矩阵理论在通信的应用
矩阵在通信中的应用分析
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科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
DOI：10.16661/ki.1672-3791.2017.34.228
矩阵在通信中的应用分析
罗嘉锐
(湖南省长沙市第一中学 湖南长沙 410005)
摘 要：矩阵作为数学学科中基本概念之一，是实现对线性代数理解环节需要把握的重点内容。本文主要开展矩阵在通信中的应用分析过程中，通过介绍矩阵在通信领域中的应用现状，进一步加深对其应用分析的理解。例如，在开展保密通信工作时，通过对逆矩阵知识的了解实现对通信具体信息的加密,在开展信息论中，将矩阵理论用来实现信源熵，以及信道容量的计算，等具体应用领域和应用现状。
关键词:矩阵 信道容量 信道编码
中图分类号：TN91 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2017)12(a)-0228-02
在开展关于矩阵理论在通信领域应用实践研究过程中，首先，需要对矩阵理论和概念有明确的认知。当前，在对矩阵理论及其具体含义的了解过程中，通过对矩阵运用的广泛领域进行进一步分析和研究，为提高研究的有效性和必要性，相关研究人员需要将数学建模基本知识、密码学相关知识、化学基本学科以及通信和计算机科学等学科知识，密切的结合起来，在实现学科知识掌握的同时，实现实际问题的便利化解决。
1 对矩阵理论的了解
1.1 矩阵理论的发展演变
在开展矩阵在通信中的应用分析研究环节，首先需要对矩阵理论做出必要的认识和研究。矩阵理论的发展和进一步研究，在世界数学发展史中具有关键的意义。根据相关资料记载显示，早在19世纪50年代起始的矩阵理论研究，主要是对线性方程组的解决和进一步推动该理论的发展而产生的；19世纪中期的矩阵理论发展速度十分迅速，直至该世纪末期，矩阵理论已经建立了自身存在的完善理论体系；同时，矩阵理论知识仍在进一步深化，直至20世纪矩阵理论在发展空间上得到了进一步的研究拓展。21世纪矩阵理论已经在物理学、控制理论、经济学相关等学科方面形成了大量的应用分支。
随机矩阵理论在通信系统中的应用
随机矩阵理论在通信系统中的应用随机矩阵理论是一种数学理论，研究的是随机矩阵的性质和行为。
它在通信系统中有着广泛的应用，可以帮助我们理解和优化通信系统
的性能。本文将介绍随机矩阵理论在通信系统中的应用，并探讨其对
通信系统的影响。
一、引言
随机矩阵理论是由数学家发展起来的一门重要理论，在通信领域中
已经得到了广泛的应用。随机矩阵理论通过研究随机矩阵的特性，可
以帮助我们分析和优化各种通信系统。
二、随机矩阵理论在无线通信中的应用
在无线通信系统中，随机矩阵理论可以用来研究信道的特性和性能。例如，我们可以使用随机矩阵理论来建立信道模型，分析信道的容量
和传输速率。通过分析随机矩阵的特征值和特征向量，我们可以得出
关于信道容量的一些重要结论。
此外，随机矩阵理论还可以帮助我们分析和优化无线多输入多输出（MIMO）系统。通过研究随机矩阵的谱分布和随机矩阵的秩，我们可以设计出更好的MIMO编码和解码技术，提高通信系统的性能。
三、随机矩阵理论在光通信中的应用
在光通信系统中，随机矩阵理论可以用来研究光纤通信信道的传输
特性。例如，我们可以使用随机矩阵理论来分析光纤的色散和非线性
失真，从而优化光纤通信系统的传输性能。
此外，随机矩阵理论还可以帮助我们研究光纤光子晶体的传输特性。通过研究随机矩阵的散射矩阵和传输矩阵，我们可以设计出更好的光
子晶体传输系统，提高光通信系统的容量和稳定性。
四、随机矩阵理论在卫星通信中的应用
在卫星通信系统中，随机矩阵理论可以用来研究卫星信道的传输特性。例如，我们可以使用随机矩阵理论来分析卫星信道的大气衰减和
矩阵理论的应用
矩阵理论的应用
摘要：矩阵是数学的基本概念之一。作为线性代数的核心内容，矩阵广泛运用于各个领域，如数学建模、密码学、化学、通信和计算机科学等，解决了大量的实际问题。
关键词：矩阵；密码学；化学；数学建模；应用
Abstract：Matrix is one of the fundamental conception in mathematics.As the core content in the linear algebra,It is used in various domains like mathematical modeling,cryptology,chemistry,communication&computer science,etc.and also solve a large amount of practical problems.
