群与子群

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代数学基础课件群和子群的基本概念

课件群的概念
课件群是指在特定运算下满足群运算性质的集合。
课件群的例子
常见的课件群包括整数集合和实数集合。
子群
1 子群的定义
子群是群的一个子集，且在相同的运算下也构成一个群。
2 子群的性质
子群继承了群的运算性质，同时具有自身的特性。
3 子群的例子
在整数集合中，偶数集合是一个子群。
直积群
直积群的概念
代数学基础课件群和子群的基本概念
代数学基础课件群和子群的基本概念。探索代数学定义、代数系统、群的概念、群运算性质以及课件群和子群的例子。
代数学基础
代数学的定义和代数系统的介绍。
课件群
群的定义
群是一种代数结构，包含一组操作和一组运算规则。
群运算的性质
群运算满足封闭性、结合律、单位元、逆元等性质。
结论
本节课的总结
学习了代数学基础、课件群和子群的定义以及直积群和同构的概念。
拓展阅读
深入了解群论的应用以及其他高级代数学概念。
问题与讨论
探讨群的运算性质和子群的判定方法。
直积群是由多个群的元素按照一定方式组合而成的群。
直积群的性质
直积群的运算满足封闭性、结合律等性质。
直积群的例子
两个整数集合的直积可构成一个直积群。
群的同构
1
同构的定义
同构是指两个群之间存在一一对应的映
同构的性质
2
射，保持群运算。
同构保持群的基本性质，如单位元和数乘法群是同构的。

群论中的群和子群

群论是数学中一个重要的分支，研究的是群及其性质与结构。

而群则是具备代数结构的一个集合，其中包含了运算和运算规则。

本文将介绍群论中的群和子群的概念以及一些重要性质和例子。

在群论中，群被定义为一个集合G和一个二元运算组成的代数结构，满足以下四个性质：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。

具体地说，对于群G中的任意两个元素a和b，它们的运算结果a和b也在G中。

此外，群运算必须满足结合律，即(a b)c=a(b c)。

群中必须存在一个单位元e，使得对于任意的元素a，a e=e a=a。

最后，对于每个元素a都必须存在一个逆元a^-1，使得a a-1=a-1*a=e。

这些性质使得群成为一个具有一定代数结构的集合。

群的一个重要概念是子群。

子群是指一个群G的一个非空子集H，其本身也构成一个群，且H中包含了G的运算。

换句话说，子群是群中封闭的子集。

子群的一个重要性质是它必须包含群G的单位元。

此外，子群中的每个元素都必须同时是群G中元素的逆元。

例如，对于一个群G，它的子集H如果同时满足封闭性、含有单位元以及对于每个元素a都有a^-1也在H中，则H是G的一个子群。

对于子群的性质，我们可以得到以下结论：首先，子群的运算是满足结合律的。

这是因为子群是通过继承原群的运算所得到的，而原群的运算满足结合律。

其次，子群的单位元是原群的单位元。

这是因为子群必须包含原群的单位元，所以它的单位元一定与原群的单位元相同。

最后，子群的逆元也是原群的逆元。

这是因为子群必须包含原群中每个元素的逆元，所以子群的逆元一定与原群的逆元相同。

我们可以通过一些具体的例子进一步理解群和子群的概念。

例如，整数集合Z构成一个群，以加法作为运算。

在Z中，任意两个整数的和仍然是一个整数，满足封闭性。

0是Z中的单位元，对于任意整数a，有-a是它在Z中的逆元。

Z的非负整数集合N构成Z的一个子群，它的单位元是0，而逆元只能是自身或者0。

总结起来，群论中的群和子群是讨论群结构的两个基本概念。

高等数学中群与群作用教材

高等数学中群与群作用教材引言：高等数学是大学数学的一门重要学科，其中的群论理论和群作用是其中的重要内容。

群论是数学中一门独立的代数学科，研究代数结构中的群及其性质。

群作用则是研究群在集合上的作用方式及其性质。

本篇文章将详细介绍高等数学教材中关于群与群作用的内容。

一、群的定义及基本性质群是指一个集合G和一个二元运算∗构成的代数结构，并满足以下四个条件：1. 封闭性：对于任意两个元素a和b，它们的运算结果a∗b也属于集合G；2. 结合律：对于任意三个元素a、b和c，有(a∗b)∗c = a∗(b∗c)；3. 存在单位元素：存在一个元素e，称为单位元，对于任意元素a，都有a∗e = e∗a = a；4. 存在逆元素：对于任意元素a，存在一个元素a'，称为逆元素，满足a∗a' = a'∗a = e。

