现代控制理论第16讲 PPT课件
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《现代控制理论》PPT课件
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8
4、控制理论发展趋势
❖ 企业：资源共享、因特网、信息集成、 信息技术+控制技术 (集成控制技术)
❖ 网络控制技术
❖ 计算机集成制造CIMS：（工厂自动化）
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9
三、现代控制理论与古典控制理论的对比
❖ 共同 对象－系统 主要内容 分析：研究系统的原理和性能 设计：改变系统的可能性（综合性能）
现代控制理论
Modern Control Theory
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1
绪论
❖ 学习现代控制理论的意义： 1.是所学专业的理论基础 2.是研究生阶段提高理论水平的重要环节。 3. 是许多专业考博士的必考课。
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2
一、控制的基本问题
❖ 控制问题：对于受控系统（广义系统）S，
寻求控制规律μ(t)，使得闭环系统满足给
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10ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、本课程主要内容
❖ 系统描述：状态空间表示法 ❖ 系统分析：状态方程的解、线性系统的能控
和能观测性、稳定性分析 ❖ 系统设计：状态反馈和状态观测器、 ❖ 最优控制：最优控制系统及其解法
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11
五、使用教材
❖ 《现代控制理论》（第二版）刘豹主编 机械工业出版社
参考书 现代控制理论与工程 西安交大
定的性能指标要求。
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3
求解包括三方面：
1. 系统建模 用数学模型描述系统 2. 系统分析 定性：稳定性、能控能观性
定量：时域指标、频域指标 3. 系统设计
控制器设计、满足给定要求 结构设计 参数设计
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4
二、控制理论发展史（三个时期）
❖1．古典控制理论：
《现代控制理论》课件
现代控制理论
目录
• 引言 • 线性系统理论 • 非线性系统理论 • 最优控制理论 • 自适应控制理论 • 鲁棒控制理论
01
引言
什么是现代控制理论
现代控制理论是一门研究动态系统控制的学科，它利用数学模型和优化方法来分析 和设计控制系统的性能。
它涵盖了线性系统、非线性系统、多变量系统、分布参数系统等多种复杂系统的控 制问题。
20世纪60年代
线性系统理论和最优控制理论得到发展，为现代控制理论的建立奠定 了基础。
20世纪70年代
非线性系统理论和自适应控制理论逐渐发展起来，进一步丰富了现代 控制理论的应用范围。
20世纪80年代至今
现代控制理论在智能控制、鲁棒控制、预测控制等领域取得了重要进 展，为解决复杂系统的控制问题提供了更有效的工具。
01
利用深度学习算法对系统进行建模和学习，实现更高
效和智能的自适应控制。
多变量自适应控制
02 研究多变量系统的自适应控制方法，以提高系统的全
局性能。
非线性自适应控制
03
发展非线性系统的自适应控制方法，以处理更复杂的
控制系统。
06
鲁棒控制理论
鲁棒控制的基本概念
鲁棒控制是一种设计方法，旨在 提高系统的稳定性和性能，使其 在存在不确定性和扰动的情况下
自适应逆控制
一种基于系统逆动态特性的自适应控制方法，通过对系统 逆动态特性的学习和控制，实现系统的自适应控制。
自适应控制系统设计
系统建模
建立被控对象的数学模型，包括线性系统和非线性系统。
控制器设计
根据系统模型和性能指标，设计自适应控制器，包括线性自适应控制器和 非线性自适应控制器。
参数调整
根据系统运行状态和环境变化，调整控制器参数，以实现最优的控制效果 。
目录
• 引言 • 线性系统理论 • 非线性系统理论 • 最优控制理论 • 自适应控制理论 • 鲁棒控制理论
01
引言
什么是现代控制理论
现代控制理论是一门研究动态系统控制的学科，它利用数学模型和优化方法来分析 和设计控制系统的性能。
它涵盖了线性系统、非线性系统、多变量系统、分布参数系统等多种复杂系统的控 制问题。
20世纪60年代
线性系统理论和最优控制理论得到发展，为现代控制理论的建立奠定 了基础。
20世纪70年代
非线性系统理论和自适应控制理论逐渐发展起来，进一步丰富了现代 控制理论的应用范围。
20世纪80年代至今
现代控制理论在智能控制、鲁棒控制、预测控制等领域取得了重要进 展，为解决复杂系统的控制问题提供了更有效的工具。
01
利用深度学习算法对系统进行建模和学习，实现更高
效和智能的自适应控制。
多变量自适应控制
02 研究多变量系统的自适应控制方法，以提高系统的全
局性能。
非线性自适应控制
03
发展非线性系统的自适应控制方法，以处理更复杂的
控制系统。
06
鲁棒控制理论
