证明见解析.【解析】〔Ⅰ〕讨论12x <、1322x ≤≤、32x >分别求得解集，取并即为所求解集M .〔Ⅱ〕根据根本不等式有0(2)1a a <-≤，0(2)1b b <-≤，0(2)1c c <-≤，结合反证法即可证明结论.【详解】〔Ⅰ〕由题设，13222x +x --<，∴当12x <时，1322222x x x -+-=-<，得102x <<；当1322x ≤≤时，131222x x -+-=<恒成立；当32x >时，1322222x x x -+-=-<，得322x <<； ∴综上，得{|02}M x x =<<.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知：a ，b ，(0,2)c ∈，∴220(2)()12a a a a -+<-≤=，220(2)()12b b b b -+<-≤=，220(2)()12c c c c -+<-≤=，其中等号成立的条件为,,1a b c =.∴0(2)(2)(2)1a b b c c a <-⋅⋅-⋅⋅-⋅≤，假设(2)a b -，(2)b c -，(2)c a -都大于1，即(2)(2)(2)1a b b c c a -⋅⋅-⋅⋅-⋅>显然与结论矛盾.∴(2)a b -，(2)b c -，(2)c a -不能都大于1，得证.14．()|2||1|f x x x =+-- 〔Ⅰ〕解不等式()f x x ≤；〔Ⅱ〕设()f x 的最大值为t ，如果正实数m ，n 满足2m n t +=，求21m n+的最小值. 【答案】〔Ⅰ〕[3,1][3,)--⋃+∞；〔Ⅱ〕83. 【解析】〔Ⅰ〕利用零点分解法解不等式即可.〔Ⅱ〕去绝对值，写出分段函数()f x 的解析式，根据函数的单调性求出函数的最大值3t =，从而可得23m n +=，再利用根本不等式即可求解.【详解】解：〔Ⅰ〕()|2||1|f x x x =+--①当2x -≤时，()2(1)3f x x x x =--+-=-≤，3x ∴≥-，2x ≤-，32x ∴-≤≤-②当21x -<<时，()2(1)21f x x x x x =++-=+≤，21x ∴-<≤-； ③当1≥x 时，()2(1)3f x x x x =+--=≤，Q 3x ≥综上知不等式()f x x ≤的解集为[3,1][3,)--⋃+∞.〔Ⅱ〕由，3,2()21,213,1x f x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，在(2,1)-是增函数，所以max ()3f x =，23∴+=m n ，0m >，0n >如此21121(2)3m n m n m n ⎫⎛+=⋅++ ⎪⎝⎭141844333n m m n ⎛⎫⎛=++≥⨯+= ⎪⎝⎭⎝. 当且仅当4n mm n=，即224=m n ，即322m n ==，34n =时，21m n +取得最小值83.15．函数()|33||2|f x x x =+++.〔1〕求不等式()10f x >的解集；〔2〕假如方程()34f x a =-有实数解，某某数a 的取值X 围.【答案】〔1〕155,,44⎫⎫⎛⎛-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭；〔2〕1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】〔1〕分2x <-，21x -≤≤-，1x >-三种情况求解即可得答案.〔2〕结合(1)的结论首先确定函数()f x 的最小值，再解()min 34a f x -≥即可得答案. 【详解】〔1〕依题意，|33||2|10x x +++>.当2x <-时，33210x x ---->，解得154x <-；当21x -≤≤-时，33210x x --++>，解得112x <-，无解；当1x >-时，33210x x +++>，如此54x >，故54x >；故不等式()10f x >的解集为155,,44⎫⎫⎛⎛-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭. 〔2〕依题意，()|33||2|f x x x =+++45,221,2145,1x x x x x x --<-⎧⎪=---≤≤-⎨⎪+>-⎩，由一次函数的性质知，()f x 在(],1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，所以()min ()11f x f =-=，即()f x 的值域为[1,)+∞，因为方程()34f x a =-有实数解，所以341a -≥，解得12a ≤，故实数a 的取值X 围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 16．函数()|1||24|f x x x =++-.〔1〕求不等式()6f x ≤的解集；〔2〕假如存在x ∈R ，使不等式2()3|2|2f x x t t --≥-成立，求t 的取值X 围. 【答案】〔1〕[]1,3-；〔2〕[]1,3-.【解析】〔1〕分1,12,2x x x ≤--<<≥三种情况去掉绝对值后解不等式()6f x ≤即可；〔2〕令()()321|2|h x f x x x x =--=+--，求出其最大值，然后使其最大值大于等于22t t -，解关于t 的不等式即可得答案【详解】〔1〕|1||24|6x x ++-≤，1(1)(24)6x x x ≤-⎧∴⎨-+--≤⎩或12(1)(24)6x x x -<<⎧⎨+--≤⎩或2(1)(24)6x x x ≥⎧⎨++-≤⎩解得11x x ≤-⎧⎨≥-⎩或121x x -<<⎧⎨≥-⎩或23x x ≥⎧⎨≤⎩ 1x ∴=-或12x -<<或23x ≤≤13x ∴-≤≤∴原不等式的解集为[]1,3-〔2〕令()()321|2|h x f x x x x =--=+--如此3,1()21,123,2x h x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩max ()3h x ∴=，存在x ∈R ，使得2()3|2|2f x x t t --≥-成立， 232t t ∴≥-，13t ∴-≤≤故满足条件的t 的取值X 围为[]1,3-17．()()220f x x m x m m =--+>的最小值为52-．