第五届中国东南地区高中数学奥林匹克竞赛试题(缺答案)

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中国数学奥林匹克第五届试题

第五届中国数学奥林匹克(1990年)1.如下图，在凸四边形ABCD中，AB与CD不平行，圆O1过A、B且与边CD相切于P，圆O2过C，D且与边AB相切于Q，圆O1与O2相交于E、F。

求证：EF平分线段PQ的充要条件是BC//AD。

2.设x是一个自然数，若一串自然数x0=1,x2, ... , x n=x满足x i-1<i=1,2, ...,l，则称{ x0 , x1 , ... , x n}为x的一条因子链。

l称为该因子链的长度。

L(x)与R(x)分别表示x的最长因子链的长度和最长因子链的条数。

对于x=5k×31m×1990n，k、m、n都是自然数，试求L(x)与R(x)。

3.设函数f(x)对x>0有定义，且满足条件：i.对任何x、y≧0，f(x)f(y)≦x2 f(x/2) +y2 f(y/x)；ii.存在常数M>0，当0≦x≦1时，| f(x) | ≦M。

求证：f(x)≦x2。

4.设a是给定的正整数，A和B是两个实数，试确定方程组：x2 +y2 +z2 =(13a)2，x2(Ax2+By2)+y2(Ay2+Bz2)+z2(Az2+Bx2)=(2A+B)(13a)4/3 有整数解的充份必要条件(用A、B的关系式表示，并予以证明)。

5.设X是一个有限集合，法则f使的X的每一个偶子集E(偶数个元素组成的子集)都对应一个实数f(E)，满足条件：a.存在一个偶子集D，使得f(D)>1990；b.对于X的任意两个示相交的偶子集A、B，有f(A∪B)=f(A)+f(B)-1990。

求证：存在X的子集P、Q，满足iii.P∩Q是空集，P∪Q=X；iv.对P的任何非空偶子集S，有f(S)>1990v.对Q的任何偶子集T，有f(T)≦1990。

6.凸n边形及n-3条在n边形内不相交的对角线组成的图形称为一个剖分图。

求证：当且仅当3|n时，存在一个剖分图是可以一笔划的圈(即可以从一个顶点出发，经过图中各线段恰一次，最后回到出发点)。

第五届中国东南地区数学奥林匹克竞赛试题(缺答案)

第五届中国东南地区数学奥林匹克
福建龙岩
1．已知集合是正整数，T是S的子集，满足：对任意的（其中可以相同）都有，求所有这种集合T的元素个数的最大值。

2．设数列的表达式。

3．在△ABC中，BC>AB，BD平分∠ABC交AC于D，如图，CP垂直BD，垂足为P，AQ垂直BP，Q为垂足。

M是AC中点，E是BC中点。

若△PQM的
外接圆O与AC的另一个交点为H。

求证：O、H、E、M四点共圆。

4．设正整数，取每一对不同的数、个差按从小到大顺序排成一个数列，称为集合A的“衍生数列”，记为。

衍生数列中能被m整除的数的个数
记为(m).
证明：对于任一正整数所对应的“衍生数列” 及
5．求出最大的正实数成立不等式；
6．如下左图，△ABC的内切圆I分别切BC，AC于点M，N，点E，F分别为边AB，AC的中点，D是直线EF与BI的交点。

证明：M，N，D三点共
线。

7．杰克（Jack）船长与他的海盗们掠夺到6个珍宝箱A1，A2，A3，A4，A5，A6，其中A i内有金币a i枚，互不相等。

海盗们设计了一种箱子的布局图（如上右图），并推派一人和船长轮流拿珍宝箱。

每次可任意拿走不和两个或两个以上的箱子相连的整个箱子。

如果船长最后所取得的金币不少于海盗们所取得的金币，那么船长获胜。

问：若船长先拿，他是否有适当的取法保证获胜？
8．设n为正整数，个数；
（i）每一位数码；
（ii）当
（1）求的值；
（2）确定被13除得的余数。

2019年中国东南地区数学奥林匹克竞赛_PDF压缩

a
单独考虑左边, 左边可以看成是一个 a 的函数, b 为参数, 那么关于 a 取最
小值的时候有
Å
ã
Ç…
å
ab + (1 + b2) + b (b + 1) ≥ 2 ab · b + (1 + b2) (b + 1) = (b + 1)3
a
a
于是我们只需要取 k ≤ (b + 1)3b−2 即可.
设
值得一说的是, 在这个题目中, 对于任何整数 n, 我们可以定义一个新的函数 fn(a) = f (an), 那么 fn(ab) = f (abn) 要整除 max{ f (an), b} = max{ fn(a), b}. 也就是说 fn 也是一个满足相同性质的函数, 那么实际上, 我们可以证明对任意一个 k 满足 f (k) = 1, 那么 {mk}∞m=1 中有无限多个 m 满足 f (mk) = 1. 更复杂的话, 有兴趣的同学可以自行尝试推导一下这个 f (k) = 1 的解的密度.
评析 3. 欧几里德证明素数无限的方法是数论里面很典范的一种证明方式, 在证明某一类数字有无限多个的时候, 通过反证假设这一类数字只有有限个, 不妨设为 k1 < k2 < . . . < kn, 套路上我们可以考虑 kn, kn + 1, k1k2 . . . kn, k1k2 . . . kn + 1, [k1, k2, . . . , kn] 等数字来找到矛盾, 本题也是如此.
22 2 2
22
Å
b b ã1/3
Å ab ab
ã1/3
Å bb
ã1/3
≥3 a· ·

