第三章量子力学中的力学量
第三章-表示力学量算符-习题答案
第三章 量子力学中的力学量 1. 证明 厄米算符的平均值都是实数（在任意态）[证] 由厄米算符的定义**ˆˆ()F d F d ψψτψψτ=⎰⎰厄米算符ˆF的平均值 *ˆF Fd ψψτ=⎰ **ˆ[()]F d ψψτ=⎰ ***ˆ[]Fd ψψτ=⎰**ˆ[()]Fd ψψτ=⎰**ˆ[]F d ψψτ=⎰ *F =即厄米算符的平均值都是实数2. 判断下列等式是否正确（1）ˆˆˆHT U =+ （2）H T U =+（3）H E T U ==+[解]：（1）（2）正确 （3）错误因为动能，势能不同时确定，而它们的平均值却是同时确定 。
3. 设()x ψ归一化，{}k ϕ是ˆF的本征函数，且 ()()k kkx c x ψϕ=∑（1）试推导k C 表示式（2）求征力学量F 的()x ψ态平均值2k k kF c F =∑（3）说明2k c 的物理意义。
[解]：（1）给()x ψ左乘*()m x ϕ再对x 积分**()()()()mm k k k x x dx x c x dx ϕϕϕτϕ=⎰⎰*()()k m k kc x x dx ϕϕ=∑⎰因()x ψ是ˆF的本函，所以()x ψ具有正交归一性**()()()()mk m k k k kkx x dx c x x dx c mk c ϕψϕϕδ===∑∑⎰⎰ ()m k = *()()k m c x x dx ϕψ∴=⎰（2）k ϕ是ˆF 的本征函数，设其本征值为kF 则 ˆk k kF F ϕϕ= **ˆˆm k m k k kF F dx F c dx ψψψϕ==∑⎰⎰**()m mk k k kc x F c dx ϕϕ=∑∑⎰**m k kmkx mkc c F dϕϕ=∑⎰*m k k mk mkcc F δ=∑2k k kc F =∑即 2k k kF c F =∑（3）2k c 的物理意义；表示体系处在ψ态，在该态中测量力学量F ，得到本征值k F 的 几率为2k c 。
量子力学_第三章3.8力学量期望值随时间的变化__守恒定律
2. 例子（运动恒量举例）
<1>自由粒子的动量
ˆ2 p ˆ 当粒子不受外力，即 H 时 2 ˆ p ˆ, H ˆ ] i [p ˆ ] j[p ˆ ] k[p ˆ]0 ˆ x,H ˆ y,H ˆ z,H 如果 0 ， [p t
dp 0 ，即为量子力学中的动量守恒定律。 则有 dt
ˆ 的本征值 C 1 。 所以 P
Байду номын сангаас
ˆ (x, t) (x, t) ； P ˆ (x, t) (x, t) 即： P 1 1 2 2
ˆ 的本征函数中本征值为 1 的 为有偶宇称态，本征值为 1 称P 1
的 2 为有奇宇称态。
ˆ 在空间反演不变时的宇称守恒： c. H
2 2 ˆ L 2 ˆ 2 , H] ˆ [L ˆ2 , ˆ2 , ˆ 2 , U(r)] 0 [L (r )] [L ] [L 2r 2 r r 2r 2 ˆ ,H ˆ ] 0； ˆ2 ,L ˆ ] 0 , [L ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0， ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0 [L [ L [L z x z
化。因 完全描写态，知道 ( r , t ) 后，即可求得每一个时刻 t 各 dinger 方 程 ， 故 o 力 学 量 的 变 化 。 而 态 ( r , t ) 的 变 化 遵 从 Schr
2 dinger 方程不仅可以直接描写 ( r , t ) 的变化，而且还能间 Schr o
二、守恒定律
ˆ 1 d F F ˆ 不显含时间 t ，即 ˆ,H ˆ ] 中，如果 F 1. 在运动方程 [F dt t i ˆ dF F ˆ ˆ ＝0，即 F 平均值不随 0 ，并且 [F, H] 0 (即对易)，则有 dt t
[理学]第三章量子力学中的力学量1
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能量本征方程（定态薛定谔方程） 于这个本征值的本征函数。根据以上假定，当 粒子属于这个状态时，坐标确定，坐标值就是 本征值 r ' 。 角动量本征方程
ˆ r r ' 坐标本征方程，注意这里 r '是本征值，r ' 是属 r r' r' r'
ˆ LL ' L 'L '
注意：这些量的分量也可构成各自的本征方程。
ˆ x p
当粒子处在这个方程的解 描述的状态中 时，它的动量在x方向上的分量是确定的， 值就是所属的本征值
力学量的值肯定是实数。根据以上基本假定，这些力学量算符的 本征值是粒子力学量的某个值。因此力学量算符的本征值必须是 实数。下面我们将要介绍一种重要的算符——厄密算符
（7）复共轭算符 算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中 的所有量换成复共轭.