鲁棒控制的基本概念
鲁棒控制是一种设计方法，旨在 提高系统的稳定性和性能，使其 在存在不确定性和扰动的情况下
自适应逆控制
一种基于系统逆动态特性的自适应控制方法，通过对系统 逆动态特性的学习和控制，实现系统的自适应控制。
自适应控制系统设计
系统建模
建立被控对象的数学模型，包括线性系统和非线性系统。
控制器设计
根据系统模型和性能指标，设计自适应控制器，包括线性自适应控制器和 非线性自适应控制器。
参数调整
根据系统运行状态和环境变化，调整控制器参数，以实现最优的控制效果 。
现代控制理论课件PPT
西华大学电气与电子信息学院
▪ 系统辨识（系统辨识，参数估计） 未知系统的建模，在仅知道y和u，根据输入输出关系建立 系统模型。 包括两部分：模型结构及模型参数的确立。 系统辨识：包括模型结构及参数的辨识； 参数估计：模型结构已定，估计其参数；以下三阶系统： a3 y(3) a2 y(2) a1 y' a0 y b0u
问题称为极点配置问题。
3）使一个MIMO系统实现一个输入只控制一个输出作为
性能指标，相应的综合问题称为解耦问题。
4）将系统的输出y(t)无静差地跟踪一个外部信号 u(t) 的能
力，作为性能指标，相应的综合问题称为跟踪问题。
西华大学电气与电子信息学院
3 控制系统仿真 系统
建立数 学模型
仿真 实验
结果分析
模型
计算机
建立仿真模型
MATLAB工程软件简介
在控制类学科中， MATLAB/Simulink是首选的计算机 工具。 MATLAB软件中有大量的MATLAB配套工具箱 功能强大的控制系统仿真环境SIMULINK，它用形象的图 形环境为控制系统的分析设计提供了很好的试验工具。
西华大学电气与电子信息学院
F135-PW-100
西华大学电气与电子信息学院
蒸气发电机的谐调控制系统模型
西华大学电气与电子信息学院
0.1.2 现代控制理论和经典控制理 论的区别
经典控制理论
单输入单输出(SISO) 黑箱问题，不完全描述 近似分析、设计，采用拼凑法 无法考虑系统的初始条件（传递函数的定义） 传递函数、微分方程 时域法、根轨迹法、频域法
现代控制理论
宋潇潇 西华大学电气与电子信息学院
现代控制理论
地位和重要性 所需基础知识 知识构架 笔记和课件 出勤和考试
▪ 系统辨识（系统辨识，参数估计） 未知系统的建模，在仅知道y和u，根据输入输出关系建立 系统模型。 包括两部分：模型结构及模型参数的确立。 系统辨识：包括模型结构及参数的辨识； 参数估计：模型结构已定，估计其参数；以下三阶系统： a3 y(3) a2 y(2) a1 y' a0 y b0u
问题称为极点配置问题。
3）使一个MIMO系统实现一个输入只控制一个输出作为
性能指标，相应的综合问题称为解耦问题。
4）将系统的输出y(t)无静差地跟踪一个外部信号 u(t) 的能
力，作为性能指标，相应的综合问题称为跟踪问题。
西华大学电气与电子信息学院
3 控制系统仿真 系统
建立数 学模型
仿真 实验
结果分析
模型
计算机
建立仿真模型
MATLAB工程软件简介
在控制类学科中， MATLAB/Simulink是首选的计算机 工具。 MATLAB软件中有大量的MATLAB配套工具箱 功能强大的控制系统仿真环境SIMULINK，它用形象的图 形环境为控制系统的分析设计提供了很好的试验工具。
西华大学电气与电子信息学院
F135-PW-100
西华大学电气与电子信息学院
蒸气发电机的谐调控制系统模型
西华大学电气与电子信息学院
0.1.2 现代控制理论和经典控制理 论的区别
经典控制理论
单输入单输出(SISO) 黑箱问题，不完全描述 近似分析、设计，采用拼凑法 无法考虑系统的初始条件（传递函数的定义） 传递函数、微分方程 时域法、根轨迹法、频域法
现代控制理论
宋潇潇 西华大学电气与电子信息学院
现代控制理论
地位和重要性 所需基础知识 知识构架 笔记和课件 出勤和考试
1.2-现代控制理论的主要内容PPT优秀课件
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最优控制(1/1)
1.2.2 最优控制
最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最 优解的一门学科。 ➢ 具体地说就是研究被控系统在给定的约束条件和性能指 标下,寻求使性能指标达到最佳值的控制规律问题。 ➢ 例如要求航天器达到预定轨道的时间最短、所消耗的燃 料最少等。
该分支的基本内容和常用方法为 ➢ 变分法； ➢ 庞特里亚金的极大值原理； ➢ 贝尔曼的动态规划方法。
8
随机系统理论和最优估计(2/2)
最优估计讨论根据系统的输入输出信息估计出或构造出随机 动态系统中不能直接测量的系统内部状态变量的值。 ➢ 由于现代控制理论主要以状态空间模型为基础,构成反馈 闭环多采用状态变量,因此估计不可直接测量的状态变量 是实现闭环控制系统重要的一环。 ➢ 该问题的困难性在于系统本身受到多种内外随机因素扰 动,并且各种输入输出信号的测量值含有未知的、不可测 的误差。
系统辨识是重要的建模方法,因此亦是控制理论实现和应用 的基础。 ➢ 系统辨识是控制理论中发展最为迅速的领域,它的发展还 直接推动了自适应控制领域及其他控制领域的发展。
11
自适应控制(1/5)
1.2.5 自适应控制