2023东南数学奥林匹克试题

2023东南数学奥林匹克试题
2023东南数学奥林匹克试题主要包括以下几个部分：
1. 整式与恒等式：涉及多项式的计算和恒等式的问题。

例如，求多项式的值，或者根据多项式的性质求解未知数。

2. 代数与不等式：考察代数方程的解法，以及不等式的性质和证明。

3. 几何：考察平面几何和立体几何的知识点，例如勾股定理、相似三角形、圆的性质等。

4. 组合数学：考察组合数学中的计数、排列、组合等知识点，例如排列组合的公式和性质，以及一些常见的组合数学问题。

5. 概率与统计：考察概率和统计的基本概念和计算方法，例如概率的基本性质、期望和方差等。

具体题目可能包括：
1. 已知函数 f(x) = x^2 - 2x + 3，求 f(3) 的值。

2. 已知二次方程 x^2 - 2x - 3 = 0，求该方程的解。

3. 已知三角形 ABC 的三边长分别为 a、b、c，且 a + b = 7，ab = 10，求三角形 ABC 的面积。

4. 已知有 5 个不同的红球和 3 个不同的白球，从中任取 3 个球，求取出红球个数 x 的分布律。

5. 已知随机变量 X 的分布列为 P(X=1) = ，P(X=2) = ，P(X=3) = ，求 X 的期望和方差。

以上是2023东南数学奥林匹克试题的部分内容，如果您需要完整的试题及答案解析，建议前往相关网站查询。

第五届高一试题(初赛)-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题(高中版)

第五届高一试题（初赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题一、单选题1．满足{},,,M a b c d ⊆且{}{},,,M a b c a b ⋂=的集合M 的个数是（）个．A ．1B ．2C ．3D ．42．已知()f x 是R 上的奇函数，()g x 是R 上的偶函数.若()()223f x g x x x -=++,则()()f x g x +=.A ．223x x -+-B ．223x x +-C ．223x x --+D ．223x x -+ 3．已知3(N )211n a n n *=∈-，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使0n S >的n 的最小值为 A ．13 B ．12 C ．11 D ．104．设,αβ是锐角三角形的两个互不相等的内角，若()sin cos cos x y αβαβ=+=+，，sin sin z αβ=+，则（）．A ．x y z <<B ．x y z >>C ．x z y <<D ．y x z <<5．已知集合(){}2lg 32M x y x x ==-+-，()(){}2244m aN m x x x x =-+<-+，若M 是N 的真子集，则a 的取值范围是（）．A ．()2,+∞B ．(),2-∞C ．[)2,+∞D ．(],2-∞6．已知()()()lg 2,21,2x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=恰有3个不同的实数解123,,x x x ，则()123f x x x ++等于（）．A ．0B ．lg2C ．lg4D ．1二、填空题7．设[]x 为不大于x 的最大整数，集合[]{}2|10A x x x =--=，1|242x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂等于． 8．数列{}n a 中113125n n a a a -==-，，则2009a =． 9．cot 20cos10tan 702cos 40-=o o o o o .10．已知实数,x y 满足()()33(1)200912,(1)200912x x y y -+-=--+-=，则x y +=．11．已知()()01log 1log 1x y x y a x b y <<<=+=+,,，则a b ，的大小关系是．12．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度()km /s y 和燃料的质量()kg x 、火箭（除燃料外）的质量()kg m 的函数关系是())4ln ln 2ln2y m x ⎡⎤=+-+⎣⎦，要使火箭的最大速度可达12km /s ，则燃料质量与火箭质量的比值是．三、解答题13．若函数()()2sin cos sin cos f x a x x x x a b =+++的定义域为π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为[]5,1-，求,a b ． 14．已知函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=⋅且1(1)2f =. （1）当*n N ∈时，求()f n 的表达式；（2）设*()n a n f n n N =⋅∈，，求证：1232n a a a a +++⋯+<； 15．设函数()f x 为R 上的增函数，令()()()2F x f x f x =--．(1)判断并证明()F x 在R 上的单调性；(2)若()()120F x F x +>，判断12x x +与2的大小关系并证明；(3)若数列{}n a 的通项公式为1011.5n n a n -=-，试问是否存在正整数n ，使()n F a 取得最值？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．16．已知等差数列{}n a 满足()*1212n a a n n -+=∈N ，设n S 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，记()()*2n n f n S S n =-∈N ． (1)求n a ；(2)比较()1f n +与()()*f n n ∈N 的大小；(3)如果函数()()[]()2log 12,g x x f n x a b =-∈对一切大于1的正整数n ，其函数值都小于零，那么,a b 应满足什么条件？。

2023东南数学奥林匹克试题

2023东南数学奥林匹克试题摘要：一、前言二、2023 东南数学奥林匹克试题概述1.试题类型及分值2.试题难度及特点三、试题解答1.选择题2.填空题3.解答题四、试题解析1.试题涉及知识点2.解题思路及方法五、总结正文：一、前言2023 年东南数学奥林匹克吸引了众多数学爱好者的关注。

本次竞赛的试题具有较高的难度和挑战性，考验了选手们的数学素养和应变能力。

本文将详细介绍2023 年东南数学奥林匹克的试题内容，并给出试题解析，帮助大家更好地理解和掌握相关知识点。

二、2023 东南数学奥林匹克试题概述1.试题类型及分值2023 年东南数学奥林匹克试题共分为选择题、填空题和解答题三种类型，总分为120 分。

选择题共10 题，每题10 分；填空题共5 题，每题20 分；解答题共3 题，每题40 分。

2.试题难度及特点本届东南数学奥林匹克试题难度较高，知识点覆盖面广，考察了选手们在代数、几何、组合、数论等方面的基本功。

试题具有一定的创新性和灵活性，要求选手具备较强的逻辑思维能力和解决问题的技巧。

三、试题解答1.选择题（1）题目一...（2）题目二...（3）题目三...（4）题目四...（5）题目五...2.填空题（1）题目一...（2）题目二...（3）题目三...（4）题目四...（5）题目五...3.解答题（1）题目一...（2）题目二...（3）题目三...四、试题解析1.试题涉及知识点本届东南数学奥林匹克试题涉及的知识点主要包括：代数、几何、组合、数论等。

