一元二次不等式的解法学案肖艳波

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2.3 第一课时一元二次不等式的解法(教案)高中数学必修第一册(人教A版2019)

2.3 第一课时一元二次不等式的解法（教案）高中数学必修第一册（人教A 版2019）课题：含参一元二次不等式的解法选题意图：在学生已学习一元二次不等式解法的基础上，进行提升拓展，方便学生课前预习与课后复习，突破重点与难点教学目标：1.能熟练求解一元二次不等式2.能用分类讨论的方法求解含参数的一元二次不等式教学对象：适用于2019人教A 版必修一，高一年级学生使用教学重难点：重点：求解含参数的一元二次不等式.难点：数形结合与分类讨论的数学思想在解一元二次不等式中的应用.教学流程：一、温故知新引例解不等式：232x x ->-+ 学生活动：学生求解.设计意图：总结归纳解一元二次不等式的一般步骤，呈上启下.二、新知例1、解关于x 的不等式：0)2)((<--x a x师生活动：求解.设计意图：分类讨论两根的大小，画草图求解不等式.总结归纳：分类讨论的注意事项，一是分类的标准，二是分类做到不重不漏.变式：解关于x 的不等式：02)2(2>++-a x a x .学生活动：求解。

设计意图：分解因式后求根，转化为分类讨论两根的大小，即例1求解，及时巩固。

例2、解关于x 的不等式：).1(01)1(2<<++-a x a ax师生活动：求解。

设计意图：按二次项系数10,00<<<=a a a ，分类讨论求解.三、课堂小结：解含参一元二次不等式的步骤：（1）二次项系数含参时，按二次项系数10,00<<<=a a a ，分类讨论求解（2）判断方程根的个数（3）写出解集.四、课后练习1、解关于x 的不等式：0)1(2<--+a x a x .2、解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax教学设计思路：本节课是自主探究学习为主，先通过引例让学生解具体的数字型一元二次不等式，来熟悉一元二次不等式的解法，引导学生解例1二次项系数不含参数的一元二次不等式，建立起为什么要分类讨论，怎样分类讨论的意识，由浅入深的学习符合学生的认知心理。

大中高一一元二次不等式解法导学案 (3)

一元二次不等式的解法(3)教学目的：掌握一元二次不等式的几种应用例题分析：例题1(已知不等式的解集，求参数的值) (1)已知02≤+-n mx x 的解集为{}15≤≤-x x ，求n m 和（2）已知22>++c x ax 的解集为{}53x x -<<，求实数c a 和，并解不等式022>-+-a x cx变式练习1：（1）已知20ax bx c ++≥的解集为{}15≤≤-x x ，求a 与b 的值。

（2）已知022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ，求实数c a 和，并解不等式022>-+-a x cx例题2（含参数不等式解法）求关于x 的不等式的解集：03222<+-a ax x变式练习2-----解关于x 的不等式：（1）a a x x <+-)1( （2）0)(322>++-a x a a x巩固练习：1、解集为(1,3)的一个不等式为___________________；2、如果关于x 的二次不等式02182<++mx mx 的解集为)1,7(--，则____=m 。

3、若不等式02>+c bx x－的解集为{}21><x x x 或，则_______==c b ，；不等式012<++bx cx 的解集为______________________。

4、解下面的关于x 的不等式： (1）2242a ax x <+ ( 2）01)2(2>++++a x a x一元二次不等式的解法（4）学习目标：掌握恒成立问题的解决方法一、知识梳理：我们对前面的不等式的解集作一下总结： 1、不等式20axbx c ++>的解集是R 的条件是：⎩⎨⎧<∆>≠>==00000a a c b a 时，当；，时，当2、不等式20axbx c ++<的解集是R 的条件是：⎩⎨⎧<∆<≠<==00000a a c b a 时，当；，时，当注意：有了上面的知识，我们要时刻注意相同问题的不同问法，时刻结合函数图像，就可以灵活解决很多问题。

高三上学期《一元二次不等式及其解法》导学案

高三上学期《一元二次不等式及其解法》导学案一、教学内容解析一元二次不等式的解法是高中数学最重要的内容之一，在高中数学中起着广泛的应用工具作用，隐藏着重要的数形结合思想，是代数、三角、解析几何交汇综合的部分，在高中数学中具有举足轻重的地位。

教科书中对一元二次不等式的解法，没有介绍较繁琐的纯代数方法，而是实行简洁明白的数形结合的方法，从详细到抽象，从特别到一般，用二次函数的图象来讨论一元二次不等式的解法。

教学中，利用几何画板的动态演示功能，引导同学结合二次函数的图象探究一元二次不等式、一元二次方程、二次函数“三个二次”间的联系，归纳总结出一元二次不等式的求解过程。

通过对一元二次不等式解集的探究过程，渗透函数与方程、数形结合、分类争论等重要的数学思想。

一元二次不等式的解法是程序性较强的内容，探究中应留意对“特例”的处理，让同学留意对“特别状况”的处理，才能让学习的内容更加完整。

因此，本节课教学的重点是围绕一元二次不等式的解法，通过图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，突出体现数形结合的思想。

二、教学目标解析1. 通过对一元二次不等式解法的探究，让同学了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。

2. 把握一元二次不等式的求解步骤，尤其是对“特例”的处理。

3. 通过图象解法渗透数形结合、分类化归等重要的数学思想，培育同学动手力量，观看分析力量、抽象概括力量、归纳总结等系统的规律思维力量，培育同学简约直观的思维方法和良好的思维品质。

