江苏省无锡市2017届高三数学上学期期末考试试题(扫描版)
2017-2018学年江苏无锡市高二第一学期期末考试数学试题(解析版)
2017-2018学年江苏无锡市高二第一学期期末考试数学试题（解析版）一、填空题1．命题“对任意的3210x R x x ∈-+，…”的否定是______． 【答案】32,10x R x x ∃∈-+>【解析】命题“对任意的3210x R x x ∈-+，…”的否定是32,10x R x x ∃∈-+> 2．设()1,3,2a =-， ()2,+1,1b m n =-，且a//b，则实数m n -=_____． 【答案】8 【解析】由题意得2115,3,8132m n m n m n +-==∴==--=- 3．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，则异面直线1BC 与AC 所成的角为_____．【答案】60︒【解析】11//BC AD ∴ 异面直线1BC 与AC 所成的角为0160CAD ∠= 4．以1x =为准线的抛物线的标准方程是______． 【答案】24y x =-【解析】以1x =为准线的抛物线的标准方程是222,142py px y x =-=∴=- 5．已知命题p : 多面体ABCD 为正三棱锥，命题q :多面体ABCD 为正四面体，则命题p 是命题q 的______条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”之一） 【答案】必要不充分【解析】正四面体是正三棱锥，正三棱锥不一定是正四面体，所以命题p 是命题q 的必要不充分条件．点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒ q 与非q ⇒非p ， q ⇒ p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆ B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．6．若一个正六棱柱的底面边长为a ，侧面对角线的长为2a ，则它的体积为_______． 【答案】392a 【解析】因为侧面对角线的长为2a ，所以高为()2223a a a -= ，因此体积为23393642a a a ⨯⨯= 7．函数()()2cos 02f x x x x π=+剟的单调递减区间为_______．【答案】5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()[]1512sin 0sin 0,2,266f x x xx x πππ⎛⎫=-∴∈∴∈ ⎪⎝'⎭，即单调递减区间为5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．若双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为8，点()1,3M 在其渐近线上，则C 的方程为______．【答案】221412x y -= 【解析】由题意得22130328,423,2b a c c b a a b -=∴===∴== 因此C 的方程为221412x y -= 点睛：1.已知双曲线方程22221x y a b -=求渐近线： 22220x y by x a b a-=⇒=±2.已知渐近线y mx = 设双曲线标准方程222m x y λ-=3，双曲线焦点到渐近线距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.9．如果一个圆锥的侧面积与其底面积之比是5:3，那么该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为______． 【答案】45【解析】由题意得25533rl l r r ππ=∴= 圆锥的母线与底面所成角的正弦值为22234155h l r l l -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭10．已知点P 在抛物线28y x =上运动， F 为抛物线的焦点，点A 的坐标为()5,2，则PA PF +的最小值是______． 【答案】7【解析】PA PF + 55272A L Pd -≥=+=+= 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若()00,P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02p PF x =+；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．11．椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点．现从椭圆22+195x y =的左焦点F 发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点F ，则光线所经过的总路程为______． 【答案】12【解析】光线所经过的总路程为44312a =⨯=12．已知,,αβγ是三个互不重合的平面， l 是一条直线，给出下列四个命题： ① 若,l αββ⊥⊥，则l α ； ② 若,l l αβ⊥⊥，则αβ ； ③ 若αγβγ⊥ ，，则αβ⊥；④ 若m α⊂， n α⊂， m β ， n β ，则//αβ. 其中所有．．正确命题的序号是_____． 【答案】②③【解析】若,l αββ⊥⊥，则l l αα⊂ 或;若,l l αβ⊥⊥，则αβ ； 若αγβγ⊥ ，，则αβ⊥；若m α⊂， n α⊂， m β ， n β ，则//αβ或,αβ相交，所以正确命题的序号是②③13．设R k ∈，过定点A 的动直线0kx y +=和过定点B 的动直线20x ky k -+=交于点(),(0)M x y x >，若2MB MA =，则点M 的坐标为________． 【答案】42,55⎛⎫⎪⎝⎭【解析】()()0,0,0,2A B ，且两动直线相互垂直，即MA MB ⊥所以()()()222222222,,20205{{ { 43344022(0)5y x y x y x y y x y y x y x y x x =⋅-=+-=⇒⇒++-=+=+-=>即点M 的坐标为42,55⎛⎫⎪⎝⎭14．在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数()ln (0)f x x x =>图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交x 轴于点E ，过点P 作l 的垂线交x 轴于点F ，设线段EF 的中点T 的横坐标为t ，则t 的最大值是________． 【答案】112e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】设()()()11,ln :ln ln ,0P m m k y l y m x m E m m m m m∴==∴-=-∴-' ()ln ,0lnm y m m x m F m m ⎛⎫-=--∴+ ⎪⎝⎭所以1ln 2ln 2m t m m m m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()2211ln 112ln 11ln 1022m t m m m m -⎛⎫⎛⎫=--+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭' m e ∴=当0m e <≤时112t e e ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭当m e >时112t e e ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，所以t 的最大值是112e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭点睛：求函数最值的五种常用方法 方法 步骤单调性法 先确定函数的单调性，再由单调性求最值图象法 先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值基本不等式法 先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值导数法 先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值二、解答题15．直线30x y c -+=的倾斜角的大小为______． 【答案】30︒ 【解析】()0113033y x c k α=+∴=∴= 16．设直线1:210l x y +-=， 2:20l x y -+=， 3:360l x my +-=． （1）若直线1l ， 2l ， 3l 交于同一点，求m 的值；（2）设直线l 过点()2,0M ，若l 被直线1l ， 2l 截得的线段恰好被点M 平分，求直线l 的方程． 【答案】（1）21=5m ． （2）11220x y +-=． 【解析】试题分析：（1）先求直线1l ， 2l 交点，再代入3l 得m 的值；（2）设1l 上一点A(a ，1-2 a)，则得B (4-a ，2 a -1) 在2l 上，解方程组可得a =73，再根据两点式求直线l 的方程． 试题解析：（1）解210{20x y x y +-=-+=，，得交点15,33C ⎛⎫- ⎪⎝⎭．直线123l l l ，，交于同一点，则点C 在直线3l 上， 则1536=033m⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，解得21=5m ． （2）设1l 上一点A(a ，1-2 a)，则点A 关于M （2，0）的对称点B (4-a ，2 a -1) ． 由点B 在2l 上，代入得()42120a a ---+=，∴a =73，∴71133A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 直线l 过两点A 、M ，斜率为-11，∴ 直线l 的方程为11220x y +-=．17．如图，在四面体PABC 中，已知PA ⊥平面ABC ， PA AC =， 90ACB ∠= ，D 为PC 的中点．（1）求证： AD BD ⊥；（2）若M 为PB 的中点，点N 在直线AB 上，且:1:2AN NB =， 求证：直线AD //平面CMN ．【答案】(1)见解析（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）由等腰三角形性质得AD ⊥PC ．再根据PA ⊥平面ABC ，得PA ⊥BC ．最后根据线面垂直判定定理得BC ⊥平面PAC ，得BC ⊥AD ．即得AD ⊥平面PBC ，可得AD ⊥BD （2）设BD 与CM 交于点G ，先根据平几知识得AD//NG ，再根据线面平行判定定理得结论试题解析：(1) ∵PA=AC ，D 为PC 的中点，∴AD ⊥PC ． ∵ PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴ PA ⊥BC ．∵ ∠ACB=90°，BC ⊥AC ，且PA ⋂AC =A ， ,PA AC ⊂平面PAC ∴ BC ⊥平面PAC ．∵ AD ⊂平面PAC ， ∴ BC ⊥AD ．且,,,AD PC AD PC D PC BC ⊥⋂=⊂平面PBC ， ∴AD ⊥平面PBC ．∵ BD ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BD ．（2） 连接DM ，设BD 与CM 交于点G ，连接N G ， ∵ D 、M 为中点，∴DM //BC 且12DM BC =， ∴ DG:GB=DM:BC=1:2．∵ AN:NB=1:2，∴AN:NB= DG:GB ． ∴ △BNG ∽△BAD ，∴AD//NG ，∵AD ⊄平面CMN ， NG ⊂平面CMN ， ∴ 直线AD//平面CMN ．点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.18．已知R m ∈，命题:p { m |方程221821y x m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆}，命题:q { m |方程22112y x m m +=+-表示双曲线}，若 命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围． 【答案】][1(1,2,32-⋃）． 【解析】试题分析： 先根据方程为椭圆条件得命题p 时m 的取值范围；再根据方程为双曲线条件得命题q 时m 的取值范围；再根据复合命题真假得p ，q 一个为真命题，一个为假命题，最后列方程组解实数m 的取值范围．试题解析：命题p ： 8210m m ->->，132m <<； 命题q ：（1m +）（2m -）<0, 12m -<<命题p 且q: 122m <<．由命题“p∨q ”为真，“p∧q ”为假，则p 、q 一个为真命题，一个为假命题，则13{ 212m m m <<-，或，剠或13{ 21 2.m m m -<<或，剠 解得23m <…或112m -<…． 所以实数m 的取值范围是][1(1,2,32-⋃）．点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∨q”“p ∧q ”“非p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.19．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在平面互相垂直， 2AB =， 1AF =．（1）求二面角B DE C --的大小； （2）求点F 到平面BDE 的距离. 【答案】（1）60°．（2）2．【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组求各面法向量，再根据向量数量积求夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果（2）根据向量投影得点F 到平面BDE 的距离为2cos ,EF EF h，再根据向量数量积求值试题解析： 正方形ABCD 和矩形ACEF 所在平面互相垂直， 分别以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则A （0，0，0），B （2，0，0）， C （2， 2，0）， D （0， 2，0），E （2,2，1），F （0，0，1）．（1）设平面CDE 的法向量为1=(0,1,0)h ，平面BDE 的法向量()2=,,h x y z ，由220,{ 0.h BD h BE ⋅=⋅=解得()21,1,2h =- . ∴1212121cos ,2||h h h h h h ⋅==， ∴ 二面角 B —DE —C 等于60°．（2）()()22,2,0,1,1,2FE h ==-，222222cos ,222||EF h EF h EF h ⋅===⨯， 2EF = ．设点到平面BDF 的距离为h ，则2cos ,.hEF h EF=∴22=22h =⨯．所以点F 到平面BDE 的距离为2． 20．已知圆C 的圆心为2,2t C t a ⎛⎫⎪⎝⎭()R,0t t ∈≠，过定点()0,A a (0)a >，且与x 轴交于点B ，D ．（1）求证：弦长BD 为定值；（2）设12a =，t 为整数，若点C 到直线260x y +-=的距离为255，求圆C 的方程． 【答案】（1）见解析（2）()()2265244x y -+-=和()()221025+4164x y +-=．【解析】试题分析：（1）根据垂径定理求弦长为2 a ，为定值．（2）由点到直线距离公式得t ，即得圆C 的方程．试题解析：（1）圆C 的方程： ()222222)22t t x t y t a a a ⎛⎫-+-=+- ⎪⎝⎭（， 令y =0，得()22=x t a -，故=x t a -±， 1=+x t a ， 2=x t a -．弦长M N=21||x x -=2 a 为定值． （2）∵点C 到直线260x y +-=的距离为2265t t d +-==255， ∴2+26t t -=2±，解得=15t -±， t =2或t =-4． 由t 为整数，∴ t =2或t =-4． ∴ 圆C 的方程为()()2265244x y -+-=和()()221025+4164x y +-=． 21．已知函数()()322f x ax a x =-+（a 为实数）.（1） 若函数()f x 在1x =处的切线与直线60x y ++=平行，求实数a 的值； （2） 若1a =，求函数()f x 在区间[]1,3上的值域；（3） 若函数()f x 在区间[]1,3上是增函数，求a 的取值范围． 【答案】(1) 3a =（2）[]4,0-（3）[)4,+∞.【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率为()1f '得方程，解得实数a 的值；（2）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定最值与值域（3）转化为()()2322f x ax a x '=-+ … 0对于1≤x ≤3恒成立，再分离变量得432a x -…最大值，最后根据函数最值得a 的取值范围试题解析：(1) ()()2322f x ax a x '=-+， ()()13221f a a =+'-=-，解得3a =． （2）1a =时， ()323f x x x =-，()236f x x x '=-，令()0f x '=，解得0x =或2，x[)1,22(]2,3()f x '—+()f x减函数 极小值 增函数又()12f =-， ()24f =-， ()30f =，所以()f x 在[]1,3上的值域为[]4,0-．（3）()()2322f x ax a x '=-+，由()f x 在区间[]1,3上是增函数，则()()2322f x ax a x '=-+ … 0对于1≤x ≤3恒成立，所以()324a x -…．因320x ->，故432a x -…，记()432g x x =-，则()max a g x …，而函数()g x 在[]1,3上为减函数，则()()max 14g x g ==，所以a …4． 所以a 的取值范围是[)4,+∞.22．设动点M 是圆229x y +=上任意一点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若点P 在线段MN 上，且满足2NPPM=． （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设直线l 与C 交于A ， B 两点，点Q 坐标为()0,2，若直线QA ， QB 的斜率之和为定值3，求证：直线l 必经过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）22194x y +=．（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）设P 、M 的坐标，根据条件得两点坐标关系，再代入点M 满足的方程，化简得点P 的轨迹的方程；（2）由题意3QA QB k k +=，得1212223y y x x --+=．即得121122)3k b x x +-+=（（）,再将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理化简得3+24b k =（）最后根据点斜式特点得定点.试题解析： 1）设点P 、M 的坐标分别为 (x ，y )、 (x 0，y 0)，由2NPPM =，得00,{ ,23x x y y ==∴00,{ 3.2x x y y ==由点M 在圆229x y +=上，故22009x y +=，代入得22994x y +=． ∴ 点P 的轨迹C 的方程为 22194x y +=． （2）当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为： 0x x =， 设A ，B 两点的坐标分别为 (x 0，y 0)、(x 0， -y 0)， 由题意3QA QB k k +=，得0000223y y x x ---+=，解得043x =-，所以直线l 的方程为： 43x =-．当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y=kx+b ，与C 联立，消元得()()2224918940k x bkx b +++-=．设A ，B 两点的坐标分别为 (x 1，y 1)、 (x 2，y 2)，则1221849bkx x k -+=+， 212294)=49b x x k-+（（*）． 由题意3QA QB k k +=，得1212223y y x x --+=． 将y 1=kx 1+b 和y 2=kx 2+b 代入上式，可得121122)3k b x x +-+=（（）, 所以121222)3x x k b x x ++-=（．（**） 将（*）代入（**），化简得2232bk k b -=+，解得3+24b k =（）， 代入直线l 方程，得3+2331442b y x b b x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭（）．不论b怎么变化，当314x+=0即x=43-时，2y=-．综上所述，直线l恒过定点4,23⎛⎫--⎪⎝⎭．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.11。