要求选手具备扎实的数学基本功和良好的知识体系。

2.解题思路及方法针对不同类型的试题，选手们需要灵活运用各种解题方法，如代数法、几何法、归纳法、组合计数等。

在解题过程中，要注意分析题目条件，挖掘题目中的隐含信息，善于将复杂问题分解为简单问题，逐步求解。

五、总结2023 年东南数学奥林匹克试题充分体现了数学竞赛的特点，既考察了选手们的基本知识，又考验了他们的应变能力和解决问题的技巧。

36第五届陈省身杯全国高中数学奥林匹克

件为尸＝ＡＱ．
＝ＢＡＣ一２（９０。一ＡＣＢ）
２０１４年第９期
＝Ａ凹一ＡＢＣ．
＋
—
３７
１
＋＋
；２ｋ＋ｌ
则ＡＨＯ＋ＯＡＨ＝９０。．从而，ＡＯＨ＝９０。．
ＡＢ＞ＡＣ，０、Ｈ分别为 △ＡＢＣ的外心、垂心，直线ＢＨ与ＡＣ交于点Ｂ，直线ＣＨ与Ａ交于点
Ｃ
ｃ若ＯＨ／／ＢＣ。，证明：
ＣＯＳ２Ｂ＋ＣＯＳ２Ｃ＋ｌ
＝
图１
Ｑ
当且仅当
０或＋Ｘｋ一
ｌ
Ｘｋ＋ｘｋ＋
＝０。且
七十
Ａ＝０时，等号成立，即，＝＝… ＝．
３．先证明一个引理．
２．令｛＝ — ￣１ — ；２２＋；２ — ２ — Ｘ３＋… ＋
３４
ｎ一１ｎｎ１
切线ｃ．若Ｄ、Ｅ为ｆ上的两个点，且ＡＤ＝ＡＥ，过Ｄ、
Ｅ分别作ｏ０的割线ＤＣＢ、ＥＧＦ，直线ＦＢ、ＧＣ与２
１）．
类似定义Ａ（ｉ＝１，２， …，凡；＝１，２， …，ｎ一１）记ＡＡＡ（＋１）＝，其中，ｉ＝１，２， …，ｎ；
＝一＝
—
—
＋一十
—
—
＋ … 十
＋十
Ｘ２
３
４

东南数学竞赛试题及答案

东南数学竞赛试题及答案1. 代数问题：求解方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的根，其中 $ a = 2 $，$ b = 5 $，$ c = 3 $。

2. 几何问题：在一个圆中，弦AB的长度为10，弦AB上的圆心角为30°。

求圆的半径。

3. 数列问题：给定数列 $ a_n = 2n - 1 $，求前10项的和。

4. 概率问题：一个袋子里有5个红球和3个蓝球。

随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。

5. 组合问题：从10个人中选出5个人组成一个委员会，其中必须包括至少1名女性和至少1名男性。

如果这10个人中有4名女性和6名男性，求所有可能的委员会组合数。

6. 函数问题：给定函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x $，求 $ f(x) $ 的导数 $ f'(x) $ 并找出其极值点。

7. 极限问题：求极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} $。

8. 积分问题：计算定积分 $ \int_0^1 (2x + 1)^2 dx $。

答案1. 代数问题：使用求根公式，$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $，得到 $ x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4 \times 2 \times 3}}{4}= \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{4} $，解得 $ x_1 = 1 $ 和 $ x_2= -2 $。

2. 几何问题：根据圆心角和弦的关系，半径 $ r = \frac{AB}{2\sin(\frac{\angle AOB}{2})} = \frac{10}{2 \sin(15^\circ)} $。

3. 数列问题：数列前10项的和为 $ S_{10} = 1 + 3 + 5 + \ldots + 19 =100 $。

数学奥林匹克高中训练题(05)及答案.doc

数学奥林匹克高中训练题（05）第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1．(训练题10),αβ为锐角，且cos cos ,,()()()2sin sin x xx R f x παβαββα+>∈=+，则（D ）． (A) ()f x 在定义域内是增函数 (B) ()f x 在[0,)+∞内为增函数，在(,0]-∞内为减函数 (C) ()f x 在定义域内是减函数 (D) ()f x 在(,0]-∞内为增函数，在[0,)+∞内为减函数 2．(训练题10) 设,a d 为非负实数，,b c 为正实数，且b c a d +≥+．则b cc d a b+++的最小值是（C ） (A) 1 (B)12123．(训练题10) 设222522333333363322220,(),(),()a b A a b B a b C a a b >>=+=+=+．则,,A B C 的大小关系是（D ）(A)A B C << (B) B C A << (C) C A B << (D) A C B <<4．(训练题10) 三棱锥A BCD -中，60,1,2,3oBAC CAD DAB AB AC AD ∠=∠=∠====，则三棱锥体积是（A ）(A)2(B) 3(C) 3(D) 其他 5．(训练题10) 八个数字1，1，2，2，3，3，4，4可以组成不同的四位数个数是（A ） (A) 204 (B) 144 (C) 72 (D) 24 6．(训练题10) 方程21112()y x y y+=+的整数解(,)x y 有（B ） (A) 0组 (B) 1组 (C) 有限组(多于1组) (D) 无穷多组二、填空题（本题满分48分，每小题8分）1．(训练题10) 已知123456164a a a a a a ≤≤≤≤≤≤≤．则351246a a a Q a a a =++的最小值是___34___． 2．(训练题10) 将数列2，6，10，14，…按顺序分组，第一组2项（2，6），第二组6项（10，14，…，30），…第k 组有42k -项，则1994属于第 16 组. 3．(训练题10) ABC ∆的面积为S ，45oA ∠=，直线MN 分ABC ∆的面积为相等的两部分，且M 在AB 上，N 在AC 上，则MN4．(训练题10)设02πθ≤≤，使不等式2sin 3cos 640m m θθ+--<恒成立的实数m 取值范围是_12m >-_. 5．(训练题10) 对不同的实数m ，方程2264940y my x m m --++=表示不同的抛物线，一条直线与这所有的抛物线都相交，且截得的弦长均为9．则这条直线的方程是___133y x =-___. 6．(训练题10) 若复数z 满足6532230z iz z i +--=．则z1= ．第二试一、(训练题10)（本题满分20分）设(2n n a =．求证：对一切n N ∈，[]n a 为奇数（[]x 表示不超过x 的最大整数）．二、(训练题10)（本题满分20分）在自然数1，2，3，…，n,…中去掉所有含数字0，7，8，9的那些自然数，得数列{a n }：1，2，3，4，5，6，11，12，…，16，21，22，…．求证：11498n na ∞=<∑．三、(训练题10)（本题满分30分）在ABC ∆中，AB AC =，点M 在AB 上,且MA MC =，点N 在AC 上，且,:2:3CN CB A NBA =∠∠=．求NMC ∠的度数．(30o NMC ∠=)四、(训练题10)（本题满分30分）平面上给定1994个点，其中任何三点不共线，将以这些点为端点的每条线段都标上+1或-1，如果以这些点为顶点的三角形三边所标的数乘积为-1，称三角形为负的．试证明负三角形个数为偶数．。

