北航工科数学分析杨小远-第2节收敛数列的性质

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北京航空航天大学-工科数学分析2014-2015(2)期中

北京航空航天大学2014－2015 学年第二学期期中《工科数学分析（2）》班号学号姓名成绩2015年5月16日一、选择题（每题4分，满20分）1. 设)}({x f n 是定义在点集D 上的函数列，与“函数项级数)(1x f n n ∑∞=在点集D上一致收敛”等价的论断是下述的（）A ．,0>∀ε ∃正整数,N 当,N n m ≥> 对于一切D x ∈都有.|)()(|ε<-x f x f n mB ． ,0>∀ε ∃正整数,N 当,N n m ≥> 对于一切D x ∈都有1|()|.=+<∑mk k n f x εC ．函数列)}({x f n 在点集D 上一致收敛于.0D ．对于每一个,D x ∈ ,0>∀ε ∃正整数,N 当,N n m ≥> 1|()|.mk k n f x ε=+<∑2. 幂级数03(2)(1)n nn n x n ∞=+--∑的收敛域为（） A.24(,)33 ； B. 24[,)33； C. (3,3)-； D. (2,4)- ． 3. 函数x ye--的二阶Maclaurin 公式为（）A. 2()1()()2x y x y o x y +-++++； B. 1()()x y o x y -+++； C. 222()1()()2x y x y o x y +-++++； D. 222()1()()2x y x y o x y ++++++．4.函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（）A. 必要而非充分条件；B. 充分而非必要条件；C. 充分必要条件；D. 既非充分又非必要条件． 5. 已知二元函数242(,)x yf x y x y =+，下面命题正确的是（）①0000lim lim(,)lim lim (,)0x y y x f x y f x y →→→→==； ②0000lim lim(,),lim lim (,)x y y x f x y f x y →→→→不存在；③ 0lim (,)0x y f x y →→=；④0lim(,)x y f x y →→不存在.A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④二、（每题6分，满分30分）1. 设(),z F x z y =+，求方程所确定的隐函数的偏导数.x xy z z ，2. 求函数u xyz =在点(1,1,1)M ，沿方向 (2,1,3)=-rl 的方向导数与梯度。

毕设论文-数学分析中的问题与反例

Key words: Mathematical Analysis, Counterexample, Fuction
北京航空航天大学毕业设计 (论文 )
第页
目录
1 绪论…………………………………………………………………………………1
1.1 课题背景及目的……………………………………………………………….1
摘要
学生：李蕾指导老师：孙玉泉
数学分析是一门很重要的基础课程，对学生数学思想的形成，后继课程的学习都有着重要的意义。而在数学分析中存在很多定理命题，运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而更容易加深对知识的理解。反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可替代的独特作用。恰当地运用反例，对于正确理解概念、巩固和掌握定理、公式、法则等，培养学生的逻辑思维能力，预防和纠正错误，将起着十分重要的作用。本文针对这个问题，深入细致研究了数学分析中的很多问题的反例。系统的对数学分析中的反例进行总结研究，共分为数列、函数、微积分、级数、多元函数五个部分，各部分之间并非完全独立。针对多数定理及命题，用逆向思维方法从问题的反面出发，如果有问题，举出反例证实。本文所选的问题和反例比较典型，难度适中，解法精巧，富有启发性。本文对理解数学分析的基本概念，掌握数学分析的基本理论和技巧很有好处。
1.3 课题研究方法
数学分析中有许多重要的典型反例,这些反例是数学分析理论不可缺少的重要组成部分。对于数学分析中的一些重要问题寻找反例，加深对概念等的理解，以及学习构造反例的方法。
32515151数项级数数项级数数项级数525252函数列与函数列级数及其一致收敛性函数列与函数列级数及其一致收敛性函数列与函数列级数及其一致收敛性多元函数多元函数多元函数616161多元函数的极限与连续及其微分学多元函数的极限与连续及其微分学多元函数的极限与连续及其微分学626262重积分与参变量积分重积分与参变量积分重积分与参变量积分结论结论结论

收敛数列的性质和函数极限的性质共28页PPT

42、只有在人群中间，才能认识自己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育；而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
收敛数列的性质和函数极限的性质
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之Байду номын сангаас，不见其增，日有所长。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结，箪瓢屡空，晏如也。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

