相似三角形解题思路赏析

相似三角形解题思路赏析（3.29）姓名_______ 评价内容解读：人们在对两个物体或图形的形状和大小进行认识时，全等和相似的感知是伴生的．在数学上全等和相似是特殊与一般、共性与个性的关系，形状相同是二者的共性．全等形是相似比等于1时的相似形；同时我们应学会应用两个三角形相似的判定方法去解决问题。

例题讲解：1、如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是（ ） A 、b a c =+ B 、b ac =C 、222b ac =+ D 、22b a c ==2、已知矩形ABCD 的边长3cm 6cm AB BC ==，．某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm /s 的速度向A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN △的面积等于矩形ABCD 面积的19？ （2）是否存在时刻t ，使以A M N ，，为顶点的三角形与ACD △ 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．3、如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ．（1）求证：ABF COE △∽△；（2）当O 为AC 边中点，2AC AB =时，如图2，求OFOE 的值； （3）当O 为AC 边中点，AC n AB =时，请直接写出OFOE的值．4、已知9023ABC AB BC AD BC P∠===°，，，∥，为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PQ ADPC AB=（如图1所示）．BADECO F 图2B A CE D 图1 F（2）在图1中，联结AP ．当32AD =，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ，APQ PBCS y S =△△，其中APQ S △表示APQ △的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域。

5、已知：将一副三角板(Rt △ABC 和Rt △DEF)如图①摆放，点E 、A 、D 、B 在一条直线上，且D 是AB 的中点．将Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE 、AC 相交于点M ，直线DF 、BC 相交于点N ，分别过点M 、N 作直线AB 的垂线，垂足为G 、H ．（1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG=DH ； （2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；（3）当0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由．相似三角形解题思路赏析2（4.06）班级 姓名_______学号______评价学习目标：理解相似三角形的的概念，掌握判断两个三角形相似的常见方法，能利用相似三角形的性质解决有关问题。

在利用相似三角形的性质解题时注意下面几点常见的转化方法与解题的思路：1、比例式的转化，利用不同的相似三角形所得到的比例式相互替代（或比例式中的相等的线段的替换），实现比例式的变更从而产生新的比例式．2、利用比例式来求出线段之间的函数关系，用方程来求解．3、应当根据求解的问题的形式，灵活把所得到比例式进行加减乘除运算，实现问题的转化．4、在图形中注意添加辅助线的方法构造相似三角形或相似三角形的对应量． ADPCBQ 图1DAPCB（Q ） 图2F 45° 60°A E DBC 图①A G D H M E F CB (N )图②A G D H M E F CB N 图③E F M N D A B G H 图④ C例题讲解：1、将一张边长分别为a ，b )(b a >的矩形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕的长为( )（A（B（C （D2、如图，梯形ABCD 的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为2p 、2q ，则梯形的面积为（ ）．A ．)(222q p +B ．2)(q p +C ．pq q p ++22D ．222222q p q p q p +++3、已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ，延长AB 到E ，使BE ＝CD ，连结CE ，求证：（1）CE ＝CA ；（2）上述条件下，若AF ⊥CE 于点F ，且AF 平分∠DAE ，CD ︰AE ＝3︰8，求CACF的值；4、如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(80)-，，直线BC 经过点(86)B -，，(06)C ，，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA B C '''，此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC相交于点P 、Q ．（1）四边形OABC 的形状是 ， 当90α=°时，BPBQ的值是 ； （2）①如图2，当四边形OA B C '''的顶点B '落在y 轴正半轴时，求BPBQ的值； ②如图3，当四边形OA B C '''的顶点B '落在直线BC 上时，求OPB '△的面积．BC E第1题Dq2P 2CAB第2题 （图1） ） （图3） （图2） CEBDAF第3题5、如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，50AB =，30AC =，D E F ，，分别是AC AB BC ，，的中点．点P 从点D 出发沿折线DE EF FC CD ---以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线BC CA -于点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒（0t >）． （1）D F ，两点间的距离是 ；（2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能， 求出t 的值．若不能，说明理由；（3）当点P 运动到折线EF FC -上，且点P 又恰好落在射线QK（4）连结PG ，当PG AB ∥时，请直接．．写出t 的值．相似三角形解题思路赏析3（4.12）班级 姓名_______学号______评价学习目标：理解相似三角形的的概念，掌握判断两个三角形相似的常见方法，能利用相似三角形的性质解决有关问题。

