2016年第57届imo中国国家队选拔考试试题(pdf版)
2002年IMO中国国家集训队选拔赛试题
40
中 等 数 学
2002 年 IMO 中国国家集训队选拔赛试题
(2002203231 8 :00~12 :30)
一、 设凸四边形 ABCD 的两组对边所在的直线分 别交于 E 、 F 两点 ,两对角线的交点为 P ,过 P 作 PO ⊥EF 于 O . 求证 : ∠BOC = ∠AOD . ( 冷岗松 命题) 肖振纲 1 1 2 (1 + an - 1 ) , n ≥ 二、 设 a1 = , an = 2. 求最小 4 4 实数 λ,使得对任意非负实数 x1 , x2 , …, x2 002 ,都有
=
n- i
10
40・
n- i
3
求函数 g ( r , s , t ) 的最小值 .
( 黄玉民 命题)
( 上接第 20 页) ∴ 数列{ an }的前 n 项之和为 2 n + n +2 Sn = . 4 注 : 运用 “多退少补” 的试算方法 , 把 ① 折 成 ②,即 S n = f ( n ) - f ( i , k ) 的形式 , 使不等 2 i - 3i - 4k +2 式0≤ < 1 成立而符合要求 ,从 4 而使问题获解 . 例9 设数列{ an } 的前十项为 1 ,1 ,2 ,3 , ). 4 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 , 且 an + 10 = a n + 8 ( n = 1 ,2 , … 求 S n ,并计算 S 2 002 之值 . 解 :设待定常数 i ∈ {1 ,2 ,3 , …,10} , m 为 分段顺序数 , k 为非负整数 , 使 n = 10 m + i ,
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图1
如图 2,在 A P上取一点 Q ,满足 PQ F = A EF = ADB.
图2
易知 A、E、F、Q 和 F、D、P、Q 分别四点 共圆. 记 O 的半径为 r. 根3; PQ·A P
=A F·AD + PF·PE
= (AO2 - r2 ) + ( PO2 - r2 ) .
即 ( i - j) k3 > 0,显然成立.
现在证明式 ①.
对于 i、j( 1≤ i < j≤n ) , 来估计 ai aj 的 下界.
由前述知 ai ≥ aj ,即
ij
jai - iaj ≥0. 因为 ai - aj ≤0,所以 , ( jai - iaj ) ( aj - ai ) ≥0,
即
ai
即 al ≥ al + 1 对任意的 l ( l = 1, 2, …, n - 1 ) l l+1
成立.
再证明 :对于 i、j、k { 1, 2, …, n } , 若
i > j,则 2 ik2 > 2 jk2 . i+k j+k
事实上 ,上式等价于
2 ik2 ( j + k) > 2 jk2 ( i + k) ,
假设结论不成立 , 即
≤ 则 l( l + 1)
2
+1
l,
1,
2 , …,
都是 到 l( l +1)
2
+1
1
l中的正整数.
而由式 ②知 , 在 1 ,
2 , …,
中 , l( l + 1)
2
+1
1至多出 现 1 次 , 2 至 多 出 现 2 次 , ……
2009年IMO中国国家队选拔考试试题含答案(第一天,2009年3月31日)
2009年IMO 中国国家队选拔考试第1天2009年3月31日8:00-12:30 湖北 武汉1、设D 是三角形ABC 的BC 边上一点,满足ÐCAD =ÐCBA .圆O 经过B ,D 两点,并分别与线段AB ,AD 交于E ,F 两点,BF 、DE 相交于G 点.M 是AG 的中点.求证:CM ⊥AO .2、给定整数2n ³,求具有下述性质的最大常数()n l :若实数序列012,,,...,n a a a a 满足满足0120...n a a a a =££££,及111()2ii i a aa +-³+,1,2,...,1i n =-, 则有则有2211()()nni ii i ia n a l ==³åå.3、求证:对于任意的奇素数p ,满足|!1p n +的正整数n 的个数不超过23cp ,这里c 是一个与p无关的常数.1、设D 是三角形ABC 的BC 边上一点,满足ÐCAD =ÐCBA .圆O 经过B ,D 两点,并分别与线段AB ,AD 交于E ,F 两点,BF 、DE 相交于G 点.M 是AG 的中点.求证:CM ⊥AO .证明 如图,连接EF 并延长交BC 于P ,连接GP 交AD 于K ,并交AC 延长线于L .K LP MGEFDCABO如下图,在AP 上取一点Q ,满足∠PQF =∠AEF =∠ADB .易知A 、E 、F 、Q 及F 、D 、P 、Q 分别四点共圆.记⊙O 的半径为r .