高中数学课时达标训练(十八)北师大版必修1

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2017-2018学年高中数学北师大1：课时达标训练(一)含解析

课时达标训练（一）一、选择题1．下列四个关系式中，正确的是( ）A．∅∈{a｝B．a∉{a}C．a∈｛a，b｝D．｛a｝∈｛a,b}2．有下列说法:(1)0与｛0}表示同一个集合;（2)由1，2，3组成的集合可表示为{1,2，3}或｛3,2,1};（3)方程（x－1）2（x－2）＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2｝;(4)集合{x|4<x<5｝是有限集．其中正确的说法是( ）A．只有（1）和（4)B．只有（2）和（3）C．只有（2)D．以上四种说法都不对3．(新课标全国卷）已知集合A＝｛1，2,3，4，5｝,B＝｛(x，y)｜x∈A，y∈A,x－y∈A},则B中所含元素的个数为（) A．3 B．6C．8 D．104．下面六种表示法:①{x＝2，y＝1｝；②错误!；③｛(2,1)｝；④(－1,2）；⑤｛2,1｝；⑥｛(x，y）|x＝2，或y＝1}，能正确表示方程组错误!的解集的是( ）A．①②③④⑤⑥B．②③④⑤C．②③D．②③⑥二、填空题5．若A＝{－2,2,3，4}，B＝｛x｜x＝t2，t∈A},用列举法表示B ＝________.解析：由已知B＝{4，9，16}．6．已知集合M＝错误!，则M＝________.7．已知含有三个实数的集合既可表示成错误!，又可表示成｛a2,a ＋b,0｝,则a2 012＋a2 013＝________.8．集合A＝｛x|x2＋ax－2≥0，a∈Z}，若－4∈A，2∈A,则满足条件的a组成的集合为________．三、解答题9．设集合A含有3个元素a2＋2a－3,2,3，集合B含有2个元素2，｜a＋3｜，已知5∈A且5∉B，求a的值．10．数集A满足条件:若a∈A，a≠－1,则错误!∈A.（1)若2∈A，写出A中的两个元素；(2）若A为单元素集合，求出A和a.答案1．答案:C2．解析:选C 0∈｛0}；方程（x－1)2（x－2）＝0的解集为｛1,2}；集合｛x｜4〈x〈5}是无限集,只有(2)正确．3．解析：选D 列举得集合B＝{（2,1），（3,1),(4,1），(5，1），（3,2）,(4，2），(5,2），（4，3），(5,3），(5,4)}，共含有10个元素．4．解析：选C 方程组错误!的解是一对有序实数，即是一个点，因此解集应是一个点的集合．用列举法表示为{（2,1)}，用描述法表示为｛(x，y)|x＝2,且y＝1｝或错误!.①和⑤是列举法，①中代表两个方程，而不是一个点，⑤中代表两个数．⑥为描述法，但⑥中元素是无数个点，表示两条直线x＝2及y＝1上的所有点．④不是集合．5．解析：由已知B＝{4，9，16｝．答案：{4,9，16}6．解析：5－a整除6，故5－a＝1,2，3，6,所以a＝4，3,2，－1.答案：{4,3,2，－1}7．解析：依题意b＝0，∴错误!＝{a,0,1｝，{a2,a＋b,0｝＝｛a,0，a2｝,于是a2＝1，∴a＝－1或a＝1(舍去)，故a＝－1，∴a2 012＋a2 013＝0。

高中数学课时达标训练(十)北师大版必修1

课时达标训练（十）一、选择题1．如何平移抛物线y ＝2x 2可得到抛物线y ＝2(x －4)2－1 ( ) A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位2．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是 ( )3．(山东高考)设函数f (x )＝1x，g (x )＝－x 2＋bx ，若y ＝f (x )的图像与y ＝g (x )的图像有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0B ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0D ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<04．设b ＞0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图像为下列之一，则a 的值为( )A ．1B ．－1 C.－1－52 D.－1＋52二、填空题5．将抛物线y ＝－x 2＋2x －1向左平移1个单位后，得到的解析式是________． 6．函数y ＝x 2＋m 的图像向下平移2个单位，得到函数y ＝x 2－1的图像，则实数m ＝ ________.7．已知二次函数f (x )的顶点坐标为(1，－2)，且过点(2,4)，则f (x )＝________. 8．已知方程x 2－4|x |＋5＝m 有四个全不相等的实根，则实数m 的取值范围是________．三、解答题9．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到的？10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与y ＝－12x 2＋2x ＋3的形状相同，开口方向相反，与直线y ＝x －2的交点坐标为(1，n )和(m,1)，求这个二次函数的解析式．答案1．解析：选D 要得到y ＝2(x －4)2－1的图像，只需将y ＝2x 2的图像向右平移4个单位，再向下平移1个单位．2．解析：选D 由A 、C 、D 知，f (0)＝c ＜0， ∵abc ＞0，∴ab ＜0，∴对称轴x ＝－b2a ＞0，知A 、C 错；D 符合要求，由B 知f (0)＝c ＞0，∴ab ＞0，∴x ＝－b2a＜0，B 错误． 3．解析：选B 由于函数y ＝f (x )的图像在一三象限且关于坐标原点对称，函数y ＝g (x )的图像过坐标原点，结合函数图像可知点A ，B 一定只能一个在第一象限、另一个在第三象限，即x 1x 2<0，由于y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2，故x 1＋x 2，y 1＋y 2一定异号．问题即为方程－x 2＋bx ＝1x仅有两个不同的实根，即方程x 3－bx 2＋1＝0有一个二重根、一个单根．此时结合图像可知位于第一象限的点A 的横坐标为方程根，根据方程根的理论，如果x 1是方程x 3－bx 2＋1＝0的二重根，x 2为一个单根，则x 3－bx 2＋1＝(x －x 1)2(x －x 2)＝x 3－(2x 1＋x 2)x 2＋(x 21＋2x 1x 2)x －x 21x 2，这个等式对任意x 恒成立，比较等式两端x 的系数可得x 21＋2x 1x 2＝0，即x 1＋2x 2＝0，即x 1＋x 2＝－x 2>0，所以x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0.4．解析：选B 由第一个图与第二个图中与x 轴的两个交点为对称点，则两根之和为0.又已知x 1＋x 2＝－ba≠0，故可排除．由第三个图与第四个图知，一根为0，另一根为正数，即x 1＋x 2＝－b a＞0，又b ＞0，故a ＜0，图像开口向下，应为第三个图．由图像过原点(0,0)，即a 2－1＝0，解得a ＝－1或a ＝1(舍)．5．解析：∵y ＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2， ∴函数y ＝－x 2＋2x －1向左平移一个单位后，所得函数解析式为y ＝－[(x ＋1)－1]2＝－x 2. 答案：y ＝－x 26．解析：y ＝x 2－1的图像向上平移2个单位，得到函数y ＝x 2＋1的图像，则m ＝1. 答案：17．解析：设f (x )＝a (x －1)2－2，因为过点(2,4)，所以有a (2－1)2－2＝4，得a ＝6.所以f (x )＝6(x －1)2－2＝6x 2－12x ＋4. 答案：6x 2－12x ＋48．解析：设f (x )＝x 2－4|x |＋5，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋5，x ≥0，x 2＋4x ＋5，x <0.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋1，x ≥0，x ＋2＋1，x <0，作出f (x )的图像，如图：要使方程x 2－4|x |＋5＝m 有四个全不相等的实根，需使函数f (x )与y ＝m 的图像有四个不同的交点，由图像可知，1<m <5.答案：(1,5)9．解：由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k .由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k3， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269，即4－－k 3＝269. 解得k ＝43.∴该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53.10．解：∵y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与y ＝－12x 2＋2x ＋3的形状相同，开口方向相反．∴a ＝12，则y ＝12x 2＋bx ＋c .又(1，n )，(m,1)两点均在y ＝x －2上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1－2，1＝m －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1，即点(1，－1)和(3,1)均在所求的抛物线上．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝12＋b ＋c ，1＝92＋3b ＋c .解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－12.∴这个二次函数的解析式为y ＝12x 2－x －12.。

高中数学课时达标训练(七)北师大版必修1

课时达标训练（七）一、选择题1．函数y ＝|x ＋1|的图像是( )2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 x ＞，x ＝，x ＜，则f (f (f (－1)))＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．23．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝11＋x ，那么函数f (x )的解析式及定义域正确的是( )A ．f (x )＝x 1＋x (x ≠－1)B ．f (x )＝x1＋x (x ≠－1且x ≠0)C ．f (x )＝11＋xD ．f (x )＝1＋x4．(湖北高考)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图像是( )二、填空题5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.6．设f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝x ＋3，则f (1)＝________.7．已知a ，b 为常数，若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3 x，f f x ＋x，则f (7)＝______.三、解答题9．已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，求f (x )的解析式．10．甲、乙两车同时沿某公路从A 地驶往300 km 外的B 地，甲车先以75 km/h 的速度行驶，在到达AB 中点C 处停留2 h 后，再以100 km/h 的速度驶往B 地，乙车始终以速度v 行驶．(1)请将甲车离A 地的距离x (km)表示为离开A 地时间t (h)的函数，并画出这个函数图像；(2)若两车在途中恰好相遇两次(不包括A 、B 两地)，试确定乙车行驶速度v 的取值范围．答案1．解析：选A y ＝|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－x －1，x ＜－1，由解析式可知，A 项符合题意．2．解析：选B ∵f (－1)＝1，∴f (f (－1))＝f (1)＝－1. ∴f (f (f (－1)))＝f (－1)＝1.3．解析：选B 令t ＝1x ，则x ＝1t(t ≠0)，∴f (t )＝11＋1t＝tt ＋1(t ≠－1)．∴f (x )＝xx ＋1(x ≠0且x ≠－1)．4．解析：选C 出发时距学校最远，先排除A ，中途堵塞停留，距离没变，再排除D ，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B ，故选C.5．解析：f (0)＝2，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ， ∴a ＝2. 答案：26．解析：令x ＝1得，f (－1)＋2f (1)＝4，再令x ＝－1得，f (1)＋2f (－1)＝2. 两式联立消去f (－1)得，f (1)＝2. 答案：27．解析：由f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，得(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3＝x 2＋10x ＋24，即a 2x 2＋2abx ＋b 2＋4ax ＋4b ＋3＝x 2＋10x ＋24.比较系数，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－7或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，则5a －b ＝2.答案：28．解析：f (7)＝f (f (7＋4))＝f (f (11))＝f (11－3) ＝f (8)＝f (f (8＋4))＝f (f (12)) ＝f (12－3)＝f (9) ＝9－3＝6. 答案：69．解：当x ≤－2时，图像为一条射线，过(－2,0)与(－4,3)，设y ＝ax ＋b ，将两点代入，得－2a ＋b ＝0，及－4a ＋b ＝3，解得a ＝－32，b ＝－3，所以它的解析式为y ＝－32x －3(x ≤－2)；当－2＜x ＜2时，图像为一条线段(不包括端点)，它的解析式为y ＝2(－2＜x ＜2)；当x ≥2时，图像为一条射线，过(2,2)与(3,3)，设y ＝cx ＋d ，将两点代入，得2c ＋d ＝2,3c ＋d ＝3，解得c ＝1，d ＝0，所以它的解析式为y ＝x (x ≥2)．综上得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x － 3 x ≤－，－2＜x ＜，x x10．解：(1)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧75t ，0≤t ＜2，150，2≤t ≤4，150＋t －，4＜t ≤5.5.它的图像如下图①所示；(2)由已知，乙车离开A 地的距离x (km)表示为离开A 地的时间t (h)的函数为x ＝vt ⎝⎛⎭⎪⎫0≤t ≤300v ，其图像是一条线段．由图像知，当此线段经过(4,150)时，v ＝752(km/h);当此线段经过点(5.5,300)时，v ＝60011(km/h)．∴当752＜v ＜60011时，两车在途中相遇两次．(如上图②)．。

2017_2018学年高中数学全一册课时达标训练(打包21套)北师大版必修1

课时达标训练（一）一、选择题1．下列四个关系式中，正确的是( ) A ．∅∈{a } B ．a ∉{a } C ．a ∈{a ，b } D ．{a }∈{a ，b } 2．有下列说法：(1)0与{0}表示同一个集合；(2)由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}； (3)方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}； (4)集合{x |4<x <5}是有限集．其中正确的说法是( ) A ．只有(1)和(4) B ．只有(2)和(3) C ．只有(2)D ．以上四种说法都不对3．(新课标全国卷)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为 ( )A ．3B ．6C ．8D ．104．下面六种表示法：①{x ＝2，y ＝1}；②⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1；③{(2,1)}；④(－1,2)；⑤{2,1}；⑥{(x ，y )|x ＝2，或y ＝1}，能正确表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1的解集的是( )A ．①②③④⑤⑥B ．②③④⑤C ．②③D ．②③⑥ 二、填空题5．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示B ＝________. 解析：由已知B ＝{4,9,16}． 6．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa ∈Z ，且65－a ∈N ＋，则M ＝________.7．已知含有三个实数的集合既可表示成⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1，又可表示成{a 2，a ＋b,0}，则a2 012＋a2 013＝________.8．集合A ＝{x |x 2＋ax －2≥0，a ∈Z }，若－4∈A,2∈A ，则满足条件的a 组成的集合为________．三、解答题9．设集合A 含有3个元素a 2＋2a －3,2,3，集合B 含有2个元素2，|a ＋3|，已知5∈A 且5∉B ，求a 的值．10．数集A 满足条件：若a ∈A ，a ≠－1，则11＋a ∈A .(1)若2∈A ，写出A 中的两个元素； (2)若A 为单元素集合，求出A 和a .答案1．答案：C2．解析：选C 0∈{0}；方程(x －1)2(x －2)＝0的解集为{1,2}；集合{x |4<x <5}是无限集，只有(2)正确．3．解析：选D 列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．4．