华师版数学九年级下册解码专训：求几何面积的最值问题

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华师版数学九年级下册解码专训：求几何面积的最值问题(2)

华师版数学九年级下册解码专训求几何面积的最值问题一、教材分析1．教材的地位和作用二次函数的应用是初中数学的重点和难点之一。

从内容上看：二次函数的应用是二次函数学习的深化阶段,要使学生感受二次函数是探索自然现象,社会现象的基本规律的工具和语言,也为学生进一步学习函数,体会函数思想奠定基础和积累经验;从思想层次来看：它涉及到数形结合思想,方程函数思想,和建模思想.这些内容和思想将在以后学习中产生广泛而深远的影响.新课标的主旨：二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。

新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题。

2.教材内容的安排;沪科版新教材在处理二次函数的应用上分四个典型的例题展开:例1:求最大面积问题——最值问题是二次函数的典型应用，而面积的最值问题便于学生掌握和理解。

也为其它最优化问题（如商品最大利润问题）奠定基础。

例2：二次函数与方程问题——往往在解决函数问题中，需要我们通过已知的一个变量值求另一个变量值，从而转化为方程问题。

例3：二次函数的综合问题——根据实际问题求出函数解析式，根据解析式解决实际问题。

例4：函数模型的选择——揭示建模思想，概括建模的方法与步骤，解决实际问题。

新教材的这种安排，既承前启后，又分散了难点，符合认知理论中的渐近性原则。

3、本节内容说明本节是第一课时，着重通过面积最大的问题来突出二次函数应用中的最值问题的研究方法、它生活背景丰富，学生比较感兴趣，目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

二、教学目标及重难点的确立结合本节课的教学内容和学生现有的学习水平，我确定本节课的教学目标与重难点如下：1、教学目标：1.知识与技能：能够表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并理解顶点与最值的关系，通过对求面积最大值问题的探索总结，让学生掌握解决其他最值问题的方法与能力。

数学九年级下册考点强化专训求几何面积的最值问题

①问题中定价有几种可能？涨价与降价的结果一样吗？
教学思路（纠错栏）
②设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价
元
，每件利润为
元，每星期少卖
件，实际
卖出
件。所以Y=
。（0<X<30）何时有最大
利润，最大利润为多少元？
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③设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为
元，每件利润为
值，为S最大值=100（m2）。
所以，当围成的矩形水面长为10m，宽为10m时，它的面积最
大，最大面积是100 m2。
☆ 合作探究 ☆
问题：某商场的一批衬衣现在的售价是60 元，每星期可买出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为40元，如何定价才能使利润最大？
元，每星期多卖
件，实
际卖出
件。所以Y=
。（0<X<20）何时有最
大利润，最大利，才能使利润最大？
☆ 归纳反思 ☆ 总结得出求最值问题的一般步骤：（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方法求出二次函数的最值。
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华师版九年级下册数学第26章二次函数用二次函数求几何图形面积的最值

【点拨】∵二次函数图象关于直线 x＝－2 对称，∴－a2＝－2，解得 a＝4， ∴y＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1， ∵当 m≤x≤0 时，y 有最大值 5，最小值 1， ∴－4≤m≤－2.
【答案】－4≤m≤－2
6．已知一个直角三角形两直角边长之和为20cm，则这个直角三角形的最大面积为( ) B
(2)求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
解：由题易知EF＝(20－2x)米，EH＝(30－2x)米，则y＝(30＋30－2x)·x·20＋(20＋20－2x)·x·60＋(30－ 2x)(20－2x)·40＝－400x＋24000(0＜x＜10)；
(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，求三种花卉的最低种植总成本．
13 见习题
1．二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，则c的值为( B ) A．2B．4C．－4D．16
2．已知 0≤x≤12，那么函数 y＝－2x2＋8x－6 的最大值是( B ) A．－6 B．－2.5 C．2 D．不能确定
3．已知y＝－x(x＋3－a)＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，若y在x＝1时取得最大值，则实数 a的取值情况是( )
解：S 甲＝2×12(EH＋AD)×x＝(30－2x＋30)x＝－2x2＋60x，同理 S 乙＝－2x2＋40x， ∵x＞0，∴S 甲＞S 乙，
∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2， ∴－2x2＋60x－(－2x2＋40x)≤120，解得x≤6，故0＜x≤6，又∵y＝－400x＋24000， ∴y随x的增大而减小，故当x＝6时，y取得最小值为21600，即三种花卉的最低种植总成本为21600元．
【答案】88πm2

