高等数学(上)第五章定积分总结复习课程

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高等数学第五章定积分习题课

x
x
∴ ∵
∴
Q( x ) ≡ c , Q ( 0) = 0 ,
Q( x ) ≡ 0 . 证毕 .
d x f (t)(x −t)dt 0 d x∫ = f (x) (x − x) =0?
13
例 6 . 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续且 f ( x ) > 0 ,
F ( x ) = ∫ f ( t ) dt + ∫
(1) . 若在 [ a , b ] 上 , f ( x ) ≥ 0 , 且 ∫ f ( x ) dx = 0 ,
a
b
则在 [ a , b ] 上 f ( x ) ≡ 0 .
( 2) . 若在 [ a , b ] 上 , f ( x ) ≥ 0 , 且 f ( x ) ≡ 0 , /
则 ∫ f ( x ) dx > 0 .
由于 f ( x ) 连续 ,
2h
h
对于 ε = h , ∃δ > 0 , 当 x − c < δ 时 ,
f ( x ) − f (c ) < ε
b
c −δ
a
b
(
c
)
f (c ) − ε < f ( x ) < f (c ) + ε 成立 ,
即 h < f ( x ) < 3h .
∫a f ( x ) dx = ∫a
∫a f = ∫a f + ∫c f ∫a
b b c b b b
b
5 . 在[a , b]上
f ( x) ≥ 0 f ( x) ≤ 0
⇒ ⇒
f ( x ) ≥ g( x ) ⇒
∫a f ≥ 0 b ∫a f ≤ 0 b b ∫a f ≥ ∫a g

定积分求解方式更新丨10分钟掌握高数上定积分求解问题(考研、期末复习均可以用)