解析：选C 方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1的解是一对有序实数，即是一个点，因此解集应是一个点的集合．用列举法表示为{(2,1)}，用描述法表示为{(x ，y )|x ＝2，且y ＝1}或⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.①和⑤是列举法，①中代表两个方程，而不是一个点，⑤中代表两个数．⑥为描述法，但⑥中元素是无数个点，表示两条直线x ＝2及y ＝1上的所有点．④不是集合．5．解析：由已知B ＝{4,9,16}．答案：{4,9,16}6．解析：5－a 整除6，故5－a ＝1,2,3,6，所以a ＝4,3,2，－1. 答案：{4,3,2，－1} 7．解析：依题意b ＝0，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a,0,1}，{a 2，a ＋b,0}＝{a,0，a 2}，于是a 2＝1，∴a ＝－1或a ＝1(舍去)，故a ＝－1， ∴a2 012＋a2 013＝0.答案：08．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧16－4a －2≥0，4＋2a －2≥0，解得－1≤a ≤72.又∵a ∈Z ，∴满足条件的a 组成的集合为{－1,0,1,2,3}．答案：{－1,0,1,2,3}9．解：因为5∈A ，所以a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，|a ＋3|＝5，不符合题意，应舍去．当a ＝－4时，|a ＋3|＝1，符合题意，所以a ＝－4. 10．解：(1)若a ∈A ，a ≠－1，则11＋a ∈A ，∴当2∈A 时，11＋2＝13∈A ；当11＋a ＝2即a ＝－12时，2∈A . 综上可知，A 中还有的两个元素为－12和13.(2)∵A 为单元素集合，则必有：a ＝11＋a ，即a 2＋a －1＝0，解得：a ＝－1－52或a ＝－1＋52，∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1－52，a ＝－1－52或A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1＋52， a ＝－1＋52. 课时达标训练（二）一、选择题1．下列关系正确的是( ) A ．3∈{y |y ＝x 2＋π，x ∈R } B ．{(a ，b )}＝{(b ，a )} C ．{(x ，y )|x 2－y 2＝1}{(x ，y )|(x 2－y 2)2＝1}D ．{x ∈R |x 2－2＝0}＝∅2．设集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，C ＝{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z }，则集合A 、B 、C 之间关系完全正确的是( )3．已知A ＝{－2,2 012，x 2－1}，B ＝{0,2 012，x 2－3x }，且A ＝B ，则x 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－1,14．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2＋x ＝0}，则M 和N 的关系是( )二、填空题5．(江苏高考)集合{－1,0,1}共有________个子集．6．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y yx＝1.则A ，B 的关系是________．7．定义A *B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若A ＝{1,3,4,6}，B ＝{2,4,5,6}，则A *B 的子集个数为________．8．设A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}．若B A ，则a 的值为________．三、解答题9．设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}， (1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系；(2)若B ⊆A 求实数a 组成的集合C .10．已知集合A ＝{x |1<ax ＜2}，B ＝{x |－2＜x ＜1}，求满足A ⊆B 的实数a 的范围．答案1．解析：选C 由元素与集合，集合与集合间关系的定义知，A 、B 、D 错误，C 正确． 2．解析：选C 集合A 中元素所具有的特征：x ＝2k ＋1＝2(k ＋1)－1， ∵k ∈Z ，∴k ＋1∈Z 与集合B 中元素所具有的特征完全相同，∴A ＝B ；当k ＝2n 时，x ＝2k ＋1＝4n ＋1 当k ＝2n ＋1时，x ＝2k ＋1＝4n ＋3.即C 是由集合A 中的部分元素所组成的集合．∴C A ，C B .3．解析：选A ∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＝x 2－3x ，x 2－1＝0.解得x ＝1.4．解析：选B ∵M ＝{－1,0,1}，N ＝{0，－1}，∴N M .5．解析：由题意知，所给集合的子集个数为23＝8. 答案：86．解析：yx＝1可化为y ＝x (x ≠0)，可知，集合A 表示直线y ＝x ，集合B 表示剔除(0,0)点的直线y ＝x .故B A .答案：B A7．解析：由A *B 的定义知：若A ＝{1,3,4,6}，B ＝{2,4,5,6}，则A *B ＝{1,3}，∴子集个数为22＝4个．答案：48．解析：∵B A ，∴a 2－a ＋1＝3或a . 当a 2－a ＋1＝3时，解得a ＝－1或a ＝2. 经检验a ＝－1,2均满足集合的互异性；当a 2－a ＋1＝a 时，解得a ＝1，故A ＝{1,3,1}显然不满足集合元素的互异性，故a ＝－1或2.答案：－1或29．解：由x 2－8x ＋15＝0得x ＝3或x ＝5，∴A ＝{3,5}． (1)当a ＝15时，由15x －1＝0得x ＝5.∴B ＝{5}．∴B A . (2)∵A ＝{3,5}且B ⊆A ，∴若B ＝∅，则方程ax －1＝0无解，有a ＝0. 若B ≠∅，则方程ax －1＝0中a ≠0，得x ＝1a.∴1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝15.∴C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15.10．解：(1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a ＞0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 1a＜x ＜2a .∵A ⊆B ，∴2a≤1即a ≥2.(3)当a ＜0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2a＜x ＜1a .∵A ⊆B ，∴2a≥－2即a ≤－1.综上，实数a 的范围是(－∞，－1]∪{0}∪[2，＋∞)．课时达标训练（三）一、选择题1．(四川高考)设集合A ＝{a ，b }，B ＝{b ，c ，d }，则A ∪B ＝ ( ) A ．{b } B ．{b ，c ，d } C ．{a ，c ，d } D ．{a ，b ，c ，d }2．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．43．如图，图形中的阴影部分表示的是 ( ) A ．(A ∪C )∩(B ∪C ) B ．(A ∪B )∩(A ∪C ) C ．(A ∪B )∩(B ∪C ) D ．(A ∪B )∩C4．设I ＝{ 1,2,3,4}，A 与B 是I 的子集，若A ∩B ＝{1,3}，则称(A ，B )为一个“理想配集”．那么符合此条件的“理想配集”的个数是(规定(A ，B )与(B ，A )是两个不同的“理想配集”)( )A ．4B ．8C ．9D ．16 二、填空题5．(江苏高考)已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A ∪B ＝________.6．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________． 7．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．8．已知集合T 是方程x 2＋px ＋q ＝0(p 2－4q ＞0)的解组成的集合，A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{1,4,7,10}，且T ∩A ＝∅，T ∩B ＝T ，则实数p ＝________，q ＝________.三、解答题9．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，集合B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且A ∪B ＝A ，试求实数m 的取值范围．10．已知集合A ＝{x |x 2－mx ＋m 2－19＝0}，B ＝{y |y 2－5y ＋6＝0}，C ＝{z |z 2＋2z －8＝0}，是否存在实数m ，使得A ∩B ≠∅，A ∩C ＝∅同时成立？若存在，求出实数m 的值；若不存在，则说明理由．答案1．解析：选D 依题意得知，A ∪B ＝{a ，b ，c ，d }．2．解析：选D 由已知A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，a ＝4，∴a ＝4.3．解析：选A 由并集、交集的定义知(A ∪C )∩(B ∪C )正确． 4．解析：选C 由题意，可用Venn 图表示所有理想配集如下：所以，符合条件的“理想配集”共有9个．5．解析：集合A ，B 都是以列举法的形式给出，易得A ∪B ＝{1,2，4,6}．答案：{1,2,4,6}6．解析：由题意知：a 2＋4＞3，故a ＋2＝3，即a ＝1，经验证，a ＝1符合题意．∴a ＝1.答案：17．解析：设两项运动都喜欢的人数为x ，画出Venn 图得到方程15－x ＋x ＋10－x ＋8＝30⇒x ＝3，∴喜爱篮球运动但不爱乒乓球运动的人数为15－3＝12人．答案：128．解析：∵Δ＝p 2－4q ＞0，∴方程x 2＋px ＋q ＝0必有两个不等的实数根，即集合T 中含有两个元素．∵A ∩T ＝∅，∴1,3,5,7,9∉T . 又T ∩B ＝T ，∴T B .∴T ＝{4,10}，即4和10是方程x 2＋px ＋q ＝0的根．由韦达定理，得⎩⎪⎨⎪⎧4＋10＝－p ，4×10＝q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－14，q ＝40.答案：－14 40 三、解答题9．解：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A . 又∵A ＝{x |－2≤x ≤5}≠∅， ∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，有m ＋1＞2m －1，∴m ＜2. 当B ≠∅时，如图所示，由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.综上可得，实数m 的取值范围是m ＜2或2≤m ≤3，即m ≤3.10．解：假设存在这样的实数m ， ∵B ＝{y |y 2－5y ＋6＝0}＝{2,3}，C ＝{z |z 2＋2z －8＝0}＝{－4,2}，又A ∩C ＝∅，∴2∉A ，－4∉A .又A ∩B ≠∅，∴3∈A ，把x ＝3代入x 2－mx ＋m 2－19＝0中，解得m ＝5或m ＝－2. 当m ＝5时，A ＝{2,3}，与A ∩C ＝∅矛盾，当m ＝－2时，A ＝{－5,3}，符合题意，∴m ＝－2.故存在m ＝－2，使得A ∩B ≠∅，A ∩C ＝∅同时成立．课时达标训练（四）一、选择题1．(山东高考)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4} 2．图中阴影部分表示的集合是( )A ．A ∩(∁UB ) B ．(∁U A )∩BC ．∁U (A ∩B )D ．∁U (A ∪B )3．(浙江高考)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{3,4,5}，则P ∩(∁UQ )＝( )A ．{1,2,3,4,6}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}4．(重庆高考)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )＝( ) A ．{1,3,4} B ．{3,4} C ．{3} D ．{4} 二、填空题5．已知全集U＝R，A＝{x|x＞2}，m∈∁U A，则实数m的取值范围是________．6．已知U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则(∁U A)∪(∁U B)＝________.7．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁U C)＝________.8．设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，a－5}，M⊆U，∁U M＝{5,7}，则实数a的值为________．三、解答题9．设全集U＝{1,2,3,4}，且集合A＝{x|x2－5x＋m＝0，x∈U}，若∁U A＝{1,4}，求m 的值．10．我们知道，如果集合A⊆U，那么U的子集A的补集为∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫作A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{4,5,6,7,8}，则A－B＝{1,2,3}，B－A＝{4,6,7}．据此，回答以下问题：(1)若U是高一(1)班全体同学的集合，A是高一(1)班女同学组成的集合，求U－A及∁U A；(2)在图中，分别用阴影表示集合A－B；(3)如果A－B＝∅，那么A与B之间具有怎样的关系？答案1．解析：选C ∁U A＝{0,4}，所以(∁U A)∪B＝{0,4}∪{2,4}＝{0,2,4}．2．解析：选A 显然图中阴影部分为B的补集与集合A的公共部分．即：A∩∁U B.3．解析：选D ∁U Q＝{1,2,6}，故P∩(∁U Q)＝{1,2}．4．解析：选D 因为A∪B＝{1,2,3}，所以∁U(A∪B)＝{4}，故选D.二、填空题5．解析：∵U＝R，A＝{x|x＞2}，∴∁U A＝{x|x≤2}．又m∈∁U A，∴m≤2.答案：[2，＋∞)6．解析：∁U A＝{钝角三角形或直角三角形}，∁U B＝{锐角三角形或直角三角形}，∴(∁U A)∪(∁U B)＝U.答案：U7．解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁U C＝{1,2,5}，∴(A∪B)∩(∁U C)＝{2,5}．答案：{2,5}8．解析：∵M⊆U，∁U M＝{5,7}，∴a－5＝3，∴a＝8.答案：89．解：∵U＝{1,2,3,4}，∁U A＝{1,4}，又A＝{x|x2－5x＋m＝0，x∈U}∴A＝{2,3}．∴2,3是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系得：2×3＝m，得：m＝6.10．解：(1)U－A＝{x|x是高一(1)班的男生}，∁U A＝{x|x是高一(1)班的男生}．(2)阴影部分如下图所示．(3)若A－B＝∅，则A⊆B.课时达标训练（五）一、选择题1．谚语“瑞雪兆丰年”说明( )A．下雪与来年的丰收具有依赖关系B．下雪与来年的丰收具有函数关系C．下雪是丰收的函数D．丰收是下雪的函数2．下列变量间的关系是函数关系的是( )A．匀速航行的轮船在2小时内航行的路程B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系C．正方形的面积S与其边长a之间的关系D．光照时间和苹果的亩产量．3．右图中，纵轴是某公司职工人数，但刻度被抹掉了，横轴是工作年数(有刻度)，则该公司中工作5年或更多时间的职工所占的百分比是( )A ．9%B ．2313% C ．30% D ．36%4．我们知道，溶液的酸碱度由pH 确定，当pH ＞7时，溶液呈碱性；当pH ＜7时，溶液呈酸性．若将给定的HCl 的溶液加水稀释，那么在下列图像中，能反映HCl 溶液的pH 值与所加水的体积V 的变化关系的图像是( )二、填空题5．给出下列关系：①圆的半径与其面积之间的关系；②一个人的寿命与这个人做好事的次数之间的关系；③正整数和它的正约数的个数之间的关系．其中有函数关系的是(填代号)________．6．下表给出的y 与x 的关系，则y 与x 是________关系(函数或非函数).7．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表．观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白处.8．如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的有________．①这几年人民生活水平逐年提高；②人民生活消费增长最快的一年是2006年；③生活价格指数上涨速度最快的一年是2007年；④虽然2008年生活消费增长是缓慢的，但由于生活价格指数有较大降低，因而人民生活有较大的改善．三、解答题9．某地2014年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：你从以上提供的图表中会得到哪些信息？请你对就业形势作一下预测．10．下图的曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？答案1．答案：A2．解析：选C A是常量，B是依赖关系，C是函数关系，D是依赖关系．3. 解析：选C 由图知，百分比＝930×100%＝30%.4．解析：选A 由题意知pH值随V的增大，先快后慢增大，但不会超过7.5．解析：①中两个变量之间的关系具备函数关系；②中的“寿命”与这个人做好事的“次数”之间没有因果关系；所以不是函数关系．