利用平面向量研究平面几何
平面向量的几何应用
平面向量的几何应用平面向量是研究几何的重要工具，它们不仅可以描述物体的位置和方向，还可以用于求解几何问题。
本文将详细介绍平面向量在几何中的应用，包括向量的平移、旋转、投影以及共线、垂直等概念。
一、向量的平移向量的平移是指将一个向量沿着指定方向移动一定距离的操作。
平移后的向量与原向量具有相同的大小和方向。
使用平移向量可以方便地描述物体的位移以及多边形的平移。
例如，有一向量AB表示物体的位移，向量M表示平移向量，平移后的向量为AM=M+AB。
通过平移向量，我们可以方便地计算出物体的新位置。
二、向量的旋转向量的旋转是指将一个向量绕某个点或轴旋转一定角度的操作。
向量在旋转后具有相同的大小，但方向发生改变。
向量的旋转常用于描述物体的旋转以及多边形的旋转。
例如，有一向量OA表示物体的位置，向量θ表示旋转向量，旋转后的向量为OA'=OA*cosθ+OB*sinθ，OB为垂直于OA的单位向量。
通过向量的旋转，可以方便地计算出物体旋转后的新位置。
三、向量的投影向量的投影是指将一个向量在指定方向上的投影长度。
设有向量a和向量b，向量a在向量b上的投影长度为a•cosθ，其中θ为a与b之间的夹角。
向量的投影可用于计算物体在某个方向上的分量。
例如，有一向量AB表示物体的位移，向量n表示指定方向，物体在指定方向上的分量为AB•cosθ。
通过向量的投影，我们可以方便地计算出向量在指定方向上的分量大小。
四、向量的共线和垂直两个向量共线意味着它们的方向相同或相反，可以表示为a=k*b，其中k为常数。
共线的向量在几何中常用于求解相似三角形或线段的比例关系。
两个向量垂直意味着它们的夹角为90度，可以表示为a•b=0。
垂直的向量在几何中常用于求解垂直平分线、垂直平面等概念。
总结：平面向量具有广泛的几何应用，包括向量的平移、旋转、投影以及共线、垂直等概念。
通过运用向量的几何性质，我们可以更加便捷地解决各类几何问题。
掌握平面向量的几何应用，有助于提高解题效率，深入理解几何学中的相关概念和原理。
平面向量与平面几何的应用
平面向量与平面几何的应用在数学中，平面向量是一种具有大小和方向的量，常用箭头表示。
平面向量在几何学中具有广泛的应用，可以用于解决平面几何问题。
本文将介绍平面向量的基本概念和性质，并探讨其在平面几何中的应用。
一、平面向量的定义与表示平面向量表示空间中的有向线段，其大小用线段的长度表示，方向用箭头所指的方向表示。
平面向量通常用有序数对表示，例如向量$\overrightarrow{AB}$可以表示为$(x_2-x_1,y_2-y_1)$，其中$A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$为向量的起点和终点。
二、平面向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
即对于向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BC}$，有$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$。
2. 向量的数量积向量的数量积也称为点积，表示为$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}$，定义为$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|·|\overr ightarrow{AC}|·cos\theta$，其中$\theta$为两个向量的夹角。
3. 向量的向量积向量的向量积也称为叉积，表示为$\overrightarrow{AB}×\overrightarrow{AC}$，其大小等于以$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$为邻边的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形所在的平面。
三、平面向量在平面几何中的应用1. 向量的共线与共面通过向量的数量积可以判断向量的共线性。
若$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=0$，则$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$共线。
向量在平面几何中的应用
例如，向量数量积对应着几何中的长度. 如图： 平行四边行ABCD中，
设 AB a, AD b ，则
AC AB BC a b
DB AB AD a b
2
AB
2
a
|
AB |2
2
AD
2
b
|
AD |2
向量 AB, AD 的夹角为 ∠BAD.
例1.如图，已知平行四边形ABCD中，E、F在 对角线BD上，并且BE=FD，求证AECF是平 行四边形。
AM AB BM
AB yBD
D C
M
AB y( AD AB)
A
B
(1 y) AB y AD
根据平面向量基本定理知，这两个分解
式是相同的，所以
x 1 y
x y
解得
x
1 2
y
1 2
所以点M是AC、BD的中点，即两条对 角线互相平分.
例3.已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意 一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接 DP、EF，求证DP ⊥EF。
2
2
AB2 BC2 CD2 DA2 2( a b )
AC2 BD2 a b 2 a b 2
2
a
2ab
2
b
2
a
2ab
2
b
2 a 2
2
b
2
a
2
b
2
∴ AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
例5 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T 两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
0
所以DP EF
巧用平面向量求解某些平面几何问题
2013-01课堂内外巧用平面向量求解某些平面几何问题文/邱雪婉平面向量是一种既有大小,又有方向的量。
它是重要的数学工具,在数学、物理等学科及工程技术中有着非常广泛的应用。
而且,平面向量具有代数形和几何形的双重身份和内涵,在高中数学中,特别是几何方面起着桥梁和工具的作用。
众所周知,平面向量最难之处在于添辅助线。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,使得平面几何的很多性质,如全等、相似、平移、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示,而不必添加辅助线。
一、平面向量在几何证明方面的应用以三角形的中位线定理为例,例1.如图1所示,△ABC 的两边AB 和AC 的中点分别是E 、F ,则EF ∥BC ,EF =12BC用向量方法证明如下:证:∵E 、F 分别是AB 、AC 两边的中点∴AE =12AB ,AF =12AC ,又在△AEF 中,EF =AF -AE ,从而EF =12AC -12AB =12(AC -AB )=12BC 亦EF ∥BC ,EF =12BC不用辅助线,直接用向量方法证明是比较容易的。
再如:例2.证明菱形的两条对角线互相垂直。
分析:可以通过求菱形的两条对角线对应的向量的内积,由其内积等于零得到垂直的关系。
证:在菱形ABCD 中,设AB =DC =a ⭢,AD =BC =b ⭢,且a ⭢=b ⭢,则AC =AB +AD =a ⭢+b ⭢,DB =AB -AD =a ⭢-b ⭢,∴AC ·DB =(a ⭢+b ⭢)·(a ⭢-b ⭢)=a ⭢2-b ⭢2=0,∴AC ⊥DB ,即AC ⊥DB∴菱形的两条对角线互相垂直。
小结:很多情况下,我们都可以通过证明两个向量的内积为零而得到两条直线(或线段)互相垂直。
当然,更多情况下,直线(或线段)是不垂直的,这时候,我们也可以通过向量的内积公式而求出夹角。
二、平面向量在求直线(或线段)的夹角方面的应用例3.已知三点坐标:A (-1,3),B (1,1),C (3,5),求∠CAB 的大小。
巧用平面向量求解某些平面几何问题
＝
０
图３
（ ３ ， ５ ） 一 （ 一 １ ， ３ ） ＝ （ ３ ＋ １ ， ５ － ３ ） ＝ （ ４ ， ２ ） ，
、
平 面 向 量在 几何 证 明 方 面 的 应 用
ｌ Ｉ ： 、 ／ 砑
＝ ２ 、 ／ ，
以三角形的 中位线定理为例 ， 例 １ ．如图 １ 所示 ， △Ａ Ｂ Ｃ的两边 Ａ Ｂ和 Ａ Ｃ的中点分别是 Ｅ、
・ ．
当然 ， 更多情况下 ， 直线 （ 或线段 ） 是不垂直的 ， 这 时候 ， 我们也 可 以通过向量的内积公式而求 出夹角 。
二、 平面向量在 求直线 （ 或线段 ） 的夹角方面 的应用
ＡＣ ＝ ２
小结： 在 向量 问题 中 ， 求线段 的长度问题 ， 通常用到两 向量 的
夹角公式
已知 ＡＢ ＝ ８ ， Ａ Ｄ ＝ Ｉ Ｏ ， ／ ＿ Ｂ Ａ Ｄ＝ ６ ０ 。 ， 求对角线
ＡＣ的 长度 。 Ｃ
不用辅 助线 ， 直接用向量 方法证 明是 比较容易的。再 如 ：
分析 ： 显然 ， 在这个平行 四边 形中 ， 涉
图４
例２ ． 证 明菱形 的两条对角线互相垂直。
・
．
则 ｃ ｏ ｓ 肚 品
・ ． ．
一
‘ 。 — ，
６ － ／Ｃ ＡＢ＝ ａ ｒ ｃ ｃ 。 ｓ — Ｖ ｆ
ｌ Ｏ
＇ －
＝
｝ ， ＝ ，
． ， 从而 曰
小结 ： 这道题利用了向量 的内积求两边所成 的夹角。 首先需要 分别求出两个 向量 的内积及各 自的长度 ，特别要注意 的是得弄清 图 １ Ｃ 楚所求的夹 角对应 的是哪两个 向量 的夹角 。
向量在平面几何、解析几何中的应用
摘要：向量在平面几何与解析几何中多有应用，在历年来的高考试卷中也涉及部分向量知识。
向量知识不但让难题迎刃而解，还可让学生形成通用性规则，利用平面向量视角研究几何问题将取得良好成果与进展。
关键词：平面向量平面几何解析几何高中数学一、引言使用向量方法解题存在对应解题步骤，各步骤间联系紧密，存在逻辑顺序，在审题后需仔细核对题目题干，寻求问题突破口，在将几何问题转化为代数问题后，可实现题目的高精度运算，达到预期目的。
因此类题型具有复杂特点，在学生做题量得到提升后，学生对解答此类题目将拥有独到的个人见解，不但让图形对应特征得以描述，也让问题解决难度有所降低，下面将对相关题型与具体解题思路进行说明论证，在同学们阅读对应题干时，需带着对问题的解决思路求解。
二、向量教学存在的问题向量是高中数学的一大重点内容，在历年的高考试卷中有所涉及，也常与其他学科一同考试，为此提升向量教学效率，让学生灵活掌握向量知识，在拥有基本阅读审题能力的同时，提前了解向量习题的解题策略，不但有效保证做题效率，还让学生在复习前即可拥有一定知识储备，但现阶段教学存在的问题也较明显。
1.课内教学内容与高考试题具有脱轨性。
学生在学习人教版数学教材时，会学到复杂、零碎的知识，教师讲解新知识点时，也会向学生传授以往讲授过的知识点，用温故而知新的教学方法试图让学生快速进入学习状态，并建立对应向量学习思维。
高考试卷题量有限，不但要做到对高中阶段全部知识的灵活考查，还要做到面面俱到、照顾各个学习层次学生，并具有区分性，向量本身具有一定基础性，学生在初中阶段即接触过向量知识，在培养学生独立完成习题能力的同时，即使学生完全掌握教材教学内容，也不一定做对高考对应的向量试题，在与平面几何和立体几何综合出题考查的同时，学生对知识的综合运用能力也将决定做题准确率与效率。
面临新高考的改革，数学教师还需明确自身育人使命，适当给学生传授高考习题解题技巧，改变以往题海战术的陈旧教学模式，让学生热爱学习数学学科知识，并善于发现生活中的数学元素。
利用向量解决平面几何问题
利用向量解决平面几何问题平面几何是数学中的一个重要分支，利用向量解决平面几何问题是一种常用的方法。
向量的引入可以使平面几何问题更加直观、简洁，并且能够帮助我们更好地理解和解决这些问题。
本文将介绍向量在平面几何中的应用，以及如何利用向量解决平面几何问题。
一、向量的基本概念1.1 向量的定义向量是有方向和大小的量，通常用一个箭头表示。