收敛数列的性质和函数极限的性质

x x0
2. 局部有界性
定理 2.2 若在 x 的某个极限过程中, f ( x)有
极限,则存在这个过程的一个时刻, 在此时刻以
后 f ( x)有界.
2021/4/21
21
如：(1) 若 lim f ( x) A, A R
x x0
则 U ( x0, ),
f ( x)在U ( x0 , )上有界.
x x0
x x0
(2) 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,且A B
x x0
x x0
则 0,x U ( x0, ), 有 f ( x) g( x).
2021/4/21
24
问题: 若 f (x) < g(x), 能否推出
lim f ( x) lim g( x) ？
x x0
a (2) 用反证法证明.
注
由
xn
0
(n
N0 )，且
lim
n
xn
a
如：
xn
1 n
0,
但
lim
n
xn
lim
n
1 n
0.
a 0.
2021/4/21
12
推论2.3 (保序性)
(1) 若 N N ，使当n > N 时，恒有
xn yn
且 lim xn a , lim yn b，则 a b.
n
n
(2) 若
ab 2
矛盾！故假设不真 !
2021/4/21
5
例1 证明数列 xn (1)n1(n 1,2,) 是发散的.
证用反证法.
假设数列{ xn } 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
对于

§2.2收敛数列的性质

n n 1. 由两边夹定理， lim n
n hn 1
证毕
an 例5. 证明: lim 0 ，其中 a 0 . n n ! 证明：当 n [ a ] 1 时，有
k a a a a a a a a a a 0 n! 1 2 [a] ([a] 1) ([a] 2) (n 1) n [a]! n
当 n N1 时，有：
an a
(1) (2)
当 n N 2 时，有： bn b
取 N max N1 , N 2 0, 则当 n N 时, 有
(1)(2)式同时成立. 进而
an a bb 2 ① an bn a b b nbn
M max x1 , x2 , , x N , a 1 , a 1
xn M ( n 1 , 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 数列 (1 ) n1 虽有界但不收敛 .

此定理的逆否命题？
3. 收敛数列的保号性. 定理3 若且时, 有直观:
(2) lim yn lim z n a
n n

n
lim xn a

定理特殊情况
直观:
yn a 或 zn a
a

(1) yn xn zn ( n N 0 )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
想证
寻找N 是关键
0 , N , 当 n N 时, 有 xn a ,
证明直观:

北航工科数学分析杨小远-第2节收敛数列的性质

a n b n c n , n 1 , 2 , 3 , , 且 l n a i n m l n c i n , 则 m
证明
ln i a m nln i b m nln i c m n .
设 ln i a m nln i c m na ,则
由于
lim
n
bn

b,对来自0,N2 ,s.t
当
nN 2时 ,有 | bnb|b 22.
因此当n max{N1, N2 }时, 便有
| b 1 n1 b|b 2 2|bnb|.
即证得, lim 1 1 .
b n n
b
再由(2)易见结论成. 立
应用举例
例1: 求ln i m 25n n22 34n n 14.
2o 设 ln i m ana,ln i m bnb,且 ab,则 N 当 nN时 ,有anbn;
3 o设 ln i a m na ,ln i b m nb ,若 N 当 n ,N 时 , 有 a nb n,则 a 有 b .
收敛数列性质
证明 ( 1 ) 取 a 2, N 1 ,当 n N 1 ,|a n a |
解 li(1 m q q 2 .. .q n 1) n lim 1 qn n 1 q lim1 limqn n1q n1q
1 1 lim qn 1 . 1q 1qn 1 q
夹逼定理
三、夹逼定理
定理2.5：若数 {an}列 {,bn}{,cn}满足：
当nN时 , 恒有
§1.2收敛数列的性质
收敛数列性质
一、收敛数列的基本性质
定理2.1 (唯一性)若数列收敛, 则其极限唯一.

北京航空航天大学《工科数学分析》考试试题及参考答案(2012-2013第一学期)

3. 证明下面问题（10 分）设数列 xn 满足 xn1 xn 4. 证明下面不等式 (10 分)
e x sin x 1
x2 , x 0, p . 2
5. （ 10 分）设函数 f x 和 g x 在 a, b 存在二阶导数，并且 g '' x 0 , 且
二、第一次考试题目及答案
1. 计算下面各题（满分 40 分，每个题目 5 分） 1) 2) 计算极限 lim
x 0
1 x sin x 1 e x 1
2
.
求下面无穷小的阶
1 tan x 1 sin x x 0 .
3)
设 f sin x 设
cos x
0 x p
8)
1 x m sin , x 0, 已知 f x m 为正整数. x 0, x 0.
求:
m 满足什么条件，函数在 x 0 连续，
------------------------------------------------------------------------------基金项目：《北京市精品课程建设》项目和校重点教改项目《工科数学分析开放式教学研究与实践》资助. 作者简介：杨小远(1964-)，女，籍贯：江苏，博士，北京航空航天大学数学与系统科学学院教授.主要研究方向计算数学、应用调和分析和图像处理,电子邮箱：xiaoyuanyang@.
n P2
........
1 1 1 1 n P2 ........ 1 n P1 2 2 2 2
1 p 1 1 1 2 n 1 2n1 . 2 2