Keyword：matrix,cryptology,chemistry,mathematical modeling,application. 一、引言
矩阵理论在现代统计学的许多分支有着广泛的应用，成为统计学中不可缺少
的工具，而且，随着研究的深入和应用的发展，矩阵与统计学之间的关系会越来
越深刻。一方面，统计学对矩阵研究提出了许多新的研究课题，刺激了有关矩阵
理论研究的发展;另一方面，矩阵理论中的结果被越来越多地应用于统计学的理
论研究及其应用中。近三十年，许多统计学家致力于这方面的研究，并撰写了很
多这方面的论文和著作，其中很多结论在统计学的研究中发挥着很大的作用。
矩阵理论应用论文
高维随机矩阵理论在数组信号检测与估计中的应用
摘要
本文中，我们展示了高维随机矩阵理论在频谱中的要素、相关源的检测并解决了在大
数组中的估计问题。这些结果适用于样本空间的协方差矩阵R
̂中所感测的数据。可以看出，可以实现的检测样品尺寸大小小于传统方法所要求的。如果确定了预定的方向，可以通过给R
̂设置限制条件，包括从高维随机矩阵理论中提出的，可以得到更加准确的估计。一组理论用来解决可行性问题。讨论 了一些没有解决的问题。
问题声明
我们认为，当p 很大时，检测映射在数列p （q<p ）的传感器上的q 的数量以及他们的到达方向是个问题。该模型的成像机制如下。在每个时间t 的第j 个信号出现在场景中时，第i 个传感器的加性噪声和在第i 个传感器接收到的数据可以分别用平方可积的复数值随机变量序列S j (t)、N i (t)和X i (t)表示。随机向量（S(t)=[S 1(t )……S q ]）T
，t ∈[0，+∞]，ES (0)=0和奇异空间的协方差矩阵R S =ES(0)S(0)∗。此外，假设随机变量序列(N i (t )｜1≤i ≤p ，t ∈[0，+∞])，EN 1(0)=0和E ｜N 1(0)｜2=σ2，σ2未知，与随机变量
序列(S j (t )｜1≤j ≤p ，t ∈[0，+∞])独立。让N (t )=σW (t )=σ[W 1(t )……W p (t)]T （W i (t )被标准化）和X (t )=[X 1(t )……X p (t)]T 。这些由阵列传感器收集的数据被建模成为随机向量的观测值X (t )=AS (t )+N(t)t ∈[0，+∞]，A 是根据阵列的几何尺寸和信号参数的p*q 的矩阵，假设秩为q 。
随机矩阵理论在通信系统中的应用
随机矩阵理论在通信系统中的应用随机矩阵理论是一种应用广泛的数学工具，它在通信系统中有着重
要的应用。本文将探讨随机矩阵理论在通信系统中的应用，并介绍一
些相关的研究成果。
一、引言
通信系统中的信号传输过程受到多种因素的干扰，如信道衰落、噪