③中对于一个正整数，可能有多个正约数与之对应，所以正整数和它的正约数的个数之间不具有函数关系．答案：①6．解析：由表知，y与x是一种确定的依赖关系，故为函数关系．答案：函数7．解析：每增长5岁，收缩压增加5 mmHg，舒张压每增长5岁按增长3,2,3,2，…的规律变化．答案：140 858. 解析：由题意“生活消费指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；“生活消费指数”在2006～2007年最陡，故②正确；“生活价格指数”在2007～2008年最平缓，故③不正确；由于2008年的“生活价格指数”有较大下降，而“生活消费指数”曲线呈上升趋势，故④正确．答案：①②④9．解：从表格中可以看出，计算机行业应聘人数与招聘人数均居第一位，是最热门专业．机械、营销一般，而物流、贸易是冷门行业，从计算机、机械、营销三种行业看，营销行业就业形势较好．另外可以看出，建筑、化工行业的需求量相对较大，物流、贸易应聘人数相对较多，供大于求，预测未来建筑、化工行业的需求量较大，就业前景广阔．10．解：(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时．(3)第一次休息时，离家17千米．(4)11：00至12：00，他骑了13千米．(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时； 10：00～10：30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．课时达标训练（六）一、选择题1．下列各组函数是同一函数的是( ) A ．y ＝(3x －2)0与y ＝1B ．y ＝2x ＋3与y ＝4x 2＋12x ＋9C ．y ＝x 2－4x －2与y ＝x ＋2D ．y ＝3 2x －1 3与y ＝2x －12．y ＝f (x )的图像如图，则函数的定义域是( )A ．[－5,6)B ．[－5,0]∪[2,6]C ．[5,0)∪[2,6)D ．[－5,0]∪[2,6)3．函数f (x )＝2x －3＋7－x 的定义域为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤32，7 B ．(－∞，17] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，7 4．给出函数f (x )，g (x )如下表，则f (g (x ))的值域为( )A.{4,2} B ．{1,3}C ．{1,2,3,4}D ．以上情况都有可能二、填空题5．(浙江高考)已知函数f (x )＝x －1.若f (a )＝3，则实数a ＝________. 6．有下列三个命题：①y ＝|x |，x ∈{－2，－1,0,1,2,3}，则它的值域是{0,1,4,9}；②y ＝x 2－1x －1，则它的值域为R ；③y ＝x －1，则它的值域为{y |y ≥0}．其中正确的命题的序号是________． 7．函数f (x )＝xx －1－x的定义域是________．8．已知函数f (x )＝cx 2x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠－32满足f (f (x ))＝x ，则c ＝________. 三、解答题9．如图所示，用长为L 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆形的半径为x ，求此框架围成的图形的面积y 与x 的函数关系式y ＝f (x )，并写出它的定义域．10．已知函数f (x )＝x 21＋x. (1)分别计算f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值； (2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明；(3)利用(2)中结论计算f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 013. 答案1．解析：选D 对于A ，y ＝(3x －2)0＝1但其定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠23.而y ＝1定义域为R ，故A 不正确．对于B ，y ＝4x 2＋12x ＋9＝|2x ＋3|，其与y ＝2x ＋3对应关系不同．对于C ，y ＝x 2－4x －2与y ＝x ＋2，定义域不同．对于D ，y ＝3 2x －1 3＝2x －1，与y ＝2x －1一致．2. 解析：选D 由图像结合函数定义域的定义知，x ∈[－5,0]∪[2,6)．3．解析：选D 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，7－x ≥0.解得：32≤x ≤7，所以函数的定义域为[32，7]．4．解析：选A 由表中的对应关系可知，f (g (1))＝f (g (2))＝f (1)＝4，f (g (3))＝f (g (4))＝f (3)＝2，∴f (g (x ))的值域为{4,2}．5．解析：由f (a )＝a －1＝3，得a ＝10. 答案：106．解析：对于①，当x ＝－2，－1,0,1,2,3时，|x |＝2,1,0,1,2,3. ∴函数的值域为{0,1,2,3}．故①不正确；对于②，y ＝ x ＋1 x －1 x －1＝x ＋1(x ≠1)，∴x ＝y －1≠1，∴y ≠2.即值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．∴②不正确；对于③，y ＝x －1≥0，∴值域为[0，＋∞)，③正确．答案：③7．解析：要使函数有意义，须使⎩⎨⎧x －1－x ≠0，1－x ≥0，x ≥0.即0≤x ≤1且x ≠12.∴f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 8．解析：∵f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cx 2x ＋3＝c ·cx 2x ＋32·cx 2x ＋3＋3＝x ，化简，得(2c ＋6)x 2＋9x ＝c 2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2c ＋6＝0，c 2＝9，∴c ＝－3.答案：－39．解：由已知得AB ＝2x ，CD 的长为πx ，则AD ＝L －2x －πx2，故y ＝2x ·L －2x －πx 2＋πx 22，即y ＝－π＋42x 2＋Lx .由⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，L －2x －πx2>0，得0<x <Lπ＋2，所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，L π＋2.10．解：(1)f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1， f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1， f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝421＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1421＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1； (2)由(1)知f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝1，证明如下．f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 21＋x 2＋11＋x 2＝1＋x 21＋x 2＝1.(3)原式＝f (1)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f 2 ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f 3 ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (2 013)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 013＝12＋2 012＝4 0252. 课时达标训练（七）一、选择题1．函数y ＝|x ＋1|的图像是( )2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 x ＞0 ，0 x ＝0 ，1 x ＜0 ，则f (f (f (－1)))＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．23．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝11＋x ，那么函数f (x )的解析式及定义域正确的是( )A ．f (x )＝x 1＋x (x ≠－1)B ．f (x )＝x1＋x (x ≠－1且x ≠0)C ．f (x )＝11＋xD ．f (x )＝1＋x4．(湖北高考)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图像是( )二、填空题5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.6．设f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝x ＋3，则f (1)＝________.7．已知a ，b 为常数，若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3 x ≥9 ，f f x ＋4 x <9 ，则f (7)＝______.三、解答题9．已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，求f (x )的解析式．10．甲、乙两车同时沿某公路从A 地驶往300 km 外的B 地，甲车先以75 km/h 的速度行驶，在到达AB 中点C 处停留2 h 后，再以100 km/h 的速度驶往B 地，乙车始终以速度v 行驶．(1)请将甲车离A 地的距离x (km)表示为离开A 地时间t (h)的函数，并画出这个函数图像；(2)若两车在途中恰好相遇两次(不包括A 、B 两地)，试确定乙车行驶速度v 的取值范围．答案1．解析：选A y ＝|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－x －1，x ＜－1，由解析式可知，A 项符合题意．2．解析：选B ∵f (－1)＝1，∴f (f (－1))＝f (1)＝－1. ∴f (f (f (－1)))＝f (－1)＝1.3．解析：选B 令t ＝1x ，则x ＝1t(t ≠0)，∴f (t )＝11＋1t＝tt ＋1(t ≠－1)．∴f (x )＝xx ＋1(x ≠0且x ≠－1)．4．解析：选C 出发时距学校最远，先排除A ，中途堵塞停留，距离没变，再排除D ，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B ，故选C.5．解析：f (0)＝2，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ， ∴a ＝2. 答案：26．解析：令x ＝1得，f (－1)＋2f (1)＝4，再令x ＝－1得，f (1)＋2f (－1)＝2. 两式联立消去f (－1)得，f (1)＝2. 答案：27．解析：由f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，得(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3＝x 2＋10x ＋24，即a 2x 2＋2abx ＋b 2＋4ax ＋4b ＋3＝x 2＋10x ＋24.比较系数，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－7或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，则5a －b ＝2.答案：28．解析：f (7)＝f (f (7＋4))＝f (f (11))＝f (11－3) ＝f (8)＝f (f (8＋4))＝f (f (12)) ＝f (12－3)＝f (9) ＝9－3＝6. 答案：69．解：当x ≤－2时，图像为一条射线，过(－2,0)与(－4,3)，设y ＝ax ＋b ，将两点代入，得－2a ＋b ＝0，及－4a ＋b ＝3，解得a ＝－32，b ＝－3，所以它的解析式为y ＝－32x －3(x ≤－2)；当－2＜x ＜2时，图像为一条线段(不包括端点)，它的解析式为y ＝2(－2＜x ＜2)；当x ≥2时，图像为一条射线，过(2,2)与(3,3)，设y ＝cx ＋d ，将两点代入，得2c ＋d ＝2,3c ＋d ＝3，解得c ＝1，d ＝0，所以它的解析式为y ＝x (x ≥2)．综上得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －3 x ≤－2 ，2 －2＜x ＜2 ，x x ≥2 .10．解：(1)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧75t ，0≤t ＜2，150，2≤t ≤4，150＋ t －4 ×100，4＜t ≤5.5.它的图像如下图①所示；(2)由已知，乙车离开A 地的距离x (km)表示为离开A 地的时间t (h)的函数为x ＝vt ⎝⎛⎭⎪⎫0≤t ≤300v ，其图像是一条线段．由图像知，当此线段经过(4,150)时，v ＝752(km/h);当此线段经过点(5.5,300)时，v ＝60011(km/h)．∴当752＜v ＜60011时，两车在途中相遇两次．(如上图②)．课时达标训练（八）一、选择题1．已知集合A ＝{a 1，a 2}，集合B ＝{－1,1}，下列对应不是A 到B 的映射的是( )2．已知集合A ＝{x |0≤x ≤4}，集合B ＝{y |0≤y ≤2}，下列由A 到B 的对应：①f ：x →y ＝12x ，②f ：x →y ＝x ，③f ：x →y ＝－|x |.④f ：x →y ＝x －2. 其中能构成映射的是( ) A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．②④3．设集合A ，B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在f 下，像(2,1)的原像为( )A ．(3,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12 D ．(1,3)4．集合A ＝{a ，b }，B ＝{－1,0,1}从A 到B 的映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝0，那么这样的映射f ：A →B 的个数有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．8个二、填空题5．f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(kx ，y ＋b )，若B 中的元素(6,2)，在此映射下的原像是(3,1)，则k ＝________，b ＝______.6．设A 到B 的映射f 1：x →2x ＋1，B 到C 的映射f 2：y →y 2－1，则A 到C 的映射f ：________.7．已知集合A 到集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12，13的映射f ：x →1|x |，那么集合A 中的元素最多有________个．8．已知映射f ：A →B ，其中A ＝R ＝B ，对应法则f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在原像，则k 的取值范围是________．三、解答题9．判断下列对应是不是从集合A 到集合B 的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？(1)A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6,7,8,9}，对应关系f ：x →2x ＋1；(2)A ＝{平面内的圆}，B ＝{平面内的矩形}，对应关系是“作圆的内接矩形”；(3)A ＝{1,2,3,4}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，13，14，对应关系f ：x →1x .10．已知映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：A 中的元素(x ，y )对应到B 中的元素(3x －2y ＋1，4x ＋3y －1)．(1)是否存在这样的元素(a ，b )使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由；(2)判断这个映射是不是一一映射．答案1．解析：选C A 、B 、D 均满足映射定义，C 不满足任一A 中元素在B 中有唯一元素与之对应．2．解析：选A 对于①，当0≤x ≤4时，0≤12x ≤2，显然对于A 中的任意元素x ，B 中有唯一的元素y 与之对应，是映射；对于②，也符合映射的定义；对于③，0≤x ≤4时，－4≤－|x |≤0，显然－|x |∉(0,2]，不是映射；对于④，0≤x ≤4时，－2≤x －2≤2，当0≤x <2时，B 中没有像与之对应，也不符合映射的定义．故只有①②正确．3．解析：选B ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝12.4．解析：选B 由f (a )，f (b )∈{－1,0,1}，且f (a )＋f (b )＝0知，这样的映射有：共3个．5．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3k ＝6，1＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1.答案：2 16．解析：x →(2x ＋1)2－1＝4x 2＋4x . 答案：x →4x 2＋4x 7．解析：∵|±1|＝1，∴和B 集合中的1对应的元素可以是±1. 