28.直角三角形与勾股定理

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直角三角形与勾股定理

直角三角形与勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中包含一个角度为90度的直角。

勾股定理是直角三角形中一条重要的几何定理，它描述了直角三角形三条边之间的关系。

在本文中，我们将深入探讨直角三角形和勾股定理的相关内容。

一、直角三角形的定义直角三角形是指一个三角形中包含一个角度为90度的角。

这个角被称为直角。

直角三角形的其他两个角度则被称为锐角和钝角。

直角三角形的特点是，它的两条边相互垂直。

二、勾股定理的定义勾股定理是直角三角形中的一条定理，表明直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

具体表达式为：a² + b² = c²，其中a和b 表示两条直角边的长度，c表示斜边的长度。

勾股定理可以用来计算直角三角形中任意一条边的长度，只要已知其他两条边的长度即可。

三、勾股定理的应用勾股定理在实际生活中有着广泛的应用。

下面举几个例子来说明：1. 测量距离：假设你想要测量两个不相邻点之间的距离，但是这两个点之间有一片湖泊无法直接测量。

你可以选择一个合适的位置作为测量起点，然后以直角三角形的形式测量出湖泊的宽度和起点到目标点的距离，再利用勾股定理计算出两个目标点之间的距离。

2. 建筑斜坡：在建筑设计中，经常会遇到需要设计斜坡的情况。

假设你需要设计一个台阶高度为a，长度为b的斜坡，你可以应用勾股定理计算出斜坡的斜边长度，以确定所需材料的长度和角度。

3. 导航和航空：导航和航空领域利用勾股定理来计算飞机或船只的航行距离和角度，以便安全导航和飞行。

四、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯定理的证明。

毕达哥拉斯定理是勾股定理的一个特例，即当直角三角形的两条直角边长度分别为3和4时，斜边的长度为5。

根据毕达哥拉斯定理，我们可以推导出勾股定理的一般表达式。

证明过程略。

五、总结直角三角形和勾股定理是几何学中的重要概念和定理。

直角三角形的定义是包含一个90度角的三角形，而勾股定理则描述了直角三角形的三边之间的关系。

直角三角形与勾股定理

直角三角形与勾股定理在数学中，直角三角形是一种特殊的三角形，具有一个角度为90度的直角。

与直角三角形相关的一个重要定理就是勾股定理。

下面将介绍直角三角形以及勾股定理的相关内容。

一、直角三角形的定义和性质直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。

在直角三角形中，直角位于两条边的交汇处，我们通常将直角对边称为斜边，另外两条边分别称为直角边。

直角三角形的性质如下：1. 直角三角形的两个直角边相互垂直。

2. 直角三角形的斜边是直角边长度的最大值。

3. 直角三角形中，任意一个角的正弦、余弦和正切值都可以通过三角函数来表示。

二、勾股定理的介绍和应用勾股定理是描述直角三角形边长关系的重要定理，它表明直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

具体表达式为：c² = a² + b²其中，a和b代表直角三角形的直角边的长度，c代表斜边的长度。

勾股定理有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。

1. 求解直角三角形的边长利用勾股定理，我们可以根据直角三角形的两个直角边的长度求解斜边的长度，或者根据斜边的长度求解直角三角形的直角边长度。

这在实际生活中经常用到，比如测量房间的对角线长度、计算建筑物的高度等。

2. 判断直角三角形通过勾股定理，我们可以判断一个三边长度符合勾股定理的三角形是否为直角三角形。

如果一个三角形的三边长度满足a² + b² = c²，那么这个三角形就是一个直角三角形。

3. 计算三角形的面积对于已知两个直角边的直角三角形，我们可以利用勾股定理求解斜边的长度，然后再利用三角形的面积公式求解三角形的面积。

三角形的面积公式为：S = 1/2 * a * b，其中S代表三角形的面积，a和b分别代表直角三角形的直角边的长度。

总结：直角三角形与勾股定理是数学中的基础概念和定理，它们在实际生活中有很多应用。

直角三角形的定义和性质以及勾股定理的介绍和应用都是我们学习数学时必须了解和掌握的内容。

直角三角形和勾股定理

直角三角形和勾股定理∙（1）斜边中线的指针—直角三角形的性质二(20 道)1. 直角三角形的性质2：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半2. 当题目中出现了直角三角形时，要注意斜边上是否有中线或中点出现，如果有斜边的中点，不妨连接中点和直角顶点，构造出斜边上的中线，利用性质2进行中线与斜边之间的转化，从而迅速找到思路3. 由性质二得到的角之间的关系：∠A=∠1，∠B=∠2，∠3=2∠A，∠4=2∠B4. 两个运用性质二的基本图形∙（2）30°引爆全新体验！—直角三角形的性质三(20 道)1. 直角三角形的性质3：有一个角是30度的直角三角形，30度角的对边等于斜边的一半。

它的作用是由特殊角30度得到边的关系2. 性质3的逆定理：在直角三角形中，如果某条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30度。

它的作用是由边的两倍关系得到特殊角30度3. 一道难度稍大的综合题，要求你对直角三角形的三个特殊性质运用自如∙（3）等量转化的秘密通道—角平分线的性质定理及逆定理(20 道)1. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。

它可以用来进行边的转化或构造全等来证明边、角相等2. 角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

由此得到角平分线的另一种定义：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合3. 逆定理的作用是由距离相等得到角平分线，进而得到角相等的结论4. 两个定理的题设和结论刚好相反，成为了角度和垂线段—这两组等量关系相互转化的秘密通道∙（4）从地板飞向宇宙—勾股定理(20 道)1. 勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方2. 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，用式子表示就是：a²+b²=c²3. 一种传奇的证明方法：总统证法，通过构造梯形和面积法完成4. 勾股定理的意义：它揭示了直角三角形三边的数量关系，当知道一个直角三角形的任意两条边时，可以利用勾股定理求出另外一条边，简称“知二求一”。

勾股定理与直角三角形的关系

勾股定理与直角三角形的关系在数学中，勾股定理是一个基本的几何定理，它描述了直角三角形中各边之间的关系。

勾股定理的形式化表述为：在一个直角三角形中，三条边的平方和等于斜边的平方。

即对于一个直角三角形，设其两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，则勾股定理可以表示为：a^2 + b^2 = c^2勾股定理最早是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的，因此也叫毕达哥拉斯定理。

它是数学中的重要定理之一，被广泛应用于各个领域。

勾股定理与直角三角形的关系是密不可分的。

直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。

根据勾股定理，如果三条边的长度满足a^2 + b^2 = c^2的关系，则这个三角形是一个直角三角形。

换句话说，通过勾股定理，我们可以判断一个三角形是否为直角三角形。

直角三角形和勾股定理在几何学中有着广泛的应用。

首先是测量，通过测量直角三角形的两条直角边的长度，可以利用勾股定理计算出斜边的长度，这在实际生活中非常有用。

其次，勾股定理还可以解决一些几何问题，例如求解角度、寻找缺失边长等等。

在建筑、设计、工程等领域，勾股定理也经常被用来计算和解决实际问题。

除了应用，勾股定理还有着深厚的数学内涵。

它是三角函数的基础之一，通过勾股定理可以导出正弦定理、余弦定理等重要的三角函数定理。

同时，勾股定理也是代数和几何之间的桥梁，在代数中，勾股定理可以用于解决二元二次方程。

总之，勾股定理与直角三角形的关系不仅仅局限于几何，还涉及到许多其他数学领域的运用。

它解决了很多实际问题，为我们提供了计算和推理的工具。

勾股定理的发现和应用是数学研究中的重要里程碑，深刻影响了数学和人类文明的发展。

无论是在学校教育中的数学教学，还是在实际生活中的应用，勾股定理都扮演着重要的角色，为我们提供了便利和启示。

勾股定理及直角三角形的判定

勾股定理及直角三角形的判定知识要点分析1、勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、勾股定理的验证勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。

