第三章量子力学中的力学量
量子力学第三章
1）du / dx = v ， d / dx 就是算符，
其作用是对函数 u 微商，故称为微商 算符。
2）x u = v， x 也是算符。
它对 u 作用 是使 u 变成 v。
约定: 算符只对其右边的矢量作用
定义单位算符 Iˆ 和零算符 0ˆ : Iˆ(r,t) (r,t)
0ˆ (r,t) 0
定义算符的数乘:
值必为实数。
证明：
在态下求Aˆ 的平均值
A
*Aˆ d
(
,
Aˆ
)
Aˆ 是厄米算符
(
Aˆ
,
)
( , Aˆ )* A*
故A 是实数。
存在逆定理: 在体系的任何状态下，平均值均为实数的 算符必为厄米算符。
证明：按照假定 A A*
即 ( , Aˆ ) ( , Aˆ )* ( Aˆ , )
成立时,
(Ô Û)+ = Ô Û 才成立。
算符的本征值方程
Fˆ x x 是常数
这样形式的方程称为算符的本征值方程。
本征值方程的解：
求得满足方程的一系列本征值：1 , 2 ,n ,
和相应的本征函数: 1 , 2 ,, n
可以简单记作
Fˆ n x n n x n 1,2,3,
性质 I I I : 厄密算符的本征值是实数.
n0
n0 n!
量子力学 第三章
Px Px 2 ( ) 2 ( Px Px )
i p x ( x a ) e dPx 2 ( x a) i p x ( xa ) 3 2x e dPx dx 3 2 x 2 ( x a ) dx 3
2 2a 4a
3
二、动量算符
动量算符是 i ，它的本征函数用 （r ）表示 p
本征方程为
i（r ） p （r ） p
它的三个分量方程为 i （r ） px（r ） p x i （r ） p y（r ） p y i （r ） pz（r ） p z
ˆ 常数 乘以这个函数 ，即 F ，这个方程就
ˆ 叫做算符 F 的本征方程，
ˆ 叫做 算符 F 的本征值，
ˆ 叫做算符 F 的属于本征值 的本征函数。
例如
2 2 [ U（r ） E ] 2
ˆ 简写为 H E
三、力学量的算符
ˆ P i
dy e
i （p z p ）z z
⑵、箱式归一化
L A（ ，y，z） 2
z
L A（ ，y，z） 2
x
y
L A（ ，x，z） 2
L A（ ，y，z） 的 p 值应相同。 2
i L C exp i L p yp zp C exp p x yp y zp z y z 2 x 2
[理学]第三章量子力学中的力学量1
![[理学]第三章量子力学中的力学量1](https://img.taocdn.com/s3/m/d1f77453a417866fb94a8e05.png)
F p, r
则量子力学中，该力学量的算符将写为：
ˆ,r ˆ F i , r ˆ ˆ F p F
以角动量算符为例 经典物理角动量 角动量算符 势能算符
Lrp L i r
ˆ r V
动能算符
在第七章我们将 要介绍一个只有 量子力学中才存 在的力学量—— 自旋算符，它在 经典物理不存在。
ˆz p ˆx p ˆx p ˆz 0 p
动量的不同分量算符之间显然对易
以上动量和坐标之间的对易关系是量子力学中最基本的对易关系。
写成通式:
ˆ p ˆ x i 注意： 当Ô 与 Û 对 x p 易，Û 与 Ê 对易，不 ˆ p ˆ p ˆ p ˆ 0 p
ˆ T ˆ V ˆ H
显然，算符求和满足交换率和结合率。
注意:算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符
（4）算符之积 若 Ô(Û ψ ) = ÔÛ ψ = Êψ 其中ψ是任意波函数。 则 ÔÛ = Ê
一般来说算符之积不满足交换律，即 ÔÛ ≠ Û Ô 这是算符与通常数运算规则的不同之处。
* ˆ d ( F ˆ )* d ˆ G ˆ )* (G F * * ˆ ˆ ˆ ˆ d ( F G ) F G d
量子力学教程-第三章
(
~ x
x
)
0
~ x
x
所以
同理可证:
~ pˆ x pˆ x
量子力学
利用波函数标准条件: 当|x|→∞ 时ψ,→ 0。
可以证明： ~~
( Aˆ Bˆ ) Bˆ Aˆ 13
(12)厄米共轭算符
(，Oˆ )= (O^，)
算符 Ô 之厄米共轭算符 Ô+ 定义:
14
(13) 厄米算符
返回
1. 定义:
满足下列关系 的算符称为 厄米算符.