(精品)江苏省无锡市2017届高三上学期期末考试-英语--版含答案
2016年无锡市秋学期普通高中期末考试试卷高三英语2017.01命题单位:.无锡市教育科学研究院制卷单位:无锡市教育科学研究院注意:本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分。
答案全部做在答题卡上。
总分为120分，考试时间120分钟。
第一卷(选择题，共85分)第一部分听力测试(共两节，满分20分)做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题:每小题1分，满分5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What time will the two speakers leave?A. At 7: 30.B. At 8: 00.C. At 8: 30.2. What are the two speakers talking about?A. Past experiences.B. Family members.C. Travel plans.3. Where does this conversation most probably take place?A. At a theater.B. At a restaurant.C. At a gas station.4. What can we learn about the woman?A. She does not understand the man.B. She can not hear the man clearly.C. She is angry with the man.5. Why is the man angry with Anne?A. She is late.B. She drives too slowly.C. She is rude to him.第二节(共15小题:每小题1分，满分15分)听下面5段对话或独白。
【江苏省无锡市】2017届高三上学期期末数学试卷-答案
∵ ABCD 为矩形，∴ O 点为中点，
∵ E 为 PC 中点，
∴ OE∥PA ，
∵ OE 平面 PAD ， PA 平面 PAD ，
∴ OE∥平面 PAD ，…8 分
同理可得： OF∥平面 PAD ，…10 分
∵ OE OF O ，
∴平面 OEF / / 平面 PAD ，…12 分
∵ EF 平面 OEF ，
∴ EF∥ PAD …14 分
17．解：（1）∵ EM BM ， B MEN ，
∴ △BMN≌△EMN ，
∴ BNM MNE ，
∵ AME 2 ，
∴ BNM MNE ，
设 MN x ，
在 △BMN 中， BM xsin ，∴ EM BM xsin ，
∵ r 1 4e 8 0 ，
∴ ex 5 x 4 x 1 ，
从而有
-
1 4
1
m
5 4
2m e1m
，
即当 x 1,1 m ， G x1 H x2 恒成立．
21．解：（1）曲线 C 的极坐标方程为 8sin ，即 2 8 sin ．
1，
n1
∴ n 2 时， Ti 1 3T2 2T1 4T3 3T2 n 1Tn nTn1 i 1
n 1Tn 2T1 n 1Tn 1．
n1
∴存在关于 n 的整式 g n n 1，使得 Tn 1 Tn g n 1 对一切 n 2 ， nN* 都成立． i 1
n
1
2
2n
3n 4
22n 3n
2
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专题基本不等式常见题型归纳(教师版)
专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2，当且仅当a ＝b 时取等号．上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为 .【解析】∵1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ∴32log 7log a a b b +=，解得1log 2a b =或log 3a b =，∵1＞＞b a ∴1log 2a b =，即2a b =．2111111a ab a +=-++--13≥=． 练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数满足，且，则的最小值为 ．解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么==（x－y ）+≥2=4，当且仅当（x －y ）=，即x=+1，y=－1,x y 0x y >>22log log 1x y +=22x y x y+-y x y x -+22yx xyy x -+-2)(2y x -4y x y x -⋅-4)(yx -433时等号成立，故的最小值为4．2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ． 3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则2ac c c b ab +-+的最小值为 . 【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y 的最大值为 ．解析：由于4x 4x ＋y ＋y x ＋y =))(4()4()(4y x y x y x y y x x +++++=22225484y xy x y xy x ++++ =1+22543y xy x xy ++=1+345x y y x ⋅++≤1+5423+⋅xy y x =43， 当且仅当4y x =xy，即y=2x 时等号成立． 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 解析：由,a b R +∈,得223(),()4()1202a b ab a b a b a b +=++≤+-+-≥,解得6a b +≥(当且仅当a b =且3ab a b =++,即3a b ==时,取等号).变式：1.若,a b R +∈,且满足22a b a b +=+,则a b +的最大值为_________.解析：因为,a b R +∈,所以由22222()2a b a b a b a b a b ++=+⇒+=+≥,2()a b +-2()0a b +≤,解得02a b <+≤(当且仅当a b =且22a b a b +=+,即1a b ==时,取等号).2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 43.设R y x ∈,，1422=++xy y x ，则y x +2的最大值为_________10524.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数a ，b 满足195a b+=，则ab 的最小值为 yx y x -+22【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数y x ,满足1=+y x ，则1124+++y x 的最小值为 练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数y x ,满足111=+yx ，则1914-+-y yx x 的最小值为 . 解析：对于正数x ，y ，由于x 1+y 1=1，则知x>1，y>1，那么14-x x +14-y y =（14-x x +14-y y ）（1+1－x 1－y 1）=（14-x x +14-y y ）（xx 1-+y y 1-）≥（x x x x 114-⋅-+yy y y 114-⋅-）2=25，当且仅当14-x x ·y y 1-=14-y y ·xx 1-时等号成立．2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数满足，则的最小值为 ． 解析：，当且仅当时，取等号．故答案为：9． 3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数(0)xy a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为 .,x y 22x y +=8x yxy+8181828145922x y x y x y xy y x y x y x ⎛⎫++⎛⎫=+=+⋅=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭82x y y x=解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么14-a +b 1=21（a －1+b ）（14-a +b 1）=21（4+b a 1-+14-a b +1）≥21（2141-⋅-a b b a +5）=29，当且仅当b a 1-=14-a b时等号成立． 4．（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a ，b 为正数，且直线与直线 互相平行，则2a+3b 的最小值为________．【解析】由于直线ax+by －6=0与直线2x+（b －3）y+5=0互相平行，则有=，即3a+2b=ab ，那么2a+3b=（2a+3b ）·=（2a+3b ）（+）=++13≥2+13=25，当且仅当=，即a=b 时等号成立． 5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，ax ＋2b y ＝12.若x ＋2y 的最小值为64，则a b ＝________.答案：64；(考查基本不等式的应用). 6.已知正实数,a b 满足()()12122a b b b a a +=++，则ab 的最大值为 ．答案：【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为 ．解析：由14ab =得14a b = ，2221211424122711411451451a b b b b b b b b b b b +---+--=+==+---+--+- 令71b t -= 则2271494911141845142718427b t b b t t t t-+=+=-≥-+--+-+-当且仅当2t =即214等号成立． 60ax by +-=2(3)50x b y +-+=2a3-b b ab b a 23+b 3a2b a 6a b6a b b a 66⋅b a 6ab62练习1．（江苏省扬州市2015届高三上学期期末·12）设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是．解析：由x2＋2xy－1＝0可得y=212xx-，那么x2＋y2= x2＋222(1)4xx-=54x2+214x－12≥21 212，当且仅当54x2=214x，即x4=15时等号成立．2．（苏州市2014届高三调研测试·13）已知正实数x，y满足，则x + y 的最小值为．解析：∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，∴（0＜x＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3，当且仅当时取等号．∴x+y 的最小值为．故答案为：．3．（南通市2014届高三第三次调研测试·9）已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ．解析：∵正实数x ，y 满足（x ﹣1）（y+1）=16，∴1116++=y x ，∴x+y=()8116121116=+⋅+≥+++y y y y ，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y 的最小值为8．故答案为：8．4.（扬州市2017届高三上学期期中）若2,0>>b a ，且3=+b a ，则使得214-+b a 取得最小值的实数a = 。
江苏省常州市2017届高三上学期期末考试数学试题_Word版Word版含答案
省市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题2017.1一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1. 已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,3,4,1,4,5U A B ===，则()U A C B = .2. 已知0x >，若()2x i -是纯虚数（其中i 为虚数单位），则x = .3.某单位有老人20人，中年人120人，青年人100人，现采用分层抽样的方法从所有人中抽取一个容量为n 的样本，已知青年人抽取的人数为10人，则n = .4.双曲线221412x y -=的右焦点与左准线之间的距离是 . 5．函数()1lg 2y x x =-+的定义域为 . 6.执行右图所示的程序框图，若输入27a =，则输出的值b = .7.满足等式[]()cos 213cos 0,x x x π-=∈的x 值为 . 8.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3964,27a S S =-=，则10S = .9.男队有1,2，3的三名乒乓球运动员，女队有为1,2,3,4的四名乒乓球运动员，现两队各出一名运动员比赛一场，则出场的两名运动员不同的概率为 .10.以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为为 .11.在ABC ∆中，45,C O ∠=是ABC ∆的外心，若(),OC mOA nOB m n R =+∈，则m n+的取值围为 .12.已知抛物线()220x py p =>的焦点F 是椭圆()222210y x a b a b+=>>的一个焦点，若,P Q 是椭圆与抛物线的公共点,且直线PQ 经过焦点F ，则该椭圆的离心率为 .13.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22233sin a b c A =+-，则C .14.若函数()()2x x e af x a R e=-∈在区间[]1,2上单调递增，则实数a 的取值围是 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15.（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若18,cos .4a c B +==（1）若4BA BC ⋅=，求b 的值；（2）若sin A =，求sin C 的值.16.（本题满分14分）在111ABC A B C -中，所有棱长均相等，且160,ABB D ∠=为AC 的中点，求证：（1）1//B C 平面1A BD ； （2）1AB B C ⊥.17.（本题满分14分）已知圆()()22:200C x t y t -+=<与椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的一个公共点为()()0,2,,0B F c -为椭圆E 的右焦点，直线BF 与圆C 相切于点B . （1）求t 的值及椭圆E 的方程；（2）过点F 任作与坐标轴都不垂直的直线l 与椭圆交于,M N 两点，在x 轴上是否存在一定点P ，使PF 恰为MPN ∠的平分线？18.（本题满分16分）某辆汽车以x 千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120x ≤≤）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为145005x k x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭升，其中k 为常数，且60120k ≤≤.（1）若汽车以120千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使每小时的油耗不超过9升，求x 的取值围；（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值.19.（本题满分16分） 已知函数()21ln 12f x ax x bx =++. （1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为210x y -+=，求()f x 的单调区间； （2）若2a =，且关于x 的方程()f x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不等的实根，数b 的取值围； （3）若2,1a b ==-，当1x ≥时，关于x 的不等式()()21f x t x ≥-恒成立，数t 的取值围（其中e 是自然对数的底数，2,71828e =）.20.（本题满分16分）已知数列{}n a 满足()1110,1010.n n n a a a a n N*+=-≤≤+∈（1）若{}n a 是等差数列，12n nS a a a =+++，且()11010n n n S S S n N *+-≤≤+∈，求公差d 的取值集合；（2）若12,,,k a a a 成的比数列，公比q 是大于1的整数，且122017k a a a +++>，求正整数k 的最小值；（3）若12,,,k a a a 成等差数列，且12,,,100k a a a =，求正整数k 的最小值及k取最小值时公差d 的值.省教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅱ试题（附加题）21【选做题】在A,B,C,D 四个小题中只能选择两题，每小题10分，共计20分. A.选修4—1：几何证明选讲如图，过圆O 外一点P 作圆O 的切线PA,切点为A,连接OP 与圆O 交于点C,过点C 作圆O作AP 的垂线，垂足为D,若:1:3,PA PC PO ==求CD 的长.B.选修4—2：矩阵与变换 已知绝阵2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量4,7x X B y ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，若AX B =，直接写出1A -，并求出X .C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知圆4sin 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭被射线0θθ=（00,ρθ≥为常数，且00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）所截得的弦长为3求0θ的值.D.选修4-5：不等式选讲已知0,0x y >>，且26x y +=，求224x y +的最小值.22.（本小题10分）如图，以正四棱锥V ABCD -的底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O xyz -，其中//,//,Ox BC Oy AB E 为VC 中点，正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，且有15cos ,.49BE DE =- （1）求ha的值； （2）求二面角B VC D --的余弦值.23.（本小题满分10分）对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式.例如：考察恒等式()()()()2111nnnx x x n N *+=++∈，左边n x 的系数为2n n C ，而右边()()()()010111n nn n n nn n n n n n x x C C x C x C C x C x ++=++++++，n x 的系数为()()()222011001n n n nn n n n n n n n n C C C C C C C C C -+++=+++，因此可得到组合恒等式()()()222012n nn n n n C C C C =+++.（1）根据恒等式()()()()111,m nmnx x x m n N +*+=++∈两边k x （其中,,k N k m k n ∈≤≤）的系数相同，直接写出一个恒等式；（2）利用算两次的思想方法或其他方法证明：222202n k n k k nn k n k C C C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-=⋅⋅=∑，其中2n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是指不超过2n的最大整数.。
