【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 3.3.1 基本不等式课时训练 北师大版必修5
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 3.2.1 一元二次不等式的解法课时训练 北师大版必修5
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.2.1 一元二次不等式的解法课时训练北师大版必修5一、选择题1．不等式5－x2＞4x的解集为( )A．(－5，1)B．(－1，5)C．(－∞，－5)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(5，＋∞)【解析】不等式可化为x2＋4x－5＜0，y＝x2＋4x－5的开口方向向上，又x2＋4x－5＝0的两根为－5，1.由图像知原不等式的解集为(－5，1)．【答案】A2．设集合S＝{x||x|<5}，T＝{x|x2＋4x－21<0}，则S∩T＝( )A．{x|－7<x<－5} B．{x|3<x<5}C．{x|－5<x<3} D．{x|－7<x<5}【解析】S＝{x|－5<x<5}，T＝{x|－7<x<3}，∴S∩T＝{x|－5<x<3}．【答案】C3．(2013·西安高二检测)若全集U＝R，集合A＝{x|x2＋3x－4<0}，B＝{x|y＝log3(x ＋2)}，则∁U(A∩B)＝( )A．{x|x≤－4或x≥1} B．{x|x<－4或x>1}C．{x|x<－2或x>1} D．{x|x≤－2或x≥1}【解析】由题意可得A＝{x|－4<x<1}，B＝{x|x>－2}，所以A∩B＝{x|－2<x<1}，所以∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或x≥1}．【答案】D4．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围是( )A．(0，2) B．(－2，1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1，2)【解析】由题意知x⊙(x－2)＝x2＋x－2，∴x2＋x－2<0解得－2<x<1.【答案】 B5．(2013·临沂高二检测)f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上满足f (x )＜0，则a 的取值范围是( )A ．a ≤0B ．a ＜－4C ．－4＜a ＜0D ．－4＜a ≤0【解析】 当a ＝0时，f (x )＝－1＜0成立．当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0，即⎩⎨⎧a ＜0，a 2＋4a ＜0，解得－4＜a ＜0，综上可知：－4＜a ≤0时，在R 上f (x )＜0. 【答案】 D 二、填空题6．{x |－x 2－x ＋2>0}∩Z ＝________．【解析】 {x |－x 2－x ＋2>0}∩Z ＝{x |－2<x <1}∩Z ＝{－1，0}． 【答案】 {－1，0}7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表；【解析】 法一 二次函数的两个零点是x 1＝－2，x 2＝3，又根据所给数值，函数值随着x 的增大，先减后增，故开口向上，如图所示，故不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是{x |x >3或x <－2}．法二 由表中数据可求得a ＝1，b ＝－1，c ＝－6，代入原不等式得x 2－x －6>0，所以可解得解集为{x |x >3或x <－2}．【答案】 {x |>3或x <－2}8．(2013·福州高二检测)若2x 2＋1≤(14)x －2，则函数y ＝2x的值域是________．【解析】 ∵2x 2＋1≤(14)x －2＝2－2x ＋4，∴x 2＋1≤－2x ＋4，即x 2＋2x －3≤0.解得－3≤x ≤1，∴18≤y ≤2，∴函数y ＝2x的值域是[18，2]．【答案】 [18，2]三、解答题 9．解下列不等式： (1)2x 2－3x －2>0； (2)－6x 2－x ＋2≥0.【解】 (1)∵Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25>0， ∴方程2x 2－3x －2＝0有两个不同实根，分别是－12，2，∴原不等式的解集为{x |x >2，或x <－12}．(2)原不等式可化为6x 2＋x －2≤0， ∵Δ＝12－4×6×(－2)＝49>0，∴方程6x 2＋x －2＝0有两个不同实根，分别是－23，12，∴原不等式的解集为{x |－23≤x ≤12}．10．解关于x 的不等式x 2－2mx ＋m ＋1>0.【解】 不等式对应方程的判别式Δ＝(－2m )2－4(m ＋1)＝4(m 2－m －1)． (1)当Δ>0，即m >1＋52或m <1－52时，由于方程x 2－2mx ＋m ＋1＝0的根是x ＝m ±m 2－m －1， 所以不等式的解集是{x |x <m －m 2－m －1或x >m ＋m 2－m －1}； (2)当Δ＝0，即m ＝1±52时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠m }；(3)当Δ<0，即1－52<m <1＋52时，不等式的解集为R .11．已知不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a 、b 的值；(2)解关于x 的不等式x 2－b (a ＋c )x ＋4c >0.【解】 (1)由题意知，a >0且1，b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的根， ∴a ＝1.又1·b ＝2a，∴b ＝2.(2)不等式可化为x 2－2(c ＋1)x ＋4c >0，即(x－2c)(x－2)>0，当2c>2，即c>1时，不等式的解集为{x|x<2或x>2c}；当2c＝2，即c＝1时，不等式的解集为{x|x≠2}；当2c<2，即c<1时，不等式的解集为{x|x>2或x<2c}．综上：当c>1时，不等式的解集为{x|x<2或x>2c}；当c＝1时，不等式的解集为{x|x≠2}；当c<1时，不等式的解集为{x|x>2或x<2c}．。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 3.3 第1课时 指数函数的概念课时训练 北师大版必修1
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.3 第1课时指数函数的概念课时训练 北师大版必修1一、选择题1．下列函数一定是指数函数的是( ) A ．y ＝5x ＋1B ．y ＝x 4C ．y ＝3－xD ．y ＝2·3x【解析】 y ＝5x ＋1＝5·5x与y ＝2·3x都不符合指数函数的定义，y ＝x 4是幂函数．【答案】 C 2．函数y ＝(13)x －1的值域是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1]【解析】 由x －1≥0且y ＝(13)x 是减函数，知0<y ＝(13)x －1≤(13)0＝1. 【答案】 B3．已知a ＝30.2，b ＝53，c ＝3－0.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a【解析】 因为b ＝53>a ＝30.2>1，而0<c ＝3－0.2<1，所以b >a >c . 【答案】 B4．(2013·贵阳高一检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，3x，x >0，则f (f (－1))＝( )A ．2 B. 3 C ．0D.12【解析】 f (－1)＝2－1＝12，f (f (－1)＝f (12)＝＝ 3.【答案】 B5．不等式2x >(12)x －x 2的解集为( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．(0,2)D ．[0,2]【解析】且y ＝2x在R 上单调递增，∴原不等式转化为x >x 2－x 即x 2－2x <0， ∴解集为(0,2)． 【答案】 C 二、填空题6．已知指数函数的图像过点(－1,2)，则f (－2)＝____.【解析】 设指数函数的解析式为y ＝a x (a >0且a ≠1)，将(－1,2)代入得2＝a －1， ∴a ＝12，∴y ＝(12)x ，∴f (－2)＝(12)－2＝4.【答案】 47．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝2x－2的值域为________． 【解析】 ∵－1≤x ≤1，∴12＝2－1≤2x ≤21＝2，∴－32≤2x－2≤0.【答案】 [－32，0]8．函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．【解析】 若a >1，则f (x )在[1,2]上递增，f (x )max ＝f (2)＝a 2，f (x )min ＝f (1)＝a ，由题意a 2－a ＝a 2，∴a ＝32或a ＝0(舍去)．若0<a <1，则f (x )在[1,2]上递减，f (x )max ＝f (1)＝a ，f (x )min ＝f (2)＝a 2，∴a －a 2＝a 2，∴a ＝12或a ＝0(舍去)．【答案】 12或32三、解答题 9．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图像经过点(2，12)，其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．【解】 (1)函数图像过点(2，12)，所以a2－1＝12，则a ＝12. (2)f (x )＝(12)x －1(x ≥0)，由x ≥0，得x －1≥－1， 于是0<(12)x －1≤(12)－1＝2.所以，所求的函数值域为(0,2]．10．如果2×22x>(12)1－x ，求x 的取值范围．【解】 ∵2×22x>(12)1－x ，∴22x ＋1>2x －1，∴2x ＋1>x －1，∴x >－2.即x ∈(－2，＋∞)． 11．求函数y ＝(14)x ＋(12)x＋1的值域．【解】 令t ＝(12)x ，t ∈(0，＋∞)，则原函数可化为y ＝t 2＋t ＋1＝(t ＋12)2＋34.因为函数y ＝(t ＋12)2＋34在t ∈(0，＋∞)上是增函数，所以y >1，即原函数的值域是(1，＋∞).。
2021学年高中数学第三章不等式3.3.1基本不等式课后习题含解析北师大版必修5.docx
§3基本不等式3.1基本不等式课后篇巩固探究A组1.已知x,y∈R,下列不等关系正确的是()A.x2+y2≥2|xy|B.x2+y2≤2|xy|C.x2+y2>2|xy|D.x2+y2<2|xy|解析:x2+y2=|x|2+|y|2≥2|x||y|=2|xy|.当且仅当|x|=|y|时等号成立.答案:A2.若x>0,y>0,且√2xy≥x+2y2,则必有()A.2x=yB.x=2yC.x=yD.x=4y解析:因为x>0,y>0,所以x+2y2≥√x·2y,即x+2y2≥√2xy.又√2xy≥x+2y2,所以必有√2xy=x+2y2,所以x=2y.答案:B3.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么()A.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一B.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一C.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一D.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一解析:因为a+b=cd=4,a+b≥2√ab,所以√ab≤2,所以ab≤4,当且仅当a=b=2时,等号成立.又cd≤(c+d)24,所以(c+d)24≥4,所以c+d≥4,当且仅当c=d=2时,等号成立.所以ab≤c+d,当且仅当a=b=c=d=2时,等号成立,故选A.答案:A4.已知0<a<b,且a+b=1,则下列不等式中,正确的是()A.log2a>0B.2a-b<12C.2ab+ba<12D.log2a+log2b<-2解析:因为0<a<b,且a+b=1,所以ab<(a+b2)2=14,所以log2a+log2b=log2(ab)<log214=-2.答案:D5.若a>0,b>0,则√a 2+b 22与a+b 2的大小关系是 . 解析:因为a 2+b 22=a 2+b 2+a 2+b 24≥a 2+b 2+2ab4=(a+b )24,所以√a 2+b 22≥a+b 2,当且仅当a=b>0时,等号成立. 答案:√a 2+b 22≥a+b 26.设a>0,b>0,给出下列不等式: (1)(a +1a )(b +1b )≥4; (2)(a+b )(1a +1b )≥4;(3)a 2+9>6a ; (4)a 2+1+1a 2+1>2.其中正确的是 .解析:因为a+1a≥2√a ·1a=2,b+1b≥2√b ·1b=2,所以(a +1a )(b +1b)≥4,当且仅当a=1,b=1时,等号成立,所以(1)正确;因为(a+b )(1a +1b )=1+1+ba +ab ≥2+2·√b a ·ab =4,当且仅当a=b>0时,等号成立,所以(2)正确; 因为a 2+9≥22·9=6a ,当且仅当a=3时,等号成立,所以当a=3时,a 2+9=6a ,所以(3)不正确; 因为a 2+1+1a 2+1≥2√(a 2+1)·1a 2+1=2,当且仅当a 2+1=1a 2+1,即a=0时,等号成立,又a>0,所以等号不成立,所以(4)正确. 答案:(1)(2)(4)7.若a ,b 为正实数,a ≠b ,x ,y ∈(0,+∞),则a 2x +b 2y≥(a+b )2x+y,当且仅当a x =by 时取等号,利用以上结论,函数f (x )=2x +91-2x (x ∈(0,12))取得最小值时,x 的值为 . 解析:由题意可知f (x )=42x +91-2x ≥(2+3)22x+(1-2x ),当且仅当22x =31-2x 时,等号成立,解得x=15. 答案:158.若实数x ,y 满足x 2+y 2+xy=1,求x+y 的最大值. 解由x 2+y 2+xy=1可得(x+y )2=xy+1,又xy ≤(x+y 2)2,所以(x+y )2≤(x+y 2)2+1,整理得34(x+y )2≤1,当且仅当x=y 时取等号.所以x+y∈[-2√33,2√33].所以x+y的最大值为2√33.9.导学号33194061已知a>0,b>0,a+b=1,求证:√a+12+√b+12≤2.证明因为√a+12=√1·(a+12)≤1+a+122=34+a2,当且仅当a=12时取等号,同理√b+12≤34+b2,当且仅当b=12时取等号.所以√a+12+√b+12≤34+a2+34+b2=32+12(a+b)=32+12=2,当且仅当a=b=12时取等号.所以√a+12+√b+12≤2.B组1.已知m>0,n>0,α=m+1m ,β=n+1n,m,n的等差中项为1,则α+β的最小值为()A.3B.4C.5D.6解析:由已知得,m+n=2,所以α+β=m+1m +n+1n=(m+n)+m+nmn=2+2mn.因为m>0,n>0,所以mn≤(m+n2)2=1.所以α+β≥2+21=4.当且仅当m=n=1时,等号成立.所以α+β的最小值为4.答案:B2.给出下列四个命题:①若a<b,则a2<b2;②若a≥b>-1,则a1+a ≥b1+b;③若正整数m和n满足m<n,则√m(n-m)≤n2;④若x>0,且x≠1,则ln x+1lnx≥2,其中真命题的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④解析:当a=-2,b=1时,a<b,但a2>b2,故①不成立;对于②,a1+a −b1+b=a(1+b)-b(1+a)(1+a)(1+b)=a-b(1+a)(1+b),因为a≥b>-1,所以a1+a−b1+b≥0,故②正确;对于③,√m(n-m)≤m+n-m2=n2(m<n,且m,n为正整数),当且仅当m=n-m,即m=n2时,等号成立,故③正确;对于④,当0<x<1时,ln x<0,故④不成立.故选B.答案:B3.在算式4×□+△=30的□、△中,分别填入一个正整数使算式成立,并使填入的正整数的倒数之和最小,则这两个正整数构成的数对(□,△)应为()。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 3.2 数学证明课时训练 北师大版选修1-2
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.2 数学证明课时训练北师大版选修1-2一、选择题1．下列说法正确的有( )①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理的一般模式是“三段论”形式；③演绎推理得到的结论一定正确；④演绎推理得到的结论是否正确与大前提、小前提和推理形式有关．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】由演绎推理的特点可知①②④是正确的．【答案】 C2．“π是无限不循环小数，∴π是无理数”．以上推理的大前提是( )A．实数分为有理数和无理数B．π不是有理数C．无限不循环小数都是无理数D．有理数都是有限循环小数【解析】演绎推理的结论是蕴涵于前提之中的特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．本题中由小前提及结论知选C.【答案】 C3．“指数函数y＝a x(a>1)是增函数，y＝xα(α>1)是指数函数，所以y＝xα(α>1)是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的是( )A．推理完全正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．推理形式不正确【解析】y＝xα(α>1)并非指数函数，犯偷换概念的错误，故选C.【答案】 C4．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A．两直线平行，同位角相等，如果α和β是两条平行直的同位角，那么α＝βB．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．某校高二共10个班，一班有51人，二班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D．在数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，a3＝3，由此归纳出a n＝n【解析】由三段论的推理原理可知．【答案】 A5．设x，y，z是空间中的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的个数为( )①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线A．2 B．3C．4 D．5【解析】只有①③④能推出x∥y.【答案】 B二、填空题6．在△ABC中，∠A＝105°，∠C＝45°，AB＝ 2.求得AC＝1时其大前提为________．【解析】在△ABC中，ABsin C＝ACsin B，(大前提)在△ABC中，∠A＝105°，∠C＝45°，AB＝2，(小前提)∴2sin 45°＝AC－105°－，∴AC＝1.(结论)【答案】ABsin C＝ACsin B图3－2－17．如图3－2－1，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD.证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC>BC，①所以AD>BD，②于是∠ACD>∠BCD. ③则在上面证明的过程中错误的是____．(只填序号)【解析】由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一个三角形中，大边对大角”．而AD与BD不在同一个三角形中，故③错误．【答案】 ③8．已知a ＝π2，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系是________．【解析】 ∵a ＝π2＞1，∴f (x )＝a x 是增函数， 又∵f (m )＞f (n )，∴m ＞n .【答案】 m ＞n三、解答题9．将下列演绎推理写成三段论的形式：(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 °C，所以在一个标准大气压下把水加热到100 °C 时，水会沸腾；(2)两直线平行，同位角相等，如果∠A 与∠B 是两平行直线被第三条直线所截而成的同位角，则∠A ＝∠B .【解】 大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100 °C，小前提：在一个标准大气压下把水加热到100 °C 时，结论：水会沸腾．(2)大前提：两条直线平行，同位角相等，小前提：∠A 与∠B 是两平行直线被第三条直线所截而成的同位角，结论：∠A ＝∠B .10．设a ，b 是实数，求证：a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )．【证明】 a 2＋b 2≥2ab ，① b 2＋3≥23b ，②3＋a 2≥23a ，③①＋②＋③得2(a 2＋b 2＋3)≥2(ab ＋3b ＋3a )，∴a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )．11．设函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0.(1)试判断函数y ＝f (x )的奇偶性；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2 005,2 005]上解的个数．【解】 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧ f－x ＝f ＋x ，f －x ＝f ＋x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f x ＝f －x ，f x ＝f －x ，∴f (4－x )＝f (14－x )，∴f (x )＝f (x ＋10)，从而知函数y ＝f (x )的周期为T ＝10.又f (3)＝f (1)＝0，而f (－3)＝f (7)≠0，故函数y ＝f (x )是非奇非偶函数．(2)由(1)知f (11)＝f (13)＝f (－7)＝f (－9)＝0，故f (x )＝0在[0,10]和[－10,0]上均有两个解，从而可知方程f (x )＝0在[0,2 005]上有202个解，在[－2 005,0]上有200个解，则方程f (x )＝0在[－2 005,2 005]上有402个解.。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 第二章 解析几何初步课时训练 北师大版必修2