定积分求解方式更新丨10分钟掌握高数上定积分求解问题（考研、期末复习均可以用）最近一直没有时间更新知识点，今天抽了点空，继续往下写点东西下面是之前更新的内容，请自取10分钟掌握高等数学上册函数极限求解问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握高等数学上册导数及微分问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握高等数学上册函数图像绘制问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握中值定理相关问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握高数上不定积分问题（考研、期末复习均可以用）码字不易，观看后的同学请给个赞+关注如果有考研或是期末复习方面问题的话可以随时留言或者私信【答学百科】，更多期末复习资料更多更新内容也可以点击下方链接加入社群--------------分割线---------------正式进入定积分前，先简单说下什么是定积分吧：定积分就是函数 f(x) 与 x=a，x=b 及 x 轴所围成的区域对应的曲面面积，若曲面面积位于x 轴下方，则对应的积分值为负基于以上的描述，下方具体开始讲解一、定积分的定义上述介绍了定积分表示的几何意义，下面利用极限的形式看下定积分的定义：设 y=f(x) 在 [a,b] 上有界①设 a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=b ，则[a,b]=[x_{0},x_{1}]\cup[x_{1},x_{2}]\cup...\cup[x_{n-1},x_{n}] ，其中 \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}(i=1,2,3...)②取 \xi_{i}=\in[x_{i-1},x_{i}] ，则“面积”为f(\xi_{1})\Delta x_{1}+f(\xi_{2})\Deltax_{2}+...+f(\xi_{n})\Deltax_{n}=\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}③取 \lambda=max(\Delta x_{1},\Delta x_{2}...\Deltax_{n}) ，若 \lim_{\lambda \rightarrow0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}} 存在，则称f(x) 在[a,b]上可积分，记为 \int_{a}^{b}f(x)dx ，即\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\lambda \rightarrow0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}}注：有的同学会发现一个问题，为何要多引入一个 \lambda 值，令 n\rightarrow\infty 时不就可以了么下面简单看个图像如果仅仅是n\rightarrow\infty，那在区间内进行分段时，完全可以在 [a,c](c<b) 段上进行 \Delta x_{1}-\Deltax_{n-1} 的划分，然后把最后一段 \Delta x_{n} 留给 [c,b] 区段上，这种情况下该段的条形面积f(\xi_{n})\Deltax_{n} 的值就不会等于曲线与数轴之间围成的面积了，所以如果仅仅是n\rightarrow\infty的条件，累计的值并不等于积分值注：（1）极限 \lim_{\lambda \rightarrow0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}} 是否存在，与区间的分法和 \xi 的取值无关（ \xi 一般取区间的左右端点）（2）函数 f(x) 在 [a,b] 上有界是函数可积的必要条件，而非充分条件（3）利用定积分可以求解极限题目，之前在讲解极限以及每日一题的时候有提到过相关的原理和操作，下面有链接，此处不再重复：10分钟掌握高等数学上册函数极限求解问题（考研、期末复习均可以用）大学数学每日一题——微积分1208二、定积分的性质1、 \int_{a}^{a}f(x)dx=0 ，\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx2、若 f(x) 可积，\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x) dx3、若 f(x) 可积且f(x)\geq0，则\int_{a}^{b}f(x)dx\geq0 ；若 f(x) 不恒等于 0 时，\int_{a}^{b}f(x)dx>04、若 f(x),g(x) 可积>f(x)\geq g(x)，\int_{a}^{b}f(x)dx\geq\int_{a}^{b}g(x)dx ，若 f(x) 不恒等于 g(x) 时， \int_{a}^{b}f(x)dx>\int_{a}^{b}g(x)dx5、若 f(x) 可积，则 \left| \int_{a}^{b}f(x)dx\right|\leq \int_{a}^{b}\left| f(x) \right|dx6、设f(x) 可积，且 m\leq f(x)\leq M ，则 m(b-a)\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq (b-a)M7、积分中值定理设 f(x) 在 [a,b] 上连续，则存在 \xi\in[a,b] 使得\int_{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f(\xi)注：积分中值定理是针对闭区间的定理，当然也有针对开区间的中值定理，下面进行证明例题：设 f(x) 在 [a,b] 上连续，求证存在 \xi\in(a,b)使得 \int_{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f(\xi)解答：设 F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt ， F'(x)=f(x) ，根据拉格朗日中值定理可知：存在 \xi\in(a,b)，使得\frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(\xi) ，即：\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{a}f(x)dx}{b-a}=f(\xi) ，即\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(b-a)大家在进行解题的时候应该注意题目要求的是证明开区间还是闭区间内的中值定理8、柯西不等式f(x),g(x) 在 [a,b] 上连续，则(\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx)^{2}\leq\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx \int_{a}^{b}g^{2}(x)dx以上8个性质在证明题中均可以直接使用三、定积分求解方法定积分的求解中涉及方法较多，最常见的是牛顿莱布尼兹公式，通过求出原函数来进行求解，除了牛顿，定积分的求解还涉及到很多不需要求解出原函数，而是通过定积分的特殊性质即可求解的情况，下列具体讲解：1、牛顿--莱布尼兹公式设 f(x) 在 [a,b] 上连续，且 F(x) 为 f(x) 的一个原函数，则\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)牛顿莱布尼兹公式是求解定积分最基本的方法，其基础是不定积分，忘记的同学请自取：10分钟掌握高数上不定积分问题（考研、期末复习均可以用）例题：求解 \int_{0}^{1}xe^xdx解答：\int_{0}^{1}xe^xdx=\int_{0}^{1}xde^x=[xe^{x}]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}e^xdx=e-[e^x]_{0}^{1}=12、定积分的特殊性质（1）对称区间上函数的定积分性质设函数f(x) 在 [-a,a] 上连续，则 \int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x)+f(-x)dx特别的，当 f(x) 为奇函数时， \int_{-a}^{a}f(x)dx=0 ；当 f(x) 为偶函数时， \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx例题：求解 \int_{-1}^{1}\frac{x}{1+sin^2x}dx解答：设被积函数 f(x)=\frac{x}{1+sin^2x} ，f(-x)=\frac{-x}{1+sin^2x}=-f(x) ，由关系式可知，被积函数为奇函数，故该积分为0例题：求解 \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{sin^2x}{1+e^x}dx解答：该积分为对称区间上的积分，所以可以直接用公式：\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x)+f(-x)dx\int_{0}^{\pi/2}\frac{sin^2x}{1+e^x}+\frac{sin^2x}{1+e^{-x}}dx\int_{0}^{\pi/2}sin^2xdx=\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}上述题目两道题目如果用牛顿莱布尼兹公式求解的话着实很难求出原函数，且耗费时间较多，没有必要（2）三角函数定积分性质设 f(x) 在 [0,1] 上连续，则a、\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx=\int_{0}^{\pi/2}f(cosx)dxb、\int_{0}^{\pi/2}sin^nxdx=\int_{0}^{\pi/2}cos^nxdx=\fra c{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}...\frac{2}{3} （ n 为奇数）c、\int_{0}^{\pi/2}sin^nxdx=\int_{0}^{\pi/2}cos^nxdx=\fra c{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}...\frac{1}{2}\frac{\pi}{2} （ n 为偶数）d、\int_{0}^{\pi}f(sinx)dx=2\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dxe、\int_{0}^{\pi}xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f( sinx)dx=\pi\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx以上几个式子的证明过程不在此处进行详说，基本上都是用到二类换元法和分布积分法进行求解的，有兴趣的小伙伴可以自己尝试求解下（3）定积分的特殊性质设 f(x) 是以 T 为周期的可积分函数，则a、 \int_{a}^{a+T}f(x)dx=\int_{0}^{T}f(x)dxb、\int_{0}^{nT}f(x)dx=n\int_{0}^{T}f(x)dx（4）特殊函数积分这里重点说一个大部分人经常遇到的一个积分，即\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx初学者遇到该问题时往往会想把原函数给求解出来，但是实际上这个函数是无法求解出原函数的（或者说在高等数学的范畴中是不要求求解出原函数的）没有原函数是不是代表该题目无法解答呢，实际上不是的，该积分题目其实求解的方法还是蛮多样的，接下来介绍两种方法，涉及到二重积分和概率论的解答思路a、利用二重积分进行解答：I=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dyI^2=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{+\infty}re^{-r^2}dr=\piI=\sqrt{\pi}b、利用概率论中标准正态分布解法进行解答：标准正态分布概率密度函数如下：f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^2}{2}} ，根据概率密度函数的在正负无穷上积分等于1的性质可得\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1令 x=\sqrt{2}t ，原式变为 \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2}dt=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-t^2}dt=1=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}dt=\sqrt{\pi}四、变限积分求导法则设 f(x) 在 [a,b] 上连续，则(\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt)'=f(\varphi(x))\var phi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x)特别的档 \varphi(x)=x,\psi(x)=0 时，(\int_{a}^{x}f(t)dt)'=f(x)例题1：设 f(x) 在 [a,b] 上连续， F(x)=\int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt ，求解 F'(x)解答：F(x)=x\int_{0}^{x}f(t)dt-\int_{0}^{x}tf(t)dtF'(x)=xf(x)+\int_{0}^{x}f(t)dt-xf(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt例题2：设 f(x) 在 [a,b] 上连续，F(x)=\int_{0}^{x}f(x-t)dt ，求解 F'(x)解析：题设中的被积函数含有 x,t ，有的同学拿到后会直接利用公式进行求导，即F'(x)=f(0) （常数）但是细想觉得求导后应该为一个函数表达式，不应该为一个常数的确，上述的求法是错误的，正确的解答方法应该将被积函数的 x,t进行分离，分离开后再进行导数计算解答：x-t=k ，当 t=x 时， k=0 ；当 t=0时， k=x ； dt=-dkF(x)=\int_{0}^{x}f(x-t)dt=-\int_{x}^{0}f(k)dk=\int_{0}^{x}f(k)dkF'(x)=f(x)例题3：设 f(x)=\int_{1}^{x}e^{t^2}dt ，求\int_{0}^{1}x^2f(x)dx解答：\int_{0}^{1}x^2f(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)d(\frac{1}{3}x^3)=\frac{1}{3}x^3f(x)|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{1}{3}x^3f'(x)dx=-\int_{0}^{1}\frac{1}{3}x^3f'(x)dx=-\int_{0}^{1}\frac{1}{3}x^3e^{x^2}dx=-\frac{1}{6}\int_{0}^{1}x^2e^{x^2}dx^2=-\frac{1}{6}\int_{0}^{1}xe^{x}dx=-\frac{1}{6}\int_{0}^{1}xde^{x}=-\frac{1}{6}xe^x|_{0}^{1}+\int_{0}^{1}\frac{1}{6}e^xdx=-\frac{1}{6}五、广义积分广义积分是相对于正常积分所提出来的一个积分概念，即对于积分上下限为无穷大，或是积分限内含有第二类间断点的积分1、积分区域无穷大的广义积分\int_{a}^{+\infty}f(x)dx,\int_{-\infty}^{0}f(x)dx,\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx以上三个积分均为积分区域无穷大的广义积分，当该积分的极限存在时，则说明该广义积分收敛，否则称其为发散敛散性判别法：设 \lim_{x \rightarrow \infty}{x^kf(x)dx}=M （ M 为常数），则当 k>1 时极限成立，该广义积分收敛；当 k\leq1 时极限成立，该广义积分发散例题：求解\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x}dx解答：设\lim_{x \rightarrow \infty}{x^kf(x)dx}=\lim_{x\rightarrow \infty}{x^k\frac{1}{x}}=M ，为使该极限成立，可推出 k 的取值为 k\leq1 ，所以根据收敛判别式可知该积分为发散积分2、积分区间上存在无穷断点的广义积分\int_{a}^{b}f(x)dx函数 f(x) 在 x=a 的左邻域或 x=b 的右邻域或 x=a，x=b 的左右邻域内无界，则该积分称之为广义积分，当该积分的极限存在时，则说明该广义积分收敛，否则称其为发散敛散性判别法：（1）设 f(x) 在x=a 的左邻域无界，且\lim_{x\rightarrow a^+}{(x-a)^kf(x)dx}=M （ M 为常数），则当k<1 时极限成立，该广义积分收敛；当 k\geq1 时极限成立，该广义积分发散（2）设 f(x) 在x=b 的右邻域无界，且\lim_{x\rightarrow b^-}{(b-x)^kf(x)dx}=M （ M 为常数），则当k<1 时极限成立，该广义积分收敛；当 k\geq1 时极限成立，该广义积分发散例题：求解\int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx解答：被积函数在x=0 处为无界函数，所以设极限 \lim_{x\rightarrow 0}{x^kf(x)dx}=\lim_{x \rightarrow0}{x^k\frac{1}{x}}=M ，为使该极限成立，可推出k 的取值为 k\geq1 ，所以根据收敛判别式可知该积分为发散积分3、积分区间内部存在无穷间断点\int_{a}^{b}f(x)dx被积函数在 x=c(a<c<b) 的去心邻域内无界，则\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x) dx ，此处必须将 c 点进行分离考虑，当两个式子的积分极限都存在时方能判断整个式子的极限存在例题：求解\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx错误解法：\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx=-\frac{1}{x}|_{-1}^{1}=-2 ，该做法错误的地方是未考虑到 x=0 为函数的无穷断点，直接跳过了断点进行积分正确做法：\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx=\int_{-1}^{0}\frac{1}{x^{2}}dx+\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx，将分离后的两个积分进行单独考虑\int_{-1}^{0}\frac{1}{x^{2}}dx 在 x=0 处是无界的，所以考虑 \lim_{x \rightarrow0}{x^kf(x)dx}=\lim_{x \rightarrow0}{x^k\frac{1}{x^2}}=M ,为使该极限成立，可推出k 的取值为 k\geq2 ，所以根据收敛判别式可知该积分为发散积分同理可知\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx 也是发散积分，所以判断该积分为发散积分六、定积分的应用1、面积（1）设 D 由 y=f(x)\geq0 ， x=a 及 x=b（b>a）围成，则D 的面积为 S=\int_{a}^{b}f(x)dx（2）设 D 由 y=f(x) ， y=g(x) ， x=a 及 x=b（b>a）围成，则 D 的面积为 S=\int_{a}^{b}\left| f(x)-g(x)\right|dx（3）极坐标法的面积 D 求解公式为S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)d\theta ；当曲线由 r=r_{1}(\theta), r=r_{2}(\theta) 组成，则面积S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}[r_{2}^{2}(\theta)-r_{1}^{2}(\theta)]d\theta（4）旋转曲面的面积函数 f(x) 绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体侧面的面为S=2\pi\int_{a}^{b}\left| f(x)\right|\sqrt{1+f'^2(x)}dx备注：以上均是利用 y=f(x) 的函数进行面积求解，有的题目未直接给出 y=f(x) 的关系式，而是给出了参数方程的形式（ x=\varphi(t),y=\psi(t) ），可以直接将上述式子中的f(x),x,dx 等函数进行替换即可2、体积（1）y=f(x)绕 x 轴旋转后的体积：V=\pi\int_{a}^{b}f^2(x)dx（2）y=f(x)绕 y 轴旋转后的体积：V=2\pi\int_{a}^{b}\left| x \right|\left| f(x)\right|dx3、长度（1）设 L:y=f(x)(a\leq x\leq b) ，则曲线长度为l=\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'^2(x)}dx（2）设 L:x=\varphi(t),y=\psi(t)(\alpha\leq t\leq\beta) ，则曲线长度为l=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)} dt（3）设 L:r=r(\theta)(\alpha\leq x\leq \beta) ，则曲线长度为l=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)} d\theta例题1：求由曲线 y=4-x^2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3旋转一周所成的几何体的体积解答：利用微元法进行求解：取 [x,x+dx]\subset[-2,2] ，则 dv=2\pi(3-x)(4-x^2)dx ，则 V=\int_{-2}^{2}2\pi(3-x)(4-x^2)dx=64\pi例题2：求由曲线 y=4-x^2 与 x 轴围成的部分绕直线 y=-3旋转一周所成的几何体的体积解答：利用微元法进行求解：取 [x,x+dx]\subset[-2,2] ，则dv=[\pi(y+3)^2-\pi(-3)^2]dx ，则 V=\int_{-2}^{2}[\pi(y+3)^2-\pi(-3)^2]dx=\int_{-2}^{2}[\pi(7-x)^2-\pi(-3)^2]dx=\int_{-2}^{2}40\pi+\pi x^2dx=2\int_{0}^{2}40\pi+\pi x^2dx=\frac{496}{3}\pi。