在高等数学教材中，会对群的定义进行详细解释，并给出一些例子，如自然数集上的加法群、整数集上的乘法群等。

此外，还会探讨群的基本性质，如唯一性、单位元的唯一性以及逆元素的唯一性等。

二、子群和陪集1. 子群的定义：若集合H是群G的子集，并且在H上的运算仍然是G上的运算，则称H为G的子群。

子群必须满足以下三个条件：a) 封闭性：对于任意两个元素a和b，它们的运算结果a∗b也属于H；b) 单位元存在性：H中存在单位元，即H中的某个元素与G的单位元相等；c) 逆元存在性：对于H中的任意元素a，存在其逆元素在H中。

2. 陪集的定义：对于给定的群G和其子群H，对于群G中的任意元素a，称形如aH的集合为左陪集，称形如Ha的集合为右陪集。

其中H为G的子群的代表元素。

在教材中，会详细介绍子群和陪集的概念，并给出一些简单的例子，帮助学生理解。

三、群作用及其应用1. 群作用的定义：给定一个群G和一个集合X，若存在一个映射C：G×X→X，满足下列性质：a) 对于任意元素x∈X，有e∗x=x，其中e为G的单位元；b) 对于任意元素a、b∈G和任意元素x∈X，有(ab)∗x=a∗(b∗x)。

子群名词解释

子群的概念和性质一、子群的定义子群是指一个群中的一部分元素构成的集合。

具体来说，设 G 是一个群，H 是 G 的一个子集，如果 H 中的所有元素都可以用 G 中元素的组合来表示，那么 H 就称为 G 的一个子群，记作 gH，其中 g 是 G 中的任意元素。