第二章解析几何初步§1直线与直线的方程1．1 直线的倾斜角和斜率(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念．(2)掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．过程与方法通过一系列直线的不同位置的学习，培养学生的探究精神．3．情感、态度与价值观通过几何问题用代数问题来处理的思维，培养学生的数形结合思想．●重点难点重点：倾斜角、斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式．难点：直线倾斜角与它的斜率之间的关系．直线的倾斜角、斜率都是用来刻画直线倾斜程度的，它们本质上是一致的，倾斜角α与斜率k之间存在k＝tan α(α≠90°)的关系，可以通过改变直线倾斜角来进一步认识斜率，从而化解难点．(教师用书独具)●教学建议教学时结合具体图形，学生容易了解确定直线位置的几何要素可以是一个点与直线方向，观察教材上的图2－1，2－2要确定直线条中某一条直线还需要给出一个角，即引出倾斜角，进一步引出斜率，进而探究斜率与倾斜角的关系．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，认识直线的斜率和倾斜角⇒通过例1及变式训练，使学生掌握直线倾斜角的求法⇒通过例2及互动探究，使学生掌握直线的斜率的求法⇒通过例3及变式训练，使学生掌握直线的倾斜角和斜率的综合问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈校正【问题导思】1．已知直线上一个点，能确定一条直线吗？ 2．当直线的方向确定后，直线的位置确定吗？3．直线l 1，l 2分别是平面直角坐标系中一、三象限角平分线和二、四象限角平分线，它们的倾斜程度一样吗？ 【提示】 1.不能.2.不确定.3.不一样． 1．直线的确定在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向． 2．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角，通常用α表示．(2)范围：0°≤α<180°. 3．直线的斜率直线倾斜角α的正切值叫作直线的斜率，即k ＝{ tan α，α≠90°，不存在，α＝90°. 4．倾斜角、斜率及直线特点之间的联系5.经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.设直线l l 1，则直线l 1的倾斜角为( ) A ．α＋45° B ．α－135° C ．135°－αD ．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135° 【思路探究】 倾斜角的取值范围0°≤α＜135°α＋45°135°≤α＜180°α－135°【自主解答】 由倾斜角的范围知只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角才是α＋45°； 而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时， l 1的倾斜角为α－135°，如图所示，故选D.【答案】 D1．研究直线的倾斜角，必须明确倾斜角α的范围是0°≤α＜180°，否则将造成角度范围的扩大，产生不符合范围的角度．如对α不分类，选项A 将出现大于等于180°的角；选项B 、C 将出现小于0°的角．2．此类问题应紧扣倾斜角的范围和倾斜角概念中的三个关键条件：①直线向上的方向；②x 轴的正方向；③逆时针方向旋转．有时利用数形结合的思想方法求解．图2－1－1中α是直线l 的倾斜角吗？试用α表示图中各条直线l 的倾斜角．图2－1－1【解】 设直线l 的倾斜角为β，图①中α是直线l 的倾斜角，β＝α；图②中α不是直线l 的倾斜角，β＝180°－α； 图③中α不是直线l 的倾斜角，β＝α；图④中α不是直线l 的倾斜角，β＝90°＋α.求直线的斜率(1)直线过两点A (1,3)、(2)过原点且斜率为1的直线l 绕原点逆时针方向旋转90°到达l ′位置，求直线l ′的倾斜率． 【思路探究】 (1)利用过两点的直线的斜率公式求得． (2)利用斜率的定义求．【自主解答】 (1)因为两点的横坐标不相等，所以直线的斜率存在，根据直线斜率公式得k ＝7－32－1＝4.(2)因为直线l 的斜率k ＝1，所以直线l 的倾斜角为45°，所以直线l ′的倾斜角为45°＋90°＝135°，所以直线l ′的斜率k ′＝tan 135°＝－1.1．熟记斜率公式是解答本题的关键．2．求直线的斜率有两种思路一是公式，二是定义．当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x 轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在．将本题中的两点改为(1,1)，(－1，－2)其余不变．【解】 k ＝－2－1－1－1＝32.直线的倾斜角、斜率的综合应用已知点A (2，－ 【思路探究】 欲使直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率与直线PA ，PB 的斜率有必然的关系，通过画图可知．【自主解答】 设直线l 的斜率为k ，当l 与线段AB 相交时，k PB ≤k ≤k PA ，又∵k PA ＝1＋33－2＝4，k PB ＝1＋23＋3＝12，∴12≤k ≤4， 即直线l 的斜率的取值范围为[12，4]．1．借助于画图是解答本题的关键．2．研究直线的倾斜角与斜率间的关系，在求解过程中通常是先依据题意画出草图，然后结合斜率的几何意义，利用数形结合的思想，找出斜率变化的分界点，最后依据斜率与倾斜角的关系得出明确的结论．若三点A (2，－3)，B (4,3)，C (5，k )在同一直线上，则实数k ＝________.【解析】 k AB ＝3－－4－2＝3，k BC ＝k －35－4＝k －3，∵A 、B 、C 共线，∴k AB ＝k BC ，∴k －3＝3，∴k ＝6. 【答案】 6忽视斜率不存在的情况致误该直线l 过点A (7,12)，B (m,13)，求直线l 的斜率及倾斜角α的取值范围．【错解】 k ＝13－12m －7＝1m －7.当m ＞7，即1m －7＞0时，k ＞0,0°＜α＜90°；当m ＜7，即1m －7＜0时，k ＜0,90°＜α＜180°.【错因分析】 本题做错的原因是没有搞清斜率k 与倾斜角α之间的关系．任意直线的倾斜角都存在，但当α＝90°时，直线的斜率是不存在的；反之，当直线的斜率不存在时，直线的倾斜角是90°.错解忽视了m ＝7时，斜率不存在的情况．【防范措施】 利用斜率与倾斜角的关系解题时，若倾斜角的范围不确定，一定要考虑倾斜角α＝90°和α≠90°两种情况． 【正解】 当m ＝7时，直线与x 轴垂直，斜率不存在． 倾斜角α＝90°.当m ≠7时，k ＝13－12m －7＝1m －7.当m ＞7时，即1m －7＞0时，k ＞0,0°＜α＜90°.当m ＜7，即1m －7＜0时，k ＜0,90°＜α＜180°.1．直线的斜率与倾斜角是刻画直线位置状态的两种基本量，决定了这条直线相对于x 轴的倾斜程度．2．倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率，即直线的倾斜角不为90°时斜率公式才成立． 3．斜率公式与两点的顺序无关，它是以后研究直线方程的各种形式的基础，须熟记并会灵活运用．4．利用斜率相等，是解决三点共线问题的有效途径，但要确保直线的斜率存在.1．已知直线l 的斜率不存在，则直线l 的倾斜角为( ) A ．45° B ．180° C ．0° D．90°【解析】 倾斜角为90°的直线斜率不存在． 【答案】 D2．过M (－2，m )，N (m,4)的直线的倾斜角为90°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．4 C ．2 D ．－4【解析】 由倾斜角为90°得－2＝m ， 即m ＝－2. 【答案】 A3．过两点(23，3)和(63，－3)的直线的斜率为________．【解析】 k ＝3＋323－63＝－12.【答案】 －124．已知A (x,0)和B (2，3)，且直线AB 的倾斜角为60°，求直线AB 的斜率和x 的值． 【解】 ∵AB 的倾斜角为60°， ∴k AB ＝tan 60°＝3，∴3－02－x＝3，∴x ＝1.一、选择题1．若直线l 的倾斜角为120°，则这条直线的斜率为( )A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33【解析】 k ＝tan 120°＝－ 3.【答案】 B2．(2013·泉州高一检测)过点M (－2，a )，N (a,4)的直线的斜率为－12，则a 等于( )A ．－8B ．10C ．2D ．4【解析】 ∵k ＝4－a a ＋2＝－12，∴a ＝10.【答案】 B3．若A (－2,3)，B (3，－2)，C (12，m )三点在同一条直线上，则m 的值为( )A ．－2B ．2C ．－12 D.12【解析】 ∵A ，B ，C 三点在同一条直线上， ∴k AB ＝k AC ，即－2－33－－＝m －312－－， 解得m ＝12.【答案】 D4．直线l 过原点，且不过第三象限，则l 的倾斜角α的取值集合是( ) A ．{α|0°≤α<180°} B ．{α|90°≤α<180°}C ．{α|90°≤α<180°或α＝0°}D ．{α|90°≤α≤135°}【解析】 不过第三象限，说明倾斜角不能取0°＜α＜90°，即可取0°或90°≤α＜180°. 【答案】 C5．(2013·西安高一检测)将直线l 向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为( ) A.54 B.45 C ．－54 D ．－45【解析】 设点P (a ，b )是直线l 上的任意一点，当直线l 按题中要求平移后，点P 也做同样的平移，平移后的坐标为(a ＋4，b －5)，由题意知这两点都在直线l 上，∴直线l 的斜率为k ＝b －5－b a ＋4－a ＝－54.【答案】 C 二、填空题6．直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)两点，(m ∈R )．那么直线l 的倾斜角的取值范围为________．【解析】 k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1，∴倾斜角0°≤α≤45°或90°＜α＜180°.【答案】 0°≤α≤45°或90°＜α＜180°7．已知三点A (2，－3)，B (4,3)，C (5，k2)在同一直线上，则k ＝________.【解析】 k AB ＝3－－4－2＝3，k BC ＝k2－35－4＝k2－3.∵A 、B 、C 在同一直线上，∴k AB ＝k BC ，即3＝k2－3，解得k ＝12.【答案】 128．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于________．【解析】 ∵A 、B 、C 三点共线，∴0－2a －2＝b －20－2，∴4＝(a －2)(b －2)，∴ab －2(a ＋b )＝0，∵ab ≠0，∴1－2(1a ＋1b )＝0，∴1a ＋1b ＝12.【答案】 12三、解答题9．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角． (1)A (0，－1)，B (2,0)； (2)P (5，－4)，Q (2,3)； (3)M (3，－4)，N (3，－2)．【解】 (1)k AB ＝－1－00－2＝12，∵k AB ＞0，∴直线AB 的倾斜角是锐角．(2)k PQ ＝－4－35－2＝－73.∵k PQ ＜0，∴直线PQ 的倾斜角是钝角． (3)∵x M ＝x N ＝3.∴直线MN 的斜率不存在，其倾斜角为90°.10．(2013·郑州高一检测)已知直线l 的倾斜角为α，且tan α＝±1，点P 1(2，y 1)、P 2(x 2，－3)、P 3(4,2)均在直线l 上，求y 1、x 2的值．【解】 当tan α＝1时，－3－2x 2－4＝1，∴x 2＝－1，y 1－22－4＝1，∴y 1＝0.当tan α＝－1时，－3－2x 2－4＝－1，∴x 2＝9， y 1－22－4＝－1，∴y 1＝4. 11．已知点P (x ，y )在以点A (1,1)，B (3,1)，C (－1,6)为顶点的三角形内部及边界上运动，求k OP (O 为坐标原点)的取值范围．【解】 如图所示，设直线OB 、OC 的倾斜角分别为α1、α2，斜率分别为k 1、k 2，则直线OP 的倾斜角α满足α1≤α≤α2. 又∵α2＞90°，∴直线OP 的斜率k OP 满足k OP ≥k 1或k OP ≤k 2.又k 1＝13，k 2＝－6，∴k OP ≥13或k OP ≤－6.(教师用书独具)已知坐标平面内三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)． (1)求直线AB 、BC 、AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 的斜率k 的变化范围． 【思路探究】 (1)解题时可利用斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2)可采用数形结合法来解． 【自主解答】 (1)由斜率公式得k AB ＝1－11－－＝0，k BC ＝3＋1－12－1＝ 3.k AC ＝3＋1－12－－＝33.∵tan 0°＝0，∴AB 的倾斜角为0°. tan 60°＝3，∴BC 的倾斜角为60°.tan 30°＝33，∴AC 的倾斜角为30°.(2)如图，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围[33，3]．求解斜率的取值范围是要抓住以下几点：(1)倾斜角的取值范围；(2)倾斜角和斜率间的关系；(3)数形结合．求函数y ＝3x －1x ＋2(x ≥0)的值域．【解】 y ＝3x －1x －－，可看成点A (－2，1)与函数y ＝3x 上动点M (x ，3x )连线的斜率(如图所示)．由函数y ＝3x (x ≥0)的图像易知k AM ≥－12，又因为3x －1x ＋2＜3x x＝3.所以已知函数的值域为[－12，3)．1．2 直线的方程第1课时直线方程的点斜式(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的点斜式．(2)了解斜截式与一次函数的关系．2．过程与方法通过直线点斜式方程的学习，培养学生的探索精神．3．情感、态度与价值观培养学生用代数思维解决几何问题，提高数学的学习兴趣．●重点难点重点：直线方程的点斜式．难点：直线方程的应用．给定点P(x0，y0)和斜率k后，直线就唯一确定了，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x，y)满足的关系式．(教师用书独具)●教学建议本节是在学习了直线的倾斜角和斜率之后，进行直线方程的学习，因此本节课宜采用探究式课堂模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主为前提，两点斜率公式为基本探究问题，引出直线方程的点斜式，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展、提高．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答问题，认识掌握直线方程的点斜式⇒通过例1及互动探究，使学生掌握利用点斜式求直线方程⇒通过例2及变式训练，使学生掌握利用斜截式求直线方程⇒通过例3及变式训练，使学生点斜式、斜截式的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标巩固所学知识并进行反馈、矫正【问题导思】若直线经过点P (x 0，y 0)，且斜率为k ，则直线上任意一点的坐标满足什么关系？ 【提示】 y －y 0＝k (x －x 0)． 1．直线的方程如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线l 的方程： (1)直线l 上任一点的坐标(x ，y )都满足这个方程；(2)满足该方程的每一个数对(x ，y )所对应的点都在直线l 上． 2．直线方程的点斜式和斜截式(1)经过点A (－1,4)，斜率k ＝－3； (2)经过坐标原点，倾斜角为45°； (3)经过点B (3，－5)，倾斜角为90°； (4)经过点C (2,8)，D (－3，－2)．【思路探究】 解答本题可先分析每条直线的斜率是否存在，然后选择相应形式求解． 【自主解答】 (1)y －4＝－3[x －(－1)]，即y ＝－3x ＋1，图形如图(1)所示． (2)k ＝tan 45°＝1，∴y －0＝x －0，即y ＝x .图形如图(2)所示．(3)斜率k 不存在，∴直线方程为x ＝3.图形如图(3)所示．(4)k ＝8－－2－－＝2，∴y －8＝2(x －2)，即y ＝2x ＋4.图形如图(4)所示．1．求直线的斜率是解题的关键，利用“两点确定一条直线”作图．2．利用点斜式求直线方程的步骤：①在直线上找一点，并确定其坐标(x 0，y 0)；②判断斜率是否存在，若存在求出斜率；③利用点斜式写出方程(斜率不存在时，方程为x ＝x 0)．本例第(4)问中“C (2,8)”改为“C (m,8)”，试写出满足条件的直线方程． 【解】 当m ＝－3时，斜率不存在，直线方程为x ＝－3；当m ≠－3时，k ＝8－－m －－＝10m ＋3，∴y －(－2)＝10m ＋3[x －(－3)]，即y ＝10m ＋3x ＋24－2mm ＋3.(1)写出斜率为2(2)已知直线l 的方程是2x ＋y －1＝0，求直线的斜率k ，在y 轴上的截距b ，以及与y 轴交点P 的坐标． 【思路探究】 利用斜截式写直线的方程须先确定斜率和截距，再利用斜截式写出直线方程． 【自主解答】 (1)∵直线的斜率为2，在y 轴上截距是3， ∴直线方程的斜截式为y ＝2x ＋3.(2)把直线l 的方程2x ＋y －1＝0，化为斜截式为y ＝－2x ＋1， ∴k ＝－2，b ＝1，点P 的坐标为(0,1)．1．已知直线斜率或直线与y 轴有交点坐标时，常用斜截式写出直线方程．2．利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y 轴上也没有截距．写出斜率为2，在y 轴上截距为m 的直线方程，并求m 为何值时，直线过点(1,1)? 【解】 由题意知，直线方程为y ＝2x ＋m . 把点(1,1)代入得1＝2×1＋m ， ∴m ＝－1.已知直线l ：5【思路探究】 可以把直线l 的方程变形为点斜式或斜截式，根据其特点证明．【自主解答】 法一 将直线方程变形为y －35＝a (x －15)，它表示经过点A (15，35)，斜率为a 的直线．∵点A (15，35)在第一象限．∴直线l 必过第一象限．法二 将直线方程变形为y ＝ax ＋3－a5，当a ＞0时，不论a 取何值，直线一定经过第一象限；当a ＝0时，y ＝35，直线显然过第一象限；当a ＜0时，3－a5＞0，直线一定经过第一象限．综上，直线5ax －5y －a ＋3＝0一定过第一象限．1．法一是变形为点斜式，法二是变形为斜截式．2．解决此类问题关键是将方程转化为点斜式或斜截式来处理．不论m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点( )A ．(1，12) B ．(－2,1)C ．(2，－1)D ．(－1，－12)【解析】 ∵直线方程可化为y －1＝m [x －(－2)]， ∴直线恒过定点(－2,1)．【答案】 B忽视对字母的分类讨论致误求过两点(m,2)，(3,4)的直线方程．【错解】 ∵k ＝4－23－m ＝23－m，∴直线方程为y －4＝23－m(x －3)．【错因分析】 未考虑m 与3的关系导致错误的出现．【防范措施】 当m ＝3时斜率不存在，故应该讨论m 与3的关系． 【正解】 当m ＝3时，直线斜率不存在， ∴直线方程为x ＝3，当m ≠3时，k ＝23－m，∴直线方程为y －4＝23－m(x －3)．1．对于利用点斜式求直线方程，首先应先求出直线的斜率，再代入公式求解． 2．对于利用斜截式求直线方程，不仅求斜率，还要求截距．1．过点P (－2,0)，斜率为3的直线方程是( ) A ．y ＝3x －2 B ．y ＝3x ＋2 C ．y ＝3(x －2) D ．y ＝3(x ＋2)【解析】 由点斜式可得y －0＝3(x ＋2)，即y ＝3(x ＋2)． 【答案】 D2．直线y ＝2x －3的斜率和在y 轴上的截距分别等于( ) A ．2,2 B ．－3，－3 C ．－3,2 D ．2，－3【解析】 由斜截式方程形式可知，k ＝2，b ＝－3. 【答案】 D3．倾斜角为150°，在y 轴上截距为6的直线方程是________． 【解析】 ∵倾斜角为150°，∴斜率k＝tan 150°＝－33，又知直线在y轴上截距为6，∴y＝－33x＋6.【答案】y＝－33x＋64．已知直线的斜率为2，与x轴交点横坐标为－1，求直线方程．【解】∵直线过(－1,0)，k＝2，由点斜式得y＝2[x－(－1)]∴y＝2x＋2.一、选择题1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线方程为( )A ．y －2＝－33(x ＋4)B ．y －(－2)＝－33(x －4) C ．y －(－2)＝33(x －4) D ．y －2＝33(x ＋4) 【解析】 k ＝tan 150°＝－33，∴y －(－2)＝－33(x －4)． 【答案】 B2．方程y ＝kx ＋1k表示的直线可能是( )【解析】 斜率为k ，且k ≠0，在y 轴上的截距为1k.当k >0时，1k >0；当k <0时，1k<0，从而选B.【答案】 B3．直线l 过点(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 005，b )在l 上，则b 的值为( ) A ．2 009 B ．2 010 C ．2 011 D ．2 012【解析】 ∵直线斜率k ＝5－－2－－＝2，∴直线点斜式方程为y －5＝2(x －2)， ∴y ＝2x ＋1，令x ＝1 005，∴b ＝2 011. 【答案】 C4．方程y ＝k (x ＋4)表示( ) A ．过点(－4,0)的所有直线 B ．过点(4,0)的一切直线C ．过点(－4,0)且不垂直于x 轴的一切直线D ．过点(－4,0)且除去x 轴的一切直线【解析】 显然y ＝k (x ＋4)中斜率存在，因此不包含过点(－4,0)且斜率不存在即垂直于x 轴的直线． 【答案】 C5．(2013·佛山高一检测)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1【解析】 当a ＝0时，不满足条件，当a ≠0时，令x ＝0，y ＝a ＋2，令y ＝0，x ＝2＋aa.由已知得a ＋2＝2＋a a.∴(a ＋2)(1－1a)＝0.∴a ＝－2或a ＝1.【答案】 D 二、填空题6．(2013·平江高一检测)直线－x ＋3y －6＝0的倾斜角是________，在y 轴上的截距是________．【解析】 y ＝33x ＋23，∴tan α＝33，∴α＝π6，在y 轴上的截轴为2 3.【答案】 π6，2 37．直线y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，则其在y 轴上的截距是________．【解析】 y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，∴－1＝m ＋m ，即m ＝－12，从而在y 轴上的截距为－12.【答案】 －128．直线l 的倾斜角为45°，且过点(4，－1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是________． 【解析】 由已知得直线方程 y ＋1＝tan 45°(x －4)， 即y ＝x －5.当x ＝0，y ＝－5，当y ＝0，x ＝5.∴被坐标轴所截得的线段长|AB |＝52＋52＝5 2. 【答案】 5 2 三、解答题9．写出下列直线的方程．(1)斜率是3，在y 轴上的截轴是－2. (2)倾斜角是30°，过点(2,1)．【解】 (1)根据斜截式得直线方程为y ＝3x －2.(2)k ＝tan 30°＝33.∴直线方程为y －1＝33(x －2)，∴y ＝33x －233＋1. 10．直线x －y ＋1＝0上一点P (3，m )，把已知直线绕点P 逆时针方向旋转15°后得直线l ，求直线l 的方程． 【解】 把点P (3，m )的坐标代入方程x －y ＋1＝0可得3－m ＋1＝0， ∴m ＝4，即P (3,4)．又∵已知直线方程可化为y ＝x ＋1， ∴k ＝1＝tan 45°， 即倾斜角为45°.如图，易知已知直线绕点P 逆时针方向旋转15°， 所得直线的倾斜角为60°， ∴k ＝tan 60°＝3，∴所求直线方程为y －4＝3(x －3)．11．经过点A (－2,2)并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程．【解】 设直线为y －2＝k (x ＋2)，交x 轴于点(－2k－2,0)，交y 轴于点(0,2k ＋2)，S ＝12×|2k ＋2|×|2k ＋2|＝1，|4＋2k ＋2k |＝1， 得2k 2＋3k ＋2＝0或2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－12或k ＝－2，∴x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求．