11-1 同一直线上简谐运动的合成

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第6章振动2(振动合成、其它振动)

A0e
−β⋅t
A0e-β t o 阻尼振动曲线
T=
t
2π
ω
=
2π
2 ω0 − β 2
> T0
阻尼振动周期
19
时间常量与品质因数：时间常量与品质因数：在欠阻尼情况下，在欠阻尼情况下，振幅振动能量E：振动能量： E = E0e−2β⋅t 时间常量
A = A0e
−βt
(QE ∝ A2 )
1 τ= 2β
1
旋转矢量法处理谐振动的合成 1. 分振动 x1 = A cos(ω t +ϕ1) 1 x2 = A2 cos(ω t +ϕ2 ) 2. 合振动
O
ω
A2
ϕ2
x2
ϕ
A ϕ −ϕ 2 1 A1
x = x1 + x2 = Acos(ω t +ϕ)
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(ϕ2 −ϕ1) 1 1
(5)ϕ2 −ϕ1 = 其值它
15
二、李萨如图：李萨如图：
如果两个振动的频率相差较大，但有简单的整数比，如果两个振动的频率相差较大，但有简单的整数比，则合成运动具有稳定的封闭的运动轨迹。动具有稳定的封闭的运动轨迹。
Tx : Ty =1: 2
Tx : Ty = 2 : 3
Tx : Ty = 3: 4
ω2 −ω1
2
)t
x
ω=
ω2 +ω 1
2
t
拍的现象：３.拍的现象：
合振动忽强忽弱的现象．合振动忽强忽弱的现象．
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数
ν =|ν2-ν1|
ω拍 = ω2 −ω1 或： = T

大学物理_振动

变化快
变化慢 (起调制作用信息)
若 1， 2 均较大，而差值较小，则合振动的˝振幅˝时而大（为 2A），时而小（为 0）
26
1 2 | 1 2 |
这种两个频率都较大但是相差又很小、同方向简谐振动合成时，合振动有忽强忽弱的现象，称为“拍”。单位时间内振动加强（或减弱）的次数叫拍频。

2 π J 2 π mgb mgb J
思考：若一单摆的振动周期与此相同，单摆的摆长应是多少？ 11
例. 已知：U 形管内液体质量为m，密度为，
管的截面积为S 。开始时，造成管两边液柱面有一定的高度差，忽略管壁和液体间的摩擦。试判断液体柱振动的性质。
0 -y
解法1. 分析能量 1 2 y Ep ( gSy ) y ky 2 y S k 2 gS SHM
(1)角（圆）频率 (2)振幅A
k m
2
由系统本身固有情况决定
x0 2 或 A v0 (3)初相 tan x0 A 、都可由初始条件和系统本身情况决定。 x “ 与何时开始计时有关!” A
2
v0
2 E0 k
相差与时间差的关系：
0
2 t T
2k π (k 0,1,2)
可得
A na
,
各分振动的初相差为
2k π （ k , 为不等于 nk 的整数) n 可得 A 0 封闭多边形!
例. n4 时 k , (0),1,2,3, (4),5,6,7
k=2
k=1
k=3
24
（2）不同频率
利用付里叶分解，可将任意振动分解成若干SHM 的叠加。对周期性振动： T „„周期，

简谐运动的合成

x = ( 2 A1 cos 2 π
ν 2 −ν 1
2
t ) cos 2 π
ν 2 +ν1
2
t
振幅部分振动频率 ν = (ν 1 + ν 2 ) 2 振幅 A = 2 A1 cos 2 π
合振动频率
ν 2 −ν 1
2
振动
Amax = 2A1
t
Amin = 0
15
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
y
ϕ （1） 2 −ϕ1 = 0或 2 π ） A2 y= x A1
A2
A1
o
x
ϕ （2） 2 − ϕ1 = π ） A2 y=− x A1
第九章振动
y
A2
A1
o
x
7
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x 2 y 2 2 xy 讨 + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 论 A12 A2 A1 A2
A
ϕ1
ϕ
A 1
O
x2
x1
xx
两个同方向同频率简谐运动合成后仍两个同方向同频率简谐运动合成后仍合成频率的简谐简谐运动为同频率的简谐运动
第九章振动
2
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
（1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0，1，2,⋯ ） ± ± )
x
ϕ
A2
x
o
y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
椭圆方程）质点运动轨迹（椭圆方程）
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2

