面面垂直判定定理(公开课)

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面面垂直的判定定理课件

二面角A--BC--D
例1 已知锐二面角－ l－，A为面内一点，A到的距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4，求二面角－ l－的大小。 ① 过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD 解：则由三垂线定理得 AD⊥ l ② ∴∠ADO就是二面角－ l－的平面角 ③∵ AO为 A到的距离， AD为 A到 l 的距离
多少(精确到0.1m) ?
E
30
D
G
F
C
小结
一、二面角的定义二、二面角的表示方法
三、二面角的平面角
四、二面角的平面角的作法
五、二面角的计算
六、面面垂直的判定定理
练习如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两点，线段AC，BD 分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ， AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。 ∠OAC ＝120
二面角的度量
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角的三个特征:
1.点在棱上
2.线在面内
3.与棱垂直
二面角的大小的范围:
0 180
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
B
B
l
O
O
A
A
二、两个平面垂直的定义:
2 2

B C
l D

A O
AO=BD=1, AC=2
2
CO AC AO 2 AO AC COS120 7
四边形ABDO为矩形, DO=AB=3
练习如图，已知A、B是120的二面 E 角—l—棱l上的两点，线段AC，BD l B 分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ， D C AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。 O 解：在平面内，过A作AO⊥l ，使 A AO=BD, 连结CO、DO, 则∠OAC就是二面角—l—的平面角，即 ∠OAC ＝120， ∵BD⊥l ∴ AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形, ∴ DO∥ l ， AO=BD ∵ AC⊥l ， AO⊥l ， ∴ l ⊥平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DO ∵ BD=1 ∴ AO=1，在△OAC中，AC=2， 2 2 2 ∴ CO AC AO 2 AO AC COS120 7 在Rt △COD中，DO=AB=3

(公开课)面面垂直

若α ⊥ , α∩β= 直线a ⊂ 直线b ⊂ 设平面α⊥β,且α∩β=l,直线aα,直线bβ, α⊥β 垂直，垂直，且a不与l垂直， b不与l垂直，则a与b( C ) (A)可能垂直，不可能平行 (A)可能垂直，可能垂直 (B)可能平行， (B)可能平行，不可能垂直可能平行 (C)可能垂直， (C)可能垂直，也可能平行可能垂直 (D)不可能垂直， (D)不可能垂直，也不可能平行不可能垂直
D
C
M
A
O
N
B
本堂课我们主要复习了利用平面与平面垂直的判定定理和性质定理证明两个平面垂直，判定定理和性质定理证明两个平面垂直，在证明的过程中我们知道两个定理是密不可分的。的过程中我们知道两个定理是密不可分的。另外立体几何的解答过程中，另外立体几何的解答过程中，一定要注意规范答题，这样才能在高考中不丢分。答题，这样才能在高考中不丢分。
C1
B1
N
A1
M
B
D
C A
解释： 1)∵AB=AC，解释：(1)∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC. BC的中点，的中点底面ABC⊥平面BB C,且交线为BC，AD平 ABC⊥平面且交线为BC ∵底面ABC⊥平面BB1C1C,且交线为BC，AD平面ABC, ⊂ 侧面BB ∴AD⊥侧面侧面BB C.又 ,∴AD⊥CC ∴AD⊥侧面BB1C1C.又∵C1C侧面BB1C1C,∴AD⊥CC1.
高三第一轮复习
主讲人：蔡小娟主讲人：
考纲点击和特别关注
以立体几何的定义、 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识以立体几何的定义公理和定理为出发点，和理解空间中的线、面垂直的有关性质和判定定理和理解空间中的线、面垂直的有关性质和判定定理. 2.能运用公理、 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空能运用公理间图形垂直关系的简单命题。间图形垂直关系的简单命题。