在平面几何中，向量可以表示为有序数对(x, y)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
1.2 向量的运算在平面几何中，向量可以进行加减、数乘和内积运算。
- 向量的加减：向量的加法是对应分量相加，向量的减法是对应分量相减。
- 向量的数乘：向量的数乘是将向量的每个分量分别乘以一个标量。
- 向量的内积：向量的内积是将向量的对应分量相乘后相加。
1.3 向量的性质在平面几何中，向量具有以下重要的性质：- 向量的模：向量的模表示向量的大小，用 ||v|| 或 |v| 表示，计算公式为：||v|| = √(x^2 + y^2)。
- 零向量：零向量的模为0，记作0，它的方向任意。
- 单位向量：单位向量的模为1，可以通过将向量除以其模得到单位向量。
二、向量在平面几何中的应用2.1 向量的平移在平面几何中，我们可以利用向量实现图形的平移。
设有向量v表示平移的距离和方向，点A(x, y)经过平移后得到点B(x', y')，则有：B(x', y') = A(x, y) + v2.2 向量的共线与垂直在平面几何中，我们可以利用向量判断线段的共线与垂直关系。
设有向量u和v表示两条线段的方向，则有以下判断方法：- 共线判断：若存在实数k，使得 u = kv，则两条线段共线。
- 垂直判断：若 u·v = 0，则两条线段垂直。
2.3 向量的夹角在平面几何中，我们可以利用向量的夹角计算两条线段的夹角。
设有向量u和v，它们的夹角记作θ，则有以下计算方法：cosθ = (u·v) / (||u||·||v||)2.4 平面向量的投影在平面几何中，我们可以利用向量的投影解决线段之间的关系。
利用平面向量知识求解平面几何中的比例问题
例 题改 编 １ 如 图 ２所 示 ，平 行
Ｃ
四边形 ＡＢＣＤ中 ，点 Ｅ，Ｆ分别是 ＡＤ，
ＤＣ 边 上 的 点 ，ＤＥ ＝ －ＡＤ，ＣＦ ＝ Ａ
－ ＣＤ，ＡＦ与朋交与尸点，求筹与
图 ２
的值 ． 分析 本题利用平 面几 何 的知识 不容 易解 决 ，但利 用
解 设 Ａ－－ｇ：ｎ， ：ｂ，设 ：Ａ商 ， ：
Ａ（一 ＋丢６），则 ＝ ＋ ，即 ＝ｎ＋Ａ（一ｎ＋ ）＝
（１一Ａ）口＋ ．
再令 ＝ ，日９（１＿Ａ）ｎ＋ ６＝ （ ２＋西），
所 以
２
’
… 知 ÷，
所 以， ＡＰ： １ ，丽ＢＰ＝ ．
例 题 改 编 ２ 如 图 ３所 示 ，ＡＡＢＣ
中，点 Ｅ，Ｆ分 别 是 ＡＢ，ＡＣ边 上 的 点 ，
面 几 何 问 题 的一 般 方 法 ，即所 谓 的 “三部 曲 ”： （１）建立平 面几何 与向量 的联系 ，用 向量 表示 问题 中涉
及的几何元素 ，将 平面几何问题转化为 向量 问题 ； （２）通过 向量运算 ，研 究几何元素之 间的关系 ，如距 离、
夹 角 等 问 题 ；
（３）把运算结果 “翻译”成几何关 系． 关于距离和夹 角的 问题 ，往往 通过 向量 的数 量 积 的运
平 面 上 选 取 两 个 适 当 的不 共 线 向 量 （两 个 足 够 ，这 是 平
面 向量 基 本 定 理保 证 的 ）作 为 基 底 ，来 表 示 图 形 中 的 有 关 向
量．利用 与 共线，引入一个未知数，表示出ａ －ｇ；把赢用
赢和 表示出来，再利用赢与齑 共线，再引入一个未知数．
主要探讨利用 向量知识解决 与 比例有关的问题． 例题 （教 材的例 ２，本 文从方法
平面向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用平面向量是高中数学中常见的概念之一，也是学习平面几何的基础知识。
它在平面几何中有着广泛的应用，本文将探讨平面向量在平面几何中的应用。
一、向量的加减法向量的加减法是平面向量中最基本的概念之一。
通过向量的加减法可以求出向量之间的关系，包括平移、共线、垂直等。
特别地，通过向量的加减法可以得到两条直线的方向向量，从而判断直线的位置关系。
例如，如果两条直线的方向向量共线，则这两条直线是平行的。
二、向量的数量积向量的数量积是平面向量中最重要的概念之一。
通过数量积可以求出向量之间的夹角，从而判断向量之间的位置关系。
特别地，如果两个向量的数量积为0，则这两个向量垂直。
在平面几何中，数量积可以应用于求解线段的长度，以及求解两条直线的夹角等。
三、向量的叉积向量的叉积是平面向量中较为高级的概念之一。
它可以用来求解向量之间的平面面积，从而进一步应用于求解多边形的面积和体积。
特别地，通过向量的叉积可以求解三角形的面积公式，即：$$S=\frac{1}{2}|\vec{AB}\times \vec{AC}|$$其中，$S$为三角形的面积，$\vec{AB}$和$\vec{AC}$为三角形的两个边向量。
四、向量的投影向量的投影是平面向量中重要的概念之一。
它可以用来求解向量在另一个向量上的投影长度，从而应用于求解点到直线的距离、向量的正交投影以及向量的正交分解等。
在平面几何中，向量的投影可以进一步应用于求解角度平分线、中垂线等重要的几何概念。
五、向量的叠加向量的叠加是平面向量中较为高级的概念之一。
它可以用来求解平面图形的重心、质心等重要的几何概念。
特别地，在三角形中，三条中线的交点即为三角形的重心，而三角形的面积的三分之一乘以重心到任意一顶点的距离即为三角形的质心。
六、向量的推导向量的推导是平面向量中较为复杂的部分之一。
通过向量的推导可以应用于证明平面几何中的许多重要定理，例如向量的夹角公式、平面几何中的海涅定理等。
平面向量在解析几何中的应用
平面向量在解析几何中的应用
解析几何是学习数学中非常重要的一个领域，它用图形来操作几何问题。
在解析几何中，一方面涉及表达几何图形中形状和大小的变化，另一方面也涉及有关平面两物体的关系或者克服已知信息，求出未知信息的方法。
在解析几何的应用中，平面向量是运用的非常普遍的概念。
平面向量是指在三维空间中，只由两个分量构成的空间向量，其分量向量都从端点指向一个空间点，是从端点指向空间点的有序偏移量。
向量的加法是平面向量能够运用的基本技巧，向量的加法可以从矢量图中看出来，矢量图是在平面上用线按照指定的规则连接两个点所绘制出来的图形。
比如在两个向量的加法运算中，指向同一点的两个向量，如果是正向量，对其进行相加，则可以得到指向该点的向量的方向和大小的改变；如果是反向量，对其进行相加，则可以得到相反的方向和大小的改变。
平面向量也可以用来解决一些更加复杂的几何问题，比如传统的莱布尼茨公式可以用来解决求取直线与平面的交点问题。
该公式利用向量与数值乘法相加，把求解交点问题转化为求解方程组的问题。
另外，平面向量也可以应用于求解解析几何中一些可能涉及标准坐标的问题，如果两个点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则它们之间的连线就是一个向量，其方向可以由向量的偏移量来描述，如（x2-x1，y2-y1）。
这时，我们就可以使用平面向量对连线进行描述，也可以使用向量进行旋转、缩放和投影等变换。
总之，平面向量在解析几何中有着普遍的应用，要想正确的使用平面向量，除了掌握平面向量的基本概念，还应该深入了解向量的性质和用途，以达到最佳的效果。
平面向量的应用
平面向量的应用平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。
它可以用于求解平面上的距离、角度、垂直、平行等关系，为各种几何问题的解决提供了方便和简洁的方法。
本文将介绍平面向量在几种常见问题中的应用，包括向量的加减法、向量共线垂直性质、向量的数量积和向量的模、方向投影等内容。
一、向量的加减法向量的加减法是平面向量最基本的操作。
当我们要求两个向量的和或差时，可以通过将它们的对应分量相加或相减来得到结果。
例如，有向量 $\overrightarrow{AB} = \langle x_1, y_1 \rangle$ 和$\overrightarrow{CD} = \langle x_2, y_2 \rangle$，它们的和为$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \langle x_1 + x_2, y_1 +y_2 \rangle$，差为 $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \langle x_1 - x_2, y_1 - y_2 \rangle$。
二、向量共线与垂直性质对于两个非零向量 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{CD}$，如果它们的方向相同或相反，则称这两个向量共线。
向量共线的判断可以通过它们的方向比较或通过计算它们的比值来得到。
如果两个向量的方向垂直，则称这两个向量垂直。
两个向量垂直的判断可以通过它们的数量积的结果是否为零来确定。
三、向量的数量积向量的数量积也称为点积或内积，用符号 $\cdot$ 表示。
对于向量$\overrightarrow{AB} = \langle x_1, y_1 \rangle$ 和 $\overrightarrow{CD} = \langle x_2, y_2 \rangle$，它们的数量积为 $x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$。
平面向量在解析几何中的应用
平面向量在解析几何中的应用利用平面向量解决解析几何问题主要体现在以下两个方面： (1)用向量的数量积解决有关角的问题； (2)用向量的坐标表示解决共线问题．[典例] 椭圆x 23c 2＋y 22c 2＝1的两个焦点分别为F 1(－c,0)和F 2(c,0)，过点E (3c,0)的直线与椭圆交于A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |，求直线AB 的斜率．[方法演示]解：法一：如图所示，设A (x1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |，所以F 1A ―→＝2F 2B ―→，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋c ＝2(x 2－c )，y 1＝2y 2， 又由⎩⎨⎧y 21＝2c 2－23x 21，y 22＝2c 2－23x 22，于是⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋c ＝2(x 2－c )，2c 2－23x 21＝4⎝⎛⎭⎫2c 2－23x 22， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，x 2＝32c .从而得到A (0，±2c )，因此k AB＝±23， 故直线AB 的斜率是±23.法二：由椭圆的对称性，延长AF 1交椭圆于C ，则F 2B ―→＝CF 1―→， 设l AC ：x ＝ty －c ，A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －c ，2x 2＋3y 2＝6c 2， 整理得(3＋2t 2)y 2－4tcy －4c 2＝0， 则y 1＋y 2＝4tc 3＋2t 2，y 1y 2＝－4c 23＋2t 2.因为F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |， 所以F 1A ―→＝2F 2B ―→，即F 1A ―→＝2CF 1―→，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋c ＝2(－c －x 2)，y 1＝－2y 2，故⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－y 2，y 1y 2＝－2y 22，即(y1＋y2)2y1y2＝－12＝－4t23＋2t2，解得t＝±22.若t＝22，联立后的方程为2y2－2cy－2c2＝0，得A(0, 2c)，故k AB＝－2 3；若t＝－22，同理可得A(0，－2c)，此时k AB＝23，故直线AB的斜率是±2 3.[解题师说](1)用向量的数量积解决有关角的问题，其步骤是：先写出向量坐标式a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，再用向量数量积的坐标公式cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22求角．