RLC串_并联谐振回路的谐振特性与典型参数分析

刻并联电路中 Ｌ 和 Ｃ 的无功功率为：
ＱＬ＝ＵＬ·ＩＬｓｉｎ
π ２
＝
ＵＬ２ ｗＬ
＝ Ｕ２ ｗＬ
ＱＣ＝ＵＣ·ＩＣｓｉｎ（－
π２ ）＝－
ＵＣ２ （１
）
１ ｗＣ
＝－ Ｕ２·ｗＣ
ｗＣ
同样令 ＱＬＣ＝ＱＬ＋ＱＣ＝０
即： Ｕ２ － Ｕ２·ｗＣ＝０ ｗＬ
则有 １ ｗＬ
＝ｗＣ，（
即 ＢＬ＝ＢＣ）
同 理 可 得 ： Ｗ＝ｗ０＝
文章中多处用到的两个图：
１ ＲＬＣ 回路的阻抗特性
１．１ ＲＬＣ 串联回路的的阻抗特性
如图（１）， 回路的总阻抗为：
Ｚ＝Ｒ＋ｊｗＬ－
ｊ
１ ｗＣ
＝Ｒ＋ｊ（ｗＬ－
１ ｗＣ
）＝Ｒ＋ｊ（Ｘｌ－ ＸＣ）＝Ｒ＋ｊＸ
谐振的条件是复阻抗的虚部为零， 即：
Ｘ＝Ｘｌ－ ＸＣ＝ｗＬ－
１ ｗＣ
＝０
可解得： ｗ＝ｗ０＝ １ 或 ｆ０＝ １
２００６年 ９ 月 第 ２５ 卷 第 ５ 期
保山师专学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｂａｏｓｈａｎ Ｔｅａｃｈｅｒｓ′Ｃｏｌｌｅｇｅ
Ｓｅｐ．， ２００６ Ｖｏｌ．２５ Ｎｏ．５
ＲＬＣ 串／ 并联谐振回路的谐振特性与典型参数分析
黄进文
（ 保山师范高等专科学校 物理系， 云南 保山 ６７８０００）
摘 要： ＲＬＣ 串 ／ 并联回路是各种复杂网络的基础， 也是各种具有频率特性的电路网络的基本组成部份； 全面了解
而当 Ｘ＜０ 时， 回路表现为电容性。
１．２ ＲＬＣ 并联回路的的阻抗特性
如图 ２， 回路的总导纳为：
Ｙ＝
１ Ｒ
＋ｊｗＣ－
１ ｊｗＬ
＝
１ Ｒ
＋ｊ（ｗＣ－
１ ｗＬ
）＝Ｇ＋ｊ（Ｂｌ－ ＢＣ）＝Ｇ＋ｊＢ
谐振的条件是复导纳的虚部为零， 即：
Ｂ＝ＢＣ－ Ｂｌ＝ｗＣ－
１ ｗＬ
＝０
同样可解得： ｗ＝ｗ０＝ １ 或 ｆ０＝ １
Ｑ 值， 则必须使用谐振频率 Ｗ０ 。 下面讨论 Ｑ 值对 ＲＬＣ 回路各参数的影响。
３．２．１ 品质因数 Ｑ 对回路阻抗的影响
对串联回路阻抗的影响：
处于谐振状态的串联回路 ＸＬ＝Ｗ０Ｌ＝Ｘ（Ｃ 即感抗 容抗相等且代数和为零） ， 则 Ｑ 可作如下珍示后，
其 意 义 就 是 ：“ 串 联 谐 振 回 路 的 品 质 因 数 就 是 谐 振
Ｈｕａ ｎｇ Ｊ ｉｎｗｅ ｎ
（Ｂａｏｓｈａｎ Ｔｅａｃｈｅｒ Ｃｏｌｌｅｇｅ， Ｂａｏｓｈａｎ， Ｙｕｎｎａｎ ６７８０００）
Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｓ ｉｎｔｅｎｄｅｄ ｔｏ ｍａｋｅ ａ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ＲＬＣ ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｐａｒａｌｌｅｌ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｃｉｒｃｕｉｔ． Ａ ｇｏｏｄ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ ｏｆ ＲＬＣ ｉｓ ｏｆ ｇｒｅａｔ ｈｅｌｐ ｉｎ ｌｅａｒｎｉｎｇ ｅｌｅｃｔｒｉｃ． Ｋｅｙ Ｗｏｒ ｄｓ： ＲＬＣ ｃｉｒｃｕｉｔ； ｓｅｒｉｅｓ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ； ｐａｒａｌｌｅｌ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ； ｒｅｓｏｎａｎｃｅ； ｑｕａｌｉｔｙ ｆａｃｔｏｒ