举个例子，设 G 是一个由三个元素{1,2,3}构成的群，H={1,2}。

那么 H 就是一个子群，因为 H 中的所有元素都可以用 G 中元素的组合来表示，即 H={1,2}={1,2,3}。

二、子群的性质子群有许多重要的性质。

下面我们来介绍一下子群的交叠、子群的补集、子群的子群等。

1. 子群的交叠设 G 是一个群，H 是 G 的一个子群，K 是 G 的另一个子群。

那么，H 和 K 的交叠 (即 H 和 K 的交集) 是一个子群，称为 H 和K 的交叠子群。

举个例子，设 G 是一个由三个元素{1,2,3}构成的群，H={1,2},K={1,3}。

那么，H 和 K 的交叠={1,2},是一个子群。

2. 子群的补集设 G 是一个群，H 是 G 的一个子群。

那么，H 的补集是指 G 中所有不等于 H 的子群的集合。

举个例子，设 G 是一个由三个元素{1,2,3}构成的群，H={1,2}。

那么，H 的补集包括 G 的所有其他子群，即 G={1,2,3}。

3. 子群的子群设 G 是一个群，H 是 G 的一个子群。

那么，H 的子群是指 H 中所有元素的集合，即 H 的补集。

举个例子，设 G 是一个由三个元素{1,2,3}构成的群，H={1,2}。

那么，H 的子群包括 G 的所有其他子群，即 G={1,2,3}。

三、子群的应用子群在群论中有着广泛的应用。

下面我们来介绍一下子群在群论中的三大应用。

1. 子群的交叠可以用于证明群的同构定理。

2. 子群的补集可以用于证明群的分解定理。

3. 子群的子群可以用于证明群的同态定理。

17+代数学基础(1)群和子群的基本概念省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

举例
下面，我们给出群旳某些详细例子。
群旳例子（1）
整数集 Z 在加法下构成群，记为(Z, +). (Z, +)是一种无限群、阿贝尔群。
有理数集Q、实数集R和复数集C有关加法都形成无限群。单位元，逆元素旳定义与整数加法群相同。
群旳例子（2）
Q、R 和 C中旳非零元素在乘法下构成群。将这些群分别记为Q*、R*和C*。
i
记为 a i G 。
注释：（1）a i G 只是将 a 与自身做 i 1次群运算的结果，整数 i 和 a 之间
的“运算”并不是群运算。
（2）一些群习惯上写成加法群，例如（Zn，+(mod n)）。对于这些群，a i
就是 i a ，但简化写法中的“点”并不是群运算，整数 i 也不一定
是群中的元素。
注:
此处，首先应阐明商群上旳运算是一种二元运算。实际上，商群上旳运算能够看作集合之间旳乘法运算，因
为： (a H ) (b H ) (a b) H
商群旳例子(1)
设 n>0 是一种整数，在加法运算下，集合 nZ={0, n, -n, 2n, -2n,…}是Z旳一种子群，那么商群 Z/nZ={x+nZ | x为任一整数} 有n个元素，即
对于群 G 旳一种非空子集H，要鉴别H是否是 G旳子群，需要验证4条：
封闭性结合律（不必验证）单位元逆元素
子群旳例子（1）
在加法运算下，Z Q R C.
注意，在这个例子中：
子群中旳单位元和群中旳单位元相同，都是0 子群中元素旳逆元素和群中该元素旳逆元素一致
子群旳例子（2）
代数学基础
内容提要
群环和域有限域
群
一般来说，一种代数构造是指一种非空集合S以及定义在S上旳二元运算旳总体，要求二元运算满足一定旳条件。

代数学基础课件群和子群的基本概念

对于群中的任意元素a，都存在一个元素b，使得
a*b=b*a=e，其中e为单位元。
群的例子
01
02
03
整数加法群
整数集合和加法运算，单位元为0，逆元为-a。
矩阵乘法群
n阶矩阵集合和乘法运算，单位元为单位矩阵，逆元为矩阵的逆。
置换群
n个元素的集合和所有可能的置换，单位元为恒等置换，逆元为元素的逆置置换。
要点一
总结词
向量表示法是将群中的元素表示为向量，利用向量的加法、数乘和向量的模等性质来描述群的结构和性质。
要点二
详细描述
向量表示法适用于连续群或无限群，通过将群中的元素表示为向量，可以更好地描述群的连续性和无穷性。这种方法在物理学、工程学等领域有广泛应用。
符号表示法
总结词
符号表示法是一种简洁的表示群和子群的方法，通过符号的组合和运算规则来描述群的结构和性质。
群具有单位元和逆元，满足结合律、交换律和幺半群的定义。
群的基本性质
01
02
03
04
封闭性
群中的任意两个元素通过二元运算得到的仍然是群中的元素
。
结合律
群中的任意三个元素按照任意顺序进行二元运算，结果都相
等。
单位元存在
存在一个元素e，使得对于群中的任意元素a，都有 e*a=a*e=a。
逆元存在
单位元
群中存在一个单位元e，使得对于群中任意元素a，都有ea=a和ae=a。
逆元
群中任意元素a都存在一个逆元a'，使得aa'=e和 a'a=e。
子群的运算规则
子群必须是封闭的
子群必须具有逆元
子群中的元素按照群中的运算规则进行组合时，结果仍属于子群。

子群的乘积是子群的判定条件

研究群的子群的乘积是子群的判定条件摘要本次论文研究的题目是子群与子群的乘积是子群的充要条件是什么，所以我们首先要了解子群的定义。

子群，子群！从字面意义上知子群是群的一个子集，所以又必须知道群的定义。

在了解群与子群的定义后，再发现群与子群的性质，掌握群的代数运算，子群与子群之间的代数运算。

现在我所研究的是在已经知道子群与子群的乘积是子群的充要条件下，研究三个子群的乘积是子群的充要条件。

关键字：群子群子群与子群的乘积一、群的定义定义1设G是一个非空集合，⊕是它的一个代数运算，如果满足一下条件：Ⅰ.结合律成立，即对G中任意元素a,b,c都有(a⊕b) ⊕c=a⊕(b⊕c);Ⅱ.G中有元素e，叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e⊕a=a;Ⅲ.对G中每个元素a，在G中都有元素，叫做a的左逆元，使b⊕a=e;则称G对代数运算⊕作成一个群。