8.6.4面面垂直判定定理公开课

的平面角。
O。
B
定义法 O1 。 A
B1
A1
β
αቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)二面角的平面角垂直于二面角棱的任一平面
与两个半平面的交线所成的角也是二面角的平面角。
垂面法
3.垂线法
A
Dl O
12
二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上
二面
2）角的两边分别在两个面内
角 3）角的边都要垂直于二面角的棱
的
平
面
角
10
二面角的范围
求证：平面AEC⊥平面BCD
A
B
C
E
D
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A 为垂足，AB为O的直径，C是圆周上异于A、 B的一点。
求证：平面PAC平面PBC；
P
C
A
O
B
课堂小结
1、二面角的定义：
2、二面角的平面角：
1、根据定义作出来 2、垂面法 3、垂线法
3、判定面面垂直的两种方法：①定义法
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
猜想：
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
l
符号表示：
l
α β
αβ
l
B
C
D
A
线线垂直
线面垂直
面面垂直
课堂练习：
判断： 1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β
。
。
[0 ,180 ]
求二面角大小的步骤为：
（1）找出或作出二面角的平面角；（2）证明其符合定义(垂直于棱)；（3）计算.

面面垂直的判定公开课课件

直。由此可知，平面β与平面α垂直。
方法2：利用面面平行的性质判定面面垂直
总结词
通过证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质判定两个平面垂直
详细描述
首先证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质，即如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线都与另一个平面垂直，从而得出两个平面垂直的结论。
证明过程
利用三垂线定理证明一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面垂直，从而得出两个平面垂直的结论。
要点三
证明过程
设直线a、b为平面α内的两条相交直线，直线c为平面β外的一条直线，我们需要证明直线a、b与平面β垂直，进而证明平面α与平面β垂直。根据三垂线定理，如果直线c与平面β的斜线 c'在点A处相交，那么c'在点A处的垂足d在直线a、b上，且直线c、a、b 都与直线d垂直。由此可知，直线a、 b与平面β垂直。由此可知，平面α与平面β垂直。
设平面α与平面β平行，直线a在平面α内，我们需要证明直线a与平面β垂直。由于平面α 与平面β平行，根据面面平行的性质，平面α内的任意一条直线都与平面β垂直。因此，直线a与平面β垂直。由此可知，平面α与平面β垂直。
方法3：利用三垂线定理判定面面垂直
要点过三垂线定理证明两个平面垂直
面面垂直的判定公开课课件
$number {01}
目录
• 面面垂直的判定定理 • 面面垂直的性质 • 面面垂直的判定方法 • 面面垂直的实例分析 • 面面垂直的习题与解答
01
面面垂直的判定定理
判定定理的陈述
• 判定定理：如果一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直。
判定定理的证明
• 证明：假设平面α内有直线l，且l与平面β垂直。为了证明平面α 与平面β垂直，我们需要证明平面α上的任意一条直线m都与平面β垂直。设直线m在平面α上并与直线l相交于点P。由于l与β 垂直，根据直线与平面垂直的性质定理，l与β上的任意一条直线（包括m）都垂直。因此，m与β也垂直。由于m是平面α上的任意一条直线，所以我们可以得出结论：平面α与平面β垂直。

高中数学复习课件-面面垂直的判定定理课件

证明：作AO⊥平面BCD于点O，
连接BO，CO，DO，则BO，
A
CO，DO分别为AB，AC，
AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，
同理CO⊥BD，
B
D
于是O是△BCD的垂心，
O
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
C
小结
一、二面角的定义二、二面角的表示方法三、二面角的平面角
四、面面垂直的判定定理五、三垂线定理
三垂线定理：
理
在平面
内的一条直线，如果和这个平线射垂直
面的一条斜线的射影垂直，那
么，它就和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理
定理
逆定理
在平面内的一条直线，如果和
这个平面的一条斜线垂直，那线斜垂直
么，它也和这条斜线的射影垂
直。
练习：
判断下列命题的真假：
⑴ 若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ×）
B面
定义
从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
构成
边—点—边（顶点）
面—直线—面（棱）
表示法
∠AOB
二面角—l— 或二面角—AB—
二面角的度量
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角--l--
Bl
C
D
AO
D’
C’
A’ D
B’ O
C
A
B
二面角B--B’C--A
A
B
D
O