d *Oˆ d (Oˆ )*
或 Oˆ Oˆ
利用
d*Oˆ d(Oˆ)*
2. 性质
性质 I: 两个厄密算符之和仍是厄密算符。
即
若
Ô + = Ô , Û+ = Û
则
(Ô +Û)+ = Ô + + Û+ = (Ô +Û)
z
L
rA
L
2
,
y,
z
A
由此得：e
i
[
px
L
]
1于是有：
1
px L
2nx
px
2nx
L
量子力学(第三章)
RETURN
3
ˆ F
一 力学量的算符表示
量子力学基本假设三：力学量用厄米算符表示。
什么是算符? 算符代表对某个函数进行某种运算或变换的符号
ˆu=v F ˆ 把函数 表示 F
u 变成 v， ˆ 就是这种变 F 换的算符。
由于算符只是一种运算符号，所以它单独 存在是没有意义的，仅当它作用于函数上，对 函数做相应的运算才有意义，例如： 1）dx / dt = v ， d / dt 就是算符，其作用 是对函数 x 微商， 故称为微商算符。
先转置后共轭 与先共轭再转置一样
11
（8）线性算符
满足运算规则
ˆ (c c ) c F ˆ ˆ F 1 1 2 2 1 1 c2 F 2
ˆ 称为线性算符，c ，c 是任意常数。 的算符 F 1 2 ˆ i 是线性算符 [例] 动量算符 p
算符不是线性算符
12
（10）厄米算符
ˆ ] ( FG ˆ ˆ ) 0 ˆ,G ˆ ˆ GF 若这样表示 [ F ˆˆ ˆ ˆ GF 意函数,即 FG
为任
则称两算符对易。
一般
6 ˆ ˆ ,则称二者不对易。类比矩阵 ˆ ˆ GF FG
ˆ ( FG ˆ ˆ ) 0 ˆ,G ˆ ˆ GF 若这样表示 F
1 2 3 m
[理学]第三章量子力学中的力学量1
能量本征方程（定态薛定谔方程） 于这个本征值的本征函数。根据以上假定，当 粒子属于这个状态时，坐标确定，坐标值就是 本征值 r ' 。 角动量本征方程
ˆ r r ' 坐标本征方程，注意这里 r '是本征值，r ' 是属 r r' r' r'
ˆ LL ' L 'L '
注意：这些量的分量也可构成各自的本征方程。
* ˆ ˆ d * B ˆ ) d * A ( A B 2 1 1 2 1 ˆ 2 d
ˆ ) * d ( B ˆ ) * d 2 ( A 1 2 1
p H V r ,t 2
原来经典物理表达 式中的动量和坐标 分别被各自的算符 所取代
2
ˆ2 p ˆ, t ˆ H V r 2
2
2
2 V r , t
从这个规则，我们可以看出怎样把力学量从经典物理表达式变 成量子力学中的算符形式： 如果量子力学中力学量F在经典物理中有对应的力学量，并且 在经典物理中该力学量可以写成是动量和坐标的函数，即：
第三章
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
量子力学中的力学量
表示力学量的算符 动量算符和角动量算符 电子在库仑场中的运动 氢原子 厄密算符的本征值与本征函数 算符与力学量的关系 共同本征函数 测不准关系
量子力学教程高等教育出版社周世勋课后答案-第三章
第三章 量子力学中的力学量
3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπ
αψ2
2
22)(--
=
，求：
(1)势能的平均值222
1
x U μω=
； (2)动能的平均值μ22
p T =；
(3)动量的几率分布函数。 解：(1) ⎰
∞
∞
--==
dx e x x U x 2
2
22222121α
π
αμωμω
μωμωαμωα
παπαμω ⋅==⋅=
2
2
222241212121221
ω 4
1
=
(2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*
2ψψμμ ⎰∞∞----=dx e dx d e x x
2
22
221
2
22
21
)(21αα
μπ
α
⎰∞
∞
---=dx e x x 2
2)1(22222αααμ
πα
][22
22
222
22⎰⎰∞∞
--∞∞---=
dx e x dx e x x ααααμ
