第六章样本及抽样分布

X t= Y /n
服从自由度为n的t分布 记为 t ～ t(n). 分布.记为 服从自由度为 的 分布 T的密度函数为： 的密度函数为： 的密度函数为
x Γ[( n + 1) 2] f ( x , n) = (1 + ) n Γ ( n 2 ) nπ
2
−
n+1 2
t分布的密度函数关于 分布的密度函数关于x=0对称，且 对称， 分布的密度函数关于 对称 1 − x2 2 Lim f ( x , n) = e n→ ∞ 2π 充分大时， 当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度 充分大时 函数的图形. 函数的图形. 充分大时， 分布近似N 分布. 当n充分大时，t 分布近似 (0,1)分布 但 充分大时 分布 对于较小的n， 分布与 分布与N 分布相差很大. 对于较小的 ，t分布与 (0,1)分布相差很大 分布相差很大
对一切实数x， 当n → ∞时Fn ( x )以概率1 F 一致收敛与分布函数 ( x ), 即
P { lim sup Fn ( x ) − F ( x ) = 0} = 1
n→ ∞ − ∞ < x < +∞
统计量是样本的函数，它是一个随机变量， 统计量是样本的函数，它是一个随机变量，统计 量的分布称为抽样分布 抽样分布。 量的分布称为抽样分布。
1 n s= ( xi − x )2 ∑ n − 1 i =1
样本标准差
1 n k ak = ∑ xi , k = 1,2⋯ n i =1 样本k阶矩 样本 阶矩 1 n bk = ∑ ( xi − x )k , k = 1,2⋯ n i =1 样本k阶中心矩 样本 阶中心矩
3. 经验分布函数 与总体分布函数F(x)相对应的统计量 相对应的统计量 与总体分布函数
( X i ) 2 ~ χ 2 (10)， ∑ 0. 3 i =1
2 ( ∑ ( X i ) > 1. 44 ) P 0. 3 2 i =1 0. 3 n
⇒ P(∑
n
i =1
X i2 > 1.44 ) =
= P ( χ 2 (10) > 16) = 0. 1 .
(二) t分布 二 分布 1. 定义及概率密度 相互独立,称统计量 设 X ～ N(0,1), Y ～ χ2(n), 且X,Y相互独立 称统计量 相互独立
例
的一个样本， 为 的一个样本 X ~ N ( µ , σ 2 ) (X1,X2,X3)为X的一个样本，求
2( X1 − µ) (X 2 − µ) + (X 3 − µ)
2 2
的分布
X i ~ N (µ ,σ 2 )
Xi − µ
X1 − µ
σ
~ N (0,1)
i=1,2,3
2 2
σ
~ N (0,1)
设X 1 , X 2 , ⋯ , X n 是总体 X的一个样本
用s( x ),−∞ < x < +∞ 表示X 1 , X 2 ,⋯, X n中不大于 x的随机变量的个数
定义经验分布函数为
1 Fn ( x ) = s( x ),−∞ < x < +∞ n
23 设总体 F 具有一个样本值 1，，, 经验分布函数 F3 ( x ) 0, 若x < 1, 的观察值 1 , 若1 ≤ x < 2 3 F3 ( x) = 2 3 , 若2 ≤ x < 3 1, 若x ≥ 3
二.来自正态总体的几个常用统计量的分布
(一) χ2分布 一 1. 定义及概率密度 X1,X2,…Xn 是来自总体N(0,1)的样本,则称统计量 的样本, 是来自总体 的样本
2 2 χ 2 = X 12 + X 2 + ⋯ + X n
服从自由度为n的 分布. 记为χ 服从自由度为 的χ2分布 记为χ2 ～ χ2(n).
2
χ2 =
1
σ
2 ( X i − µ )2 ~ χ n 2∑ i =1
n
2 2 X 1 ~ χ n1 , X 2 ~ χ n2 , (2) 设
且X1,X2相互
2 独立， 独立，则 X 1 + X 2 ~ χ n + n 1 2
例 求
X ~ N (µ ,σ 2 )
2
(X1,X2,X3)为X的一个样本 为 的一个样本
X1 + X n X1 + ⋯ + X n ; −µ ; 2 n 2 ( X 1 + X n ) ( X 1 + ⋯ + X n ) − nµ . ; . 2 σ nσ
2. 常用统计量
它反映了总体均值 的信息
1 n 样本均值 X = ∑ Xi n i =1 1 n 2 样本方差 S 2 = ∑( Xi − X ) n − 1 i =1
例2
n i =1
设 X1, …, X10 是来自正态总体 X～N(0, 0.32 )的一 ～ (
个样本, 个样本 求 P ( ∑ X i2 > 1.44 ) . 解 ∵ X i ～N(0, ( 0. 32 ),
n
∴ X i ~ N (0, 1), 0. 3
i = 1, 2, …, 10 .