自适应控制研究当被控系统的数学模型未知或者被控系统的 结构和参数随时间和环境的变化而变化时,通过实时在线修正 控制系统的结构或参数使其能主动适应变化的理论和方法。 ➢ 自适应控制系统通过不断地测量系统的输入、状态、输 出或性能参数,逐渐了解和掌握对象,然后根据所得的信息 按一定的设计方法,做出决策去更新控制器的结构和参数 以适应环境的变化,达到所要求的控制性能指标。 ➢ 该分支诞生于1950年代末,是控制理论中近60年发展最为 迅速、最为活跃的分支。
12
自适应控制(2/5)
最优控制(1/1)
1.2.2 最优控制
最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最 优解的一门学科。 ➢ 具体地说就是研究被控系统在给定的约束条件和性能指 标下,寻求使性能指标达到最佳值的控制规律问题。 ➢ 例如要求航天器达到预定轨道的时间最短、所消耗的燃 料最少等。
该分支的基本内容和常用方法为 ➢ 变分法； ➢ 庞特里亚金的极大值原理； ➢ 贝尔曼的动态规划方法。
8
随机系统理论和最优估计(2/2)
最优估计讨论根据系统的输入输出信息估计出或构造出随机 动态系统中不能直接测量的系统内部状态变量的值。 ➢ 由于现代控制理论主要以状态空间模型为基础,构成反馈 闭环多采用状态变量,因此估计不可直接测量的状态变量 是实现闭环控制系统重要的一环。 ➢ 该问题的困难性在于系统本身受到多种内外随机因素扰 动,并且各种输入输出信号的测量值含有未知的、不可测 的误差。
系统辨识是重要的建模方法,因此亦是控制理论实现和应用 的基础。 ➢ 系统辨识是控制理论中发展最为迅速的领域,它的发展还 直接推动了自适应控制领域及其他控制领域的发展。
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自适应控制(1/5)
1.2.5 自适应控制
自适应控制研究当被控系统的数学模型未知或者被控系统的 结构和参数随时间和环境的变化而变化时,通过实时在线修正 控制系统的结构或参数使其能主动适应变化的理论和方法。 ➢ 自适应控制系统通过不断地测量系统的输入、状态、输 出或性能参数,逐渐了解和掌握对象,然后根据所得的信息 按一定的设计方法,做出决策去更新控制器的结构和参数 以适应环境的变化,达到所要求的控制性能指标。 ➢ 该分支诞生于1950年代末,是控制理论中近60年发展最为 迅速、最为活跃的分支。
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自适应控制(2/5)
现代控制理论于方法PPT课件
线性系统理论
02
线性系统的基本概念
线性系统
在一定的输入信号下，输出信号 与输入信号成正比，且比例系数 是常数。
线性系统的特点
叠加性、齐次性和可加性。
线性系统的分类
时不变系统和时变系统。
线性系统的稳定性分析
稳定性的定义：如果一个系统 在受到扰动后能够恢复到原来 的平衡状态，则称该系统是稳
定的。
线性系统的稳定性条件：系 统的极点必须位于复平面的 左半部分，即系统的极点必
鲁棒控制在工业中的应用
鲁棒控制在工业中广泛应用于 过程控制、电力系统和航空航
天等领域。
在过程控制中，鲁棒控制可以 用于抑制模型误差和扰动，提
高系统的稳定性和可靠性。
在电力系统中，鲁棒控制可以 用于抑制负荷波动和故障扰动 ，保证电力系统的稳定运行。
在航空航天中，鲁棒控制可以 用于抑制外部干扰和内部扰动 ，提高飞行器的稳定性和安全 性。
非线性系统的近似线性化方法
近似线性化方法定义
近似线性化方法是指通过一定的技术手段将 非线性系统近似转化为线性系统，以便于分 析和设计的方法。
近似线性化方法分类
近似线性化方法可以分为基于状态空间的近似线性 化和基于输入输出的近似线性化两类。
近似线性化方法应用
近似线性化方法广泛应用于各种非线性系统 的分析和设计中，如控制系统、航空航天系 统、机器人系统等。
现代控制理论于方法 ppt课件
目录
• 引言 • 线性系统理论 • 非线性系统理论 • 最优控制理论 • 自适应控制理论 • 鲁棒控制理论 • 结论与展望
引言
01
控制理论的发展历程
01
经典控制理论
主要关注单输入单输出系统，以传递函数为基础，通过时域分析方法进
现代控制理论.pptx
1877年劳斯（E. J. Routh）和1895年赫尔维茨 （A.Hurwitz）分别研究了系统稳定性与特征方程系数的关系， 提出了劳斯判据和赫尔维茨判据。
第0章 引论
1892年，前沙俄数学家李雅普诺夫（A.M. Lyapunov）在其 博士论文“运动稳定的一般问题”中提出Lyapunov稳定性判别 方法，包括第一法和第二法，系统地建立了动力学系统稳定性 的一般理论。
第0章 引论
3.2 经典控制理论阶段
第一次工业革命时期，瓦特（J.Watt）使用的自动调节进气 阀门以控制蒸汽机转速的离心式（飞球式）调速器，是闭环自动 控制系统应用的第一项重大成果。
物理学家麦克斯韦（J.C. Maxwell）与1868年在“论调节器” 论文首次提出反馈控制的概念，对瓦特调速器系统中的不稳定现 象进行研究，开辟了自动控制作为一门科学发展的开端。
参加本课程的同学必须人手1册教材、出勤听课、听 课并记笔记和完成作业。
（缺课达到1/3，缺作业达1/4者取消正常考试资格）
第0章 引论