如果对群G中任二元素a,b均有a⊕b=b⊕a,即G的代数运算满足交换律，称G为交换群（可换群）或Abel群。

否则称G 为非交换群（非可换群）或非Abel群。

例如，显然全体非零有理数以及全体正有理数对于数的普通乘法都作成群，分别称其为非零有理数群和正有理数群。

但应注意，整数集Z对于数的普通乘法不能作成群。

因为，尽管普通乘法是Z的代数运算，并且满足结合律，也有左单位元1，但是，出去1和-1外其他任何整数在Z中都没有左逆元。

例1设G为整数集，问：G对运算a⊕b=a+b+4是否作成群？解由于对任意整数a,b，显然a+b+4为a与b惟一确定的整数，故所给运算⊕是G的一个代数运算。

其次，有(a⊕b) ⊕c=(a+b+4) ⊕c =(a+b+4)+c+4=a+b+c+8.同理有a⊕(b⊕c)=a+b+c+8.因此，对G中任意元素a,b,c有(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c),即代数运算⊕满足结合律。

又因为对任意整数a均有（-4）⊕a=-4+a+4=a,故-4是G的左单位元。

最后，由于（-8-a）⊕a=-8-a+a+4=-4故-8-a是a的左逆元。

5.4-群与子群PPT课件

aj-i=e, a* aj- i -1=e T， T中有幺元。
a)若j- i>1 则a的逆元为aj- i -1 T
b)若j- i=1,则ai =ai * a,所以a =e ,a的逆元为a=eT。
<T,*>是<G,*>的子群。
＃
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子群
子群的判定性定理： <G,*>是群,TG,若a,bT,有a*b T, a-1T,则<T,*>是<G,*>的子群。
5.4 群与子群
群论是抽象代数发展充分的一个分支，广泛应用于计算,通讯，计算机科学，是我们这一章的重点。
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群的定义
1、定义定义5-4.1：满足下列四条性质的代数系统A=〈G，
*〉称为群。
1) 运算封闭，即a,b,G， a*b G。 2) 结合律，即a,b,cG，a*（b*c ）= （a*b）*c。 3) 存在么元e，即aG，e*a=a*e=a。 4) G中每个元素存在逆元，即aG，a-1 G,使a*a-1=a1*a=e。
且阶数至多为|G|。
证:aG,则在序列a,a2,a3,,a|G|+1中至少有两个元
素相同, 不妨设ar=as(1≤s<r≤|G|+1)，
则 ar-s=ar * a -s=as* a -s=e
所以，元素a的阶数至多为 r-s ≤|G|。
＃
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感谢您的阅读收藏，谢谢！
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元素的阶
2.元素的阶的定义定义：设<G,*>是一个群,aG,若存在正整数n,使 an=e,则满足该等式的最小正整数n称为元素a的阶,并称元素a具有有限阶n,若不存在这样的正整数n,则称元素a具有无限阶。例.群的么元e的阶为1 <I,+>中除0外,其余元素的阶为无限阶。

