2014-2015-1广工高数B1考试卷答案--许君臣
2015全国高中数学联赛广东初赛试题及答案
y − y1 =
y2 − y1 ( x − x1 ). 当 y = 0 时， x2 − x1
2 x2 − x1 y2 − y12 y2 yy y1 + 1 = − 1 2 , y1 + x1 = − y2 − y1 2 p ( y2 − y1 ) 2p 2p yy ………. 5 分 所以 | OC |= − 1 2 . 2p 另一方面，抛物线在 A、B 两点的切线方程分别为： yy1 = p ( x + x1 ), yy2 = p ( x + x2 ), yy ………. 10 分 求得其交点的横坐标为 x3 = 1 2 . 于是 | OC | + x3 = 0 . 2p
2 2
最小值, 当且仅当 ∆ = a − 4 < 0 . 所以 1 < a < 2 .
2
4. 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 = 0, an +1 = an + 1 + 2 an + 2 , 则 该 数 列 的 通 项 公 式
an = ______________.
【答案】 an = n + 2 − 1 − 2 . 【 解 析 】 因 为 an +1 + 2 = an + 2 + 2 an + 2 + 1 =
，有概率 在 0 ≤ x1 , x2 ≤ 1 上考虑满足上述条件的 （x1 , x2）
P=∫
1
0
6 3 α −β 7. 已知 sin α + sin β = , 则 cos , cos α + cos β = = ______________. 2 3 3
【答案】1/4. 【解析】平方求和, 再用倍角公式即得.
2014年高考真题——文科数学(广东B卷)精校版 有答案 Word版含答案(2014高考)
绝密★启用前试卷类型：A2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式13V sh =，其中s 为锥体的底面积，h 为锥体的高. 一组数据12,,,n x x x L 的方差2222121[()()()],n s x x x x x x n=-+-++-L其中x 表示这组数据的平均数.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2,3,4M =，{}0,2,3,5N =，则M N =I{}A.0,2 {}B.2,3 {}C.3,4 {}D.3,52. 已知复数z 满足(34)25i z -=，则z =A.34i --B.34i -+ .34C i - D.34i +3. 已知向量(1,2)a =r ，(3,1)b =r ，则b a -=r rA.(2,1)-B.(2,1)-C.(2,0)D.(4,3)4. 若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于A.7B.8C.10D.115. 下列函数为奇函数的是1A.22x x -2B.sin x x C.2cos 1x + 2D.2xx + 6. 为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为A.50B.40C.25D.207. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的变分别为,,a b c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的 A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件8. 若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x k y --=的 A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等9. 若空间中四条两两不相同的直线1l ，2l ，3l ，4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.1l 与4l 既不平行也不垂直D.14l l 与位置关系不确定10. 对任意复数1w ，2w ，定义1212w w w w *=，其中2w 是2w 的共轭复数，对任意复数123,,z z z ，有如下四个命题：①()()()1231323z z z z z z z +*=*+*②()()()1231213z z z z z z z *+=*+* ③()()123123z z z z z z **=**④1221z z z z *=*则真命题的个数是A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11~13题）11. 曲线53x y e =-+在点(0,2)-处的切线方程为 .12. 从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同的字母，则取到字母a 的概率为 . 13. 等比数列{}n a 的各项均为正数且154a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++＝ .（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=与cos 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的直角坐标为 .15. （几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且2EB AE =,AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的周长的周长＝ .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12 分） 已知函数 532()sin(),,()3122f x A x x R f ππ=+∈= （1）求A 的值；（2）若()()3,(0,),2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-.17．（本小题满分13 分） 某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁） 工人数（人）19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1合计 20 （1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以这十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3）求这20名工人年龄的方差. E F D CBA18. （本小题满分13 分）如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，1,2AB BC PC ===,作如图3折叠，折痕EF ∥DC ，其中点,E F 分别在线段,PD PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .（1）证明：CF ⊥平面MDF ; （2）求三棱锥M CDE -的体积.19. (本小题满分14分)设各项为正数的数列{}n a 的前n 和为n S ,且n S 满足.222*(3)3()0,n n S n n S n n n N -+--+=∈（1）求1a 的值;（2）求数列{}n a 的通项公式; （3）证明:对一切正整数n ,有11221111(1)(1)(1)3n n a a a a a a +++<+++L20. (本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为)5,0，离心率为53（1）求椭圆C 的标准方程;（2）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.21. (本小题满分14分)已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈. （1）求函数()f x 的单调区间;（2）当0a <时,试讨论是否存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ,使得01()()2f x f =.C E FP B A D P A D C B F E M2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考答案：一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. B2. D3. B4. C5. A6. C7. A8. D9. D 10. B二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. 11. 520x y ++= 12.2513. 5 14. (1,2) 15. 3 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.5533232:(1)()sin()sin ,2 3.12123422(2)(1):()3sin(),3()()3sin()3sin()333(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )33336sin cos 33sin 33sin (0,),32f A A A f x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴===+∴--=+--+=+--+-===∴=∈∴Q 解由得26cos 1sin 36()3sin()3sin()3cos 366632f θθππππθθθθ=-=∴-=-+=-===17.:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为(2)茎叶图如下:()2222222(1928329330531432340)3:30,20120:(11)3(2)3(1)50413210201(121123412100)2012522012.6+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦=+++++=⨯=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为 18.00:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴I I Q Q 解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2222221333132,=,,,,2442833336()(),44211362.338216CDE M CDE CDE CF DE DE PE S CD DE P CP MD ME DE PE DE V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅==-=-=-=∴=⋅=⋅⋅=即19.1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 02211111111122222221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0, 0,2, 2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,,2,(1)(1)n