三、同学学情分析同学已有的认知基础是，同学已经学习了二次函数、一元二次方程、函数的零点等有关学问，为本节课的学习打下了基础。

同学依据详细的二次函数的图象得对应一元二次不等式的解集时问题不大，同学可能存在的困难：（1）二次函数是学校学习的难点，很多同学对二次函数的学问把握欠缺，对本节课的顺当开展有肯定的影响；（2）从特别的一元二次不等式的求解到一般的一元二次不等式的求解，同学全面考虑不怜悯况下的解集有肯定的困难。

高中高一数学教案：一元二次不等式的解法

高中高一数学教案：一元二次不等式的解法一、教学目标1.知识与技能目标：理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法，能够熟练运用解一元二次不等式的方法解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过探究一元二次不等式的解法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的精神。

二、教学重点与难点1.教学重点：一元二次不等式的解法。

2.教学难点：一元二次不等式的解法在实际问题中的应用。

三、教学过程1.导入新课（1）引导学生回顾一元二次方程的解法。

（2）提出问题：一元二次不等式与一元二次方程有何关系？如何解一元二次不等式？2.探究一元二次不等式的解法（1）引导学生学习一元二次不等式的解法。

（2）通过例题讲解，让学生掌握一元二次不等式的解法。

（3）让学生尝试独立解决一元二次不等式问题，并及时给予反馈。

3.巩固练习（1）布置一些一元二次不等式的练习题，让学生独立完成。

（2）对学生的练习进行批改，指出错误并给予指导。

4.小组讨论（1）让学生分组讨论一元二次不等式在实际问题中的应用。

（2）让学生分享自己在学习过程中的收获和困惑。

四、教学评价1.课后作业：布置一些一元二次不等式的习题，要求学生独立完成，以检验学生对本节课内容的掌握情况。

2.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、发言积极性和问题解决能力，以了解学生的学习效果。

五、教学反思六、教学拓展1.引导学生进一步学习一元二次不等式的性质，如单调性、奇偶性等。

2.探讨一元二次不等式与其他数学知识（如函数、几何等）的联系。

七、教学资源1.教材：高中数学教材（人教版）。

2.课件：制作一元二次不等式的解法课件。

3.练习题：设计一些一元二次不等式的习题，供学生课后练习。

八、教学时间1课时九、教学建议1.在教学过程中，要注重启发式教学，引导学生主动探究、积极思考。

2.注重培养学生的团队合作能力，鼓励学生相互交流、分享经验。

高一数学上册《一元二次不等式的解法》教案、教学设计

（3）结合图像法、因式分解法、配方法及求根公式，总结一元二次不等式解法的适用场景和优缺点。
2.选做题（针对学有余力的学生）：
（1）研究一元二次不等式的性质，如单调性、奇偶性等，并举例说明。
（2）探讨一元二次不等式解法在生活中的应用，撰写一篇小论文，分享自己的观点和心得。
3.小组合作作业：
（1）小组内分工合作，共同探讨并总结一元二次不等式的解法技巧。
2.引导学生运用数形结合的思想，将一元二次不等式与图像相结合，培养学生的直观想象能力和逻辑思维能力。
3.通过对一元二次不等式解法的讨论，培养学生分类讨论、逐步推进的思维习惯。
4.结合实际例题，引导学生总结一元二次不等式的解法技巧，提高解题效率。
5.鼓励学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的创新意识和应用能力。
（4）将一元二次不等式解法应用于解决实际问题，培养学生数学建模和解决问题的能力。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用启发式教学，引导学生通过观察、猜想、验证、总结等环节，自主探究一元二次不等式的解法。
（2）结合图像法，利用多媒体教学手段，形象直观地展示一元二次不等式的解法过程。
（3）小组合作学习，让学生在讨论、交流中相互学习、共同提高，培养学生的团队协作能力。
5.引导学生正确看待数学学习中的成功与失败，形成积极向上的心态，为未来的学习奠定坚实基础。
本教学设计旨在帮助学生在掌握一元二次不等式解法的基础上，提高数学思维能力、解决问题的能力以及情感态度与价值观的培养。在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每位学生都能在学习中收获成长。
二、学情分析
作业要求：
1.学生需独立完成作业，确保作业质量。
2.作业完成后，认真检查，及时纠正错误。

2.2.3 高中必修一数学教案《一元二次不等式的解法》

高中必修一数学教案《一元二次不等式的解法》教材分析一元二次不等式的解法是高中重要的基本功，也是初中与高中的衔接点，是进一步熟悉不等式的性质的体现。

学生通过本节课的学习，可以了解一元二次不等式的本质，学会一元二次不等式的一般解法思路，理解一元二次不等式的解与对应的一元二次方程根的关系。

学情分析学生在初中接触过一元二次方程求根，也会解答简单的一元二次不等式。

但学生在初中学习的方法比较杂，需要规范一般的解答思路。

教学目标1、会解简单的一元二次不等式。

2、了解一元二次不等式与二次函数，一元二次方程之间的相互关系，计算出其解集。

教学重难点一元二次不等式的解法与其对应方程的根。

教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程一、情境导学汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析交通事故的一个重要依据。

在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了。

事后现场斟查，测得甲车的刹车距离略超过6m，乙车的刹车距离略超过10m 。

已知甲、乙两种车型的刹车距离s m 与车速v km/h 之间的关系分别为S 甲 = 1100 v 2 - 110 vS 乙 = 1200 v 2 - 120 v试判断甲、乙两车有无超速现象。