而当x ＝±2时，1|x |＝12，当x ＝±3时，1|x |＝13，又不可能有x 使1|x |＝0， ∴集合A 中元素最多有6个．答案：68．解析：∵y ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，∴y ≤1，即像的集合为(－∞，1]． ∵k ∈B 时，在集合A 中不存在原像，即k 不在像的集合内， ∴k ＞1. 答案：(1，＋∞)9．解：(1)是映射也是函数，但不是一一映射．因为数集A 中的元素x 按照对应关系f ：x →2x ＋1和数集B 中的元素2x ＋1对应，这个对应是数集A 到数集B 的映射，也是函数，但B 中的元素4,6,8没有原像，不能构成一一映射．(2)不是从集合A 到集合B 的映射，更不是函数或者一一映射，因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合A 中任何一个元素在集合B 中有无穷多个元素与之对应．(3)是A 到B 的映射，也是函数和一一映射． 10．解：(1)假设存在元素(a ，b )使它的像仍是(a ，b )由⎩⎪⎨⎪⎧3a －2b ＋1＝a ，4a ＋3b －1＝b ，得a ＝0，b ＝12.∴存在元素⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12使它的像仍是自己； (2)对任意的(a ，b )(a ∈R ，b ∈R )，方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝a ，4x ＋3y －1＝b 有唯一解，这说明对B 中任意元素(a ，b )在A 中有唯一的原像，所以映射f ：A →B 是A 到B 上的一一映射．课时达标训练（九）一、选择题1．下列函数在(－∞，0)上为增函数的有( ) ①y ＝|x |；②y ＝|x |x ；③y ＝－x 2|x |；④y ＝x ＋x |x |.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④2．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则( ) A ．f (a )<f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a ) D ．f (a 2＋1)<f (a ) 3．下列说法不．正确的有( ) ①函数y ＝x 2在(－∞，＋∞)上具有单调性，且在(－∞，0)上是减函数； ②函数y ＝1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在其上是减函数；③函数y ＝kx ＋b (k ∈R )在(－∞，＋∞)上一定具有单调性；④若x 1，x 2是f (x )的定义域A 上的两值，当x 1＞x 2时，有f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在A 上是减函数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．若对于任意实数x 总有f (－x )＝f (x )，且f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)<f (2)B ．f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (2)C ．f (2)<f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1) 二、填空题5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，0＜x ＜1，x ，x ≥1的减区间是________．6．若函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1在[1,2]上单调递减，则a 的取值范围是________． 7．函数f (x )＝xx ＋2在区间[2,4]上的最大值为________，最小值为________．8．已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围是________．三、解答题9．已知函数f (x )＝|－x 2＋2|，试作出该函数的图像，指出它的单调区间，并求函数在[1,3]上的最值．10．已知f (x )＝ax ＋b x 2＋1是定义在R 上的函数，且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，f (0)＝0. (1)求实数a 、b 的值，并确定f (x )的解析式； (2)用定义证明f (x )在(－1,1)上是递增的．答案1．解析：选C 当x ∈(－∞，0)时，y ＝|x |＝－x ，在(－∞，0)上为减函数，故①不正确，排除A 、D.又y ＝|x |x＝－1，在(－∞，0)上为常函数，故②不正确，排除B.2．解析：选D ∵a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴a 2＋1>a ，∵f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数， ∴f (a 2＋1)<f (a )．3．解析：选D 对于①中函数y ＝x 2，在R 上不具有单调性，故①不正确；②中函数y ＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性．故②不正确；③中函数当k ＝0时，其在R上不具有单调性，故③不正确；④中由于x 1，x 2不是任意的两个值，不满足定义，故其不正确．4．解析：选D ∵f (－x )＝f (x )， ∴f (2)＝f (－2)，又∵f (x )在(－∞，－1]上是增函数，而－2<－32<－1，∴f (－2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)，即f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)． 5．解析：函数f (x )的图像如图实线部分所示，则减区间是(0,1]．答案：(0,1]6．解析：函数f (x )的图像的对称轴为x ＝a ，可知其图像开口向下，∵f (x )在[1,2]上单调递减，∴a ≤1.答案：(－∞，1] 7．解析：∵f (x )＝xx ＋2＝x ＋2－2x ＋2＝1－2x ＋2， ∴函数f (x )在[2,4]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝22＋2＝12，f (x )max ＝f (4)＝44＋2＝23. 答案：23 128．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<11－a >2a －1，，解得：0<a <23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 9．解：函数f (x )＝|－x 2＋2|＝⎩⎨⎧x 2－2，x ∈ －∞，－2 ∪ 2，＋∞ ，2－x 2，x ∈[－2，2].作出函数的图像如图所示．由图可知函数f (x )＝|－x 2＋2|的单调增区间为[－2，0]和[2，＋∞); 单调减区间为(－∞，－2)和[0，2]．在区间[1,3]上，由图像可知函数的最小值为f (2)＝0，最大值为f (3)＝7.10．解：(1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，f (0)＝0，得⎩⎨⎧12a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝25，b ＝0，得a ＝1，b ＝0， ∴f (x )＝xx 2＋1.(2)证明：在(－1,1)上任取－1＜x 1＜x 2＜1，则f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 2＋1－x 1x 1＋1＝x 2x 21＋x 2－x 1x 22－x 1 x 22＋1 x 21＋1＝x 1x 2 x 1－x 2 ＋ x 2－x 1x 22＋1 x 21＋1＝x 2－x 1 1－x 1x 2x 22＋1 x 21＋1. ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴－1＜x 1x 2＜1，x 2－x 1＞0,1－x 1x 2＞0，x 22＋1＞0，x 21＋1＞0， ∴f (x 2)－f (x 1)＞0.∴f (x )在(－1,1)上是递增的．课时达标训练（十）一、选择题1．如何平移抛物线y ＝2x 2可得到抛物线y ＝2(x －4)2－1 ( ) A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位2．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是 ( )3．(山东高考)设函数f (x )＝1x，g (x )＝－x 2＋bx ，若y ＝f (x )的图像与y ＝g (x )的图像有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0B ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0D ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<04．设b ＞0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图像为下列之一，则a 的值为( )A ．1B ．－1 C.－1－52 D.－1＋52二、填空题5．将抛物线y ＝－x 2＋2x －1向左平移1个单位后，得到的解析式是________． 6．函数y ＝x 2＋m 的图像向下平移2个单位，得到函数y ＝x 2－1的图像，则实数m ＝ ________.7．已知二次函数f (x )的顶点坐标为(1，－2)，且过点(2,4)，则f (x )＝________. 8．已知方程x 2－4|x |＋5＝m 有四个全不相等的实根，则实数m 的取值范围是________．三、解答题9．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到的？ 10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与y ＝－12x 2＋2x ＋3的形状相同，开口方向相反，与直线y ＝x －2的交点坐标为(1，n )和(m,1)，求这个二次函数的解析式．答案1．解析：选D 要得到y ＝2(x －4)2－1的图像，只需将y ＝2x 2的图像向右平移4个单位，再向下平移1个单位．2．解析：选D 由A 、C 、D 知，f (0)＝c ＜0， ∵abc ＞0，∴ab ＜0，∴对称轴x ＝－b2a ＞0，知A 、C 错；D 符合要求，由B 知f (0)＝c ＞0，∴ab ＞0，∴x ＝－b2a＜0，B 错误． 3．解析：选B 由于函数y ＝f (x )的图像在一三象限且关于坐标原点对称，函数y ＝g (x )的图像过坐标原点，结合函数图像可知点A ，B 一定只能一个在第一象限、另一个在第三象限，即x 1x 2<0，由于y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2，故x 1＋x 2，y 1＋y 2一定异号．问题即为方程－x 2＋bx ＝1x仅有两个不同的实根，即方程x 3－bx 2＋1＝0有一个二重根、一个单根．此时结合图像可知位于第一象限的点A 的横坐标为方程根，根据方程根的理论，如果x 1是方程x 3－bx 2＋1＝0的二重根，x 2为一个单根，则x 3－bx 2＋1＝(x －x 1)2(x －x 2)＝x 3－(2x 1＋x 2)x 2＋(x 21＋2x 1x 2)x －x 21x 2，这个等式对任意x 恒成立，比较等式两端x 的系数可得x 21＋2x 1x 2＝0，即x 1＋2x 2＝0，即x 1＋x 2＝－x 2>0，所以x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0.4．解析：选B 由第一个图与第二个图中与x 轴的两个交点为对称点，则两根之和为0.又已知x 1＋x 2＝－ba≠0，故可排除．由第三个图与第四个图知，一根为0，另一根为正数，即x 1＋x 2＝－b a＞0，又b ＞0，故a ＜0，图像开口向下，应为第三个图．由图像过原点(0,0)，即a 2－1＝0，解得a ＝－1或a ＝1(舍)．5．解析：∵y ＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2， ∴函数y ＝－x 2＋2x －1向左平移一个单位后，所得函数解析式为y ＝－[(x ＋1)－1]2＝－x 2. 答案：y ＝－x 26．解析：y ＝x 2－1的图像向上平移2个单位，得到函数y ＝x 2＋1的图像，则m ＝1. 答案：17．解析：设f (x )＝a (x －1)2－2，因为过点(2,4)，所以有a (2－1)2－2＝4，得a ＝6. 所以f (x )＝6(x －1)2－2＝6x 2－12x ＋4. 答案：6x 2－12x ＋48．解析：设f (x )＝x 2－4|x |＋5，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋5，x ≥0，x 2＋4x ＋5，x <0.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2 2＋1，x ≥0，x ＋2 2＋1，x <0，作出f (x )的图像，如图：要使方程x 2－4|x |＋5＝m 有四个全不相等的实根，需使函数f (x )与y ＝m 的图像有四个不同的交点，由图像可知，1<m <5.答案：(1,5)9．解：由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k .由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k3， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269，即4－2 3－k 3＝269.解得k ＝43.∴该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53.10．解：∵y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与y ＝－12x 2＋2x ＋3的形状相同，开口方向相反．∴a ＝12，则y ＝12x 2＋bx ＋c .又(1，n )，(m,1)两点均在y ＝x －2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1－2，1＝m －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1，即点(1，－1)和(3,1)均在所求的抛物线上．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝12＋b ＋c ，1＝92＋3b ＋c .解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－12.∴这个二次函数的解析式为y ＝12x 2－x －12.课时达标训练（十一）一、选择题1．下列区间中，使函数y ＝－2x 2＋x 是增函数的是( ) A ．R B ．[2，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 2．如果函数y ＝4x 2－kx －8在[5,20]上是单调函数，则实数k 的取值范围为( ) A ．k ≤40 B ．k ≥160 C ．40<k <160 D ．k ≤40或k ≥1603．(浙江高考)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝04．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606万元B ．45.56万元C ．45.6万元D ．45.51万元二、填空题5．设函数f (x )＝4x 2－(a ＋1)x ＋5在[－1，＋∞)上是增函数，在(－∞，－1]上是减函数，则f (－1)＝________.6．已知二次函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋a )(常数a ，b ∈R )的图像关于y 轴对称，其值域为 (－∞，4]，则a ＝________，b ＝________.7．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的根为 ________.8．已知关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (a ≠0)的图像与y 轴交于点(0,1)，且满足f (－2＋x )＝f (－2－x )(x ∈R )．(1)求该二次函数的解析式；(2)已知函数在(t －1，＋∞)上为增加的，求实数t 的取值范围．10．某企业生产的一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元，每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元，市场对这种电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入(R )与销售量(t )的关系可用抛物线表示如图．(注：年产量与销售量的单位：百台，纯收益的单位：万元，生产成本＝固定成本＋可变成本，精确到1台和0.01万元)(1)写出销售收入(R )与销售量(t )之间的函数关系R ＝f (t )；(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与年产量的函数关系式，并求年产量是多少时，纯收益最大．解：(1)由图可知：R ＝a (t －5)2＋252，由t ＝0时，R ＝0，得a ＝－12.∴R ＝－12(t －5)2＋252(0≤t ≤5)．(2)年纯收益y ＝－12t 2＋5t －0.5－14t ＝－12t 2＋194t －0.5，当t ＝194＝4.75时，y 取得最大值10.78万元．故年产量为475台，纯收益取得最大值10.78万元．答案1．