(2)当a，b不共线时，有〈a，b〉为：直角⇔a·b＝0；钝角⇔a·b<0(且a，b不反向)；锐角⇔a·b>0(且a，b不同向)．(3)解题时，利用向量关系列出点之间的方程是关键．[应用体验]1.如图所示，已知A，B是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点，P，Q是该椭圆上不同于顶点的两点，且直线AP与QB，PB与AQ分别交于点M，N.(1)求证：MN⊥AB；(2)若弦PQ过椭圆的右焦点F2，求直线MN的方程．解：(1)证明：设P(a cos α，b sin α)，Q(a cos β，b sin β)，由A(－a,0)，B(a,0)得，l AP：a(1＋cos α)y＝b sin α(x＋a)，①l QB：a(cos β－1)y＝b sin β(x－a)，②联立①②消去y得sin α(cos β－1)(x＋a)＝sin β(1＋cos α)(x－a)⇔[sin α(cos β－1)－sin β(1＋cos α)]x＝a[sin α(1－cos β)－sin β(1＋cos α)]⇔[sin(α－β)－sin α－sin β]x＝a[sin α－sin β－sin(β＋α)]⇔cos α－β2⎝⎛⎭⎫sin α－β2－sin α＋β2x ＝a cos α＋β2⎝⎛⎭⎫sin α－β2－sin α＋β2 ⇔x M ＝a cosα＋β2cosα－β2(因P ，Q 不同于顶点)．同理，x N ＝a cosα＋β2cosα－β2，故x M ＝x N ，所以MN ⊥AB .(2) F 2P ―→＝(a cos α－c ，b sin α)，F 2Q ―→＝(a cos β－c ，b sin β)． 由P ，F 2，Q 三点共线⇒F 2P ―→与F 2Q ―→共线 ⇒sin β(a cos α－c )＝sin α(a cos β－c ) ⇒a sin(α－β)＝c (sin α－sin β) ⇒a sin α－β2cos α－β2＝c cos α＋β2sin α－β2⇒a cos α－β2＝c cos α＋β2⇒x M ＝x N ＝a cosα＋β2cosα－β2＝a 2c ，所以直线MN 的方程为x ＝a 2c .[典例] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，如图所示，设左顶点为A ，上顶点为B ，且OF ―→·FB ―→＝AB ―→·BF ―→.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，试确定FM ―→·FN ―→的取值范围． [思路演示]解：(1)由已知，A (－a,0)，B (0，b )，F (1,0)，则由OF ―→·FB ―→＝AB ―→·BF ―→，得b 2－a －1＝0. ∵b 2＝a 2－1，∴a 2－a －2＝0，解得a ＝2. ∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①若直线l 斜率不存在，则l ：x ＝1， 此时M ⎝⎛⎭⎫1，32，N ⎝⎛⎭⎫1，－32，FM ―→·FN ―→＝－94. ②若直线l 斜率存在，设l ：y ＝k (x －1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y23＝1消去y ，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.∴FM ―→·FN ―→＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2) ＝(1＋k 2)[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－94－11＋k 2. ∵k 2≥0，∴0<11＋k 2≤1，∴3≤4－11＋k 2<4， ∴－3≤FM ―→·FN ―→<－94.综上所述，FM ―→·FN ―→的取值范围为⎣⎡⎦⎤－3，－94. [解题师说]当题目条件中含有向量关系式或所求的结论中含有向量代数式时，常将此向量关系式或代数式利用坐标表示，然后利用函数方程思想求解．[应用体验]2．(2018·张掖一诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，右焦点为F ，右顶点为E ，P 为直线x ＝54a 上的任意一点，且(PF ―→＋PE ―→)·EF ―→＝2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 且垂直于x 轴的直线AB 与椭圆交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，动直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且M ，N 位于直线AB 的两侧，若始终保持∠MAB ＝∠NAB ，求证：直线MN 的斜率为定值．解：(1)设P ⎝⎛⎭⎫54a ，m ，F (c,0)，E (a,0)， 则PF ―→＝⎝⎛⎭⎫c －54a ，－m ，PE ―→＝⎝⎛⎭⎫－a 4，－m ， EF ―→＝(c －a,0)， 所以(2c －3a )(c －a )＝4. 又e ＝c a ＝12，所以a ＝2，c ＝1，b ＝3， 从而椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由(1)知A ⎝⎛⎭⎫1，32，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 设MN 的方程为y ＝kx ＋m ， 代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，则⎩⎨⎧Δ>0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3.又M ，N 是椭圆上位于直线AB 两侧的动点，若始终保持∠MAB ＝∠NAB ， 则k AM ＋k AN ＝0， 即y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝0， ⎝⎛⎭⎫kx 1＋m －32(x 2－1)＋kx 2＋m －32(x 1－1)＝0，即(2k －1)(2m ＋2k －3)＝0，得k ＝12.故直线MN 的斜率为定值12.1．(2018·成都模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于－2，记顶点C 的轨迹为曲线E.(1)求曲线E 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋2(0＜k ＜2)与y 轴相交于点P ，与曲线E 相交于不同的两点Q ，R (点R 在点P 和点Q 之间)，且PQ ―→＝λPR ―→，求实数λ的取值范围．解：(1)设C (x ，y )．由题意，可得y x －1·yx ＋1＝－2(x ≠±1)，∴曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1(x ≠±1)．(2)设R (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋y 22＝1消去y ，得(2＋k 2)x 2＋4kx ＋2＝0，∴Δ＝8k 2－16＞0，∴k 2＞2. 又0＜k ＜2，∴2＜k ＜2. 则x 1＋x 2＝－4k2＋k 2，① x 1x 2＝22＋k 2.② ∵PQ ―→＝λPR ―→，点R 在点P 和点Q 之间， ∴x 2＝λx 1(λ＞1)．③联立①②③，可得(1＋λ)2λ＝8k 22＋k 2.∵2＜k ＜2，∴8k 22＋k 2＝82k 2＋1∈⎝⎛⎭⎫4，163， ∴4＜(1＋λ)2λ＜163，解得1＜λ＜3，∴实数λ的取值范围为(1,3)．2．(2018·石家庄质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆上任意一点，直线TA ，TB 的斜率之积为－34.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点M (0,2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的取值范围．解：(1)设T (x ，y )，由题意知A (－4,0)，B (4,0)， 设直线TA 的斜率为k 1，直线TB 的斜率为k 2， 则k 1＝y x ＋4，k 2＝y x －4. 由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－34，整理得x 216＋y 212＝1，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，y ＝kx ＋2消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋16kx －32＝0.所以x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝－324k 2＋3. 从而OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＋[x 1x 2＋(y 1－2)·(y 2－2)]＝2(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－80k 2－524k 2＋3＝－20＋84k 2＋3. 因为k 2≥0，所以0<84k 2＋3≤83，所以－20<OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→≤－523.当直线PQ 的斜率不存在时，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的值为－20. 综上，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的取值范围为－20，－523.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，且点P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过定点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)由题意得c ＝1，所以a 2＝b 2＋1，① 又点P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上，所以1a 2＋94b 2＝1，② 由①②可解得a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋16kx ＋4＝0， 因为Δ＝16(12k 2－3)>0， 所以k 2>14，则x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝44k 2＋3. 因为∠AOB 为锐角，所以OA ―→·OB ―→>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0， 所以x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)>0， 所以(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4>0， 即(1＋k 2)·44k 2＋3＋2k ·－16k 4k 2＋3＋4>0，解得k 2<43.又k 2>14，所以14<k 2<43，解得－233<k <－12或12<k <233. 所以直线l 的斜率k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－233，－12∪⎝⎛⎭⎫12，233.4．