利用平面向量研究平面几何

合集下载

平面向量与平面几何的综合应用

平面向量与平面几何的综合应用在数学中，平面向量和平面几何是两个重要的概念。平面向量可以

用来表示有大小和方向的量，而平面几何则是研究平面内各种图形和

它们之间的关系。在本文中，我们将探讨平面向量和平面几何的综合

应用。

一、向量的加减法

向量的加减法是指将两个向量进行运算得到一个新向量的过程，在

实际应用中非常常见。例如，在平面直角坐标系中，我们可以利用向

量加减法求出两点之间的距离。另一个应用是力的平衡，即多个力作

用在同一物体上时，它们的合力为零，即所有向量的和等于零。这样，我们就可以通过向量的加减法来求解未知的力量。

二、向量的数量积

向量的数量积是两个向量之间的数乘，结果是一个标量。这个标量

可以用来表示两个向量之间的夹角。在平面几何中，我们可以利用向

量的数量积来求出线段之间的夹角和平行四边形的面积。

三、向量的叉积

向量的叉积是两个向量之间的向量积，也称为矢量积。向量的叉积

可以用来求解平行四边形的面积和立体图形的体积。在平面几何中，

我们可以利用向量的叉积来求出三角形的面积。

四、平面几何中的向量应用

在平面几何中，向量可以用来求解平面内各种图形的问题。例如，我们可以利用向量来证明两条直线平行或垂直。另一个应用是平面图形的对称性判定，即若两点关于某个点对称，则连接这两点的向量互为相反数。

五、向量和解析几何

向量和解析几何也是密切相关的概念。向量可以用来简化解析几何的计算，例如，利用向量可以求解直线的方程和平面的方程。此外，向量还可以用来表示参数方程和一般方程。

六、综合应用实例

下面我们来看一个综合应用的实例。在坐标系中，设三角形ABC 的顶点坐标分别为A(1,2)，B(4,3)和C(2,5)，求解以下问题：（1）求解三角形ABC的周长和面积。

平面向量与平面几何的应用

平面向量与平面几何的应用在数学中，平面向量是一种具有大小和方向的量，常用箭头表示。平面向量在几何学中具有广泛的应用，可以用于解决平面几何问题。本文将介绍平面向量的基本概念和性质，并探讨其在平面几何中的应用。

一、平面向量的定义与表示

平面向量表示空间中的有向线段，其大小用线段的长度表示，方向用箭头所指的方向表示。平面向量通常用有序数对表示，例如向量$\overrightarrow{AB}$可以表示为$(x_2-x_1,y_2-y_1)$，其中

$A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$为向量的起点和终点。

二、平面向量的运算

1. 向量的加法

向量的加法满足交换律和结合律。即对于向量

$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BC}$，有

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$。

2. 向量的数量积

向量的数量积也称为点积，表示为

$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}$，定义为

$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|·|\overr ightarrow{AC}|·cos\theta$，其中$\theta$为两个向量的夹角。

3. 向量的向量积

向量的向量积也称为叉积，表示为

$\overrightarrow{AB}×\overrightarrow{AC}$，其大小等于以

向量在平面几何中的应用

2
2
AB2 BC2 CD2 DA2 2( a b )
AC2 BD2 a b 2 a b 2
2
a
2ab
2
b
2
a
2ab
2
b
2 a 2
2
b
2
a
2
b
2
∴ AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
例5 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T 两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
简述：形到向量向量的运算向量和数到形
例2. 求证平行四边形对角线互相平分．
证明：如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，设 AM xAC, BM yBD源自文库
则 AM xAC xAB xAD,
AM AB BM
AB yBD
D C
M
AB y( AD AB)
A
B
(1 y) AB y AD
根据平面向量基本定理知，这两个分解
式是相同的，所以
x 1 y
x y
解得
x
1 2
y
1 2
所以点M是AC、BD的中点，即两条对角线互相平分.

平面向量的几何应用

一、引言

平面向量是解决几何问题的重要工具之一。在解决平面几何问题中，往往需要利用向量的概念和性质来进行推导和证明。本教案将结合几

个常见的平面向量的几何应用问题，通过具体的例子来探索平面向量

在几何中的应用。

二、平面向量的表示法

1. 位置向量：对于平面中的任意点P，可以用从原点O到点P的有

向线段OP来表示，这个向量记作向量OP。

2. 自由向量：自由向量不依赖于特定的起点和终点，仅仅由大小和

方向决定，常用字母表示，如向量a、向量b等。

3. 定位向量：定位向量是自由向量的一种特殊情况，它的起点恰好

是原点O，常用大写字母表示，如向量A、向量B等。

三、向量的加法和减法

1. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即两个向量相加，可以将它们首尾相连，得到一个新的向量，其起点为两个向量的起点，终点为两个向量的终点的连线的终点。