工科数学分析教程.上册(杨小远[等]编著)PPT模板

第6章函数的 Riemann积分与Lebesgue积分初步
0 1
6.1定积分的基本概念
0 2
6.2可积的条件
0 3
6.3微积分的基本定理
0 4
6.4定积分的计算：分部积分与换元公式
0 5
6.5积分中值定理
0 6
6.6关于定积分的进一步讨论： Lebesgue定理
第6章函数的Riemann积分与Lebesgue积分初步
10.3函数项级数的一致收敛性
10.5幂级数
10.2函数序列的一致收敛性
10.4函数项级数和函数的性质
10.6幂级数的应用
第10章函数序列与函数项级数
探索类问题
13
参考文献
参考文献
感谢聆听
A
9.1数项级数的收
敛性
D
9.4一般级数的收
敛问题
第9章数项级数
B
9.2正项级数的比较判别法
E
9.5绝对收敛和条
件收敛
C
9.3正项级数的其他判别法
F
9.6级数的乘法
第9章数项级数
*9.0章函数序列与函数项级数
第10章函数序列与函数项级数
10.1函数序列和函数项级数的几个基本概念
05
2.5连续函数
03
2.3函数的基本概念和
性质
06
2.6函数极限的其他形
式
第2章函数极限与连续
2.7收敛速度问题：无穷小与无穷大的阶的比较
2.8函数的一致连续性
2.9有限闭区间上连续函数的性质
*2.10关于函数极限和连续的进一步讨论
探索类问题
05

02第二讲收敛级数的性质1

数学分析第十二章数项级数收敛级数的性质(I)第二讲数学分析第十二章数项级数定理12.1（级数收敛的柯西准则）12.(6)m m m p u u u ε++++++< 级数(1) 收敛的充要条件是:N 正整数，m N p >使得当以及对任意的正整数都有任何正整数N ,总存在正整数m 0 >N 和p 0，写出级数(1)发散的充要条件是:0,ε存在某正数对根据定理12.1以及数列发散的充要条件，可以立刻12(1)n u u u ++++ 0000120.(7)m m m p u u u ε++++++≥ ,ε任给正数总存在使得数学分析第十二章数项级数推论（级数收敛的必要条件）由定理12.1立即可得如下推论.若级数(1)收敛,则→∞=lim 0.n n u 注推论是级数收敛的一个必要条件:一般项不趋于零,级数一定发散.收敛.但一般项趋于零, 则级数未必因此推论用来判断级数发散很有效.1(1)1(1),+-++-+因为一般项u n = ( )n -1不趋于零，所以发散.1-如级数数学分析第十二章数项级数例3 讨论调和级数111123n +++++的敛散性.解这里一般项,10n u n =→因此不能利用推论判断它是发散级数. 下面利用柯西准则证明它是发散的.为此令p = m ,则有122111122m m mu u u m m m +++++=+++++ 111222m m m ≥+++1,2==01,2ε故取对任何正整数N 只要取m > N 和p = m就有上式成立，因此调和级数发散.11n n∞=∑数学分析第十二章数项级数例4判断级数111nn nn n n n∞+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性.解因为所以由级数收敛的必要条件知原级数发散.1111lim lim nnn n n n nn n n n n n n n →∞→∞+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=212111lim n nn nn n →∞⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=1=0.≠数学分析第十二章数项级数例5 用级数收敛的柯西准则证明级数∑21n收敛.证由于12m m m p u u u ++++++ 222111(1)(2)()m m m p =++++++ 111(1)(1)(2)(1)()m m m m m p m p <+++++++-+ 1111111121m m m m m p m p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++++-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11m m p =-+1.m<当m>N 及任意正整数p ,由上式可得121,m m m p u u u mε++++++<< 0,ε∀>故对1,N ε=⎡⎤⎣⎦可取数学分析第十二章数项级数定理12.2∑21n依级数收敛的柯西准则,知级数收敛.∑∑,n n u v 若级数与都收敛则对任意常数c ,d ，+∑()n n cu dv 级数亦收敛，且().nn n n cudv c u d v +=+∑∑∑定理12.3去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性.数学分析第十二章数项级数注去掉、增加或改变级数的有限项虽不改变该级数的敛散性，由定理12.3知,∞=∑1,n n u 若级数收敛其和为S ,++++12(8)n n u u 第n 个余项(简称余项),时所产生的误差.则级数也收敛，.n n S S R -=且其和(8)n u ∑式称为级数的它表示以部分和S n 代替S 但在收敛时，其和一般还是要变的.。

