《志鸿优化设计》2019年高考数学(人版)二轮练习题库：第11章概率与统计11.1随机事件及其概率练习

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【志鸿优化设计】(湖南专用)高考数学一轮复习第十一章概率与统计11.5二项分布及其应用课时作业理

课时作业58 二项分布及其应用一、选择题1．某道路的A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒．某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是( )．A.35192B.25192C.35576D.651922．某人射击一次击中目标的概率为35，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )．A.81125B.54125C.36125D.271253．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )．A.12B.512C.14D.164．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测，方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚，国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p 1和p 2，则( )．A ．p 1＝p 2B ．p 1＜p 2C ．p 1＞p 2D ．以上三种情况都有可能5．电灯泡使用时数在1 000小时以上的概率为0.2，则3只灯泡在使用1 000小时后最多有1只坏了的概率是( )．A ．0.401B ．0.410C ．0.014D ．0.1046．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败，第二次成功的概率是( )．A.110B.210C.810D.9107．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )．A.16625B.96625C.624625D.4625二、填空题8．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为__________． 9．如图，EFGH 是一个以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内，”则(1)P (A )＝__________；(2)P (B |A )＝__________. 10．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率为34和45，且各次射击相互独立．按甲、乙、甲……的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时甲射击了两次的概率是__________．三、解答题11．(2012天津高考)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X， Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ)．参考答案一、选择题1．A 解析：三处都不停车的概率是P (ABC )＝2560×3560×4560＝35192. 2．A3．B 解析：记两个零件中恰有一个一等品的事件为A ，则P (A )＝23×14＋13×34＝512. 4．B 解析：p 1＝1－0.9910＝1－0.980 15，p 2＝1－2992100C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭5＝1－0.985，∴p 1＜p 2.5．D 解析：3只灯泡在1 000小时后最多有1只坏了这个事件，也就是3只灯泡中至少有2只灯泡的使用时数在1 000小时以上，相当于3次独立重复试验有2次或3次发生的概率，故P ＝23C ×0.22×(1－0.2)＋33C ×0.23＝0.104. 6．A 解析：设A 为“第一次失败”，B 为“第二次成功”，则P (A )＝910， P (B |A )＝19， ∴P (AB )＝P (A )P (B |A )＝110. 7．B 解析：据题意取出两球号码之积是4的倍数的情况为(1,4)，(2,4)，(3,4)，(2,6)，(4,6)，(4,5)共6种情况，故中奖的概率为266C ＝25，故4人中有3人中奖的概率为34C ⎝ ⎛⎭⎪⎫253×35＝96625. 二、填空题8.35 解析：设该队员每次罚球的命中率为p ，则1－p 2＝1625，解得p ＝35. 9.2π 14解析：该题为几何概型，圆的半径为1，正方形的边长为2， ∴圆的面积为π，正方形面积为2，扇形面积为π4. 故P (A )＝2π， P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝12π2π＝14. 10.19400解析：停止射击时甲射击了两次，分两种情况：①甲未中、乙未中、甲命中的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×34＝380； ②甲未中、乙未中、甲未中、乙命中的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×45＝1100.停止射击时甲射击了两次的概率是380＋1100＝19400. 三、解答题11．解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23. 设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)，则P (A i )＝4C i⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i . (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P (A 2)＝24C ⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝34C ⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋44C ⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19. 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19. (3)ξ的所有可能取值为0,2,4.由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827， P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081， P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781. 所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝0×27＋2×81＋4×81＝14881.。

《志鸿优化设计》2014届高考数学(苏教版)一轮复习题库：第11章概率与统计11.2古典概型练习

课时作业53古典概型一、填空题1．从数字1,2,3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为__________．2．袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是__________．3．有4条线段，长度分别为1,3,5,7，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率是__________．4．编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，则三位学生的座位号与其编号恰好都不同的概率是__________．5．(2019江苏南京高三二模)某单位从4名应聘者A，B，C，D中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A，B两人中至少有1人被录用的概率是__________．6．(2019江苏徐州高三质检)箱中有号码分别为1,2,3,4,5的五张卡片，从中一次随机抽取两张，则两张号码之和为3的倍数的概率为__________．7．(2019江苏扬州高三期末)先后掷两次正方体骰子(骰子的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为m，n，则mn是奇数的概率是__________．8．(2019江苏南通高三一调)将甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有1个球的概率为__________．9．一元二次方程x2＋mx＋n＝0，其中m，n分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，则方程有实根的概率为__________．二、解答题10．袋子中装有编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球．(1)写出所有不同的结果；(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；(3)求至少摸出1个黑球的概率．11．(2019江苏盐城模拟)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是1 2.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率．12．为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C 三个区中抽取7个工厂进行调查．已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂．(1)求从A，B，C区中应分别抽取的工厂个数；(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．参考答案一、填空题1.13解析：从数字1,2,3中任取两个不同数字组成的两位数有12,21,13,31,23,32共6种，每种结果出现的可能性是相同的，记事件A为“取出两个不同数字组成两位数大于23”，则A中包含31,32两个基本事件，据古典概型概率公式，得P(A)＝26＝1 3.2.56解析：该试验中会出现(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共6种等可能的结果，事件“至少摸出1个黑球”所含有的基本事件为(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共5种，据古典概型概率公式，得事件“至少摸出1个黑球”的概率是56.3.14解析：从四条线段中任取三条，基本事件有(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3，5,7)，共4个，能构成三角形的只有(3,5,7)这一个基本事件，故由概率公式，得P(A)＝1 4.4.13解析：编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位时，1号学生有3种坐法，2号学生有2种坐法，3号学生只有1种坐法，所以一共有6种坐法，其中座位号与其编号恰好都不同的坐法只有2种，所以所求概率等于P＝26＝1 3.5.56解析：从题目来看，所有的可能性共有6种，但A，B都没被录取的情况只有一种，即满足条件的有5种，所以结果为56.6.25解析：从5张卡片中随机抽取两张共有10种取法，其中号码和为3的倍数的有12,15,24,45，共4种，所以所求概率为410＝25.7.14解析：先后掷两次骰子产生的基本事件的总数为36，要使mn是奇数，则m，n分别为奇数，故mn是奇数的基本事件的个数为3×3＝9，从而mn是奇数的概率是936＝1 4.8.29解析：根据题意可知，放球方法共有32＝9种，其中在1,2号盒中各有一球的放法有2种，故所求概率P＝29.9.1936解析：由方程有实根知：m2≥4n.又m，n∈[1,6]且m，n∈N*.故2≤m≤6.骰子连掷两次共有6×6＝36种情形．其中满足条件的有：①m＝2，n只能取1，计1种情形；②m ＝3，n可取1,2，计2种情形；③m＝4，n可取1,2,3,4，计4种情形；④m＝5或6，n均可取1至6的值，共计2×6＝12种情形．故满足条件的情形共有1＋2＋4＋12＝19种，故所求概率为1936.二、解答题10．解：(1)ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.(2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，则事件A包含的基本事件为ac，ad，ae，bc，bd，be，共6个基本事件．所以P(A)＝610＝0.6.(3)记“至少摸出1个黑球”为事件B ，则事件B 包含的基本事件为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，共7个基本事件，所以P (B )＝710＝0.7. 11．解：(1)由题意可知：n 1＋1＋n ＝12，解得n ＝2.(2)不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A 包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个．∴P (A )＝412＝13. 12．解：(1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为763＝19，所以从A ，B ，C 三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.(2)设A 1，A 2为在A 区中抽得的2个工厂，B 1，B 2，B 3为在B 区中抽得的3个工厂，C 1，C 2为在C 区中抽得的2个工厂．在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(C 1，C 2)，共有21种．随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A 区的结果(记为事件X )有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)，共有11种．所以这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率为P (X )＝1121.。