(2018·广东五校协作体一诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x ＋y ＋1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (2,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ，若椭圆C 上存在点P 满足OS ―→＋OT ―→＝t OP ―→(其中O 为坐标原点)，求实数t 的取值范围．解：(1)由题意，以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x －c )2＋y 2＝a 2，∴圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝c ＋12＝a .(*) ∵椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， ∴b ＝c ，a ＝2c ，代入(*)式得b ＝c ＝1，∴a ＝2b ＝2，故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，设P (x 0，y 0)， 将直线l 的方程代入椭圆方程得 (1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0， ∴Δ＝64k 4－4(1＋2k 2)(8k 2－2)>0， 解得k 2<12.设S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2.∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k1＋2k 2. 由OS ―→＋OT ―→＝t OP ―→，得tx 0＝x 1＋x 2，ty 0＝y 1＋y 2，当t ＝0时，直线l 为x 轴，则椭圆上任意一点P 满足OS ―→＋OT ―→＝t OP ―→，符合题意；当t ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧tx 0＝8k 21＋2k 2，ty 0＝－4k1＋2k 2，∴x 0＝1t ·8k 21＋2k 2，y 0＝1t ·－4k 1＋2k 2.将上式代入椭圆方程得32k 4t 2(1＋2k 2)2＋16k 2t 2(1＋2k 2)2＝1，整理得t 2＝16k 21＋2k2＝161k 2＋2， 由k 2<12知，0<t 2<4，所以t ∈(－2,0)∪(0,2)，综上可得，实数t 的取值范围是(－2,2)．。
借助平面向量处理平面几何问题
借助平面向量处理平面几何问题【用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 】(1)建立平面几何与向量的联系——用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转 化为向量问题.(2)通过向量运算——线性运算和数量积，研究几何元素之间的关系，如距离、平行、垂直及夹角等问题.(3)把运算结果通过“翻译”——还原成几何元素间的关系. 流程图为：形转换成向量→向量运算→运算结果还原为形.向量在平面几何中的应用是非常广泛的.下面我们就五个方面来进行初步研究. (一) 点共线与线共点问题:例1.设两个非零向量e 1，e 2不共线,如果AB⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+3e 2，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6e 1+23e 2，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4e 1-8e 2, 求证:A 、B 、D 三点共线.证明：∵ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2e 1+3e 2)+(6e 1+23e 2)+( 4e 1-8e 2)=12e 1+18e 2 =6(2e 1+3e 2)=6AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 又∵ AB 与AD 共点A ， 故 A 、B 、D 三点共线.例2.如图1.5—1.在三角形ABC 中，D 是BC 上的一点，2BD=DC ，E 是DA 的中点，F 是AC 上的点，3AF=FC. 求证：B 、E 、F 三点共线. 证明：设BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2，由定比分点的向量形式得， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ = 12(e 1+e 2). BF ⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BA⃗⃗⃗⃗⃗ =34(e 1+e 2). ∴ BE ⃗⃗⃗⃗⃗ = 23BF ⃗⃗⃗⃗ ，⇒ BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BF ⃗⃗⃗⃗ . 又∵ BE 与BF 共点B ， 故 B 、E 、F 三点共线.说明：证明A 、B 、C 三点共线的基本思路是：先选取两不共线线段所对应的向量作为基底，然后将所证三点对应的两向量用基底表示出来，从而得到某个定值λ，使得AB⃗⃗⃗⃗⃗ = λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 再说明AB 与AC 共点A,从而推出A 、B 、C 三点共线.想一想①： 如图1.5—2.已知∆ABC ，在AC 上取点N ，使3AN=AC ， 在AB 上取点M 使3AM=AB ，在BN 的延长线上取点P ，使2NP=BN ， 在CM 的延长线上取点Q ，使2MQ=CM. 求证：P 、A 、Q 三点共线. 例3.用向量方法证明：三角形的三中线交于一点.已知：在∆ABC 中，G 、E 、L 分别是BC 、CA 、AB 的中点，设中线AD 、BE 交于点P.求证：AD 、BE 、CL 三线共点.证明：设AD∩BE=P . AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a , AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则 AL ⃗⃗⃗⃗⃗ =12 b . CL ⃗⃗⃗⃗ =AL ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a +12b . 设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则 AC⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗ =m(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴ CP ⃗⃗⃗⃗ =(−1+m )AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +mCD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1+m 2)a +m2 b . ① 又设 EP⃗⃗⃗⃗ =n EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CP ⃗⃗⃗⃗ −CE ⃗⃗⃗⃗ =n(EC ⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴CP ⃗⃗⃗⃗ =(1−n )CE ⃗⃗⃗⃗ +nCB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+n 2a +nb ② 由①、②得:m =23且n =13. ∴CP ⃗⃗⃗⃗ = -23a +13b = 23(-a +12b )= 23CL⃗⃗⃗⃗ B D C F AE 图1.5—1e 1 e 2B MCN PA Q 图1.5—2A LB D CE Pa b 图1.5—3∴ C 、P 、L 三点共线, 故 AD 、BE 、CL 三线共点.说明:1.证明三线共点的基本思路是：先假设两线交于一点P ，然后说明第三条线也过该点.通常要用平面向量基本定理得出参数的等量关系式.2.此题的证明也可参见§1.6【与重心有关的问题】中，命题1的证明.例4.如图1.5—4.设P 、Q 、R 分别是三角形ABC 三边(异于顶点)上的点，若AR=xRB ，BP=yPC ，CQ=zQA. 求证:AP 、BQ 、CR 三线共点的充要条件是：xyz=1.证明:①必要性:设AP 、BQ 、CR 交于点G, ∵ A 、G 、P 三点共线,∴ CB 1CA )-(1CP CA )-(1CG y++=+=αααα(0<α<1). 又∵ B 、G 、Q 三点共线,∴ CA 1CB )-(1CQ CB )-(1CG zz ++=+=ββββ,(0<β<1）.另外可令:))CB AC (11()11()(CG +++=++=+==xCA r AB x CA r AR CA r CR r=CB xxr CA xxr +++11.由平面向量基本定理知：,111,111xr y x rx z z +=+=-+=+=-αββα且⇒1111,11,11-+-=--+=-+-=--+=r r x z y ββααβααββα.由关于x 的两个等式,⇒0)2(=-++r r βα,⇒2=++r βα,⇒ αβ--=11x , ⇒ xyz=1.②充分性:设 xyz=1 ,设AP 与BQ 交于G,连CG 并延长交AB 于R 1,又设AR 1=x 1R 1B.由必要性知 x 1yz=1,⇒ x=x 1 , ⇒R 与R 1重合. AP 、BQ 、CR 三线共点. 由①②知命题成立.想一想②：由例4的结论，你能否给出三角形的三中线、三内角的平分线都是交于一点的.(二)垂直性的证明：例5.已知正方形ABCD ，P 为对角线AC 上任意一点，PE ⊥AB 于点E ， PF ⊥BC 于点F ，连接DP 、EF.求证DP ⊥EF.证明：选择正交(相互垂直)基底{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ }，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0)，AD⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1) 设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，a)，则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−a ，0)，EF ⃗⃗⃗⃗ =(1−a ，a).∴ DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，a -1).∵ DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙EF ⃗⃗⃗⃗ =(a ，a -1) ∙(1−a ，a)=0， ∴ DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗ ， 因此DP ⊥EF.例6.若非零向量a ，b 满足|a -b |=|a +b |，则向量a ，b 的关系是_________________. 解法1：(把向量用坐标表示，利用坐标关系体现向量关系).设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，.则a + b=( x 1+ x 2，y 1+ y 2) ，a -b=( x 1-x 2，y 1-y 2).∵ |a -b |=|a +b |，()221221221221)()()(y y x x y y x x -+-=+++，B CP QA RG 图1.5—4 图1.5—5即 x 1x 2+y 1y 2=0，∴ a ⊥b . 解法2：(通过等价转化寻找向量a ，b 的关系). 将|a -b |=|a +b |两边平方得，a 2+b 2-2a ·b=a 2+b 2+2a ·b ， 化简得a ·b =0，∴ a ⊥b .