面面垂直的性质_讲课课件人教新课标

α β
两个平面垂直，其中一个平面的直线不一定垂直于另一个平面。
问题2：如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，其交线为AD，直线A1A，D1D都在平面A1ADD1 内，且都与交线AD垂直，这两条直线与平面ABCD垂直吗？
C1
D1
B1
A1
C
D
B
A
两个平面垂直，其中
α A
β B
新知探究
思考：平面⊥平面β，点P在平面内，过点P作平面β的垂线PC，直线PC与平面具有什么位置关系？
α
P B
DC
A
结论：直线PC在平面内
β ⊥β，∩β=AB,P∈，
PC ⊥ β， PC
说明: 这个结论是面面垂直的另一个性质，
α
P B
β
DC
文字语言： A
如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.
(1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。
(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
P
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点 ∴∠ACB=90°
∴BC⊥AC 又∵平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC, BC 平面ABC
C
∴BC⊥平面PAC
A
B
(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
①若a⊥b，a∥α，则b⊥α；
②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；
③若β∥γ，α∥γ，则α⊥β；
④若α⊥β，a⊥β，则a∥α。
其中不正确的命题的个数是（ D ）．
A．1 B．2

《面面垂直的判定》课件

《面面垂直的判定》ppt课件目录CONTENCT •引言•面面垂直的定义•面面垂直的判定定理•面面垂直的判定方法•实例分析•总结与思考01引言主题介绍垂直关系在几何学中的重要性垂直关系是几何学中的基本概念之一，它在许多实际问题中有广泛的应用。

面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理是“如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两个平面垂直”。

理解面面垂直的判定定理会应用面面垂直的判定定理解决问题培养空间想象能力和逻辑思维能力通过本课件的学习，学生应能够理解并掌握面面垂直的判定定理。

学生应能够运用所学知识解决一些实际问题，如建筑物的垂直度测量、机械零件的设计等。

通过本课件的学习，学生应能够培养空间想象能力和逻辑思维能力，为后续学习打下基础。

学习目标02面面垂直的定义两个平面互相垂直，当且仅当一个平面内的任意直线都与另一个平面垂直。

文字定义文字定义给出了面面垂直的充分必要条件，即一个平面内的任意直线与另一个平面垂直。

解释两个平面互相垂直，当且仅当一个平面与另一个平面的法线垂直。

图形定义01020304性质1性质2定理解释性质与定理如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直。

