山东省淄博市淄川中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题

山东省淄博市淄川中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题考试范围：数列、不等式；圆锥曲线；部分空间向量；考试时间：120分钟第I 卷（选择题52分)一、单选题(共10小题,每小题4分,共40分) 1．已知a ，b ，m ∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则＞B ．若a ＜b ，则am 2＜bm 2C ．若＜，则a ＞bD ．若a 3＞b 3，则a ＞b2．等差数列{}n a 中，3485,22a a a =+= ，则9a 的值为 ( ) A ．14B ．17C ．19D ．213．双曲线方程为＝1，则渐近线方程为（ ） A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±xD ．y ＝x4．如图，空间四边形OABC 中，＝，＝，＝，点M 在线段OA 上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，则＝（ ）A ．﹣++B ．﹣+C ．+﹣D ．+﹣5．在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝32，则a 2＝（ ） A ．﹣1 B ．1C ．±1D ．26．已知椭圆+＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴长为，离心率为．过点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．327．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点过F 且倾斜角为60°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，则|AB |＝（ ） A ．8B ．C ．16D ．8．设数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，则1215a a a +++=（ ）A ．153B ．210C ．135D ．1209．已知m+n＝4，其中m＞0，n＞0，则+的最小值是（）A．9 B．4 C．D．10．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人共行走了189里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第一天行走的路程为（）A．108里B．96里C．64里D．48里二、多选题(共3小题,每小题4分,共12分)11．若a，b，c∈R，则下列说法正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若ab＞0，则≥2C．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则12．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.与均为的最大值13．已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且＝0．双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点，若∠F1PF2＝，则正确的是（）A．＝2 B．e1•e2＝C．e＝D．e＝1第II卷（非选择题98分)三、填空题(共4小题,每小题4分,共16分)14．函数y＝x+（x<3）的最大值为．15．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1＝．16．已知A（2，）是椭圆＝1上一点，F是椭圆的右焦点，设点F到直线x＝4的距离为d，则m＝，＝．17．已知双曲线的渐近线方程为，并且焦距为20，则双曲线的标准方程为．四、解答题(共6小题,共82分)18．（12分）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）以（0，12）和（0，﹣12）为焦点，且椭圆上一点p到两焦点的距离之和为26；（2）以椭圆7x2+3y2＝21的焦点为焦点，且经过M（2，）．19．（14分）已知等差数列{a n}的各项为正数，其公差为1，a2•a4＝5a3﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝+2n﹣1，求b1+b2+…+b10．20．（14分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1和对角线DB1的中点．（1）证明：MN∥平面ABCD；（2）求直线MN与直线CB1所成角的大小．21．（14分）已知数列{a n}为等差数列，a3＝5，S4＝16．（1）求数列{a n}的公差d和通项公式a n；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和为T n．22．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2n+1﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n＝（2n+1）a n，求数列{c n}的前n项和T n．