下， 串联回路中的电阻 Ｒ 越小， 则其 Ｑ 值就越大，
若 Ｒ＝０， 则 Ｑ＝∞（ 即短路 Ｒ， 只接入 ＬＣ 串联回路） ；
而并联回路中的 Ｒ 越大， 则相应的 Ｑ 值越大， 若
Ｒ＝∞， 则 Ｑ＝∞（ 即 断 开 Ｒ， 只 接 入 ＬＣ 并 联 回 路） 。
这也为怎样提高 ＲＬＣ 回路的 Ｑ 值提供了依据。
３．２．２ 品质因数 Ｑ 对回路中能量交换及存储的影响
前面已经推出， 谐振状态下的串 ／ 并联 ＲＬＣ 回
路中 ＬＣ 元件的储能情况为：
ＷＬＣ＝ＷＬ＋ＷＣ＝ＷＬ Ｍａｘ＝ＷＣ Ｍａｘ＝ＬＩ２＝ＣＵ２ 现将 Ｑ 作如下变换， Ｑ 串中分子分母同乘串联
回路电流 Ｉ 的平方， Ｑ 并中分子分母同乘并联回路
ＲＬＣ 串 ／ 并联谐振回路各方面的特性对理解、学习及实践电路尤为重要， 同时也是一个难点。
关键词： ＲＬＣ 回路； 串联； 并联； 谐振特性； 品质因数； 通频带
中图分类号： ＴＭ１３
文献标识码： Ａ
文章编号： １００８－ ６５８７（ ２００６） ０５－ ０７８－ ０５
Ｆｅａｔｕｒ ｅｓ ａｎｄ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ＲＬＣ ｉｎ Ｅｌｅｃｔｒ ｉｃ Ｃｉｒ ｃｕｉｔ
!ＬＣ
２π!ＬＣ
２．３．２ ＲＬＣ 并联谐振情况
如 图 ２， 仍 设 回 路 中 ｕ＝ ! ２ ·Ｕ·ｃｏｓｗｔ， 已 知 并
联回路中电流 Ｕ 相同， 电感电流 ｉＬ 相位滞后 ｕ 相 位 ９０°， 则任意时刻并联电路中 Ｌ 和 Ｃ 中存储的能
量为：
ＷＣ＝
１ ２
ＣｕＣ２＝
１ ２
Ｃ &! ２ ·ＵＣｃｏｓ（ｗｔ）$２＝Ｃ·Ｕ２ｃｏｓ２ｗｔ
１ ２
Ｌ"! ２
·Ｉｃｏｓ（ｗｔ） $２＝Ｌ·Ｉ２ｃｏｓ２ｗｔ
ＬＣ 中的总储存能量是：
ＷＬＣ＝ＷＣ＋ＷＬ＝Ｃ·ＵＣ２ｓｉｎ２ｗｔ＋Ｌ·Ｉ２ｃｏｓ２ｗｔ 既然谐振时电路中各元件的容性与感性相互
抵消， 容抗与感抗的代数和为零， 加之 Ｌ、Ｃ 元件本
身并不消耗能量， 那么它们所存储的能量之和应当
为一个恒定的常数， 并且它们的最大值应相等（ 只
３．２ ＲＬＣ 回路的品质因数（ Ｑ 值）
不妨先给出 Ｑ 值的定义：
ＲＬＣ 串联回路的品质因数：
" Ｑ 串
＝ Ｗ０Ｌ Ｒ
＝１ Ｗ０ＣＲ
＝１ Ｒ
Ｌ Ｃ
ＲＬＣ 并联回路的品质因数：
" Ｑ
并
＝Ｒ Ｗ０Ｌ
＝Ｗ０ＣＲ＝Ｒ
Ｃ Ｌ
从上式可以看出， 品质因数 Ｑ 是一个只与回
路本身特性有关的参数， 若要用角频率 Ｗ 来计算
２
& $ ＷＬ＝
１ ２
Ｌｉｉ２＝
１ ２
Ｌ
! ２ ·ＩＬｃｏｓ（ｗｔ－ π２ ）
＝Ｌ·ＩＬ２ｓｉｎ２ｗｔ
ＬＣ 中的总储存能量是：
