辽宁省辽宁师大附中2019_2020学年高二数学上学期10月月考试题

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2019-2020学年辽宁师大附中高二上学期开学考试数学试题

辽宁师大附中2019----2020学年度上学期开学考试高二数学试题考试时间：60分钟满分：100分第 Ⅰ 卷选择题（共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。

1.在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42.已知(1,sin )a α=，(2,cos )b α=，且a ∥b ，则c o s()c o s 22c o s()sin παααα++--的值是（） (A) 13 (B)35 (C) 1 (D)153.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数f (x )图象的一条对称轴； ②点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数f (x )的一个对称中心； ③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为π7.其中正确的判断是（）A ．①② B．①③ C．②③ D．①②③4．在数列{a n }中，411-=a ，111--=n n a a )1(>n ，则2018a 的值为（） A ．41- B. 54 C.5 D.以上都不对 5. 下列命题中： ①∥b ⇔存在唯一的实数R ∈λ，使得λ=； ②e 为单位向量，且∥e，则a =； ③2||||a a a =⋅； ④a 与共线，与c 共线，则a 与c 共线； ⑤若=≠⋅=⋅则且,正确命题的序号是（）A.①⑤B.②③C.②③④D.①④⑤6. 设O 是平面ABC 内一定点，P 为平面ABC 内一动点，若=+⋅-)()(0)()()()(=+⋅-=+⋅-，则O 为△ABC 的（）A.内心B.外心C.重心D. 垂心7. 点A ，B ，C ，D在同一球面上，AB BC ==90ABC ︒∠=，若四面体ABCD 体积最大值为3，则这个球的表面积为（）A. 2πB. 4πC. 8πD. 16π8. 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中随机摸出2个球，则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是（）A ．没有白球B ．2个白球C ．红、黑球各1个D ．至少有1个红球9.已知数列{a n }是等比数列，若，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．10. 已知数列{a n }中，111,1n n a a a n +==++，则数列{}n a n的前n 项和为 A ．252n n + B ．254n n + C ．232n n + D ．234n n + （） 11. 用数学归纳法证明“*∈+=++++N n n n n ,2321363”，则当1+=k n 时，应当在k n =时对应的等式的左边加上（）A. 13+kB. ()()33312)1(++++++k k k C. ()31+k D. ()()21136+++k k12.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，设直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125.若(1,cos(2))6a πθ=+，(sin(2),6b πθ=+，则a b ⋅= （） A.2 B.1425- C.2425- D.1425第 Ⅱ 卷非选择题（共40分）二、填空题：本题包括4小题，共20分。

辽宁省辽宁师范大学附属中学2019_2020学年高二数学上学期开学考试试题

辽宁省辽宁师范大学附属中学2019-2020学年高二数学上学期开学考试试题考试时间：60分钟满分：100分第 Ⅰ 卷选择题（共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。

1.在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.已知(1,sin )a α=，(2,cos )b α=，且a ∥b ，则c o s ()c o s 22c o s ()s i nπαααα++--的值是（） (A)13 (B)35 (C) 1 (D)153.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数f (x )图象的一条对称轴；②点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数f (x )的一个对称中心；③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为π7.其中正确的判断是（）A ．①② B．①③ C．②③ D．①②③4．在数列{a n }中，411-=a ，111--=n na a )1(>n ，则2018a 的值为（） A ．41-B. 54C.5D.以上都不对5. 下列命题中：①∥⇔存在唯一的实数R ∈λ，使得a b λ=； ②e 为单位向量，且∥e，则a =； ③2||||a a a =⋅；④与b 共线，b 与c 共线，则与c 共线； ⑤若=≠⋅=⋅则且,正确命题的序号是（）A.①⑤B.②③C.②③④D.①④⑤6. 设O 是平面ABC 内一定点，P 为平面ABC 内一动点，若=+⋅-)()(0)()()()(=+⋅-=+⋅-OB OA PB PA OA OC PA PC ，则O 为△ABC 的（） A.内心 B.外心 C.重心 D. 垂心 7. 点A ，B ，C ，D在同一球面上，AB BC ==90ABC ︒∠=，若四面体ABCD 体积最大值为3，则这个球的表面积为（） A. 2π B. 4π C. 8πD. 16π8. 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中随机摸出2个球，则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是（）A ．没有白球B ．2个白球C ．红、黑球各1个D ．至少有1个红球9.已知数列{a n }是等比数列，若，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．10. 已知数列{a n }中，111,1n n a a a n +==++，则数列{}na n的前n 项和为 A ．252n n + B ．254n n + C ．232n n + D ．234n n + （）11. 用数学归纳法证明“*∈+=++++N n n n n ,2321363”，则当1+=k n 时，应当在k n =时对应的等式的左边加上（）A. 13+kB. ()()33312)1(++++++k k kC. ()31+k D.()()21136+++k k12.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，设直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125.若(1,cos(2))6a πθ=+，(sin(26b πθ=+，则a b ⋅= （）A.2B.1425-C.2425-D.1425第 Ⅱ 卷非选择题（共40分）二、填空题：本题包括4小题，共20分。