初三九年级数学华师版第22章一元二次方程第22章专训(word版)解码专训

解码专训一：根与系数的关系的四种应用类型名师点金：利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征．在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意Δ≥0这个前提，而应用判别式Δ的前提是二次项系数不为0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件Δ≥0和a≠0.利用根与系数的关系求代数式的值1．设方程4x2－7x－3＝0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值．(1)(x1－3)(x2－3)；(2)x2x1＋1＋x1x2＋1；(3)x1－x2.利用根与系数的关系构造一元二次方程2．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x2＋2x－3＝0各根的负倒数．利用根与系数的关系求字母的值或取值范围3．已知关于x的一元二次方程2x2－mx－2m＋1＝0的两根的平方和是29 4，求m的值．巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性4．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解码专训二：一元二次方程中的常见热门考点名师点金：一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一元二次方程的根、一元二次方程的解法、一元二次方程根的情况、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的应用等，只要我们掌握了不同类型题的解法特点，就可以使问题变得简单，明了．一元二次方程的根1．(2015·兰州)若一元二次方程ax 2－bx －2 015＝0有一根为x ＝－1，则a ＋b ＝________．2．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1，且a ＝4－c ＋c －4－2，求（a ＋b ）2 0162 015c 的值．一元二次方程的解法3．用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后所得的方程为( )A ．(x ＋1)2＝0B ．(x －1)2＝0C ．(x ＋1)2＝2D ．(x －1)2＝24．一元二次方程x2－2x－3＝0的解是()A．x1＝－1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3C．x1＝－1，x2＝－3 D．x1＝1，x2＝35．选择适当的方法解下列方程：(1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0；(2)x2－6x－6＝0；(3)6 000(1－x)2＝4 860；(4)(10＋x)(50－x)＝800；(5)(中考·山西)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.一元二次方程根的判别式6．(2015·河北)若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是()A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥17．在等腰三角形ABC中，三边长分别为a，b，c.其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋(6－b)＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．8．(2015·南充)已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2，p为实数．(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)p为何值时，方程有整数解．(直接写出三个，不需说明理由)．一元二次方程根与系数的关系9．已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，则m的值是()A．3 B．1C．3或－1 D．－3或110．关于x的方程ax2－(3a＋1)x＋2(a＋1)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1＋x2－x1x2＝1－a，求a的值．11．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2＋4a－2＝0的两个实数根，当a为何值时，x12＋x22有最小值？最小值是多少？一元二次方程的应用12．(2015·乌鲁木齐)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？13．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？(求出剪成的两段铁丝的长度)(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由．新定义问题14．(中考·厦门)若x1，x2是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根，且|x1|＋|x2|＝2|k|(k是整数)，则称方程x2＋bx＋c＝0为“偶系二次方程”．如方程x2－6x－27＝0，x2－2x－8＝0，x2＋3x－274＝0，x2＋6x－27＝0，x2＋4x＋4＝0都是“偶系二次方程”．判断方程x2＋x－12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由．答案解码专训一1．解：根据一元二次方程根与系数的关系，有x 1＋x 2＝74，x 1x 2＝－34.(1)(x 1－3)(x 2－3)＝x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＝－34－3×74＋9＝3.(2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1＝x 2（x 2＋1）＋x 1（x 1＋1）（x 2＋1）（x 1＋1）＝ x 12＋x 22＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＋（x 1＋x 2）x 1x 2＋（x 1＋x 2）＋1＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫742－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋74－34＋74＋1＝10132. (3)∵(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫742－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝9716， ∴x 1－x 2＝±9716＝±1497.2．解：设方程5x 2＋2x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－25，x 1x 2＝－35.设所求方程为y 2＋py ＋q ＝0，其两根为y 1，y 2，令y 1＝－1x 1，y 2＝－1x 2. ∴p ＝－(y 1＋y 2)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1－1x 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝23，q ＝y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝1x 1x 2＝－53. ∴所求的方程为y 2＋23y －53＝0，即3y 2＋2y －5＝0.3．