2013年高考2理科数学定积分与微积分基本20120920093659697

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高考定积分分类汇总及答案汇编

第十四节定积分与微积分基本定理(理)一、选择题1．(2013·江西卷)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 解析本题考查微积分基本定理．S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝73. S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2.S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e (e －1)．令e ＝2.7，∴S 3>3>S 1>S 2.故选B .A ．3B ．4C ．3.5D ．4.5答案 C3．如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )A .⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d x B .⎠⎛02(x 2－1)d x C.⎠⎛02|x 2－1|d x D .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛02(x 2－1)d x解析面积S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x ，故选C.4．(2012·湖北卷)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π25．(2013·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln5B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln5D ．4＋50ln2解析令v (t )＝0,7－3t ＋251＋t＝0 ∴3t 2－4t －32＝0，∴t ＝4，则汽车行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )|40＝7×4－32×42＋25ln5－0＝4＋25ln5，故选C.6．(2014·武汉调研)如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x ＞0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln22B.1－ln22C.1＋ln22D.2－ln22二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2013·湖南卷)若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析 ∵⎠⎛0T x 2d x ＝x 33|T 0＝T 33＝9，∴T ＝3.答案 38．(2014·厦门市质检)计算：⎠⎛01(x 2＋1－x 2)d x ＝______.解析 ⎠⎛01(x 2＋1－x 2)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛011－x 2d x ＝x 3310＋14π＝13＋π4.9．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．解析设直线为y ＝kx ＋b ，代入A ，B 两点，得y ＝10x .代入B ，C 两点，则⎩⎨⎧5＝12k ＋b ，0＝k ＋b ，∴k ＝－10，b ＝10.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ， 0≤x ≤12，－10x ＋10， 12＜x ≤1.∴y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2， 0≤x ≤12，－10x 2＋10x ， 12＜x ≤1.三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．若f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求⎠⎛12f (x )x d x 的值．解 ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．由⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx |10＝12a ＋b ＝5.①由⎠⎛01xf (x )d x ＝176，得⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝176. 即⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2|10＝176. ∴13a ＋12b ＝176.②解①②，得a ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3.于是⎠⎛12f (x )x d x ＝⎠⎛124x ＋3x d x ＝⎠⎛12(4＋3x )d x＝(4x ＋3ln x )|21＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.11．(2013·日照调研)如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1，所以抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33|10＝12－13＝16.又可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ，所以S 2＝∫1－k 0(x －x 2－kx )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 33|1－k 0 ＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12.于是k ＝1－312＝1－342.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 在点x ＝1处有极值－2.(1)求常数a ，b 的值；(2)求曲线y ＝f (x )与x 轴所围成的图形的面积．解 (1)由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f (1)＝－2，且f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＝－2，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)可知，f (x )＝x 3－3x .作出曲线y ＝x 3－3x 的草图如图，所求面积为阴影部分的面积，由x 3－3x ＝0得曲线y ＝x 3－3x 与x 轴的交点坐标是(－3，0)，(0,0)和(3，0)，而y ＝x 3－3x 是R 上的奇函数，所以函数图象关于原点成中心对称．所以所求图形的面积为。

高中数学课件第二章第13节《定积分与微积分基本定理

球体体积
利用定积分计算球体的体积，利用球体体积公式V=4/3πr³，对r在区间 [a,b]上积分。
定积分在物理中的应用
变速直线运动的路程
定积分可以用来计算变速直线运动的路程，将速度函数在时间区间[a,b]上积分。
VS
静力矩
在力学中，定积分可用于计算平面图形对某点的静力矩，将力矩函数在区间[a,b]上积分。
高中数学课件第二章第13节《定积分与微积分基本定理》
目录
• 定积分的概念与性质 • 微积分基本定理 • 定积分的计算方法 • 定积分的应用 • 习题与解析
01
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分定义
牛顿-莱布尼茨公式
定积分是积分的一种，是函数在闭区间上某个函数的代数和的极限，也可以理解为求函数在闭区间上的整体效果。
04
定积分的应用
平面图形的面积
矩形面积
定积分可以用来计算矩形区域的面积，只需将矩形的长度在区间[a,b]上积分即可。
圆面积
定积分也可用于计算圆面积，利用圆的面积公式A=πr²，其中r为半径，对r 在区间[a,b]上积分即可。
体积的计算
圆柱体体积
定积分可用于计算圆柱体的体积，将圆柱体的底面积在高度方向上进行积分。
详细描述：这道题目综合了定积分和微积分基本定理的知识点，需要学生灵活运用所学知识来解决复杂问题，能够提高学生的综合运用能力。
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下限常数性质
∫(a→b)f(x)dx=∫(a→b)f(x+c)dx，其中c为常数。
02
微积分基本定理
微积分基本定理的表述
01 02
微积分基本定理
如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，那么该函数在区间$[a, b]$上的定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$等于$F(b) - F(a)$，其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数。