πα ]2[23222απ
ααπαμ
πα⋅-=
μωμαμαπαμ
πα⋅
===442222222ω 41
= 或 ωωω 4
14121
=-=-=U E T
(3)*(,)()
()p c p t x x dx ψψ=⎰ 222
2
x i
i
t px e dx αωαπ
π
∞
-
---∞
=
⎰
2212
2
i i x px t e
e dxe
αωαπ
π
∞
----∞
=
⎰
22222
2
1()222
ip p i x t e
dxe αωαααππ
-
+-∞
--∞
=
⎰
22222
21()222
p ip i
x t e e
dxe
αωα
α
αππ-
-
+∞
--∞
=
⎰
22
2
22
2
p i t e ωααα
π
π
-
-=
22
2
22
p i t e e
ωααπ
3第三章量子力学中的力学量总结
3第三章量子力学中的力学量总结1
第三章量子力学中的力学量
1．算符
（ 1）定义： ?Fu v? 。
（ 2）线性算符： ? ?n n n n
nnF c c F
。
2．共轭算符
（ 1）定义 + 1 2 2 1? ?()A d A d? ? ? ? ? ? （ 2）性质 ? ?? ?()AB B A? ? ??
3．厄米算符（自共轭算符）
（ 1）定义
+? ?AA? 或 1 2 2 1? ?()A d A d? ? ? ? ? ??????
（ 2）性质：
两个厄米算符之和仍为厄米算符。因为
()A B A B A B? ? ?? ? ? ? ?
两个厄米算符之积一般不是厄米算符，除非它们相互对易。因为
[ , ] 0? ? ? ?? ? ? ?() ABA B B A B A A B?? ? ?? ? ?
（ 3）构造厄米算符的方法
方法一： ? ?AA?? 必为厄米算符。因为 ? ? ? ? ? ?()A A A A A A? ? ? ?? ? ? ? ?。
方法二： ? ?()i A A?? 必为厄米算符。因为 ? ? ? ? ? ?[ ( ) ] ( ) ( )i A A i A A i A A? ? ? ?? ? ? ? ? ?。
方法三： ??AA? 必为厄米算符。因为 ? ? ? ?()A A A A? ? ?? 。
（ 4）引入厄米算符的意义：力学量算符都是厄米算符。
4．对易关系（对易子）
（ 1）定义 ? ? ?? ? ?,A B AB BA
（ 2）基本对易关系 ?, pi? ????????? （ , , ,x y z ）
第三章-量子力学中的力学量--lt
第三章例题剖析
1 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是I
L H 22
=，L 为角动量，求与此对应
的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数。 （1）转子绕一固定轴转动 （2）转子绕一固定点转动
[解]：（1）ϕ
∂∂-= i L z
ˆ 2
22
22ˆˆϕ∂∂-= z
L L
2222222ˆ2ˆˆϕ
∂∂-===I I L I L H z 能量的本征方程： )()(ˆϕψϕψE H
=，or )()(22
2
2ϕψϕψϕE I =∂∂- 引入 22
2 IE =λ
⇒=+0)()(22
2ϕψλϕψϕ
d d λϕ
ϕψi Ae =)( 由波函数的单值性 )()2(ϕψϕπψ=+
λϕλϕπi i Ae Ae =+)2( ⇒ 12=πλi e
ππλn 22= ⇒ n =λ ,2,1,0±±=n
I n E n 22
2 =∴，ϕψin Ae =
其中 π21
=A
（2） I
L H 2ˆˆ2=，在球极坐标系中 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=22
222sin 1sin sin 1ˆϕθθθθθ L 体系的能量算符本征方程：),(),(ˆϕθψϕθψE H
= ),(),(sin 1sin sin 122222
ϕθψϕθψϕθθθθθE I