〔1〕求m 的值；〔2〕0,0a b >>，且22a b m +=，求证：331b a a b+≥．【答案】〔1〕1m =；〔2〕证明见解析；【解析】〔1〕去绝对值变成分段函数，根据分段函数的单调性可求出()f x 的最小值，与最小值相等列式可求出；〔2〕利用分析法结合根本不等式即可证明．【详解】解：〔1〕3,2()223,223,2x m x m m f x x m x m x m m x m x m x ⎧⎪-+-⎪⎪=--+=---<<⎨⎪⎪-⎪⎩，()0m > ()f x ∴在区间(-∞，]2m 上单调递减，在区间[2m ，)+∞上单调递增，5()()3222min m m f x f m ∴==-=-， 1m ∴=；〔2〕由〔1〕0a >，0b >，且221a b +=，要证331b a a b +，只要证44b a ab +，即证22222()2a b a b ab +-，即证22210a b ab +-，即证(21)(1)0ab ab -+，即证21ab ，即证222ab a b +，显然2212a b ab =+，当且仅当2a b ==时取等号．∴331b a a b +． 18．数()1f x x x =-+.〔1〕求不等式()5f x ≥的解集;〔2〕函数()f x 的最小值为t ，正实数,,a b c 满足22,a b c t ++=证明:11 2.a c b c +≥++ 【答案】〔1〕(][,3)2,-∞-⋃+∞；〔2〕证明见解析.【解析】〔1〕解含绝对值的不等式，先要去掉绝对值号，将函数写为分段函数，然后再在各个区间求解，取并集. 〔2〕求出函数的最小值，即1,t =得出()()22a b c a c b c ++=+++=，结合所要证明的不等式，联想到根本不等式进展求解.【详解】(1)解:由题可得()12,011,0121,1x x f x x x x x x -≤⎧⎪=-+=<<⎨⎪-≥⎩，所以()5,f x ≥即0125x x ≤⎧⎨-≥⎩或1115x <<⎧⎨≥⎩或1215x x ≥⎧⎨-≥⎩解得2x -≤或3,x ≥所以不等式()5f x ≥的解集为(][,3)2,-∞-⋃+∞.()2证明:()111f x x x x x =-+≥--=，如此1,t =如此()()22a b c a c b c ++=+++=，故()()1111112222b c a c a c b c a c b c a c b c a c b c ++⎛⎫⎛⎫+=++++=++≥⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎝⎭当且仅当1a c b c +=+=时取等号.【点睛】〔1〕解双绝对值不等式的方法通常利用分段函数，在不同区间上求解，最后取并集.〔2〕利用a b a b a b -≤±≤+求出最小值，即1,t =特别要结合所证明的不等式的特点来进展变形，以应用根本不等式解决问题，抓住特点是核心.19．函数()216f x x a x =+-+-〔1〕当0a =时，解不等式()12f x >〔2〕记集合(){}20M x f x b =-=，假如存在a R ∈使M ，某某数b 的取值X 围.【答案】〔1〕5{|2x x <-或19}2x >；〔2〕5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】〔1〕根据绝对值的定义分类讨论解不等式；〔2〕由绝对值三角不等式()f x 的最小值，得()f x 值域，2b 属于这个值域，从而得()2min 25b a ≥+，解之可得结论．【详解】解:〔1〕当0a =时有1612x x -->+;当1x <时，1612,x x -+->如此52x <-，故52x <-；当16x ≤≤时，1612x x -+->.如此512>.无解﹔当6x >时，1612,x x -+->如此192x >. 故192x >．故不等式()12f x >的解集为5{|2x x <-或19}2x > 〔2〕()()222||16165x f x x a x a x a +-≥=+-+---=+当且仅当()()2160x a x +--≤时取等号. 如此可知()2min 5f x a =+. 即()f x 的值域为)25,a ⎡++∞⎣，因为存在a R ∈使M .故()2min 255b a ≥+=.如此故实数b 的取值X 围为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 20．函数()3533f x x x =-++．〔1〕求不等式()40f x <的解集；〔2〕假如不等式2()2log f x m m >+对任意x ∈R 恒成立，求m 的取值X 围．【答案】〔1〕19,73⎛⎫- ⎪⎝⎭；〔2〕()0,4．【解析】〔1〕利用零点分段法，解不等式组即可得到结果.〔2〕由绝对值三角不等式可得35338x x -++≥，从而得到22log 8m m +<，然后解不等式可得m 的X 围．【详解】〔1〕()353340f x x x =-++<， ∴536240x x ⎧≥⎪⎨⎪-<⎩ 或513840x ⎧-<<⎪⎨⎪<⎩ 或16240x x ≤-⎧⎨-+<⎩ ，解得：1973x -<<，不等式()40f x <的解集为19,73⎛⎫- ⎪⎝⎭；〔2〕因为()()()353335338f x x x x x =-++≥--+=，当513x -≤≤时可取到等号，所以22log 8m m +<，令()22log g m m m =+，如此()g m 为()0,∞+上的增函数，且()48g =，所以04m <<，故m 的取值X 围为()0,4．21．函数f (x )=|x -2|+|x +1|.〔1〕解不等式f (x )>x +2；〔2〕记f (x )的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a +b +c =m 222.3a b c ++≥ 【答案】〔1〕()(),13,-∞⋃+∞；〔2〕证明见解析.【解析】〔1〕利用“零点分段法〞，分为2x ，12x -<<，1x -三种情形，解不等式即可；〔2〕根据绝对值三角不等式求出m 的值，可得()333333()3a b c a b c a b c ++++++=，由柯西不等式可得结果. 