信号与系统L10_CH4

将A=1，T=1/4，τ = 1/20，ω0= 2π/T = 8π 代入上式 ， ， ， π π
C n = 0.2 Sa (nω 0 / 40) = 0.2 Sa (nπ / 5)
T
Sa (
2
)
例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2π /τ)内 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽( π
谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率 的百分比。其中A=1，T=1/4，τ=1/20。 的百分比。其中 ， ， 。
F [ m ] = F [ m]
F[m]为偶对称实序列
F[m]为奇对称虚序列 (实部为零) 实部为零)
= 4 + 6 cos(ω 0 t ) + 2 cos(2ω 0 t ) + 4 cos(3ω 0 t )
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(1) 离散频谱特性 周期信号的频谱是由间隔为ω0 的谱线组成的。 周期信号的频谱是由间隔为 的谱线组成的。 信号周期T越大， 就越小，则谱线越密。 信号周期 越大，ω0就越小，则谱线越密。 越大 反之， 越小 越小， 越大，谱线则越疏。 反之，T越小，ω0越大，谱线则越疏。
1 2 1 2 P = 4 + × 6 + × 4 = 42 2 2
2
吉伯斯（Gibbs） 吉伯斯（Gibbs）现象
用有限次谐波分量来近似原信号， 用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点 出现过冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少， 出现过冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少， 为跳变值的9% 且 为跳变值的9% 。
式中 WN = e
j
2π N
一、DFS的定义 DFS的定义
DFS的物理含义 DFS的物理含义
周期为N的任意序列可分解为基本序列 周期为 的任意序列可分解为基本序列 e
N1
j 2π mk N
的和
1 f [k] = IDFS(F[m]) = ∑ F[m]e N m=0
j
2π mk N
f [k]← →F[m]
f (t )
周期信号的功率谱 周期信号的功率谱
Cn
2
A
1 2 nπ = Sa ( ) 25 5
Cn
1 25
8π
2
T
τ
2
τ
2
T
t
C n = 0.2 Sa (nπ / 5)
40 π
40 π
nω 0
例4
f (t ) = 2e j2ω0t + 3e jω0t + 4 + 3e jω0t + 2e j2ω0t
吉伯斯现象产生原因
时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性， 时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得 间断点傅里叶级数出现非一致收敛。 傅里叶级数出现非一致收敛 在间断点傅里叶级数出现非一致收敛。
吉伯斯（Gibbs）现象 吉伯斯（Gibbs）
1.2 1.2 1 1
0.8
0.8
N=5
0.6
0.6
0.4
0.4
f (t )
A
T
τ
2
τ
2
T
t
解： 信号的平均功率为 信号的平均功率 平均功率为
4
1 T /2 2 P = ∫T / 2 f (t )dt = 0.2 T 包含在有效带宽 有效带宽(0 包含在有效带宽 ~ 2π /τ )内的各谐波平均功率为 π 内的各谐波平均功率为
P1 = ∑ | C n | =
2 n = —4 2 C0
n=∞ n = ∞ ∞
不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数 不同， 傅里叶级数的系数C 不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。 Cn是频率的函数，它反映了组成信 是频率的函数， 号各次谐波的幅度和相位随频率变化的 规律， 频谱函数。 规律，称频谱函数。
0
0.5
1
1.5
2
分析问题使用的数学工具为傅里叶级数 分析问题使用的数学工具为傅里叶级数 最重要概念： 最重要概念：频谱函数 要点
1. 频谱的定义、物理意义 频谱的定义、 2. 频谱的特点 3. 频谱的性质，应用性质分析复杂信号的频谱 频谱的性质， 4. 功率谱的概念及在工程中的应用
离散Fourier级数 DFS） 离散Fourier级数（DFS） 级数（
连续周期信号的频域分析
周期信号的傅里叶级数展开 傅里叶级数的基本性质 周期信号的频谱及其特点 离散傅里叶级数
三、周期信号的频谱及其特点
1. 频谱的概念
周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号 周期信号 可以分解为不同频率虚指数信号之和 可以分解为不同频率虚指数信号之和
f ( t ) = ∑ C n e jn ω 0 t
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(2) 幅度衰减特性