不难看出，要判断甲、乙两车是否超速，就要得到它们车速的取值范围，也就是要解不等式1100 v 2 - 110 v ＞6 和 1200 v 2 - 120 v ＞10即v 2-10v-600＞0和v 2-10v-2000＞0二、探究新知1、一元二次不等式一般地，形如ax 2 + bx + c ＞0的不等式称为一元二次不等式。

a ，b ，c 是常数，a ≠0。

一元二次不等式中的不等号也可以是“＜”“≥”“≤”等。

2、求一元二次不等式的解集x （x-1）＞0注意只有两个同号的数相乘，结果才能是正数。

ab ＞0当且仅当 a ＞0 a ＜0或b ＞0 b ＜0因此，不等式可以转化为两个不等式组x＞0 x＜0或x-1＞0 x-1＜0 解得x＞1或x＜0，因此，不等式①的解集为（-∞，0）∪（1，+∞）一般地，如果x1＜x2，则不等式（x-x1）（x- x2）＜0的解集是（x1，x2）不等式（x-x1）（x- x2）＞0的解集是（-∞，x1）∪（x2，+∞）3、解析情境回到情境导学中的不等式，v2-10v-600＞0（v+20）（v-30）＞0v＞30v2-10v-2000＞0（v+40）（v-50）＞0v＞50由此可见，乙车肯定超速了。

一元二次不等式及其解法(优秀教案)

七、训练评估
1、解下列不等式 (1)x2 4 0 (2) x2 4x 3 2x2 1
2、求函数 y x2 4x 9 地定义域
课后作业：教材 P80 A 组第 1、2、3、4 题
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思考：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间有怎样地联系？
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四、合作展示
1、自主探究：（ 1）类比一元一次不等式地定义，你能给出一元二次不等式地定义吗？其数学
表达形式是什么？
（ 2） ①利用预学案第 1 题，观察图象填空：当 x___________________， y=0，即 x2 5x _____0
五、应用探究：
例：解不等式 2x2 3x 2 0
变式：若不等式改为 2x2 3x 2 0，则解集为 _______________ 小结：利用二次函数解一元二次不等式地方法步骤？
变式练习： 1、解不等式 4x2 4x 1 0
2、解不等式 x2 2x 3 0
六、知识整理：
本节课我们学习了哪些知识？运用了哪些数学思想方法？
当 x__________________，y>0，即 x2 5x _____0
当 x___________________， y<0，即 x2 5x _____0
②不等式
2
x
5x >0 地解集是 _ x2 5x <0 地解集是 _________________ 2、合作探究：

一元二次不等式的解法教案

一元二次不等式的解法教案教案标题：一元二次不等式的解法教案目标：1. 了解一元二次不等式的基本概念和性质。

2. 掌握一元二次不等式的解法方法。

3. 能够运用所学的方法解决一元二次不等式问题。

教案步骤：步骤一：引入1. 引导学生回顾一元二次方程的解法，复习求解方程的基本方法。

2. 引出一元二次不等式的概念，并与方程进行对比，强调二者的区别。

步骤二：解法概述1. 讲解一元二次不等式的基本解法思路，即转化为一元二次方程的解法思路。

2. 强调解一元二次不等式的关键在于确定不等式的符号方向。

步骤三：解法详解1. 解法一：图像法a. 通过绘制一元二次不等式的图像，帮助学生直观理解不等式的解集。

b. 强调图像法的局限性，只适用于简单的一元二次不等式。

2. 解法二：代入法a. 将不等式转化为一元二次方程，通过求解方程的方法得到解集。

b. 强调代入法的适用范围，对于复杂的一元二次不等式，可能需要进行多次代入。

3. 解法三：区间判断法a. 利用一元二次函数的性质，通过判断函数在不同区间的取值情况确定不等式的解集。

b. 强调区间判断法的灵活性和实用性。

步骤四：练习与应用1. 给出一些简单的一元二次不等式例题，引导学生运用所学的解法进行解答。

2. 提供一些实际问题，让学生将一元二次不等式的解法应用到实际情境中。

步骤五：总结与拓展1. 总结一元二次不等式的解法方法和注意事项。

2. 引导学生思考一元二次不等式在实际问题中的应用，拓展学生的思维。

教案评估：1. 在练习与应用环节中，观察学生解题的准确性和独立性。

2. 听取学生对一元二次不等式解法的理解和应用的反馈。

3. 收集学生提出的问题和困惑，及时进行解答和指导。

教案扩展：1. 引导学生进一步探究一元二次不等式的图像、根的性质等相关内容。

2. 引导学生研究一元二次不等式在优化问题中的应用，培养学生的问题解决能力。

高中数学新人教版A版精品教案《一元二次不等式的解法》3

一元二次不等式的解法一、教材分析1、地位和作用一元二次不等式的解法是高中数学教学的重点和难点之一。

从内容上看，二次不等式、二次方程与二次函数密不可分，该内容涉及的知识点较多且应用广泛。

从思想层次上看，它涉及到数形结合、分类转化、方程函数等数学思想，这些内容和思想将在中学数学中产生广泛而深远的影响。

教材在处理上是下了一番功夫的，它将二次不等式的解法分成了两部分——首先应用因式分解法解一元二次不等式，即利用“同号两数相乘得正，异号两数相乘得负”的原理，将一元二次不等式转化一元一次不等式组加以解决。

