山西省怀仁县第一中学、应县第一中学校2017-2018学年高一下学期期末考试数学(理)试题

2017-2018学年第二学期高一年级期末考试理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．点P 从点()1,0出发，沿单位圆顺时针方向运动56π弧长到达Q 点，则Q 的坐标是（ ）A ．1,22⎛- ⎝⎭B ．1,22⎛-- ⎝⎭C ．122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D ．122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2．钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC =AC =（ ）A ．5B ．2 D ．13．《莱茵德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小1份为（ ） A ．53 B ．103 C ．56 D ．1164．在等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，25833a a a ++=，则369a a a ++的值为（ ）A ．30B ．27C ．24D ．215．若不等式12a b <-≤，24a b ≤+<，则42a b -的取值范围是（ ）A ．[]5,10B ．()5,10C ．[]3,12D ．()3,126．设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >．若10a <，则()()21230a a a a -->7．已知,,a b c ∈R ，那么下列命题中正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b c c>，则a b > C ．若33a b >且0ab <，则11a b > D ．若22a b >且0ab >，则11a b< 8．下列不等式一定成立的是（ ）A ．()2104x x x +>> B ．()212x x x +≥∈R C ．()1sin 2,sin x x k k x π+≥≠∈Z D ．()2111x x >∈+R 9．已知OAB ∆，若点C 满足2AC CB =uu u r uu r ，OC OA OB λμ=+u u u r u u r u u u r ，（,λμ∈R ），则11λμ+=（ ）A ．13B ．23C ．29D ．9210．将曲线cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移6π个单位后，得曲线()y f x =，则函数()f x 的单调增区间为（ ） A ．(),36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．(),63k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C ．()2,63k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．()5,36k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦11．若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan 21tan 2αα+=-（ ）A ．3B ．12-C ．13D ．1212．已知不等式()222cos 54sin 0m m θθ+-+≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．04m ≤≤ B ．14m ≤≤ C ．4m ≥或0m ≤ D ．1m ≥或0m ≤第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量()1,3a =-r ，()3,b t =r ，若a b ⊥r r ，则2a b +=r r ．14．在ABC ∆中，三个角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、.若角A B C 、、成等差数列，且边a b c 、、成等比数列，则ABC ∆的形状为 ．15．若正实数,m n 满足26m n mn ++=，则mn 的最小值是 ．16．关于函数()()4sin 23f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 有下列命题： ①由()()120f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍②由()y f x =的表达式可改写为4cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭③()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 ④()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中正确命题的序号是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． （1）已知0a >，解关于x 的不等式2110x a x a ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭（2）若关于x 的不等式2260ax x a -+>的解集是(),1m ，求实数m 的值.18．已知向量),cos m x x =u r ，()cos ,cos n x x =r ，x ∈R ，设()f x m n =⋅u r r . （1）求函数()f x 的解析式及单调增区间；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且1a =，2b c +=，()1f A =，求ABC ∆的面积.19． ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos cos C a B b A c +=.（1）求C ；（2）若c =ABC ∆ABC ∆的周长. 20． 等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件，24,1,2,n n S n S ==L （1）求数列{}n a 的通项公式和n S ；（2）记12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .21． 设正数列{}n a 的前{}n a 项和为n，且1n a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式.（2）若数列32n n a b +=，设n T 为数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和，求n T . （3）若1n n T b λ+≤对一切n ∈*N 恒成立，求实数λ的最小值.22．已知函数()2242,0,441,0.x x a x f x x a x x ⎧---+≤⎪=⎨++->⎪⎩（1）若()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若0a >，解关于x 的不等式()42f x a >-.高一理科数学期末试卷答案一、选择题1-5:CBABB 6-10:CCBDC 11、12：BC二、填空题13．．等边三角形 15．18 16．2,3三、解答题17．解：（1）原不等式为()10x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭当01a <<时，1a a <所以不等式解为1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当1a >时，不等式解为1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）∵221610a a ⋅-⋅+=，∴2a =（舍）或3a =-把3a =-代入方程，得3m =-18．解：（1）()2cos cos f x m n x x x =⋅=+=u r r 112cos 222x x ++1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 由222,262k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ，可得,36k x k k ππππ-+≤≤+∈Z .所以函数()f x 的单调递增区间为,,36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z （2）∵()1f A =，∴1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵0A π<<，∴132666A πππ<+<， ∴5266A ππ+=，∴3A π=. 由2222cos a b c bc A =+-，得2212cos 433b c bc bc π=+-=-，∴1bc =，∴1sin 2ABC S bc A ∆==. 19．解：（1）由已知及正弦定理得，()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C +=， 即()2cos sin sin C A B C +=.故2sin cos sin C C C =. 可得1cos 2C =，所以3C π=. （2）由已知，1sin 22ab C =. 又3C π=，所以6ab =.由已知及余弦定理得，222cos 7a b ab C +-=.故2213a b +=，从而()225a b +=. 所以ABC ∆的周长为520．解：（1）设等差数列的公差为d ， 由24n n S S =得1214a a a +=， 所以2133a a ==且212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-，()()1212122n n n a a n n S n ++-=== （2）由12n n n b a -=，得()1212n n b n -=-， 所以()12113252212n n T n -=++++-L ①()()231223252232212n n n T n n -=++++-+-L ②①－②得：()211222222212n n n T n --=++++--L()()21212222121n n n -=++++---L()()1122212112n n n ⨯-=⨯----()2323n n =--.∴()2323n n T n =-+.21．解：（1）∵正数列{}n a 的前n 项和为n S，且1n a =+，∴111n n n n S S a S --=+=+，∴)211n S -=，1=，∵11a =，解得11a =，11n n =+-=，∴2n S n =，∴()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， 当1n =时，1211n a -==，∴21n a n =-.（2）3213122n n a n b n +-+===+， ∴()()111111212n n b b n n n n +==-++++， ∴1111123341n T n =-+-++-+L 11122224n n n n =-=+++ （3）1n n T b λ+≤对一切n ∈*N 恒成立， ∴()224n n n λ≤++， ∴()211422444n n n n n λ≥=++++116≥= 当且仅当2n =时取等号，故实数λ的最小值为116 22．解：（1）当0x ≤时，()f x 的值域为(2,2a ⎤-∞+⎦，当0x >时，()f x 的值域为[)43,a ++∞， ∵()f x 的值域为R ，∴2243a a +≥+，解得2a ≥+2a ≤ ∴a的取值范围是2a ≥+2a ≤（2）当0x >时，44142x a a x ++->-，即110x x ++>恒成立， 当0x ≤时，224242x x a a ---+>-，即()()40x a x a +--<⎡⎤⎣⎦（ⅰ）当4a a -=-，即2a =时，x 无解（ⅱ）当4a a -<-，即02a <<时，4a x a -<<-； （ⅲ）当4a a ->-，即2a >时①当24a <≤时，4a x a -<<-，②当4a >时，0a x -<≤综上（1）当02a <<时，解集为()()4,0,a a --+∞U ，（2）当2a =时，解集为()0,+∞，（3）当24a <≤时，解集为()(),40,a a --+∞U ，（4）当4a >时，解集为(),a -+∞.。