(教师用书独具)如图所示，已知△ABC 中，A (1,1)，B (5,1)，∠A ＝60°，点C 在直线AB 上方． 求：(1)线段AB 的方程；(2)AC 所在直线的方程及在y 轴上的截距．【思路探究】 结合倾斜角和斜率的关系或斜率公式，得所求直线的斜率，从而求解． 【自主解答】 (1)由A (1,1)，B (5,1)，得AB ∥x 轴， ∴k AB ＝0，∴线段AB 的方程为y ＝1(1≤x ≤5)． (2)k AC ＝tan 60°＝3，∴直线AC 的方程为y －1＝3(x －1)，整理得y ＝3x ＋1－3，令x ＝0得y ＝1－3， ∴在y 轴上的截距为1－ 3.1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在，当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行的直线，当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线． 2．截距不同于日常生活中的距离，截矩是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．已知直线y＝－33x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的5倍，求分别满足下列条件的直线l的方程．(1)过点P(3，－4)；(2)在y轴上截距为3.【解】由直线y＝－33x＋5，得k＝－33，即tan α＝－33，∴α＝150°，故所求直线l的倾斜角为30°，斜率k′＝3 3.(1)∵l过点P(3，－4)，则由点斜式方程得：y＋4＝33(x－3)，即y＝33x－3－4.(2)∵l在y轴上截距为3，则由斜截式方程得：y＝33x＋3.第2课时直线方程的两点式和一般式(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化．(2)了解直线与二元一次方程的对应关系．2．过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新的知识的比较、分析、应用获得新知识的特点．3．情感、态度与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化．(2)培养学生用联系的观点看问题．●重点难点重点：直线方程的两点式和一般式．难点：利用直线方程的各种形式求直线方程．两点式其实就是点斜式的变形，值得注意的是两点式方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1中的条件x1≠x2，y1≠y2，使得它既不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线．(教师用书独具)●教学建议本节课的教学内容为直线方程的两点式和一般式，在此之前，学生已掌握了直线方程的点斜式、斜截式，在本节教学时，通过师生探讨，得出直线的两点式和一般式方程，通过直线的两点式方程向截距式方程的过渡训练，让学生体会由一般到特殊的处理方法，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，理解直线方程的两点式、一般式⇒通过例1及互动探究使学生掌握灵活运用题目条件求直线方程⇒通过例2及变式训练使学生掌握一般式方程与其他方程的互化⇒通过例3及变式训练使学生掌握一般式方程的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正【问题导思】已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如何求AB 的直线方程？【提示】 k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1由点斜式方程得y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)．1．两点式：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)是直线l 上的两点，则l 的两点式为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 2．截距式：若直线l 过A (a,0)，B (0，b )，(ab ≠0)，则直线l 的两点式方程可化为x a ＋y b＝1的形式，这种形式的方程叫作直线方程的截距式．其中a 为直线在x 轴上的截距，b 为直线在y 轴上的截距．【问题导思】以上所学的直线方程的几种形式能整理成关于x 、y 的二元一次方程的整式形式吗？ 【提示】 能． 直线方程的一般式关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式．(1)过点A (－2,3)，B (4，－1)；(2)在x 轴、y 轴上的截距分别为4，－5；(3)过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．【思路探究】 (1)要根据不同的要求选择适当的方程形式；(2)“截距”相等要注意分过原点和不过原点这两种情况．【自主解答】 (1)由两点式得y －3－1－3＝x ＋24＋2化简得2x ＋3y －5＝0.(2)由截距式，得x 4＋y－5＝1化简为5x －4y －20＝0.(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x －2y ＝0. 当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya＝1， ∵直线过P (2,3) ， ∴2＋3a＝1，∴a ＝5，直线方程为x ＋y －5＝0，所以所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.1．本题(3)中易漏掉截距都为0情况．2．直线方程有多种形式，在求解时应根据题目的条件选择合适的形式，但要注意方程各种形式的适用范围．将本例(1)中的A 改(－2，m )，求直线方程． 【解】 当m ＝－1时直线方程为y ＝－1， 当m ≠－1时，由两点式得y －m －1－m ＝x －4－2－4，∴y ＝m ＋16x ＋m －13.设直线l 的方程为(m 2 (1)l 在x 轴上的截距是－3； (2)l 的斜率是－1.【思路探究】 可根据所求的结论把一般式转化为其他形式． 【自主解答】 (1)由题意可得 ⎩⎨⎧m 2－2m －3≠0， ①2m －6m 2－2m －3＝－3， ② 由①得：m ≠－1且m ≠3， 由②得：m ＝3或m ＝－53.∴m ＝－53.(2)由题意得⎩⎨⎧2m 2＋m －1≠0， ③－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1. ④由③得：m ≠－1且m ≠12，由④得：m ＝－1或m ＝－2.∴m ＝－2.1．本题的易错点是(1)中漏掉m 2－2m －3≠0，(2)中漏掉2m 2＋m －1≠0.2．把直线方程的一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是当B ＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率为2，且经过点A (1，－1)．(2)斜率为12，在y 轴上的截距为1.【解】 (1)y －(－1)＝2(x －1)，即2x －y －3＝0.(2)y ＝12x ＋1，即x －2y ＋2＝0.已知直线l ：5ax －5y －(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围．【思路探究】 解答本题可先把一般式方程化为点斜式方程，然后再由直线过定点(15，35)，说明直线l 恒过第一象限．对于求a 的取值范围可借助图形，利用“数形结合思想”求得．【自主解答】 (1)将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限，故l 过第一象限．(2)如图，直线OA 的斜率k ＝35－015－0＝3，∵l 不经过第二象限，∴a ≥3.1．直线过定点(15，35)是解决本题的关键．2．针对这个类型的题目，灵活地把一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)进行变形是解决这类问题的关键．在求参量取值范围时，巧妙地利用数形结合思想，会使问题简单明了．若直线(m －1)x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则实数m 的取值范围是________．【解析】 { m －1＜0，－2m ＜0，∴12＜m ＜1.【答案】 (12，1)分类讨论思想在直线方程问题中的应用(12分)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【思路点拨】 对截距相等一定要考虑都为0，都不为0，若不为0求出截距让其相等． 【规范解答】 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，当然相等.2分 ∴当a ＝2时满足条件，此时方程为3x ＋y ＝0.当a ＝－1时，直线为平行于x 轴的直线，在x 轴上无截距，不合题意.4分当a ≠－1且a ≠2时，由a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.∴当a ＝0时，直线在x 轴、y 轴上的截距都为－2，此时方程为x ＋y ＋2＝0.7分综上所述，当a ＝2时，l 在两坐标轴上的截距相等，方程为3x ＋y ＝0；当a ＝0时，l 在两坐标轴上的截距相等，方程为x ＋y ＋2＝0.8分(2)将l 的方程转化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴{ －a ＋＞0，a －2≤0，或{ －a ＋＝0，a －2≤0.10分 ∴a ≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1].12分【思维启迪】 对直线方程的一般式可以转化其他多种形式，注意含参数的方程要对参数进行讨论并进行转化．1．在求直线方程时，应适当选用方程的形式，并注意各种形式的适用条件，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和经过原点的直线．2．对于求直线的方程，在没有特殊说明的情况下，结果应该化为一般式方程．3．一般式方程化为特殊方程形式时，应注意条件的限制．当B ≠0时，可化为斜截式，在ABC ≠0时，可化为截距式．1．过两点(2 013,2 014)，(2 013,2 015)的直线方程是( ) A ．x ＝2 013 B ．x ＝2 014 C ．y ＝2 013 D ．x ＋y ＝2 013【解析】 过这两点的直线与x 轴垂直，所以直线方程为x ＝2 013. 【答案】 A2．(2013·厦门高一检测)直线x －y ＋5＝0的倾斜角为( ) A ．45° B．60° C ．120° D．135°【解析】 直线方程可写为：y ＝x ＋5， 所以斜率k ＝1，∴倾斜角为45°. 【答案】 A3直线ax ＋by －ab ＝0(ab ≠0)在两坐标轴上截距之和是________． 【解析】 由ax ＋by －ab ＝0，得x b ＋y a＝1.故截距之和是a ＋b . 【答案】 a ＋b4．已知△ABC 的顶点为A (1，－1)，线段BC 的中点为D (3，32)，求BC 边上的中线所在直线的方程．【解】 ∵线段BC 的中点为D (3，32)，A (1，－1)．由两点式得直线AD 的方程为y ＋132＋1＝x －13－1，整理得5x －4y －9＝0. 即BC 边上的中线所在直线的方程为5x －4y －9＝0.一、选择题1．直线l 不经过第三象限，其斜率为k ，在y 轴上的截距为b (b ≠0)，则( ) A ．kb <0 B ．kb ≤0 C ．kb >0 D ．kb ≥0 【解析】 由题意知k ≤0，b >0，∴kb ≤0. 【答案】 B2．直线l 过点A (－1，－1)和B (2,5)，且点C (1 005，m )也在直线l 上，则m 的值为( ) A ．2 008 B ．2 009 C ．2 010 D ．2 011【解析】 y －－5－－＝x －－2－－，即2x －y ＋1＝0，又C (1 005，m )在l 上，∴2×1 005－m ＋1＝0， ∴m ＝2 011.【答案】 D3．(2013·济南高一检测)直线2x ＋y ＋7＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a 、b 的值是( )A ．a ＝－7，b ＝－7B ．a ＝－7，b ＝－72C ．a ＝－72，b ＝7D ．a ＝－72，b ＝－7【解析】 令x ＝0得y ＝－7，∴b ＝－7，令y ＝0得x ＝－72，∴a ＝－72.【答案】 D4．(2013·中山高一检测)两条直线l 1：y ＝kx ＋b ，l 2：y ＝bx ＋k (k ＞0，b ＞0，k ≠b )的图像是下图中的( )【解析】 由k ＞0，b ＞0可知，直线l 1和l 2的倾斜角都是锐角，且在y 轴上的截距为正，所以A ，B ，D 错误． 【答案】 C5．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足( ) A ．m ≠1B ．m ≠＝－32C ．m ≠0D ．m ≠1且m ≠＝－32且m ≠0【解析】 由{ 2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0， 得m ＝1，依题意只要x 、y 的系数不同时为0， 即m ≠1该方程就表示一条直线． 【答案】 A 二、填空题6．过点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是________．【解析】 直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即y ＝2x ＋3，令y ＝0得x ＝－32，∴在x 轴上的截距为－32.【答案】 －327．直线kx －y －3k ＋2＝0(k ∈R )必过定点________． 【解析】 直线方程可变为y －2＝k (x －3)即过点(3,2)． 【答案】 (3,2)8．已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，且A －2B ＋3C ＝0，则直线的方程是________．【解析】 因为直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，所以B ≠0，且－A B＝5，即A ＝－5B ，又A －2B ＋3C ＝0，所以－5B －2B ＋3C ＝0，即C ＝73B . 此时直线的方程化为－5Bx ＋By ＋73B ＝0.即：－5x ＋y ＋73＝0，故所求直线的方程为15x －3y －7＝0.【答案】 15x －3y －7＝0 三、解答题9．根据下列条件分别写出直线方程，并化为一般方程．。
2020_2021学年高中数学第三章不等式3.3.1基本不等式课时作业含解析北师大版必修5
课时作业20 基本不等式时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．下列不等式一定成立的是( B ) A ．3x ＋12x ≥ 6B ．3x 2＋12x2≥ 6C ．3(x 2＋1)＋12(x 2＋1)≥ 6D ．3(x 2－1)＋12(x 2－1)≥ 6解析：A 中x 可能是负数，不成立；B 中当且仅当3x 2＝12x 2，即x 4＝16时取等号，成立；C 中当3(x 2＋1)＝12(x 2＋1)时，(x 2＋1)2＝16，不成立；D 中x 2－1也可能是负数，不成立．故选B.2．给出下列推导过程：①∵x ，y >0，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ； ②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4；③∵x ，y ∈R ，xy <0，∴x y ＋yx＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中推导正确的有( B ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：①虽然x ，y >0，但当x ∈(0,1)或y ∈(0,1)时，lg x 或lg y 是负数，故①的推导是错误的．②由于a ∈R ，不符合基本不等式的使用条件，故②的推导是错误的．③由xy <0，知x y ，yx均为负数，但推导过程中，将其转变为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ，即均为正数后再结合不等式性质推导，符合基本不等式的使用条件，故③的推导是正确的．3．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b2，则( B )A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q解析：∵a >b >1， ∴lg a ·lg b <lg a ＋lg b2.∵a ≠b ，∴“＝”不成立． 又∵lg a ＋lg b ＝lg ab <lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝2lg a ＋b 2，∴lga ＋b 2>12(lg a ＋lg b )，故选B.4．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( B ) A ．a <b <ab <a ＋b2 B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2D.ab <a <a ＋b2<b解析：∵0<a <b ，∴a ·a <ab . ∴a <ab .由基本不等式知ab <a ＋b2(a ≠b )，又∵0<a <b ，a ＋b <b ＋b ，∴a ＋b2<b .∴a <ab <a ＋b2<b .5．下列不等式一定成立的是( B ) A ．x ＋1x≥2B.x 2＋2x 2＋2≥ 2C.x 2＋3x 2＋4≥2D ．2－3x －4x≥2解析：A 项中，当x <0时，x ＋1x<0<2，∴A 错误．B 项中，x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，∴B 正确．而对于C ，x 2＋3x 2＋4＝x 2＋4－1x 2＋4，当x ＝0时，x 2＋3x 2＋4＝32<2，显然选项C 不正确．D 项中，取x ＝1,2－3x －4x<2，∴D 错误．6．下列命题：①x ＋1x≥2(x <0)，②⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，③x 2＋1＋1x 2＋1≥2.其中正确的个数为( C )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①错误，x <0时，x ＋1x是负数；②正确，分x <0和x >0两种情形证明；③正确，直接利用基本不等式．7．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( A ) A.a ＋d2>bc B.a ＋d2<bc C.a ＋d 2＝bcD.a ＋d2≤bc解析：因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .8．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 为正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，G ＝f (ab )，H ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，G ，H 的大小关系是( A )A ．A ≤G ≤HB ．A ≤H ≤GC ．G ≤H ≤AD ．H ≤G ≤A解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b＝2ab a ＋b. 当且仅当a ＝b 时等号成立，又∵函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，∴A ≤G ≤H . 二、填空题9．对于任意正数a ，b ，设A ＝a ＋b2，G ＝ab ，则A 与G 的大小关系是A ≥G .解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab >0，∴A ≥G .10．若a ，b 是两个实数且a ＋3b ＝4，则3a ＋27b≥18.(填“≥”“＝”或“≤”) 解析：利用基本不等式得：3a＋27b≥23a·27b＝23a·33b＝18. 11．设m >1，P ＝m ＋4m －1，Q ＝5，则P ，Q 的大小关系为P ≥Q . 解析：因为m >1，所以P ＝m ＋4m －1＝m －1＋4m －1＋1≥2(m －1)·4m －1＋1＝5＝Q ，当且仅当m －1＝4m －1，即m ＝3时等号成立． 三、解答题12．已知a ，b 都是正数，且a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.证明：法一：∵a >0，b >0，且a ＋b ＝1，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4b a ·ab＝9. 当且仅当b a ＝a b，即a ＝b ＝12时取“＝”号．∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1b ＋1a ＋1ab＝1＋a ＋b ab ＋1ab. ∵a ＋b ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋2ab.又∵a ，b >0， ∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14.∴1ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”号． ∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥1＋2×4＝9. 13．设实数a 使a 2＋a －2>0成立，t >0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小．解：∵a 2＋a －2＞0，∴a ＜－2或a ＞1， 又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1， ∵t ＞0，∴t ＋12≥t ，∴log at ＋12≥log a t ＝12log a t ， ∴12log a t ≤log a t ＋12. ——能力提升类——14．设a ，b 是正实数，且a ＋b ＝4，则有( B ) A.1ab ≥12 B.1a ＋1b≥1C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≥14解析：由a >0，b >0，且a ＋b ＝4得2ab ≤4⇔ab ≤2，1ab ≥14，1a ＋1b ＝4ab ≥1.又由1a 2＋b 2≤1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14， 即1a 2＋b 2≤14. 由此可知，A ，C ，D 都不正确，只有B 正确．15．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.证明：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝a ＋b ＋c a－1＝b ＋c a ≥2bca>0. 同理，1b－1≥2ac b>0，1c－1≥2ab c>0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1 ≥8bc ac ababc＝8.。
2022_2022学年高中数学第三章不等式3.3.1基本不等式课时作业含解析北师大版必修5
(2)因为 ＋b≥2a， ＋c≥2b， ＋a≥2c，
故 ＋ ＋ ＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即 ＋ ＋ ≥a＋b＋c.