92简谐运动的叠加

/ 2
第七章振动与波动
24
物理学
利用旋转矢量合成
/2
y
7
8
6
y
7
6
8
5
5
1
4
4
2 3
1x
2 3
4
3 2
5
1x
6
8
7
第七章振动与波动
25
物理学
用旋转矢量描绘振动合成图
第七章振动与波动
26
物理学（3） π
4y
8
1
7
6 2
5
3 4
y
8
7
1
6 5
2
x
3 4
4
3 2
5
1x
6
8
合振动轨迹方程
x A1
2
y A2
2
2xy
cos(2
A1 A2
1
)
sin
2 (2
1
)
物理学
作业: 9-17
第七章振动与波动
35
x x1 x2
x A1 cos(t 1) A2 cos(t 2 )
采用旋转矢量图解法合成合振动
第七章振动与波动
3
物理学
设一质点同步参加两独立旳同方向、同频率旳简谐振动：
x1
A1
cos(t
1
)
x A cos(t )
2
2
2
A2
2 1
O x2
A1
x1 x
两振动旳位相差
2
且方向相同步为t = 0，将该方向定为x轴正
向）：
A2
A w1
ω2t

第11章简谐运动

注：量 y 不局限于位移，它可以是角度、电量、电压、磁感应强度…… ----广义的简谐运动
2. 准弹性力
O’
10
θ
l
T
o
mg
F mg sin 当θ很小时（小于5°） sin F mg 2 d mg ma ml ml 2 dt 2 d g 0 2
2
2
d y k d y y0 mg ky kl0 m 2 即 2 m dt dt 2 k d y 2 设则 y 0 ----得证 2 m dt
[ 例 2] （复摆）一任意形状的物体，质量为 m ，质心位置为C，现让其绕过O点的光滑水平轴作小角度摆动，试证明这种摆动为简谐运动。设OC=l。 O 解：设任一时刻物体所受重力矩M为
28
T
初始条件t=0，y0=4cm，v0=0
v0 A x0 4 cm
2 2
简谐运动方程
y 4 cos(4t ) cm
v0 arctan x 0 0
（ 2 ）向下拉 10cm 后静止释放， ω 、 φ 均不变，仅 A 发生了变化，因此简谐运动为 y 10 cos(4t ) cm
14
一、简谐运动方程
物体的振动量y随时间t变化的函数关系，即y=y(t)。力
d2y 2 y0 2 dt
y Acos(t )
d 1 2 1 2 1 2 1 2 mv ky 常量 ( mv ky ) 0 功能 dt 2 2 2 2 d2y k dv dy mv ky 0 2 y0 m dt dt dt d2y 2 2 y 0 y A cos(t ) dt

物理学(第五版)下册马文蔚等改编(东南大学) 答案

第九章振动1、设一物体沿x 轴作谐振动的方程为0.10cos(2)4x t ππ=+，式中x ，t 的单位分别为m ，s .试求：（1）振幅，周期，频率和初相)cos(ϕω+=t A x ；（2）0.5t s =时，物体的位移、速度和加速度.解：（1）谐振动的标准方程为，比较题中所给方程和标准方程，知振幅m A 10.0=，角频率2/rad sωπ=，初4πϕ=.由此，周期为12==ωπT s 频12Hz ωνπ==率为（2）1=t s 时，物体位移m m x 21007.7)45.02cos(10.0)42cos(10.0-⨯-=+⨯=+=ππππ 速度s m s m t dt dx v/44.0/)45.02sin(2.0)42sin(2.0=+⨯-=+-==ππππππ 加速度2222/28/)45.02cos(4)42sin(4s m s m t dtdv a =+⨯-=+-==ππππππ2、有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8×10-2m 。