【详解】〔1〕当2x 时，()21212f x x x x x =-++=->+，解得3x >，所以3x >；当12x -<<时，()2132,f x x x x =-++=>+解得1,x <所以11;x -<< 当1x -时，()21122,f x x x x x =---=->+解得1,3x <-所以 1.x -综上，1x <或3,x >故不等式的解集是()(),13,-∞⋃+∞.〔2〕因为()21213,x x x x -++--+=当且仅当()()210x x -+时等号成立，所以 3.m = ()222222333111222222333333()33a b c a b c a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦++==()2313131222222222233a a b b c c a b c ⎛⎫⋅+⋅+⋅ ⎪++⎝⎭= 当且仅当333222111222,ab c a b c ==即a b c ==时等号成立，32223a b c ++. 22．函数()|2||1|f x x a x =--+.〔1〕当2a =时，求不等式()1f x <的解集；〔2〕假如0a >，不等式()20f x +>恒成立，某某数a 的取值X 围.【答案】〔1〕()0,4；〔2〕()0,2.【解析】〔1〕当2a =时，求得函数()f x 的解析式，分类讨论，即可求解；〔2〕当0a >，化简函数()f x 的解析式，利用一次函数的性质，求得min 12a f =--，结合题意列出不等式，即可求解.【详解】〔1〕当2a =时，函数()3,122113,113,1x x f x x x x x x x -≥⎧⎪=--+=--<<⎨⎪-+≤-⎩，当1≥x 时，由()1f x <，可得31x -<，解得14x ≤<；当11x -<<时，由()1f x <，可得131x -<，解得01x <<；当1x <-时，由()1f x <，可得31x -<，此时解集为空集，综上所述：不等式()1f x <的解集为()0,4. 〔2〕假如0a >，函数()1,213,121,1a x a x a f x a x x a x x ⎧--≥⎪⎪⎪=---<<⎨⎪+-≤-⎪⎪⎩由一次函数性质可知()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭为减函数，在+2a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，为增函数，所以min 122a a f f ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，因为不等式()20f x +>恒成立，即min 2f >-，即122a -->-，解得2a < 又因为0a >，所以()0,2a ∈，即实数a 的取值X 围()0,2.23．函数()2|||2|f x x x =+-．〔1〕求不等式()4f x <的解集；〔2〕记()f x 的最小值为M ，a ，b ，c 为正实数且3a b c M ++=，求证：2226b c a a b c++≥．【答案】〔1〕2|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；〔2〕证明见解析. 【解析】〔1〕对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；〔2〕根据函数的单调性求出()f x 的最小值2M =，如此6a b c ++=，由根本不等式可得22b a b a+≥，22c b c b+≥，22a c a c +≥，相加后化简即可. 【详解】〔1〕依题意得32,2()2,0223,0x x f x x x x x -≥⎧⎪=+≤<⎨⎪-<⎩， 2324x x x ≥⎧⇒∈∅⎨-<⎩,020224x x x ≤<⎧⇒≤<⎨+<⎩,0202343x x x <⎧⇒-<<⎨-<⎩, 综上可得()4f x <的解集是2|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；〔2〕由32,2()2,0223,0x x f x x x x x -≥⎧⎪=+≤<⎨⎪-<⎩可知 ()f x 在(),0-∞上递减，在()0,∞+上递增，()f x 的最小值为(0)2f =，即2M =.所以6a b c ++=，由22b a b a +≥，22c b c b+≥，22a c a c +≥，相加可得()2222b c a a b c a b c a b c+++++≥++，即222612b c a a b c +++≥，2226b c a a b c++≥ 当且仅当2a b c ===时取等号．24．0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)()()554a b a b ++≥； (2)2a b +≤.【答案】(1) 见解析(2) 见解析【解析】〔1〕由柯西不等式即可证明，〔2〕由a 3+b 3＝2转化为()()323a b a b +-=+ab ，再由均值不等式可得：()()323a b a b +-=+ab ≤2()2a b +，即可得到14〔a +b 〕3≤2，问题得以证明．【详解】证明：〔1〕由柯西不等式得：553324a b a b a b ++≥+（）（）（）＝，当且仅当ab 5＝ba 5，即a ＝b ＝1时取等号；〔2〕∵a 3+b 3＝2，∴〔a +b 〕〔a 2﹣ab +b 2〕＝2，∴〔a +b 〕[〔a +b 〕2﹣3ab ]＝2，∴〔a +b 〕3﹣3ab 〔a +b 〕＝2，∴()()323a b a b +-=+ab ，由均值不等式可得：()()323a b a b +-=+ab ≤2()2a b + ∴〔a +b 〕3﹣2()334a b +≤， ∴14〔a +b 〕3≤2， ∴a +b ≤2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．25．,,a b c 为正数,且2a b c ++=,证明: (1)43ab bc ac ++≤； (2)2228a b c b c a---⋅⋅≥. 