2019年高考数学文真题分项解析：专题11 概率和统计

第十一章概率与统计1.【2019高考新课标Ⅰ，文6】某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A. 8号学生 B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生【答案】C 【解析】【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意；若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查系统抽样.2.【2019高考新课标Ⅱ，文4】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A. 23B.35 C. 25D. 15【答案】B 【解析】【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．【详解】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c，剩余的2只为,A B，则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B，{,c,},{,c,},{b,,},{c,,}b A b B A B A B共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B{,c,},{,c,}b A b B共6种，所以恰有2只做过测试的概率为63105，选B．【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．3.【2019高考新课标Ⅲ，文3】两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）A. 16B.14C.13D.12【答案】D【解析】【分析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是12．故选D．【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．4.《【2019高考新课标Ⅲ，文4】西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.8【答案】C【解析】【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ．【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．5.【2019高考新课标Ⅱ，文14】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 【答案】0．98. 【解析】【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=．【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．6.【2019高考江苏卷，5】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____. 【答案】53. 【解析】【分析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可. 【详解】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=，所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=. 【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.7.【2019高考江苏卷，6】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.【答案】7 10.【解析】【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有2510C=种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有11326C C=种情况，若选出的2名学生都是女生，有221C=种情况，所以所求的概率为617 1010 +=.【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.8.【2019高考新课标Ⅰ，文17】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．【答案】（1）43 ,55；（2）能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.【解析】【分析】（1）从题中所给的22⨯列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应的频率，即估计得出的概率值；（2）利用公式求得观测值与临界值比较，得到能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.【详解】（1）由题中表格可知，50名男顾客对商场服务满意的有40人，所以男顾客对商场服务满意率估计为1404 505P==, 50名女顾客对商场满意的有30人，所以女顾客对商场服务满意率估计为2303 505P==,（2）由列联表可知22100(40203010)1004.762 3.8417030505021K⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.【点睛】该题考查的是有关概率与统计的知识，涉及到的知识点有利用频率来估计概率，利用列联表计算2K的值，独立性检验，属于简单题目.9.【2019高考新课标Ⅱ，文19】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）8.602 .【答案】(1) 增长率超过0400的企业比例为21100，产值负增长的企业比例为2110050=；（2）平均数0.3；标准差0.17. 【解析】【分析】(1)本题首先可以通过题意确定100个企业中增长率超过0400的企业以及产值负增长的企业的个数，然后通过增长率超过0400的企业以及产值负增长的企业的个数除随机调查的企业总数即可得出结果；(2)可通过平均值以及标准差的计算公式得出结果。

【志鸿优化设计】高考数学一轮复习第11章概率与统计11.5总体分布的估计、总体特征数的估计练

课时作业56 总体分布的估计、总体特征数的估计一、填空题1．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)： 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据落在[114.5,124.5]内的频率为__________．2．(2012江苏南京五中第一次月考)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝__________.3．在某一样本的频率分布表中，第三组的频数和频率分别为24和13，则该样本的样本容量为__________．4．甲、乙、丙、丁四人参加校运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：．5．(2012江苏南京高三一模)某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为[0,10)，[10,20)，…，[80,90)，[90,100])．则在本次竞赛中，得分不低于80分的人数为__________．6．(2012江苏淮阴中学、海门中学、天一中学高三联考)在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为1 600，则(即第五组)的频数为__________．7．为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是__________．8．某校甲、乙两个班级各有编号为1,2,3,4,5的五名学生进行投篮练习，每人投109．从某小学随机抽取100 名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a＝__________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为__________．二、解答题10．某学校为了了解学生的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了n名同学进行调查．下表是这n(1)求n(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[4,5)的中点值是4.5)作为代表．若据此计算的上述数据的平均值为6.52，求a，b的值，并由此估计该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率．11．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表：(1)(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差，并判断选谁参加比赛更合适．12．某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现用分层抽样方法(按A类，B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)．(1)A类工人中和B类工人中各抽查多少工人？(2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2.异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)图1 A类工人生产能力的频率分布直方图图2 B类工人生产能力的频率分布直方图②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．参考答案一、填空题1．0.4 解析：落在[114.5,124.5)内的样本数据为120,122,116,120，共4个，故所求频率为410＝25＝0.4.2.165解析：记星期一到星期五收到的信件数分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x ＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 55＝10＋6＋8＋5＋65＝7.所以s 2＝15×[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋(x 3－x )2＋(x 4－x )2＋(x 5－x )2]＝15×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝165. 3．72 解析：∵频率＝频数样本容量，∴样本容量＝频数频率＝2413＝72.4．丙解析：由表可知，乙、丙的成绩最好，平均环数为8.9；但乙的方差大，说明乙的波动性大，所以丙为最佳人选．5．120 解析：由频率分布直方图可得，得分低于80分的频率为(0.015＋0.025＋0.030)×10＝0.7，故得分不低于80分的有400×(1－0.7)＝120(人)．6．360 解析：设前五个长方形面积的公差为d ，由9个长方形的面积为1，可得d ＝0.8216.中间一组的频数为1 600×(0.02＋4d)＝360.7．48 解析：依题意，设第2小组的频率为2x ，则有6x ＝1－(0.037 5＋0.012 5)×5，得2x ＝0.25，即第2小组的频率为0.25，因此报考飞行员的学生人数是120.25＝48.8.25 解析：甲班的平均数为x 甲＝6＋7＋7＋8＋75＝7，甲班的方差为s 2甲＝－2＋－2＋－2＋－2＋－25＝25；乙班的平均数为x 乙＝6＋7＋6＋7＋95＝7，乙班的方差为s 2乙＝－2＋－2＋－2＋－2＋－25＝65；∵65＞25，∴s 2＝25. 9．0.030 3 解析：∵小矩形的面积等于频率，∴除[120,130)外的频率和为0.700，∴a ＝1－0.70010＝0.030.由题意知，身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]的学生分别为30人，20人，10人，∴由分层抽样可知抽样比为1860＝310，∴在[140,150]中选取的学生应为3人．二、解答题10．解：(1)由频率分布表可得n ＝60.12＝50.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧150＋10×5.5＋a×6.5＋b×7.5＋＝6.52，6＋10＋a ＋b ＋4＝50，解得a ＝15，b ＝15.设“该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上”为事件A ，则P (A)＝15＋450＝0.38.即该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率约为0.38. 11．解：(1)画茎叶图如图所示，中间数为数据的十位数．(2)由茎叶图把甲、乙两名选手的6次成绩按从小到大的顺序依次排列为：甲：27,30,31,35,37,38 乙：28,29,33,34,36,38甲赛手最大速度数据的中位数为 31＋352＝33，乙赛手最大速度数据的中位数为 33＋342＝33.5. x 甲＝16(27＋30＋31＋35＋37＋38)＝33，x 乙＝16(28＋29＋33＋34＋36＋38)＝33.s 2甲＝16[(－6)2＋(－3)2＋(－2)2＋22＋42＋52]＝473，s 2乙＝16[(－5)2＋(－4)2＋0＋12＋32＋52]＝383. ∵x 甲＝x 乙，s 2甲＞s 2乙，∴乙的成绩更稳定，故乙参加比赛更合适．12．解：(1)A 类工人中和B 类工人中分别抽查25名和75名． (2)①由4＋8＋x ＋5＋3＝25，得x ＝5， 6＋y ＋36＋18＝75，得y ＝15. 频率分布直方图如下：图1 A 类工人生产能力的频率分布直方图图2 B 类工人生产能力的频率分布直方图从直方图可以判断：B 类工人中个体间的差异程度更小．②x A ＝425×105＋825×115＋525×125＋525×135＋325×145＝123，x B ＝675×115＋1575×125＋3675×135＋1875×145＝133.8，x ＝25100×123＋75100×133.8＝131.1.A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1.。