若使物体上、下振动，并规定向上为正方向。

（1）当t=0时，物体在平衡位置下方4.0×10-2m 处，由静止开始向上运动，求运动方程。

（2）当t=0时，物体在平衡位置并处以0.2m ·s -1的速度向下运动，求运动方程。

解：（1）根据题给的条件，20100.4-⨯-=x m, 00=v （题取向上为正方向，且平衡位置处为原点）且2100.4-⨯=A m ，其旋转矢量应为如图9-4-1图位置，所以π0=ϕ。

又mk=ω ，而 0kx mg =,所以x g m k = ,108.98.92⨯=-ω所以谐振动方程：)π10cos(100.42+⨯=-t x m（2）据题意，0=t 时，00=x ，6.00-=v m.s 1-，其旋转矢量应为如图9-4-2图位置则得222222102102.00)(-⨯=+=+=ωv x A m2π0=ϕ 9-4-1图ϕ∆xMM 'O9-5-1图（0=x 的投影有上、下两个矢量，但0v 为负值，故只能选上面的OM 矢量），所以谐振动方程为)2π10cos(100.42+⨯=-t xm 。

简谐运动的合成与分解

五、谐振分析和频谱（自学）
在自然界和工程技术中，我们所遇到的振动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处理这类问题，往往把复杂振动看成由一系列不同频率的间谐振动组合而成，也就是把复杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动，这样分解在数学上的依据是傅立叶级数和傅立叶积分的理论，因此这种方法称为傅立叶分析。
如果分振动不止两个，而且它们的振动频率是基频地整数倍（倍频）则它们的合振动仍然是周期运动，其频率等于倍频。按规律： x ( t ) A(cost cos 3t 3 1 1 cos5t cos 7t ) 5 7
如果增加合成的项数，就可以得到方波形的振动：
既然一系列倍频简谐振动的合成是频率等于基频的周期运动，那么，与之相反，任意周期性振动都可以分解为一系列简谐振动，各个分振动的频率都是原振动频率的整数倍，其中与原振动频率一致的分振动称为基频振动，其它的分振动则依照各自的频率相对于基频的倍数而相应的称为二次、三次、……谐频振动。这种把一个复杂的周期振动分解为一系列简谐振动之和的方法，称为谐振分析。
t0
t0 T
x( t ) cos ntdt
x ( t ) si ntdt
t0
2 2 an bn
n
an arctan bn
为了显示实际振动中所包含的各个简谐振动的振动情况（振幅、相位），常用图线把它表示出来。若用横坐标表示各谐频振动的频率，纵坐标表示相应的振幅，就得到谐频振动的振幅分布图，称为振动的频谱。不同的周期运动，具有不同的频谱，周期运动的各谐振成分的频率都是基频的整数倍，所以它的频谱是分立谱。
2
A
若1= 2 ,则不变；若1 2 ,则变；

11简谐运动习题详解

间。
平衡位置如图所示
解：t = 0时，质点位移为0.06m，而且向正方向运动，旋转矢量的初始位置如图所示，从而得
Δ π π 5π
23 6
Δ ω Δt
Δt Δ 5π 5 s
ω 6π 6
§11-2 简根谐据运胡动克的定律动：力学特征
1. 弹簧振子—理想模型
F kx
简谐运动的微分方程
解：1. 设简谐振动表达式为 x = A cos(t + )
已知： A = 0.12m , T = 2s ，所以 2 (rad / s)
T
初始条件： t = 0 时， x0 = 0.06m , v0 > 0
0.06 0.12cos
3
v0 Asin 0 sin 0
x 0.12cos( t )
ν：频率单位时间内往复振动的次数；
T：周期往复振动一次的时间。
周期、频率与角频率关系：
T 1 2π
2、振动曲线
3、简谐运动的速度与加速度
v
vm
cos(
t
π 2
)
vm A
a am cos( t π ) am A 2
x Acos(t )
x
T
A
O
t
v dx A sin( t )
解：已知 6.0rad s1
t=0时， x0=0.04m=A v0=0
(1) x A cos ( t )
x0 A cos
cos x0 1
A
0
x 0.04 cos 6.0t m
(2) 由(1)中结果
0.02 0.04 cos 6.0t
cos 6.0t 1 2
v dx 0.24 sin 6.0t dt

