新人教版高中数学必修四教案：1.6三角函数图像与性质

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高中数学必修4第一章第四节《三角函数的图像与性质》全套教案

三角函数的图像与性质1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象【教学目标】（1）了解正弦曲线的画法及原理，理解余弦曲线与正弦曲线的联系；（2）观察y=sin x，x∈［0，2］的图象，归纳出“五点法”，并推广到余弦函π数以及复合函数的图象的画法【教学重点难点】【教学重点】：五点法【教学难点】：正余弦曲线间的联系；数形结合、图象变换的思想方法【学前准备】：多媒体，预习例题电脑2、利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：（1）sin x ≥；（2）cos x ≤．解：（1）作出正弦函数y =sin x ，x ∈[0，2π]的图象：由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,265,26ππππ （2）作出余弦函数y =cos x ，x ∈[0，2π]的图象：由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,235,23ππππ21211.4.2正弦函数、余弦函数的性质【教学目标】1.借助图象理解正弦函数、余弦函数的基本性质，会求复合函数的单调区间.2.体会数形结合思想及整体换元思想【教学重难点】通过正弦函数、余弦函数的图象归纳其性质.整体换元思想的渗透，复合函数单调性的求法【学前准备】：多媒体，预习例题1、师生共同研究得出正弦函数的性质：①定义域：R ②值域：]1,1[- ③单调性：递增区间为Z k k k ∈++-],22,22[ππππ，函数值从-1增至1；递减区间为Z k k k ∈++],223,22[ππππ，函数值从1减至-1. ④最值：当Z k k x ∈+=,22ππ时，1max =y ；当Z k k x ∈+-=,22ππ时，1min -=y .⑤奇偶性：奇函数，x x sin )sin(-=- ⑥对称性：对称轴为Z k k x ∈+=,2ππ；对称中心为Z k k ∈),0,(π.2、小组合作探究得出余弦函数的性质：①定义域：R ②值域：]1,1[-③单调性：递增区间为Z k k k ∈+-],2,2[πππ，函数值从-1增至1；正切函数的性质与图象【教学目标】1.掌握正切函数的性质；2.掌握性质的简单应用；3.会解决一些实际问题。

高中数学人教版必修4三角函数的图象与性质教学设计

《1.4.1正弦函数、余弦函数的图象》教学设计一、讲什么1．教学内容（1）概念原理：正弦函数的图象、余弦函数的图象。

（2）思想方法：数形结合，化归与转化。

（3）能力素养：数学建模、直观想象。

2．内容解析：本节课是学生已经有了研究函数图象的经验，在此基础上研究三角函数。

正弦、余弦的基本作图方法“五点（作图）法”是本节课的主要内容．描点作图是画函数图象的一种方法，但有两个问题需要明确：一、要知道曲线的大致形状才能描点；二、由于三角函数的特殊性，其所对应的函数值很多都是无理数，所以必须借助三角函数线才能较为精确的描点.这是本节课需要重点了解的，得到了正弦函数图象后，研究余弦函数图象可以借助已解决的问题进行画图.同时正弦、余弦函数图象可以作为研究其它曲线的基础，是认识其它相关的函数图象的一个重要的模型。

二、为何讲1．教学目标：（1）能借助三角函数线作出正弦函数图象；（2）在具体的作图过程中，感受用正弦线作正弦曲线的意义，并能把余弦函数化归到正弦函数图象；（3）通过此过程让学生感受到数学建模与直观想象的核心素养。

2．目标解析：（1）通过对简谐振动的观察，让同学们直观感知正弦曲线的形状，为描点作图提供基础，通过取点去，让同学们感受到如何去准确的去度量函数值为无理数；（2）余弦线不好操作，可以根据正弦函数与余弦函数的关系，通过函数图象变换用正弦曲线得出余弦曲线；（3）利用三角函数线来描点和利用正弦函数画余弦函数图象是数学模型的应用。

基于上述分析，本节课的教学重点定为：用正弦线作出正弦曲线。

三、怎样讲（一）教学准备1．教学问题：（1）描点法作图是应该对曲线的形状有一个基本的认识，学生对这一点认识不到位，是第一个教学问题；（2）在描点时如何精确的度量为无理数的函数值，如何引导学生认识到三角函数线在计算无理数函数值得价值，这是第二个教学问题；（3）如何运用也掌握的函数图象来研究新的函数图象，这是第三个教学问题。

基于上述分析，本节课的教学难点定为：用正弦线作出正弦曲线。

高中数学必修四《三角函数的图像与性质》优秀教学设计

三角函数的图像与性质一、教学目标:【知识与技能】：熟练掌握正弦、余弦、正切函数的图像与性质，并能运用三角函数的性质解决对应的问题；【过程与方法】：通过观察正弦、余弦、正切函数的图像复习与三角函数的性质，并运用于解决对应问题的过程中；【情感态度与价值观】：体会数形结合与整体代换等数学思想；通过对图像的观察理解，体会从图形的直观到概括函数的抽象的过程、理解动与静的辩证关系，获得从感性认识到理性认识的进步.二、教学重点与难点：【重点】：熟练掌握正弦、余弦、正切函数的图像与性质，并能运用三角函数的性质解决对应的问题；【难点】：体会数形结合与整体代换等数学思想，并运用于相应的解题过程中.三、课型：复习课.四、课时安排：1课时.五、教学方法：讲练结合.六、教学过程:1、结合正弦曲线的特点复习回顾正弦函数的性质；（逐步完成下表）三角函数的图像和性质（1）2、根据上面复习的正弦函数的相关性质初步展开练习；【练习1】：函数y ＝2cos x －1的定义域：；【练习2】：函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54]【练习3】（回归课本）求函数的单调增区间；3、对比正弦函数的性质回顾余弦函数的性质；4、继续展开练习：【练习4】：函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )A ．2π B.3π2 C ．π D.π2【练习5】：下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)【练习6】：（08广东文数第5题）已知函数2()(1cos2)sin f x x x =+，x ∈R,则()f x 是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数1sin(),[2,2]23y x x πππ=+∈-5、对比正弦、余弦函数的图像观察正切函数的图像，并回顾正切函数的性质；6、再次展开练习：【练习7】：是）的定义域（函数.4tan π+=x y ；【练习8】：（2006广东）已知函数R x x x x f ∈++=),2sin(sin )(π（1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 的最大值和最小值；（3）若43)(=αf ，求α2sin 的值. 7、小结；师生共同回顾本节课所复习的内容及其应用. 8、作业：【2010广东】已知函数在时取得最大值4.（1）求的最小正周期；（2）求的解析式；（3）若，求.【2010湖南高考】已知函数f (x )＝sin 2x －2sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值及f (x )取最大值时x 的集合．()sin(3)(0,(,),0)f x A x A x ϕϕπ=+>∈-∞+∞<<12x π=()f x ()f x 212()3125f πα+=sin α。

高中数学人教版必修4三角函数的图象与性质教学设计 (2)

《正弦、余弦函数的性质》第一课时教学目标【知识与技能】要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；【过程与方法】掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。

【情感态度与价值观】让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

教学重难点【教学重点】正、余弦函数的周期性【教学难点】正、余弦函数周期性的理解与应用教学过程一、复习引入：1．问题：（1）今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：正弦函数()sin f x x =性质如下：（观察图象） 1. 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；2. 规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π，k ∈Z 重复出现）3. 这个规律由诱导公式sin(2k π+x)=sinx 可以说明结论：象这样一种函数叫做周期函数。

文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==。

也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现；（2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

二、讲解新课：1．周期函数定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x +T)=f (x )那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

问题：（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期？ – –π2π2π-2π5ππ-2π-5π- O x y1 1-（2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠）（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？（是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+）2、说明：1.周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M ，且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；2.“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)）3. T 往往是多值的（如y=sinx 2π，4π，…，-2π，-4π，…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） y=sinx ， y=cosx 的最小正周期为2π （一般称为周期）从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π；判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？（()f x c =没有最小正周期） 3、例题讲解例1 求下列三角函数的周期：（1）x y cos 3= （2）x y 2sin =（3）12sin()26y x π=-，x R ∈．解：（1）∵3cos(2)3cos x x π+=，∴自变量x 只要并且至少要增加到2x π+，函数3cos y x =，x R ∈的值才能重复出现，所以，函数3cos y x =，x R ∈的周期是2π。