江苏无锡市2017-2018学年第一学期期末考试高二数学试卷
江苏⽆锡市2017-2018学年第⼀学期期末考试⾼⼆数学试卷江苏⽆锡市2017-2018学年第⼀学期期末考试⾼⼆数学试卷2017.12注意事项及说明: 本卷考试时间为120分钟，全卷满分为160分．命题单位：滨湖区教研发展中⼼审核：⽆锡市教育科学研究院⼀、填空题（本⼤题共14⼩题，每⼩题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．） 1．直线0x c +=的倾斜⾓的⼤⼩为▲．2．（⽂）命题“对任意的3210R x x x ∈-+，…”的否定是▲．（理）设(1,3,2)a =-，(2,+1,1)b m n =-，且a //b ，则实数 m n -=▲．3．如图，已知正⽅体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异⾯直线1BC 与AC 所成的⾓为▲．4．以1x =为准线的抛物线的标准⽅程是▲．5. 已知命题p : 多⾯体ABCD 为正三棱锥，命题q :多⾯体ABCD 为正四⾯体，则命题p 是命题q 的▲条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分⼜不必要”之⼀）6．若⼀个正六棱柱的底⾯边长为a ，侧⾯对⾓线的长为2a ，则它的体积为▲． 7. 函数()2cos (02)f x x x xπ=+剟的单调递减区间为▲．8．若双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为8，点(1,M 在其渐近线上，则C 的⽅程为▲．9．如果⼀个圆锥的侧⾯积与其底⾯积之⽐是5:3，那么该圆锥的母线与底⾯所成⾓的正弦值为▲．10．已知点P 在抛物线28=y x 上运动，F 为抛物线的焦点，点A 的坐标为(5,2)，则P A P F +的最⼩值是▲． 11. 椭圆具有如下的光学性质：从⼀个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另⼀个焦点．现从椭圆22+195x y =的左焦点F 发出的⼀条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点F ，则光线所经过的总路程为▲．12. 已知,,αβγ是三个互不重合的平⾯，l 是⼀条直线，给出下列四个命题：①若,l αββ⊥⊥，则l α∥；②若,l l αβ⊥⊥，则αβ∥；③若αγβγ⊥，∥，则αβ⊥；④若m α?，n α?，m β∥，n β∥，则βα//. 其中所．有．正确命题的序号是▲． 13．设k ∈R ，过定点A 的动直线0kx y +=和过定点B 的动直线20x ky k -+=交于点C 1B 1A 1DCBA(,)(0)M x y x >，若2MB MA =，则点M 的坐标为▲．14．在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知P 是函数()ln (0)f x x x =>图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交x 轴于点E ，过点P 作l 的垂线交x 轴于点F ，设线段EF 的中点T 的横坐标为t ，则t 的最⼤值是▲．⼆、解答题（本⼤题共6⼩题，共90分．解答时应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）设直线1:210l x y +-=，2:20l x y -+=，3:360l x my +-=．（1）若直线1l ，2l ，3l 交于同⼀点，求m 的值；（2）设直线l 过点(2,0)M ，若l 被直线1l ，2l 截得的线段恰好被点M 平分，求直线l 的⽅程．16. （本题满分14分）如图，在四⾯体PABC 中，已知PA ⊥平⾯ABC ，PA AC =，90ACB ∠=，D 为PC 的中点．（1）求证：AD BD ⊥；（2）若M 为PB 的中点，点N 在直线AB 上，且:1:2AN NB =，求证：直线AD //平⾯CMN ． 17．（本题满分14分）MPNABDC（⽂科班选做此题）已知R m ∈，命题:p {m |⽅程221821y x mm =--+表⽰焦点在y 轴上的椭圆}，命题:q {m |⽅程22112y x m m =+-+表⽰双曲线}，若命题“q p ∨”为真，“q p ∧”为假，求实数m 的取值范围．（理科班选做此题）如图，已知正⽅形ABCD 和矩形所在平⾯互相垂直，AB =1AF =．（1）求⼆⾯⾓B DE C --的⼤⼩；（2）求点F 到平⾯BDE 的距离.18. （本题满分16分）已知圆C 的圆⼼为2(,)2t C t a(,0)R t t ∈≠，过定点(0,)A a (0)a >，且与x 轴交于点B ，D ．（1）求证：弦长BD 为定值；（2）设12a =，t 为整数，若点C 到直线260x y +-=，求圆C 的⽅程．19．（本题满分16分）BEFDCA已知函数32()(2)f x ax a x =-+（a 为实数）.（1）若函数()f x 在1x =处的切线与直线60x y ++=平⾏，求实数a 的值；（2）若1a =，求函数()f x 在区间[1,3]上的值域；（3）若函数()f x 在区间[1,3]上是增函数，求a 的取值范围．20．（本题满分16分）设动点M 是圆229x y +=上任意⼀点，过M 作x 轴的垂线，垂⾜为N ，若点P 在线段MN 上，且满⾜2NPPM=．（1）求点P 的轨迹C 的⽅程；（2）设直线l 与C 交于A ，B 两点，点Q 坐标为(0,2)，若直线QA ，QB 的斜率之和为定值3，求证：直线l 必经过定点，并求出该定点的坐标．⽆锡市2017年秋学期期末考试参考答案及评分标准 2017.12⾼⼆数学⼀、填空题 (每空5分，共70分)1. 30°2. （⽂）32,10x x x ?∈-+>R （理）83. 60°4. 24x y =-5. 必要不充分6. 392a 7. 5[,]66ππ 8. 221412x y -= 9.3510. 7 11.12 12. ②③ 13. 42(,)55 14. 11()2e e+ ⼆、解答题（共90分）15. 解：（1）解21020x y x y +-=??-+=?，，得交点15(,)33C -． …………………………………3分直线123l l l ，，交于同⼀点，则点C 在直线3l 上，则153()6=033m -+-，解得21=5m ．…………………………………………………6分（2）设1l 上⼀点A (a ，1-2 a )，则点A 关于M （2，0）的对称点B (4-a ，2 a -1) ．………………………………………………………………………………………8分由点B 在2l 上，代⼊得4(21)20a a ---+=，∴a =73，∴711()33A ，-．………11分直线l 过两点A 、M ，斜率为-11，∴直线l 的⽅程为11220x y +-=． ………14分16. 证明：(1) ∵PA=AC ，D 为PC 的中点，∴AD ⊥PC ． …… ………………………1分∵ PA ⊥平⾯ABC ，BC ?平⾯ABC ，∴ PA ⊥BC ．∵∠ACB=90°，BC ⊥AC ，且PAAC =A ， ,PA AC ?平⾯PAC∴ BC ⊥平⾯PAC ． ……………………………………………………………………3分∵ AD ?平⾯PAC ，∴ BC ⊥AD ．……………………………………………………4分且,,,AD PC ADPC D PC BC ⊥=?平⾯PBC ，∴AD ⊥平⾯PBC ． ………………………………… …………………………………6分∵ BD ?平⾯PBC ，∴AD ⊥BD ．……………………………………………………7分（2）连接DM ，设BD 与CM 交于点G ，连接N G ，∵ D 、M 为中点，∴DM //BC 且12DM BC =，………………………………………9分∴ DG :GB=DM :BC =1:2．∵ AN :NB=1:2，∴AN :NB= DG:GB ．………………………………………………11分∴△BNG ∽△BAD ，∴AD//NG ，∵AD ?平⾯CMN ，NG ?平⾯CMN ，∴直线AD //平⾯CMN ． …………………………………………………………14分17. （⽂科）解：命题p ：8210m m ->->，132m <<； …………………………2分命题q ：（1m +）（2m -）<0, 12m -<<,………………………………………4分命题p 且q: 122m <<． ………………………………………………………………6分由命题“q p ∨”为真，“q p ∧”为假，则p 、q ⼀个为真命题，⼀个为假命题，……8分则13212m m m ?<1 2.m m m-<剠………………………………………………12分解得23m <…或112m -<…．所以实数m 的取值范围是1(1,][2,32-）． ………………………………………14分 17. （理科）解：正⽅形ABCD 和矩形ACEF 所在平⾯互相垂直，分别以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建⽴空间直⾓坐标系，则A （0，0，0），B，0，0）， C，0）， D （0，0）， E,，1），F （0，0，1）．…………………………………………………1分（1）设平⾯CDE 的法向量为1=(0,1,0)h ，平⾯BDE 的法向量2=(,,)h x y z ， ………2分由220,0.h BD h BE ??=??=解得2(1,1,h =. ………………………………………………4分∴1212121cos ,2||||h h h h h h ?<>== ，………………………………………………………6分∴⼆⾯⾓ B —DE —C 等于60°． ……………………………………………………7分（2）2(2,2,0),(1,1,FE h ==，…………………………………………………8分 2222cos ,||||EF h EF h EF h ?<>===…………………………………………10分||2EF =．设点到平⾯BDF 的距离为h ，则2cos,.||hEF h EF <>=……………12分∴ 2h =?F 到平⾯BDE ． ……………………14分18. 解：（1）圆C 的⽅程：222222()())22t t x t y t a a a-+-=+-（， ………………………3分令y =0，得22()=x t a -，故=x t a -±，1=+x t a ，2=x t a -．…………………6分弦长M N=21 ||x x -=2 a 为定值．……………………………………………………7分（2）∵点C 到直线260xy +-=的距离为2d ==，………………9分∴ 2+26t t -=2±，解得=1t - t =2或t =-4．……………………………13分由t 为整数，∴ t =2或t =-4．…………………………………………………14分∴圆C 的⽅程为2265(2)(4)4x y -+-=和221025(+4)(16)4x y +-=． ………16分19. 解：(1)2()32(2)f x ax a x '=-+，(1)32(2)1f a a '=-+=-，解得3a =． ……………………………………4分（2）1a =时，32()3f x x x =-，2()36f x x x '=-，令()0f x '=，解得0x =或2，………………………………6分………………………8分⼜(1)2f =-，(2)4f =-，(3)0f =，所以()f x 在[1,3]上的值域为[4,0]-．……10分（3）2()32(2)f x ax a x '=-+，由()f x 在区间[1,3]上是增函数，则2()32(2)f x ax a x '=-+…0对于1≤x ≤3恒成⽴，所以(32)4a x -…．…………12分因320x ->，故432a x -…，记4()32g x x =-，则max ()a g x …，……………………14分⽽函数()g x 在[1,3]上为减函数，则max ()(1)4g x g ==，所以a …4．所以a 的取值范围是[4,)+∞.………………………………………………………16分20. 解：（1）设点P 、M 的坐标分别为 (x ，y )、 (x 0，y 0)，由2NP PM =，得00,,23x x y y =??=∴00,3.2x x y y =??=……………………………………………………………………3分由点M 在圆229x y +=上，故22009x y +=，代⼊得22994x y +=．…………5分∴点P 的轨迹C 的⽅程为 22194x y +=． ………………………………………6分（2）当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的⽅程为：0x x =，设A ，B 两点的坐标分别为 (x 0，y 0)、(x 0，-y 0)，由题意3QA QB k k +=，得0000223y y x x ---+=，解得043x =-，所以直线l 的⽅程为：43x =-．……………………………………………………8分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的⽅程为y=kx+b ，与C 联⽴，消元得222(49)189(4)0k x bkx b +++-=．设A ，B 两点的坐标分别为 (x 1，y 1)、 (x 2，y 2)，则1221849bkx x k -+=+，212294)=49b x x k -+（（*）． ……………………………………10分由题意3QA QB k k +=，得1212223y y x x --+=．将y 1=kx 1+b 和y 2=kx 2+b 代⼊上式，可得121122)3k b x x +-+=（（）, 所以121222)3x x k b x x ++-=（．（**） ……………………………………………12分将（*）代⼊（**），化简得2232bk k b -=+，解得3+24b k =（），代⼊直线l ⽅程，得3+233(1)442b y x b b x x =+=++（）． ……………………14分不论b 怎么变化，当314x +=0即x =43-时，2y =-． …… ………………… 15分综上所述，直线l 恒过定点4(,2)3--． ………………………………………… 16分。
2017届江苏省无锡市高三上期末数学试卷
2017届江苏省无锡市高三上期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x≤2}，则A∩B=．2．复数，（其中i是虚数单位），则复数z的共轭复数为．3．命题“∀x≥2，x2≥4”的否定是．4．从3男2女共5名学生中任选2人参加座谈会，则选出的2人恰好为1男1女的概率为．5．根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为．6．已知向量，若与垂直，则m的值为．7．设不等式表示的平面区域为M，若直线y=kx﹣2上存在M内的点，则实数k的取值范围是．8．已知是奇函数，则f（g（﹣2））=．9．设公比不为1的等比数列{a n}满足，且a2，a4，a3成等差数列，则数列{a n}的前4项和为．10．设，则f（x）在上的单调递增区间为．11．已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为120°，且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积等于．12．设P为有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且PF1⊥PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若3e1=e2，则e1=．13．若函数f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域恰好为[m，n]，则称f（x）为函数的一个“等值映射区间”．下列函数：①y=x2﹣1；②y=2+log2x；③y=2x﹣1；④．其中，存在唯一一个“等值映射区间”的函数有个．14．已知a＞0，b＞0，c＞2，且a+b=2，则的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA+cos2=1，D为BC上一点，且．（1）求sinA的值；（2）若a=4，b=5，求AD的长．16．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AP⊥平面PCD，E，F 分别为PC，AB的中点．求证：（1）平面PAD⊥平面ABCD；（2）EF∥平面PAD．17．（14分）某地拟在一个U形水面PABQ（∠A=∠B=90°）上修一条堤坝（E 在AP上，N在BQ上），围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物．为了美观起见，决定从AB上点M处分别向点E，N拉2条分割线ME，MN，将所围区域分成3个部分（如图），每部分种植不同的水生植物．已知AB=a，EM=BM，∠MEN=90°，设所拉分割线总长度为l．（1）设∠AME=2θ，求用θ表示的l函数表达式，并写出定义域；（2）求l的最小值．18．（16分）已知椭圆，动直线l与椭圆交于B，C两点（B在第一象限）．（1）若点B的坐标为（1，），求△OBC面积的最大值；（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），且3y1+y2=0，求当△OBC面积最大时，直线l的方程．19．（16分）数列{a n}的前n项和为S n，．（1）求r的值及数列{a n}的通项公式；（2）设，记{b n}的前n项和为T n．①当n∈N*时，λ＜T2n﹣T n恒成立，求实数λ的取值范围；②求证：存在关于n的整式g（n），使得对一切n≥2，n∈N*都成立．20．（16分）已知f（x）=x2+mx+1（m∈R），g（x）=e x．（1）当x∈[0，2]时，F（x）=f（x）﹣g（x）为增函数，求实数m的取值范围；（2）若m∈（﹣1，0），设函数，求证：对任意x1，x2∈[1，1﹣m]，G（x1）＜H（x2）恒成立．加试题说明：解答时，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-4：坐标系与参数方程]21．设极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴．已知曲线C 的极坐标方程为ρ=8sinθ（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求AB的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知变换T将平面上的点分别变换为点．设变换T对应的矩阵为M．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的特征值．23．某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过5小时．设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如表所示．（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．24．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD ∥BC，∠BAD=∠CBA=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点．（1）求EF与DG所成角的余弦值；（2）若M为EF上一点，N为DG上一点，是否存在MN，使得MN⊥平面PBC？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．解：∵A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x≤2}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故答案为：{x|0＜x≤2}2．解：=，则复数z的共轭复数为：1﹣i．故答案为：1﹣i．3．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x≥2，x2≥4”的否定是：∃x0≥2，x02＜4．故答案为：∃x0≥2，x02＜4．4．