23．（14分）已知椭圆的离心率为，椭圆C过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（0，m）作圆x2+y2＝1的切线l交椭圆C于A，B两点，记△AOB（O为坐标原点）的面积为S△AOB，将S△AOB表示为m的函数，并求S△AOB的最大值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知a，b，m∈R，则下列说法正确的是（）A．若a＞b，则＞B．若a＜b，则am2＜bm2C．若＜，则a＞b D．若a3＞b3，则a＞b【解答】解： A．a＞b得不出，比如，a＝4，b＝﹣2时；B．m＝0时，a＜b得不出am2＜bm2；C.得不出a＞b，比如，a＝﹣2，b＝4；D．∵y＝x3是增函数，∴a3＞b3得出a＞b．故选：D．2．等差数列{a n}中，a3＝5，a4+a8＝22，则a9的值为（）A．14 B．17 C．19 D．21【解答】解：在等差数列{a n}中，由a4+a8＝22，得2a6＝22，又a3＝5，由等差数列的性质可得：a9＝2a6﹣a3＝22﹣5＝17．故选：B．3．双曲线方程为＝1，则渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝x【解答】解：∵双曲线方程为，则渐近线方程为，即，故选：A．4．如图，空间四边形OABC中，＝，＝，＝，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则＝（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣【解答】解：＝，＝+﹣+，＝++﹣，＝﹣++，∵＝，＝，＝，∴＝﹣++，故选：A．5．在等比数列{a n}中，a2a3a4＝8，a7＝32，则a2＝（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．2【解答】解：等比数列{a n}中，a2a3a4＝8，则a33＝8，则a3＝2，∵a7＝32，∴q4＝＝16，解得q＝±2，∴a2＝±1，故选：C．6．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为，离心率为．过点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（）A．4 B．8 C．16 D．32【解答】解：∵＝＝1﹣＝，又b2＝12，∴a2＝16，∴a＝4，△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝4a＝16．故选：C．7．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点过F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，则|AB|＝（）A．8 B．C．16 D．【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），∴F且倾斜角为60°的直线y＝（x﹣1），∴，整理得3x2﹣10x+3＝0，由韦达定理可知x1+x2＝，由抛物线的定义可知：|AB|＝p+x1+x2＝2+，故选：D．8．设数列的通项公式为a n＝2n﹣7，则|a1|+|a2|+…+|a15|＝（）A．153 B．210 C．135 D．120【解答】解：令a n＝2n﹣7≥0，解得．∴从第4项开始大于0，∴|a1|+|a2|+…+|a15|＝﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+…+a15＝5+3+1+1+3+…+（2×15﹣7）＝9+＝153．故选：A．9．已知m+n＝4其中m＞0，n＞0，则+的最小值是（）A．9 B．4 C．D．【解答】解：∵函数y＝log a（x+2）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣1，﹣1），∴将点（﹣1，﹣1）代入mx+ny+4＝0，得m+n＝4，∵m＞0，n＞0，则+＝（m+n）（）＝＝当且仅当且m+n＝4即n＝时取得最小值．故选：D．10．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人共行走了189里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第一天行走的路程为（）A．108里B．96里C．64里D．48里【解答】解：根据题意，记该人每天走的路程里数为{a n}，则数列{a n}是以的为公比的等比数列，又由这个人走了6天后到达目的地，即S6＝189，则有S6＝＝189，解可得：a1＝96，故选：B．11．（4分）若a，b，c∈R，则下列命题中为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若ab＞0，则≥2C．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则【解答】解：对于选项A，当c＝0时，若a＞b，则ac2＝bc2，故A错误，对于选项B，因为ab＞0，所以，，所以≥2＝2，当且仅当，即a2＝b2时取等号，故B正确，对于选项C，因为a＞|b|，由不等式的性质可得：a2＞b2，显然选项C正确，对于选项D，取a＝1，b＝﹣1时，显然选项D错误，综上可知：选项BC正确，故选：BC．