2013年高考数学总复习3-4定积分与微积分基本定理[理]课件新人教B版.ppt

Co难p点yr：ig用h定t义2求00定4积-2分011 Aspose Pty Ltd.
知识归纳
1．定积分的定义
如果函数 f(x) 在区间 [a ， b] 上连续，用分点 a ＝
x0<x1<…<xi－1<xi<E…v<axnl＝uba，ti将on区间on[al，y.b]等分成 n 个小区
即b
f(x)dx＝F(x)|ab＝
F(b)－F(a)．
a
其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数．
近某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的定积
分，记作b a
f(x)dx，即b a
n
f(x)dx＝lim
n→∞ i＝1
b－n af(ζi)，这里 a
与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分
区间，函数 f(x)叫E做va被l积ua函t数io，nxo叫n做ly积. 分变量，f(x)dx d wit叫h做A被s积po式s．e此.S时li称de函s数fof(xr)在.N区E间T[a3，.5b]上C可lie积n．t Profile 5
④取极限：bf(x)dx＝li m

a
n→∞
n f(ξi)·b－n a.
i＝1
(3)定积分bf(x)dx 的值只与被积函数 f(x)及积分区间 a Evaluation only.
d wit[ha，Abs]有p关os，e而.S与li积d分es变f量o所r 用.N的E符T号3无.5关C．lient Profile 5
直C线opx＝yrai、gxh＝t b2之00间4各-2部0分11 Aspose Pty Ltd.
面积的代数和，在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面积取负号．源自3．定积分的性质kb

2013年高考数学成功方案系列课件第二章第十四节定积分与微积分基本定理(理)

4．如果∫01f(x)dx＝1，∫02f(x)dx＝－1，则∫21f(x)dx＝_______. 解析：∵∫02f(x)dx＝∫10f(x)dx＋∫21f(x)dx， ∴∫21f(x)dx＝∫20f(x)dx－∫01f(x)dx＝－1－1＝－2.
答案：－2
5．不等式x2－2x<0表示的平面区域与抛物线y2＝4x组成的封闭区域的面积是________．
点(4,2)．由定积分的几何意义可知，所以由y＝ x及y＝
x－2及y轴所围成的封闭图形面积为∫40( x－x＋2)dx＝
(23x
3 2
－12x2＋2x)04
＝136.
［答案］C
求曲线y＝ x，直线y＝－x＋2及x轴所围成的图形的面积．
解：如图所示，由y＝ x及y＝－x＋2可得x＝1.
由定积分的几何意义可知，由y＝ x，y＝－x＋2
解析：解 x2－2x<0 得 0<x<2，由 y2＝4x 得 y＝± 4x，
∴S＝2∫20
4xdx＝4∫20
xdx＝4×23x
3 2
|20＝83×2
3 2
＝163
2 .
答案：163 2
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②设f(x)，g(x)可积，则∫ab[f(x)＋g(x)]dx＝∫abf(x)dx ＋∫bag(x)dx. 2．微积分基本定理如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则∫baf(x)dx
＝ F(b)－F(a)．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．
[做一题] [例1] 计算下列定积分： (1)∫20x(x＋1)dx； (2)∫21(e2x＋1x)dx (3)∫π0sin2xdx.
x∈[0，＋∞， x∈－∞，0