《志鸿优化设计》2014届高考数学(苏教版)一轮复习教学案：第11章概率与统计11.3几何概型

11.3 几何概型考纲要求了解几何概型的意义，会求与几何概型相交汇的线性规划、圆及其他图形的概率．1．几何概型的概念对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理的随机试验，称为几何概型．2．几何概型的特点(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有______个；(2)等可能性：每个基本事件出现的________．3．几何概型的计算公式一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度. 这里要求D 的测度不为0，其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积．1．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是__________．2．(2019江苏泰州期末)已知ABCD 是半径为2的圆的内接正方形，现在圆的内部随机取一点P ，点P 落在正方形ABCD 内部的概率为__________．3．(2019江苏连云港测试卷)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是__________．4．已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是__________．5．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈ [－2,3]，则直线在y 轴上的截距大于1的概率是__________．古典概型与几何概型的区别是什么？提示：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限个．一、与长度、角度有关的几何概型问题【例1】 (2019江苏南京金陵中学预测卷)设函数f (x )＝x 2－3x －4，x ∈ [－3,6]，则对任意x 0∈ [－3,6]，使f (x 0)≤0的概率为__________．方法提炼解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算．事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．请做针对训练1二、与面积有关的几何概型【例2】 (2019江苏高考名校名师押题卷)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人15分钟，过时即可离去．则两人能会面的概率是__________．方法提炼几何概型的概率计算公式中的“测度”，既包含面积，又包含线段的长度、几何体的体积等，而且这个“测度”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．请做针对训练2三、与体积有关的几何概型【例3】在铸铁过程中，经常出现铸件里面混入气泡的情况，但是如果在加工过程中气泡不暴露在表面，对产品就不会造成影响，否则产品就会不合格．在一个棱长为4 cm的正方体铸件中不小心混入一个半径为0.1 cm的球形气泡，在加工这个铸件的过程中，如果将铸件去掉0.5 cm的厚度后产品外皮没有麻眼(即没有露出气泡)，产品就合格，问产品合格的概率是多少？方法提炼解决几何概型问题，当考察对象为点，点的活动范围在空间区域内时，常用体积比计算．请做针对训练3从近三年高考试题来看，对几何概型考查较少，属中档题，主要考查基础知识．几何概型的基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们占据的区域是有限的，根据等可能性，这些点落在某区域的概率与该区域的测度成正比，而与该区域的位置和形状无关．1．某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均为每小时一班，此人等车时间不多于10分钟的概率为________．2．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于__________．3．已知三棱锥SABC，在三棱锥内任取一点P，使得V P ABC＜12V SABC的概率是__________．参考答案基础梳理自测知识梳理2．(1)无限 (2)可能性相等基础自测 1.25 解析：以时间的长短进行度量，故P ＝3075＝25. 2.2π 解析：利用几何概型计算公式即得． 3.4－π4D 解析：设事件A ：点到坐标原点的距离大于2. 如图，P (A )＝S 2S ＝S －S 1S ＝4－π4. 4.π6 解析：设正方体棱长为a ，则正方体的体积为a 3，内切球的体积为43π×⎝⎛⎭⎫a 23＝π6a 3，故M 在球O 内的概率为π6a 3a 3＝π6. 5.25解析：区域D 为区间[－2,3]，d 为区间(1,3]，而两个区间的长度分别为5,2.故所求概率P ＝25. 考点探究突破【例1】 59解析：函数f (x )＝x 2－3x －4＝(x ＋1)(x －4)，因此当x ∈[－1,4]时，f (x )≤0，所以对任意x 0∈[－3,6]，使f (x 0)≤0的概率为4－(－1)6－(－3)＝59. 【例2】 716解析：以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15.在如图所示的平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得P (A )＝S A S ＝602－452602＝3 600－2 0253 600＝716. 所以两人能会面的概率是716. 【例3】解：记产品合格为事件A ，试验的全部结果所构成的区域是棱长为4 c m 的正方体的体积．由条件可以发现要使产品合格，球心距离正方体表面要0.6 c m ，所以球心必须在正方体内的一个棱长为2.8 c m 的正方体内部才符合题意，所以构成事件A 的区域是棱长为2.8 c m 的正方体的体积，这样产品合格的概率P (A )＝2.8343＝0.343. 演练巩固提升针对训练1.16解析：设A ＝{等待的时间不多于10分钟}，我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内，由几何概型的概率公式，得P (A )＝60－5060＝16. ∴所求的概率为16. 2.12 解析：这是一道几何概型的概率问题，点Q 取自△ABE 内部的概率为S △ABE S 矩形ABCD＝12·|AB |·|AD ||AB |·|AD |＝12. 3.78 解析：若V P ABC ＝12V SABC ，则P 点到面ABC 的距离与S 点到面ABC 的距离之比为12. 如图所示，A ′，B ′，C ′分别为SA ，SB ，SC 的中点，若P 点在△A ′B ′C ′内(包括边界)，则V P ABC ＝12V SABC .若P 在三棱台A ′B ′C ′ABC 内，则V P ABC ＜12V SABC ，因为V SA ′B ′C ′V SABC＝18，故所求概率为78.。

《志鸿优化设计》2014届高考数学(苏教版)一轮复习教学案：第11章概率与统计11.4抽样方法

11.4 抽样方法考纲要求1．理解随机抽样的必要性和重要性．2．会用简单随机抽样法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法，或根据分层抽样比计算总体或样本中的个体数．1．简单随机抽样 (1)定义从个体数为N 的总体中__________取出n (n ＜N )个个体作为________，如果每个个体都有__________被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样．(2)分类简单随机抽样⎩⎪⎨⎪⎧， .2．系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n (n ＜N )的样本，系统抽样的步骤为： (1)采用______的方式将总体中的N 个个体编号．(2)将编号按间隔k 分段，当N n 是整数时，k ＝________；当Nn不是整数时，从总体中__________，使剩下的总体中个体的个数N ′能被n 整除，这时k ＝__________，并将剩下的总体重新编号．(3)在第一段中用简单随机抽样确定______的个体编号l .(4)按照一定的规则抽取样本，通常将编号为l ，______，______，…，________的个体抽出．3．分层抽样当总体由________的几个部分组成时，为了使______更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按________分成__________的几部分，然后按各部分在总体中__________实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样．1．某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一年级1 000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法正确的序号是__________．①1 000名学生是总体 ②每个学生是个体③1 000名学生的成绩是一个个体 ④样本的容量是1002．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是__________．3．(2019江苏盐城二模)某校共有学生2 000名，各年级人数如下表所示：年级高一高二高三人数 800 600 600__________．4．(2019江苏徐州质检)某校高一、高二、高三学生共有3 200名，其中高三800名，如果通过分层抽样的方法从全体学生中抽取一个160人的样本，那么应当从高三的学生中抽取的人数是__________．三种抽样方法有什么异同点？类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机从总体中逐个抽总体中的个体数抽样取较少系统抽样将总体均匀分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样抽样过程中每个个体被抽取的机会均等将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成一、系统抽样【例1】将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为_________________．方法提炼解决系统抽样问题要掌握系统抽样的以下特点： (1)元素个数多且均衡的总体； (2)各个个体被抽到的机会均等； (3)起始用简单随机抽样；(4)k ＝Nn(不能整除的，剔出余数)．请做针对训练2二、分层抽样【例2】某政府机关在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解职工对政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本．试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．方法提炼分层抽样适用于总体是由差异明显的几部分组成的情况，这样更能反映总体的情况，是等可能抽样．当各层抽取的个体数目确定后，每层中的样本抽取可用简单随机抽样或系统抽样的方法．用分层抽样法抽样的关键是确定抽样比，抽样比＝样本容量总体中的个体数＝每层抽取的个体数该层的个体数.用抽样比乘以该层的个体数等于在该层中抽取的个体数．请做针对训练3从近三年高考试题来看，本节考查的重点是分层抽样．牢记从各部分抽取的个体数与该部分个体数的比值等于样本容量与总体的个体数的比值，是正确解决此问题的关键，抽样过程为不放回抽样，且必须保证每个个体被抽到的可能性相同．该部分题型多以填空题为主，属于容易题．1．用随机数表从100名学生(其中男生25人)中抽取20人进行评教，某男生被抽到的概率是__________．2．(2019江苏南京金陵中学预测卷)高三(1)班共有56人，学号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为__________．3．某工厂生产了某种产品3 000件，它们来自甲、乙、丙三条生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若从甲、乙、丙三条生产线抽取的个数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则乙生产线生产了__________件产品．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)逐个不放回地样本相同的机会 (2)抽签法随机数表法2．(1)随机 (2)Nn 剔除一些个体 N ′n(3)起始 (4)l ＋k l ＋2k l ＋(n －1)k3．差异明显样本不同的特点层次比较分明所占的比基础自测1．④ 解析：①中1 000名学生的成绩是总体，②中每个学生的成绩是个体，③中一名学生的成绩是一个个体．2．系统抽样解析：由所给的数据可以看出这种抽样方法为系统抽样．3．36 解析：按比例分配得120×600800＋600＋600＝36(人)．4．40 解析：160×14＝40.考点探究突破【例1】 25,17,8 解析：由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300得k ≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300＜3＋12(k －1)≤495得1034＜k ≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.所以第Ⅲ营区被抽中的人数是50－42＝8.【例2】解：因机构改革关系到每人的不同利益，故采用分层抽样的方法为妥． ∵10020＝5，105＝2，705＝14，205＝4， ∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．因副处级以上干部与工人人数都较少，把他们分别按1～10编号与1～20编号，然后制作号签，采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00,01，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．演练巩固提升针对训练 1.15解析：简单随机抽样时每个个体被抽到的可能性相同． 2．20 解析：采用系统抽样，所抽出的样本成等差数列，故另一个同学的学号应是20. 3．1 000 解析：因为a ，b ，c 构成等差数列，根据分层抽样的原理，所以甲、乙、丙三条生产线生产的产品数也成等差数列，其和为3 000件，所以乙生产线生产了1 000件产品．。