声等。随机矩阵理论可以帮助我们分析并优化信号传输过程中的性能。
二、随机矩阵理论的基本概念
随机矩阵是由一组随机变量构成的矩阵，其元素服从某种特定的概
率分布。随机矩阵的特征值和特征向量可以帮助我们描述信号传输过
程中的传输效果。
三、随机矩阵在信道建模中的应用
信道建模是通信系统设计的重要一环，它可以帮助我们理解和预测
信号传输的性能。随机矩阵理论在信道建模中起到了重要的作用。通
过分析信道的随机矩阵特征，我们可以得到信道的传输容量、信道状
态信息等重要参数。这些参数对于设计高效的通信系统至关重要。
四、随机矩阵在MIMO系统中的应用
多输入多输出（MIMO）系统在现代通信系统中得到了广泛应用。
随机矩阵理论可以帮助我们分析和优化MIMO系统的性能。通过对随
机矩阵的特征值和特征向量进行分析，我们可以得到MIMO系统的通
信容量、信号传输效果等关键指标，并根据这些指标来优化MIMO系统的设计。
五、随机矩阵在信号检测中的应用
在通信系统中，信号检测是一个重要的环节。随机矩阵理论可以帮助我们分析和优化信号检测的性能。通过对随机矩阵的谱分析，我们可以得到信号检测中的误检概率、虚警概率等指标，并根据这些指标来优化信号检测算法的设计。
六、随机矩阵在信号处理中的应用
随机矩阵理论在信号处理领域也有着广泛的应用。例如，通过对随机矩阵的奇异值分解，可以进行信号降维和信号压缩，从而减少信号传输的复杂性和成本。
(完整word版)矩阵分析在通信领域的应用
编号：
审定成绩：
重庆邮电大学
矩阵分析小论文
学院名
称：通信与信息工程学院
学生姓
名：胡晓玲
专
业:信息与通信工程专业
学
号:S160101047
教
师：安世全
时间：2016 年 12 月
矩阵在MIMO 信道和保密通信上的应用
矩阵广泛应用于通信的各个环节，例如:奇异矩阵,酉矩阵等MIMO 上的应用；可逆矩阵在保密通信上的应用；生成矩阵，监督矩阵在信道编码上的应用;Toeplitz 和Hankel 矩阵在通信信号处理中的应用等。本文主要讨论矩阵在MIMO 信道和保密通信上的应用。
一、 矩阵应用于MIMO 信道
我们知道MIMO 信道在不增加频谱资源和天线发射功率的情况下能显著提升系统容量，同时提高信道的可靠性，降低误码率。是4G 和未来5G 中的一个非常重要的技术，因此对MIMO 的信道进行建模研究具有巨大的指导意义.本文首先建立了MIMO 信道模型,利用矩阵理论得出MIMO 信道简化模型，再结合信息论计算出信道容量，并得出结论.
首先建立一个MIMO 信道模型,发射端通过空时映射将要发送的信号映射到多根天线上发送出去，接收端将各根天线接收到的信号进行空时译码从而恢复出发射端发送的数据信号.