解：设方程两根为x 1，x 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m 2，x 1x 2＝－2m ＋12.∵x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝294，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22－2×－2m ＋12＝294， ∴m 2＋8m －33＝0.解得m 1＝－11，m 2＝3.当m ＝－11时，方程为2x 2＋11x ＋23＝0，Δ＝112－4×2×23<0，方程无实数根，∴m ＝－11不合题意，舍去；当m ＝3时，方程为2x 2－3x －5＝0，Δ＝(－3)2－4×2×(－5)>0，方程有两个不相等的实数根，符合题意．∴m 的值为3.4．解：不存在．理由如下：∵一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0有两个实数根，∴k ≠0，且Δ＝(－4k)2－4×4k(k ＋1)＝－16k ≥0，∴k ＜0.∵x 1，x 2是方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k .∴(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝2(x 1＋x 2)2－9x 1x 2＝－k ＋94k .又∵(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32，∴－k ＋94k ＝－32，∴k ＝95.又∵k<0，∴不存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立．方法总结：对于存在性问题，先根据方程根的情况，利用根的判别式确定出未知字母的取值范围，再利用根与系数的关系求出已知式子中字母的值，验证字母的值是否在其取值范围内．解码专训二1．2 015 点拨：把x ＝－1代入方程中得到a ＋b －2 015＝0，即a ＋b ＝2 015.2．解：∵a ＝4－c ＋c －4－2，∴c －4≥0且4－c ≥0，即c ＝4，则a ＝－2.又∵－1是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，∴a －b ＋c ＝0，∴b ＝a ＋c ＝－2＋4＝2.∴原式＝（－2＋2）2 0162 015×4＝0. 3．D 4.A5．解：(1)(x －1)2＋2x(x －1)＝0，(x －1)(x －1＋2x) ＝0，(x －1)(3x －1) ＝0，∴x 1＝1，x 2＝13.(2)x 2－6x －6＝0，∵a ＝1，b ＝－6，c ＝－6，∴b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×(－6)＝60.∴x ＝6±602＝3±15，∴x 1＝3＋15，x 2＝3－15.(3)6 000(1－x)2＝4 860，(1－x)2＝ 0.81，1－x ＝ ±0.9，∴x 1＝1.9，x 2＝0.1.(4)(10＋x)(50－x)＝800，x 2－40x ＋300＝ 0，∴x 1＝10，x 2＝30.(5)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7，4x 2－4x ＋1 ＝3x 2＋2x －7，x 2－6x ＋8 ＝0，∴x 1＝2，x 2＝4.6．B7．解：∵关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋(6－b)＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(b ＋2)2－4(6－b)＝0，∴b 1＝2，b 2＝－10(舍去)．当a 为腰时，△ABC 的周长为5＋5＋2＝12.当b 为腰时，2＋2＜5，不能构成三角形．∴△ABC 的周长为12.8．(1)证明：原方程可化为x 2－5x ＋4－p 2＝0.Δ＝(－5)2－4(4－p 2)＝9＋4p 2.∵p 为实数，则p 2≥0，∴9＋4p 2＞0.即Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)解：当p 为0，2，－2时，方程有整数解．(答案不唯一)点拨：(1)先将一元二次方程化为一般形式，由题意得，一元二次方程根的判别式b 2－4ac ＝(－5)2－4×1×(4－p 2)＝9＋4p 2，易得，9＋4p 2＞0，从而得证．(2)一元二次方程的解为x ＝5±9＋4p 22，若方程有整数解，则9＋4p 2必须是完全平方数，故当p ＝0、2、－2时，9＋4p 2分别对应9、25、25，此时方程的解分别为整数．9．A10．解：由题意，得x 1＋x 2＝3a ＋1a ，x 1x 2＝2（a ＋1）a ，∴3a ＋1a －2（a ＋1）a＝1－a ，∴a 2－1＝0，即a ＝±1.又∵方程有两个不相等的实数根，∴a ≠0，且Δ＝[－(3a ＋1)]2－4a·2(a ＋1)＞0，即a ≠0，且(a －1)2＞0，∴a ≠0，且a ≠1，∴a ＝－1.11．解：∵方程有两个实数根，∴Δ＝(2a)2－4(a 2＋4a －2)≥0，∴a ≤12.又∵x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝a 2＋4a －2，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝2(a －2)2－4.∵a ≤12，∴当a ＝12时，x 12＋x 22的值最小．此时x 12＋x 22＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－22－4＝12，即最小值为12. 点拨：本题中考虑Δ≥0从而确定a 的取值范围这一过程易被忽略．12．解：设每件商品降价x 元，则售价为每件(60－x)元，每星期的销量为(300＋20x)件．根据题意，得(60－x －40)(300＋20x)＝6 080.解得x 1＝1，x 2＝4.又要顾客得实惠，故取x ＝4，即销售单价为56元．答：应将销售单价定为56元．13．解：(1)设剪成的较短的一段长为x cm ，则较长的一段长为(40－x) cm ，由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫40－x 42＝58，解得x 1＝12，x 2＝28.当x ＝12时，较长的一段长为40－12＝28(cm )，当x ＝28时，较长的一段长为40－28＝12(cm )＜28cm (舍去)．∴较短的一段长为12 cm ，较长的一段长为28 cm .(2)小峰的说法正确．理由如下：设剪成的较短的一段长为m cm ，则较长的一段长就为(40－m) cm ，由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫m 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫40－m 42＝48，变形为m 2－40m ＋416＝0.∵Δ＝(－40)2－4×416＝－64＜0，∴原方程无实数解，∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.14．解：不是．理由如下：解方程x2＋x－12＝0，得x1＝－4，x2＝3.|x1|＋|x2|＝4＋3＝2×|3.5|.∵3.5不是整数，∴方程x2＋x－12＝0不是“偶系二次方程”．。