所以 ＋ ＋ ≥1.
|
11．假设f(x)＝ x，a，b均为正数，P＝f ，G＝f( )，H＝f ，那么()
A．P≤G≤HB．P≤H≤G
所以 ＋ ≥ ；
即 ≥ (当且仅当a＝b时取等号)，
又 2＝
≤ ＝ .
所以 ≤ (当且仅当a＝b时等号成立)，
而 ≤ ，
故 ≥ ≥ ≥ (当且仅当a＝b时等号成立)．
C．G≤H≤PD．H≤G≤P
解析：因为a，b均为正数，
所以 ≥ ＝ ≥ ＝ ，又因为f(x)＝ x为减函数，所以f ≤f( )≤f ，所以P≤G≤H.
答案：A
12．假设a>0，b>0，a＋b＝2，那么以下不等式①ab≤1；② ＋ ≤ ；③a2＋b2≥2；④ ＋ ≥2，对满足条件的a，b恒成立的是________．(填序号)
当x＝y时， ＝xy，④不正确；
当x＝1，y＝－1时，⑤不正确．
答案：②
三、解答题(每题10分，共20分)
9．设a，b，c为正实数，求证：(a＋b＋c)· ≥4.
证明：因为a，b，c为正实数，
所以(a＋b＋c)·
＝[(a＋b)＋c]
＝1＋ ＋ ＋1≥2＋2 ＝2＋2＝4.
当且仅当 ＝ ，即a＋b＝c时，取等号．
C．2abD．a＋b
解析：因为a，b∈(0,1)，所以a2<a，b2<b，
所以a2＋b2<a＋b，又a2＋b2>2ab(因为a≠b)，
所以2ab<a2＋b2<a＋b.
高中数学 第三章 不等式 3.3.1 基本不等式课后演练提升 北师大版必修5-北师大版高一必修5数学
2016-2017学年高中数学 第三章 不等式 3.3.1 基本不等式课后演练提升 北师大版必修5一、选择题(每小题5分，共20分)1．若0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，a 2＋b 2,2ab 中最小的一个是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b解析： 由基本不等式得a ＋b 2＞ab ， ∴a ＋b ＞2ab .又∵0＜a ＜1,0＜b ＜1，∴ab ＜1，∴ab ＜1，∴2ab ·ab ＜2ab ，即2ab ＜2ab .又2ab ＜a 2＋b 2，∴2ab 最小．答案： C2．设M ＝3x ＋3y 2，N ＝(3)x ＋y ，P ＝3xy (其中0＜x ＜y )，则M 、N 、P 的大小顺序是( ) A ．P ＜N ＜M B ．N ＜P ＜MC ．P ＜M ＜ND ．M ＜N ＜P解析： 由基本不等式知3x ＋3y 2＞3x ·3y ＝3x ＋y ＝(3)x ＋y ，即M ＞N .又∵x ＋y 2＞xy ，而(3)x ＋y ＝3x ＋y 2＞3xy ，即N ＞P ，∴M ＞N ＞P .答案： A3．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2 D．a 2＋b 2≤3解析： ∵a ＋b ＝2，∴(a ＋b )2＝4，即a 2＋b 2＋2ab ＝4，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥4，∴a 2＋b 2≥2.答案： C4．已知a 、b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1，则下列各式恒成立的是( )A.1ab ≥8B.1a ＋1b≥4 C.ab ≥12D.1a 2＋b 2≤12 解析： ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝1＋b a ＋a b＋1≥4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故选B. 答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．某厂产值第二年比第一年增长p %，第三年比第二年增长q %，又这两年的平均增长率为s %，则s 与p ＋q2的大小关系为__________．解析： 由题意可得(1＋p %)(1＋q %)＝(1＋s %)2，由基本不等式得(1＋p %)(1＋q %)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋p %＋1＋q %22， ∴1＋s %≤1＋p %＋1＋q %2， 从而可得s ≤p ＋q 2. 答案：s ≤p ＋q26．若对x ＞0，y ＞0有(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ≥m 恒成立，m 的取值X 围是________． 解析： (x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝2＋x y ＋4y x＋2 ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋4y x ≥4＋2x y ·4y x＝8， ∴m ≤8.答案：m ≤8 三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知x ，y 为正实数，且x ＋4y ＝1，求xy 的最大值．解析： ∵x ，y 为正实数，∴x ·y ＝14x ·4y ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y 22＝116， 当且仅当x ＝4y 即x ＝12，y ＝18时取等号．即xy 的最大值为116. 8．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . 证明： ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、ab c也都是正数． ∴bc a ＋cab ≥2c ，ca b ＋ab c≥2a ，bc a ＋ab c ≥2b ， 三式相加得2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c . 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c. 证明： ∵1a ＋1b≥21ab ＝2c ， 1b ＋1c ≥21bc ＝2a ，1c ＋1a ≥21ac＝2b ∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )， 即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c . ∵a ，b ，c 不全相等，∴a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c.。
【课堂新坐标】（教师用书）2021学年高中数学 第一章 统计综合检测 北师大版必修3(1)
第一章 统 计(时刻120分钟，总分值150分)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的2 500名城镇居民，那个问题中“2 500名城镇居民的寿命的全部”是( )A ．整体B ．个体C ．样本D ．样本容量【解析】 每一个人的寿命是个体，抽出的2 500名城镇居民的寿命的全部是从整体中抽取的一个样本． 【答案】 C2．某班的60名同窗已编号1,2,3，…，60，为了解该班同窗的作业情形，教师收取了号码能被5整除的12名同窗的作业本，那个地址运用的抽样方式是( )A ．简单随机抽样法B ．系统抽样法C ．分层抽样法D ．抽签法【解析】 抽出的号码是5,10,15，…，60.符合系统抽样的特点“等距抽样”． 【答案】 B3．(2021·湖南高考)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量别离为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是不是存在显著不同，用分层抽样方式抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，那么n ＝( )A ．9B ．10C ．12D ．13【解析】 依题意得360＝n120＋80＋60，故n ＝13.【答案】 D4．有一个容量为80的样本，数据的最大值是140，最小值是51，组距为10，那么能够分为( ) A ．10组 B ．9组 C ．8组D ．7组【解析】 由题意知极差为：140－51＝89.89＝8.9，故应分为9组．10【答案】B5．(2021·福建高考)某校从高一年级学生中随机抽取部份学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，取得如图1所示的频率散布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估量，该模块测试成绩很多于60分的学生人数为( )图1A．588 B．480C．450 D．120【解析】很多于60分的学生的频率为(0.030＋0.025＋0.015＋0.010)×10＝0.8，∴该模块测试成绩很多于60分的学生人数应为600×0.8＝480.【答案】B6．以下图形中具有相关关系的两个变量是( )【解析】A、B为函数关系，D中所有点大约集中在一条直线周围，故具有相关关系．【答案】D图27．(2021·陕西高考)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)是变量x和y的n次方个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法取得的线性回归直线(如图2)，以下结论正确的选项是( )A．直线l过点(x，y)B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，散布在l双侧的样本点的个数必然相同【答案】A8．(2021·福建高考)已知x与y之间的几组数据如下表：(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，那么以下结论正确的选项是( )A ．b >b ′，a >a ′B ．b >b ′，a <a ′C ．b <b ′，a >a ′D ．b <b ′，a <a ′【解析】 由(1,0)，(2,2)求b ′，a ′. b ′＝2－02－1＝2，a ′＝0－2×1＝－2.求b ^，a ^时，∑i ＝16x i y i ＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，x ＝3.5，y ＝136，∑i ＝16x 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，∴b ^＝58－6×3.5×13691－6×3.52＝57，a ^＝136－57×3.5＝136－52＝－13，∴b ^<b ′，a ^>a ′. 【答案】 C 图39．A ，B 两名同窗在5次数学考试中的成绩统计的茎叶图3所示，假设A ，B 两人的平均成绩别离是X A ，X B ，那么以下的结论正确的选项是( )A ．X A <XB ，B 比A 成绩稳固 B ．X A >X B ，B 比A 成绩稳固C ．X A <X B ，A 比B 成绩稳固D ．X A >X B ，A 比B 成绩稳固【解析】 由茎叶图知，A 同窗的5次数学成绩的平均值为X A ＝15(91＋92＋96＋103＋128)＝102，X B ＝15(99＋108＋107＋114＋112)＝108，∴X A <X B ，且B 较A 更稳固，应选A. 【答案】 A10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图4所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m o ，平均值为x ，那么( )图4A ．m e ＝m o ＝xB ．m e ＝m o ＜xC ．m e ＜m o ＜xD ．m 0＜m o ＜x【解析】 30个数中第15个数是5，第16个数是6，因其中位数为5＋62＝5.5，众数为5，x ＝3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×230＝17930.【答案】 D二、填空题(本大题共5小题，每题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)11．某中学为了解学生数学课程的学习情形，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，取得了样本的频率散布直方图(如图5)．依照频率散布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．图5【解析】 由直方图易患数学考试中成绩小于60分的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，因此所求分数小于60的学生数为3 000×0.2＝600.【答案】 60012．(2021·浙江高考)某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方式从该年级全部学生中抽取一个容量为280的样本，那么此样本中男生人数为________．【解析】 男生人数为560×280560＋420＝160.【答案】 16013．为了解某地高一年级男生的身高情形，从其中的一个学校选取容量为60的样本(60名男生的身高，单位：cm)，分组情形如下：那么表中的m ＝【解析】 由表中信息可知，0.1＝m60，∴m ＝0.1×60＝6，那么身高在165.5～172.5内的频数为60－6－21－6＝27. ∴a ＝2760＝0.45.【答案】 6 0.4514．如图3是某保险公司提供的资料，在1万元以上的保险单中，821少于2.5万元，那么很多于2.5万元的保险单有________万元．图3【解析】 很多于1万元的占700万元的21%，金额为700×21%＝147万元，1万元以上的保险单中，超过或等于2.5万元的保险单占1321，金额为1321×147＝91万元，故很多于2.5万元的保险单有91万元．【答案】 9115．(2021·郑州高一检测)样本中共有五个个体，其值别离为a,0,1,2,3，假设该样本的平均值为1，那么样本方差为________．【解析】 由题意知，15(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，因此a ＝－1，∴样本方差s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.【答案】 2三、解答题(本大题共6小题，共75分．解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤)16．(本小题总分值12分)某篮球运动员在2021赛季各场竞赛的得分情形如下：12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50.如何分析该运动员的整体水平及发挥的稳固程度？【解】 画出茎叶图如下图：由茎叶图能够看出，该运动员的平均得分及中位数、众数都在20到40之间，且散布较对称，集中程度高，说明该运动员发挥比较稳固17．(本小题总分值12分)从高三学生中抽取50名学生参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频率如下(单位：分)：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100)，8. (1)列出样本的频率散布表(含积存频率)； (2)画出频率散布直方图；(3)估量成绩在[60,90)分的学生比例； (4)估量成绩在85分以下的学生比例． 【解】 (1)频率散布表如下：(2)(3)成绩在[60,90)分的学生比例，即学生成绩在[60,90)分的频率，0.2＋0.3＋0.24＝74%.(4)成绩在85分以下的学生比例，即学生成绩不足85分的频率．设相应频率为b ，那么b －0.685－80＝0.84－0.690－80，故b ＝0.72.估量成绩在85分以下的学生约占72%.18．(本小题总分值12分)以下是某地搜集到的新衡宇的销售价钱y 和衡宇的面积x 的数据：(1)(2)求线性回归方程，并在散点图中画出回归直线；(3)依照(2)的结果估量当衡宇面积为150 m 2时的销售价钱． 【解】 (1)数据对应的散点图如下图：(2)x ＝109，y ＝23.2，∑i ＝15(x i －x )2＝1 570，∑i ＝15(x i －x )(y i －y )＝308，设所求的回归直线方程为y ＝bx ＋a ， 则b ＝3081 570≈0.196 2，a ＝y －b x ＝23.2－109×0.196 2＝1.814 2，故所求回归直线方程为y ＝0.196 2x ＋1.814 2. (3)据(2)，当x ＝150 m 2时，销售价钱的估量值为y ＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．19．(本小题总分值13分)某高校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，把成绩分组，取得的频率散布表如下：(1)(2)这次笔试成绩的中位数落在哪组内？(3)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组顶用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽多少名学生进入第二轮面试？【解】(1)由题意知第2组的频数为100－5－30－20－10＝35(人)(或100×0.35＝35(人))；第3组的频率为1－0.050－0.350－0.200－0.100＝0.300(或30100＝0.300)．(2)第1组和第2组的频率的和为0.400，第4组和第5组的频率的和为0.300，因此这次笔试成绩的中位数落在第3组内．(3)因为第3、4、5组共有60名学生，因此利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组别离为：第3组：3060×6＝3(人)，第4组：2060×6＝2(人)，第5组：1060×6＝1(人)．因此第3、4、5组别离抽取3人，2人，1人．20．(本小题总分值13分)某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利润y (元)与该周天天销售这种服装件数x 之间的一组数据关系见下表：已知：Σ7i ＝1x 2i＝280，Σ7i ＝1x i y i ＝3 487.(1)求x ，y ； (2)画出散点图；(3)求纯利润y 与天天销售件数x 之间的回归直线方程． 【解】 (1)x ＝3＋4＋5＋6＋7＋8＋97＝6(件)，y ＝66＋69＋73＋81＋89＋90＋917＝5597≈79.86(元)．(2)散点图如下：(3)由散点图知，y 与x 有线性相关关系． 设回归直线方程为y ＝bx ＋a . 由Σ7i ＝1x 2i ＝280，Σ7i ＝1x 1y i ＝3 487，x ＝6，y ＝5597，得b ＝3 487－7×6×5597280－7×36＝13328＝4.75，a ＝5597－6×4.75≈51.36.故回归直线方程为y ＝4.75x ＋51.36.21．(本小题总分值13分)从甲、乙两名学生当选拔一人参加射击竞赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：甲：7,8,6,9,6,5,9,9,7,4 乙：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7(1)别离计算甲、乙两人射击命中环数的极差、众数和中位数； (2)别离计算甲、乙两人射击命中环数的平均数、方差、标准差； (3)比较两人的成绩，然后决定选择哪个人参赛．【解】 (1)甲：极差是9－4＝5，众数是9，中位数是7； 乙：极差是9－5＝4，众数是7，中位数是7. (2)x 甲＝7＋8＋6＋9＋6＋5＋9＋9＋7＋410＝7，s 2甲＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝2.8，s 甲＝s 2甲＝ 2.8≈1.673； x 乙＝9＋5＋7＋8＋7＋6＋8＋6＋7＋710＝7，s 2乙＝110[(9－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2]＝1.2，s 乙＝s 2乙＝1.2≈1.095. (3)∵x甲＝x 乙，s 甲＞s 乙，∴甲、乙两人的平均成绩相等，乙的成绩比甲的成绩稳固一些，从成绩的稳固性考虑，应选择乙参赛．。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学1.7相关性课时训练北师大版必修3
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.7 相关性课时训练北师大版必修3一、选择题1．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是( )A．瑞雪兆丰年B．名师出高徒C．吸烟有害健康D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧【解析】瑞雪兆丰年和名师出高徒是根据多年经验总结归纳出来的，吸烟有害健康具有科学根据，所以它们都是相关关系，所以A、B、C三项具有相关关系；结合生活经验知喜鹊、乌鸦发出叫声是它们的生理反映，与人无任何关系，故D项不具有相关关系．【答案】 D2．下列两个变量间的关系，是相关关系的是( )A．任意实数和它的平方B．圆半径和圆的周长C．正多边形的边数和内角度数之和D．天空中的云量和下雨【解析】很明显A、B、C三项都是函数关系，D项中天空中的云量和下雨之间不是确定性关系，而是相关关系．故选D.【答案】 D3．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断( )A．变量x与y线性相关，u与v非线性相关B．变量x与y线性相关，u与v不相关C．变量x与y线性相关，u与v线性相关D．变量x与y不相关，u与v不相关【解析】由这两个散点图可以判断，变量x与y线性相关，u与v线性相关，故选C.【答案】 C4．下列说法正确的是( )A．y＝2x2＋1中的x，y是具有相关关系的两个变量B．正四面体的体积与其棱长具有相关关系C．电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系D．传染病医院感染甲型H1N1的医务人员数与医院收治的甲型H1N1病人数是具有相关关系的两个变量【解析】y＝2x2＋1中的x，y是函数关系，故A错误；正四面体的体积与其棱长具有函数关系，故B错误；电脑的销售量与电脑的价格之间是一种相关关系，故C错误；感染甲型H1N1的医务人员不仅受医院收治病人数的影响，还受防护措施等其他因素的影响．故选D.【答案】 D5．下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市某类疾病的患者治愈的数据，以及根据这些数据绘制出的散点图．图1－7－1下列说法：①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系．其中正确的个数为( )A．0个B．1个C．2个D．以上都不对【解析】由图知所有的点大致集中在一条直线附近，因此，日期与人数具有线性关系，只有①正确．【答案】 B二、填空题(每小题5分，共10分)6．下面各组变量之间具有相关关系的是________(填上正确答案的序号)．①高原含氧量与海拔高度；②速度一定时，汽车行驶的路程和所用的时间；③学生的成绩和学生的学号；④父母的身高和子女的身高．【解析】由线性相关的定义可知①④是相关关系．【答案】①④7．如图1－7－2所示，有5组(x，y)数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．图1－7－2【解析】因为A、B、C、E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D点离得远．【答案】D8．下列分别是3对变量的散点图，则具有相关关系的是________．图1－7－3【解析】通过散点图可以看出①③两对变量分别具有线性相关关系．【答案】①③三、解答题9．某个男孩的年龄与身高的统计数据如下：【解】散点图如下．由散点图可清楚地看到，在一定的范围内，这个男孩的年龄与身高具有明显的正相关关系，即该男孩的身高随着年龄的增大而增大．10．某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系：(1)(2)你能从散点图中发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗？【解】(1)以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的体积，可得相应的散点图如图所示：(2)由散点图中发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋势．11．下面是水稻产量与施肥量的一组统计数据：(1)(2)你能从散点图中发现施肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施肥量增加而增加吗？(3)若近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系．【解】(1)以x轴表示施肥量，y轴表示水稻产量，可得散点图如下图所示：(2)从图中可以发现施肥量与水稻产量具有相关关系，当施肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大．但水稻产量只是在一定范围内随着施肥量的增加而增加．(3)如(1)图所示．。