物理-同一直线上简谐振动的合成频谱分析

三、同一直线上两个异频谐振动的合成
合振动 x 2Acos(2 1 t ) cos(2 1 t)
2
2
若 2 1 1 2
2
2
随时间缓变
随时间快变
合振动可视作
频率振幅
1 2 2
2A cos 2 1 t
2
的准周期运动！
两个频率相差不大的同方向简谐运动叠加后，出现合振动振幅时而加强时而减弱的现象称为“拍”。
一、同一直线上同频谐振动的合成
设一个质点同时参与两个沿同一直线的简谐振动，
这两个简谐振动的频率均为ω ，振幅分别为
初相位分别为
它们的振动表达式分别为：
分振动
x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
合振动 x x1 x2
A1 cos(t 1) A2 cos(t 2 )
t
2
)
(m)
x2 2cos(10 t ) (m)
求：（1）合振动的表达式；
（2）若另有 x3 3cos(10 t ) (m)
则分别为何值时，三个简谐振动叠加后，合振动
的振幅分别为最大与最小？
三、同一直线上两个异频谐振动的合成
合振动的“振幅”： 2A cos 2 1 t
2 单位时间内合振动振幅加强或减弱的次数——拍频
cos 2 1 t
2
的周期为π ，故振幅变化周期τ 满足：
2 1
2
2 2 1
拍频
三、同一直线上两个异频谐振动的合成
同一直线上两个频率接近的简谐振动的合成
OCP 2CPO (CPO CPP)
二、同一直线上N个同频谐振动的合成
(2) 确定合振动初相位
COP COM

8.5 简谐运动的合成

ν 2 ν 1
2
t ) cos( 2 π
ν 2 +ν 1
2
t +)
振幅部分振动频率振幅
合振动频率
ν = (ν 1 + ν 2 ) 2
A = 2 A1 cos 2π
ν 2 ν 1
2
t
Amax = 2A1
Amin = 0
振幅是随时间变化的，振幅是随时间变化的，由于振幅的改变也是周期性的，因此就出现振动忽强忽弱的现象。性的，因此就出现振动忽强忽弱的现象。
y A2
A2 y= x A1
o
A1
x
x 2 y 2 2 xy + 2 cos( 2 1 ) = sin 2 ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
2） 2 1 = π
3） 2 1 = ± π 2
2 2
A2 y= x A1
o
y
A2
x y + 2 =1 2 A1 A2
π y = A2 cos(ωt + ) 2
合成振动为：合成振动为： x = x1 + x2 = A1 cos(ω1t + ) + A2 cos(ω 2 t + ) 利用三角函数公式可得
x = 2 A cos(
ω2 ω1
2
t ) cos(
ω2 + ω1
2
t +)
= 2 A cos( 2 π
ν 2 ν 1
2
t ) cos( 2 π
ν 2 +ν 1
两个同方向不同频率简谐运动的合成
频率相近的两个同方向简谐振动的合振动是振幅随频率相近的两个同方向简谐振动的合振动是振幅随相近的两个同方向简谐振动的合振动是时间周期性变化的特殊简谐振动称为拍振动的特殊简谐振动，拍振动。时间周期性变化的特殊简谐振动，称为拍振动。单位时间内振动加强或减弱的周期数叫拍频。单位时间内振动加强或减弱的周期数叫拍频。拍频由

1.8同一直线上同频率的简谐运动的合成

x x1 x2 xn
x A cos(t )

2
A2
3
o
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
第1章振动
14
大学物理学
1.8
同一直线上同频率的简谐运动的合成
o A1 A2 A3 A4 A5 x
x1 A0 cost x2 A0 cos( t ) x3 A0 cos( t 2 )
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos1 A2 cos 2
第1章振动
2
AC
1 2