12．ABD【解析】，则，，则，则，，．，∴，由知是中的最大值．从而ABD均正确．故选ABD．13．（4分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且＝0．双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点，若∠F1PF2＝，则正确的是（）A．＝2 B．e1•e2＝C．e＝D．e＝1【解答】解：如图所示，设双曲线的标准方程为：﹣＝1（a1，b1＞0），半焦距为c．∵椭圆C1的上顶点为M，且＝0．∴∠F1MF2＝，∴b＝c，∴a2＝2c2．∴e1＝＝．不妨设点P在第一象限，设|PF1|＝m，|PF2|＝n．∴m+n＝2a，m﹣n＝2a1．∴mn＝＝a2﹣．在△PF1F2中，由余弦定理可得：4c2＝m2+n2﹣2mn cos＝（m+n）2﹣3mn＝4a2﹣3（a2﹣）．∴4c2＝a2+3．两边同除以c2，得4＝+，解得：e2＝．∴e1•e2＝•＝．故选：BD．三、填空题：14．故答案为：1．15．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1＝．【解答】解：∵AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∴＝＝＝，∵＝，∴＝+++2+2+2＝6，∴||＝．故答案为：．16．已知A（2，）是椭圆＝1上一点，F是椭圆的右焦点，设点F到直线x＝4的距离为d，则m＝8 ，＝．【解答】解：A（2，）是椭圆＝1上一点，代入可得：＝1，解得m＝8．∴c＝＝2．∴F（2，0）．∴|AF|＝＝．点F到直线x＝4的距离为d＝2，＝．故答案为：8，．17．已知双曲线的渐近线方程为，并且焦距为20，则双曲线的标准方程为．【解答】解：当焦点在x轴上时，∵双曲线的渐近线方程为，并且焦距为20，∴，∴∴双曲线的标准方程为；当焦点在y轴上时，∵双曲线的渐近线方程为，并且焦距为20，∴，∴∴双曲线的标准方程为综上知，双曲线的标准方程为故答案为：四、解答题(共6小题,共82分)18．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）以（0，12）和（0，﹣12）为焦点，且椭圆上一点p到两焦点的距离之和为26；（2）以椭圆7x2+3y2＝21的焦点为焦点，且经过M（2，）．【解答】解：（1）∵椭圆的焦点在y轴上，∴设其方程为，∵2a＝26，∴a＝13，又c＝12，则b2＝a2﹣c2＝25．∴所求椭圆方程为；（2）由7x2+3y2＝21，得．可得c2＝a2﹣b2＝4，即c＝2．∴所求椭圆焦点为（0，﹣2），（0，2），设椭圆方程为，由M（2，）在椭圆上，则2a＝＝．∴a＝2，则b2＝a2﹣c2＝8．∴所求椭圆方程为．19．已知等差数列{a n}的各项为正数，其公差为1，a2•a4＝5a3﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝+2n﹣1，求b1+b2+…+b10．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的各项为正数，其公差为1，a2•a4＝5a3﹣1．∴（a1+1）（a1+3）＝5（a1+2）﹣1，解得a1＝3，或a1＝﹣2（舍），∴数列{a n}的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d＝3+（n﹣1）＝n+2．（2）∵b n＝+2n﹣1＝2n+2n﹣1，∴b1+b2+…+b10＝（2+22+23+…+210）+2（1+2+3+…+10）﹣10×1＝+2×﹣10＝2046+110﹣10＝2146．20．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1和对角线DB1的中点．（1）证明：MN∥平面ABCD；（2）求直线MN与直线CB1所成角的大小．【解答】证明：（1）连结BD，∵M，N分别是棱BB1和DB1的中点，∴MN∥BD，∵MN⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．解：（2）设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），B1（1，1，1），∴M（1，1，），N（），＝（﹣1，0，1），＝（﹣，﹣，0），∴cos＜＞＝＝＝．∴＜＞＝，∴直线MN与直线CB1所成角的大小为．21．已知数列{a n}为等差数列，a3＝5，S4＝16．（1）求数列{a n}的公差d和通项公式a n；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和为T n．【解答】解：（1）数列{a n}为等差数列，设公差为d，a3＝5，S4＝16．则：，解得：a1＝1，d＝2，则：a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，（2）由于：a n＝2n﹣1，所以：b n＝＝＝，所以：，＝，＝．22．