山西省榆社中学2021届高三数学上学期第六次模块诊断试题理2

山西省榆社中学2021届高三数学上学期第六次模块诊断试题 理考查时间：120分钟 满分：150分 考查内容：高考综合一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}21B y Ry x =∈=-∣，则A B =A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,2D ．{}12．在复平面内，复数()i i a -对应的点的坐标为(1,2)-，则实数a =A ．1B ．1﹣C ．2D ．2﹣ 3．若OA AB ⊥，||1OA =，则()OA OA OB ⋅+= A ．2 B ．1 C ．-1 D ．04．已知}{n a 是等比数列，n S 是它的前n 项和，若22438a a a =，且18917=-a a ，则=5S A.33 B.93 C.-33 D.-93 5．设,l n 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是A ．若//,//l l αβ，则//αβB ．若//,//l αβα，则//l βC ．若α⊂n n l ,//,则α//lD ．若,l l αβ⊥⊥，则//αβ6．我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距()080θθ︒︒≤≤的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=．已知天顶距1θ︒=时，晷影长0.14l ≈．现测得午中晷影长度0.42l ≈，则天顶距为（参考数据：tan10.0175︒≈，tan 20.0349︒≈，tan 30.0524︒≈，tan 22.80.4204︒≈）A.2︒B.3︒ C ．11︒ D ．22.8︒7．若数列{}n a 的通项公式是1(1)(41)n n a n +=-+，则111221a a a +++=A ．45B ．65C ．69D ．105-8．直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，60BAC ∠=︒，则异面直线1BA 和1AC 所成角的余弦值为A ．32B ．34C ．14D ．139．若函数()221(log ,12,11)x f x x x x a x -<=-+≤⎧⎨>⎩的值域为R ，则a 的取值范围是 A ．[]22-, B ．(],2-∞ C ．[]0,1 D ．[)0,+∞10．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点,A B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是A 5B 10C ．52D ．511．已知0>ω，2πϕ≤，在函数()()sin f x x ωϕ=+，()()cos g x x ωϕ=+的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，当,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，则ϕ的取值范围是A ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(,)32D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．若存在一个实数t ，使得()F t t =成立，则称t 为函数()F x 的一个不动点.设函数()1()x g x e e x a =+--(a R ∈，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()g x 的一个不动点，则实数a 的取值范围为A ．,e ⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭C ．,e e ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D ．,e ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()f x 的R 上的奇函数，当0x <时，()221f x ax x =-+，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为2，则a =______．14.已知向量()()sin ,2a απ=+，()cos ,1b α=-，且//a b ，则2cos sin 2αα+=____. 15.如图，直三棱柱111ABC A B C -中,12AA =，1AB BC ==， 90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点.有下列判断： ① 直线AC 与直线1C E 是异面直线；②1A E 一定不垂直1AC ； ③ 三棱锥1E AAO -的体积为定值； ④1AE EC +的最小值为22. 其中正确的序号序号是______.16.ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，13AM AB =，2b =，27CM =，且2sin sin sin 2A B c B b -=，则ABC S ∆=________. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题12分）在ABC ∆中，42AC =，6C π∠=，点D 在BC 上，1cos 3ADC ∠=-. （1）求AD 的长；（2）若ABD ∆的面积为22，求AB 的长.18．（本小题12分）已知等差数列{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，若24,a a 是方程210210x x -+=的两个实根． （1）求n a 及n S ；（2）设()*112n a n n nb n a a +=+∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19. （本小题12分）如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，90DAB ∠=︒，112AD DC AB ===，四边形ACFE 为正方形，平面ACFE ⊥平面ABCD .（1）求证：平面BCF ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，是否存在点M 使平面MAB 与平面ACFE 所成二面角的平面角的余弦值为23，若存在，求线段FM 的长，若不存在，说明理由.20. （本小题12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，1(3,)2M -是椭圆C 上一点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)P -作直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B ，A 点关于x 轴的对称点为D ，问直线BD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.21．（本小题12分）已知函数22()1e xf x ax ax =++-. （1）若函数()()g x f x '=，试讨论()g x 的单调性； （2）若(0,)x ∀∈+∞，()0f x <，求a 的取值范围.22．（本小题10分）已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（1）把1C 的参数方程化为极坐标方程，并求曲线2C 的直角坐标方程； （2）求1C 与2C 交点的极坐标（0,ρ≥02θπ≤<）．2020—2021学年第一学期高三年级第六次模块诊断XX 试题评分细则1-6 BDABDB 7-12BCDBDB13.-2 14.1 15.①③④ 16.3 17．在△ABC 中，42AC =6C π∠=，点D 在BC 上，1cos 3ADC ∠=-. （1）求AD 的长；（2）若△ABD 的面积为2AB 的长； 解：（1）∵1cos 3ADC ∠=-,且0ADC π<∠< ∴2122sin 133ADC ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭， ……………2分 正弦定理有sin sin AD ACC ADC=∠∠，得sin 1423sin 222AC C AD ADC ∠===∠；……………5分（2）∵()22sin sin sin 3ADB ADC ADC π∠=-∠=∠=， 1sin 22ABD S AD BD ADB BD ∆=⋅⋅∠=， 222BD =2BD =， ……………8分 又∵()1cos cos cos 3ADB ADC ADC π∠=-∠=-∠=，由余弦定理得22213223293AB =+-⨯⨯⨯=， ∴3AB =．……………12分18．已知等差数列{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，若24,a a 是方程210210x x -+=的两个实根．