高等数学第05章定积分及其应用习题详解

x

0

x 1 sin tdt 0dt 1 ， 2

b a
f ( x)dx 在几何上表示由曲线 y f ( x) ，直线
x a, x b 及 x 轴所围成平面图形的面积. 若 x a, b时，f ( x) 0, 则 b f ( x)dx 在几何 a
上表示由曲线 y f ( x) ，直线 x a, x b 及 x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示， 1 xdx ( A1 ) A1 0 .
n
2
i
i 1
n
2
1 1 1 1 1 n(n 1)(2n 1) = (1 )(2 ) 3 n 6 6 n n 1 1 2 当 0时（即 n 时），由定积分的定义得： x d x = ． 0 3
= 5. 利用定积分的估值公式，估计定积分
4 3

1 1
(4 x 4 2 x 3 5) dx 的值.
上任取一点 i 作乘积 f ( i ) xi 的和式：
n
f ( i ) xi c ( xi xi1 ) c(b a) ,
i 1 i 1
n
n
记 max{xi } , 则
1i n

b a
cdx lim f ( i ) xi lim c(b a) c(b a) .

x
0
(t 1)dt ，求 y 的极小值
解：当 y x 1 0 ，得驻点 x 1 ， y '' 1 0. x 1 为极小值点，极小值 y (1)
( x 1)dx - 2