解析：选D 函数y ＝－2x 2＋x ＝－2(x －14)2＋18的图像的对称轴是直线x ＝14，图像的开口向下，所以函数在对称轴x ＝14的左边是增加的．2．解析：选D 抛物线y ＝4x 2－kx －8的对称轴为x ＝k8，若函数y ＝4x 2－kx －8在[5,20]上是单调函数，则k 8≤5或k8≥20. ∴k ≤40或k ≥160.3．解析：选A 由f (0)＝f (4)得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0，故选A.4．解析：选C 设公司获得的利润为y ，在甲地销售了x 辆，则在乙地销售了(15－x )辆．则y ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(0≤x ≤15，x ∈N )，此二次函数的对称轴为x ＝10.2，∴当x ＝10时，y 有最大值为45.6(万元)． 5．解析：∵a ＋18＝－1，∴a ＝－9，则f (x )＝4x 2＋8x ＋5.∴f (－1)＝4×(－1)2＋8×(－1)＋5＝1. 答案：16．解析：f (x )＝(x ＋a )(bx ＋a )＝bx 2＋a (b ＋1)x ＋a 2.f (x )图像的对称轴为x ＝－a b ＋12b＝0，∴b ＝－1. ∴f (x )＝－x 2＋a 2，顶点为(0，a 2)． ∵f (x )的值域为(－∞，4]， ∴a 2＝4，∴a ＝±2. 答案：±2 －17．解析：由图知抛物线的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标是(3,0)，所以抛物线与x 轴的另一个交点坐标是(－1,0)．所以关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的根为x 1＝－1，x 2＝3. 答案：－1,38．解析：设f (x )＝(a －2)x 2＋2(a －2)x －4，法一：当a ＝2时，f (x )＝－4<0恒成立；当a ≠2时，f (x )＝(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，即f (x )有最大值且最大值小于零．即⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，f x max ＝－a －2<0，解得－2<a <2.综上知，a 的取值范围是(－2,2]．法二：a ＝2时不等式显然成立，a ≠2时，若不等式成立，即f (x )＝(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对x ∈R 恒成立，必有a －2<0，且Δ＝4(a －2)2＋4(a －2)×4<0，解得－2<a <2.综上得－2<a ≤2.∴a 的取值范围是(－2,2]．答案：(－2,2]9．解：(1)由函数f (x )的图像与y 轴交于点(0,1)，知c ＝1. 又f (－2＋x )＝f (－2－x )，∴函数f (x )的对称轴为x ＝－22a ＝－1a ＝－2.∴a ＝12.∴f (x )＝12x 2＋2x ＋1.(2)∵函数f (x )在(t －1，＋∞)上为增函数， ∴t －1≥－2.∴t ≥－1.10．解：(1)由图可知：R ＝a (t －5)2＋252，由t ＝0时，R ＝0，得a ＝－12.∴R ＝－12(t －5)2＋252(0≤t ≤5)．(2)年纯收益y ＝－12t 2＋5t －0.5－14t ＝－12t 2＋194t －0.5，当t ＝194＝4.75时，y 取得最大值10.78万元．故年产量为475台，纯收益取得最大值10.78万元．课时达标训练（十二）一、选择题1．下列幂函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x －1B ．y ＝x 12C ．y ＝x 3D ．y ＝x 22．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数3．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )。

高中数学北师大必修1：课时达标训练(九) (1)

课时达标训练（九）一、选择题1．下列函数在(－∞，0)上为增函数的有( )①y ＝|x |；②y ＝|x |x ；③y ＝－x 2|x |；④y ＝x ＋x |x |. A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④2．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则( )A ．f (a )<f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a )3．下列说法不．正确的有( ) ①函数y ＝x 2在(－∞，＋∞)上具有单调性，且在(－∞，0)上是减函数；②函数y ＝1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在其上是减函数； ③函数y ＝kx ＋b (k ∈R )在(－∞，＋∞)上一定具有单调性；④若x 1，x 2是f (x )的定义域A 上的两值，当x 1＞x 2时，有f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在A 上是减函数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．若对于任意实数x 总有f (－x )＝f (x )，且f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )A ．f ⎝⎛⎭⎫－32<f (－1)<f (2) B ．f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫－32<f (2) C ．f (2)<f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫－32 D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫－32<f (－1) 二、填空题5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜x ＜1，x ，x ≥1的减区间是________．6．若函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1在[1,2]上单调递减，则a 的取值范围是________．7．函数f (x )＝x x ＋2在区间[2,4]上的最大值为________，最小值为________． 8．已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围是________．三、解答题9．已知函数f (x )＝|－x 2＋2|，试作出该函数的图像，指出它的单调区间，并求函数在[1,3]上的最值．10．已知f (x )＝ax ＋b x 2＋1是定义在R 上的函数，且满足f ⎝⎛⎭⎫12＝25，f (0)＝0. (1)求实数a 、b 的值，并确定f (x )的解析式；(2)用定义证明f (x )在(－1,1)上是递增的．★答案☆1．解析：选C 当x ∈(－∞，0)时，y ＝|x |＝－x ，在(－∞，0)上为减函数，故①不正确，排除A 、D.又y ＝|x |x＝－1，在(－∞，0)上为常函数，故②不正确，排除B. 2．解析：选D ∵a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，∴a 2＋1>a ， ∵f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，∴f (a 2＋1)<f (a )．3．解析：选D 对于①中函数y ＝x 2，在R 上不具有单调性，故①不正确；②中函数y ＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性．故②不正确；③中函数当k ＝0时，其在R 上不具有单调性，故③不正确；④中由于x 1，x 2不是任意的两个值，不满足定义，故其不正确．4．解析：选D ∵f (－x )＝f (x )，∴f (2)＝f (－2)，又∵f (x )在(－∞，－1]上是增函数，而－2<－32<－1， ∴f (－2)<f ⎝⎛⎭⎫－32<f (－1)，即f (2)<f ⎝⎛⎭⎫－32<f (－1)． 5．解析：函数f (x )的图像如图实线部分所示，则减区间是(0,1]．★答案☆：(0,1]6．解析：函数f (x )的图像的对称轴为x ＝a ，可知其图像开口向下，∵f (x )在[1,2]上单调递减，∴a ≤1.★答案☆：(－∞，1]7．解析：∵f (x )＝x x ＋2＝x ＋2－2x ＋2＝1－2x ＋2， ∴函数f (x )在[2,4]上是增函数，∴f (x )min ＝f (2)＝22＋2＝12， f (x )max ＝f (4)＝44＋2＝23. ★答案☆：23 128．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<1－a <1，－1<2a －1<11－a >2a －1，，解得：0<a <23. ★答案☆：⎝⎛⎭⎫0，23 9．解：函数f (x )＝|－x 2＋2| ＝⎩⎨⎧x 2－2，x ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)，2－x 2，x ∈[－2，2].作出函数的图像如图所示．由图可知函数f (x )＝|－x 2＋2|的单调增区间为[－2，0]和[2，＋∞); 单调减区间为(－∞，－2)和[0，2]．在区间[1,3]上，由图像可知函数的最小值为f (2)＝0，最大值为f (3)＝7.10．解：(1)由f ⎝⎛⎭⎫12＝25，f (0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ⎝⎛⎭⎫122＋1＝25，b ＝0，得a ＝1，b ＝0，∴f (x )＝x x 2＋1.(2)证明：在(－1,1)上任取－1＜x1＜x2＜1，则f(x2)－f(x1)＝x2x22＋1－x1x21＋1＝x2x21＋x2－x1x22－x1 (x22＋1)(x21＋1)＝x1x2(x1－x2)＋(x2－x1) (x22＋1)(x21＋1)＝(x2－x1)(1－x1x2) (x22＋1)(x21＋1).∵－1＜x1＜x2＜1，∴－1＜x1x2＜1，x2－x1＞0,1－x1x2＞0，x22＋1＞0，x21＋1＞0，∴f(x2)－f(x1)＞0.∴f(x)在(－1,1)上是递增的．。

新教材北师大版高中数学选择性必修第一册全册各章节课时分层练习题含解析

北师大版选择性必修第一册课时练习第一章直线与圆.................................................................................................................... - 2 -1、一次函数的图象与直线的方程直线的倾斜角、斜率及其关系 ........................ - 2 -2、直线方程的点斜式................................................................................................ - 7 -3、直线方程的两点式直线方程的一般式.......................................................... - 12 -4、两条直线的平行与垂直...................................................................................... - 16 -5、两条直线的交点坐标.......................................................................................... - 20 -6、平面直角坐标系中的距离公式.......................................................................... - 25 -7、圆的标准方程...................................................................................................... - 30 -8、圆的一般方程...................................................................................................... - 34 -9、直线与圆的位置关系.......................................................................................... - 38 -10、圆与圆的位置关系............................................................................................ - 44 - 第二章圆锥曲线 ................................................................................................................... - 50 -1、椭圆及其标准方程.............................................................................................. - 50 -2、椭圆的简单几何性质.......................................................................................... - 55 -3、双曲线及其标准方程.......................................................................................... - 61 -4、双曲线的简单几何性质...................................................................................... - 66 -5、抛物线及其标准方程.......................................................................................... - 73 -6、抛物线的简单几何性质...................................................................................... - 78 -7、直线与圆锥曲线的位置关系.............................................................................. - 84 - 第三章空间向量与立体几何................................................................................................ - 91 -1、点在空间直角坐标系中的坐标.......................................................................... - 91 -2、空间两点间的距离公式...................................................................................... - 96 -3、从平面向量到空间向量空间向量的运算(一) ............................................. - 100 -4、空间向量的运算(二) ......................................................................................... - 105 -5、空间向量的运算(三) ......................................................................................... - 110 -6、空间向量基本定理............................................................................................ - 117 -7、空间向量运算的坐标表示及应用.................................................................... - 123 -8、直线的方向向量与平面的法向量.................................................................... - 129 -9、用向量方法研究立体几何中的位置关系........................................................ - 135 -10、空间中的角...................................................................................................... - 142 -11、空间中的距离问题.......................................................................................... - 153 - 第五章计数原理 ................................................................................................................. - 163 -1、分类加法计数原理分步乘法计数原理........................................................ - 163 -2、基本计数原理的简单应用................................................................................ - 167 -3、排列与排列数排列数公式............................................................................ - 172 -4、组合组合数及其性质.................................................................................... - 175 -5、二项式定理的推导............................................................................................ - 179 -6、二项式系数的性质............................................................................................ - 182 - 第六章概率 ......................................................................................................................... - 187 -1、条件概率的概念................................................................................................ - 187 -2、乘法公式与事件的独立性全概率公式........................................................ - 192 -3、随机变量............................................................................................................ - 199 -4、离散型随机变量的分布列................................................................................ - 202 -5、离散型随机变量的均值.................................................................................... - 207 -6、离散型随机变量的方差.................................................................................... - 213 -7、二项分布............................................................................................................ - 220 -8、超几何分布........................................................................................................ - 225 -9、正态分布............................................................................................................ - 230 -第七章统计案例................................................................................................................ - 235 -1、一元线性回归.................................................................................................... - 235 -2、成对数据的线性相关性.................................................................................... - 240 -3、独立性检验问题................................................................................................ - 246 -第一章直线与圆1、一次函数的图象与直线的方程直线的倾斜角、斜率及其关系一、选择题1．已知直线过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为()A．3B．－2C．2D．不存在B[由题意可得AB的斜率为k＝2－41－0＝－2．]2．以下两点确定的直线的斜率不存在的是()A．(4，1)与(－4，－1) B．(0，1)与(1，0)C．(1，4)与(－1，4) D．(－4，1)与(－4，－1)D[选项A，B，C，D中，只有D选项的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x轴垂直，即它们确定的直线的斜率不存在．]3．已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是() A．0°≤α＜90°B．90°≤α＜180°C．90°＜α＜180°D．0°＜α＜180°C[直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°．]4．直线l 的倾斜角是斜率为33的直线的倾斜角的2倍，则l 的斜率为( ) A ．1 B ．3 C ．233 D ．－3B [法一：设斜率为33的直线的倾斜角为α，则tan α＝33，0°≤α<180°，∴α＝30°，∴2α＝60°，∴l 的斜率k ＝tan 2α＝3．故选B ．法二：设斜率为33的直线的倾斜角为α，则tan α＝33，∴l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2331－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝3．故选B ．] 5．过点M (－2，m )，N (m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4A [∵k MN ＝m －4－2－m＝1，∴m ＝1．] 二、填空题6．已知直线l 过点A (1，2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是________．2 [如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k ∈[0，2]．故直线l 的斜率k 的最大值为2．]7．已知A (2，－3)，B (4，3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，m 2三点在同一条直线上，则实数m 的值为________．12 [因为A 、B 、C 三点在同一条直线上，所以有k AB ＝k AC ，即3－(－3)4－2＝m 2－(－3)5－2，解得m ＝12．] 8．若直线l 的斜率k 的取值范围是[)0，3，则该直线的倾斜角α的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3 [当0≤k <3时，即0≤tan α<3，又α∈[)0，π，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3．] 三、解答题9．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α．(1)A (2，3)，B (4，5)；(2)C (－2，3)，D (2，－1)；(3)P (－3，1)，Q (－3，10)．[解] (1)存在．直线AB 的斜率k AB ＝5－34－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°．(2) 存在．直线CD 的斜率k CD ＝－1－32－(－2)＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°．(3)不存在．因为x P ＝x Q ＝－3，所以直线PQ 的斜率不存在，倾斜角α＝90°．10．已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)．(1)求y ＋3x ＋2的最大值和最小值； (2) 求x ＋y ＋5x ＋2的最大值和最小值． [解] (1)如图，可知y ＋3x ＋2表示经过定点P (－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y )的直线的斜率k ．由已知条件，可得A(1，1)，B(－1，5)．易知k P A≤k≤k PB．由斜率公式得k P A＝43，k PB＝8，所以43≤k≤8．故y＋3x＋2的最大值是8，最小值是43．(2)由(1)知，y＋3x＋2的最大值是8，最小值是43．又x＋y＋5x＋2＝y＋3x＋2＋1，所以x＋y＋5x＋2的最大值是9，最小值73．11．若经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－1，＋∞)C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C[∵直线l的倾斜角为锐角，∴斜率k＝m2－11－2>0，∴－1<m<1．]12．已知点A(a，2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，则() A．a＝3，b＝1 B．a＝2，b＝2C．a＝2，b＝3D．a＝3，b∈R且b≠1D[由已知a＝3，又A，B为不同的两点，故b≠1．]13．(多选题)给出下列结论，其中说法正确的是()A ．若()1，k 是直线l 的一个方向向量，则k 是该直线的斜率B ．若直线l 的斜率是k ，则()1，k 是该直线的一个方向向量C ．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角[答案] ABC14．(一题两空)已知点A (3，1)，B (－2，k )，C (8，1)．(1)直线AC 的倾斜角为________；(2)若这三点能构成三角形，则实数k 的取值范围为________．0 (－∞，1)∪(1，＋∞) [因为k AC ＝1－18－3＝05＝0．所以直线AC 的倾斜角为0，又k AB ＝k －1－2－3＝1－k 5，要使A ，B ，C 三点能构成三角形，需三点不共线，即k AB ≠k AC ，∴1－k 5≠0．∴k ≠1．]15．把一块长和宽都是13 dm 的矩形纸片按图(1)裁好，问能否拼成图(2)所示的矩形，为什么？(1) (2)[解] 不能，如图，以B 为坐标原点建立直角坐标系，使得BE 在y 轴正半轴上，AB 在x 轴负半轴上．边AC所在直线的斜率为k AC＝88－5＝83，边EC所在直线的斜率为k EC＝135≠83，即k AC≠k EC，所以A、C、D、E四点不可能在同一条直线上．即不能拼成图(2)所示的矩形．2、直线方程的点斜式一、选择题1．直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示()A．任何一条直线B．不过原点的直线C．不与坐标轴垂直的直线D．不与x轴垂直的直线D[点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线．]2．斜率为4，且过点(2，－3)的直线的点斜式方程是()A．y＋3＝4(x－2)B．y－3＝4(x－2)C．y－3＝4(x＋2) D．y＋3＝4(x＋2)[答案]A3．已知直线x－ay＝4在y轴上的截距是2，则a等于()A ．－12B ．12C ．－2D ．2C [直线x －ay ＝4可化为y ＝1a x －4a ，∴－4a ＝2，得a ＝－2．]4．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2的位置关系如图所示，则有( )A ．k 1<k 2且b 1<b 2B ．k 1<k 2且b 1>b 2C ．k 1>k 2且b 1>b 2D ．k 1>k 2且b 1<b 2A [设直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2．由题图可知，90°<α1<α2<180°，所以k 1<k 2，又b 1<0，b 2>0，所以b 1<b 2．故选A ．]5．若y ＝a |x |与y ＝x ＋a (a >0)有两个公共点，则a 的取值范围是( )A ．a >1B ．0<a <1C ．∅D ．0<a <1或a >1A [y ＝x ＋a (a >0)表示斜率为1，在y 轴上的截距为a (a >0)的直线，y ＝a |x |表示关于y 轴对称的两条射线．∴当0<a ≤1时，只有一个公共点；当a >1时，有两个公共点，故选A ．]二、填空题6．直线y ＝43x －4在y 轴上的截距是________．－4 [由y ＝43x －4，令x ＝0，得y ＝－4．]7．直线y ＝k (x －2)＋3必过定点，该定点为________．(2，3) [将直线方程化为点斜式得y －3＝k (x －2)，∴该直线过定点(2，3)．]8．已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，则k 的取值范围为________． ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ [由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎨⎧－6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32．] 三、解答题9．已知位于第一象限的△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°．求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边与BC边所在直线的方程．[解](1)∵A(1，1)，B(5，1)，∴直线AB与x轴平行．∴直线AB的斜率为0，从而该直线的方程为y－1＝0．(2)∵∠A＝60°，∴k AC＝3，AC边所在直线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y＋1－3＝0．又∵∠B＝45°，∴直线BC的倾斜角为135°，其斜率为－1．∴BC边所在直线方程为y－1＝－(x－5)，即x＋y－6＝0．10．如图，直线l：y－2＝3(x－1)过定点P(1，2)，求过点P且与直线l所夹的角为30°的直线l′的方程．[解]设直线l′的倾斜角为α′，由直线l的方程y－2＝3(x－1)知，直线l的斜率为3，则倾斜角为60°．当α′＝90°时，满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的方程为x＝1；当α′＝30°时，也满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的斜率为33，由直线方程的点斜式得l′的方程为y－2＝33(x－1)，即y＝33(x－1)＋2．综上，所求直线l′的方程为x＝1或y＝33(x－1)＋2．11．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是()A B C DD [对于A 选项，由l 1得a >0，b <0，而由l 2得a >0，b >0，矛盾；对于B 选项，由l 1得a <0，b >0，而由l 2得a >0，b >0，矛盾；对于C 选项，由l 1得a >0，b <0，而由l 2得a <0，b >0，矛盾；对于D 选项，由l 1得a >0，b >0，而由l 2得a >0，b >0．故选D ．]12．(多选题)下列四个结论，其中正确的是( )A ．方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)表示同一条直线B ．直线l 过点P (x 0，y 0)，倾斜角为90°，则其方程为x ＝x 0C ．直线l 过点P (x 0，y 0)，斜率为0，则其方程为y ＝y 0D ．所有直线都有点斜式和斜截式方程BC [A 中方程，k ＝y －2x ＋1，x ≠－1；D 中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，∴AD 错误，BC 正确．]13．(一题两空)将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，所得到的直线为________；再向右平移1个单位，所得到的直线为________．y ＝－13x y ＝－13x ＋13 [将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得到的直线为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13．]14．已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1．(1)求证：直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．[解] (1)证明：由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1)．(2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若使当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，需满足⎩⎨⎧f (－3)≥0，f (3)≥0.即⎩⎨⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0. 解得－15≤k ≤1．所以，实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，1．15．在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点，下列结论正确的是( )A ．