《志鸿优化设计》2019年高考数学人教A版理科二轮练习题库：第二章函数2.4一次函数、二次函数

《志鸿优化设计》2019年高考数学人教A 版理科二轮练习题库：第二章函数2．4一次函数、二次函数【一】选择题1．某二次函数的图象与函数y ＝2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，那么此函数的解析式为( )．A 、y ＝2(x －1)2＋3B 、y ＝2(x ＋1)2＋3C 、y ＝－2(x －1)2＋3D 、y ＝－2(x ＋1)2＋3 2．如果函数f(x)＝x2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么( )．[来源:学|科|网]A 、f(－2)＜f(0)＜f(2)B 、f(0)＜f(－2)＜f(2)C 、f(2)＜f(0)＜f(－2)D 、f(0)＜f(2)＜f(－2) 3．假设x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y2的最小值为( )．A 、2 B.34 C.23 D 、04．假设二次函数f(x)＝ax2＋bx ＋c 满足f(x1)＝f(x2)，那么f(x1＋x2)等于( )．A 、－b 2aB 、－b aC 、cD 、4ac －b24a5．函数f(x)＝－x2＋(2a －1)|x|＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，那么实数a 的取值范围是( )．A 、a ＞23B 、12＜a ＜32C 、a ＞12D 、a ＜126．函数f(x)＝ax2＋(b ＋c)x ＋1(a ≠0)是偶函数，其定义域为[a －c ，b]，那么点(a ，b)的轨迹是( )．A 、线段B 、直线的一部分C 、点D 、圆锥曲线[来源:] 7．假设函数f(x)＝x2－|x ＋a|为偶函数，那么实数a 的值为( )． A 、0 B 、1C 、2D 、3 【二】填空题8．函数f(x)＝2x2－6x ＋1在区间[－1,1]上的最小值是__________，最大值是__________．9．设二次函数f(x)＝ax2＋2ax ＋1在[－3,2]上有最大值4，那么实数a 的值为__________．10．(2019江苏高考)函数f(x)＝x2＋ax ＋b(a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，假设关于x 的不等式f(x)＜c 的解集为(m ，m ＋6)，那么实数c 的值为__________．【三】解答题11．函数f(x)＝－x2＋ax ＋12－a 4在区间[0,1]上的最大值为2，求a 的值．12．二次函数f(x)＝ax2＋bx ＋1(a ＞0)，设f(x)＝x 的两个实根为x1，x 2.(1)如果b ＝2且|x2－x1|＝2，求a 的值；(2)如果x1＜2＜x2＜4，设函数f(x)的对称轴为x ＝x0，求证：x0＞－1.参考答案【一】选择题1．D 解析：设所求函数的解析式为y ＝a(x ＋h)2＋k(a ≠0)，由题意可知a ＝－2，h ＝1，k ＝3，故y ＝－2(x ＋1)2＋3.2．D 解析：由f(1＋x)＝f(－x)可知，函数的对称轴为x ＝12，即－b 2＝12， ∴b ＝－1，那么f(x)＝x2－x ＋c ，结合函数图象可知f(0)＜f(2)＜f(－2)，应选D.3．B 解析：2x ＋3y2＝2(1－2y)＋3y2＝3y2－4y ＋2，∵x ＝1－2y ≥0，y ≥0，∴y 的取值范围为0≤y ≤12.设f(y)＝3y2－4y ＋2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＋23. ∴y ＝12时，f(y)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34，即当y ＝12且x ＝0时，2x ＋3y2有最小值34.[来源:]4．C 解析：由f(x1)＝f(x2)且f(x)的图象关于x ＝－b 2a 对称，∴x1＋x2＝－b a ，∴f(x1＋x2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a＝a ·b2a2－b ·b a ＋c ＝c.选C.5．C 解析：f(x)＝－x2＋(2a －1)|x|＋1是由函数f(x)＝－x2＋(2a －1)x ＋1变化得到，第一步保留y 轴右侧的图象，再作关于y 轴对称的图象．因为定义域被分成四个单调区间，所以f(x)＝－x2＋(2a －1)x ＋1的对称轴在y 轴的右侧，使y 轴右侧有两个单调区间，对称后有四个单调区间．所以2a －12＞0，即a ＞12.应选C.6．B 解析：∵偶函数的定义域关于原点对称，且f(－x)＝f(x)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝0，a －c ＋b ＝0，b>0.∴a ＝－2b(b ＞0)，即点(a ，b)的轨迹是直线的一部分． 7．A 解析：∵f(－x)＝f(x)，∴(－x)2－|－x ＋a|＝x2－|x ＋a|，∴|－x ＋a|＝|x ＋a|，∴(－x ＋a)2＝(x ＋a)2，即4ax ＝0，∴a ＝0.【二】填空题8．－3 9 解析：f(x)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－72. 当x ＝1时，f(x)min ＝－3；当x ＝－1时，f(x)max ＝9.9．38或－3 解析：f(x)的对称轴为x ＝－1.当a ＞0时，f(2)＝4a ＋4a ＋1＝8a ＋1，f(－3)＝3a ＋1.∴f(2)＞f(－3)，即f(x)max ＝f(2)＝8a ＋1＝4.[来源:1ZXXK]∴a ＝38.当a ＜0时，f(x)max ＝f(－1)＝a －2a ＋1＝－a ＋1＝4，∴a ＝－3.综上所述，a ＝38或a ＝－3.10．9 解析：∵f(x)＝x2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝a2－4b ＝0.①又∵f(x)＜c 的解集为(m ，m ＋6)，即x2＋ax ＋b －c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，∴m ，m ＋6是对应方程x2＋ax ＋b －c ＝0的两个根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋(m ＋6)＝－a ，m(m ＋6)＝b －c ，②③ 由②得，a2＝4m2＋24m ＋36，④ 由③得，4b －4c ＝4m2＋24m ，⑤由①④⑤可得，4m2＋24m ＋36＝4m2＋24m ＋4c ，解得c ＝9.【三】解答题11．解：f(x)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋12－a 4＋a24. ①当a 2∈[0,1]，即0≤a ≤2时，f(x)max ＝12－a 4＋a24＝2，那么a ＝3或a ＝－2，不合题意．②当a 2＞1，即a ＞2时，f(x)max ＝f(1)＝2⇒a ＝103.③当a 2＜0，即a ＜0时，f(x)max ＝f(0)＝2⇒a ＝－6.f(x)在区间[0,1]上最大值为2时，a ＝103或a ＝－6.12．(1)解：当b ＝2时，f(x)＝ax2＋2x ＋1(a ＞0)，方程f(x)＝x 为ax2＋x ＋1＝0.|x2－x1|＝2⇒(x2－x1)2＝4⇒(x1＋x2)2－4x1x2＝4.[来源:1] 由韦达定理可知，x1＋x2＝－1a ，x1x2＝1a .代入上式可得4a2＋4a －1＝0，解得a ＝－1＋22或a ＝－1－22(舍去)． (2)证明：∵ax2＋(b －1)x ＋1＝0(a ＞0)的两根满足x1＜2＜x2＜4，设g(x)＝ax2＋(b －1)x ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ g(2)<0，g(4)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2(b －1)＋1<016a ＋4(b －1)＋1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2a>14，b<14.∴2a －b ＞0. 又∵函数f(x)的对称轴为x ＝x0，∴x0＝－b 2a ＞－1.。