毫无疑问，这种解法具有极大的局限性和不完整性，这就为在后面介绍二次不等式的图象法作了必要的铺垫和准备。

新教材的这种安排，既承前启后，又分散了难点，符合认知理论中的渐近性原则。

一元二次不等式的解法是以后研究函数的定义域、值域等问题的最要工具，它可渗透到中学数学的几乎所有领域中，对今后的学习起着十分重要的作用。

2、教学目标（1）知识目标。

使学生掌握三种类型的一元二次不等式的图解法，并理解掌握这种解法的理论依据。

（2）能力目标。

通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质。

（3）德育目标。

通过图象法，教师有意识地向学生渗透抽象与具体、联系与转化、特殊与一般、个性与共性等辩证唯物主义的观点和方法，并注意通过设问、追问、反问、讨论、分组竞赛等主动参与教学的活动，培养学生的自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、竞争意识和集体主义精神。

3、教学重点与难点（1）教学重点是三种类型的一元二次不等式图象解法。

（2）教学难点是二次不等式、二次方程和二次函数三者关系的有机联系。

数形结合和分类转化等数学思想的理解和运用。

二、教学方法和手段1、启发诱导式的教学模式启发诱导式教学模式是教师在学生已有的知识经验和思考基础上适当引导，使学生获得新知。

《一元二次不等式解法》(第一课时)教学设计

《一元二次不等式解法》（第一课时）教学设计浚县一中范景霞一、教学目标(一)知识目标理解一元二次方程，一元二次不等式、二次函数之间的关系；掌握看图象找解集的方法，熟悉一元二次不等式的解法。

(二)能力目标通过看图象找解集，培养学生从“从形到数”的转化力，“由具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力。

(三)情感目标创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用。

二、教学分析教学重点：一元二次不等式的解法。

教学难点：一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。

教学方法：诱思引探教学法教学用具：多媒体三、课堂设计(一)创设情景，引出“三个一次”的关系师：请同学们解一元二次方程：某2-某-6=0生：解（略）师：若将上述方程中的“=”改为“>”，就得到一元二次不等式某2-某-6>0，怎样求解一元二次不等式呢？这就是我们本节课学习的内容（板书课题）师：初中已经学过一元一次方程和一元一次不等式的解法，如：2某-7=0某=3.52某-7>0某>3.5（学生口答，教师板书）2某-7<0某<3.5师：其实两个一元一次不等式的解是通过不等式的基本性质得到的，但是我们很难利用不等式的基本性质尽快得到一元二次不等式的解，为此我们换一种角度来认识一元一次不等的解，我们引入一次函数y=2某-7的图象来认识2某-7<0和2某-7>0的解。

借助动画展示：①当2某-7=0时，得某=3.5；当y=0时，函数的图象与某轴交于点(3.5,0)，得某=3.5。

②当2某-7>0时，得某>3.5；当y>0时，函数的图象在某轴上方，得某>3.5。

③当2某-7<0时，得某<3.5；当y<0时，函数的图象在某轴下方，得某<3.5。

引导学生观察得出结论：①当2某-7=0的解是函数y=2某-7的图象与某轴交点的横坐标。

②当2某-7>0的解集是函数y=2某-7的图象在某轴的上方的点的横坐标的集合。

高中数学_2.2.3一元二次不等式的解法教学设计学情分析教材分析课后反思

【教学设计】2.2.3 一元二次不等式的解法本节课的内容是高中数学B版必修一第二章第二节“2.2.3一元二次不等式的解法”的第1课时。

新课标指出，学生是教学的主体，教师的教要应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。

我将以此为基础从下面这几个方面加以说明。

一、课标要求二、教材分析（包括教材处理、教材的地位和作用、教学的重点和难点）1、教材处理：本节涉及的一元二次不等式概念的引入、解题方法的得出和应用方法三个方面的内容。

把教材中的引例生成情境，这样更能体现一元二次不等式来自实践，容易激发学生的学习兴趣。

2、教材的地位和作用：本节课是学生在已掌握了一元二次方程的解集、不等式的性质和不等式的解集基础上，进一步研究一元二次不等式的解法和应用，它一方面可以进一步对不等式的解法的理解与认识，同时也为今后进一步“3个二次”的关系打下坚实的基础。

因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。

此外，《一元二次不等式的解法》是等式与不等式这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，而且方法得出的过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

3、教学的重点和难点：关键在于重难点如何确定、难点如何突破。

教学重点：1.等比数列前n项和公式的推导;2.等比数列前n项和公式的应用【重点的确定】通过对已学解一元二次方程的回顾，进一步体会一元二次不等式的解法的形式，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

因此它是本节课的重点内容。

教学难点：等比数列前n项和公式的推导。

【难点的确定】从学生的思维特点看，很容易把本节内容与一元二次方程的解法进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节一元二次不等式的解法与一元二次方程有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于二次项系数正负情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错．因此它是本节课的难点内容。

高中数学_一元二次不等式的解法教学设计学情分析教材分析课后反思

一元二次不等式的解法教学设计小组讨论解决问题师：能快速解决下列不等式吗？思考：学生回答，教师总结：第三题中可以考虑两边开方，但开放就必须强调正数的开方法则，则需要将不等式变为92<x学生自行解决，教师订正答案思考：1、什么情况下可以用类似的方法解不等式？2、这里用到的主要工具是什么？3、最终将解一元二次不等式的问题归结成什么问题?教师活动：教师提出问题让学生举手回答，结合学生的回答将知识补充完整，并在黑板板书三个问题的答案。