存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点B ．如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点C ．直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数D ．存在恰经过一个整点的直线AD [A 正确，如直线y ＝2x ＋12，不经过任何整点(x ＝0，y ＝12；x ≠0，y 是无理数)B 错误，直线y ＝2x －2中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1，0)；C 错误，当k ＝0，b ＝12时，直线y ＝12不通过任何整点； D 正确，比如直线y ＝2x 只经过一个整点(0，0)．]3、直线方程的两点式直线方程的一般式一、选择题1．一条直线不垂直于坐标轴，则它的方程()A．可以写成两点式或截距式B．可以写成两点式或斜截式或点斜式C．可以写成点斜式或截距式D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式B[由于直线不垂直于坐标轴，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选B．] 2．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则() A．C＝0，B>0B．A>0，B>0，C＝0C．AB<0，C＝0 D．AB>0，C＝0D[通过直线的斜率和截距进行判断．]3．已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则()A．b>0，d<0，a<c B．b>0，d<0，a>cC．b<0，d>0，a>c D．b<0，d>0，a<cC[由已知直线表达式，得l1：y＝－1a x－ba，l2：y＝－1c x－dc，由题图知⎩⎪⎨⎪⎧－1a >－1c >0－ba <0－d c >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧c <a <0b <0d >0.]4．把直线x －y ＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝3xC ．x －3y ＋2＝0D ．x ＋3y －2＝0B [如图，已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，则直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°． ∴直线l 的斜率k ＝tan α＝tan 60°＝3，∴直线l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x ．]5．若直线Ax ＋By ＋C ＝0过坐标原点，则A ，B ，C 满足的条件是( ) A ．C ＝0B ．AB ≠0且C ＝0 C ．A 2＋B 2≠0且C ＝0D ．A ＋B ＝0C [A ，B 不能同时为0．] 二、填空题6．斜率为2，且经过点A (1，3)的直线的一般式方程为________．2x －y ＋1＝0 [由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0．]7．过点(－1，1)和(3，9)的直线在x 轴上的截距是________．－32 [直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即y ＝2x ＋3，令y ＝0，得x ＝－32，∴在x 轴上的截距为－32．]8．过点P (3，－1)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是________．x ＋2y －1＝0或x ＋3y ＝0 [设直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，当a ＝0时，b ＝0，此时直线l 的方程为 y x ＝－13，所以x ＋3y ＝0；当a ≠0时，a ＝2b ，此时直线l 的方程为x 2b ＋yb ＝1，代入(3，－1)，得x ＋2y －1＝0．]三、解答题9．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，求直线在y 轴上的截距．[解] 由已知，直线过点(3，0)，所以3(a ＋2)－2a ＝0，即a ＝－6．所以直线方程为－4x ＋45y ＋12＝0，即4x －45y －12＝0．令x ＝0，得y ＝－415．故直线在y 轴上的截距为－415．10．求经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程． [解] 由题意可知，所求直线的斜率为±1．又过点(3，4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．所求直线的方程为x －y ＋1＝0，或x ＋y －7＝0．11．过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．无数多条 B [当截距都为零时满足题意要求，直线为y ＝－13x ；当截距不为零时，设直线方程为x a ＋yb ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋－1b ＝1|a |＝|b |，∴⎩⎨⎧ a ＝2b ＝2或⎩⎨⎧a ＝4b ＝－4，即直线方程为x 2＋y 2＝1或x 4＋y －4＝1，∴满足条件的直线共有3条．故选B ．]12．已知直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2，1)，则过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．x ＋2y ＋1＝0A [∵点A (2，1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0．由此可知点P 1(a 1，b 1)在直线2x ＋y ＋1＝0上． ∵点A (2，1)在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0．由此可知点P 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋y ＋1＝0上． ∴过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0．]13．(多选题)若直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab >0B ．bc <0C ．ab <0D ．bc >0AB [易知直线的斜率存在，则直线方程可化为y ＝－a b x －cb ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a b <0，－c b >0，所以ab >0，bc <0．]14．(一题两空)已知点A (3，0)，B (0，4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy 的最大值为________；最小值为________．3 0 [线段AB 的方程为x 3＋y 4＝1(0≤x ≤3)，所以xy ＝4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 3＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋3，所以当x ＝32时，xy 的最大值为3；当x ＝0或3时，xy 的最小值为0．]15．已知直线l 过点M (2，1)，且与x 轴、y 轴的正方向分别交于A ，B 两点，当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程．[解]根据题意，设直线l的方程为xa＋yb＝1，由题意，知a>2，b>1，∵l过点M(2，1)，∴2a＋1b＝1，解得b＝aa－2，∴△AOB的面积S＝12ab＝12a·aa－2，化简，得a2－2aS＋4S＝0．①∴Δ＝4S2－16S≥0，解得S≥4或S≤0(舍去)．∴S的最小值为4，将S＝4代入①式，得a2－8a＋16＝0，解得a＝4，∴b＝aa－2＝2．∴直线l的方程为x＋2y－4＝0.4、两条直线的平行与垂直一、选择题1．下列直线中与直线x－y－1＝0平行的是()A．x＋y－1＝0B．x－y＋1＝0C．x＋y＋1＝0 D．ax－ay－a＝0B[显然B中直线与直线x－y－1＝0斜率相等但不重合．]2．已知直线l1的斜率k1＝1，直线l2的斜率k2＝－1，则l1与l2的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不确定B[∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2．]3．下列直线中，与已知直线y＝－43x＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0B [先看斜率，A 、D 选项中斜率为－34，排除掉；直线与y 轴交点需在y 轴负半轴上，才能使直线不过第一象限，只有B 选项符合．]4．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( ) A ．1a B ．aC ．－1aD ．－1a 或不存在D [当a ≠0时，由l 1⊥l 2得k 1·k 2＝a ·k 2＝－1，∴k 2＝－1a ；当a ＝0时，l 1与x 轴平行或重合，则l 2与y 轴平行或重合，故直线l 2的斜率不存在．∴直线l 2的斜率为－1a 或不存在．]5．以A (－1，1)，B (2，－1)，C (1，4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形C [∵k AB ＝－23，k AC ＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，即AB ⊥AC ．] 二、填空题6．若直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1平行，则m ＝________．－23[－2m ＝3，∴m ＝－23．] 7．若直线l 1：2x －5y ＋20＝0，l 2：mx －2y －10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为________．－5 [l 1、l 2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补．因为坐标轴垂直，故l 1⊥l 2，即2m ＋10＝0，∴m ＝－5．]8．已知A (3，1)，B (－1，－1)，C (2，1)，则△ABC 的BC 边上的高所在的直线方程为________．3x＋2y－11＝0[k BC＝1－(－1)2－(－1)＝23，∴BC边上的高所在直线的斜率k＝－3 2，∴所求直线方程为y－1＝－32(x－3)，即3x＋2y－11＝0．]三、解答题9．已知点A(－1，3)，B(4，2)，以AB为直径的圆与x轴交于点M，求点M 的坐标．[解]设M(x，0)∴M是以AB为直径的圆与x轴的交点，∴AM⊥BM，∴k AM·k BM＝－1，即3－0－1－x×2－04－x＝－1，∴x2－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2，∴M(1，0)或M(2，0)．10．已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．[解]∵A、B两点纵坐标不等，∴AB与x轴不平行．∵AB⊥CD，∴CD与x轴不垂直，－m≠3，m≠－3．①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1．而m＝－1时，C，D纵坐标均为－1，∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．②当AB与x轴不垂直时，由斜率公式k AB＝4－2－2m－4－(－m－3)＝2－(m＋1)，k CD＝3m＋2－m3－(－m)＝2(m＋1)m＋3．∵AB⊥CD，∴k AB·k CD＝－1，即2－(m＋1)·2(m＋1)m＋3＝－1，解得m＝1，综上m的值为1或－1．11．直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件．] 12．若{(x，y)|ax＋2y＋2＝0}∩{(x，y)|3x－y－2＝0}＝∅，则系数a＝()A．6B．－6C．32D．－32B[由题意知，两直线平行，∴a3＝2－1，∴a＝－6．]13．(多选题)下列说法中，不正确的是()A．若两直线斜率相等，则两直线平行B．若l1∥l2，则k1＝k2C．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交D．若两直线斜率都不存在，则两直线平行ABD[当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，A不正确；若两直线平行，那么它们的斜率可能都不存在，B不正确；显然C正确；若两直线斜率都不存在，则两直线平行或重合，D不正确．]14．(一题两空)直线l1的斜率k1＝34，直线l2经过点A(1，2)，B(a－1，3)．(1)若l1∥l2，则a的值为________．(2)若l1⊥l2，则a的值为________．10 354[直线l2的斜率k2＝3－2a－1－1＝1a－2，由l1∥l2，得k1＝k2，∴1a－2＝34，∴a＝10 3．由l1⊥l2，得k1·k2＝－1，∴1a－2×34＝－1，∴a＝54．]15．已知O 为坐标原点，点M (2，2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 的坐标．(1)∠MOP ＝∠OPN ； (2)∠MPN 是直角． [解] 设P (x ，0)，(1)∵∠MOP ＝∠OPN ，∴MO ∥PN ，∴k OM ＝k NP ，又k OM ＝2－02－0＝1，k NP ＝0－(－2)x －5＝2x －5． ∴2x －5＝1，解得x ＝7，即P (7，0)． (2)∵∠MPN ＝90°，∴MP ⊥NP ， ∴k MP ·k NP ＝－1，∵k MP ＝22－x ，k NP ＝2x －5， ∴22－x ×2x －5＝－1，解得x ＝1或x ＝6． ∴P (1，0)或(6，0)．5、两条直线的交点坐标一、选择题1．直线3x －2y ＋m ＝0和(m 2＋1)x ＋3y －3m ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．重合 D ．不确定 B [∵k 1＝32，k 2＝－m 2＋13＜0，∴k 1≠k 2的两直线相交．] 2．直线l 1：3x －4y ＋5＝0与l 2：4x －3y －13＝0的交点坐标为( ) A ．(2，3) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫73，3 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，73 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫37，3B [由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋5＝04x －3y －13＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝73y ＝3，本题也可代入选项验证．]3．两条直线x ＋y －a ＝0与x －y －2＝0相交于第一象限，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－2＜a ＜2}B ．{a |a ＜－2}C ．{a |a ＞2}D ．{a |a ＜－2或a ＞2}C [联立方程，得⎩⎨⎧x ＋y －a ＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22y ＝a －22，由交点在第一象限，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋22>0a －22>0，解得a ＞2．所以实数a 的取值范围是{a |a ＞2}．]4．已知直线ax ＋4y －2＝0与2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c ＝( )A ．－4B ．20C ．0D ．24 A [由两直线垂直得－a 4×25＝－1，∴a ＝10，将垂足代入ax ＋4y －2＝0，得c ＝－2，再代入2x －5y ＋b ＝0，得b ＝－12， ∴a ＋b ＋c ＝－4．]5．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为( ) A ．－9 B ．9 C ．－6 D ．6 A [由⎩⎨⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1，2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9．] 二、填空题6．三条直线ax ＋2y ＋8＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为________．－1 [由⎩⎨⎧ 4x ＋3y ＝102x －y ＝10，得⎩⎨⎧x ＝4y ＝－2．将(4，－2)代入ax ＋2y ＋8＝0，得4a ＋2×(－2)＋8＝0， ∴a ＝－1．]7．已知直线y ＝kx ＋3k －2与直线y ＝－14x ＋1的交点在x 轴上，则k 的值为________．27[直线y ＝－14x ＋1交x 轴于点(4，0)． ∵两条直线的交点在x 轴上，∴直线y ＝kx ＋3k －2过点(4，0)．∴0＝4k ＋3k －2．∴k ＝27．]8．当a 取不同实数时，直线(2＋a )x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．(－1，－2) [直线方程可写成a (x ＋y ＋3)＋2x －y ＝0，则该直线系必过直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，即(－1，－2)．]三、解答题9．