当周期信号的幅度频谱随着谐波 当周期信号的幅度频谱随着谐波nω0增大时，幅度频谱 随着谐波n 增大时 |Cn|不断衰减，并最终趋于零。 不断衰减，并最终趋于零。 若信号时域波形变化越平缓 高次谐波成分就越少， 时域波形变化越平缓， 若信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少， 幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变化跳变越多 时域波形变化跳变越多， 幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变化跳变越多， 高次谐波成分就越多，幅度频谱衰减越慢。 高次谐波成分就越多，幅度频谱衰减越慢。 f(t)不连续时，Cn按1/n的速度衰减 不连续时， 1/n f'(t)不连续时，Cn按1/n2的速度衰减 不连续时， 1/n
的功率。 求f (t)的功率。 的功率
∞ 1 T /2 2 解 ： 1) P = ∫T / 2 f (t ) dt = n∑ Cn T =∞ 2
C0 = 4
C ±1 = 3
C ±2 = 2
P = 2 2 + 32 + 4 2 + 32 + 2 2 = 42
2)
f (t ) = 4 + 6 cos ω 0 t + 4 cos 2ω 0 t
例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2π /τ)内 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽( π
谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率 的百分比。其中A=1，T=1/4，τ=1/20。 的百分比。其中 ， ， 。
f (t )
A
T
τ
2
τ
2
T
t
解： 周期矩形脉冲的傅里叶系数为 nω 0τ Aτ
Cn =
DFS的定义 DFS的定义 常用离散周期序列的频谱分析
周期单位脉冲序列δ N[k] 正弦型序列 周期矩形波序列
DFS的性质 DFS的性质
一、DFS的定义 DFS的定义
DFS IDFS
F [ m ] = DFS ( f [ k ]) = ∑ f
k =0 N 1 mk [ k ]W N
1 N 1 mk f [ k ] = IDFS( F [ m]) = ∑ F [m]W N N m =0
1 k 1 1 = 6W12 + 6W12 k f [k ] = e [k + e 12 2 2 6 m = ±1 6 m =1,11 F [ m] = F[m] = 0 5 ≤ m ≤ 6, m ≠ ±1 0 2 ≤ m ≤10, m = 0
6 F[m]
(
N=12
)
11
1 0 1
11
23
m
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(3) 信号的有效带宽 信号的有效带宽有多种定义方式。 物理意义：在信号的有效带宽内， 物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信 号绝大部分谐波分量。 号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以 外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。 外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。
N=15
0.2
0.2
0
0
-0.2 -2
1.2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-0.2 -2
1.2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
1
1
0.8
0.8
N=50
0.6
0.6
N=500
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
-0.2 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-0.2 -2
-1.5
-1
-0.5
三、周期信号的频谱及其特点
2. 频谱的表示
直接画出信号各次谐波对应的C 直接画出信号各次谐波对应的 n线状分布图 频谱图。 这种图形称为信号的频谱图 形，这种图形称为信号的频谱图。
Cn = Cn e
jφ n
幅度频谱
相位频谱
例1 周期矩形脉冲信号的频谱图 周期矩形脉冲信号的频谱图
f (t )
A
-T
说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配” 说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配” 。
四、周期信号的功率谱
帕什瓦尔(Parseval) 帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理
1 P= ∫ T
T 2 T 2
f (t ) dt =
2
n=∞ n =∞
∑
∞
Cn
2
物理意义： 物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所 包含的直流、基波以及各次谐波的级数平方之和。 包含的直流、基波以及各次谐波的级数平方之和。 周期信号的功率频谱： 周期信号的功率频谱： |Cn|2 随nω0 分布情况称为 周期信号的功率频谱 简称功率谱 功率频谱， 功率谱。 周期信号的功率频谱，简称功率谱。