2017-2018学年山西省临汾一中高一(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2017-2018学年山西省临汾一中高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.sin210°的值为（）A. B. C. D.2.已知集合A={x|x2-2x＞0}，B={x|-＜x＜}，则（）A. B. C. D.3.等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A. 8B. 10C. 12D. 144.函数f（x）=的零点所在的区间是（）A. B. C. D.5.若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.6.设α角的终边上一点P的坐标是（-3，-4），则cosα等于（）A. B. C. D.7.如图所示，在△ABC中，BD=2CD，若，，则=（）A.B.C.D.8.已知函数，给出下列结论正确的是（）A. 的最小正周期是B. 的一条对称轴是C. 的一个对称中心是D. 是奇函数9.若函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象（部分）如图所示，则ω和φ的取值是（）A. ，B. ，C. ，D. ，10.已知函数f（x）=cos（4x-）+2cos2（2x），将函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的一个单调递增区间为（）A. B. C. D.11.设a＞0，b＞0，A（1，-2），B（a，-1），C（-b，0），若A，B，C三点共线，则的最小值是（）A. B. C. 6 D. 912.数列{a n}满足：a1=2，a n+1=（n∈N*）其前n项积为T n，则T2014=（）A. B. C. D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足，则z=x+y的最小值为______．14.若等比数列{a n}满足a1+a4=10，a2+a5=20，则q=______．15.已知＜β＜α＜，cos（α-β）=，sin（α+β）=-，则cos2α=______．16.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量，，，．（1）若 ∥，求的值；（2）若θ=45°，2与垂直，求实数t的值．18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．19.已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．20.某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为：非低碳族“，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图，并求n，a，p的值；（2）从[40，50）岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，求选取的3名领队中年龄都在[40，45）岁的概率．21.设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n试比较S n与6的大小．22.已知定义域为R的函数是奇函数，（1）求a，b的值；（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：sin210°=sin（180°+30°）=-sin30°=-．故选：B．所求式子中的角度变形后，利用诱导公式化简即可求出值．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|x2-2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或-＜x＜0}，A B=R，故选：B．根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A B．本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，∴公差d=a2-a1=4-2=2，∴a6=a1+5d=2+5×2=12，故选：C．由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4.【答案】C【解析】解：由函数的解析式可得f（1）=-log41=＞0，f（2）=-log42=-=-＜0，故有f（1）f（2）＜0，故函数零点所在的区间是（1，2），故选：C．由函数的解析式求得f（1）f（2）＜0，根据函数零点的判定定理求得函数零点所在的区间．本题主要考查函数零点的判定定理、求函数的值，属于基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本小题主要考查不等关系与不等式、不等关系与不等式的应用、不等式的基本性质等基础知识，属于基础题．本选择题利用取特殊值法解决，即取符合条件的特殊的a，b的值，可一一验证A，B，D不成立，而由不等式的基本性质知C成立，从而解决问题．【解答】解：对于A，取a=1，b=-1，即知不成立，故错；对于B，取a=1，b=-1，即知不成立，故错；对于D，取c=0，即知不成立，故错；对于C，由于c2+1＞0，由不等式基本性质即知成立，故对；故选：C．6.【答案】B【解析】解：∵α角的终边上一点P的坐标是（-3，-4），∴x=-3、y=4，r=|OP|=5，则cosα==-，故选：B．利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：=+=+=+（-）=+=，故选：C．根据向量的三角形的法则和向量的加减的几何意义即可求出．本题考查了向量的加减混运算和向量的数乘运算，属于基础题8.【答案】D【解析】解：对于函数=sin（2x+），它的最小正周期为=π，故排除A；令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，可得它的对称轴方程为x=+，k∈Z，故排除B；令2x+=kπ，求得x=-，k∈Z，可得它的对称中心为（-，0），k∈Z，故排除C；根据f（x-）=sin[2（x-）+]=sin2x，为奇函数，故选：D．