已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ． [解] (1)由⎩⎨⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，∴点P 的坐标是(－2，2)．又所求直线l 与x －2y －1＝0垂直，可设直线l 的方程为2x ＋y ＋C ＝0．把点P 的坐标代入得2×(－2)＋2＋C ＝0，即C ＝2． ∴所求直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0．(2)由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是－1、－2，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝12×1×2＝1．10．已知△ABC 的顶点A 的坐标为(5，6)，两边AB 、AC 上的高所在直线的方程分别为4x ＋5y －24＝0与x －6y ＋5＝0，求直线BC 的方程．[解] ∵AB 边上的高所在直线的方程为4x ＋5y －24＝0， ∴可设直线AB 的方程为5x －4y ＋m ＝0，把点A (5，6)坐标代入得25－24＋m ＝0， ∴m ＝－1，即直线AB 方程为5x －4y －1＝0，由⎩⎨⎧ 5x －4y －1＝0x －6y ＋5＝0，得⎩⎨⎧x ＝1y ＝1，即B (1，1)．同理可得C (6，0)， ∴k BC ＝1－01－6＝－15． ∴直线BC 的方程为y ＝－15(x －6)，即x ＋5y －6＝0．11．已知点P (－1，0)，Q (1，0)，直线y ＝－2x ＋b 与线段PQ 相交，则b 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[－1，1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12D ．[0，2]A [点P ，Q 所在直线的方程为y ＝0，由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋b ，y ＝0，得交点⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，由－1≤b2≤1，得－2≤b ≤2．]12．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0D [设所求直线上任一点(x ，y )，则它关于x ＝1对称的点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，所以2－x －2y ＋1＝0，即x ＋2y －3＝0．故选D ．]13．(多选题)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则( ) A ．Ax 0＋By 0＋C ≠0 B ．Ax 0＋By 0＋C ＝0C ．方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示不过点P 且与l 垂直的直线D ．方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示不过点P 且与l 平行的直线 AD [因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行，排除C ．故选AD ．]14．(一题两空)已知直线x －2y ＋1＝0，x ＋3y －1＝0，ax ＋2y －3＝0共有两个不同的交点．(1)若它们相交于一点，则a ＝________； (2)若它们共有两个不同的交点，则a ＝________．－11 －1或23 [因为直线x －2y ＋1＝0与x ＋3y －1＝0相交于一点⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，25，若它们相交于一点，则－15a ＋45－3＝0，所以a ＝－11．若要使三条直线共有两个不同交点，只需ax ＋2y －3＝0与以上两条直线中的一条平行即可，当ax ＋2y －3＝0与x －2y ＋1＝0平行时，有－a 2＝12，解得a ＝－1；当ax ＋2y －3＝0与x ＋3y －1＝0平行时，有－a 2＝－13，解得a ＝23．]15．一条光线沿直线2x －y ＋2＝0入射到直线x ＋y －5＝0后反射，求反射光线所在直线的方程．[解] 取直线2x －y ＋2＝0上一点A (0，2)，设点A (0，2)关于直线x ＋y －5＝0对称的点为B (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＋22－5＝0，b －2a ＝1，解得 ⎩⎨⎧a ＝3，b ＝5，∴B (3，5)．由⎩⎨⎧ 2x －y ＋2＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝4，∴直线2x －y ＋2＝0与直线x ＋y －5＝0的交点为P (1，4)， ∴反射光线在经过点B (3，5)和点P (1，4)的直线上，该直线的方程为y －4＝4－51－3(x －1)，整理得x－2y＋7＝0．故反射光线所在直线的方程为x－2y＋7＝0.6、平面直角坐标系中的距离公式一、选择题1．点(1，2)到直线y＝2x＋1的距离为()A．55B．255C．5D．25A[直线y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝|2×1－2＋1| 22＋(－1)2＝55，故选A．]2．已知点(3，m)到直线x＋3y－4＝0的距离等于1，则m等于()A．3B．－3C．－33D．3或－33D[由|3＋3m－4|2＝1，解得m＝3或－33，故选D．]3．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m 的值为()A．－6或12B．－12或1C．－12或12D．0或12A[|3m＋2＋3|m2＋12＝|－m＋4＋3|m2＋12，即|3m＋5|＝|7－m|，解得m＝－6或12．]4．到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是() A．3x－4y＋4＝0B．3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0C ．3x －4y ＋16＝0D ．3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝0D [在直线3x －4y ＋1＝0上取点(1，1)．设与直线3x －4y ＋1＝0平行的直线方程为3x －4y ＋m ＝0，则|3×1－4×1＋m |32＋(－4)2＝3，解得m ＝16或m ＝－14，即所求直线方程为3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝0．]5．过点P (0，1)且和A (3，3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是( ) A ．y ＝1 B ．2x ＋y －1＝0 C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0 D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0C [∵k AB ＝3－(－1)3－5＝－2，过P 与AB 平行的直线方程为y －1＝－2(x －0)，即2x ＋y －1＝0，又AB 的中点C (4，1)，∴PC 的方程为y ＝1．] 二、填空题6．已知A (a ，3)，B (－2，5a )，|AB |＝13，则实数a 的值为________． 3或－2 [依题意及两点间的距离公式，得[a －(－2)]2＋(3－5a )2＝13，整理得a 2－a －6＝0，解得a ＝3或a ＝－2．]7．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．4 [由题意可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋4x 0(x 0>0)，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋4x 02≥22x 0·4x 02＝4，当且仅当2x 0＝4x 0，即x 0＝2时取等号．故所求最小值是4．]8．点A (－3，1)，C (1，y )关于点B (－1，－3)对称，则|AC |＝________．45 [由已知得y ＋12＝－3，解得y ＝－7，即C (1，－7)，∴|AC |＝[1－(－3)]2＋(－7－1)2＝45．] 三、解答题9．已知直线l 经过点P (－2，5)，且斜率为－34． (1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程． [解] (1)由直线方程的点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，整理得，所求直线方程为3x ＋4y －14＝0．(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0，由点到直线的距离公式得|3×(－2)＋4×5＋C |32＋42＝3，即|14＋C |5＝3，解得C ＝1或C ＝－29，故所求直线方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0．10．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程．[解] ∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎨⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎨⎧m ＝－4，n ≠2.(1)当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0， ∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18．故所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0．(2)当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为2x －4y －1＝0， ∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22．故所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0．11．在直角坐标系中，A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．33D ．25 A [如图，设点P 关于直线AB ，y 轴的对称点分别为D ，C ，易求得D (4，2)， C (－2，0)，则△PMN 的周长＝|PM |＋|MN |＋|NP |＝|DM |＋|MN |＋|NC |．由对称性，D 、M 、N 、C 共线，∴|CD |即为所求，由两点间的距离公式得|CD |＝40＝210．]12．若直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A ．1B ．2C ．12 D ．4B [∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2．] 13．(多选题)已知直线l ：x cos α＋y sin α＝2，则下列结论正确的是( ) A ．原点到直线l 距离等于2B ．若点P (x 0，y 0)在直线l 上，则x 20 ＋ y 20 ≥4C ．点(1，1)到直线l 距离d 的最大值等于2＋2D ．点(1，1)到直线l 距离d 的最小值等于2－ 2 ABCD [由点到直线的距离公式知，A 正确；由A 正确得，||OP ≥2，所以x 20 ＋ y 20 ≥4；因为d ＝|cos α＋sin α－2|cos 2α＋sin 2α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－2，所以d 的最大值等于2＋2，最小值等于2－2．]14．(一题两空)在平面直角坐标系内，已知A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)，则平面内任意一点到点A 与点C 的距离之和的最小值为________，平面内到A ，B ，C ，D 的距离之和最小的点的坐标是________．25 (2，4) [设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |＝25，当且仅当A ，M ，C 共线，且M 在A ，C 之间时取等号，同理，|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线，且M 在B ，D 之间时取等号，连接AC ，BD 交于一点M (图略)，此时|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 即为所求．因为k AC ＝6－23－1＝2，所以直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0．①又因为k BD ＝5－(－1)1－7＝－1，所以直线BD 的方程为 y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0．②联立①②得⎩⎨⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，所以M (2，4)．]15．已知正方形的中心为直线2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l 的方程为x ＋3y －5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．[解] 设与直线l ：x ＋3y －5＝0平行的边所在的直线方程为l 1：x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－5)．由⎩⎨⎧2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0，得正方形的中心坐标为P (－1，0)，由点P 到两直线l ，l 1的距离相等，得|－1－5|12＋32＝|－1＋c |12＋32，得c ＝7或c ＝－5(舍去)．∴l 1：x ＋3y ＋7＝0．又正方形另两边所在直线与l 垂直， ∴设另两边所在直线的方程分别为3x －y ＋a ＝0，3x －y ＋b ＝0． ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴|－3＋a |32＋(－1)2＝|－1－5|12＋32，得a ＝9或a ＝－3，∴另两条边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0，3x －y －3＝0．∴另三边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0，3x －y －3＝0．7、圆的标准方程一、选择题1．圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝25 B ．x 2＋y 2＝5C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝25C [r ＝(3－0)2＋(4－0)2＝5，故选C ．]2．圆C ：(x ＋4)2＋(y －3)2＝9的圆心C 到直线4x ＋3y －1＝0的距离等于( ) A ．65 B ．85 C ．245 D ．265B [由已知得，C (－4，3)，则圆心C 到直线4x ＋3y －1＝0的距离d ＝|－16＋9－1|42＋32＝85．] 3．点(a ，a )在圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2a 2的内部，则a 的取值范围为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－52B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，＋∞A [由(a －1)2＋(a ＋2)2<2a 2，得a <－52．]4．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2B [由题意，知 |PQ |的最小值即为圆心到直线x ＝－3的距离减去半径长，即|PQ |的最小值为6－2＝4，故选B ．]5．方程|y|－1＝1－(x－1)2表示的曲线是()A．半圆B．圆C．两个圆D．两个半圆D[由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝1－(x－1)2表示的曲线是两个半圆．故选D．]二、填空题6．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为________．(x－2)2＋y2＝5[(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2，0)，圆心关于原点的对称点为(2，0)，即为对称圆的圆心，所以关于原点的对称圆的方程为(x－2)2＋y2＝5．]7．设P(x，y)是曲线x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则(x－1)2＋(y－1)2的最大值为________．26＋2[由(x－1)2＋(y－1)2的几何意义知：本题是求圆上一点到点(1，1)的最大值，其最大值为(0－1)2＋(－4－1)2＋2＝26＋2．]8．已知△ABC的顶点A(－1，0)，B(1，0)，C在圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上移动，则△ABC面积的最小值为________．1[∵|AB|＝2．∴当△ABC的高，即C到AB的距离最小时，S△ABC最小，又圆心为(2，2)，半径为1．所以此时C的坐标为(2，1)，S的最小值为1．]△ABC三、解答题9．求圆心C(8，－3)且过点P(5，1)的圆的标准方程．[解]法一：设圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2，。