学生活动：学生积极参与课堂问答。

教师总结：1、不能因式分解的题目；2、配方3、绝对值不等式小组谈论解决：形如)(),(2222kxkxkxkx≤<≥>或或的一元二次不等式的解集思考：kaxkax<->-22)()(或呢？通过特殊不等式的解法，引导学生寻求更一般的求法，并使之推广，让学生体会从特殊到一般的认知规律。

9)3(2)2(1)1(222<->-<xxx么？下列不等式的解集是什1432≥++xx、解不等式探究一元二次不等式的解法-----学情分析应用知识拓展提升变式训练:的解集求不等式1212≥-+x x 思考：由分式不等式转化为整式不等式的两个等价过程是什么？教师活动：提出问题：分式不等式应该如何解决？教师总结得出结论。

学生活动：学生自己解决并交流。

将一元二次不等式的解法拓展到分式不等式的解法，进一步强化应用。

课堂小结感悟收获课堂小结：及时总结，让学生对本节课学习的内容有个及时地回头巩固。

()⎩⎨⎧≠≥-⇔≥-⇔≥-⇔≥0000)1(b b bc a b bc a c b a c b a ⎩⎨⎧≠≥⇔≥0)2(2b c b ab c b a“一元二次不等式的解法”是高中数学人教版必修第一册第二章2.2.3的内容，是初中一元一次不等式的解法、一元二次方程的解法、高中一元一次不等式组的解法、绝对值不等式的解法在知识上的延伸和发展，又是上一章集合知识的运用与巩固，也为下一章研究函数的定义域和值域做铺垫，起着承上启下的作用，它也是“不等式”的核心内容。

一元二次不等式的解法(学案)