高中数学第一章三角函数第四节三角函数的图象与性质(第一课时)示范教案新人教A版必修4

第一章第四节三角函数的图象与性质第一课时整体设计教学分析研究函数的性质常常以图象直观为基础，这点学生已经有些经验，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想的应用．正弦函数、余弦函数的教学也是如此．先研究它们的图象，在此基础上再利用图象来研究它们的性质．显然，加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求．由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了，因此，教科书把对周期性的研究放在了首位．另外，教科书通过“旁白”，指出研究三角函数性质“就是要研究这类函数具有的共同特点”，这是对数学思考方向的一种引导．由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数，因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图象是一个自然的想法．当然，我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图．三维目标1．通过实验演示，让学生经历图象画法的过程及方法，通过对图象的感知，形成正弦曲线的初步认识，进而探索正弦曲线准确的作法，养成善于发现、善于探究的良好习惯．学会遇到新问题时善于调动所学过的知识，较好地运用新旧知识之间的联系，提高分析问题、解决问题的能力．2．通过本节学习，理解正弦函数、余弦函数图象的画法．借助图象变换，了解函数之间的内在联系．通过三角函数图象的三种画法：描点法、几何法、五点法，体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数图象．3．通过本节的学习，让学生体会数学中的图形美，体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦．渗透由抽象到具体的思想，加深数形结合思想的认识，理解动与静的辩证关系，树立科学的辩证唯物主义观．重点难点教学重点：正弦函数、余弦函数的图象．教学难点：将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点；正弦函数与余弦函数图象间的关系．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)遇到一个新的函数，非常自然地是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等．我们也很自然地想知道y＝sin x与y＝cos x的图象是怎样的呢？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们图象的(列表描点法：列表、描点、连线)？进而引导学生通过取值，画出当x∈[0,2π]时，y＝sin x的图象．思路 2.(情境导入)请学生动手做一做章头图表示的“简谐运动”实验．教师指导学生将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况．有了上述实验，你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象？画函数的图象，最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法，但不够精确．下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象．推进新课新知探究提出问题问题①：作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，由于对一般角的三角函数值都是近似值，不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长或用有向线段数值表示x 角的三角函数值？怎样得到函数图象上点的两个坐标的准确数据呢？简单地说，就是如何得到y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的精确图象呢？问题②：如何得到y ＝sin x ，x ∈R 时的图象？活动：教师先让学生阅读教材、思考讨论，对于学习较弱的学生，教师指导他们查阅课本上的正弦线．此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图象，怎样在x 轴上标横坐标？为什么将单位圆分成12份？学生思考探索仍不得要领时，教师可进行适时的点拨．只要解决了y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，就很容易得到y ＝sin x ，x ∈R 时的图象了．对问题①，第一步，可以想象把单位圆圆周剪开并12等分，再把x 轴上从0到2π这一段分成12等份．由于单位圆周长是2π，这样就解决了横坐标问题．过⊙O 1上的各分点作x 轴的垂线，就可以得到对应于0、π6、π4、π3、π2、…、2π等角的正弦线，这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”)．第二步，把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合，这就得到了函数对(x ，y )(相当于“描点”)．第三步，再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来，我们就得到函数y ＝sin x 在[0,2π]上的一段光滑曲线(相当于“连线”)．如图1所示(这一过程用课件演示，让学生仔细观察怎样平移和连线过程．然后让学生动手作图，形成对正弦函数图象的感知)．这是本节的难点，教师要和学生共同探讨．图1对问题②，因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y ＝sin x 在x ∈[2k π，2(k ＋1)π]，k ∈Z 且k ≠0上的图象与函数y ＝sin x 在x ∈[0,2π]上的图象的形状完全一致，只是位置不同．于是我们只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象．(这一过程用课件处理，让同学们仔细观察整个图的形成过程，感知周期性)图2讨论结果：①利用正弦线，通过等分单位圆及平移即可得到y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象．②左、右平移，每次2π个长度单位即可．提出问题如何画出余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的图象？你能从正弦函数与余弦函数的关系出发，利用正弦函数图象得到余弦函数图象吗？活动：如果再用余弦线作余弦函数的图象那太麻烦了，根据已学的知识，教师引导学生观察诱导公式，思考探究两个函数之间的关系，通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象？让学生从函数解析式之间的关系思考，进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法．让学生动手做一做，体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同，感知两个函数的整体形状，为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础．讨论结果：把正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图象．如图3.图3正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象和余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．提出问题问题①：以上方法作图，虽然精确，但不太实用，自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图象的方法.你认为哪些点是关键性的点？问题②：你能确定余弦函数图象的关键点，并作出它在[0，2π]上的图象吗？活动：对问题①，教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象，发现在[0,2π]上有五个点起关键作用，只要描出这五个点后，函数y ＝sin x 在[0,2π]上的图象的形状就基本上确定了．这五点如下：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，就可快速得到函数的简图．这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的，要求熟练掌握．对问题②，引导学生通过类比，很容易确定在[0,2π]上起关键作用的五个点，并指导学生通过描这五个点作出在[0,2π]上的图象．讨论结果：①略．②关键点也有五个，它们是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．应用示例思路1例1画出下列函数的简图(1)y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]；(2)y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]．活动：本例的目的是让学生在教师的指导下会用“五点法”画图，并通过独立完成课后练习1领悟画正弦、余弦函数图象的要领，最终达到熟练掌握．从实际教学来看，“五点法”画图易学却难掌握，学生需练好扎实的基本功．可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成．对学生出现的种种失误，教师不要着急，在学生操作中指导一一纠正，这对以后学习大有好处．解：(1)图4(2)图5点评：“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法，本例是最简单的变化．本例的目的是让学生熟悉“五点法”．如果是多媒体教学，要突破课件教学的互动性，多留给学生一些动手操作的时间，或者增加图象纠错的环节，效果将会令人满意，切不可教师画图学生看．完成本例后，让学生阅读教材上本例下面的“思考”，并回答如何通过图象变换得图6图7思路2例1画出函数y ＝|sin x |，x ∈R 的简图．活动：教师引导学生观察探究y ＝sin x 的图象并思考|sin x |的意义，发现只要将其x 轴下方的图象翻上去即可．进一步探究发现，只要画出y ＝|sin x |，x ∈[0，π]的图象，然后左、右平移(每次π个单位)就可以得到y ＝|sin x |，x ∈R 的图象．让学生尝试寻找在[0，π]上哪些点起关键作用，易看出起关键作用的点有三个：(0,0)，(π2，1)，(π，0)．然后列表、描点、连线，让学生自己独立操作完成，对其失误的地方再予以一一纠正．图8点评：通过本例，让学生更深刻地理解正弦曲线及“五点法”画图的要义，并进一步从图92sin2x 的图象时，首先应描出的五点横坐标可以是π B ．0，π4，π2，3π4课本本节练习解答：1．可以用单位圆中的三角函数线作出它们的图象，也可以用“五点法”作出它们的图象，还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象．两条曲线形状相同，位置不同，例如函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，可以通过将函数y ＝cos x ，x ∈[－π2，3π2]的图象向右平行移动π2个单位长度而得到(图10)．图10点评：在同一个直角坐标系中画出两个函数图象，利于对它们进行对比，可以加强正弦函数与余弦函数的联系．通过多种方法画图，渗透数形结合思想，强化学生对数学概念本质的认识．2．两个函数的图象相同．点评：先用“五点法”画出余弦函数的图象，再通过对比函数解析式发现另一函数的图象的变化规律，最后变换余弦曲线得到另一函数的图象(图11)．图11课堂小结以提问的方式，先由学生反思学习内容并回答，教师再作补充完善．1．怎样利用“周而复始”的特点，把区间[0,2π]上的图象扩展到整个定义域的？2．如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线？这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法．除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外，余弦函数图象还可由平移法得到．“五点法”作图是比较方便、实用的方法，应熟练掌握．数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．作业1．课本习题1.4 A组1.2．预习下一节：正弦函数、余弦函数的性质．设计感想1．本节课操作性强，学生活动量较大．新课从实验演示入手，形成图象的感知后，升级问题，探索正弦曲线准确的作法，形成理性认识．问题设置层层深入，引导学生发现问题，解决问题，并对方法进行归纳总结，体现了新课标“以学生为主体，教师为主导”的课堂教学理念．如用多媒体课件，则可生动地表现出函数图象的变化过程，更好地突破难点．2．本节课所画的图象较多，能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求，重在学生动手操作，不要怕学生出错．通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力．开始时要慢些，尤其是“五点法”，每个点都要能准确地找到，然后迅速画出图象．3．本小节设置的“探究”“思考”较多，还提供了“探究与发现”“信息技术应用”等拓展性栏目．教学时，应留给学生一定的时间思考、探究这些问题．备课资料一、备用习题1．方程2x＝cos x的解的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．无穷多个答案：D2．如图12中的曲线对应的函数解析式是( )图12A．y＝|sin x| B．y＝sin|x|C．y＝－sin|x| D．y＝－|sin x|答案：C二、潮汐与港口水深我国东汉时期的学者王充说过“涛之兴也，随月盛衰”．唐代学者张若虚(约660年至约720年)在他的《春江花月夜》中，更有“春江潮水连海平，海上明月共潮生”这样的优美诗句．古人把海水白天的上涨叫做“潮”，晚上的上涨叫做“汐”．实际上，潮汐与月球、地球都有关系．在月球万有引力的作用下，就地球的海面上的每一点而言，海水会随着地球本身的自转，大约在一天里经历两次上涨、两次降落．由于潮汐与港口的水深有密切关系，任何一个港口的工作人员对此都十分重视，以便合理地加以利用．例如，某港口工作人员在某年农历八月初一从0时至24时记录的时间t(h)与水深d(m)的关系如下：(1)示)，观察它们的位置关系，不难发现，我们可以选用正弦型函数d ＝5＋2.5sin π6t ，t ∈[0,24)来近似地描述这个港口这一天的水深d 与时间t 的关系，并画出简图(如图16)．图16由此图或利用科学计算器，可以得到t 取其他整数时d 的近似值，从而把上表细化．(2)利用这个函数及其简图，例如这一年农历八月初二或九月初一，假设有一条货船的吃水深度(即船底与水面的距离)为4 m ，安全条例规定至少要有1.5 m 的安全间隙(即船底与水底的距离)，那么根据 5.5≤d ≤7.5，就可以近似得到此船何时能进入港口和在港口能逗留多久．如果此船从凌晨2时开始卸货，吃水深度由于船减少了载重而按0.3 m/h 的速度递减，还可以近似得到卸货必须在什么时间前停止才能将船驶向较深的某目标水域．不同的日子，潮汐的时刻和大小是不同的．农历初一和十五涨的是大潮，尤以八月十五中秋为甚．以上的估算必须结合其他数据一起考虑，才能加以科学利用．。

高中数学必修四教学方案：《三角函数的图象与性质》

高中数学必修四教学方案：《三角函数的图象与性质》基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分。

其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学范本内便可观见。

下面跟着一起来看看吧。

高中数学必修4《三角函数的图象与性质》教案【一】教学准备教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性；（2）能熟练运用正弦函数的性质解题。

2、过程与方法通过正弦函数在R上的图像，让学生探索出正弦函数的性质；讲解例题，总结方法，巩固练习。

3、情感态度与价值观通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

教学重难点重点：正弦函数的性质。

难点：正弦函数的性质应用。

教学工具投影仪教学过程【创设情境，揭示课题】同学们，我们在数学一中已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质的几个角度，你还记得有哪些吗？在上一次课中，我们已经学习了正弦函数的y=sinx在R上图像，下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质？【探究新知】让学生一边看投影，一边仔细观察正弦曲线的图像，并思考以下几个问题：（1）正弦函数的定义域是什么？（2）正弦函数的值域是什么？（3）它的最值情况如何？（4）它的正负值区间如何分？（5）？（x）=0的解集是多少？师生一起归纳得出：1. 定义域：y=sinx的定义域为R2. 值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|≤1（有界性）再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以y=sinx的值域为[-1，1]课后小结归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有哪些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？课后习题作业：习题1—4第3、4、5、6、7题.板书略高中数学必修4《三角函数的图象与性质》教案【二】教学准备教学目标1、知识与技能（1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。

人教版高中数学必修4-1.4《三角函数的图象与性质(第1课时)》教学设计

1.4三角函数的图象与性质1.4.2正弦函数、余弦函数的图像与性质(一)（赵中玲）一、教学目标（一）核心素养通过这节课的学习，能够很好的掌握正弦函数、余弦函数的周期性和单调性，在直观想象、数学抽象、逻辑推理过程中用这些性质能够对相关函数作出准确的分析进而解答相关问题.（二）学习目标1.通过研究sin y x =（cos y x =）“周而复始”的特征，得出周期性的准确定义.2.理解周期性的定义，并能够运用该定义求周期函数的周期.3.能结合图象得出sin y x =（cos y x =）的单调性和单调区间，以及会运用单调性求最值和比较大小.4.在渗透数形结合的数学思想过程中，同时培养学生类比和转化的思维习惯.（三）学习重点正弦函数、余弦函数的周期性，周期性的定义及其运用.（四）学习难点正弦函数、余弦函数的周期性.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材34——36页，填空：正弦函数sin y x =的周期为)(2Z k k ∈π，最小正周期为 2л .余弦函数cos y x =的周期为)(2Z k k ∈π，最小正周期为 π2 .周期函数定义：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数就叫周期函数，周期为非零常数T2.预习自测（1）sin y x =（cos y x =）的最小正周期为【答案】2π（2）sin（)3y x π=-的最小正周期为【答案】2π （3）cos 2y x =的最小正周期为【答案】π(二)课堂设计1.知识回顾回顾sin y x =（cos y x =）的图象.2.问题探究探究一正弦函数、余弦函数的周期性，周期性定义★●活动①根据sin y x =的图象得出周期性的概念由正弦函数的图象我们发现：它具有“周而复始”的变化规律.其实在由正切线向正弦函数转变的探究过程中也有感受到，而从式子上面也有准确的体现——正弦的诱导公式：sin （2)sin ()x k x k Z π+=∈，即当自变量x 增加2π的整数倍时，函数值重复出现.数学上我们称这种规律为周期性，下面得出周期性的准确定义：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 ()()f x T f x +=，则称函数()f x 为周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，如果在所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做()f x 的最小正周期.【设计意图】通过数形结合得出周期性的准确定义，从而使三角函数的这种特征由感官的转变为数式的准确描述.●活动② 利用周期性的定义判断cos y x =是否为周期函数，并确定其周期和最小正周期. 引导学生先根据cos y x =的图象直观的得出其周期性和周期以及最小正周期，再引导学生类比sin y x =发现cos （2)cos ()x k x k Z π+=∈，由k 取不同的整数得cos y x =的周期可以为2π、4π、6π……及2π-、4π-、6π-……，其中最小的一个正数为2π，因此最小正周期为2π.如果有时间教师可以对最小正周期为2π进行严格证明，证明如下：。