【志鸿优化设计】(湖南专用)高考数学一轮复习第十一章概率与统计11.8用样本估计总体教学案理

11.8 用样本估计总体考纲要求1．了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．3．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．5．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．1．用样本的频率分布估计总体分布(1)频率分布表与频率分布直方图频率分布表和频率分布直方图，是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布规律，它可以使我们看到整个样本数据的频率分布情况．绘制频率分布直方图的步骤为：①________；②___________；③____________；④____________；⑤___________.(2)频率分布折线图连接频率分布直方图中______________，就得到频率分布折线图．(3)总体密度曲线总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息．(4)茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图．茎是指____的一列数，叶是从茎的____生长出来的数．2．用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．(2)中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数．(3)平均数：x＝____________，反映了一组数据的平均水平．(4)标准差：s＝_________________，反映了样本数据的离散程度．(5)方差：s2＝________________，反映了样本数据的离散程度．1．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有( )．A．75辆B．120辆C．180辆D．270辆2．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13,14,19，x,23,27,28,31，其中，中位数为22，则x等于( )．A．21 B．22 C．23 D．203．如图是某学校举行的运动会上，七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )．A．84,4.84 B．84,1.6C．85,1.6 D．85,44．甲、乙两人比赛射击，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：5,6,9,10,5，那么这两人中成绩较稳定的是__________．5．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4,5)上的数据的频数为__________．一、用样本的频率分布估计总体分布【例1－1】为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是__________．【例1－2】从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15； [80,90)，12；[90,100]，8.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计成绩在[60,90)分的学生比例．方法提炼频率分布直方图是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，表示数据分布的规律．图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，它直观反映了数据在各个小组的频率的大小．请做演练巩固提升2,4二、用样本的数字特征估计总体【例2】从甲、乙两种玉米苗中各抽取10株，分别测得它们的株高如下：(单位：cm) 甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？方法提炼1．用样本的平均数、方差可以估计总体的平均数和方差．平均数可反映总体取值的平均水平，方差可以反映总体的稳定性，方差越大，稳定性越差，方差越小，稳定性越好．2．茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．但是茎叶图不能直接反映总体的分布情况，往往要根据茎叶图所给数据求出其数字特征，进一步估计总体情况．请做演练巩固提升1,3巧用中点值来估算【典例】 (12分)(2012广东高考)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.(3分)(2)平均分约为55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73.(7分)(3)易得数学成绩在[50,90)内的人数为5＋20＋40＋25＝90，(10分)∴数学成绩在[50,90)之外的人数为100－90＝10.(12分)答题指导：1.用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布，难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致．通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计．2．若取值x1，x2，…，x n的频率分别为p1，p2，…，p n，则其平均值为x1p1＋x2p2＋…＋x n p n；若x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b的平均数为a x＋b，方差为a2s2.1．(2012陕西高考) 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )．A．46,45,56 B．46,45,53C．47,45,56 D．45,47,532．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m o，平均值为x，则( )．A．m e＝m o＝x B．m e＝m o＜xC．m e＜m o＜x D．m o＜m e＜x3.甲、乙两个体能康复训练小组各有10名组员，经过一段时间训练后，某项体能测试结果的茎叶图如图所示，则这两个小组中体能测试平均成绩较高的是__________组．4．(2012山东高考)如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为__________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)①求极差 ②决定组距与组数 ③将数据分组 ④列频率分布表 ⑤画频率分布直方图(2)各小长方形上端的中点 (4)中间旁边2．(3)x 1＋x 2＋…＋x n n(4)1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2] (5)1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2] 基础自测1．C 解析：据直方图可得300辆中车速低于限速的汽车所占的频率为10×0.025＋10×0.035＝0.6，故其频数为300×0.6＝180. 2．A 解析：因为样本数据个数为偶数，中位数为x ＋232＝22，故x ＝21. 3．C 解析：去掉最高分93，最低分79.平均分为15(84＋84＋86＋84＋87)＝85，方差s 2＝15[(84－85)2＋ (84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝1.6. 4．乙解析：x 乙＝5＋6＋9＋10＋55＝7，2s 乙＝15[(5－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(5－7)2]＝4.4，∵2s 甲＞2s 乙， ∴乙的成绩较稳定．5．30 解析：样本数据在[1,4)和[5,6]上的频率为(0.05＋0.10＋0.15＋0.40)×1＝0.7，故样本数据在[4,5)上的频率为1－0.7＝0.3，其频数为100×0.3＝30.考点探究突破【例1－1】 48 解析：据图可得第4小组及第5小组的频率之和为5×(0.037＋0.013)＝0.25，故前3个小组的频率之和为1－0.25＝0.75，即第2小组的频率为0.75×26＝0.25.又第2小组的频数为12，故样本容量为120.25＝48. 【例1－2】解：(1)(2)(3)成绩在[60,90)的学生比例即为学生成绩在[60,90)的频率，即估计成绩在[60,90)分的学生比例为(0.20＋0.30＋0.24)×100%＝74%.【例2】解：(1)x 甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30， x 乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31， ∴x 甲＜x 乙．(2)2s 甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝104.2，同理2s 乙＝128.8，∴2s 甲＜2s 乙．∴乙种玉米的苗长得高，甲种玉米的苗长得整齐．演练巩固提升1．A 解析：由茎叶图可知中位数为46，众数为45，极差为68－12＝56.故选A.2．D 解析：由题目所给的统计图示可知，30个得分中，按大小顺序排好后，中间的两个得分为5,6，故中位数m e ＝6＋52＝5.5，又众数m o ＝5，平均值 x ＝3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×230＝17930，∴m o ＜m e ＜x . 3．甲解析：由茎叶图所给数据依次确定两组体能测试的平均成绩分别为x 甲＝63＋65＋66＋71＋77＋77＋79＋81＋84＋9210＝75.5， x 乙＝58＋68＋69＋74＋75＋78＋79＋80＋82＋9110＝75.4，故平均成绩较高的是甲组．4．9 解析：由于组距为1，则样本中平均气温低于22.5 ℃的城市频率为 0．10＋0.12＝0.22.平均气温低于22.5℃的城市个数为11，所以样本容量为110.22＝50. 而平均气温高于25.5 ℃的城市频率为0.18，所以，样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为50×0.18＝9.。

【志鸿优化设计】高考数学一轮复习第11章概率与统计11.1随机事件及其概率教学案苏教版

第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

总第（2）课时课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

回归教材：高考教材优化演练(十一) 概率与统计(附答案)

高考教材优化演练(十一) 概率与统计一离散型随机变量的分布列,期望,方差1抛掷一个骰子,求得到的点数为ξ的分布列,期望,方差.2某一射手射击所得环数ξ的分布列如下:Pξ≥; (3)求所得环数ξ的期望.(1)求p的值; (2)求(7)3某人每次射击击中目标的概率是0.2,射击中每次射击的结果是相互独立的,求他在10次射击中击中目标的次数ξ的分布列,期望,方差.4某人每次投篮投中的概率为0.1,各次投篮的结果互相独立.求他首次投篮投中时投篮次数ξ的分布列,期望,方差.5篮球运动员在比赛中第次罚球命中得1分,罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球1次的得分ξ的分布列,期望,方差.6在独立重复试验中,每次试验中某事件发生的概率是0.8,求第3次事件发生所需要的试验次数ξ的分布列.7抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,求得分ξ的分布列, 期望,方差.8抛掷两个骰子,(1)求所得两个点数之差的绝对值的分布列. (2)求所得两个点数的积的分布列; (3)求所得两个点数的和的分布列;9从1,2,3,⋅⋅⋅,n 这n 个数中任取两个,求两数之积的数学期望.10设随机变量ξ满足(1)P p ξ==,(0)1P p ξ==-,则E ξ= ,D ξ= . 11某工厂规定,如果工人在一个季度里有1个月完成任务,可得奖金90元;如果有2个月完成任务,可得奖金210元;如果有3个月完成任务,可得奖金330元;如果工人三个月都未完成任务,则没有奖金.假设某工人每月完成任务与否是等可能的,求此工人在一个季度里所得奖金的期望.12设连续型随机变量ξ的密度函数(10)()(01)0(11)c x x f x c x x x x +-<≤⎧⎪=-<≤⎨⎪≤->⎩或,则常数c = .13盒子中有5个球,其中有3个白球,2个黑球,从中任取两个球,求白球数ξ期望和方差.二统计(抽样方法总体分布的估计)14将全班女学生(或男学生)按座位编号,制作相应的卡片号签,放入同一个箱子里均匀搅拌. 从中抽出8个号签,就相应的8名学生对看足球比赛的喜欢程度进行调查,这里运用了抽取样本的方法.15一个礼堂有30排座位,每排有40个座位.一次报告会礼堂坐满了听众.会后为听取意见留下了座号为14的所有30名听众进行座谈. 这里运用了抽取样本的方法. 16某市的3个区共有高中学生20000人,且3个区的高中学生人数之比为2:3:5,现要用分层抽样方法从所有学生中抽取一个容量为200的样本,这3个区分别应抽取人. 17某单位有老年人28人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们的身体状况的某项指标, 需从他们中抽取一个容量为36的样本,则适合的抽样方法是 A 简单随机抽样 B 系统抽样C 分层抽样D 先从老年人中剔除一人,然后分层抽样参考答案:一1.解:得到的点数为ξ的分布列为:E ξ=16⨯+26⨯+36⨯+46⨯+56⨯+66⨯=3.5; D ξ=(123.5)-6⨯+(223.5)-6⨯+(323.5)-16⨯+(423.5)-16⨯+(523.5)-16⨯+(623.5)-16⨯=2.91.2.(6P 例1)(1)0.29; (2)0.88; (3)8.32.3.(7P 例2)ξ的分布列为:E ξ=np=10⨯0.2=2; D ξ=npq=10⨯0.2⨯0.8=1.6.4.(8P 例3)解:他首次投篮投中时投篮次数ξ的分布列为:E ξ=11100.1p ==;D ξ=2210.1900.1q p -==. 5.解:他罚球1次的得分ξ的分布列为:(0)0.3P ξ==,(1)0.7P ξ==;00.310.70.7E ξ=⨯+⨯=,22(00.7)0.3(10.7)0.7D ξ=-⨯+-⨯.6.解:第3次事件发生所需要的试验次数ξ的分布列为:333(3)0.8P C ξ==, 223(4)0.80.20.8P C ξ==⨯⨯⨯,2231()0.80.20.8k k P k C ξ--==⨯⨯⨯.(k=4,5,6…)7.解:得分ξ的分布列为: 1(1)2P ξ==,1(1)2P ξ=-=. 111(1)022E ξ=⨯+-⨯=,2211(10)(10)122D ξ=-⨯+--⨯=.(或22112E ξ=⨯+21(1)12-⨯=,22()00E ξ==,得22()1D E E ξξξ=-=) 8.(1)分析:两个点数之差情况如下:解(1)所得两个点数之差ξ的绝对值的分布列为(2),(3)略. 9. 21[121312324(1)]nE n n n C ξ=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+- =21(1)(1)(21){[]}(1)26n n n n n n n +++--=1(1)(32)12n n ++.10.p;(1-p)p.11.设此工人在一个季度里所得奖金为ξ,因为工人每月完成任务与否是等可能的, 所以他每月完成任务的概率等于1.得得153.75E ξ=(元).12.1. 13.解:由22251(0)10C P C ξ===.1132253(1)5C C P C ξ===.23253(2)10C P C ξ===.得 133012 1.210510E ξ=⨯+⨯+⨯=222133(0 1.2)(1 1.2)(2 1.2)0.3610510D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=.14.抽签法.15.系统抽样.16.40,60,100. 17.D.。