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2n+1﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n＝（2n+1）a n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）S n＝2n+1﹣2，可得n＝1时，a1＝S1＝4﹣2＝2，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n+1﹣2﹣2n+2＝2n，上式对n＝1也成立，则数列{a n}的通项公式为a n＝2n，n∈N*；（2）c n＝（2n+1）a n＝（2n+1）•2n，前n项和T n＝3•2+5•22+7•23+…+（2n+1）•2n，2T n＝3•22+5•23+7•25+…+（2n+1）•2n+1，相减可得﹣T n＝6+2（22+23+…+2n）﹣（2n+1）•2n+1＝6+2•﹣（2n+1）•2n+1，化简可得T n＝（2n﹣1）•2n+1+2．23．已知椭圆的离心率为，椭圆C过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（0，m）作圆x2+y2＝1的切线l交椭圆C于A，B两点，记△AOB（O为坐标原点）的面积为S△AOB，将S△AOB表示为m的函数，并求S△AOB的最大值．【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为，∴a＝2b，设椭圆C的方程为：，∵椭圆C过点，∴，∴b＝1，a＝2，∴椭圆C的标准方程为．…（4分）（2）由题意知，|m|≥1．由题设知切线l的斜率存在，设切线l的方程为y＝kx+m，由，得，设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），则，…（6分）又∵l与圆x2+y2＝1相切，∴＝1，k2＝m2﹣1，∴|AB|＝＝＝，∴，m∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）∴（当且仅当时取等号）∴当时，S△AOB的最大值为1．…（13分）高二数学期中考试答案11.11一、单选题（每题4分）1-5 DBAAC 6-10 CDADB二、多选题（每题4分，选不全的得2分；错选的得0分）11 BC 12.ABD 13. BD三、填空题（每题4分，其中16题每空2分）14. 1 15. 16. 8 ， 17.四、解答题(共6小题,共82分)18．（12分）【解答】（1）椭圆方程为；（2）椭圆方程为．19．（14分）【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的各项为正数，其公差为1，a2•a4＝5a3﹣1．∴（a1+1）（a1+3）＝5（a1+2）﹣1，解得a1＝3，或a1＝﹣2（舍），∴数列{a n}的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d＝3+（n﹣1）＝n+2．（2）∵b n＝+2n﹣1＝2n+2n﹣1，∴b1+b2+…+b10＝（2+22+23+…+210）+2（1+2+3+…+10）﹣10×1＝+2×﹣10＝2046+110﹣10＝2146．20．（14分）【解答】证明：（1）连结BD，∵M，N分别是棱BB1和DB1的中点，∴MN∥BD，∵MN⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．（2）设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），B1（1，1，1），∴M（1，1，），N（），＝（﹣1，0，1），＝（﹣，﹣，0），∴cos＜＞＝＝＝．∴＜＞＝，∴直线MN与直线CB1所成角的大小为．21．（14分）【解答】解：（1）数列{a n}为等差数列，设公差为d，a3＝5，S4＝16．则：，解得：a1＝1，d＝2，则：a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，（2）由于：a n＝2n﹣1，所以：b n＝＝＝，所以：＝＝．22．（14分）【解答】解：（1）S n＝2n+1﹣2，可得n＝1时，a1＝S1＝4﹣2＝2，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n+1﹣2﹣2n+2＝2n，上式对n＝1也成立，则数列{a n}的通项公式为a n＝2n，n∈N*；（2）c n＝（2n+1）a n＝（2n+1）•2n，前n项和T n＝3•2+5•22+7•23+…+（2n+1）•2n，2T n＝3•22+5•23+7•25+…+（2n+1）•2n+1，相减可得﹣T n＝6+2（22+23+…+2n）﹣（2n+1）•2n+1＝6+2•﹣（2n+1）•2n+1，化简可得T n＝（2n﹣1）•2n+1+2．23．（14分）【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为，∴a＝2b，设椭圆C的方程为：，∵椭圆C过点，∴，∴b＝1，a＝2，∴椭圆C的标准方程为．…（4分）（2）由题意知，|m|≥1．由题设知切线l的斜率存在，设切线l的方程为y＝kx+m，由，得，设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），则，…（6分）又∵l与圆x2+y2＝1相切，∴＝1，k2＝m2﹣1，∴|AB|＝＝＝，∴，m∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）∴（当且仅当时取等号）∴当时，S△AOB的最大值为1．…（13分）。