根据圆幂定理知:知:AP 2=AQ ×AP +PQ ×AP =AF ×AD +PF ×PE=(AO 2-r 2)+(PO 2-r 2). ①QPGAOB EFD类似地,可得:类似地,可得:AG 2=(AO 2-r 2)+(GO 2-r 2). ② 由①,②得AP 2-AG 2=PO 2-GO 2,于是由平方差原理即知PG ⊥AO .如下图,对△PFD 及截线AEB 应用Menelaus 定理,得定理,得1D A F E P B A FE PB D´´=.③ 对△PFD 及形外一点G 应用Ceva 定理,得定理,得1D KF E P B K F E P B D ´´=.④ ③÷④即得:③÷④即得:D A D K A FK F=. ⑤KPGAOBEFD⑤表明A ,K ;F ,D 构成调和点列,即AF ×KD =AD ×FK . 再代入点列的Euler 公式知:公式知:AK ×FD =AF ×KD +AD ×FK =2AF ×KD . ⑥而由B 、D 、F 、E 四点共圆,得∠DBA =∠EF A .而∠CAD =∠CBA ;故∠CAF =∠EF A ,这就表明AC ∥EP .由此,.由此,C P A F P DF D=. ⑦在△ACD 中,对于截线LPK 应用Menelaus 定理,得定理,得1A L C P D K L CP DK A´´=; ⑧将⑥,⑦代入⑧即得2A L L C=.最后,在△AGL 中,由M 、C 分别是AG 、AL 的中点,故MC 是其中位线,得MC ∥GL .而已证GL ⊥AO ,从而MC ⊥AO .2、给定整数2n ³,求具有下述性质的最大常数()n l :若实数序列012,,,...,n a a a a 满足满足0120...n a a a a =££££,及 111()2i i i a a a +-³+,1,2,...,1i n =-,则有则有2211()()nni i i i ia n a l ==³åå.解:()n l 的最大值为2(1)4n n +.首先,令12...1n a a a ====,得2(1)()4n n n l +£.下面我们证明:对任何满足条件的序列012,,,...,n a a a a ,有不等式,有不等式22211(1)()()4nniii i n n ia a ==+³åå(*) 首先我们证明21...2n a a a n³³³.事实上,由条件有112()i i i ia i a a +-³+对任意1,2,...,1i n =-成立.对于给定的正整数11l n ££-,将此式对1,2,...,i l =求和得1(1)l l l a la ++³,即11l l a a ll +³+对任意1,2,...,1l n =-成立.下面我们证明,对于,,{1,2,...,}i j k n Î,若i j >,则2222ikjki k j k >++. 事实上,上式等价于222()2()ik j k jk i k +>+,即3()0i j k ->,显然成立. 现在我们来证明(*). 首先对于1i j n £<£,来估计i j a a 的下界. 由前述,知j i a a i j³,即0i j ja ia -³. 又因为0i j a a -£,故()()0i j j i ja ia a a --³,即22i j ji i j a a a a i ji j³+++.这样,我们有:这样,我们有:222111()2nni i i j i i i j nia i a ija a ==£<£=+ååå222222112()niji i i j ni j ij ia a a i ji j=£<£³×++++åå22112()n n ii k ik a i k ===×+åå.记212ni k ikb i k==+å,由前面证明可知12...n b b b £££.又22212...n a a a £££,由切比雪夫不等式,有:,由切比雪夫不等式,有:221111()()nn nii i i i i i a b a bn ===³ååå.这样221111()()()nnni ii i i i ia a b n ===³ååå.而22222222111111112(1)2()2()4nnnnn nii i k i i j ni i j ni ik i j ij n n biiij i i k iji j ====£<£=£<£=+==++=+==+++åååååååå因此22211(1)()4n ni i i i n n ia a ==+³åå.故(*)获证.综上所述,可知()n l 的最大值为2(1)4n n +.3、求证:对于任意的奇素数p ,满足|!1p n +的正整数n 的个数不超过23cp ,这里c 是一个与p 无关的常数.证明证明显然,符合要求的n 应满足11n p ££-. 设这样的n 的全体是12...k n n n <<<, 我们只需要证明2312k p £,当12k £时结论是显然成立的,下设12k >. 