n n nn n n nn n nn S S S S S SS S aS n n S n n S S n na n N S S S n nn a S S n n n n*-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+⎡∴≥=-=+--+-⎣QQ解令得即即由得从而当时12211222,221,2().313(3),()(),221644111111113(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)(nk knna a n n Nk kk N k k k ka a k k k k k kk kk ka a a a a a**⎤=⎦==⨯∴=∈∈+>+-=-+∴==⋅<⋅+++-+⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+++++L又当时1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44nn nnn+⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦=-=-<+-+-L20.222220022002255:(1)5,3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±Q 依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为 21.'22'2'':(1)()2,20:44,1,0,()0,()(,).1,2011,(,11,()0,(),(1111),()0,(),(11,)f x x x a x x a a a f x f x a x x a a x a f x f x x a a f x f x x a =++++=∆=-∴≥∆≤∴≥-∞+∞<++=--∈-∞--->∴∈---+-<∈--+∞解方程的判别式当时此时在上为增函数当时方程的两根为当时此时为增函数当时此时为减函数当时',()0,(),,1,()(,),1,()(,1111,),()(11,11).f x f x a f x a f x a a f x a a >≥-∞+∞<-∞----+-+∞----+-此时为增函数综上时在上为增函数当时的单调递增区间为的单调递减区间为323200003322000200000020000200111111(2)()()1()()()12332221111()()()3222111111()()()()()3224222111()()23612211()(4122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x x ⎡⎤-=+++-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+++-++-⎢⎥⎣⎦=-+++++=-+00020020014712)111(0,)(,1),()(),222114147120(0,)(,1).220,1416(712)4(2148)0,142214872148721480,7+2148,01,72148x a x f x f x x a a a a a a ax x a a ++∴∈=+++=<∴∆=-+=->-±--±--+-=>∴--<-<U U Q Q 若存在使得必须在上有解方程的两根为依题意即0000025711,492148121,,12127+2148155,,,,24425557111(,)(,),(0,)(,1)()().124412222257511(,][,0),(0,)(,1)()(1212422a a a a x a a x f x f a x f x f ∴<-<-<<---=-≠-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈=⎨⎬⎩⎭U U U U U 即又由得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1).2。
2014年高考数学广东卷(理科B卷)和参考答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理科数学（B 卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =−=则M N ∪=A ．{1,0,1}−B ． {1,0,1,2}−C ． {1,0,2}−D ． {0,1} 2．已知复数z 满足(34)25,i z +=则z = A ．34i − B ． 34i + C ． 34i −−D ． 34i −+3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥−⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n −=A ．8B ．7C ．6D ．54．若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k −=−与曲线221259x y k −=−的A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ． 实半轴长相等D ．焦距相等 5．已知向量()1,0,1,a =−则下列向量中与a 成60°夹角的是 A ．（-1,1,0）B ． （1,-1,0）C ． （0,-1,1）D ． （-1,0,1）6．已知某地区中小学学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了解该地区中下学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A ． 100，10B ． 200,10C ． 100，20D ． 200，207．若空间中四条两两不同的直线1234,,,,l l l l 满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥则下面结论一定正确的是 A ．14l l ⊥ B ．14//l l C ．14,l l 既不垂直也不平行 D ．14,l l 的位置关系不确定初中高中年级O8．设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈−=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A ．130 B ．120 C ．90 D ．60二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式125x x −++≥的解集为10．曲线52x y e −=+在点(0,3)处的切线方程为11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 12．在ABC Δ中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+， 则ab= 13、若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+， 则1220ln ln ln a a a +++=（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________15．（几何证明选讲选做题）如图3,在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AE EB 2=，AC 与DE 交于点F ， 则=ΔΔ的面积的面积AEF CDFCAFD三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且53122f π⎛⎞=⎜⎟⎝⎠， （1）求A 的值； （2）若23)()(=−+θθf f ，2,0(πθ∈，求)43(θπ−f ．17．（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下： 30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25,30] 3 0．12 (30,35] 5 0．20 (35,40] 8 0．32 (40,45] 1n 1f (45,50]2n2f（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率．18．（本小题满分13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，030DPC ∠=，AF PC ⊥于点F ，//FE CD ，交PD 于点E ．（1）证明：CF ADF ⊥平面 （2）求二面角D AF E −−的余弦值19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=−−∈，且315S =． (1)求123,,a a a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式．20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为，离心率为3，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．21．（本小题满分14分）设函数()f x =，其中2k <−，（1）求函数()f x 的定义域D ；（用区间表示） （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <−，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合．A BCD EFp2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理科数学（B 卷）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题次 1 2 3 4 5 6 7 8 答案B ACD B D D A第8题解析：（1）含有4个“0”的情形：①4个0，1个1：155C =；②4个0，1个-1：155C =（2）含有3个“0”的情形： ①3个0，2个1：2510C =；②3个0，1个1,1个-1：115420=C C ⋅；③3个0，2个-1：2510C =（3）含有2个“0”的情形：①2个0，3个1：3510C =；②2个0，2个1,1个-1：215330C C ⋅=；③2个0，1个1，2个-1：215330C C ⋅=；④2个0，3个-1：3510C =． 综上所述，所有的情况数为：5510201010303010130N =++++++++=种． 二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9、(][),32,−∞−∪+∞； 10、530x y +−=； 11、16； 12、2； 13、50； （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）()1,1． 15、（几何证明选讲选做题）9． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、解：（1）依题意有5523sin sin 12124322f A A A ππππ⎛⎞⎛⎞=+===⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，所以A =（2）由（1）得()),4f x x x R π=+∈，()()3sin sin 442f f ππθθθθθ⎡⎤⎛⎞⎛⎞∴+−=++−+==⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦，cos 4θ∴=，(0,sin 24πθθ∈∴===∵，334444fπππθθθ⎛⎞⎛⎞∴−=−+==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠．17、解：（1）12127,2,0.28,0.08n n f f====；（2）先计算频率/组距；然后作图即可；（3）由（1）知，任取一人，日加工零件数落在区间（30,35］的概率为15，设该厂任取4零件数落在区间（30,35］的事件为A，则()4414155P A⎛⎞⎛⎞=−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，所以()4436915625=P A⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠答：在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率为369625．18、解：（1）证明：PD⊥∵平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD AD⊥①∵四边形ABCD为正方形，∴AD CD⊥②AD CD∩∵AD∴⊥平面PCD，CF⊂∵平面PCD，AD CF⊥③AF PC⊥∵即AF CF⊥④且AF AD A∩=，CF∴（2）方法1（传统法）过E作EG DF⊥交DF于G，过GH AF⊥交AF于H，连接EH，EDG∠（过程略）方法2（向量法）由（1）可得，,,AD PD AD DC⊥⊥，建立空间直角坐标系D xyz−，如图所示．设DC a=，在Rt PDCΔ中，,30DPCCD a∠== ，则2,PC a PD==，由（1）知PF DF⊥，所以3cos302PF PD a==，因为//FE CD，所以EF PF PEDC PC PD==，所以34EF a=，4PE=，所以4ED=，所以3(0,0,),(,0,0),,,0),(0,,0)444aA a E F C a，则3,0,),(,,),444aAE a AF a=−=−设平面AEF的法向量为(,,)n x y z=，则00n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得043044x az a x y az ⎧−=⎪⎪+−=⎩，取1x =，则,04z y ==，所以(1,0,4n = ， 由（1）可知，平面ADF的法向量为,,0)44aCF =−，所以cos ,19||||n CF n CF n CF ⋅<>====⋅ ，设二面角D AF E −−为θ，则cos 19θ=． 19、解：（1）当1n =时，1227a a =− ①当2n =时，123420a a a +=− ②312315S a a a =++= ③由①②③解得1233,5,7a a a ===．(2)当1n >时，21234n n S na n n +=−−①()()()21213141n n S n a n n −=−−−−−② ①—②化简得()122161n n na n a n +=−++(当1n =时也成立)，方法1：令()()[]121B 21n n n a A n n a An B ++++=−++⎡⎤⎣⎦，求得21A B =−=−，， 即()()[]122112121n n n a n n a n +−+−=−−−⎡⎤⎣⎦， 令21n n b a n =−−，则()1221n n nb n b +=−，即1212n n n b b n+−=， 因为1230,0,0b b b ===，故必有0n b =，即21n a n =+，方法2：（数学归纳法）由（1）1233,5,7a a a ===，猜想21n a n =+， 下面用数学归纳法证明对,21n x N a n +∀∈=+：当1,2,3n n n ===时，成立， 假设当n k =时成立，即有21k a k =+，()122161k k ka k a k +=−++， 当1+n k =时， ()()21221216146k ka k k k k k +=−+++=+，所以()2146232112k k k a k k k++==+=++，成立，综上所述，对,21n x N a n +∀∈=+．20、解：（1）依题意有3,2c a b ===故所求椭圆C 的标准方程为22194x y +=，（2）当两条切线的斜率存在时，设过00(,)P x y 点的切线为()00y y k x x −=−，联立()0022194y y k x x x y ⎧−=−⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()()222000049189360k x k y kx x y kx ++−+−−=，判别式()()()22222000018364940=ky kx k y kx ⎡⎤Δ−−+−−=⎣⎦，化简得()2200940y kx k −−−=，即()2220000924x k x y k y −−+−，依题意得201220419y k k x −⋅==−−，即220013x y +=， 当两条切线的斜率有一条不存在时，结合图像得P 是直线3,3,2,2x x y y =−===−， 的四个交点，也满足220013x y +=，故点P 的轨迹方程为2213x y +=，法二：（2）当椭圆22194x y +=的切线的斜率存在且不为0时，设切线方程为y kx m =+，代入22194x y +=，整理得222(49)189360k x mkx m +++−=，令判别式0Δ=，得222(18)4(49)(936)0mk k m −+−=，即2294m k =+， 把切线方程化为m y kx =−，平方，得222()94m y kx k =−=+，整理得222(9)240x k xyk y −−+−=，注意到所有斜率为k 的椭圆的切线都满足该方程，设该方程的根为12,k k ，相应的切线为12,l l ，当12,l l 互相垂直时，2122419y k k x −==−−，即2213x y +=．由于满足2213x y +=的点(,)x y 既在1l 上，也在2l 上， 故2213x y +=就是12,l l 交点的轨迹方程；当切线斜率不存在或斜率为0时，易知点P 的坐标为(3,2)−−或(3,2)−或(3,2)−或(3,2)，显然都满足2213x y +=，故所求点P 的轨迹方程为2213x y +=．21、解：（1）依题意有222(2)2(2)30x x k x x k +++++−>，()()222+3210xx k x x k ++⋅++−>，2,31,13k k k <−∴+<−<−∵故222+3=021=0x x k x x k ++++−，均有两根记为：12341111x x x x =−+=−=−+=−−注意到3124x x x x >>>，故不等式()()222+3210x x k x x k ++⋅++−>的解集为：()()()4213,,,x x x x −∞∪∪+∞ ，即()()()4213,,,D x x x x =−∞∪∪+∞．（2）令()222=(2)2(2)3,g x x x k x x k x D +++++−∈，则()()()()'22=2(2)222(22)412+1g x x x k x x x x x k ++⋅+++=+⋅++，令()'0g x =，注意到2,11k k <−+<−，故方程2210x x k +++=有两个不相等的实数根记为5611x x =−+=−，且71x =−，注意到3512641x x x x x x >>>−>>>结合图像可知： 在区间()()23,1,,x x −+∞上()'0g x >，()g x 单调递增，在区间()()41,,1,x x −∞−上()'0g x <，()g x 单调递减，故()f x 在区间()()23,1,,x x −+∞上单调递减，在区间()()41,,1,x x −∞−上单调递增． （3）(1)f ==在区间D 上，令()()1f x f =，即2222(2)2(2)3=812x x k x x k k k +++++−++，()()222(2)2(2)350x x k x x k k k +++++−+⋅+=，()()2223250x x k k x x k k ⎡⎤⎡⎤++−+++++=⎣⎦⎣⎦，22232250x x x x k ⎡⎤⎡⎤+−+++=⎣⎦⎣⎦()∗， 方程22250x x k +++=的判别式8160k Δ=−−>，故此方程()∗有4个不相等的实数根，记为8910111,3,11x x x x ==−=−+=−−，注意到6k <−，故，1211,13x x =−+>=−−<−，故89,x x D ∈，(103110x x −=−+−+=>，故10x D ∈，4112420k k x x −−−−−===>，故11x D ∈，结合()()()4213,,,D x x x x =−∞∪∪+∞和函数的图像，可得()(1)f x f >的解集为()()()()1142981310,,,,x x x x x x x x ∪∪∪．。
广州市执信中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题含答案
2014-2015学年度第一学期高一级数学科期末考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．空间直角坐标系中，点(2,5,8)M 关于xoy 平面对称的点N 的坐标为（***）A. (2,5,8)-B. (2,5,8)-C. (2,5,8)-D. (2,5,8)--2．利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是（***） A ．正三角形的直观图仍然是正三角形 B ．平行四边形的直观图一定是平行四边形 C ．正方形的直观图是正方形 D ．圆的直观图是圆3的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积等于（***） A. 4π B. 6π C. 8π D. 9π4．设0.320.30.3log 2,log 3,2,0.3a b c d ====，则这四个数的大小关系是（***）A.a b c d <<<B. b a d c <<<C. b a c d <<<D. d c a b <<<5．已知圆221:2880C x y x y +++-=与圆222:4420C x y x y +---=相交，则圆1C 与2C 的公共弦所在的直线的方程为（***）A. 210x y ++=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y --=6．函数221()x f x x+=（***）A. 是奇函数且在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,22上单调递增 B. 是奇函数且在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,22上单调递减C. 是偶函数且在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,22上单调递增 D. 是偶函数且在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,22上单调递减7．下列四个说法：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 正确的是（***）Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．