在探索三角形是否相似时，我可以参照学习全等的方法（全等是相似的一种特殊情况）：1、寻找：缺什么找什么，例如已经知道有两边对应成比例，证明其夹角相等，则必定是证第三边也成比例；已知一组角相等，要证明夹这个角的两边成比例，则必定是再找一组角相等；等等．2、构造：对于在题目中不能直截找到相似三角形的问题，我们还可以通过作辅助线的方法构造相似三角形，实现线段或角的转化将问题解决．当然这种情况要有一定的想象力与比较扎实的基础．3、学会灵活转化：角的替换、比例式的替换、相等线段的替换，可以让我们更快捷地寻找证明相似的条件．相似三角形的基本性质有：1、相似三角形的对应角相等，2、相似三角形的对应边成比例，3、相似三角形的对应线段（对应边上的中线、对应边上的高、对应角的角平分线以及周长）的比等于相似比，4、相似三角形的面积比等于相似比的平方．其实在第二、三条性中的对应角与对应线段还可以推广对应量相等或成比例，例如：两个相似三角形的对应边上的高与中线的夹角是相等的，对应边上的高分对边所成的对应线段成比例等等．说开了也就是相似三角形对应线段分原三角所成的对应小三角形相似．例1、小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：（1）如图1，正方形ABCD 中，作AE 交BC 于E ，DF AE ⊥交AB 于F ，求证：AE DF =；（2）如图2，正方形ABCD 中，点E F ，分别在AD BC ，上，点G H ，分别在AB CD ，上，且EF GH ⊥，求EFGH的值； 图5（3）如图3，矩形ABCD 中，AB a =，BC b =，点E F ，分别在AD BC ，上，且EF GH ⊥，求EFGH的值．例2、如图，△ABC 和△A 1B 1C 1均为正三角形，BC 和B 1C 1的中点均为D ．求证：AA 1⊥CC 1．例3、如图，在△ABC 中，AB=4，D 在AB 边上移动（不与A 、B 重合），DE ∥BC 交AC 于E 点，连接CD ，设S △ABC =S ，S △DEC =S 1．(1) 当D 为AB 中点时,求S 1:S 的值；(2) 设AD=x, S 1：S=y ，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(3) 是否存在点D,使得S 1＞1/4S 成立? 若存在,求出D 点的位置；若不存在，说明理由．例4、如图，四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点．P 是对角线AC 延长线上的任意一点，PF交AD 于点M ，PE 交BC 于点N ，FE 交MN 于点K ，求证：K 是线段MN 的中点． 图1图2图3APMNK FDC ABCDE例5、如图，正方形EFGH 内接于△ABC 中，AD ⊥BC ，设BC=a ，AD=h ， 说明：正方形的边长=ha ah ，请利用上述的有关结论，解决下面问题：在一块锐角三角形余料上，加工成正方形零件，使正方形的四个顶点都在三角形的边上，若三角形的三边长为a ，b ，c ，且a ＞b ＞c ，问：正方形的两个顶点放在哪条边上可使加工出来的正方形零件的面积最大？相似三角形解题思路赏析（4.19）班级 姓名_______学号______评价1、如图，1l ∥2l ∥3l ，直线AB 分别与1l ，2l ，3l 交于点A 、B 、C ，直线DE 分别与1l ，2l ，3l 交于点D 、E 、F ，AB=3，BC=4，DE=2，试探索求EF 长的方法.2、善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形.他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个 问题，你能帮助解决吗？问题一 平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？（1）从特殊情形入手探究.假设梯形ABCD 中， AD ∥BC ，AB =6，BC =8，CD =4，AD =2，MN 是中位线（如图①）.根据相似梯形的定义，请你说明梯形AMND 与梯形ABCD 是否相似?（2）一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形______________(填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”.不要求证明) .问题二 平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似? （1）从特殊平行线入手探究.梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形______________ (填“相似”A CB D M N 图① AEFH形底边平行的直线PQ （点P,Q 在梯形的两腰上，如图②）, 使得梯形APQD 与梯形PBCQ 相似吗? 请根据相似梯形的定义说明理由.(3)一般结论：对于任意梯形（如图③），一定 (填“存在”或“不存在”)平行于梯形底边的直线PQ ，使截得的两个小梯形相似.