《志鸿优化设计》2019年高考数学(人版)二轮练习教学案：第11章概率与统计11.2古典概型

《志鸿优化设计》2019年高考数学（人版）二轮练习教学案：第11章概率与统计11．2古典概型考纲要求1．理解古典概型及其概率计算公式．2．会用列举法计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．1．基本事件(1)基本事件：在一次试验中可能出现的每一个________．(2)等可能基本事件：在一次试验中，每个基本事件发生的可能性____ ____，那么称这些基本事件为等可能基本事件．2．古典概型的特点(1)所有的基本事件只有______；(2)每个基本事件的发生都是______．3．古典概型概率的计算公式如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是______．如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝________，即P(A)＝事件A包含的基本事件数.[来源:学。

科。

网]试验的基本事件总数1．有100张卡片(从1号到100号)，从中任取1张，取到卡号是7的倍数的概率为__________．2．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P 1，P2，P3，那么它们的大小关系是__________．3．在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，假设一位考生只会答5道题中的3道题，那么这位考生能够及格的概率为__________．4．(2019江苏泰州联考)三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为__________．5．(2019江苏南京高三一模)袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有〝2”〝3”〝4”〝6”这四个数．现从中随机选取三个球，那么所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是_________ _．1．基本事件有何特点？提示：基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有以下两个特点：(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(不可能事件除外)．2．古典概型的特征是什么？提示：古典概型所包含的基本事件的个数是可数的，确保每一个基本事件发生的可能性相同是使用古典概型概率公式求某一事件概率的基本要求，忽视古典概型成立的条件是致错的重要原因．【一】基本事件及事件的概率【例1】有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数．试写出：(1)试验的基本事件；(2)事件〝出现点数之和大于3”；(3)事件〝出现点数相等〞．方法提炼解决古典概型问题首先要搞清所求问题是否是古典概型问题，其判断依据是：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等．其次要搞清基本事件的总数以及所求事件中包含的基本事件的个数，然后利用古典概型的概率公式求解．请做针对训练3【二】古典概型【例2】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛．(1)求所选3人都是男生的概率；[来源:学,科,网Z,X,X,K](2)求所选3人中恰有1名女生的概率；(3)求所选3人中至少有1名女生的概率．方法提炼解决古典概型的关键是：列出所有的基本事件，并且确定构成事件的基本事件．[来源:1]第(2)问既可以转化为求事件和的概率，也可以运用对立事件求解．一般涉及〝至多〞、〝至少〞等事件的概率计算问题时，可以考虑求其对立事件的概率，从而简化运算．请做针对训练1【三】古典概型综合应用【例3】一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．方法提炼根据题意，正确写出基本事件空间是解决本类问题的关键，在写基本事件空间时可以利用列表、画树状图等方法，以防遗漏．请做针对训练2通过对近三年江苏高考试卷的分析可以看出：理解古典概型成立的条件是正确使用该模型的关键，用列举法列举出随机事件所包含的所有基本事件以及某事件发生所包含的基本事件是使用该公式的关键．1．(2019江苏高考)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，假设从这10个数中随机抽取一个数，那么它小于8的概率是__________．2．(2019江苏无锡五校联考)某地区有3个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电(选择哪一天是等可能的)，假定各个工厂的选择互不影响，那么这3个工厂选择同一天停电的概率为_________ _．3．盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品．(1)从中取出1只，然后放回，再取1只，求连续2次取出的都是正品的概率；(2)从中一次任取出2只，求2只都是正品的概率．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)基本结果 (2)都相同2．(1)有限个 (2)等可能的3.1n m n [来源:学,科,网Z,X,X,K]基础自测1.750 解析：有100张卡片(从1号到100号)，从中任取1张，有100种取法，而卡号是7的倍数的有14种，所以概率为750.2．P1＜P2＜P3 解析：先后掷两颗骰子的结果共有36种．其中出现点数之和为12,11,10的结果分别为(6,6)；(5,6)，(6,5)；(4,6)，(5,5)，(6,4)，即其包含的基本事件的个数分别为1,2,3.故P1＝136，P2＝236，P3＝336.3.7104.13 解析：三张卡片排成一排共有BEE ，EBE ，EEB 三种情况，故恰好排成BEE 的概率为13.5.12 解析：总的取法是(2,3,4)，(2,3,6)，(2,4,6)，(3,4,6)，共4种，其中能构成等差数列的有(2,3,4)，(2,4,6)共2组，故所求概率P ＝24＝12.考点探究突破【例1】解：(1)这个试验的基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(2)事件〝出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(3)事件〝出现点数相等〞包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．【例2】解：4名男生记为1,2,3,4,2名女生记为5,6，从这6个人中选3个人的方法有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,2,6)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,3,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(4,5,6)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,3,6)，(1,4,5)，(1,4,6)，(1,5,6)，(2,4,5)，(2,4,6)，(2,5,6)，(3,5,6)共20种方法．(1)所选3人都是男生的情况有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)共4种，故所选3人都是男生的概率为420＝15.(2)所选3人中恰好有1名女生的情况有(1,2,5)，(1,2,6)，(2,3,5)，(2,3,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(1,3,5)，(1,3,6)，(1,4,5)，(1,4,6)，(2,4,5)，(2,4,6)共12种方法．故所选3人中恰有1名女生的概率为1220＝35.(3)所选3人中恰好有2名女生的情况有(1,5,6)，(2,5,6)，(3,5,6)，(4,5,6)，共4种情况，那么所选3人中至少有1名女生的情况共有12＋4＝16种．[来源:学,科,网Z,X,X,K]所以，所选3人中至少有1名女生的概率为1620＝45.【例3】解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个．因此所求事件的概率为P ＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n ≥m ＋2的事件有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P1＝316.故满足条件n ＜m ＋2的事件的概率为1－P1＝1－316＝1316.演练巩固提升针对训练1.35 解析：由题意可知，这10个数分别为1，－3,9，－27,81，－35，36，－37,38，－39，在这10个数中，比8小的有5个负数和1个正数，故由古典概型的概率公式得所求概率P ＝610＝35.2.149 解析：设〝这3个工厂选择同一天停电〞为事件A ，由题意知这是一个等可能事件，3个工厂选择停电的方式共有7×7×7＝343种，其中3个工厂在同一天停电的选法共有7种，故得所求概率为P(A)＝7343＝149.3．解：(1)将灯泡中2只正品记为a1，a2,1只次品记为b1，那么第一次取1只，第二次取1只，基本事件总数为9个，连续2次取正品的基本事件数是4个，所以其概率是P ＝49.(2)〝从中一次任取2只〞得到的基本事件总数是3，即a1a2，a1b1，a 2b1，〝2只都是正品〞的基本事件数是1，所以其概率为P ＝13.。