A 代表的是简谐运动
大学物理学
1.8
同一直线上同频率的简谐运动的合成
1， 2,) （1）同相： 2 1 2k π (k 0 ，
大学物理学
1.8
同一直线上同频率的简谐运动的合成
一个质点同时参与两个和多个简谐运动
设一质点同时参与两独立的同方向、同频率的简谐振动：
x1 A1 cos( t 1 ) 分振动 x2 A2 cos( t 2 )
称该两个振动为分振动合运动:
O

A2
2
x2
1
x1
A1
x x

A2
o
A1
o
T
t

A
A A1 A2 Amax
x A cos(t )
第1章振动
2 1 2k π
3
大学物理学
1.8
同一直线上同频率的简谐运动的合成
（2）反相： 2 1 (2k 1) π (k 0 ， 1, )

11-1-5 同一直线上简谐运动的合成

2 1
2
t ) cos 2 π
2 1
2
t
2 1 2π T π 2
1 T 2 1
拍频（振幅变化的频率）
2 1
第十一章
振动
13
大学物理学
11-1
简谐振动的合成
方法二：旋转矢量合成法
( 2 1 )t ( 2 1 )
2t 2
讨论 A1 A2 , 2 1 1 2 的情况
第十一章
振动
10
大学物理学
11-1
简谐振动的合成
第十一章
振动
11
大学物理学
11-1
简谐振动的合成
方法一 x x1 x2 A1 cos2 π1t A2 cos2 π 2t
x (2 A1 cos 2 π
第十一章振动
1
大学物理学
11-1
简谐振动的合成
x x1 x2 A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) A A1 sin 1 A2 sin 2 A2 tan 2 A1 cos1 A2 cos 2 A
2 2 Biblioteka 12t ) cos 2 π
2 1
2
t
振幅部分
合振动频率
振动频率 (1 2 ) 2 振幅 A 2 A1 cos 2 π
第十一章
2 1
2
振动
Amax 2A1
t
Amin 0
12
大学物理学
11-1
简谐振动的合成
x (2 A1 cos 2 π
x A cos(t )

清华大学《大学物理》128学时教学大纲

清华大学《大学物理》128学时教学大纲一、学时分配：大学物理(B1)：64学时（4学时/周⨯16周）建议力学 18学时振动和波动 11学时狭义相对论 10学时期中测验 2学时热学 19学时节假日放假自学 4学时大学物理(B2)：64学时（4学时/周⨯16周）建议电磁学 28学时期中测验 2学时光学 11学时量子物理 19学时节假日放假自学 4学时二、大纲内容注释：打∆号为自学或略讲内容；带*号为拓展内容，由任课教师取舍或改讲其它内容。