2013高考数学理新课标复习课件3.4定积分与微积分基本定理

(即时巩固详解为教师用书独有) 考点一利用微积分基本定理求定积分【案例 1】求定积分12x＋1x－x12dx. 关键提示：找出使F′(x)＝f(x)的一个函数，用公式即可．解：21x＋1x－x12dx＝12xdx＋121xdx－12x12dx
解：令 v＝0，即 30－1.5t－4 t＝0，
所以 3t＋8 t－60＝0，所以( t＋6)(3 t－10)＝0. 因为 t>0，所以取 t＝130，即 t＝1090. 所以 t＝1090 s 时，物体停止运动．
所以运动路程为 s＝∫10900(30－1.5t－4 t)dt ＝∫1090030dt－∫109001.5tdt－4∫10900 tdt ＝ 30t－12.5t2－83t3210900 ＝30×1090－12.5×10902－83×109032 ＝1 0300－2 25700－8 80100＝1185100≈142(m)．即该物体停止时，运动的路程为 142 m.
解：(1)由yy＝＝x－2，x2＋2ax，解得yx＝＝00，或yx＝＝aa2，.
所以 O(0,0)，A(a，a2)．又由已知得 B(t，－t2＋2at)，D(t，t2)，
所以
S＝t
(－x2＋2ax)dx－12t·t2＋12(－t2＋2at－t2)(a－t)
条曲线 y＝f(x)(y≤0)围成的曲边梯形的面积 S＝bfxdx
a

＝－bf(x)dx. a
(3)如图(c)，由两条直线 x＝a、x＝b(a<b)和两条曲线 y ＝f(x)、y＝g(x)(f(x)≥g(x))围成的平面图形的面积 S＝b[f(x)

a
－g(x)]dx.

0
0
0
＝x4|20＋x3|20－12x2|20

2013年高考数学总复习 3-4 定积分与微积分基本定理(理)课件新人教B版

)
A.
3 ，＋∞ 6
－11
B．(0，e21) D．(0，e11)
C．(e
，e)
D
[答案]
x1 [解析] f(x)＝ dt＝lnt|x＝lnx， 3＝S3－S2＝21－10 a 1 t 1
＝11，由 lnx<11 得，0<x<e11.
二、填空题 4.
[答案] 10
二、解题技巧 1．(1)用定义求定积分的方法：分割、近似代替、求和、取极限，可借助于求曲边梯形的面积、变力作功等案例，体会定积分的基本思想方法． (2)用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足 f ′(x) ＝f(x)的函数 F(x)，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出 F(x)．
3 3 2(i－1)＝ 2[1＋2＋…＋(n－1)] n n
3 n－1 ＝ · . 2 n (4)求极限：S＝lim
n
n→∞ i＝1
3 3 n－1 3 (i－1)＝lim · ＝ . n2 2 n 2 n→∞
[点评] 要熟练掌握用定义求定积分的步骤．你能利用定积分的定义求直线 x＝1，x＝2，y＝0 和 15 曲线 y＝x 围成的图形的面积吗？答案： . 4
(3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分． (4)利用定积分求曲线所围成平面图形的面积，要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限．
2.由两条直线 x＝a、 x＝b(a＜b)、两条曲线 y ＝ f(x) 、 y ＝
g(x)(f(x)≥g(x))围成的平面图形的面积：
分成 n 个小曲边梯形，其面积记为 ΔSi(i＝1,2，…，n)．

2013届高考数学理一轮复习课件3.18定积分与微积分基本定理

π
2 0
sin 2
x 2
dx
=
π
2 0
1
cos 2
x
dx
＝(12x－12sinx)
π
|02
＝π－4 2.
【点评】计算一些简单的定积分，解题的步骤是：
①把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积或差；
②分别用求导公式找到一个相应的原函数；
③计算原始定积分的值．
四、定积分综合问题
求：(1)在 t＝4 s 时的位置； (2)在 t＝4 s 时运动的路程．
【解析】(1)在时刻 t＝4 s 时该点的位置为
4(t2－4t＋3)dt＝(13t3－2t2＋3t)|40＝34 m.
0
即在 t＝4 s 时，该点距出发点43 m.
(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)
【点评】①分段函数在区间[a，b]上的积分可分成几段积分的和的形式．
②分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细.
1．定积分计算的关键是通过逆向思维获知被积函数的原函数，即导数运算的逆运算．
2．定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理．
3．利用定积分求平面图形面积的步骤：
【解析】(1)由 f(x)＝x3－x，得 f′(x)＝3x2－1＝3(x－ 33)(x＋ 33)，当 x∈(－∞，－ 33)，( 33，＋∞)时， f′(x)＞0；当 x∈(－ 33， 33)时，f′(x)＜0. 因此，f(x)的单调增区间为(－∞，－ 33)， ( 33，＋∞)，单调减区间为(－ 33， 33)．
(2)2(e2x＋1x)dx； 1
(3)

2013届高考理科数学一轮复习课件3.4定积分与微积分基本定理

思考题 1 (1)求下列积分．
①2(x2＋2x＋1)dx； 1
②0
(cosx＋ex)dx.

