第五讲 定积分的概念

二. 曲边梯形的面积
1. 曲边梯形
曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互 平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条 曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点 （这里不排除某直线缩成一点）.
2. 为什么只考虑曲边梯形的面积计算： 这是因为其他复杂的图形面积问题都容易变
成曲边梯形的面积计算问题.
3. 求曲边梯形的面积 首先，我们重复阿基米德的做法： 分划—代替—求和 得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程， 求出曲边梯形的精确值.
c
b d
d
f ( x) d x ,
a f ( x) d x 0, c d f ( x) d x 0.
b
c
d
f ( x) d x 0,
A3 f ( x) d x.
定积分的几何意义
y
y f ( x)
A3
A1
a
c
A2 O
d
b
x
a f ( x) d x 等于曲线 y f ( x) 与直线 x a,
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第五讲 定积分的概念
第五、六章 一元函数的积分
本章学习要求： 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定 积分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分 的部分分式法. 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的 关系. 熟悉牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）. 理解广义积分的概念.能运用牛顿—莱布尼兹公式计 算广义积分。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运 用定积分表达和计算一些量：平面图形的面积、旋转体 的体积、经济应用问题等。
(4) 若将非均匀变化的事物 看成是均匀变化时 , 可以表示为两个变量的 乘积形式 , 则该非均 匀变化问题可以用定积 分方法处理： 分划 — 代替 — 求和 — 取极限
定积分的几何意义
y
y f ( x)
A3
A1
面积：
c a
a
c
A2 O
d
b
由极限保号性：
x
A1 f ( x) d x,
A2
o a
xi 1xi
bx
ba 1 ( y0 yn ) ( y1 yn1 ) (梯形公式) n 2
为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 例如辛普森 公式, 复化求积公式等, 并有现成的数学软件可供调用.
及 x 轴所围成的几何图形的 面积的代数和 .
b
xb
喂！请问什么样的函数可积？
喂! 下面是几个关于函数可积性的定理.
运用定积分的概念及定积分的几何 意义 , 由函数的极限运算性质容易证明 它们, 所以我们在这里不进行证明.
可积的充分条件:
定理1.
定理2.
且只有有限个间断点
(证明略)
例1. 利用定义计算定积分
n
曲边梯形面积 : S lim f (i )xi .
0
i 1
极限存在与否， 与分法 T 及点i 的选择无关.
该过程告诉了我们求复杂平面图形面积的方法，
同时，也告知了平面图形面积的定义 .
解决曲边梯形面积的思想方法是： 分划— 代替 — 求和 — 取极限 . 通常人们把这类方法所处理的问题的结果，即

y

1 2 x 0
dx lim i xi
2
n
y x2
0 i 1
lim
1 3
n
o
i n
1x
例2. 用定积分表示下列极限:

1 i (1) lim 1 n n i 1 n
n
1p 2 p n p (2) lim n n p 1
n 1 n i i 1 解: (1) lim 1 lim 1 n n i 1 n n i 1 n n
x i
1 x dx
0
p p p
1
i
1
x i
0
i 1 i n n
x
n 1 2 n i p1 (2) lim lim p 1 n n i 1 n n n
x p dx
0
1
i
说明: 设 f ( x) C[a, b] , 则
分定义可得如下近似计算方法:
记为 f ( x) R( [a, b] ), 极限值称为 f ( x) 在 [a, b] 上 的定
积分值 : f (i )xi a f ( x) d x ||lim x||0 i 1
b n
( || x || max{xi }) .
1i n
定积分符号：
f (i )xi . a f ( x) d x ||lim x||0 i 1
解: 将 [0,1] n 等分, 分点为 取
y
yx
o
2
则
2 i f (i )xi i2 xi 3 n
i n
1x
注 1 n 2 1 1 f (i )xi 3 i 3 n(n 1)(2n 1) n i 1 n 6 i 1
n
1 1 1 (1 )(2 ) 6 n n
a ( y y y b 0 1 n 1 ) n
2.
a f ( x) dx y1x y2x yn x
a ( y y y ) b 1 2 n n
b
(右矩形公式)
y
3.
a f ( x) dx

n 1 i 1
b
1 [ yi 1 yi ]x 2
这种极限值，称为函数 f ( x) 在区间[a, b] 上的定积分.
三. 定积分的定义
设函数 f ( x) 在 [a, b] 上有定义, 且有界 . 任意引入分点 a x0 x1 xi 1 xi xn1 xn b , 将区间 [a, b] 分 成 n 个小区间 [ xi 1, xi ] (i 1,2,, n).
用xi xi xi 1 表示第 i 个小区间的长度.
第二步：代替
i [ xi 1 , xi ], 则
小曲边梯形面积: Si f (i )xi .
Si 与i 的选择有关.
xi 1 i xi
对每个小曲边梯形均作上述的代替
y
y f ( x)
如何求精确值？
a
b
f ( x) d x 存在 , 根据定积
a, 将 [a , b] 分成 n 等份: x b n
y
xi a i x (i 0 ,1,, n) 记 f ( xi ) yi (i 0 ,1,, n)
1.
b
o a
xi 1xi
(左矩形公式)
bx
a f ( x) dx y0x y1x yn1x
用xi xi xi 1 表示第 i 个小区间的长度. i [ xi 1, xi ],
若 lim f (i )xi ||x|| 0 i 1
n
存在, 且该极限值与对区间 [a, b] 的
分法 T 及点i 的选择无关, 则称函数 f ( x) 在 [a, b] 上可积,
第五章 一元函数的积分
第一、二节 定积分的引入及概念
一. 面积问题 二. 曲边梯形的面积 三. 定积分的定义 面积问题是个古老的问题，除了需要测量长度 的方法之外，还需要用到计算的方法，直观的计算 方法就是矩形（三角形、梯形）面积的计算。
矩形面积 梯形面积
在我国古代南北朝（公元 429 — 500 年）时， 南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边 数，算出正多边形的面积，逼近相应的圆的面积， 得到了π 近似值.
在初等几何中，计算任意多边形面积时，常采 用如下方法：首先将任意多边形划分为若干个小三 角形，分别计算各个三角形的面积，然后求和，得 到任意多边形的面积。
阿基米德运用这种方法，求得抛物线 y x 2 与 x 轴及直线 x =1 所围成的平面图形面积的近似值.
就是说，在计算复杂图形的面积时，可以先将 它划分为若干个容易算得面积的小块，并分别求出 各小块图形的面积，然后求和，即得到原图形的面 积的近似值（边界线为直线时，可得精确值）. 如果在上述方法中引入极限过程, 会产生什么效果?
a b
它与分法 T 及点 i 的选择无关 , 只与f ( x) 及 区间[a, b] 有关.
(2) 定积分与积分变量的记 号无关：
a f ( x) d x a f ( y) d y a f (t ) d t .
b
b
b
(3) || x || 0 时, 分点个数 n , 但是, 当分点 个数 n 时, 却不一定有 || x || 0.
y
y f ( x)
设 f ( x) 0, f ( x) C ([ a, b]) .
O
a x1
xi 1 xi
任意引入分点
b
x
称为区间的一个分法 T
第一步：分划
a x0 x1 xi 1 xi xn1 xn b ,
将 [a, b]分 成 n 个小区间[ xi 1, xi ] (i 1,2,, n).
极限过程是什么？
O
a x1
xi 1 xi
b
x
第三步：求和
曲边梯形面积 : S Si f (i )xi .
i 1 i 1
n
n
S 与分法 T 及点i 的选择有关.
y
y f ( x)
O
a x1
xi 1 xi
b
1i n