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-
),(),(sin 1sin sin 1222ϕθλψϕθψϕθθθθθ-=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂
其中22
IE
=
λ，以上方程在πθ≤≤0的区域内存在有限解的条件是λ必须取)1(+l l ，),2,1,0( =l ，即 )1(+=l l λ ,2,1,0=l
3量子力学中的力学量
* d * * d
( *) * d 0
若 0 则有 * ，说明本征值λ是实数。
例：坐标算符 xˆ x和动量算符 pˆ x i
d 都是厄米算符。 dx
证明：设两个任意波函数 和
1因为 * xd (x )*d
没有经典对应的力学量则唯象地引入，如宇称和自旋等。
B. 算符函数
设给定的函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛
F(x)
x F (n) (0) n n!
n0
量子力学中算符函数，可由幂级数定义得：
F ( A^) F (n) (0) A^n , F (n) (x) n F (x)
性质： (ÔÛ)-1 = Û-1Ô-1
y
注意：并非所有算符都
存在逆算符。
如：投影算符 Pˆx Ai B
不存在逆算符。
O
A1
A2 A3
B
x
（6）算符的复共轭、转置和厄米共轭
(a) 线性代数中两函数的内积（标积）
*
(u, v) u*vd uv*d (v,u)*
性质： (u,u) 0 (u,v)* (v,u) (u,c1v1 c2v2) c1(u,v1) c2(u,v2) (c1u1 c2u2,v) c1*(u1,v) c2*(u2,v)
量子力学 第三章 课件
讲授内容
3.1 表示力学量的算符
3.2 动量算符与角动量算符
3.3 电子在库仑场中的运动 3.4 氢原子 3.5 厄米算符本征函数的正交性 3.6 力学量算符与力学量的关系 3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
3
学习内容
1．坐标算符、动量算符的表示形式及它们间的对易关系； 2．角动量算符的表示形式及相关的对易关系； 3．动量算符本征函数的两种归一化：箱归一化和 函数归一 化； 4．角动量算符的共同本征函数及所对应的本征值； 5．正点电荷库仓场中电子运动的定态薛定谔方程及其求解的 基本步骤；定态波函数的表达形式；束缚态的能级及其简 并度；氢原子的能级、光谱线的规律；电子在核外的概率 分布；电离能和里德伯常数； 6．量子力学的力学量与厄米算符的关系；厄米算符的本征函 数组成正交完备集； 7．在什么情况下力学量具有确定值；力学量可能值、概率、 平均值的计算方法，两个力学量同时具有确定值的条件； 8．不确定关系及其应用。
P
AL
i P r
3 / 2
1 (r ) 3 / 2 e L
i Et P r,t p r e
P
16
讨 论 （1）从这里可以看出，只有在分立谱情况下，波函数 才能归一化为一；连续谱情况，归一化为 函数。 （2）由
Px 2nx L , Py 2ny L , Pz 2nz L
第三章 量子力学中的力学量c
第三章 量子力学中的力学量
§1.1 学习指导
实验表明，微观粒子具有波粒二象性，在传播过程中出现干涉和衍射现象，显示出波动的特性；在相互作用过程中出现碰撞，能量和动量守恒，显示出粒子性。量子力学理论中用波函数来描述微观粒子的状态，很好地解释了微观粒子波动性的一面，这在上一章中已经作了介绍。本章主要介绍量子力学中力学量的描述，来处理其粒子性的一面。
在经典力学中，粒子的状态用广义坐标和广义动量来描述，力学量是广义坐标和动量的函数。在量子力学中，粒子的状态用波函数来描述，坐标和动量成为作用在波函数上的算符。按照对应原理，量子力学中的力学量应该是坐标算符和动量算符的函数，也是一个作用在波函数上的算符。