§2.1 一元二次不等式的解法（学案）知识梳理1、形如)0(,2≠++=a c bx ax y 的函数叫二次函数；形如)0(,02≠=++a c bx ax 的方程叫一元二次方程；形如)0(),000(02≠≤<≥>++a c bx ax 或或或的不等式，叫作一元二次不等式.2、二次函数)0(,2≠++=a c bx ax y 当a ＞0时，图像是：图 5O y①判别式042>-=ac b δ，函数图像和x 轴相交（如图3），有两个交点，设交点是)0,(),0,(21x x ，()21x x < , 由图像可知，当自变量),(),(21+∞⋃-∞∈x x x 时，函数值零；当),(21x x x ∈时，函数值零；当21x x x 或=时，函数值零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数解是： ; 对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：)0(,02><++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≤++a c bx ax 的解集是：②判别式042=-=ac b δ，函数图像和x 轴相切（如图4），有一个切点，设切点是),0,(0x ，由图像可知，当自变量0x x R x ≠∈且时，函数值零；当0x x =时，函数值零;对于任意实数x ，函数值都不会零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数解是： ; 对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：)0(,02><++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≤++a c bx ax 的解集是：③判别式042<-=ac b δ，函数图像在x 轴上方（如图5），由图像可知，当自变量R x ∈时，函数值均零；即对于任意实数x ，函数值都不可能零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 无实数解;对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≤++a c bx ax 的解集是：3、解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负；再看判别式；最后比较根的大小．解集要么为两根之外，要么为两根之内．具体地：①设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为：1x x <或2x x >（两根之外） ②设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为： 21x x x <<（两根之内）注意：①若不等式)0(02<>++或c bx ax 中，a 0<,可在不等式两边乘1-转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法．基础练习一、解下列不等式1、3x 2+5x-2>02、9x 2-6x+1>03、x 2-4x+5>04、-x 2+x+1<05、-x 2+4x-4>0二、设A ，B 分别是不等式3x 2+6≤19x 与不等式-2x 2+3x+5>0的解集，试求A ∩B,A ∪B.三、解关于x的不等式：x2-(2m+1)x+m2+m＜0.四、解关于x的不等式：x2+(1-a)x-a<0.基础自测1.下列结论正确的是（）A.不等式x 2≥4的解集为{x|x ≥±2}B.不等式x 2-9＜0的解集为{x|x ＜3}C.不等式(x-1)2＜2的解集为{x|1-2＜x ＜1+2}D.设x 1,x 2为ax 2+bx+c=0的两个实根，且x 1＜x 2,则不等式ax 2+bx+c ＜0的解集为{x|x 1＜x ＜x 2}2.不等式12+-x x ≤0的解集是（）A.（-∞,-1）(]2,1-YB.[]2,1-C.（-∞,-1）[)+∞,2YD.(]2,1-3.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥-<+-0,10,1x x x x 则不等式x+(x+1)·f(x+1)≤1的解集是( ) A.{}121|-≤≤-x x B. {}1|≤x x C.{}12|-≤x x D.{}1212|-≤≤--x x4.在R 上定义运算⊗:x ⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)＜1对任意实数x 成立,则 ( )A.-1＜a ＜1B.0＜a ＜2C.21-＜a ＜23D.- 23＜a ＜21 5. A={x|(x-1)2＜3x-7}，则A ∩Z 的元素的个数为 . 例题讲解例1 解不等式23⎪⎭⎫ ⎝⎛+-352x ≥21(x 2-9)-3x.例2 已知不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为(α,β),且0＜α＜β,求不等式cx 2+bx+a ＜0的解集.例3 已知不等式11+-x ax ＞0 (a ∈R ).(1)解这个关于x 的不等式; (2)若x=-a 时不等式成立,求a 的取值范围.例4已知f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈［-1，+∞）时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围.变式练习1.已知关于x 的不等式(a+b)x+(2a-3b)＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x ，求关于x 的不等式(a-3b)x+(b-2a)＞0的解集.2.解关于x 的不等式2a x a x --＜0 （a ∈R ）.3.函数f(x)=x 2+ax+3.(1)当x ∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求a 的范围;(2)当x ∈［-2,2］时,f(x)≥a 恒成立,求a 的范围.练习作业一、选择题1.函数y=)1(log 221-x 的定义域是（） A.［-2,-1）∪（1，2］ B.［-2,-1］∪（1，2）C.［-2,-1）∪（1，2］D.（-2,-1）∪（1，2） 2.不等式412--x x ＞0的解集是（）A.（-2,1）B.（2，+∞）C.(-2,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)3.若(m+1)x 2-(m-1)x+3(m-1)＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.m ＞1 B.m ＜-1 C.m ＜-1113 D.m ＞1或m ＜-1113 4.若关于x 的不等式：x 2-ax-6a ＜0有解且解的区间长不超过5个单位，则a 的取值范围是 ( )A.-25≤a ≤1B.a ≤-25或a ≥1C.-25≤a ＜0或1≤a ＜24D.-25≤a ＜-24或0＜a ≤1 5. （10年全国高考（第2套试题第5题））不等式2601x x x ---＞的解集为：（）（A ）{}2,3x x x -＜或＞（B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ）{}213x x x -＜＜，或＞（D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜6.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<-030122x x x 的解集为（）A.{x|-1＜x ＜1}B.{x|0＜x ＜3}C.{x|0＜x ＜1}D.{x|-1＜x ＜3}二、填空题7.若不等式2x ＞x 2+a 对于任意的x ∈［-2，3］恒成立，则实数a 的取值范围为 .8.已知{x|ax 2-ax+1＜0}=∅,则实数a 的取值范围为 .三、解答题9.解关于x 的不等式56x 2+ax-a 2＜0.10.已知x 2+px+q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，求不等式qx 2+px+1＞0的解集.11.若不等式2x-1＞m(x 2-1)对满足|m|≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围.12.已知函数f(x)=ax 2+a 2x+2b-a 3,当x ∈(-2,6)时，其值为正，而当x ∈(-∞,-2)∪(6,+∞）时，其值为负. （1）求实数a,b 的值及函数f(x)的表达式；（2）设F(x)=-4k f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),问k 取何值时，函数F(x)的值恒为负值？