2. 向量的减法：向量的减法可以看做是向量的加法的逆过程，即向

量a - 向量b = 向量a + (-向量b)，其中-向量b表示与向量b大小相等，方向相反的向量。

四、向量的数量积和向量积

1. 向量的数量积：向量的数量积也称为点积或内积，表示为向量a·向量b，其结果是一个标量。它的计算公式为：向量a·向量b =

|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，θ表示向量a和向量b之间的夹角。

2. 向量的向量积：向量的向量积也称为叉积或外积，表示为向量a×向量b，其结果是一个向量。它的计算公式为：向量a×向量b =

|a||b|sinθn，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，θ表示向量a 和向量b之间的夹角，n为垂直于平面的单位向量。

平面向量的几何应用

一、引言

平面向量是代数与几何相结合的重要工具，在数学和物理学中有着

广泛的应用。本文将介绍平面向量的概念、运算规则以及几何应用，

以进一步理解平面向量在几何中的重要作用。

二、平面向量的基本概念

平面向量是具有大小和方向的量，常用字母小写加箭头表示。向量

的大小称为模，用|AB|表示；方向可以用有向线段或角度表示。平面上的两个点A和B之间的向量用AB表示。

三、平面向量的运算规则

1. 平面向量的加法：设向量A的起点是点P，终点是点Q，向量B

的起点是点Q，终点是点R，则向量A+B的起点是点P，终点是点R。

2. 平面向量的数乘：设向量A的起点是点P，终点是点Q，实数

k≠0，则向量kA的起点是点P，终点是点R，其中PQ=RQ/|k|。

四、平面向量的几何应用

1. 平面向量的共线性判定：如果两个向量共线，则它们的模之比等

于它们的坐标之比。

例题：已知向量A(2,3)与向量B(x,7)共线，求实数x的值。

解析：根据共线性判定，有|2/x|=|3/7|，解方程可得x=14/3，所以向量B的坐标为(14/3,7)。

2. 平面向量的垂直判定：如果两个向量的数量积等于0，则它们垂直。

例题：已知向量A(1,2)与向量B(x,3)垂直，求实数x的值。

解析：根据垂直判定，有1*x+2*3=0，解方程可得x=-6，所以向量B的坐标为(-6,3)。

3. 平面向量的平行判定：如果两个向量的坐标之比相等，则它们平行。

例题：已知向量A(2,3)与向量B(x,5)平行，求实数x的值。

解析：根据平行判定，有2/x=3/5，解方程可得x=10/3，所以向量B的坐标为(10/3,5)。

巧用平面向量求解某些平面几何问题

关键词：平面向量；平面几何；长度；夹角
平面向量是一种既有大小，又有方向的量。它是重要的数学工具，即为与所成的夹角，这样，ｃ（３，！１，３）＜／在数学、物理等学科及工程技术中有着非常广泛的应用。而且，平面向我们可以通过向量的内积公式而Ａ（量具有代数形和几何形的双重身份和内涵，在高中数学中，特别是求出夹角大小。Ｂ（１，１）
已知ＡＢ＝８，ＡＤ＝ＩＯ，／＿ＢＡＤ＝６０。，求对角线
ＡＣ的长度。Ｃ
不用辅助线，直接用向量方法证明是比较容易的。再如：
分析：显然，在这个平行四边形中，涉
图４
例２．证明菱形的两条对角线互相垂直。
・
．
则ｃｏｓ肚品
・．．
一
‘ 。 — ，
６－／ＣＡＢ＝ａｒｃｃ。ｓ — Ｖｆ
ｌＯ
＇－
＝
｝，＝，
．，从而曰
小结：这道题利用了向量的内积求两边所成的夹角。首先需要分别求出两个向量的内积及各自的长度，特别要注意的是得弄清图１Ｃ楚所求的夹角对应的是哪两个向量的夹角。