九年级数学解码专训(1)

九年级数学解码专训一：利用概率判断游戏规则的公平性名师点金：通过计算概率判断游戏是否公平是概率知识的一个重要应用，也是中考考查的热点．解决游戏公平性问题要先计算游戏双方获胜的概率，若概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游戏不公平．利用概率判断摸球游戏的公平性1．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个球，除数字不同外，球没有任何区别，每次试验前先搅拌均匀．(1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？(2)若从中任取一球(不放回)，再从中任取一球，请用画树状图或列表的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率；(3)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1时甲胜，否则乙胜，请问这种游戏方案对甲、乙双方公平吗？请说明理由．利用概率判断转盘游戏的公平性2．如图，有A，B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后(当指针指在边界线上时视为无效，重转)，若将A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为(x，y)．记S＝x＋y.(1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标；(2)李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当S<6时甲获胜，否则乙获胜，你认为这个游戏公平吗？若不公平，对谁有利？请说明理由．(第2题)利用概率判断掷骰子游戏的公平性3．“五一”假期，某公司组织部分员工分别到A，B，C，D四地旅游，公司按定额购买了前往各地的车票．如图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：(1)若去D地的车票占全部车票的10%，请求出D地车票的数量，并补全统计图；(2)若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀)，那么员工小胡抽到去A地的概率是多少？(3)若有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一枚各面分别标有1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小，车票给小王，否则给小李．试用列表法或画树状图法分析，这个规则对双方是否公平？(第3题)解码专训二：概率应用的四种类型名师点金：概率的应用很广泛，主要体现在与其他知识的综合，如：在方程和不等式中的应用、在函数中的应用、在几何中的应用、在物理学中的应用等．概率在方程和不等式(组)中的应用1．(2015·成都)有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ≥3（x ＋1），2x －x －12＜a 有解的概率为________． 2．甲、乙两名同学投掷一枚均匀的正六面体骰子(6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，用字母p ，q 分别表示两人各投掷一次骰子所得到的点数．(1)满足关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0有实数解的概率是________． (2)(1)中方程有两个相等实数解的概率是________．概率在函数中的应用题型1：放回事件3．在四个完全相同的球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀．从口袋中任取一个球记下数字后作为点P 的横坐标x ，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点P 的纵坐标y ，求点P(x ，y)落在直线y ＝－x ＋5上的概率．题型2：不放回事件4．在一个不透明的布袋里装有4个分别标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记数字为x ，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记数字为y.(1)计算由x ，y 确定的点(x ，y)在函数y ＝－x ＋5的图象上的概率； (2)小明和小红约定做游戏，其规则为：若x ，y 满足xy>6，则小明胜；若x ，y 满足xy<6，则小红胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请写出公平的游戏规则．概率在几何中的应用5．如图为4张背面完全相同的纸牌(分别用①、②、③、④表示)，在纸牌的正面分别写有四个不同的条件，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机摸出一张(不放回)，再随机摸出一张．(1)用画树状图法(或列表法)表示两次摸牌出现的所有可能结果；(2)以两次摸出牌上的结果为条件，求能判定四边形ABCD是平行四边形的概率．(第5题)概率在物理学中的应用6．如图所示，有一条电路AB由图示的开关控制，任意闭合两个开关．(1)请你画出树状图表示所有等可能的情况；(2)请你求出使电路形成通路的概率．(第6题)解码专训三：几种常见热门考点名师点金：概率是近年来中考的必考内容，主要考点是概率的意义，用频率估计概率，用列表法或树状图法计算概率及概率的应用，其考查形式既有单一考查，又有与平面直角坐标系、几何与统计知识等综合考查．判断事件类型1．下列事件中，是必然事件的为( ) A ．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 B ．成都平原7月份某一天的最低气温是－2 ℃ C ．在标准大气压下，通常加热到100 ℃时，水沸腾 D ．打开电视，正在播放节目《中国好声音》 2．下列事件，是随机事件的是( ) A ．四边形的内角和为180°B ．袋中有2个黄球，3个绿球共5个球，随机摸出一个球是红球C ．2016年巴西举办奥运会D ．从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限求事件的概率3．(2015·河北)将一枚质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数3相差2的概率是( )A .12B .13C .15D .164．有七张正面分别标有数－3，－2，－1，0，1，2，3的卡片，它们除数不同外其余全部相同．现将它们背面朝上洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数为a ，则使关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a(a －3)＝0有两个不相等的实数根的概率是________．5．(2015·宜昌)901班的全体同学根据自己的兴趣爱好参加了六个学生社团(每个学生必须参加且只参加一个)．为了解学生参加社团的情况，学生会对该班参加各个社团的人数进行了统计，绘制成如图所示不完整的扇形统计图．已知参加“读书社”的学生有15人．请解答下列问题：(1)该班的学生共有________名；(2)若该班参加“吉他社”与“街舞社”的人数相同，请你计算“吉他社”对应扇形的圆心角的度数；(3)901班学生甲、乙、丙是“爱心社”的优秀成员，现要从这三名学生中随机选两名学生参加“社区义工”活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好选中甲和乙的概率．(第5题)用频率估计概率6．一个不透明的盒子里有红色、黄色、白色小球共80个，它们除颜色不同外其余均相同．小文将这些小球摇匀后从中随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，多次试验后他发现摸到红色、黄色小球的频率依次为30%和40%.由此可知盒中大约有白球________个．游戏的公平性问题7．四张质地相同的卡片如图①所示，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．(1)求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率；(2)童童和乐乐想用这四张卡片做游戏，游戏规则见图②.你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由；若认为不公平，请你修改规则，使游戏变公平．(第7题)答案解码专训一1．解：(1)∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个球，球上的数字为偶数的是2与4，∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为24＝12.(2)画树状图如图：(第1题)∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，共4种情况，∴两个球上的数字之和为偶数的概率为412＝13.(3)∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，3)，(3，2)，(2，1)，共6种情况，∴P(甲胜)＝612＝12，P(乙胜)＝612＝12，∴P(甲胜)＝P(乙胜)，∴这种游戏方案对甲、乙双方公平．2．解：(1)列表如下：(2)由表格可知，S＝x＋y的值有12种等可能的结果，其中S＜6的情形有4种，故P(甲获胜)＝412＝13，所以乙获胜的概率为23，因为13＜23，所以这个游戏不公平，对乙有利．3．解：(1)设D 地车票有x 张，则x ＝(x ＋20＋40＋30)×10%，解得x ＝10，即去D 地的车票有10张，补全统计图如图所示：(第3题(1))(2)小胡抽到去A 地的概率为2020＋40＋30＋10＝15.(3)列表如下：(第3题(3))或画树状图如图：可知共有16种等可能的结果．其中小王掷得数字比小李掷得数字小的有6种，分别为：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)；所以小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为616＝38；则小王掷得数字不小于小李掷得数字的概率为1－38＝58，因为38≠58，所以这个规则对双方不公平．解码专训二1.49 点拨：若不等式组有解，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ≥3（x ＋1），2x －x －12＜a 的解集为3≤x ＜2a －13，且必须满足条件2a －13＞3，解得a ＞5，∴满足条件的a 的值为6，7，8，9，∴使不等式组有解的概率为49.2．(1)1936 (2)1183．解：画树状图如图所示：(第3题)∴点P 的坐标有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共有16种等可能的结果，其中在直线y ＝－x ＋5上的点有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种结果．∴点P(x ，y)落在直线y ＝－x ＋5上的概率为416＝14. 4．解：(1)方法一：列表如下：4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种结果，∴P(点(x ，y)在函数y ＝－x ＋5的图象上)＝412＝13. 方法二：画树状图如图所示：(第4题)∵共有12种等可能的结果，在函数y ＝－x ＋5的图象上的点有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种结果∴P(点(x ，y)在函数y ＝－x ＋5的图象上)＝412＝13；(2)不公平．理由如下：∵x ，y 满足xy ＞6的有：(2，4)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，共4种情况，x ，y 满足xy ＜6的有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，共6种情况，∴P(小明胜)＝412＝13，P(小红胜)＝612＝12.∵13≠12，∴游戏不公平．公平的游戏规则可改为：若x ，y 满足xy ≥6，则小明胜，若x ，y 满足xy ＜6，则小红胜．(答案不唯一)5．解：(1)画树状图如图：(第5题)(2)由(1)知共有12种等可能的结果．其中能判定四边形ABCD 是平行四边形的有：①②，①③，②①，②④，③①，③④，④②，④③，共8种情况，∴能判定四边形ABCD 是平行四边形的概率为812＝23.6．解：(1)画出树状图如图：(第6题)(2)由树状图可知，共有20种等可能的情况，其中使电路形成通路的有ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，ca ，cb ，da ，db ，ea ，eb ，共12种情况，所以P(使电路形成通路)＝1220＝35.解码专训三1．C 2.D 3.B4.475．解：(1)60(2)参加“吉他社”的学生在全班学生中所占比例为1－25%－20%－20%－15%2＝10%，所以“吉他社”对应扇形的圆心角的度数为360°×10%＝36°.(3)画树状图如图：(第5题)或列表如图：由树状图(况有2种，故P(恰好选中甲和乙)＝26＝13.6．247．解：(1)P(随机抽取一张卡片，恰好得到数字2)＝12.(2)画树状图如下：(第7题)从树状图中可以看出所有等可能的结果共有16种，组成的两位数不超过32的有10种，∴P(组成的两位数不超过32)＝1016＝58，∴P(童童胜)≠P(乐乐胜)，∴游戏规则不公平．将游戏规则改为：组成的两位数中，若个位数字是2，则童童胜，反之乐乐胜．(答案不唯一)。