解：从3男2女共5名学生中任选2人参加座谈会，基本事件总数n==10，选出的2人恰好为1男1女包含的基本事件个数m=，∴选出的2人恰好为1男1女的概率p==．故答案为：．5．解：模拟程序的运行，可得i=1，S=﹣2满足条件i＜8，执行循环体，i=3，S=7满足条件i＜8，执行循环体，i=5，S=22满足条件i＜8，执行循环体，i=7，S=43满足条件i＜8，执行循环体，i=9，S=70不满足条件i＜8，退出循环，输出S的值为70．故答案为：70．6．解：∵向量，∴=（1，2），=（2m+1，m﹣1），∵与垂直∴（）（）=0，即2m+1+2（m﹣1）=0，解得m=，故答案为：7．解：由约束条件作出可行域如图，如图．因为函数y=kx﹣2的图象是过点A（0，﹣2），且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点B（1，3）时，k取最大值=5，当直线l过点C（2，2）时，k取最小值=2，故实数k的取值范围是[2，5]．故答案为：[2，5]．8．解：∵f（x）是奇函数，∴g（﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（22﹣3）=﹣1，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（2﹣3）=1，故f（g（﹣2））=1，故答案为：19．解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2，a4，a3成等差数列，∴2a4=a2+a3，∴=a2+a2q，化为：2q2﹣q﹣1=0，q≠1，解得q=﹣．∵，∴=﹣，解得a1=1．则数列{a n}的前4项和==．故答案为：．10．解：=sin2x+sinxcosx=（1﹣cos2x）+sin2x=sin（2x﹣）+，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∵x∈，∴当k=0时，﹣≤x≤，即0≤x≤，即函数f（x）在上的单调递增区间为[0，]，故答案为：[0，]．11．解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，∵3π=πl2，∴l=3，∴120°=×360°，∴r=1，∴圆锥的高是=2，∴圆锥的体积是×π×12×2=．故答案为：．12．解：设∠F1AF2=2θ根据椭圆的几何性质可得，=b12tanθ=b12，∵e1=，∴a1=，∴b12=a12﹣c2=c2（﹣1）根据双曲线的几何性质可得，==b22，∵e2=a2=∴b22=c2﹣a22=c2（1﹣），∴c2（﹣1）=c2（1﹣），即+=2，∵3e1=e2，∴e1=故答案为：13．解：根据新定义可知，“等值映射区间”即是函数与另一函数y=x有两个交点．对于①y=x2﹣1；根据新定义可得：x2﹣1=x，方程有两个解，即函数y=x2﹣1与函数y=x有两个交点．故①是；对于②y=2+log2x；根据新定义可得：2+log2x=x，即函数y=2+log2x与函数y=x有一个交点．故②不是；对于③y=2x﹣1；根据新定义可得：2x﹣1=x，即函数y=2x﹣1与函数y=x有一个交点．故③不是；对于④；根据新定义可得：x2﹣x=1，方程有两个解，即函数与函数y=x有两个交点．故④是；故答案为：2．14．解：a＞0，b＞0，c＞2，且a+b=2，则=c（+﹣）+=+，由2=，可得==≥=，当且仅当b=a时，取得等号．则原式≥c+= [（c﹣2）++1]≥ [2+1]=+．当且仅当c=2+时，取得等号．则所求最小值为+．故答案为： +．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）解：（1）∵sinA+cos2=1，∴sinA+=1，即2sinA﹣cosA=1，…2分∴（2sinA﹣1）2=cos2A，即5sin2A﹣4sinA=0，∵A∈（0，π），∴sinA＞0，∴sinA=，cosA=…6分（2）∵a=4，b=5，cosA=，∴由余弦定理可得：32=25+c2﹣2×5c×，即：c2﹣6c﹣7=0，解得：c=7， (10)分∵，∴2=++bccosA=++=25，…12分∴AD=5…14分16．（14分）证明：（1）∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AP⊥CD，∵ABCD为矩形，∴AD⊥CD，…2分又∵AP∩AD=A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，…4分∵CD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD…6分（2）连接AC，BD交于点O，连接OE，OF，∵ABCD为矩形，∴O点为AC中点，∵E为PC中点，∴OE∥PA，∵OE⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，∴OE∥平面PAD，…8分同理可得：OF∥平面PAD，…10分∵OE∩OF=O，∴平面OEF∥平面PAD，…12分∵EF⊂平面OEF，∴EF∥平面PAD…14分17．（14分）解：（1）∵EM=BM，∠B=∠MEN，∴△BMN≌△EMN，∴∠BNM=∠MNE，∵∠AME=2θ，∴∠BNM=∠MNE=θ，设MN=x，在△BMN中，BM=xsinθ，∴EM=BM=xsinθ，∴△EAM中，AM=EMcos2θ=xsinθcos2θ，∵AM+BM=a，∴xsinθcos2θ+xsinθ=a，∴x=，∴l=EM+MN=，θ∈（0，）；（2）令f（θ）=sinθ（1﹣sinθ），sinθ∈（0，），∴f（θ）≤，当且仅当θ=时，取得最大值，此时l min=2a．18．（16分）解：（1）直线OB的方程为：y=x，即3x﹣2y=0，设经过点C且平行于直线OB的直线l′方程为：y=x+b．则当l′与椭圆只有一个公共点时，△OBC的面积最大．联立，化为：3x2+3bx+b2﹣3=0，由△=9b2﹣12（b2﹣3）=0，解得b=．当b=2时，C；当b=﹣2时，C．S△OBC≤×=．（2）直线l与y轴不垂直，设直线l的方程为：x=my+n，联立，化为：（3m2+4）y2+6mny+3n2﹣12=0，∴y1+y2=，y1•y2=．∵3y1+y2=0，∴y1=，=，∴=，∴n2=．∴S△OBC=•|y1﹣y2|=2|n||y1|==．∵B在第一象限，∴x1=my1+n=+n＞0，∴n＞0．∵y1＞0，∴m＞0．∴S△OBC===，当且仅当m=时取等号．此时n=．此时直线l的方程为：x=y+，即2x﹣y+=0．19．（16分）（1）解：n=1时，S1=a1×=a1，解得r=，∴S n=a n．n≥2时，S n﹣1=a n﹣1．两式相减可得：a n=a n﹣a n﹣1．∴=，（n≥2）．∴a n=•…=•…••2=n（n+1），n=1时也适合．∴a n=n（n+1）．（2）①解：b n==，T n=+…+，T2n=…+，∴T2n﹣T n=+…+，令B n=T2n﹣T n，则B n+1﹣B n=﹣=＞0，因此数列{B n}单调递增，∴（B n）min=．∵当n∈N*时，λ＜T2n﹣T n恒成立，∴．②证明：由①可得：n≥2时T n﹣T n﹣1=，即（n+1）T n﹣nT n﹣1=T n﹣1+1，∴n≥2时，=（3T2﹣2T1）+（4T3﹣3T2）+…+[（n+1）T n﹣nT n﹣1]=（n+1）T n﹣2T1=（n+1）T n﹣1．∴存在关于n的整式g（n）=n+1，使得对一切n≥2，n∈N*都成立．20．解：（1）∵F（x）=x2+mx+1﹣e x，∴F′（x）=2x+m﹣e x，∵x∈[0，2]时，F（x）是增函数，∴F′（x）≥0即2x+m﹣e x≥0在[0，2]上恒成立，即m≥e x﹣2x在[0，2]恒成立，令h（x）=e x﹣2x，x∈[0，2]，则h′（x）=e x﹣2，令h′（x）=0，解得：x=ln2，∴h（x）在[0，ln2]递减，在[ln2，2]递增，∵h（0）=1，h（2）=e2﹣4＞1，∴h（x）max=h（2）=e2﹣4；（2）G（x）=，则G′（x）=﹣，对任意x1，x2∈[1，1﹣m]，G（x1）＜H（x2）恒成立，即证G（x）max≤H（x）min，∵x∈[1，1﹣m]，∴G（x）在[1，1﹣m]递增，G（x）max=G（1﹣m）=，∵H（x）在[1，1﹣m]递减，H（x）min=H（1﹣m）=﹣（1﹣m）+，要证G（x）max≤H（x）min，即证≤﹣（1﹣m）+，即证4（2﹣m）≤e1﹣m[5﹣（1﹣m）]，令1﹣m=t，则t∈（1，2），设r（x）=e x（5﹣x）﹣4（x+1），x∈[1，2]，即r（x）=5e x﹣xe x﹣4x﹣4，r′（x）=（4﹣x）e x﹣4≥2e x﹣4＞0，∴r（x）在[1，2]递增，∵r（1）=4e﹣8＞0，∴e x（5﹣x）≥4（x+1），从而有﹣（1﹣m）+≥，即当x∈[1，1﹣m]，G（x1）＜H（x2）恒成立．加试题说明：解答时，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-4：坐标系与参数方程]21．解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=8sinθ，即ρ2=8ρsinθ．∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=8y．（2）设直线（t为参数）的直角坐标方程为y=x+2．x2+y2=8y，配方为x2+（y﹣4）2=16，可得圆心C（0，4），半径r=4．∴圆心C到直线的距离d==．∴|AB|=2=2．[选修4-2：矩阵与变换]22．解：（1）设M=，则=，=，即为，即a=3，b=﹣，c=﹣4，d=4，则M=；（2）设矩阵M的特征多项式为f（λ），可得f（λ）==（λ﹣3）（λ﹣4）﹣6=λ2﹣7λ+6，令f（λ）=0，可得λ=1或λ=6．23．解：（1）由题意得．．记甲乙两人所付车费相同的事件为A，P（A）=，甲、乙两人所付车费相同的概率为．（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，ξ的所有取值为0，1、2，3，4，5．P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=P（ξ=4）=，P（ξ=5）=．所以ξ的分布列为：∴ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×24．解：（1）以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），∵E、F、G分别为BC、PD、PC的中点，∴，F（0，1，），G（），∴=（﹣1，），=（），设EF与DG所成角为θ，则cosθ==．∴EF与DG所成角的余弦值为．（2）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），∵=（0，1，0），=（1，0，﹣1），∴，取x=1，得=（1，0，1），M为EF上一点，N为DG上一点，若存在MN，使得MN⊥平面PBC，则∥，设M（），N（x2，y2，z2），则，①∵点M，N分别是线段EF与DG上的点，∴，∵=（），=（x2，y2﹣2，z2），∴，且，②把②代入①，得，解得，∴M（），N（）．。
江苏省无锡市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．直线x﹣y+a=0（a∈R，a为常数）的倾斜角是．2．“∃x∈R，e x=x﹣1”的否定是．3．过点A（﹣1，1）且与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为．4．已知一个物体的运动方程是s=1﹣t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在4秒末的瞬时速度是．5．“x＞0”是“x≠0”的条件；（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”）6．过点（2，）、（，﹣）的椭圆的标准方程为．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C与BD所成的角为．8．直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则b的取值范围为．9．若正四棱锥的底面边长为，体积为4cm3，则它的侧面积为cm2．10．下列，其中正确的是（填写序号）．①若m⊥α，m∥n，则n⊥α；②若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；③若直线m∥n，则直线m就平行于平面α内的无数条直线；④若∠ABC和∠A1B1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，则∠ABC=∠A1B1C1．11．椭圆+=1的左焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴正半轴上，那么以线段F1P为直径的圆的标准方程为．12．已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y=﹣3，则其渐近线方程为．13．定义在R上的函数f（x）满足f′（x）＞1，且f（1）=2，在不等式f（x）＞x+1的解集为．14．已知动点A、B分别在图中抛物线y2=4x及椭圆的实线上运动，若AB∥x，点N的坐标为（1，0），则三角形ABN的周长l的取值范围是．二、解答题：本大题共7小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=45°，AB=2，AD=，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面PAB．17．抛物线y=x2上有一点A的横坐标为a，其中a∈（0，1），过点A的抛物线的切线l交x轴及直线x=1于B，C两点，直线x=1交x轴于D点．（1）求直线l的方程；（2）求△BCD的面积S（a），并求出a为何值时S（a）有最大值．18．（文科班选做此题）已知a＞0，p：∀x≥1，x﹣+2≥0恒成立，q：点P（1，1）在圆（x ﹣a）2+（y﹣a）2=4的外部，是否存在正数a，使得p∨q为真；p∧q假，若存在，请求出a 的范围；若不存在，请说明理由．19．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．20．已知函数f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）=ax﹣lnx．若对任意的，总存在唯一的，使得g（x2）=f（x1），求实数a的取值范围．21．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的短轴为2，离心率为，直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）求△OAB面积的最大值；（3）当m∈R时，判断点G（﹣2，0）与AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．2015-2016学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．直线x﹣y+a=0（a∈R，a为常数）的倾斜角是60°．【分析】根据题意，设直线x﹣y+a=0的倾斜角为α，由直线的方程可得直线的斜率k=，进而可得tanα=，结合α的范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，设直线x﹣y+a=0的倾斜角为α，直线x﹣y+a=0可以变形为y=x+a，其斜率k=，tanα=且0°≤α＜180°，则有α=60°，故答案为：60°【点评】本题考查直线倾斜角的计算，掌握直线的倾斜角与斜率的关系是解题的关键．2．“∃x∈R，e x=x﹣1”的否定是∀x∈R，e x≠x﹣1．【分析】由题意，“∃x∈R，e x=x﹣1”，其否定是一个全称，按书写规则写出答案即可【解答】解：“∃x∈R，e x=x﹣1”是一个特称，其否定是一个全称所以“∃x∈R，e x=x﹣1”的否定为“∀x∈R，e x≠x﹣1”故答案为：∀x∈R，e x≠x﹣1．【点评】本题考查特称的否定，解题的关键是熟练掌握特称的否定的书写规则，依据规律得到答案，要注意理解含有量词的的书写规则，特称的否定是全称，全称的否定是特称．3．过点A（﹣1，1）且与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为x+3y﹣2=0．【分析】设与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为：x+3y+m=0，把点A（﹣1，1）代入即可得出．【解答】解：设与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为：x+3y+m=0，把点A（﹣1，1）代入可得：﹣1+3+m=0，解得m=﹣2．∴要求的直线方程为：x+3y﹣2=0．故答案为：x+3y﹣2=0．【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知一个物体的运动方程是s=1﹣t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在4秒末的瞬时速度是7米/秒．【分析】据对位移求导即得到物体的瞬时速度，求出导函数在t=4时的值，即为物体在4秒末的瞬时速度．【解答】解：∵s=1﹣t+t2，求导函数可得s′=2t﹣1当t=4时，s′=2t﹣1=2×4﹣1=7，故物体在4秒末的瞬时速度是7米/秒，故答案为：7米/秒．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的物理意义，属于基础题．5．“x＞0”是“x≠0”的充分不必要条件；（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”）【分析】将题设中的改写成的形式，分别判断它的真假及其逆的真假，再依据充分条件，必要条件的定义作出判断得出正确答案【解答】解：原：若“x＞0”则“x≠0”，此是个真其逆：若“x≠0”，则“x＞0”，是个假，因为当“x≠0”时“x＜0”，也可能成立，故不一定得出“x ＞0”，综上知“x＞0”是“x≠0”的充分不必要条件故答案为：充分不必要．【点评】本题考查充分条件必要条件的判断，解题的关键是熟练掌握充分条件与必要条件的定义，本题是基本概念考查题，难度较低，在高考中出现的机率较小6．过点（2，）、（，﹣）的椭圆的标准方程为+=1．【分析】设椭圆的方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0且m≠n），再由点（2，）、（，﹣）代入椭圆方程，解方程即可得到m，n，进而得到所求标准方程．【解答】解：设椭圆的方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0且m≠n），由题意可得，解得，即有椭圆方程为+=1．故答案为：+=1．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，注意运用待定系数法，考查运算求解能力，属于基础题．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C与BD所成的角为60°．【分析】连接B1D1和D1C，由BD∥B1D1，知∠D1B1C就是异面直线DB与B1C所成角．由△D1B1C是等边三角形，知异面直线DB与B1C所成角为60°．【解答】解：连接B1D1和D1C，∵BD∥B1D1，∴∠D1B1C就是异面直线DB与B1C所成角．在△D1B1C中，∵B1D1=D1C=B1C，∴∠D1B1C=60°．故答案为：60°【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，解题时要认真审题，仔细求解，注意合理地进行等价转化．8．直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则b的取值范围为（2，12）．【分析】求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，则圆心坐标为（1，1），半径r=1，则若直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则圆心到直线的距离d==＜1，即|b﹣7|＜5，则﹣5＜b﹣7＜5，即2＜b＜12，故答案为：（2，12）【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，利用点到直线的距离与半径之间的关系是解决本题的关键．9．若正四棱锥的底面边长为，体积为4cm3，则它的侧面积为8cm2．【分析】设出正四棱锥的底面边长为a=2，h为高，运用体积公式求解得出h=1，求解斜高h′=2，运用面积公式求解即可．