解法3：(利用向量加法，减法的几何意义). 如图1.5—6.根据向量加法，减法的三角形及平行四边 形法则知，对角线相等的平行四边形ABCD 是矩形.所以相邻两边垂直，因此 a ⊥b .例7.已知a 、b 是单位向量，a ·b =0.若向量c 满足| c -a -b |=1，求|c |的取值范围. 分析1.由|a |=|b |=1，将|c -a -b |=1，两边平方可得|c |2-2|a+b ||c |cos θ+1=0 (1).其中θ为向量(a +b )与c 成的角. 再由a ·b =0，⇒|a +b |=√2. 从而由(1)式可得， ]1,1[||221||cos 2-∈+=c c θ，解得 |c |]12,12[+-∈.上述解答过程无论是解题思路、还是计算过程都是比较繁琐的.倘若我们换一个角度来思考，其解答过程将要简洁得多. 分析2.由已知，a 、b 是互相垂直的单位向量，设O 为坐标原点. 则a +b为正方形OACB 的对角线OC 所对应的向量.如图1.5—7(1). 而|c -a -b |=1的几何意义为：向量c 的终点在以C 为圆心， 以1为半径的圆上运动.由圆的性质易得|c |]12,12[+-∈.分析3.建立如图1.5—7(2)所示的平面直角坐标系.设a =OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0)， b =OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1)，c =(x ，y).可得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b =(1，1)， 由|c -a -b |=1可得(x -1)2+(y -1)2=1. ∴|c |=√x 2+y 2, 再由圆的性质易知|c |]12,12[+-∈.例8.在平面上，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 若|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |<12(O 为坐标原点)，则|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是 . 分析：此题若仿例7的法1，从数的角度去处理，将比例7要繁杂得多，因为这里的变数更多.若从几何意义出发，由，|OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，可知点B 1、B 2在单位圆上运动.作为填空题，在这里我们不妨将点B 1放在 特殊位置——单位圆与x 轴的正半轴的交点.如图1.5—8.结合图形知，当点A 在B 1A 上移动时，点P 在B 1O 间移动. 当点A移动到A ′ (此时|B 1A ′|= √32，|OP|= 12).当点在A ′A间移动 时(AB 2与单位圆相切)，点P 在OP 间移动，且满足|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |< 12. 由此易知|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是(√72，√2].至于点B 2在单位圆的其它位置移动时，由圆的对称性，上述结论仍然成立.说明：从以上几例可以看出，“以形代数”，再利用其对应的几何意义和几何特性来处理一些A 图1.5—6CD aba+b a -bxy B 1 B 2 AP P O图1.5—8O AB C ab a+b图1.5—7(1) OAB C yx与向量的模有关的问题时，往往可以收到化繁为简、事半功倍的效果.这也是数形结合思想方法的重要体现.例9.如图1.5—9在四边形ABCD 中，若AB 2+CD 2=BC 2+DA 2，则AC ⊥BD. 证明：由AB 2+CD 2=BC 2+DA 2，⇒2222DA B C CD A B +=+， ⇒2222CD DA BC AB -=-，⇒)CD -DA ()CD DA ()B C -AB ()B C AB (⋅+=⋅+， ⇒)CD -DA (CA )B C -AB (AC ⋅=⋅，⇒0)]CD B C (-DA AB [AC =++⋅，⇒0DB 2AC =⋅，⇒ 0DB AC =⋅，⇒AC ⊥BD.说明：欲证AB ⊥CD ，只需证明 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可.想一想③：1.例9的逆命题成立吗？2.求证：平行四边形ABCD 是菱形的充要条件是：两对角线AC ⊥BD.3.若在Rt △ACB 中，∠ACB=900，AC=BC,D 为AC 的中点，E 为AB 上的点，且2AE=EB ，求证：BD ⊥CE(三)线段的等量关系：例10.如图1.5—10.已知平行四边形ABCD 中，E 、F 在对角线BD 上，并且BE =FD .求证AECF 是平行四边形. 证明：由已知设==DC AB a ，==FD BE b.=+=BE AB AE a + b ，=+=DC FD FC b + a ， ∴ AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即边AE 、FC 平行且相等，AECF 是平行四边形.例11.求证平行四边形对角线互相平分．证明：如图1.5—11.设平行四边形ABCD 的两条对角线相交于M ，.,BD y BM AC x AM == 则AD x AB x AC x AM +==.∵ AD y AB y AB AD y AB BD y AB BM AB AM +-=-+=+=+=)1()(.根据平面向量基本定理知，∴ x=1-y 且x=y ，⇒ x=y=12.∴ 点M 是AC 、BD 的中点，即两条对角线互相平分.例12.如图1.5—12. 在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？ 猜想：AR=RT=TC解：设.,,AB r AR b AD a === 则 =AC a+b. 由于 AC AR 与 共线，故设r=n(a+b ). 又∵ EB ,ER 共线，故设)21(ER b a m -=，∵ ER AE AR +=, ∴ )21(21b a m b r -+=， 因此n(a+b )=)21(21b a m b -+，⇒ m=n=13 ，⇒AR=13AC. 同理 TC=13.AC. 故AT=RT=TCAB CD图1.5—9CADM B图1.5—11ABCD EFRT 图1.5—12A B C D EF图1.5—10例13.如图1.5—13.设AC 是平行四边形ABCD 的长对角线，从C 引AB 、AD 的的垂线CE 、CF ，垂足分别是E 、F.试用向量方法证明：AB·AE+AD·AF=AC 2. 证明：在Rt △AEC 中，cos |AC ||AE |=∠BAC ， 在Rt △AFC 中，cos |AC ||AF |=∠DAC ，∴ |AC ||AB ||AE ||AB |=⋅cos ∠BAC=AC AB ⋅，|AC ||AD ||AF ||AD |=⋅cos ∠DAC=AC AD ⋅,⇒+⋅|AE ||AB |=⋅|AF ||AD |AC AB ⋅+AC AD ⋅=2AC AC )AD AB (=⋅+.即：AB ·AE+AD ·AF=AC 2.点评：证明线段的等量关系时,通常要用向量加减法的三角形及平行四边形法则、平面向量基本定理及a 2=|a|2等基本结论.想一想④：用向量证明三角形及梯形的中位线性质定理.(四)平面几何中基本定理的向量证法： 例14.证明直径所对的圆周角是直角.如图1.5—14.已知⊙O ，AB 为直径，C 为⊙O 上任意一点. 求证∠ACB=900.证明：设b OC a ==,AO ，由已知得|a |=|b |. , 则0)()(22=-=-⋅+=⋅b a b a b a BC AC ，∴ AC ⊥BC . 即 ∠ACB=900.例15.(任意三角形中的射影定理).在三角形ABC 中，设AB=c ，AC=b ，BC=a. 求证：b=a·cosC+c·cosA ①.c=a·cosB+b·cosA ②. a=c·cosB+b·cosC ③. 证明：如图1.5—15.设=AB c ，=BC a ，=AC b . 则a+c =b ，⇒(a+c )·b =b 2，⇒a ·b+c ·b=b 2，⇒|a ||b |cosC+|c ||b |cosA=|b |2，⇒|a | cosC+|c |cosA=|b |， 即 b=a·cosC+c·cosA ①类似地可得 c=a·cosB+b·cosA ② a=c·cosB+b·cosC ③说明：此问题的证明方法较多，比喻可用正弦定理，也可以用余弦定理，还可以用直角三角形中三角函数的定义来证明.例16.(直角三角形中的射影定理)如图1.5—16.在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，求证：AC 2=AD ·AB ① BC 2=BD ·AB ② 证明：∵ BA -BC AC =.(1) DC AD AC +=.（2）又 ∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ，⇒ 0DC B A 0,AC B C =⋅=⋅.AEBC FD图1.5—13AOBC图1.5—14A CBb ca 图1.5—15 ADBC图1.5—16由(1)、(2)得：AD BA -)DC AD (BC )DC AD ()BA -BC (AC 2⋅+⋅=+⋅= =||||cos |AD ||B A |-AC B C AD BA =⋅⋅π， 即 AC 2=AD ·AB. ① 类似地可得: BC 2=BD ·AB.②想一想⑤：用向量方法证明勾股定理.例17.已知PT 是圆O 的切线，PAB 是圆的割线.求证：PT 2=PA ·PB.(圆幂定理). 证明：设圆O 的半径为R ，P 是平面上任意一点，如图1.5—17.过P 引射线交圆O 于A 、B ，e 为PB 上的单位向量，21,λλ分别表示PA 、PB 的长度， 则 1OP OA λ+=e ，2OP OB λ+= e. 设M 是PB 上的一动点，|PM |为x ，则x +=OP OM e.∵ 点M 在圆O 上的充要条件是22R OM =. 即22R e)OP (=+x . ∴ 0||)(2222=-+⋅+R OP x e OP x (1) 当点M 与A 重合时，得到PA 的长度1λ是方程（1）的根， 当点M 与B 重合时，得到B P 的长度也2λ是方程（1）的根. 由一元二次方程根与系数的关系知：2221R |OP |—=⋅λλ. 当P 在圆外时，过P 引切线PT(T 为切点). 则由勾股定理易得：222R |OP |PT —=, ∴ PB PA PT 212⋅=⋅=λλ说明：换一个角度看：如果A 与B 重合，PA 即切线，此时PA 2也应等于22R |OP |-.由勾股定理之逆便可得到：过切点的半径垂直于切线这一结论.想一想⑥：你能否用例17的结论来证明相交弦及垂径定理.(五)最值问题：例18.如图1.5—18.在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值．解法1.解题思维的入手点是在“Rt △ABC 中”，据此进行翻译和转化．∵AC AB ⊥，∴ 0=⋅AC AB .AC AQ CQ AB AP BP AQ AP -=-=-=,, ，)()(AC AQ AB AP CQ BP -⋅-=⋅∴AC AB AQ AB AC AP AQ AP ⋅+⋅-⋅-⋅=AP AB AC AP a ⋅+⋅--=2)(2AC AB AP a -⋅--=22cos a a θ=-+． cos 1,0(),0PQ BC BP CQ θθ==⋅故当即与方向相同时最大,其最大值为．解法2.以直角项点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图1.5—19所示的平面直角坐标系.设|AB|=c, |AC|=b ，则A （0，0），B （c ，0），C （0，b ），且|PQ|=2a ，|BC|=a.