2019-2020学年辽宁师大附中高二(上)第一次模块数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年辽宁师大附中高二（上）第一次模块数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 不等式组{x 2−1<0x 2−3x <0的解集( ) A. {x|−1<x <1}B. {x|0<x <3}C. {x|0<x <1}D. {x|−1<x <3}2. 三个数√3，x +1，√27成等比数列，则x 的值等于( )A. 2或−2B. 2或−4C. −2或4D. 2或43. 在数列{a n }中，若a 2n =2a 2n−2+1，a 16=127，则a 2的值为( )A. −1B. 0C. 2D. 84. 若a >b ，则下列不等式中正确的是( )A. 1a <1bB. a b >1C. a +b >2√abD. 2a >2b 5. 数列{a n }中，a 2=2，a 6=0且数列{1a n +1}是等差数列，则a 8=( )A. 12B. 14C. −14D. 16 6. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ，若a 1<0，S 12=S 6，下列说法正确的是( )A. d <0B. S 19<0C. 当n =9时S n 取最小值D. S 10>07. 若实数x ，y 满足约束条件{x −3y +1≤0x +y −3≥0，则z =x +2y 的取值范围是( ) A. (−∞,4]B. [4,+∞)C. [5,+∞)D. (−∞,+∞) 8. 若a <b <0，则( ) A. 0<b a <1 B. ab <b 2 C. 1b >1a D. a b <b a 9. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=−8，(3n −5)a n+1=(3n −2)a n −9n 2+21n −10，若n ，m ∈N ∗，n >m ，则S n −S m 的最大值为( )A. 10B. 15C. 18D. 2610. 在正项等比数列{a n }中，a 5a 4a 2a 1=16，则a 1+a 5的最小值是( )A. 2B. 3C. 4D. 811. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，S n =n 2a n (n ∈N +)，对S n 表达式归纳猜想正确的是( )A. S n =2n n+1B. S n =2n−1n+1C. S n =2n+1n+1D. S n =2n n+2 12. 已知对任意的x ∈R ，2x 2+(a −1)x +12>0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−1)B. (−1,3)C. (−3,+∞)D. (−3,1)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 不等式(x +4)(x +5)2(2−x)3<0的解集是________．14. 等差数列{a n }中，a 2=2，a 9=21，则前10项和S 10= ______ ．15. 设实数x ，y 满足{2≤x ≤3,1≤y ≤2,x +y ≤4,则y x−1的最大值为______．16.已知数列{a n}满足a3=−12，a n+1=1+a n1−a n(n∈N∗)，则a2的值为______ ．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）17.已知S n是数列{a n}前n项和，a1=1，2S n=(n+1)a n(n∈N∗)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a n a n+1b n=1，T n是数列{b n}前n项和，求T n．18.已知函数f(x)=2xx2+6，若f(x)>k的解集为{x|x<−3或x>−2}，求k的值．19.已知函数f(x)=x2+(1−a)x−a(a∈R)．(1)解关于x的不等式f(x)<0；(2)若∀a∈[−1,1]，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．20.已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，a1=b1=1，a2+a3=2b2，a3−b2=1．(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)设c n=b na n，n∈N∗，求证：c1+c2+⋯+c n<6．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：{x 2−1<0x 2−3x <0⇔{−1<x <10<x <3⇔{x|0<x <1} 故选：C ．分别解出两个不等式，再求交集即可．本题考查二次不等式组的解集问题，属基础题．2.答案：B解析：∵三个数√3，x +1，√27成等比数列，∴(x +1)2=√3⋅√27，解得x =2或x =−4.故选B ． 3.答案：B解析：解：由a 2n =2a 2n−2+1，得a 2n +1=2(a 2n−2+1)，即a 2n +1a 2n−2+1=2，∴数列{a 2n +1}是以a 2+1为首项，以2为公比的等比数列，则a 16+1=(a 2+1)⋅27，即(a 2+1)=12827=1，∴a 2=0．故选：B ．由已知数列递推式可得，数列{a 2n +1}是以a 2+1为首项，以2为公比的等比数列，写出等比数列的通项公式，代入已知条件求得a 2的值．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列的通项公式，是中档题． 4.答案：D解析：解：取a =2，b =−1时，A.B.C 不成立；对于D.由指数函数y =2x 在R 上单调递增，a >b ，可得2a >2b ．故选：D ．取a =2，b =−1时，即可判断出A.B.C 不成立；根据指数函数y =2x 在R 上单调递增，即可判断出D 的正误．本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5.答案：C解析：解：∵数列{1a n +1}是等差数列，∴令1a n+1+1−1a n +1=d ，∵数列{a n }中，a 2=2，a 6=0，∴1a 6+1−1a 2+1=4d 即1−13=4d ，d =16，1a 8+1═1a 6+1+2d =1+13=43所以a 8=−14，故选：C数列{1a n +1}是等差数列，令1a n+1+1−1a n +1=d 求出公差d ，再利用等差数列性质求解．本题考查了等差数列的定义，性质，结合方程的知识解决问题．6.答案：C解析：解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n 是关于n 的二次函数，等差数列的公差为d ，a 1<0，S 12=S 6，∴d >0，其对称轴n =9，因此n =9时S n 取最小值，故选：C ．等差数列{a n }的前n 项和为S n 是关于n 的二次函数，利用其对称性即可得出．本题考查了等差数列的求和公式及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.答案：B解析：解：画出实数x ，y 满足约束条件{x −3y +1≤0x +y −3≥0所示的平面区域，如图：将目标函数变形为−12x +z2=y ，则z 表示直线在y 轴上截距，截距越大，z 越大，当目标函数过点A(2,1)时，截距最小为z =2+2=4，随着目标函数向上移动截距越来越大，故目标函数z =2x +y 的取值范围是[4,+∞)．故选：B ．作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象判断目标函数z =x +2y 的取值范围．本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．8.答案：A解析：【分析】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质，难度不大，属于基础题．根据已知中a <b <0，结合不等式的基本性质，逐一分析四个式子的正误，可得答案．【解答】解：∵a <b <0，∴0<ba <1，胡A 正确；ab >b 2，故B 错误；1 b <1a<0，故C错误；0<ba <1<ab，故D错误；故选：A．9.答案：C解析：【分析】本题考查数列的通项公式，注意运用构造等差数列，考查数列的前n项和的最值，注意分析各项的特点，考查运算能力，属于中档题．由条件可得a n+13n−2−a n3n−5=−1，结合等差数列的定义和通项公式，以及数列的各项特点，求得最大值．【解答】解：(3n−5)a n+1=(3n−2)a n−9n2+21n−10，即为(3n−5)a n+1−(3n−2)a n=−(3n−5)(3n−2)，可得a n+13n−2−a n3n−5=−1，设b n=a n3n−5，即b n+1−b n=−1，且b1=a13−5=−8−2=4，可得{b n}是以4为首项、−1为公差的等差数列，可得b n=4−(n−1)=5−n，即a n=(3n−5)(5−n)，可得a n：−8，3，8，7，0，−13，−32，−57，−88，…，(n>5，各项递减，且为负的)，由n，m∈N∗，n>m，则S n−S m的最大值为(−8+3+8+7+0)−(−8)=18．故选：C．10.答案：C解析：解：正项等比数列{a n}中，a5a4a2a1=16=(a5a1)2，∴a1a5=4则a1+a5≥2√a1a5=4，故选：C．利用等比数列的性质、基本不等式的性质即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：A解析：由a1=1，S n=n2a n(n∈N+)，得a1+a2=22a2，解得a2=13；由a1+a2+a3=32a3，解得a3=16，所以S1=1=2×11+1，S2=1+13=43=2×22+1，S3=1+13+16=64=2×33+1，…，由此可以归纳得到S n=2nn+1.故选A．12.答案：B解析：解：∵对任意的x∈R，2x2+(a−1)x+12>0恒成立，∴Δ=(a−1)2−4×2×12<0，解得−1<a<3，故选B．对任意的x∈R，2x2+(a−1)x+12>0恒成立，则(a−1)2−4×2×12<0，解得即可．本题考查了二次函数的性质和函数恒成立的问题，属于基础题．13.答案：(−∞,−5)∪(−5,−4)∪(2,+∞)解析：【分析】本题主要考查高次不等式的解法，属于基础题．【解答】解：(x+4)(x+5)2(2−x)3<0的解集是(−∞,−5)∪(−5,−4)∪(2,+∞)．故答案为(−∞,−5)∪(−5,−4)∪(2,+∞)．14.答案：115解析：解：∵等差数列{a n}中，a2=2，a9=21，∴前10项和S10=102(a1+a10)=102(a2+a9)=102(2+21)=115．故答案为：115．利用等差数列的通项公式和前n项和公式直接求解．本题考查等差数列的前10项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的合理运用．15.答案：2解析：【分析】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，再由目标函数yx−1的几何意义，即可行域内的点与定点D(1,0)连线的斜率求解．【解答】解：由实数x ，y 满足{2≤x ≤3,1≤y ≤2,x +y ≤4,作出可行域如图，联立{x =2x +y =4，得A(2,2)，由z =y x−1表示可行域内的点(x,y)与点D(1,0)连线的斜率，而k DA =22−1=2．∴目标函数y x−1的最大值为2．故答案为：2．16.答案：−3解析：【分析】利用递推关系直接代入计算即可．本题考查求数列的某项，利用递推关系式直接计算即可，属于基础题．解：∵a 3=−12，a n+1=1+an 1−a n (n ∈N ∗)， ∴a 3=1+a 21−a 2，即−12=1+a21−a 2，解得：a 2=−3．故答案为：−3．17.答案：解：(1)由2S n =(n +1)a n ，得2S n−1=na n−1(n ≥2)，两式相减得：2(S n −S n−1)=(n +1)a n −na n−1，即2a n =(n +1)a n −na n−1，∴(n −1)a n =na n−1，则a n a n−1=n n−1． ∵a 1=1，∴a n =a n n−1×a n−1n−2×…×a 32×a 21×a 1=n n−1×n−1n−2×…×32×21×1=n ．∴数列{a n }的通项公式为a n =n ；(2)∵a n a n+1b n =1，∴b n =1a n a n+1=1n(n+1)=1n −1n+1，∴T n =b 1+b 2+⋯+b n−1+b n=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1−1n )+(1n −1n +1) =1−1n+1=n n+1．解析：(1)由已知数列递推式可得2S n−1=na n−1(n ≥2)，列式作差得到a n a n−1=n n−1，然后利用累积法求数列{a n }的通项公式；(2)由a n a n+1b n =1，求得b n =1n(n+1)，再由裂项相消法求数列{b n }前n 项和T n ．本题考查数列递推式，考查利用累积法求数列的通项公式，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．18.答案：解：f(x)>k ⇔kx 2−2x +6k <0．由已知{x|x <−3，或x >−2}是其解集，得kx 2−2x +6k =0的两根是−3，−2．由根与系数的关系可知(−2)+(−3)=2k ，即k =−25．解析：根据不等式和方程之间的关系，转化为方程进行求解即可．本题主要考查不等式的应用，根据不等式的解集和方程的根之间的关系是解决本题的关键． 19.答案：解：(1)不等式x 2+(1−a)x −a <0，等价于(x −a)(x +1)<0，当a <−1时，不等式的解集为(a,−1)；当a =−1时，不等式的解集为⌀；当a >−1时，不等式的解集为(−1,a)．(2)x 2+(1−a)x −a =−a(x +1)+x 2+x ，设g(a)=−a(x +1)+x 2+x ，a ∈[−1,1]，要使g(a)≥0在a ∈[−1,1]上恒成立，只需{g(−1)≥0g(1)≥0，即{x 2+2x +1≥0x 2−1≥0, 解得x ≥1或x ≤−1，所以x 的取值范围为{x|x ≤−1或x ≥1}．解析：本题考查函数与方程的应用，恒成立条件的转化，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．(1)不等式x 2+(1−a)x −a <0等价于(x −a)(x +1)<0，通过a 与−1的大小比较，求解即可．(2)x 2+(1−a)x −a =−a(x +1)+x 2+x ，设g(a)=−a(x +1)+x 2+x ，a ∈[−1,1]，要使g(a)≥0在a ∈[−1,1]上恒成立，只需{g(−1)≥0g(1)≥0，求解即可． 20.答案：解：(1)设{a n }是各项均为正数且公比为q(q >0)的等比数列，{b n }是公差为d 的等差数列，a 1=b 1=1，a 2+a 3=2b 2，a 3−b 2=1，即有q +q 2=2(1+d)，q 2−(1+d)=1，解得q =d =2，则b n =1+2(n −1)=2n −1，a n =2n−1，n ∈N ∗；(2)证明：c n =b n a n =2n−12n−1，设S n =c 1+c 2+⋯+c n=120+321+522+⋯+2n−12n−1， 12S n =121+322+523+⋯+2n−12n，相减可得12S n =1+2(12+122+⋯+12n−1)−2n−12n =1+2×12(1−12n−1)1−12−2n−12n ，化简可得S n =6−(2n +3)⋅(12)n−1，由n ∈N ∗，可得6−(2n +3)⋅(12)n−1<6，即有c 1+c 2+⋯+c n <6．解析：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，以及方程思想和运算能力，属于中档题．(1)设{a n }是各项均为正数且公比为q(q >0)的等比数列，{b n }是公差为d 的等差数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，可得公差和公比的方程，解方程即可得到所求通项公式；(2)求得c n =b n a n =2n−12n−1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，以及不等式的性质，即可得证．。

辽宁师大附中2020届高三上学期10月月考试题数学(理) Word版含答案

辽宁师大附中2019----2020学年上学期第一次模块考试高三理科数学试题考试时间：90分钟满分：120分第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在中，所对应的边分别为,若，则等于（）A．B．C．或D．或2．在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为（）A．或 B．C．D．或3．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（）A．B．C．D．4．函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图象，只需将的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位5．已知等差数列满足，则前12项之和为（） A ．B ．80C ．144D ．3046．如图，在平行四边形ABCD 中，,M N 分别为,AB AD 上的点，且45AM AB =，连接 ,AC MN 交于P 点，若411AP AC =，则点N 在AD 上的位置为（）A.AD 中点B.AD 上靠近点D 的三等分点C.AD 上靠近点D 的四等分点D.AD 上靠近点D 的五等分点7．在ABC ∆中，，则sin :sin :sin A B C =（）A ．9:7:8B ．6:8:7D8．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（） A.B. C.D.9．在中，，向量在上的正射影的数量为-2，=3，则( ) A ． B ．C ．D ．10.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ A ．B ．C ．D ． 11.已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．12．已知数列{}n a 满足2*123111()23n a a a a n n n N n++++=+∈，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*()1n n N T n nλ<∈+恒成立，则实数λ的取值范围为（）A ．1[,)4+∞B ．1(,)4+∞C ．3[,)8+∞D ．3(,)8+∞第 Ⅱ 卷非选择题（共64分）二、填空题：（本题包括4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年辽宁师范大学附属中学高二上学期开学考试数学试题解析