教材选用： 【1】刘豹, 唐万生. 现代控制理论: 第3版. 北京：机械工业出版社, 2006 主要参考书： 【1】郑大钟. 线性系统理论: 第2版. 北京：清华大学出版社, 2002 【2】 (美)J.J.Dazzo, (美) R.H.Houpis. Linear Control System Analysis and Design: Fourth Edition. 英文影印版. 北京：清华大 学出版社，2000 【3】 (美) R. C. Dorf, (美)R. H. Bishop. Modern Control System: Eleventh Edition. 英文影印版. 北京：电子工业出版社，2009
第0章 引论
1892年，前沙俄数学家李雅普诺夫（A.M. Lyapunov）在其 博士论文“运动稳定的一般问题”中提出Lyapunov稳定性判别 方法，包括第一法和第二法，系统地建立了动力学系统稳定性 的一般理论。
第0章 引论
3.2 经典控制理论阶段
第一次工业革命时期，瓦特（J.Watt）使用的自动调节进气 阀门以控制蒸汽机转速的离心式（飞球式）调速器，是闭环自动 控制系统应用的第一项重大成果。
物理学家麦克斯韦（J.C. Maxwell）与1868年在“论调节器” 论文首次提出反馈控制的概念，对瓦特调速器系统中的不稳定现 象进行研究，开辟了自动控制作为一门科学发展的开端。
参加本课程的同学必须人手1册教材、出勤听课、听 课并记笔记和完成作业。
（缺课达到1/3，缺作业达1/4者取消正常考试资格）
第0章 引论
教材选用： 【1】刘豹, 唐万生. 现代控制理论: 第3版. 北京：机械工业出版社, 2006 主要参考书： 【1】郑大钟. 线性系统理论: 第2版. 北京：清华大学出版社, 2002 【2】 (美)J.J.Dazzo, (美) R.H.Houpis. Linear Control System Analysis and Design: Fourth Edition. 英文影印版. 北京：清华大 学出版社，2000 【3】 (美) R. C. Dorf, (美)R. H. Bishop. Modern Control System: Eleventh Edition. 英文影印版. 北京：电子工业出版社，2009
现代控制理论教学课件
数字仿真实验结果分析 阐述如何对数字仿真实验结果进 行分析，包括性能指标的计算和 评估，以及对实验结果进行解释 和讨论。
数字仿真软件 介绍常用的数字仿真软件，如 MATLAB/Simulink等，并解释其 基本原理和使用方法。
数字仿真实验设计 详细说明数字仿真实验的设计方 法，包括如何建立系统模型、如 何设计控制器、如何设置仿真参 数等。
该方法能够全面地反映系统的性能，具有较强的适用性和实用 性。同时，该方法可通过实验手段进行验证，可靠性高。
设计过程相对较为复杂，需要一定的专业知识和经验。
适用于高阶系统和多变量系统的控制器设计，广泛应用于工程 实践中。
最优控制设计法
定义
最优控制设计法是一种基于最优化理论进行控制器设计的 方法。
缺点
现代控制理论阶段
自20世纪60年代开始，状态空间 法成为主导，适用于多输入多输 出、非线性、时变系统的分析与 设计。
现代控制理论的特点
状态空间描述
现代控制理论基于状态空间描述 ，通过状态变量全面反映系统内 部状态，提供更深入的系统分析
。
时域分析法
相比古典控制理论的频域分析法， 现代控制理论采用时域分析法，能 够直接反映系统的时间响应特性。
05
现代控制理论进阶知 识
系统的数学模型 ，包括微分方程、差分方程和状态方程等
。
A 非线性现象
介绍系统中的非线性现象，如死区 、饱和、滞后等，并分析其对系统
性能的影响。
B
C
D
非线性系统设计
探讨非线性控制系统的设计方法，如反馈 线性化、滑模变结构控制、反步法等。
稳定性分析
利用状态空间方程的特征值分析系统的稳定性，通过判断 特征值的分布来确定系统的稳定性。
数字仿真软件 介绍常用的数字仿真软件，如 MATLAB/Simulink等，并解释其 基本原理和使用方法。
数字仿真实验设计 详细说明数字仿真实验的设计方 法，包括如何建立系统模型、如 何设计控制器、如何设置仿真参 数等。
该方法能够全面地反映系统的性能，具有较强的适用性和实用 性。同时，该方法可通过实验手段进行验证，可靠性高。
设计过程相对较为复杂，需要一定的专业知识和经验。
适用于高阶系统和多变量系统的控制器设计，广泛应用于工程 实践中。
最优控制设计法
定义
最优控制设计法是一种基于最优化理论进行控制器设计的 方法。
缺点
现代控制理论阶段
自20世纪60年代开始，状态空间 法成为主导，适用于多输入多输 出、非线性、时变系统的分析与 设计。
现代控制理论的特点
状态空间描述
现代控制理论基于状态空间描述 ，通过状态变量全面反映系统内 部状态，提供更深入的系统分析
。
时域分析法
相比古典控制理论的频域分析法， 现代控制理论采用时域分析法，能 够直接反映系统的时间响应特性。
05
现代控制理论进阶知 识
系统的数学模型 ，包括微分方程、差分方程和状态方程等
。
A 非线性现象
介绍系统中的非线性现象，如死区 、饱和、滞后等，并分析其对系统
性能的影响。
B
C
D
非线性系统设计
探讨非线性控制系统的设计方法，如反馈 线性化、滑模变结构控制、反步法等。
稳定性分析
利用状态空间方程的特征值分析系统的稳定性，通过判断 特征值的分布来确定系统的稳定性。
现代控制理论ppt
求解方法
通过利用拉格朗日乘子法或Riccati方程，求 解线性二次调节器问题，得到最优控制输入
。
动态规划与最优控制策略
动态规划的基本思想
将一个多阶段决策问题转化为一系列单 阶段问题，通过求解单阶段问题得到多 阶段的最优解。