将1i i n n +-(11)i k ££-重排成不减的数列1211...k m m m -££££. 则显然有则显然有11111()k kii i k i i nn n n p m-+===-=-<åå.① 我们首先证明,对1s ³,有,有|{11:}|ii k s s m ££-=£, ②即等于给定的s 的i m 至多有s 个.事实上,设1i i n n s +-=,则1!1!10(m od )i i n n p ++º+º,由此可知(,!)1i p n =,故,故()(1)...(1)1(mod )i i in s n s n p ++-+º.故i n 是s 次同余方程次同余方程()(1)...(1)1(mod )x s x s x p ++-+º的一个解. 由于p 是素数,由拉格朗日定理知,上述同余方程至多有s 个解,故满足1i i nn s +-=的i n 至多只有s 个值,从而②得证个值,从而②得证.. 现在我们证明,对任意的正整数l ,只要(1)112l l k ++£-,就有(1)121l l lm ++³+.假设结论不成立,即(1)12l l l m++£,那么12(1)12,,...,ll m m m ++都是1到l 中的正整数. 而由②知,在12(1)12,,...,l l m m m ++中,1至多出现1次,2最多出现2次,…,l 至多出现l 次,即从1到l的正整数总共至多出现(1)12 (2)l l l ++++=次,这与(1)12l l ++个数12(1)12,,...,l l m m m ++都是不超过l 的正整数矛盾!的正整数矛盾! 设m 是满足(1)112m m k ++£-的最大正整数,则的最大正整数,则(1)(1)(2)11122m m m m k ++++£-<+③ 我们有我们有11112(1)(1)(1)(2)(1)121122223(...)(1)(1)(1)(21).63k m m m ii i i i i i i i i i i i i i m m m m mmm m m----++++++++====³+++³+³+++=>åååå由于12k >,故4m ³,因此,结合①,③可得,因此,结合①,③可得2212331(1)(2)244(3)4(3)2k i i m m k m p m -=++<+<<<×å.这就证明了结论.。
IMO中国国家队训练题
2008IMO 中国国家队训练题及解答2008年IMO 中国队培训的主要阶段于6月15日至7月5日在上海中学进行,后期在清华附中调整.在培训期间,单墫、陈永高、冷岗松、余红兵、李伟固、熊斌等教授以及叶中豪、冯志刚先生为国家队队员作了讲座.我们从培训题中精选了一部分,配以个别队员们的解答,推荐给各位读者.1. 设G 为△ABC 内的一点,AG 、BG 、CG 分别交对边于点D 、E 、F.设△AEB和△AFC 的外接圆的公共弦所在的直线为l a ,类似定义l b ,l c .证明:直线l a ,l b ,l c 三线共点.证明:设∆AEB 的外接圆和∆AFC 的外接圆交于1,A A ,则a l 即1AA ,易知1A 在角BAC ∠内,1BAEA 共圆,1CAFA 共圆,类似地定义11,B C . 因为BAEA 1共圆,111FBA ABA A EC ∠=∠=∠故(1.1), 111A A C A A E A B E ∠=∠=∠(1.2), 11A AB A EB ∠=∠(1.3)因为CAFA 1共圆,故∠BFA 1=∠ACA 1=∠ECA 1 (1.4) 由(1.1)、(1.4)得:∆BFA 1~∆ECA 1,1BA BFA E CE=1故(1.5) 对∆BA 1E 用正弦定理并结合(1.2)、(1.3)得111111sin sin sin sin BA A EB A ABA E A BE A AC∠∠==∠∠(1.6) 1111,,b c B ABC C ACB l BB l CC ∠∠同理,在内,在内,即即11sin ,sin C CA AE C CB BD ∠=∠且有11sin sin B BC CDB BA AF∠=∠.故BDCDCE AE AF BF AF CD BD AE CE BF BA BC B CB CA C AC AB A ⋅⋅=⋅⋅=∠∠⋅∠∠⋅∠∠111111B sin sin C sin sin A sin sin 111AC BC CC BC CA AB D E F 而由、、分别交对边、、于、、及塞瓦定理得BD CDCE AE AF BF ⋅⋅=1. BA BC B CB CA C AC AB A 111111B sin sin C sin sin A sin sin ∠∠⋅∠∠⋅∠∠=1,这样利用角元形式的塞瓦定理可知直线AA 1,BB 1,CC 1三线共点.,,a b c l l l 即共点,命题得证。
2001年IMO中国国家集训队选拔考试试题
2001年IMO中国国家集训队选拔考试试题
佚名
【期刊名称】《《中等数学》》