2019-2020学年辽宁师范大学附属中学高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案B根据已知条件中的面积可求出弧长，再利用弧度制的概念即可求出弧度数．解：由扇形的面积公式112S l r =⋅⋅=，由题意1r =，则2l =，所以圆心角的弧度数221l r α===.故选：B. 点评：本题考查扇形的面积公式、弧长公式，考查学生的计算能力，属于基础题.2．已知(1,sin )a α=v，(2,cos )b α=v ，且a v ∥b v ，则cos()cos 22cos()sin παααα++--的值是 A ．1 B ．35C ．13D ．15答案C分析：首先根据两向量平行，求得tan α，再根据诱导公式化简，最后分子和分母同时除以cos α，表示为tan α，最后代入即可求得结果.详解：因为//a b r r ，cos 2sin αα=，解得1tan 2α=，原式sin cos 2cos sin αααα-+=-，然后分子和分母同时除以cos α化简为11tan 11212tan 322αα-+-+==--，故选C. 点睛：本题考查向量平行的坐标表示，以及同角三角函数的关系等知识，意在考查学生分析问题的能力，属于基础题型.3．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫-⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π.其中正确的判断是（） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③答案C分析：根据最低点，判断A=3，根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T ，再代入最低点可求得解析式为()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，依次判断各选项的正确与否．详解：因为5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭为对称中心，且最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以A=3，且254312T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭由222T ππωπ=== 所以()()3sin 2f x x ϕ=+，将2,33N π⎛⎫-⎪⎝⎭带入得 6π=ϕ ，所以()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭由此可得①错误，②正确，③当351212x ππ-≤≤时，0266x ππ≤+≤，所以与1y = 有6个交点，设各个交点坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，则1234567x x x x x x π+++++=，所以③正确所以选C点睛：本题考查了根据条件求三角函数的解析式，通过求得的解析式进一步研究函数的性质，属于中档题．4．在数列{}n a 中，114a =-，()1111n n a n a -=->，则2018a 的值为 ( ) A ．14-B ．5C ．45D ．以上都不对答案B 将114a =-代入递推关系，依次得到2a ，3a ，4a ……，可观察得数列{}n a 是周期为3的数列，从而得解. 解：在数列{}n a 中，由114a =-，()1111nn a n a -=->，可得：23121141515a a a a =-==-=，， 45634511114115145a a a a a a =-=-=-==-=，，，…… 所以数列{}n a 是周期为3的数列，所以201825a a ==. 故选B. 点评：本题主要考查数列的递推公式和数列的周期，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.5．已知平面向量a r ，b r ，c r ，e r，在下列命题中：①//a b r r 存在唯一的实数R λ∈，使得b a λ=r r ；②e r为单位向量，且a r //e r ，则a a e =±r r r ；③2a a a ⋅=r r r ；④a r 与b r 共线，b r 与c r 共线，则a r 与c r共线；⑤若a b b c ⋅=⋅r r r r 且0b r r ≠，则a c =r r .正确命题的序号是( ) A ．①④⑤ B ．②③④C ．①⑤D ．②③答案D分别根据向量的平行、模、数量积即可解决。

辽宁师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期开学考试数学试题

5. 已知平面向量，，，，在下列命题中：①
存在唯一的实数
，使得
；② 为单位向量，且
，则
；
③
；④ 与共线，与共线，则与共线；⑤若
且
，则
.正确命题的序号是( )
A．①④⑤
B．②③④
C．①⑤
D．②③
6. 设是平面
内一定点，为平面
内一动点，若
，则为
的（）
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
，
，则
（）
A．B．ຫໍສະໝຸດ C．D．二、填空题
13. 化简：
________.
14. 我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？
三、解答题
，若，，成等比数列，
；数列满足：对于任意的
（3）若数列满足
，试问是否存在正整数，（其中
），使，，成等比数列.
，等式
，n∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k时对应的等式左边加上（） B．（k3+1）+（k3+2）+…+（k+1）3 D．
12. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，设直角三角形中
较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是 .若
D．至少有个红球
9. 已知数列是等比数列，若
，
A．
B．

2020届辽宁师范大学附属中学高三10月月考数学(文)试题(解析版)