高等数学第五章定积分习题课

∫
b
a
f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx
a
b
⑧估值定理：设M 和 m 分别是函数 f ( x )在区间[a, b ]上的估值定理：最大值和最小值，最大值和最小值，则
m (b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a )
a b
上连续, ⑨定积分中值定理：如果函数 f ( x ) 在闭区间[a, b ] 上连续定积分中值定理：则至少存在一点ξ ∈(a , b) ,使下式成立：使下式成立：使下式成立
b b b
b
a
b
b
∫
b
a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
a c
c
b
⑤区间长： ∫ 1dx = b − a 区间长：
a
b
保号性： ⑥保号性：如果在区间[a, b ]上, f ( x ) ≥ 0 ，则∫ a f ( x )dx ≥ 0
b
⑦单调性：如果在区间 [a, b ] 上, f ( x ) ≤ g ( x ) 则单调性：
b
∫
b
a
f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx −
t →b a
t
设 c ( a < c < b ) 为 f ( x ) 的瑕点，则有的瑕点，
∫
b a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
a c
c
b
= lim ∫ f ( x )dx + lim ∫ f ( x )dx − +
∫
b
a
f ′( x )dx = [ f ( x )] a = f (b) − f (a ) = a − b

高教社2024高等数学第五版教学课件-5.1 定积分的概念与性质

第五章定积分
第一节定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0

‫ ׬‬
±

‫ ׬‬
→0

性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即

‫)( ׬‬
总有下式成立：

‫ )( ׬ = )( ׬‬+ ‫)( ׬‬.
例如，若 < < ，则

‫ ׬‬

=

‫ ׬‬
+

‫ ׬‬

，
故 ‫ )( ׬ = )( ׬‬− ‫)( ׬‬
= ‫ )( ׬‬+ ‫)( ׬‬.
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得

‫ ׬‬

≤ ‫ ׬ ≤ )( ׬‬,

又‫ = ׬‬− ,

故( − ) ≤ ‫ ( ≤ )( ׬‬− ).
性质6(积分中值定理)
∈

[, ]，使‫)( ׬‬
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点

高等数学(第五章)定积分

二、定积分的定义
定义设 f ( x) 在[ a , b ]上有界
(1) 将[ a , b ] 任意分成 n 个小区间 [ x0 , x1 ],[ x1 , x2 ],, [ xi 1 , xi ] ,, [ xn 1 , xn ], x0 a , xn b . xi xi xi 1 (i 1, 2,, n), 为第 i 个小区间的长度 .
f ( )x . 在 x 与 x x 之间 . x 0 , x
定理 2 (变上限的积分求导定理) 设 f ( x) 在[ a , b ] 上连续 , x 则 f (t )dt f ( x) .

a

x a
f (t )dt
f (t)
b a

o a
c1
c2

b
f ( x) dx .

x
根据定积分的几何意义我们可以计算一些简单的定积分 .
y
yx
例1

b a
1dx b a . ?
ab 1 2 2 x dx ? (b a) (b a ) . 2 2
o
a
b
x
例2
例3

b a
R 0
R x dx
2 2
0
i 1
n
并称极限值为 f ( x) 在[ a , b ]上的定积分.
记为

b a
f ( x)dx
上限

b a
f ( x)dx lim f (i )xi .
0
i 1
n
下限
a 叫积分下限 , b 叫积分上限 ,[ a , b ]叫积分区间. f ( x) 叫被积函数 , x 叫积分变量 . f ( x)dx叫被积表达式 .

高等数学第五章定积分第一节定积分的概念

解：由定积分的几何意义知，该积分值等于
曲线y 1 x 2 , x轴，x 0及x 1所围
的面积（见下图）
y
面积值为圆的面积的 1
4
所以 1 1 x 2 dx
0
4
1 x
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五定积分的性质
对定积分的补充规定:
（1）当a

a
b时， a
f
( x)dx

0；
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质3
b
a
f
( x)dx
c
a
f
( x)dx

b
c
f
( x)dx.
注意：不论 a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.
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例若 a b c,
c
a
f ( x)dx

b
a
f
(
x)dx

c
b
f ( x)dx
则
b
a
f
(
x)dx

a).
证 m f (x) M,
b
b
b
a mdx a f ( x)dx a Mdx,
b
m(b a) a f ( x)dx M(b a).
（此性质说明，由被积函数在积分区间上的最值，可用于估计积分值的大致范围）
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性质7（定积分中值定理）
即 b a
f
( x)dx

b
a
f
( x)dx .
说明：| f ( x)|在区间[a,b]上的可积性

第五章积分 5-1 定积分的概念与基本性质

性质 4 若 f (x) 是 [a, b] 上的连续函数, 则 | f (x) | 也是 [a, b] 上的连续函数, 从而可积, 且
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
18
《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。

（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。

（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→xx x 公式2e x x x =+→/10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nx x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在） 7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。

大一高数知识点框架定积分

大一高数知识点框架定积分定积分是大一高数中的重要概念，用于计算曲线下面积、物理量累积和平均值等。

在本文中，我们将介绍大一高数中定积分的基本概念和应用。

一、定积分的定义定积分是将曲线下区域的面积划分为无穷多个无穷小的矩形，然后将这些矩形的面积相加得到的极限值。

定积分的表示符号为∫，上下限分别为a和b，函数f(x)表示被积函数，dx表示差小量。

定积分的公式为：∫[a,b]f(x)dx二、定积分的性质1. 线性性质：∫[a,b](f(x)+g(x))dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx2. 区间可加性：∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx3. 常数倍性：∫[a,b]kf(x)dx = k∫[a,b]f(x)dx三、定积分的求法1. 几何意义法：根据被积函数图像和积分区间，将曲线下的区域进行适当分割，然后对每个小矩形的面积进行求和。

