第三章 几何元素间的相对位置2

AD
2
d'
d
y
[例] 过点E 作线段AB、CD 的公垂线EF。 ff′
f
[例] 作三角形ABC，∠ABC为直角，使BC在MN上，且BC:AB =2:3。 b′c′=BC a′b′
b' c' AB
c
b
|yA-yB|
§3.3 直线与平面及两平面相对位置
一、直线与平面、平面与平面的平行
1 直线与一般面相互平行 EF平行于平面P AB平行于平面P
（a）立体图
(b) 二直相交线垂直
(c) 二直相交线垂直
(d) 二直相交线垂直
定理一 垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该 投影面上的投影仍反映直角。 定理二 两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该 投影面，则空间两直线的夹角必是直角。
[例] 求一点A到水平线BC的距离
m
n
四、一般位置直线与一般位置平面相交
1. 一般位置直线与一般位置平面相交，求交线 2. 一般位置直线与一般位置平面相交，判别其可见性
f' k' g'
步骤： 1．过DE作铅垂平 面P。 2．求P平面与 ∆ABC的交线FG。 3．求交线FG与DE 的交点K。 f k g PH
2. 直线DE与∆ ABC相交，判别其可见性。
（b）交线在一个面的轮廓之内
（c）交线互相穿插
2. 两一般位置平面相交（辅助平面法）
1' 4' 5' 6' 2' m' 3' 7' 8'
n' n 5 6 m 1 2 7 8 PH
3
4
QH
3 .两一般位置平面相交（线面交点法）
PV 2' k' 1' e' 1．用求直线与平 面交点的方法， 作出两平面的两 个共有点K、E。 2．连接两个共有 点，画出交线KE。 QV 两一般位置 平面相交，求交 线步骤：
另一判断法? 另一判断法?
应用定比性： 应用定比性： 因 ak/kb≠ a′k′ / k′b′ 所以点K不在 不在AB上 所以点 不在 上。
二、平面上的直线和点
D B C M A N D B
(a)
(b)
如果一直线通过平面上的两个点，或通过平面上的一个点又与该平面上 的另一条直线平行，则此直线必定在该平面上。 如果一个点在平面内的某一条直线上，则此点必定在该平面上。
●
k′
d′
O
b
步骤： 步骤
1.先作正面投影： 1.先作正面投影：作c′ d′∥OX 交a′ b′于k′。 先作正面投影 2.连接 并延长求得 2.连接ck并延长求得 。 连接 并延长求得d。
(3)两直线交叉
a′ c′ c
● ●
1′(2′ ) 3′ 4′
●
d′
投影特性
“交点”不符合空间一个 交点” 点的投影规律。 b 点的投影规律。 同面投影可能相交， b′ ★ 同面投影可能相交，但
B a′ c′ k′ d′ b′
d c k b
投影特性
若空间两直线相交，则其同面投影必相交， 若空间两直线相交，则其同面投影必相交， 且交点的投影必符合空间一点的投影规律。 且交点的投影必符合空间一点的投影规律。
点作水平线 相交。 例 过C点作水平线CD与AB 相交。
b′ c′● a′ X a d c k
2、平面与平面相互平行
两投影面垂直面相互平行
P
Q
PH
QH
两一般位置平面相互平行
g' i' h'
h i g
（3）[例题] 过点D作一平面与△ABC平行
e'
f'
e
f
二 直线与平面、平面与平面的垂直
一、直线与平面相互垂直 二、平面与平面相互垂直
一、直线与平面相互垂直
1. 直线垂直于一般位置平面 2. 直线垂直于投影面垂直面
[例题] 求作底边为AB、顶点落在直线DE上的等腰三角形△ ABC的两面投影 。
s'
平面P垂直平分AB
l' B P M A C m D 2 n l E m' 2'
c'
n'
s c
[例题] 作一直线与两交叉直线AB和CD相交，同时与另一直线EF平行
G
g' m' n'
M N g
m n
[例题7] 给出一个矩形相邻两边AB、BC的V投影及其中一边AB的H投影，试完 成矩形的投影。 e'
V a′ c′
C A
b′
B
ห้องสมุดไป่ตู้
b a c H
（定比性） 定比性）