华东师大版九年级数学下册二次函数中的面积问题课后练习一及详解(1)

学科：数学专题：二次函数中的面积问题重难点易错点解析题面：如图，二次函数y=ax2－4x＋c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A(－4，0)．(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．金题精讲题面：如图，二次函数y=(x-2)2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A(1，0)及点B．(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足kx+b≥(x-2)2+m的x的取值范围．满分冲刺题面：如图，抛物线32-+=bx ax y 交y 轴于点C ，直线 l 为抛物线的对称轴，点 P 在第三象限且为抛物线的顶点.P 到x 轴的距离为103，到y 轴的距离为1.点C 关于直线l 的对称点为A ，连接AC 交直线 l 于B .(1)求抛物线的表达式； (2)直线m x y +=43与抛物线在第一象限内交于点D ，与y 轴交于点F ,连接BD 交y 轴于点E ，且DE :BE =4:1.求直线m x y +=43的表达式思维拓展题面：已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的斜边BC 在x 轴上，直角顶点A 在y 轴的正半轴上，A (0，2)，B (－1，0).(1)求点C 的坐标；(2)求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式和对称轴课后练习详解重难点易错点解析答案：(1)y = －x 2－4x ；(2)点P 的坐标是：(－2，4)、2，－4)、2，－4) 详解：(1)将O (0，0)，A (－4，0)代入y =ax 2－4x ＋c 得 2(4)4(4)00a c c ⎧⨯--⨯-+=⎨=⎩，解得10a c =-⎧⎨=⎩. ∴此二次函数的解析式为y = －x 2－4x .(2)∵点A 的坐标为(－4，0)，∴AO =4.设点P 到x 轴的距离为h ，则1482AOP S h =⨯⨯= ，解得h =4. ①当点P 在x 轴上方时，－x 2－4x =4，解得x = －2.∴点P 的坐标为(－2，4).②当点P 在x 轴下方时，－x 2－4x = -4，解得12x x ==∴点P 的坐标为，－4)或，－4)，综上所述，点P 的坐标是：(－2，4)、，－4)、，－4) 金题精讲答案：(1) 二次函数的解析式为y =(x -2)2-1，y =x -1; (2)1≤x ≤4详解：(1)将点A (1,0)代入y =(x -2)2+m 得，(1-2)2+m =0，解得m = -1.∴二次函数的解析式为y =(x -2)2-1.当x =0时，y =4-1=3，∴点C 的坐标为(0,3)∵二次函数y =(x -2)2-1的对称轴为x =2，C 和B 关于对称轴对称，∴点B 的坐标为(4,3)将A (1,0)、B (4,3)代入y =kx +b 得，043k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=-⎩∴一次函数的解析式为y =x -1.(2) ∵A (1,0)、B (4,3)∴当kx +b ≥(x -2)2+m 时，直线y =x -1的图象在二次函数y =(x -2)2-1的图象上方或相交，此时1≤x ≤4. 满分冲刺答案：(1)212333y x x =+-.(2)324y x =+. 详解：(1)∵抛物线23y ax bx =+-交y 轴于点C ，∴C (0，-3)则 OC =3.∵P 到x 轴的距离为103，P 到y 轴的距离是1，且在第三象限， ∴P (-1，-103). ∵C 关于直线l 的对称点为A ，∴A (-2，-3).将点A (-2，-3)，P (-1，-103)代入23y ax bx =+-得， 42331033a b a b --=-⎧⎪⎨--=-⎪⎩，解得1323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴抛物线的表达式为212333y x x =+-. (2)过点D 做DG ⊥y 轴于G ，则∠DGE =∠BCE =90°.∵∠DEG =∠BEC ，∴△DEG ∽△BEC . ∴DG DE BC BE=. ∵DE :BE =4:1，BC =1， ∴DG 411=, 则DG =4. 将x =4代入212333y x x =+-，得y =5. ∴D (4,5). ∵34y x m =+过点D (4,5),∴3544m =⨯+, 则m =2. ∴所求直线的表达式为 324y x =+.思维拓展答案：(1)(4，0).(2) 213222y x x =-++,抛物线的对称轴为32x =. 详解：(1)∵A (0，2)，B (－1，0)，∴OA =2，OB =1. 由Rt △ABC 知Rt △ABO ∽Rt △CAO ，∴OA OB OC OA =，即212OC =，解得OC =4. ∴点C 的坐标为(4，0).(2)设过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为(1)(4)y a x x =+-，将A (0，2)代入，得2(01)(04)a =+-，解得12a =-∴过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为1(1)(4)2y x x =-+-，即213222y x x =-++. ∵221313252()22228y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴为32x =.。