设点P 的坐标为(x ，y)，则Q(-x ，-y).ABCQP 图1.5—18PT A 图1.5—17OMB·∴),(),,(b y x CQ y c x BP ---=-=，(,),(2,2)BC c b PQ x y =-=-- ∴ )())((b y y x c x CQ BP --+--=⋅=by cx y x -++-)(22. ∵ 2||||cos a by cx BC PQ BC PQ -=⋅⋅=θ； ∴ θcos 2a by cx =-. ∴ θcos 22a a CQ BP +-=⋅. 故当1cos =θ，即0=θ(PQ 与BC 方向相同)时，CQ BP ⋅最大， 其最大值为0.例20.在锐角∆P 1P 2P 3内找一点P ，使P 1P+P 2P+P 3P 的长度最短.解:设在锐角三角形P 1P 2P 3内有一点P 使得:∠P 1P P 2=∠P 3P P 2=∠P 3P P 1=1200.令：的长度是是单位向量i i i i i i PP ,,PP αεεα=（i=1，2，3） 易知0321=++εεε，又设Q 是任意一点，|||||||||QP |i i i i i i i QP QP PP QP εαεεα+=+=+=≥)(i i i QP εαε+⋅三式相加得：233222211321321)(|||||QP |εαεαεαεεε+++++≥++QP QP QP =321ααα++=|P 1P|+|P 2P|+|P 3P|由此可知点P 是使P 1P+P 2P+P 3P 的长度最短的点. 为了找到这样的点P ，可在∆P 1P 2P 3外分别以P 1P 2与P 2P 3为边作两个正∆P 1P 2A ，∆P 2P 3B ，再分别作正∆P 1P 2A ，∆P 2P 3B 的外接圆，两圆除P 2外的另一个交点即为所求的点P ，这是因为∠P 1P P 2=∠P 3P P 2=1200.习题1.51.设向量a ，b 满足：|a |=3，|b |=4，a ·b =0．以a ，b ，a -b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为( ).A.3.B.4.C.5.D.6.2. 若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b =0，(a -c ) ·(b -c )≤ 0，则|a+b -c |的最大值为( ). A.12-. B.1. C..2 D.2.3.在∆ABC 中，D 是BC 上的一点，2BD=DC ，E 为DA 的中点， F 是AC 上一点，如图1.5—21.3AF=FC ，求证：B 、E 、F 三点共线.4.已知OA ⊥BC ，B ⊥AC ，求证：OC ⊥AB5.如图1.5—22. 以AB 、AC 为边向外作正方形ACDE 和正方形ABGF ，M 是BC 的中点，求证：AM ⊥EF.6.证明∆ABC 三边的中垂线交于一点.7.在∆ABC 中，若CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = b .求证：S ∆ABC =12√(|a|∙|b|)2−(a ∙b)2. 8.已知G 为∆ABC 的重心，且GA=3，GB=5，GC=7.(1)证明﹕GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. (2)求GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙GB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值﹒(3)求△AGB 的面积﹒P 1P 2P 3P图1.5—20BACDEF 图1.5—21 A B M CD EN FG图1.5—22ABCQP图1.5—19xy参考答案想一想①：证明：∵ AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(NC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗ )= 12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )= 12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ =QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又∵A 是公共点，∴ P 、A 、Q 三点共线. 想一想②：对于三中线易知x=y=z=1;对于三内角平分线,可利用内角平分线的性质，得到x.y.z=1. 想一想③：1.成立. 设AC 与BD 交于P ，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AP⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2， ∵ AP ⊥PB, ∴ AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，于是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2. 即：AB 2=AP 2+PB 2 ①(实质是证明了勾股定理).同理CD 2=DP 2+PC 2 ② 由①、②得：AB 2 +CD 2=AP 2+PB 2 +DP 2+PC 2=BC 2+DA 2. 2.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = a+b ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a -b . ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙DB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2-b 2 =|a |2-|b |2=0，|a |=|b |. ∴ 命题成立. 3.证明：如图D1.5—1.以两直角边为坐标轴，C 为原点建立坐标系，设A(1，0)、B(0，1)、C(0，0)，则D(12，0)，E(23，13). 得BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12，−1)，CE ⃗⃗⃗⃗ =(23，13), BD ∙⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CE ⃗⃗⃗⃗ =0， ∴ BD⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ CE ⃗⃗⃗⃗ 即BD ⊥CE. 想一想④：利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则. 想一想⑤： (略). 想一想⑥：当P 在圆内时，由例4的结论知：λ1λ2=R 2-|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，易得相交弦定理. 当P 是弦AB 的中点时，λ1λ2=PA 2(或PB 2)也易得结论成立.习题1.5 1.C. 2.B.3.如图D1.5—2.设BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，BA⃗⃗⃗⃗⃗ =b.则易得： BF⃗⃗⃗⃗ =34(13b + a )，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(13b + a ). (下略). 4.证明：如图1.5—3.∵OA ⊥BC ，B ⊥AC ，∴ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0， OB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0. ① 及 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(OC⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0. ② ①-② 得OC⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0, ∴ .则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即OC ⊥AB. 5.证明：∵ AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙EF ⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∙(EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )= 12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )= 12[-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|EA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(900+∠BAC )+|AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙|AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(900+∠BAC)] =0. ∴ AM ⊥EF.6.证明：如图D1.5—4.设边BC 、AC 的中垂线交于点O ，则OA=OB=OC ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAFB ，由向量加法的平行四边形法则知OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， CA B D E xy图D1.5—1BACDE F图D1.5—2A B M CD ENFG图D1.5—3 AFBCD EO图D1.5—4∴ 四边形OAFB 是菱形，则OF 垂直平分AB.即边AB 的中垂线也过点O.∴三角形ABC 三边的中垂线交于一点. 7.证明：设a ，b 的夹角为θ，则S ∆ABC =12|CA⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin θ，∵ sin 2θ=cos 2θ=1-(a∙b)2(|a|∙|b|)2∴ S ∆ABC 2=14(|a|∙|b|)2sin 2θ=14[(|a|∙|b|)2-(a ∙b)2]故 S ∆ABC =12√(|a|∙|b|)2−(a ∙b)2 .8.解(1)连AG ⃗⃗⃗⃗⃗ 交BC⃗⃗⃗⃗⃗ 于D ，∵ G 是三角形ABC 的重心﹐∴ D 为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的中点﹒ 延长AD⃗⃗⃗⃗⃗ 使得GD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DG ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ﹒因此D 亦为GG ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的中点.故GB G ′ C 为平行四边形﹒ ∵ G 是△ABC 的重心﹐∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ﹒又∵D 是GG′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 中点﹐所以GA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−GG ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ﹒ 因此﹐GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GG ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. (2) ∵GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴|GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(-GC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2﹐可得GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =152. (3) 由(2)得知﹐GA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =52﹒利用数量积的定义得知，|GA ⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|GB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠AGB=152， 解得∠AGB=600 ﹒∴ S △ABG =15√34.。