【答案】〔1〕见解析〔2〕见解析【解析】〔1〕将a +b +c ＝2平方，然后将根本不等式2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥三式相加，进展证明；〔2〕由2a b c b b -+=≥22b a c c b a c c a a -+-+=≥=≥，三式相乘进展证明. 【详解】(1)将a +b +c ＝2平方得:2222224a b c ab ab ac +++++=，由根本不等式知:2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥，三式相加得:222a b c ab bc ac ++≥++，如此2224222333a b c ab bc ac ab bc ac =+++++≥++ 所以43ab bc ac ++≤，当且仅当a ＝b ＝c ＝23时等号成立(2)由2a b c b b -+=≥22b a c c b a c c a a -+-+=≥=≥如此2228a b c b c a b c a ---⋅⋅≥⋅⋅=，即2228a b c b c a ---⋅⋅≥当且仅当23a b c ===时等号成立 26．设函数()211f x x x =++-．〔1〕画出()y f x =的图像；〔2〕当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b 的最小值．【答案】〔1〕见解析〔2〕5【解析】〔1〕()13,,212,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如下列图．〔2〕由〔1〕知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各局部所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．27．设,,x y z R ∈，且1x y z ++=. 〔1〕求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；〔2〕假如2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a -≤或1a ≥-. 【答案】(1) 43；(2)见详解. 【解析】(1) 22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z -++++++≥-++++=+++=故2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥等号成立当且仅当111x y z -=+=+而又因1x y z ++=，解得531313x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩时等号成立所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43. (2) 因为2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a -+-+-++≥. 根据柯西不等式等号成立条件，当21x y z a -=-=-，即22321323a x a y a z a +⎧=-⎪⎪+⎪=-⎨⎪+⎪=-⎪⎩时有22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a -+-+-++=-+-+-=+成立. 所以2(2)1a +≥成立，所以有3a -≤或1a ≥-. 28．a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：〔1〕222111a b c a b c++≤++；〔2〕333()()()24a b b c c a +++≥++．【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析【解析】〔1〕1abc =111111abc bc ac ab a b c a b c ⎛⎫∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭()()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++当且仅当a b c ==时取等号()22211122a b c a b c ⎛⎫∴++≥++ ⎪⎝⎭，即：222111a b c a b c ++++≥ 〔2〕()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等号又a b +≥b c +≥a c +≥a b c ==时等号同时成立〕()()()3333a b b c c a ∴+++++≥⨯=又1abc =()()()33324a b b c c a ∴+++++≥ 29．()|||2|().f x x a x x x a =-+--〔1〕当1a =时，求不等式()0f x <的解集；〔2〕假如(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值X 围.【答案】〔1〕(,1)-∞；〔2〕[1,)+∞【解析】〔1〕当1a =时，原不等式可化为|1||2|(1)0x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(1)0x ->，显然成立，此时解集为(,1)-∞；当12x ≤<时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(10)x -<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(,1)-∞；〔2〕当1a ≥时，因为(,1)x ∈-∞，所以由()0f x <可得()(2)()0a x x x x a -+--<，即()(1)0x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，2(),1()2()(1),x a a x f x x a x x a-≤<⎧=⎨--<⎩，因为1a x ≤<时，()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值X 围是[1,)+∞.30．设函数()52f x x a x =-+--.