高中数学 1.4 三角函数的图象与性质教案3 新人教版必修4

《三角函数的图象和性质(一)》教学设计【教学课题】三角函数的图象和性质(一)【教材分析】本节课是三角函数的图象和性质的第一节课，在这节课前，教材已先安排了任意角的三角函数的定义的一节课，再进行研究三角函数的图象和性质。

这节课教材主要是研究三点：一是如何作出正弦函数以及余弦函数图象，二是用“五点法”画正、余弦函数的简图，三是正弦函数以及余弦函数图象之间有何关系。

【教学目标】（一）教学知识点1、正弦函数的图象；2、余弦函数的图象。

（二）能力训练要求1、会用单位圆中的线段画出正弦函数的图象；2、用诱导公式画出余弦函数的图象；3、会用“五点法”画正、余弦函数的图象。

（三）德育渗透目标1、培养学生的数形结合；2、渗透由抽象到具体思想；3、使学生理解动与静的辨正关系。

（四）美育渗透点通过作图，使学生感受到波形曲线的流畅美,使学生体会事物周期变化的奥秘。

【教学重点】用“五点法”画正弦曲线、余弦曲线。

【教学难点】一、利用单位圆中的正弦线画出函数y=sinx ,x[0,2]的图象；二、利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线。

【教学方法】借助较先进的教学手段引导学生理解利用单位圆中的有向线段表示三角函数值的办法，画出正弦曲线，在此基础上由诱导公式画出余弦曲线。

（讲授法，讲练结合，启发式教学）启发学生：那我们能不能用我们作这个点的方法来画正弦函数的图象呢？下面，我们利用这种方法来画一下正弦函数的图象。

（打开课件,引导学生仔细观察过程）请一个同学来归纳一下作图的步骤：利用单位圆中的正弦线来画正弦函数的图象步骤：（1）作直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧画单位圆（2）把单位圆分成12等分（等分越多，画出的图象越精确），可分别在单位圆中作出对应于x的0,,,…… ,2的正弦函数线。

（3）找横坐标：把x轴上从0到2 (2≈6.28)这一段分成12等分。

（4）找纵坐标：将正弦线对应平移，即可指出相应12个点。

（5）连线：用平滑的曲线将12个点依次从左至右连接起来，即得y=sinx，x∈[0,2]的这时,我们看到的这段光滑曲线就是函数y=sinx在x∈[0,2]上的函数。

高中数学必修4《三角函数的图象和性质》教案

《三角函数的图象和性质》教案【教材分析】《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的对称性，【学习目标】1．掌握正弦函数和余弦函数图象的对称轴和对称中心2．会将y表示成以sinx(或cosx)为元的一次或二次等复合函数3. 在探究函数基本性质和图像的过程中，渗透化归思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．4. 在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．【教学重点难点】教学重点：1．掌握正弦函数和余弦函数图象的对称轴和对称中心2．会将y表示成以sinx(或cosx)为元的一次或二次等复合函数教学难点：在探究函数基本性质和图像的过程中，渗透化归思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．【学情分析】（1）知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象并通过观察图象总结性质的能力。

本节课是在学习了三角函数性质的基础上学习三角函数的对称性，以及对三角函数求值域进行一定的补充。

（2）心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。

但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

【课时安排】1课时【教学过程】一、复习导入1.定义域、值域（1）定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集(或).（2）值域：因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度, 所以,即也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是.2.周期性由知:正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是.3.奇偶性由可知:()为奇函数,其图象关于原点对称()为偶函数,其图象关于轴对称4.单调性正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增大到; 在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增加到;余弦函数在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.二、探索研究，导入新课给出正弦、余弦函数的图象，让学生观察，并思考它们的图象有何对称性？正弦函数图象R ),(+∞-∞1|cos |,1|sin |≤≤x x 1cos 1,1sin 1≤≤-≤≤-x x ]1,1[-)(,cos )2cos(,sin )2sin(Z k x k x x k x ∈=+=+ππ)≠∈(0,2k Z k k ππ2x x x x cos )cos(,sin )sin(=--=-x y sin =R x ∈O x y cos =R x ∈y )](22,22[Z k k k ∈++-ππππ1-1)](22,22[Z k k k ∈+3+ππππ11-)](2,2[Z k k k ∈-πππ1-1)](2,2[Z k k k ∈+πππ11-对称轴：对称中心：余弦函数图象对称轴：对称中心：三、典例分析例1 求函数的对称轴和对称中心例2 求函数y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈R 的值域．四、当堂检测练习 1 求函数的对称轴和对称中心练习2 求函数y ＝cos 2x ＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值时的x 的集合． 53113,,,,22222x πππππ=---,2x k k Z ππ=+∈(,0),(0,0),(,0),(2,0)πππ-(,0)k k Zπ∈,0,,2x πππ=-,x k k Z π=∈35(,0),(,0),(,0),(,0)2222ππππ-(,0)2k k Zππ+∈sin(2)sin 3y x z π=+=1cos()24y x π=+五、课堂总结（1）正弦函数的对称轴：对称中心：（2）余弦函数的对称轴：对称中心：（3）求三角函数值域或最值的常用方法将y 表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围。