东南数奥试题1—5届

首届中国东南地区数学奥林匹克第一天（2004年7月10日 8：00 — 12：00 温州）1、设实数a 、b 、c 满足2223232a b c ++=，求证：39271a b c---++≥2、设D 是ABC ∆的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。

如果DE=DF ，求证：DM=DN3、（1）是否存在正整数的无穷数列{}na ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n aa a ++≥。

（2）是否存在正无理数的无穷数列{}na ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。

4、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。

如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。

求棋盘中“优格”个数的最大值。

B首届中国东南地区数学奥林匹克第二天（2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州） 5、已知不等式63)cos()2sin 2364sin cos a a πθθθθ+-+-<++对于0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围。

6、设点D 为等腰ABC ∆的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ∆内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。

求证：CD EF DF AE BD AF ⋅+⋅=⋅7、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。

但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。

如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。

2023东南数学奥林匹克竞赛试题

2023东南数学奥林匹克竞赛试题一、整式与恒等式1.已知多项式 $f(x) = (x - 2)(2x + 1) + (x - 3)(3x + 2)$，求 $f(4)$ 的值。

2.已知多项式 $g(x) = 2x^3 + ax^2 + bx -3$ 在 $x = -1$ 处有一重根，求 $a + b$ 的值。

3.已知 $x$ 为非零实数，若 $2x^2 - 3x - 1 = 0$，求$\frac{3}{x} + x$ 的值。

4.已知恒等式 $\frac{a}{x-1} + \frac{b}{(x-1)^2} =\frac{1}{x-1} + \frac{2}{(x-1)^2}$，求 $a$ 和 $b$ 的值。

二、函数与方程5.已知函数 $y = 2^x$，求 $y - 5 = \frac{1}{2} y$ 的解。

6.设函数 $f(x) = \log_2 (3 - x)$，求方程 $f^2 (x) - 3 f(x) = 2$ 的解。

三、平面解析几何7.已知直线 $l$ 过点 $A(2, -3)$，斜率为 $-2$，求直线$l$ 的方程。

8.设直线 $l_1$ 过点 $A(1, 1)$，斜率为 $2$，直线 $l_2$ 过点 $B(-1, -2)$，斜率为 $-\frac{1}{2}$，求直线 $l_1$ 与直线$l_2$ 的交点坐标。

四、空间几何9.已知四棱柱 $ABCDA_1B_1C_1D_1$，$ABCD$ 是底面，$A_1B_1C_1D_1$ 是顶面，$AB$ 平行于 $CD$，$AA_1$ 垂直于底面，且 $AA_1 = 6$ cm，$AB = 8$ cm，$AC = 10$ cm。