-π
【解析】
【答案】
19 (1) 3
(2)1－e1π
(2)(2011·山东泰安)定积分1( 1－x－12－x)dx 等于 0
()
π－2 A. 4
B.π2－1
π－1 C. 4
【解析】 ①设 A 到 C 经过 t1 s，由 1.2t1＝24 得 t1＝20s，所以 AC＝∫2001.2tdt＝0.6t2| 200＝240(m)． ②设从 D 到 B 经过 t2s，由 24－1.2t2＝0，得 t2＝20s. 所以 DB＝∫200(24－1.2t)dt＝240(m)．
(2)设力 F(x)作用在质点 M 上，使 M 沿 x 轴正向从 x ＝1 运动到 x＝10，已知 F(x)＝x2＋1 且和 x 轴正向相同，求力 F(x)对质点 M 所作的功．
答案 B
3．(2011·新课标全国理)由曲线 y＝ x，直线 y＝x－
2 及 y 轴所围成的图形的面积为( )
10 A. 3
B．4
16 C. 3
D．6
答案 C
解析由 y＝ x及 y＝x－2 可得，x＝4，所以由 y＝
x及 y＝x－2 及 y 轴所围成的封闭图形面积为4( x－x 0
＋2)dx＝(23x
bf(x)dx
(1)bkf(x)dx＝k

a
；
a
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx＝
bf1(x)dx±bf2(x)dx
a
a
；

a
cf(x)dx＋bf(x)dx(a<c<b)．

2013-2017年高考理科数学全国卷2试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类（全国新课标卷II ）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．（2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝｛x |（x －1)2＜4,x ∈R }，N ＝｛－1,0，1,2,3}，则M ∩N ＝( ）．A ．｛0，1，2｝B ．{－1，0,1,2}C ．{－1,0,2，3｝D ．｛0，1,2，3｝ 2．（2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足（1－i)z ＝2i,则z ＝（ )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n ｝的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝（）．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。

直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，则（ )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 5．（2013课标全国Ⅱ，理5）已知（1＋ax )(1＋x ）5的展开式中x 2的系数为5,则a ＝（）．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1 6．（2013课标全国Ⅱ，理6）执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++D ．1111+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是（1，0,1），（1，1,0),(0，1,1），(0,0,0）,画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( ）．8．（2013课标全国Ⅱ,理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ）．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0,x，y满足约束条件1,3,3.xx yy a x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝（)．A．14 B．12 C．1 D．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f（x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( ）．A．∃x0∈R,f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图像是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′（x0）＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF｜＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．（2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A（－1,0)，B(1,0),C（0，1)，直线y＝ax＋b（a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是（）．A．(0,1) B．11,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．11,23⎛⎤-⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

2013年高考新课标ii卷理科数学试卷与答案

2013 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅰ卷（选择题共 50 分）一.选择题：本大题共 10 小题。

每小题 5 分，共 50 分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1)2（ 1）已知集合 M = { x | ( < 4, x ∈ R } ， N =｛ 1, 0, 1, 2, 3｝，则 M ∩N= x（ A ） {0, 1, 2 ｝（ B ） { 1, 0, 1, 2} （ C ）{ 1, 0, 2, 3} （D ） {0, 1, 2, 3 } 答案： A1)2【解】将 N 中的元素代入不等式：(x <4 进行检验即可 . （ 2）设复数 z 满足 (1i )z =2 i ，则 z = （ A ） 1+ i （ B ） 1 i （ C ） 1+ i （D ）1i 答案： A【解法一】将原式化为 z = 2i i ,再分母实数化即可 . 【解法二】将各选项一一检验即可.1 （ 3）等比数列 { a n } 的的前 n 项和为 Sn ，已知 S 3 = a2 +10a 1 ， a 5 =9 ，则 a 1 =1 1 1 1（ A ） 3 错误！未找到引用源。