利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再正弦函数的周期性、奇偶性、以及图象的对称性，得出结论．本题主要考查二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性、奇偶性、以及图象的对称性，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由图象知，T=4（+）=4π=，∴ω=．又当x=时，y=1，∴sin（×+φ）=1，+φ=2kπ+，k∈Z，当k=0时，φ=．故选：C．由图象知函数f（x）的最小正周期是4π，进而求得w，再根据f（）=1求得φ．本题主要考查利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象来确定函数解析式得问题．要注意观察图象的周期、与x轴y轴的交点，利用这些特殊点来求．10.【答案】B【解析】解：函数f（x）=cos（4x-）+2cos2（2x）=cos（4x-）+cos4x+1=cos4x+sin4x+cos4x+1=sin4x+cos4x+1=sin（4x+）+1，将函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得：y=sin（2x+）+1的图象，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）=sin（2x）+1的图象，由2x∈[-+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：x∈[-+kπ，+kπ]，k∈Z，当k=0时，[-，]是函数y=g（x）的一个单凋递增区间，故选：B．先利用和差角公式和降次升角公式，化简函数f（x）的解析式，再根据函数图象的周期变换及相位变换法则，求出函数y=g（x）的解析式，结合正弦型函数的图象和性质，可得答案．本题考查的知识点是和差角公式和降次升角公式，函数图象的周期变换及相位变换，正弦型函数的图象和性质，难度中档．11.【答案】D【解析】解：由题意得：=（a-1，1），=（-b-1，2）．又∵A、B、C三点共线，∴∥，从而（a-1 ）×2-1×（-b-1）=0，∴可得2a+b=1．又∵a＞0，b＞0∴+=（+）•（2a+b）=5+（+）≥5+4=9，当且仅当时取等，即时取等,故选D．根据题意首先求出和的坐标，再根据两个向量共线的性质得到2a+b=1，然后结合所求的式子的结构特征利用基本不等式求出其最小值．解决此类问题的关键是熟练掌握向量共线与点共线之间的关系，以及两个向量共线时坐标形式的运算公式，考查基本不等式的应用，此题得到2a+b=1是解题的关键．12.【答案】A【解析】解：∵a1=2，a n+1=（n∈N*），∴a2=-3，a3=-，a4=，a5=2，…，∴数列{a n}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4=1，∵2014=4×503+2，∴T2014=-6．故选：A．根据数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N*），可得数列{a n}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4=1，即可得出结论．本题考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，确定数列{a n}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4=1是关键．13.【答案】1【解析】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为，由图可知，当直线过C（0，1）时直线在y轴上的截距最小．此时．故答案为：1．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.【答案】2【解析】解：∵等比数列{a n}满足a1+a4=10，a2+a5=20，∴a2+a5=q（a1+a4）=10q=20，解得q=2．故答案为：2．由已知条件，利用等比数列的通项公式得到a2+a5=q（a1+a4），由此能求出公式q．本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．15.【答案】-【解析】解：∵＜β＜α＜，∴0<α-β<,<α+β<∵cos（α-β）=，∴sin（α-β）==，∵sin（α+β）=-，∴cos（α+β）=-=-，则cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α-β）sin（α+β）=-•-•（-）=，故答案为：-．利用同角三角函数的基本关系求得sin（α-β）和cos（α+β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．16.【答案】【解析】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=，在△ABD中，AB=3，AD=3，根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cos∠BAD=18+9-24=3，则BD=．故答案为：由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用诱导公式化简sin∠BAC，求出cos∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD 及cos∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长．此题考查了余弦定理，诱导公式，以及垂直的定义，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17.【答案】解：（1）∵，，，，且 ∥，∴sinθ=4cosθ，即tanθ=4，∴=；（2）∵θ=45°，∴，，∴2=，，=（3，-1），∵2与垂直，∴，即t=．【解析】（1）由已知列式求得tanθ，化弦为切可得的值；（2）由θ=45°，求得2与的坐标，再由向量垂直的坐标运算列式求得t值．