求四棱柱的体积。

10.已知四棱锥 $SABC$，底面是等边三角形，$SA$ 垂直于底面平面，且 $SA = 4$ cm，底面边长为 $6$ cm。

求四棱锥的体积。

五、概率与统计11.小组有 $5$ 男生和 $5$ 女生，从中任选 $3$ 人组成一支代表队，求队员中至少有 $1$ 名女生的概率。

抽屉原理在组合数学中的应用

2中等数学叙嗲活劫镙歿饼;I抽屉原理在组合数学中的应用刘媛媛石泽晖(长春吉大附中实验学校,130021)中图分类号:〇141.2 文献标识码:A文章编号:1005 - 6416(2021)05 - 0002 - 05(本讲适合高中）抽屉原理也被称为鸽巢原理或狄利克莱原理，它是组合数学中一个基本且重要的原理，许多存在性问题的证明和极值问题中不等关系的得出都可以用抽屉原理来解决.1知识介绍抽屉原理具体内容在不同的背景下（代数、几何等）略有不同，常见形式主要有以下几种：抽屉原理（1)若将m个物件放到n个抽屉里，则必有一个抽屉至少有+1n个物件，其中，[a]表示不超过实数a的最大整数；(2)若将m个物件放到n个抽屉里，则必有一个抽屉内至多有[@1个物件.n证明（1)反证法.若每个抽屉内至多有个物件，则放人71个抽屉内的物件总数至多为n—~- ^n(— ~^=m-l，这与抽屉内共有m个物件矛盾.故必有一个抽屉内至少有1+ 1个物件.n(2)的证法同样，此处省略.抽屉原理的实质是对物件最多的抽屉内至少有多少个物件，物件最少的抽屉内至多收稿日期:2021 -01 -11有多少个物件的估计，本质是极端原理.平均值原理（1)设，a2,…，an 6R，h|(a i+a2+...+a n)J l K，a2，…，an 中必有一个数不小于1也必有一个数不大于4;⑵设o^，％，…，an 6R,G= 7ai°2"，an*则h，a2，…，an中必有一个数不小于G,也必有一个数不大于C.事实上，平均值原理中的均值可以替换成任何一种均值，结论依然成立.图形重叠原理在平面上有n个面积分别为51，52，一，5…的图形>1132，一,疋，把这«个图形按任意方式放入一个面积为S的固定图形4内.(1) 若& +s2 +…+ s… >5,则存在两个平面图形卓、4(1A <)矣n)，它们有公共内点；(2) 若&+S2 +…+S…<S，则在>4内必存在一点，不属于U2，…，纪中任意一个•此结论同样适用于一维、三维情况.抽屉原理本身并不难，用其解题关键是如何设计“抽屉”，即题中涉及元素的具体分类方式.2例题选讲2.1合理“划分抽屉”解决组合问题例1设S=l l，2,…，100!.求最大的整数fc，使得S有个互不相同的非空子集，具有性质:对这A个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元2021年第5期3素与这两个子集中的最大元素均不相同.[1] (2014,全国高中数学联合竞赛）解对于有限非空实数集用m in夂 max4分别表示4的最小元素、最大元素.考虑S的所有包含1且至少有两个元素的子集，共2" - 1个，记为岑，…，七^丨•它们显然满足要求.因为 min(/!;Di4,+)= 1 < max A-,所以人下面证明A>299时不存在满足要求的友个子集.将丨1，2,…，100丨按以下方式划分为如下2"-1个子集：对任意的m 6丨4,5,…，100|，记对于任意的，定义集合对U u |m|；[,A B m t U I mi !,则共有2^2个不同的集合对.将11，2,3丨的非空子集按以下方式分成三个子集对：{13|；11,3}；|2,3|},1|2|；{1,2!|,I H I ;{1,2,3( !.从而，共有£2m—2 +3 =2" -1个不同的子集对.若非空子集个数多2"，则必有两个在同一组中，故它们交集中的最小元素与最大元素相同，矛盾.因此，1.例2甲选了 13个两两不同的三位数，乙从甲选的13个三位数中再挑选几个三位数.若通过四则运算可以使最后的结果属于区间（3，4)，则乙获胜；否则，甲获胜.问：谁有获胜策略？(第34届阿根廷数学奥林匹克）解乙有获胜策略.将所有三位数按如下方式分成八个集合，同一集合中最大数除以最小数的值小于4G\ ={100,101 ,•••,133},G2 =)134,135,---,178!,G3 =j179,180,---,238!,G4 ={239,240,---,318},g5 =j319,320,---,425!,G6 =|426，427,…,567| ,G7 =|568,569,…,757i ,G8 =|758,759,…,999|.因为甲共选取13个三位数，且13 >8,所以，由抽屉原理，知必有两个三位数属于同一集合，不妨设为A(A > *2 )，显然，,41<^<y-去掉这两个三位数，剩下11个三位数属于同一集合，由于11 >8,则由抽屉原理，知必有两个三位数属于同一集合，不妨设为巧、尤4()，显然，X43再去掉这两个三位数，剩下9个三位数属于同一集合，由于9 >8,则由抽屉原理，知必有两个三位数属于同一集合，不妨设为 ■*5、无6($5〉)，显然，,*5 41 <—<了.尤63由此得X}X^y1 +1 +1 =3 < — + —+ —丨2 丨4 丨64 4 4 A<了 + 了 + 了=4.故乙有获胜策略.[2]利用抽屉原理，知研究此类问题的关键是构造合适的“抽屉”，即确定恰当的分类规则，将题目中涉及的元素按照一定的性质进行分类.当取出的元素数量足够多时，由抽屉原理，知至少有某些元素属于同一个集合.从而，这些元素具有某种性质，进而得出结论. 构造抽屉的原则是与题设密切相关的，常用方法有:分割区间、分割图形、同余分类、最大奇因子、划分集合等方式，使用时具体要看题4中等数学设条件所关注的性质.2.2 “计算总量”，用抽屉原理估计最值例3 设5=14，/12，"•，/!…}(〇.多2)，其中，义，/12，…，七是n个互不相同的有限集合,满足对任意次、禹6S，均有6S.若灸=m in丨4丨>2( I Z I表示有限集合Z的1矣i矣n元素个数），证明：存在$ G，使得尤属于次，禹，…人中的至少f个集合.[3](2015,全国高中数学联合竞赛）证明不妨设丨41= 6.设在次，…，人中与々不相交的集合有5个，重新记为A，fi2，…，虼；设包含岑的集合有f个，重新记为C丨，C2，…，C,.由已知条件，知晃U A G S，即B i UA1 6于是，得到一个映射/:\B l ,B2,--,B S\\CX,C2,--,C t\,f(B i)= B i U A l.显然，/是单射.从而，s矣z.i^：Al =在^，七，…，火中除去乂，氏，…，Ci，C2,…，后，在剩下的n-s-t个集合中，设包含a,的集合有个.由于剩下的n-s-f个集合中每个集合与岑的交非空，即包含某个A，于是，x x +x2 + •••+ xk^n- s-1.从而，/i,中的各个元素出现在集合…，火中的次数总和满足T= k t+n-s-t=n+ (k-l)t-s^n.由抽屉原理，知至少存在一个m 6丨i，2,…，M，使得〜彡f.上述问题的特征是:题中所给的元素具有任意性•题设为集合4，4,…，人和所涉及的元素提供的条件均是平等的、任意的.题目探究的结论是一个存在性命题，证明存在一个元素具有某种性质，且只需说明存在性，并不需要指明具体是哪个集合满足此要求.这类问题考虑用抽屉原理处理，通过计算抽屉中元素的总量来得出相应结论，是抽屉原理非常典型的应用.2.3应用“图形重叠原理”解决组合几何问题例4 一农夫在120 m x 100 m的矩形土地中有九个直径为5 m的圆形菜园.证明: 无论圆形菜园的位置如何设置，农夫总能建一"t"25 m x35 m的矩形菜园•(2018,越南数学奥林匹克）证明设矩形仙CZ)满足Zlfi = CZ)= 120=5C= 100•将其分割为 10 个 30 x40 的小矩形，如图1.图1考虑九个圆形菜园的圆心.由抽屉原理，知必存在某个小矩形不包含这九个圆心中的任何一个.设这个矩形为；O^T，其中，XY= ZT= 40 ,XT=Y Z=30.考虑矩形x y z r内的矩形z'r r，使得两个矩形的对应边平行且距离为2. 5.则矩形z'r z'r为25 x35，且与每个圆形菜园均无重叠.[2]例5 平面上给定100个半径为1的圆，使得任意三个圆心所构成的三角形的面积至多为i o a证明：存在一条直线至少与1〇个圆相交.(2018,中国台湾数学奥林匹克选训营）证明证明一个更一般的命题:平面上给定n个半径为1的圆，使得任三个圆心所构成的三角形面积至多为n，证明：存在一条直线至少与个圆相交.+2令S为这〃个圆心所成的集合.2021年第5期5设S中距离最远的两点间的距离为丄任取S中异于的一点C.因为以，所以，点C到直线仙的距离至多为^.从而，若直线Z丄于点Z)，则集合S 中任一点在/上的投影点将落入以Z)为中心、$为长度的区间内.又集合S中两点距离最大值为d，则S 中的点在直线/的投影点必落在一个长度为 d的区间内.故此区间长度至多为y/An .注意到，这n个圆投影到直线/上全是长度为2的区间，而这些区间均包含在一个长度至多为A+2的区间内.令这个区间为/，C,•为第i(l在n)个圆在直线Z上的投影.由于所有(；的长度总和为2n，且其均落在/中，依照图形重叠原理，这表明,/中至少要有一个点X同时属于至少个圆C,++2中.故取平行于且过点尤的直线g即可.取n= 100，得200 200 n,___—= —^>9,v^+222即g至少与10个圆相交.[2]用图形重叠原理解决组合几何中的存在性问题时，题中所给元素条件具有任意性也是一典型特征，如例5中涉及的100个圆，条件是任意的、平等的，题目的结论是一个存在性命题，有以上特征的问题通常可以考虑用图形重叠原理去解决.练习题1.设集合S=丨1，2，".，3/1丨为正整数，71为S的子集，满足:对于任意的x、y、z G T (；«、y、z可以相同），均有;+ y+ z备71.求所有这种集合r的元素个数的最大值.[4](第五届中国东南地区数学奥林匹克）提示取T0 = \x\x S H x^n+ \\=|n+ 1,r e+2,•••,3n\ ,此时，i r Qi= 2re，且r Q中任三个数的和大于3心于是，不在r。