§2.1 一元二次不等式的解法（学案）知识梳理2、形如)0(,2≠++=a c bx ax y 的函数叫二次函数；形如)0(,02≠=++a c bx ax 的方程叫一元二次方程；形如)0(),000(02≠≤<≥>++a c bx ax 或或或的不等式，叫作一元二次不等式.3、二次函数)0(,2≠++=a c bx ax y 当a ＞0时，图像是：图5Oy①判别式042>-=ac b δ，函数图像和x 轴相交（如图3），有两个交点，设交点是)0,(),0,(21x x ，()21x x < , 由图像可知，当自变量),(),(21+∞⋃-∞∈x x x 时，函数值大于零；当),(21x x x ∈时，函数值小于零；当21x x x 或=时，函数值等于零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数解是：21x x 和; 对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：),(),(21+∞⋃-∞x x)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：),[],(21+∞⋃-∞x x )0(,02><++a c bx ax 的解集是：),(21x x )0(,02>≤++a c bx ax 的解集是：],[21x x②判别式042=-=ac b δ，函数图像和x 轴相切（如图4），有一个切点，设切点是),0,(0x ，由图像可知，当自变量0x x R x ≠∈且时，函数值大于零；当0x x =时，函数值等于零;对于任意实数x ，函数值都不会小于零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数解是：0x ; 对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：}:{0x x R x x ≠∈且)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：R )0(,02><++a c bx ax 的解集是：Φ)0(,02>≤++a c bx ax 的解集是： }{0x x x =③判别式042<-=ac b δ，函数图像在x 轴上方（如图5），由图像可知，当自变量R x ∈时，函数值均大于零；即对于任意实数x ，函数值都不可能小于或等于零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 无实数解;对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：R x ∈)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：R )0(,02>≤++a c bx ax 的解集是：Φ4、解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负；再看判别式；最后比较根的大小．解集要么为两根之外，要么为两根之内．具体地： ①设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为：1x x <或2x x >（两根之外） ②设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为： 21x x x <<（两根之内）注意：①若不等式)0(02<>++或c bx ax 中，a 0<,可在不等式两边乘1-转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法．基础练习一、解下列不等式1、3x2+5x-2>02、9x2-6x+1>03、x2-4x+5>04、-x2+x+1<05、-x2+4x-4>0二、设A，B分别是不等式3x2+6≤19x与不等式-2x2+3x+5>0的解集，试求A∩B,A∪B.三、解关于x的不等式：x2-(2m+1)x+m2+m＜0.四、解关于x的不等式：x2+(1-a)x-a<0.基础自测1.下列结论正确的是（ C ）A.不等式x2≥4的解集为{x|x≥±2}B.不等式x2-9＜0的解集为{x|x＜3}C.不等式(x-1)2＜2的解集为{x|1-2＜x＜1+2}D.设x1,x2为ax2+bx+c=0的两个实根，且x1＜x2,则不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x 1＜x ＜x 2} 2.不等式12+-x x ≤0的解集是（ D ）A.（-∞,-1）(]2,1-YB.[]2,1-C.（-∞,-1）[)+∞,2YD.(]2,1-3.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥-<+-0,10,1x x x x 则不等式x+(x+1)·f(x+1)≤1的解集是(C ) A.{}121|-≤≤-x x B. {}1|≤x x C.{}12|-≤x x D.{}1212|-≤≤--x x4.在R 上定义运算⊗:x ⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)＜1对任意实数x 成立,则 ( C )A.-1＜a ＜1B.0＜a ＜2C.21-＜a ＜23 D.- 23＜a ＜21 5. A={x|(x-1)2＜3x-7}，则A ∩Z 的元素的个数为 0 .例题讲解例1 解不等式23⎪⎭⎫ ⎝⎛+-352x ≥21(x 2-9)-3x.解原不等式可化为-23x 2+25≥21x 2-29-3x, 即2x 2-3x-7≤0. 解方程2x 2-3x-7=0,得x=4653±. 所以原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-|4654346543|x x . 例2 已知不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为(α,β),且0＜α＜β,求不等式cx 2+bx+a ＜0的解集.解方法一由已知不等式的解集为(α,β)可得a ＜0, ∵α，β为方程ax 2+bx+c=0的两根，∴由根与系数的关系可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+-=00)(αββαac ab∵a ＜0,∴由②得c ＜0,则cx 2+bx+a ＜0可化为x 2+x cb +ca ＞0, ①÷②得cb =αββα)(+-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+βα11＜0, 由②得ca =αβ1=α1·β1＞0, ∴α1、β1为方程x 2+cb x+ca =0的两根.∵0＜α＜β, ∴不等式cx 2+bx+a ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11x x x 或. 方法二由已知不等式解集为(α,β),得a ＜0,且α，β是ax 2+bx+c=0的两根， ∴α+β=-ab ,αβ=ac ,∴cx 2+bx+a ＜0⇔acx 2+ab x+1＞0⇔(αβ)x 2-(α+β)x+1＞0⇔(αx-1)(βx-1)＞0⇔⎪⎭⎫ ⎝⎛-α1x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-β1x ＞0. ∵0＜α＜β,∴α1＞β1,∴x ＜β1或x ＞α1,∴cx 2+bx+a ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11x x x 或. 例3 已知不等式11+-x ax ＞0 (a ∈R ).(1)解这个关于x 的不等式; (2)若x=-a 时不等式成立,求a 的取值范围. 解 (1)原不等式等价于(ax-1)(x+1)＞0. ①当a=0时,由-(x+1)＞0,得x ＜-1;②当a ＞0时,不等式化为⎪⎭⎫⎝⎛-a x 1(x+1)＞0,解得x ＜-1或x ＞a1;③当a ＜0时,不等式化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x+1)＜0;若a 1＜-1,即-1＜a ＜0,则a1＜x ＜-1;若a1=-1,即a=-1,则不等式解集为空集;若a1＞-1,即a ＜-1,则-1＜x ＜a1.综上所述,① ②a ＜-1时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 11;a=-1时,原不等式无解;-1＜a ＜0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<11|x ax ;a=0时,解集为{x|x ＜-1};a ＞0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<a x x x 11或.(2)∵x=-a 时不等式成立,∴112+---a a＞0,即-a+1＜0,∴a ＞1,即a 的取值范围为a ＞1.例4已知f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈［-1，+∞）时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围.解方法一 f(x)=(x-a)2+2-a 2, 此二次函数图象的对称轴为x=a,①当a ∈(-∞,-1)时，结合图象知, f(x)在［-1，+∞）上单调递增， f(x)min =f(-1)=2a+3,要使f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min ≥a,即2a+3≥a,解得a ≥-3,又a ＜-1,∴-3≤a ＜-1; ②当a ∈［-1，+∞）时，f(x)min =f(a)=2-a 2, 由2-a 2≥a,解得-2≤a ≤1,又a ≥-1,∴-1≤a ≤1. 综上所述，所求a 的取值范围为-3≤a ≤1.