〔1〕当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；〔2〕假如()1f x ≤恒成立，求a 的取值X 围.【答案】(1)[2,3]-；(2)][(),62,-∞-⋃+∞. 【解析】〔1〕当1a =时，()24,1,2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤．〔2〕()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥．由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值X 围是][(),62,-∞-⋃+∞．31．()11f x x ax =+--.〔1〕当1a =时，求不等式()1f x >的解集；〔2〕假如()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值X 围.【答案】〔1〕12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；〔2〕(]0,2 【解析】〔1〕当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭．〔2〕当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立．假如0a ≤，如此当()0,1x ∈时11ax -≥；假如0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a ≥，故02a <≤．综上，a 的取值X 围为(]0,2．32．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. 〔1〕求2C 的直角坐标方程；〔2〕假如1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.【答案】(1) 22(1)4x y ++=.(2) 423y x =-+. 【解析】〔1〕由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为()2214x y ++=．〔2〕由〔1〕知2C 是圆心为()1,0A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点()0,2B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为423y x =-+． 33．在极坐标系中，两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.〔1〕求A ，B 两点间的距离；〔2〕求点B 到直线l 的距离.【答案】〔1〔2〕2.【解析】〔1〕设极点为O .在△OAB 中，A 〔3，4π〕，B 2π〕，由余弦定理，得AB =〔2〕因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，如此直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=.34．如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD .〔1〕分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；〔2〕曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，假如点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标. 【答案】(1) 2cos ([0,])4πρθθ=∈,32sin ([,])44ππρθθ=∈,32cos ([,])4πρθθπ=-∈,(2) )6π,)3π,2)3π,5)6π.【解析】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.1:2cos ([0,])4M πρθθ=∈，23:2cos()2sin ([,])244M πππρθθθ=-=∈,33:2cos()2cos ([,])4M πρθπθθπ=-=-∈.(2)解方程2cos [0,])4πθθ=∈得6πθ=，此时P 的极坐标为)6π解方程32sin [,])44ππθθ=∈得3π=θ或23πθ=，此时P 的极坐标为)3π或2)3π解方程32cos [,])4πθθπ-=∈得56πθ=，此时P 的极坐标为5)6π故P 的极坐标为)6π,)3π,2)3π,5)6π.35．在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P .〔1〕当0=3θπ时，求0ρ与l 的极坐标方程；〔2〕当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.【答案】〔1〕0ρ=l 的极坐标方程为sin()26πρθ+=；〔2〕4cos ()42ππρθθ=≤≤【解析】〔1〕因为点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，所以004sin 4sin 3πρθ===即)3M π，所以tan3OM k π==因为直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，所以直线l 的直角坐标方程为4)y x =-，即40x -=；因此，其极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，即l 的极坐标方程为sin()26πρθ+=；〔2〕设(,)P x y ，如此OP y k x =，4AP y k x =-，由题意，OP AP ⊥，所以1OP APk k =-，故2214y x x=--，整理得2240x y x +-=，因为P 在线段OM 上，M 在C 上运动，所以02,02x y ≤≤≤≤，所以，P 点轨迹的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ()42ππρθθ=≤≤.。