③和④ Ｄ．②和④8．函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是 （***）A ．B ．C ．D ．9．已知点(1,0),(1,0),(0,1)A B C -,直线y x b =+将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b =（***）A ．22B．12C ． 21-D ．212-10．若a b 、分别是方程lg 4,104xx x x +=+=的解，2,0()20a bx f x x x +⎧+<⎪=⎨⎪>⎩，.则关于x 的方程()21f x x =-的解的个数是（***） A ．1 B ．2 C ．3 D. 4第二部分非选择题 (共 100 分)二．填空题：本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 把答案填在答卷的相应位置．11．实数24,122x y x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩满足，则目标函数3z x y =+-的最小值是 *** .12．利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：由上表知，方程220x x -=的一个根所在区间为 *** .13．两条直线022=++y x 与024=-+y ax 互相垂直， 则a = *** .14．如图，直四棱柱1111-ABCD A B C D 的底面是边长为1的 正方形，侧棱长12AA 11A B 与1BD 的夹角大小等于 *** .15．直线(21)(2)0(,,0)m x y n x y m n R m n +-+-+=∈且不同时为经过定点 *** .16．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A ﹣BD ﹣C ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ； ②∆ACD 是等边三角形；③AB 与CD 所成的角为90°；④二面角A ﹣BC ﹣D 2； 其中正确结论是 *** .（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本题满分12分）已知集合2{|650}A x x x =-+<，2{|1216}x B x -=<<，{|ln()}C x y a x ==-，全集为实数集R . (1) 求,()R A B C A B ⋃⋂；(2) 若A C φ⋂=，求实数a 的范围.18．（本题满分10分）如图是一个几何体的正视图和俯视图. （1）画出其侧视图，判断该几何体是什么几何体； （2）求出该几何体的全面积和体积.19．（本题满分12分）已知圆C 经过点(2,0),(1,3)A B -，且圆心C 在直线y x =上. (1)求圆C 的方程；(2) 过点31（，的直线l 截圆所得弦长为3l 的方程.20．（本题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 的中点.（1）求证：PB //平面EAC ； （2）求证：AE ⊥平面PCD ；（3）若直线AC 与平面PCD 所成的角为30︒， 求CDAD的值.EDCP21.（本题满分10分）已知圆C ：22(3)(4)4-+-=x y ，直线1l 过定点(1,0)A （1）若直线1l 与圆相切，切点为B ，求线段AB 的长度；（2）若1l 与圆相交于,P Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与2l ：220++=x y 的交点为N ，判断AM •AN 是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由.22．（本题满分12分）对于函数()f x ,若存在0x R ∈使得00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠. （1）若1,3a b ==，求函数()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ,函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()y f x =图象上A 、B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且A 、B 两点关于直线2121y kx a =++对称，求b 的最小值.2014年高一数学期末考试参考答案1-10．CBDBB ADACB 11． 4-；12．（1.8，2.2）；13．2-；14．60°；15．(1,1)-；16．①②④ 17. （本题满分12分）已知集合全集为实数集R . (1) 求,()R A B C A B ⋃⋂； (2) 若A C φ⋂=，求实数a 的范围.17．解：{|15}A x x =<<，{|26}B x x =<<，{|}C x x a =<， (6分) (1) {|16}A B x x ⋃=<<，(8分)(){|15}{|26}{|56}R C A B x x x x x x x ⋂=≤≥⋂<<=≤<或(10分)(2) A C φ⋂=，所以1a ≤．(12分) 18．（本题满分10分）如图是一个几何体的正视图和俯视图. （1）画出其侧视图，判断该几何体是什么几何体； （2）求出该几何体的全面积和体积. 18．解：（1）左视图： 见下图可判断该几何体是一个正六棱锥.（4分）（2）正六棱锥的侧棱长是2a ，底面边长是a .它是由六个腰长是2a ，底面边长是a 的等腰三角形 与一个底面边长是a 的正六边形围成. ∴222211=(2)()6()62222a aS a a a a ⋅-⋅+⋅-⋅表面 =223153322a a +=233(51)2a +.（7分） 由正视图可知，正六棱锥的高22(2)3h a a a =-=，底面积33=2S a 底面，∴2311333=33322V S h a a a ⋅=⋅⋅=棱底 （10分）19．（本题满分12分）已知圆C 经过点(2,0),(1,3)A B -，且圆心C 在直线y x =上.(1)求圆C 的方程；(2) 过点313（，）的直线l 截圆所得弦长为23，求直线l 的方程.19.（1）设圆心C(,a a )，（1分）2222(2)(1)(3)0CA CB a a a a a =⇒+-=-++⇒=（4分）所以2r CA == （5分），圆C 的方程为224x y += （6分）（2）若直线l 的斜率不存在，方程为1x =，此时直线l 截圆所得弦长为23，符合题意；若直线l 的斜率存在，设方程为3(1)33330y k x kx y k -=--+-=即. 由题意，圆心到直线的距离222|33|23199k d k -==-=+3k ⇒=-直线l 的方程为320x y +-=.综上，所求方程为1x =或320x y +-= 20．（本题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面EDCPPAD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 的中点. （1）求证：PB //平面EAC ； （2）求证：AE ⊥平面PCD ；（3）若直线AC 与平面PCD 所成的角为30︒，求AD CD的值. 20．解：（1）连结BD 交AC 于O ，连结EO,因为O 、E 分别为BD 、PD 的中点, 所以EO//PB EAC PB EAC E 平面平面⊄⊂,0, 所以PB //平面EAC . （4分） （2）法一：AE ABCD CD AD CD PAD PAD ABCD AD CD AEPAD ABCD PAD ⇒⊥⎫⇒⊥⎫⎪⋂⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⊥⎭矩形面面面＝面面面CO ABCD ⊂面正三角形P AD 中，E 为PD 的中点，所以，AE PD ⊥， 又PD CD D =，所以，AE ⊥平面PCD . （10分）法二：ABCD CD AD CD PAD PAD ABCD AD PDC PAD CD PDC ABCD PAD ⇒⊥⎫⇒⊥⎫⎪⋂⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⊥⎭矩形面面面＝面面面面面CO ABCD ⊂面正三角形P AD 中，E 为PD 的中点，所以，AE PD ⊥，又PDC PAD PD =面面，AE PAD ⊂面，所以，AE ⊥平面PCD .（10分）（3）由（2）AE ⊥平面PCD ，直线AC 与平面PCD 所成的角为∠ACE30,2Rt ACE ACE AC AE ∴∠=︒=中，，又32PAD AE AD ∆=正中，， 3AC AD ∴=，又矩形22ABCD AC AD CD +中，223AD CD AD +=解得22CDCD AD=∴=，（14分）21.（本题满分10分）已知圆C ：22(3)(4)4-+-=x y ，直线1l 过定点(1,0)A（1）若直线1l 与圆相切，切点为B ，求线段AB 的长度； （2）若1l 与圆相交于,P Q 两点，线段PQ 的中点为M ， 又1l 与2l ：220++=x y 的交点为N ，判断AM AN 是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由. 21．(1)AB CB ⊥，所以切线长224AB AC r =-=（4分）(2)易知，若斜率不存在，则1l 与圆相切，若斜率为0，则1l 与圆相离，故直线的斜率存在， 可设1l 的方程：(1)y k x =-由220(1)x y y k x ++=⎧⎨=-⎩解得223(,)2121k k N k k --++又直线1CM l ⊥，14(3)(1)y x k y k x ⎧-=--⎪⎨⎪=-⎩解得22224342(,)11k k k k M k k +++++ 所以2222|21|31161|21|k k AM AN k k k ++=+=++为定值.(也可以用几何法证明)（10分） 22．（本题满分12分）对于函数()f x ,若存在0x R ∈使得00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠. (1)若1,3a b ==，求函数()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ,函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；(3)在（2）的条件下，若()y f x =图象上A 、B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且A 、B 两点关于直线2121y kx a =++对称，求b 的最小值.22. 解：（1）若1,3a b ==，22()42,()320f x x x f x x x x =++=⇒++=，2,1x ⇒=--，则()f x 的不动点为2,1--. （2分） （2）函数()f x 恒有两个相异的不动点，所以方程()f x x =即210(0)ax bx b a ++-=≠恒有两个不等实根，需要判别式大于0恒成立，即224(1)0440b a b b ab a -->⇔-+>对任意实数b 恒成立，2(4)44001a a a ⇒∆=--⨯<⇒<<，所以01a <<.（6分）（3）因为A 、B 两点关于直线2121y kx a =++对称，所以AB ⊥直线且中点M 在直线上设1122(,),(,)A x x B x x ，由（2）知，12bx x a+=-所以AB 的中点1212(,)(,)2222x x x x b bM a a++--即易知11AB k k =∴=- 221()222121b b ab a a a a ∴-=--+⇒=-++ 由（2），01a <<所以211212a b a aa =-=-=++min 24a b ====-（12分）。