2020届辽宁师范大学附属中学高三10月月考数学（文）试题一、单选题1．设[),0,a b ∈+∞，,A a b B a b =+=+，则A,B 的大小关系是（）A ．AB ≤ B ．A B ≥C ．A B <D ．A B >【答案】B【解析】试题分析：因,故,所以应选B.【考点】不等式的性质.22倍，那么体积扩大到原来的（） A ．2倍 B ．22C 2倍D 32【答案】B【解析】根据球的体积公式，分别求得原来球的体积和变大后的球的体积，即可求解，得到答案．【详解】设球的半径为R ，则体积为3143V R π=， 2倍，2R ，体积为332482(2)33V R R π==，则212V V =2122V V =，故选B 【点睛】本题主要考查了球的体积的计算与应用，其中解答中熟记球的体积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3．数列111111,3,5,7,,(21),248162n n -+L L 的前n 项和n S 的值等于（） A ．2112n n +-B ．21212n n n -+-C ．21112n n -+- D ．2112n n n -+- 【答案】A【解析】根据通项形式1(21)2n n -+，可分组求和即可求解. 【详解】11(1321)(21)24n n n S =+++-++++K K11(1)(121)221212n n n -+-⋅=+- 2112n n =+-,故选：A 【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的求和公式，分组求和，属于容易题.4．过三棱柱ABC －A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有（） A ．4条 B ．6条C ．8条D ．12条【答案】B【解析】取H ，G ，F ，I 分别为1111,,,AC B C BC AC 的中点，得到平面//HGFI 平面11ABB A ，在平面HGFI 内找出符合题意的直线，即可求解.【详解】如图所示，取H ，G ，F ，I 分别为1111,,,AC B C BC AC 的中点，由面面平行的判定定理，可得平面//HGFI 平面11ABB A 可得符合条件的直线只能出现在平面HGFI 中，即FI ，FG ，GH ，HI ，HF ，GI 符合题意，共有6条直线. 故选B.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及面面平行的判定及应用，其中解答中根据几何体的结构特征，得到平面//HGFI 平面11ABB A 是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题.5．已知实数x ，y 满足约束条件10,40,,x y x y y m +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z x y =+的最大值与最小值的差为2，则实数m 的值为（）． A ．4 B ．3C ．2D ．12-【答案】C【解析】分析：画出不等式组表示的可行域，利用数形结合得到z 的最大值和最小值，然后根据题意可求得实数m 的值．详解：根据题中约束条件作出可行域（如图阴影区域所示），由2z x y =+可得2y x z =-+．平移直线2y x z =-+，结合图形可得当直线经过可行域内的点B 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 最大．由4y x y m=-+⎧⎨=⎩得()4,B m m -，所以max 28z x y m =+=-．同理，在A 点时目标函数2z x y =+值最小，由1y x y m=+⎧⎨=⎩得()1,A m m -，所以min 232z x y m =+=-．由题意得max min 1042z z m -=-=，解得2m =．故选C ．点睛：本题考查线性规划的应用，解题的关键有两个：一是正确画出不等式组表示的可行域；二是判断出目标函数中z 的几何意义，即z 与直线截距的关系，然后根据数形结合求解．6．已知m =n =3a ≥,则,m n 的大小关系为( )A ．m n >B ．m n =C ．m n <D ．大小不确定【答案】C【解析】分析：作差法，用m n -，判断其符号．详解：m n -=-=<，所以，m n <．故选C ．点睛：作差法是比较大小的基本方法，根式的分子有理化是解题的关键．7．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为( ) A ．12元 B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间【答案】C【解析】设销售价定为每件x 元,利润为y ,根据题意可得利润的函数解析式.由题意可得关于x 的一元二次不等式,解不等式即可求得每件销售价的范围. 【详解】设销售价定为每件x 元,利润为y 则(8)[10010(10)]y x x =---依题意,得(8)[10010(10)]320x x ---> 即2281920x x -+<,解得1216x << 所以每件销售价应定为12元到16元之间故选:C 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次不等式的关系,一元二次不等式的解法,属于基础题. 8．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，给出以下结论： ①100a =；②10S 最小；③712S S =；④190S =．其中一定正确的结论是（） A ．①②B ．①③④C ．①③D ．①②④【答案】B【解析】先由13623a a S +=得到100a =，再利用等差数列性质得到712S S =，190S =，故正确的结论为①③④. 【详解】设等差数列的公差为d ，则111236615a a d a d ++=+，故190a d +=即100a =.①正确.若10,0a d ><，则910S S =且它们为n S 的最大值，②错误.127891*********S S a a a a a a -=++++==，故712S S =，③正确. 1910190S a ==，故④正确，综上选B.【点睛】一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+；（2）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+==L 且()2121n n S n a -=- ；（3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（4）232,,,n n n n n S S S S S --L 为等差数列.9．若不等式210x a x a -++≤（）的解集是[]43-，的子集，则a 的取值范围是（） A ．[]4,1- B ．[]4,3-C ．[]1,3D ．[]1,3-【答案】B【解析】求出不等式的等价条件，结合子集关系建立不等式分类讨论进行求解即可．【详解】解：由210x a x a -++≤（）得()()10x a x --≤，若1a =，不等式等价解为1x =即解集为{1}满足{}[]143⊆-，，若1a ＜，不等式等价解为1a x ≤≤即解集为[]1a ，，若满足][143a ⎡⎤⊆-⎣⎦，，，则41a -≤＜，若1a ＞，不等式等价解为1x a ≤≤即解集为[]1a ，，若满足][143a ⎡⎤⊆-⎣⎦，，，则13a ≤＜，综上43a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]43，-，故选：B ．【点睛】本题主要考查不等式的应用，结合不等式的解法求出不等式的解集，利用子集关系进行转化是解决本题的关键．10．已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（）A ．2 B．C． D ．1【答案】B【解析】试题分析：由题意得，a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，所以0a >，且440ab ∆=-≤，所以1≥ab ，由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得0∆=，所以1ab =，所以1a >，所以2224231101a a b a a a b a a a a+++==>---，所以42248442236242222112()112()1122()2a a a a a a a a a a a a a a a a++++++===-+-+-+- 222222211(2)4()41()2a a a a a a+-++-=+-，令2212a t a +=>，则42231(2)4(2)4()2a t t a a t +-+--=-- 4(2)44482t t =-++≥+=-，所以4231()a a a +-的最小值为8，所以22a b a b+-的最小值为B ．【考点】基本不等式的应用．11．已知不等式22ax by -≤在平面区域(){},|11x y x y ≤≤且上恒成立，则动点(),P a b 所形成平面区域的面积为（） A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】A【解析】令2z ax by =-. ∵不等式22ax by -≤在平面区域(){},|11x y x y≤≤且上恒成立∴函数2z ax by =-在可行域要求的条件下，max 2z =恒成立画出平面区域(){},|11x y x y ≤≤且如图所示：当直线20ax by z --=过点(1,1)或点(1,1)-或(1,1)-或(1,1)--时，有：2222{2222a b a b a b a b -≤+≤--≤-+≤，点(,)P a b 形成的图形是图中的菱形MNTS . ∴所求的面积124142S =⨯⨯⨯= 故选A.12．设数列 {}n a 的前 n 项和为 n S ，若2nnS S 为常数，则称数列 {}n a 为“吉祥数列”．已知等差数列 {}n b 的首项为 1，公差不为 0，若数列 {}n b 为“吉祥数列”，则数列 {}n b 的通项公式为 ()n n A ．1n b n =- B ．21n b n =-C ．1n b n =+D ．21n b n =+【答案】B【解析】分析：设出等差数列{}n b 的公差d ，根据2nnS S 为常数求得d 后可得通项公式．详解：设等差数列{}n b 的公差d ，则()12n n n S n d -=+，∴()()()()21112222122122n n n n n n d dS n n S n d n d --++==-+-+．又数列 {}n b 为“吉祥数列”， ∴2nnS S 为常数，不妨设()()2112221nnn dS k S n d-+==+-，则得()()112212n d k n d -⎡⎤+=+-⎣⎦，解得124d k ==，， ∴()12121n b n n =+-=-. 故选B ．点睛：本题属于新概念问题，解题的关键是正确理解所给出的“吉祥数列”的概念，并在此概念的基础上进行推理、求解，得到等差数列的公差，进而得到等差数列的通项公式．二、填空题13．已知正三棱锥P ABC 一的侧面是直角三角形，P ABC 一的顶点都在球O 的球面上，正三棱锥P ABC 一的体积为36，则球O 的表面积为__________．【答案】108π【解析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将问题转化为正方体的外接球问题．【详解】∵正三棱锥P ﹣ABC ，PA ，PB ，PC 两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA ，PB ，PC 为三边的正方体的外接球O ，设球O 的半径为R ，则正方体的边长为3， ∵正三棱锥P ABC 一的体积为36，∴V=11123232336332333PAC R R R S PB ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=n ∴R=33∴球O 的表面积为S=4πR 2=108π 故答案为108π．【点睛】本题考查球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，三棱锥体积的表示方法，有一定难度，属中档题． 14．已知实数a 满足ab 2>a>ab ，则实数b 的取值范围为________．【答案】(－∞，－1)【解析】若a<0，则b 2<1<b ，产生矛盾，所以a>0，则b 2>1>b ，解得b ∈(－∞，－1)．15．设1<x<2，则ln x x g ，（ln x xg ）2，22ln x x g 的大小关系是__________________．（用“<”连接）【答案】222ln ln ln x x x x x x <<⎪⎭⎫⎝⎛ 【解析】试题分析：令x x y ln =，则2ln 1x xy -='；∵21<<x ，∴1ln 2ln ln 1ln 0=<<<=e x ，∴0ln 1>-x ，∴0>'y ，∴xxy ln =在()2,1上为增函数，∴12122ln ln 11ln 0<<<<=x x ，∴x xx x ln ln 2<⎪⎭⎫ ⎝⎛，∵()2222ln 2ln ln 2ln ln x x x x x x x x x x x -=-=-，∵21<<x ，∴02>-x ，1ln 0<<x ，∴0ln ln 22>-x x x x ，即x x x x ln ln 22>，综上所述：答案为222ln ln ln x x x x x x <<⎪⎭⎫⎝⎛. 【考点】不等式比较大小.16．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是__________．【答案】(0，2)【解析】解：设四面体的底面是BCD ，BC=a ，BD=CD=1，顶点为A ，AD=2在三角形BCD 中，因为两边之和大于第三边可得：0＜a ＜2 （1）取BC 中点E ，∵E 是中点，直角三角形ACE 全等于直角DCE ，所以在三角形AED 中，AE=ED=21()2a -，∵两边之和大于第三边，所以，由由（1）（2）得02a <<故a 的取值范围是2)三、解答题17．已知函数2()21f x ax ax =++R （1）求a 的取值范围；（2）若函数()f x 的最小值为22，解关于x 的不等式22x x a a -<+。

2019-2020学年高二数学10月月考参考答案

参考答案1. A2. C 3．B 4. C【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，分别代入椭圆方程相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b-+-++=，根据题意有12122,2x x y y +=+=，且121212y y x x -=--，所以22221()02a b +⨯-=，得222a b =，整理222a c =，所以e =．5. A解析：选A 可以考虑原命题的逆否命题，即a ，b 都小于1，则a ＋b <2，显然为真．其逆命题，即若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2为假，如a ＝1.2，b ＝0.2，则a ＋b <2. 6. D【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设(,)P x y 为平面区域内任意一点，则22x y +表示2||OP ．显然，当点P 与点A 合时，2||OP ，即22x y +取得最大值，由2239x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩，故(3,1)A -．所以22x y +的最大值为223(1)10+-=． 7.B解析：设线段PF 2的中点为D ，则|OD |＝12|PF 1|，OD ∥PF 1，OD ⊥x 轴，∴PF 1⊥x 轴． ∴|PF 1|＝b 2a ＝323＝32.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝43， ∴|PF 2|＝43－32＝732. ∴|PF 2|是|PF 1|的7倍． 8．A解析：选A 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，解得m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.9. D10. A解析：选A 因为∃x 0∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立是假命题，所以∀x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1≥0恒成立是真命题，即∀x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得λ≤2x ＋1x 恒成立是真命题，令f (x )＝2x ＋1x ，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ∈⎣⎡⎭⎫12，22时，f ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎦⎤22，2时，f ′(x )>0，所以f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫22＝22，则λ≤2 2.11. B解析：选B 设向量1u u u r F P ，2uuu u r F A 的夹角为θ.由条件知|AF 2|为椭圆通径的一半，即|AF 2|＝b 2a ＝32，则1u u u r F P ·2uuu u r F A ＝32|1u u u r F P |cos θ，于是1u u u r F P ·2uuu u r F A 要取得最大值，只需1u u u r F P 在向量2uuu u rF A 上的投影值最大，易知此时点P 在椭圆短轴的上顶点，所以1u u u r F P ·2uuu u r F A ＝32|1u u u r F P |cos θ≤332，故选B.12. B13. －1≤m ≤1解析：x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，∴(－1,4)(2m 2－3，＋∞)，∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤114. 2或8[显然m ＞0且m ≠4,当0＜m ＜4时,椭圆长轴在x 轴上,则1m －141m＝22,解得m ＝2;当m ＞4时,椭圆长轴在y轴上,则14－1m 1 4＝22，解得m＝8.]15. (),-∞+∞U16.717.（本小题10分）解：因为p：f(x)＝1－2mx在区间(0，＋∞)上是减函数，所以1－2m＞0⇒m＜12.因为q：不等式(x－1)2＞m的解集为R，所以m＜0.要保证命题“p∨q”为真，则p，q至少有一个为真，当p真q真时，m<0；当p真q假时，0≤m<12；当p假q真时，m∈∅.所以实数m的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，12.18.（本小题12分）【解析】(1)由题意得2c=，所以c=又3cea==，所以a=2221b a c=-=，所以椭圆M的标准方程为2213xy+=．(2)设直线AB的方程为y x m=+，由2213y x mxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y可得2246330x mx m++-=，则2223644(33)48120m m m∆=-⨯-=->，即24m<，设11(,)A x y，22(,)B x y，则1232mx x+=-，212334mx x-=，则12|||AB x x =-==易得当20m =时，max ||AB =，故||AB ．19.（本小题12分）命题p ：关于x 的不等式210ax ax -+≤的解集为∅（1）若命题p 为真命题，求a 的取值范围；（2）命题q ：a m >，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求m 的取值范围；（3）命题r ：方程2210x ax a ++-=有一个正根和一个负根，若p q ∨为真，求a 的取值范围. 解：（1）04a ≤<——4分（2）0m <——4分（3）0a ≥——4分20.（本小题18分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221y x a b+=(0)a b >>的离心率为2，椭圆C 截直线1y =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的一个焦点为F ，定点1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，椭圆上的一个动点为P ，求PF PA +的最大值；（3）若直线1y kx =+与曲线C 交于,A B 两点，求OAB V 面积的取值范围．解：(1)椭圆C 的方程为y 24＋x 2＝1．——4分（2）利用椭圆对称性，不妨取上焦点(F ，记下焦点(0,F '2444PF PA a PF PA PA PF AF '''+=-+=+-≤+=因此，最大值为42+——8分 (3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4，①——11分设△OAB 的面积为S ，由x 1x 2＝－3k 2＋4＜0，知S ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2k 2＋3(k 2＋4)2，——14分令k 2＋3＝t ，知t ≥3， ∴S ＝21t ＋1t＋2．由基本不等式可得：∴0＜1t ＋1t ＋2≤316，∴0＜S ≤32，即△OAB 面积的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32．——18分21.（本小题18分）解：椭圆C 的方程是——4分Ⅱ证法一：易知，直线PQ 的斜率存在，设其方程为将直线PQ 的方程代入，消去y ，整理得设，则——————6分因为，且直线的斜率均存在，所以，整理得分——7分因为，所以——8分将代入，整理得——9分将代入，整理得——10分解得，或舍去．所以，直线PQ恒过定点分——11分（3）过的直线若斜率不存在，则或3.设直线斜率存在，[来源学§科§网]则————————13分由（2）（4）解得，代入（3）式得化简得————15分由（1）解得代入上式右端得解得综上实数的取值范围是.——————18分。