数学ⅴ北师大版3.3第1课时 基本不等式学案+练习
数学ⅴ北师大版3.3第1课时 基本不等式学案+练习第1课时 差不多不等式知能目标解读1.理解差不多不等式，并掌握差不多不等式的几何意义.2.掌握差不多不等式成立的条件；能应用差不多不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题.3.在使用差不多不等式过程中，要注意定理成立的条件，在解题时，常采纳配凑的方法，创造条件应用均值不等式.重点难点点拨重点：理解并掌握差不多不等式，借助几何图形说明差不多不等式的意义，并用差不多不等式求最值.难点：利用差不多不等式求最值时,等号成立的条件. 学习方法指导【一】差不多不等式1.差不多不等式：假如a,b 基本上非负数，那么2b a +≥ab ,当且仅当a=b 时，等号成立，我们称上述不等式为差不多不等式.其中2b a +称为a,b 的算术平均数，ab 称为a,b 的几何平均数，因此，差不多不等式又称为均值不等式.2.重要不等式：假如a,b ∈R ,那么a 2+b 2≥2ab 〔当且仅当a=b 时，取"＝"〕. 证明：a 2+b 2-2ab =(a-b ) 2,当a ≠b 时，〔a-b 〕2>0；当a=b 时，〔a-b 〕2＝0. 因此〔a-b 〕2≥0,即a 2+b 2≥2ab .3.差不多不等式的几何解释：差不多不等式一种几何解释如下：以a+b 长的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC=a,CB=b .过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′，连结AD 、DB ，易证Rt △ACD ∽Rt △DCB ,那么CD ２=CA ·CB ,即CD =ab .那个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即2b a +≥ab ，其中，当且仅当点C 与圆心重合，即a=b 时，等号成立.以上我们从几何图形中进行了解释，获得了不等式ab ≤2b a +〔a ≥0,b ≥0〕.事实上质是：在同一圆中，半径不小于半弦，或者直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高.4.关于a 2+b 2≥2ab 和2b a +≥ab 〔a,b >0〕〔1〕两个不等式：a 2+b 2≥2ab 与2b a +≥ab 成立的条件是不同的，前者要求a,b 基本上实数，后者那么要求a,b 基本上正数.如：〔-3〕2+〔-4〕2≥2×〔-3〕×〔-4〕是成立的，而()()243-+-≥()()43-⨯-是不成立的.注意：(1)要在理解的基础上，记准这两个不等式成立的条件.(2)两个不等式：a 2+b 2≥2ab ，2b a +≥ab 基本上带有等号的不等式.“当且仅当a=b时取‘＝’”这句话的含义是“a=b ”时，a 2+b 2≥2ab ，2b a +≥ab 中只有等号成立，反之，假设a 2+b 2≥2ab , 2b a +≥ab 中的等号成立时,必有“a=b ”，这一条件至关重要，忽略它，往往会导致解题的失误.〔3〕两个不等式的应用两个不等式的结构基本上一边为“和式”，另一边为“积式”，因此两个不等式都具有将“和式”化为“积式”以及将“积式”化为“和式”的放缩功能，可证明不等式.利用等号成立的条件，可求最大、最小值.【二】利用差不多不等式求最大〔小〕值利用差不多不等式2b a +≥ab ，在求某些简单的最大〔小〕值问题时，特别有应用价值.一般地： x,y 都为正数时，〔1〕假设x+y=S 〔和为定值〕，那么当x=y 时，积xy 取得最大值42S ;〔2〕假设xy=p 〔积为定值〕，那么当x=y 时，和x+y 取得最小值2p.证明：∵x,y 都为正数， ∴2y x +≥xy(1)和式为定值S 时，有xy≤2S ，∴ xy ≤41S 2.上式当“x=y ”时取“＝”号，因式当x=y 时，积xy 有最大值41S 2；(2)积式xy 为定值p 时，有2y x +≥p,∴x+y ≥2p.上式当“x=y ”时取“＝”，因此，当x=y 时，和x+y 有最小值2p.注意：〔1〕在应用均值不等式ab ≤2b a +求最值时，需满足三个条件：“一正、二定、三相等”.“正”是所有变量均为正数，“定”是指变量的积或和为定值，“相等”是指等号成立的条件，以上三者，缺一不可.(2)在有关证明或求最值时，不等式都可连续多次使用，但需注意的是等号成立是否矛盾，只有当各次应用差不多不等式时"＝"号成立的条件一致时，“＝”才会取得，否那么"＝"将不成立.知能自主梳理1.差不多不等式假如a,b 基本上非负数，那么 ，当且仅当 时，等号成立.此不等式称为差不多不等式，其中 称为a,b 的算术平均数， 称为a,b 的几何平均数.2.利用差不多不等式求最值〔1〕两个正数的和为定值时，它们的积有 ，即假设a >0,b >0,且a+b=M,M 为定值，那么ab ≤42M ，等号当且仅当a=b 时成立.〔2〕两个正数的积为定值时，它们的和有 ，即假设a >0,b >0,且ab=P,P 为定值，那么a+b ≥ ,等号当且仅当a=b 时成立. ［答案］ 1. 2b a +≥ab a=b 2b a +ab2.(1)最大值 42M (2)最小值 2p思路方法技巧［例1］0＜a ＜1,0<b <1,那么a+b ,2ab ,a 2+b 2,2ab 中哪一个最大？［分析］由a,b 均为正数，且四个式子均为差不多不等式中的式子或其变形，可用差不多不等式来加以解决.［解析］方法一：∵a >0,b >0,∴a+b ≥2ab ,a 2+b 2≥2ab ,∴四个数中最大数应为a+b 或a 2+b 2. 又∵0＜a ＜1,0<b <1,∴a 2+b 2-(a+b )=a 2-a+b 2-b =a (a -1)+b (b -1)<0,∴a 2+b 2<a+b ,∴a+b 最大、方法二：令a=b =21,那么a+b =1,2ab =1,a 2+b 2=21,2ab =2×21×21=21,再令a =21,b =81,a+b =21+81=85,2ab =28121⨯＝21， ∴a+b 最大.［说明］运用差不多不等式比较大小应注意等号成立的条件.特别值法是解决不等式的一个有效方法，但要使特别值具有一般性. 变式应用1m=a +21-a (a >2),n =22-b2(b ≠0),那么m 、n 的大小关系是〔〕A.m>nB.m<nC.m=nD.不确定 ［答案］Aa >2,∴a -2>0, 又∵m=a +21-a =(a -2)+21-a +2≥２()212-⋅-a a +2=4,当且仅当a -2=21-a ,即〔a -2〕2=1,又a -2>0，∴a -2=1,即a =3时取等号.∴m ≥4. ∵b ≠0, ∴b 2≠0,∴2-b 2<2,∴22-b2<4,即n <4， ∴m>n .命题方向利用差不多不等式求最值［例2］〔1〕假设x >0，求函数f (x )=x12+3x 的最小值；〔2〕假设x <0，求函数f (x )=x12+3x 的最大值.［分析］利用差不多不等式求最值，必须同时满足3个条件：①两个正数；②其和为定值或积为定值；③等号必须成立.三个条件缺一不可.对〔1〕，由x >0,可得x12>0,3x >0.又因为x 12·3x =36为定值，且x12=3x (x >0)时，x =2,即等号成立，从而可利用差不多不等式求最值.对〔2〕，由x <0，得x12<0,3x <0,因此-x 12>0,-3x >0,因此对(-x12)+(-3x )可利用差不多不等式求最值.［解析］〔1〕因为x >0，因此x12>0,3x >0,因此f (x )=x12+3x ≥2x x312⋅=236=12.当且仅当x12=3x ,即x =2时，等号成立.因此当x =2时，f (x )取得最小值12. 〔2〕因为x <0,因此-x >0, 因此-f (x )=(-x12)+(-3x )≥2()x x 312-⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=12,因此f (x )≤-12.当且仅当-x12=-3x ,即x =-2时，等号成立.因此当x =-2时，f (x )取得最大值-12.［说明］利用差不多不等式求函数最值时，要注意体会“一正、二定、三相等”，当两个数均为负数时，首先将它们变为正数，即在前面加一个负号，再利用差不多不等式求解. 变式应用2设x >0，求y =2-x -x4的最大值.［解析］∵x >0,∴x +x4≥2xx 4⋅=4,∴y =2-(x +x 4)≤2-4=-2.当且仅当x =x 4，即x =2时等号成立，y 取最大值-2.［例3］〔1〕x <45，求函数y =4x -2+541-x 的最大值；〔2〕0<x <31,求函数y=x (1-3x )的最大值.［分析］此题不容易看出积或和为定值，必须对函数解析式进行拼凑，让其产生定值.［解析］〔1〕因为x <45，因此4x -5<0,即5-4x >0,因此y =4x -2+541-x =-(5-4x +x 451-)+3.因为5-4x +x451-≥2()xx 45145-⋅-=2, 因此y ≤-2+3=1,当且仅当5-4x =x451-,即x =1时等号成立，因此当x =1时，函数y 取得最大值1.〔2〕因为0<x<31，因此1-3x >0,因此y=x (1-3x )=31·3x (1-3x )≤31[()2313x x -+]2=121.当且仅当3x =1-3x ,即x =61时等号成立，因此当x =61时，函数y 取得最大值121.［说明］解决此题的关键是拼凑.〔1〕中将4x -2拼凑成4x -5.(2)中将x 拼凑成3x ,从而可产生定值.〔1〕中是积为定值.〔2〕中是和为定值. 变式应用3求函数y =31-x+x (x >3)的最小值. ［解析］y =31-x +x =31-x +(x -3)+3, ∵x >3,∴x -3>0, ∴31-x +(x -3)≥2()331--x x =2, 当且仅当31-x =x -3,即x -3=1,x =4时，等号成立.∴当x =4时，函数y =31-x +x (x >3)取最小值2+3=5. 命题方向利用差不多不等式解决有关实际应用问题［例4］某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x 元〔50<x ≤80〕时，每天销售的件数为p =()254010-x ,假设想每天获得的利润最多，那么销售价为多少元？［分析］首先据题意建立关于利润的函数模型，利润＝销售件数×〔销售价格-进货价格〕.再应用差不多不等式解决最值问题.［解析］解法一：由题意知利润S =〔x -50〕·()254010-x=(x -50)·()()1005020501025+-+-x x=()()205010050105+-+-x x .x -50≥0，〔x -50〕+()50105-x ≥20.∴S ≤2020105+＝2500， 当且仅当〔x -50〕＝()5010-x， 即x =60或x =40〔不合题意舍去〕时取=. 解法二：由题意知利润S =〔x -50〕·()254010-x令x －50＝t ，x =t +50〔t >0〕， 那么S =()251010+t t=100201025++t t t=20100105++tt ≤2020105+＝2500. 当且仅当t =t100，即t =10时取等号，如今x =60.答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多. ［说明］1.解实际应用问题要遵循以下几点：〔1〕在理解题意的基础上设变量，设变量时一定要把求最大值或最小值的变量定义为函数；〔2〕建立相应的函数解析式，将实际应用问题转化，抽象为函数的最大值或最小值问题〔纯数学问题〕；〔3〕在定义域内〔使实际问题有意义的自变量取值范围〕求出函数的最大值、最小值；〔4〕回到实际问题中，写出正确答案.2.此题为分式函数模型，可将其转化为差不多不等式的形式求解.假设分子次数高时，可把分子拼凑成分母的形式，用分母除开；假设分母次数高时，可把分母拼凑成分子的形式，反过来相除，此外，也能够先使用换元法，再拼凑上差不多不等式的形式，去求最值. 变式应用4某企业开发一种新产品，现预备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q 〔万件〕与广告费x 〔万元〕之间的函数关系为Q ＝xx 23-(x >0).生产此产品的年固定投入为3万元，每年生产1万件此产品仍需要投入32万元，假设年销售额为“年生产成本的150％”与“年广告费的50％”之和，而当年产销量相等.(1)试将年利润P 〔万元〕表示为年广告费x (万元)的函数； 〔2〕当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？ ［解析］〔1〕P =(32Q +3)·150％＋x ·50%-(32Q +3)-x =-2x -x32+49.5(x >0)；〔2〕P ＝-(2x ＋x 32)+49.5≤-2×4+49.5=41.5,当且仅当21x =x32时，即x =8时，P 有最大值41.5万元.答：当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为41.5万元.名师辨误做答［例5］a >0,b >0,且a 1+b9=1,求a+b 的最小值.a >0,b>0∴a 1+b9≥2ab 9=6ab1,∴6ab1≤1， ∴ab 1≤361，∴ab ≥36.∴a+b ≥2ab ≥12.∴a+b 的最小值为12.［辨析］上述解法错误的缘故是两次使用均值不等式时，两个等号成立的条件不同，即第一次等号成立的条件为a 1+b9,即b =9a ,第二次等号成立的条件为a=b ，故a+b 取不到最小值12.［正解］∵a >0,b >0，a 1+b9＝1，∴a+b =(a 1+b9)(a+b )=1+9+b a a b9+≥10+2ba ab 9⋅=10+2×3＝16.当且仅当ba ab9=，即b 2=9a 2时等号成立.解得a =4,b =12. 故当a =4,b =12时，a+b 取最小值16.课堂巩固训练【一】选择题 1.ab >0，那么ba a b+的取值范围是〔〕 A.〔2，+∞〕B.［2，+∞) C.(4，+∞)D.［4，+∞)［答案］B ［解析］∵ab >0,∴ab >0,ba >0,∴b a a b+≥2ba ab ⋅=2.当且仅当ba a b=，即a=b 时，等号成立. 2.不等式a 2+4≥4a 中等号成立的条件是〔〕A.a =±2B.a =2C.a =-2D.a =4［答案］B［解析］因为a 2-4a +4=(a -2)2≥0, 当且仅当a =2时取“＝”，因此a =2.3.假如a,b 满足0<a<b ,a+b =1,那么21,b ,2ab ,a 2+b 2中值最大的是〔〕A.21B.aC.2abD.a 2+b 2［答案］D［解析］解法一：∵0<a<b , ∴1=a+b >2a ,a <21,又a 2+b 2≥2ab ,∴最大数一定不是a 和2ab ,又a 2+b 2=(a+b )2-2ab =1-2ab ,∵1=a+b >2ab ,∴ab <41,∴1-2ab >1-21=21,即a 2+b 2>21.解法二：特值检验法：取a =31,b =32,那么2ab =94,a 2+b 2=95,∵95>21>94>31,∴a 2+b 2最大.【二】填空题4.假设x >0,那么x +x2的最小值为.［答案］22［解析］∵x >0,∴x +x2≥2xx 2⋅=22,当且仅当x =x2,即x =2时，等号成立.5.x,y ∈R ,x+y =5,那么3x+3y的最小值是. ［答案］183［解析］3x>0,3y>0.∴3x+3y ≥2yx 33⋅=2yx +3=2·〔3〕5＝183,当且仅当x=y =25时等号成立.课后强化作业【一】选择题1.以下函数中，最小值为2的是〔〕 A.y=x +x1B.y =sin x +x sin 1,x ∈(0,2π) C.y =2322++x x D.y =x +x1［答案］D［解析］A 中，不满足正数这一条件； B 中，∵x ∈(0,2π),∴sin x ∈(0,1),∴等号不成立； C 中，y =2322++x x =21222+++x x =22+x +212+x ,当22+x =212+x 时，x 2+2=1,x 2=-1(不成立)；D 中x >0,y =x +x1≥2,当且仅当x =x1,即x =1时，取最小值2.2.a,b ∈R +，那么2b a +,ab ，ba ab +2三个数的大小顺序是〔〕A.2b a +≤ab ≤ba ab +2B.ab ≤2b a +≤ba ab +2C.b a ab +2≤ab ≤2b a +D.ab ≤ba ab +2≤2b a +［答案］C［解析］解法一：取a =2,b =8,那么2b a +=5，ab =4，ba ab +2=3.2,∴选 C.解法二：2b a +≥ab，又ab -ba ab +2=()ba ab b a ab +-+2=()2ba b a ab +-≥∴ab ≥ba ab +2.也可作商比较ab ba ba ab ab 22+=+≥1.3.(2017·上海理，15)假设a,b ∈R ，且ab >0,那么以下不等式中，恒成立的是〔〕 A.a 2+b 2>2ab B.a+b ≥2ab C.b a 11+>ab2 D.b a a b +≥2 ［答案］D［解析］此题考查不等式的性质、差不多不等式，可用排除法逐项判断. 用排除法：A:a=b 时不满足； B:a<0,b <0时不满足； C:a <0,b <0时不满足； D:a b >0,b a >0,a b +ba ≥2ba ab ⋅=2.4.设x +3y =2,那么函数z =3x +27y 的最小值是〔〕 A.32B.22C.3D.6［答案］D［解析］∵x +3y =2, ∴x =2-3y .∴z =3x +27y =32-3y +27y ＝y279+27y ≥2yy27279⋅＝6，当且仅当y279=27y ,即27y =3,∴33y =3, ∴3y =1,∴y =31.即x =1,y =31时，z =3x +27y 取最小值6.5.某工厂第一年产量为A ,第二年的增长率为a ,第三年的增长率为b ,这两年的平均增长率为x ,那么〔〕A.x =2b a +B.x ≤2b a +C.x ＞2b a +D.x ≥2b a +［答案］B［解析］∵这两年的平均增长率为x ， ∴A (1+x )2=A (1+a )(1+b )，∴(1+x )2=(1+a )(1+b ),由题设a ＞0,b ＞0. ∴1+x =()()b a ++11≤()()211b a ++=1+2b a +，∴x ≤2b a +.等号在1+a =1+b 即a=b 时成立. 6.假设x >4，那么函数y=x +41-x 〔〕A.有最大值-6B.有最小值6C.有最大值-2D.有最小值2 ［答案］B［解析］∵x >4,∴x -4>0,∴y=x -4+41-x +4≥2()414-⋅-x x +4＝6.当且仅当x -4=41-x ，即x -4=1，x =5时，取等号. 7.假设a>b >1,P =ba lg lg ⋅,Q =21(lg a +lg b ),R =lg(2b a +),那么〔〕A.R<P<QB.P<Q<RC.Q<P<RD.P<R<Q ［答案］B［解析］由a ＞b ＞1,得lg a ＞lg b ＞0，Q =21(lg a +lg b )＞ba lg lg ⋅=P ，R=lg(2b a +)＞lg ab =21(lg a +lg b )=Q ，∴R ＞Q ＞P .8.设正数x,y 满足x +4y =40,那么lg x +lg y 的最大值是〔〕A.40B.10C.4D.2［答案］B［解析］∵x +4y ≥2yx 4⋅＝4xy,∴xy≤44y x +=440=10,当且仅当x =4y 即x =20,y =5时取“＝”， ∴xy ≤100,即〔xy 〕max =100,∴lg x +lg y =lg(xy )的最大值为lg100=2. 【二】填空题9.周长为l 的矩形对角线长的最小值为. ［答案］42l ［解析］设矩形长为a ,宽为b ,那么a+b =21,∵(a+b )2=a 2+b 2+2ab ≤2a 2+2b 2，∴a 2+b 2≥()22b a +，∴对角线长22b a +≥()22b a +=42l . 当且仅当a=b 时，取“＝”.10.假设a >0,b>0,a+b =2，那么以下不等式对一切满足条件的a,b 恒成立的是〔写出所有正确命题的编号〕. ①ab ≤1；②b a +≤2; ③a 2+b 2≥2; ④a 3+b 3≥3; ⑤ba 11+≥2. ［答案］①③⑤［解析］①ab ≤(2b a +)2=(22)2=1,成立.②欲证b a +≤2,即证a+b +2ab ≤2， 即2ab ≤0,显然不成立.③欲证a 2+b 2=〔a+b 〕2-2ab ≥2,即证4-2ab ≥2,即ab ≤1,由①知成立.④a 3+b 3=(a+b )(a 2-ab+b 2)≥3⇔a 2-ab+b 2≥23⇔(a+b )2-3ab ≥23⇔4-23≥3ab ⇔ab ≤65,由①知，ab ≤65不恒成立.⑤欲证a 1+b 1≥2,即证abb a +≥2,即证ab ≤1,由①知成立.11.(2017·山东·文)x ，y ∈R +，且满足43y x +=1，那么xy 的最大值为.［答案］3［解析］∵x >0,y >0,且1=43y x+≥212xy , ∴xy ≤3,当且仅当43y x=,即x =23,y =2时，等号成立.12.(2017·浙江文，16)假设实数x,y 满足x 2+y 2+xy =1,那么x+y 的最大值是 ［答案］332 ［解析］题考查了均值不等式及学生灵活运用该知识的能力. 由x 2+y 2+xy =1可得，〔x+y 〕2=xy +1 而由均值不等式得xy ≤〔2y x +〕2∴〔x+y 〕2≤〔2y x +〕2+1整理得，43〔x+y 〕2≤1∴x+y ∈［-332，332］∴x+y 的最大值为332.【三】解答题13.设实数a 使a 2+a -2>0成立，t >0，比较21log a t 与log a21+t 的大小.［解析］∵a 2+a -2＞0,∴a ＜-2或a ＞1， 又a ＞0且a ≠1,∴a ＞1， ∵t ＞0,∴21+t ≥t ,∴log a 21+t ≥log a t =21log a t ,∴21log a t ≤log a21+t .14.a >0,b >0,a,b 的等差中项是21,且α=a +a 1，β=b +b1,求α+β的最小值.［解析］因为a,b 的等差中项是21,因此a+b =1,α+β=(a +a 1)+(b +b 1)=(a+b )+(a 1+b1)=1+ab b a +=1+ab1,∵ab ≤(2b a +)2=41,∴ab1≥4,α+β≥5(当且仅当a=b =21时取等号)，故α+β的最小值为5.15.x >0,y >0,lg x +lg y =1,求x2+y5的最小值. ［解析］方法一：由条件lg x +lg y =1可得：x >0,y >0,且xy =10.那么x2+y5=1052x y +≥10102xy =2，因此(x2+y5)min =2,方法二：由条件lg x +lg y =1可得：x >0,y >0,且xy =10,x2+y5≥2yx 52⋅=21010=216.(2018·济南高二检测)要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目〔即图中阴影部分〕，这两栏的面积之和为18000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎么样确定广告的高与宽的尺寸〔单位：cm 〕，能使矩形广告面积最小？［分析］此题是一道较为典型的求最值的实际应用题，考查了均值不等式的应用，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力.［解析］设矩形栏目的高为a cm,宽为b cm, 那么ab =9000.①广告的高为a +20,宽为2b +25,其中a >0,b >0.广告的面积S ＝(a +20)(2b +25)=2ab +40b +25a +500=18500+25a +40b ≥18500+2b a 4025⋅=18500+2ab1000=24500.当且仅当25a=40b时等号成立，如今b=5a,8代入①式得a=120,从而b=75,即当a=120,b=75时，S取得最小值24500，故广告的高为140cm,宽为175cm时，可使广告的面积最小.。
高中数学 第三章 不等式 3.1 基本不等式学案 北师大版必修5-北师大版高一必修5数学学案