高中数学坐标系方程化解题技巧

高中数学坐标系方程化解题技巧在高中数学中，坐标系方程是一个重要的概念，它涉及到直线、平面和曲线的求解。

掌握好坐标系方程化解题技巧，对于解决各种数学问题非常有帮助。

本文将介绍一些常见的坐标系方程题型，并给出解题技巧和具体的例子，希望对高中学生和他们的父母有所帮助。

一、直线方程的求解1. 已知直线上两点求解直线方程当已知直线上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)时，可以利用直线的斜率和截距来求解直线方程。

直线的斜率可以通过两点的坐标差来求得：斜率 k = (y2 - y1) / (x2 - x1)而直线的截距可以通过将已知点代入直线方程求得：截距 b = y1 - k * x1举个例子，已知直线上两点A(2, 3)和B(5, 7)，我们可以先求出斜率：k = (7 - 3) / (5 - 2) = 4 / 3然后再求出截距：b = 3 - (4 / 3) * 2 = 3 - 8 / 3 = 1 / 3因此，直线的方程为 y = (4 / 3) * x + 1 / 3。

2. 已知直线斜率和截距求解直线方程当已知直线的斜率 k 和截距 b 时，可以直接写出直线的方程为 y = kx + b。

例如，已知直线的斜率为 2，截距为 3，那么直线的方程为 y = 2x + 3。

二、平面方程的求解1. 已知平面上一点和法向量求解平面方程当已知平面上一点A(x0, y0, z0)和平面的法向量n(a, b, c)时，可以利用平面的一般方程形式来求解平面方程。

平面的一般方程形式为：ax + by + cz = d其中，d = ax0 + by0 + cz0。

举个例子，已知平面上一点A(1, 2, 3)和平面的法向量n(2, -1, 3)，我们可以先求出 d：d = 2 * 1 + (-1) * 2 + 3 * 3 = 2 - 2 + 9 = 9因此，平面的方程为 2x - y + 3z = 9。

2. 已知平面上三点求解平面方程当已知平面上三点A(x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2)和C(x3, y3, z3)时，可以通过求解平面的法向量来得到平面方程。