华师版九年级数学下册22 第5课时图形面积的最大值教案与反思

知己知彼，百战不殆。

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《易经》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．（重点）2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．（重点）3．能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题．（重难点）一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABD.设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．当x为何值时，S有大值？并求出最大值．二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax＋bx＋c的最值已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为( ) A．3 B．－1C．4 D．4或－1解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，∴a＞0，y小值＝4ac－b24a＝4a （a －1－424a＝2，整理，得a 2－3a －40，解得a ＝－或4.∵a ＞0，∴a ＝4.故选C.方法总结：求二次函的最大(小)值有三种方法，第一种是由图象直接得出，第二种是方法，第三种是公式法．探究点二：利用二次函数求图形面积的最大值【类型一】利用二次函数求矩形面积的最大值图，在一面靠墙的空地上用长为24米篱笆，围成中间隔有二篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米．(1)求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则围成花圃的最大面积为多少平方米？解析：()根据AB 为x 米，则BC 为(24－4x )米，利用长方形的面积公，可求出关系式；(2)由(1)可知y 和x 为二次函数关，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的AB 的长；(3)根据BC 的长度大于0且小于等于8列出不等式组求出x 的取值范围，即可求出花圃的最大面积．解：(1)∵AB ＝x ，∴BC ＝24－4x ，∴S ＝AB ·BC ＝x (24－4x )＝－4x 2＋24x (0＜x ＜6)；(2)S ＝－4x 2＋24x ＝－4(x －3)2＋36，∵0＜x ＜6，∴当x ＝3时，S 有最大值为36；(3)∵⎩⎨⎧24－4x ≤8，24－4x ＞0，∴4≤x ＜6.∴当x ＝4时，花圃的面积最大，最大面积为32平方米．方法总结：根据已知条件列出二次函数关系式是解题的关键．但要注意不要漏掉题中自变量的取值范围．【类型二】利用割补法求图形的最大面积在矩形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别选取点E、F、G、(m是大于0的常数)，BC＝8，E为线段BC上的动点(不与B、C重合)．连接DE，作EF⊥DE，垂足为E，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y.(1)求y关于x的函数关系式；(2)若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？(3)若y＝12m，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？解析：(1)利用互余关系找角相等，证明△BEF∽△CDE，根据对应边的比相等求函数关系式；(2)把m的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；(3)∵∠DEF＝90°，只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，把条件代入即可．解：(1)∵EF⊥DE，∴∠BEF＝90°－∠CED＝∠CDE.又∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CDE，∴BFCE＝BECD，即yx＝8－xm，解得y＝8x－x2m；(2)由(1)得y＝8x－x2m，将m＝8代入，得y＝－18x2＋x＝－18(x2－8x)＝－18(x－4)2＋2，∴当x＝4时，y取得最大值为2；(3)∵∠DEF＝90°，∴只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，∴△BEF≌△CDE，∴BE＝CD＝m，此时m＝8－x.解方程12m＝8x－x2m，得x＝6，或x＝2.当x＝2时，m＝6；当x＝6时，m＝2.方法总结：在解题过程中，要充分运用相似三角形对应边的比相等的性质建立函数关系式，是解决问题的关键．三、板书设计图形面积的最大值1．求函数最值的方法2．利用二次函数求图形面积的最大值教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.【素材积累】宋庆龄自1913年开始追随孙中山，致力于中国革命事业，谋求中华民族独立解放。

专题26.3.2 几何图形面积最值问题-九年级数学同步精讲精练之二次函数(华师大版)

26.3.2 几何图形面积最值问题【同步测试】一．选择题（共2小题）1．用长40m的篱笆围成一个矩形菜园，则围成的菜园的最大面积为（）A．400m2B．300m2C．200m2D．100m2【答案】D【解析】解：设矩形的面积为S平方米，长为xm，由题意，得S＝x（20﹣x），s最大＝100．故选：D．【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，抛物线的顶点式的运用，矩形的面积公式，解答时求出矩形的面积表达式是关键．2．如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为（）A．10米B．15米C．20米D．25米【答案】A【解析】解：设矩形ABCD的边AB为x米，则宽为（40﹣2x）米，S＝（40﹣2x）x＝﹣2x2+40x．要使矩形ABCD面积最大，则x10米，即x的长为10米．故选：A．【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y＝﹣x2﹣2x+5，y＝3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．二．填空题（共3小题）3．如图，用长20m的篱笆，一面靠墙（墙足够长）围成一个长方形的园子，最大面积是________m2．【答案】50m2【解析】解：设与墙平行的一边长为xm，则另一面为，其面积x x2﹣10x，∴最大面积为50即最大面积是50m2．【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y＝﹣x2﹣2x+5，y＝3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．4．周长为13cm的矩形铁板上剪去一个等边三角形（这个等边三角形的一边是矩形的宽），则矩形宽为_____cm，长为____cm时，剩下的面积最大，这个最大面积是_________．【答案】见解析经整理，得：y x2x，当x4时，y取得最大值，y最大（4），此时长为（）．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是求最值问题．5．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积为最大时，运动时间t为______s．【答案】2∵由以上函数图象知∴当t＝2时，△PBQ的面积最大为4cm2．【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y＝﹣x2﹣2x+5，y＝3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．三．解答题（共3小题）6．一养鸡专业户计划用长116m的竹篱笆靠墙（如图）围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大？最大面积为多少？【答案】见解析【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD．设BC＝xm，则AB＝CD（116﹣x）m，矩形的面积为S．由题意，得S＝x•x2+58x（x﹣58）2+1682．∴当x＝58m时，S最大＝1682m2．【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，矩形的面积公式的运用，二次函数的解析式的顶点式的运用．解答时求出S与x之间的关系式是关键．7．如图等腰梯形ABCD中，AB＝4，CD＝9，∠C＝60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中以个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动（1）求AD的长；（2）设CD＝x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大？并求出最大值．【答案】见解析【解析】解：（1）如图1在Rt△ADE中，AD2＝5；（2）如图1∵CP＝x，h为PD边上的高，依题意，△PDQ的面积S可表示为：（x）2．（0≤x≤5）∴a0，∴当x时（满足0≤x≤5），S最大值．学科&网【点睛】本题考查了学生的分析作图能力和考查学生综合运用平行线、等腰梯形、等边三角形、菱形、二次函数等知识．这里设计了一个开放的、动态的数学情境，为学生灵活运用基础知识、分析问题、解决问题留下了广阔的探索、创新的思维空间．8．如图等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40m的铁栏围成，设AB的长为xm，该花圃的面积为Sm2（1）求出底边BC的长．（用含x的代数式表示）（2）若∠BAD＝60°，求S与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若墙长为24m，试求S的最大值．【答案】见解析【解析】解：（1）∵AB＝CD＝x米，∴BC＝40﹣AB﹣CD＝（40﹣2x）米．（2）如图，过点B、C分别作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，在Rt△ABE中，AB＝x，∠BAE＝60°∴AE x，BE x，∴S（40﹣2x+40﹣x）•x x（80﹣3x）（0＜x＜20），当S＝93时，，解得：x1＝6，x2＝20（舍去）．∴x＝6（3）由题意，得40﹣x≤24，解得x≥16，结合（2）得16≤x＜20．由（2），S∵a∴函数图象为开口向下的抛物线的一段（附函数图象草图如左）．其对称轴为x，∵16，由左图可知，当16≤x＜20时，S随x的增大而减小，∴当x＝16时，S取得最大值，此时S最大值162+2016＝128m2．【点睛】本题考查了二次函数的性质的运用，等腰梯形的性质的运用．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查二次函数的运用，运算较复杂，难度偏难．。