2015年广东卷数学试题及答案(文)
层抽
0.0075
2
230 ， 224
3
5．
1 由 ( 0.002 + 0.0095 + 0.011 + 0.0125 + x + 0.005 + 0.0025 ) × 20 = 1 得 x = 0.0075 ，
所以直方图中 x 的值是 0.0075
考点 1、频率
直方图 2、样本的数字特征 众数、中位数
( −4,1)
−4 < x < 1 ，所以 等式 − x 2 − 3 x + 4 > 0 的解集为 ( −4,1) ，所
试题 析 由 − x 2 − 3 x + 4 < 0 得 以答案应填
( −4,1) ．
考点 一元 次 等式． 12. 已知样本数据 x1 ， x2 ， ⋅⋅⋅ ， xn 的均值 x = 5 ，则样本数据 2 x1 + 1 ， 2 x2 + 1 ， ⋅⋅⋅ ， 2 xn + 1 的 均值为 答案 ．
ΑD =
答案
3
考点 1、 线的性质
2、平行线 线段成比例定理
3、 割线定理．
、解答题 骤．
16、 本小题满
本大题共 6 小题，满
已知 tan α = 2 ．
80
．解答须写出文字说明、证明过程和演算步
12
(1) 求 tan α +
的值 4 sin 2α 的值． ( 2) 求 2 sin α + sin α cos α − cos 2α − 1
11
考点 均值的性质． 13. 若 个正数 a ， b ， c 成等比数列，其中 a = 5 + 2 6 ， c = 5 − 2 6 ，则 b = ．
2014年广东省高考数学卷含答案(理科)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A. 34i -+B. 34i --C. 34i +D. 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1） 6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系不确定8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。
2014年高考文科数学广东卷及答案解析
数学试卷 第1页（共10页） 数学试卷 第2页（共10页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(文科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.一组数据1x ,2x ,…,n x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-…, 其中x 表示这组数据的平均数.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{2,3,4}M =,{0,2,3,5}N =,则M N =( ) A .{0,2} B .{2,3}C .{3,4}D .{3,5} 2.已知复数z 满足(34i)25z -=,则z =( ) A .34i -- B .34i -+ C .34i - D .34i + 3.已知向量(1,2)=a ,(3,1)=b ,则-=b a( ) A .(2,1)-B .(2,1)-C .(2,0)D .(4,3)4.若变量x ,y 满足约束条件28,04,03,x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤≤则2z x y =+的最大值等于( ) A .7B .8C .10D .11 5.下列函数为奇函数的是( ) A .122x x-B .3sin x xC .2cos 1x +D .22x x +6.为了解1 000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为( ) A .50 B .40 C .25 D .20 7.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,则“a b ≤”是“sin sin A B ≤”的( )A .充分必要条件B .充分非必要条件C .必要非充分条件D .非充分非必要条件8.若实数k 满足05k ＜＜,则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的( ) A .实半轴长相等 B .虚半轴长相等 C .离心率相等 D .焦距相等 9.若空间中四条两两不同的直线1l ,2l ,3l ,4l ,满足12l l ⊥,23l l ∥,34l l ⊥,则下列结论一定正确的是( ) A .14l l ⊥B .14l l ∥C .1l 与4l 既不垂直也不平行D .1l 与4l 的位置关系不确定10.对任意复数1ω,2ω定义1212*ωωωω=,其中2ω是2ω的共轭复数,对任意复数1z ,2z ,3z ,有如下四个命题：①1231323()*(*)(*)z z z z z z z +=+； ②1231213*()(*)(*)z z z z z z z ++=+ ③123123(*)**(*)z z z z z z =； ④1221**z z z z =. 则真命题的个数是( )姓名________________ 准考证号_____________------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------------数学试卷 第3页（共10页） 数学试卷 第4页（共10页）A .1B .2C .3D .4二、填空题：本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11～13题)11.曲线5e 3x y y =-+在点(0,2)-处的切线方程为 .12.从字母a ,b ,c ,d ,e 中任取两个不同字母,则取到字母a 的概率为 . 13.等比数列{}n a 的各项均为正数,且154a a =,则212223log log log a a a +++2425log log a a += .(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,曲线1C 与2C 的方程分别为2cos sin ρθθ=与cos 1ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 与2C 的交点的直角坐标为 . 15.（几何证明选讲选做题）如图1,在平行四边形ABCD 中, 点E 在AB 上且2EB AE ＝,AC 与DE 交于点F ,则CDF AEF =△的周长△的周长 .三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数π()sin()3f x A x =+,x ∈R ,且5π()122f =. （Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）若()()f f θθ--=,π(0,)2θ∈,求π()6f θ-.17.（本小题满分13分）某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）19 1 28329 3 30 5 31 4 32 3 40 1 合计20（Ⅰ）求这20名工人年龄的众数与极差；（Ⅱ）以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图； （Ⅲ）求这20名工人年龄的方差. 18.（本小题满分13分）如图2,四边形ABCD 为矩形,PD ⊥平面ABCD ,1AB =,2BC PC ==.作如图3折叠：折痕EF DC ∥,其中点E ,F 分别在线段PD ,PC 上,沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ,并且MF CF ⊥.（Ⅰ）证明：CF ⊥平面MDF ； （Ⅱ）求三棱锥M CDE -的体积.19.（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n S 满足22(3)n n S n n S -+--23()0n n +=,*n ∈N .（Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n ,有11221111+(1)(1)(1)3n n a a a a a a +++++…＜.20.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为,.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点数学试卷 第5页（共10页） 数学试卷 第6页（共10页）P 的轨迹方程.21.（本小题满分14分）已知函数321()1()3f x x x ax a =+++∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a ＜时,试讨论是否存在011(0,)(,1)22x ∈,使得01()()2f x f =.{2,3,4}{0,2,3,5}={2,3}N =D 2525(34i)25(3=34i (34i)(34i)+==--+【答案】B【解析】(3,1)b a -=-【答案】C，a b ，，【解析】05k <<)21k -=-【答案】D312313231323)()()()()()z z z z z z z z z z z z ++===+，故①是真命题；12312312312131213()()()()()()()z z z z z z z z z z z z z z z z +=+=+=+=+，②对；()()()z z z z z z z z z z z z =*==，右边，≠左边右边，③错；（2）茎叶图如下图(1928329330531432340)+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+CD PD D=，所以MF AD M=，所以CF⊥平面ADF，DFBC PC==60，30CDF∠，38CD DE=，211111111111()()()(1)2323525722121n na a n n++<+-+-++-+⨯-+数学试卷第7页（共10页）数学试卷第8页（共10页）数学试卷 第9页（共10页） 数学试卷 第10页（共10页）1,12⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭，使得1124⎛+-+ ⎝ 1,12⎫⎛⎫⎪⎪⎭⎝⎭上有解1,12⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭上有解，1,12⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭上无解；11a -+-1,12⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭上有1,12⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭上无解57,412⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎭⎝⎭时1,12⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭，。