本题考查平面向量平行与垂直的坐标运算，是基础的计算题．18.【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0由正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）=sin C，整理得：2cos C sin（A+B）=sin C，即2cos C sinC=sin C∴cos C=，又∵ ∈，∴C=.（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2-2ab•，∴（a+b）2-3ab=7，∵S=ab sin C=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2-18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【解析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b 的值，即可求△ABC的周长．19.【答案】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由a1=2和a2，a3，a4+1成等比数列，得（2+2d）2-（2+d）（3+3d），解得d=2，或d=-1，当d=-1时，a3=0，与a2，a3，a4+1成等比数列矛盾，舍去．∴d=2，∴a n=a1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．即数列{a n}的通项公式a n=2n；（Ⅱ）由a n=2n，得b n==，∴S n=b1+b2+b3+…+b n==．【解析】（Ⅰ）设出数列{a n}的公差，由已知条件列式求出公差，则数列{a n}的通项公式可求；（Ⅱ）把数列{a n}的通项公式代入b n=，整理后利用裂项相消法求数列{b n}的前n项和S n．本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，解答此题的关键是对数列{b n}的通项进行裂项，是中档题．20.【答案】解：（1）第二组的概率为1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以高为．频率直方图如下：第一组的人数为，频率为0.04×5=0.2，所以．由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3=300，所以，第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．（2）因为[40，45）岁年龄段的”低碳族“与[45，50）岁年龄段的”低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40，45）岁中有4人，[45，50）岁中有2人．由于从6人中选取3人作领队的所有可能情况共=20种，其中从[40，45）岁中的4人中选取3名领队的情况有4种，故所求概率为．【解析】（1）由频率分布直方图求出第二组的概率，由此能补全频率分布直方图，并求n，a，p的值．（2）采用分层抽样法抽取6人，[40，45）岁中有4人，[45，50）岁中有2人．由此能求出选取的3名领队中年龄都在[40，45）岁的概率．本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．21.【答案】解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0，a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13，可得，解得d=q=2，则a n=1+（n-1）d=2n-1，b n=q n-1=2n-1；（2）=（2n-1）•（）n-1，S n=1•（）0+3•（）1+5•（）2+…+（2n-3）•（）n-2+（2n-1）•（）n-1，S n=1•（）+3•（）2+5•（）3+…+（2n-3）•（）n-1+（2n-1）•（）n，上面两式相减可得，S n=1+2[（）+（）2+（）3+…+（）n-1]-（2n-1）•（）n=1+2•-（2n-1）•（）n，化简可得，S n=6-（2n+3）•（）n-1，则S n＜6．【解析】（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程即可得到d=q=2，即可得到所求通项公式；（2）求得=（2n-1）•（）n-1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理可得S n，再由不等式的性质，即可得到S n与6的大小．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的求和方法：错位相减法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即=0⇒b=1；∴f（x）=；又∵定义域为R，则有f（-1）=-f（1），可得：=-⇒a=2；经检验：f（x）是奇函数，满足题意．所以a，b的值分别为2，1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）==-+，易知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；又因f（x）是奇函数，从而不等式：f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0等价于f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（k-2t2），因f（x）为减函数，f（t2-2t）＜f（k-2t2），得：t2-2t＞k-2t2即对一切t∈R有：3t2-2t-k＞0，开口向上，从而判别式△=4+12k＜0⇒k＜-即k的取值范围是 ，【解析】（1）根据奇函数的性质，定义域包括0，则有f（0）=0，定义域为R，f（-1）=-f（1）即可求得a，b的值．（2）将f（t2-2t）+f（2t2-k）0变形为：f（t2-2t）+＜-f（2t2-k），因为f（x）是奇函数，-f （2t2-k）=-f（k-2t2），在利用f（x）减函数解不等式即可本题考查了函数的基本性质和奇函数的运用能力．属于中档题．。