我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。

因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。

另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。

3、如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。

其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。

我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。

4、勾股数满足条件a2+b2=c2的三个正整数a、b、c称为勾股数。

友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。

【典型例题】考点一：勾股定理例1：在△ABC中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c=__________；（2）若a=6，c=10，则b=__________；（3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________.例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。

解：考点二：勾股定理的验证例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2）是以c为直角边的等腰三角形。

请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。

直角三角形与勾股定理

直角三角形与勾股定理直角三角形与勾股定理是初中数学中重要的概念和定理。

直角三角形是指一个角为直角（90度）的三角形，而勾股定理是指直角三角形的一条关于三边之间关系的定理。

在本文中，我们将探讨直角三角形的性质及勾股定理的应用。

一、直角三角形的性质直角三角形具有一些特殊的性质，下面将介绍其中几个重要的性质。

1. 直角三角形的两条直角边直角三角形的两条直角边分别称为直角边和斜边。

直角边是直角三角形中与直角相邻的两条边，斜边则是直角三角形的另一边。

直角边之间的关系是垂直的，而斜边则是直角三角形最长的一条边。

2. 直角三角形的两个锐角除直角外，直角三角形的其他两个角必定是锐角。

由于三角形的内角和为180度，所以直角三角形的两个锐角之和为90度。

3. 直角三角形的边长关系根据直角三角形的边长关系，如果直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边的长度为c，则有勾股定理成立，即a² + b² = c²。

二、勾股定理的应用勾股定理是直角三角形中最为重要的定理之一，它的应用非常广泛。

下面将介绍勾股定理在求解三角形边长和判断三角形形状方面的应用。

1. 求解三角形的边长通过勾股定理，我们可以利用已知的两条边的长度，求解第三边的长度。

例如，已知一个直角三角形的两条直角边的长度分别为3和4，我们可以使用勾股定理计算出斜边的长度：3² + 4² = 5²，即斜边的长度为5。

2. 判断三角形形状利用勾股定理，我们可以判断一个三角形是否为直角三角形。

如果一个三角形的三条边满足勾股定理的条件，即a² + b² = c²，那么这个三角形就是直角三角形。

通过勾股定理，我们可以准确地判断三角形的形状。

三、勾股定理的证明勾股定理的证明可以通过几何方法和代数方法来完成。

其中，最著名的证明是毕达哥拉斯的证明，下面将简要介绍这个证明。

毕达哥拉斯的证明思路是基于平行线的性质和面积的相等关系。

直角三角形与勾股定理

直角三角形与勾股定理直角三角形是指其中一角为90度（直角）的三角形。

勾股定理是与直角三角形密切相关的定理，它描述了直角三角形中，直角边与斜边之间的关系。

在本文中，我们将讨论直角三角形和勾股定理，以及它们在几何学和实际生活中的应用。

1. 直角三角形的定义与特性直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个内角为90度。

根据直角三角形的特性，我们可以得出以下结论：1.1 斜边：斜边是直角三角形中与直角不相邻的边，它是直角边的对边。

1.2 直角边：直角边是直角三角形中与直角相邻的边，我们通常将直角三角形的两个直角边分别称为“邻边”和“对边”。

1.3 邻边：邻边是直角三角形中与直角相邻的边，即与直角边共同组成直角的两条边之一。

1.4 对边：对边是直角三角形中与直角相邻的边，即与直角边共同组成直角的两条边之一。

2. 勾股定理的表述与证明勾股定理是描述直角三角形中直角边与斜边之间关系的定理。

它的数学表达式为：在一个直角三角形中，直角边的平方之和等于斜边的平方。

数学表达式：c² = a² + b²其中，c代表斜边的长度，a和b分别代表直角三角形的两个直角边的长度。

证明勾股定理可以采用多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯的证明方法。

毕达哥拉斯证明利用了平方的几何性质，通过构建几个平方，并运用几何关系，得出了直角边与斜边之间的数学关系。

3. 勾股定理的应用勾股定理在几何学和实际生活中有广泛的应用。

以下是几个勾股定理的应用例子：3.1 测量直角三角形的边长：通过已知直角边的长度，可以利用勾股定理计算出斜边的长度或其他边的长度。

3.2 解决平面几何问题：在平面几何中，利用勾股定理可以求解各种与直角三角形相关的问题，如角度、面积等。

3.3 应用于物理学和工程学：勾股定理在物理学和工程学中有广泛的应用，例如在测量、导航和建筑设计中常用到勾股定理。

4. 直角三角形的性质及应用举例除了勾股定理，直角三角形还具有其他一些重要的性质。

直角三角形与勾股定理

直角三角形与勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，它的一个内角为直角（度数为90度），这个特性使得直角三角形与勾股定理存在紧密的联系。

勾股定理是数学中的一条基本定理，描述了直角三角形中三边之间的关系。

在本文中，我们将探讨直角三角形与勾股定理之间的关系以及一些应用例题。

一、直角三角形的定义和性质直角三角形是由三条边组成的三角形，其中一个内角为90度。

直角三角形的另外两个内角为锐角或钝角。

直角三角形的特性包括：1. 直角三角形的两条边相互垂直。

2. 直角三角形的两条直角边可以作为直角三角形的高和底。

3. 直角三角形的斜边是其他两条边的平方和的平方根。

二、勾股定理的定义和证明勾股定理，也被称为毕达哥拉斯定理，是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的。

勾股定理描述了直角三角形中三边之间的关系，它的公式如下：斜边的平方 = 直角边1的平方 + 直角边2的平方即c² = a² + b²其中，c代表直角三角形的斜边，a和b代表直角三角形的两条直角边。

勾股定理的证明有多种方法，其中一种常见的证明方法是通过几何图形推导得出。

三、直角三角形与勾股定理的应用1. 解决三角形的边长问题：有时候我们已知一个直角三角形的两个直角边的长度，要求计算斜边的长度，就可以直接使用勾股定理来解决。

例如，如果一个直角三角形的直角边长度分别为3和4，我们可以通过勾股定理来计算斜边的长度：c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，所以斜边的长度为5。

2. 判断三角形的形状：在有些情况下，我们已知三角形的边长，但不确定它是不是直角三角形。

此时，我们可以利用勾股定理来判断。

例如，如果一个三角形的三边长度分别为5、12、13，我们可以通过勾股定理判断：5² + 12² = 25 + 144 = 169，而13² = 169，说明这个三角形是一个直角三角形。

直角三角形与勾股定理

直角三角形与勾股定理直角三角形是几何学中的基本概念之一，而勾股定理则是解决直角三角形相关问题的重要工具。

本文将对直角三角形的定义和特性进行介绍，并详细解释勾股定理的原理和应用。

一、直角三角形的定义和特性直角三角形是一种边上有一个直角的三角形。

在直角三角形中，直角所对应的两边称为直角边，而不含直角的一边称为斜边。

直角三角形的特性包括以下几点：1. 边长关系：在直角三角形中，斜边的长度大于或等于任何一条直角边的长度。

2. 角度关系：直角三角形中，直角的两个相邻角是锐角，且它们的和等于90度。

而斜边所对应的角称为直角的对角，它是直角三角形中最大的角。

3. 边角关系：直角三角形中，斜边的平方等于直角边的平方和。

这就是著名的勾股定理。

二、勾股定理的原理和应用勾股定理是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的，它指出在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