高考数学如何有效利用坐标系解决几何题

高考数学如何有效利用坐标系解决几何题高考数学中的几何题一直是考生们的一个难点，尤其是在利用坐标系解决几何题方面更是令人头疼。

然而，如果我们能够熟练地运用坐标系，就能够在解决几何题时事半功倍。

本文将探讨如何有效地利用坐标系解决高考数学中的几何题。

1. 直角坐标系的应用直角坐标系是解决几何问题时最常用的一个工具。

我们可以将平面上的点与坐标系中的点一一对应，通过坐标运算来求解。

举个例子，假设有一个点A(x1, y1)和一个点B(x2, y2)，我们可以通过计算两点间的距离来判断它们的位置关系。

如果AB的距离等于0，那么A和B 就是同一个点；如果距离大于0，那么A和B就是不同的点。

除了计算距离，直角坐标系还可以帮助我们解决平面几何中的直线和曲线问题。

例如，我们可以通过计算两点间的斜率来确定直线的斜率、直线的方程等等。

此外，坐标系还可以帮助我们判断直线的相交情况，以及曲线的图形特征等。

2. 极坐标系的应用在解决某些几何问题时，使用极坐标系比直角坐标系更加方便。

极坐标系中，我们将一个点的位置通过极径和极角来表示。

极径表示点到原点的距离，而极角表示点与极轴（通常为x轴）的夹角。

通过极坐标系，我们可以更加方便地描述圆、椭圆、双曲线等图形。

例如，对于一个圆来说，我们只需要知道它的圆心和半径即可完全确定它的位置和形状。

在利用极坐标系解决几何问题时，我们可以通过计算两点之间的极径和极角之差来确定它们的位置关系。

同时，我们还可以通过计算极坐标方程的导数来求解曲线的斜率，以及曲率等相关问题。

3. 三维坐标系的应用在高考数学中，我们不仅会遇到平面几何问题，还会涉及到空间几何问题。

针对空间几何问题，我们需要运用三维坐标系进行求解。

三维坐标系由x轴、y轴和z轴组成，用于表示空间中的点的位置。

类似于二维坐标系，我们可以通过计算两点之间的距离来确定它们的位置关系。

此外，三维坐标系还可以帮助我们解决直线、平面的方程问题，判断直线与平面的相交情况，以及与坐标轴的夹角等问题。

坐标与参数方程公式与题型总结

坐标与参数方程公式与题型总结在数学中，坐标与参数方程是描述曲线的两种常见方式。

坐标方程是通过直接给出曲线上的点的坐标关系来表示曲线，而参数方程则是通过参数的变化来表示曲线上的点。

在本文中，我们将总结坐标与参数方程的公式以及相关的题型。

一、坐标方程：坐标方程是最常见也是最直观的描述曲线的方式，通常用(x, y)的形式表示曲线上的点。

常见的坐标方程包括直线方程、二次曲线方程等等。

1. 直线方程：直线的坐标方程通常采用一般形式y = mx + b来表示，其中m是斜率，b是截距。

通过斜率和截距，我们可以确定直线在坐标系中的位置和倾斜程度。

2. 二次曲线方程：二次曲线的坐标方程通常采用一般形式y = ax^2 + bx + c来表示，其中a、b、c是常数。

根据a的正负和大小，可以确定二次曲线的开口方向和形状。

二、参数方程：参数方程是通过参数的变化来描述曲线上的点。

参数方程通常采用参数t来表示曲线上的点的坐标，例如(x(t), y(t))。

参数方程可以描述出一些坐标方程无法直接表示的曲线，如圆、椭圆、螺旋线等等。

1. 圆的参数方程：圆的参数方程可以表示为x = r*cos(t)，y = r*sin(t)，其中r是半径，t是参数的取值范围。

通过改变参数t的取值，可以确定圆上的每个点的坐标。

2. 椭圆的参数方程：椭圆的参数方程可以表示为x = a*cos(t)，y = b*sin(t)，其中a、b分别表示椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。