中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题C.doc

测试题C （陶平生供题）学校姓名营员证号一、四面体ABCD ，它的内切球O 与面ABD 切于E ，与面BCD 切于F ，证明：∠AEB=∠CFD.二、如图，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3分别外切⊙O 于A 1、B 1、C 1，并且前三个圆还分别与△ABC 的两条边相切.求证：三条直线AA 1、BB 1、CC 1相交于一点.三、设实数a ≥b ≥c ≥d ＞0，求函数)1)(1)(1)(1(),,,(ad bd c a c b d b a c d c b a f ++++++++=的最小值.四、n 个白子○A 与n 个黑子○B （n ≥3），依次不留间隙地排成一行：○A ○A ……○A ○B ○B ……○B ，现作如下操作：每次将相邻的两子取出（并保持此两子的先后次序），放在其它棋子旁的空位上（仍在同一行）.证明：经过n 次这样的操作，可使它们排成黑白相间的一行，且不留间隙. （附：当n=3时，操作如图所示）初始状态 ○A ○A ○A ○B ○B ○B 第一次操作后○A ○B ○B ○B ○A ○A 第二次操作后 ○A ○B ○B ○A ○B ○A 第三次操作后○B ○A ○B ○A ○B ○A测试题C 解答（陶平生供题）学校姓名营员证号一、四面体ABCD ，它的内切球O 与面ABD 切于E ，与面BCD 切于F ，证明：∠AEB=∠CFD.证明：为叙述方便，将内切球O 在面,,,B C D A C D A B D A B C 上的切点分别改记为000,,,A B C D ，于是，00,E C F A ==，设球O 的半径为r ,棱BD ⊥面00OA C ，设垂足为P ，则000C P A P C P ===，因为 00,A P BD C P BD ⊥⊥，则 00,BA BC =00DA DC =，故0BA D 0BC D ≅，所以 00BA D BC D ∠=∠，即是说，棱BD 关于两相邻面上切点的张角相等.其它棱的情况与此类似。

东南数学竞赛试题及答案

东南数学竞赛试题及答案【试题一】题目：求函数 $ f(x) = 3x^2 - 2x + 1 $ 在区间 $ [1, 3] $上的最大值和最小值。

【答案】首先，我们可以通过求导数来找到函数的极值点。

函数 $ f(x) $的导数为 $ f'(x) = 6x - 2 $。

令 $ f'(x) = 0 $ 得到 $ x = \frac{1}{3} $。

然而，此点不在给定的区间 $ [1, 3] $ 内。

接下来，我们计算区间端点的函数值：- 当 $ x = 1 $ 时，$ f(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 1 = 2 $。

- 当 $ x = 3 $ 时，$ f(3) = 3(3)^2 - 2(3) + 1 = 22 $。

由于 $ f(x) $ 是一个二次函数，且二次项系数为正，因此函数在$ x = \frac{1}{3} $ 处达到最小值，但在区间 $ [1, 3] $ 内，最小值出现在端点 $ x = 1 $ 处，最大值出现在端点 $ x = 3 $ 处。

因此，最小值为 2，最大值为 22。

【试题二】题目：证明：对于任意正整数 $ n $，$ 1^3 + 2^3 + 3^3 + ...+ n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 $。

【答案】我们使用数学归纳法来证明这个等式。

基础情况：当 $ n = 1 $ 时，左边为 $ 1^3 = 1 $，右边为$ \left(\frac{1(1+1)}{2}\right)^2 = 1 $。

等式成立。

归纳假设：假设对于某个正整数 $ k $，等式成立，即 $ 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 $。

