河北省石家庄市2019届高三3月质量检测文科数学试卷含详解

2019年4月石家庄市2019届高中毕业班教学质量检测文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【分析】可解出M，然后进行交集的运算即可．【详解】解：M＝{x|﹣2＜x＜2}，N＝{0，1，2}；∴M∩N＝{0，1}．故选：D．【点睛】本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算，属于基础题．2.已知复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】C【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案，【详解】由z•i＝3﹣4i，得z．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.甲、乙两人次测评成绩的茎叶图如图，由茎叶图知甲的成绩的平均数和乙的成绩的中位数分别是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据茎叶图中的数据，计算甲成绩的平均数和乙成绩的中位数即可．【详解】根据茎叶图知，甲成绩的平均数为（10+11+14+21+23+23+32+34）＝21，乙成绩的中位数为（22+23）＝22.5．故选：C．【点睛】本题考查了利用茎叶图求平均数与中位数的应用问题，是基础题．4.某几何体的三视图如图所示（图中小正方形网格的边长为），则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】利用已知条件，画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【详解】由题意可知几何体的直观图如图：是正方体的一部分，正方体的棱长为：2，是四棱柱，底面是直角梯形，上底为：1，下底为2，高为2，棱柱的高为2，几何体的体积为：V6．故选：A．【点睛】本题考查几何体的直观图与三视图的关系，考查空间想象能力以及计算能力．5.执行如图所示的程序框图，输入的值为，则（）A. B. C. D. 【答案】B【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．【详解】k=1,S=0, 1＜4成立，第一次循环，S＝2，k＝1+1＝2，第二次循环，2＜4成立，S＝2+22＝2+4＝6，k＝2+1＝3，第三次循环，3＜4成立，S＝6+23＝6+8＝14，k＝3+1＝4，第四次循环，4＜4不成立，S输出S＝14，故选：B．【点睛】本题主要考查程序框图是识别和应用，利用程序框图进行模拟计算是解决本题的关键．6.已知，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】给实数a，b在其取值范围内任取2个值a＝3，b＝-1，代入各个选项进行验证，A、C、D 都不成立．【详解】∵实数a，b满足，若a＝3，b＝﹣1，则A、C、D都不成立，只有B成立，故选：B．【点睛】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．7.设函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】求得函数在x>0时>0，在x<0时<0，从而排除即可得到答案．【详解】函数在x>0时>0，排除C、D，在x<0时<0，排除B，故选A.【点睛】本题考查了函数的图象的应用，注意确定函数在某区间的值域，从而利用排除法求解即可．8.已知抛物线的焦点为，过点和抛物线上一点的直线交抛物线于另一点，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，设出直线l的方程，联立抛物线方程求得点N，再由抛物线的定义可得NF，MF的长，计算即可得到所求值．【详解】抛物线y2＝4x的焦点F为（1，0），则直线MF的斜率为2，则有，联立方程组，解得，由于抛物线的准线方程为x．∴由抛物线的定义可得，，∴，∴|NF|：|FM|＝1：2，故选：D．【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，求解交点，考查运算能力，属于基础题．9.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“谐”、“校”、“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率。

利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用，，，代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】随机模拟产生了18组随机数，其中第三次就停止摸球的随机数有4个，由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率．【详解】随机模拟产生了以下18组随机数：343 432 341 342 234 142 243 331 112342 241 244 431 233 214 344 142 134其中第三次就停止摸球的随机数有：142，112，241，142，共4个，由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为p．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.已知函数，、为函数图象与轴的两个交点的横坐标，若的最小值为，则（）A. 在上单调递减B. 在上单调递增C. 在上单调递减D. 在上单调递增【答案】B【分析】利用三角恒等变换化简，由题意求得ω，再分别求出函数f（x）的增区间、减区间，验证选项即可.【详解】f（x）＝sinωx cosωx＝2sin（ωx），由题意可知，，则T＝π，，∴f（x）＝2sin（2x），令-2x，则-x，即在内函数f（x）单调递增，k取0时，B选项满足，D错误；令2x，则x，即在内函数f（x）单调递减，给k取-1，0，1时，A，C选项均不满足，故选：B．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查y＝A sin（ωx+）型函数的单调性，是中档题．11.已知双曲线的左，右焦点分别是，，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】由向量加法法则结合三角形中位线性质，可得△MF1F2是以为F1F2斜边的直角三角形．由此设，运用勾股定理算出与，得到结论．【详解】∵,如图：即，∴，又双曲线的实轴长为，∴设则=x+，在直角三角形中，由勾股定理得：=4=80，解得x=,所以, 则实数=3,故选：C．【点睛】本题考查了向量的运算和双曲线的定义与简单几何性质的应用，属于中档题．12.已知函数,其中为自然对数的底数，则函数的零点个数为（）A. B. C. D.【答案】A【分析】求得当x≥0时，f（x）的导数，可得单调性和最值，作出f（x）的图象，可令g（x）＝0，t＝f（x），可得t2﹣t+a＝0，△＝1﹣4a，分别考虑a，a＝0，a＝﹣2，a时，函数g（x）的零点个数，即可判断．【详解】当x≥0时，f（x）＝4x3﹣6x2+1的导数为f′（x）＝12x2﹣12x，当0＜x＜1时，f（x）递减，x＞1时，f（x）递增，可得f（x）在x＝1处取得最小值，也为最小值﹣1，且f（0）＝1，作出函数f（x）的图象，g（x）＝，可令g（x）＝0，t＝f（x），可得3t2﹣10t+3＝0，解得t=3或，当t，即f（x），g（x）有三个零点；当t＝3，可得f（x）＝3有一个实根，综上g（x）共有四个零点；故选：A．【点睛】本题考查分段函数的运用，考查函数方程的转化思想，考查数形结合思想方法，属于中档题．二、填空题。