【解答】解：∵正四棱锥的底面边长为，体积为4cm3，∴a=2，h为高，即（2）2×h=4，h=1，∴斜高为：=2，∴侧面积为：4×2=8故答案为：【点评】本题考查了三棱锥的几何性质，运用求解斜高，侧面积公式，属于中档题，关键是把立体问题，转化为平面问题．10．下列，其中正确的是①（填写序号）．①若m⊥α，m∥n，则n⊥α；②若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；③若直线m∥n，则直线m就平行于平面α内的无数条直线；④若∠ABC和∠A1B1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，则∠ABC=∠A1B1C1．【分析】在①中，由线面垂直的性质得n⊥α在②中，α与β相交或平行；在③中，直线m与平面α有可能相交；在④中，∠ABC=∠A1B1C1或∠ABC和∠A1B1C1互补．【解答】解：①若m⊥α，m∥n，则由线面垂直的性质得n⊥α，故①正确；②若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α与β相交或平行，故②错误；③若直线m∥n，则直线m与平面α有可能相交，故③错误；④若∠ABC和∠A1B1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，则∠ABC=∠A1B1C1或∠ABC和∠A1B1C1互补，故④错误．故答案为：①．【点评】本题考查真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．11．椭圆+=1的左焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴正半轴上，那么以线段F1P为直径的圆的标准方程为x2+（y﹣）2=．【分析】先根据中位线定理可推断出PF2垂直于x轴，根据椭圆的标准方程求出焦距，进而设|PF1|=t，根据勾股定理求得t和|PF2|，可得M的坐标，可得所求圆的标准方程．【解答】解：∵O是F1F2的中点，M为PF1的中点，∴PF2平行于y轴，即PF2垂直于x轴，∵c===2，∴|F1F2|=4设|PF1|=t，根据椭圆定义可知|PF2|=8﹣t，∴（8﹣t）2+16=t2，解得t=5，∴|PF2|=3，可得M（0，），|PM|=，即有所求圆的方程为x2+（y﹣）2=．故答案为：x2+（y﹣）2=．【点评】本题考查椭圆的定义和方程的运用，考查圆的方程的求法，注意运用中位线定理和椭圆的定义，属于中档题．12．已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y=﹣3，则其渐近线方程为y=±x．【分析】双曲线的焦点在y轴上，且=3，焦点到渐近线距离为2，求出a，b，c，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵一条准线方程为y=﹣3，∴双曲线的焦点在y轴上，且=3，∵焦点到渐近线的距离为2，∴=2，∴b=2，∴a=2，c=4∴渐近线方程为y=±x=±x．故答案为：y=±x．【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其渐近线方程、点到直线的距离公式，属于基础题．13．定义在R上的函数f（x）满足f′（x）＞1，且f（1）=2，在不等式f（x）＞x+1的解集为（1，+∞）．【分析】由f′（x）＞1，f（x）＞x+1可抽象出一个新函数g（x），利用新函数的性质（单调性）解决问题，即可得到答案．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣（x+1），因为f（1）=2，f′（x）＞1，所以g（1）=f（1）﹣（1+1）=0，g′（x）=f′（x）﹣1＞0，所以g（x）在R上是增函数，且g（1）=0．所以f（x）＞x+1的解集即是g（x）＞0=g（1）的解集．∴x＞1．故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，解决此类问题的关键是构造函数g（x）=f （x）﹣（x+1），然后利用导数研究g（x）的单调性，从而解决问题，属于中档题．14．已知动点A、B分别在图中抛物线y2=4x及椭圆的实线上运动，若AB∥x，点N的坐标为（1，0），则三角形ABN的周长l的取值范围是（）．【分析】可考虑用抛物线的焦半径公式和椭圆的焦半径公式来做，先通过联立抛物线与椭圆方程，求出A，B点的横坐标范围，再利用焦半径公式转换为以B点的横坐标为参数的式子，再根据前面求出的B点横坐标方位计算即可．【解答】解：由得，抛物线y2=4x与椭圆在第一象限的交点横坐标为，设A（x1，y1），B（x2，y2），则0＜x1＜，＜x2＜2，由可得，三角形ABN的周长l=|AN|+|AB|+|BN|=x1++x2﹣x1+a﹣ex2=+a+x2=3+x2，∵，＜x2＜2，∴＜3+x2＜4故答案为（）【点评】本题考查了抛物线与椭圆焦半径公式的应用，做题时要善于把未知转化为已知．二、解答题：本大题共7小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦AB的长．【解答】解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y﹣2=（x﹣2），即x+2y﹣6=0．（3）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0．圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为．【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，计算直线的斜率，点到直线的距离；直线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=45°，AB=2，AD=，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面PAB．【分析】（1）取PD的中点M，由三角形的中位线定理，结合已知条件，易证明四边形MEBF是平行四边形，且BE∥MF，结合线面平行的判定定理，即可得到BE∥平面PDF；（2）连接BD，由∵∠BAD=45°，AB=2，AD=，F为AB的中点，可得DF⊥AB，由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥DF，结合线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PDF⊥平面PAB．【解答】证明：（1）取PD的中点M，∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线，∴ME∥FB，∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF，∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，∴BE∥平面PDF．（2）连接BD，∵∠BAD=45°，AB=2，AD=，F为AB的中点，∴DF⊥AB，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DF，又由PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB，又∵DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得BE∥MF，（2）的关键是证明DF⊥平面PAB．17．抛物线y=x2上有一点A的横坐标为a，其中a∈（0，1），过点A的抛物线的切线l交x轴及直线x=1于B，C两点，直线x=1交x轴于D点．（1）求直线l的方程；（2）求△BCD的面积S（a），并求出a为何值时S（a）有最大值．【分析】（1）利用导数的运算法则可得y′，利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，进而得到切线的方程；（2）利用切线的方程即可得出点B，C的坐标，再利用三角形的面积公式，求得S（a），再由导数求得单调区间和最值，即可得出结论．【解答】解：（1）∵y=x2，∴y'=2x，可得切线l的斜率为2a，∴切线l的方程是y﹣a2=2a（x﹣a），即2ax﹣y﹣a2=0；（2）由2ax﹣y﹣a2=0，令y=0，解得x=，∴B（，0）；令x=1，解得y=2a﹣a2，即C（1，2a﹣a2），∴|BD|=1﹣，|CD|=2a﹣a2，∴△BCD的面积S（a）=（1﹣）（2a﹣a2）=（a3﹣4a2+4a），S′（a）=（3a2﹣8a+4）=（3a﹣2）（a﹣2），令S'（a）=0，∵a∈（0，1），∴a=．当0＜a＜时，S'（a）＞0；当＜a＜1时，S'（a）＜0．∴a=时，S（a）有最大值．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，导数的几何意义等是解题的关键．18．（文科班选做此题）已知a＞0，p：∀x≥1，x﹣+2≥0恒成立，q：点P（1，1）在圆（x ﹣a）2+（y﹣a）2=4的外部，是否存在正数a，使得p∨q为真；p∧q假，若存在，请求出a 的范围；若不存在，请说明理由．【分析】根据条件求出的成立的等价条件，根据复合真假关系进行判断即可．【解答】解：若：∀x≥1，x﹣+2≥0，即x+2≥，即x2+2x≥a在x≥1时成立，设f（x）=x2+2x，则f（x）=（x+1）2﹣1，当x≥1时，函数f（x）为增函数，则函数f（x）的最小值为f（1）=1+2=3，则a≤3，即p：a≤3若点P（1，1）在圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4的外部，则（1﹣a）2+（1﹣a）2＞4，即（a﹣1）2＞2，即a＞1+或a＜1﹣，若存在正数a，使得p∨q为真；p∧q假，则p，q为一真一假，则此时p：0＜a≤3，q：a＞1+，若p真q假，则，得0＜a≤1+，若p假q真，则，得a＞3，综上0＜a≤1+或a＞3．【点评】本题主要考查复合真假的应用，根据条件求出的等价条件是解决本题的关键．19．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【分析】（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sin θ==．∴平面ADC 1与ABA 1所成二面角的正弦值为．【点评】本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．20．已知函数f （x ）=（m ，n ∈R ）在x=1处取到极值2（Ⅰ）求f （x ）的解析式；（Ⅱ）设函数g （x ）=ax ﹣lnx ．若对任意的，总存在唯一的，使得g （x 2）=f （x 1），求实数a 的取值范围．【分析】（I ）由已知中，函数，易求出导函数的解析式，再由函数在x=1处取到极值2，其导函数在x=1处等0，易构造一个关于m 的方程，解方程求出m 值，即可得到f （x ）的解析式；（Ⅱ）由（I ）我们可以求出函数导函数的解析式，进而可分别出函数f （X ）的单调性，由此易判断f （x ）在区间[，2]上的值域，由对任意的，总存在唯一的，使得g （x 2）=f （x 1），及函数g （x ）=ax ﹣lnx ．我们分别对a 值与e 及e 2的关系进行分类讨论，即可得到满足条件的实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f ′（x ）==f（x）在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，f（1）=2即，解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值．故（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故f（x）在上单调递增，在（1，2）上单调递减，由，故f（x）的值域为依题意，记，∵x∈M∴（ⅰ）当a≤e时，g'（x）≤0，g（x），依题意由得，故此时（ⅱ）当e＜a≤e2时，＞＞当时，g′（x）＜0，当时，g′（x）＞0．依题意由，得，即．与a＞e矛盾（ⅲ）当a＞e2时，＜，此时g′（x）＞0，g（x）．依题意得即此不等式组无解综上，所求a取值范围为0＜a≤ e【点评】本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，函数解析式的求解及常用方法，函数在某点取得极值的条件，其中根据已知条件构造关于m的方程，进而求出函数f （x）的解析式是解答的关键．21．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的短轴为2，离心率为，直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）求△OAB面积的最大值；（3）当m∈R时，判断点G（﹣2，0）与AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，求出|y1﹣y2|以及|0N|，表示出三角形OAB面积，利用换元法以及函数的单调性求出面积的最大值；（3）设AB中点为H（x0，y0），运用中点坐标公式可得y0，再由两点的距离公式可得|GH|，再由弦长公式，可得|AB|，作差|GH|2﹣|AB|2，化简整理，即可判断G与AB为直径的圆的位置关系．【解答】解：（1）由题意可得2b=2，e==，由a2﹣b2=c2，解得b=1，a=，c=，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），由直线x=my﹣1代入椭圆的方程可得，（3+m2）y2﹣2my﹣2=0，判别式为4m2+8（3+m2）＞0恒成立，y1+y2=，y1y2=﹣，设直线与x轴的交点为N（﹣1，0），|y1﹣y2|===，S△AOB=|ON||y1﹣y2|=×1×=，令=t（t≥），则m2=t2﹣2，∴S△AOB==，∵t≥，t+是增函数，∴当t=，即m=0时，S△AOB取得最大值，最大值为=．（3）AB中点为H（x0，y0）．由（2）可得，y1+y2=，y1y2=﹣，∴y0==．G（﹣2，0），∴|GH|2=（x0+2）2+y02=（my0+1）2+y02=（1+m2）y02+2my0+1=（1+m2）++1，|AB|2=（1+m2）（y1﹣y2）2=（1+m2）[+]，故|GH|2﹣|AB|2=（1+m2）++1﹣（1+m2）[+]=＞0。
【全国市级联考word】江苏省无锡市2018届高三第一学期期末检测数学试卷(解析版)
无锡市普通高中2017年秋学期高三期终调研考试试卷数学一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．.）1.已知集合，，若，则实数__________．【答案】3【解析】,故2. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数__________．【答案】6【解析】为纯虚数，故3. 某高中共有学生2800人，其中高一年级960人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为__________．【答案】47【解析】由已知，高二年级人数为，采用分层抽样的方法，则抽取高二的人数为 .4. 已知，直线，，则直线的概率为_________．【答案】【解析】由已知，若直线与直线垂直，则，使直线的，故直线的概率5. 根据如图所示的伪代码，当输入的值为3时，最后输出的的值为__________．【答案】21【解析】由图中的伪代码逐步运算：，;①是，,，;②是，,，;③是，,，;④否，输出。
6. 直三棱柱中，已知，，，，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．【答案】【解析】是直三棱柱，，又三棱柱的所有顶点都在同一球面上，是球的直径，；，，；故该球的表面积为7. 已知变量满足，目标函数的最小值为5，则的值为__________．【答案】5【解析】如图为满足条件的可行域，由得，当直线过点时有最小值5，此时，解得坐标为，代入得 .【点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：1.在坐标系中作出可行域；2.根据目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；3. 确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从面确定最优解；4.求最值：将最解代入目标函数即可求最大值与最小值.8. 函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则__________．【答案】【解析】平移后的函数的解析式为，此时图像与函数的图像重合，故, 即.9. 已知等比数列满足，且，，成等差数列，则的最大值为__________．【答案】1024【解析】由已知得；当或时得最大值 .【点睛】本题有以下几个关键之处：1.利用方程思想求得首项和公比，进而求得通项；2.利用转化化归思想将问题转化为二次函数最值问题；3.本题易错点是忽视的取值是整数，而误取 .10. 过圆内一点作两条相互垂直的弦和，且，则四边形的面积为__________．【答案】19【解析】根据题意画出上图，连接，过作，，为的中点，为的中点，又，，∴四边形为正方形，由圆的方程得到圆心，半径，【点睛】本题的关键点有以下：1.利用数形结合法作辅助线构造正方形；2.利用勾股定理求解.11. 已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为__________．【答案】8【解析】由已知，，；又双曲线与椭圆焦点重合，离心率互为倒数，，则双曲线；在右支上，根据双曲线的定义有，，故的最小值为 .【点睛】解答本题有3个关键步骤：1、利用双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数求出曲线方程；2、利用双曲线定义求出；3、将代入整理后再利用基本不等式求出最小值.12. 在平行四边形中，，，，为的中点，为平面内一点，若，则__________．【答案】6【解析】13. 已知函数，.若存在，使得，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】当时，在恒成立在为减函数，当时；当时，.综上，欲使成立需：.【点睛】本题的解题关键是利用导数工具和函数的单调性取得函数，再利用图像的对称原原理将问题转化为，从而求得正解.14. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由已知可得，当时，要使得原命题成立需：；当时，要使得原命题成立需：.综上.二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 如图，是菱形，平面，，.（1）求证：平面；（2）求证：平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析.学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...试题解析：（1）证明：因为平面，所以.因为是菱形，所以，因为所以平面.（2）证明：设，取中点，连结，所以，且.因为，，所以且，从而四边形是平行四边形，.因为平面，平面，所以平面，即平面.16. 在中，角的对边分别为，，.（1）求的值；（2）若，求的周长.【答案】（1）.（2）15.【解析】试题分析：（1）由三角形内角关系结合两角和与差公式有，所以根据已知条件求出即可求出 . （2）根据正弦定理结合，即可求出的值，再利用余弦定理，求出的值.试题解析：（1）因为，所以.在中，因为，所以，因为，所以，所以.（2）根据正弦定理，所以，又，所以，.，.所以的周长为15.17. 如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：（1）利用扇形弧长公式求出，利用直角三角形边角关系求出，则总长为，求出为减函数，命题得证.（2）设单位成本为，则总成本为，，求出，求出，分两区间讨论的单调性，以证明为极小值点.试题解析：（1）由题意，，所以，又，所以观光专线的总长度，，因为当时，，所以在上单调递减，即观光专线的总长度随的增大而减小.（2）设翻新道路的单位成本为，则总成本，，，令，得，因为，所以，当时，，当时，.所以，当时，最小.答：当时，观光专线的修建总成本最低.【点睛】在一定条件下“成本最低”、“用料最省”、“面积最大”、“效率最高“等问题，在生产、生活中经常遇到，在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外，还可用求导法求函数的最值，但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.18. 