即，设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边的长度为c，则有勾股定理的数学表达式：a²+ b² = c²。

勾股定理是解决直角三角形相关问题的重要定理，应用广泛。

以下是一些常见的勾股定理应用：1. 求边长：当已知直角三角形的两条边长时，可以利用勾股定理求解第三条边的长度。

例如，已知一直角三角形的一个直角边长为3，另一直角边长为4，我们可以使用勾股定理计算斜边长：3² + 4² = 5²，得到斜边长为5。

2. 判断直角三角形：通过验证勾股定理，可以判断一个三角形是否为直角三角形。

例如，已知一个三角形的三条边长为3、4和5，我们可以使用勾股定理验证：3² + 4² = 5²，符合勾股定理，所以这个三角形是直角三角形。

3. 解决实际问题：勾股定理可以应用于实际问题，如测量无法直接测得的距离。

例如，在田地中，测量两处障碍物之间的距离时，可以用勾股定理测量出距离。

总结：直角三角形是几何学中的基本概念，勾股定理则是解决直角三角形相关问题的重要定理。

直角三角形和勾股定理

直角三角形和勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度（也称为直角）。

直角三角形的性质可以用到数学中著名的勾股定理。

在本文中，我们将深入讨论直角三角形的特征和勾股定理的原理及应用。

一、直角三角形的特征直角三角形由三条边构成，其中一条边为直角边，与直角相对的两条边称为两腿。

下面我们将介绍直角三角形中著名的性质。

1. 勾股定理勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两腿的平方之和。

假设直角三角形的两腿分别为a和b，直角边的长度为c，那么勾股定理可以表示为：a^2 + b^2 = c^2。

2. 边界性质直角三角形中，较长的一边称为斜边，而斜边是直角三角形中的最长边。

根据勾股定理，斜边的长度为两腿长度平方和的平方根。

3. 角度性质直角三角形中，另外两个角称为锐角和钝角。

锐角是指小于90度的角度，钝角则是大于90度的角度。

在直角三角形中，锐角和钝角的和必定为90度。

二、勾股定理的应用勾股定理具有广泛的应用，特别是在解决与三角形相关的问题时非常有用。

下面我们将介绍几个应用例子：1. 求解缺失的边长当已知一个直角三角形的两腿长度时，我们可以利用勾股定理求解斜边的长度。

例如，如果一个直角三角形的两腿长度分别为3和4，我们可以计算斜边的长度：c = √(3^2 + 4^2) = 5。

2. 判断三角形是否为直角三角形我们可以应用勾股定理来判断一个三角形是否为直角三角形。

如果三条边的边长满足勾股定理，那么这个三角形就是直角三角形。

3. 应用于几何问题勾股定理在解决几何问题时也非常实用。

例如，当我们知道一个平面上的直角三角形的斜边长度和一个锐角的大小，可以利用勾股定理求解另外两个角的大小。

总结：直角三角形和勾股定理是数学中重要的概念和工具。

直角三角形的特征和勾股定理的原理帮助我们解决各种与三角形相关的问题。

通过合理运用勾股定理，我们可以计算边长、判断三角形类型以及解决几何问题。

深入理解和熟练掌握直角三角形和勾股定理的原理和应用，对于数学学习及实际生活中的几何问题都具有重要意义。

专题28 直角三角形、勾股定理(教师版)