2. 定积分的性质法：利用定积分的性质，将被积函数进行分解或者转化，以简化运算。

3. 反函数法：当被积函数具有反函数且反函数易积分时，可以通过反函数法求解定积分。

四、定积分的应用1. 几何应用：利用定积分可以计算曲线下的面积，例如计算封闭曲线所围成的区域面积。

2. 物理应用：定积分可用于计算物理量的累积或平均值，例如计算质量的集中度、质心等。

3. 统计应用：利用定积分可以计算概率密度函数下的概率值，例如计算某一区间的概率。

五、定积分的注意事项1. 积分上下限选择：在选择积分上下限时，需根据题目给出的条件进行适当的取值，以保证计算的准确性。

2. 曲线的选择：在求解定积分时，需根据被积函数的特点选择合适的曲线进行积分计算，以简化运算。

六、定积分的求解技巧1. 分段函数的积分：当被积函数为分段函数时，可以根据不同的区间进行分别积分。

2. 常见函数的积分：熟练掌握常见函数的积分公式，例如幂函数、三角函数等。

3. 使用换元法：对于复杂函数，可以通过换元法进行变量替换，以简化积分计算。

高数大一上知识点总结思维导图

高数大一上知识点总结思维导图大学的第一学期，往往是高数课程的入门阶段。

在这个阶段里，学生们掌握了一些基本的高数概念和方法，如函数、极限、导数等。

这些知识点的理解和掌握，对于学生们后续的学习和发展有着重要的意义。

在本文中，我们将通过思维导图的方式，对高数大一上的知识点进行总结，以帮助学生们更好地复习和巩固这些知识。

第一部分：函数与极限函数与极限是高数的基础概念，也是日后学习微积分的基石。

函数是描述不同变量之间关系的一种工具，而极限则是函数在某个点上的趋势或趋近性质。

理解函数与极限的概念，对于后续的微分与积分的学习都非常重要。

第一章：函数的概念与性质- 函数的定义：自变量与因变量之间的关系。

- 函数的图像：描述函数在坐标系上的图形。

- 函数的性质：奇偶性、周期性等。

第二章：极限- 极限的定义：在无穷小的条件下，自变量趋近于某一值时，函数的趋势。

- 极限的计算：通过代入、画图等方法计算极限。

- 左右极限：自变量趋近于某一值时，函数的趋势在左侧和右侧是否相同。

第二部分：微分学微分学是高等数学中的一个重要分支，也是日后学习微积分的基础。

微分学主要研究函数在给定点的变化率和切线方程等问题。

第三章：导数- 导数的定义：函数在某一点上的瞬时变化率。

- 导函数的求法：求导的基本法则及常见函数的导数。

- 导数的应用：最值问题、凹凸性等。

第四章：微分- 微分的定义：函数在给定点上的变化量。

- 微分的计算：通过导数定义计算微分的近似值。

- 微分的应用：近似计算、最值问题等。

第三部分：积分学积分学是微分学的反向操作，主要研究函数的积分和曲线下的面积等问题。

积分学有广泛的应用领域，如物理学、经济学等。

第五章：不定积分- 不定积分的定义：函数在一定区间上的积分，得到的结果是原函数。

- 不定积分的计算：通过基本积分法则计算不定积分。

- 不定积分的应用：定积分的计算、面积、物理学中的应用等。

第六章：定积分- 定积分的定义：函数在一定区间上的积分，得到的结果是一个数值。

高数(上)期末复习重点

高数〔上册〕期末复习要点第一章：1、极限〔夹逼准则〕2、连续〔学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型〕第二章：1、导数〔学会用定义证明一个函数是否可导〕注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则〔背〕3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理〔一定要熟悉并灵活运用--第一节〕2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值〔高中学过，不需要过多复习〕5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法〔变dx/变前面〕2、分部积分法〔注意加C 〕〔最好都自己推导一遍，好记〕定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线〔两直线的夹角、线面夹角、求直线方程〕 3、空间平面4、空间旋转面〔柱面〕高数解题技巧。

〔高等数学、考研数学通用〕高数解题的四种思维定势●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。

●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。

●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。

●第四句话：对定限或变限积分，假设被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。

线性代数解题的八种思维定势●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。

●第二句话：假设涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。

●第三句话：假设题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE 再说。

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上任取一点的乘积
，作函数值，并作出和
，记
，如果当 λ→0 时，这和
的极限总存在，且与闭区间[a，b]的分法及点的取法无关，则称这个极限为函数 f(x)在
区间[a，b]上的定积分，记作
，即
其中，f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b
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曲边梯形位于 x 轴的下方，定积分
表示上述曲边梯形面积的负值；
（3）在[a，b]上 f(x)既取得正值又取得负值时，函数 f(x)的图形某些部分在 x 轴的上
方，而其他部分在 x 轴下方（见图 5-1-1），此时定积分面积减去 x 轴下方图形面积所得之差．
表示 x 轴上方图形
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台
称为积分上限，[a，b]称为积分区间．
（2）“ε－δ”表达式
设有常数 I，对于任意正数 ε，总存在一个正数 δ，使得对于区间[a，b]的任何分法，
不论在
中怎样选取，只要
δ，总有
成立，则称 I 是 f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作
[a，b]上的一个原函数．
2．牛顿-莱布尼茨公式
就是
在
其中 F(x)是连续函数 f(x)在区间[a，b]上的一个原函数．
三、定积分的换元法和分部积分法 1．定积分的换元法（1）定理
设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，函数
① =a, =b ；
② 域
，则有
满足条件：上具有连续导数，且其值
该公式称为换元公式．
和
合起来，用过
三

高等数学-第五章-定积分

则有
ab
c
c
b
c
a f (x)dx a f (x)dx b f (x)dx
b
c
c
a f (x)dx a f (x)dx b f (x)dx
c
b
a f (x)dx c f (x)dx
6. 若在 [a , b] 上
则
a<b
n
证: f (i ) xi 0
i1
b
n
a
f
( x) d
x
lim
d (x)
dx a
f (t) d t
f
[ ( x)] ( x)
d
dx
( x) (x)
f
(t) d t
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [(x)](x) f [ (x)] (x)
例1. 求
0
0
解: 原式洛 lim ecos2 x ( sin x) 1
x
ba n
,
xi a i x (i 0,1, ,n)
记 f (xi ) yi (i 0,1, ,n)
1. 左矩形公式
O a xi1xi
bx
ab f (x)dx y0x y1x yn1x
2. 右矩形公式
ba n
(
y0
y1
yn1)
ab f (x)dx y1x y2x ynx
)
故
π 2 0
2
dx
π
2 f (x) dx
0
π
2 1dx
0
即
1
π
2 0

高等数学课件 PPT 第五章定积分

［a,b］上有界并不是可积的充分条件.例如，
在［0,1］上是有界函数，但不可积．因为不论对［0,1］怎样分割，在任意被分割的小区间［xi－1,xi］上，总能取到ξi为有理数，这时f(ξi)=1，也总能取到ξi为无理数，这时f(ξi)=0．所以对［0,1］的任何一种分法，我们总可以得到
一、定积分的概念
思考
一个函数在什么条件下可积？什么条件下不可积？
一、定积分的概念
3. 定积分存在的充分条件
若f(x)在［a,b］上无界，则f(x)在［a,b］上一定是不可积的．这是因为，若f(x)在［a,b］上无界，那么无论对［a,b］怎样分割，都至少有一个区间［xi－1,xi］，函数f(x)在其上无界．因此，在［xi－1,xi］上一定可以取一点ξi，使得f(ξi)大于任意一个正数M，因而也就使得和式 ∑ =1f(ξi)Δxi可以任意的大．当λ→0时，这个和就不可能趋向于任何极限．由此可知， f(x)在［a,b］上可积的必要条件是f(x)在［a,b］上有界．
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
为了讨论质点在变速直线运动中位置函数与速度函数间的联系，有必要沿质点的运动方向建立坐标轴.设时刻t时质点所在位置st，速度vtvt≥0. 已知质点在时间间隔T1,T2内经过的路程可以用速度函数vt在 T1,T2上的定积分
一、定积分的概念
在区间［a,b］上，f(x)既有正值又有负值时，函数y=f(x) 的图形某些部分在x轴的上方，而其他部分在x轴的下方．如果规定在x轴的上方的图形的面积为正，在x下方的图形面积为负，那么∫baf(x) 的几何意义就是介于曲线y=f(x)、x轴及两条直线 x=a,x=b之间的各部分面积的代数和，如图5-2所示．
把区间［a,b］分成个n小区间［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，