华师版数学九年级下册解码专训-整合提升密码

华师版数学九年级下册解码专训专训1 圆中常见的计算题型名师点金：与圆有关的计算主要涉及圆与其他几何图形结合，利用圆周角定理求角度，利用垂径定理构造直角三角形并结合勾股定理，已知弦长、弦心距、半径三个量中的任意两个量时，可求出第三个量，利用弧长、扇形面积公式计算弧长、扇形面积等．有关角度的计算1．如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，D ，E ，F 为三个切点．若∠DEF ＝52°，则∠A 的度数为( )A ．76°B ．68°C ．52°D ．38°(第1题)(第2题) 2．如图，有一圆经过△ABC 的三个顶点，且弦BC 的中垂线与AC ︵相交于D点．若∠B ＝74°，∠C ＝46°，则AD ︵所对圆心角的度数为( )A ．23°B ．28°C ．30°D ．37°3．(中考·娄底)如图，在⊙O 中，AB ，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接AD ，BC ，BD.(1)求证：△ABD ≌△CDB ；(2)若∠DBE ＝37°，求∠ADC 的度数．(第3题)半径、弦长的计算 4．(中考·南京)如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，连接BC ，若AB ＝2 2 cm ，∠BCD ＝22°30′，则⊙O 的半径为________．(第4题)(第5题)5．如图，AB 为⊙O 的直径，延长AB 至点D ，使BD ＝OB ，DC 切⊙O 于点C ，点B 是CF ︵的中点，弦CF 交AB 于点E.若⊙O 的半径为2，则CF ＝________.6．如图，在⊙O 中，直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，OD ＝30 cm .求直径AB 的长．(第6题)面积的计算7．(2015·丽水)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作⊙O 的切线DF ，交AC 于点F.(1)求证：DF ⊥AC ；。

华师版数学九年级下册解码专训：求“抛物线”形最值问题

华师版数学九年级下册解码专训21.4 求“抛物线”形最值问题教学目标【知识与技能】通过建立数学模型学会用二次函数知识解决有关的实际问题.【过程与方法】1.掌握数学建模的思想,体会数学与生活的密切.2.在数学建模中,使学生学会交流、合作.【情感、态度与价值观】培养学生独立思考和合作探究的能力,在交流、探讨的过程中培养学生的交际能力和语言表达能力,促进学生综合素质的养成.重点难点【重点】根据具体情境建立适当的直角坐标系,并将有关线段转化为坐标系中的点. 【难点】建立适当的直角坐标系,并选用简便的方式求出二次函数表达式.教学过程一、创设情境,导入新知师:前面我们把一些实际问题转化成了求二次函数的极值问题.本节我们继续学习二次函数的应用.同学们看这样一个问题.教师多媒体课件出示:一个涵洞成抛物线形,它的截面如图所示,现测得当水面宽AB=1.6 m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m.这时,离开水面1.5 m处,涵洞宽ED是多少?是否会超过1 m?你能求出来吗?二、共同探究,获取新知师:我们以前求过坐标系里的这种问题,现在没有坐标系怎么办呢?学生思考,讨论.生:建立坐标系.师:你怎么建立呢?生甲:以A、B所在的直线为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴建立坐标系.生乙:以过涵洞最高点且在水平方向的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y 轴,建立坐标系.师:这两种方法都是可以的,但哪种更方便呢?学生讨论,交流.生:用第二种方法建立的坐标系更为简便.师:为什么?生:因为这样的表达式是y=ax2的形式,比较简单.师:对.那你能用第二种方法建立坐标系吗?学生作图、计算.教师提示:建立坐标系要用到已知了的哪些条件?生:当水面宽AB=1.6 m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m.师:这个条件怎么用呢?生:把x==0.8,y=-2.4代入y=ax2,得到关于a的一元一次方程,解这个方程得到a的值,进而得到表达式.师:很好!我们再看一个例子.【例1】上抛物体不计空气阻力的情况下,有如下的表达式:h=vt-gt2,其中h是物体上升的高度,v是物体被上抛时竖直向上的初始速度,g是重力加速度(取g=10 m/s2),t是物体抛出后经过的时间.在一次排球比赛中,排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10 m/s.(1)问排球上升的最大高度是多少?(2)已知某运动员在2.5 m高度时扣球效果最佳,如果她要打快攻,问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳?(精确到0.1s)解:(1)根据题意,得h=10t-×10t2=-5(t-1)2+5(t≥0).因为抛物线开口向下,顶点坐标为(1,5).答:排球上升的最大高度是5 m.(2)当h=2.5 m时,得10t-5t2=2.5。

华师大版数学九年级下册26.2.2 第5课时图形面积的最大值

一个关键
依据
常见几何图形的面积公式
建立函数关系式
一个注意
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎样去爱自己。
1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.
2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x 的取值范围.
3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值.
新课讲解
2 几何图形的最大面积
例2 用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高于宽各位多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）
增减性
a＞0
向上直线x b
2a
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
4ac b2 y最小值 = 4a
当x位于对称轴左侧时， y随x的增大而减小；x位于对称轴右侧时，y随x 的增大而增大.
a＜0
向下
直线x b 2a
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
y最大值
=
4ac 4a
b2
方法总结
新课讲解
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.
新课讲解