根据实验，微观粒子的波函数满足叠加原理，因此力学量算符必须是线性算符；力学量的测量结果为相应算符的本征值，它们都是实数，因此力学量算符必须是厄密算符。用波函数来描述微观粒子的状态，用线性厄密算符(以下称厄密算符)来描述微观粒子的力学量，两者相互配合，形成了一个可以全面处理微观粒子波粒二象性特点的完整理论。
本章的主要知识点有 1．力学量算符 1）力学量的描述
量子力学中的力学量Q 用厄密算符ˆQ 表示，位置算符ˆr
r =v v 和动量算符ˆp i =-∇v
h 是量子力学中最基本的力学量算符，而能量算符，即哈密顿算符1
22ˆ()m
H
p U r =+v
是最重要的
力学量算符。
厄密算符ˆQ
是自共轭的，即ˆˆQ Q +=。对于任意两个态函数,ψϕ，都有 ˆˆ()Q d Q d ψ
ϕτψϕτ*
*=⎰⎰ （3-1）
第三章 量子力学中的力学量
n 1,2,3,
一维无限深方势阱中粒子的能级和波函数：
1 n n ( x) sin ( x a). n 1,2,3, 2a a
n 2 2 2 En ; 2 8ma
n 1,2,3,
动量是一个力学量，与之对应的是动量算符：
ˆ Px i x
ˆ P ˆ P x i x
* x
* ˆ ˆ P P
~ ˆ ˆ （3）算符 F 的转置算符 F ~ ˆ ˆ 定义： u* Fv d vFu* d
~ ˆ ˆ (u , Fv) ( v* , Fu * )
~ 性质：ⅰ x x ~ * 证： * * * u x vdx v x u dx vu u x vdx ~ * u vdx x x x
ˆ 1F 1FG G 1IG G 1G I G ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆG ) 1 G 1 F 1 (F ˆ 则:
6. 算符的复共轭、转置和厄米共轭算符 （1） 内积（标积）
(u , v) u vd ( uv d ) ( v, u )
需要什么样的算符来描述?如何描述?
§3.1 表示力学量的算符
一、算符定义
ˆ 算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号 F
量子力学 第三章
i P r
d r][ (i (r , t ))e
3
i P r
3 d r ]d P
3
11
3.1 表示力学量的算符（续6）
Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
i 1 3 P ( r r ) * 3 (r , t ) i (r , t ) e d P d r dr 3 2
可求出粒子动量 (Px , Py , P) 或 P 的平均值。
C ( p, t ) ，同理 若知道粒子在动量表象中的波函数
6
3.1 表示力学量的算符（续1）
Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
（1）坐标平均值
设粒子的状态波函数为 (r , t ) 或 C ( P, t )
1 * C ( P, t )[ (r , t )ie 3/ 2 (2 )
i Pr
ˆ i P
─ 动量算符
(i (r , t ))e
i P r
3 d r ]d P
3
* 1 [ (r, t )e 3 (2 )
*
ˆ i i i k 其中 P j ─ 动量算符 z x y
量子力学教程 第三章
不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) [Ô,Û] = - [Û,Ô] 2) [Ô,Û+Ê] = [Ô,Û ] + [Ô, Ê] 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê] 4) [Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]] = 0
上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。
量子力学
3.性质 II: 若 Ô, Û 均存在逆算符, 则 (Ô Û)-1 = Û-1 Ô-1
10
（9）算符函数
F ( x)
n 0 F ( n ) (0) n!