群论中的群与子群

群论中的群与子群在数学领域中，群论是一门非常重要的学科，其研究对象是群和群之间的关系。

群是一种代数结构，一般来说，它由一组元素和一个二元运算所构成。

这个二元运算必须满足结合律、存在单位元素和逆元素等性质。

子群则是群论中的一个基本概念，它是指一个群中的子集，该子集可以构成一个群，并且该子群的元素在原来的群中依然满足同样的运算法则。

在群论中，群中的元素可以是任何对象，但它们必须满足一些特殊的性质。

例如，群中的元素必须是可逆的，所以它们必须具有逆元素；同时，群中的元素也必须遵守结合律，这意味着它们的运算顺序不影响结果。

此外，群中的元素也必须具有单位元素，该元素在进行运算时不会改变元素的值。

子群是指在一个群中选择一些元素，并对它们进行运算形成的小群。

这些子群的运算法则必须和原来的群相同。

一个最简单的例子是，一个由整数{…,-2,-1,0,1,2,…}构成的加法群，它的子群可以是所有偶数的整数。

可以看到，偶数的整数在加法运算下构成了一个群，并且它们的加法运算法则是和原来的加法群相同的。

子群的一个关键性质是，它必须是原来的群中的一个子集。

这意味着，子群中的元素必须在原来的群中仍然满足群的公理。

例如，如果一个群是由实数和加法运算构成的，那么该群的子群必须仍然具有实数的性质，否则就不是一个合法的子群。

在群论的研究中，子群也具有特殊的意义。

它们可以用来描述一些不同的结构。

例如，在纯数学中，子群可以用来描述对称性，这对物理学来说非常有用。

同时，在编程中，子群也可以用来描述一些数据的结构，比如笛卡尔积。

此外，子群还可以用来描述一些群的性质。

例如，如果一个群有一个非平凡子群（即除了空子集和群本身以外还有其他的子群），那么这个群就被称为可简群。

反之，如果一个群没有任何非平凡子群，那么这个群就被称为单群。

总之，群论中的群与子群是非常重要的概念，它们为我们描述和理解不同的结构和性质提供了重要的工具。

在实际应用中，它们也被广泛地应用在物理学、计算机科学等领域。

17+代数学基础(1)群和子群的基本概念

i
记为 a ∈ G 。
i
注释：注释：
（1）a ∈ G 只是将 a 与自身做 i − 1 次群运算的结果，整数 i 和 a 之间
i
的“运算”并不是群运算。（2）一些群习惯上写成加法群，例如（Zn， +(mod n)）对于这些群，a 。就是 i
i
⋅ a ，但简化写法中的“点”并不是群运算，整数 i 也不一定
群元素的阶
定义 5.9 群元素的阶令 G 是一群，任意 a ∈ G ，称满足 a i = e 的最小正整数 i ∈ N 为元素 a 的阶，记为 ord (a ) 。如果不存在这样的整数 i ，则称 a 的阶是无限的。
当一个元素g的阶的阶ord(g)有限时，如果有 n =e成立，则必有有限时，成立，注：当一个元素的阶有限时如果有g 成立 ord(g)|n，即n一定是，一定是ord(g)的倍数的倍数。一定是的倍数
.
2． ∀ a, b, c ∈ G ，有 ( a o b) o c = a o (b o c )
3．存在唯一的元素 e ∈ G ，使得对于任意 a ∈ G ，都有 a o e = e o a = a ，元素 e 称为单位元（单位元）（可逆性）
−1 −1 4． ∀ a ∈ G ，存在元素 a −1 ∈ G ，使得 a o a = a o a = e
群的例子(8)
置换群 S={1,2,…,n} Sn是S上所有置换构成的集合 | Sn |=n! α, β是Sn中置换, αβ表示α和β的复合, 即αβ(x)=α(β(x)) Sn构成群, 称为n阶对称群对称群. 对称群
置换的表示
1 2 ... n α = i i ... i n 1 2

第五章 3群与子群

5-4 群与子群(Groups & Subgroups)
所以b必定出现在对应于a的那一行中。由定理5-3.2（独异点的运算表中没有两行或两列是相同的）便可得出结论。
由定理5-4.7可知，当G分别为1、2、3阶群时，运算都只有一个定义方式(即不计元素记号的不同，只有一张定义运算的运算表，分别如表1、表2和表3所示)，于是可以说，1、2、3阶的群都只有一个。
5-4 群与子群(Groups & Subgroups)
定义5-4.2 设〈G，〉是群。 (1) 如果 G 是有限集，则称〈G ，〉为有限群 (Finite Group) ，G中元素的个数|G|通常称为该群的阶数(Order) ； (2) 如果 G是无限集，则称〈G，〉为无限群 (Infinite Group) 。
5-4 群与子群(Groups & Subgroups)
(3) 对n进行归纳。(an)-1=(a-1)n n=1时命题显然真。设n=k时，(a-1)k是ak的逆元，即(ak)-1=(a1)k，那么
ak+1 (a-1)k+1=ak (a*a-1) (a-1)k =ak (a-1)k=e
(a-1)k+1 ak+1=(a-1)k (a-1 a) ak =(a-1)k ak=e
若 j-i =1，则 e=a，即a是幺元，而幺元的逆元是其自身。
可结合性在S上自然满足。
故 S, 是群，即就是G,
的子群。
5-4 群与子群(Groups & Subgroups) 的子群是：
5-4 群与子群(Groups & Subgroups)
定理5-4.10 设 G,