2019-2020学年辽宁师大附中高二上学期10月月考试题数学

2019-2020学年辽宁师大附中高二上学期10月月考试题数学考试时间：90分钟满分：100分第 Ⅰ 卷选择题（共36分）一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。

1、若图中的直线321,,l l l 的斜率分别为321,,k k k ,则（）A 、321k k k <<B 、213k k k <<3lC 、123k k k <<D 、231k k k << 12、已知直线l 经过点)5,2(-P ，且斜率为43-，则直线l 的方程为（） A 、01443=+-y x B 、01443=-+y xC 、01434=-+y xD 、01434=+-y x3、圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （）A 、34-B 、43- C 、3 D 、2 4、直线02cos =-+y x α的倾斜角的范围是（）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π C 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ，，4340 D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,4ππ 5、圆3222=-+x y x 与直线1+=ax y 交点个数为A 、0个B 、1个C 、2个D 、不能确定6、已知直线01)5()3(:1=+-+-y k x k l 与直线032)3(2:2=+--y x k l 垂直，则k 的值为（）A 、1或3B 、1或5C 、1或2D 、1或47、已知ABC ∆的三个顶点坐标为)2,5(),6,3(),2,1(C B A ，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为（）A 、0122=-+y xB 、0122=--y xC 、082=-+y xD 、082=+-y x8、过点（1 , 1）,且纵横截距相等的直线共有（）条A 、1B 、2C 、3D 、09、两圆02662:221=--++y x y x C 与0424:222=++-+y x y x C 的公切线有（）A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条10、已知直线m x y +=与曲线21x y -=有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是（）A 、)2,2(-B 、)2,0(C )2,1(D )2,1[11、直线02=++y x 分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆()2222=+-y x 上，则ABP ∆面积的取值范围是（）A 、[]6,2B 、[]8,4C 、]23,2[D 、]23,22[12、已知直线)(01:R a ay x l ∈=-+是圆C ：012422=+--+y x y x 的对称轴，过点),4(a A -作圆C 的一条切线，切点是B ，则=AB （）A 、2B 、24C 、6D 、102 第 Ⅱ 卷非选择题（共64分）二、填空题：本题包括4小题，每题4分，共16分。

2020届辽宁师范大学附属中学高三10月月考数学(理)试题(解析版)