平面向量的应用
平面向量的应用平面向量在数学和物理等领域中具有广泛的应用。
本文将探讨平面向量在几何、力学和电磁学等方面的实际应用。
一、平面向量在几何中的应用1. 平面向量的位移应用平面向量在几何中常用于描述物体的位移。
假设有一个起点为A，终点为B的平面向量AB，表示从A点移动到B点的位移。
通过平面向量的加法和减法，我们可以准确地计算出物体在平面上的位移及其方向。
2. 平面向量的无理数倍应用在几何中，平面向量的无理数倍也有重要的应用。
通过无理数倍，我们可以精确地描述两个向量之间的比例关系。
这在相似三角形的问题中常常用到，可以帮助我们得到精确的比例值。
二、平面向量在力学中的应用3. 平面向量的力的应用平面向量在力学中广泛应用于描述作用力和力的平衡问题。
通过将力的大小和方向表示成向量，我们可以方便地进行加减运算，并准确地计算出合力和分力。
4. 平面向量的力矩应用在力学中，平面向量的力矩也有重要的应用。
力矩是描述力偏转或转动作用的物理量。
通过平面向量的叉乘运算，我们可以计算出力矩的大小和方向，进而分析物体的旋转和平衡问题。
三、平面向量在电磁学中的应用5. 平面向量的电场强度应用在电磁学中，平面向量广泛应用于描述电场和电荷之间的关系。
通过平面向量表示电场强度和电荷的分布情况，我们可以方便地计算电场的强度和方向，并分析电荷之间的相互作用。
6. 平面向量的磁场强度应用在电磁学中，平面向量也用于描述磁场的强度和方向。
通过平面向量表示磁场强度和电流的分布情况，我们可以准确地计算磁场的强度和方向，并分析电流之间的相互作用。
综上所述，平面向量在几何、力学和电磁学等领域中都具有重要的应用。
通过运用平面向量的概念和运算法则，我们可以更加准确地描述和分析相关问题，为实际应用提供有力的支持。
利用平面向量巧解几何问题
利用平面向量巧解几何问题平面向量具有数与形的双重身份,是解决其它数学问题的有力工具,下面通过例子说明平面向量在解析几何和平面几何中的应用.一、利用平面向量解决解析几何问题【例1】求通过点A （－2，1），且平行于向量(3,1)a = 的直线方程.点拨：在直线上任取一点P(x,y),可知AP a = ，利用向量平行的条件列方程.解：设P(x,y)是所求直线上的任一点，(2,1)AP x y =+- ，AP a = ，(2)13(1)0x y ∴+⨯--=，即所求直线方程为350.x y -+=点评：直线的方向向量和斜率（倾斜角）都是表示直线相对于x 轴正方向的量，要注意分清这些量的区别和联系，以便灵活应用。
【例2】在椭圆221259x y +=上求一点，使它与两个焦点的连线所成的角是直角. 点拨：设椭圆上的满足条件的点为00,)P x y （，利用1290F PF ∠= 和点P 在椭圆上，联立方程组求解。
解：由题意得，椭圆两焦点为12(4,0),(4,0)F F -，设所求点00,)Px y （，则2200925225x y +=①，因为100200(4,),(4,),F P x y F P x y =+=- 12F P F P ⊥ ，所以120F P F P = ，即2200160x y +-=②，由①②得， 0094x y ==±，故所求点的坐标为9999),(),().4444-- 点评：在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程.其中向量平行、垂直的条件是经常用到的.二、利用平面向量解决平面几何问题【例3】如图：在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，DE AC ⊥，E 是垂足，F 是DE 的中点，求证：AF BE ⊥.点拨：要证AF BE ⊥，可转化为证向量的数量积为零，即0AF BE = .证明： AB AC =，且D 是BC 的中点，AD BC ∴⊥ ，0AD BD ∴= .又DE AC ⊥ ，0DE AE ∴= ，BD DC = ，F 是DE 的中点，12EF DE ∴=- ， ()()AF BE AE EF BD DE ∴=++AE BD AE DE EF BD EF DE =+++AE BD EF BD EF DE =++()AD DE BD EF BD EF DE =+++AD BD DE BD EF BD EF DE =+++1122DE DC DE DC DE DE =-- 1110222DE DC DE DE DE EC =-== 点评：解决本题关键是将AF BE 、用其他已知位置关系的向量来表示。
平面向量在几何中的应用
n１ ＝ (
a,
b),
n２ ＝ (
２,－１)．
设两直线的夹角为θ,则
整理,得 ３
a２ －８
a
b－３
b２ ＝０,即(
a－３
b)(
３
a＋b)＝
→ →
n１ n２
|２a－b|
２
c
o
s
θ＝ → → ＝
＝ ．
２
２
２
|n１||n２|
５ a ＋b
→ QP →
又由 Q ,
P,
D 三点共线,可得QP ＝ QD ,则有
QD
→ QP → QP →
QP ＝ λQC＋ μQA ．
QD
QD
→
→ ,所以
而Q→
P ＝mQC＋nQA
QP
QP
QP
QP
(
m ＋n＝ λ＋ μ＝
λ＋μ)＝
．
QD QD
QD
QD
QP
由数形 直 观 可 知,当 点 P 为 点 P０ 时,此 时
取
QD
得最大值 １,即 m ＋n 的最大值为 １． (下转第 ８０ 页)
x)min ＞－a．
生自己去 探 究 与 领 悟,亲 身 经 历 知 识 的 发 生 与 发 展
学会解题需要长期的 模 仿 与 练 习,解 决 一 道 数 学
问题不仅需要具备扎实的 专 业 知 识,还 需 要 掌 握 灵 活
由绝对值的几何意义可知,
x)min 即 为 数 轴 上 x
f(
到a 和 －３ 的距离之和的最小值 ．
面向量与平面解析几何 之 间 的 联 系,也 是 平 面 向 量 知
４ １６ ４
λ＋μ＝ ＋ ＝ ．
平面向量与平面解析几何的联系知识点总结
平面向量与平面解析几何的联系知识点总结平面向量和平面解析几何是高中数学中重要的概念和工具。
它们在几何图形的描述、方程的求解和数学推理中有着广泛的应用。
本文将总结平面向量与平面解析几何的联系知识点，并探讨它们之间的重要关系。
一、平面向量的基本概念和表示方法平面向量是空间中的有向线段，具有大小和方向。
它可以用一个具有大小和方向的箭头表示。
常用的表示方法有坐标表示和分量表示。
1. 坐标表示：假设平面上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则以A 为起点，B为终点的向量AB可以用坐标表示为向量(a, b)，其中a = x2 - x1， b = y2 - y1。
其中，x1、y1为向量的起点坐标，x2、y2为向量的终点坐标。
2. 分量表示：向量AB的分量表示为(ABx, ABy)，其中ABx为向量AB在x轴上的投影，ABy为向量AB在y轴上的投影。
分量表示形式方便进行向量的运算和推导。
二、平面解析几何的基本概念和表示方法平面解析几何是用代数方法研究平面上的几何问题。
它通过线性方程和坐标表示来研究几何图形的性质和关系。
1. 直线的解析方程：设直线L的解析方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，x、y为变量。
通过解析方程可以确定直线L在平面上的位置和方向。
2. 圆的解析方程：设圆C的解析方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径长度。
解析方程确定了圆C在平面上的位置和半径。
三、平面向量与平面解析几何的关系平面向量和平面解析几何有着密切的联系，它们可以相互转化、相互补充，共同应用于几何问题的研究。
1. 平移变换：平移变换是平面向量的一种基本运算，也是几何图形的一种基本变换。
平移变换可以通过平面向量的加法来表示。
设向量u 表示平移的位移，则点P(x, y)经过平移变换得到的新点P'(x', y')的坐标可以表示为(x', y') = (x, y) + u。
利用平面向量解决几何问题的常见方法
利用平面向量解决几何问题的常见方法几何问题在数学中占据着重要的地位，而平面向量作为一种强大的工具，可以帮助我们解决各种复杂的几何问题。
本文将介绍利用平面向量解决几何问题的常见方法，通过具体案例来展示其应用。
一、向量的定义和性质首先，我们需要了解向量的定义和性质。
平面向量可以表示为由起点和终点确定的有向线段，常用字母加箭头来表示。
向量具有方向和大小两个基本属性，分别可以用向量的起点和终点之间的有向线段来表示。
向量的运算包括加法、减法和数乘这三种基本操作。
向量的加法满足交换律和结合律，减法可通过加法和数乘来定义。
数乘是指将向量的大小与一个实数相乘，同时改变向量的方向。
二、向量表示几何对象利用向量可以方便地表示几何对象，比如点、线段、直线和面等。
1. 点的表示：假设平面上有一个点A，可以用向量表示为→OA，其中O为坐标原点。
2. 线段的表示：假设平面上有一条线段AB，可以用有向线段→AB 来表示。
3. 直线的表示：假设平面上有一条直线L，可以用直线上的两个点A和B来表示，即→AB。
4. 面的表示：假设平面上有一个三角形ABC，可以用三个顶点的向量→AB、→BC和→CA来表示。
三、向量解决几何问题的常见方法1. 平面向量的夹角问题给定两个向量→u和→v，可以通过计算它们的数量积来求解它们的夹角θ。
具体公式如下：cosθ = (→u·→v) / (|→u| |→v|)其中，→u·→v表示向量的数量积，|→u|和|→v|分别表示向量的模长。
2. 平面向量的投影问题在解决几何问题时，常常需要求解一个向量在另一个向量上的投影。
给定向量→u和向量→v，→u在→v上的投影可以通过以下公式计算得到：proj→v→u = ((→u·→v) / |→v|²) · →v其中，proj→v→u表示向量→u在向量→v上的投影。
3. 平面向量的垂直问题对于平面上的两个向量→u和→v，若它们的数量积→u·→v等于0，则称向量→u和→v垂直。
平面向量在几何问题中的应用
平面向量在几何问题中的应用平面向量是在二维平面上具有大小和方向的量，它在几何学中具有广泛的应用。
本文将从几何问题的角度，探讨平面向量在几何问题中的应用。
1. 向量在平面平行四边形中的应用平行四边形是指有两组对边平行的四边形。
在平行四边形中，向量的性质得到了很好的应用。
例如，在平行四边形中，对角线互相平分，并且对角线所对应的向量相等。
这个特性可以用来证明两条线段平行或者两个向量相等。
2. 向量在三角形中的应用在三角形中，向量的性质可以帮助我们解决一些几何问题。
例如，可以利用向量来证明三角形的中线互相平行且等于三角形的和向量。
此外，向量还可以帮助我们证明三角形的内心、外心、垂心等特殊点的相关性质。
3. 向量在平面曲线运动中的应用平面向量在描述平面上物体的运动过程中也具有重要的应用。
例如，我们可以用向量来表示物体的位移向量，速度向量和加速度向量。
通过分析这些向量之间的关系，我们可以获得物体的运动轨迹、速度大小和方向上的变化，以及物体受到的加速度的大小和方向。
4. 向量在平面图形的平移、旋转和缩放中的应用平面向量在平面图形的平移、旋转和缩放中也起到了重要的作用。