【年(卷),期】2001(000)003
【摘要】(2001-03-31 8∶00~12∶30)一、平面上给定凸四边形ABCD及其内点E和F,适合AE=BE,CE=DE,∠AEB=∠CED,AF=DF,BF=CF,∠AFD =∠BFC.求证:∠AFD+∠AEB=π.(许以超提供)二、对给定的正整数a、b,b>a>1,a不能整除b及给定的正整数数列{bn}∞n=1,满足对所有正整数n 有bn+1≥2bn,是否总存在正整数数列{an}∞n=1使得对所有正整数n,有
an+1-an∈{a,b},且对所有正整数m、l(可以相同),有am+al{bn}∞n=1?(陈永高提供)
【总页数】1页(P38)
【正文语种】中文
【中图分类】O12
【相关文献】
1.2006年IMO中国国家集训队选拔考试 [J], 李胜宏
2.2004年IMO中国国家集训队选拔考试试题 [J],
3.2007年IMO中国国家集训队选拔考试 [J], 朱华伟
4.2005年IMO中国国家集训队选拔考试 [J], 冷岗松; 王建伟; 朱华伟; 熊斌; 余红兵; 陈永高
5.2004年IMO中国国家集训队选拔考试 [J], 2004年IMO中国国家集训队命题组
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第58届imo预选题(三)
20 8年第期9竞赛 之 窗第5 S届 IMO 预 选 题 (三)中图分类号 〇 8 文献标识码 A文章纗号 005 646 20 00 9 0几 何 部 分外接圆 的两条外公切线交于点证明ZXIY 90 °1已知 凸五边形 灿以呢 满足 AfiBC =CDZEAB = Z BCD Z EDC = Z CBA 证明 过点 五 作 5C 的垂线与 此 历 三线共点2 本届 IMO 第 4 题3 已知非等腰锐角 AAfiC 的外心为 0直线 与 的过点 5 C 的高线 分别交于点 P? 这两 条髙线交 于 点 仗证 明 AP?H 的外接圆 的 圆心在AMC 的 条中线上4已知 A 的顶点 4 所对 的 旁切 圆与併G4狀 分 别切 于点 2M F△ 处F 的外接圆 厂 与直线 SC 交于点线段 的中 点为 M证 明 △ 的 外接圆r与?1相切S已知 凸 六边形 仙CCA岑 满足 仙5C 且 有公共 的 中垂线 设对角线与岑 C交于点 Z)△ABC的外接圆尸与△皂 的外接圆交于点 仏[证明 直线忍仏 与见 的交点在圆 尸 上6设正整数多3 已知在平面上有两个正n 边形^ 方 证 明 在 方 的 内部或边界上的顶点是连续的 即存在 条直线将 ^的顶点分成两部分 其 中 部分的顶点均在i的内部或边界上7 已 知 凸 四 边形 仙⑶ 有 内 切 圆 ?/△ ZM5 AAfiC ABCZ A CiM 的内心分别为m /,△ AVfr △ CVfr 的 外接 圆 的两条外公切线交于点 总 △ 5/乂 △ D/乂 的8已 知黑板 上有 2 01 7个 两两 不交 的圆 且不存在三个 圆有公切线 称两个圆的条切线段为这两个圆 的 条公切线的两个切点之间所连线段 卢西亚诺在黑板上 条条地画切线段 使得切线段与任何其他圆 均不交 也与之前画的切线段不交 他按上述规则画切线段 直到不能再画为止 求卢西亚诺停止画切线段时 他画 的切线段数 目 的所有可能值参 考 答 案1记凸五边形的内角 分别为Z 上ZB ZW E如图 1设 4 CE抑 的 中 垂线交于点由题意 知4CM 的 中 垂 线 分 别过点b c由 仰丄C/图AC丄 BI4 AC与 BD 的交点 f 为A BIC 的垂心=>册 丄 5C因为 ZB/C分别为ZC的平分线IA =IC IB IDa ABBC = CDj; WAIAB ^AICB ^AICD=>Z IAB =ZICB =jZ C =jZ A=>A7平分ZA20类似地//平分Z£这表明凸五边形有内切圆?/^ZE540°2ZA2ZBZBIE360〇ZEABZABfZ爐=360°ZAjZBjZE=360°ZAjZB270°ZAZB=90°+^ZB=90°+Z/BC2=>ElLBC故结论成立2本届MO第4题3不妨设AB<4C如图2=90°Z〇ABZACB类似地Z?P//=Z仙C于是AABC/^\HPQ设的外接圆为?乃由Z^P=90oZ露=ZACBZPQH=^4//与?7切于点//设与5C交于点M过点4作?0的切线与ifC交于点S因为过点丑作?7的切线与P?的交点为七所以对于△ c/^A/叩s与/为对应点贝JZOSMZOSCZZ〇厦中等数学4Sv40M四点共圆由于于是ZOMSm°Z0AS90°这表明M为线段fiC的中点因此点7在A仙C的中线爾上4设直线与?A的第二个交点为r由丄£rF丄fA4为圆r的直径设的中点为v由4V丄£r=?=90。
国国家集训队选拔考试
由 (1) 可知 f (2) ≥1. 下面分两种情况讨论 :
(i) f (2) = 1 ,则可证
f ( n) = 1 ( Π n) .