ˆ O
设定义式中 则，
* ˆ ˆ )* d O d ( O
* * d ( ) d
* d * * d * * d
因为波函数 是平方可积的即
* d d A 2
ˆ T
2
2
2
前面我们已经通过能量本征值方程揭示了能量算符和能量之间 的密切关系。下面我们将这个结论推广到其他所有的物理量上：
量子力学基本假定
ˆ 表示，那么当微观粒子体系处于 F ˆ的 如果力学量 F 用算符 F ˆ 的本征函数 来描述。）时， 本征态 （即体系的状态用 F 力学量 F 具有确定值。这个值就是本征函数 所属的那个本 征值 。它们之间的关系用数学形式表达即： ˆ 本征方程 ˆ 算符 F F
量子力学中力学量
位置期望值与测量
误差
位置期望值的测量误差取决于粒 子所处的量子态，对于某些特殊 量子态，位置期望值的测量误差 可能非常大。
03 动量算符与动量期望值
动量算符的定义与性质
动量算符
在量子力学中，动量算符是用来描述粒子动量的算符，其定义为-iℏ∂/∂x，其中ℏ是 约化普朗克常数，∂/∂x是偏导数算子。
自旋算符在量子力学中具有重要 的意义，因为粒子的自旋是一种 内禀自由度，与粒子的其他自由
度一样重要。
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02 位置算符与位置期望值
位置算符的定义与性质
位置算符
在量子力学中，位置算符是一个线性算子，用于描述粒子在空间中的位置状态。
位置算符的性质
位置算符具有连续性和对称性，其本征值和本征函数分别表示粒子的位置和概 率幅。
位置期望值的计算与意义
位置期望值
在量子力学中，位置期望值是指粒子在某个时刻 处于空间某点的概率幅的平均值。
04 角动量算符与角动量期望 值
角动量算符的定义与性质
定义
角动量算符是描述粒子角动量的物理量，通常用L表示。
性质
角动量算符具有旋转不变性，即系统绕某轴旋转时，角动量算符的值不会改变。此外，角动量算符还 具有对易关系，即L_x、L_y、L_z三个分量之间相互独立且不对易。
角动量期望值的计算与意义
性质
动量算符是线性算符，具有可对易性、连续性和时间演化等性质，这些性质在量 子力学中具有重要意义。
动量期望值的计算与意义
计算
动量期望值是描述粒子动量的统计平均值，可以通过将粒子态函数代入动量算符进行计算。
意义
动量期望值可以反映粒子在某一时刻的平均动量，对于理解量子力学中的波粒二象性以及测量问题具有重要意义。
量子力学中的量子力学力学量的表示
量子力学中的量子力学力学量的表示量子力学是描述微观世界的物理学理论，它提供了一种描述粒子性质的数学框架。
在量子力学中，力学量是描述系统状态的物理量。
本文将探讨在量子力学中，如何表示力学量以及不同力学量的物理意义。
一、力学量的表示在经典物理学中，力学量通常可以用数值来表示，例如质量、速度、位移等。
然而，量子力学中的力学量不能简单地用数值表示，而是需要用算符表示。
力学量的算符通常用大写字母表示，比如位置算符X，动量算符P等。
对于某个具体的力学量，它的算符作用在波函数上，得到的结果是该力学量对应的本征值乘以波函数。
这可以用数学表达式表示为：AΨ = aΨ其中A是力学量的算符，Ψ是波函数，a是力学量的本征值。
这个方程称为力学量的本征值方程。
二、不同力学量的表示1. 位置算符在量子力学中，粒子的位置可以用位置算符X来表示。
位置算符的本征态是位置本征态，它表示粒子在某个确定的位置。
对于一维情况，位置本征态的波函数可以写为：Ψ(x) = δ(x - x0)其中x0是位置本征态对应的位置。
2. 动量算符动量算符P描述粒子的运动状态。
动量算符的本征态是动量本征态，它表示粒子具有某个确定的动量。
对于一维情况，动量本征态的波函数可以写为：Ψ(p) = e^(ipx/ħ)其中p为动量本征态对应的动量，ħ为普朗克常数除以2π。
3. 能量算符能量是量子力学中的另一个重要的力学量。
能量算符H描述粒子的能量状态。
能量算符的本征态是能量本征态，它表示粒子具有某个确定的能量。
能量本征态的波函数可以写为：Ψ(E) = e^(-iEt/ħ)其中E为能量本征态对应的能量，t为时间。
三、力学量的测量和物理意义在量子力学中，力学量的测量是通过对算符的作用得到的本征值来实现的。
当对某个力学量进行测量时，系统将处于该力学量的某个本征态上，从而得到相应的本征值。
力学量的本征值对应着可能的测量结果。
例如，对位置算符进行测量，可以得到粒子的位置值；对动量算符进行测量，可以得到粒子的动量值。
量子力学教程高等教育出版社周世勋课后答案-第三章
第三章 量子力学中的力学量3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπαψ2222)(--=，求：(1)势能的平均值2221x U μω=； (2)动能的平均值μ22p T =；(3)动量的几率分布函数。