力学质点运动学质点的运动函数位移和速度加速度圆周运动相对运动牛顿运动定律牛顿运动定律惯性系与非惯性系惯性力 *科氏力 *引潮力与潮汐∆ SI单位和量纲∆技术中常见的几种力∆基本的自然力∆应用牛顿定律解题动量与角动量∆冲量与动量定理质点系的动量守恒定律火箭飞行原理质心质心运动定理质点和质点系的角动量角动量守恒定律，*质心系功和能∆功动能定理一对力的功保守力势能由势能求保守力机械能守恒定律 *两体问题 *牛顿定律的内在随机性 *混沌 *对称性和守恒定律 *相图刚体的定轴转动刚体的运动刚体定轴转动定律转动惯量的计算转动中的功和能刚体的角动量和角动量守恒定律进动振动简谐运动的描述旋转矢量与振动的相简谐运动的动力学方程简谐运动的能量阻尼振动受迫振动共振同一直线上同频率的简谐运动的合成同一直线上不同频率的简谐振动的合成 *谐振分析相互垂直的简谐运动的合成波动简谐波波传播的能量波动方程惠更斯原理波的叠加驻波声波多普勒效应 *行波的叠加和群速度 *波的吸收，*孤波和孤子狭义相对论基础牛顿相对性原理和伽里略变换爱因斯坦相对性原理和光速不变同时性的相对性和时间膨胀长度缩短洛仑兹变换相对沦速度变换相对论质量相对论动能相对论能量*相对论动量－能量变换 *力的相对论变换 *广义相对论简介热学温度宏观与微观温度理想气体温标∆理想气体状态方程玻耳兹曼分布律气体分子动理论理想气体的压强和温度能量均分定理麦克斯韦速率分布律∆麦克斯韦速率分布律的实验验证 *微观状态 *微观状态数*玻耳兹曼统计范德瓦耳斯方程实际气体等温线气体分子的平均自由程 *∆输运过程热力学第一定律准静态过程体积功热量热容量热力学第一定律理想气体的绝热过程循环过程卡诺循环热力学第二定律自然过程的方向可逆过程与不可逆性过程热力学第二定律的宏观表述热力学第二定律的微观意义热力学概率与自然过程的方向玻耳兹曼熵公式与熵增加原理克劳修斯熵公式熵增加原理 *温熵图 *∆熵和能量退化 *平衡相变简介 *耗散结构电磁学静止电荷的电场电荷库仑定律与电力叠加原理电场和电场强度静止的点电荷的电场及其叠加电力线电通量高斯定律利用高斯定律求静电场的分布*运动电荷的电场高斯定律与运动电荷电场的变换做匀速直线运动的点电荷的电场静电场对运动电荷的作用电势静电场的保守性电势差和电势电势叠加原理电势梯度电荷在外电场中的静电势能电荷系的静电能静电场中的导体导体的静电平衡条件静电平衡的导体上的电荷分布有导体存在时静电场的分析与计算静电屏蔽 *静电场的唯一性定理*静电场的边界条件 *铁电体和压电效应静电场中的电介质电介质对电场的影响电介质的极化D的高斯定律∆电容器的电容和能量电场的能量稳恒电流电流和电流密度稳恒电流电动势∆欧姆定律和电阻∆有电动势的电路∆电容器的充电与放电 *电流的经典微观图象∆磁力磁力磁场与磁感应强度带电粒子在磁场中的运动载流导线在磁场中受的力霍耳效应磁场毕奥一萨伐定律安培环路定理利用安培环路定理求磁场的分布平行电流间的相互作用力磁场中的磁介质磁介质对磁场的影响磁介质的磁化H的环路定理铁磁质简单磁路 *静磁屏蔽电磁感应法拉第电磁感应定律动生电动势感生电动势和感应电场互感自感磁场的能量 *趋肤效应 *超导的电磁特性麦克斯韦电磁场方程组和电磁辐射位移电流麦克斯韦电磁场方程组电磁波的能量电磁波的动量 *电磁场的相对论变换 *加速电荷的横向电场和磁场*同步辐射光学几何光学简介光的干涉相干光杨氏双缝干涉光的时间相干性光的空间相干性光程等厚干涉等倾干涉迈克耳孙干涉仪光的衍射光的衍射惠更斯-菲涅耳原理单缝的夫琅和费衍射光栅衍射光栅光谱光学仪器的分辨本领X射线衍射 *相控阵雷达 *全息照相 *光学信息处理光的偏振光的偏振状态线偏振光的获得与检验反射和折射时光的偏振双折射现象椭圆偏振光和圆偏振光偏振光的干涉人工双折射 *旋光现象 *光通讯量子物理基础波粒二象性黑体辐射光电效应光的二象性与光子康普顿散射粒子的波动性概率波与概率幅不确定性关系薛定谔方程薛定谔波动方程一维定态方程一维无限深势阱中的粒子一维势垒穿透一维谐振子原子中的电子氢原子电子的自旋与自旋轨道耦合微观粒子的不可分辨性和泡利不相容原理各种原子核外电子的排布四个量子数激光 *费米子和玻色子 *X射线 *分子的转动和振动能级*核磁共振 *扫描隧道显微镜 *非线性光学介绍固体中的电子自由电子按能量分布 *自由电子导电机制 *量子统计固体的能带导体和绝缘体半导体的导电机制p－n结半导体特性和应用 *LED激光*核与粒子物理原子核 *核磁共振放射性 *α衰变 *β衰变*弱相互作用和宇称不守恒γ衰变穆斯堡尔效应 *结合能*裂变 *聚变 *强相互作用 *粒子物理简介。