◆若点的投影有一个不在直线的同面投影上， 则该点必 若点的投影有一个不在直线的同面投影上， 不在此直线上。 不在此直线上。
例 判断点K是否在线段AB上。
a′ k′● b′ ′ a k● b 方法二： 方法二： a″
●
k″
b″
不在a 因k″不在 ″ b″ 上故 不在AB上 点K不在 上。 不在
c'
c
直线与投影面垂直面相交时，该面的积聚投影与直线的同面投影的交点，就是所 求交点的同面投影。
2. [例题4] 求四棱锥与正垂面Q的截交线。
v f'(g') Q
e'
(h')
h g s' f e a
二、一般位置平面与投影面垂直面相交
d'
e'
d e
PV l' m'
QV n'
PW n"
QW
l QH PH
分析： 分析：
a″ d″
对于特殊位置直线， 只有两个同名投影互相 平行，空间直线不一定 平行。 求出侧面投影后可知： 不平行。 AB与CD不平行。
如何判断？ 如何判断？
方法： 方法：求出侧面投影
(2)两直线相交
V a′ A a k c c′ ′ k′ C K b′ d′ ′ D d b H a
交点符合点 的投影规律
直线与点的相对位置
直线与点有两种相对位置：点在直线上 点在直线外 直线与点有两种相对位置：点在直线上、点在直线外。
判别方法
若点在直线上, ◆ 若点在直线上 则点的投 影必在直线的同面投影上。 影必在直线的同面投影上。并 将线段的同面投影分割成与空 间相同的比例。 间相同的比例。即： AC/CB= ac/cb= a′c′ / c′b′
第三章 几何元素间的相对位置
§3.1 点线面的从属问题 §3.2 两直线相对位置 §3.3 直线与平面及两平面相对位置 §3.4 综合应用
§3.1 点线面的从属问题
一. 属于直线的点的投影 f' e' E F e' f'
e f (a) 直观图
e
f
(b) 点E属于直线AB，点F不属于AB
直线上的点分割线段的比例投影后不变
2 e k 1
4 .两一般位置平面相交，判别可见性
3' 1' (2') 2'
4'
2
3
(4) 4
1
§3.4 点、直线、平面的综合题
[例题5] 求作底边为AB、顶点落在直线DE上的等腰三角形△ ABC的两面投影 [例题6] 作一直线与两交叉直线AB和CD相交，同时与另一直线EF平行 [例题7] 给出一个矩形相邻两边AB、BC的V投影及其中一边AB的H投影，试完 成矩形的投影
所定， 例 已知平面由相交的两直线AB、AC 所定， 平面内任作一条直线 试在平面内任作一条直线。 试在平面内任作一条直线。 解法一 （利用方法一） 利用方法一）
b′ m′ a′ m a n c b a c n′ c′ a′ b d
解法二
b′ c′ d′
有无数个解。 有无数个解。
例2 在平面ABC 内作一条水平线，使其到 内作一条水平线， H 面的距离为20mm。 面的距离为20mm 20mm。
a′ m′ 20 n′ c′ b′ b m
结束
c n
结论：唯一解！ 结论：唯一解！
a
如图所示， 例3 如图所示，已知一般位置平面ABCD的正面投影和AB、
AD两条边的水平投影ab和ad，补全该面的水平投影。 补全该面的水平投影。
c′ b′ k′ d′
作图： 作图：
a′ a d b k c 2）连接b、d，在bd上求出 上求出 k，并连接 、k； ，并连接a、 ； 上求出c， 3）在ak上求出 ，连接 、c 上求出 连接b、 和d、c，即得该平面的水平 、 ， 投影； 投影；
D
G C
H
(2) [例题] 过点A作一水平线平行于平面BCD。
l' e'
l
e
2. 直线与投影面垂直面相互平行
V d' c' C d c PH a P a' D
b' B c'
d' a'
b' a'
b' c' d' a b PH c (d) d QV
A b c H PH
d a
b
(a)
(b)
(c)
投影面垂直面和直线相互平行，则该投影面垂直面的积聚投影与该直线的同面 投影平行。
j
三、 直线与平面、平面与平面相交
一、直线与投影面垂直面相交 二、一般位置面与投影面垂直面相交 三、两投影面垂直面相交 四、一般位置线与一般位置面相交 五、两一般位置面相交
一、直线与投影面垂直面相交
1. 直线与投影面垂直面相交 2. [例题] 求四棱锥与正垂面Q的截交线