①
事实上 ,由 (2) 知
f (6) = f (2) f (3) = f (3) . 记 f (3) = a ,则 a ≥1.
由于 f (3) = f (6) = a ,利用 (1) 可知 f (4) = f (5) = a. 利用 (2) 知 ,对任意奇数 p 有 f (2 p) = f (2) 拔考试
一 、在锐角 △ABC 中 , AD 是 ∠A 的内角平分
线 ,点 D 在边 BC 上 ,过点 D 分别作 DE ⊥AC、DF ⊥ AB ,垂足分别为 E、F ,连结 B E、CF ,它们相交于点
H , △A FH 的外接圆交 B E 于点 G. 求证 :以线段 BG、 GE、B F 组成的三角形是直角三角形.
任取 m ≥3 , k ≥1 ,有 s ≥1 ,使得 2 s ≤mk < 2s + 1 .
于是 ,有 s ≤klog2 m < s + 1 ,
即 klog2 m - 1 < s ≤klog2 m s ) ≤g ( mk ) ≤g (2s + 1 ) .
五 、对 m 、n ∈A ,若 m + n = 1 001 或 2 003 或 3 005 ,则称 m 与 n“有关”.
易知与 1 有关的数仅有 1 000 和 2 002 ,与 1 000 和 2 002 有关的都是 1 和 1 003 ,与 1 003 有关的为 1 000和 2 002.
γ(α,β) = (| a1 - b1 | ,| a2 - b2 | , …,| an - bn | ) ,
2016年世界少年奥数赛七年级海选赛试题及答案解析
世界少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛地方海选赛(2016年10月)选手须知:1、本卷共三部分,第一部分:填空题,共计50分;第二部分:计算题,共计12分;第三部分:解答题,共计58分。
2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。
3、比赛时不能使用计算工具。
4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。
七年级试题(A卷)(本试卷满分120分,考试时间90分钟)一、填空题。
(每题5分,共计50分)1、用200千克花生可榨油25千克,如此计算,用15吨花生可以榨油吨。
2、把110厘米长的铁丝焊成一个长方体的框架,长是宽的两倍,宽是高的1.5倍。
则这个长方体的长厘米,宽厘米,高厘米。
3、某商品按20﹪的利润定价,然后按八八折出售,实际获得利润84元。
则商品的成本元。
4、某中学学生中83是男生,男生比女生少250人,则该中学有人。
5、若04312y x ,求yx 。
6、一项工程,如果单独做,甲、乙各需10天完成,丙需7.5天完成,现在三人合作,在做的过程中,甲外出1天,丙休息0.5天,结果一共用了天完成。
7、有五张牌,分别写着2、3、4、5、6,其中三张是反着的,从中任意取出一张,若为单数就是甲赢,若为双数就是乙赢,则赢的可能性大。
8、甲、乙两种酒精浓度分别为70﹪和50﹪,现在要配制65﹪的酒精3000克,应当从甲种酒精中取克,乙种酒精中取克。
9、在一个长为4厘米的正方体的前后、上下、左右各面的中心位置挖去一个底面半径为1厘米、高为1厘米的圆柱,则挖去后物体的表面积为。
(圆周率用3.14计算)10、|3-x ||2-x ||1x|的最小值是____。
二、计算题。
(每题6分,共计12分)11、211712111743322174112、102418141211三、解答题。
(第13题6分,第14题8分,第15题10分,第16题10分,第17题12分,第18题12分,共计58分)13、已知在数轴上,点A 与原点之间的距离是点A 与30所对应的点之间的距离的4倍,那么点A 所表示的数是多少?14、a 与b 互为相反数,且1,54|b -a |2ab abab a 求的值。
2016年第57届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试思路分析
2016年第57届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试思路分析KOOA CBDF'BDF K第57届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试思路分析2016.03.17 严文兰数学工作室由于IMO 试题比较困难,所以即使写了解答,同学们也不一定看得懂,或者理解试 的解法,为什么这样想呢?以及自己做时如何分析问题呢?本文尽量给予阐明清楚。
1. 如图,在圆内接六边形ABCDEF 中,AB=BC=CD=DE ,若线段AE 内一点K 满足 ∠BKC=∠KFE, ∠CKD=∠KFA ,证明:KC=KF 。
分析:圆中角的关系最为灵活也相对简单,由已知圆周角∠AFE=∠BKD , 注意到弧BD=弧AE 的一半,所以又有∠AFE=∠BOD ,从而∠BKD=∠BOD ,B 、K 、O 、D 四点共圆, 注意到OC 为此圆对称轴,所以在直 径上,所以OK 为∠BKD 的外角平分2. 求最小的正实数λ,使得对任意三个复数123,,{|||1}z z z z C z ∈∈<,若1230z z z ++=,则22122331123||||z z z z z z z z z λ+++<。
分析:由连续性,问题等价于条件、结论都是≤的情况。
在高等数学中有最大模原理,解析函数在自变量在边界时达到最大模。