大一高等数学定积分知识点

大一高等数学定积分知识点在大一高等数学课程中，定积分是一个重要的知识点。

通过对定积分的学习，我们可以理解函数与曲线之间的面积关系，计算曲线下的面积以及求解一些实际问题。

本文将介绍定积分的概念、性质和计算方法。

一、定积分的概念定积分是对曲线下面积的一种数学理论的表示方式。

给定一个函数 f(x)，我们可以将其图像在 x 轴和两条垂直线 x=a 和 x=b 之间的区域定义为 S，其中 a<b。

那么函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分定义为：∫[a,b]f(x)dx二、定积分的性质1. 定积分具有线性性质。

即对于任意的实数 k1 和 k2，以及函数 f(x) 和 g(x)，有以下公式成立：∫[a,b](k1*f(x) + k2*g(x))dx = k1*∫[a,b]f(x)dx + k2*∫[a,b]g(x)dx2. 定积分可以分段计算。

如果一个函数在区间 [a, c] 和 [c, b] 上可积，那么有以下公式成立：∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx3. 定积分的加法性。

对于任意的实数 a 和 b，若 a < b，则有以下公式成立：∫[a,b]f(x)dx = -∫[b,a]f(x)dx三、定积分的计算方法1. 利用基本定积分公式。

对于一些基本函数，存在其定积分的解析表示。

例如，对于常数函数 f(x) = k，其中 k 为常数，有以下公式成立：∫[a,b]kdx = k*(b-a)2. 利用几何意义。

如果我们需要计算曲线下的面积，可以通过将曲线分成若干小矩形或梯形来逼近面积，并求和计算。

当我们取小矩形或梯形的数量越来越多时，逼近的精度也越高，结果越接近实际面积。

3. 利用定积分的性质。

根据定积分的性质，我们可以将复杂的函数拆分成更简单的函数，并利用已知的定积分公式进行计算。

这种方法常用于复杂函数的求解，能够简化计算过程。

4. 数值积分方法。

最新高等数学(上)第五章定积分总结

第五章定积分内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。

要求：理解定积分的概念和性质。

掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。

重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。

难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。

§1.定积分的概念一、实例分析1．曲边梯形的面积设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形.如何定义曲边梯形的面积? (1) 矩形面积=底⨯高.(2) 预备一张细长条的纸, 其面积≈底⨯高.(3) 预备一张呈曲边梯形状的纸,将其撕成许多细长条. (4) 启示:将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小.第i 个细长条面积)],,[()(11---=∆∈∀∆≈∆i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ曲边梯形面积: ∑=∆≈ni iixf S 1)(ξ定积分概念示意图.ppt定义: ),,2,1,max {()(lim 1n i x xf S i ni iiΛ=∆=∆=∑=→λξλ抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界.(1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间:},,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x ni x x i i i i i i ΛΛ=∆=-=∆=--λ记(2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点ξi , 做乘积: i i x f ∆)(ξ. (3) 求和:∑=∆ni iixf 1)(ξ(4) 取极限: ∑=→∆ni iixf 1)(limξλ若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作:⎰badx x f )(. 即:∑⎰=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ[a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限；∑=∆ni iixf 1)(ξ积分和式.问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量? 注: (1)∑=∆ni i i x f 1)(ξ与区间的分割法∆x i 和取点法ξi 有关; 而⎰badx x f )(与∆x i 和ξi 无关.(2)⎰badx x f )(与a 、b 、f 有关，与x 无关，即：[][]⎰⎰⎰⎰===bab ab abad f du u f dt t f dx x f )()()()(2．定积分存在定理定理若)(x f 在[a , b ]上有界且只有有限个间断点，则)(x f 在[a , b ]上可积. 推论若)(x f 在[a , b ]上连续，则)(x f 在[a , b ]上可积.例1. 求⎰1xdx解: x x f =)(在[0, 1]连续, 积分存在. ∑⎰=→∆=ni ii x xdx 11lim ξλ与[0, 1]的分割法和ξi 的取法无关. 选取特殊的分割法和取点法, 可使计算简便. (1) 将[0, 1]n 等分, nx n i x i i 1,=∆= (2) 取点ξi =2)(,nix f x i i i i =∆=ξξ(3) 求和2)1(1)(2121+==∆∑∑==n n n n i x f ni ni i i ξ(4) 取极限212)1(lim)(lim 20=+=∆∞→→nn n x f n i i ξλ 故211=⎰xdx 3. 定积分的几何意义若)(x f 在[a , b ]上非负, 则⎰ba dx x f )(=曲边梯形面积; 若)(x f 在[a ,b ]上非正, 则b⎰b adx x f )(的几何意义是由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成曲边梯形面积的代数和.例2. a b dx xdx dx x ba-===-⎰⎰⎰-;0sin ;1212πππ.三、定积分的性质 1．规定⎰⎰⎰-==ab baaadxx f dx x f dx x f )()()2(0)()1(2．性质⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=±=±=bcc ab abab ab ababadxx f x f dx x f dx x g dx x f dx x g x f dxx f k x kf )()()()3()()()]()([)2()()()1(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=-=⇒+=bccacacbbab acbc adxx f dx x f dx x f dx x f dx x f dxxf dx x f dx x f )()()()()()()()((4) 若在[a , b ]上有)(0)(b a x f <≥，则0)(≥⎰ba dx x f推论1 若)()()(b a x g x f <≥，则⎰⎰≥babadx x g dx x f )()(推论2⎰⎰≥babadx x f dx x f )()((5) 设M 、m 分别为)(x f 在[a , b ]上的最大、最小值)(b a <，则)()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰(6) (积分中值定理) 设],[)(b a C x f ∈, 则),(b a ∈∃ξ, 使得))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξf (ξ)将中值定理变形得：ab dx x f f ba-=⎰)()(ξ称为)(x f 在[a , b ]上的平均值.§2. 微积分基本公式一、变速直线运动中的位置函数与速度函数之间的关系（略）二、积分上限的函数及其导数设)(x f 在[a , b ]上连续, 则∀x ∈[a , b ], 有)(x f 在[a , x ]上连续. 从而⎰xadx x f )(存在.在这里, 积分上限x 与被积变量x 的性质是不同的. ⎰badx x f )(与a 、b 、f 有关，与x 无关.⎰⎰=xaxadt t f dx x f )()(与a 、x 、f 有关.对于[a , b ]上的任一点x , ⎰xadt t f )(有一个确定的对应值, 故⎰xadt t f )(是x 的函数, 记作Φ(x ), 即:)(,)()()(b x a dt t f dx x f x xaxa≤≤==Φ⎰⎰称为积分上限的函数.定理若)(x f 在[a , b ]上连续, 则积分上限的函数⎰=Φxadt t f x )()(在[a , b ]上可导, 且)()()(x f dt t f x xa ='⎪⎭⎫ ⎝⎛=Φ'⎰ 证明: ⎰∆+→∆=Φ-∆+Φ=∆∆∆='x x x x dt t f x x x y xyy )()()(,lim)()(lim )(lim )(lim)(000x f f xxf x dt t f x x x xx xx ==∆∆=∆=Φ'→∆→∆∆+→∆⎰ξξ积分中值定理.注: 若)(x f 在[a , b ]上不连续, 则最后一个等式不成立. 此定理说明, ⎰=Φxadt t f x )()(是)(x f 的一个原函数.例1. 202sin sin x dt t x='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰例2. ⎰=x t dt e x G 1)(, 求)(x G '例3. 求极限xdte xt x sin lim 0⎰→.三、牛顿—莱布尼茨公式定理若)(x f 在[a , b ]上连续, )(x F 是)(x f 的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰证明：)(x F 是)(x f 的一个原函数, ⎰=Φxadt t f x )()(也是)(x f 的一个原函数, 同一个函数的两个原函数之间相关一个常数, 于是有:)()()()(0)()()()()()()()(a F b F dx x f a F C C a F dx x f C b F dx x f Cx F dx x f C x F dt t f ba a ab a xaxa-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=⇒=+=+=⇒+=⇒=-⎰⎰⎰⎰⎰[]bab abadxx f x F a F b F dx x f ⎰⎰==-=)()()()()(记作记作例1.⎰94dx x例2.⎰-2141)1(1dx x x[]3)124(2arcsin 212)1(1214121412141πππ=-==-=-⎰⎰xxx d dx x x例3．⎰--121dx x[]2ln ln 11212-==----⎰x dx x 例4．⎰-322dx x[][]942)(223020223232+=+-=+-=---⎰⎰⎰x x xdx dx x dx x例5.{}⎰22,max dx x x{}3821,max 221022+=+=⎰⎰⎰dx x xdx dx x x 例6.