（ B ） 3 （C ）9 （ D ） 9 答案： C【解】由 S 3 = a 2+10a 1? a 3 = 9a 1 ? 2 = 9 ? a 1 a5 = 1 q = 4 9q （ 4）已知 m, n 为异面直线， m ⊥平面， n ⊥平面 . 直线 l 满足 l ⊥ m ，l ⊥n ， l / ， l / 则：（ A ） ∥ 且 l∥ （ B ） ⊥ 且 l ⊥（ C ）与相交，且交线垂直于l （ D ）与相交，且交线平行于 l 答案： D【解】显然与相交，不然 ∥ 时 ? m ∥ n 与 m, n 为异面矛盾 . 与相交时，易知交线平行于 l .（ 5）已知 (1+ax)(1+ x)5 的展开式中 x 2的系数为 5，则 a = （ A ） 4 （ B ） 3 （ C ） 2 （ D ） 1答案： D 【解】 x 2 的系数为 5 ?2 1 ? a = 1 C 5 + aC 5 = 5 （ 6）执行右面的程序框图，如果输入的 N =S =（ A ） 1+1 + 1 + 1 错误！未找23 + , 10 （ B ） 1+1 1 1 2! + 3! + , +10! （ C ） 1+1 + 1 + 1 错误！未找23+ ,11开始输入 Nk=1, S = 0,T =1T T= kS= S+Tk= k +1否k > N是输出 S结束（ D ） 1+1+ 1 + 12! 3! + ,11!答案： B【解】变量 T, S, k 的赋值关系分别是：T n Tn +1 = kn, S n +1 = S n + T n +1, k n +1 = k n + 1.( k 0 =1, T 0 =1, S 0 = 0)第 1 页共 19 页? k n = n + 1, T n = T n Tn 1T1 1× 1 ×, × 1 = 1 ,×× , × × T 0 = Tn 1 Tn 2 T0 kn 1 kn2k0 n!111S n =(S n Sn 1) + ( Sn 1 Sn 2) + , + (S1 S0 ) + S0 = Tn+ Tn 1 + , + T0= 1+ 2! + 3! + , + n! 满足 k n > N 的最小值为 k 10 = 11，此时输出的 S 为 S 10（ 7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标分别是 (1, 0, 1)，(1, 1, 0），(0, 1, 1），(0, 0, 0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)答案： A【解】（ 8）设 a = log 36， b = log 5 10， c = log 714，则（ A ） c > b > a （ B ） b > c > a （ C ） a > c > b （D ） a >b > c答案： D【解】 a = 1 + log 2， b = 1 + log 5 2， c = 1 +log7 2 3log 23 < log 25 < log 27 ? log 32 > log 52 > log72? a > b > cx ≥1（ 9）已知 a ， x , y 满足约束条件 x +y ≤3 , 若 z =2x + y 的最小值为 1，则 a = > 0 y ≥ a(x 3)（ A ） 11 y A(1, 2) 4 错误！未找到引用源。