1.3.2收敛数列的性质

n
使得，对任意n Z+ , yn M 成立.
推论：无界数列必发散。
例如,数列n2 ,2n 1 等，是无界数列，
因此，当n 时，数列发散
性质3、(存在性) 单调有界数列必有极限。
1 例如：数列 1 是单调递增数列， n 1 对任意n Z ,1 1成立， n 1 所以，当n 时，数列 1 的极限存在。 n
n
1 n+1 n
0.
n
n
n
例题：讨论下列数列的极限情况。
（2）、yn n+1 n
解：因为
1，所以
n n
yn n 1 n
1
n 1 n
当 n 时，分母
1 n 1 n 0
n 1
，由观察可知， n ，分子为常数
，即
lim yn lim( n+1 n )= lim
1.3.2 收敛数列的性质
性质1、(唯一性) 若数列 yn 收敛，则其极限值唯一。
即：甲同学lim yn =A，乙同学lim yn =B,
n n
ห้องสมุดไป่ตู้
若lim yn 存在，则A=B。
n
反之，若A B， lim yn不存在。
n
性质2、(有界性) 收敛数列必有界。
即：若lim yn =A, 则，必存在正数M,

例题：讨论下列数列的极限情况。
（1）、yn (1)
n 1
1 n
n
n
解：当 n 为奇数时， y 为一正数，当 n 为
偶数时，y 为一负数．当 n 越来越大时，y 越来越小，当 n 时，y 与常数 0 无限接近，所以数列 y 的极限是 0，即 n 1 1 lim yn lim(1) =0. n n n

第二节收敛性

l n i m F n (A ) F (A ) ,l n i m F n ( B ) F ( B ) ,
l n i m F n ( ) F ( ) ,l n i m F n ( ) F ( ) ,
因而 J 1 ,J 3 可以任意小 ,再结合定理 5 .2 .2 ,只要 n 充分大 , 也可以使得 J 2 任意小 ,由此可以得到定理成立 .
| f( x k ) [ F ( x k 1 ) F n ( x k 1 ) ] f( x k ) [ F (x k ) F n (x k ) ]
k 0
k 0

N(M

M
)2
M N M N
综上所述
b
b
|
a
f(x)dF(x) a
f(x)dFn(x)|
而
b
b
|af(x )d F (x )af(x )d F n (x )|
N 1
N 1
| f(x k ) [ F (x k 1 ) F (x k ) ]f(x k ) [ F n (x k 1 ) F n (x k ) ]
k 0
k 0
N 1
N 1
lni m Fn,n(r2)G(r2)
一般地 ,对任何固定的 k,皆有 lni m Fn,n(rk)G(rk).
因此对一切有理数 r lni m Fn,n(r)G(r)
这里的 G (r)是定义在有理数上的函数 ,它也是有界和非降的 .
引理 5.2.1 设 {Fn(x)}是实数变量 x的非降函数列， D 是 R1上的稠密集 .若对于 D 中所有点，序列 {Fn(x)} 收敛于 F(x)，则对 F(x)的一切连续点 x有

第二节收敛数列的性质

n n2 1 n2 2
n2 n
6、极限运算法则
设
lim
n
an
A,
lim
n
bn
B,则
(1) lnim(an bn ) A B;
(2)
lim
n
an
bn
A B;
(3) lim an A , 其中B 0.
b n n
B
例4
求
lim
n
a0nm b0nn
a1nm1 b1nn1
am bn
例3 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n lim 1 n n2 n n 1 1
1,
n
lim
n
n lim n2 1 n
1
1
1 n2
1,
由夹逼定理得
lim( 1 1 1 ) 1.
lim n
xn
a.
注意:
利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与zn , 并且 yn与zn的极限是容易求的 .
例2 求数列 {n n} 的极限。
解：记 an n n 1 hn ，这里 hn 0(n 1) ，则有：
1 an 1 hn 1
2 n1
左右两边的极限均为1，故由夹逼准则本例得证。
, a0 b0
0
小结:当a0 0,b0 0, m和n为非负整数时有
lim
n
a0nm b0nn
a1 n m 1 b1nn1
am bn
0ab,00当,当n n
m, m,
,当n m,
•