群与子群

2 3 = (2 1)3 = 13 = 1 +3 1 +3 1 = 0 在<Z,+>中有
( 2) 3 = (( 2) -1)3= 23 = 2+2+2 = 6
幂运算规则
定理设G 为群，则G中的幂运算满足： (1) a∈G，(a 1) 1=a (2) a,b∈G，(ab) 1=b 1a 1 (3) a∈G，anam = an+m，n, m∈Z (4) a∈G，(an)m = anm，n, m∈Z
定理 5-4.5：在群<G, ＊>中，除幺元外，不可能有任何别的等幂元。
子群
定义子群：设<G, ＊>是一个群。S是G的非空子集，如果<S, ＊>也构成群，则称<S, ＊>是<G, ＊>的一个子群。若S是G的子群，且S G，则称S是 G的真子群。
例：194页例题3
平凡子群：设<G, ＊>是一个群, <S, ＊>是 <G, ＊>的子群, 如果S={e}, 或者S=G, 则称<S, ＊>为 <G, ＊>的平凡子群。
置换
定义置换：设S是一个非空集合，从集合S到S的一个双射称为S的一个置换。
置换（研究群的性质）
定义置换：设S是一个非空集合，从集合S到S的一个双射称为S的一个置换。
定理 5-4.4：群<G, ＊>的运算表中每一行或每一列都是G 的元素的一个置换。（例子参见下页，证明自己思考）
<e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}.
群的性质
定理

群与子群

定义5-4.4设<G，>为代数结构，如果存在 aG，有a a= a ，则称 a为等幂元。定理5-4.5 在群<G，>中，除幺元e之外，不可能有任何别的等幂元。证明: 因为e e = e ，所以e是等幂元。现设 aG， a≠e 且 a a= a 则有 a=ea=(a-1a)a =a-1(aa)=a-1a=e 与假设 a≠e 且矛盾。
定理定理554242设g为群对于abg必存在必存在使得使得关于x的方程axbxab都有唯一设a的逆元a12再证解唯一性若另有解x定理定理554343设g为群那麽对任意1则有定义定义554343设s是一个非空集合从集合s到s的一个双射称为s的一个置换
5-4 群与子群一、群
定义5-4.1 称代数结构<G,>为群(groups),如果
（1） <G，>中运算是封闭的。（2） <G，>中运算是可结合的。（3） <G，>中有么元e. （4） <G，>中每一元素x都有逆元x-1。例如，<R-{0}, >，<(S) , >等都是群。
例题1 设R={0°,60°,120°,180°,240°,300°}表示在平面上几何图形绕形心顺时针旋转角度的六种可能情况，设★是R上的二元运算，对于R中任意两个元素a和b，a★b表示平面图形连续旋转a和 b得到的总旋转角度。并规定旋转360°等于原来的状态，就看作没有经过旋转。验证<R, ★>是一个群。
定义5-4.6 设<G,>为群，<S,>为G的子群，如果， S ={e}或S =G，那么称<S,>为 <G,>的平凡子群。
例题3 <I,+>是一个群，设IE={x|x=2n,nI}，证明< IE,+> 是<I,+>的一个子群。

密码学数学基础第六讲群(1)

例2 在群< Z , + >中，
30 = 0
在群 < Z3 , ⊕ >中，
20 = 0 23 = 2 ⊕ 2 ⊕ 2 = 0
2−3 = (2−1 )3 = 13 = 0
35 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
3−5 = (3−1 )5 = (−3)5 = −15
定理1 中的幂运算性质如下：定理群<G，*>中的幂运算性质如下：，中的幂运算性质如下
四、子群及其如果H关于的非空子集，定义设<G，*>为群，H是G的非空子集，如果关于，为群 G中的运算构成群，则称是G的子群，记作 H ≤ G。若H 中的运算*构成群的子群，中的运算构成群，则称H是的子群的子群，的真子集，的真子群，是G的子群，且是的真子集，则称是G的真子群，记的子群且是G的真子集则称H是的真子群作H < G 。例1 的子群。 nZ = {nZ | n ∈ N }是整数加群 < Z , + > 的子群。的真子群。当 n ≠ 1 时，nZ是Z的真子群。是的真子群定义2 也是G的子群的平凡子群。定义 G和{e}也是的子群，称为的平凡子群。和也是的子群，称为G的平凡子群
定理2 为群， ∈ ，是整数，定理设<G，*>为群，a∈G，且|a|＝r。设k是整数，，为群＝。是整数当且仅当r|k。则 a k = e当且仅当。定理3 为群，与其逆元a 定理设< G，*>为群，则群中任何元素与其逆元 -1具，为群则群中任何元素a与其逆元有相同的阶。有相同的阶。