2020届辽宁师范大学附属中学高三10月月考数学（理）试题一、单选题1．在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对应的边分别为a,b,c ,若30,C a ︒∠==，则B Ð等于（） A ．45︒ B ．105︒C ．15︒或105︒D ．45︒或135︒【答案】C【解析】根据题中条件，结合正弦定理，先求出A ∠，再由三角形内角和为180︒，即可求出结果. 【详解】因为在ABC ∆中，30,C a ︒∠==，由正弦定理可得sin sin a c A C =，所以sin 1sin 22a C A c ===，所以45A ∠=o 或135o ，因此1804530105B ∠=--=o o o o 或1801353015B ∠=--=o o o o . 故选C 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，属于常考题型.2．在等比数列{}n a 中，2a ，16a 是方程2620x x ++=的两个根，则2169a a a 的值为（）A．B．CD或【答案】D【解析】利用方程的根与等差数列的性质，求解即可. 【详解】解：等比数列{}n a 中，2a ，16a 是方程2620x x ++=的两个根1622a a ∴⋅=216922a a a ⋅==∴9a ∴=故选D. 【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，考查计算能力.3．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S =（） A ．2 B ．7C ．14D ．28【答案】C【解析】利用等差数列通项的性质，将已知条件转化为关于4a 的方程，由此解得4a 的值，利用等差数列前n 项和的性质，求得7S 的值. 【详解】5632a a a +=+Q 44422a d a d a d ∴++=++-，解得：42a =()177477142a a S a +∴===.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列通项的性质，考查等差数列前n 项和公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 4．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位【答案】A【解析】依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x πωω⎛⎫====+ ⎪⎝⎭.而()πππππsin 3sin 3sin 3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故应左移π12.5．已知等差数列{}n a 满足12332,40a a a =+=，则{}n a 前12项之和为（） A ．144- B ．80C ．144D ．304【答案】D【解析】根据条件，求出等差数列通项公式，写出408,5 408840,6 nn na nn n-⎧=-=⎨->⎩，，…利用等差数列求和公式求前5项与后7项的和，相加即可.【详解】为23123643408a a a d d d+=+=+=⇒=-，所以408na n=-.所以408,5408840,6nn na nn n-⎧=-=⎨->⎩，，…所以前12项之和为5(320)7(856)8022430422⨯+⨯++=+=.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和求和公式，属于中档题.处理含绝对值的数列问题时，可考虑去绝对值号写成分段函数的形式.6．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且45AE AB=uu u r uu u r，连接AC、EF交于点P，若411AP AC=uu u r uuu r，则点F在AD上的位置为（）A．AD边中点B．AD边上靠近点D的三等分点C．AD边上靠近点D的四等分点D．AD边上靠近点D的五等分点【答案】B【解析】设AF xAD=uu u r uuu r，可得出1AD AFx=uuu r uu u r，由()441111AP AC AB AD==+uu u r uuu r uu u r uuu r，并将ABu u u r用AEu u u r表示，将ADu u u r用AFu u u r表示，利用E、P、F三点共线求出x的值，即可得出点F在边AD上的位置.【详解】设AF xAD=uu u r uuu r，可得出1AD AFx=uuu r uu u r，45AE AB=uu u r uu u rQ，54AB AE∴=uu u r uu u r.()444515411111141111AP AC AB AD AE AF AE AFx x⎛⎫==+=+=+⎪⎝⎭uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uu u rQ，E Q 、P 、F 三点共线，5411111x ∴+=，解得23x =，即23AF AD =uu u r uuu r ，因此，点F 在AD 边上靠近点D 的三等分点. 故选B. 【点睛】本题考查平面向量的基本定理与线性运算，解题的关键就是利用三点共线结论求出参数的值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．在ABC ∆中，543AB BC BC CA CA AB →→→→→→==g g g ，则sin :sin :sin A B C =（） A ．9:7:8 B ．9:7:8C ．6:8:7D ．6:8:7【答案】B【解析】设•••543AB BC BC CA CA ABt ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，求出9,7,8a t b t c t =-=-=-，再利用正弦定理求解. 【详解】设•••543AB BC BC CA CA ABt ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以5,4,3AB BC t BC CA t CA AB t ⋅=⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以cos 5,cos 4,cos 3ac B t ab C t bc A t -=-=-=，所以22222222210,8,6c a b t b a c t c b a t +-=-+-=-+-=-，得9,7,8a t b t c t =-=-=- 所以sin :sin :sin ::A B C a b c ==9:7:8故选B 【点睛】本题主要考查向量的数量积，考查余弦定理和正弦定理边角互化，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】将整理为，根据的范围可求得；根据，结合的值域和的图象，可知，解不等式求得结果.【详解】当时，又，，由在上的值域为解得：本题正确选项：【点睛】本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从而得到关于参数的不等式.9．在ABC ∆中，3AC =，向量AB u u u r 在AC u u u r上的投影的数量为2,3ABC S ∆-=，则BC =( )A ．5B ．27C 29D ．2【答案】C【解析】由向量AB u u u r在AC u u u r 上的投影的数量为2-可得||cos 2AB A =-u u u r ，由3ABC S ∆=可得1||||sin 32AB AC A =u u u r u u u r ，于是可得3,||224A AB π==u u ur 求得BC 的长度．【详解】∵向量AB u u u r 在AC u u u r上的投影的数量为2-，∴||cos 2AB A =-u u u r．①∵3ABC S ∆=，∴13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==u u u r u u u r u u ur ， ∴||sin 2AB A =u u u r．②由①②得tan 1A =-， ∵A 为ABC ∆的内角，∴34A π=，∴2||3sin4AB π==u u u r在ABC ∆中，由余弦定理得2222232cos323()2942BC AB AC AB AC π=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯-=，∴BC =故选C ．【点睛】本题考查向量数量积的几何意义和解三角形，解题的关键是根据题意逐步得到运用余弦定理时所需要的条件，考查转化和计算能力，属于中档题．10．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ A ．253B ．503C ．507D ．1007【答案】D【解析】根据题意可知，羊马牛的三主人应偿还的量构成了公比为2的等比数列，而前3项和为50升，即可利用等比数列求和公式求出1a ，进而求出马主人应该偿还的量2a . 【详解】因为5斗=50升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为123,,a a a ，由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且350S =则31(21)5021a -=-，解得1507a =，所以马主人要偿还的量为：2110027a a ==，故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列基本量求解，以及数学文化，属于基础题.11．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos b C c B =，则111tan tan tan A B C++的最小值为（） A．3BCD．【答案】A【解析】先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求. 【详解】∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =， ∴tan 2tan C B =.又A B C π++=， ∴()()tan tan tan A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦22tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1B C B BB C B B +=-=-=---，∴21112tan 111tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B -++=++27tan 36tan B B =+. 又∵在锐角ABC ∆中, tan 0B >,∴27tan 36tan 3B B +≥=，当且仅当tan 2B =时取等号，∴min111tan tan tan A B C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，故选A. 【点睛】本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养. 12．已知数列{}n a 满足1212a a ++…2*1()n a n n n N n+=+∈，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=,数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*()1n nT n N n λ<∈+恒成立，则λ的取值范围是（） A ．1(,) 4+∞ B ．1[,) 4+∞C ．3[,) 8+∞D ．3(,)8+∞【答案】D【解析】先求出{}n a 的通项，再求出{}n b 的通项，从而可求n T ，利用参变分离可求λ的取值范围. 【详解】因为1212a a ++…2*1()n a n n n N n +=+∈，所以1212a a ++…()()2*1111(,2)1n a n n n N n n -+=-+-∈≥-，故12n a n n=即22n a n =，其中2n ≥. 而令1n =，则22111221a =+==⨯，故22n a n =，1n ≥.()()2222211114411n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥⨯++⎢⎥⎣⎦，故()2222221111111412231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎣⎦L ()()22211214141n nn n ⎡⎤+=-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，故*()1n n T n N n λ<∈+恒成立等价于()222141n n n n n λ+<++即()241n n λ+<+恒成立，化简得到()11441n λ+<+，因为()11113441488n +≤+=+，故38λ>. 故选D. 【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 参数的数列不等式的恒成立问题，可以用参变分离的方法构建新数列，通过讨论新数列的最值来求参数的取值范围.二、填空题 13．若1sin()63πα-=，则2cos ()62πα+=________.【答案】23【解析】【详解】由题意可得：212cos 1cos sin sin 6263233παππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即：212cos 1623πα⎛⎫+-=⎪⎝⎭，解方程可得：22cos 623πα⎛⎫+=⎪⎝⎭. 14．函数2()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在[0,2]π的单调递增区间是__________. 【答案】0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，19,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】变换得到2()3sin 23f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，取23222232k x k πππππ+≤-≤+，计算得到答案. 【详解】22()3sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取23222232k x k πππππ+≤-≤+，解得713,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，当1k =-时，0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦满足；当0k =时，713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦满足；当1k =时，19,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦满足；故答案为：0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，19,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的单调区间，意在考查学生的计算能力. 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n nS +=-，若()()21363n a n λ->-对一切*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是__________．【答案】13,18⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【详解】111233,2936,3n n S a a +=-∴=-==Q ，当1n > 时，112223323,3n n n n n n n n a S S a +-=-=-=⨯= . 又113a = 且()()21363n a n λ->- ，()363213nn λ-∴->，得()183123n n λ->+ ，因为()()()111821831872333n n n n n n++----=，所以当4n = 时，()183123nn -+ 取得最大值，最大值为()4184311313,231818λ-+=> ，故答案为13,18⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ . 16．已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是APB ∠的角平分线，I为PC 上一点，满足BI BA =+u u r u u u r||||AC AP AC AP λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u ur u u u r (0)λ>，4PA PB -=u u u r u u u r ，10PA PB -=u u u r u u u r ，则BI BABA⋅u u r u u u ru u u r 的值为__________. 【答案】3【解析】确定I 是PAB ∆内心，如图所示，得到4AF BF -=u u u r u u u r ，10AF BF +=u u u r u u u r，得到3BF =u u u r ，化简BI BA BF BA⋅=u u r u u u ru u ur u u u r 得到答案. 【详解】BI BA =+u u r u u u r||||AC AP AC AP λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r (0)λ>，即||||AC AP AI AC AP λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u r u u u r u u u r ，表示I 在PAB ∠的角平分线上，故I 是PAB ∆内心.如图所示：4AF BF AG BH AP BP -=-=-=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；10AF BF +=u u u r u u u r ，故3BF =u u u r.cos 3BI BA ABI BI BA BF BA BA⋅∠⋅===u ur u u u r u u r u u u r u u ur u u u r u u u r故答案为：3.【点睛】本题考查了三角形内心，向量的运算，意在考查学生的综合应用能力.三、解答题17．已知()()3sin 2f x x x πωπω⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭()2cos 0x ωω->的最小正周期为T π=．(1)求43f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是为a ，b ，c ，若()2cos cos a c B b C -=，求角B 的大小以及()f A 的取值范围．【答案】(1)12;(2) 3B π=,()11,2f A ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.【解析】试题分析：（1）根据三角恒等变换的公式，得()1sin(2)62f x wx π=--，根据周期，得1w =，即()1sin(2)62f x x π=--，即可求解4()3f π的值；（2）根据正弦定理和三角恒等变换的公式，化简()2cos cos a c B b C -=，可得1cos 2B =，可得3B π=，进而求得1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求解()f A 的取值范围.试题解析：(1)∵()()3sin 2f x x x ππωω⎛⎫=+-⎪⎝⎭22cos cos cos x x x x ωωωω-=-11cos222x x ωω=-- 1sin 262x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由函数()f x 的最小正周期为T π=，即22ππω=，得1ω=，∴()1sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴441sin 23362f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯--⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 511sin 222π=-=．（2）∵()2cos cos a c B b C -=，∴由正弦定理可得()2sin sin cos A C B -sin cos B C =，∴2sin cos sin cos cos sin A B B C B C =+()sin sin B C A =+=．∵sin 0A >，∴1cos 2B =．∵()0,B π∈，3B π=．∵23A C B ππ+=-=，∴20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()11sin 21,622f A A π⎛⎫⎛⎤=--∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦．18．设公差大于0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知315S =，且1413,,a a a 成等比数列，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .（1）求n T ；（2）若对于任意的*n N ∈，13n n tT a <+恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）3(23)n nT n =+（2）180t <【解析】（1）根据题意得到313315S a d =+=，()()2111312a d a a d +=⋅+，计算得到21n a n =+，再利用裂项求和得到n T .（2）化简得到1312612102n n a t n T n +<=++，设()()12612102,0f x x x x=++>，根据函数性质得到3n =时，12612102n n++有最小值为180，得到答案. 【详解】（1）313315S a d =+=，1413,,a a a 成等比数列，则24113a a a =⋅，即()()2111312a d a a d +=⋅+，解得2d =或0d =（舍去），13a =，故21n a n =+.()()111111212322123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭. 1111111111...23557212323233(23)n T n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣=+⎦ （2）13n n tT a <+，即()()214691312612102n n n n a t n T n n+++<==++ 设()()12612102,0f x x x x=++>，根据双勾函数性质知：函数在0,2⎛ ⎝⎭上单调递增，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. 计算()3180f =，()4181.5f =，故当3n =时，12612102n n++有最小值为180. 故180t <. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项求和，数列恒成立问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.19．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ,c 已知222a c b ++=，cos 0A B +=.（1）求cos C ；（2）若ABC ∆的面积52S =，求b .【答案】（1）cos ,cos 105A C ==；（2）5b = 【解析】【详解】试题分析：（1）根据余弦定理求出B,带入条件求出sin A ，利用同角三角函数关系求其余弦，再利用两角差的余弦定理即可求出；（2）根据（1）及面积公式可得ac ，利用正弦定理即可求出.试题解析：（1）由222a c b +=，得222a c b +-=，∴222cos 222a cb B ac ac +-===-. ∵0B π<<，∴34B π=.cos 0A B +=，得sin A B ⎛=== ⎝⎭，∴10cosA ===.∴cos cos cos 422C A A A π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭=+=（2）由（1），得sin C ===.由1sin 2S ac B =及题设条件，得135sin242ac π=，∴ac =由sin sin sin a b cA B C==2==，∴225b ===， ∴5b =.点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.20．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21111,n n n a S S a ++=+=，数列{}n b 满足12n a n n b b +⋅=，且12b =（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设*22122log ,n n n N b c b n ++=∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =，12222,2,n n n n b n +-⎧⎪=⎨⎪⎩是奇数是偶数；（2）332n n n T +=-.【解析】（1）化简得到11n n a a +-=，得到n a n =，化简得到22n nb b +=，分别计算n 为奇数和n 为偶数的通项公式得到答案.（2）()112nn n c ⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭，利用错位相减法计算得到答案. 【详解】（1）()21111,n n n a S S a ++=+=，故()21n n n S S a -+=，2n ≥. 两式相减得到()()221111n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，因为10n n a a ++>，故11n n a a +-=. 故n a n =，验证1n =时成立，故n a n =.122n a n n n b b +⋅==，122n a n n n b b +⋅==，则1122n n n b b +++⋅=，两式相除得到22n nb b +=，12b =，21b =，故当n 为奇数时，1122122n n n b b -+=⋅=；当n 为偶数时，2222222n n n b b --=⋅=.综上所述：12222,2,n n n n b n +-⎧⎪=⎨⎪⎩是奇数是偶数（2）()2212122log l 1122og 2n nn n nn b n c b +++⎛⎫===+⨯ ⎪⎝⎭. 故()211123...1222nn T n ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()231111123...12222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.两式相减得到：()()2311111111312...1322222222nn n n T n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++++-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故332n nn T +=-. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，错位相减法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.。