3．1 基本不等式学习目标 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．知识点一 算术平均数与几何平均数思考 如图，AB 是圆O 的直径，点Q 是AB 上任一点，AQ ＝a ，BQ ＝b ，过点Q 作PQ 垂直AB 于Q ，连接AP ，PB .如何用a ，b 表示PO ，PQ 的长度？梳理 如果a ，b 都是非负数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．其中a ＋b2称为a ，b 的________平均数，ab 称为a ，b 的________平均数．两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点二 基本不等式及其常见推论 思考 如何证明不等式ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)?梳理ab ≤a ＋b 2(a >0，b >0)．当对正数a ，b 赋予不同的值时，可得以下推论：(1)ab ≤(a ＋b2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(3)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．类型一 常见推论的证明 引申探究 证明不等式(a ＋b2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．例1 证明不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．反思与感悟 (1)本例证明的不等式成立的条件是a ，b ∈R ，与基本不等式不同．(2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为任意的实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 类型二 用基本不等式证明不等式 例2 已知x ，y 都是正数． 求证：(1)y x ＋xy≥2；(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3.反思与感悟 在(1)的证明中把y x ，x y分别看作基本不等式中的a ，b 从而能够应用基本不等式；在(2)中三次利用了基本不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号．跟踪训练2 已知a ，b ，c 都是正实数，求证：(a ＋b )(b ＋c )·(c ＋a )≥8abc . 类型三 用基本不等式比大小例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，a ，b ，x 均大于零，则( ) A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x ＞a ＋b2D ．x ≥a ＋b2反思与感悟 基本不等式a ＋b2≥ab 一端为和，一端为积，使用基本不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3 设a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝lg a ＋lg b2，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是( )A ．R ＜P ＜QB ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q1．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．52．若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a >a ＋b2>ab >bB ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b2>ab >a D ．b >a >a ＋b2>ab3．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a＋2b的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6 D ．8 4．设a >0，b >0，给出下列不等式：①a 2＋1>a ；②⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4；③(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9>6a .其中恒成立的是________．(填序号)1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .2. 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．答案精析问题导学 知识点一思考 PO ＝AB 2＝a ＋b 2.易证Rt△APQ ∽Rt△PBQ ，那么PQ 2＝AQ ·QB ，即PQ ＝ab ，显然，a ＋b 2≥ab .梳理 算术 几何 知识点二思考 ∵a ＋b －2ab ＝(a )2＋(b )2－2a ·b ＝(a －b )2≥0，当且仅当a ＝b 时，等号成立，∴a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 题型探究例1 证明 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab . 引申探究证明 由例1，得a 2＋b 2≥2ab ， ∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ， 两边同除以4，即得(a ＋b2)2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时，取等号．跟踪训练1 证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ；b 2＋c 2≥2bc ；c 2＋a 2≥2ca ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 例2 证明 (1)∵x ，y 都是正数， ∴xy >0，y x>0，∴y x ＋x y ≥2y x ·x y ＝2，即y x ＋xy≥2，当且仅当x ＝y 时，等号成立．(2)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y ≥2xy >0，x 2＋y 2≥2x 2y 2>0，x 3＋y 3≥2x 3y 3>0.∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3， 即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3， 当且仅当x ＝y 时，等号成立．跟踪训练2 证明 ∵a ，b ，c 都是正实数，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥2ab ·2bc ·2ca ＝8abc . 即(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．例3 B [第二年的产量为A ＋A ·a ＝A (1＋a )， 第三年产量为A (1＋a )＋A (1＋a )·b ＝A (1＋a )(1＋b )． 若平均增长率为x ，则第三年产量为A (1＋x )2.依题意有A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )， ∵a ＞0，b ＞0，x ＞0， ∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋a ＋1＋b 22，∴1＋x ≤2＋a ＋b 2＝1＋a ＋b2，∴x ≤a ＋b2.]跟踪训练3 B [∵a ＞b ＞1， ∴lg a ＞lg b ＞0， ∴lg a ＋lg b2＞lg a ·lg b ， 即Q ＞P .① 又a ＋b2＞ab ，∴lga ＋b2＞lg ab ＝12(lg a ＋lg b )， 即R ＞Q .②综合①②，有P＜Q＜R.] 当堂训练1．C 2.C 3.B 4.①②③。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 第3章 不等式章末归纳提升 苏教版必修5
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学第3章不等式章末归纳提升苏教版必修5不等式不等关系一元二次不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式的概念一元二次不等式的应用基本不等式基本不等式的证明基本不等式的应用比较大小、证明不等式求最值、解决实际生活中的问题二元一次不等式组与简单的线性规划问题二元一次不等式(组)与平面区域简单的线性规划在实际生活中的应用简单的线性规划问题一元二次不等式的解法及应用1.对于一元二次不等式的求解，要善于联想两方面的知识：(1)二次函数的图象，(2)一元二次方程的实根．切忌死记硬背，要从根本上理解求法的合理性．2．对于含参数的一元二次不等式，要注意分类讨论，掌握分类讨论的层次，一般顺序如下：(1)二次项系数，(2)Δ判别式符号，(3)两根的大小．3．对于一元二次不等式恒成立问题，一般转化成不等式的解集为R求解，若二次项系数含有字母，则要注意分类讨论．已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}．(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0.【思路点拨】(1)转化为方程ax2－3x＋2＝0有两相异根1，b(b＞1)，求解．(2)将a，b代入化简不等式，对c的值分类讨论，解不等式．【规范解答】(1)因为不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}．所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b＞1.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0，即x 2－(2＋c )x ＋2c ＜0，即(x －2)(x －c )＜0.①当c ＞2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为{x |2＜x ＜c }． ②当c ＜2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}． ③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为∅.所以当c ＞2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0的解集为{x |2＜x ＜c }； 当c ＜2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0的解集为∅. 解关于x 的不等式：x 2－2ax －3a 2＜0(a ∈R )． 【解】 由x 2－2ax －3a 2＜0，得(x －3a )(x ＋a )＜0. 又x 2－2ax －3a 2＝0的两根分别为3a ，－a ， (1)当3a ＞－a ，即a ＞0时， 原不等式的解集为{x |－a ＜x ＜3a }； (2)当3a ＝－a ，即a ＝0时， 原不等式的解集为∅； (3)当3a ＜－a ，即a ＜0时， 原不等式的解集为{x |3a ＜x ＜－a }.简单的线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．其常见题型有以下三种：(1)求目标函数的最值或范围；(2)求目标函数取得最值时的点的坐标；(3)求目标函数取得最值时相关量的范围．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，求z ＝y －1x ＋1的取值范围． 【思路点拨】 本题应用线性规划进行处理，目标函数z ＝y －1x ＋1的几何意义是可行域内一点(x ，y )与定点(－1,1)连线的斜率．【规范解答】 y ≥0表示x 轴及其上方的区域，x －y ≥0表示直线y ＝x 上及其右下方的区域，2x －y －2≥0表示直线2x －y －2＝0上及其右下方的区域．所给不等式组表示的区域为如图所示的阴影部分，目标函数z ＝y －1x ＋1表示阴影部分上的点与定点(－1,1)的连线的斜率，由图可见点(－1,1)与点(1,0)连线的斜率为－12，为最小值，连线斜率的最大值趋近于1，但永远达不到，故－12≤z ＜1.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【解】 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝x ＋0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一族直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线x ＋0.5y ＝0的距离最大，这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得x ＝4，y＝6.此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)． ∵7＞0，∴当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值．答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.基本不等式及其应用基本不等式是高考的热点之一，利用基本不等式可以比较大小、求函数最值、求字母参数的取值范围、证明不等式等．利用基本不等式解题时，要注意满足“一正、二定、三相等”缺一不可，若不满足，可以通过拼凑、换元等手段进行代数变换，使其符合基本不等式应用条件．设正数x ，y ，z 满足(x ＋y )(x ＋z )＝2，求xyz (x ＋y ＋z )的最大值．【思路点拨】 本题考查不等式ab ≤(a ＋b2)2及“整体思想”的应用．由(x ＋y )(x ＋z )＝2，得x 2＋xy ＋xz ＝2－yz ，整体代入所求式子，用不等式求最大值．【规范解答】 ∵(x ＋y )(x ＋z )＝2，∴x 2＋xy ＋xz ＝2－yz ， ∴xyz (x ＋y ＋z )＝yz (x 2＋xy ＋xz ) ＝yz (2－yz )≤(yz ＋2－yz2)2＝1.当且仅当yz ＝2－yz ，即yz ＝1时取等号． ∴xyz (x ＋y ＋z )的最大值为1.在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离d (米)与车速v (千米/时)需遵循的关系是d ≥12 500av 2(其中a (米)是车身长，a 为常量)，同时规定d ≥a2. (1)当d ＝a2时，求机动车速度的变化范围；(2)设机动车每小时流量Q ＝1 000va ＋d，应规定怎样的车速，可以使每小时的机动车流量Q 最大？【解】 (1)由题意知a 2≥12 500av 2，所以－252≤v ≤252，由题意知v ＞0，所以当d ＝a2时，0＜v ≤25 2.(2)当0＜v ≤252时，Q ＝1 000v32a ，Q 是v 的正比例函数，所以v ＝252时，Q max ＝50 00023a；当v ＞252时， Q ≤1 000v a ＋av 22 500＝1 000a 1v ＋v2 500≤25 000a .当且仅当1v ＝v 2 500，即v ＝50时，等号成立，Q max ＝2 5000a .综上，由于25 000a ＞50 00023a ，故当v ＝50时，每小时的机动车流量Q 最大，Q max ＝25 000a.思想方法分析问题和解决问题．函数与方程思想与不等式联系密切．如一元二次不等式的求解，主要就是结合二次函数的图象，借助一元二次方程的根进行求解，再如，证明不等式时，对于不等号两边结构相同的式子，可以考虑构造函数的方法，结合函数的单调性来证明．m 为何值时，方程x 2＋(m －2)x ＋(5－m )＝0的两个根都大于2?【思路点拨】 构造一元二次函数，利用一元二次方程根的分布来解决．【规范解答】 设f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋(5－m )，由方程的两个根都大于2可知，函数f (x )的大致图象如图所示，所以有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f 2＞0，－m －22＞2，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16≥0，m ＞－5，m ＜－2，解得－5＜m ≤－4.对于适合0≤x ≤1的任意x ，不等式(x －1)(log 5a )2－4x log 5a ＋2x ＋1＞0恒成立，求实数a 的取值范围．【解】 令f (x )＝(x －1)(log 5a )2－4x log 5a ＋2x ＋1， 则f (x )＝[(log 5a )2－4log 5a ＋2]x ＋1－(log 5a )2是一次函数， 有f (x )在[0,1]上是单调的，因此f (x )＞0在[0,1]上恒成立等价于f (0)＞0且f (1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－log 5a 2＞0，－4log 5a ＋3＞0，解得15＜a ＜4125，所以a 的取值范围是(15，4125)．综合检测(三) 第3章 不等式(时间：120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．(2013·南京检测)若1a ＜1b＜0，则下列不等式：①a ＋b ＜ab ，②|a |＞|b |，③a ＜b ，④b a ＋a b＞2中，正确的是________．(填序号)【解析】 ∵1a ＜1b ＜0，∴a ＋b ＜0，ab ＞0，∴a ＋b ＜ab ，①正确，由1a ＜1b＜0，得0＞a ＞b ，∴|a |＜|b |，②错误，③错误，由题意知b a ＞0，a b ＞0，∴b a ＋ab＞2，④正确．【答案】 ①④2．函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x －4≤0，x ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤1，x ≠0.【答案】 [－4,0)∪(0,1]3．设M ＝(x －1)(x －5)，N ＝(x －3)2，则M 与N 的大小关系为________．【解析】 ∵M ＝(x －1)(x －5)＝x 2－6x ＋5，N ＝(x －3)2＝x 2－6x ＋9，∴M －N ＝(x 2－6x ＋5)－(x 2－6x ＋9)＝－4＜0，∴M ＜N .【答案】 M ＜N4．(2013·烟台高二检测)已知x ＞0，函数y ＝4x＋x 的最小值是________．【解析】 由x ＞0，∴4x ＞0，∴y ＝4x ＋x ≥24x·x ＝4，当且仅当4x＝x 即x ＝2时取等号．【答案】 45．已知点A (3，－1)和B (－1,2)在直线ax ＋2y －1＝0的同侧，则实数a 的取值范围是________．【解析】 因为A (3，－1)和B (－1,2)在直线的同侧，所以(3a －3)·(－a ＋3)＞0，解得1＜a ＜3.【答案】 (1,3)6．(2012·长沙高二检测)A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |x ＜a }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．【解析】 A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x <a }， ∵A ∩B ＝∅，∴a ≤－1. 【答案】 (－∞，－1]7．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则2x ＋4y 的最小值为________．【解析】 作出平面区域如图所示，令z ＝2x ＋4y ，欲求z 的最小值，即求y ＝－12x ＋z4在y 轴上截距的最小值，可以看出当直线过点A (3，－3)时，纵截距最小．所以z min ＝2×3＋4×(－3)＝－6.【答案】 －68．设M ＝3x＋3y2，N ＝(3)x ＋y，P ＝3xy(0＜x ＜y )，则M 、N 、P 的大小顺序是________．【解析】 ∵3x＋3y2≥3x ·3y ＝(3)x ＋y，∴M ≥N ，又∵x ≠y ，∴M ＞N ； ∵x ＋y2≥xy ，∴3x ＋y2≥3xy，∴N ≥P ，又∵x ≠y ，∴N ＞P ，∴M ＞N ＞P . 【答案】 M ＞N ＞P9．(2013·无锡检测)不等式x 4－x 2－2≤0的解集为________． 【解析】 原不等式可化为(x 2＋1)(x 2－2)≤0， ∵x 2＋1＞0∴x 2－2≤0，∴x 2≤2，∴－2≤x ≤ 2. 【答案】 [－2， 2 ]10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a 的取值范围是________．【解析】 作出可行域如图所示，由题意可知当直线x ＋y ＝a 经过(23，23)时，a ＝43，满足条件，当a ＞43时满足条件，当直线x ＋y ＝a 经过点(1,0)时，a ＝1，∴当0＜a ≤1时满足条件，∴a 的取值范围为0＜a ≤1或a ≥43.【答案】 (0,1]∪[43，＋∞)11．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 【解析】 ∵x ，y ∈R ＋， ∴x ＋4y ＝1≥24xy ，∴xy ≤116.【答案】11612．(2013·德州高二检测)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，则y ＋7x ＋4∈________. 【解析】 作可行域如图中△ABC 区域． 又y ＋7x ＋4的几何意义是区域内点(x ，y )与定点P (－4，－7)连线的斜率． 由⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0，∴ A (－1，－6)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0，∴B (－3,2)．∴k PA ＝13，k PB ＝9，∴13≤y ＋7x ＋4≤9. 【答案】 [13，9]13．设正数a ，b 满足ab ＝a ＋9b ＋7，则ab 的最小值为______．【解析】 因为a ，b 都为正数，所以ab ＝a ＋9b ＋7≥29ab ＋7＝6ab ＋7，当且仅当a ＝9b 时等号成立，因为ab ≥6ab ＋7，解得ab ≥7，所以ab ≥49，故ab 的最小值为49.【答案】 4914．(2013·南通检测)不等式x 2－ax ＋b ＜0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式bx 2－ax －1＞0的解集为______．【解析】 由题意方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3.∴a ＝5，b ＝6，∴不等式bx 2－ax －1＞0可化为：6x 2－5x －1＞0，即(x －1)(6x ＋1)＞0，∴x ＜－16或x ＞1.【答案】 (－∞，－16)∪(1，＋∞)二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)设x ＞－1，求f (x )＝x ＋5x ＋2x ＋1的最值．【解】 ∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，∴f (x )＝x ＋5x ＋2x ＋1＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝x ＋12＋5x ＋1＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2x ＋14x ＋1＋5＝4＋5＝9. 当且仅当x ＋1＝4x ＋1， 即x ＝1(x ＝－3舍去)时取等号．故当x ＝1时，f (x )有最小值9，f (x )无最大值．16．(本小题满分14分)求z ＝x ＋6y ＋7的最值，使(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤10，2x ＋y ≥6，y ≥0.【解】 作可行域如图所示，由图知z ＝x ＋6y ＋7在A 处取到最大值，在B 处取到最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝10，2x ＋y ＝6，解得A (23，143)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝6，y ＝0，解得B (3,0)．所以z max ＝23＋6×143＋7＝3523，z min ＝3＋6×0＋7＝10.17．(本小题满分14分)某公司计划2013年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，则该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【解】 设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y ，二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0，平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M点时，目标函数取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得x ＝100，y ＝200.所以点M 的坐标为(100,200)．所以z max ＝3 000x ＋2 000y ＝70 0000元，700 000元＝70万元，即在甲电视台做广告100分钟，在乙电视台做广告200分钟，才能使公司的收益最大，最大收益是70万元．18．