利用向量解决平面几何问题

平面几何是数学中的一个重要分支，利用向量解决平面几何问题是

一种常用的方法。向量的引入可以使平面几何问题更加直观、简洁，

并且能够帮助我们更好地理解和解决这些问题。本文将介绍向量在平

面几何中的应用，以及如何利用向量解决平面几何问题。

一、向量的基本概念

1.1 向量的定义

向量是有方向和大小的量，通常用一个箭头表示。在平面几何中，

向量可以表示为有序数对(x, y)，其中x和y分别表示向量在x轴和y

轴上的投影。

1.2 向量的运算

在平面几何中，向量可以进行加减、数乘和内积运算。

- 向量的加减：向量的加法是对应分量相加，向量的减法是对应分

量相减。

- 向量的数乘：向量的数乘是将向量的每个分量分别乘以一个标量。

- 向量的内积：向量的内积是将向量的对应分量相乘后相加。

1.3 向量的性质

在平面几何中，向量具有以下重要的性质：

- 向量的模：向量的模表示向量的大小，用 ||v|| 或 |v| 表示，计算公式为：||v|| = √(x^2 + y^2)。

- 零向量：零向量的模为0，记作0，它的方向任意。

- 单位向量：单位向量的模为1，可以通过将向量除以其模得到单位向量。

二、向量在平面几何中的应用

2.1 向量的平移

在平面几何中，我们可以利用向量实现图形的平移。设有向量v表示平移的距离和方向，点A(x, y)经过平移后得到点B(x', y')，则有：B(x', y') = A(x, y) + v

2.2 向量的共线与垂直

在平面几何中，我们可以利用向量判断线段的共线与垂直关系。设有向量u和v表示两条线段的方向，则有以下判断方法：- 共线判断：若存在实数k，使得 u = kv，则两条线段共线。

向量在平面几何、解析几何中的应用

摘要：向量在平面几何与解析几何中多有应用，在历年来的高考试卷中也涉及部分向量知识。向量知识不但让难题迎刃

而解，还可让学生形成通用性规则，利用平面向量视角研究几何问题将取得良好

成果与进展。

关键词：平面向量平面几何

解析

几何

高中数学一、引言

使用向量方法解题存在对应解题步

骤，各步骤间联系紧密，存在逻辑顺序，在审题后需仔细核对题目题干，

寻求问题突破口，在将几何问题转化为代数问题后，可实现题目的高精度运算，达到预期目的。因此类题型具有复杂特点，在学生做题量得到提升后，学生对解答此类题目将

拥有独到的个人见解，

不但让图形对应特征得以描述，也让问题解决难度有所降低，下面将对相关题型与具体解题思路进

行说明论证，在同学们阅读对应题干时，需带着对问题的解决思路求解。二、向量教学存在的问题

向量是高中数学的一大重点内容，

在历年的高考试卷中有所涉及，

也常与其他学科一同考试，为此提升向量教学效率，让学生灵活掌握向量知识，

在拥有基本阅读审题能力的同时，提前了解向量习题的

解题策略，不但有效保证做题效率，还让学生在复习前即可拥有一定知识储备，但现阶段教学存在的问题也较明显。1.课内教学内容与高考试题具有脱

轨性。

学生在学习人教版数学教材时，会学到复杂、零碎的知识，

教师讲解新知识点时，也会向学生传授以往讲授过的知识点，用温故而知新的教学方法试图让学生快速进入学习状态，并建立对应向量学习

思维。高考试卷题量有限，

不但要做到对高中阶段全部知识的灵活考查，

还要做到面面俱到、照顾各个学习层次学生，并具有区分性，向量本身具有一定基础性，

平面向量在平面几何中的应用

平面向量在平面几何中的应用平面向量是高中数学中常见的概念之一，也是学习平面几何的基础知识。它在平面几何中有着广泛的应用，本文将探讨平面向量在平面几何中的应用。

一、向量的加减法

向量的加减法是平面向量中最基本的概念之一。通过向量的加减法可以求出向量之间的关系，包括平移、共线、垂直等。特别地，通过向量的加减法可以得到两条直线的方向向量，从而判断直线的位置关系。例如，如果两条直线的方向向量共线，则这两条直线是平行的。

二、向量的数量积

向量的数量积是平面向量中最重要的概念之一。通过数量积可以求出向量之间的夹角，从而判断向量之间的位置关系。特别地，如果两个向量的数量积为0，则这两个向量垂直。在平面几何中，数量积可以应用于求解线段的长度，以及求解两条直线的夹角等。

三、向量的叉积

向量的叉积是平面向量中较为高级的概念之一。它可以用来求解向量之间的平面面积，从而进一步应用于求解多边形的面积和体积。特别地，通过向量的叉积可以求解三角形的面积公式，即：$$S=\frac{1}{2}|\vec{AB}\times \vec{AC}|$$

其中，$S$为三角形的面积，$\vec{AB}$和$\vec{AC}$为三角形的两个边向量。

四、向量的投影

向量的投影是平面向量中重要的概念之一。它可以用来求解向量在另一个向量上的投影长度，从而应用于求解点到直线的距离、向量的正交投影以及向量的正交分解等。在平面几何中，向量的投影可以进一步应用于求解角度平分线、中垂线等重要的几何概念。