（1）求n a 及n S ； （2）设()*112n a n n nb n a a +=+∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（1）因为等差数列{}n a 为递增数列，且2a ，4a 是方程210210x x -+=的两根， 所以2410a a +=，2421a a =，……………2分 解得2473a a ==⎧⎨⎩，或2437a a ==⎧⎨⎩，，又0d >，则2473a a ==⎧⎨⎩，，4222a a d -==，则11a =……………4分 故1(1)21()n a a n d n n =+-=-∈N *，21(121)2n S n n n =+-=．……………6分（2）2121111111222(21)(21)22121n a n n n n nb a a n n n n --+⎛⎫=+=+=-+ ⎪+--+⎝⎭，……………8分可得前n 项和2111111111(282)233552121n n T n n -⎛⎫=-+-+++-++++ ⎪-+⎝⎭……112(14)21(41)22114213n n n n n -⎛⎫=-+=+- ⎪+-+⎝⎭．……………12分 19. 如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，90DAB ∠=︒，112AD DC AB ===，四边形ACFE 为正方形，平面ACFE ⊥平面ABCD .（1）求证：平面BCF ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，是否存在点M 使平面MAB 与平面ACFE 所成二面角的平面角的余弦值为23，若存在，求线段FM 的长，若不存在，说明理由. （1）证明：在梯形ABCD 中，因为AB //CD ，1AD DC ==，2ADC π∠=，所以2AC =又因为2AB =，取AB 中点P ，连接PC ，则1PC =，1PB =，易知2BC =所以222AB AC BC =+， 所以BC AC ⊥.……………3分因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC =，BC ⊂平面ABCD 所以BC ⊥平面ACFE ，又BC ⊂平面BCF . 所以平面BCF ⊥平面ACFE ；……………5分（2）由（1）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示空间直角坐标系，令(02FM λλ=≤≤，则()0,0,0C ，)2,0,0A，()2,0B ，(2M λ所以()2,2,0AB =-，(2,0,2AM λ=……………6分 设()1,,n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由1100n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得(220220x z x λ⎧=⎪⎨⎪+=⎩取2x =，则()12,2,2n λ=，……………8分因为()20,1,0n =是平面ACFE 的一个法向量……………9分所以()()122212222cos 3222124n n n n θλλ⋅====⋅++-⨯-+……………11分可得2λ=，即22FM =.……………12分 20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，1(3,)2M -是椭圆C 上的一点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)P -作直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B ，A 点关于x 轴的对称点为D ，问直线BD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.（1）∵3c a =222a b c =+，∴224a b =，∴222214x y b b +=，…………3分将1)2M -代入椭圆C ，∴21b =，∴22:14x C y +=.……………5分（2）显然AB 斜率存在，设AB 方程 为：(4)y k x =+，2222221(14)3264404(4)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩， 2161920k ∆=->，∴2112k <. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，11(,)D x y -，∴21223214k x x k +=-+，212264414k x x k-=+，……………7分∵()211121:y y BD y y x x x x ++=--，∴0y =时211112*********()()8x y x y kx x k x x x x y y k x x k-++=+=+++……………9分2233222332644322()4()1288128141413232832()814k k k k k k k k k k k k k k kk -+---++===--++-++，……………11分 ∴直线BD 过定点(1,0)-.……………12分 21．已知函数22()1e xf x ax ax =++-.（1）若函数()()g x f x '=，试讨论()g x 的单调性； （2）若(0,)x ∀∈+∞，()0f x <，求a 的取值范围.解：（1）因为2()()22e xg x x ax f a ==+-'， ……………1分 所以()22()24e22e xx g x a a '=-=--，……………2分①当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在R 上单调递减. ……………3分 ②当0a >时，令()0g x '>，则1ln 22a x <；令()0g x '<，则1ln 22ax >， 所以()g x 在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1ln ,22a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减. ……………5分综上所述，当0a ≤时，()g x 在R 上单调递减； 当0a >时，()g x 在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1ln ,22a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减. （2）因为22()1e xf x ax ax =++-，可知(0)0f =，2()22e xf x ax a '=+-222e (21)2e (21)21x xa x x a x ⎛⎫=+-=+- ⎪+⎝⎭，令()0f x '=，得22e21xa x =+.……………6分设22()21xe h x x =+，则228e ()(21)x x h x x '=+.当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以()h x 在(0,)+∞上的值域是(2,)+∞，即22221xe x >+.……………8分当2a ≤时，()0f x '=没有实根，且()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0f x f <=，符合题意. ……………9分当2a >时，(0)2h a =<，所以22e ()21xh x a x ==+有唯一实根0x ，当()00,x x ∈时，()0f x '>，()f x 在()00,x 上单调递增，()(0)0f x f >=，不符合题意. ……………11分综上，2a ≤，即a 的取值范围为(],2-∞.……………12分 22．已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （1）把1C 的参数方程化为极坐标方程，并求曲线2C 的直角坐标方程； （2）求1C 与2C 交点的极坐标（0,ρ≥02θπ≤<）．解：（1）将45cos 55sin x ty t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=，即221:810160C x y x y +--+=，……………2分将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=， 得28cos 10sin 160ρρθρθ--+=，所以1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=；……………4分2:2sin C ρθ=，22sin ρρθ=，222x y y +=，所以2C 的普通方程为2220xy y +-=.……………6分（2）由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，……………8分所以1C 与2C 的交点的极坐标分别为4π⎫⎪⎭，2,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭．……………10分。