2021春华师版九年级数学下册第26章 26.2.6 用二次函数求几何面积的最值

1.必做:完成教材中习题 2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
A．－1 B．2
11
C.
4
D．3
知识点 2 几何面积的最值
知2－讲
例2 用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？
（铝合金型材宽度不计）
知2－讲
解：设矩形窗框的宽为x m，则高为 6 3 x m. 这里应 2
有x> 0,且 6 3 x > 0,故0 < x < 2. 2
矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是
y x 6 3x , 2
即 y 3 x2 3x. 2
配方得 y 3 x 12 3 ,
2
2
知2－讲
所以当x = 1时，函数取得最大值，最大值y = 1.5.
x=1满足0 < x < 2,这时 6 3 x = 1.5. 2
因此，所做矩形窗框的宽为1 m、高为1. 5 m时，它的透光面积最大，最大面积是1. 5 m2.
得最值．即当x＝
b 2a
时，y最值＝
4ac b2 .
4a
当a＞0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大值；
当a＜0时，在顶点处取得最大值，此时不存在最小值．
知1－讲
2. 当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时，(1)若－在自变量的取值范
围x1≤x≤x2内，最大值与最小值同时存在，如图①，当a＞0时，
3 用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为( ) A．20 B．40 C．100 D．120
利用二次函数求几何图形面积的最值是二次函数应用的重点之一，解决此类问题的基本方法是：借助已知条件，分析几何图形的性质，确定二次函数表达式，再根据二次函数的图象和性质求出最值，从而解决问题．

华师大版九年级数学下册课后练习：二次函数中的面积问题课后练习二及详解(1)

学科：数学专题：二次函数中的面积问题重难点易错点解析题面：已知抛物线2y bx =++A (2，0)．设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B ．求b 的值，求出点P 、点B 的坐标；金题精讲题面：如图，经过原点的抛物线y = -x 2+2mx (m >0)与x 轴的另一个交点为A .过点P (1,m )作直线PM ⊥x 轴于点M ，交抛物线于点B .记点B 关于抛物线对称轴的对称点为C (B 、C 不重合).连结CB ,CP .(1)当m =3时，求点A 的坐标及BC 的长；(2)当m >1时，连结CA ，问m 为何值时CA ⊥CP ？(3)过点P 作PE ⊥PC 且PE =PC ，问是否存在m ，使得点E 落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m 的值，并写出相对应的点E 坐标；若不存在，请说明理由.满分冲刺题面：如图，在平面直角坐标系中，直线123y x =-+交x 轴于点P ，交y 轴于点A ．抛物线212y x bx c =-++的图象过点E (－1，0)，并与直线相交于A 、B 两点． (1)求抛物线的解析式(关系式)；(2)过点A 作AC ⊥AB 交x 轴于点C ，求点C 的坐标．思维拓展题面：如图，已知二次函数L 1：y =x 2-4x +3与x 轴交于A ．B 两点(点A 在点B 左边)，与y 轴交于点C ．(1)写出二次函数L 1的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)研究二次函数L 2：y =kx 2-4kx +3k (k ≠0)．①写出二次函数L 2与二次函数L 1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k ，使△ABP 为等边三角形？如果存在，请求出k 的值；如不存在，请说明理由；③若直线y =8k 与抛物线L 2交于E 、F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．课后练习详解重难点易错点解析答案：b =-，顶点P 的坐标为(4，-；点B 的坐标是(6，0).详解：∵抛物线2y x bx =++A (2，0)，2220b ++，解得b =-∴抛物线的解析式为2y x =-+∵224)y x x =-+--∴顶点P 的坐标为(4，-令y =020-+=，解得x 1=2，x 2=6. ∴点B 的坐标是(6，0).金题精讲答案：(1)A (6，0)，BC =4. (2) m =32 (3)存在. 详解：(1)当m =3时，y = －x 2＋6x .令y =0得－x 2＋6x =0，解得，x 1=0，x 2=6.∴A (6，0).当x =1时，y =5.∴B (1，5).∵抛物线y = －x 2＋6x 的对称轴为直线x =3，且B ，C 关于对称轴对称，∴BC =4.(2)过点C作CH⊥x轴于点H(如图1)由已知得，∠ACP=∠BCH=90°，∴∠ACH=∠PCB. 又∵∠AHC=∠PBC=90°，∴△ACH∽△PCB.∴AH PB CH BC=.∵抛物线y= －x2＋2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，且B，C关于对称轴对称，∴BC=2(m－1).∵B(1，2m－1)，P(1，m)，∴BP=m－1.又∵A(2m，0)，C(2m－1，2m－1)，∴H(2m－1，0).∴AH=1，CH=2m－1，∴11212(1)mm m-=--，解得m=32.(3)存在.∵B，C不重合，∴m≠1.(I)当m＞1时，BC=2(m－1)，PM=m，BP=m－1，(i)若点E在x轴上(如图1)，∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP. ∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM，即2(m-1)=m，解得m=2.此时点E的坐标是(2，0).(ii)若点E在y轴上(如图2)，过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，∴BP=NP=OM=1，即m－1=1，解得，m=2.此时点E的坐标是(0，4).(II)当0＜m＜1时，BC=2(1－m)，PM=m，BP=1－m，(i)若点E在x轴上(如图3)，易证△BPC≌△MEP，∴BC=PM，即2(1－m)=m，解得，m=23.此时点E的坐标是(43，0).(ii)若点E在y轴上(如图4)，过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，∴BP=NP=OM=1，即1－m=1，∴m=0(舍去).综上所述，当m=2时，点E的坐标是(0，2)或(0，4)，当m=23时，点E的坐标是(43，0).满分冲刺答案：(1) 213222y x x =-++；(2)点C 的坐标为2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭ . 详解：(1)∵一次函数123y x =-+交y 轴于点A ， ∴令x =0，得y =2.∴A (0，2). ∵A (0，2)、E (－1，0)是抛物线212y x bx c =-++的图象上的点， ∴2102c b c =⎧⎪⎨--+=⎪⎩，解得322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩. ∴抛物线的解析式是：213222y x x =-++. (2)∵一次函数交ｘ轴于点P ，∴令y =0，得x =6.∴P (6，0). ∵AC ⊥AB ，OA ⊥OP ，∴△AOC ∽△POA . ∴CO AO AO PO =. ∵AO =2，PO =6，∴226CO =.。

华师版数学九年级下册解码专训：求几何面积的最值问题