所以,容易想到当22122331123||||z zz z z z z z z +++最大时,123,,z z z至少有两个在边界,即满足||1z =,而22122331123||||z z z z z z z z z +++=2232122331123|()|||i i z zz z z z e z z z e θθ+++,故不妨设1212||||1,Re Re 0,z zz z x ====≥则32zx=-,10,2x ≤≤ 所以2222224122331123|||||14||2|14161z z z z z z z z z x x x x +++=-+=-+≤,所以min1λ=下面设法证明之不妨设123,,z z z 中3z 的模最大,因为3||1z≤,将每个数都乘以13z --代替原来的数,则左边更大,此时31z =-,因为1230z zz ++=,设12,1,,,0zx yi z x yi x y R y =+=--∈≥,则0x 1≤≤,代入化简得f =左边=22222222(2xy-y)(1)()x x y x x y +-+-+-+,先固定x ,得'228()y f y x x y =-+,所以'yf 先负后正,f 先减后增,在两端最大, 当0y =时,22112()122f x x=--+≤,当y 最大时,12||,||z z 至少一个为1,不妨设2||1z=,以下同前面分析,即旋转为1z 在x 轴负半轴上,设1(01)z x x =-≤≤,则左边222(1)1x x =-+≤,所以min1λ=。
历届IMO数论问题详解
9n 1 ,矛
②当 n 2 时, p ( x) x 10 x 22 81 ,所以 ( x 5) 128 ,因此 x 17 。也就是说十
2 2
位数只能是 1 ,设 x 10 k , 0 k 7 ,则 p ( x) (10 k ) 10(10 k ) 22 k ,解得
② n 为偶数时, f ( n)
2k 而 f (0) [ k 1 ] 0 ,所以 f (1) 1 f (0) 1 。 k 0 2
结合①、②,由数学归纳法易证 f (n) n 。
1969 年第 11 届问题 1:求证:存在无限多个自然数 a 满足如下性质,对于所有的自然数 n ,
k k 1
4) 13 ,所以
(10k 1 4) 可以被 13 整除,因为我们要求最小的 n ,当然首先要 k 最小,可以验算当 k 6
时, (10
k 1
4) 可以被 13 整除,此时 a 15384, n 153846 ,容易验证 153846 的确满足
要求,所以 n 153846 为所求。
n 1 1 (n 1) 2k n 2 k n 20 n 2 k 1 k 1 2 2k 1 k 1 2 k 0 2 k 1 k 1 2
1959年至2016年历届IMO试题(不含答案)
第一届(1959年)罗马尼亚 布拉索夫(Bra şov ,Romania )1. 求证314421++n n 对每个自然数 n 都是最简分数。
(波兰)2. 设A x x x x =--+-+1212,试在以下3种情况下分别求出x 的实数解: a)2=A ;b)A =1;c)A =2。
(罗马尼亚)3. a 、b 、c 都是实数,已知关于 cos x 的二次方程0cos cos 2=++c x b x a试用 a,b,c 作出一个关于 cos 2x 的二次方程,使它的根与原来的方程一样。
当a =4,b =2,c =-1 时比较 cos x 和 cos 2x 的方程式。
(匈牙利)4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的c ,斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
(匈牙利)5. 在线段AB 上任意选取一点M ,在AB 的同一侧分别以 AM 、MB 为底作正方形AMCD 、 MBEF ,这两个正方形的外接圆的圆心分别是 P 、Q ,设这两个外接圆又交于 M 、N 。
a) 求证:AF 、BC 相交于N 点;b) 求证:不论点M 如何选取,直线MN 都通过定点S ;c) 当M 在A 与B 之间变动时,求线段PQ 的中点的轨迹。
(罗马尼亚)6. 两个平面P 、Q 的公共边为 p ,A 为P 上给定一点,C 为Q 上给定一点,并且这两点都不在直线p 上。
试作一等腰梯形ABCD (AB 平行于CD ),使得它有一个内切圆,并且顶点B 、D 分别落在平面P 和Q 上。
(捷克斯洛伐克)第二届(1960年)罗马尼亚 锡纳亚(Sinaia ,Romania )1. 找出所有具有下列性质的三位数N :N 能被11整除且商等于N 的各位数字的平方和。
(保加利亚)2. 寻找使下式成立的实数x :(匈牙利)()92211422+<+-x x x3. 直角三角形ABC 的斜边BC 的长为a ,将它分成n 等份(n 为奇数),令α为从A 点向中间的那一小段线段所张的锐角,从A 到BC 边的高长为h ,求证:(罗马尼亚)()a n nh 14tan 2-=α 4. 已知从A 、B 两点引出的高线长h a 、hb 以及从 A 引出的中线长m a ,求作三角形ABC 。
IMO中国国家集训队选拔考试(1995-2010)
2 002
∑ Ak ≤λa2 002 . k =1
其中
Ak =
( xk +
…+
xk x2 002 +
k k(k -
2
1)
, k ≥1. + 1) 2
解 :令 δ( k)
=
1 2
k(k -
1) . 首先证明几个引理.