若存在，则确定这条平行线位置的条件是APPB= (不妨设AD= a ，BC= b ，AB=c ，CD= d .不要求证明 ) .3、解决下面问题： （1）、阅读理解：如图1，以原点O 为位似中心按比例尺OA ’：OA =3：1在位似中心的同侧将△OAB 放大为△OA ’B ’，若A （1，2），B （3，1），则A ’、B ’两点的坐标分别为（3，6）和（9，3）； （2）、活动探索：（在下图中分别作出对应的图形，不要求用尺轨作图） 活动一：如图2，以点T （1，1）为位似中心按比例尺TE ’：TE =3：1在位似中心的同侧将△TEF 放大为△TE ’F ’，若E （2，3），F （4，2），则E ’、F ’的坐标分别为_____________、_____________；活动二：如图3，以点W （2，3）为位似中心按比例尺WG ’：WG =4：1在位似中心的同侧将△WGH 放大为△WG ’H ’，若G （3，5），H （5，4），则G ’、H ’的坐标分别为_____________、_____________； （3）、归纳猜想：以第一象限内的点M （a ，b ）为位似中心，按比例尺MP ’：MP =n ：1在位似中心的同侧将图形放大，则点P （x ，y ）的对应点P ’的横坐标为_____________，纵坐标为__________（用a 、b 、 n 、 x 、y 表示）4、在平面内，先将一个多边形以点O 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k ，并且原多边形上的任一点P ，它的对应点P ’在线段OP 或其延长线上；接着将所得多边形以点O 为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O （k ，θ），其中点O 叫做旋转相似中心，k 叫做相似比，θ叫做旋转角．（1）填空：①如图1，将△ABC 以点A 为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转600，得到△ADE ，这个旋转相似变换记为A （ ， ）；②如图2，△ABC 是边长为1cm 的等边三角形，将它作旋转相似变换A （3，900），得到△ADE ，则线段BD 的长为 cm ；（2）如图3，分别以锐角△ABC 的三边AB 、BC 、CA 为边向外作正方形ADEB ，BFGC ，CHIA ，点O 1、O 2、O 3分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用△AO 1O 3与△A BI ，△CIB 与△CAO 2之间的关系，运用旋转图③a b A D CBdc P Q相似三角形与图形的证明（4.26）班级 姓名_______学号______评价1、如图①，ABC △为等边三角形，面积为S ．111D E F ，，分别是ABC △三边上的点，且11112AD BE CF AB ===，连结111111D E E F F D ，，，可得111D E F △． （1）用S 表示11AD F △的面积1S = ，111D E F △的面积'1S = ； （2）当222D E F ，，分别是等边ABC △三边上的点，且22213AD BE CF AB ===时，如图②，求22AD F △的面积2S 和222D E F △的面积2S '；（3）按照上述思路探索下去，当n n n D E F ，，分别是等边ABC △三边上的点，且11n n n AD BE CF AB n ===+时（n 为正整数）， n n AD F △的面积n S = ，n n n D E F △的面积n S '= ．2、如图，已知A （8，0），B （0，6），两个动点P 、Q 同时在△OAB 的边上按逆时针方向（→O→A→B→O→）运动，开始时点P 在点B 位置，点Q 在点O 位置，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位．（1）在前3秒内，求△OPQ 的面积与t 的函数关系式；（2）在前10秒内，求P 、Q 两点之间的最小距离，并求此时点P 、Q 的坐标； （3）在前15秒内，探究PQ 平行于△OAB 一边的情况，并求平行时点P 、Q 的坐标． 图②图①D 2E 2F 2F 1E 1D 1ABCCBA3、如图，四边形ABCD 为一梯形纸片，AB ∥CD ，AD ＝BC ．翻折纸片ABCD ，使点A 与点C 重合，折痕为EF ．已知CE ⊥AB ，（1）求证：EF ∥BD ；（2）若AB ＝7，CD ＝3，求线段EF 的长；4、请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值． 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<<，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含α的式子表示）． D ABE FC P G 图1 DC G P AB F图2 BEDF C。