广东省东莞市2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题(B卷) 含答案
广东省东莞市2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题B卷2014—2015学年度第一学期期末教学质量检查高一数学（B 卷）参考答案及评分标准一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCCBACDBAD二、填空题11. 072=+-y x 12. 11 13. －3 14. b c a ,, (a c b <<) 三、解答题15．解：(1) 因为{|0A x x =<或2}x ≥，{}|11B x x =-<<所以{|1A B x x ⋃=<或2}x ≥. ……………5分 (2) 因为{|0A x x =<或2}x ≥，所以{|02}R C A x x =≤< ………………………8分 又{}|11B x x =-<<，所以(){|01}R C A B x x ⋂=≤<. ………………………12分 16．解:（1） 1为()f x 的一个零点，∴1(1)02c f -== ………………………………2分 ∴1c =. …………………………………………………4分（2）由（1）可知1()1x f x x -=+， …………5分 证明：设任意211x x >>-21212111()()11x x f x f x x x ---=-++ ……………………………………7分 ()()()2112211x x x x -=++ ……………………………………9分∵211x x >>- ∴210x x ->，1210,10x x +>+>∴()()()21122011x x x x ->++，∴2121()()0,()()f x f x f x f x ->>即 ………………………11分 所以函数()f x 在()1,-+∞上是增函数 ………………………………………12分17．解：(1)由2304350x y x y --=⎧⎨--=⎩解得21x y =⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(2,1).………………3分将P 的坐标(2,1)代入直线013=+-+a y ax 中，可求得2a =. ……………………5分 (2)设所求直线为l ，当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为2x =-，此时点P 与直线l 的距离为4，不合题意. ……………………………………7分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为,k则l 的方程为3(2)y k x -=+ 即230kx y k -++= ………………………………9分 因此点P 到直线l 的距离2|2123|251k k d k -++==+ ………………………………11分解方程可得2k =. …………………………………………………13分 所以直线l 的方程为270x y -+=. ……………………………………14分 18. 解：（1）证明： 依题意可知： G 是AC 中点……………1分ACE BF 平面⊥ CE ⊂平面ACE则BF CE ⊥，而BE BC =∴F 是EC 中点 ……………3分 在AEC ∆中，连接,FG 则AE FG // ………4分 又 ,AE BFD FG BFD ⊄⊂平面平面 ∴BFD AE 平面// …………………5分 （2）证明： ABE AD 平面⊥，BC AD //∴ABE BC 平面⊥，AE ⊂平面ABE ，则BC AE ⊥ ………7分 又 ACE BF 平面⊥，AE ⊂平面ACE ，则BF AE ⊥ ……8分且,BC BF B BC ⋂=⊂BCE 平面,BF ⊂BCE 平面 ∴BCE AE 平面⊥ ……………10分（3）解：由（2）知AE 为三棱锥A BCE -的高 ……………11分BC ⊥平面ABE BE ⊂平面ABEBC BE ∴⊥， 2===BC EB AE ∴1122222BCE S BC BE ∆=⨯=⨯⨯= ……………12分 ∴三棱锥A BCE -的体积11422333BCE V S AE ∆=⨯=⨯⨯= ……………14分19．解：（1）由题知：22(222)(0)3b -+++-=(0)b >，…………………………2分 解得：1b = ………………………4分（2）方法一：因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C （-2,1）到直线l 的距离等于圆C 的半径3ABCDEFG即：2132m--+= …………………………………………6分解得：36m =± …………………………………………7分方法二：由224220x y x y y x m ⎧++-+=⎨=+⎩消去y 得：()22221220x m x m m +++-+= …………………………………………6分因为直线l 与圆C 相切，所以()()22418220m m m ∆=+--+=解得：36m =± …………………………………………7分（3）设()11,M x y ，()22,N x y ，由圆的方程知120,0x x ≠≠由224220x y x y y x m ⎧++-+=⎨=+⎩消去y 得：()22221220x m x m m +++-+= ……………………………8分 ∴ ()()()22122124182201222m m m x x m m m x x ⎧⎪∆=+--+>⎪⎪+=-+⎨⎪-+⎪=⎪⎩ ……………………………9分OM ON ⊥∴ 11111OM ON y yk k x x ==-， 即12120x x y y += ………11分∴ ()()()21212121220x x x m x m x x m x x m +++=+++=∴ ()22222102m m m m m -+-++= 2320m m -+= 解得： 1m =，或2m = …………………………………………………13分 检验可知：它们满足0∆>，故所求m 的值为1m =，或2m =………………14分20. 解:（1）若A =∅，则A B ⊆显然成立； ……………1分 若A ≠∅，设t A ∈，则()()()(),f t t ff t f t t ===， ……………3分∴t B ∈，故A B ⊆. ……………4分 （2）∵()21f x x =-，∴(())2(21)143f f x x x x =--=-=，∴1x = ……………6分 ∴{1}B = ……………7分 （3）2,A x a x ≠∅∴-=有实根， 14a ∴≥-. …………8分 方程22(())()f f x x a a x =--=，可化为22()(1)0x x a x x a --+-+=. ……9分设方程210x x a +-+=的解集为C ， 方程(())f f x x =的解集B A C =A B =，C A ∴⊆ …………………………10分方程210x x a +-+=的判别式43a ∆=- ①304a ∆<⇒<时，C A =∅⊆成立 ②304a ∆=⇒=时，113,,222C A ⎧⎫⎧⎫=-=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，C A ⊆成立 ③304a ∆>⇒>时，不合题意 由①②③得34a ≤综上所述 13[,]44a ∈- …………14分。
广州市执信中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题及答案
2014-2015学年度第一学期 高一级数学科期末考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．空间直角坐标系中，点(2,5,8)M 关于xoy 平面对称的点N 的坐标为（***） A. (2,5,8)- B. (2,5,8)- C. (2,5,8)- D. (2,5,8)--2．利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是（***） A ．正三角形的直观图仍然是正三角形 B ．平行四边形的直观图一定是平行四边形 C ．正方形的直观图是正方形 D ．圆的直观图是圆3．已知一个棱长为3的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积等于（***） A. 4π B. 6π C. 8π D. 9π4．设0.320.30.3log 2,log 3,2,0.3a b c d ====，则这四个数的大小关系是（***） A.a b c d <<< B. b a d c <<< C. b a c d <<< D. d c a b <<<5．已知圆221:2880C x y x y +++-=与圆222:4420C x y x y +---=相交，则圆1C 与2C 的公共弦所在的直线的方程为（***）A. 210x y ++=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y --=6．函数221()x f x x+=（***）A. 是奇函数且在区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,22上单调递增B. 是奇函数且在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,22上单调递减 C. 是偶函数且在区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,22上单调递增 D. 是偶函数且在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,22上单调递减 7．下列四个说法： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 正确的是（***）Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．③和④ Ｄ．②和④ 8．函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是 （***）A ．B ．C ．D ．9．已知点,直线y x b =+将△分割为面积相等的两部分,则b =（***）A ．22B ．12C ． 21-D ．212-10．若a b 、分别是方程lg 4,104xx x x +=+=的解，2,0()20a bx f x x x +⎧+<⎪=⎨⎪>⎩，.则关于x 的方程()21f x x =-的解的个数是（***） A ． B ． C ． D.第二部分非选择题 (共 100 分)二．填空题：本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 把答案填在答卷的相应位置．11．实数24,122x y x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩满足，则目标函数3z x y =+-的最小值是 *** .12．利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：由上表知，方程220x x -=的一个根所在区间为 *** .13．两条直线022=++y x 与024=-+y ax 互相垂直， 则a = *** .14．如图，直四棱柱1111-ABCD A B C D 的底面是边长为1的 正方形，侧棱长1=2AA ，则异面直线11A B 与1BD 的夹角 大小等于 *** .123415．