如果一个平面内的任意直线都与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直。

如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内的任意直线都与另一个平面垂直。

性质和定理进一步阐述了面面垂直的判定条件，为解决实际问题提供了理论依据。

03面面垂直的判定定理总结词简洁明了地概括了面面垂直的判定定理。

详细描述面面垂直的判定定理是，如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两个平面互相垂直。

定理内容总结词详细说明了面面垂直的判定定理的证明过程。

详细描述首先，假设两个平面$alpha$和$beta$，且$alpha$内的两条相交直线$a$和$b$与$beta$垂直。

我们需要证明$alpha perp beta$。

根据直线与平面垂直的判定定理，如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。

面面垂直的判定公开

在建筑、工程等领域中，面面垂直的判定也有广泛应用，如确定建筑物的垂直度、机械零件的加工等。
几何问题解决的实例解析
例1
一个正方形ABCD中，E为CD的中点，F为AD的中点，求证：平面ABE垂直于平面BCF。
例2
一个圆柱体中，底面半径为r，高为h，求证：底面与顶面垂直。
分析
要证明两个平面垂直，我们需要证明一个平面内的一条直线与另一个平面垂直。在这个例子中，我们可以选择AB作为平面ABE内的直线，然后证明它与平面BCF垂直。
判定定理
如果两个平面内分别有一条直线相互垂直，那么这两个平面相互垂直。
符号表示
如果直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a⊥b，则α⊥β。
判定定理的证明
• 证明：假设两个平面α和β相交，且在α内有直线a与β相交于点 A，在β内有直线b与α相交于点B。如果a⊥b，那么线段AB是两个平面的交线。由于a⊥b，所以a与b的夹角为90°。因此，平面α与平面β的夹角也为90°，即α⊥β。
03 面面垂直的判定方法
判定方法的分类
定义法
根据面面垂直的定义，如果两个平面内各有一条直线互相垂直，
则这两个平面垂直。
判定定理法
利用面面垂直的判定定理，如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两个平面垂直。
三垂线定理法
三垂线定理指出，如果一个平面内的一条直线与另一个平面的一条斜线在平面内射影垂直，则这两个平面垂直。
判定方法的步骤
第一步，在其中一个平面内取一条直线。
第三步，根据三垂线定理得出结论。
第二步，判断这条直线是否与另一个平面的斜线在平面内射影垂直。
判定方法的实例解析
定义法实例
三垂线定理法实例

高中数学——面面垂直的性质精品优选公开课件

怎样才能拿得起？王国维《人间词话》中曾提出，古今之成大事业者，须经过三重境界。这三重境界体现的正是儒家精神，所以正是路径所在。第一重境界是“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”。登上高楼，远眺天际，正是踌(chóu)躇(chú)满志，志存高远，高瞻远瞩，一腔抱负。人生，志向决定方向，格局决定高度；小溪只能入湖，大河则能入海。所以做事，要先立心中志向；成事，要先拓胸中格局。
3
即C到平面BAD的距离为
10 5
3 a
AD 5
练习 3：如图，矩形 ABCD 中，已知 AB=2AD，E 为 AB 的中点，将⊿AED 沿 DE 折起，使 AB=AC，求证：平面 ADE⊥平面 BCDE
A
D
C
D
A
E
B
M E
C N B
练习4 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,
(1) 求证：平面A1C⊥平面B1D
C
又AB⊥AC，AC∩CD=C，AC，AD在面ACD内 D ∵AB⊥平面ACD 而AB在平面ABD，
∴平面ABD⊥平面CAD
（2）过C作CE⊥AD于点E ∵平面ABD⊥平面CAD
∴CE⊥平面CAD
设 A a C ， C 则 D 6 a ， A D 1a ， 5 C A E C C D 1a 0
儒家的最高境界是“拿得起”，佛家的最高境界是“放得下”，道家的最高境界是“想得开”；所以说，儒释道的最高境界，就是这三句话、九个字。中国历史上还曾有过其他一些“人生境界”说，其中三个最著名的，正好可以与儒释道这三大最高境界对照参悟。跟儒家学拿得起。儒家是追求入世、讲究做事的，要求奋发进取、勇于担当、意志坚定。概括为三个字，就是“拿得起”。什么是“拿得起”？且看这个“儒”字——左边一个“人”，右边一个“需”，合起来就是“人之所需”。人活世上，有各种精神或生存的需要，满足这些需要就需要去获取。去拿，并且拿到了、拿对了，就是拿得起。