当发送信号所占用的带宽足够小的时候，信道可以被认为是平坦的， 这样，MIMO 系统的信道用一个n*m
的复数矩阵H 描述。H 的子元素a ij 表示从第x i （i=1，2，…n)根发射天
线到第y j (j=1，2,。m)根接收天线之间的空间信道衰落系数。
1121112
22
2n n αααααα⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪ ⎪
信道相关矩阵 空间复用
信道相关矩阵与空间复用技术是无线通信领域中的重要概念。
信道相关矩阵描述了信道状态信息之间的关系，是MIMO系统性能分析的关键参数。空间复用技术则是一种利用多副天线发送和接收信号，通过在同一频段发射多路相互独立的不同的信号，以充分利用传播中的多径分量，提高链路传输速率的技术。研究表明，在给定的信道上，可以建立的并行子信道数等于信道矩阵的秩，因此空间复用可以达到的信息传输速率与矩阵秩线性增长正相关。
要实现空间复用，发送天线之间和接收天线之间的距离要大于电波的相干距离，收发信道的各个子信道的衰落才不相关。空间复用的重要特征是利用有明显多径效应的传输环境，每一根发射天线对应接收端产生一个不同的信号，得到占用同频率的信号间的独立性，接收端根据接收信号不同区分各自的信息流。在独立衰落信道上将相同的信号副本传送给接收端。
以上信息仅供参考，建议查阅关于信道相关矩阵和空间复用的专业书籍或咨询专业人士，以获取更全面和准确的信息。
《矩阵理论》在现代信号处理理论中的应用
《矩阵理论》在现代信号处理理论中的应用
——基于数据子空间特征根解耦的频率估计
摘要
功率谱估计和频率估计是随机信号处理中的重要内容。本文中主要以夹杂了白噪声的随机正弦波为处理对象，用矩阵理论中的谱分解为工具，将信号的自相关矩阵中的信息空间分解为噪声子空间和信号子空间，从而从信号中提取出正弦波的频率。此方法能够正确的估计正弦波的功率谱和频率。
【关键词】谱分解 功率谱估计
参数化的功率谱估计中，如果被估计的对象为白噪声中的正弦波频率，那么无法使用周期图法进行功率估计。而特征值分解法则可以方便的解决这问题。Pisarenko （皮萨伦科）法的主要思路是：将白噪声中的正弦过程作为一个特殊的ARMA 模型，用特征方程求解该模型参数，从而计算正弦波的频率、功率以及噪声功率等。MUSIC （子空间）法的基本思路是：将数据的自相关矩阵中的信息空间分解成信号子空间和噪声子空间，这两个子空间中的矢量函数（并不是功率谱）在正弦波频率上呈现尖峰（最大值），据此就可以估计正弦波频率。本文中主要说明子空间法的计算原理。
一、 高斯白噪声中的多个复正弦信号矢量
1.1 单个正弦信号 设单个复正弦信号为
11()
1
()j n s n Ae ωϕ+= 式中，1A ，1ω，1ϕ分别是该复正弦信号的振幅，频率和初始相位，其中1A ，
1ω是确定参量；1ϕ在[0,2)π内均匀分布的独立随机变量。
由()s n 的N 个取样值构成的向量为
[]1
1
1
1
T
T
2(1)1(0)(1)(1)1j j j j N s s s s N A e
e
e
e
ϕωωω−=−⎡⎤=⎣⎦
矩阵理论课程论文-随机矩阵理论在频谱感知上的应用
吉首大学研究生课程论文
《随机矩阵理论在频谱感知上的应用》
课程类别：专业选修课
课程名称：矩阵理论
任课教师：
随机矩阵理论在频谱感知上的应用
摘要：频谱感知是指认知用户通过各种信号检测和处理手段来获取无线网络中的频谱使用信息，即主用户信号是否占用该频段。但主用户不占用时，认知用户可以使用该频段，反之则不能使用该频段。由此可知最重要的是检测主用户时候存在，本论文就利用随机矩阵理论来进行检测。随机矩阵理论(Random Matrix Theory，RMT)通过比较随机的多维时间序列统计特性，可以体现实际数据中对随机的偏离程度，并揭示数据中整体关联的行为特性[1]。
关键字：随机矩阵理论；频谱感知
1引言
频谱感知的目的就是通过一些手段检测主用户是否存在来判断其所占有的频段是否空闲可用，如果可用，则认知用户可以利用此频段进行通信，这样一来可以充分的利用频谱资源[2],其中随机矩阵理论作为一套比较完备的理论体系，在无线通信领域已经被国际上许多学者广泛关注，已然发展成为无线通信领域的一个非常重要的理论工具。
随机矩阵理论一经提出就收到国外学者的关注，2009年10月，在欧洲召开了以随机矩阵理论为主题的国际会议RMTfWC2009(Random Matrix Theory for Wireless Communications)，这标志着随机矩阵理论在通信领域已经成为学术界的一个研究热点，与此同时许多国家都在该研究方向设立了专项研究基金[3]。随机矩阵是指一个以随机变量为元素的矩阵，与确定性矩阵相对应。1928年，Wishart等人最早提出了随机矩阵的概念并对其加以研究，主要是研究了随机矩