人教课标版高中数学必修四《三角函数的图象与性质(第2课时)》教案(1)-新版

1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象与性质(二)一、教学目标（一）核心素养通过这节课的学习，能够很好的掌握正弦函数、余弦函数的周期性、单调性及最值、对称性，在直观想象、数学抽象、逻辑推理过程中用这些性质能够对相关函数作出准确的分析进而解答相关问题. （二）学习目标1. 能结合sin y x =（cos y x =）的单调性和单调区间，求相关复合函数的单调区间，以及会运用单调性求复合函数的值域．2．结合图象和诱导公式研究sin y x =（cos y x =）的奇偶性．3．能够利用周期性研究sin y x =（cos y x =）在R 上的对称性，并结合整体思想求复合型三角函数的对称轴或对称中心4．在渗透数形结合的数学思想过程中，同时培养学生类比和转化的思维习惯．（三）学习重点正弦函数、余弦函数的性质：奇偶性、单调性、对称性和值域. （四）学习难点正弦函数、余弦函数的性质：对称性、奇偶性、单调性. 二、教学设计（一）课前设计 1.预习任务（1）读一读：阅读教材37，39—40页，填空：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正弦函数的对称轴为（k Z ）2x k ππ=+∈，对称中心为(,0)()k k Z π∈，余弦函数的对称轴为()x k k Z π=∈，对称中心为(+,0)()2k k Z ππ∈.2.预习自测函数3cos （),226x y x R π=-∈的单调递增区间为)(43,435-Z k k k ∈++）（ππππ对称轴为+2()3x k k Z ππ=∈ ，对称中心为4(+2,0)()3k k Z ππ∈(二)课堂设计 1．知识回顾（1）sin y x =（cos y x =）的周期为2()k k Z π∈，最小正周期为2π sin （（)或cos （)）y A x y A x ωϕωϕ=+=+的周期为2(）k k Z πω∈ ，最小正周期为2πω（2）sin y x =的单调递增区间为 )](22,22[Z k k k ∈++-ππππ，单调递减区间为)](223,22[Z k k k ∈++ππππ ；cos y x =的单调递增区间为][)(2,2-Z k k k ∈+πππ，单调递减区间为][)(2,2Z k k k ∈+πππ.（3）复合函数单调性口诀：同增异减 2．问题探究探究一探究正弦函数、余弦函数的单调性和最值.●活动① 探究sin（)或y cos （)，0y A x A x ωϕωϕω=+=+>的单调区间求法研究函数1sin()23y x π=+，[2,2]x ππ∈-的单调递增区间.教师分析：这不是正弦函数、余弦函数，而是正弦函数与一次函数的复合函数，所以应该采用复合函数求单调区间的方法来研究它.1sin()23y x π=+为复合函数，内函数为1，23t x x R π=+∈为单增函数，外函数为sin ,y t t R =∈，求复合函数的单增区间，根据同增异减，所以需要外函数的单增区间，即)]22,22[Z k k k t ∈++-∈ππππ，但需注意我们的自变量为x ，所以单增区间应是x的范围，所以需要反解出x .由1，23t x x R π=+∈，所以 1222232k x k πππππ-+≤+≤+得54433k x k ππππ-+≤≤+，即单增区间为)](43,435[Z k k k ∈++-ππππ，又[2,2]x ππ∈-，当0k =时，两者有交集为5[,]33ππ-，因此函数1sin()23y x π=+，[2,2]x ππ∈-的单调递增区间为5[,]33ππ-. 针对这种定义域不为R 的复合型三角函数，我们在求单调区间的时候也可以把范围一直带着走，方法如下：1sin()23y x π=+为复合函数，内函数为1，[2,2]23t x x πππ=+∈-为单增函数，外函数为24sin ,[,]33y t t ππ=∈-，求复合函数的单增区间，根据同增异减，所以需要外函数的单增区间，即)](2,2[Z k t ∈-∈ππ，但需注意我们的自变量为x ，所以单增区间应是x 的范围，所以需要反解出x .由123t x π=+，所以12232x πππ-≤+≤得533x ππ-≤≤，因此函数1sin()23y x π=+，[2,2]x ππ∈-的单调递增区间为5[,]33ππ-. 【设计意图】解决复合型三角函数的单调性问题●活动② 探究sin （)或y cos （)，0y A x A x ωϕωϕω=+=+<的单调区间求法研究函数1sin()32y x π=-，[2,2]x ππ∈-得单调递增区间. 教师分析引导：该题仍然是复合函数的单调性问题，那么大家发现它与之前的有什么区别吗？区别在于内函数变为了减函数，请问这个变化会引起导致求单调区间方法的本质性变化吗？不会，我们仍然应该按照复合函数求单调区间的方法进行求解，请同学们尝试. 请问在解题的过程中是否与上一题有区别？老师展示：1sin()32y x π=-为复合函数，内函数为1-，32t x x R π=∈为单减函数，外函数为sin ,y t t R =∈，现要求复合函数的单增区间，根据同增异减，所以需要外函数的单减区间，即)](223,22[Z k k k t ∈++∈ππππ，由1-，32t x x R π=∈，所以13222322k x k πππππ+≤-≤+得74433k x k ππππ-+≤≤-+（此处解不等式有易错点）即单增区间为)](43,437[Z k k k ∈+-+-ππππ，又[2,2]x ππ∈-，当0k =时，两者有交集为7[,]33ππ--，因此函数1sin()23y x π=+，[2,2]x ππ∈-的单调递增区间为7[,]33ππ--. 我们发现区别就在于最后反解x 的时候不等式方向会发生改变，而且容易发生错误，所以为了解决解题过程中解不等式的难点，我们可以先将式子变形后再求单增区间. 根据sin y x =的诱导公式，所以11sin()=-sin(x-)3223y x ππ=-，因此求1sin()32y x π=-得单增区间即求1sin(x-)23y π=得单调递减区间，步骤同上. 请同学思考如果把题目换成求函数1cos(x)32y π=-的单调递增区间应该怎样求解呢？当然我们可以按照复合函数单调性求解，也可以根据诱导公式先变形为11cos(x)=cos(x )3223y ππ=--再进行求解. 【设计意图】对复合型三角函数的单调性问题再次深入研究体会. ●活动③ 探究sin (cos )y x y x ==与其它函数复合后单调区间求法研究函数12log (sin )y x =的单调递增区间.教师分析：因为是复合函数，所以单调区间求法与之前一样，内函数sin t x =，外函数为12log ，0y t t =>，外函数为单调递减函数，要求单调递增区间则需要内函数的单调递减区间，且内函数还有要求sin 0t x =>，可以先找一个周期内满足条件的x ，再扩充到其它周期.在[0,2]π上满足条件的x 为[,]2ππ，所以12log (sin )y x =单调递增区间为)](2,22[Z k k k ∈++ππππ.【设计意图】对含有三角函数的复合函数进行更加全面的分析. 探究二正弦函数、余弦函数的奇偶性、对称性. ●活动① 探究奇偶性由正弦函数的图象可知sin y x =为奇函数，根据诱导公式可以证明sin()sin x x -=-；由余弦函数的图象可知cos y x =为偶函数，根据诱导公式可以证明cos()cos x x -=. 【设计意图】研究正余弦函数的奇偶性.●活动② 探究正弦函数sin y x =、余弦函数cos y x =的对称中心和对称轴.由函数性质可知奇偶性即为特殊的对称性，所以sin y x =有对称中心（0，0），cos y x =有对称轴有对称轴x=0，又由sin y x =、cos y x =周期性的可知，应该还有更多的对称中心和对称轴，请同学们观察图象，写出你所知道的正弦函数的对称中心和对称轴. 先分析sin y x =对称轴，对称轴有……，3x=-2π，x=-2π，2x π=，32x π=，52x π=，…… 由于x R ∈，所以用列举法是没办法写完的，引导学生发现是否有统一的式子来描述这些对称轴.发现相邻对称轴相差π个单位，所以可以选定一条对称轴作为参照对象，其它线由它来加减π的倍数，选定2x π=，则3=+22x πππ=，5=+222x πππ=，x=-=22πππ-，3x=-=222πππ-，用一个统一的式子()2x k k Z ππ=+∈来描述对称轴. 请同学们参照对称轴的写法来写出正弦函数的对称中心(,0)()k k Z π∈. 请同学们模仿正弦函数的方法寻找余弦函数的对称中心和对称轴. 余弦函数对称轴为()x k k Z π=∈，对称中心为(+,0)()2k k Z ππ∈【设计意图】通过数形结合来掌握对称性，并锻炼学生对式子的观察归纳类比能力. ●活动③ 反思过程，发现对称轴、对称中心的特征.问：请同学们再次观察正弦函数和余弦函数图象，试着发现对称轴、对称中心有没有什么重要的特征，比如可否与我们之前学习的性质等进行联系，请描述出来.特征：（1）发现相邻两个对称轴（或对称中心）的距离为正弦函数或者余弦函数的半个周期，相邻的一个对称轴与对称中心在x 轴上的距离为14个周期. （2）对称轴所对的x 为最值点的横坐标. 【设计意图】反思过程，更加深入理解对称性探究三 sin()y A x ωϕ=+及cos()y A x ωϕ=+对称性研究. ●活动① 探究sin()y A x ωϕ=+的对称轴和对称中心. 教师引导：例如同学们如何寻找3sin(2)3y x π=+的对称轴和对称中心.以我们此时的知识基础可以用五点画图法画出图象，然后写出对称轴和对称中心.这样每次都画图会非常耗费时间，所以我们必须要去寻找sin()y A x ωϕ=+对称轴和对称中心的特征，通过画图我们发现sin()y A x ωϕ=+是与sin y x =图象形状是一样的，所以它的对称轴也和sin y x =一样在最值点取，因此求sin()y A x ωϕ=+的对称轴，令()2x k k Z πωϕπ+=+∈，则对称轴为2()k x k Z πϕπω-+=∈；对称中心令()x k k Z ωϕπ+=∈，对称中心为(,0)()k k Z πϕω-∈. 【设计意图】体会对称性的应用，并学会采用整体法进行求解. ●活动② 探究cos()y A x ωϕ=+的对称轴和对称中心. 请同学们类比活动1先得出结论教师分析：通过画图我们发现cos()y A x ωϕ=+是与cos y x =图象形状是一样的，所以它的对称轴也和cos y x =一样在最值点取，因此求cos()y A x ωϕ=+的对称轴，令()x k k Z ωϕπ+=∈，则对称轴为()k x k Z πϕω-=∈；对称中心令()2x k k Z πωϕπ+=+∈，对称中心为2(,0)()k k Z πϕπω-+∈.【设计意图】再次体会对称性的应用，并学会采用整体法进行求解. ●活动③ 例题巩固，检查反馈例：求3sin(2)，4y x x R π=+∈的对称中心和对称轴.【知识点】对称性. 【数学思想】整体代换【解题过程】令242x k πππ+=+得对称轴为（k Z ）82k x ππ=+∈；令24x k ππ+=得对称中心为(,0)8k ππ-+.【思路点拨】利用sin y x =得对称性结合整体思想求解. 【答案】对称轴为（k Z ）82k x ππ=+∈;对称中心为(,0)8k ππ-+.同类训练求函数3cos （),226x y x R π=--∈的对称轴和对称中心. 【知识点】对称性. 【数学思想】整体代换【解题过程】令26xk ππ-=得对称轴为2（k Z ）3x k ππ=+∈；令262xk πππ-=+得对称中心为4(2,0)3k ππ+. 【思路点拨】利用cos y x =的对称性结合整体思想求解. 【答案】对称轴为2（k Z ）3x k ππ=+∈;对称中心为4(2,0)3k ππ+. 【设计意图】通过例题巩固复合函数对称性. 3.课堂总结知识梳理（1）利用正余弦函数的单调性解决了一次与正余弦函数复合后的函数的单调性，所采用的方法有复合函数的单调性求法、整体思想的运用.（2）根据图象和周期性我们得出了正弦函数、余弦函数的对称性和奇偶性. （3）研究了sin()y A x ωϕ=+及cos()y A x ωϕ=+对称性.（4）关于正弦函数、余弦函数我们主要研究了以下性质：定义域R ，值域[-1,1]，周期性、单调性、对称性、奇偶性. 重难点归纳（1）正余弦函数的周期性、对称性、单调性均为重点（2）对于其中所涉及的数形结合思想、整体法的运用都属于重难点. （三）课后作业基础型自主突破 1.函数sin(2),2y x x R π=-∈是（）A.最小正周期为π的奇函数.B.最小正周期为2π的奇函数. C.最小正周期为π的偶函数. D.最小正周期为2π的偶函数. 【知识点】周期、奇偶性【解题过程】sin(2)cos 22y x x π=-=，所以最小正周期为π，又cos 2cos(2)x x =-，所以为偶函数.【思路点拨】化简利用定义解题. 【答案】C2．求函数3sin(2)，[0,]4y x x ππ=+∈的单调递减区间.【知识点】复合函数单调性、正弦函数单调性. 【数学思想】整体思想【解题过程】由复合函数单调性有：内函数为2，x [0,]4t x ππ=+∈单调递增，外函数为3sin ，[,2]44y t t πππ=∈+，y=3sin t.根据复合函数同增异减，所以外函数需要单调递减区间，即πππ+∈3=2[,]422t x ，则ππ∈5[，]88x ，因此所求函数的单调递减区间为ππ5[，]88【思路点拨】利用复合函数单调性的求法进行求解．【答案】ππ5[，]883.求函数sin(2)，[0,]4y x x ππ=-∈的单调递增区间.【知识点】复合函数单调性、正弦函数单调性. 【数学思想】整体思想【解题过程】sin(2)sin(2)，[0,]44y x x x πππ=-=--∈，由复合函数单调性即求sin(2)，[0,]4y x x ππ=-∈的单调递减区间，内函数为2，[0,]4t x x ππ=-∈为单增函数，外函数为sin ，[,2]44y t t πππ=∈--，由同增异减得需要sin ，[,2]44y t t πππ=∈--的单调递减区间，所以32[,]422t x πππ=-∈，所以37[,]88x ππ∈，所以所求函数的单调递增区间为37[,]88ππ【思路点拨】现利用奇函数的特征将式子变为x 系数为正，然后结合复合函数求单调性的方法求解．【答案】37[,]88ππ． 4．若函数()3cos()(114)4f x x πωω=-<<的图象关于直线12x π=对称，则ω= 【知识点】对称性. 【数学思想】数形结合【解题过程】=k ,(114)124ππωπω⨯-<<，所以=3+12k,(114)ωω<<，所以=3ω【思路点拨】根据对称轴特征得出答案【答案】3．5.已知函数()sin(2)(0)6f x x πωω=->的最小正周期为4π，则（）A.函数()f x 的图象关于点，06π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称.B.函数()f x 的图象关于点6x π=对称.C.函数()f x 在，2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.D.函数()f x 在，2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增.【知识点】周期性、对称性、单调性. 【数学思想】数形结合【解题过程】21242πωπ==，所以，所以1()sin()26f x x π=-；当6x π=时，126612πππ⨯-=-，因此不为对称轴，也不为对称中心横坐标，所以排除A,B ；当，2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1，26123x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因此单调递增；选D【思路点拨】先求出解析式，再根据整体法挨个选项验证. 【答案】D6．若函数()2sin()f x x ωϕ=+对任意x 都有()()3f x f x π+=-，则()6f π=（）.A.2或0B.0C.-2或0D.-2或2 【知识点】对称性. 【数学思想】数形结合【解题过程】由()()3f x f x π+=-可知函数关于6x π=对称，由对称轴特征则()26f π=± 【思路点拨】由对称的式子得出对称轴，再根据对称轴特征得出答案【答案】D7．若函数()2sin(2)(0)6f x x πθθπ=++<<的图象关于点，02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则函数()f x 在，46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为 .【知识点】对称中心，单调性求最值. 【数学思想】数形结合【解题过程】由对称中心的特征有226k ππθπ⨯++=，得7()6k k Z πθπ=-+∈，由0θπ<<得56πθ=，所以()2sin(2)2sin 2f x x x π=+=-，又()f x 在，46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，所以()f x 的最小值为()=2sin63f ππ-= 【思路点拨】先根据对称中心求出()f x 的解析式，再根据单调性求出最值【答案】能力型师生共研8.设函数()2sin()(0,)32f x x ππωϕωϕ=+-><的最小正周期为π，且()()f x f x =-，则（）A ．()f x 在0，2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.B ．()f x 在3，44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.C ．()f x 在0，2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.D ．()f x 在3，44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.【知识点】单调性、周期、奇偶性. 【数学思想】数形结合【解题过程】由最小正周期为π可得=2ω，由()()f x f x =-可知()2sin(2)3f x x πϕ=+-为偶函数，所以=32k ππϕπ-+，所以5=()6k k Z πϕπ+∈，又2πϕ<，所以6πϕ=-，()2sin(2)2cos 263f x x x ππ=--=-，所以()f x 在0，2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.【思路点拨】先根据周期，奇偶性求出()f x ，然后再根据复合函数单调性和整体思想求出单调区间.【答案】C 自助餐1.函数sin()3y x π=-的一个单调递增区间为（）A. 5(,)66ππ-B. 5(,)66ππ-C. (,)22ππ-D. 2(,)33ππ- 【知识点】复合函数单调性【数学思想】整体思想【解题过程】A.内函数为增,外函数 sin ,(,)322y t t x πππ==-∈-为单调递增,所以sin()3y x π=-在5(,)66ππ-为增 ;所以选 A. 选项B,内函数为增,外函数7sin ,(,-)366y t t x πππ==-∈-有增区间也有减区间,所以不选;其它选项同理分析. 【思路点拨】将选项带入检验．【答案】A2．下列函数中，最小正周期为π且在区间，2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为增函数的是（）A.sin 2y x =B.sin y x =C.1sin 2y x = D.cos 2y x = 【知识点】单调性【数学思想】整体思想【解题过程】最小正周期为π只有A ，D ，当，2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2，2x ππ∈，此时只有D选项符合要求.【思路点拨】由最小正周期和单增区间进行验证. 【答案】D3．已知函数()sin 2（10）f x x ωω=+>在区间3，22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为．【知识点】正弦函数单调性. 【数学思想】【解题过程】先求出()sin 21f x x ω=+的单增区间，令22222k x k πππωπ-<<+，由0ω>解得单增区间为，，44k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，则3,，2244k k ππππππωωωω⎡⎤⎡⎤-⊆-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对某个整数K 成立，所以32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得16ω≤. 【思路点拨】根据3，22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦包含于单调区间解题.【答案】164．已知函数()cos （)(0)4f x x πωω=+>的最小正周期为π，（1）求函数()y f x =图象的对称轴方程;（2）讨论函数()f x 在0，2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.【知识点】周期、对称性、单调性. 【数学思想】整体代换【解题过程】因为最小正周期为2ππω=，所以=2ω，则()cos （2)4f x x π=+；（1）令2=4x k ππ+，则对称轴为=-,82k x k Z ππ+∈；（2）0，2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2[,]444x ππππ+∈+，根据复合函数单调性，当()cos （2)4f x x π=+单调递增时，2[,]44x πππ+∈，所以单增区间为30，8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当()cos （2)4f x x π=+单调递减时，2[，+]44x ππππ+∈，所以单减区间为3，82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；【思路点拨】根据周期求出解析式，利用余弦函数的对称轴结合整体思想求出对称轴，利用复合函数研究单调性的方法求单调区间．【答案】（1）对称轴为=-,82k x k Z ππ+∈；（2）单增区间为30，8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，单减区间为3，82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.5．已知函数()sin （2)(0)3f x x πωω=->的图象上的相邻最高点与最低点的距离为（1）求ω的值；（2）若函数()(0)2y f x πϕϕ=+<<是奇函数，求函数()cos （2)g x x ϕ=-在0，2x π⎡⎤∈⎣⎦上的单调递减区间．【知识点】周期，奇偶性，单调性【数学思想】整体代换、数形结合【解题过程】（1）设最小正周期为T ，=又max ()1f x =，所以解得2T π=，且222T ππω==，所以12ω=；（2）由（1）()sin （)3f x x π=-，所以()sin()3f x x πϕϕ+=+-，因为()sin()3f x x πϕϕ+=+-为奇函数，所以sin()=03πϕ-，又02πϕ<<，所以3πϕ=，所以()cos （2)3g x x π=-，令2223k x k ππππ≤-≤+，则2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以()cos （2)3g x x π=-的单调递减区间为2，63k Zk k ππππ∈⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，由因为0，2x π⎡⎤∈⎣⎦，所以当k=0时，()g x 的单调递减区间为2，63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当k=1时，()g x 的单调递减区间为75，63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.所以()g x 的单调递减区间为2，63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，75，63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【思路点拨】根据距离求出周期，根据周期求出ω，根据奇函数求出ϕ，求出()g x 的解析式，根据复合函数求单调区间方法求解即可. 【答案】(1)12ω=;(2)所以()g x 的单调递减区间为2，63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，75，63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