ＷＬｃ＝Ｗｃ＋ＷＬ＝Ｃ·Ｕ２ｃｏｓ２ｗｔ＝ Ｌ·ＩＬ２ｓｉｎ２ｗｔ 同理 也 有 ： Ｗｃ＋ＷＬ＝ 常 数 ＝ＷＬ Ｍａｘ＝ＷＣ Ｍａｘ＝Ｃ·Ｕ２＝ Ｌ·ＩＬ２ 成立。并进行同样的推导：
Ｑ并
＝Ｒ Ｗ０Ｌ
＝Ｒ·ＢＬ＝Ｒ·ＢＣ＝
Ｒ ＸＬ
＝Ｒ ＸＣ
这样， 就更清楚地说明了为什么“品质 因数其
实是反映了回路中电抗（ 纳） 元件与电阻（ 导） 元件
作用对比”这一特性； 同时也可以看出， 谐振时的回
路总阻抗将由 Ｒ 单独决定， 因为谐振时有：
ＸＬ－ ＸＣ＝０ 或 ＢＣ－ ＢＬ＝０ 故 Ｚ ＝Ｒ。 同时也可以看出， 在 ＬＣ 元件参数一定的情况
而当 Ｂ＜０ 时， 回路表现为电容性。
１．３ 关于谐振频率及阻抗角的说明
上面讨论的串联、并联情况下的谐振条件
Ｘ＝０、Ｂ＝０， 它们表答的其实是同一种意义， 那就是：
当回路中的电容性 Ｃ 和电感性 Ｌ 相互抵消时， 电
收稿日期： ２００６－ ０４－ ２２ 作者简介： 黄进文（ １９７２—） ， 男， 云南腾冲人， 保山师范高等专科学校物理系， 讲师， 研究方向为电子电路。
若令 ＱＬＣ＝ＱＬ＋ＱＣ＝０
即： Ｉ２·ｗＬ－ Ｉ２· １ ＝０ ｗＣ
则 有 ｗＬ＝ １ ｗＣ
，（
即 ＸＬ＝ＸＣ）
可 得 ： Ｗ＝ｗ０＝
１ 或 ｆ０＝ １ 就是回路的谐振频率 ， 即当
!ＬＣ
２π!ＬＣ
ＬＣ 无功功率 Ｑ 之代数和为零时， 电路发生谐振。
２．２．２ ＲＬＣ 并联谐振情况
如 图 ２， 设 回 路 中 ｕ＝ ! ２ ·Ｕ·ｃｏｓｗｔ， 则 任 意 时
时回路中的感抗或容抗值与电阻值之比”：
Ｑ串
＝ Ｗ０Ｌ Ｒ
＝ ＸＬ Ｒ
＝ ＸＣ Ｒ
对并联回路阻抗的影响：
处于谐振状态的并联回路
ＢＬ＝
１ Ｗ０ＣＲ
＝ＢＣ （
即
感纳容纳相等且代数和为零） ， 则 Ｑ 也可作如下变
换， 也可得出相应结论： 即“并联谐振回路的品质因
数就是谐振时回路中的电阻值与感抗或容抗值与
之比”：
方面表现出特殊的性质， 这就是 ＲＬＣ 串并联谐振
回路所特有的所谓“选频特性”， 即对不同频率的信
号， 回路表现出不同的状态参数。这也是 ＲＬＣ 回路
获得广泛应用的重要原因。
另外， 回路选频特性的优劣及其它方面的性质
还与回路的另一个重要参数有关， 这一重要参数就
是下面要讨论的“品质因数”（ 或“Ｑ 值”） 。
!ＬＣ
２π!ＬＣ
" # 此时有： ! ２ ·ＵＣｃｏｓ（ｗｔ－ π２ ） ＝!Ｒ２＋Ｘ２ ＝Ｒ＝ Ｚ ｍｉｎ
即串联谐振回路当 Ｘ＝０ 时， ＲＬＣ 串联回路的总
等效阻抗取得最小值， 且具有纯电阻性， 电抗（ 容抗
及感抗） 表现为零。若理想情况下 Ｒ＝０， 则有 Ｚ ＝０。
若 Ｘ≠０， 那么当 Ｘ＞０ 时， 回路表现为电感性；
!ＬＣ
２π!ＬＣ
此时有：
Ｚ
＝
１ Ｙ
＝１ !Ｇ２＋Ｂ２
＝
１ Ｇ
＝Ｒ＝
Ｚ
ｍａｘ
即 并 联 谐 振 回 路 的 导 纳 Ｂ＝０ 时 ， ＲＬＣ 并 联 回
路的总等效阻抗取得最理想情况下 Ｒ＝∞， 则
有 Ｚ ＝∞。
若 Ｂ≠０， 那么当 Ｂ＞０ 时， 回路表现 为电感性；
说明能量交换仅仅发生在 Ｌ 与 Ｃ 之间， ＬＣ 回路在
谐振时并不与电源之间有能量的交换。
３ ＲＬＣ 谐振回路的基本参数
３．１ 谐振频率 ｗ０ 或 ｆ０ 从上述各种推导可以得出结论， ＲＬＣ 串并联回