精品高考数学专题复习考点11定积分的概念与微积分基本定理(理)【学生版】.doc

考点门定积分的概念与微积分基本定理【考点分类】热点一定积分的基本计算1.[2013年普通高等学校招生全国统「考试(汉西卷)理】= f x2dx:S2 = [2^r:S3 = Ve x dx z若，则弘J1 J1 J1的大小关系为()A. S1<S;<S3B. S;<S1<S3 C・ ST： D. S J<S;<S I2.[2013年普通高等学校招生全国统一考试湖尹程理科】一严二+在高速公路下行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度临) = 7-3f+兰(f的单位:m/s)牡驶至停止.在此期间汽车继续行驶1+(的距离(单位：m)是()1+251115 B・ 8 + 251n- C・ 4 + 251n5 D・ 4 + 501n233.[2017年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)】若JJ x2dx = 9,则常数T的值为___________ •4.(2012年高考江西卷理科11)计算定积分J： (x2 + sin x)dx = __________【方法总结】1•计算简单定积分的步骤：(1)把被积函数变为幕函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差；(3)分别用求导公式求出F(x),使得F (x) = f(x);(4)利用牛顿一莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算所求定积分的值.2.求定积分的常用技巧：(1)求被积函数，要先化简，再求积分.(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和.(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号才能积分.热点二微积分基本定理的应用5. [2013年普通高等学校招生全国统「考试(北京卷)理】直线/过捌物线C:xMy 的焦点且与丁轴垂直，贝心与 C 所围成的图形的面积等于()4 A.—36.(2012年高若湖北卷理科3)已知二次函数y=Rx"々L ：;：.d 图所示轴所围图形的面积为( )A 171口 4小 3,兀A.——B.- C- D.- 53227. (2012年高考山东卷理科15)设a>0.若曲线严坂与直线x = a, y=0所围成封闭图形的面积为a,则a= __________ . 8. (2012年高考下海卷理科13)已知函数y = f(x)的图彖是折线段ABC,其中A(0,0)、3(*5)、C(l,0),函数j = xf(x) (0<x<l )的图象与兀轴围成的图形的面积为 _________________ .【方法总结】求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤：(1) 画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标.定出积分的下、下限； (2) 确定被积函数，特别要注意分清被积函数的下、下位置； (3) 写出平面图形面积的定积分的表达式；(4) 运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.【考点剖析】一. 明确要求1. 考查定枳分的概念，定枳分的几何意义，微枳分基本定理.2. 利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程. 二. 命题方向定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等.一般以客观题形式出现.三. 规律总结 —种思想定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等•恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就.B.2与x三条性质(1) 常数可提到积分号外； (2) 和差的积分等于积分的和差; (3) 积分可分段进行.一个公式由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算.【考点模拟】一.扎实基础1. 【湖北省黄冈中学、孝感高中2017届高三三月联合考试】设曲线y = x 2与直线y 二兀所围成的封闭区域的面积为S,则下列等式成立的是()A. S = f (x 2B. S = ['(x-x 2)dxJoJoc. S = [()，_y )dy D. S = ^(y-y[y)dy2.[2012-2017学年江西省南昌市调研考试】由曲线y =長,直线y=x-2,及y 轴所围成的图形的面积为()1016A.—B.4C.—D.63 3TT 7T3.【山东省实验中学2017届高三第二次诊断性测试】由直线x = --, x = -, y = 0与曲线y = cosx 所围成的封闭图形的面积为()4・【云南师大附中2013届高三适应性月考卷(三)】如图3,直线w2x 与抛物线y=3—疋所围成的阴影部分的面 A.1D.V3B. 2^2D.32T积是()5.【天津耀华中学2017届高三年级第•一次月考】计算f (2尤+『)力二______6. 【北京市东城区2012-2017学年度第一学期期末教学统一检测】图中阴影部分的面积等于 y 二 3x37.【湖北省黄冈中学2017届高三4月月考】\i e 2xdx = ________ .Jo rrSyr8. 【山东省济宁市2017届高三下学期期末考试】由直线x == —= 0及y 二sin 兀所围成的封闭图形的面36积为 ____ .9. 【山东省滨州市2017届高三第一次模拟】设a = \\\nxdx f 则二项式｛ajx-10.[2013年东北三省四市教研协作体等值矗断联合T 试长春三误】[° (Vx + x)dx = ____________二.能力拔高11・【河北省唐山「中、衡水「中2013届高三”月联考】如歹吹D 是图中辺正方形区域，E 杲D 內函^y = x 2的图像下方的点Z 域，在D 和I 机取一在E 中的概率为（）13.【云南玉溪一屮高2017届高三下学期笫三次月考】如图所示，曲线j = x 2和曲线丿=存围成一个叶形图（阴影部分），则该叶形图的面积是（）A.丄B. -C. -D.-246314.【山东省-^）6的展开式屮的常数项等1.2 12. D. [2017届贵州天柱民中、锦屏中学、如果（丄+ X 2）3的展开式中的常数项为XB272A黎平一中、黄平民中四校联考】则直线），=祇与曲线J = X 2围成图形的面积为（27一4长为4的点，则该点y3汀潍坊市四县一校2017届高三4月期中联考】已知r>0,若]（2兀—2）必=8,贝异二（）C. 2 — In 2 B. 1 — In 2D. 1 + In 2A. 1B. -2C. -2 或 4D. 415. 【山东省泰安市2017届高三下学期期中考试数学】£ (2x-e x)dx=_:.兀 sinx, (0 < x< —) 16. [2012-2017学年度河北省普通高中高三4月教学质量监测】已知函数/(%)= 小2，贝9271---- X^2,(—<X<7T) .7T 2J ： f(x)dx = _____ . 17.【江西省2017届百所重点高屮阶段性诊断考试】3 “3已知不等式1一一 <0的解集为(-1, 2),则f (1 一一)dx=—.x+a x+arl re 1 18. 【山东济南外国语学校2012-2017学年度第一学期质量检测】设m= \ e xdxji= \ -dx,则m 与n 的大小JoJi x关系为 _______________ .19. 【山东省滨州市滨城区一中2017届高三4月质检】由曲线x = -^x = Q.y = e x以及x 轴所围成的面积为2。

2013年高考数学试题分类解析考点12 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用

考点12 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用一、选择题1.（2013·湖北高考理科·Ｔ7）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)=7―3t+t125+（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止。