面面垂直判定定理

面面垂直在解析几何中的应用
判定定理的应用
在解析几何中，利用面面垂直的判定定理可以确定两个平面是否垂直，进而解决与垂直相关的问题。
空间角的计算
通过面面垂直的关系，可以计算两个平面之间的夹角，即二面角的大小。
面面垂直的推广与应用前景
推广至一般曲面
在机械工程中的应用
将面面垂直的概念推广至一般曲面，研究曲面间的垂直关系及其性质。
判定条件的证明
条件一的证明
假设有两个平面α和β，且α∩β=l ，如果直线m⊥α且m⊂β，那么根据面面垂直的定义，我们可以得出α⊥β。
条件二的证明
假设有两个平面α和β，且直线 m⊥α，如果m∥β，那么我们可以过直线m作一个平面γ，使得γ 与β相交于一条直线n。由于m∥n 且m⊥α，根据线面垂直的性质定理，我们可以得出n⊥α。又因为 n⊂β，所以根据面面垂直的判定定理，我们可以得出α⊥β。
条件三的证明
假设有两个平面α和β，它们的法向量分别是n1和n2。如果 n1·n2=0（即n1和n2互相垂直），那么根据面面垂直的定义，我们可以得出α⊥β。
03
面面垂直的性质
面面垂直与线面垂直的关系
01
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
02
如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点并垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
机械制造
在机械制造中，许多零部件需要保持严格的垂直关系以确保设备的正常运行。例如，机床的主轴与工作台需要保持垂直，以确保加工的精度和效率。
06
面面垂直的拓展与延伸
面面垂直与空间向量的关系
空间向量法
利用空间向量的数量积判断两个平面的法向量是否垂直，从而确定两个平面是否垂直。

2.3.2 两平面垂直的判定与性质(公开课)

若 l ⊥ m ， l ⊥ n ， m ∩ n ＝B， m ， n ， P, 则 l ⊥ .
图形语言：
教学目标
知识与技能
（பைடு நூலகம்）理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小；（2）理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；（3）熟悉线线垂直、线面垂直的转化．
表示法
2、二面角的平面角
在二面角 l 的棱 l 上任取一点 O ，以点 O 为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱 l 的射线 OA, OB ，则射线 OA 和 OB 构成的 AOB 叫做二面角的平面角.
A A
l
10
O
B

l
B
O
2、二面角的平面角
注意
1）平面角的顶点在棱上； 2）平面角的两边分别在两个半平面内； 3）平面角的边都要垂直于二面角的棱.
学做导过程
角
1、二面角的定义及记法
二面角
A
图形顶点 O
边
边 B
A 棱l B
面面

定义
从一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形叫做角. 边—点—边（顶点） ∠AOB
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 面—直线—面（棱）二面角—l— 或二面角—AB—
构成
α
你发现了什么？
大胆猜想：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. α 已知AB , AB ，求证： A
证明：∵AB⊥β,CD在β内 ∴AB⊥CD
β C B D E
在平面β内过点B作直线BE⊥CD
∴ ∠ABE是二面角α—CD — β的平面角

人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线面垂直、面面垂直的性质定理公开课教学课件

β
a
l
α
A
问题4：面面垂直性质定理用途? 面面垂直线面垂直问题5：什么情况下用?
符号语言：
a
l
a
a l
已知面面垂直时.
平面与平面垂直的性质定理：问题6：体现了什么数学思想? 转化
三、例题讲解例1：PA⊥平面ABC，面PAB⊥面PBC，求证：BC⊥AB
P 问题7：要证BC垂直于AB，要会选择，选择BC垂直于AB，还是AB垂直于
已知：
, A ,C B D ,C A D .求B 证： CD
发展条件 α
转化结论
C
B
D
E
β
A
证明：
在平面β内过D作直线 DE ⊥AB
则 CD 是 E二面 -A B 角的平面角
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D 所以直线CD⊥平面β
平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言?
a ,b a//b
简述：如何证明？
线面垂直
线线平行
知识探究：问题2:面α与面β垂直，线L在面α内，线L与面β的关系有哪几种？（讨论一下）
α L
β 平行
问题3：怎样才能垂直？
α L
β 相交
α
L β
线在面内
思考3: 如何找地面的垂线？
注:若l ,b
则l b.
l
A
αb
2.直线与平面垂直的判定定理？直线与面内的两条相交直线都垂直，则该线与面垂直
图形表示
a
m