第5讲群和子群

为了继续介绍群的性质, 我们首先定义群<G, *>的任意元素a的幂。如果n∈N, 则
a0 e a n 1 a n a a n ( a 1 ) n
由以上定义可知, 对任意m、k∈I, am, ak都是有意义的,另外群中结合律成立, 不难证明以下指数定律成立:
a m a k a mk ( a m ) k a mk
<G , *>为半群 <G , *>为独异点 <G , *>为群
(4) G中每个元素关于*存在逆元, 即对每一a∈G, 存在一个元素a-1, 使a-1 * a = a * a-1 = e。则称代数系统<G, *>为群。
(2) G上运算*可结合：对所有的a, b, c∈ G有，(a*b)*c=a*(b*c)
一、半群、独异点和群
对群 <G , *>，
(1) 若运算*是可交换，则称该群为可交换群, 或称阿贝尔群。
(2) 若G是无限集，则称<G , *>为无限群 (infinite group)
若 G是有限集，则称<G , *>为有限群
(finite group) 有限群G的基数|G|称为群的阶数。
例1 (1) <I, +,0>是阿贝尔群，无限群 (2) 代数<Nk, +k, 0>是阿贝尔群, 这里x-1=k-x。
(3)对任意a,b ∈S,因为b-1∈S,所以a * b =a* (b-1)-1 ∈S。
四、群同态
群同态的定义
设<G, *>和<H,⊙>是两个群, 映射h: G→H称为从<G,*>到<H,⊙>的、

群与子群

7
群中元素的幂
定义10.3 设G是群，a∈G，n∈Z，则a 的 n次幂.
e n 1 n a a (a 1 )m
n0 n0 n 0, n m
群中元素可以定义负整数次幂.
8
元素的阶

定义10.4 设G是群，a∈G，使得等式 ak=e 成立的最小正整
数k 称为a 的阶，记作|a|=k，称 a 为 k 阶元. 若不存在这样的正整数 k，则称 a 为无限阶元.
21
陪集的基本性质

定理10.8 设H是群G的子群，则 (1) He = H (2) a∈G 有a∈Ha
证 (1) He = { he | h∈H } = { h | h∈H } = H (2) 任取 a∈G，由a = ea 和 ea∈Ha 得 a∈Ha
22
陪集的基本性质

证先证a∈Hb ab1∈H a∈Hb h(h∈H∧a=hb) h(h∈H∧ab1=h) ab1∈H 再证 a∈Hb Ha=Hb. 充分性. 若Ha=Hb，由a∈Ha 可知必有 a∈Hb. 必要性. 由 a∈Hb 可知存在 h∈H 使得 a =hb，即b =h1a 任取 h1a∈Ha，（根据陪集的定义h1 ∈H）则有 h1a = h1(hb) = (h1h)b∈Hb 从而得到 Ha Hb. 反之，任取h1b∈Hb，则有 h1b = h1(h1a) = (h1h1)a∈Ha 从而得到Hb Ha. 综合上述，Ha=Hb得证.
16
典型子群的实例:中心C
定义10.7 设G为群,令 C={a| a∈G∧x∈G(ax=xa)}，则C是G的子群，称为G的中心.
证 e∈C. C是G的非空子集. 任取a,b∈C，只需证明ab1与G 中所有的元素都可交换. x∈G，有 (ab1)x = ab1x = ab1(x1)1 = a(x1b)1 = a(bx1)1 = a(xb1) = (ax)b1 = (xa)b1 = x(ab1) 由判定定理二可知C≤G. 对于阿贝尔群G，因为G中所有的元素互相都可交换，G的中心就等于G. 但是对某些非交换群G，它的中心是{e}.