通过改变参数t的取值，可以确定椭圆上的每个点的坐标。

在解题中，我们常常会遇到与坐标方程和参数方程相关的题型。

一些常见的题型包括：1. 求直线与曲线的交点：给定一条直线和一个曲线的方程，求它们的交点坐标。

2. 求参数方程的导数：给定一个参数方程，求它的导数表达式，用于求取曲线的切线等相关问题。

3. 求曲线的长度：给定一个参数方程或坐标方程，求取曲线的长度。

4. 求曲线的面积：给定一个参数方程或坐标方程，求取曲线所包围的面积。

高中数学直角坐标系解题技巧

高中数学直角坐标系解题技巧直角坐标系是高中数学中非常重要的一个概念，它在解决各种问题时起到了至关重要的作用。

本文将重点介绍一些高中数学中常见的与直角坐标系相关的题型，并提供一些解题技巧，以帮助高中学生提高解题能力。

一、平面直角坐标系在平面直角坐标系中，我们可以通过横坐标x和纵坐标y来表示一个点的位置。

在解决与平面直角坐标系相关的问题时，我们需要掌握一些基本的概念和技巧。

1. 直线方程直线方程是平面直角坐标系中最基本的概念之一。

常见的直线方程有一般式、斜截式和截距式。

例如，对于直线y = 2x + 1，其中斜率为2，截距为1。

通过直线方程，我们可以确定直线的位置和特征，进而解决与直线相关的问题。

2. 点与直线的关系在平面直角坐标系中，点与直线之间存在着多种关系。

例如，点是否在直线上、点在直线上的投影等。

解决这类问题时，我们可以利用点的坐标和直线方程进行计算和判断。

二、空间直角坐标系空间直角坐标系是三维空间中的坐标系，它由三个相互垂直的坐标轴构成，分别是x轴、y轴和z轴。

在解决与空间直角坐标系相关的问题时，我们需要掌握一些基本的概念和技巧。

1. 空间点的坐标表示与平面直角坐标系不同，空间直角坐标系中的点需要用三个坐标来表示。

例如，点A的坐标为(2, 3, 4)，其中x轴上的坐标为2，y轴上的坐标为3，z轴上的坐标为4。

通过点的坐标，我们可以确定点的位置和特征，进而解决与点相关的问题。

2. 空间直线的方程空间直线的方程与平面直角坐标系中的直线方程类似，也有一般式、参数式和对称式等形式。

例如，对于直线L，其一般式方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D为常数。

通过直线的方程，我们可以确定直线的位置和特征，进而解决与直线相关的问题。

三、解题技巧在解决与直角坐标系相关的问题时，我们可以运用以下一些技巧来提高解题效率。

1. 图像分析法对于与直角坐标系相关的几何问题，我们可以通过绘制图像来更好地理解问题，并找到解题的思路和方法。

初中数学点知识归纳平面直角坐标系中的方程和解法

初中数学点知识归纳平面直角坐标系中的方程和解法初中数学点知识归纳：平面直角坐标系中的方程和解法在初中数学学习中，平面直角坐标系是一个非常重要的概念。

它不仅帮助我们理解和描述几何图形，还可以用来解决方程和实际问题。

在本文中，我们将归纳总结平面直角坐标系中的方程和解法。

一、平面直角坐标系的基本概念在平面直角坐标系中，我们可以通过两条互相垂直的坐标轴来定位点的位置。

通常，我们将水平的坐标轴称为x轴，垂直的坐标轴称为y 轴。

通过x轴和y轴的交点，我们将其称为原点O。

对于任意一个点P，我们可以用其在x轴和y轴上的坐标表示为：P(x, y)。

二、平面直角坐标系中的方程在平面直角坐标系中，我们可以利用方程来描述几何图形或者求解实际问题。

以下是常见的几种方程形式。

1. 点的坐标对于已知点P，它的坐标可以表示为一个方程。

例如，如果点P的坐标为P(2, 3)，则方程可以表示为x = 2，y = 3。

2. 线段的长度在平面直角坐标系中，我们可以利用勾股定理计算线段的长度。

对于线段AB，我们可以根据A(x1, y1)和B(x2, y2)的坐标，使用勾股定理得到方程：AB^2 = (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2。

3. 直线的方程在平面直角坐标系中，直线的方程有多种表示形式。

最常见的两种形式是一般式和斜截式。

- 一般式方程：Ax + By + C = 0其中，A、B、C是常数，A和B不同时为0。

例如，2x + 3y - 6 = 0。

- 斜截式方程：y = kx + b其中，k是直线的斜率，b是y轴截距。

例如，y = 2x + 1。

4. 圆的方程圆在平面直角坐标系中的方程是一个常见的问题。

圆的方程可以表示为：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径。

三、平面直角坐标系中的解法在平面直角坐标系中，我们可以利用方程求解几何图形或者实际问题。

下面是一些常见的解法。