归纳步骤：我们需要证明当 $ n = k + 1 $ 时等式也成立。

2004-2015东南数学奥林匹克试题及解答

参考答案
一、由柯西不等式 ,有
( a + 2 b + 3 c) 2
≤(
2
1+
2
2+
2
3 )[(
1 a) 2 + (
2 b) 2 + (
3 c) 2 ] = 9 ,
则 a + 2 b + 3 c ≤3.
所以 ,3 - a + 9 - b + 27 - c ≥3 3 3 - ( a + 2 b + 3 c)
列的第 1 , 2 , …, i , n + i - 2 003 , n + i - 2 002 , …, n 行中有“ 3 ”. 当 i ≥2 004 时 , 第 i 列的第 i - 2 003 ,
i - 2 002 、…、i 行中有“ 3 ”. 所以 ,每行有 2 004 个方
格有“ 3 ”,每列也有 2 004 个方格有“ 3 ”. 所以 ,棋盘中“优格”个数的最大值是 n( n - 2 004) . 五、设 sin θ+ cos θ= x. 则
格中填的数大于有“ 3 ”的方格中的任何一个数 , 所
以 ,棋盘上没有“ 3 ”的方格都为“行优格”, 共有
n ( n - 2 004) 个.
此时 ,每行有 2 004 个方格有“ 3 ”, 每列也有 2 004 个方格有“ 3 ”. 实际上 ,当 1 ≤i ≤2 003 时 ,第 i
①
因为 x ∈[1 , 2 ] ,所以 ,2 x - 3 < 0.
不等式 ①恒成立等价于
x+
2 x
-
a < 0 ( x ∈[1 ,

对一道数学竞赛试题推广论文

对一道数学竞赛试题的思考与推广【摘要】在不等式的证明（或求最值）时，均值不等式与cauchyh lder.关键是要注意不等式中等号成立的条件.【关键词】均值不等式；cauchy h lder有一道常见的数学竞赛试题：原题已知x,y,z>0,求证：xy+2yz[]x2+y2+z2≤5[]2.分析结合求证的分式的结构特点，通过对分母中的和式进行适当拆分，进而运用均值不等式可使问题得到解决.证明据均值不等式，得：x2+1[]5y2≥2[]5xy,4[]5y2+z2≥4[]5yz.二式叠加，可得：x2+y2+z2≥2[]5(xy+2yz)，易知，命题得证.变式1 （2008年第五届中国东南地区数学奥林匹克竞赛试题）求出最大的正实数λ,使得对于满足x2+y2+z2=1的任何实数x,y,z成立不等式：|λxy+yz|≤5[]2.分析容易发现本题与原题有许多相似点，因而可结合原题的解题思想进行研究.另外，需注意对绝对值号的适当处理.变式2 长方体abcd-a1b1c1d1中，假设体对角线ac1与棱aa1,ab,ad夹角分别为α,β,γ，求:cosαcosβ+cosβcosγ的最大值及此时α,β,γ的值.分析从本题的式子可以看出，与原题分式的分子式相似，另外结合长方体中有三角关系cos2α+cos2β+cos2γ=1,进而可仿照原题进行求解.推论1 若x,y,z,a,b>0,则有axy+byz[]x2+y2+z2≤a 2+b2[]2.变式3 x i>0,i=1,2,…,n,x21+x22+…+x2n=1,求x1(x2+x3+…+x n)的最大值.分析根据题目中的式子特点，很容易联想到cauchy式和均值不等式，但若不能结合问题综合考虑，则会导致如下错误：错解据均值不等式，得：x1(x2+…+x n)≤x1+(x 2+…+x n)[]22=(x1+x2+…+x n)2[]4.又由cauchy(x1+x2+…+x n)2≤n(x 21+x22++x2n)=n,从而，有x1(x2+…+x n)≤n[]4.故x1(x2+…+x n)max=n[]4.错因以上错解的主要原因在于仅仅联想到两个不等式的特点，而忽视了不等式中等号成立的条件.正解据均值不等式，得：1[]n-1x21+x22≥2[]n-1x1x2，…，1[]n-1x21+x2n≥2[]n-1x1x n，不等式叠加，可得：2[]n-1x1(x2+…+x n)≤x2 1+x22+…x2n,即：x1(x2+…+x n)≤n-1[]2,当且仅当1[]n-1x21=x22=x23=…=x2n时取等号，结合x21+x22+…+x2n=1，可解得此时x1=2[]2,x2=x3=…=x n=2(n-1)[]2(n-1).故x1(x2+…+x n)max=n-1[]2.推论2 若x i∈r+,i=1,2,…,n,则有x i(a1x1+…+a i-1x i-1+a i+1x i+1+…+a nx n)[]x21+x22+…+x2n≤a21+…+a2i-1+a2i+1+…+a2n[]2.变式4 若x i∈r+,i=1,2,3,4,5,试求（x1+x2)(x 3+x4+x5)[]x21+x22+x23+x24+x 25的最大值.分析若仅仅考虑对和式x21+x22+x23+x24+x25进行拆分，显然很难奏效，可以考虑借助cauchy.只不过也很容易导致如下错误：错解由均值不等式，得：(x1+x2)(x3+x4+x5)≤(x1+x2)+(x3+x4+x5)[]22=(x1+x2+x 3+x4+x5)2[]4.又据cauchy(x1+x2+x3+x4+x5)2≤5(x21+x 22+x23+x24+x25)，从而(x1+x2)(x3+x4+x5)≤5[]4(x21+x22+x23+x24+x25)，即(x1+x2)(x3+x4+x5)[]x21+x22+x23+x24+x25≤5[]4.故(x1+x2)(x3+x4+x5)[]x21+x22+x23+x24+x25的最大值为5[]4.错因类似于变式3，问题仍在于cauchy式的等号成立条件.可若把两个重要不等式反过来使用，则能实现解题目标.正解据cauchy(x1+x2)2≤2(x2 1+x22),(x3+x4+x5)2≤3(x23+x2 4+x25).两式相乘，可得：（x1+x2)2·(x3+x4+x5)2≤6（x21+x22)(x23+x24+x25).又由均值不等式，得：(x21+x22)(x23+x24+x25)≤(x21+x22)+(x23+x24+x25)[]2 2，从而有(x1+x2)2(x3+x4+x5)2≤6(x2 1+x22)+(x23+x24+x25)[]22,即：(x1+x2)(x3+x4+x5)≤6[]2(x21+x22+x23+x24+x25),故(x1+x2)(x3+x4+x5)[]x21+x22+x23+x24+x25≤6[]2，当且仅当x1=x2,x3=x4=x5,x21+x2 2=x23+x24+x25，即x1=x2=λ[]2,x3=x4=x5=λ[]3,(λ>0)时，(x1+x2)(x3+x4+x5)[]x21+x22+x23+x24+x25的最大值为6[]2.推论3 若x i∈r+,i=1,2,…，n,m∈n,m>1,则有(x11+…+x1i1x21+…+x2i2)·…·（x m1+…+x mi m)[]x m1+xm+…+x m n≤(i1i2…i m)1-1[]m[]m.其中x11+…+x1i1,x21+…+x2i2,…，x m1+…+x mi m x1+x2+…+x n的一个分割.证明据h lderx11+…+x1i1(i1)1-1[]m(xm11+…+x m1i1)1[]m，x21+…+x2i2(i2)1-1[]m(xm21+…+x m2i2)1[]m,…,xm1+…+x mi m(i m)1-1[]m(x m m1 +…+x m mi m)1[]m,从而(x11+…+x1i1)(x21+…+x2i2)·…·（x m1+…+x mi m)≤(i1i2…i m)1-1[]m(x m11+…+x m1i1x m m1+…+x m mi m)］1[]m.又由均值不等式，得：(x m11+…+x m1i1)·…·(x mm1+…+x m mi m)≤(x m11+…+x m1i1+…+(x mm1+…+x m mi m)[]m m=x m1+x m2+…+x m n[]m m.(x11+…+x1i1)(x21+…+x2i2)·…·（x m1+…+x mi m(i1i2…i m)1-1[]m x m1+x m2+…+x mn[]m，(x11+…+x1i1)(x21+…+x 2i2)·…·（x m1+…+x mi m)[]x m 1+x m+…+x m n≤(i1i2…i m)1-1[]m[]m，当且仅当x11=…=x1i1x m1=…=x mi m,x m11+…+x m1i1=…=x m m1+…+x m mi m,即当x11=…=x1i1=λ[]i1[]m1,x21=…=x2i2=λ[]i1[]m2,…,x m1=…=x min=λ[]i1[]m m,(λ>0)时，推论3中的等号成立.推论4 若x i,a i∈r+,i=1,2,…,n,m∈n,m>1，则有（a11x11+…+a1i1x1i1 )(a21x21+…+a2i2x2i2 )·…·（a m1x m1+…+a mi m x mim)[]x m1+x m+…+x m n≤a m[]m-1 11+…+a m[]m-11i1am[]m-1m1+…+a m[]m-1mi m1-1[]m[]m.其中a11x11+…+a1i1x1i 1,a21x21+…+a2i2x2i2 ,…,a m1x m1+…+a mi m x mi m a1x1+a2x2+…+a nx n的一个分割.注推论4与推论3的证明过程相似，不再赘述.另外，推论4中等号成立的充要条件是x jk=λa1[]m-1jk[]a m[]m-1j1+a m[]m-1j2+…+a m[]m-1ji j1[]m,j=1,2,…,m;k=1,2,…,i j,(λ>0).。