解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x U x 2222222121απαμωμωμωμωαμωαπαπαμω ⋅==⋅=22222241212121221ω 41=(2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ ⎰∞∞----=dx e dx d e x x22222122221)(21ααμπα⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x x ααααμπα ]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222ω 41= 或 ωωω 414121=-=-=U E T(3)*(,)()()p c p t x x dx ψψ=⎰ 2222x iit px e dx αωαππ∞----∞=⎰22122i i x px t ee dxeαωαππ∞----∞=⎰2222221()222ip p i x t edxe αωαααππ-+-∞--∞=⎰2222221()222p ip ix t e edxeαωαααππ--+∞--∞=⎰222222p i t e ωαααππ--=22222p i t e eωααπ--=动量几率分布函数为 2222()(,)p p c p t eαωαπ-==3.2.氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。
解：(1) ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=/233004dr a r a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr e a e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω 令0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。
量子力学教程Ch32
经典力学中物质运动的状态总用坐标、动量、角 动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论 的方式描述。而量子力学的第一个惊人之举就是引入
了波函数 这样一个基本概念，以概率的特征全面地
描述了微观粒子的运动状态。但 并不能作为量子力
学中的力学量。于是，又引入了一个重要的基本概 念——算符，用它表示量子力学中的力学量。算符与 波函数作为量子力学的核心概念相辅相成、贯穿始终。
若已知粒子在坐标表象中的状态波函数 (r,t) ，
按子照坐波标函(x统, y计, z)解或释rr，的利平用均统值计平均方法，可求得粒
若知道粒子在动量表象中的波函数 C( p,t) ，同理
可求出粒子动量
(Px , Py , Pz )或
P
的平均值。
6
3.1 表示力学量的算符（续1）
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
r
C
*
(
P,
t
)rˆC
(
P, t
)d
3
P
rvˆ
ihP
r ih i
Px
r j
Py
v k
Pz
称为坐标算符
Prove： r *(r,t)r (r,t)d3r
1
*(rv,t)rv[
C
(
v P,
t
)e
i h
Pvrv
d
3
v P]d
3rv
(2 h)3/2
1 *(rv,t)[
(2 h)3/2
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
第三章 量子力学中的力学量
第三章-量子力学中的力学量 lt
第三章例题剖析1 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是ILH 22=，L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数。
（1）转子绕一固定轴转动 （2）转子绕一固定点转动[解]：（1）ϕ∂∂-= i L zˆ 22222ˆˆϕ∂∂-= zL L2222222ˆ2ˆˆϕ∂∂-===I IL IL Hz能量的本征方程： )()(ˆϕψϕψE H =，or )()(2222ϕψϕψϕE I =∂∂- 引入 222IE =λ⇒=+0)()(222ϕψλϕψϕd dλϕϕψi Ae=)(由波函数的单值性 )()2(ϕψϕπψ=+λϕλϕπi i AeAe=+)2( ⇒ 12=πλi eππλn 22= ⇒ n =λ ,2,1,0±±=nIn E n 222 =∴，ϕψin Ae=其中 π21=A（2） IL H2ˆˆ2=，在球极坐标系中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=22222sin 1sin sin 1ˆϕθθθθθ L 体系的能量算符本征方程：),(),(ˆϕθψϕθψE H= ),(),(sin 1sin sin 122222ϕθψϕθψϕθθθθθE I =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂- ),(),(sin 1sin sin 