13.命题,，则是_____；【答案】【分析】由特称命题的否定直接写出结论即可.【详解】由题命题p的否定为：故答案为【点睛】本题考查特称命题，熟记特称与全称命题的否定是关键，是基础题，易错点是改为14.已知向量，，，若，则______；【答案】【分析】由求得x,得到的坐标，再求模长即可.【详解】，∴2x+2=0,∴x=-1, ∴, ∴故答案为【点睛】本题考查向量的坐标运算，模，熟记垂直性质，熟练计算模长是关键，是基础题.15.在中，、、分别是角、、的对边，若，为的中点，且，则的最大值是______【答案】【分析】先化简得到A=，因为M是BC中点，所以，平方化简得，结合基本不等式得到所求．【详解】由题意，将边化角，得到sinC, ∴,又在中，，∴，得到A=，∵M是BC中点，∴，平方得，4，即，所以=，∴,, 则的最大值是，故答案为．【点睛】本题考查了正弦定理以及三角形中线的向量表示，考查了基本不等式的应用，属于中档题.16.如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面.为对角线与的交点,若，，则三棱锥的外接球的体积是____；【答案】【分析】由底面为菱形，得BD⊥AC,进而推得BD⊥面PAC,得三角形PBO与PAO为直角三角形，确定球心位置为PA中点即可求解.【详解】底面为菱形，为对角线与的交点,∴BD⊥AC,又底面，∴,BD∩PB=B, ∴AC面PBD, ∴AC即三角形PBA与PAO均为直角三角形，∴斜边中点即为球心，∵，，∴PA=2=2R, ∴R=1,故三棱锥的外接球的体积是=故答案为【点睛】本题考查三棱锥外接球，线面垂直判定,熟练运用线面垂直与线线垂直证明是关键，是中档题.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知是首项为的等比数列，各项均为正数，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1) (2)【分析】（1）由得q方程求解即可；（2）变形为裂项求和即可.【详解】（1）设的公比为，由得，解得，或，因各项都为正数，所以，所以，所以，【点睛】本题考查等比数列通项公式，裂项相消求和，熟记等比数列通项，熟练计算裂项求和是关键，易错点是裂项时提系数，及剩余项数，是基础题.18.某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：投资金额年利润增长（1）请用最小二乘法求出关于的回归直线方程；如果2019年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？（结果保留两位小数）（2）现从2012年—2018年这年中抽出两年进行调查，记年利润增长投资金额，求这两年都是（万元）的概率.参考公式：.参考数据：，.【答案】(1) ,11.43万元(2)【分析】（1）由表中数据，计算、，求出、，写出y关于x的回归方程；利用回归方程计算x ＝8时的值即可．（2）先用列举法列举出7年中抽取两年的所有情况，再找出符合题意的情况种数，利用古典概型的概率公式求得概率.【详解】（Ⅰ），，，，，那么回归直线方程为：.将代入方程得即该公司在该年的年利润增长大约为11.43万元.（Ⅱ）由题意可知，（1,3），（1,4），（1,2），设2012年--2018年这7年分别定为1,2,3,4,5,6,7；则总基本事件为：（1,5），（1,6），（1,7），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（2,7），（3,4），（3,5），（3,6），（3,7），（4,5），（4,6），（4,7），（5,6），（5,7），（6,7），共有21种结果，选取的两年都是万元的情况为：（4,5），（4,6），（4,7），（5,6），（5,7），（6,7），共6种，所以选取的两年都是万元的概率.【点睛】本题考查了线性回归方程的计算与应用问题，考查了古典概型的概率问题，是基础题．19.如图，已知三棱柱，侧面为菱形，侧面为正方形，侧面侧面.（1）求证：平面；（2）若，，求三棱锥的体积.【答案】(1)见证明；(2)【分析】（1）先由面面垂直的性质定理得到平面，可得，再推导出A1B⊥AB1，由此能证明A1B⊥平面AB1C．（2）利用等体积法转化求解即可．【详解】（1）因为侧面侧面，侧面为正方形，所以平面，,又侧面为菱形，所以，所以平面（2）因为，所以，平面，所以，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，平面，所以为三棱锥的高，因为，,所以【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查锥体体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.已知椭圆（）的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1) (2)见解+析【分析】（1）由题得a,b,c的方程组求解即可（2）直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数，即，整理.设直线的方程为，与椭圆联立，将韦达定理代入整理即可.【详解】(1)由题意可得，，又，解得，.所以，椭圆的方程为(2)存在定点，满足直线与直线恰关于轴对称.设直线的方程为，与椭圆联立，整理得，. 设，，定点.(依题意则由韦达定理可得，，.直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数.所以，，即得.又，，所以，，整理得，.从而可得，，即，所以，当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立. 特别地，当直线为轴时，也符合题意. 综上所述，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称.【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程简单性质，熟练转化题目条件，准确计算是关键，是中档题.21.已知函数，其中，为自然对数的底数.（1）当时，证明：对；（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围。