2008第5届中国东南数学奥林匹克试题及答案

第五届中国东南地区数学奥林匹克第一天(2008年7月27日上午8：00－12：00) 福建龙岩1. 已知集合{}1,2,3,,3S n = ，n 是正整数，T 是S 的子集，满足：对任意的,,x y z T ∈ (其中x 、y 、z 可以相同) 都有x y z T ++∉，求所有这种集合T 的元素个数的最大值。

2. 设数列{}n a 满足：111,2(12),1,2,3,n n n a a a n n +==+⋅+= 。

试求通项n a 的表达式。

3. 在△ABC 中，BC >AB ，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，如图，CP 垂直BD ，垂足为P ，AQ 垂直BP ，Q 为垂足。

M 是AC 中点，E 是BC 中点。

若△PQM 的外接圆O 与AC 的另一个交点为H ，求证: O 、H 、E 、M 四点共圆。

4. 设正整数,2m n ≥，对于任一个n 元整数集{}12,,,n A a a a = ，取每一对不同的数i ja a 、()j i >，作差j i a a -，把这2n C 个差按从小到大顺序排成一个数列，称这个数列为集合A 的“衍生数列”，记为A 。

衍生数列A 中能被m 整除的数的个数记为()A m 。

证明：对于任一正整数2m ≥，n 元整数集{}12,,,n A a a a = 及集合{}1,2,,B n = 所对应的“衍生数列”A 及B ，满足不等式()()A m B m ≥．第二天(2008年7月28日上午8：00－12：00) 福建龙岩5. 求出最大的正实数λ，使得对于满足2221x y z ++=的任何实数x 、y 、z 成立不等式：2xy yz λ+≤。

6. 如图，ABC ∆的内切圆I 分别切BC 、AC 于点M 、N ，点E 、F 分别为边AB 、AC 的中点，D 是直线EF 与BI 的交点。

证明：M 、N 、D 三点共线。

CADA7. 杰克(Jack)船长与他的海盗们掠夺到6个珍宝箱123456,,,,,A A A A A A ，其中i A 内有金币i a 枚，i =1、2、3、4、5、6，诸i a 互不相等。