⎰-π3sin sin dx x x()()34sin 32sin 32)cos (sin cos sin cos sin sin sin 22320232203=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+⋅==-⎰⎰⎰⎰ππππππππx x dx x x xdx x dxx x dx x x注：在数学计算过程中, 要对结论(答案)作合理性检验.§3. 定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法定理若)(],,[)(t x b a C x f ϕ=∈满足如下条件：(1) )(t ϕ是[α,β](或[β,α])上单值单调函数; (2) )(t ϕ在[α,β](或[β,α])有连续导数; (3) b a ==)(,)(βϕαϕ 则:⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)()]([)(.例1.dx x x ⎰++4122令21,122-==+t x t x . 当x =0时, t =1; 当x =4时, t =3.3223321232211223133123124=+⋅=+=⋅+-=++⎰⎰⎰t dt t tdt t t dx x x (若不定积分掌握得很好得话, 可以直接凑微分:4040412132122112221)12(21122⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++-+=++⎰⎰⎰⎰dx x dx x dx x x dx x x ) 与不定积分换元法相比较, 有两点不同:(1) 积分变量由x 变为t 时, 积分的上下限也要随之改变; (2) 求出关于t 的原函数后无须回代成x 的函数. 例2.dx x x ⎰---2221112)1(tan sec sec 11433243321cos sec 222πππππ-=-==-⎰⎰⎰==--dt dt t t t dxx x x t tx注：换元积分公式，满足)(t ϕ所要求的条件很重要，如：I dt tdt t t dx x I t x -=+-=-⋅+=+=⎰⎰⎰--=-1111222111211)1(11111而事实上，[]2arctan 11π==-x I ，其原因在于)(t ϕ在t=0不可导.例3. 证明: (1) 若)(x f 是[-a , a ]上的偶函数, 则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)((2) 若证明)(x f 是[-a , a ]上的奇函数, 则0)(=⎰-aadx x f证明:⎰⎰⎰+=--aaaadx x f dx x f dx x f 00)()()(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=+-=-=-=--=--=-aaa aaaa atx a dtx f x f dx x f dx x f dx x f dxx f dt t f t d t f dx x f 0)]()([)()()()()()()()(此例提示我们, 在计算定积分时, 看到对称的积分限, 要保持敏感. 例⎰-=+115340)(cos x x x .例4. ]1,0[)(C x f ∈, 证明:⎰⎰⎰⎰==πππππ2020)(sin 2)(sin )2()(cos )(sin )1(dxx f dx x xf dx x f dx x f并计算⎰+π2cos 1sin dx xxx ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⇒-=--==-=-=-=ππππππππππππππ0202220)(sin )(sin 2)(sin )(sin )()(sin )()(sin )2()(cos )()(cos )(sin )1(dxx f dx x xf dt t tf dx x f t d t f t dx x xf dxx f t d t f dx x f tx t x[][]4)arctan(cos 2)arctan(cos 2cos cos 112cos 1sin 2cos 1sin 2020202ππππππππππ==-=+-=+=+⎰⎰⎰x x x d xdx x x dx x x x二、定积分的分部积分法⎰⎰⎰⎰'-=-=='dx u v uv vdu uv udv dx v u[]⎰⎰⎰'-=='bab ab ab adx u v uv udv dx v u定积分的分部积分法适用的函数类型与不定积分的分部积分法相同. 例1. ⎰--12dx xe x例2.12ln 23ln 3ln 32--=⎰dx例3. )(cos 20N n xdx I n n ∈=⎰π[]()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅⋅-⋅--⋅⋅-⋅--=====⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-⋅--⋅-⋅--=--⋅-=-=-=⇒-=⇒--=--=--=-=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----------为奇数为偶数为奇数为偶数n n n n n n n n n n I xdx I dx x I n I n n n n n I n n n n I n n n n I n n I I nn I I n nI I I n dxx x n xdxx n xdx x n xxd x x x xd xdx I n n n n n n n n n n n n n n n n n nn 135)2(24)3)(1(224)2(13)3)(1(1cos 2cos 35)2(24)3)(1(24)2(13)3)(1(23111)1())(1(]cos [cos )1(cos )cos 1()1(cossin )1(cos sin sin cossin coscos 20120010422222022022202220120120120ΛΛΛΛΛΛΛΛπππππππππππ积分公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-⋅-==⎰⎰为奇数为偶数n n n n n n xdx xdx nn 1!!!)!1(2!!!)!1(cos sin 2020πππ例4．16322413cos 24πππ=⋅⋅⋅=⎰xdx§4. 反常积分（广义积分）定义定积分⎰badx x f )(需满足如下条件: (1) )(x f 有界 (2) )(x f 只有有限个间断点(3) a , b 为确定的数值, 即积分限是有限值. 反常积分是对无穷积分限和无界函数定义的积分.一、无穷限的反常积分定义设),[)(∞+∈a C x f , 取t >a , 若极限⎰+∞→tat dx x f )(lim存在, 则称此极限为),[)(∞+a x f 在上的反常积分, 记作⎰+∞adx x f )(, 即:⎰⎰+∞→+∞=tat adx x f dx x f )(lim)(⎰+∞→tat dx x f )(lim存在, 也称为⎰+∞adx x f )(收敛;若⎰+∞→tat dx x f )(lim不存在, 则称⎰+∞adx x f )(发散.类似地, 定义:)),()(()()()(]),()(()(lim)(∞+-∞∈+=-∞∈=⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞--∞→∞-C x f dx x f dx x f dx x f b C x f dx x f dx x f cc btt b注:都收敛收敛⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-⇔cc dx x f dx x f dx x f )(,)()([]∞+∞++∞→='∞+='⎰⎰⎰==-=-=aat x f x F ax f x F tadxx f x F a F t F dxx f a F t F dxx f )()()()(lim )()()()()()()()(记作记作例1. 2arctan 11002π==+∞+∞+⎰x dx x例2.⎰∞-0dx xe x[][]1lim lim ][lim limlim-=---=-===-∞→-∞→-∞→-∞→-∞→∞-⎰⎰⎰⎰tt tt txtxt tx t tx t xe e te dx e xe xde dxxe dx xe 例3.⎰∞+∞-+dx x x21)()1ln(21111102202022发散+∞=+=++++=+⎰⎰⎰⎰∞+∞+∞+∞-∞+∞-x dx x x dx x x dx x x dx x x故⎰∞+∞-+dx x x21发散.二、无界函数的反常积分定义设∞=∈+→)(lim ],,()(x f b a C x f ax , 取b >t >a , 若极限⎰+→btat dx x f )(lim存在, 则称此极限为],()(b a x f 在上的反常积分, 仍记作⎰badx x f )(, 即:⎰⎰+→=btat badx x f dx x f )(lim )(亦称为⎰badx x f )(收敛; 否则，称⎰badx x f )(发散.类似地, 定义:⎰⎰⎰⎰⎰+=∞=-∞=+⋃∈=∞=-∈-→b ccabatabt b adxx f dx x f dx x f c f c f b c c a C x f dx x f dx x f b f b a C x f )()()(:)0()0(]},,)(),{[)()(lim )(:)0(),,[)(定义或若定义若注:都收敛收敛⎰⎰⎰⇔bccabadx x f dx x f dx x f )(,)()(例4.⎰-121dx xx11221lim 1lim 11lim0210211221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-=-=-∞=---→→→⎰⎰tt tt x x dx xxdx x x x x例5.⎰10ln xdx[]1ln lim ln lim ln 111-=-==++→→⎰⎰t t tt x x x xdx xdx例6.⎰-22)1(1dx x发散111022121022022111lim )1(1)1(1)1(1)1(1)1(1lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--+-=-∞=--→→⎰⎰⎰⎰x dx x dx x dx x dx x x t x 故⎰-22)1(1dx x 发散. 注: 计算⎰badx x f )(前, 首先判断)(x f 在[a , b ]上是否有无穷点.定积分小结一、基本概念 1．定积分∑⎰=→∆=ni ii bax f dx x f 1)(lim )(ξλ2．变上限积分函数⎰=Φxadt t f x )()(3．广义积分（1）无穷积分限（2）无穷间断点二、定积分的性质1．定积分与被积分字母无关[][]⎰⎰⎰⎰===bab ab abad f du u f dt t f dx x f )()()()(2．积分限的分割⎰⎰⎰+=bcc abadx x f x f dx x f )()()(3．积分中值定理设],[)(b a C x f ∈, 则),(b a ∈∃ξ, 使得))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ4．对称函数在对称区间上的积分⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰-为偶函数为奇函数)()(2)(0)(0x f dx x f x f dx x f aaa三、定积分的计算1．牛——莱公式2．换元积分法 3．分部积分法四、积分上限函数求导)()]([)()()()()(x u x u f dt t f x f dt t f x x u a xa '⋅='⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎭⎫ ⎝⎛=Φ'⎰⎰。