1222ϕθλψϕθψϕθθθθθ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂其中22IE =λ，以上方程在πθ≤≤0的区域内存在有限解的条件是λ必须取)1(+l l ，),2,1,0( =l ，即 )1(+=l l λ ,2,1,0=l于是方程的形式又可写成),()1(),(sin 1sin sin 1222ϕθψϕθψϕθθθθθ+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂l l 此方程是球面方程，其解为),(),(ϕθϕθψlm Y =lm l ±±±==,,2,1,0,2,1,0由)1(+=l l λ及IE 2=λ，可解得体系的的能量本征值Il l E l 2)1(2+=,2,1,0=l2 氢原子处于 ()()()32121113,,,,,,44r r r ψθϕψθϕψθϕ=+状态，求：（1）归一化波函数（2）能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值；（3）角动量平方有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值； （4）角动量的z 分量有无确定值？如果有，求其确定值。
第三章量子力学中的力学量
v v v 电子相对于核的坐标： r = r − r 1 2
x = x1 − x2 , y = y1 − y2 , z = z1 − z 2
球坐标：
x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ
z = r cosθ ˆ = ih (sin ϕ ∂ + ctgθ cos ϕ ∂ ), Lx ∂θ ∂ϕ ˆ = −ih (cos ϕ ∂ − ctgθ sin ϕ ∂ ), Ly ∂θ ∂ϕ ˆ = −ih ∂ ; Lz ∂ϕ
用分离变量法求解：
设ψ (r , θ , ϕ ) = R (r )Y (θ , ϕ ) zes2 2µ λ 2 ∇ r R(r ) + [ 2 ( E + ) − 2 ]R ( r ) = 0 h r r L2Y (θ , ϕ ) = λh 2Y (θ , ϕ )
（1） （2）
λ = l (l + 1)
两算符相乘其次序不能随便调换。 线性算符（态叠加原理 态叠加原理） 态叠加原理
ˆ ˆ ˆ 定义：若 F (C1Ψ1 + C2 Ψ2 ) = C1 FΨ1 + C2 FΨ2
ˆ 则 F 是线性的。 Ψ1 , Ψ2 是任意函数，C1、C2是常数
∂ x, 是线性的， ∂x
若
是非线性的。
厄米算符：ψ ( x), φ ( x) 是任意函数。
n, l,
l = 0,1,2, L n − 1 m = 0,±1,±2, L ± l (2l + 1) = n 2 ∑
l =0 n −1
§3.4
氢原子
∂ h2 2 h2 2 v v v v ih Ψ (r1 , r2 , t ) = [− ∇1 − ∇ 2 + U ]Ψ (r1 , r2 , t ) ∂t 2 µ1 2µ2 电子 ( x1 , y1 , z1 , µ1 ) 核 ( x2 , y 2 , z 2 , µ 2 )
《量子力学》课程7
量子力学
函数的差别只在于径向波函数，它是由 U ( r ) 决定的。 3）能量本征值与 无关。由于一般情况下， 粒子的能量本征值与角动量粒子数有关，对 于给定的 l ，m 有 ( 2 l 1) 个取值，所以中心 力场中粒子能级的简并度一般为 ( 2 l 1) 。
量子力学
二、两体问题化为单体问题
量子力学
令
( r , R ) ( R ) ( r )
2 2 R ( R ) E c ( R ) 2M
2 2 r U ( r ) ( r ) ( E T E C ) ( r ) E ( r ) 2
2 2
|) ( r1 , r2 ) E T ( r1 , r2 )
量子力学
对于两体问题，一般说来在质心坐标系处理 比较方便，它可以把二体问题简化为单体问 题。引入相对坐标 r 和质心坐标 R 1 r1 2 r2 r r1 r2 , R 1 2
dr
2
2 E U ( r )
r
2
u ( r ) 0
量子力学
上式称为径向方程。 讨论：1）中心力场问题归结为求解径向方程。 径向方程相当于一个粒子在力场
U eff ( r ) U ( r ) l ( l 1) 2 r
2 2
中的一维运动（但注意 r 0 ），其中， 2 2 l ( l 1) 2 r 称为离心势能，它是由轨道角 动量（ l 0 ）引起的。角动量越小，离心 势能越小，体系结合得越紧，能级就越底。 因此 l 0 的态为中心力场的基态。 2）不同中心力场 U ( r ) 就决定了不同的径向 波函数和能量本征值。中心力场中粒子的波
量子力学--力学量用算符表示与表象变换 ppt课件
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﹟
4
2、算符的运算性质 （1）算符相等：
若 Aˆ Bˆ
★算符的运算离不开 对波函数的作用
对于任意的波函数都成立
则 Aˆ Bˆ
（特例：若I ，则I 称为单位算符）
（2）算符相加： (Aˆ Bˆ) Aˆ Bˆ