(本小题满分16分)(2013·扬州检测)已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R . (1)若函数f (x )有最大值178，求实数a 的值；(2)若不等式f (x )＞－2x 2－3x ＋1－2a 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)若a ＜0，解不等式f (x )＞1.【解】 (1)显然a ＜0，且－4a 2－14a ＝178，解得：a ＝－2或a ＝－18.(2)由f (x )＞－2x 2－3x ＋1－2a 得：(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0. 当a ＝－2时，不合题意； 当a ≠－2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝16－4a ＋2a －1＜0，所以a ＞2.(3)ax 2＋x －a －1＞0，即(x －1)(ax ＋a ＋1)＞0 因为a ＜0，所以(x －1)(x ＋a ＋1a)＜0， 因为1－(－a ＋1a )＝2a ＋1a， 所以当－12＜a ＜0时，1＜－a ＋1a ，解集为{x |1＜x ＜－a ＋1a }；当a ＝－12时，(x －1)2＜0，解集为∅；当a ＜－12时，1＞－a ＋1a ，解集为{x |－a ＋1a＜x ＜1}．19．(本小题满分16分)(2013·无锡检测)已知函数f (x )＝x 2－ax (a ∈R )． (1)若不等式f (x )＞a －3的解集为R ，求实数a 的取值范围；(2)设x ＞y ＞0，且xy ＝2，若不等式f (x )＋f (y )＋2ay ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．【解】 (1)即不等式x 2－ax －a ＋3＞0的解集为R ， ∴Δ＝a 2＋4(a －3)＜0恒成立， 即a 2＋4a －12＜0恒成立， ∴－6＜a ＜2.(2)即不等式x 2－ax ＋y 2－ay ＋2ay ≥0恒成立，∴不等式x 2＋y 2≥a (x －y )恒成立． ∵x ＞y ＞0，∴a ≤x 2＋y 2x －y. ∵x 2＋y 2x －y ＝x －y 2＋2xy x －y ＝(x －y )＋4x －y≥4 (当且仅当x －y ＝4x －y即x ＝1＋3，y ＝－1＋3时取等号)， ∴实数a 的取值范围(－∞，4]．20．(本小题满分16分)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞－2x 的解集为(1,3)．(1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式；(2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围．【解】 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则不等式f (x )＞－2x 化为ax 2＋(b ＋2)x ＋c＞0.因为不等式的解集为(1,3)，所以a ＜0，－b －2a ＝4，c a＝3，即a ＜0，b ＝－4a －2，c ＝3a .因为方程ax 2＋bx ＋6a ＋c ＝0有两个相等的实根，所以Δ＝b 2－4a (6a ＋c )＝0.把b ，c分别代入Δ中，化简得5a 2－4a －1＝0，解得a ＝－15，a ＝1(舍去)．所以b ＝－65，c ＝－35.所以f (x )的解析式为f (x )＝－15x 2－65x －35. (2)由(1)知a ＜0，所以当x ＝－b 2a 时，函数f (x )取得最大值，由题设，得a (－b 2a )2＋b ·(－b 2a)＋c ＞0.代入b ，c 并整理得a 2＋4a ＋1＞0.解得a ＜－2－3或a ＞－2＋ 3.又因为a ＜0，所以a 的取值范围为(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 第三章 不等式综合检测 北师大版必修5
第三章 不等式(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( ) A ．a ＞b ⇒ac 2＞bc 2B ．a ＞b ⇒a 2＞b 2C ．a ＞b ⇒a 3＞b 3D ．a 2＞b 2⇒a ＞b【解析】 A 中，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以A 不正确；B 中，当a ＝0＞b ＝－1时，a2＝0＜b 2＝1，所以B 不正确；D 中，当(－2)2＞(－1)2时，－2＜－1，所以D 不正确，很明显C 正确．【答案】 C2．不等式x 2≥3x 的解集是( ) A ．{x |x ≥3} B ．{x |x ≤3} C ．{x |0≤x ≤3}D ．{x |x ≤0或x ≥3}【解析】 原不等式化为x 2－3x ≥0，则x ≤0或x ≥3. 【答案】 D3．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x >0时，x ＋1x≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值【解析】 当x >0时，x ＋1x≥2x ×1x＝2.【答案】 B4．关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为(－∞，1)，则关于x 的不等式(bx －a )(x ＋2)>0的解集为( )A ．(－2，1)B ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)C ．(－2，－1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【解析】 由已知得a ＋b ＝0且a <0，∴(bx －a )(x ＋2)>0，即(x ＋1)(x ＋2)>0，解得x >－1或x <－2.【答案】 B5．已知两个正数a ，b 的等差中项为4，则a ，b 的正的等比中项的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【解析】ab ≤a ＋b 2＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．【答案】 B 6．不等式x －1x ＋2＞1的解集是( ) A ．{x |x ＜－2} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |x ＜1} D ．R【解析】 不等式可化为x －1x ＋2－1＞0，即－3x ＋2＞0， ∴x ＋2＜0，∴x ＜－2. 【答案】 A7．已知x ＞0，y ＞0，lg 2x ＋lg 8y＝lg2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3 【解析】 由lg 2x＋lg 8y＝lg 2，得lg 2x ＋3y＝lg 2，∴x ＋3y ＝1，1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋x 3y ＋3yx≥4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝1，x 3y ＝3yx，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝16时，等号成立．故1x ＋13y 的最小值是4. 【答案】 C8．(2013·皖南八校高二检测)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，y ≥－2x ，x ≤3，则目标函数z ＝x－2y 的最大值为( )A ．－9B ．0C ．9D ．15【解析】 约束条件的可行域如图阴影部分，作出直线l 0：x －2y ＝0，平移知，在点B (3，－6)处z 有最大值且z max ＝3－2×(－6)＝15.故选D.【答案】 D9．若a ，b ∈(0，＋∞)且ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．(0，9) C ．(3，＋∞) D ．[9，＋∞)【解析】 ∵a >0，b >0， ∴a ＋b ≥2ab ，所以ab ≥2ab ＋3，即ab －2ab －3≥0， ∴ab ≥3，或ab ≤－1(舍去)， ∴ab ≥9.故选D. 【答案】 D10．我市某公司，第一年产值增长率为p ，第二年产值增长率为q ，这二年的平均增长率为x ，那x 与p ＋q2大小关系(p ≠q )是( )A ．x <p ＋q2 B ．x ＝p ＋q2C ．x >p ＋q2D ．与p ，q 取值有关【解析】 由已知得(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， 又因为(1＋p )(1＋q )<[（1＋p ）＋（1＋q ）2]2＝(1＋p ＋q2)2，所以(1＋p ＋q2)2>(1＋x )2，所以x <p ＋q2.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 11．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤4，y ≥0，2x －y ≥0所表示的平面区域的面积是________．【解析】 如图满足条件的平面区域为一直角梯形，其面积为S ＝12×(2＋8)×3＝15.【答案】 1512．设a >b >0，集合M ＝{x |b <x <a ＋b2}，N ＝{x |ab <x <a }，则集合M ∩N ＝________．【解析】 由a >b >0，得b <ab <a ，a ＋b2<a ，又∵a ＋b2>ab ，∴M ∩N ＝{x |ab <x <a ＋b2}． 【答案】 {x |ab <x <a ＋b2}13．某公司一年购买某种货物400 t ，每次都购买x t ，运费为每次4万元，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________．【解析】 设一年的总费用为y 万元， 则y ＝4×400x ＋4x ＝1 600x＋4x ≥21 600x×4x ＝160.当且仅当1 600x＝4x ，即x ＝20时等号成立．【答案】 2014．(2013·济南高二检测)下列命题：①设a ，b 是非零实数，若a <b ，则ab 2<a 2b ；②若a <b <0，则1a >1b ；③函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值是2；④若x ，y 是正数，且1x ＋4y＝1，则xy 的最小值16.其中正确命题的序号是________．【解析】 ①中ab 2－a 2b ＝ab (b －a )，∵a ，b 符号不定，∴上式符号不定．故①错；②中在a <b 两边再乘以正数1ab ，得1a >1b，故②正确；③中y＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，但由x 2＋2＝1x 2＋2得x 2＋2＝1无解，故③错误；④中∵1x ＋4y ＝1≥24xy，∴xy ≥16.即④正确． 【答案】 ②④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知x ，y 均为正数，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．【解】 ∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋9y )＝y x ＋9xy＋10≥2y x ·9xy＋10＝16. 当且仅当y x ＝9xy时取等号． 由⎩⎪⎨⎪⎧y x ＝9x y ，1x ＋9y ＝1及x ＞0，y ＞0，得x ＝4，y ＝12.∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.16．(本小题满分12分)已知a >0，b >0，且a ≠b 比较a 2b ＋b 2a 与a ＋b 的大小．【解】 ∵(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)(1b －1a)＝(a 2－b 2)a －bab＝（a －b ）2（a ＋b ）ab，又∵a >0，b >0，a ≠b ，∴(a －b )2>0，a ＋b >0，ab >0.∴(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )>0.∴a 2b ＋b 2a>a ＋b . 17．(本小题满分12分)如图1，互相垂直的两条公路AP 、AQ 旁有一矩形花园ABCD ，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园AMN ，要求点M 在射线AP 上，点N 在射线AQ 上，且直线MN 过点C ，其中AB ＝36米，AD ＝20米．记三角形花园AMN 的面积为S .图1(1)问：DN 取何值时，S 取得最小值，并求出最小值； (2)若S 不超过1 764平方米，求DN 长的取值范围． 【解】 (1)设DN ＝x (x >0)米，则AN ＝(x ＋20)米．因为DN DC ＝AN AM ，所以x 36＝x ＋20AM，即AM ＝36（x ＋20）x.所以S ＝12×AM ×AN ＝18（x ＋20）2x＝18(x ＋400x＋40)≥1 440，当且仅当x ＝20时取等号．所以，S 的最小值等于1 440平方米．(2)由S ＝18（x ＋20）2x≤1 764，得x 2－58x ＋400≤0，解得8≤x ≤50.所以，DN 长的取值范围是[8，50]．18．(本小题满分14分)某糖果厂生产A 、B 两种糖果，A 种糖果每箱可获利润40元，B种糖果每箱可获利润50元．其生产过程分混合、烹调、包装三道工序．下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单位：min).30h ，包装的设备最多只能用机器15 h ，每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？【解】 设生产A 种糖果x 箱，生产B 种糖果y 箱，可获利润z 元，即求z ＝40x ＋50y在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤720，5x ＋4y ≤1 800，3x ＋y ≤900，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N下的最大值．作出可行域，如图．作直线l 0：40x ＋50y ＝0，平移l 0，直线经过点P 时，z ＝40x ＋50y 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝720，5x ＋4y ＝1 800，得点P 坐标为(120，300)．∴z max ＝40×120＋50×300＝19 800.所以生产A 种糖果120箱，生产B 种糖果300箱时，可以获得最大利润19 800元．。
高中数学 3.3.1 基本不等式课时作业 北师大版必修5
3.1 基本不等式课时目标1.理解基本不等式的内容及其证明；2.能利用基本不等式证明简单不等式．1．如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2____2ab (当且仅当______时取“＝”号)．2．若a ，b 都为____数，那么a ＋b2____ab (当且仅当a ____b 时，等号成立)，称上述不等式为______不等式，其中________称为a ，b 的算术平均数，______称为a ，b 的几何平均数．3．基本不等式的常用推论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22 (a ，b ∈R )； (2)当x >0时，x ＋1x ≥____；当x <0时，x ＋1x ≤______.(3)当ab >0时，b a ＋a b ≥____；当ab <0时，b a ＋ab≤____.(4)a 2＋b 2＋c 2____ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R )．一、选择题1．已知a >0，b >0，则a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，2aba ＋b中最小的是( ) A.a ＋b2B.abC.a 2＋b 22D.2aba ＋b2．已知m ＝a ＋1a －2 (a >2)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2 (x <0)，则m 、n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝n D ．m ≤n 3．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1 D.a 2＋b 22<ab <14．已知正数0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a 2＋b 2，其中最大的一个是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b 5．设0<a <b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( ) A.12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 26．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(]0，1恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3二、填空题7．若a <1，则a ＋1a －1有最______值，为________．8．若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5y 的最小值为________．9．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．10．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．三、解答题11．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .12．a >b >c ，n ∈N 且1a －b ＋1b －c ≥n a －c，求n 的最大值．能力提升13．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2 14．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.§3 基本不等式 3．1 基本不等式 答案知识梳理1．≥ a ＝b 2.正 ≥ ＝ 基本 a ＋b2ab 3．(2)2 －2 (3)2 －2 (4)≥作业设计1．D [方法一 特殊值法．令a ＝4，b ＝2，则a ＋b 2＝3，ab ＝8， a 2＋b 22＝10，2ab a ＋b ＝83.∴2aba ＋b最小．方法二 2ab a ＋b ＝21a ＋1b ，由21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22，可知2aba ＋b最小．] 2．A [∵m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)1a －2＋2＝4，n ＝22－x 2<22＝4.∴m >n .] 3．B [∵ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，a ≠b ，∴ab <1，又∵a 2＋b 22>a ＋b2>0，∴a 2＋b 22>1，∴ab <1<a 2＋b 22.]4．D [因为a 、b ∈(0,1)，a ≠b ，所以a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab ，所以，最大的只能是a 2＋b 2与a ＋b 之一．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)，又0<a <1,0<b <1，所以a－1<0，b －1<0，因此a 2＋b 2<a ＋b ，所以a ＋b 最大．]5．B [∵ab <⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，∴ab <14，∴2ab <12.∵a 2＋b 22>a ＋b 2>0，∴ a 2＋b 22>12，∴a 2＋b 2>12.∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )>0，∴b >a 2＋b 2，∴b 最大．]6．B [x 2＋ax ＋1≥0在x ∈(]0，1上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max .∵x ＋1x≥2，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－2，∴a ≥－2.]7．大 －1解析 ∵a <1，∴a －1<0，∴－⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2(a ＝0时取等号)， ∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1≤－1.8．2解析 ∵lg x ＋lg y ＝1，∴xy ＝10，x >0，y >0， ∴2x ＋5y ＝2x ＋x2≥2(x ＝2时取等号)． 9．3解析 ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y 4≥2xy12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号．10.⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 解析 ∵x >0，∴xx 2＋3x ＋1>0，易知a >0.∴x 2＋3x ＋1x ≥1a，∴1a ≤x ＋1x＋3.∵x >0，x ＋1x＋3≥2x ·1x＋3＝5(x ＝1时取等号)，∴1a ≤5.∴a ≥15. 11．证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、abc也都是正数．∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc≥2b ， 三式相加得2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . 12．解 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0.∵1a －b ＋1b －c ≥n a －c ， ∴n ≤a －c a －b ＋a －c b －c.∵a －c ＝(a －b )＋(b －c )，∴n ≤(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c ，∴n ≤b －c a －b ＋a －b b －c ＋2.∵b －c a －b ＋a －b b －c ≥2 (b －c a －b )·(a －b b －c ) ＝2(2b ＝a ＋c 时取等号)． ∴n ≤4.∴n 的最大值是4.13．C [只需求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于等于9即可， 又(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥a ＋1＋2 a ·x y ·y x ＝a ＋2 a ＋1，等号成立仅当a ·x y ＝yx 即可，所以(a )2＋2 a ＋1≥9，即(a )2＋2 a －8≥0求得a ≥2或a ≤－4(舍去)，所以a ≥4，即a 的最小值为4.]14．证明 ∵1a ＋1b ≥21ab＝2c ，1b ＋1c ≥2 1bc＝2a ， 1c ＋1a≥21ac＝2b ，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )， 即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c .∵a ，b ，c 为不等正实数，∴a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 1.1 从普查到抽样课时训练 北师大版必修3