高等数学(同济第七版)(上册)_知识点总结

...高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一.函数的概念1.两个无穷小的比较f(x)设l imf(x)0,limg(x)0且llimg(x)（1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[g(x)]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。

（2）l≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。

（3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)~g(x)2.常见的等价无穷小当x→0时sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arccosx~x，1-cosx~x^2/2，xe-1~x，ln(1x)~x，(1x)1~x二．求极限的方法1．两个准则准则1.单调有界数列极限一定存在准则2.（夹逼定理）设g(x)≤f(x)≤h(x)若limg(x)A,limh(x)A，则l imf(x)A2．两个重要公式sinx公式11limx0x1/x公式2xelim(1)x03．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次xe 1x2x2!3x3!...nxn!no(x )sinxx3x3!5x5!... (n1)(2nx2n11)!2no(x1)WORD格式可编辑版...cosx12x2!4x4!... (2nxnox2n1)(2n!)ln(1x)x2x23x3... (nxnox n11)(n)(1x)1x (1)2!2x n ox n(1)...((n1))x...(n!)arctanxx3x35x5... (2n1xnox2n11)(2n11)5．洛必达法则定理1设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()0fxxx0 ，limF(x)0xx；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）f(x)limxx0Fx)(f(x)f(x)存在（或为无穷大），则limlimxx0FFx(x)xx()这个定理说明：当f(x)limx0Fxx()存在时，f(x)limxx0Fx()也存在且等于f(x)limxx0F(x)；当f(x) limxx()0Fx 为无穷大时，f(x)limx()x0Fx也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（LHospital）法则.型未定式定理2设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()fxxx0 ，limF(x)xx；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）f(x)limx)x0F(x存在（或为无穷大），则f(x)f(x)limlimxx0F(x)x x F(x)注：上述关于x时未定式型的洛必达法则，对于x时未定式型x同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“0”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“0”或“”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限WORD格式可编辑版...f(xx)f(x)00'基本公式()limfx0x0x(如果存在）3.利用定积分定义求极限基本格式1n1klimf()f(x)dxnnnk1（如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设x是函数y=f(x)的间断点。

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