这是算符最基本的运算。
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交Байду номын сангаас律和结合律：
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ Aˆ (Bˆ Cˆ) (Aˆ Bˆ) Cˆ
用在任意波函数上，看它们是否相等。
若相等，则对易；否则，不对易。
比如将要讨论的位置算符 x 和动量算符 pˆ x 的对易关系。
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因为对任意波函数ψ ：
xpˆ x
ix
d
dx
而
pˆ x x
i d dx
(x )
i( x d ) i ix d
dx
dx
那么
xpˆ x pˆ x x i
Hˆ pˆ 2 V (r) 2m
2 2 V (r) 2m
其中动量算符 pˆ i，
且
pˆ x
i x
又如前面引进的能量算符
Hˆ i 等 t
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2
§3.1 算符的运算规则
1、算符的定义
表示运算的符号叫算符，又叫作用量
如
d， dx
，
, ( )*等
线性算符：
如果算符 Â 满足下列条件
Aˆ(c11 c2 2 ) c1Aˆ 1 c2 Aˆ 2
第三章 力学量用算符表示 与表象变换
前面我们学习了两个量子力学的基本原理
1）微观粒子体系的状态可以用波函数来表示；
2）描述微观粒子运动状态的方程是薛定谔方程；
第三章 量子力学中的力学量
1 2πh
eipx/ h
hk E= ≥0 2m
ˆ H p H Lz与 ˆ，ˆ与 ˆ
2 2
k可 续 值 故 是 续 。 连 取 ， E 连 的
能 二 简 。 级 度 并
为啥具有相同的本征态？
（5）坐标算符的本征值和本征函数 ）
ˆ xϕ x′ ( x) = x′ϕ x′ ( x) x′取一切实数 ϕ x′ ( x) = δ ( x − x′)
,
n = 1,2,3L l = 0,1, L n - 1 m = 0,±1 L ± l ，
二、量子力学的基本原理四
在 意 ψ中 ψ = ∑anϕn 任 态 ，
n
测量力学量A，可得到各种可能取值，可能取 值必为某一本征值。
ˆ在 征 谱 取 的 率 | a |2 。 A 本 值 中 A 几 为 n n
2 2 ˆ2 ˆ = Lz = − h ∂ H 2I 2I ∂ϕ2
z
h2 ∂2 − ψ = Eψ 2 2I ∂ϕ
1 imϕ ψm(ϕ) = e 2π m2h2 Em = ≥0 2I
m = 0 ±1 ± 2 L ，， ，
要求： 要求：会求解
(3)求 量 分 px的 征 。 动 x 量ˆ 本 态
∂ −ih ψ = px'ψ ∂x
ˆz = x py − y px = −ih(x ∂ − y ∂ ) ˆ ˆ L ∂y ∂x
1 ∂ ∂2 ∂ 1 ˆ2 L = − h2 sin θ + 2 2 ∂θ sin θ ∂ϕ sin θ ∂θ
从而有
ˆ = ihsin ϕ ∂ +cotθ cosϕ ∂ Lx ∂θ ∂ϕ ˆ = −ihcosϕ ∂ −cotθ sin ϕ ∂ Ly ∂θ ∂ϕ ˆz = −ih ∂ L ∂ϕ
量子力学[第三章量子力学中的力学量] 山东大学期末考试知识点复习
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第三章量子力学中的力学量1．力学量算符(1)力学量的描述(r)满足正交归一性关系本征函数之间具有正交性．归一化的本征函数ψn其集合具有完备性以后我们总是默认力学量算符的本征函数是归一化的，除非另有说明。
(2)力学量的测量(x)中测量对力学量Q的测量结果为力学量算符的本征值，在本征态ψn．在一般状态ψ中测量Q得到一个概率分布，测出第n个力学量Q得到唯一值qn的概率为本征值qn其中称为概率幅，按照概率论，在状态ψ中力学量Q的期望值为上式等价于这说明我们常用的波函数实质就是测量力学量x时所得到的概率幅。
(3)两个力学量的关系2．力学量的演化(1)力学量的演化规律(2)守恒量3．中心势场问题(1)角动量算符在球坐标中，角动量z分量和角动量平方算符分别为(θ，ψ)称为球谐函数，满足正式中l为角量子数，m为磁量子数，归一化的Ylm交归一性关系具体形式和性质参见附录A的公式(A2—9)。
(2)中心势场的定态薛定谔方程质量为m的粒子在中心势场U(r)中运动，哈密顿算符为(r)满足定态薛定谔方程的径向部分上式中径向本征函数Rnl定义约化的径向本征函数Unl (r)=rRnl(r)，(3—20)式化为称为约化的径向方程．与约化的径向本征函数对应的归一化条件为在一般情况下，能量由主量子数n和角量子数l共同确定，即E=Enl，与磁量子数m无关，因此能级简并度为2l+1．(3)径向概率分布和角向概率分布(4)氢原子情况假设原子核不动，取为坐标原点，电子运动的势场为U(r)=-es2／r．当能量E<0时，系统处于束缚定态，能量本征值为其中径向函数Rnl(r)的具体形式参见附录A．由于能量仅与主量子数n有关，因此能级简并度为如果考虑氢原子核的运动，上述公式中的电子质量me 应修正为折合质量mμ=me mp／(me+mp)；对于核电荷为Z的类氢离子，能量本征值应改变为Z2En，径向函数变为Rnl(Zr)。