高中数学 1.4 三角函数的图象与性质教案6 新人教版必修4

课题：三角函数的图象与性质（三）课型：新授课课时计划：本课题共安排二课时教学目标：1、理解并会判断正、余弦函数的奇偶性；2、培养学生直观猜想,归纳抽象,演绎证明的能力；3、培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神.教学重点：求正、余弦函数的奇偶性.教学难点：正、余弦函数奇偶性的证明.教学过程：一、创设情境，引入新课我们已经知道正、余弦函数的定义域x R ∈，值域[]1,1-那它们除此之外还有哪些性质呢？本节我们研究正余弦函数的奇偶性, 引导学生观察正余弦函数图象的对称性.正弦函数的图象关于原点对称; 余弦函数的图象关于y 轴对称.怎样证明这两个结论呢?设(x,y)是正弦曲线 y=sinx x R ∈上的任意一点,即P(x, sinx) 是正弦曲线上的一点,它关于原点的对称点是(-x,-y)即Q(-x,- sinx)现在只要证明(-x,- sinx)也是正弦曲线上的点.由诱导公式sin(-x)=- sinx 可知,这个对称点就是 (-x ,sin(-x)).它显然也在正弦曲线上.所以正弦曲线关于原点对称. 这说明：将正弦函数曲线绕原点旋转180度后得的曲线能够和原来的曲线重合.即正弦函数关于原点对称.同学们仿照证明 y=cosx x R ∈关于y 轴对称分析:设cos y x =x R ∈从余弦函数的图象上任取一点P(x,y),即P(x,cosx),其关于y 轴对称点P ′(-x,y)即P ′(-x,cosx)由诱导公式cos(-x)=cosx 知这个点也在余弦函数的图像上。

这说明什么？这说明若将余弦曲线延着y 轴折叠,y 轴两旁的部分能够互相重合,即余弦曲线关于y 轴对称.二、新课讲解㈠知识要点：1、奇函数的定义：一般的, 对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x) ＝-f(x)，则称f(x)为这一定义域内的奇函数.定义知正弦函数是奇函数.关于原点对称的函数一定是奇函数，且奇函数的图像一定关于原点对称.正弦函数是这样的.注意:(1)对于定义域内任任意一个x,都有f(-x)=-f(x),所以-x 也在定义域内故判断一个函数是否为奇函数,一定要判断定义域是否关于原点对称; (2)若f(x)是奇函数，且x ＝0在定义域内，则f(0)＝0函数y=sinx,x ∈[0,2π]是奇函数吗？函数y=sinx,x ∈[-π/2,π/2]是奇函数吗？2、偶函数的定义:一般的,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)＝f(x)，则称f(x)为这一定义域内的偶函数. (关于y轴对称)定义知余弦函数是偶函数.函数y=cosx, x ∈[0,π]是否为偶函数 ?关于y 轴对称的函数一定是偶函数，且偶函数的图像一定关于y 轴对称.余弦函数是这样的.从上面的分析知道，正余弦函数的奇偶性反映了正余弦函数的图像具有的对称性.正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。

高中数学人教版必修4三角函数的图象与性质教学设计 (4)

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）一、教学目标：知识与技能：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；过程与方法：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。