工科数学分析,杨小远,数列极限

lim an a .
n
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：
1. 0, 强调任意性, 而且是任意小的一面;
2. 不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近;
3. N与任意给定的正数有关, 只强调存在性.
N定义 :
0, N 0,当n N时, 恒有 xn a .
其中
: 任意的; : 存在.
几何解释:
a
2
a
a
x 2 x1 x N 1
x N 2 x3
x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内.
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
注意：使用定义求极限的过程就是求解不等式.
n ( 1) 例1 证明 lim n n
1 n
n1 2 2 2 1 hn ， hn 2 n1
2 2 n 1 hn ， n 2 1， n1
2 2 N 2 1 1 2 2
2 2 0，N 2 2，n N时， n 1 n1
N使得当n N时恒有 xn a 1 ,
从而有 xn a
1 xn a xn a a xn a a
故 lim xn a .
n
lim 0，（ 0 ）例7 证明: n n
1 1 分析: 设 1， an 0 ，N 1 n n 1
应记住的结果：
n
n
lim a 1 （仿例8）—当 a 1时和a 1时思考
n
lim n n 1
n
a lim n! n n!

2-2 收敛数列的性质与收敛判定

这些项在原数列
的一个数列称为原数列
例如， x 1 , x 2 , , x i , x n ,
x n1 , x n 2 , , x n k ,
在注意：子数列 x n 而 xn 在原数列
k k
中，一般项
xn 是第 k 项，
k
x n 中却是第 nk
xn yn
n

lim x n
n

a b
( b 0 )。
lim y n
n
2010年8月
南京航空航天大学理学院数学系
11
例3 求
lim
a0n
m k
a1n
m 1 k 1
am bk
n
b 0 n b1 n
a0
0 , b0 0 , m 和 k为非负整数
an 1 1 n
2
1
12

1 23
...
1 ( n 1) n
2
2010年8月
1 n
, n 1 , 2 ,....
南京航空航天大学理学院数学系 24
例2 证明 lim ( 1
n
1 n
) 存在。
k n1
n
证明：
数列 x n 2 . 无界
n
数轴上对应于有界数列的点xn 都落在闭区间
[ M , M ]上 .
2010年8月南京航空航天大学理学院数学系 3
定理证
收敛的数列必定有界.
设 lim x n a ,
n
由定义,
取 1,

工科数学分析中的探索类问题及教学案例

ｏ数介值定理的应用．
（）Ｈｅｅ７ｉ定理：函数，ｚｎ设（）定义在
［，］在这两个剩余区间中再去掉中间的三分之１，
。
一
开区间，下四个闭区间．余如此重复下去，次去每
ｕ。ｚ；一｛（ｏ）ｚ１０＜ — ｏ＜艿，）
匙，为科学的皇后 ” 数学被认为是科学的语言和成．思维的工具．们的授课群体是工科的学生，教学我在过程中如果采用与传统数学系一样的教学模式显然是不行的．工科学生更关心的是数学能带给他们什
么，能解决什么问题，因此教学的核心是让学生体会
解，强调数学的应用性．根据数学分析的经典内容，我们设置了系列探索类问题，括：础理论问题，包基
１设置系列探索类问题的研究
康德说“ 自然科学的发展，决于其方法和内容取
与数学结合的程度，学成为打开知识大门的金钥数
下面极限ｌｆｘ）Ａｉ（＝ｍ
Ｏ、
掉上次区间中的三分之一．托集是由所有区间中康被去掉的三分之一区间以后在［，］剩余的点．Ｏ１上（）证明被去掉区间的长度之和为１但康托集ａ，
有无穷多个点．．
断思考” 这看似简单的回答却给出了一个真理：．几
乎所有的伟大发现都归功于不断的思考．因此数学教育要为学生创造一种环境，学生身临其境地介使

北航工科数学分析杨小远-第2节收敛数列的性质

北京航空航天大学-工科数学分析2014-2015(2)期中

毕设论文-数学分析中的问题与反例

收敛数列的性质和函数极限的性质共28页PPT

收敛数列的性质和函数极限的性质

§2.2收敛数列的性质

北航工科数学分析杨小远-第2节收敛数列的性质

北京航空航天大学《工科数学分析》考试试题及参考答案(2012-2013第一学期)

工科数学分析教程.上册(杨小远[等]编著)PPT模板

02第二讲 收敛级数的性质1

最新02-2 收敛数列的性质

1.3.2收敛数列的性质

第二节收敛性

第二节 收敛数列的性质

工科数学分析,杨小远,数列极限

2-2 收敛数列的性质与收敛判定

工科数学分析中的探索类问题及教学案例

02第二讲收敛级数的性质1

第二节收敛数列的性质