随机矩阵理论在无线通信中的应用
随机矩阵理论在无线通信中的应用随机矩阵理论是一种数学工具，用于描述和分析随机矩阵的性质和行为。在无线通信领域，随机矩阵理论被广泛应用于信号传输、信道建模、无线网络设计等方面。本文将探讨随机矩阵理论在无线通信中的应用，并说明其重要性和潜在影响。
一、随机矩阵理论的基本概念
随机矩阵理论是研究随机矩阵的性质和统计规律的数学分支。随机矩阵是指矩阵中的元素是随机变量，且满足一定的概率分布。在无线通信中，随机矩阵可以用于描述信号传输过程中的各种随机性，如信道衰落、噪声等。
二、随机矩阵在信号传输中的应用
1. 信道建模
在无线通信系统中，信道是指信号在传输过程中的介质或通道。随机矩阵理论可以用于建模信道的随机性，以便更准确地分析和设计无线通信系统。通过对信道矩阵的分析，我们可以了解信号在传输过程中的衰落情况，进而优化信号传输方案，提高通信质量。
2. 信号检测与估计
在接收端，我们需要对接收到的信号进行检测和估计，以还原原始的信息。随机矩阵理论可以帮助我们分析和推导信号的检测和估计算
法。通过对接收信号的矩阵特性进行分析，我们可以设计出更准确和高效的信号处理算法，提高信号的检测和估计性能。
三、随机矩阵在无线网络中的应用
1. 多用户信号处理
在无线网络中，多个用户同时使用同一频段进行通信，会产生干扰问题。随机矩阵理论可以用于建模多用户场景下的信号干扰，通过分析干扰矩阵的性质，我们可以优化信号处理算法，减少干扰，提高通信的容量和效率。
2. 网络拓扑设计
无线网络的拓扑结构对通信性能有很大影响，传统方法往往采用确定性的拓扑结构，无法完全反映网络中的随机性。随机矩阵理论可以用于描述网络节点和连接的随机分布特性，从而帮助我们设计更稳定和高效的网络拓扑结构。
矩阵分析在通信中的应用-中国科学技术大学
矩阵分析在通信中的应用
•在过去的15年左右，矩阵分析这一工具在通信理论与系统中得到了广泛应用•为什么？
“传统”通信（~before 2000）“现代”通信(~after 2000)
•本质上，现代通信系统必须处理高维信号
侧重于单点对单点
强调多用户单载波
多载波单天线多天线
多维线性参数估计应用：信道估计与符号估值
•考虑如上图所示的一个多径信道
•首先发送长度为N的已知训练序列：{s(1),…,s(N)}；接收端收到{y(1),…, y(N)}
•如何对收到的长度为N的接收向量进行线性矩阵运算，获得对信道向量c的“最优”估值？
•在获得信道向量c的估值后，发送端继续发送长度为M的未知数据序列：{x(1),…,x(M)}；接收端收到{y(1),…,y(M)}
•如何对收到的长度为M的接收向量进行线性矩阵运算，获得对数据向量x 的“最优”估值？
多维线性参数估计应用：线性均衡
•继续考虑上一页提到的数据估值问题，但是…
•加入一个限制：接收端必须符合上图所示的“线性均衡器”
•如何决定线性均衡器各个“分支”的系数，获得对数据向量x的“最优”估值？
多天线系统（MIMO）
•从单天线系统（SISO）演进到多天线系统（MIMO），是过去20多年通信领域的最重要技术发明之一
•对MIMO系统的研究，使得矩阵分析理论在通信界成为“必备”的知识•下面的这个信号模型是“无数”MIMO论文的基础
Y=HX+Z
多天线系统（MIMO）：单用户信道容量
Y=HX+Z
•考虑一个单用户MIMO信道
–发送端M根天线，接收端N根天线
–信道矩阵H的维数是N*M
矩阵分析在通信领域的应用论文
矩阵分析在通信领域的应用学院：电气与电子工程学院
学号：____*********____
*名：___**____
矩阵分析在通信领域的应用
【摘要】矩阵是数学的基本概念之一，也是线性代数的核心内容。矩阵广泛运用于各个领域，如数学建模、密码学、化学、通信和计算机科学等，解决了大量的实际问题。本文主要介绍矩阵在通过信领域的应用，如：在保密通信中，应用逆矩阵对通信的信息进行加密；在信息论中，利用矩阵理论计算信源熵、信道容量等；在信息论的信道编码中，利用监督矩阵，生成矩阵，对信道中的信息进行编码，利用错误图样对信道传输的信息进行纠正；此外，矩阵分析在MIMO技术这个模块中也有着很重要的应用，基本可以说矩阵分析是MIMO技术研究的基础。关键词：矩阵;保密通信;信道容量;信道编码;MIMO
1、引言