五、向量的叠加

向量的叠加是平面向量中较为高级的概念之一。它可以用来求解平面图形的重心、质心等重要的几何概念。特别地，在三角形中，三条中线的交点即为三角形的重心，而三角形的面积的三分之一乘以重心到任意一顶点的距离即为三角形的质心。

平面向量在几何、物理中的应用举例

— 30 —
YUMINGSHIDUIHUA
谢谢观看
与名师对话系列丛书
wenku.baidu.com
— 19 —
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
[解] (1)W＝F·A→B＝(F1＋F2)·A→B ＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(焦)． (2)由题意，A→B＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)， F1＝(1,1)，F2＝(4，－5)， F1 做的功 W1＝F1·s＝F1·A→B ＝(1,1)·(－13，－15)＝－28(焦)． F2 做的功 W2＝F2·s＝F2·A→B ＝(4，－5)·(－13，－15)＝23(焦)．
— 28 —
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
— 返回 —
5．试用向量方法证明：平行四边形对角线的平方和等于其各边平方的和． [证明] 如图所示，在▱OACB 中，设O→A＝a，O→B＝b，
则O→C＝a＋b，B→A＝a－b. 由于O→C2＝O→C·O→C＝(a＋b)·(a＋b)＝|a|2＋2a·b＋|b|2， B→A2＝(a－b)·(a－b)＝|a|2－2a·b＋|b|2，所以 OC2＋BA2＝2|a|2＋2|b|2. 由于 OA＝BC＝|a|，OB＝AC＝|b|，所以 OC2＋BA2＝OA2＋BC2＋OB2＋AC2.

平面向量的应用

平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。它可以用于求解平

面上的距离、角度、垂直、平行等关系，为各种几何问题的解决提供

了方便和简洁的方法。本文将介绍平面向量在几种常见问题中的应用，包括向量的加减法、向量共线垂直性质、向量的数量积和向量的模、

方向投影等内容。

一、向量的加减法

向量的加减法是平面向量最基本的操作。当我们要求两个向量的和

或差时，可以通过将它们的对应分量相加或相减来得到结果。例如，

有向量 $\overrightarrow{AB} = \langle x_1, y_1 \rangle$ 和

$\overrightarrow{CD} = \langle x_2, y_2 \rangle$，它们的和为

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \langle x_1 + x_2, y_1 +

y_2 \rangle$，差为 $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \langle x_1 - x_2, y_1 - y_2 \rangle$。

二、向量共线与垂直性质

对于两个非零向量 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{CD}$，如果它们的方向相同或相反，则称这两个向量共线。向量共线的判断

可以通过它们的方向比较或通过计算它们的比值来得到。如果两个向

量的方向垂直，则称这两个向量垂直。两个向量垂直的判断可以通过

它们的数量积的结果是否为零来确定。

应用向量解决平面几何问题

( AB + AD) . 又在 A B CD 中 , A B + A D = A C , ∴| A B | ·| A E| + | A D| ·| A F| = A C2 =
| A C| 2 . 故 A B ·A E + A D·A F = A C2 . 说明这是一道向量方法的应用问题 ,
关键是利用平面向量数量积的几何意义 , 将欲证等式转化为
心,
∴O H = OA + OB + O C.
∴O H·A M = ( OA + OB + O C) ·A M
= ( OA + OB ) ·A M + O C·A M
= O C·A M ( ∵( OA + OB ) ⊥A M )
= O C·( EM - EA )
又 O , H1 分别为 △A 2 A 3 A 4 的外心和
垂心 ,
∴O H1 = OA 2 + OA 3 + OA 4 .
作向量 O C = OA 1 + OA 2 + OA 3 + OA 4 ,
则 OC = OA 1 + O H1 , 从而 H1 C = OC - O H1
= OA 1. ∴| H1 C| = | OA 1| = R ,
A P = 3. ∵A M =λA C , ∴CM = (1 - λ) CA . 又 CP = 3 CB ,且 CA 是 △PCE 的边 PE

平面向量与平面几何

平面向量与平面几何小观

许苏华

有一个量源自于现实生活，在物理中称之为矢量，在数学中称之为向量，这种量不同于物理中的标量，也不同于数学中的数量，它是既有大小又有方向的量.在数学中的一个平面内研究的向量，称之为平面向量，在空间中研究的向量，便称之为空间向量.在此篇文章中，只谈平面向量，以后再专门谈空间向量.

为什么要学习平面向量？首先它很有用，不仅在物理中有着广泛的应用，而且在数学本身中也有着广泛应用，比如正、余弦定理的推导，而平面向量在平面几何中的应用更显得突出.说的更具体一点，此篇文章，在教材的基础之上，进一步研究平面几何中的向量方法，这也是平面向量中较难的地方.