已知椭圆的离心率为，分别为左，右焦点，分别为左，右顶点，原点到直线的距离为.设点在第一象限，且轴，连接交椭圆于点.（1）求椭圆的方程；（2）若三角形的面积等于四边形的面积，求直线的方程；（3）求过点的圆方程（结果用表示）.【答案】（1）.（2）.（3）.【解析】试题分析：（1）由离心率为，得，，利用两点坐标可得的方程为，由圆心到时直线的距离公式求得，则.（2）设，，由两点的坐标可得直线的方程，与椭圆的方程联立可得的坐标（的横、纵坐标分别是的高），代入三角形的面积公式结合面积相等的条件即得关于的方程求出，最后再将代入PA方程即可得所求. （3）所求圆的圆心为的垂直平分线的交点，利用三点的坐标即可得的垂直平分线的方程，两个方程联立即可求得圆心的坐标，再代入圆的标准方程即可得所求.试题解析：（1）因为椭圆的，所以，，所以直线的方程为，又到直线的距离为，所以，所以，，所以椭圆的方程为.（2）设，，直线的方程为，由，整理得，解得：，则点的坐标是，因为三角形的面积等于四边形的面积，所以三角形的面积等于三角形的面积，，，则，解得.所以直线的方程为.（3）因为，，，所以的垂直平分线，的垂直平分线为，所以过三点的圆的圆心为，则过三点的圆方程为，即所求圆方程为.19. 已知数列满足，，是数列的前项的和.（1）求数列的通项公式；（2）若，，成等差数列，，18，成等比数列，求正整数的值；（3）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）.（2），.（3）或14.【解析】试题分析：（1）当时，，，当时，由列是首项为2，公差为1的等差数列.（2）建立方程组，或.当，当无正整数解，综上，.（3）假设存在正整数，使得，，或，，，（舍去）或14.试题解析：（1）因为，，所以当时，，，当时，由和，两式相除可得，，即所以，数列是首项为2，公差为1的等差数列.于是，.（2）因为，30，成等差数列，，18，成等比数列，所以，于是，或.当时，，解得，当时，，无正整数解，所以，.（3）假设存在满足条件的正整数，使得，则，平方并化简得，，则，所以，或，或，解得：，或，，或，（舍去），综上所述，或14.20.已知函数，，其中.（1）求过点和函数的图像相切的直线方程；（2）若对任意，有恒成立，求的取值范围；（3）若存在唯一的整数，使得，求的取值范围.【答案】（1），.（2）.（3）.【解析】试题分析：（1）先设切点为，切线斜率为，再建立切线方程为，将代入方程可得，即，进而求得切线方程为：或.（2）将问题转化为对任意有恒成立，①当时，，利用导数工具求得，故此时；②当时，恒成立，故此时；③当时，，利用导数工具求得，故此时.综上：.（3）因为，由（2）知，当，原命题等价于存在唯一的整数成立，利用导数工具求得；当，原命题等价于存在唯一的整数成立，利用导数工具求得.综上：.试题解析：（1）设切点为，，则切线斜率为，所以切线方程为，因为切线过，所以，化简得，解得.当时，切线方程为，当时，切线方程为.（2）由题意，对任意有恒成立，①当时，，令，则，令得，，故此时.②当时，恒成立，故此时.③当时，，令，，故此时.综上：.（3）因为，即，由（2）知，令，则当，存在唯一的整数使得，等价于存在唯一的整数成立，因为最大，，，所以当时，至少有两个整数成立，所以.当，存在唯一的整数使得，等价于存在唯一的整数成立，因为最小，且，，所以当时，至少有两个整数成立，所以当时，没有整数成立，所有.综上：.数学（加试题）说明：解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21. 选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，若矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.【答案】.【解析】试题分析：先由和求得和求得，从而求得，可得.试题解析：由矩阵属于特征值的一个特征向量为可得，，即；得，由矩阵属于特征值的一个特征向量为，可得，即；得，解得.即，22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆的极坐标方程是，且直线与圆相交，求实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：由，得的方程为，求出圆心半径；由的参数方程得；与圆相交,则圆心到直线的距离，即可得.试题解析：由，得，所以，即圆的方程为，又由，消，得，由直线与圆相交，所以，即.【点睛】已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离与半径的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围.23. 某公司有四辆汽车，其中车的车牌尾号为0，两辆车的车牌尾号为6，车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车.已知两辆汽车每天出车的概率为，两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相互独立的.该公司所在地区汽车限行规定如下：（1）求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率；（2）设表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求的分布列和数学期望.【答案】（1）.（2）见解析.试题解析：（1）记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件，则：该公司在星期四最多有一辆汽车出车.∴.答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为.（2）由题意，的可能值为0，1，2，3，4；；；；..答：的数学期望为.【点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥人事件的和；二是先求对立事件的概率，进而求所求事件的概率，本题词的第（1）题采用的是法二.24. 在四棱锥中，是等边三角形，底面是直角梯形，，，是线段的中点，底面，已知.（1）求二面角的正弦值；（2）试在平面上找一点，使得平面.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）为坐标原点，建立空间直角坐标系，即可得到各点的坐标及平面的法向量为，并求得，进而求出平面的法向量为，即可求出，最后求出.（2）设，根据平面法向量定义得，即， ,再利用建立方程求得，，进而求得点的坐标.试题解析：（1）因为底面，过作，则，以为坐标原点，方向为轴的正半轴，方向为轴的正半轴，方向为轴的正半轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，，解得，又平面的法向量为，所以，所以.（2）设点的坐标为，因为平面，所以，即，也即，，又，，，所以，所以得，，即，，，所以，所以点的坐标为.。
江苏省无锡市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(有答案)
江苏省无锡市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷2018.01 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70)1,已知集合A={1,3},B={1,2,m},若AUB=B,则实数m=____________ 2.若复数ii213a -+(a ∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a=__________ 3某高中共有学生2800人,其中高一年级900人,高三年级900，用分层抽样的方法,抽取140人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为__________ 4.已知a,b ∈{1,2,3,4.5,6},直线1l :012=+-y x :2l 01=+-by ax ,则1l ⊥2l 的概率为__________5根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值为_______ 6.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB ⊥BC,AB=3，BC=4，AA 1=5,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为__________7.已知变量x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+≥c y x y x 242x ,目标函数=3x+y 的最小值为5,则c 的值为______8.函数y=cos(2x+ϕ)(0<ϕ<π)的图像向右平移2π个单位后,与函数y=sin(2x −3π)的图像重合,则ϕ=__________9.已知等比数列{a n }满足a 2a 5=2a3,且a 4,45,2a 7成等差数列,则a 1·a 2·…·a n 的最大值为________ 10过圆x 2+y 2=16内一点P(−2,3)作两条相互垂直的弦AB 和CD,且AB=CD,则四边形ACBD 的面积为__________11.已知双曲线C ：22a x −22by =1(a>0,b>0)与椭圆162x +12y 2=1的焦点重合,离心率互为倒数,设F 1,F 2分别为双曲线C 的左,右焦点,P 为右支上任意一点,则221PF PF 的最小值为__________12.在平行四边形ABCD 中,AB=4,AD=2,∠A=3π,M 为DC 的中点,N 为平面ABCD 内一点,若 |−|=|AM −|,则·=___________13.已知函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+-≤-+21),21(log 21,122122x x x x x x .g(x)= −x 2−2x −2,若存在a ∈R,使得f(a)+g(b)=0,则实数b 的取值范围是_______________14.若函数fx)=(x+1)2|x −a|在区间[−1,2]上单调递增,则实数a 的取值范围是___________ 二、解答题;{本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,)15.如图,ABCD 是菱形,DE ⊥平面ABCD,AF ∥DE,DE=2AF.(1)求证：AC ⊥平面BDE (2)求证：AC ∥平面BEF16.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,cosA=43,C=2A (1)求cosB 的值;(2)若ac=24,求△ABC 的周长17.如图,点C 为某沿海城市的高速公路出入口,直线BD 为海岸线,∠CAB=3,AB ⊥BD,是以A 为圆心,半径为1km 的圆弧型小路,该市拟修建一条从C 通往海岸的现光专线,其中P 为上异于B,C 的一点,PQ 与AB 平行,设∠PAB=θ(1)证明:观光专线的总长度随θ的增大而减小;(2)已知新建道路PQ 的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍,当θ取何值时,观光专线的修建总成本最低?请说明理由,18已知椭圆E:22a x +22by =1(a>0,b>0)的离心率为22,F 1，F 2分别为左,右焦点,A,B 分别为左,右顶点,原点O 到直线BD 的距离为36,设点P 在第一象限,且PB ⊥x 轴,连接PA 交椭圆于点C.(1)求椭圆E 的方程(2)若三角形ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积,求直线PA 的方程; (3)求过点B,C,P 的圆方程(结果用t 表示)19.已知数列{a n |满足(1−11a )(1−21a )…-(1−n a 1)=n a 1,n ∈N*,S n 是数列{a n }的前n 项的和 (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若p a ,30,S q 成等差数列,p a ,18, S q 成等比数列,求正整数P,q 的值;(3)是否存在k ∈N*,使得161++k k a a 为数列{a n }中的项?若存在,求出所有满足条件的k 的值;若不存在,请说明理由20.已知函数f(x)=xe (3x −2),g(x)=a(x −2),其中a,x ∈R (1)求过点(2,0)和函数y=f(x)图像相切的直线方程(2)若对任意x ∈R,有f(x)≥g(x)恒成立,求a 的取值范围 (3)若存在唯一的整数0x ,使得f(0x )<g(0x ),求a 的取值范围无锡市普通高中2017年秋学期高三期终调研考试卷数学(加试题)注意事项及说明;本卷考试时间30分钟,企卷满分为40分说明:鲜答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤21.(本小题满分10分)选修4-2:矩阵与变换已知矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 43,若矩阵A 属于特征值1λ的一个特征向量为=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,属于特征值2λ的一个特征向量为=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,求矩阵A22.(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==m t y t x 2321(t 是参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若圆C 的极坐标方程是ρ=4sin θ,且直线l 与圆C 相交,求实数m 的取值范围23.(本小题满分10分)某公司有A,B,C,D 四辆汽车,其中A 车的车牌尾号为0,B,C 两辆车的车牌尾号为6,D 车的车牌尾号为5,已知在非限行日,每辆车都有可能出车或不出车,已知A,D 两辆汽车每天出车的概率为43,B,C 两辆汽车每天出车的概率为21,且四辆汽车是否出车是相互独立的,该公司(1)求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率(2)设ζ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和,求ζ的分布列和数学期望24.(本小题满分10分)在四棱锥P −ABCD 中,△ABP 是等边三角形,底面ABCD 是直角梯形,∠DAB=90°,AD ∥BC,E 是线段AB 的中点,PE ⊥底面ABCD,已知DA=AB=2BC=2(1)求二面角P-CD-AB 的正弦值;(2)试在平面PCD 上找一点M,使得EM ⊥平面PCD。
2017年江苏省无锡市高二(上)期末数学试卷((有答案))AlPKwA
2016-2017学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共15小题，每小题5分，共70分）.1．（5分）若直线（a﹣2）x﹣y+3=0的倾斜角为45°，则实数a的值为．2．（5分）设一辆汽车在公路上做加速直线运动，假设t秒时的速度为v（t）=3t2﹣1米/秒，则在2秒是加速度为米/秒2．3．（5分）圆x2+y2+4x﹣4y﹣8=0与圆x2+y2﹣2x+4y+1=0的位置关系是．4．（5分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若AA1=2AB，则异面直线BD1与CC1所成角的正切值为．5．（5分）设两条直线x+y﹣2=0，3x﹣y﹣2=0的交点为M，若点M在圆（x﹣m）2+y2=5内，则实数m的取值范围为．6．（5分）若点A（﹣6，y）在抛物线y2=﹣8x上，F为抛物线的焦点，则AF的长度为．7．（5分）已知一个圆锥的侧面积是50πcm2，若母线与底面所成角为60°，则此圆锥的底面半径为．8．（5分）如果正方体、球与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等，设它们的表面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3大小关系为．9．（5分）给出下列三个命题：①若命题p：2是实数，命题q：2是奇数，则p或q为真命题；②记函数f（x）是导函数为f′（x），若f′（x0）=0，则f（x0）是f（x）的极值；③“a=3”是“直线l1：：x+ay﹣3=0，l2：（a﹣1）x+2ay+1=0平行“的充要条件．则真命题的序号是．10．（5分）（文）设f（x）=sinx﹣2cosx+1的导函数为f′（x），则f′（）=．11．（理）设向量=（2，2s﹣2，t+2），=（4，2s+1，3t﹣2），且∥，则实数s+t=．12．（5分）如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，有以下结论：①GH与EF平行；②BE与MN为异面直线；③GH与AF成60°角；④MN∥平面ADF；其中正确结论的序号是．13．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长FM交双曲线右支于点P，若M为FP的中点，则双曲线的离心率是．14．（5分）已知f（x）=ax+，g（x）=e x﹣3ax，a＞0，若对∀x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则实数a的取值范围为．15．（5分）已知直线ax+by+c=0始终平分圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0（C为圆心）的周长，设直线l：（2a﹣b）x+（2b﹣c）y+（2c﹣a）=0，过点P（6，9）作l的垂线，垂足为H，则线段CH 长度的取值范围是．二、解答题：本大题共7小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（14分）设直线l1：mx﹣2my﹣6=0与l2：（3﹣m）x+my+m2﹣3m=0．（1）若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；（2）若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，PB⊥AB且AD=AB=BP=BC．（1）求证：CD⊥平面PBD；（2）已知点Q在PC上，若AC与BD交于点O，且AP∥平面BDQ，求证：OQ∥平面APD．18．（14分）已知直线l：y=2x+n，n∈R，圆M的圆心在y轴，且过点（1，1）．（1）当n=﹣2时，若圆M与直线l相切，求该圆的方程；（2）设直线l关于y轴对称的直线为l′，试问直线l′与抛物线N：x2=6y是否相切？如果相切，求出切点坐标；如果不想切，请说明理由．19．（16分）（文科）已知m∈R，集合A={m|m2﹣am＜12a2（a≠0）}；集合B={m|方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆}，若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，求a的取值范围．20．（理科）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且=λ．（1）若λ=，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；（2）若二面角D1﹣CE﹣D为π，求λ的值．21．（16分）已知函数f（x）=lnx+﹣2，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x+y﹣3=0，求a的值；（2）求函数y=f（x）的单调区间；（3）若曲线y=f（x）都在直线（a+1）x+y﹣2（a﹣1）=0的上方，求正实数a的取值范围．22．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，过C的左焦点F1，且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是点C上异于A，B的任意一点，直线AP交直线l于点Q．①设直线OQ，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值；②当点P运动时，试判断点Q与以BP为直径的圆的位置关系？并证明你的结论．2016-2017学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共15小题，每小题5分，共70分）.1．（5分）若直线（a﹣2）x﹣y+3=0的倾斜角为45°，则实数a的值为3．