在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（） A.1+25㏑5 B.8+25㏑311C.4+25㏑5 D4+50㏑2 【解题指南】先求行驶至停止时所用时间.再求积分. 【解析】选C.25731t t-++=0，解得t ＝4或t ＝38-（不合题意，舍去），即汽车经过4秒中后停止，在此期间汽车继续行驶的距离为425(73t )dt 1t-++⎰=＝5ln 254+.2. （2013·江西高考理科·Ｔ6）若 2211s x dx =⎰，2211s dx x=⎰,2x 31s e dx =⎰则s 1,s 2,s 3的大小关系为( ) A. s 1＜s 2＜s 3B.s 2＜s 1＜s 3C.s 2＜s 3＜s 1D. s 3＜s 2＜s 1【解题指南】根据微积分基本定理，分别求出123s ,s ,s 的值，进行比较即可. 【解析】选B.因为 s 132331117x |(21)3333==-=<；s 221ln x |ln 2ln1ln 21==-=<；s 3x 221e |e e 3==->.所以s 2＜s 1＜s 3. 二、填空题3. （2013·湖南高考理科·Ｔ12）若209,Tx dx T =⎰则常数的值为 .【解题指南】本题结合公式 ⎰-=baa Fb F dx x f )()()(，其中)()(x f x F ='，来计算积分上限值.【解析】3,931|)31(30302====⎰T T x dx x T T所以【答案】34.（2013·福建高考理科·Ｔ15）当1,<∈x R x 时，有如下表达式：x x x x n -=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++1112两边同时积分得： ⎰⎰⎰⎰⎰-=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++21021212210210111dx xdx x dx x xdx dx n，从而得到如下等式：.2ln )21(11)21(31)21(21211132=⋅⋅⋅+⨯++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+n n 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：=⨯++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+132210)21(11)21(31)21(2121n nn n n n C n C C C【解题指南】依托新情境材料，考查考生阅读理解、提取相关信息的能力，考查考生的学习潜能；【解析】()nn n n n n x C x C C x +++=+ (110)两边同时积分得()0.50.50.50.50101...nn nn nn x dx C dx C xdx C x dx +=+++⎰⎰⎰⎰ 01112113(1)[()1]112左边++=+=-++n n x n n ，右边2n 10111111...222n 12nn n n C C C +⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯++⨯⨯ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭【答案】113[()1]12n n +-+关闭Word 文档返回原板块。

高考理科数学新课标件定积分与微积分基本定理

定积分的性质
线性性质
对于任意常数$k_1$和$k_2$，有$int_{a}^{b}[k_1f(x) + k_2g(x)]dx = k_1int_{a}^{b}f(x)dx + k_2int_{a}^{b}g(x)dx$。
区间可加性
若$c$是区间$[a,b]$内的一点，则$int_{a}^{b}f(x)dx = int_{a}^{c}f(x)dx + int_{c}^{b}f(x)dx$。
微积分基本定理在解题中的应用
01
计算定积分
02
证明等式
利用微积分基本定理，可以直接计算出某些函数的定积分结果，而不需要使用复杂的积分方法和技巧。
通过构造适当的原函数和变上限积分，可以利用微积分基本定理证明一些与定积分相关的等式。
03
解决实际问题
微积分基本定理在实际问题中也有广泛的应用，例如计算物体的质量、重心、转动惯量等物理量，以及求解经济学中的边际效应和弹性等问题。
VS
变量代换法的步骤
首先，根据被积函数的特征，选择合适的变量代换；其次，将原积分转化为关于新变量的积分；最后，求出原函数并加上常数C。
分部积分法
分部积分法的原理
利用两个函数乘积的积分等于其中一个函数与另一个函数的原函数乘积的积分减去另一个函数与第一个函数的原函数乘积的积分，从而将复杂的积分转化为简单的积分形式。
要点二
定积分的几何意义
定积分在几何上表示由曲线$y=f(x)$，直线$x=a$， $x=b$及$x$轴所围成的曲边梯形的面积。若$f(x) geq 0$ ，则定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$等于曲边梯形的面积；若 $f(x) leq 0$，则定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$等于曲边梯形面积的负值。

2013年走向高考·高考数学文理总复习课件(北师大版)3-3定积分与微积分基本定理(理)

A．在t1时刻，甲车在乙车前面 B．t1时刻后，甲车在乙车后面 C．在t0时刻，两车的位置相同 D．t0时刻后，乙车在甲车前面
[答案] A [解析] 考查读图识图能力和曲线的变化率．
由图像可知，曲线v甲比v乙在0～t0和0～t1之间与x轴围成面积都大，故在t0、t1时刻，甲车均在乙车前面．
4．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0)围成图形的面积是
0