又由于它们相互独立, 又由于它们相互独立 ∴
2 2
X1 − µ X 2 − µ X 3 − µ + + σ σ σ
的分布。 的分布。
解 因为 1,X2,X3)为X的一个样本 Xi~N(0,1)，i=1,2,3 因为(X 为 的一个样本 ， 则 X i − µ ~ N (0,1) i=1,2,3
注：统计量是随机变量。
x1,x2,…, xn是相应于样本X1,X2,…, Xn的样本值, 是相应于样本 的样本值 则称g(x 的观察值。 则称 1,x2,…, xn)是g(X1,X2,…, Xn)的观察值。 是 的观察值
思考？ 思考？ 的一个样本， 设 X 1 ,⋯ X n 为来自总体 X ~ N ( µ ,σ 2 ) 的一个样本， 已知， 其中µ未知 ,σ 2已知， 问下列随机变量中那些是统计量
1， 设总体 F具有一个样本值 1， 2, 经验分布函数 F3 ( x ) 0, 若x < 1, 的观察值 2 F3 ( x ) = , 若1 ≤ x < 2 3 1, 若x ≥ 2
一般， 一般，设 x1 , x 2 ,⋯ , x n 是总体 F 的一个样本值
先将 x1 , x 2 ,⋯ , x n按自小到大的次序排 , 并重新编号
1 n Bk = ∑ ( X i − X )k n i =1
n
k=1,2,…
它们的观察值分别为： 它们的观察值分别为： 1 n 样本均值 x = ∑ xi n i =1
样本方差
n 1 n 1 2 2 2 s = ( xi − x ) = [ ∑ x i − nx 2 ] ∑ n − 1 i =1 n − 1 i =1
X1 − µ
X2 − µ X3 − µ ~ χ 2 ( 2) + σ σ
2
σ
X 2 − µ X 3 − µ + σ σ
2
2
~ t (2)
2( X1 − µ) (X 2 − µ) + (X 3 − µ)
σ
X1 − µ X 2 − µ X 3 − µ ~ χ 2 (3) + + σ σ σ
2 2 2
3. 期望和方差
E ( χ 2 ) = n,
D( χ 2 ) = 2n
2 2 E ( χ 2 ) = E ( X 12 + X 2 + ⋯ + X n ) 2 2 = E ( X 12 ) + E ( X 2 ) + ⋯ + E ( X n )
样本标准差
S它反映了总体方差 1 n 的信息 2 (X − X )
i
它反映了总体k 它反映了总体 阶矩 的信息
样本k阶原点矩 样本 阶原点矩 样本k阶中心矩 样本 阶中心矩
它反映了总体k 它反映了总体 阶 中心矩的信息
1 k Ak = ∑ X i n i =1
χ 2 分布是由正态分布派生出来的一种分布. 分布是由正态分布派生出来的一种分布.
χ 2分布的密度函数为
n x −1 − 1 n2 x2 e 2 f ( x , n) = 2 Γ ( n 2) 0 其中伽玛函数 Γ( x ) 通过积分
x≥0 x<0
Γ( x ) = ∫ e − t t x −1dt ,
(三) F分布 三 分布 1.定义 定义 相互独立, 设 U ～ χ2(n1), V ～ χ2(n2), 且U,V相互独立 相互独立
U / n1 称统计量 F = V / n2
服从自由度为(n 分布.记为 服从自由度为 1,n2)的F分布 记为 F ～ F (n1,n2). 的 分布
1 V n2 =U n 1 F
2 2
~ t (2)
2. 上分位点
称满足条件： 对于给定的 α (0 < α < 1)，称满足条件： P {t > tα ( n)} = α 的点tα ( n)为t分布的上α分位点。
α
t1−α ( n) tα (n) 由概率密度的对称性知 ：t1−α ( n) = − tα ( n)
当n > 45时，tα ( n) ≈ zα .
~ F ( n2 , n1 )
若 F ~ F ( n1 , n2 ), 则 1 / F ~ F ( n2 , n1 ).
为取自正态总体X~(0,σ2)的样本， 的样本， 例 (X1,X2,…,X5)为取自正态总体 为取自正态总体 的样本