高二数学《独立重复试验与二项分布》课时练习

2.2.3 独立重复试验与二项分布一、选择题1．(2020·辽宁省辽师大附中高二月考)下列命题正确的个数是( ) ①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10，0.6)；②某福彩中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，p )；③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：①某同学投篮的命中率为0.6，该同学投篮10次，是一个独立重复试验，所以他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10，0.6)，所以该命题正确；②某福彩中奖概率为p ，某人一次买了8张，相当于买了8次，每次中奖的概率都为p ，相当于做了8次独立重复试验，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，p )，所以该命题正确；③从装有5个红球、5个白球的袋中，由于它是有放回地摸球，直到摸出白球为止，所以它不是一个独立重复性试验，因为当X ＝1时，概率为12，当X ＝2时，概率为12×12＝14，当X ＝3时，概率为12×12×12＝18，依次类推，即每次试验摸到白球的概率不相等，所以它不是独立重复性试验，所以该命题错误．故选C. 答案：C2．某同学通过英语听力测试的概率为12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B 由题意得，1－C 0n⎝ ⎛⎭⎪⎫120⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＞0.9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜0.1，∴n ≥4.故选B.3．设随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (ξ≤3)等于( )A.1132 B ．732 C.2132D ．764解析：P (ξ≤3)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝C 06⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝2132.答案：C4．(2020·陕西省咸阳市实验中学高二月考)若随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，则P (ξ＝k )最大时，k 的值为( )A ．1或2B ．2或3C ．3或4D ．5解析：随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，即试验5次，每次成功概率为13；所以P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝32243，P (ξ＝1)＝C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝80243， P (ξ＝2)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝80243， P (ξ＝3)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝40243，P (ξ＝4)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫134⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝10243， P (ξ＝5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝1243，所以P (ξ＝k )最大时，k 的值为1或2.故选A. 答案：A5．(多选)(2020·山东省济宁一中高二期中)如城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列命题成立的是( )A ．这5个家庭均有小汽车的概率为2431 024B ．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为2764 C ．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车D ．这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为81128 解析：由题得，小汽车的普及率为34，A ．这5个家庭均有小汽车的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫345＝2431 024，所以该命题是真命题；B ．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫343⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝135512，所以该命题是假命题；C ．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，是真命题；D ．这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫344⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫345＝81128，所以该命题是真命题．故选A 、C 、D. 答案：ACD 二、填空题6．一只蚂蚁位于数轴x ＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为23，向左移动的概率为13，则3秒后，这只蚂蚁在x ＝1处的概率为________．解析：由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂蚁在x ＝1处的概率为C 23×232×131＝49. 答案：497．设X ～B (4，p )，且P (X ＝2)＝827，那么一次试验成功的概率p 等于________．解析：P (X ＝2)＝C 24p 2(1－p )2＝827，即[p (1－p )]2＝481. ∴p (1－p )＝29. 解得p ＝13或p ＝23. 答案：13或238．某一批花生种子，如果每粒发芽的概率为45，那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽的概率是________．解析：依题意，恰有2粒种子发芽的概率P ＝C 23×⎝⎛⎭⎪⎫452× ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45＝48125. 答案：48125 三、解答题9．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率．解：依题意知，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4)，则P (A i )＝C i 4×13i ×234－i .(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P (A 2)＝C 24×132×232＝827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34×133×23＋C 44×134＝19.所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19. 10．某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响． (1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列．解：(1)设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，23，在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P (X ＝2)＝C 25×⎝⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝40243. (2)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1，2，3，4，5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4 A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝881. (3)由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，6，P (ξ＝0)＝P (A 1A 2A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127； P (ξ＝1)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×23×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＝29；P (ξ＝2)＝P (A 1A 2A 3)＝23×13×23＝427； P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827；P (ξ＝6)＝P (A 1A 2A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827.所以ξ的分布列是：。

2019-2020学年辽宁省大连市辽宁师范大学附属中学高三数学理月考试题含解析

2019-2020学年辽宁省大连市辽宁师范大学附属中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣8参考答案：B【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【解答】解：模拟程序的运行，可得：i=0，x=1，y=1，不满足条件i＞3，y=2，x=﹣1，i=1，不满足条件i＞3，y=1，x=﹣2，i=2，不满足条件i＞3，y=﹣1，x=﹣1，i=3，不满足条件i＞3，y=﹣2，x=1，i=4，满足条件i＞3，退出循环，输出x+y的值为﹣1．故选：B．2. 若集合，函数的定义域为，则 ( )A. B. C. D.参考答案：A略3. 双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，Q为右支上一点，P点在直线x=﹣a上，且满足=，=λ（+）（λ≠0），则该双曲线的离心率为（）A． +1 B． +1 C．2 D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由=，=λ（+）（λ≠0），可知OQ垂直平分PF2，求出P的坐标，可得Q的坐标，代入双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），可得出a，c的数量关系，从而求出双曲线的离心率．【解答】解：∵ =，=λ（+）（λ≠0），∴OQ垂直平分PF2，∴|OP|=c，∴P（﹣a，b），∴Q（，），代入双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），可得﹣=1，∴c﹣a=a，∴c=（+1）a，∴e==+1，故选：A．【点评】本题考查双曲线的性质，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4. 设集合，集合，则（）．A．B．C．D．参考答案：A∵，，．故选．5. 复数的共轭复数为A．B． C． D．参考答案：D略6. 若实数x，y满足条件，则目标函数的最大值为( )．A.6B.5C.4D.3参考答案：B7. 一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图（如图所示），则余下部分的几何体的表面积为（）A．＋1B．＋1C．D．参考答案：A略8. 椭圆的离心率为，若直线与其一个交点的横坐标为，则的值为A. B. C. D.参考答案：C因为椭圆的离心率为，所以有，即，，所以。

辽宁师大附中2019----2020学年上学期第二次模块考试数学月考试题及答案

辽宁师大附中2019----2020学年上学期第二次模块考试高二数学试题考试时间：90分钟满分：120分第 Ⅰ 卷选择题（共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，选出一个选项1．过点A (2，3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为 ( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．2x －y ＋5＝0 2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是 ( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或13．已知点P 是圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝2上任一点，则点P 到直线x －y －1＝0的距离的最大值是 ( ) A. 2 B ．22 C ．3 2 D ．2＋224．已知双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为y ＝±34x ，则该双曲线的离心率为A.34B.74C.54D.53( ) 5．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是 ( )A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 6．若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则a 2＋b 2的最小值为 ( ) A.14 B. 2 C.32 D ．127．设椭圆C ：y 2＋x 2m2＝1(0＜m ＜1)的两焦点分别为F 1，F 2，若在椭圆C 上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则m 的取值范围是 ( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1B.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 8．已知过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点的直线l 与C 交于A ，B 两点，且使|AB |＝4a 的直线l 恰好有3条，则双曲线C 的渐近线方程为 ( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±12x 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ( )A ．2B ．3 C.115 D.371610．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P是椭圆C 上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，直线PF 1与圆x 2＋y 2＝c 24相切，则椭圆的离心率为 ( ) A.13 B.3－12 C.2－12 D.3411．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两个不同的点，当|AB |＝6时，△OAB (O 为坐标原点)的面积是 ( ) A.10 B. 3 C. 6 D. 212．已知椭圆的方程为x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)，上顶点为A ，左顶点为B ，设P 为椭圆上一点，则△PAB 面积的最大值为2＋1.若已知M (－3，0)，N (3，0)，点Q 为椭圆上任意一点，则1|QN |＋4|QM |的最小值为 ( ) A ．2 B. 3＋2 2 C ．3 D ．94第 Ⅱ 卷非选择题（共60分）二、填空题：本题包括4小题，共20分。

辽宁省辽宁师大附中2019_2020学年高二数学上学期开学考试试题

辽宁省辽宁师大附中2019-2020学年高二数学上学期开学考试试题考试时间：60分钟满分：100分第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。

1.在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为（）A．1 B．2 C．3 D．4???so)os(c??c??)b?a?(1,sin(2,cos)2的2.已知则，，且，∥ba??n)s?i2cos(?值是（）131 (B) (C) 1 (D)(A)535?????????fxx?Asin??0?0?A?0）的3.已知函数，（其中，?5??,0M M相邻的一个最低点为图象关于点成中心对称，且与点??12???2??N,?3，则对于下列判断：?? 3????x fx)图象的一条对称轴；是函数①直线(2????,0fx)的一个对称中心；是函数②点( ??12????35?????xy?fx??1?y的图象的所有交点的横坐标之与③函数??1212???7.和为其中正确的判断是（）1A．①② B．①③ C．②③ D．①②③11??1a a)n(?1??a a，4．在数列{中，}，则的值为n n20181a41?n）（41? B. C.5 D.A．以上都不对54下列命题中：5.??R?∥存在唯一的实数；①，使得?aba?b e?aa?，则；②为单位向量，且∥aee2||a?a|a|?③；共线，与共线；共线，则④与与aabbcc c?,b?0则a?a?bb?c且⑤若正确命题的序号是（） C.②③④D.①④⑤ A.①⑤ B.②③ABCPOABC内一动点，若6. 设是平面为平面内一定点，)?(OB?OC)(PB?PC?，0)??(OA?OB)?PA)?(OCOA)?(PA?PB(PC?OABC的（为△）则A.内心 B.外心 C.重心 D. 垂心?6,??BCAB DCAB90??ABC，若四面体，，在同一球面上，7. 点，ABCD体积最大值为3，则这个球的表面积为（）A. 2πB. 4πC. 8πD. 16π8. 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中随机摸出2个球，则与2事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是）（A．没有白球 B．2个白球C．红、黑球各1个 D．至少有1个红球是等比数列，若，则{a}9.已知数列n的取值范围是（）．． CA D． B．a1n??1,aa?a?n}{na项和为10. 已知数列{的前}中，，则数列n n1n1?n2222?3n?3nn?5nnnn?5n A． B． C． D．（）242463n?n?3N,n??3??n?1?2 用数学归纳法证明“11. ”，则当2n?k?1n?k 时对应的等式的左边加上（时，应当在） ????3331k???1)k??2?(k 3 A. B. 1k?????361k?k?1???3 C. D.1?k212.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，设直角三角形中较小1?.若，大正方形的面积是1的锐角为，小正方形的面积是25????3)b?(sin(2),a?(1,cos(2??))，则（，）?a?b66142414??B. D.C.A.2252525 40分）卷非选择题（共第Ⅱ分。