设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛
xn
则可定义算符 Û 的函数 F(Û)为:
ˆ) F (U
( r ) p ( r ) i p p
量子力学
其 分 量 形 式 ：
(r ) i p (r ) i y p i z p (r )
x
(r ) p x p (r ) p y p p z p (r )
dx *
dx * * |
dx *
x
dx * x
由于ψ 、φ 是 任意波函数, 所以
第三章 量子力学中的力学量
1． 算符运算 A.算符和与差：
ˆ B ˆ B ˆ ) A ˆ (A
ˆB ˆ (B ˆ A ˆ ) B.算符乘： A
C.算符相等：对任意函数Ψ ，若 ˆ B ˆ 成立，则 A D.线性算符：
ˆ 是线性算符。 ˆ (c c ) c A ˆ c A ˆ 成立，则 A 若 A 1 2 1 2
1 d 2 dR 2m r E V ( r ) R 0 (1)称径向方程， 2 2 2 r dr dr r ˆ2Y ( , ) 2Y ( , )－－－－ －(2)称角度方程 L
p ˆ y i ， ˆ z i ， ˆ x i ， p p z y x
坐标算符
ˆ ˆ y, z ˆz ˆ r ， x x, y r
b．其他力学量算符由此二个基本算符构成，p55.构成规则为: 先写出某一力学量的经典表示式 F (r , p)， 然后将其中的P换为算符 ˆ F (r ˆ 就到得此力学量的算符，即 F (r p ˆ, p ˆ) F ˆ) ,p
(1) (2)
其中，
本征函数： nlm (r , , ) Rnl (r )Ylm ( , )
z 2 m es4 本征值： Enl 2 2 2 n
zes2 V (r ) r
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p*
（2）算符百度文库F 的转置算符定义为 F ，即
~
* F dx F *dx
（3）
*,
~
一般为任意函数，F F，例如算符x 的转置算符为
~
（4）
x x
这是因为
＋
*
~ dx
＋
*dx
－ x
－ x
*
|－＋
＋
*
－
dx
x
＋
*
(
)dx
－
x
~
（3）转置共轭算符（又称厄米共轭）定义为 F * F ，即
F
（11）
即当体系处于力学量算符 F 的本征态时，力学量 F 具有
确定值。这种确定的关系可以表示为
力学量F F (F 的本征态） F
确定值
• 量子力学重要的基本任务之一，就是确定力学量算符F 的
本征态及本征值。但有两点必须随时注意：一是力学量算符
的本征态可能不止一个，例如一维无限深势阱中哈密顿算符
* F dx F * *dx (F )*dx
（5）
一般来讲
F F
但动量算符却例外
p
x
i x
px
p
x
i
x
（6）
（4）厄米算符
满足 F
F
的算符称为厄米算符，又
称自厄算符。因此，只要称其为厄米算符，虽然没有任何标
记，但它都包含转置共轭的性质，如 F 为厄米算符，则有
* F dx F * *dx (F )*dx
H
2
d2
2 dx2
的本征态（能量本征态） n (x)
2 sin n x
aa
势阱宽 (0 ~ a) ，本征值
E
En
2 2 2a 2
n2,n
1,2,3
力学量算符的本征值被称为力学量谱或本征值谱
• 大致可分为三类： （1）连续谱—本征值可取任何实数值。如自由粒子的
坐标和动量的本征值谱；
（2）带谱—本征值被限定在某些区域， x1 F1 x2 , x3 F x4 , 例如固体中的能带；
• 本部分的难点是任意态 (x,t) 与力学量算符本征态 n 及力
学量概率态Cn 的区别。
• 1 厄米算符
• 1.1 算符：算符 F 只是代表对函数施加某种运算的符号，
是一种数学语言工具。例如
d dx
、、
等。量子力学中的力学
量量在p与与波函i数的相作当用，中自，由往粒往子表体现系为的一能种量运E算与形 2式2 ，2例相如当动。
（3）分立谱—本征值只能取一系列孤立实数，如粒子在 束缚态下的能谱。
重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为 或 ，分
立谱记为 n (n 1,2, )。对应的本征函数分别记为 ,
及 n 。
二是力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对应，而
s 出现若干个（如 个）本征态对应一个本征值，称这种情
s 况为 度简并。
的实数值。这提示我们，力学量的值只可能与厄米算符的本
征值相联系。于是提出假设：量子力学中每一个力学量 F 可
以用一个线性厄米算符 F 来表示，简称为力学量算符 F ，所
谓“线性”，无非是要求F 满足运算
F (c1 1 c2 2 ) c1 F 1 c2 F 2
（8）
以
r
r,
p
i
为基础，原则上可以得出所有力学量算符
(2l 1)(l
4 (l
m)! m)!