直线(21)(2)0(,,0)m x y n x y m n R m n +-+-+=∈且不同时为经过定点 *** .16．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A ﹣BD ﹣C ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ； ②∆ACD 是等边三角形；③AB 与CD 所成的角为90°；④二面角A ﹣BC ﹣D 的平面角正切值是2；其中正确结论是 *** .（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本题满分12分）已知集合2{|650}A x x x =-+<，2{|1216}x B x -=<<，{|ln()}C x y a x ==-，全集为实数集R .(1) 求,()R A B C A B ⋃⋂； (2) 若A C φ⋂=，求实数a 的范围.18．（本题满分10分）如图是一个几何体的正视图和俯视图. （1）画出其侧视图，判断该几何体是什么几何体； （2）求出该几何体的全面积和体积.19．（本题满分12分）已知圆C 经过点(2,0),(1,3)A B -，且圆心C 在直线y x =上. (1)求圆C 的方程；(2) 过点313（，）的直线l 截圆所得弦长为23，求直线l 的方程.20．（本题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 的中点. （1）求证：PB //平面EAC ； （2）求证：AE ⊥平面PCD ；（3）若直线AC 与平面PCD 所成的角为30︒，EABDCP求CDAD的值.21.（本题满分10分）已知圆C ：22(3)(4)4-+-=x y ，直线1l 过定点(1,0)A （1）若直线1l 与圆相切，切点为B ，求线段AB 的长度；（2）若1l 与圆相交于,P Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与2l ：220++=x y 的交点为N ，判断AM •AN 是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由.22．（本题满分12分）对于函数()f x ,若存在0x R ∈使得00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠. （1）若1,3a b ==，求函数()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ,函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()y f x =图象上A 、B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且A 、B 两点关于直线2121y kx a =++对称，求b 的最小值.2014年高一数学期末考试参考答案1-10．CBDBB ADACB-；16．①②④11．4-；12．（1.8，2.2）；13．2-；14．60°；15．(1,1)17. （本题满分12分）已知集合全集为实数集R . (1) 求,()R A B C A B ⋃⋂；(2) 若A C φ⋂=，求实数a 的范围.17．解：{|15}A x x =<<，{|26}B x x =<<，{|}C x x a =<， (6分) (1) {|16}A B x x ⋃=<<，(8分)(){|15}{|26}{|56}R C A B x x x x x x x ⋂=≤≥⋂<<=≤<或(10分) (2) A C φ⋂=，所以1a ≤．(12分)18．（本题满分10分）如图是一个几何体的正视图和俯视图. （1）画出其侧视图，判断该几何体是什么几何体； （2）求出该几何体的全面积和体积. 18．解：（1）左视图： 见下图可判断该几何体是一个正六棱锥.（4分）（2）正六棱锥的侧棱长是2a ，底面边长是a .它是由六个腰长是2a ，底面边长是a 的等腰三角形 与一个底面边长是a 的正六边形围成.∴222211=(2)()6()62222a aS a a a a ⋅-⋅+⋅-⋅表面 =223153322a a +=233(51)2a +.（7分）由正视图可知，正六棱锥的高22(2)3h a a a =-=，底面积33=2S a 底面，∴2311333=33322V S h a a a ⋅=⋅⋅=棱底 （10分）19．（本题满分12分）已知圆C 经过点(2,0),(1,3)A B -，且圆心C 在直线y x =上.(1)求圆C 的方程；(2) 过点313（，）的直线l 截圆所得弦长为23，求直线l 的方程. 19.（1）设圆心C(,a a )，（1分）2222(2)(1)(3)0CA CB a a a a a =⇒+-=-++⇒=（4分）所以2r CA == （5分），圆C 的方程为224x y += （6分）（2）若直线l 的斜率不存在，方程为1x =，此时直线l 截圆所得弦长为23，符合题意；若直线l 的斜率存在，设方程为3(1)333303y k x kx y k -=--+-=即. 由题意，圆心到直线的距离222|33|23199k d k -==-=+33k ⇒=-直线l 的方程为320x y +-=.综上，所求方程为1x =或320x y +-= 20．（本题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 的中点. （1）求证：PB //平面EAC ；EABDCP（2）求证：AE ⊥平面PCD ；（3）若直线AC 与平面PCD 所成的角为30︒， 求ADCD的值. 20．解：（1）连结BD 交AC 于O ，连结EO,因为O 、E 分别为BD 、PD 的中点, 所以EO//PB EAC PB EAC E 平面平面⊄⊂,0, 所以PB //平面EAC . （4分） （2）法一：CO ABCD ⊂面正三角形P AD 中，E 为PD 的中点，所以，AE PD ⊥， 又PD CD D =，所以，AE ⊥平面PCD . （10分）法二：ABCD CD AD CD PAD PAD ABCD AD PDC PAD CD PDC ABCD PAD ⇒⊥⎫⇒⊥⎫⎪⋂⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⊥⎭矩形面面面＝面面面面面C O A B C D⊂面 正三角形P AD 中，E 为PD 的中点，所以，AE PD ⊥，又PDC PAD PD =面面，AE PAD ⊂面，所以，AE ⊥平面PCD .（10分） （3）由（2）AE ⊥平面PCD ，直线AC 与平面PCD 所成的角为∠ACE30,2Rt ACE ACE AC AE ∴∠=︒=中，，又32PAD AE AD ∆=正中，， 3AC AD ∴=，又矩形22ABCD AC AD CD =+中，，由223AD CD AD +=解得22CD CD AD AD=∴=， （14分） 21.（本题满分10分）已知圆C ：22(3)(4)4-+-=x y ，直线1l 过定点(1,0)A（1）若直线1l 与圆相切，切点为B ，求线段AB 的长度； （2）若1l 与圆相交于,P Q 两点，线段PQ 的中点为M ， 又1l 与2l ：220++=x y 的交点为N ，判断AM AN 是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由. 21．(1)AB CB ⊥，所以切线长224AB AC r =-=（4分）(2)易知，若斜率不存在，则1l 与圆相切，若斜率为0，则1l 与圆相离，故直线的斜率存在， 可设1l 的方程：(1)y k x =- 由220(1)x y y k x ++=⎧⎨=-⎩解得223(,)2121k kN k k --++ AE ABCD CD AD CD PAD PAD ABCD AD CD AEPAD ABCD PAD ⇒⊥⎫⇒⊥⎫⎪⋂⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⊥⎭矩形面面面＝面面面又直线1CM l ⊥，14(3)(1)y x k y k x ⎧-=--⎪⎨⎪=-⎩解得22224342(,)11k k k k M k k +++++ 所以2222|21|31161|21|k k AM AN k k k ++=+=++为定值.(也可以用几何法证明)（10分） 22．（本题满分12分）对于函数()f x ,若存在0x R ∈使得00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠. (1)若1,3a b ==，求函数()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ,函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；(3)在（2）的条件下，若()y f x =图象上A 、B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且A 、B 两点关于直线2121y kx a =++对称，求b 的最小值.22. 解：（1）若1,3a b ==，22()42,()320f x x x f x x x x =++=⇒++=，2,1x ⇒=--，则()f x 的不动点为2,1--. （2分） （2）函数()f x 恒有两个相异的不动点，所以方程()f x x =即210(0)ax bx b a ++-=≠恒有两个不等实根，需要判别式大于0恒成立，即224(1)0440b a b b ab a -->⇔-+>对任意实数b 恒成立，2(4)44001a a a ⇒∆=--⨯<⇒<<，所以01a <<.（6分）（3）因为A 、B 两点关于直线2121y kx a =++对称，所以AB ⊥直线且中点M 在直线上 设1122(,),(,)A x x B x x ，由（2）知，12bx x a+=-所以AB 的中点1212(,)(,)2222x x x x b bM a a++--即 易知11AB k k =∴=- 221()222121b b a b a a a a ∴-=--+⇒=-++ 由（2），01a <<所以221112112(2)22a b a a a a a=-=-=-++-+当且仅当min 121222422a ab a ===-=-即时，（12分）。
广东省广州市执信中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题_Word版含答案