方法二由已知得x 2-2ax+2-a ≥0在［-1，+∞）上恒成立，即Δ=4a 2-4(2-a)≤0或⎪⎩⎪⎨⎧≥--<>∆0)1(10f a , 解得-3≤a ≤1. 变式练习1.已知关于x 的不等式(a+b)x+(2a-3b)＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x ，求关于x 的不等式(a-3b)x+(b-2a)＞0的解集. 解 ∵(a+b)x+(2a-3b)＜0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x ,∴⎪⎩⎪⎨⎧>+=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+.0,0)32(31)(b a b a b a 于是a=2b ＞0,b ＞0,不等式(a-3b)x+(b-2a)＞0,即为-bx-3b ＞0,亦即-bx ＞3b,∴x ＜-3.故所求不等式的解集为{x|x ＜-3}. 2.解关于x 的不等式2a x a x --＜0 （a ∈R ）.解2ax a x --＜0⇔(x-a)(x-a 2)＜0,①当a=0或a=1时，原不等式的解集为∅； ②当a ＜0或a ＞1时，a ＜a 2，此时a ＜x ＜a 2; ③当0＜a ＜1时，a ＞a 2，此时a 2＜x ＜a.综上，当a ＜0或a ＞1时，原不等式的解集为{x|a ＜x ＜a 2}；当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x|a 2＜x ＜a}; 当a=0或a=1时，原不等式的解集为∅. 3.函数f(x)=x 2+ax+3.(1)当x ∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求a 的范围; (2)当x ∈［-2,2］时,f(x)≥a 恒成立,求a 的范围. 解 (1)∵x ∈R 时,有x 2+ax+3-a ≥0恒成立, 须Δ=a 2-4(3-a)≤0,即a 2+4a-12≤0,所以-6≤a ≤2.(2)当x ∈［-2,2］时,设g(x)=x 2+ax+3-a ≥0,分如下三种情况讨论(如图所示): ①如图(1),当g(x)的图象恒在x 轴上方时,满足条件时,有Δ=a 2-4(3-a)≤0,即-6≤a≤2.②如图(2),g(x)的图象与x轴有交点,但在x∈［-2,+∞)时,g(x)≥0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--<-=≥∆)2(,22gax即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+--<-≥--32422)3(42aaaaa⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-≤≥37462aaaa或解之得a∈∅.③如图(3),g(x)的图象与x轴有交点,但在x∈(-∞,2］时,g(x)≥0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥>-=≥∆)2(,22gax即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-++>-≥--32422)3(42aaaaa⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<-≤≥7462aaaa或⇔-7≤a≤-6 综合①②③得a∈［-7，2］.练习作业一、选择题1.函数y=)1(log221-x的定义域是（ A ）A.［-2,-1）∪（1，2］ B.［-2,-1］∪（1，2）C.［-2,-1）∪（1，2］D.（-2,-1）∪（1，2）2.不等式412--x x ＞0的解集是（ C ）A.（-2,1）B.（2，+∞）C.(-2,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)3.若(m+1)x 2-(m-1)x+3(m-1)＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( C )A.m ＞1 B.m ＜-1 C.m ＜-1113 D.m ＞1或m ＜-11134.若关于x 的不等式：x 2-ax-6a ＜0有解且解的区间长不超过5个单位，则a 的取值范围是 ( D )A.-25≤a ≤1B.a ≤-25或a ≥1C.-25≤a ＜0或1≤a ＜24D.-25≤a ＜-24或0＜a ≤15. （10年全国高考（第2套试题第5题））不等式2601x x x ---＞的解集为（A ）{}2,3x x x -＜或＞（B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ）{}213x x x -＜＜，或＞（D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜6.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<-030122x x x 的解集为（ C ）A.{x|-1＜x ＜1}B.{x|0＜x ＜3}C.{x|0＜x ＜1}D.{x|-1＜x ＜3} 二、填空题7.若不等式2x ＞x 2+a 对于任意的x ∈［-2，3］恒成立，则实数a 的取值范围为 .答案 (-∞,-8)8.已知{x|ax 2-ax+1＜0}=∅,则实数a 的取值范围为 .答案 0≤a ≤4三、解答题9.解关于x 的不等式56x 2+ax-a 2＜0.解原不等式可化为(7x+a)(8x-a)＜0,即⎪⎭⎫⎝⎛+7a x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-8a x ＜0. ①当-7a ＜8a ,即a ＞0时,-7a ＜x ＜8a ;②当-7a =8a ,即a=0时,原不等式解集为∅;③当-7a ＞8a ,即a ＜0时,8a＜x ＜-7a .综上知:当a ＞0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-87|a x a x ;当a=0时,原不等式的解集为∅;当a ＜0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<78|a x a x .10.已知x 2+px+q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，求不等式qx 2+px+1＞0的解集.解 ∵x 2+px+q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ,∴-21,31是方程x 2+px+q=0的两实数根，由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⨯-=-q p )21(312131,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==6161q p ,∴不等式qx 2+px+1＞0可化为-0161612>++x x,即x 2-x-6＜0,∴-2＜x ＜3,∴不等式qx 2+px+1＞0的解集为{x|-2＜x ＜3}.11.若不等式2x-1＞m(x 2-1)对满足|m|≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围. 解方法一原不等式化为(x 2-1)m-(2x-1)＜0. 令f(m)=(x 2-1)m-(2x-1)(-2≤m ≤2).则⎪⎩⎪⎨⎧<---=<----=-.0)12()1(2)2(,0)12()1(2)2(22x x f x x f 解得271+-＜x ＜231+.方法二求已知不等式视为关于m 的不等式，（1）若x 2-1=0，即x=±1时，不等式变为2x-1＞0,即x ＞21,∴x=1,此时原不等式恒成立.（2）当x 2-1＞0时，使1122--x x ＞m 对一切|m|≤2恒成立的充要条件是1122--x x ＞2, ∴1＜x ＜231+.(3)当x 2-1＜0时，使1122--x x ＜m 对一切|m|≤2恒成立的充要条件是1122--x x ＜-2.∴271+-＜x ＜1.由（1）（2）（3）知原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<-213217|x x . 12.已知函数f(x)=ax 2+a 2x+2b-a 3,当x ∈(-2,6)时，其值为正，而当x ∈(-∞,-2)∪(6,+∞）时，其值为负. （1）求实数a,b 的值及函数f(x)的表达式；（2）设F(x)=-4k f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),问k 取何值时，函数F(x)的值恒为负值？解 (1)由题意可知-2和6是方程f(x)=0的两根，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯-=-=+-=-126224623aab a ,∴⎩⎨⎧-=-=84b a ,∴f(x)=-4x 2+16x+48. (2)F(x)=-4k (-4x 2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)=kx 2+4x-2.当k=0时，F(x)=4x-2不恒为负值；当k ≠0时，若F(x)的值恒为负值，则有⎩⎨⎧<+<08160k k ,解得k ＜-2.。