一、选择题7.(2020·宁波)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为中线，延长CB 至点E ，使BE ＝BC ，连结DE ，F 为DE 中点，连结BF .若AC ＝8，BC ＝6，则BF 的长为 A ．2 B ．2.5 C ．3 D ．4{答案}B{解析}在Rt △ABC 中， AC ＝8，BC ＝6，根据勾股定理，得AB ＝22AC BC +＝10.∵CD 为Rt △ABC 斜边上的中线，∴CD ＝12AB ＝5.∵BE ＝BC ，F 为DE 的中点，∴由中位线定理，得BF ＝12CD ＝12×5＝2.5.因此本题选B ．6．（2020·陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 都在格点上，若BD 是△ABC 的高，则BD 的长为（） A ．101313B ．91313C ．81313D ．71313第6题图{答案}D{解析}本题考查了利用勾股定理求线段长、割补法求三角形面积以及等积法等知识.首先求出△ABC 的面积为3.5，AC ＝13，再运用等积法求出BD ＝3.5×2÷13＝71313．（2020·包头）8、如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，BE CD ⊥，交CD 的延长线于点E ．若2AC =，22BC =，则BE 的长为（）A ．26B ．6 C ．3 D ．2{答案}A{解析}∵∠ACB=90°，∴△ABC 是直角三角形，∴22212AB AC BC =+=, ∴23AB =.又∵点D 是AB 的中点，∴3CD =.∴△ABC 的面积等于△BCD 面积的2倍，即11222CD BE BC AC ⨯=，∴263BE =.故选A. 12．（2020·河北）如图7，从笔直的公路l 旁一点P 出发，向西走6km 到达l ；从P 出发向北走6km 也到达l .下列说法错误的是A.从点P 向北偏西45°走3km 到达lB.公路l 的走向是南偏西45°DBACEDCBAC.公路l的走向是北偏东45°D.从点P向北走3km后，再向西走3km到达l{答案}A{解析}解析：如图，在Rt△PAB中，∵∠APB=90°，PA=PB=6km，∴∠PAB=∠PBA=45°,AB= =km.过点P作PC⊥AB，垂足为C，∴PC=12×=.∴点P向北偏西45°走km到达l，故选项A错误；过点A作DE⊥PA，则∠1=∠2=45°，∴公路l的走向是北偏东45°或南偏西45°，故选项B和C正确；过点C作CF⊥PB，垂足为F.在Rt△PCB中，∵∠PCB=90°，PC=BC，PB=6km，∴CF=PF=12×6=3km，即从点P向北走3km后，再向西走3km到达l，故选项D正确.16．（2020·河北）图10是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按图10的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）B.2，3，5C.3，4，5D.2，2，4{解析}设选取的三块纸片的面积分别为a,b，c（a≤b＜c）,根据勾股定理可知a+b=c,所以选取的三块纸片可能为：①a=b=1,b=2，此时ab=1；②a=1，b=2，c=3, 此时ab=2；③a=1，b=3，c=4, 此时ab=3；④a=1，b=4，c=5, 此时ab=4；⑤a=2，b=2，c=4, 此时ab=4；⑥a=2，b=3，c=5, 此时ab=6.∴选取的三块纸片的面积分别是2,3，5时，所围成的三角形的面积最大，故答案为B.15．（2020·毕节）如图，在一个宽度为AB长的小巷内，一个梯子的长为a，梯子的底端位于AB上的点P，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点C处，点C到AB的距离BC为b，梯子的倾斜角∠BPC为45° ;将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点D处，点D到AB的距离AD为c，且此时梯子的倾斜角∠APD为75°，则AB的长等于（）A．a B．b C．2b c+D．c{答案}D ，{解析}本题考查勾股定理的实际应用．解：如图，∵CB ⊥AB ，∠APD ＝45°，∴∠PBC ＝45°．∴PB ＝PC ． ∵DA ⊥AB ，∠APD ＝75°，∴∠ADP ＝15°．作∠EPD ＝∠EDP ＝15°，则∠AEP ＝30°．设AP ＝x ，则EP ＝2x ，EA ＝c －2x ．在Rt △APE 中，由勾股定理，得AP 2＋AE 2＝PE 2，即x 2＋(c －2x )2＝(2x )2，∴x 1＝（c （不合题意，舍去），x 2＝（2c ． ∵PD ＝PC ，∴AD 2＋AP 2＝BP 2＋BC 2．即c 2＋[（2c ]2＝2b 2．整理，得b1）c ．∴AB ＝AP ＋PB ＝（2c1）c ＝c ．故选D ． 8．（2020·黄石）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点H 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 的中点，若EF +CH ＝8，则CH 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6{答案} B{解析} 根据三角形的中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解决问题：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点H ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，∴EF ＝12AB ，CH ＝12AB ，bbcEFACB∵EF+CH＝8，∴CH＝EF＝12×8＝4，故选：B．11．（2020·广西北部湾经济区）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD 的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸{答案} C{解析}过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r，则AB＝2r，DE＝10，OE=12CD＝1，AE＝r﹣1，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，因此本题选C．4．（2020•宁夏）如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC 时，∠EGB的度数是（）A．135°B．120°C．115°D．105°【解析】过点G作HG∥BC，∵EF∥BC，∴GH∥BC∥EF，∴∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，∵在Rt△DEF和Rt△ABC中，∠F＝30°，∠C＝45°∴∠E＝60°，∠B＝45°∴∠HGB＝∠B＝45°，∠HGE＝∠E＝60°∴∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105°故∠EGB的度数是105°，故选：D．二、填空题16．（2020·衢州）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆PA＝PC＝140cm，AB＝BC＝CQ＝QA＝60cm，OQ＝50cm，O，P两点间距与OQ长度相等．当OQ绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段MN上来回运动．当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3）．（1）点P到MN的距离为cm；（2）当点P，O，A 在同一直线上时，点Q到MN的距离为cm．{答案}（1）160，（2）640 9{解析}（1）如图3中，延长PO交MN于T，过点O作OH⊥PQ于H．由题意：OP＝OQ＝50cm，∵P，Q，A，B在同一直线上，∴PQ＝PA－AQ＝140－60＝80（cm），PM＝PA+BC＝140+60＝200（cm）.∵当点B运动至点M 或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3），∴当点B运动到点M处的△PCO与点B运动到点N处的△PCO全等，又PM＝PN，∴PT⊥MN.∵OH⊥PQ，∴PH＝HQ＝40（cm），∵cos∠PPH PTOP PM==，∴4050200PT=，解得PT＝160（cm），∴点P到MN的距离为160 cm．（2）如图4中，当O，P，A共线时，过Q作QH⊥PT于H．设HA＝x cm．由题意AT＝PT﹣PA＝160﹣140＝20（cm），OA＝PA﹣OP＝140﹣50＝90（cm），OQ＝50cm，AQ＝60cm，∵QH⊥OA，∴QH2＝AQ2﹣AH2＝OQ2﹣OH2，∴602﹣x2＝502﹣（90﹣x）2，解得x4609=.∴HT＝AH+AT6409=（cm），∴点Q到MN的距离为6409cm．因此本题答案为．（1）160 （2）6409 13．（2020·绍兴）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为________．{答案}45．{解析}本题考查了三角形的面积计算，勾股定理．由题意可得，直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，由勾股定理得直角三角形的另一条直角边长为：22325-=，故阴影部分的面积是1254452⨯⨯⨯=．因此本题答案为45．16．(2020·绥化)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB－AC＝2，BC＝8，则AB的长是______．{答案}17{解析}设AB＝x，则AC＝x－2．由勾股定理，得x2－(x－2)2＝82．解得x＝17．13．（2020·江苏徐州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若BF=5，则DE= .（第13题）{答案}5{解析}利用三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上中线的性质进行计算，∵点D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，∠ABC=90˚，∴AC=2DE=2BF,∵BF=5，∴DE=5.9．（2020·齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（）FDCAA ．15°B ．30°C ．45°D ．60°{答案} B{解析}由平行线的性质可得∠CF A ＝∠D ＝90°，由外角的性质可求∠BAD 的度数．如图，设AD 与BC 交于点F ，∵BC ∥DE ，∴∠CF A ＝∠D ＝90°，∵∠CF A ＝∠B +∠BAD ＝60°+∠BAD ，∴∠BAD ＝30°故选：B ．13. （2020·淮安）已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为_______________. {答案}8{解析}根据直角三角形斜边上的中线性质得出CD =12AB ，代入求出即可． ∵在△ACB 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，AB ＝16，∴CD =12AB ＝8，故答案为：8． 18．（2020·无锡）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =4，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且DB =2AD ，AE =3EC ，连接BE ，CD ，相交于点O ，则△ABO 面积最大值为 ▲ ．EODBAC{答案}83{解析}过点D 作DF ∥AC 交BE 于F （如图1），易得△BDF ∽△BAE ，∴DF AE ＝BD AB ＝23，∵AE =3EC ，∴DF =2EC ，∴△COE ∽△DOF ，CO OD ＝CE CF ＝12，∴S ∆AOB ＝23S ∆ABC ；点C 显然在以AB 为直径的圆弧上运动，AB 中点为M ，∴当CM ⊥AB 时，即点C 在圆弧最高处时，△ABC 面积最大，此时面积为12×4×2＝4，∴S ∆ABC ＝23×4＝83.14．（2020·扬州）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高?答：折断处离地面尺高.{答案}9120{解析}本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为（10﹣x ）尺，根据勾股定理得：x 2+32＝(10﹣x )2，解得x =． 12．（2020·岳阳）如图，在ABC Rt ∆中，CD 是斜边AB 上的中线，︒=∠20A ，则ED 图2图 1M C ABOFEOD BAC=∠BCD °．{答案}70°{解析}在在ABC Rt ∆中，∵CD 是斜边AB 上的中线，∴AB BD AD CD 21===，∴∠ACD ＝∠A ＝20°，∴∠BCD＝∠ACB －∠ACD ＝90°－20°＝70°．15.（2020·湖北孝感）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为1S ,空白部分的面积为2S ，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ，若1S =2S ，则nm的值为________.（第15题图1）（第15题图2）{答案. {解析}设图1中三角形较短的直角边的长为x ，则较长的直角边的长为x+n ，由题意可得S 1=2nx+n 2, S 2=2x 2,由题意可得{2nx +n 2=2x 2,m 2=x 2+(x +n)2,解得{x =m 2n =√3−12m,,所以n m15.（2020·达州）已知△ABC 的三边a 、b 、c 满足b +|c −3|+a 2-8a =4√b −1-19，则△ABC 的内切圆半径= . {答案}1{解析} 式子b +|c −3|+a 2-8a =4√b −1-19可整理为：（a -4）2＋（√b −1−2）2+|c −3|=0，由平方、二次根式、绝对值的非负性可得：a -4=0且√b −1−2=0、c −3=0，所以a =4，b =5，c=3，由勾股定理得逆定理得△ABC 是直角三角形，所以r=12×（3＋4－5）=1．11．（2020·菏泽）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为AB 边的中点，连接CD ，若BC ＝4，CD ＝3，则cos ∠DCB 的值为______．{答案}32 {解析}结合直角三角形斜边中线的性质把∠DCB 等量转化到直角三角形中求余弦值．在Rt △ABC 中，∵点D 为AB 边的中点，∴CD ＝21AB ，∴CD ＝BD ，AB =2CD =6，△△DCB =△B ，△cos ∠DCB ＝cos B ＝AB BC ＝64＝32．15．“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步.已知此步道外形近似于如图所示的Rt △ABC ，其中∠C=90°，AB 与BC 间另有步道DE 相连，D 在AB 正中位置，E 地与C 相距1 km .若tan ∠ABC=43，∠DEB=45°，小张某天沿A →C →E →B →D →A 路线跑一圈，则他跑了 km .{答案}24{解析}过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，设DF=x ， ∵∠DEB=45°，tan ∠ABC=43， ∴tan ∠ABC=BF DF =43，tan ∠DEF=EF DF =1，∴43BFx ，EF x . ∵CE=1，∴471133BC x x x .∵DF ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴DF ∥AC ， ∵D 在AB 正中位置，∴DF 是△ABC 的中位线，∴AC=2DF=2x ，在Rt △ABC 中，∠C=90°，tan ∠ABC=43，∴tan ∠ABC=BC AC =43，即237413x x ，解得x =3，∴AC=6，BC=8， ∴226810AB，∴当小张某天沿A →C →E →B →D →A 路线跑一圈时，则他跑了681024AC BCAB km ．ACBD15.