一、平面向量与三点共线

高中数学教材中有这样的一个定理：向量(0)a a ≠与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b a λ=.

上述定理，常称之为向量共线定理，它等价于这个定理：点A 、B 、C 共线的充要条件是存在实数λ，使得AC AB λ=．

除了向量共线定理，在解题中经常使用到被称之为向量三点共线定理的结论：设O 是平面内任意一点，点A 、B 、C 共线的充要条件是存在实数x 、y ，使得

OC xOA yOB =+，其中1x y +=．

向量共线定理，很容易理解，也可以参考教材.关键是如何证明向量三点共线定理？凡是含有“充要条件”关键词的结论，相当于两个结论，都需要从两个方向去证明.

证明：（充分性）若存在实数x 、y ，使得OC xOA yOB =+，其中1x y +=，则(1)OC xOA x OB =+-，则()OC OB x OA OB -=-，则BC xAB =，因此A 、B 、

平面向量在几何、物理中的应用举例课件

4
∵＝+ ＝21 + 32，∴
4
∴＝5 ，∴ : ＝4∶1.
= 5,
+ 2 = 2,
解得
3
3 + = 3,
= 5.
高中数学
必修第二册
北师大版
<4> 其他问题
例4
如图，在等腰梯形中，已知∥，＝4，＝2，∠＝60°，动点和分别在线段
点P，求五个力的合力.
解：所求五个力的合力为 + + + + ，如图所示，
以，为边作平行四边形，则＝ + ，
由正六边形的性质可知＝＝，且点在上；
以，为边作平行四边形，则＝ + ，
由正六边形的性质可知＝3，且点在的延长线上
必修第二册
北师大版
（方法2）以直角顶点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐
标系.
1wk.baidu.com
1
设＝1，则（0，0），（1，0），（0，1），(0, 2)，∴＝(−1, 2).
1 2
1 2
又＝2，∴(3 , 3)，∴＝(3 , 3).
1 1
第二章
§6
平面向量的应用
6.2 平面向量在几何、
物理中的应用举例
高中数学
必修第二册

借助平面向量处理平面几何问题

【用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 】

(1)建立平面几何与向量的联系——用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.

(2)通过向量运算——线性运算和数量积，研究几何元素之间的关系，如距离、平行、垂直及夹角等问题.

(3)把运算结果通过“翻译”——还原成几何元素间的关系. 流程图为：形转换成向量→向量运算→运算结果还原为形.

向量在平面几何中的应用是非常广泛的.下面我们就五个方面来进行初步研究. (一) 点共线与线共点问题:

例1.设两个非零向量e 1，e 2不共线,如果AB

⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+3e 2，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6e 1+23e 2，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4e 1-8e 2, 求证:A 、B 、D 三点共线.

证明：∵ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = AB

⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2e 1+3e 2)+(6e 1+23e 2)+( 4e 1-8e 2)=12e 1+18e 2 =6(2e 1+3e 2)=6AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB

⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 又∵ AB 与AD 共点A ，故 A 、B 、D 三点共线.

例2.如图1.5—1.在三角形ABC 中，D 是BC 上的一点，2BD=DC ，E 是DA 的中点，F 是

AC 上的点，3AF=FC. 求证：B 、E 、F 三点共线. 证明：设BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2，由定比分点的向量形式得， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ = 12(e 1+e 2). BF ⃗⃗⃗⃗ =1

平面向量在几何中的应用

当 x ≥１时,
２x ＋
会学生“怎样想”,引导学生对知识本质的理解,让学
解;当 x≤－３时,－２x－２≥６,得 x≤ －４．
综上可得:
过程．
２≥６,得 x≥２;当－３＜x＜１时,此时没有满足条件的
解集为(－∞ ,－４]∪ [
２,＋∞ )．
(
２)由题意可得 f(
构建,借助三角形的外心的实质,综合平面向量的数
量积以及直角三角形的定义加以转化,建立两参数的
条件的点的罗列来确定满足条件整点个数．
(
２,
０),(－２,
０),(
１,
１),(
１,－１),(－１,
１),(－１,－１),
方程组,利用方程组的求解来确定相应的参数值,进
效．
通过平面向量的线性运算、坐标运算、基底运算等,在平面几何、平面解析几何等相关问题中创新应用,引领
并指导数学教学与解题研究．
关键词:平面向量;几何;位置;数值;参数;最值
因此有(
０,
０),(
０,
１),(
１,
０),(－１,
０),(
０,－１),
引言
１．