引理 1 对 任 意 实 数 a ≥0 , c > 0 , b > 0 , 函 数
Ak
k =1
≤δ(
n
1 + 1)
+ 1 an ,
且可以取等号.
证明 :由引理 1 ,有
( x1
+
x1 …+
1 xn
+ 1) 2
≤
1 4
· x2
+
1 …+
xn
+2
=
x2
+
a1 …+
xn
+2,
①
且当 x1 = x2 + …+ xn + 3 时 ,取最大值
x2 +
a1 …+
· xn + 2
x2 +
a1 …+
f ( x)
=x
a +
b+
x(x+
c b)
2
.
当
x
=
(1
-
a) 1+
b+ a
2
c时
, 取最大值
1 4
·(1b++
a) c
2
.
证明
第57届IMO预选题(四)
1 9
第 5 7届 I MO预 选 题 ( 四)
中图分类号 : c 4 2 4 . 7 9 文献标识码 : A 文章编号 :1 0 0 5—6 4 1 6 ( 2 0 1 7 ) 1 2—0 0 1 9— 0 6
数 论 部 分
1 . 对 于任 意正 整数 k , S ( ) 为 k在 十进
5a .
=
其次 , 由式②知
S ( 2 0 2 5 a+6 ) =J s ( ( 2 0 2 0 a+b ) + 5 口 ) ≤. s ( 2 0 2 0 a+ 6 ) +. s ( 5 a ) . 这表 明 , 5 a ≤S ( 5 口 ) .
7 . 本届 I M O第 3题. 8 . 求满足下 述性质 的所有次数 为奇数 d
选择 g 1 .
因此 , 式①成立.
若 ( +1 ) 为奇数 , 对£ 用数学归纳 法 来计算选择 的方法种数.
若6 < 0 , 类 似地 考 虑 +1为 足够 大 的 1 O的幂 , 仍 可得到矛盾. 因此 , P ( ) = , 且P ( x ) = 满足式①. ( 3 ) 若d e g P≥2 . 若 P的首项为 口 ( ≠ 0 ) , 类似于( 2 ) 知
当且仅 当 m+ n 不进位时 , 式②等号成立.
设 P( ) = 似 +b ( a 、 b 为整数 , 0 ≠O ) . 而对于足够大 的 n , P( n ) 为正整数 , 则a
5 . 已知正整数 a 不为完全平方数. 设
A : f = 孚 I ∈ Fra bibliotek , > l , L 一y I J
意地选 择素因数 g , g 3 , …, g . 于是 , g 的个数
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第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一 第一天 2016 年 3 月 15 日上午 8:00-12:30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一 第二天 2016 年 3 月 16 日上午 8:00-12:30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三 第一天 2016 年 3 月 25 日上午 8:00-12:30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三 第二天 2016 年 3 月 26 日上午 8:00-12:30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试二 第一天 2016 年 3 月 20 日上午 8:00-12:30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试二 第二天 2016 年 3 月 21 日上午 8:00-12:30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
������������(������������ + ������) ≡ ������������(������������ + ������′) + ������(mod������)
证明: △������ ������������, △������ ������������, △������ ������ ������ 的外接圆交于除 ������ 外的另一点 ������ .
M
A
N F
E P
B D
C L
2. 求最小的正数 ������, 使得对平面上任意 12 个点 ������1, ������2, ⋯ , ������12(允许重合), 若它们中任意两点之 间的距离不超过 1, 则有 ∑ |������������������������|2 ≤ ������.
我们的教育宗旨: 教会学生怎么学习怎么思考!