Pl
m
(cos
)e
im
l 0,1,2,
m l
m 0,1,2,
注意以下三点：
m （1） 取负值时 Ylm ( ,) (1)mYl*m ( ,) 所以只需注 意 m 为正值时的 Ylm即可；
（2）当 l 一定时，角动量平方算符的本征值 L2 l(l 1)2
本讲内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大家学 习的重点。重点掌握以下内容：
• 一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；
• 两个假设：力学量用线性厄米算符表示，状态用线性厄米
算符的本征态表示；
•
r •
三四个个力本学征量态计及L2算本及值征L：值z 、确：能定坐量值标（、x或哈可密能、顿值动量、量平Hp均）x 或值。；p 、角动量
四个特例
• 3.1 球坐标中的角动量
首先看角动量的
z
分量
Lz
i
的本征函数
设其本征函数为 () 对应的本征值为 Lz
本征方程为 将其变为
i
Lz
ln i Lz im
(Lz m)
可解出
m () Ceim
• 由波函数单值性要求 eim(2 ) eim 故 m 必须是整数
m 0,1,2, 可见本征值Lz m是量子化的分立谱。
于是，用算符表示力学量的假设被人们初步认识。
1.2 算符和它的本征态：一般来说，算符作用在一个函数
上，总会得到另一个构造不同的函数
F
（1）
但在特殊情况下，得到 (本征方程)
F
（2）
• 1.3 厄米算符：
（1）算符
F
中所有复量换成共轭复量，称为共轭算符F
*
例如
p i ，则
p* i
，一般~来说，p
利用归一化条件 2 *d C 2 2 1 0
得归一化的波函数为
m ()
角动量平方算符
1 eim
2
(m 0,1,2, )
L2
2
1
sin
sin
1
sin 2
2
2
• 本征方程
L2 Y ( ,) l(l 1)2Y ( ,)
对应的本征值
L2 l(l 1)2
本征态
Ylm ( ,)
F
F
(r ,
p)
F
(r,i)
（9）
• 3 力学量算符的本征态和本征值
微观体系所处的状态，只可能分为两大类：一是体系状
态恰好处于力学量算符的本征态；二是处于任意态。
假定体系处于力学量算符
F
的本征态
，本征方程为
F
（10）
说明力学量算符对应着确定的实数本征值 ，这时的
力学量没有别的选择，只能是
（7）
• 此式为厄米算符的定义式，它的本征值具有特殊的结果： 厄米算符的本征值都是实数
• 2 力学量用厄米算符表示
当我们试图用算符表示力学量时，首先注意到：力学量
的测量值都是实数值，而算符只表示对态函数的某种作用，
并不代表数值，只有算符本征态的本征值才是一个确定的数
值。进一步说，只有厄米算符本征态的本征值才是一个确定
量子力学中的力学量
经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动 量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描
述。量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数 这样一
个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状
态。但 并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了
一个重要的基本概念—算符，用它表示量子力学中的力学 量。算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相承、贯穿 始终。
一定，但 m 可取 (2l 1) 个值，所以本征态有