fisher算法及其matlab实现

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Fisher 判别法讲解以及matlab 代码实现
两类的线形判别问题可以看作是把所有样本都投影到一个方向上，然后在这个一维空间中确定一个分类的阈值。

过这个预置点且与投影方向垂直的超平面就是两类的分类面。

第一个问题，如何确定投影方向？
这里只讨论两类分类的问题.训练样本集是X ={x1,x2...xn},每个样本是一个d 维向量，其中第一类
w1={11x ，12x ...11n x },第二类w2={21x ，22x (2)
2n x }。

我们要寻求一个投影方向w （w 也是一个d 维向量），投影以后样本变成：i y =
i T x w (y 是一个标量)，i=1...n 在原样本空间中，类均值为： ∑∈=
i j w x j i i x n m 1 i=1,2(一共两类的均值)
（ps.i m 是一个d*1的矩阵，假设每个维度是一个变量值，mi 中的每一维度就是这些变量值的均值，如下图所示:
图1
特别注明：有些例子给的矩阵是这样的：
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图2
这里的单个样本是1*d 的矩阵，要注意计算的时候将其转置，不然套用fisher 算法公式的时候就会发现最后得到的矩阵维数不对。

定义各类类内的离散度矩阵为：（类内离散度矩阵其实就是类协方差矩阵，类在多于一个样本，且样本维度>1时是一个矩阵）
∑∈--=
i j w x T i j i j i m x m x
S ))(( （因为，j x 是一个d*1的矩阵，也可称作d 维向量，i m 也是一个d*1的矩阵，所以最后得到的i S 一定是一个d*d 的矩阵）
（在用matlab 计算的时候直接用cov （wi ）即可得到想要的协方差矩阵，故直接计算不探究细节时图2可直接cov 算协方差，不用根据公式转置来转置去，不过matlab 中算的协方差被缩小了（n1-1）倍，计算时i S =cov （w1）*（n1-1））
总的类内离散度矩阵：
页脚内容3 21S S S w +=
类间离散度矩阵定义为：
T
b m m m m S ))((2121--=
在投影以后的一维空间里，两类的均值分别是；
i
T
w x j T i w y i i ii m w x w N y N m i
j i j ===∑∑∈∈1
1
i=1,2
故类内离散度不再是一个矩阵，而是一个值
∑∈-=i
j w y ii i ii m y S 2
)
( i=1，2
总类内离散度为：
1111S S S ww +=
类间离散度：
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1111)(m m S bb -=
要使得需求的方向投影能在投影后两类能尽可能的分开，而各类内部又尽可能的聚集，可表示成如下准则，即fisher 准则：
ww bb S S w J =)(max
将公式代入并通过拉格朗日求极值的方法，可得投影方向：
)(211
m m S w w -=-
（w 是一个d*1的矩阵，或者说亦是一个d 维向量）
阈值可表示为： )(2
122110m m w +-= 最后将待确定样本代入
0)(w x w x g T
+=
判断)(x g 的符号和哪个类相同，确定其属于哪个类别。

例子（注意表格中所给的样本维度和公式中变量维度的问题）
代码已经运行无误
代码：
%读取excel中特定单元格的数据
w12=xlsread('E:\模式识别\理论学习\胃病分类问题.xls','C2:F16'); %分别选取类1和类2、测试样本的数据
w1=w12(1:5,:);
w2=w12(6:12,:);
sample=w12(13:15,:);
%计算类1和类2的样本数
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r1=size(w1,1);
r2=size(w2,1);
r3=size(sample,1);
%计算类1和类2的均值（矩阵）
m1=mean(w1);
m2=mean(w2);
%各类类内离散度矩阵（协方差矩阵）
s1=cov(w1)*(r1-1);
s2=cov(w2)*(r2-1);
%总类内离散度矩阵
sw=s1+s2;
%投影向量的计算公式
w=inv(sw)*(m1-m2)';
%计算投影后的一位空间内，各类的均值
y1=w'*m1';
y2=w'*m2';
%计算阈值
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w0=-1/2*(y1+y2);
%和类相同符号被归为同类
for i=1:r3
y(i)=sample(i,:)*w+w0;
if y(i)*(w'*w1(1,:)'+w0)>0
y(i)=1;
else
y(i)=2;
end
End
判断得出第一个待测样本属于类1，第二，三个待测样本属于类2
如果想进一步知道样本矩阵是如何转置得到最后结果的，可看下面这个例子，这个例子没有用到matlab 内置的cov协方差函数（用cov可以直接用样本数据直接进行矩阵运算，不用转置成样本维度向量），所以要进行转置后代入fisher准则公式求解.
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x=xlsread('E:\模式识别\理论学习\污染水域问题.xls','C3:F14'); x1=x(1:5,:)';
x2=x(6:10,:)';
sample=x(11:12,:)';
m1=zeros(size(x1,1),1);
% 求类内离散度矩阵
m1=mean(x1,2)
m2=mean(x2,2)
% 求类内离散度矩阵
s1=zeros(size(x1,1),size(x1,1));
for i=1:size(x1,2)
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s1=s1+(x1(:,i)-m1)*(x1(:,i)-m1)';
end
s2=zeros(size(x2,1),size(x2,1));
for i=1:size(x2,2)
s2=s2+(x2(:,i)-m2)*(x2(:,i)-m2)';
end
sw=s1+s2;
w=inv(sw)*(m1-m2);
y1=w'*m1;
y2=w'*m2;
w0=-1/2*(y1+y2);
for i=1:size(sample,2)
y(i)=w'*sample(:,i);
if y(i)+w0>0
y(i)=1;
else
y(i)=2;
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end
end
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