随着科技快速稳健的发展，通信技术也得到了飞速的发展，人们对通信的要求也不断提高，不仅要求通信的实时性、有效性，还要求通信的保密性。而现实环境中，由于噪声的影响，常常使通信出现异常，这就要求人们对接收到的信号能够更好的实现检错纠错。此外，在频谱资源的匮乏己经成为实现高速可靠传输通信系统的瓶颈。一方面，是可用的频谱有限;另一方面，是所使用
的频谱利用率低下。因此，提高频谱利用率就成为解决实际问题的重要手段。多进多出(MIMO)[1]技术即利用多副发射天线和多副接收天线进行无线传输的
技术，该技术能够很好的解决频谱利用率的问题。然而对以上通信中存在的问题的分析和研究都需要用到矩阵理论的知识，本文把矩阵理论和其在通信领域的应用紧密结合，通过建立一些简单的分析模型，利用矩阵知识将通信领域很多复杂的计算和推导变得简单明了。
矩阵理论在信号系统中的应用
五邑大学研究生矩阵理论论文
矩阵理论在信号系统中的应用
摘要：在20世纪50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，现代控制理论在上世纪60年代开始形成并得到了迅速的发展。现代控制理论的重要标志和基础就是状态空间方法。现代控制理论用状态空间法描述输入、状态、输出等各种变量间的因果关系。不但反映系统输入与输出的外部特性，而且揭示了系统内部的结果特性，可以研究更复杂而优良的控制算法。现代控制理论及使用于单变量控制系统，有适用于多变量控制系统，既可以用于线性定常系统，又可以用于线性时变系统，还可用于复杂的非线性系统。 本文主要介绍了连续时间线性时不变系统零输入响应运动分析，如何利用数学模型，求解线性定常系统的零输入响应问题。是矩阵理论中约当标准形和对角线标准形在线性系统理论中的一个很典型的应用。
状态与状态变量：系统在时间域中运动信息的集合称为状态。确定系统状态的一组独立（数目最少的）变量称为状态变量。它是能完整地确定地描述系统的时间行为的最少的一组变量。
状态向量：如果n 个状态变量用()1x t 、()2x t 、…()n x t 表示，并把这些状态变量看做是
向量X （t ）的分量，则向量X （t ）称为状态向量，记为()()()()12n x t x t X t x t ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
或者()()()()12T n X t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦
状态空间：以状态变量()1x t 、()2x t 、…()n x t 为坐标轴构成的n 维空间。
状态方程：描述系统的状态变量之间及其和系统输入量之间关系的一阶微分方程组
浅谈矩阵在实际生活中的应用
浅谈矩阵在实际生活中的应用
摘要：从数学的发展来看，它来源于生活实际，在科技日新月异的今天，
数学越来越多地被应用于我们的生活，可以说数学与生活实际息息相关。我们在学习数学知识的同时，不能忘记把数学知识应用于生活。在学习线性代数的过程中，我们发现代数在生活实践中有着不可或缺的位置。在本文中，我们对代数中的矩阵在成本计算、人口流动、加密解密、计算机图形变换等方面的应用进行了探究。
关键词：线性代数矩阵实际应用
Abstract: From the development of mathematics, we can see that
it comes from our life. With the development of science and technology, the math is more and more being used in our lives, it can be said that mathematics and real life are closely related. While learning math knowledge we can not forget to apply mathematical knowledge to our life. In the process of learning linear algebra, we found that algebra has an indispensable position in life practice. In this article, we explore the application of the matrix in the costing, population mobility, encryption and decryption, computer graphics transform.