（2020·安顺）如图，ABC∆中，点E在边AC上，EB EA=，2A CBE∠=∠，CD垂直于BE的延长线于点D，8BD=，11AC=，则边BC的长为.{答案}45{解析} 过点C，作CF∥AB，交AB的延长线于点F,作点F关于直线CD的对称点G.则,FCE A F ABE∠=∠∠=∠，CF=CG,DF=DG.∵EB=EA，∴A ABE∠=∠，∴FCE F∠=∠，∴EF=EC.即AC=BF=11. ∵DF=DG=3，∴BG=5. ∵CF=CG, ∴2FGC F CBE∠=∠=∠，即CG=BG=5，则CD=4.在Rt△BDC 中，224845BC=+=.18．（2020·宜宾）在Rt△ABC中，△ACB＝90°，D是AB的中点，BE平分△ABC交AC于点E，连结CD交BE于点O．若AC＝8，BC＝6，则OE的长是．{答案}9511{解析}在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，根据勾股定理，得AB＝22AC BC+＝2286+＝10．∴S△ABC＝24，∵D是AB的中点，∴BD＝5，S△BCD＝12，如图，过点E作EF⊥AB于点F，过点O分别作OG⊥AB于点G，OH⊥BC于点H，∵BE平分∠ABC，∴CE＝FE，OG＝OH，设CE＝FE＝m，OG＝OH ＝n，∴AE＝8－m，∵S△ABE＝12AE·BC＝12AB·FE，∴AE·BC＝AB·FE，∴6（8－m）＝10m，∴CE＝FE＝m＝3，在Rt△ABC中，∠ECB＝90°，根据勾股定理，得BE＝22CE BC+＝2236+＝35．∵S△BCD＝12BD·OG+12BC·OH，∴12×5×n+12×6×n＝12，∴OG＝OH＝n＝2411，由OH∥BC得BOBE＝OHCE＝24113＝811，∴OE＝311BE＝9511．第15题图第15题答18．（2020·娄底）由4个直角边长分别为,a b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积2c等于小正方形的面积2()a b -与4个直角三角形的面积2ab 的和证明了勾股定理222a b c +=，还可以用证明结论：若0a >，0b >，且22a b +为定值，则当a b 时，ab 取得最大值.{答案}={解析}本题考查了勾股定理的应用和完全平方公式，设22a b +为定值k ，则222k c a b +==，由“张爽弦图”可知，2222()()ab c a b k a b =--=--，即2()2k a b ab --=，要使ab 的值最大，则2()a b -需最小，又2()0a b -≥，∴当a b =时，2()a b -取得最小值，最小值为0，则当a b =时， 16．（2020·通辽）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝BC ，点P 在斜边AB 上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，∠PCQ ＝90°，则P A 2，PB 2，PC 2三者之间的数量关系是．{答案}AP 2+BP 2=2PC 2{解析}如图，连结BQ ．由题意得：∠ACB =∠PCQ =90°，∴∠ACB －∠PCB =∠PCQ －∠PCB ，即∠ACP =∠BCQ ，∵AC ＝BC ，PC ＝QC ，∴△ACP ≌△BCQ （SAS ），∴AP =BQ ，∠A =∠CBQ =45°，∵∠CBP =45°，∴∠CBP +∠CBQ =90°，∴△PBQ 是直角三角形，∴BQ 2+BP 2=PQ 2，即AP 2+BP 2=PQ 2，∵△PCQ 是等腰直角三角形，∴PQ，故PQ 2=2PC 2，∴AP 2+BP 2=2PC 2．ab 取得最大值，最大值为2k，因此本题填=．18．（2020·邵阳）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,斜边AB =2,过点C 作CF //AB ,以AB 为边作菱形ABEF ,若∠F =30°,则Rt △ABC 的面积为 .F G H{答案}1 2{解析}本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质，利用直角三角形中的30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出HE，再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到HE=CG，最终求出直角三角形面积．如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，△根据题意四边形ABEF为菱形，△AB=BE，又△△ABE=30°△在RT△BHE中，EH=2，根据题意，AB△CF，根据平行线间的距离处处相等，△HE=CG=2，△Rt ABC的面积为11=222．因此本题答案为12．12．（2020•宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是26寸．【解析】由题意可知OE⊥AB，∵OE为⊙O半径，∴尺＝5寸，设半径OA＝OE＝r，∵ED＝1，∴OD＝r﹣1，则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，解得：r＝13，∴木材直径为26寸；故答案为：26．16．（2020•宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为27．【解析】由题意可得在图1中：a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，∵（b﹣a）2＝3a2﹣2ab+b2＝3，∴15﹣2ab＝32ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝15+12＝27，故答案为：27．三、解答题22．（2020·哈尔滨）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上.（1）在图中画出以AB为边的正方形ABEF，点E和点F均在小正方形的顶点上；（2）在图中画出以CD为边的等腰△CDG，点G在小正方形的顶点上，且△CDG的周长1010+.连接EG，请直接写出线段EG的长.{解析}本题考查了使用正方形判定等进行尺规作图，等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形尺规作图方法是解10+，CD＝题的关键，（1）以A和B为圆心，AB为半径作圆，格点即为点F和点E；（2）因为△CDG的周长10{答案}解：(1)如图所示.(2)如图所示， EG＝516．（2020·贵阳）（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图△中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图△中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；（3）在图△中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．{答案}解：（1）如图△中，△ABC即为所求．（2）如图△中，△ABC即为所求．（3）△ABC即为所求．23．（2020·随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.(1)①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理：(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足321SSS=+的有个；FEG②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为21SS、，直角三角形面积为3S，请判断321SSS、、的关系并证明；(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m的式子表示)①=+++2222dcba；②b与c的关系为，a与d的关系为.{解析}本题考查了勾股定理及其证明方法、整式的化简、方程组的解法．（1）①按照教材内容叙述勾股定理的内容；②利用各部分图形的面积和等于总面积列出关于a 、b 、c 的等式，然后化简整理即可得到勾股定理的结论；（2）①在每个图形中都可以利用各部分图形的面积公式和勾股定理证明321S S S =+，进而得到答案为3；②首先利用正方形、半圆、等边三角形的面积公式求出321S S S 、、，然后结合勾股定理证明321S S S =+.（3）①首先利用正方形形的面积公式和勾股定理证明正方形A 、B 、C 、D 的面积和等于正方形M 的面积，然后代入数值可以得到=+++2222d c b a 2m . ②利用∠1=∠2=∠3=∠α，得到它们的正切值ef c d a b ==，再结合勾股定理解方程组可以确定b=c ，a+d=m.{答案}解：(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222c b a =+. （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）……1分 ②证明：(学生只需写出一种证明方法即可，未写文字说明不扣分)在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和. 即22)(421a b ab c -+⋅=，化简得222c b a =+. 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和. 即421)(22⋅+=+ab c b a ，化简得222c b a =+. 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和. 即221221))((21c ab b a b a +⋅=++，化简得222c b a =+.……………3分 (2)①3……4分②结论321S S S =+.……5分证明如下：∵232221)2(21)2(21)2(21c S b a S S πππ-++=+3222)(81S c b a +-+=π ∵222c b a =+，∴321S S S =+.…………………7分(3)①如图所示，由（1）②的证明可知：M F E D C B A S S S S S S S =+=+++，∵大正方形M 的边长为定值m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ， ∴=+++2222d c b a 2m .答案：2m …8分②如图所示，设正方形E 、F 的边长分别为e 、f ，∵∠1=∠2=∠3=∠α，∴ef c d a b ==. 又∵=+++2222d c b a 2m ，222e b a =+，∴222f d c =+，∴b=c ，a+d=m. 答案：b=c ，…9分 a+d=m.…11分 23．（2020·随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今. (1)①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理：(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足321S S S =+的有个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为21S S 、，直角三角形面积为3S ，请判断321S S S 、、的关系并证明；(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M 的边长为定值m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m 的式子表示) ①=+++2222d c b a ；②b 与c 的关系为，a 与d 的关系为 .{解析}本题考查了勾股定理及其证明方法、整式的化简、方程组的解法．（1）①按照教材内容叙述勾股定理的内容；②利用各部分图形的面积和等于总面积列出关于a 、b 、c 的等式，然后化简整理即可得到勾股定理的结论；（2）①在每个图形中都可以利用各部分图形的面积公式和勾股定理证明321S S S =+，进而得到答案为3； ②首先利用正方形、半圆、等边三角形的面积公式求出321S S S 、、，然后结合勾股定理证明321S S S =+. （3）①首先利用正方形形的面积公式和勾股定理证明正方形A 、B 、C 、D 的面积和等于正方形M 的面积，然后代入数值可以得到=+++2222d c b a 2m .②利用∠1=∠2=∠3=∠α，得到它们的正切值efc d a b ==，再结合勾股定理解方程组可以确定b=c ，a+d=m.{答案}解：(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222c b a =+. （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）……1分 ②证明：(学生只需写出一种证明方法即可，未写文字说明不扣分)在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和. 即22)(421a b ab c -+⋅=，化简得222c b a =+. 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和. 即421)(22⋅+=+ab c b a ，化简得222c b a =+. 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和. 即221221))((21c ab b a b a +⋅=++，化简得222c b a =+.……………3分 (2)①3……4分②结论321S S S =+.……5分证明如下：∵232221)2(21)2(21)2(21c S b a S S πππ-++=+3222)(81S c b a +-+=π ∵222c b a =+，∴321S S S =+.…………………7分(3)①如图所示，由（1）②的证明可知：M F E D C B A S S S S S S S =+=+++，∵大正方形M 的边长为定值m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ， ∴=+++2222d c b a 2m .答案：2m …8分②如图所示，设正方形E 、F 的边长分别为e 、f ，∵∠1=∠2=∠3=∠α，∴ef c d a b ==. 又∵=+++2222d c b a 2m ，222e b a =+，∴222f d c =+，∴b=c ，a+d=m.答案：b=c ，…9分a+d=m.…11分23.（2020·牡丹江）等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝45°，以AC 为腰作等腰直角三角形ACD ，∠CAD为90°，请画出图形，并直接写出点B 到CD 的距离.{解析}根据题目条件先画出相应的图形，分点D 在AC 的左侧或右侧两种情况讨论，然后根据特殊的45°角及相关线段长度，结合等腰直角三角形的性质和勾股定理求出点B 到CD 的垂线段的长度，即点B 到CD 的距离. {答案}解：本题有两种情况：点B 到CD 的距离为22；点B 到CD 的距离为4-22.（每图正确得1分，每个答案正确得2分）16. （2020·安顺）如图，在44⨯的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为项点分别按下列要求画三角形.（1）在图△中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图△中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；（3）在图△中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数.图△图△图△{解析} 画直角三角形的关键在于利用勾股定理的逆定理，即一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，同时，合理使用格点三角形的特征.（1）显然利用边长为3、4、5即可画出直角三角形；（2）可以借助三边长为222、、的特点画直角三角形；（3）可以借助三边长为22210、、画出直角三角形.本题画法不唯一.{答案}（答案不唯一）DB AC A B C D（1）答图①（2）答图②（3）答图③。