第三章：量子力学中的力学量_6讲
令： 1 2
ˆ ( ))＝（A ˆ ( )， ((1 2 )，A (1 2 )） 1 2 1 2 ˆ ψ )+(ψ ，A ˆ ψ )＝（A ˆ ψ ，ψ ）（ ˆ ψ ，ψ ） (ψ1，A + A 2 2 1 1 2 2 1
ˆ ˆ ˆ ( r )A ( r ) dr A ( ,A ) A * ( , ) ( r ) ( r ) dr
算符在量子力学中的重要位置，由此可见一斑
因此，先定义出各种力学量算符是必要的
二、由经典物理引进量子力学量算符
五、线性算符的运算 1. 算符的和： 算符的和运算满足交换律和结合律
ˆ ˆ ˆ ˆ A+B=B+A
ˆ ˆ ˆ A+(B+C) ˆ ˆ ˆ (A+B)+C
2. 算符的积 算符的积不一定满足交换律
ˆˆ x p ˆxx ˆ i xp
3. 算符的对易式, 定义：
ˆ ˆ ˆ ˆ ，称两算符对易，否则称不对易 如果： [A,B]=[B,A]
px
px | c( px ) |2 dpx c ( px ) px c( px )dpx
i px x 1 ( x)e dx px c( px )dpx 2
i px x 1 ( x )e px c( px )dxdpx 2 i px x 1 d ( x)(i )e c( px )dxdpx dx 2
ˆ A
厄密算符作用于一波函数，结果等于这个波函数乘以一个常数， ˆ 的本征值， 为属于 的本征函数，此方程称 则称 是 A ˆ 的本征值方程。全部本征值 { }是且仅是相应力学 为算符 A 量A的所有可能取值（或测量值）.
量子力学讲义第3章
第三章 量子体系的力学量本章讨论在量子力学中如何描述力学量的问题。
它是量子力学的重点之一，对初学者而言，开始显得比较抽象，因此，应注意习题训练。
3．1 力学量的平均值公式 力学量用算符表示~算符进入量子力学一、坐标的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<r d r r d r r d t r w r r 3*323),(ψψψ分量： ⎰∞∞->=<r d t r x t r x n n3*),(),(ψψ问题：能否用),(t rψ导出其他力学量的平均值？二、动量的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<p d t p C p t p C p d t p C p p d t p w p p3*323),(),(),(),(我们希望直接用),(t r ψ写出><p（注意r d t r p p 32),(⎰>≠<ψ~2),(t r ψ不是p的几率）。
以x 分量为例：⎰∞∞->=<p d t p C p t p C p x x3*),(),(将 r d e t r t p C r p i⎰∞∞-⋅-=323),()2(1),(ψπ 代入，有⎰⎰⎰∞∞-⋅-∞∞-⋅>=<pd r de t r p r d e t r p r p i x r p i x3/3/233*23]}),()2(1[]),()2(1[{/ψπψπ ⎰⎰⎰-⋅=])2(1)[,(),(3)(3//3*3/p d ep t r r d t r r d r r p i xπψψ计算[…]有)()()2(1[...]/33)(3/r r x i p d e x i r r p i-∂∂-=∂∂-=⎰∞∞--⋅δπ 于是 ⎰⎰∞∞-∞∞--∂∂->=<)(),())(,(/3//3*3r r t r r d x i t r r d p x δψψ),())(,(*3t r xi t r r d ψψ⎰∞∞-∂∂-=。
第三章-力学量的算符表示
p
'
x
(
x)
px (x)dx
CC
exp(i
px
px
x)dx
因为
1
exp(ikx)dx (k)
2
13
p'x
( x)
px
( x)dx
C
2
2 ( px
p'x
)
假如取 C
1
2
,
px (x) 的归一化为 函数
p'x
( x)
简并：一种本征值相应一种以上本征函数旳情况
简并度：相应于同一本征值旳本征函数旳数目
27
LˆzYlm mYlm
在Ylm态中，体系角动量在z方向上旳投影为m 前面几种球函数
1
Y00 4
Y1,1
3 sinei 8
Y1,0
3 cos 4
Y1,1
3 sinei 8
28
3.5 厄密算符本征函数旳性质
31
f重简并： 对一种本征值ln, 若同步有f个本征函数与之相应
属于同一种本征值ln旳简并波函数ψnk,，有
Lˆ nk ln nk , k 1, ..., f
一般来说，ψnk不正交， 但总能够找到正交函数。
例题 对下面两个氢原子旳未归一化旳1s和2s电子旳波函数
1s (r, , ) 1s (r) er /a ,
假如 Aˆ Bˆ BˆAˆ 0 则Aˆ 和Bˆ对易 记为 [ Aˆ, Bˆ] Aˆ Bˆ BˆAˆ 0
例 [xˆ, pˆ x ] ?