【志鸿优化设计】(安徽专用)2014届高考数学一轮复习第十一章概率与统计11.1事件与概率试题新

课时作业55 事件与概率一、选择题1．下列说法正确的是( )．A ．某事件发生的频率为P (A )＝1.1B ．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1C ．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件D ．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的2．甲：A 1，A 2是互斥事件；乙：A 1，A 2是对立事件，那么( )．A ．甲是乙的充分但不必要条件B ．甲是乙的必要但不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件3．从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为( )．A ．0.3B ．0.5C ．0.8D ．0.74．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1,2,3,4,5,6)，若前3次连续抛到“6点朝上”，则对于第4次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是( )．A ．一定出现“6点朝上”B ．出现“6点朝上”的概率大于16C ．出现“6点朝上”的概率等于16D ．无法预测“6点朝上”的概率5．给出以下三个命题：(1)将一枚硬币抛掷两次，记事件A ：“两次都出现正面”，事件B ：“两次都出现反面”，则事件A 与事件B 是对立事件；(2)在命题(1)中，事件A 与事件B 是互斥事件；(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A ：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B ：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A 与事件B 是互斥事件．其中真命题的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．36．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，A ＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a ，b ，则满足条件的三角形有两个解的概率是( )．A ．16B ．13C ．12D ．347．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据样本频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5～501.5 g 之间的概率约为( )．A ．0.25B ．0.20C ．0.35D ．0.45二、填空题8．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为__________．9．某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户，高收入家庭1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是__________．10．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是__________，他属于不超过2个小组的概率是__________．三、解答题11．下表为某班的英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1～5分五个档次．例如表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的共5人．设x ，y 分别表示英语成绩和数学成绩.(1)x ＝4的概率是多少？x ＝4且y ＝3的概率是多少？x ≥3的概率是多少？(2)x ＝2的概率是多少？a ＋b 的值是多少？12．(2012高考)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放)：“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱厨余垃圾 400 100 100可回收物 30 240 30其他垃圾 20 20 60(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a ＞0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值．(注：s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数)参考答案一、选择题1．B 解析：概率、频率的值不能大于1，故A 错；小概率事件不一定不发生，大概率事件也不一定发生，故C 错；概率是频率的稳定值，不会随试验次数的变化而变化，故D 错．2．B 解析：由互斥事件、对立事件的含义知选B.3．D4．C 解析：随机事件具有不确定性，与前面的试验结果无关．由于正方体骰子的质地是均匀的，所以它出现哪一个面朝上的可能性都是相等的．5．B 解析：(1)中A 与B 互斥但不对立；(2)是真命题；(3)事件A 与事件B 不互斥．6．A 解析：要使△ABC 有两个解，需满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞b sin A ，b ＞a . 因为A ＝30°，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＜2a ，b ＞a ，满足此条件的a ，b 的值有b ＝3，a ＝2；b ＝4，a ＝3；b ＝5，a ＝3；b ＝5，a ＝4；b ＝6，a ＝4；b ＝6，a ＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是636＝16. 7．A 解析：袋装食盐质量在497.5～501.5 g 之间的有5袋，故所求概率P ≈520＝0.25. 二、填空题8．359．5.7% 解析：所抽取的990户普通家庭中有50户拥有3套或3套以上住房，所抽取的100户高收入家庭中有70户拥有3套或3套以上住房，那么99 000户普通家庭中就约有5 000户拥有3套或3套以上住房，1 000户高收入家庭中就约有700户拥有3套或3套以上住房．那么该地100 000户居民中拥有3套或3套以上住房的家庭占的比例约为5 000＋700100 000×100%＝5 700100 000×100%＝5.7%. 10．351315解析：“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P ＝11＋10＋7＋86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝35. “不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”．故他属于不超过2个小组的概率是P ＝1－86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝1315. 三、解答题11．解：(1)P (x ＝4)＝1＋0＋7＋5＋150＝725；P (x ＝4，y ＝3)＝750， P (x ≥3)＝P (x ＝3)＋P (x ＝4)＋P (x ＝5)＝2＋1＋0＋9＋350＋725＋1＋3＋1＋0＋150＝710. (2)P (x ＝2)＝1－P (x ＝1)－P (x ≥3)＝1－110－710＝15.又∵P (x ＝2)＝1＋b ＋6＋0＋a 50＝15， ∴a ＋b ＝3.12．解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23. (2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值．因为x ＝13(a ＋b ＋c )＝200，所以s 2＝13×[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80 000.。

【志鸿优化设计】(山东专用)高考数学一轮复习第十一章概率与统计11.3随机数与几何概型练习理新

课时作业57 随机数与几何概型一、选择题1．如图，矩形长为6，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此试验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为( )．A ．3.84B ．4.84C ．8.16D ．9.162．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )．A ．14B ．13C ．427D ．415 3．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )．A ．14B ．12C ．34D ．234．若在区间[－5,5]内任取一个实数a ，则使直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2有公共点的概率为( )．A ．25B ．25C ．35D ．32105．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( )． A ．13 B ．2π C ．12 D ．236．(2012湖北高考)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )．A ．12－1πB ．1πC ．1－2πD ．2π7．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )．A ．π12B ．1－π12C ．π6D ．1－π6二、填空题8．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为__________．9．在区域M ＝{x ，y|⎩⎪⎨⎪⎧0<x <20<y <4}内随机撒一把黄豆，落在区域N ＝{x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y <4y >xx >0}内的概率是__________．10．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB的长度小于1的概率为________．三、解答题11．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )． (1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b ＜0的概率．12．一只蚂蚁在边长分别为5,6，13的三角形区域内随机爬行，试求其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率．参考答案一、选择题1．C 解析：矩形的面积为12，设椭圆的面积为S ，则S 12≈300－96300，解得S ≈8.16. 2．A 解析：面积为36 cm 2时，边长AM ＝6 cm ；面积为81 cm 2时，边长AM ＝9 cm.∴P ＝9－612＝312＝14.3．C 解析：如图，在AB 边上取点P ′，使AP ′AB ＝34，则P 只能在AP ′上(不包括P ′点)运动，则所求概率为AP ′AB ＝34. 4．B 解析：若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d ＝|1－2＋a |2＝|a －1|2≤2，解得－1≤a ≤3.又a ∈[－5,5]，故所求概率为410＝25.5．A 解析：如图，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上任取x,0＜cos x ＜12的x 的取值范围是x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.记“cos x 的值介于0到12之间”为事件A ，则P (A )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3π＝13.6．C 解析：设OA ＝OB ＝2R ，连接AB ，如图所示，由对称性可得，阴影的面积就等于直角扇形拱形的面积，S 阴影＝14π(2R )2－12×(2R )2＝(π－2)R 2，S 扇＝πR 2，故所求的概率是(π－2)R 2πR 2＝1－2π.7．B 解析：正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12.二、填空题 8．13 解析：[－1,2]的区间长度为3，[0,1]的区间长度为1，根据几何概型知所求概率为13.9．12解析：画出区域M ，N ，如图，区域M 为矩形OABC ，区域N 为图中阴影部分．S 阴影＝12×4×2＝4，故所求概率P ＝44×2＝12. 10．23解析：圆周上使弧AM 的长度为1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧12M M 的长度为2，B 点落在优弧12M M 上就能使劣弧AB 的长度小于1，所以劣弧AB 的长度小于1的概率为23.三、解答题 11．解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36个；由a·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；故满足a·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；满足a·b ＜0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y ＜0}；画出图形如下图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a·b ＜0的概率为2125.12．解：由题意，画出示意图(如图所示)．在△ABC 中，由余弦定理，得cos B ＝62＋52－(13)22×6×5＝45.于是sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.所以S △ABC ＝12×5×6×35＝9.又图中阴影部分的面积为△AB C 的面积减去半径为1的半圆的面积，即为S 阴影＝9－π2，所以蚂蚁恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为P ＝9－π29＝1－π18.。