情感、态度与价值观通过本节的学习，使同学们感受研究和学习函数的一般方法，培养类比思想和抽象概括能力，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物．二．重点难点重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用三、教材与学情分析对于函数性质的研究，在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质．因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究，学生已经有些经验了．其中，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想方法的应用．四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程1.创设情境思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时，如幂函数、指数函数、对数函数的性质，往往通过它们的图象来研究．先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象，从学生画图象、观察图象入手，由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究．思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质，y＝sin x，y＝cos x是函数，我们当然也要探讨它们的一些性质．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质．请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)？然后逐一进行探究．2.新知探究提出问题①回忆并画出正弦曲线和余弦曲线，观察它们的形状及在坐标系中的位置；②观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么？③观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么？由值域又能得到什么？④观察正弦曲线和余弦曲线，函数值的变化有什么特点？⑤观察正弦曲线和余弦曲线，它们都有哪些对称？(1)(2)活动：先让学生充分思考、讨论后再回答．对回答正确的学生，教师可鼓励他们按自己的思路继续探究，对找不到思路的学生，教师可参与到他们中去，并适时的给予点拨、指导．在上一节中，要求学生不仅会画图，还要识图，这也是学生必须熟练掌握的基本功．因此，在研究正弦、余弦函数性质时，教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的，因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具．用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质．对问题①，学生不一定画准确，教师要求学生尽量画准确，能画出它们的变化趋势．对问题②，学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R 〔或(－∞，＋∞)〕．对问题③，学生很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界，得出正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明．∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度， ∴|sin x |≤1，|cos x |≤1，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1. 也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．对于正弦函数y ＝sin x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.(2)当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对于余弦函数y ＝cos x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. (2)当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对问题④，教师可引导、点拨学生先截取一段来看，选哪一段呢？如图3，通过学生充分讨论后确定，选图象上的[－π2，3π2](如图4)这段．教师还要强调为什么选这段，而不选[0,2π]的道理，其他类似．图3 图4这个变化情况也可从下表中显示出来：x －π2 … 0 … π2 … π … 3π2 sin x－11－1就是说，函数y ＝sin x ，x ∈[－π2，3π2]．当x ∈[－π2，π2]时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1；当x ∈[π2，3π2]时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1.类似地，同样可得y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调变化情况．教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究，如图5，为什么选[－π，π]，而不是选[0,2π]．图5引导学生列出下表：x －π … －π2 … 0 … π2 … π cos x－11－1结合正弦函数、余弦函数的周期性可知：正弦函数在每一个闭区间[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间[(2k －1)π，2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.对问题⑤，学生能直观地得出：正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称．在R 上，y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．教师要恰时恰点地引导，怎样用学过的知识方法给予证明？由诱导公式：∵sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ， ∴y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．至此，一部分学生已经看出来了，在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴，如正弦曲线还关于直线x ＝π2对称，余弦曲线还关于点(π2，0)对称等等，这是由它的周期性而来的．教师可就此引导学生进一步探讨，为今后的学习埋下伏笔．讨论结果：①略． ②定义域为R .③值域为[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1. ④单调性(略)． ⑤奇偶性(略)．当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，所以它们的定义域相同，都为R ，值域也相同，都是[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1，只不过由于y 轴放置的位置不同，使取得最大(或最小)值的时刻不同；它们的周期相同，最小正周期都是2π；它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x 轴的直线为对称轴．但是由于y 轴的位置不同，对称中心及对称轴与x 轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现，也是由于y 轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同，也使奇偶性发生了改变． 3. 应用示例例1下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么． (1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ； (2)y ＝－3sin2x ，x ∈R .活动：通过这道例题直接巩固所学的正弦、余弦的性质．容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．课堂上可放手让学生自己去探究，教师适时的指导、点拨、纠错，并体会对应取得最大(小)值的自变量为什么会有无穷多个．解：(1)使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x的集合{x |x ＝2k π，k ∈Z }；使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最小值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合{x |x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z }．函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2，最小值是－1＋1＝0. (2)令z ＝2x ，使函数y ＝－3sin z ，z ∈R 取得最大值的z 的集合是{z |z ＝－π2＋2k π，k ∈Z }，由2x ＝z ＝－π2＋2k π，得x ＝－π4＋k π.因此使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是{x |x ＝－π4＋k π，k ∈Z }．同理，使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合是{x |x ＝π4＋k π，k ∈Z }．函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 的最大值是3，最小值是－3.点评：以前我们求过最值，本例也是求最值，但对应的自变量x 的值却不唯一，这从正弦函数的周期性容易得到解释．求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大(小)值的性质，对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的函数，一般通过变量代换(如设z ＝ωx ＋φ化归为y ＝A sin z ＋B 的形式)，然后进行求解．这种思想对于利用正弦函数、余弦函数的其他性质解决问题时也适用．例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)sin(－π18)与sin(－π10)；(2)cos(－23π5)与cos(－17π4)．活动：学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较，充分利用学生的知识迁移，有利于学生能力的快速提高．本例的两组都是正弦或余弦，只需将角化为同一个单调区间内，然后根据单调性比较大小即可．课堂上教师要让学生自己独立地去操作，教师适时地点拨、纠错，对思考方法不对的学生给予帮助指导．解：(1)因为－π2<－π10<－π18<0，正弦函数y ＝sin x 在区间[－π2，0]上是增函数，所以sin(－π18)>sin(－π10)．(2)cos(－23π5)＝cos 23π5＝cos 3π5，cos(－17π4)＝cos 17π4＝cos π4.因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减函数，所以cos π4>cos 3π5，即cos(－23π5)<cos(－17π4)．点评：推进本例时应提醒学生注意，在今后遇到的三角函数值大小比较时，必须将已知角化到同一个单调区间内，其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况，以便快速解题，如本例中，cos π4>0，cos 3π5<0，显然大小立判．例3求函数y ＝sin(12x ＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间．活动：可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间．教师要引导学生的思考方向：把12x ＋π3看成z ，这样问题就转化为求y ＝sin z 的单调区间问题，而这就简单多了．解：令z ＝12x ＋π3.函数y ＝sin z 的单调递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π]．由－π2＋2k π≤12x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π3＋4k π≤x ≤π3＋4k π，k ∈Z .由x ∈[－2π，2π]可知，－2π≤－5π3＋4k π且π3＋4k π≤2π，于是－112≤k ≤512，由于k ∈Z ，所以k ＝0，即－5π3≤x ≤π3.而[－5π3，π3]⊂[－2π，2π]，因此，函数y ＝sin(x 2＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是[－5π3，π3]．点评：本例的求解是转化与化归思想的运用，即利用正弦函数的单调性，将问题转化为一个关于x 的不等式问题．然后通过解不等式得到所求的单调区间，要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法，善于将复杂的问题简单化．当堂检测1．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( )A ．T ＝2，θ＝π2B ．T ＝1，θ＝πC ．T ＝2，θ＝πD ．T ＝1，θ＝π2解析：T ＝2ππ＝2，又当x ＝2时，sin(π·2＋θ)＝sin(2π＋θ)＝sin θ，要使上式取得最大值，可取θ＝π2.答案：A2．求函数y ＝12sin(π4－2x3)的单调递减区间及单调递增区间．解：y ＝12sin(π4－2x 3)＝－12sin(2x 3－π4)．由2k π－π2≤2x 3－π4≤2k π＋π2，可得3k π－3π8≤x ≤3k π＋9π8(k ∈Z )，为单调减区间；由2k π＋π2≤2x 3－π4≤2k π＋3π2，可得3k π＋9π8≤x ≤3k π＋21π8(k ∈Z )，为单调增区间．所以原函数的单调减区间为[3k π－3π8，3k π＋9π8](k ∈Z )；原函数的单调增区间为[3k π＋9π8，3k π＋21π8](k ∈Z ).六、课堂小结1．由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识，学习了哪些数学思想方法．这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质．重点是掌握正弦函数的性质，通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究，更加深了我们对这两个函数的理解．同时也巩固了上节课所学的正弦函数，余弦函数的图象的画法．2．进一步熟悉了数形结合的思想方法，转化与化归的思想方法，类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点．七、课后作业1.课时练与测2．课本习题 A 组3，B 组3.3．预习正弦函数、余弦函数的奇偶性．八、教学反思1．本节是三角函数的重点内容，设计的容量较大，指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动．作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识，这是高中所学的最后一个基本初等函数．但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易，而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟．2．在讲完正弦函数性质的基础上，应着重引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质，以加深他们对两个函数的区别与联系的认识，并在解题中突出数形结合思想，在训练中降低变化技巧的难度，提高应用图象与性质解题的力度．较好地利用图象解决问题，这也是本节课主要强调的数学思想方法．。