(xˆpˆ x
pˆ x xˆ)
ix
第三章 量子力学中的力学量
以上归一化方法称为箱归一化。 动量本征函数：
再乘上时间因子：
参见：
P23:2.2-4 式。
自由粒子的波函数，其动量有确定值 。
2、角动量算符
3、角动量平方算符
为讨论方便我们要导出上述算符在球坐标下的表示式。 同理可得：
同理可得：
同理可得：
把上述表达式分别代入
4、相应的本征方程和本征值 （1）角动量的 分量
c、分立谱—本征值只能取一系列孤立实数，如粒子 在束缚态下的能谱。
重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为 或 ，
分立谱记为
。对应的本征函数分别记
为
及。
（2）、力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对 应，而出现若干个（如 个）本征态对应一个本征值， 称这种情况为 度简并。 §3-2 动量算符和角动量算符 1 动量算符
第三章 量子力学中的力学量
经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动 量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方 式描述。
量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数 这样一个基本概念，以概率的特征全面地描述了微 观粒子的运动状态。
但 并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入 了一个重要的基本概念—算符，用它表示量子力学中 的力学量。
算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相 承、贯穿始终。
本讲内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大 家学习的重点。重点掌握以下内容：
一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；
两个假设：力学量用线性厄米算符表示，状态用线 性厄米算符的本征态表示；
•三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值；
四个本征态及本征值：坐标 或 、动量 或 、 角动量 及 、能量（哈密顿量 ）。
周世勋量子力学教程第二版课件量子力学第三章
*
x
ih
d dx
x
dx
*
x
ih
d
dx
x
dx
*
x
pˆ x
x 7
同 理：
py dy * y pˆ x y
pz dz * z pˆ z z
推广至三维情况
1 2πh
dx
i p(xx)
dpe h
*
x
-ih
d dx
x dx
dx
1
dx
2πh
i
eh
p( xx)
dp
*
x
-ih
d
dx
x
dx
dxδ(x
x)
加法结合律 Fˆ Gˆ Kˆ Fˆ Gˆ Kˆ
（4）算符乘积
两算符与之积定义为
FˆGˆ Fˆ Gˆ
若 [Fˆ ,Gˆ ] (FˆGˆ GˆFˆ ) 0 , 为任意函数,即
FˆGˆ GˆFˆ
则称两算符对易。
一般 FˆGˆ ,则GˆF称ˆ 二者不对易。
14
若 Fˆ ,Gˆ (FˆGˆ GˆFˆ ) 0 ,为任意函数,即
FˆGˆ GˆFˆ
则称两算符反对易。
（5）逆算符
设 Fˆ 能唯一的解出,则定义 的逆Fˆ算符为
Fˆ 1
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• 本部分的难点是任意态 (x,t) 与力学量算符本征态 n 及力
学量概率态Cn 的区别。
• 1 厄米算符
• 1.1 算符：算符 F 只是代表对函数施加某种运算的符号，
是一种数学语言工具。例如
d dx
、、
等。量子力学中的力学
量量在p与与波函i数的相作当用，中自，由往粒往子表体现系为的一能种量运E算与形 2式2 ，2例相如当动。
量子力学中的力学量
经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动 量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描
述。量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数 这样一
个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状
态。但 并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了
一个重要的基本概念—算符，用它表示量子力学中的力学 量。算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相承、贯穿 始终。
一定，但 m 可取 (2l 1) 个值，所以本征态有
F
F
(r ,
p)
F
(r,i)
（9）
• 3 力学量算符的本征态和本征值
微观体系所处的状态，只可能分为两大类：一是体系状
态恰好处于力学量算符的本征态；二是处于任意态。
假定体系处于力学量算符
F
的本征态
，本征方程为
F
（10）
说明力学量算符对应着确定的实数本征值 ，这时的
力学量没有别的选择，只能是
本讲内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大家学 习的重点。重点掌握以下内容：
• 一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；
• 两个假设：力学量用线性厄米算符表示，状态用线性厄米
算符的本征态表示；
•
r •
三四个个力本学征量态计及L2算本及值征L：值z 、确：能定坐量值标（、x或哈可密能、顿值动量、量平Hp均）x 或值。；p 、角动量
于是，用算符表示力学量的假设被人们初步认识。
1.2 算符和它的本征态：一般来说，算符作用在一个函数
上，总会得到另一个构造不同的函数
F
（1）
但在特殊情况下，得到 (本征方程)
F
（2）
• 1.3 厄米算符：
（1）算符
F
中所有复量换成共轭复量，称为共轭算符F
*
例如
p i ，则
p* i
，一般~来说，p
(2l 1)(l
4 (l
m)! m)!