6
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4. 设正整数 ������ = 2������ ⋅ ������, 其中 ������ 为非负整数, ������ 为奇数, 定义 ������ (������) = ������1−������.
������
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4. 设整数 ������, ������ ≥ 2, 数列 {������������} 满足 ������1 = ������, ������������+1 = ������������������ + ������(������ = 1, 2, ⋯). 证明: 对于每个整数 ������ ≥ 2, 存在 ������������ 的素因子 ������, 使得对 ������ = 1, ⋯ , ������ − 1, 有 ������ ∤ ������������.
证明: 若 ������, ������, ������ , ������ 四点共圆, 则 ������, ������ 关于 ������������ 对称.
A
I
X B
J D
Y
C
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8:00-12 30
4. 设 ������, ������, ������′, ������, ������, ������ 均为正整数, 其中 ������ > 1, ������ > 1, |������ − ������′| ≥ ������. 已知存在一个正整数 ������, 使得
5. 如图所示, 四边形 ������������������������ 内接于圆 ������, ∠������, ∠������ 的内角平分线相交于点 ������, ∠������, ∠������ 的内角平分
线相交于点 ������ , 直线 ������������ 不经过点 ������, 且与边 ������������, ������������ 的延长线分别交于点 ������ , ������, 与边 ������������, ������������
3
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1. 如图, 在圆内接六边形 ������������������������������������ 中, ������������ = ������������ = ������������ = ������������. 若线段 ������������ 内一点 ������ 满足
1
1
⎛
⎞2 ⎛
⎞ ������
������
(������)
=
⎜⎜⎝���∑ ���������⩽������
������������������2������ ⎟⎟ ⎠
+
⎜⎜⎝���∑ ���������>������
������������������������������
⎟ ⎟
⎠
.
证明:
若正数
Z
Y D
S
C
P
T
A
B
X
我们的教育宗旨: 教会学生怎么学习怎么思考!
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2016 3 25
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1. 设 ������ 为大于 1 的整数. ������ 为实数, 0 < ������ < 2, ������1, ⋯ , ������������, ������1, ⋯ , ������������ 均为正数. 对 ������ > 0. 设
∠������������������ = ∠������������ ������, ∠������������������ = ∠������������ ������. 证明: ������������ = ������������ .
B C
A
D K
F
E
2. 求最小的正实数 ������, 使得对任意三个复数 ������1, ������2, ������3 ∈ {������ ∈ ������||������| < 1}, 若 ������1 + ������2 + ������3 = 0, 则 |������1������2 + ������2������3 + ������3������1|2 + |������1������2������3|2 < ������.
我们的教育宗旨: 教会学生怎么学习怎么思考!5 572016 3 20
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1. 如图所示, ������ 为锐角 △������������������ 内一点, ������, ������, ������ 分别是 ������ 关于 ������������, ������������, ������������ 的对称点, ������������ , ������������ , ������������ 的延长线与 △������������������ 的外接圆分别交于点 ������, ������, ������.
3. 给定整数 ������ ≥ 2, 设集合 ������ = {(������1, ������2, ⋯ , ������������)|������������ ∈ {0, 1, ⋯ , ������}, ������ = 1, 2, ⋯ , ������}.
对任意元素 ������ = {������1, ������2, ⋯ , ������������} ∈ ������, ������ = (������1, ������2, ⋯ , ������������) ∈ ������, 定义 ������ ∨ ������ = (max{������1, ������1}, max{������2, ������2}, ⋯ , max{������������, ������������}),
分别交于点 ������, ������. 线段 ������ ������, ������������ 的中点分别为 ������, ������. 证明:������������⊥������������.
D A
R
SI
O
MN
JQ
B
C
P
6. 设 ������, ������ 为整数, ������ ≥ ������ ≥ 2, ������ 是一个 ������ 元整数集合. 证明: ������ 至少有 2������−������+1 个子集, 每个子 集的元素和均被 ������ 整除. (这里空集的元素和约定为 0.)
1≤������<������≤12
3. 设 ������ 是一个由有限个素数组成的集合, ������ 是一个无限正整数集合, 其中每个元素均有不在 ������ 中的素因子. 证明: 存在 ������ 的无限子集 ������, 使得 ������ 的任意一个有限子集的元素和均有不在 ������ 中 的素因子.
3. 如图, 圆内接四边形 ������������������������ 中, ������������ > ������������, ������������ > ������������, ������, ������ 分别是 △������������������, △������������������ 的内心, 以 ������������ 为直径的圆与线段 ������������ 交于点 ������, 与 ������ ������ 的延长线交于点 ������ .