辽宁省辽宁师大附中2020届高三数学上学期10月月考试题文

辽宁省辽宁师大附中2020届高三数学上学期10月月考试题文考试时间：90分钟满分：120分第 Ⅰ 卷选择题（共60分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A ＜B D ．A ＞B2. 把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( )A ．2倍B ．22倍C ．2倍D ．32倍3. 数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )A ．n 2＋1－12nB ．2n 2－n ＋1－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12n4. 过三棱柱ABC A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有( )A ．4B ．6条C ．8D ．12条5. 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥m .若目标函数z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的差为2，则实数m 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．－126. 已知m ＝a －a －2，n ＝a －1－a －3，其中a ≥3，则m ，n 的大小关系为( ) A ．m ＞n B ．m ＝n C ．m ＜n D ．大小不确定7. 某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( ) A ．12元 B ．16元 C ．12元到16元之间 D ．10元到14元之间 8. 已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，且2a 1＋3a 3＝S 6，给出以下结论： ①a 10＝0；②S 10最小；③S 7＝S 12；④S 19＝0. 其中一定正确的结论是( )A ．①②B ．①③④C ．①③D ．①②④9. 若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4，1] B ．[－4，3] C ．[1，3] D ．[－1，3]10. 已知a ＞b ，ax 2＋2x ＋b ≥0对于一切实数x 恒成立，又∃x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋b＝0成立，则a 2＋b 2a －b 的最小值为( )A ．1B ． 2C ．2D ．2 211. 已知不等式ax －2by ≤2在平面区域{(x ，y )||x |≤1且|y |≤1}上恒成立，则动点P (a ，b )所形成平面区域的面积为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．3212. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n ＋1C ．b n ＝n ＋1D ．b n ＝2n －1第 Ⅱ 卷非选择题（共60分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知正三棱锥P ﹣ABC 的侧面是直角三角形，P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，正三棱锥P ﹣ABC 的体积为36，则球O 的表面积为________.14. 已知存在实数a 满足ab 2＞a ＞ab ，则实数b 的取值范围是________.15. 设1＜x ＜2，则ln x x，2)ln (xx ，ln x 2x2的大小关系是________.(用“＜”连接)16. 设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是________.三、解答题：(本大题共4小题，共40分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R.(1)求a的取值范围；(2)若函数f(x)的最小值为22，解关于x的不等式x2－x－a2－a<0.18.已知{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，且b1＝a1＝1，b3＝a4，b1＋b2＋b3＝a3＋a4.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设c n＝a n b n，求数列{c n}的前n项和T n.19. 如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PA ＝AB ＝2，过BD 作平面BDE 与直线PA 平行，交PC 于点E .(1)求证：E 为PC 的中点； (2)求三棱锥E PAB 的体积．20.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝a 5＋a 6＝25. (1)求{a n }的通项公式；(2)若不等式2S n ＋8n ＋27＞(－1)nk (a n ＋4)对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围．2019—2020学年度上学期第一次模块考试高三数学（文）试题一选择题BB ABC CCBBD AD二、填空题：13. 108π14.(－∞，－1) 15. ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＜ln x x ＜ln x 2x 2 16.0<a < 2三解答题：17.解 (1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上，a 的取值范围是[0，1]． (2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝ax ＋2＋1－a ，∵a >0，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意，得1－a ＝22，∴a ＝12. ∴x 2－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫122－12<0，即(2x ＋1)(2x －3)<0，－12<x <32.故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 32.18解 (1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，依b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3d ＝q 2，1＋q ＋q 2＝2＋5d 解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝1＋(n －1)＝n ，b n ＝1×2n －1＝2n －1.(2)由(1)知，c n ＝a n b n ＝n ·2n －1，则T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1①2T n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n②①－②得－T n ＝1·20＋1·21＋1·22＋…＋1·2n －1－n ·2n＝－2n1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n－1.所以T n ＝(n －1)·2n＋1.19(1)证明如图，连接AC ，设AC ∩BD ＝O ，连接OE ，则O 为AC 的中点，且平面PAC ∩平面BDE ＝OE ，∵PA ∥平面BDE ，∴PA ∥OE ，∴E 为PC 的中点．(2)解由(1)知，E 为PC 的中点，∴V 三棱锥P ABC ＝2V 三棱锥E ABC . 由底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，AB ＝2，得S △ABC ＝34×22＝3， ∴V 三棱锥P ABC ＝13S △ABC ·PA ＝13×3×2＝233.又V 三棱锥P ABC ＝V 三棱锥E ABC ＋V 三棱锥E PAB ， ∴V 三棱锥E PAB ＝12V 三棱锥P ABC ＝33.20.解 (1)设公差为d ，则 5a 1＋5×42d ＝a 1＋4d ＋a 1＋5d ＝25，∴a 1＝－1，d ＝3.∴{a n }的通项公式为a n ＝3n －4. (2)S n ＝－n ＋3nn －2，2S n ＋8n ＋27＝3n 2＋3n ＋27，a n ＋4＝3n ，则原不等式等价于(－1)n k ＜n ＋1＋9n对所有的正整数n 都成立．∴当n 为奇数时，k ＞－⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1＋9n ；当n 为偶数时，k ＜n ＋1＋9n恒成立．又∵n ＋1＋9n≥7，当且仅当n ＝3时取等号，∴当n 为奇数时，n ＋1＋9n的最小值为7，当n 为偶数时，n ＝4时，n ＋1＋9n 的最小值为294，29 4.∴不等式对所有的正整数n都成立，实数k的取值范围是－7＜k＜。

辽宁省师大附中高二数学上学期第一次模块考试试题

辽师大附中2018-2019学年度上学期第一次模块考试高二数学试题命题人：高二备课组总分：120分考试时间：90分钟一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分。

1．不等式组的解集为( )A.(－1，0)B.(－1，1)C.(0，1)D.(1，3)2．若实数a ，b ，c 成等比数列，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 均不为0)的图象与x 轴的交点个数为( ) A.0 B.1 C.0或1 D. 23．已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)，则a 6等于( )A.2B.22C.4D.6 4．若,则下列不等式：①②③④其中正确不等式的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个5．数列{}n a 是正项等比数列，{}n b 是等差数列，且67a b =，则有( ) A.39410a a b b +≤+ B.39410a a b b +≥+C.39410a a b b +≠+D.39410a a b b ++与大小不确定6．若}{n a 是等差数列，首项01>a ，020152014>+a a ，020152014<⋅a a ，则使前n 项和0<n S 成立的最小正整数n 是( ) A.2014 B.2015C.4028D.40297．实数x ，y 满足则的最小值是( )A.－13B.－5C.13D.58．判断下面两个计算结果的对错：( )已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，则xy 的最小值为1②已知a >b >0，ab ＝2，a 2＋b 2a －b 的最小值为4.A.②对 B ．②错C ．②错D ．②对9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121,2a a ==，且对于任意1,n n N *>∈，满足112(1)n n n S S S +-+=+，则10S 的值为( )A.91B ．90C ．100D ．5510．正项等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n (m ，n ∈N *)使得，且，则的最小值是( )A.74B.1＋53C.256D.25311．朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则＝( )A.B.C.D.12．不等式2x 2－axy ＋y 2≥0对于任意x ∈[1，2]及y ∈[1，3]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. a ≤2B.a ≤22C.a ≤113D.a ≤92二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分. 13．不等式的解集是_________________.14．已知a n ＝2n ＋35，设b n ＝[a n ]，则数列{b n }的前10项和是_______.其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.15.已知实数满足，若的最大值是6，则实数=_______.16．已知数列中，,，，则的取值范围是_____________.三、解答题：本题共4小题，共40分。

辽宁省辽宁师大附中2020届高三数学上学期10月月考试题理【含答案】

辽宁省辽宁师大附中2020届高三数学上学期10月月考试题理考试时间：90分钟满分：120分第Ⅰ卷选择题（共60分）1、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在中，所对应的边分别为,若∠B，则等于（）A．B．C．或D．或2．在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为（）A．或B．C．D．或3．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（）A．B．C．D．4．函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图象，只需将的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位5．已知等差数列满足，则前12项之和为（）A ．B ．80C ．144D ．3046．如图，在平行四边形中，分别为上的点，且ABCD ,M N ,AB AD ，连接交于点，若，则点在45AM AB = ,AC MN P 411AP AC= N 上的位置为（）AD A.中点B.上靠近点的三等分点AD AD DC.上靠近点的四等分点D.上靠近点的五等分点AD D AD D 7．在中，，则ABC ∆AB ∙→BC →5=BC ∙→CA →4=CA ∙→AB→3（）sin :sin :sin A B C =A ．BC ．D9:7:86:8:78．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.9．在中，，向量在上的正射影的数量为-2，=3，则( )S ∆ABC A ．B ．C ．D ．10.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？A ．B ．C ．D ．11.已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．12．已知数列满足，设数{}n a 2*123111()23n a a a a n n n N n ++++=+∈ 列满足：，数列的前项和为，若{}n b 121n n n n b a a ++={}n b n n T 恒成立，则实数的取值范围为（）*()1n n N T n nλ<∈+λA ．B ．C ．D ．1[,)4+∞1(,)4+∞3[,)8+∞3(,)8+∞第 Ⅱ 卷非选择题（共64分）2、填空题：（本题包括4小题，每小题5分，共20分。