数学：直角三角形和勾股定理

直角三角形与三角函数：在直角三角形中，可以利用三角函数来表示角度和边的关系，如sin(角度) = 对边/斜边。
特殊直角三角形
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等腰直角三角形：两腰相等，角度为45°和45°，面积计算公式为(a^2)/2，其中a为腰长。
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30°-60°-90°直角三角形：有一个30°角和两个60°角，三边之比为1:√3:2，面积计算公式为 (a×√3)/2，其中a为较短的直角边。
桥梁建设：利用勾股定理计算桥墩之间的距离航海定位：通过直角三角形和勾股定理确定船只位置地震监测：利用直角三角形和勾股定理计算地震波传播距离建筑测量：在建筑设计中利用直角三角形和勾股定理进行精确测量
经典例题解析
题目：一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边长。题目：已知一个直角三角形的斜边长为5，一条直角边长为3，求另一条直角边长。题目：一个等腰直角三角形的斜边长为6，求腰长。题目：一个直角三角形的斜边长为√5，一条直角边长为1，求另一条直角边长。
航空航天：在航空航天领域，利用直角三角形和勾股定理计算飞行器的飞行轨迹和姿态，以确保飞行器的安全和稳定运行。
航海：在航海领域，利用勾股定理计算船只的航行方向和速度，以确保船只能够准确到达目的地。
在科学实验中的应用
测量地球半径：利用勾股定理计算地球半径卫星轨道：通过勾股定理计算卫星轨道参数天文观测：利用直角三角形和勾股定理计算天体距离桥梁设计：利用勾股定理验证桥梁结构的稳定性
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30°-45°-90°直角三角形：有一个30°角和两个45°角，三边之比为1:1:√2，面积计算公式为 (a^2)/2，其中a为直角边。
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60°-30°-90°直角三角形：有一个60°角和两个30°角，三边之比为1:√3:2，面积计算公式为 (a×√3)/2，其中a为较短的直角边。