பைடு நூலகம்
VS
最优控制策略的确定
根据动态规划的递推关系，逐步求解每个 阶段的优化问题，最终得到最优控制策略 。
总结词
稳定性分析是研究非线性系统的重要方法，主要关注系统在受到扰动后能否恢 复到原始状态或稳定状态。
详细描述
稳定性分析通过分析系统的动态行为，判断系统是否具有抵抗外部干扰的能力。 对于非线性系统，稳定性分析需要考虑系统的初始状态、输入信号以及系统的 非线性特性等因素。
非线性系统的控制设计方法
总结词
要点二
详细描述
线性系统是指在输入和输出之间满足线性关系的系统，即 系统的输出量可以用输入量的线性组合来表示。线性系统 的性质包括叠加性、均匀性和时不变性等。叠加性是指多 个输入信号的响应等于各自输入信号响应的总和；均匀性 是指系统对不同频率信号的响应是一样的；时不变性是指 系统对时间的变化不敏感，即系统在不同时刻的响应是一 样的。
量随时间的变化规律，输出方程描述了输出量与状态变量之间的关系。
线性系统的稳定性分析
• 总结词：稳定性是控制系统的重要性能指标之一，线性系统的稳定性分 析是现代控制理论的重要研究内容。
• 详细描述：稳定性是控制系统的重要性能指标之一，如果一个系统受到 扰动后能够自我恢复到原来的状态，那么这个系统就是稳定的。线性系 统的稳定性分析是现代控制理论的重要研究内容，常用的方法有劳斯赫尔维茨稳定判据和奈奎斯特稳定判据等。劳斯-赫尔维茨稳定判据是 一种基于系统极点的判据，通过判断系统的极点是否都在复平面的左半 部分来判断系统的稳定性；奈奎斯特稳定判据是一种基于频率域的判据， 通过判断系统的频率响应是否在复平面的右半部分来判断系统的稳定性。
现代控制理论课件
图中，I为(n n )单位矩阵，s是拉普拉斯算子，z为单位延时算子。
9
❖ 讨论： 1、状态变量的独立性。
2、由于状态变量的选取不是唯一的，因此状态方程、输出方程、 动态方程也都不是唯一的。但是，用独立变量所描述的系统的维数应该是 唯一的，与状态变量的选取方法无关。
3、动态方程对于系统的描述是充分的和完整的，即系统中的任 何一个变量均可用状态方程和输出方程来描述。 例1－1 试确定图8-5中（a）、（b）所示电路的独立状态变量。图中u、i分别是是输入
y2
up
yq
被控过程
5
典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和控制器组成。
被控过程具有若干输入端和输出端。
数学描述方法： 输入－输出描述（外部描述）:高阶微分方程、传递函数矩阵。
种完整的描述。
状态空间描述（内部描述）：基于系统内部结构，是对系统的一
6
1.2 状态空间描述常用的基本概念
1) 输入：外部对系统的作用（激励）； 控制：人为施加的激励；
3) 状态空间：以状态向量的各个分量作为坐标轴所组成的n维空间称为状态空间。 4) 状态轨线：系统在某个时刻的状态，在状态空间可以看作是一个点。随着时间的
推移，系统状态不断变化，并在状态空间中描述出一条轨迹，这种轨迹称为状态 轨线或状态轨迹。
5) 状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶向量微分或差分方程称
b2
p
bnp
c11 c12 c1n
C
c21
c22
c2n
cq1 cq2
cqn
d11 d12 L
D
d21
d22
L
d2
p
M
dqp
现代控制理论第16讲
0 0 −1 Ac = P AP = M 0 − a0 1 0 M 0 −a1 0 1 M 0 −a2 L L L L 1 − an −1 0 0 M
P = QW
第4步：写出加入状态反馈矩阵后的特征多项式 步
K = KP = [k 0
f ( λ ) = λ n + ( a n −1
式中 a i 为如下特征多项式的系数
sI − A = s n + an−1s n−1 + L + a1s + a0
作状态空间变换
0 0 −1 Ac = P AP = M 0 − a0
& x = Ax + bu
1 0 M 0 −a1 0 1 M 0 −a2
x = Px
L L L L 0 0 M
det [λ I − ( A + BK ) ] = f * ( λ ) = Π ( λ − λ i )
i =1 * * * = λ n + a n −1 λ n −1 + L + a1 λ + a 0
n
其中
f * (λ ) * * λ1* , λ2 ,L, λn
为期望的特征多项式 为一组期望的特征值。 为一组期望的特征值。
3 − k 2 = 4 2 − k1 = 6 −k = 4 0
f * ( λ ) 与 f ( λ ) 确定状态反馈矩阵 K 第6步：比较 步
K = [a0 −
* a0
a1 −
* a1
L
a n −1 −
−1
* a n −1 ]
第7步：此时的状态反馈增益矩阵 为 步 此时的状态反馈增益矩阵K为
P = QW
第4步：写出加入状态反馈矩阵后的特征多项式 步
K = KP = [k 0
f ( λ ) = λ n + ( a n −1
式中 a i 为如下特征多项式的系数
sI − A = s n + an−1s n−1 + L + a1s + a0
作状态空间变换
0 0 −1 Ac = P AP = M 0 − a0
& x = Ax + bu
1 0 M 0 −a1 0 1 M 0 −a2
x = Px
L L L L 0 0 M