群论中的群与子群概念

群论是现代数学中的一个重要分支，它研究的是关于集合上的运算的代数系统。

而群与子群则是群论中的两个基本概念。

首先，我们来谈谈群的概念。

群是由一个集合以及一个运算组成的代数结构。

这个运算满足四个基本性质：封闭性、结合性、存在单位元素和存在逆元素。

封闭性指的是任意两个元素进行运算后的结果仍然属于群的集合中。

结合性是指群中任意三个元素进行运算时，先进行其中两个元素的运算，再与第三个元素进行运算，结果应该与先将后两个元素进行运算后再与第一个元素进行运算的结果相等。

单位元素是指在群中存在一个特殊的元素，与群中的任意元素进行运算后，结果不变。

逆元素则是指群中的每个元素都有一个特殊的元素与之进行运算后，结果为单位元素。

群的例子有很多，例如，整数集合{…, -2, -1, 0, 1, 2, …}构成了一个群，其中的运算是加法。

在这个群中，0是单位元素，任意整数n的逆元素是-n。

另一个例子是二阶对称群S2，它是由两个元素e和s组成，其中e是单位元素，s的平方等于e。

可以发现，群的定义非常广泛，不同的群可能有不同的性质和结构。

接下来，我们来讨论子群的概念。

子群是一个群的一个子集，同时也是一个群。

即子群继承了原群的运算，并且满足群的四个基本性质。

如果一个子集满足封闭性、结合性、存在单位元素和存在逆元素这四个性质，那么我们就可以称它为原群的子群。

当然，子群中的单位元素和逆元素都是继承自原群中的。

子群在群论中有着重要的地位，它可以帮助我们研究群的结构和性质。

通过寻找原群的子群，我们可以将复杂的群分解为更简单的子群，进而更方便地分析群的性质。

有时候，我们可以通过子群的性质来推导出原群的性质，或者通过研究子群中的元素来了解原群的特点。

子群的例子也有很多。

例如，对于整数群，它的所有偶数构成的集合{…, -4, -2, 0, 2, 4, …}就是一个子群。

因为任意两个偶数相加还是偶数，单位元素是0，并且每个偶数的相反数依然是偶数。

正规子群和群基本同态定理

同态群的子群的对应
设f是群G到G’的满同态。A={H|HG, 且ker fH}，A’是G’的幂集。定义g: AA’: 对任意HA，g(H)=f(H)。则g是双射。 g是映射：对任意HA, f(H)是G’的子群 g是满射：对任意H’A’, 令H={a|aG, f(a)H’}，则a,bHf(a), f(b)H’f(a)f(b) H’f(ab)H’abH (封闭性)；又：aH’ f(a)H’ [f(a)]-1H’f(a-1)H’a-1H (逆元素)；所以H是子群。任给xker f, f(x)=e’H’，即xH, 所以：ker fH。 g是单射：注意：若H包含ker f ，则f -1(f(H))=H(这里的f -1不是反函数，表示集合的完全原象集); 因此：f(H1)=f(H2) f -1(f(H1))= f -1(f(H2)) H1=H2。
等价类：1={…-3,0,3,6,9,…} 2={…-2,1,4,7,10,…} 3={…-1,2,5,8,11,…}
“运算按照等价类保持。”
aRb, cRd ac R bd
同余关系
正规子群的陪集关系是同余关系
设N是群G的正规子群，可以证明：若ap-1N, bq-1N，则(ab)(pq)-1N
定义h:G/KG’: h(Ka)=f(a)。
由上述讨论可知：h是一对一的；由于f是满射，显然h也是满射，h是从G/K到G’的双射。对任意Ka,KbG/K, h(Ka⊗Kb)=h(K(ab))=f(ab)=f(a)*f(b)=h(Ka)*h(Kb)
所以：G/K≅G’
群同态的例子
(R,+)是实数加群。<2>是其生成子群。显然这是不变子群。
注意：Ha=Hb ab-1H ab-1K Ka=Ｋb

群与子群

代数学基础课件群和子群的基本概念

群论中的群和子群

高等数学中群与群作用教材

子群名词解释

17+代数学基础(1)群和子群的基本概念省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

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子群的乘积是子群的判定条件

5.4-群与子群PPT课件

群论中的群与子群

17+代数学基础(1)群和子群的基本概念

第五章 3群与子群

群与子群

群与子群

密码学数学基础第六讲 群(1)

第5讲 群和子群

群与子群

群论中的群与子群概念

正规子群和群基本同态定理

密码学数学基础第六讲群(1)

第5讲群和子群