can通信矩阵计算
can通信矩阵计算
通信矩阵是用于描述通信系统中不同信道之间的传输特性的矩阵。通信矩阵可以用于计算信道之间的传输效果，例如信道增益、信道延迟等。
通信矩阵的计算可以通过以下步骤进行：
1. 确定通信系统的拓扑结构，即确定信道之间的连接关系。
2. 对于每个信道，测量或估计其传输特性，例如增益、延迟等。这些特性可以通过实验、模拟或者理论计算得到。
3. 将这些传输特性填入通信矩阵中的相应位置。通信矩阵的每个元素表示一个信道的传输特性。
4. 对于多个信道的情况，可以将通信矩阵与输入信号向量相乘，得到输出信号向量。这个乘法过程可以表示为矩阵乘法的形式。
通信矩阵的计算可以帮助分析和优化通信系统的性能。通过对通信矩阵进行操作，可以估计信道之间的传输效果，进而改进系统的设计或者调整参数。
需要注意的是，通信矩阵的计算需要基于准确或者可靠的传输特性信息。如果传输特性无法准确测量或估计，通信矩阵的计算结果可能会有误差。因此，在进行通信矩阵计算时，需要尽可能准确地获取传输特性的信息。
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矩阵理论在通信网络中的应用
——利用幺模矩阵分析最小费用流问题
摘要
将通信网络中节点间的业务看作是一个流，假设一对节点间存在v个流量的业务需求，怎样使得最终达到满足要求且费用最小。通过线性规划建模，利用矩阵理论中完全幺模矩阵以及幺模矩阵的知识，保证求得的最优解为整数解，使得最小费用流问题得以解决。
关键字：最小费用流，完全幺模矩阵，幺模矩阵，整数解
ABSTRACT
View the business communication between nodes in the network as a stream, a v of the flow between nodes business needs, how to make the end meet the requirements and minimum cost. The linear programming model, by using matrix theory totally unimodular matrix
and knowledge unimodular matrix, guarantee to obtain the optimal solution for the integer solution, so that the minimum cost flow problem can be solved.