det [λ I − ( A + BK ) ] = f * ( λ ) = Π ( λ − λ i )
i =1 * * * = λ n + a n −1 λ n −1 + L + a1 λ + a 0
n
其中
f * (λ ) * * λ1* , λ2 ,L, λn
为期望的特征多项式 为一组期望的特征值。 为一组期望的特征值。
3 − k 2 = 4 2 − k1 = 6 −k = 4 0
f * ( λ ) 与 f ( λ ) 确定状态反馈矩阵 K 第6步：比较 步
K = [a0 −
* a0
a1 −
* a1
L
a n −1 −
−1
* a n −1 ]
第7步：此时的状态反馈增益矩阵 为 步 此时的状态反馈增益矩阵K为
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第3步：将系统状态方程变换为能控标准形。
P QW
0
1
0
0
0
1
Ac
P 1 AP
0
0
0
a0 a1 a2
0
0
1
an 1
第4步：写出加入状态反馈矩阵后的特征多项式
K KP [k0 k1 kn1] f () n (an1 kn1)n1 (a1 k1) (a0 k0 )
sI
A11
0
A12
A22
B11 0
[
k1
k2
]
sI q A11 B11 k1 0
A12 B11k2 sI nq A22
sI q A11 B11k1 sI nq A22 0
注意：A22的特征值不依赖于K。 因此，如果一个系统不是状态完全能控的，则矩阵的特征值就 不能任意配置。所以，为了任意配置矩阵A-BK的特征值，此 时系统必须是状态完全能控的。
1
an 1
0
0
bc
P 1b
0
1
cc cP b0 b1 bn1
被控系统的传递函数:
Wo (s) cc sI Ac 1bc
bn1sn1 bn2sn2 b1s b0 sn an1sn1 a1s a0
充分性。即已知被控系统状态完全能控，则矩阵A的所有特征值 可任意配置。
若0
( A,
B, C )完全能控，通过状态反馈必成立
n
detI ( A BK ) f *() ( i )
i 1
n an*1n1 a1* a0*
其中
f * () 为期望的特征多项式
的线性反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是 o (A , b , c)
完全能观。
证统明( A：T 根, cT据,b对T 偶) ，原必理定，能如控果。因o (而A可, b以, c采) 用能状观态则反其馈对任偶意系配
置( AT cT GT ) 的特征值。
而 ( AT cT GT ) 的特征值与( AT cT GT )T 的特征值等价
工程实践中如存在问题，则可另选状态变量
W (s) 1 1 1 10 s s 1 s 2
状态方程空间表达式
0 1 0 0
x 0 1
1
x
0u
0 0 2 1
y 10 0 0x
引入状态反馈矩阵： K k0 k1 k2
闭环系统特征多项式为 ：
f () detI ( A bK) 3 (3 k2 )2 (2 k1 k2 ) k0
f () f *()
3 k2 4 2 k1 k2 6 k0 4
kk12
1 3
（3）综合系统性能指标的一种形式，往往是给定一组期望的 极点，或者根据时域指标转换成一组等价的期望极点。
（4）极点配置问题，就是通过选择增益矩阵，将闭环系统的 极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动 态性能。
2、极点配置方法
经典控制理论中所介绍的根轨迹法就是一种极点配置法，不 过它只是通过改变一个参数使闭环系统的极点沿着某一组特 定的要轨迹曲线配置而已。
式中 a i 为如下特征多项式的系数
sI A sn an1sn1 a1s a0
作状态空间变换
x Px
x Ax bu
x Ac x bcu
0
1
0
0
0
1
Ac
P 1 AP
0
0
0
a0 a1 a2
0
0
Aˆ
P
1
AP
A11 0
A12 A22
,
现定义
Kˆ KP [ k1 k2 ]
B11
Bˆ
P 1B
0
sI A BK P 1 (sI A BK)P
sI P 1 AP P 1BKP
| sI Aˆ BˆKˆ |
( AT cT GT )T A Gc
说明： 对 ( AT cT GT ) 任意配置极点等价于对 (A Gc) 任意配置极点。
于设是计( A对状T 态, cT反,b馈T 的)o (问A 题,设b。,计c)输出反馈的问题变成了对其对偶系统
设计的主要步骤 （1）判定系统的能观性 （2）取线性变换将系统化为能观标准Ⅱ型
k0)
加入状态反馈的闭环系统的特征方程，要与期望特征方程相等
f () f *()
由同次幂系数相等可得:
ai ki ai* ki ai ai* (i 0,1,2,, n 1)
K [a0 a0* a1 a1* an1 an*1]
K KP1 [k0 k1 kn1]P1
x 0 0
1
x
0u
0 2 3 1
y 10 0 0x
引入状态反馈矩阵： K k0 k1 k2
0
A
bK
0
k0
1 0 2 k1
0
1
3 k2
闭环系统特征多项式为 ：
f () 3 (3 k2 )2 (2 k1) k0
K KP1 [k0 k1 kn1]P1
【例5－2】 设受控系统的传递函数为：
W (s)
10，使闭环系统的极点为 2 , 1 j1
= 解：因所给系统的传递函数无对消因子，故系统能控，是能控 标准形的状态方程空间表达式为：
