相似三角形解题思路赏析

相似三角形解题思路赏析（3.29）

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内容解读：人们在对两个物体或图形的形状和大小进行认识时，全等和相似的感知是伴生的．在数学上全等和相似是特殊与一般、共性与个性的关系，形状相同是二者的共性．全等形是相似比等于1时的相似形；同时我们应学会应用两个三角形相似的判定方法去解决问题。 例题讲解：

1、如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是（ ） A 、b a c =+ B 、b ac =

C 、2

2

2

b a

c =+ D 、22b a c ==

2、已知矩形ABCD 的边长3cm 6cm AB BC ==，．某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm /s 的速度向A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN △的面积等于矩形ABCD 面积的

1

9

？ （2）是否存在时刻t ，使以A M N ，，为顶点的三角形与ACD △ 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．

3、如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ．

（1）求证：ABF COE △∽△；

（2）当O 为AC 边中点，2AC AB =时，如图2，求

OF

OE 的值； （3）当O 为AC 边中点，AC n AB =时，请直接写出

OF

OE

的值．

4、已知9023ABC AB BC AD BC P

∠===°，，，∥，为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PQ AD

PC AB

=

（如图1所示）．

B

A

D

E

C

O F 图2

B A C

E D 图1 F

（2）在图1中，联结AP ．当3

2AD =

，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ，APQ PBC

S y S =△△，其中APQ S △表示APQ △的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域。

5、已知：将一副三角板(Rt △ABC 和Rt △DEF)如图①摆放，

点E 、A 、D 、B 在一条直线上，且D 是AB 的中点．将Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE 、AC 相交于点M ，直线DF 、BC 相交于点N ，分别过点M 、N 作直线AB 的垂线，垂足为G 、H ．（1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG=DH ； （2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；

（3）当0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由．

相似三角形解题思路赏析2（4.06）

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学习目标：理解相似三角形的的概念，掌握判断两个三角形相似的常见方法，能利用相似三角形的性质解决有关问题。

在利用相似三角形的性质解题时注意下面几点常见的转化方法与解题的思路：1、比例式的转化，利用不同的相似三角形所得到的比例式相互替代（或比例式中的相等的线段的替换），实现比例式的变更从而产生新的比例式．2、利用比例式来求出线段之间的函数关系，用方程来求解．3、应当根据求解的问题的形式，灵活把所得到比例式进行加减乘除运算，实现问题的转化．4、在图形中注意添加辅助线的方法构造相似三角形或相似三角形的对应量． A

D

P

C

B

Q 图1

D

A

P

C

B

（Q ） 图2

F 45° 60°

A E D

B

C 图①

A G D H M E F C

B (N )

图②

A G D H M E F C

B N 图③

E F M N D A B G H 图④ C

例题讲解：

1、将一张边长分别为a ，b )(b a >的矩形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕的长为( )

（A

（B

（C （D

2、如图，梯形ABCD 的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为2

p 、2

q ，则梯形的面积为（ ）．

A ．

)(22

2

q p +

B ．2

)(q p +

C ．pq q p ++2

2

D ．2

22

22

2

q p q p q p +++

3、已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ，延长AB 到E ，使BE ＝CD ，连结CE ，求证：（1）CE ＝CA ；（2）上述条件下，若AF ⊥CE 于点F ，且AF 平分∠DAE ，CD ︰AE ＝3︰8，求CA

CF

的值；

4、如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(80)-，

，直线BC 经过点(86)B -，，(06)C ，，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA B C '''，此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC

相交于点P 、Q ．

（1）四边形OABC 的形状是 ， 当90α=°时，

BP

BQ

的值是 ； （2）①如图2，当四边形OA B C '''的顶点B '落在y 轴正半轴时，求

BP

BQ

的值； ②如图3，当四边形OA B C '''的顶点B '落在直线BC 上时，求OPB '△的面积．

B

C E

第1题

D

q

2

P 2

C

A

B

第2题 （图1） ） （图3） （图2） C

E

B

D

A

F

第3题