卓越班练习题

礼县二中高二级卓越班强化训练题（理科）数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 1．已知集合{|10},{1,0,1}A x x B =+>=-，则A B =（ ）A.{1}B.{1}-C. {0,1}D. {1,0}- 2．若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是A. 的虚部为B.C. 的共轭复数为D. 为纯虚数3．若向量)1,3(),2,0(=-=n m ，则与n m +2共线的向量可以是（ ）A.（3，-1）B.（-1，3）C.（-3，-1）D.（3-1-，） 4．βαβα//,//,//b a ，则a 与b 位置关系是（ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行或异面或相交5．空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数, AQI 指数值越小, 表明空气质量越好, 下图是某市10月1日 - 20日AQI 指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A.这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B.这20天中的中度污染及以上（AQI 指数>150）的天数占1/4C.该市10月的前半个月的空气质量越来越好D.总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．31C ．34D ．657．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若,12,3432=+=a a S ，则公比=q （ ）A ．4±B ．4C ．2±D ．2 8．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 ，其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．①④C ．②④D ．①③9．若直线y=kx-2与曲线y=1+3ln x 相切,则k=（ ）A .2B .31C .3D .2110．双曲线13622=-y x 的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于（ ） A ．3 B ．2 C ．3 D ．611.已知数列{}n a 对任意的*n N ∈有111(1)n n a a n n +=-++成立,若11a =,则10a 等于( )A. 10110B.9110C. 11111D. 1221112.))((R x x f y ∈=在(]1, ∞-上单调递减，且)1(+x f 是偶函数，若)2()22(f x f >-， 则x 的取值范围是（ ）A. ()()+∞⋃∞-,21,B. ()+∞,2C. ()2,1D. ()1,∞-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知0cos sin =-αα，则cos(2)2πα+= .14．若实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥66y y x x y ，则y x z +-=2的最小值为 .15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．16．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一） 必考题：共60分。

17．（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（2）若22a b c +=，求sin C ．18．（本小题满分12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？19．（本小题满分12分）已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长3为且面积为22的菱形.（1）求椭圆C 的方程；（2）设M(-3,0)，过椭圆C 右焦点F 的直线l 交于A,B 两点，若对满足条件的任意直线l ，不等式)(R MB MA ∈≤⋅λλ恒成立，求λ的最小值. 20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥-P ABC 中，22==AB BC ，PA PB PC ===4AC =，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角--M PA C 为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）设函数，其中．（Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值；（Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩错误!未找到引用源。

(t 为参数)． (1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 17，求a ．O MPCBA礼县二中高二级卓越班强化训练题（理科）数学1．C 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A 7．D 8．B 9．C 10．A 11.B 12.A 13．-1 14.-6 15．0.216. 16．15． 三、解答题：17．解：（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==． 因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-，由题设及正弦定理得()2sin sin 1202sin A C C ︒+-=， 即631cos sin 2sin 2C C C ++=，可得()2cos 602C ︒+=-． 由于0120C ︒︒<<，所以()2sin 602C ︒+=，故()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+624+=．12分 18.【解析】（1）由题意知，X 所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知()2162000.290P X +===，()363000.490P X ===， ()25745000.490P X ++===． 因此X 的分布列为X 200 300 500P0．2 0．4 0．4（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200， 因此只需考虑200500n ≤≤ 当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=；若最高气温位于区间[20,25)，则63002(200)412002Y n n n =⨯+--=-；若最高气温低于20，则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-； 因此20.4(12002)0.4(8002)0.26400.4EY n n n n =⨯+-⨯+-⨯=-． 当200300n <≤时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=；若最高气温低于20，则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-；因此2(0.40.4)(8002)0.2160 1.2EY n n n =⨯++-⨯=+．所以300n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元． 12分19．（1）由已知得：，解得所以，椭圆的方程为 4分（2）设当直线垂直于轴时，且此时，6分 当直线不垂直于轴时，设直线由 ，得 ，8分.要使恒成立，只需，即最小值为. 12分23．【解析】(1)因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且23OP =．连结OB ．因为22AB BC AC ==，所以ABC △为等腰直角三角形， 且OB AC ⊥，122OB AC ==． 由222OP OB PB +=知PO OB ⊥．由⊥OP OB ，⊥OP AC 知PO ⊥平面ABC ．(2)如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．由已知得(0,0,0)O ，(2,0,0)B ，(0,2,0)-A ，(0,2,0)C ，(0,0,23)P ，(0,2,23)=AP ，取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB =．设(,2,0)(02)-<≤M a a a ，则(,4,0)AM a a =-． 设平面PAM 的法向量为(,,)x y z =n ．由0,0AP AM ⋅=⋅=n n 得2230(4)0y z ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，可取(3(4),3,)a a a =--n ，所以22223(4)cos ,23(4)3a OB a a a -=-++n ．由已知得3|cos ,|2OB =n ． 所以22223|4|3=223(4)3a a a a --++．解得4a =-（舍去），43a =． 所以83434(,,)333=--n ．又(0,2,23)PC =-，所以3cos ,4PC =n ． 所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34． 21．（Ⅰ）由函数是偶函数，得，即对于任意实数都成立，所以. 此时，则. 2分由，解得. 当x 变化时，与的变化情况如下表所示：↘极小值 ↗极大值↘所以在，上单调递减，在上单调递增.所以有极小值，有极大值. 5分（Ⅱ）由，得. 所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”. 6分对函数求导，得. 由，解得，.当x 变化时，与的变化情况如下表所示：z y xA BCPMO↘极小值 ↗极大值↘所以在，上单调递减，在上单调递增.又因为，，，，10分所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点.即当或时，函数在区间上有两个零点. 12分22．11．【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=． 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=．由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-． （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为17d =当4a -≥时，d 的最大值为917a +．由题设得91717a +=，所以8a =； 当4a <-时，d 171717=，所以16a =-． 综上，8a =或16a =-．5分。