简谐振动的合成

动振幅周期变化的现象叫拍。
解：③拍现象
A (t) 不论调达到正的最大或负的最大，对加强振幅来说，都是等效的，
因此拍的圆频率为：
因此：
拍 20 10
调（拍）
20 10
2 20 10
2 拍
2
拍频为：调（拍） 2 1
合成图像如下图：
x1 t
x2
t
x
t
程序演示：
MATLAB 程序：
t=[0:0.001:10]; %给出时间轴上 10s,分 10000 个点
%输入两组信号的振幅、频率以及初相
A1=input('振幅 1=');W1=input('频率 1=');a1=input('初相 1=');
A2=input('振幅 2=');W2=input('频率 2=');a2=input('初相 2=');
y1=A1*cos(W1*t+a1);
y2=A2*cos(W2*t+a2); %生成两个正弦波
此时 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) A1 A2 Amin 振动减弱
两个同方向、同频率简谐运动反相合成时，其合振动振幅最小，振幅为两个
分振动振幅之差的绝对值，初相位与振幅大的分振动的初相位相同，合成图像如
下图。
x
x2
o
x
t
x1
分析：同方向不同频率简谐振动的合成 x1 Acos10t , x2 Acos20t
A2 A1
A
x
此时 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) A1 A2 Amax 振动加强

振动合成

A
A1
由矢量图: π
2
x
A2

A1
cos( 2π t π ) T2
2. 两个同方向不同频率简谐运动的合成

A2相对于 A1的转动角速度：
2 1
两矢量同向重合时：
合振动振幅 A极大
两矢量反向重合时：
合振动振幅 A极小 2 源自1 A2 A A1A
O
1 A1
x Ae t cos t
周期： T 2 02 2
角频率： 02 2
x
A
O
t
A
2 02
x Ae t cos 02 2t
讨论： 1.AA阻ee尼较tt 小随时时（间按2指2数02规）2 律，迅振速动减为少减。幅阻振尼动越，大振，幅减
0 时，速度幅极大
在速度共振条件下稳态振动的初相位为 π
2
v Acos t
结论：速度和驱动力有相同的相位。即策动力对
振动系统始终做正功。
速度共振又称能量共振！
1940年，Tacoma Narrows大桥在通车4个月零6 天后因大风引起扭转振动，又因振动频率接近于大桥的共振频率而突然坍塌。
讨论： 2 1 0 (或 2kπ )时
x2 y2 2xy 0 A12 A22 A1 A2

x A1

y A2
2

0
y A2 x 斜率 A2 0
A1
A1
y x
x2 A12

y2 A22

2xy A1 A2
cos(2
1 )

sin 2 (2
1 )

一同频率同一直线上的简谐振动的合成

§4.4 简谐振动的合成
一.同频率、同一直线上的简谐振动的合成分振动：x1 =A1cos( t+1 ) x2 =A2cos( t+2 )
合振动： x= x1+x2 = Acos( t+ )
A A1 A2 2 A1 A2cos( 2 1 )
2
2
A1sin1 A2sin 2 tg A1cos1 A2cos 2
x y 2 1 2 A1 A2
y
2
2
合振动不再是谐振动。
y
x
x 左旋
右旋
2 -1=/2
2 -1=-/2
21
两个频率相同、振幅不同的互
相垂直简谐
Δ=0 Δ=/4 Δ=/2 Δ=3/4
振动的合成
Δ=
Δ=5/4
Δ=3/2
Δ=7/4
22
四.不同频率垂直谐振动的合成李萨如图形 x =A1cos(1 t+1 ) y =A2cos(2 t+2 )
2， = 0 （临介阻尼）
x e t C1 C 2 t
3， < 0 （欠阻尼）
xe
e
t
t
C cos
1
C e
1
i 0 2 2 t
C2 e
2
i 0 2 2 t

2 2
0 t C2 sin 0 t
2
2 2

( 2 1 )

2
o
x
10
例题4.17 求同方向、同频率、同振幅、依次间相位差均为的N个谐振动的合振动方程。光的衍射解
选择适当的计时起点，使某个简谐振动的初相为零，则有