Pl
m
(cos
)e
im
l 0,1,2,
m l
m 0,1,2,
注意以下三点：
m （1） 取负值时 Ylm ( ,) (1)mYl*m ( ,) 所以只需注 意 m 为正值时的 Ylm即可；
（2）当 l 一定时，角动量平方算符的本征值 L2 l(l 1)2
的实数值。这提示我们，力学量的值只可能与厄米算符的本
征值相联系。于是提出假设：量子力学中每一个力学量 F 可
以用一个线性厄米算符 F 来表示，简称为力学量算符 F ，所
谓“线性”，无非是要求F 满足运算
F (c1 1 c2 2 ) c1 F 1 c2 F 2
（8）
以
r
r,
p
i
为基础，原则上可以得出所有力学量算符
H
2
d2
2 dx2
的本征态（能量本征态） n (x)
2 sin n x
aa
势阱宽 (0 ~ a) ，本征值
E
En
2 2 2a 2
n2,n
1,2,3
力学量算符的本征值被称为力学量谱或本征值谱
• 大致可分为三类： （1）连续谱—本征值可取任何实数值。如自由粒子的
坐标和动量的本征值谱；
（2）带谱—本征值被限定在某些区域， x1 F1 x2 , x3 F x4 , 例如固体中的能带；
四个特例
• 3.1 球坐标中的角动量
首先看角动量的
z
分量
Lz
i
的本征函数
设其本征函数为 () 对应的本征值为 Lz
本征方程为 将其变为
i
Lz
ln i Lz im
(Lz m)
可解出
m () Ceim
• 由波函数单值性要求 eim(2 ) eim 故 m 必须是整数
m 0,1,2, 可见本征值Lz m是量子化的分立谱。
（3）分立谱—本征值只能取一系列孤立实数，如粒子在 束缚态下的能谱。
重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为 或 ，分
立谱记为 n (n 1,2, )。对应的本征函数分别记为 ,
及 n 。
二是力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对应，而
s 出现若干个（如 个）本征态对应一个本征值，称这种情
s 况为 度简并。
p*
（2）算符 F 的转置算符定义为 F ，即
~
* F dx F *dx
（3）
*,
~
一般为任意函数，F F，例如算符x 的转置算符为
~
（4）
x x
这是因为
＋
*
~ dx
＋
*dx
－ x
－ x
*
|－＋
＋
*
－
dx
x
＋
*
(
)dx
－
x
~
（3）转置共轭算符（又称厄米共轭）定义为 F * F ，即
* F dx F * *dx (F )*dx
（5）
一般来讲
F F
但动量算符却例外
p
x
i x
px
p
x
i
x
的算符称为厄米算符，又
称自厄算符。因此，只要称其为厄米算符，虽然没有任何标
记，但它都包含转置共轭的性质，如 F 为厄米算符，则有
* F dx F * *dx (F )*dx
利用归一化条件 2 *d C 2 2 1 0
得归一化的波函数为
m ()
角动量平方算符
1 eim
2
(m 0,1,2, )
L2
2
1
sin
sin
1
sin 2
2
2
• 本征方程
L2 Y ( ,) l(l 1)2Y ( ,)
对应的本征值
L2 l(l 1)2
本征态
Ylm ( ,)
F
（11）
即当体系处于力学量算符 F 的本征态时，力学量 F 具有
确定值。这种确定的关系可以表示为
力学量F F (F 的本征态） F
确定值
• 量子力学重要的基本任务之一，就是确定力学量算符F 的
本征态及本征值。但有两点必须随时注意：一是力学量算符
的本征态可能不止一个，例如一维无限深势阱中哈密顿算符
（7）
• 此式为厄米算符的定义式，它的本征值具有特殊的结果： 厄米算符的本征值都是实数
• 2 力学量用厄米算符表示
当我们试图用算符表示力学量时，首先注意到：力学量
的测量值都是实数值，而算符只表示对态函数的某种作用，
并不代表数值，只有算符本征态的本征值才是一个确定的数
值。进一步说，只有厄米算符本征态的本征值才是一个确定