0 1 0 0
说明：
（1）不要求极点任意配置时，那么所选的动态补偿器 的阶数可适当降阶，简化系统设计；
（2）闭环系统的零极点，串联时，是受控系统零点 和动态补偿器零点的总和；反馈连接时是受控系统零点和 动态补偿器极点的总和。
四、采用从输出到 x 反馈
x 定理 对单输入－单输出系统 o (A , b , c) 采用从输出到
这里只给出单输入单输出（SISO）系统时的证明。但我们 要着重指出的是，这一定理对多变量系统也是完全成立的。
状态反馈极点配置的方法和步骤
第1步：考察系统的能控性条件。如果系统是状态完全能控的， 则可按下列步骤继续。
第2步：求出系统矩阵A的特征多项式
sI A sn an1sn1 a1s a0 确定 a0 , a1,, an1
2、对SISO系统，只要系统能控必能通过状态反馈实现极点的任 意配置，而且不影响系统原来的零点分布，如果故意制造零极 点对消，那么，闭环系统是不完全能观的。
3、上述理论同样适用于MIMO系统，但具体设计要复杂得多， 主要体现在以下三个方面：
（1）期望极点的确定； （3）K的解非唯一；
（2）化为能控标准型； （4）可能改变了零点分布。
相应的特征特征多项式为
f () I ( Ac Bc K )
n (an1 kn1)n1 (a1 k1) (a0 k0 )
闭环传递函数为
Wk (s) cc[sI ( Ac bc K )]1bc
sn
bn1sn1 bn2sn2 b1s b0 (an1 kn1)sn1 (a1 k1)s (a0
设加入状态反馈 K KP [k0 k1 kn1]
闭环系统的状态空间表达式为：
x ( Ac bc K )x bcu y Cc x
0
0
0
0
0
0
0
0
Ac
Bc K
0
0
0
1
(a0 k0 ) (a1 k1) (a2 k2 ) (an1 kn1)
的反馈方法，使闭环系统的极点配置到任意的期望位置。
只讨论单输入单输出（SISO）系统。
二、采用状态反馈
定理 采用状态反馈对系统 0 ( A, B,C) 任意配置极点的 充要条件是系统 0 完全能控。
证明：必要性，即已知闭环系统可任意配置极点，则被控系统状 态完全能控。
反证法证明： 命题：如果系统不是状态完全能控的，则矩阵A-BK所有的特征 值不可能由线性状态反馈来控制。 假设系统状态不能控，则其能控性矩阵的秩小于n，即
闭环系统的特征方程
1 hWo (s) 0 h 0
可得到一组根轨迹，无论如何选择h，均不可能使根轨迹 落在那些不属于根轨迹的期望极点上
定理 对完全能控的单输入－单输出系统 0 ( A, B,C) ，通过 带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件是：
（1）0 ( A, B, C)完全能观。 （2）动态补偿器的阶数为n-1
1*,2*, ,n* 为一组期望的特征值。
将状态方程变换为能控标准形。定义非奇异线性变换矩阵P为
P QW
Q [ An1b Ab b ]
1 0 0 0
an1 1 0 0
W
a2
a3 a4 0
a1 a2 a3 1
k0 1
阶数较高时化成能控标准型！！
阶数较低时直接计算 f ()
P QW
0
1
0
0
0
1
Ac
P 1 AP
0
0
0
a0 a1 a2
0
0
1
an 1
第4步：写出加入状态反馈矩阵后的特征多项式
K KP [k0 k1 kn1] f () n (an1 kn1)n1 (a1 k1) (a0 k0 )
sI
A11
0
A12
A22
B11 0
[
k1
k2
]
sI q A11 B11 k1 0
A12 B11k2 sI nq A22
sI q A11 B11k1 sI nq A22 0
注意：A22的特征值不依赖于K。 因此，如果一个系统不是状态完全能控的，则矩阵的特征值就 不能任意配置。所以，为了任意配置矩阵A-BK的特征值，此 时系统必须是状态完全能控的。
1
an 1
0
0
bc
P 1b
0
1
cc cP b0 b1 bn1
被控系统的传递函数:
Wo (s) cc sI Ac 1bc
bn1sn1 bn2sn2 b1s b0 sn an1sn1 a1s a0
充分性。即已知被控系统状态完全能控，则矩阵A的所有特征值 可任意配置。
若0
( A,
B, C )完全能控，通过状态反馈必成立
n
detI ( A BK ) f *() ( i )
i 1
n an*1n1 a1* a0*
其中
f * () 为期望的特征多项式
的线性反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是 o (A , b , c)
完全能观。
证统明( A：T 根, cT据,b对T 偶) ，原必理定，能如控果。因o (而A可, b以, c采) 用能状观态则反其馈对任偶意系配
置( AT cT GT ) 的特征值。
而 ( AT cT GT ) 的特征值与( AT cT GT )T 的特征值等价
工程实践中如存在问题，则可另选状态变量
W (s) 1 1 1 10 s s 1 s 2
状态方程空间表达式
0 1 0 0
x 0 1
1
x
0u
0 0 2 1
y 10 0 0x
引入状态反馈矩阵： K k0 k1 k2
闭环系统特征多项式为 ：
f () detI ( A bK) 3 (3 k2 )2 (2 k1 k2 ) k0
f () f *()
3 k2 4 2 k1 k2 6 k0 4
kk12
1 3