【解答】解：因为直线（a﹣2）x﹣y+3=0的倾斜角为45°，所以直线的斜率为tan45°=a﹣2=1，所以a=3；故答案为：3．2．（5分）设一辆汽车在公路上做加速直线运动，假设t秒时的速度为v（t）=3t2﹣1米/秒，则在2秒是加速度为12米/秒2．【解答】解：∵v（t）=3t2﹣1，∴v'（t）=6t，根据导数的物理意义，可知t=2时物体的加速度为即为v'（2），∴v'（2）=6×2=12，故答案为：12．3．（5分）圆x2+y2+4x﹣4y﹣8=0与圆x2+y2﹣2x+4y+1=0的位置关系是相交．【解答】解：圆x2+y2+4x﹣4y﹣8=0，即（x+2）2+（y﹣2）2 =16，表示以（﹣2，2）为圆心、半径等于4的圆．圆x2+y2﹣2x+4y+1=0，即（x﹣1）2+（y+2）2=4，表示以（1，﹣2）为圆心、半径等于2的圆．两个圆的圆心距为d==5，大于两圆的半径之差而小于半径之和，故两个圆的位置关系为相交，故答案为：相交．4．（5分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若AA1=2AB，则异面直线BD1与CC1所成角的正切值为．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1∥BB1，∴∠B1BD1是异面直线BD1与CC1所成角，设AA1=2AB=2，则B1D1=，BB1=2，∴tan∠B1BD1==．∴异面直线BD1与CC1所成角的正切值为．故答案为：．5．（5分）设两条直线x+y﹣2=0，3x﹣y﹣2=0的交点为M，若点M在圆（x﹣m）2+y2=5内，则实数m的取值范围为（﹣1，3）．【解答】解：由题意可知：，解得，交点（1，1），交点M在圆（x﹣m）2+y2=5的内部，可得（1﹣m）2+1＜5，解得﹣1＜m＜3．∴实数m的取值范围为：（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．6．（5分）若点A（﹣6，y）在抛物线y2=﹣8x上，F为抛物线的焦点，则AF的长度为8．【解答】解：由于抛物线y2=﹣8x的焦点F（﹣2，0），其准线方程为x=2，该抛物线的一点A 到y轴距离为6，则点A到准线的距离为6+2=8，再由抛物线的定义可得|AF|=8，故答案为：8．7．（5分）已知一个圆锥的侧面积是50πcm2，若母线与底面所成角为60°，则此圆锥的底面半径为5．【解答】解：设圆锥的底面半径为R，则母线长为2R，∵圆锥的侧面积是50πcm2，∴50π=π×R×2R，解得R=5cm．故答案为5．8．（5分）如果正方体、球与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等，设它们的表面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3大小关系为S2＜S3＜S1．【解答】解：设球的半径为R，正方体的棱长为a，等边圆柱的底面半径为r，且它们的体积都为V，则V=，解得，a=，r=，∴S1=6×a2=6（）2=6=，S2=4πR2=4π（）2=，S3=2π=．∴S2＜S3＜S1．故答案为：S2＜S3＜S1．9．（5分）给出下列三个命题：①若命题p：2是实数，命题q：2是奇数，则p或q为真命题；②记函数f（x）是导函数为f′（x），若f′（x0）=0，则f（x0）是f（x）的极值；③“a=3”是“直线l1：：x+ay﹣3=0，l2：（a﹣1）x+2ay+1=0平行“的充要条件．则真命题的序号是①．【解答】解：对于①，因为命题p为真，∴p或q为真命题，故正确；对于②，例如函数f（x）=x3满足f′（0）=0，但f（0）不是f（x）的极值，故错；对于③，当a=0时，直线l1：：x+ay﹣3=0，l2：（a﹣1）x+2ay+1=0平行，故错；故答案为：①10．（5分）（文）设f（x）=sinx﹣2cosx+1的导函数为f′（x），则f′（）=．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx+1的导函数为f′（x）=cosx+2sinx，∴f′（）=cos+2sin=﹣+2×=，故答案为：11．（理）设向量=（2，2s﹣2，t+2），=（4，2s+1，3t﹣2），且∥，则实数s+t=．【解答】解：∵∥，∴存在实数k，使得=k，则，解得k=，s=，t=6．∴s+t=．故答案为：．12．（5分）如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，有以下结论：①GH与EF平行；②BE与MN为异面直线；③GH与AF成60°角；④MN∥平面ADF；其中正确结论的序号是③④．【解答】解：正四面体的平面展开图还原成正四面体，如图：在①中，GH与EF是异面直线，故①错误；在②中，BE与MN相交于点N，故②错误；在③中，∵GH∥AD，∴GH与AF成60°角，故③正确；在④中，∵MN∥AF，∴MN∥平面ADF，故④正确．故答案为：③④．13．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长FM交双曲线右支于点P，若M为FP的中点，则双曲线的离心率是．【解答】解：如图|OF|=c，|OM|=a，|FG|=2c；∴|F|=b，又∵M为PF的中点，|PG|=2|OM|=2a，|PF|=2b，∴|PF|﹣|PG|=2b﹣2a=2a；∴b=2a，∴c=a，∴e==．故答案为．14．（5分）已知f（x）=ax+，g（x）=e x﹣3ax，a＞0，若对∀x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则实数a的取值范围为[，+∞）．【解答】解：当x∈（0，1）时，f（x）=ax+为减函数，由f（1）=2a得：f（x）的值域为（2a，+∞），若若对∀x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则g（x）的值域B应满足（2a，+∞）⊆B，令g′（x）=e x﹣3a=0，则e x=3a，即x=ln3a，若ln3a≤1，即3a≤e，此时g（x）＞g（1）=e﹣3a，此时由e﹣3a≤2a得：≤a≤，若ln3a＞1，即3a＞e，g（x）=（1，ln3a）上为减函数，在（ln3a，+∞）上为增函数，此时当x=ln3a时，函数取最小值3a（1﹣ln3a）＜0＜2a满足条件；综上可得：实数a的取值范围为[，+∞）故答案为：[，+∞）．15．（5分）已知直线ax+by+c=0始终平分圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0（C为圆心）的周长，设直线l：（2a﹣b）x+（2b﹣c）y+（2c﹣a）=0，过点P（6，9）作l的垂线，垂足为H，则线段CH 长度的取值范围是[] ．【解答】解：由题意，圆心C（1，﹣2）在直线ax+by+c=0上，可得a﹣2b+c=0，即c=2b﹣a．直线l：（2a﹣b）x+（2b﹣c）y+（2c﹣a）=0，即a（2x+y﹣3）+b（4﹣x）=0，由，可得x=4，y=﹣5，即直线过定点M（4，﹣5），由题意，H在以PM为直径的圆上，圆心为A（5，2），方程为（x﹣5）2+（y﹣2）2=50，∵|CA|=4∴CH最小为5=，CH最大为4，∴线段CH长度的取值范围是[]．故答案为[]．二、解答题：本大题共7小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（14分）设直线l1：mx﹣2my﹣6=0与l2：（3﹣m）x+my+m2﹣3m=0．（1）若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；（2）若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程．【解答】解：（1）若l1∥l2，则，∴m=6，∴l1：x﹣2y﹣1=0，l2：x﹣2y﹣6=0∴l1，l2之间的距离d==；（2）由题意，，∴0＜m＜3，直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S=m（3﹣m）=+，∴m=时，S最大为，此时直线l2的方程为2x+2y﹣3=0．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，PB⊥AB且AD=AB=BP=BC．（1）求证：CD⊥平面PBD；（2）已知点Q在PC上，若AC与BD交于点O，且AP∥平面BDQ，求证：OQ∥平面APD．【解答】证明：（1）∵平面PAB⊥平面ABCD，PB⊥AB，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴PB⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PB，∵AD=AB=BC，∠BAD=90°，∴BD=AD，BC=2AD，∠DBC=45°，∴∠BDC=90°，∴CD⊥BD，∵PB∩BD=B，∴CD⊥平面PBD；（2）∵AP∥平面BDQ，∴AP∥OQ，∵OQ⊄平面APD，AP⊂平面APD，∴OQ∥平面APD．18．（14分）已知直线l：y=2x+n，n∈R，圆M的圆心在y轴，且过点（1，1）．（1）当n=﹣2时，若圆M与直线l相切，求该圆的方程；（2）设直线l关于y轴对称的直线为l′，试问直线l′与抛物线N：x2=6y是否相切？如果相切，求出切点坐标；如果不想切，请说明理由．【解答】解：（1）设M的方程为x2+（y﹣b）2=r2，（1，1）代入，可得1+（1﹣b）2=r2，①∵直线l与圆M相切，∴=r，②由①②可得b=3或，∴M的方程为x2+（y﹣3）2=5，或x2+（y﹣）2=，（2）因为直线l的方程为y=2x+n所以直线l′的方程为y=﹣2x+n．与抛物线联立得x2+12x﹣6n=0．△=144+24n①当n=﹣6，即△=0时，直线l′与抛物线C相切；，切点坐标为（﹣6，6）②当n≠﹣6，即△≠0时，直线l′与抛物线C不相切．19．（16分）（文科）已知m∈R，集合A={m|m2﹣am＜12a2（a≠0）}；集合B={m|方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆}，若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，求a的取值范围．【解答】解：对于集合A，由m2﹣am＜12a2，故（m﹣4a）（m+3a）＜0，对于集合B，解，解得：﹣4＜m＜2；①a＞0时，集合A：﹣3a＜m＜4a，若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，则，解得：0＜a＜；②a＜0时，集合A：a＜m＜﹣3a，若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，则，解得：﹣＜a＜0，综上：a∈（﹣，0）∪（0，）．20．（理科）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且=λ．（1）若λ=，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；（2）若二面角D1﹣CE﹣D为π，求λ的值．【解答】解：（1）设正方体的棱长为1，分别以DA、DC、DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），O（，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），D（0，0，0），设E（x0，y0，z0），∵=，∴=，∴（x0，y0，z0﹣1）=（，，﹣x0），解得x0=，y0=，z0=，E（，，），∴=（，，），CD1=（0，﹣1，1），∴cos＜，＞==，∴异面直线DE与CD1所成角的余弦值为．（2）设平面CD1E的法向量为=（x，y，z），=（，0），=（0，﹣1，1），=（0，1，0），则，取z=1，得=（1，1，1），由=λ，0≤λ≤1，得E（，，），=（，，），设平面CDE的法向量=（x，y，z），则，取x=﹣2，得=（﹣2，0，λ），∵二面角D1﹣CE﹣D为π，∴|cos|==，由0≤λ≤1，解得λ=8﹣2．21．（16分）已知函数f（x）=lnx+﹣2，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x+y﹣3=0，求a的值；（2）求函数y=f（x）的单调区间；（3）若曲线y=f（x）都在直线（a+1）x+y﹣2（a﹣1）=0的上方，求正实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣，f′（1）=1﹣a，f（1）=a﹣2，故曲线y=f（x）在（1，f（1））处的曲线方程是：y﹣（a﹣2）=（1﹣a）（x﹣1），即（a﹣1）x+y﹣2a+3=0，又曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线为：2x+y﹣3=0，故a=3；（2）由于f′（x）=，①若a≤0，对于x∈（0，+∞），f′（x）＞0恒成立，即f（x）在（0，+∞）递增，故函数的递增区间是（0，+∞）；②若a＞0，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（3）a＞0时，直线即y=﹣（a+1）x+2（a﹣1），令g（x）=f（x）﹣[﹣（a+1）x+2（a﹣1）]=lnx++（a+1）x﹣2a，g′（x）=，∵a＞0，x＞0，∴a+1＞0，x+1＞0，且∈（0，1），当0＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）在（0，）递减，x＞时，g′（x）＞0，g（x）在（，+∞）递增，故x=时，g（x）取得最小值ln+a+1+a﹣2a=1+ln，∵曲线y=f（x）都在直线（a+1）x+y﹣2（a﹣1）=0的上方，故g（x）≥0，故g（x）min=1+ln＞0，＞，a＞，故a的范围是（，+∞）．22．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，过C的左焦点F1，且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是点C上异于A，B的任意一点，直线AP交直线l于点Q．①设直线OQ，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值；②当点P运动时，试判断点Q与以BP为直径的圆的位置关系？并证明你的结论．【解答】解（1）：由离心率e===，可得a2=4b2，∵过点F 垂直于x轴的直线被椭圆所截得弦长为1，∴=1，解得b=1，a=2，∴椭圆C方程为+y2=1．（2）①证明：令P（x0，y0），点A（﹣2，0）则直线PA的方程为y=（x+2），令x=2，得y=，则Q点的坐标为（2，）∴k1=，k2=．∴k1•k2=，∵P（x0，y0）满足+y2=1，则∴k1•k2=﹣，②以BP为直径的圆的方程为（x﹣2）（x﹣x0）+y（y﹣y0）=0，把Q点（2，）代入方程左边，得（﹣y0）=4=4•=4•．（*），∵x0∈（﹣2，2），∴x0+2＞0，∴（*）＞0，∴Q与以BP为直径的圆外，。
江苏省无锡市普通高中2017届高三(上)期中数学试卷(解析版)
2016-2017学年江苏省无锡市普通高中高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.） 1．命题“若lna ＞lnb ，则a ＞b ”是 命题（填“真”或“假”）2．某工厂生产甲、乙、丙、丁4类产品共计1200件，已知甲、乙、丙、丁4类产品的数量之比为1：2：4：5，现要用分层抽样在方法从中抽取60件，则乙类产品抽取的件数为 ．3．函数y=+的定义域为 ．4．已知集合A={1，2a }，B={a ，b}，若A ∩B={}，则A ∪B= ．5．执行如图所示的流程图，则输出的M 应为 6．若复数[x-1+（y+1）i]（2+i ）=0，（x ，y ∈R ），则x+y=7．已知盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从中随机地抽取一张，记下数字后再放回，再随机地抽取一张，记下数字，则两次抽得的数字之和为3的倍数的概率为 ．8．已知向量，满足||=2，||=1，|﹣2|=2，则与的夹角为 ．9．已知x ，y 满足，若z=3x+y 的最大值为M ，最小值为m ，且M+m=0，则实数a 的值为 ．10．已知f （x ）=cos （﹣），若f （α）=，则sin α= ．11．若函数y=，在区间（﹣2，2）上有两个零点，则实数a 的范围为 ． 12．设数列{a n } 的前n 项和为S n ，已知4S n =2a n -n 2+7n （n ∈N *），则a 11= ．13．已知正实数a ，b 满足a+3b=7，则+的最小值为 ．14．已知正实数x ，y 满足+2y-2=lnx+lny ，则x y = ．二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知三点A （1，﹣1），B （3，0），C （2，1），P 为平面ABC 上的一点， =λ+μ，且•=0， •=3．（1）求•；（2）求λ+μ 的值．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点．求证： （1）BD 1∥平面EAC ；（2）平面EAC ⊥平面AB 1C ．17．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知bsinA=acosB．（1）求角B 的值；（2）若cosAsinC=，求角A的值．18．某工厂第一季度某产品月生产量分别为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y （单位：万件）与月份x 的关系．模拟函数1：y=ax++c ；模拟函数2：y=m•n x+s．（1）已知4月份的产量为13.7 万件，问选用哪个函数作为模拟函数好？（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量．19．已知数列{an } 为等比数列，等差数列{bn} 的前n 项和为Sn（n∈N*），且满足：S13=208，S 9﹣S7=41，a1=b2，a3=b3．（1）求数列{an}，{bn} 的通项公式；（2）设Tn =a1b1+a2b2+…+anbn（n∈N*），求Tn；（3）设cn =，问是否存在正整数m，使得cm•cm+1•cm+2+8=3（cm+cm+1+cm+2）．20．已知函数f（x）=，定义域为[0，2π]，g（x）为f（x）的导函数．（1）求方程g（x）=0 的解集；（2）求函数g（x）的最大值与最小值；（3）若函数F（x）=f（x）﹣ax 在定义域上恰有2个极值点，求实数a 的取值范围．2016-2017学年江苏省无锡市普通高中高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.）1．命题“若lna＞lnb，则a＞b”是真命题（填“真”或“假”）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由自然对数的定义及性质可以判定a＞b＞0的关系，从而判定命题的真假．【解答】解：∵lna＞lnb，由自然对数的定义及性质可则a＞b＞0，所以命题是真命题．故答案：真2．某工厂生产甲、乙、丙、丁4类产品共计1200件，已知甲、乙、丙、丁4类产品的数量之比为1：2：4：5，现要用分层抽样在方法从中抽取60件，则乙类产品抽取的件数为10 ．【考点】分层抽样方法．【分析】根据甲乙丙丁的数量之比，利用分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：∵甲、乙、丙、丁4类产品共计1200件，已知甲、乙、丙、丁4类产品的数量之比为1：2：4：5，∴用分层抽样的方法从中抽取60，则乙类产品抽取的件数为60×=10故答案为：103．函数y=+的定义域为[1，2] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】函数y=+有意义，只需x﹣1≥0，且2﹣x≥0，解不等式即可得到所求定义域．【解答】解：函数y=+有意义，只需x﹣1≥0，且2﹣x≥0，解得1≤x≤2，即定义域为[1，2]．故答案为：[1，2]．4．已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B={}，则A∪B= {﹣1，，1} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由集合A与B的交集求出a，b的值，再求出集合A、B和它们的并集．【解答】解：由A∩B={}得，2a=⇒a=﹣1，b=，∴A={1， }，B={﹣1， }，∴A∪B={1，﹣1， }故答案为：{﹣1，，1}．5．执行如图所示的流程图，则输出的M应为 2【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的M，i的值，当i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．