Key Words: Minimum Cost Flow ,Totally Unimodular ,Unimodular , integer solution
第一章矩阵理论简介
根据世界数学发展史的记载，矩阵理论概念剩余19世纪50年代，是为了解决线性方程组的需要而诞生的。1855年，英国数学家Caylag在研究线性变换下的不变量时，为了简介、方便而引入了矩阵的概念。矩阵的理论发展非常的迅速，到19世纪末，矩阵理论体系已经基本形成。到20世纪，矩阵理论得到了进一步的发展。目前，它已近发展成为在物理、控制论、经济学、等学科有大量应用的分支。
用矩阵的理论与方法来处理通信网络技术中的各种问题已越来越普遍。在通信工程技术中引进矩阵理论不仅使理论的表达极为简捷，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是不容置疑的，更由于计算机和计算方法的普及发展，不仅为矩阵理论的应用开辟了广阔的前景，也使通信网络技术的研究发生新的变化，开拓了崭新的研究途径，例如网络中的最小费用流问题、最短分离路径对问题、多商品流问题等，无不与矩阵理论发生紧密结合。因此矩阵的理论与方法已成为研究通信工程技术的数学基础。
第二章最小费用流问题
1、最小费用流简介
通信网络的主要作用是将业务从源端发送到宿端。为了充分利用网络的资源，包括线路、转接设备等，总是希望合理地分配流量，以是从源端到宿端的流量尽可能的大，传输的代价尽可能的小。但网络流量分配并不是任意的，它受限于网络的拓扑结构，边和端的容量及费用，另外可能还有各种别的限制。
在通信网络中，如果将网络中节点间的业务看作是一个流的话，为满足一对节点对之间的业务需求而涉及业务流路径带宽分配被称作为单商品流问题。现假设一对节点间存在v个流量的业务需求，即需要在通信网络拓扑过利用其他一些中间节点并且合理的分配路径来搬运v个单位的流，使得最终达到满足要求时的总费用代价最小。
2、最小费用流问题的描述
通信网络中的各个交换机或者路由器通常可以看做是网络拓扑图中的一个个节点，它们之间的链路可以描述为各个节点间相连的线段。通过这样的转换就可以将网络拓扑通过图的形式描绘出来，以便进一步分析。
给定一个通信网络拓扑图G(V,E)，其中V表示的是所有节点的集合，E表示的是所有链路的集合，G(V,E)表示所有的点与边之间的通过一定连接关系所构成的图。除了源、宿端点外的其他节点，比如节点i，用v i表示；l ij表示节点i和j之间的链路边；l ij边上的流量用x ij表示。另外，给定网络拓扑中每条边上的单位流量的代价为c ij，边的带宽即容量为u ij。
接下来给定一对节点对之间的业务流量需求的理论描述：(1)源点s到宿点t 之间需要v个流量的业务，即源点s需要流出v个单位的流量，宿点t需要流入v个单位的流量；并且假设流入为正，流出为负(2)网络中除了源点s和宿点t 之外的其他节点流入的流量和流出的流量应该守恒，即相加为0 (3)每条链路边上的流量x ij应该满足大于等于0且小于等于这条边l ij上对应的带宽容量u ij (4)优化目标是最小化总的链路流量与单位流量代价的乘积的和。
第三章矩阵理论分析最小费用流
1、最小费用流的矩阵形式
通过上面的分析，我们可以通过线性规划建模得到以下结果：
上面的线性规划建模结果是在确定的源点到宿点存在v个单位流的情况。实际情况下，我们考虑从源节点到宿节点，图中每个节点i的需求等于b(i)，而不再是单一值v或者0。这种情况下，上面的表达式需要做一点儿改变：
对比这两个表达式，我们可以看到只有约束条件的等式右端从v或者0变为了b(i)，b(i)表示顶点i的需求量或者供应量。需求量为负整数，供应量为正整数；
所有的需求量之和等于供应量之和，即。b(i)>0，则顶点i为供应节点；b(i)<0，则顶点i为需求节点；b(i)=0，则顶点i为转运节点。
为了书写方便，我们可以将约束条件及约束目标写为矩阵形式。这里定义m 维矢量c={c ij}、x={x ij}、u={u ij}，n维矢量b={b(i)}；将第一行的所有约束条件写为n维的矩阵N，矩阵N中的元素取值只为1或者-1；当顶点i是边j的起点时，N ij=1；当顶点i是边j的终点时，N ij=1；我们将矩阵N成为点边关联矩阵。这样线性规划表达式可以这样描述：
观察上述表达式，注意到最小费用流问题的矩阵形式具有最优化理论中单纯型法的标准型形式，即，这与最小费用流问题的矩阵形式中的约束条件具有相同的形式。这样我们就可以利用最优化理论中的单纯型法来分析求解这个矩阵问题。
但是，求出来的解是整数解吗？如果不是整数解还满足我们的要求吗？这个问题将在(三-3)部分得到解答，在此之前，我们首先来分析矩阵理论中完全幺模矩阵和幺模矩阵。