直角三角形与勾股定理

第3讲直角三角形与勾股定理课程预览斜边中线勾股定理勾股定理逆定理模块一：斜边中线斜边中线性质直角三角形斜边中线等于斜边的一半.斜边中线性质逆定理若三角形一边上的中线是这边长度的一半，则这条边所对的内角是直角.例题精讲例1.如图，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，∠A=40°，点M为EC的中点，当D、E分别在AC、AB上时，判断△BMD的形状，并计算∠BMD的度数.例2.如图所示，BD、CE是△ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点，求证：MN⊥DE.例3.如图所示，过矩形ABCD的顶点A作一直线，交BC的延长线于点E，F是AE的中点，连结FC、FD，求证：FD=FC.例4.如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠BAC=78°，过C作CD//AB，连接AD与BC相交于E.若DE=2AC，求∠BAD的度数.例5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 平分∠ABC ，CE 是AB 边上的中线，CF ⊥AB ，求证：CD 平分∠ECF.模块二：勾股定理1.勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，有许多性质是其它三角形所没有的.今天我们就要学习一个关于直角三角形的最重要的性质——勾股定理，首先让我们看一下下面两组图形：如图，下面阴影部分是四个全等的直角三角形，直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，根据上面的图形，我们很容易得出下面的一组等式：123222123,,S S S S c S a S b =+⎧⎪⎨===⎪⎩ 整理这些等式，得到：c 2=a 2+b 2.这就是勾股定理的结论.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.勾股定理有着悠久的历史，早在公元前约三千年前的周朝就有“勾三，股四，弦五”的记载. 勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一.作为平面几何里最基础的定理之一，勾股定理对数学的发展提供了巨大的贡献，因此有数之不尽的后来学者对其进行了研究，勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理，由此可见勾股定理的地位和作用. 下面给出勾股定理另外两种常见证明方法：如下图（左），()22142ABCD S c a b ab ==-+⨯正方形，所以a 2+b 2=c 2；如下图（右），()()2112222ABCDa b a bS ab c+-==⨯+梯形，所以a2+b2=c2.例6.已知△ABC中，∠C=90°，D、E分别是BC、AC上的任意一点.求证：AD2+BE2=AB2+DE2.例7.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AB⊥BC于E，若AB=12，BC=10，AC=8，求DE的长.例8.如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C’上，若AB=6，BC=9，求BF的长.例9.已知a，b，c，d都是正数，a<b，c<d，bc>ad，.模块三：勾股定理逆定理1.勾股定理逆定理如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.即：如果三角形△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形.注：勾股定理与其逆定理的区别是：勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为前提，得到这个三角形的三边长的数量关系；勾股定理的逆定理以“三角形的三边长满足a2+b2=c2”为前提，得到这个三角形是直角三角形.两者的题设和结论正好相反，应用时要注意其区别. 2.勾股数满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.常用勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25；8、15、17；1、1；1、2.例10.如图，正方形ABCD的边长为4，M是AB的中点，且14AN AD，判断△CMN是什么三角形并加以证明.例11.如图，在四边形ABCD中，已知AB=BC=2，CD=3，DA=1，且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是多少？模块四：特殊直角三角形特殊的直角三角形：1.30°、60°直角三角形三边比为：__________；2.等腰直角三角形三边比为：____________.3、顶角为120°等腰三角形三边比为：________________.4、特殊角的三角形常见辅助线添法：例12.在四边形ABCD 中，已知∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求BC 和AD 的长.例13.如图所示，在△ABC 中，∠A=135°，∠B=30°；求ABAC的值.例14.在直角△ABC 中，∠ACB=90°，AC<BC ，若214BC AC AB ⋅=，求∠B 的度数.例15.如图，在△ABC 中，AB=37，AC=58，D 在线段BC 上，且AD=AB.若BD 和DC 的长均为整数，求BC 的长.例16.在△ABC 中，D 是BC 边上任一点，求证：AB 2·DC+AC 2·BD-AD 2·BC=BC ·DC ·BD.思维冲浪1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于F，且AD=DB.若∠B=20°，则∠DFE等于（）A.30°B.40°C.50°D.60°2.如图，将Rt△ABC绕其顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，∠ACB=90°，M、N分别为AB、DE的中点，若MN=4，则AB的长为（）A.42B.4C.22D.83.如图，在△ABC中，AB=AC=7，BC=6，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，D是AB的中点，则△DEF的周长是_______.4.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，M、N分别是AD、EF的中点，求证：MN⊥EF.5.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能是_______.6.如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为________.7.如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是________.8.如图，已知AD=4cm，CD=3cm，AD⊥DC，AB=13cm，BC=12cm，四边形ABCD的面积为_______cm2.9.如图，AD⊥BC，垂足为D.如果CD=1，AD=3，BD=9，那么△ABC是直角三角形吗？请说明理由.10.在四边形ABCD中，AB4，CD=2，∠C=135°，∠B=∠D=90°，四边形ABCD的周长为_______，面积为______.。

什么是直角三角形和勾股定理

什么是直角三角形和勾股定理直角三角形和勾股定理是数学中常见且重要的概念。

本文将介绍直角三角形和勾股定理的基本定义、性质和应用。

一、直角三角形的定义和性质直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

在直角三角形中，直角对边为最长边，其他两条边分别称为直角边。

直角三角形的性质有：1. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边（即斜边的平方）的平方。

2. 直角三角形的两个直角边的长度可以满足勾股定理，即a² + b² =c²。

二、勾股定理的定义和证明勾股定理是描述直角三角形边长关系的定理，也叫毕达哥拉斯定理。

它可以用以下公式表示：a² + b² = c²。

勾股定理的证明有多种方法，其中最常用的是基于几何图形的证明和代数运算的证明。

几何证明是通过构造几何图形来证明勾股定理。

一种常见的几何证明方法是通过在直角三角形的两条直角边上构建正方形，然后利用几何相似性和平行线性质得出结论。

例如，我们可以在直角三角形的直角边上分别构建以a和b为边长的正方形，然后通过几何推理得出这两个正方形加上斜边c所形成的大正方形的面积关系，进而证明a² + b² = c²。

代数证明是通过代数运算来证明勾股定理。

一种常见的代数证明方法是通过使用平面直角坐标系。

假设直角三角形的顶点位于坐标原点，斜边c与x轴正方向的夹角为θ，那么顶点所对的两条直角边便可以表示为a = c*cosθ和b = c*sinθ，代入勾股定理可以得到c²*cos²θ +c²*sin²θ = c²，经过简化后即可得到a² + b² = c²。