【解答】解：由题意，执行程序框图，可得i=1，满足条件，则M==﹣1，i=2，满足条件，则M==，i=3，满足条件，则M==2，i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．故答案为：26．若复数[x﹣1+（y+1）i]（2+i）=0，（x，y∈R），则x+y= 0【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简得方程组，求解即可得答案．【解答】解：由[x﹣1+（y+1）i]（2+i）=0，得2x﹣y﹣3+（x+2y+1）i=0，即，解得．则x+y=0．故答案为：0．7．已知盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从中随机地抽取一张，记下数字后再放回，再随机地抽取一张，记下数字，则两次抽得的数字之和为3的倍数的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．【解答】解：易得共有3×3=9种等可能的结果，两次记下的数字之和为2的有3种，所以概率是．故答案为．8．已知向量，满足||=2，||=1，|﹣2|=2，则与的夹角为120°．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的运算律将已知等式展开，利用向量的数量积公式及向量模的平方等于向量的平方，求出向量夹角的余弦，求出夹角．【解答】解：设与的夹角为θ，∵||=2，||=1，|﹣2|=2，∴|﹣2|2=||2+4||2﹣4||•||cosθ=4+4﹣4×2×1×cosθ=12，即cosθ=﹣，∵0°≤θ≤180°，∴θ=120°，故答案为：120°．9．已知x，y 满足，若z=3x+y 的最大值为M，最小值为m，且M+m=0，则实数a 的值为﹣1 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数求出最大值和最小值，代入M=4m求得实数a的值【解答】解：解：由 x，y 满足作出可行域如图，联立，解得：A（a，a），联立，解得：B（1，1），化目标函数为直线方程斜截式y=﹣3x+z，由图可知，当直线过A（a，a）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为m=4a，当直线过B（1，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为M=4，由M+m=0，得a+4=0，即a=﹣1．故答案为：﹣110．已知f（x）=cos（﹣），若f（α）=，则sinα= ﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由已知利用两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值可求cos+sin=，两边平方后利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式可求sinα的值．【解答】解：∵f（x）=cos（﹣），若f（α）=，∴cos（﹣）=（cos+sin）=，解得：cos+sin=，∴两边平方可得：1+sinα=，解得：sinα=﹣．故答案为：﹣．11．若函数y=，在区间（﹣2，2）上有两个零点，则实数a 范围为[0，2+ln2] ．【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用分段函数判断函数的单调性，判断函数的零点，推出实数a 的范围．【解答】解：当x≤0时，y=x2﹣a≥﹣a，函数是减函数，x＞0时，y=x﹣a+lnx是增函数，在区间（﹣2，2）上有两个零点，可知分段函数，两个区间各有一个零点，可得，解得a∈[0，2+ln2]．故答案为：[0，2+ln2]．12．设数列{an } 的前n项和为Sn，已知4Sn=2an﹣n2+7n（n∈N*），则a11= ﹣2 ．【考点】数列递推式．【分析】由4Sn =2an﹣n2+7n（n∈N*）⇒4Sn﹣1=2an﹣1﹣（n﹣1）2+7（n﹣1），n≥2，两式相减可得a n +an﹣1=4﹣n（n≥2），进一步整理可得数列{an} 的奇数项是以3为首项，﹣1为公差的等差数列，从而可得答案．【解答】解：∵4Sn =2an﹣n2+7n（n∈N*），①∴4Sn﹣1=2an﹣1﹣（n﹣1）2+7（n﹣1）（n≥2，n∈N*），②①﹣②得：4an =2an﹣2an﹣1﹣2n+8，∴an+an﹣1=4﹣n（n≥2），③a n+1+an=4﹣（n+1），④④﹣③得：an+1﹣an﹣1=﹣1．又4a1=2a1﹣12+7，∴a1=3．∴数列{an} 的奇数项是以3为首项，﹣1为公差的等差数列，∴a11=3+（6﹣1）×（﹣1）=﹣2．故答案为：﹣2．13．已知正实数a，b 满足a+3b=7，则+的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】构造基本不等式的性质即可求解．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：正实数a，b，即a＞0，b＞0；∵a+3b=7，∴a+1+3（b+2）=14则，那么：（+）（）=≥=当且仅当2（a+1）=（b+2）时，即取等号．∴+的最小值为：，故答案为：．14．已知正实数x，y满足+2y﹣2=lnx+lny，则x y= ．【考点】对数的运算性质．【分析】令f（x）=﹣lnx﹣2，令g（y）=lny﹣2y，问题转化为求f（x）的最小值和g（y）的最大值，从而求出对应的x，y的值，从而求出x y的值即可．【解答】解：令f（x）=﹣lnx﹣2，则f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，∴f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，∴f（x）≥f（2）=﹣ln2﹣1，令g（y）=lny﹣2y，则g′（y）=，令g′（y）＞0，解得：y＜，令g ′（y ）＜0，解得：y ＞，∴g （y ）在（0，）递增，在（，+∞）递减，∴g （y ）≤g （）=﹣ln2﹣1，∴x=2，y=时，﹣lnx ﹣2=lny ﹣2y ， ∴x y ==，故答案为：．二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．已知三点A （1，﹣1），B （3，0），C （2，1），P 为平面ABC 上的一点， =λ+μ，且•=0， •=3．（1）求•；（2）求λ+μ 的值． 【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【分析】（1）求出的坐标，代入向量的坐标运算公式计算数量积；（2）用λ，μ表示出的坐标，根据向量的数量积公式列方程组求出λ+μ．【解答】解：（1）=（2，1），=（1，2）， ∴=2×1+1×2=4．（2）=λ+μ=（2λ+μ，λ+2μ），∵，∴，即，两式相加得：9λ+9μ=3，∴λ+μ=．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点．求证： （1）BD 1∥平面EAC ；（2）平面EAC ⊥平面AB 1C ．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质． 【分析】（1）连接BD ，交AC 于O ．连接EO ，BD 1．根据中位线可知BD 1∥OE ，又OE ⊂平面EAC ，BD 1⊄平面EAC ，根据线面平行的判定定理可知BD 1∥平面EAC ；（2）根据BB 1⊥AC ，BD ⊥AC ，BB 1∩BD=B ，满足线面垂直的判定定理，则AC ⊥平面BB 1D 1D ，又BD 1⊂平面BB 1D 1D 则BD 1⊥AC ，同理BD 1⊥AB 1，从而BD 1⊥平面AB 1C ．根据（1）可得BD 1∥OE ，从而EO ⊥平面AB 1C ，又EO ⊂平面EAC ，根据面面垂直的判定定理可知平面EAC ⊥平面AB 1C ． 【解答】证明：（1）连接BD ，交AC 于O ．连接EO ，BD 1．因为E 为DD 1的中点，所以BD 1∥OE ．又OE ⊂平面EAC ，BD 1⊄平面EAC ， 所以BD 1∥平面EAC ；（2）∵BB 1⊥AC ，BD ⊥AC ．BB 1∩BD=B ，BB 1、BD 在面BB 1D 1D 内 ∴AC ⊥平面BB 1D 1D 又BD 1⊂平面BB 1D 1D ∴BD 1⊥AC ．同理BD 1⊥AB 1，∴BD 1⊥平面AB 1C ． 由（1）得BD 1∥OE ，∴EO ⊥平面AB 1C ． 又EO ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面AB 1C ．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知bsinA=acosB ．（1）求角B 的值；（2）若cosAsinC=，求角A 的值． 【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理可得asinB=acosB ，可求tanB=，结合范围B ∈（0，π），即可得解B 的值．（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin （2A+）=﹣，结合A 的范围，可得2A+∈（，），从而可求A 的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵由正弦定理可得：bsinA=asinB ，又∵bsinA=acosB ，∴asinB=acosB ，∴tanB=，∵B ∈（0，π），∴B=…6分 （2）∵cosAsinC=，∴cosAsin （﹣A ）=，∴cosA （cosA+sinA ）=×+sin2A=，∴sin （2A+）=﹣，∵A ∈（0，），可得：2A+∈（，），∴2A+=，可得：A=…14分18．某工厂第一季度某产品月生产量分别为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y （单位：万件）与月份x 的关系．模拟函数1：y=ax++c ；模拟函数2：y=m •n x +s ．（1）已知4月份的产量为13.7 万件，问选用哪个函数作为模拟函数好？（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量． 【考点】函数模型的选择与应用． 【分析】（1）用待定系数法，求出函数的解析式，即可得出结论； （2）确定用模拟函数2好，再进行预测即可．【解答】解：（1）模拟函数1：y=ax++c ，，∴a=，b=﹣3，c=，∴y=，∴x=4，y=13.75；模拟函数2：y=m •n x +s ，，∴m=﹣8，n=，s=14，∴y=14﹣23﹣x ，∴x=4，y=13.5，∴用模拟函数1好；（2）模拟函数1：y=，是单调递增函数，x=12时，生产量远多于他的最高限量；模拟函数2，单调递增，但生产量y ＜14，不会超过15万件，所以用模拟函数2好，x=6，y=13.875，即预测6月份的产量为13.875万件．19．已知数列{a n } 为等比数列，等差数列{b n } 的前n 项和为S n （n ∈N * ），且满足：S 13=208，S 9﹣S 7=41，a 1=b 2，a 3=b 3．（1）求数列{a n }，{b n } 的通项公式； （2）设T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n （n ∈N * ），求T n ；（3）设c n =，问是否存在正整数m ，使得c m •c m+1•c m+2+8=3（c m +c m+1+c m+2）．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）根据等差数列的前n 项公式和S 9﹣S 7=41，即可求出a n ．再利用a 1=b 2，a 3=b 3，可知公比，进而可得{b n } 的通项公式；（2）通过错位相减法即可求出前n 项和， （3）分类讨论，计算即得结论． 【解答】解：（1）等差数列{b n } 的前n 项和为S n （n ∈N * ），且满足：S 13=208，S 9﹣S 7=41，即解得b 7=16，公差为3∴b 1=﹣2，b n =3n ﹣5，∵a 1=b 2=1，a 3=b 3=4，数列{a n } 为等比数列，∴a n =2n ﹣1，n ∈N* （2）T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =﹣2×1+1×2+…+（3n ﹣5）2n ﹣1，① ∴2T n =﹣2×2+1×22+…+（3n ﹣5）2n ，②①﹣①得T n =﹣2+3（2+22+…+2n ﹣1）-（3n-5）2n =3×（2n ﹣2）-（3n ﹣5）2n =（8-3n ）2n -8， ∴T n =（3n ﹣8）2n +8，n ∈N *（3）∵设c n =，当m=1时，c 1•c 2•c 3+8=1×1×4+8=12，3（c 1+c 2+c 3）=18，不相等， 当m=2时，c 2•c 3•c 4+8=1×4×7+8=36，3（c 2+c 3+c 4）=36，成立， 当m ≥3且为奇数时，c m ，c m+2为偶数，c m+1为奇数，∴c m •c m+1•c m+2+8为偶数，3（c m +c m+1+c m+2）为奇数，不成立， 当m ≥4且为偶数时，若c m •c m+1•c m+2+8=3（c m +c m+1+c m+2）， 则（3m ﹣5）•2m •（3m+1）+8=3（3m ﹣5+2m +3m+1），即（9m 2﹣12m ﹣8）2m=18m ﹣20，（*）∵（9m 2﹣12m ﹣8）2m ≥（9m 2﹣12m ﹣8）24＞18m ﹣20， ∴（*）不成立，综上所述m=2． 20．已知函数f （x ）=，定义域为[0，2π]，g （x ） 为f （x ） 的导函数．（1）求方程g （x ）=0 的解集；（2）求函数g （x ） 的最大值与最小值；（3）若函数F （x ）=f （x ）﹣ax 在定义域上恰有2个极值点，求实数a 的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）f ′（x ）=﹣+，由方程g （x ）=0 得=0，由此能求出方程g （x ）=0 的解集．（2）+﹣=﹣2×，令g ′（x ）=0，解得x=或x=，由此利用导数性质能求出g （x ）的最值．（3）函数F （x ）=f （x ）﹣ax 在定义域上恰有2个极值点，等价于y=a 的图象恰恰有两个交点，由此利用分类讨论思想能求出实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）∵f （x ）=，定义域为[0，2π]，∴f ′（x ）=﹣+，∵g （x ） 为f （x ） 的导函数，∴由方程g （x ）=0 得=0，解得，或x=，∴方程g （x ）=0 的解集为{，}．（2）∵+﹣=﹣2×，令g ′（x ）=0，解得x=或x=， ）（， （，π）∴g （x ）的最大值为g （0）=1，∴g （x ）的最小值为g （）=﹣．（3）∵﹣a=g （x ）﹣a ，∴函数F （x ）=f （x ）﹣ax 在定义域上恰有2个极值点，等价于g （x ）﹣a=0在定义域外上恰有两个零点且零点处异号，即y=a 的图象恰恰有两个交点，由（2）知F ′（0）=g （0）﹣a=1﹣a ， F ′（2π）=g （2π）﹣a=e ﹣2π﹣a ，，F ′（2π）=g （2π）﹣a=e ﹣2π﹣a ， 若，则F ′（2π）＜0，∴F ′（x ）=0只有一个零点，不成立．∴．若，即a=在x=处同号，不成立；若F ′（2π）≤0，则F ′（x ）=0有3个零点，不成立． ∴只有F ′（2π）＞0，∴满足条件为：，解得＜a＜e﹣2π或a=．∴实数a 的取值范围是{a|＜a＜e﹣2π或a=}．。
2020届江苏省无锡市2017级高三上学期期末考试数学试卷及解析
2020届江苏省无锡市2017级高三上学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一､填空题1.集合{|21,}A x x k k Z ==-∈,{1,2,3,4}B =,则A B =_____.【答案】{1,3}【解析】分析出集合A 为奇数构成的集合,即可求得交集.【详解】因为21,k k Z -∈表示为奇数,故A B ={1,3}.故答案为：{1,3}2.已知复数z a bi =+(),a b ∈R ,且满足9iz i =+（其中i 为虚数单位）,则a b +=____.【答案】8-【解析】计算出2iz ai bi b ai =+=-+,两个复数相等,实部与实部相等,虚部与虚部相等,列方程组求解.【详解】2iz ai bi b ai =+=-+,所以1,9a b ==-,所以8a b +=-.故答案为：-83.某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间,有7人用时为6分钟,有14人用时7分钟,有15人用时为8分钟,还有4人用时为10分钟,则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟.【答案】7.5【解析】分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数. 详解】76+147+1584107.5714154⨯⨯⨯+⨯=+++ 故答案为：7.54.函数()(1)3x f x a =--(1,2)a a >≠过定点________.【答案】(0,2)-【解析】令0x =,(0)132f =-=-,与参数无关,即可得到定点.【详解】由指数函数的性质,可得0x =,函数值与参数无关,所有()(1)3x f x a =--过定点(0,2)-.故答案为：(0,2)-5.等差数列{}n a （公差不为0）,其中1a ,2a ,6a 成等比数列,则这个等比数列的公比为_____.【答案】4【解析】根据等差数列关系,用首项和公差表示出2216a a a =,解出首项和公差的关系,即可得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,由题意得: 2216a a a =,则2111(+)(5)a d a a d =+整理得13d a =,2114a a d a =+=,所以21=4a a 故答案为：46.小李参加有关“学习强国”的答题活动,要从4道题中随机抽取2道作答,小李会其中的三道题,则抽到的2道题小李都会的概率为_____. 【答案】12【解析】从四道题中随机抽取两道共6种情况,抽到的两道全都会的情况有3种,即可得到概率.【详解】由题：从从4道题中随机抽取2道作答,共有246C =种,小李会其中的三道题,则抽到的2道题小李都会的情况共有233C =种, 所以其概率为23241=2C C . 故答案为：12。
江苏省无锡市2017届高三第一学期期末考试物理试卷
无锡市2016年秋学期高三期末考试试卷物理命题单位：江阴市教师发展中心制卷单位：无锡市教科院一．单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分。
每小题只有一个．．．．选项符合题意。
1.如图，物块静置于倾斜角为θ的斜面上。
对物块施加一个垂直于斜面向下的恒力F ，斜面和物块均保持静止，地面受到的摩擦力大小为f 。
若将F 大小不变地改为沿斜面向上，斜面和物块仍保持静止，则地面受到的摩擦力大小为A. fsin θ B.fcos θC. ftan θD.tanf 2.据《当代天文学》2016年11月17日报道，被命名为“开普勒11145123”的恒星距离地球5000光年，其赤道直径和两极直径仅相差6公里，是迄今为止被发现的最圆天体。
若该恒星的体积与太阳的体积之比约为k 1，该恒星的平均密度与太阳的平均密度之比约为k 2，则该恒星的表面重力加速度与太阳的表面重力加速度之比约为A.231k k B.2321k k C.312k k D.3212k k 3.如图，交流电源的电动势有效值与直流电源的电动势相等，两电源的内阻均可忽略，三个灯泡是完全相同的，分别与定值电阻、电感器和电容器相接。
当S 接1时三个灯泡的亮度相同，那么S 接2时A.三个灯泡亮度相同B.甲灯比乙灯亮，丙灯不亮C.甲灯比乙灯暗，丙灯不亮D.甲灯和乙灯亮度相同，丙灯不亮~1 2SRL C 甲乙丙注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1、本试卷共6页，包含选择题（第1题～第9题，共9题）、非选择题（第10题～第16题，共7题）两部分。
本卷满分120分，答题时间为100分钟。
2、作答选择题时必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
3、如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。