《志鸿优化设计》2019年高考数学(人版)二轮练习题库：第8章立体几何8.3空间中的垂直关系练习

《志鸿优化设计》2019年高考数学（人版）二轮练习题库：第8章立体几何8．3空间中的垂直关系练习【一】填空题1．(2019安徽高考改编)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，那么〝α⊥β〞是〝a⊥b〞的_ _________条件．2．三个平面α，β，γ两两垂直，它们交于一点O，空间一点P到三个面的距离分别为2，3和25，那么PO＝__________.3．m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有以下四个命题：①假设m⊥α，n⊥β，m⊥n，那么α⊥β；②假设m∥α，n∥β，m⊥n，那么α∥β；③假设m⊥α，n∥β，m⊥n，那么α∥β；④假设m⊥α，n∥β，α∥β，那么m⊥n.其中所有真命题的序号是________．4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CD，CC1的中点，那么以下结论正确的选项是________．(写出所有正确结论的序号)①EG⊥平面ACC1A1②AC1∥平面EFG③平面EFG⊥平面ACC1A1④AC⊥平面EFG5．m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．以下命题中不正确的选项是______(填序号)．①假设m∥α，α∩β＝n，那么m∥n[来源:1ZXXK]②假设m∥n，m⊥α，那么n⊥α③假设m⊥α，m⊥β，那么α∥β④假设m⊥α，m⊂β，那么α⊥β6．(2019江苏泰州高三期末)设α，β，γ表示三个不同的平面，a ，b ，c 表示三条不同的直线，给出以下四个命题：①假设a ∥α，b ∥β，a ∥b ，那么α∥β；②假设a ∥α，b ∥α，β∩α＝c ，a ⊂β，b ⊂β，那么a ∥b ； ③假设a ⊥b ，a ⊥c ，b ⊂α，c ⊂α，那么a ⊥α；④假设α⊥γ，β⊥γ，那么α∥β或α⊥β.其中，为正确命题的是__________(填序号)．7．(2019浙江高考改编)矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝ 2.将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，以下说法中正确的选项是__________．①存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直；②存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直；③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直；[来源:学.科.网Z.X.X.K]④对任意位置，三对直线〝AC 与BD 〞，〝AB 与CD 〞，〝AD 与B C 〞均不垂直． 8．如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，沿BD 将△ABD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连结AC ，那么在四面体ABCD 的四个面中，互相垂直的平面有________对． 9．如图，PA ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，给出以下结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC.其中正确命题的序号是__________．【二】解答题10．(2019江苏泰州高三期末)如图，在三棱锥A BCD 中，BC ＝3，B D ＝4，CD ＝5，AD ⊥BC ，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，连结CE ，G 为CE 上一点．(1)求证：平面CBD ⊥平面ABD ；(2)假设GF ∥平面ABD ，求CG GE 的值．11．(2019江苏南通高三调研)如图，在六面体ABCD A1B1C1D1中，AA1∥CC1，A1B ＝A1D ，AB ＝AD.求证：(1)AA1⊥BD ；(2)BB1∥DD1.12．如图，三棱锥ABCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC＝AF AD＝λ(0＜λ＜1)．(1)求证：不论λ为何值时，总有平面BEF ⊥平面ABC ；(2)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD?参考答案【一】填空题[来源:Z_xx_]1．充分不必要条件2．5解析：把此模型想象成长方体的一个顶点到三个面的距离，PO 恰为该长方体的对角线长，故PO＝22＋32＋252＝5.3．①④4．③5．①解析：①中，直线m与直线n也可能异面，因此①不正确．6．②7．②解析：对于AB⊥CD，因为BC⊥CD，由线面垂直的判定可得CD⊥平面ACB，那么有CD⊥AC，而AB＝CD＝1，BC＝AD＝2，可得AC＝1，那么存在AC这样的位置，使得AB⊥CD成立，故应选②.8．3解析：平面ABD⊥平面BCD，平面ABD⊥平面ACD，平面A BC⊥平面BDC.9．①②③解析：∵PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O 的直径，∴CB⊥AC，CB⊥PA，CB⊥平面PAC.又AF⊂平面PAC，∴CB⊥AF.又∵E，F分别是点A在PB，PC上的射影，∴AF⊥PC，AE⊥PB.∴AF⊥平面PCB.故①③正确．[来源:1ZXXK]∴PB⊥平面AEF，故②正确．而AF⊥平面PCB，∴AE不可能垂直于平面PBC，故④错．【二】解答题10.解：(1)在△BCD中，BC＝3，BD＝4，CD＝5，所以BC⊥BD.又因为BC⊥AD，BD∩AD＝D，所以BC⊥平面ABD.又因为BC⊂平面BCD，所以平面CBD⊥平面ABD.(2)因为GF∥平面ABD，FG⊂平面CED，平面CED∩平面ABD＝DE，所以GF∥ED.因为F为CD的中点，所以G为线段CE的中点．所以CG GE ＝1.11．解：(1)取BD 的中点M ，连结AM ，A1M.因为A1D ＝A1B ，AD ＝AB ，所以BD ⊥AM ，BD ⊥A1M.又AM ∩A1M ＝M ，AM ，A1M ⊂平面A1AM ，所以BD ⊥平面A1AM.[来源:]因为AA1⊂平面A1AM ，所以AA1⊥BD.(2)因为AA1∥CC1，AA1平面D1DCC1，CC1⊂平面D1DCC1，所以AA1∥平面D1DCC1.又AA1⊂平面A1ADD1，平面A1ADD1∩平面D1DCC1＝DD1，所以AA1∥DD1.同理可得AA1∥BB1，所以BB1∥DD1.12．(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD.∵CD ⊥BC ，且AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC.又∵AE AC ＝AF AD ＝λ(0＜λ＜1)，∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD.∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF.∴不论λ为何值，恒有平面BEF ⊥平面ABC.(2)解：由(1)知，BE ⊥EF ，∵平面BEF ⊥平面ACD ，∴BE ⊥平面ACD.∴BE ⊥AC.∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝60°，∴BD ＝2，AB ＝2tan 60°＝ 6.∴AC ＝AB2＋BC2＝7.由AB2＝AE ·AC ，得AE ＝67. ∴λ＝AE AC ＝67.故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD.。

《志鸿优化设计》2019年高考数学(人版)二轮练习题库：第11章概率与统计11.3几何概型练习

《志鸿优化设计》2019年高考数学（人版）二轮练习题库：第11章概率与统计11．3几何概型练习【一】填空题1．P 是△ABC 所在平面内一点，PB→＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，那么黄豆落在△PBC 内的概率是__________．2．(2019江苏南通高三一调)在区间[－2,3]上随机取一个数x ，那么|x|≤1的概率为__________．3．设m 在[0,10]内随机地取值，那么方程4x2＋4mx ＋m ＋6＝0有实根的概率是__________．4．在正方体ABCD A1B1C1D1中随机取一点，那么该点落在四棱锥O ABCD(O 为正方体对角线的交点)内的概率是__________．5．在长为18 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，那么这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为__________．[来源:1ZXXK]6．在区间(0,1)上任取两个数，那么两个数之和小于65的概率是__________．7．(2019江苏无锡五校联考)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，那么该矩形面积小于32 cm2的概率为__________．8．(2019无锡高三第一学期期末考试)设点(a ，b)在平面区域D ＝{(a ，b)||a|≤1，|b|≤1}中均匀分布出现，那么双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e 满足1＜e ＜2的概率为__________．9．(2019江苏高三信息试卷)函数f(x)＝－x2＋ax －b ，假设a ，b 都是从区间[0,4]内任取的一个数，那么f(1)＞0成立的概率是__________．【二】解答题 10．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤6，0≤y ≤6表示的区域为A ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤6，x －y ≥0表示的区域为B ，在区域A 中任意取一点P(x ，y)，(1)求点P 落在区域B 中的概率；(2)假设x，y分别表示甲、乙两人各掷一个正方体骰子所得的向上的面的点数，求点P落在区域B中的概率．11.如以下图所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．12．向量a＝(2,1)，b＝(x，y)．(1)假设x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率；(2)假设x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．参考答案【一】填空题 1.12 解析：由题意可知，点P 位于BC 边的中线的中点处．记黄豆落在△PBC 内为事件D ，那么P(D)＝S △PBC S △ABC ＝12. 2.25 解析：利用几何概型公式直接计算可得．3.710 解析：区间[0,10]的长度是10，Δ＝(4m)2－4×4(m ＋6)＝16m2－16m －96≥0，m2－m －6≥0，∴m ≤－2或m ≥3.∴3≤m ≤10，其长度是7.∴所求概率P ＝710.4.16 解析：所求概率即为四棱锥OABCD 与正方体的体积之比．5.16 解析：设AM ＝x ，那么0≤x ≤18.由x2∈ [36,81]得x ∈ [6,9]，故所求概率为318＝16.6.1725 解析：设这两个数是x ，y ，那么试验所有的基本事件构成的区域是⎩⎨⎧ 0<x<1，0<y<1确定的平面区域，所求事件包含的基本事件是由⎩⎨⎧ 0<x<1，0<y<1，x ＋y<65确定的平面区域，如下图．阴影部分的面积是1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1725，所以两个数之和小于65的概率是1725.7.23 解析：令AC ＝x ，CB ＝12－x ，这时的面积为S ＝x(12－x)，根据条件S ＝x(12－x)＜32⇒x2－12x ＋32＞0⇒0＜x ＜4或8＜x ＜12，矩形面积小于32 cm2的概率P ＝4－0＋12－812＝23. 8.18 解析：双曲线的离心率e ＝c a ＝a2＋b2a ＜2，得b ＜a ，即a －b ＞0，又a ，b ＞0，记D ′＝{(a ，b)|a －b ＞0，a ＞0且b ＞0}，那么离心率e 满足1＜e ＜2的概率为P ＝D ′的测度D 的测度＝124＝18. 9.932 解析：f(1)＝－1＋a －b ＞0，即a －b ＞1，满足条件的区域如图中的△ABC.又A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，∴S △ABC ＝92，P ＝S △ABC S 正方形＝924×4＝932. 【二】解答题10．解：(1)设区域A 中任意一点P(x ，y) ∈B 为事件M.因为区域A 的面积为S1＝36，区域B 在区域A 中的面积为S2＝18，故点P 落在区域B 中的概率P(M)＝1836＝12. (2)设点P(x ，y)在区域B 中为事件N ，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点P(x ，y)的个数为36，其中在区域B 中的点P(x ，y)有21个，故点P 落在区域B 中的概率P(N)＝2136＝712.[来源:]11．解：弦长不超过1，即|OQ|≥32，而Q 点在直径AB 上是随机的，事件A ＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得 P(A)＝32×22＝32.∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－32. 所求弦长不超过1的概率为1－32.12．解：(1)设〝a ∥b 〞为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y.[来源:] 基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．那么P(A)＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16.(2)设〝a ，b 的夹角是钝角〞为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a ·b ＜0，即2x ＋y ＜0，且x ≠2y.基本事件空间为[来源:] Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，y ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2－1≤y ≤1，[来源:学&科&网] B ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，y ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2－1≤y ≤12x ＋y<0x ≠2y ，那么P(B)＝μB μΩ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32×23×2＝13，即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13.。