（3）综合系统性能指标的一种形式，往往是给定一组期望的 极点，或者根据时域指标转换成一组等价的期望极点。
（4）极点配置问题，就是通过选择增益矩阵，将闭环系统的 极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动 态性能。
2、极点配置方法
经典控制理论中所介绍的根轨迹法就是一种极点配置法，不 过它只是通过改变一个参数使闭环系统的极点沿着某一组特 定的要轨迹曲线配置而已。
式中 a i 为如下特征多项式的系数
sI A sn an1sn1 a1s a0
作状态空间变换
x Px
x Ax bu
x Ac x bcu
0
1
0
0
0
1
Ac
P 1 AP
0
0
0
a0 a1 a2
0
0
Aˆ
P
1
AP
A11 0
A12 A22
,
现定义
Kˆ KP [ k1 k2 ]
B11
Bˆ
P 1B
0
sI A BK P 1 (sI A BK)P
sI P 1 AP P 1BKP
| sI Aˆ BˆKˆ |
( AT cT GT )T A Gc
说明： 对 ( AT cT GT ) 任意配置极点等价于对 (A Gc) 任意配置极点。
于设是计( A对状T 态, cT反,b馈T 的)o (问A 题,设b。,计c)输出反馈的问题变成了对其对偶系统
设计的主要步骤 （1）判定系统的能观性 （2）取线性变换将系统化为能观标准Ⅱ型
k0)
加入状态反馈的闭环系统的特征方程，要与期望特征方程相等
f () f *()
由同次幂系数相等可得:
ai ki ai* ki ai ai* (i 0,1,2,, n 1)
K [a0 a0* a1 a1* an1 an*1]
K KP1 [k0 k1 kn1]P1
x 0 0
1
x
0u
0 2 3 1
y 10 0 0x
引入状态反馈矩阵： K k0 k1 k2
0
A
bK
0
k0
1 0 2 k1
0
1
3 k2
闭环系统特征多项式为 ：
f () 3 (3 k2 )2 (2 k1) k0
K KP1 [k0 k1 kn1]P1
【例5－2】 设受控系统的传递函数为：
W (s)
10，使闭环系统的极点为 2 , 1 j1
= 解：因所给系统的传递函数无对消因子，故系统能控，是能控 标准形的状态方程空间表达式为：
0 1 0 0
说明：
（1）不要求极点任意配置时，那么所选的动态补偿器 的阶数可适当降阶，简化系统设计；
（2）闭环系统的零极点，串联时，是受控系统零点 和动态补偿器零点的总和；反馈连接时是受控系统零点和 动态补偿器极点的总和。
四、采用从输出到 x 反馈
x 定理 对单输入－单输出系统 o (A , b , c) 采用从输出到
这里只给出单输入单输出（SISO）系统时的证明。但我们 要着重指出的是，这一定理对多变量系统也是完全成立的。
状态反馈极点配置的方法和步骤
第1步：考察系统的能控性条件。如果系统是状态完全能控的， 则可按下列步骤继续。
第2步：求出系统矩阵A的特征多项式
sI A sn an1sn1 a1s a0 确定 a0 , a1,, an1
2、对SISO系统，只要系统能控必能通过状态反馈实现极点的任 意配置，而且不影响系统原来的零点分布，如果故意制造零极 点对消，那么，闭环系统是不完全能观的。
3、上述理论同样适用于MIMO系统，但具体设计要复杂得多， 主要体现在以下三个方面：
（1）期望极点的确定； （3）K的解非唯一；
（2）化为能控标准型； （4）可能改变了零点分布。
相应的特征特征多项式为
f () I ( Ac Bc K )
n (an1 kn1)n1 (a1 k1) (a0 k0 )
闭环传递函数为
Wk (s) cc[sI ( Ac bc K )]1bc
sn
bn1sn1 bn2sn2 b1s b0 (an1 kn1)sn1 (a1 k1)s (a0
设加入状态反馈 K KP [k0 k1 kn1]
闭环系统的状态空间表达式为：
x ( Ac bc K )x bcu y Cc x
0
0
0
0
0
0
0
0
Ac
Bc K
0
0
0
1
(a0 k0 ) (a1 k1) (a2 k2 ) (an1 kn1)
的反馈方法，使闭环系统的极点配置到任意的期望位置。
只讨论单输入单输出（SISO）系统。
二、采用状态反馈
定理 采用状态反馈对系统 0 ( A, B,C) 任意配置极点的 充要条件是系统 0 完全能控。
证明：必要性，即已知闭环系统可任意配置极点，则被控系统状 态完全能控。
反证法证明： 命题：如果系统不是状态完全能控的，则矩阵A-BK所有的特征 值不可能由线性状态反馈来控制。 假设系统状态不能控，则其能控性矩阵的秩小于n，即
闭环系统的特征方程
1 hWo (s) 0 h 0
可得到一组根轨迹，无论如何选择h，均不可能使根轨迹 落在那些不属于根轨迹的期望极点上
定理 对完全能控的单输入－单输出系统 0 ( A, B,C) ，通过 带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件是：
（1）0 ( A, B, C)完全能观。 （2）动态补偿器的阶数为n-1
1*,2*, ,n* 为一组期望的特征值。
将状态方程变换为能控标准形。定义非奇异线性变换矩阵P为
P QW
Q [ An1b Ab b ]
1 0 0 0
an1 1 0 0
W
a2
a3 a4 0
a1 a2 a3 1
k0 1
阶数较高时化成能控标准型！！
阶数较低时直接计算 f ()