例如，平移可以通过向量的加法来实现，旋转可以通过向量的旋转公式来实现，缩放可以通过向量的数乘来实现。
通过使用向量进行这些变换，我们可以方便地描述和计算平面图形的变化过程。
5. 向量在解析几何中的应用解析几何是利用代数方法研究几何图形的一门数学学科。
在解析几何中，平面向量可以用来描述和计算图形的性质和变化。
例如，通过向量的点乘和叉乘可以求解两条直线的夹角、判定点是否在直线上、判断两条直线是否相交、求解三角形的面积等问题。
总结：平面向量在几何问题中具有重要的应用，它可以帮助我们解决平行四边形、三角形、平面曲线运动、平面图形变换和解析几何等问题。
通过合理使用向量的概念、运算规则和几何性质，我们可以更加简洁、准确地描述和分析几何问题，进而提高问题解决的效率和准确性。
利用向量方法解决平面几何问题
ʏ彭明清向量既是几何对象也是代数对象,因而成为数形结合的桥梁,也成为沟通代数与几何的有力工具㊂利用向量解决平面几何问题,可以从向量的两种运算 基底运算和坐标运算入手,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题,然后通过向量的运算,研究几何元素间的关系㊂下面从多个角度分析平面几何中的向量方法㊂一㊁垂直问题例1 求证:三角形的三条高线交于一点㊂证明:如图1,在әA B C 中,A D ʅB C ,B E ʅAC ,AD 与BE 交于点H ,连接C H ㊂下面只需证明C H ʅA B 即可㊂图1由B E ʅA C ,A D ʅB C ,可得B H ң㊃A C ң=0,A H ң㊃C B ң=0,所以C H ң㊃A B ң=(C B ң+B H ң)㊃(A C ң+C B ң)=C B ң㊃A C ң+C B ң2+B H ң㊃A C ң+B H ң㊃C B ң=C B ң㊃A C ң+C B ң2+B H ң㊃C B ң=C B ң㊃(A C ң+C B ң+B H ң)=C B ң㊃A H ң=0,所以C H ңʅA B ң,即C H ʅA B ,可知әA B C 的三条高线交于一点㊂评析:平面几何中的两条线段的垂直问题,可转化为平面向量中的两个向量的数量积为0来解决㊂在证明过程中,可利用向量加法的三角形法则(首尾衔接法),将所求向量进行转化㊂二㊁平行问题例2 已知直角坐标平面上的四个点A (1,0),B (4,3),C (2,4),D (0,2),求证四边形A B C D 是等腰梯形㊂证明:由已知得A B ң=(4,3)-(1,0)=(3,3),C D ң=(0,2)-(2,4)=(-2,-2)㊂由3ˑ(-2)-3ˑ(-2)=0,可知A B ң与C D ң共线(平行)㊂因为A D ң=(0,2)-(1,0)=(-1,2),B C ң=(2,4)-(4,3)=(-2,1),且(-1)ˑ1-2ˑ(-2)ʂ0,所以A D ң与B C ң不共线(不平行),所以四边形A B C D 是梯形㊂又因为B C ң=(-2,1),A D ң=(-1,2),所以|B C ң|=5=|A D ң|,即B C =A D ,可知四边形A B C D 是等腰梯形㊂评析:线段平行问题可转化为对应的向量共线问题来解决㊂通过向量的运算,寻求两个向量的共线(平行)关系㊂三㊁长度问题例3 如图2,在平行四边形A B C D 中,A B =2,A D =4,øB A D =60ʎ,E 是B C 的中点,F 是A E 的中点,则向量D F ң的模长是㊂图2解:由D F ң=D A ң+12A E ң=D A ң+12A B ң+12A D ң()=12A B ң-34A D ң,可得|D F ң|=12A B ң-34A D ң㊂所以|D F ң|=12A B ң-34A D ң()2=14A B ң2-34A D ң㊃A B ң+916A D ң2㊂由此代入化简计算得|D F ң|=7㊂评析:利用向量的基底运算,将线段的长度问题转化为向量的数量积问题来解决㊂四㊁分点问题例4 如图3,过әA B C 的中线A D 的中5数学部分㊃知识结构与拓展高一使用 2022年2月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.点E 作直线P Q 分别交A B ,A C 于P ,Q 两点,若A P ң=m A B ң,A Q ң=nA C ң,则1m +1n=( )㊂图3A.4 B .43C .3D .1解:由D 为B C 的中点,可知A D ң=12(A B ң+A C ң)㊂由A P ң=m A B ң,A Q ң=nA C ң,可得A E ң=12A P ң+12A Q ң=12m A B ң+12nA C ң㊂因为A E ң=12A D ң,所以12m A B ң+12nA C ң=14(A B ң+A C ң),所以12m -14()A B ң=14-12n ()AC ң㊂又因为A B ң与A C ң不共线,所以12m -14=0,14-12n =0,解得m =n =12㊂故1m +1n=4㊂应选A ㊂评析:利用平面向量基本定理和向量的线性运算是解答本题的关键㊂五㊁夹角问题例5 已知三个点A (2,1),B (3,2),D (-1,4)㊂若四边形A B C D 为矩形,求点C 的坐标及矩形A B C D 两条对角线所成锐角的余弦值㊂解:设点C 的坐标为C (x ,y )㊂由四边形A B C D 为矩形得A B ң=D C ң,即(1,1)=(x +1,y -4),所以x +1=1,y -4=1,{解得x =0,y =5,可得点C (0,5)㊂因为A C ң=(-2,4),B D ң=(-4,2),所以c o s <A C ң,B D ң>=A C ң㊃B D ң|A C ң||B D ң|=8+825ˑ25=45,即矩形A B C D 两条对角线所成锐角的余弦值为45㊂评析:解答与角有关的向量问题,要有意识地建立向量的数量积关系,再将向量的数量积转化成向量的模与向量夹角的余弦关系,这样可进一步研究角的有关问题㊂1.已知三点A (1,2),B (2,3),C (-2,5),则әA B C 的形状是㊂提示:因为A B ң=(1,1),A C ң=(-3,3),所以A B ң㊃A C ң=1ˑ(-3)+1ˑ3=0,所以A B ңʅA C ң,所以øB A C =90ʎ,即әA B C 为直角三角形㊂2.在四边形A B C D 中,已知A (0,0),B (4,0),C (3,2),D (1,2)㊂(1)判断四边形A B C D 的形状㊂(2)若A E ң=2E C ң,求向量E B ң与E C ң夹角的余弦值㊂提示:(1)由题意得D C ң=(2,0),A B ң=(4,0),所以A B ң=2D C ң,即A B ңʊD C ң且|A B ң|=2|D C ң|㊂因为|A D ң|=1+4=5,|B C ң|=(3-4)2+4=5,所以|A D ң|=|B C ң|,所以四边形A B C D 是等腰梯形㊂(2)设E (x ,y ),则A E ң=(x ,y ),E C ң=(3-x ,2-y )㊂因为A E ң=2E C ң,所以x =2(3-x ),y =2(2-y ),{解得x =2,y =43,即点E 2,43()㊂由此可得E B ң=2,-43(),E C ң=1,23()㊂设向量E B ң与E C ң的夹角为θ,则c o s θ=E B ң㊃E C ңE B ң㊃E Cң=513,即向量E B ң与E C ң夹角的余弦值为513㊂作者单位:重庆市巫山中学(责任编辑 郭正华)6数学部分㊃知识结构与拓展 高一使用 2022年2月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
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利用平面向量研究平面几何问题
——数学研究性学习 作者：天宇神督
本学期我们学习了平面向量这一节知识点后，很多同学都在实际运用中逐渐发现向量作为一种独特的数学工具，有着很强的实用性，对于我们以前学过的一些问题的证明过程，如果利用向量的有关知识进行证明，会使证明过程及思路简化很多，这次让我们从平面向量的角度重新回味一下我们初中学过的平面几何知识，希望大家都能有所收获，有所感悟。
向量具有多种工具作用，在平面几何中可以利用向量知识解决有关长度、角度的计算及有关平行、垂直等位置关系问题，可以使许多平面几何问题的解决得到简化.下面由我来为大家举例说明利用向量法解证平面几何问题的策略. 一应用向量知识证明平面几何有关定理
例1、证明直径所对的圆周角是直角
（ps ：这一问题我们在初中的证明方法比较繁琐，看看利用向量的简便之处。
）
分析：要证明∠ACB=90° 只需证明向量AC 垂直向量CB 即AC*CB=0
证明：设向量AO=a ，
向量OC=b 则向量AC=a+b ，向量CB=a-b
则AC*CB=（a+b ）*（a-b ）=a ²-b ²=|a|²-|b|²=r ²-r ²=0
即AC*CB=0，所以∠ACB=90°
平面向量的证明方法简单明了而又快捷，同时在其他方面也有管饭的应用 二应用向量知识证明三线共点、三点共线
（ps ：初中的知识很难直接说明这一类问题但是利用向量思路会豁然开朗。
请看例题） A B
C O
如图所示，已知⊙O ，AB 为直径，C
为⊙O 上任意一点。
求证∠ACB=90°
例2、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高
求证：AD、BE、CF交于一点
分析：设AD与BE交于H，只要证
CH⊥AB，即高CF与CH重合，即CF
过点H）
设BC=a，CA=b，CH=p
利用AD⊥BC，BE⊥CA，对应向量垂直。
因为HA⊥BC，BH⊥CA
所以（b-p）*a=b*a-p*a=0①，（a+p）*b=a*b+p*b=0②
所以②-①得p*b+p*a=0 即p*（a+b）=0 所以CH*AB 所以CH⊥
AB
直接证明三点共线很麻烦，从已知条件中利用平面几何的知识，在
没有相关定理的情况下，不容易入手，但是通过平面向量的定理定义
我们很快就能找到思路，简单快速的推出结论
三应用向量知识证明等式、求值
（ps：平面几何中求值问题多利用勾股定理等繁琐的运算，先求一部分再求另
一部分，最后推导出要求的量，尤其是在平面直角坐标系中更是如此，学
习完向量后，运用向量这一强大的数学工具和相关的定理，很多问题都能
够迎刃而解，请看例题）
例3已知正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，
求cos∠DOE的值.
分析：以OA所在直线为x轴，以OC为y轴，建立直角坐标系
如图4所示,由已知得→
OD=(1，
1
2
)，
→
OE=(
1
2
，1)
A
B C
D
E
图4
故cos ∠DOE=→OD ·→OE |→OD ||→OE |=1×12+12×152×52
=45. 这道题如果利用直接计算的方法，步骤很容易出错，不容易写出条理性，计算量大，利用两非零向量的夹角公式解证明角的问题，会简单很多。
例4如图7，设四边形ABCD 的两对角线AC 、
BD 的中点分别为M ，N ，求证：12
|AB ﹣CD|≤MN ≤12
(AB ＋CD). 分析：利用向量，结合图形，把不直观的结论转
化为几何语言
证明：∵→MN
＝→MA ＋→AB ＋→BN ，→MN ＝→MC ＋→CD ＋→DN ， ∴2→MN ＝(→MA ＋→MC)＋(→AB ＋→CD)＋(→BN
＋→DN)， ∵M ，N 分别虽AC ，BD 的中点，故→MA ＋→MC ＝0，→BN ＋→DN ＝0，
∴→MN ＝12(→AB ＋→CD )，|→MN |＝12
|→AB ＋→CD|， 但||AB |﹣|CD ||≤|→AB ＋→CD |≤|→AB |＋|→CD |，∴12||AB |﹣|CD ||≤|→MN |≤12
(|→AB |＋|→CD |)， 即12|AB ﹣CD|≤MN ≤12(AB ＋CD). 小结：
平面向量是数学中独特的一种工具，数学本身就是要求具有结合的思想，而向量更是完美的将二者结合了起来，无论是计算还是从图形思考，都使问题简化了很多。
我们利用向量再去解决平面几何的一些问题，就会发现别有一片天地，思路扩大了很多，这就像学习完惩罚以后再去看加法的问题，会有很多不同感受的，这也提示我们，学习了新的知识，要结合以前的知识多分析，多研究，不光是在平面几何中的应用，向量在数学的很多方面都有闪光之处，只要你多观察，细心发掘，肯研究，那收获的会更多。
图7。