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.1 从普查到抽样课时训练北师大版必修3一、选择题1．为了了解某地参加计算机水平测试的5 000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中5 000名学生成绩的全体是( )A．总体B．个体C．从总体中抽取的一个样本D．样本的容量【解析】依据抽样调查的要求可知选A.【答案】 A2．抽样调查在抽取调查对象时( )A．按一定的方法抽取B．随便抽取C．全部抽取D．根据个人的爱好抽取【解析】根据抽样调查的要求，可知选A.【答案】 A3．下列调查方式合适的是( )A．要了解一批电视机的使用寿命，采用普查方式B．要了解收看中央电视台的“法制报道”栏目的情况，采用普查方式C．要保证“神舟十号”载人飞船发射成功，对重要零件采取抽查方式D．要了解外国人对“上海世博会”的关注度，可采取抽样调查方式【解析】检测电视机的寿命，具有破坏性，不宜用普查方式，故A不正确；由于收视观众较多，分布广，所以B不正确；对于“神舟十号”重要零件，数量不大，且至关重要，所以适合普查，因此C不正确；故选D.【答案】 D4．(2013·南昌检测)下列调查中属于抽样调查的是( )①每隔5年进行一次人口普查；②某商品的质量优劣；③某报社对某个事件进行舆论调查；④高考考生的身体检查．A．②③B．①④C．③④D．①②【解析】①④为普查，②③为抽样调查．【答案】 A5．下面问题可以用普查的方式进行调查的是( )A．检验一批钢材的抗拉强度B．检验海水中微生物的含量C．检验10件产品的质量D．检验一批汽车的使用寿命【解析】A不能用普查的方式调查，因为这种试验具有破坏性；B用普查的方式无法完成；C可以用普查的方式进行调查；D该试验具有破坏性，且需要耗费大量的时间，在实际生产中无法应用．【答案】 C二、填空题6．为了准确调查我国某一时期的人口总量、人口分布、民族人口、城乡人口、受教育的程度、迁徒流动、就业状况等多方面的情况，需要用________的方法进行调查．【解析】要获得系统、全面、准确的信息，在对总体没有破坏的前提下，普查无疑是一个非常好的方法，要求全面、准确调查人口的状况，应当用普查的方法进行调查．【答案】普查7．检验员为了检查牛奶中是否含有黄曲霉素MI，应采用________的方法检验．【解析】这是大批量的破坏性检验，不可能进行普查，应当采取抽样调查的方法检验．【答案】抽样调查8．为了了解某班学生的会考合格率，要从该班70人中选30人进行考察分析．在这个问题中，70人的会考成绩的全体是________，样本是________，样本容量是________．【解析】由总体、样本、样本容量的定义知：70人的会考成绩的全体是总体，样本是30人的会考成绩．样本容量是30.【答案】总体30人的会考成绩30三、解答题9．某市有7万名学生参加学业水平测试，要想了解这7万名学生的数学成绩，从中抽取了1 000名学生的数学成绩．(1)在此项调查中总体是什么？(2)在此项调查中个体是什么？(3)在此项调查中样本是什么？(4)在此项调查中样本容量是什么？【解】(1)总体是7万名学生的数学成绩．(2)个体是7万名学生中每一名学生的数学成绩．(3)样本是从7万名学生的数学成绩中抽取1 000名学生的数学成绩．(4)样本容量是1 000.10．某县有在校高中生6 400人，初中生30 200人，小学生30 300人．该县电教站为了了解本县对计算机的推广及学生掌握的熟练程度，该部门应如何抽取样本？【解】因为影响学生计算机知识的掌握及使用情况的因素是多方面的，不同的乡镇，不同的学校，办学条件也不同，因此在进行抽样时，宜将学生按城、乡及高中、初中、小学分别抽样．另外，三类学生人数相差较大．因此，为了提高样本的代表性，还应考虑他们在样本中所占的比例大小．11．你的班主任想全面了解你班学生的学习和思想状况．请你帮助班主任设计一个调查方案．【解】因为一个班的人数不是太多，为了帮助班主任全面了解班里学生的学习和思想状况，可以采取普查的方法进行调查．可以先设计一个问卷，包括同学们对学习的各种看法，同学们的爱好、心理和思想状况等，然后发放给每一个学生，并全部收回，然后进行统计，这样就可以全面了解每个学生的学习和思想状况了.。
高中数学 3.3 基本不等式(第1课时)练习 北师大版必修5
高中数学 3.3 基本不等式（第1课时）练习 北师大版必修5一、选择题1．下列函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝sinx ＋1sinx ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2C ．y ＝x2＋3x2＋2D ．y ＝x ＋1x[答案] D[解析] A 中，不满足正数这一条件；B 中，∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sinx ∈(0,1)，∴等号不成立；C 中，y ＝x2＋3x2＋2＝x2＋2＋1x2＋2＝x2＋2＋1x2＋2， 当x2＋2＝1x2＋2时，x2＋2＝1，x2＝－1(不成立)；D 中x>0，y ＝x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，取最小值2.故选D ． 2．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为() A ．8 B ．4 C ．1 D ．14[答案] B[解析] 由已知，得3a·3b ＝3，∴3a ＋b ＝3，∴a ＋b ＝1. ∵a>0，b>0，∴1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(a ＋b)＝2＋b a ＋a b ≥2＋b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．3．若x>4，则函数y ＝x ＋1x －4( )A ．有最大值－6B ．有最小值6C ．有最大值－2D ．有最小值2[答案] B[解析] ∵x>4，∴x －4>0， ∴y ＝x －4＋1x －4＋4≥2x －4·1x －4＋4＝6. 当且仅当x －4＝1x －4，即x －4＝1，x ＝5时，取等号． 4．若a>b>1，P ＝lga·lgb ，Q ＝12(lg a ＋lg b)，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则( ) A ．R<P<Q B ．P<Q<RC ．Q<P<RD ．P<R<Q[答案] B[解析] 由a ＞b ＞1，得lga ＞lgb ＞0，Q ＝12(lga ＋lgb)＞lga·lgb ＝P ，R ＝lg(a ＋b 2)＞lg ab ＝12(lga ＋lgb)＝Q ，∴R ＞Q ＞P .5．设正数x ，y 满足x ＋4y ＝40，则lgx ＋lgy 的最大值是( )A ．40B ．10C ．4D ．2[答案] D[解析] ∵x ＋4y≥2x·4y ＝4xy ，∴xy ≤x ＋4y 4＝404＝10，当且仅当x ＝4y 即x ＝20，y ＝5时取“＝”，∴xy≤100，即(xy)max ＝100，∴lgx ＋lgy ＝lg(xy)的最大值为lg100＝2.故选D ．6．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )A ．x ＝a ＋b 2B ．x≤a ＋b 2C ．x ＞a ＋b 2D ．x≥a ＋b 2[答案] B[解析] ∵这两年的平均增长率为x ，∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设a ＞0，b ＞0.∴1＋x ＝1＋a 1＋b ≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b 2，∴x≤a ＋b 2.等号在1＋a ＝1＋b 即a ＝b 时成立．二、填空题7．若x<0，则y ＝2＋2x ＋4x 的最大值是________．[答案] －3 2 [解析] y ＝2－(－2x －4x ) ≤2－2－2x ·－4x ＝2－28＝2－42＝－3 2.当且仅当－2x ＝－4x ，即x ＝－2时取等号．8．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．[答案] 3[解析] ∵x>0，y>0，且1＝x 3＋y 4≥2xy12，∴xy≤3，当且仅当x 3＝y 4，即x ＝32，y ＝2时，等号成立．三、解答题9．(1)若x>0，y>0，且lgx ＋lgy ＝2，求5x ＋2y 的最小值；(2)已知x>1，y>1，且lgx ＋lgy ＝2，求lgx·lgy 的最大值；(3)已知x>1，求y ＝x2x －1的最小值．[解析] (1)∵lgx ＋lgy ＝2，∴lgxy ＝2，∴xy ＝100，又∵5x ＋2y≥210xy ＝21000＝2010，当且仅当5x ＝2y ，即x ＝210，y ＝510时，5x ＋2y 取得最小值2010.(2)∵x>1，y>1，∴lgx>0，lgy>0，∴lgx·lgy≤(lgx ＋lgy2)2，∴lgx·lgy≤1，即lgx·lgy 的最大值为1.当且仅当lgx ＝lgy ，即x ＝y ＝10时，等号成立．(3)y ＝x2x －1＝x2－1＋1x －1＝x ＋1＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2≥2＋2＝4，当且仅当1x －1＝x －1，即(x －1)2＝1时，等式成立，∵x>1，∴当x ＝2时，ymin ＝4.10．(1)求函数y ＝1x －3＋x(x>3)的最小值．(2)设x>0，求y ＝2－x －4x 的最大值．[解析] y ＝1x －3＋x ＝1x －3＋(x －3)＋3，∵x>3，∴x －3>0，∴1x －3＋(x －3)≥21x －3x －3＝2，当且仅当1x －3＝x －3，即x －3＝1，x ＝4时，等号成立．∴当x ＝4时，函数y ＝1x －3＋x(x>3)取最小值2＋3＝5. (2)∵x>0，∴x ＋4x ≥2x·4x ＝4，∴y ＝2－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≤2－4＝－2.当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立，y 取最大值－2.一、选择题1．如果a ，b 满足0<a<b ，a ＋b ＝1，则12，b,2ab ，a2＋b2中值最大的是( )A ．12 B ．aC ．2abD ．a2＋b2[答案] D[解析] 解法一：∵0<a<b ，∴1＝a ＋b>2a ，∴a<12，又a2＋b2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ，又a2＋b2＝(a ＋b)2－2ab ＝1－2ab ， ∵1＝a ＋b>2ab ，∴ab<14，∴1－2ab>1－12＝12，即a2＋b2>12.解法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a2＋b2＝59，∵59>12>49>13，∴a2＋b2最大．2．设x ＋3y ＝2，则函数z ＝3x ＋27y 的最小值是( )A ．23 B ．2 2C ．3D ．6[答案] D [解析] z ＝3x ＋27y≥23x·33y＝23x ＋3y ＝6， 当且仅当x ＝2y ＝1，即x ＝1，y ＝13时，z ＝3x ＋27y 取最小值6.3．设a ，b 为正数，若5是5a 与5b 的等比中项，则3a ＋2b 的最小值为( )A ．5B ．2C ．5＋26D ．3＋2 5[答案] C[解析] 5a·5b ＝5，∴a ＋b ＝1，(3a ＋2b )(a ＋b)＝3＋2＋3b a ＋2ab ≥5＋2 6.故选C ．4．设a 、b ∈R ＋，若a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值等于( ) A ．1 B ．3C ．2D ．4[答案] C[解析] 1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b) ＝1＋12⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2，等号在a ＝b ＝1时成立． 二、填空题5．周长为l 的矩形对角线长的最小值为________．[答案] 24l[解析] 设矩形长为a ，宽为b ，则a ＋b ＝l 2，∵(a ＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2a2＋2b2，∴a2＋b2≥a ＋b 22， ∴对角线长a2＋b2≥a ＋b 22＝24l. 当且仅当a ＝b 时，取“＝”．6．若a>0，b>0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是__________(写出所有正确命题的编号)．①ab≤1； ②a ＋b ≤2； ③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3； ⑤1a ＋1b ≥2. [答案] ①③⑤[解析] ①ab≤(a ＋b 2)2＝(22)2＝1，成立．②欲证a ＋b ≤2，即证a ＋b ＋2ab ≤2，即2ab ≤0，显然不成立．③欲证a2＋b2＝(a ＋b)2－2ab≥2，即证4－2ab≥2，即ab≤1，由①知成立．④a3＋b3＝(a ＋b)(a2－ab ＋b2)≥3⇔a2－ab ＋b2≥32⇔(a ＋b)2－3ab≥32⇔4－32≥3ab ⇔ab≤56，由①知，ab≤56不恒成立．⑤欲证1a ＋1b ≥2，即证a ＋b ab ≥2，即证ab≤1，由①知成立．三、解答题7．已知x>0，y>0，lgx ＋lgy ＝1，求2x ＋5y 的最小值．[解析] 方法一：由已知条件lgx ＋lgy ＝1可得：x>0，y>0，且xy ＝10.则2x ＋5y ＝2y ＋5x 10≥210xy10＝2，所以⎝⎛⎭⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2y ＝5x xy ＝10， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5时等号成立． 方法二：由已知条件lgx ＋lgy ＝1可得：x>0，y>0，且xy ＝10，2x ＋5y ≥22x ·5y ＝21010＝2(当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝5y xy ＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5时取等号)． 所以(2x ＋5y )min ＝2.8．某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台，每批都购入x 台(x 是正整数)，且每批均需运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．[解析] 设全年需用去的运费和保管费的总费用为y 元，题中比例系数为k ，每批购入x 台，则共需分3 600x 批，每批费用为2 000x 元．由题意得y ＝3 600x ×400＋k·2 000x.由x ＝400时，有y ＝43 600得k ＝5100＝120，所以y ＝3 600x ×400＋100x≥2 3 600x ×400×100x ＝24 000(元)． 当且仅当3 600x ×400＝100x ，即x ＝120时，等号成立．故只需每批购入120台，可以使资金够用．。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 3.4.2 换底公式课时训练 北师大版必修1
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.4.2 换底公式课时训练 北师大版必修1一、选择题1．下列等式不成立的是( ) A ．log 54＝lg 4lg 5B ．log 54＝ln 4ln 5C ．log 54＝log 44log 4 5D ．log 54＝log －34log －35【解析】 由换底公式的定义知，D 不成立． 【答案】 D2．式子log 916·log 881的值为( ) A ．18 B.118C.83D.38【解析】 原式＝lg 16lg 9·lg 81lg 8＝4lg 22lg 3·4lg 33lg 2＝83. 【答案】 CA ．lg 3B ．－lg 3 C.1lg 3D ．－1lg 3【解析】【答案】 C4．若log a b ·log 3a ＝5，则b ＝( ) A ．a 3B ．a 5C ．35D ．53【解析】 由换底公式得， lg b lg a ·lg alg 3＝5， 化简得lg b ＝5lg 3＝lg 35， ∴b ＝35. 【答案】 C5．(2013·晋城高一检测)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20D ．100【解析】 ∵2a＝5b＝m ， ∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m .∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m 2＝10，∴m ＝10. 【答案】 A 二、填空题6．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝________.(用a ，b 表示) 【解析】 由于log 37＝log 27log 23＝b ，又log 23＝a ，所以log 27＝ab .【答案】 ab7．若m log 35＝1，n ＝5m＋5－m，则n 的值为________． 【解析】 ∵m log 35＝1，∴m ＝1log 35＝log 53，【答案】 1038.log 52·log 79log 513·log 734＋log 2(3＋5－3－5)＝________.【解析】 原式＝12×2log 52·log 73－log 53·23·log 72＋log 4(3＋5－3－5)2＝(－12log 32)·3log 23＋log 42＝－32＋12＝－1. 【答案】 －1 三、解答题9．计算：(1)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)－；(2)(log 25＋log 40.2)(log 52＋log 250.5)． 【解】(2)原式＝(log 25＋12log 215)(log 52＋12log 512)＝(log 25＋12log 25－1)(log 52＋12log 52－1)＝(log 25－12log 25)(log 52－12log 52)＝14·log 25·log 52＝14. 10．已知一个驾驶员喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒以后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中的酒精含量不得大于0.08 mg/mL.问若喝了少量酒的驾驶员至少过几个小时后才能驾驶？【解】 设喝酒x 小时后才能驾驶，在x 小时后，血液中的酒精含量达0.3×(1－50%)x＝0.3×0.5xmg/mL.依题意得0.3×0.5x≤0.08，∴0.5x≤0.266 7，∴x ≥lg 0.266 7lg 0.5≈2(小时)．即大约2小时后，驾驶员才能驾车． 11．已知x ，y ，z 为正数，且3x＝4y＝6z. (1)求使2x ＝py 的p 的值； (2)求证：12y ＝1z －1x.【解】 (1)设3x＝4y＝6z＝k (显然k ≠1)， 则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ， 由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3klog 34，∵log 3k ≠0，∴p ＝2log 34. (2)证明 1z －1x ＝1log 6k －1log 3k＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y.。
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【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.3.1 基本不
等式课时训练 北师大版必修5
一、选择题 1．不等式
9
x －2
＋(x －2)≥6(其中x ＞2)中等号成立的条件是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝－3 C ．x ＝5
D ．x ＝－5
【解析】 由基本不等式知等号成立的条件为9
x －2
＝x －2，即x ＝5(x ＝－1舍去)． 【答案】 C
2．已知a >0，b >0，则下列不等式中错误的是( ) A ．ab ≤(a ＋b
2
)2
B ．ab ≤a 2＋b 2
2
C.1ab ≥
2
a ＋b
D.
1
ab
≤(
2a ＋b
)2
【解析】 由基本不等式知A 、C 正确，由重要不等式知B 正确，由a 2＋b 2
2
≥ab 得，ab
≤(
a ＋b
2)2
，∴1ab ≥(2a ＋b
)2，故选D. 【答案】 D
3．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2
＋1，则t 与s 的大小关系是( ) A ．s ≥t B ．s >t C ．s ≤t
D ．s <t
【解析】 ∵b 2
＋1≥2b ， ∴a ＋2b ≤a ＋b 2
＋1. 【答案】 A
4．已知f (x )＝(12)x ，a 、b 为正实数，A ＝f (a ＋b 2)，G ＝f (ab )，H ＝f (2ab a ＋b
)，则A 、G 、
H 的大小关系是( )
A ．A ≤G ≤H
B ．A ≤H ≤G
C ．G ≤H ≤A
D ．H ≤G ≤A
【解析】 ∵a >0，b >0， ∴
a ＋b
2
≥ab ≥
21a ＋1b
＝
2ab
a ＋
b .当且仅当a ＝b 时等号成立．
又∵函数f (x )＝(12)x
是减函数，
∴A ≤G ≤H . 【答案】 A
5．(2013·衡水高二检测)若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.
1
ab ＞1
2 B.1a ＋1b
≤1
C.ab ≥2
D.
1a 2
＋b 2≤18
【解析】 由a ＋b ＝4，得ab ≤a ＋b 2
＝4
2
＝2，故C 错； 由ab ≤2得ab ≤4， ∴1ab ≥1
4
，故A 错； B 中，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab
≥1，故B 错；
由a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22
得a 2
＋b 2
≥2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫422
＝8， ∴
1a 2＋b 2≤1
8
，D 正确． 【答案】 D 二、填空题
6．已知a ＞b ＞c ，则（a －b ）（b －c ）与a －c
2
的大小关系是________．
【解析】 ∵a ＞b ＞c ， ∴a －b ＞0，b －c ＞0，
∴（a －b ）（b －c ）≤（a －b ）＋（b －c ）2＝a －c
2.
【答案】
（a －b ）（b －c ）≤
a －c
2
7．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，则这两年的平均增长率x 与增长率的平均值
a ＋b
2
的大小关系为________．
【解析】 用两种方法求出第三年的产量分别为
A (1＋a )(1＋b )，A (1＋x )2，则有(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )．
∴1＋x ＝（1＋a ）（1＋b ）≤
1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b
2
，
∴x ≤
a ＋b
2
.当且仅当a ＝b 时等号成立．
【答案】 x ≤
a ＋b
2
8．(2013·阜阳高二检测)设a ，b 为非零实数，给出不等式： ①
a 2＋
b 2
2
≥ab ；②
a 2＋
b 22
≥⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
；③a ＋b 2≥ab a ＋b ；④a b ＋b
a ≥2. 其中恒成立的不等式的个数是________．
【解析】 由重要不等式a 2
＋b 2
≥2ab 可知①正确； ②
a 2＋
b 22
＝
2（a 2＋b 2）4
＝
（a 2＋b 2）＋（a 2＋b 2）4
≥
a 2＋
b 2＋2ab 4
＝
（a ＋b ）24
＝⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
，故②正确；对于③，当a ＝b ＝－1时，不等式的左边为a ＋b
2
＝－1，右边为
ab a ＋b ＝－1
2
，可知③不正确；令a ＝1，b ＝－1可知④不正确．
【答案】 ①② 三、解答题
9．已知x <0，求证：x ＋4
x
≤－4.
【证明】 由x <0，得－x >0， ∴(－x )＋4
（－x ）≥2
（－x ）×4
（－x ）
＝4，
∴x ＋4
x
＝－[(－x )＋
4
（－x ）
]≤－4.
10．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＝1.求证：1a ＋1
b
≥4.
【证明】 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b
b
＝1＋b a ＋a
b ＋1 ＝2＋b a ＋a b
≥2＋2
b a ·a
b
＝4. 当且仅当a ＝b 时“＝”成立． 11．设a 、b 、c 为正数，求证bc a ＋
ca b ＋ab
c
≥a ＋b ＋c . 【证明】 ∵a 、b 、c 均是正数， ∴bc a ，ca b ，
ab
c
均是正数，
∴bc a ＋ca b
≥2c ，
ca b ＋ab
c ≥2a ， ab c ＋bc
a
≥2b ， 三式相加得2(bc a ＋ca b ＋ab
c
)≥2(a ＋b ＋c )，
∴bc a ＋ca b ＋
ab
c
≥a ＋b ＋c .。