-π
(cosx＋ex)dx.
[分析] 先由定积分的性质将其分解成各简单函数的定积
分，再利用牛顿—莱布尼兹公式求解．
[解析]
(1)
2(x2＋2x＋1)dx＝

2

x2dx＋
2

2xdx＋
2

1·dx＝
x3 3
|
2 1
1
1
1
1
＋x2|21＋x|21＝139.
(2)π(sinx－cosx)dx＝πsinxdx－πcosxdx
[解析] (1)2(3x2＋4x3)dx＝23x2dx＋24x3dx
0
0
0
＝x3|20＋x4|20＝24.
(2) π2sin22xdx＝π21－2cosxdx
0
0
＝0π212dx－0π2co2sxdx＝12x0π2
π20－12sinxπ2 0
＝cos1－2＋13＝cos1－53.
பைடு நூலகம்
定积分的计算
[例1] 求下列定积分： (1)2(3x2＋4x3)dx；

0
(2) 0π2sin2x2dx； x3， x∈[0，1]，
(3)求函数f(x)＝ x， x∈[1，2]， 2x， x∈[2，3]

【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)2.13定积分与微积分基本定理课件理新人教B版

【规范解答】(1)由定积分的几何意义知 1 1 x 2 dx 表示由曲线 0 y= 1 x 2，直线x=0，x=1和y=0围成的封闭图形的面积，故

1 0
2 1 1 x dx . 4 4
2
(2)由于被积函数f(x)=3x3+4sinx是定义在［-5，5］上的奇函数.所以所求定积分 5 5 3x 3 4sinx dx 0.
2 0 2
2 0
(2)所做的功为 4 3x 4 dx 40J. 0 答案：(1)2 (2)40J
利用微积分定理计算定积分
【方法点睛】
b 求定积分 a f x dx 的步骤
(1)求使F′(x)=f(x)成立的F(x)； (2)计算F(b)-F(a).
【例1】计算下列定积分. (1)(2012·沈阳模拟) 3 dx; 2 (2)(2012·黄冈模拟) ln2 ex dx; 0
梯形的面积问题.
【规范解答】(1)选D.由定积分知识可得 S=

3
cosxdx sinx | 3 3
3
3 3 ( ) 3 ，故选D. 2 2
(2)所求面积为图中阴影部分的面积,
由题意知A(-2,0),B(0,2),C( ∴所求图形的面积为
02 x 2 dx
(2)由定积分的性质可得 22 sinx 2x dx 22 sinxdx 22 2xdx，
又sinx与2x都是奇函数，所以所求定积分为0.
答案：(1)1 (2)0
4.微积分基本定理
(1)一个结论
F′(x)从a到b的积分等于F(x)在两端点的取值之差. (2)微积分基本定理如果F′(x)=f(x),且f(x)在［a,b］上可积，则

2013高考数学一轮复习课件_定积分与微积分基本定理(理)

[答案]
4 3
21
ex，x∈[0，1] 本例中f(x)改为f(x)＝1x，x∈1，e].
再求∫e0f(x)dx的值．
22
解：∫e0f(x)dx＝∫10exdx＋∫e11xdx ＝ex| 10＋ln x| e1＝e－1＋lne－ln1＝e.
23
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
3
4
一、定积分的性质
b
b
1.akf(x)dx＝
k a
f(x)dx(k为常数)
；
b
b
b
2.a[f(x)±g(x)]dx＝

a
f(x)dx±a
g(x)dx
；
b
b
3.a
f(x)dx＝c a

f(x)dx+ c
f(x)dx (其中 a＜c＜b)．
1．(2012·齐齐哈尔调研)计算∫π0(sin x－cos x)dx＝________. 解析：∫π0(sin x－cos x)dx＝∫π0sin xdx－∫π0cos xdx ＝(－cos x)| π0－sin x| π0＝2.
答案：2
24
2．(2012·石家庄模拟)∫02|1－x|dx＝________.
9
10
1．计算∫10x2dx＝
A.14
B.13
C.12
D．1

解析：∫10x2dx＝13x3|01＝13×1－13×0＝13.
答案：B
()
11
2．求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是 ( )
A．S＝∫01(x2－x)dx C．S＝∫01(y2－y)dy
B．S＝∫10(x－x2)dx D．S＝∫01(y－ y)dy