高中数学必修四教案-三角函数的图象与性质第四课时

第一章第四节三角函数的图象与性质第四课时作者：张云全整体设计教学分析本节课的背景是：这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质．函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式．一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格表述．但对正切函数，教科书换了一个新的角度，采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象．这样处理，主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角，在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面．教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法．通过多媒体教学，让学生通过对图象的动态观察，对知识点的理解更加直观、形象．以提高学生的学习兴趣，提高课题教学质量．从学生的实际情况为教学出发点，通过各种数学思想的渗透，合理运用各种教学课件，逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力，学会运用数学思想解决实际问题的能力．这样既加强了类比这一重要数学思想的培养，也有利于学生综合运用能力的提高，有利于学生把新旧知识前后联系，融会贯通，提高教学效果．由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中，因此，我们可以通过“探究”提出，引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质，让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法．三维目标1．通过对正切函数的性质的研究，注重培养学生类比思想的养成，以及培养学生综合运用新旧知识的能力．学会通过对图象的观察来整理相应的知识点，学会运用数学思想解决实际问题的能力．2．在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上，运用类比的方法，学习正切函数的图象与性质，从而培养学生的类比思维能力．3．通过正切函数图象的教学，培养学生欣赏(中心)对称美的能力，激发学生热爱科学、努力学好数学的信心．重点难点教学重点：正切函数的性质与图象的简单应用．教学难点：正切函数性质的深刻理解及其简单应用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课．思路2.先由图象开始，让学生先画正切线，然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象．这也是一种不错的选择，这是传统的导入法．推进新课新知探究提出问题①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质．正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数．你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线，你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象，然后向左、右扩展，这样就可以得到它在整个定义域上的图象．那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图，你能画出正切函数的简图吗？你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？活动：问题①，教师先引导学生回忆：正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的，有了这些知识准备，然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质．由于还没有作出正切函数图象，教师指导学生充分利用正切线的直观性．(1)周期性由诱导公式tan(x ＋π)＝tan x ，x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z 可知，正切函数是周期函数，周期是π.这里可通过多媒体课件演示，让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性，直观理解正切函数的周期性，后面的正切函数图象作出以后，还可从图象上观察正切函数的这一周期性．(2)奇偶性由诱导公式tan(－x )＝－tan x ，x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z 可知，正切函数是奇函数，所以它的图象关于原点对称．教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照，学生会发现正切函数也是中心对称函数，它的对称中心是(k π2，0)k ∈Z . (3)单调性通过多媒体课件演示，由正切线的变化规律可以得出，正切函数在(－π2，π2)内是增函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在开区间(－π2＋k π，π2＋k π)，k ∈Z 内都是增函数．(4)定义域根据正切函数的定义tan α＝y x ，显然，当角α的终边落在y 轴上任意一点时，都有x ＝0，这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在y 轴上的所有角可表示为k π＋π2，k ∈Z ，所以正切函数的定义域是{α|α≠k π＋π2，k ∈Z }，而不是{α≠π2＋2k π，k ∈Z }，这个问题不少初学者很不理解，在解题时又很容易出错，教师应提醒学生注意这点，深刻明了其内涵本质．(5)值域由多媒体课件演示正切线的变化规律，从正切线知，当x 大于－π2且无限接近－π2时，正切线AT 向Oy 轴的负方向无限延伸；当x 小于π2且无限接近π2时，正切线AT 向Oy 轴的正方向无限延伸．因此，tan x 在(－π2，π2)内可以取任意实数，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是实数集R .问题②，教师引导学生作出正切线，并观察它的变化规律，如图1.图1问题③，正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论，这也体现了“教师为主导，学生为主体”的新课改理念．有的学生可能选取了[0，π]作为正切函数的周期选取，这正是学生作图的真实性的体现．此时，教师应调整计划，把课件中先作出(－π2，π2)内的图象，改为先作出[0，π]内的图象，再进行图象的平移，得到整个定义域内函数的图象，让学生观察思考．最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质，让学生通过分析得到先作区间(－π2，π2)的图象为好．这时条件成熟，教师引导学生来作正切函数的图象，如图2. 根据正切函数的周期性，把图2向左、右扩展，得到正切函数y ＝tan x ，x ∈R ，且x ≠π2＋k π(k ∈Z )的图象，我们称正切曲线，如图3.图2图3问题④，教师引导学生观察正切曲线，点拨学生讨论思考，只需确定哪些点或线就能画出函数y ＝tan x ，x ∈(－π2，π2)的简图．学生可看出有三个点很关键：(－π4，－1)，(0,0)，(π4，1)，还有两条竖线．因此，画正切函数简图的方法就是：先描三点(－π4，－1)，(0,0)，(π4，1)，再画两条平行线x ＝－π2，x ＝π2，然后连线．教师要让学生动手画一画，这对今后解题很有帮助．讨论结果：①略．②正切线是AT .③略．④能，“三点两线”法．提出问题①请同学们认真观察正切函数的图象特征，由数及形从正切函数的图象讨论它的性质． ②设问：每个区间都是增函数，我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子．活动：问题①，从图中可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．教师引导学生进一步思考，这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线，我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y 轴方向看，上下无限延伸，得到它的哪一性质——值域为R ；每隔π个单位，对应的函数值相等，得到它的哪一性质——周期π；在每个区间图象都是上升趋势，得到它的哪一性质——单调性，单调增区间是(－π2＋k π，π2＋k π)，k ∈Z ，没有减区间．它的图象是关于原点对称的，得到是哪一性质——奇函数．通过图象我们还能发现是中心对称，对称中心是(k π2，0)，k ∈Z . 问题②，正切函数在每个区间上都是增函数，但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数．如在区间(0，π)上就没有单调性．讨论结果：①略．②略．应用示例例1比较大小．(1)tan138°与tan143°；(2)tan(－13π4)与tan(－17π5)．活动：利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．教师可放手让学生自己去探究完成，由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较，学生不难解决，主要是训练学生巩固本节所学的基础知识，加强类比思想的运用．解：(1)∵y ＝tan x 在90°<x <180°上为增函数，∴由138°<143°，得tan138°<tan143°.(2)∵tan(－13π4)＝－tan 13π4＝－tan(3π＋π4)＝－tan π4， tan(－17π5)＝－tan 17π5＝－tan(3π＋2π5)＝－tan 2π5. 又0<π4<2π5<π2，而y ＝tan x 在(0，π2)上是增函数， ∴tan π4<tan 2π5. ∴－tan π4>－tan 2π5，即tan(－13π4)>tan(－17π5)．点评：不要求学生强记正切函数的性质，只要记住正切函数的图象或正切线即可．例2用图象求函数y ＝tan x －3的定义域．活动：如图4，本例的目的是让学生熟悉运用正切曲线来解题．不足之处在于本例可以通过三角函数线来解决，教师在引导学生探究活动中，也应以两种方法提出解决方案，但要有侧重点，应体现函数图象应用的重要性．图4 图5 解：由tan x －3≥0，得tan x ≥3，利用图4知，所求定义域为[k π＋π3，k π＋π2)(k ∈Z )．点评：先在一个周期内得出x 的取值范围，然后再加周期即可，亦可利用单位圆求解，如图5.本节的重点是正切线，但在今后解题时，学生哪种熟练就用哪种．例3求函数y ＝tan(π2x ＋π3)的定义域、周期和单调区间．活动：类比正弦、余弦函数，本例应用的是换元法，由于在研究正弦、余弦函数的类似问题时已经用过换元法，所以这里也就不用再介绍换元法，可以直接将π2x ＋π3作为一个整体．教师可让学生自己类比地探究，只是提醒学生注意定义域．解：函数的自变量x 应满足π2x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠2k ＋13，k ∈Z . 所以函数的定义域是{x |x ≠2k ＋13，k ∈Z }．由于f (x )＝tan(π2x ＋π3)＝tan(π2x ＋π3＋π)＝tan[π2(x ＋2)＋π3]＝f (x ＋2)，因此，函数的周期为2.由－π2＋k π<π2x ＋π3<π2＋k π，k ∈Z ，解得－53＋2k <x <13＋2k ，k ∈Z . 因此，函数的单调递增区间是(－53＋2k ，13＋2k )，k ∈Z . 点评：同y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的周期性的研究一样，这里可引导学生探究y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期T ＝π.例4把tan1，tan2，tan3，tan4按照由小到大的顺序排列，并说明理由．活动：引导学生利用函数y ＝tan x 的单调性探究解题方法．也可利用单位圆中的正切线探究解题方法．但要提醒学生注意本节中活动的结论：正切函数在定义域内的每个区间上都是增函数，但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数．学生可能的错解有：错解1：∵函数y ＝tan x 是增函数，又1<2<3<4，∴tan1<tan2<tan3<tan4.错解2：∵2和3的终边在第二象限，∴tan2，tan3都是负数．∵1和4的终边分别在第一象限和第三象限，∴tan1，tan4都是正数．又∵函数y ＝tan x 是增函数，且2<3,1<4，∴tan2<tan3<tan1<tan4.教师可放手让学生自己探究问题的解法．发现错解后不要直接纠正，立即给出正确解法，可再让学生讨论分析找出错的原因．解法一：∵函数y ＝tan x 在区间(π2，3π2)上是单调递增函数，且tan1＝tan(π＋1)，又π2<2<3<4<π＋1<3π2， ∴tan2<tan3<tan4<tan1.解法二：如图6,1,2,3,4的正切函数线分别是AT 1，AT 2，AT 3，AT 4，图6∴tan2<tan3<tan4<tan1.点评：本例重在让学生澄清正切函数单调性问题，这属于学生易错点．把正切函数y ＝tan x 的单调性简单地说成“在定义域内是增函数”是不对的．知能训练课本本节练习1～5.解答：1．在x 轴上任取一点O 1，以O 1为圆心，单位长为半径作圆，作垂直于x 轴的直径，将⊙O 1分成左右两个半圆，过右半圆与x 轴的交点作⊙O 1的切线，然后从圆心O 1引7条射线把右半圆分成8等份，并与切线相交，得到对应于－3π8，－π4，－π8，0，π8，π4，3π8等角的正切线．相应地，再把x 轴上从－π2到π2这一段分成8等份．把角x 的正切线向右平行移动，使它的起点与x 轴上的点x 重合，再把这些正切线的终点用光滑的曲线连接起来，就得到函数y ＝tan x ，x ∈(－π2，π2)的图象．点评：可类比正弦函数图象的作法．2．(1){x |k π<x <π2＋k π，k ∈Z }；(2){x |x ＝k π，k ∈Z }；(3){x |－π2＋k π<x <k π，k ∈Z }．点评：只需根据正切曲线写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式．3．x ≠π6＋k π3，k ∈Z . 点评：可用换元法．4．(1)π2；(2)2π. 点评：可根据函数图象得解，也可直接由函数y ＝A tan(ωx ＋φ)，x ∈R 的周期T ＝πω得解．5．(1)不是．例如0<π，但tan0＝tan π＝0.(2)不会．因为对于任何区间A 来说，如果A 不含有π2＋k π(k ∈Z )这样的数，那么函数y ＝tan x ，x ∈A 是增函数；如果A 至少含有一个π2＋k π(k ∈Z )这样的数，那么在直线x ＝π2＋k π两侧的图象都是上升的(随自变量由小到大)．点评：理解正切函数的单调性．课堂小结1．先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法，有哪些启发、收获．本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后，研究的又一个具体的三角函数，与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同？研究正、余弦函数，是由图象得性质，而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质，并在此基础上得到图象，最后用图象又验证了函数的性质．2．(教师点拨)本节研究的过程是由数及形，又由形及数相结合，也是我们研究函数的基本方法，特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法．请同学们课后思考总结：这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？作业课本习题1.4 A 组6、8、9.设计感想1．本教案的设计背景刚刚学完正弦函数、余弦函数的图象与性质．因此教案的设计主线是始终抓住类比思想这条主线，让学生在巩固原有知识的基础上，通过类比，由学生自己来对新知识进行分析、探究、猜想、证明，使新旧知识点有机地结合在一起，学生对新知识也较易接受．2．本教案设计的学习程序是：温故(相关知识准备)→新的学习对象与旧知识的联系→类比探究→解决问题→应用成果→归纳总结→进一步的发散思考→探索提高．备课资料函数f (x )±g (x )最小正周期的求法若f (x )和g (x )是三角函数，求f (x )±g (x )的最小正周期没有统一的方法，往往因题而异，现介绍几种方法：(一)定义法例1求函数y ＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期．解：∵y ＝|sin x |＋|cos x |＝|－sin x |＋|cos x |＝|cos(x ＋π2)|＋|sin(x ＋π2)| ＝|sin(x ＋π2)|＋|cos(x ＋π2)|，对定义域内的每一个x ，当x 增加到x ＋π2时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是π2. (二)公式法这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正、余弦函数求最小正周期的公式为T ＝2π|ω|，正、余切函数T ＝π|ω|. 例2求函数y ＝1tan x －tan x 的最小正周期．解：y ＝1tan x －tan x ＝1－tan 2x tan x ＝2·1－tan 2x 2tan x ＝2tan2x ，∴T ＝π2. (三)最小公倍数法设f (x )与g (x )是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T 1、T 2分别是它们的周期，且T 1≠T 2，则f (x )±g (x )的最小正周期是T 1、T 2的最小公倍数，分数的最小公倍数＝分子的最小公倍数分母的最大公约数. 例3求函数y ＝sin3x ＋cos5x 的最小正周期．解：设sin3x 、cos5x 的最小正周期分别为T 1、T 2，则T 1＝2π3，T 2＝2π5，所以y ＝sin3x ＋cos5x 的最小正周期T ＝2π1＝2π. (四)图象法例4求y ＝|cos x |的最小正周期.解：由y ＝|cos x |的图象，可知y ＝|cos x |的周期T ＝π.图7。

人教A版高中数学必修四人教三角函数的图象与性质教案(1)

三角函数的图象与性质一．课标要求：1．能画出y=sin x, y=c os x, y=t a n x的图像，了解三角函数的周期性；2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；3．结合具体实例，了解y=A sin（w x+φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=A sin（w x+φ）的图像，观察参数A，w，φ对函数图像变化的影响。

二．命题走向近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。

在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。

预测07年高考对本讲内容的考察为：1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）；2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y=A sin（w x+φ）的图象及其变换；三．要点精讲1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用教案(4)