三、勾股定理的应用勾股定理在解决实际问题时具有广泛的应用。

1. 测量：勾股定理可以用于测量无法直接测得的距离。

通过建立直角三角形，测量已知直角边的长度，就可以利用勾股定理计算出未知边的长度。

直角三角形与勾股定理

FI直角三角形与勾股定理【知识梳理】一、直角三角形的判定：1、有两个角互余的三角形是直角三角形．2、勾股定理逆定理．二、直角三角形的性质1、直角三角形两锐角互余．2、直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．3、直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2＋b 2＝c 2．由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC 中， (1)若c 2＝a 2＋b 2，则∠C ＝90°； (2)若c 2＜a 2＋b 2，则∠C ＜90°； (3)若c 2＞a 2＋b 2，则∠C ＞90°．勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．5、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2那么这个三角形是直角三角形．6、勾股数的定义：如果三个正整数a 、b 、c 满足等式a 2＋b 2＝c 2，那么这三个正整数a 、b 、c 叫做一组勾股数．简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41．【典例精析】一、勾股定理的证明例1、《几何原本》中关于勾股定理的证明方法：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，分别以a ，b ，c 为边长向外作正方形，求证：a 2＋b 2＝c 2变式练习：CD 是△ABC 中AB 边上的高，且CD 2=AD •DB ，试说明∠ACB=︒90AA CB AO YB D 例2、如图所示，在凸四边形ABCD 中，∠ABC=︒30，∠ADC=︒60，AD=DC ．证明：222BC AB BD +=二、勾股定理的应用特殊直角三角形的三边之比三边之比为三边之比为例3、在△ABC 中，∠B=︒45，∠A=︒105，AC=6，求AB 的长．变式练习：如图，已知∠XOY=︒60，M 是∠XOY 内的一点，它到边OX 的距离MA=2，到边OY 的距离MB=11，求OM 的长．DA BBC 例4、如图所示，P 为△ABC 边BC 上一点，且PB PC 2=，已知∠ABC=︒45，∠APC=︒60，求∠ACB 的度数例5、如图，△ABC 三边长分别是BC=17，CA=18，AB=19，过△ABC 内的点P 向△ABC 的三条边分别作垂线PD 、PE 、PF(D 、E 、F 为垂足)，且BD+CE+AF=27，求BD+BF 的长．三、勾股定理的逆定理例6、在△ABC 中，a BC b AC c AB ===，，，设c 为最长边，当a 2＋b 2＝c 2时，△ABC 是直角三角形；当a 2＋b 2≠c 2时，利用代数式a 2＋b 2和c 2的大小关系，探究△ABC 的形状（按角分类）．（1）当△ABC 三边分别为6、8、9时△ABC 为三角形；当△ABC 三边分别为6、8、11时△ABC 为三角形.（2）猜想：当a 2＋b 2 c 2时，△ABC 为锐角三角形；当a 2＋b 2 c 2时，△ABC 为钝角三角形．（3）判断当24==a b ，时，三角形△ABC 的形状，并求出对应的c 的取值范围．M CD A B B'变式练习：已知△ABC 中，a BC b AC c AB ===，，，BC 边的高为a h ，b h AC 边的高为，b a h b h a ≤≤，且有求△ABC 的三个内角度数．四、用勾股定理建立方程，用方程思想解决实际问题例7、如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，B ’为CD 边上的点，B ’C=3，将纸片沿某一条直线折叠，使点B 落在B ’处，点A 的对应点为A ’，折痕分别与AD 、BC 边交于点M 、N ，求BN 和AM 的长．变式练习1、如图，矩形中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ， PE 与CD 相交于点O ，且OE =OD ，求AP 的长为.五、综合运用例8、已知△ABC 中，AC AB例9、在直线l 上摆放着三个正方形，（1）如图1，已知水平放置的两个正方形的边长依次是a ，b ，斜着放置的正方形的面积为S= ，两个直角三角形的面积之和为；（均用a ，b 表示）（2）如图2，小正方形面积S 1=1，斜着放置的正方形的面积S=4，求图中两个钝角三角形的面积1m 和2m ，并给出图中四个三角形的面积关系；（3）如图3是由五个正方形所搭成的平面图，T 与S 分别表示所在的三角形与正方形的面积，试写出T 与S 的关系式，并说明理由．例10、求9)12(422+-++a a 的最小值B C DAP CD A1997过关测试1．如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACD'重合，若AP ＝3，则PD 的长等于．2．在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D ＝90°，BC=2，CD=3，则AB=3．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=13，边BC 上的中线AD=6，则BC4．如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997，那么另一条直角边的长为．5．在锐角△ABC 中，已知某两边a=1，b=3，那么第三边的变化范围是CDA6．如图，∠ACB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，BC=4，CD=23，求AC 的长．7．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD ，求证：BD 2=AB 2+BC 2．BDA。

直角三角形的勾股定理

直角三角形的勾股定理直角三角形是指其中有一个内角为90度的三角形。

直角三角形的最基本定理就是勾股定理，也叫毕达哥拉斯定理。

根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和。

以直角三角形的斜边为c，直角边为a和b，可以用数学表达式表示勾股定理为：c² = a² + b²应用勾股定理时，我们可以根据已知条件求解直角三角形的未知边长或角度。

下面，将介绍一些常见的应用实例。

1. 已知两边求斜边如果已知直角三角形的两条直角边的长度，我们可以利用勾股定理求解斜边的长度。

例如，已知直角三角形的直角边a为3，直角边b为4，求斜边c的长度。

根据勾股定理，c² = a² + b²c² = 3² + 4²c² = 9 + 16c² = 25c = √25c = 5所以，当直角三角形的直角边为3和4时，斜边的长度为5。

2. 已知斜边和一边求另一边如果已知直角三角形的斜边和一条直角边的长度，我们可以利用勾股定理求解另一条直角边的长度。

例如，已知直角三角形的斜边c为5，直角边a为3，求直角边b的长度。

根据勾股定理，c² = a² + b²5² = 3² + b²25 = 9 + b²b² = 25 - 9b² = 16b = √16b = 4所以，当直角三角形的斜边为5，直角边为3时，另一条直角边的长度为4。

3. 判断三角形是否为直角三角形利用勾股定理，我们可以通过已知三条边的长度判断一个三角形是否为直角三角形。

如果满足勾股定理的条件，即等式c²=a²+b²成立，那么这个三角形就是直角三角形。

例如，已知一个三角形的三条边分别为6、8、10，我们可以用勾股定理来判断这个三角形是否为直角三角形。

八年级直角三角形与勾股定理

第一章勾股定理知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。

（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。

（3）理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2, a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题；4．利用勾股定理，作出长为的线段。

在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。

熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。

经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD的面积。

类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

直角三角形和勾股定理

直角三角形和勾股定理直角三角形是数学中一个重要的概念，它与勾股定理有着密切的关系。

下面将对直角三角形和勾股定理进行详细的介绍和论述。

一、直角三角形的定义直角三角形是由一个直角和两个锐角组成的三角形。

直角指的是一个角度为90度的角。

在直角三角形中，直角位于三角形的底边上。

二、勾股定理的表述勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。

以三条边分别为a，b，c，直角边长度为c，非直角边的长度为a和b，则有公式：```c^2 = a^2 + b^2```三、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯定理的证明。

该证明可以用几何方法、代数方法和三角方法进行。

1. 几何证明：通过构造三个相似三角形和应用勾股定理的变形，可以得到勾股定理的几何证明。

2. 代数证明：通过应用平方差公式和对角线平方和的关系，可以得到勾股定理的代数证明。

3. 三角证明：通过应用正弦定理、余弦定理和正切定理等三角函数的关系，可以得到勾股定理的三角证明。

四、勾股定理的应用勾股定理是应用广泛的数学定理之一，具有重要的实际意义。

它在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。

1. 测量直角三角形的边长：当已知直角三角形中的两条边长时，可以通过勾股定理计算出第三条边的长度。

2. 判断三条边是否能构成直角三角形：根据勾股定理，如果三条边的关系符合勾股定理的条件，则可以判断这三条边能够构成直角三角形。

3. 解决实际问题：勾股定理可以用于计算实际问题中的距离、速度、力的大小等。

五、勾股定理的发展历史勾股定理最早出现在古代的各国数学文化中，但公认的最早发现和使用勾股定理的是古希腊的毕达哥拉斯学派。

毕达哥拉斯学派将勾股定理广泛应用于几何学和数学推理中。

在中国，勾股定理被称为“勾股数学”，早在公元前11世纪的商代时期就已经有了记录。

中国古代的数学家通过勾股定理解决了很多问题，并在勾股定理的基础上发展了许多数学定理和方法。