1.6 三角形函数模型的简单应用一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，了解并掌握三角函数模型应用基本步骤，会利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. （二）学习目标1．了解并掌握三角函数模型应用基本步骤．2．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法．3．感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题．（三）学习重点1．运用三角函数模型，解决一些具有周期性变化规律的实际问题.2．从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型．（四）学习难点分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务（1）三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型. （2）y =|sin x |是以 π 为周期的波浪形曲线. 2．预习自测（1）函数y =sin （2x -3π）的最小正周期为 π .（2）已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y =10sin （8πx -45π）+20,x ∈[4，16]，则该地区这一段时间内的最大温差为 20℃.(二)课堂设计 1.知识回顾（1）参数A （A ﹥0），ω（ω﹥0），φ对函数图象的影响. （2）函数y =A sin （ωx +φ）的图象.（3）y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义. 2.问题探究例1 如图,某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y =sin(ωx +φ)+b .(1)求这一天6—14时的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式. 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合的数学思想. 【解题过程】解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象,∴A =21(30-10)=10,b =21(30+10)=20.∵21·ωπ2=14-6, ∴ω=8π.将x =6,y =10代入上式,解得φ=43π. 综上,所求解析式为y =10sin(8πx +43π)+20,x ∈[6,14]. 【思路点拨】本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题，引导学生观察给出的模型函数并思考要解决的问题，让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.提醒学生注意本题中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,此段恰好为半个周期.本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围.同类训练如下图表示的是电流I 与时间t 的函数关系()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>+=2,0sin πϕωϕωt A I 在一个周期内的图象.(1)根据图象写出()ϕω+=t A I sin 的解析式; (2)为了使()ϕω+=t A I sin 中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少? 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】解:(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴πϕωϕω=+⋅=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅1501,03001.解得3,100πϕπω==,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3100sin 300ππt I . (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴πω200≥.故629min =ω 【思路点拨】观察图像带入零点和最值点是求解解析式的常用办法.例2 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?【知识点】正切函数. 【数学思想】数形结合.【解题过程】太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.由地理知识可知,南、北回归线之间的地带可被太阳直射到,由画图易知太阳高度角θ、楼高h 0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系:h 0=h tanθ由地理知识可知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况.解:如图,A 、B 、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于MC . 根据太阳高度角的定义,有∠C ＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′, 所以MC ＝tanC h 0=34'26 tan h 0≈2.000h 0. 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.【思路点拨】引导学生思考楼高与楼在地面上投影长之间的关系,带领学生分析问题，提示学生从复杂的背景中抽取基本的数学关系，调动相关学科知识来帮助解决问题，最终将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型,再根据所得的函数模型解决问题.同类训练某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？【知识点】正切函数.【数学思想】数形结合.【解题过程】解:北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,由于每层楼高为3米,根据以上数据,所以他应选3层以上.【思路点拨】结合图像恰当的选择三角函数解决实际问题.例 3 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?活动1：引导学生观察上述问题表格中的数据，发现规律并进一步引导学生作出散点图.引导学生根据散点的位置排列,思考并建立相应的函数模型刻画其中的规律.活动2：根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.根据题意,一天中有两个时间段可以进港.问题1：你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？问题2：第3问中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？问题3：根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合. 【解题过程】解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图.根据图象,可以考虑用函数y =Asin (ωx +φ)+h 刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出: A ＝2.5,h ＝5,T ＝12,φ＝0, 由T ＝ωπ2＝12,得ω＝6π.所以这个港口的水深与时间的关系可用y ＝2.5sin 6πx +5近似描述.由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:令2.5sin6πx +5=5.5,sin6πx =0.2.由计算器可得 20.20.201 357 92≈0.201 4.如图,在区间[0,12]内,函数y ＝2.5sin 6πx +5的图象与直线y ＝5.5有两个交点A 、B ,因此6πx ≈0.201 4,或π－6πx ≈0.201 4.解得A x ≈0.384 8,B x ≈5.615 2.由函数的周期性易得:C x ≈12+0.384 8＝12.384 8,D x ≈12+5.615 2＝17.615 2.因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右. (3)设在时刻x 货船的安全水深为y ,那么y =5.5-0.3(x -2)(x ≥2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点.通过计算也可以得到这个结果.在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.【思路点拨】引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意题目需留意的定量与变量，如：货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候.让学生进一步体验“数形结合”思想和“函数与方程”思想在解决数学问题中的作用.结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.同类训练设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t 与水深y 的关系.经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象. 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（） A ．123sin,[0,24]6ty t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6ty t ππ=++∈C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈D ．123sin(),[0,24]122t y t ππ=++∈【知识点】三角函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】由表可得，最大值为15，相邻两个最大值之间间隔12，故周期T =12，故6122ππ=，故6πω=，答案选A. 【思路点拨】观察表格，求出相邻两个波峰之间的横向距离，即周期. 【答案】A. 3. 课堂总结知识梳理三角函数模型应用的基本方法及一般步骤：①审题：观察收集到的数据，寻找规律，发现数据间的数量关系；②建模：根据已知数据绘制散点图，建立三角函数式、三角不等式或三角方程等； ③求解：根据题意求出某点的三角函数值；④检验：检验所求解是否符合实际意义，通过比较，选择恰当的函数模型拟合数据；⑤还原：将所得结论转译回实际问题. 重难点归纳建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式．（三）课后作业基础型自主突破1.已知A ,B ,C 是△ABC 的三个内角,且sin A >sin B >sin C ,则( ) A.A >B >C B.A <B <C C.A +B >2πD.B +C >2π【知识点】根据三角函数判断三角形各角大小. 【数学思想】三角函数图象的应用.【解题过程】∵sin A >sin B >sin C ,又三角形内角和为180°,∴由函数y ＝sin x ,x ），（π0∈图象可得A >B >C . 【思路点拨】由于三角形内角和为180°，所以讨论函数为y ＝sin x ,x ），（π0∈. 【答案】A2．2002年8月，在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形、与中间的小正方形拼成的大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为251，则sin θ+cos θ= ．【知识点】在实际问题中建立三角函数模型．【数学思想】主要考查求解三角函数，关键是理解题意并正确利用勾股定理【解题过程】解：由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为51设θ所对的直角边为x ，则由勾股定理得：15122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x∴x =53，∴sin θ=53,cos θ=54∴sin θ+cos θ=57 【思路点拨】根据正方形的面积=边长2，可知大正方形及小正方形的边长，根据图形，大正方形的边长即是直角三角形的斜边，小正方形的边长即是直角三角形两个直角边的差，从而可求相应三角函数的值．【答案】57能力型师生共研3.如图表示的是电流I 与时间t 的函数关系，I =A sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<2π)在一个周期内的图象.(1)根据图象写出I =A sin(ωx +φ)的解析式； (2)为了使I =A sin(ωx +φ)中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少?【知识点】在实际问题中建立三角函数模型．【数学思想】三角函数模型的构建.【解题过程】(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴ω·(－3001)+φ=0,ω·1501+φ=π.解得ω=100π,φ=3π∴I =300sin(100πt +3π). (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴ω≥200π.故ωmin =629. 【思路点拨】根据图象可求得相应三角函数，根据题意利用所得三角函数求出电流I 及ω.【答案】(1)I =300sin(100πt +3π)；(2)629. 探究型多维突破4.某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y =A sin ωt +b 的图象．（1）试根据数据表和曲线，求出y =A sin ωt +b 的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【知识点】在实际问题中建立三角函数模型．【数学思想】三角函数模型的构建，解三角不等式. 【解题过程】解：（1）根据数据可得，A +h =13，-A +h =7， ∴A =3，h =10， T =15﹣3=12，∴ω=T π2=6π， ∴y =3sin （6πx +φ）+10将点（3，13）代入可得π=0 ∴函数的表达式为y =3sin6πt +10（0≤t ≤24）（2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin6πt +10≥11.5（0≤t ≤24）， ∴3sin 6πt ≥，∴6πt ∈[2kπ+6π，2kπ+65π]，k =0，1， ∴t ∈[1，5]或t ∈[13，17]；所以，该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港．若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．【思路点拨】（1）根据数据，A +h =13，-A +h =7，可得A =3，h =10，由T =15﹣3=12，可求ω=6π，将点（3，13）代入可得φ=0，从而可求函数的表达式；（2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin 6πt +10≥11.5（0≤t ≤24），从而可求t ∈[1，5]或t ∈[13，17] 【答案】（1）y =3sin6πt +10（0≤t ≤24）；（2）1：00至5：00或13：00至17：00；在港内停留的时间最多不能超过16小时. 自助餐1.甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙速的两倍,乙绕池一周为止,若以θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数, l 表示甲、乙两人的直线距离，则l =f (θ)的图象大致是( )A.B.C.D.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求选择恰当的三角函数模型.【解题过程】根据题意可知θ=π时，两人相遇，排除B ，D ；两人的直线距离不可为负，排除A ．【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】C2.电流强度I (安培)随时间t(秒)变化的函数I =Asin (ωt +φ)的图象如图所示，则当t =1207秒时的电流强度( )A.0B.10C.-10D.5 【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】函数y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义.【解题过程】根据题意可知A =10，1001300130042=-=T ，可知501=T ，从而得π100=ω；当3001=t 时，10=I ，从而可得φ=6π；于是可得I =10sin （10πx +6π）.故当t =1207时，I =0.【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】A3.一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离h (米)与时间t (分钟)之间的函数关系式.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求建立恰当的三角函数模型.【解题过程】以最低点的切线为x 轴，最低点为原点，建立直角坐标系.设P (x (t ), y (t ))则h(t )= y (t )+2,又设P 的初始位置在最低点，即y (0)=0，在Rt △O 1PQ 中，∠OO 1P =θ,cos θ=8()8y t -,∴y (t )= -8cos θ+8,而212π=t θ，∴θ=6t π，∴y (t )= -8cos 6t π+8, ∴h (t )= -8cos 6t π+10.【思路点拨】根据题意建立合适的直角坐标系，利用给定的几何关系和三角函数构建角度和长度的关系，列出函数表达式，化简即可得出结果.【答案】h (t)=-8cos6t+10。

1.4《三角函数的图像与性质》教案(新人教必修4)

小结：先作y=cos x图象关于x轴对称的图形，得到y＝-cosx的图象，
再将y＝-cosx的图象向上平移2个单位，得到 y＝2-cosx 的图象。
●探究4
不用作图，你能判断函数y=sin( x - 3π/2 )和y=cosx的图象有何关系吗？请在同一坐标系中画出它们的简图，以验证你的猜想。
小结：sin( x - 3π/2 )= sin[( x - 3π/2 ) +2 π] =sin(x+π/2)=cosx
问题：（1）对于函数，有，能否说是它的周期？
（2）正弦函数，是不是周期函数，如果是，周期是多少？（，且）
（3）若函数的周期为，则，也是的周期吗？为什么？
（是，其原因为：）
2、说明：1周期函数x定义域M，则必有x+TM,且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
2“每一个值”只要有一个反例，则f(x)就不为周期函数（如f(x0+t)f(x0)）
2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
(0,0) ( ,1) (,0) ( ,-1) (2,0)
余弦函数y=cosx x[0,2]的五个点关键是
(0,1) ( ,0) (,-1) ( ,0) (2,1)
只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．
1．正弦、余弦曲线几何画法和五点法
2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系
五、课后作业：作业：
补充：1．分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出y=sinx的图象
2．分别在[-4,4]内作出y=sinx和y=cosx的图象

人教版高二数学必修四《三角函数的图象与性质》教案

教案【一】教學準備教學目標1、知識與技能(1)瞭解週期現象在現實中廣泛存在;(2)感受週期現象對實際工作的意義;(3)理解週期函數的概念;(4)能熟練地判斷簡單的實際問題的週期;(5)能利用週期函數定義進行簡單運用。

2、過程與方法通過創設情境：單擺運動、時鐘的圓周運動、潮汐、波浪、四季變化等，讓學生感知週期現象;從數學的角度分析這種現象，就可以得到週期函數的定義;根據週期性的定義，再在實踐中加以應用。

3、情感態度與價值觀通過本節的學習，使同學們對週期現象有一個初步的認識，感受生活中處處有數學，從而激發學生的學習積極性，培養學生學好數學的信心，學會運用聯繫的觀點認識事物。

教學重難點重點:感受週期現象的存在，會判斷是否為週期現象。

難點:週期函數概念的理解，以及簡單的應用。

教學工具投影儀教學過程【創設情境，揭示課題】同學們：我們生活在海南島非常幸福，可以經常看到大海，陶冶我們的情操。

眾所周知，海水會發生潮汐現象，大約在每一晝夜的時間裏，潮水會漲落兩次，這種現象就是我們今天要學到的週期現象。

再比如，[取出一個鐘錶,實際操作]我們發現鐘錶上的時針、分針和秒針每經過一周就會重複，這也是一種週期現象。

所以，我們這節課要研究的主要內容就是週期現象與週期函數。

(板書課題)【探究新知】1.我們已經知道，潮汐、鐘錶都是一種週期現象，請同學們觀察錢塘江潮的圖片(投影圖片)，注意波浪是怎樣變化的?可見，波浪每隔一段時間會重複出現，這也是一種週期現象。

請你舉出生活中存在週期現象的例子。

(單擺運動、四季變化等)(板書：一、我們生活中的週期現象)2.那麼我們怎樣從數學的角度研究週期現象呢?教師引導學生自主學習課本P3——P4的相關內容，並思考回答下列問題：①如何理解“散點圖”?②圖1-1中橫坐標和縱坐標分別表示什麼?③如何理解圖1-1中的“H/m”和“t/h”?④對於週期函數的定義，你的理解是怎樣?以上問題都由學生來回答，教師加以點撥並總結：週期函數定義的理解要掌握三個條件，即存在不為0的常數T;x必須是定義域內的任意值;f(x+T)=f(x)。