2014-2015学年度第一学期高一级数学科期末考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．空间直角坐标系中，点(2,5,8)M 关于xoy 平面对称的点N 的坐标为（***）A. (2,5,8)-B. (2,5,8)-C. (2,5,8)-D. (2,5,8)--2．利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是（***） A ．正三角形的直观图仍然是正三角形 B ．平行四边形的直观图一定是平行四边形 C ．正方形的直观图是正方形 D ．圆的直观图是圆3的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积等于（***） A. 4π B. 6π C. 8π D. 9π4．设0.320.30.3log 2,log 3,2,0.3a b c d ====，则这四个数的大小关系是（***）A.a b c d <<<B. b a d c <<<C. b a c d <<<D. d c a b <<<5．已知圆221:2880C x y x y +++-=与圆222:4420C x y x y +---=相交，则圆1C 与2C 的公共弦所在的直线的方程为（***）A. 210x y ++=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y --=6．函数221()x f x x+=（***）A. 是奇函数且在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,22上单调递增 B. 是奇函数且在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,22上单调递减C. 是偶函数且在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,22上单调递增 D. 是偶函数且在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,22上单调递减7．下列四个说法：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 正确的是（***）Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．③和④ Ｄ．②和④8．函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是 （***）A ．B ．C ．D ．9．已知点(1,0),(1,0),(0,1)A B C -,直线y x b =+将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b =（***）A ．22B．12C ． 21-D ．212-10．若a b 、分别是方程lg 4,104xx x x +=+=的解，2,0()20a bx f x x x +⎧+<⎪=⎨⎪>⎩，.则关于x 的方程()21f x x =-的解的个数是（***） A ．1 B ．2 C ．3 D. 4第二部分非选择题 (共 100 分)二．填空题：本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 把答案填在答卷的相应位置．11．实数24,122x y x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩满足，则目标函数3z x y =+-的最小值是 *** .12．利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：由上表知，方程220x x -=的一个根所在区间为 *** .13．两条直线022=++y x 与024=-+y ax 互相垂直， 则a = *** .14．如图，直四棱柱1111-ABCD A B C D 的底面是边长为1的 正方形，侧棱长12AA 11A B 与1BD 的夹角大小等于 *** .15．直线(21)(2)0(,,0)m x y n x y m n R m n +-+-+=∈且不同时为经过定点 *** .16．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A ﹣BD ﹣C ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ； ②∆ACD 是等边三角形；③AB 与CD 所成的角为90°；④二面角A ﹣BC ﹣D 2；其中正确结论是 *** .（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本题满分12分）已知集合2{|650}A x x x =-+<，2{|1216}x B x -=<<，{|ln()}C x y a x ==-，全集为实数集R . (1) 求,()R A B C A B ⋃⋂；(2) 若A C φ⋂=，求实数a 的范围.18．（本题满分10分）如图是一个几何体的正视图和俯视图. （1）画出其侧视图，判断该几何体是什么几何体； （2）求出该几何体的全面积和体积.19．（本题满分12分）已知圆C 经过点(2,0),(1,3)A B -，且圆心C 在直线y x =上. (1)求圆C 的方程；(2) 过点31（，的直线l 截圆所得弦长为3l 的方程.20．（本题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 的中点. （1）求证：PB //平面EAC ； （2）求证：AE ⊥平面PCD ；（3）若直线AC 与平面PCD 所成的角为30︒， 求CDAD的值.EDCP21.（本题满分10分）已知圆C ：22(3)(4)4-+-=x y ，直线1l 过定点(1,0)A （1）若直线1l 与圆相切，切点为B ，求线段AB 的长度；（2）若1l 与圆相交于,P Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与2l ：220++=x y 的交点为N ，判断AM •AN 是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由.22．（本题满分12分）对于函数()f x ,若存在0x R ∈使得00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠. （1）若1,3a b ==，求函数()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ,函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()y f x =图象上A 、B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且A 、B 两点关于直线2121y kx a =++对称，求b 的最小值.2014-2015学年度第一学期O •••••••••••••••••••••• 密•••••••••••••••••••••• O •••••••••••••••••••••• 封 •••••••••••••••••••••O •••••••••••••••••••••• 线••••••••••••••••••••••O••••••••••OO •••••••••••••••••••••• 密•••••••••••••••••••••• O •••••••••••••••••••••• 封 •••••••••••••••••••••• O •••••••••••••••••••••• 线••••••••••••••••••••••O21.2014年高一数学期末考试参考答案1-10．CBDBB ADACB11． 4-；12．（1.8，2.2）；13．2-；14．60°；15．(1,1)-；16．①②④ 17. （本题满分12分）已知集合全集为实数集R .(1) 求,()R A B C A B ⋃⋂；(2) 若A C φ⋂=，求实数a 的范围.17．解：{|15}A x x =<<，{|26}B x x =<<，{|}C x x a =<， (6分)(1) {|16}A B x x ⋃=<<，(8分)(){|15}{|26}{|56}R C A B x x x x x x x ⋂=≤≥⋂<<=≤<或(10分)(2) A C φ⋂=，所以1a ≤．(12分)18．（本题满分10分）如图是一个几何体的正视图和俯视图.（1）画出其侧视图，判断该几何体是什么几何体；（2）求出该几何体的全面积和体积.18．解：（1）左视图： 见下图可判断该几何体是一个正六棱锥.（4分）（2）正六棱锥的侧棱长是2a ，底面边长是a .它是由六个腰长是2a ，底面边长是a 的等腰三角形与一个底面边长是a 的正六边形围成.∴222211=(2)()6()62222a a S a a a a ⋅-⋅+⋅-⋅表面 =223153322a a +=233(51)2a +.（7分） 由正视图可知，正六棱锥的高22(2)3h a a a =-=，底面积33=S a 底面，∴2311333=3332V S h a a a ⋅=⋅⋅=棱底 （10分）19．（本题满分12分）已知圆C 经过点(2,0),(1,3)A B -，且圆心C 在直线y x =上.(1)求圆C 的方程；(2) 过点313（，）的直线l 截圆所得弦长为23，求直线l 的方程.19.（1）设圆心C(,a a )，（1分） 2222(2)(1)(3)0CA CB a a a a a =⇒+-=-++⇒=（4分）所以2r CA == （5分），圆C 的方程为224x y += （6分）（2）若直线l 的斜率不存在，方程为1x =，此时直线l 截圆所得弦长为23，符合题意；若直线l 的斜率存在，设方程为3(1)333303y k x kx y k -=--+-=即. 由题意，圆心到直线的距离222|33|23199k d k -==-=+3k ⇒=- 直线l 的方程为320x y +-=. 综上，所求方程为1x =或320x y +-=20．（本题满分14分）如图，四棱锥P ABCD-的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 的中点.（1）求证：PB //平面EAC ；（2）求证：AE ⊥平面PCD ； E DCP（3）若直线AC 与平面PCD 所成的角为30︒， 求AD CD的值. 20．解：（1）连结BD 交AC 于O ，连结EO,因为O 、E 分别为BD 、PD 的中点, 所以EO//PBEAC PB EAC E 平面平面⊄⊂,0,所以PB //平面EAC . （4分）（2）法一：AE ABCD CD AD CD PAD PAD ABCD AD CD AE PAD ABCD PAD ⇒⊥⎫⇒⊥⎫⎪⋂⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⊥⎭矩形面面面＝面面面 CO ABCD ⊂面正三角形P AD 中，E 为PD 的中点，所以，AE PD ⊥，又PD CD D =I ，所以，AE ⊥平面PCD . （10分）法二：ABCD CD AD CD PAD PAD ABCD AD PDC PAD CD PDC ABCD PAD ⇒⊥⎫⇒⊥⎫⎪⋂⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⊥⎭矩形面面面＝面面面面面 CO ABCD ⊂面正三角形P AD 中，E 为PD 的中点，所以，AE PD ⊥，又PDC PAD PD =I 面面，AE PAD ⊂面，所以，AE ⊥平面PCD .（10分）（3）由（2）AE ⊥平面PCD ，直线AC 与平面PCD 所成的角为∠ACE30,2Rt ACE ACE AC AE ∴∠=︒=V 中，，又3PAD AE AD ∆=正中，， 3AC AD ∴=，又矩形22ABCD AC AD CD +中，223AD CD AD += 解得22CD CD AD=∴=，（14分） 21.（本题满分10分）已知圆C ：22(3)(4)4-+-=x y ，直线1l 过定点(1,0)A（1）若直线1l 与圆相切，切点为B ，求线段AB 的长度；（2）若1l 与圆相交于,P Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与2l ：220++=x y 的交点为N ，判断AM AN g 是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由.21．(1)AB CB ⊥，所以切线长224AB AC r =-=（4分）(2)易知，若斜率不存在，则1l 与圆相切，若斜率为0，则1l 与圆相离，故直线的斜率存在，可设1l 的方程：(1)y k x =-由220(1)x y y k x ++=⎧⎨=-⎩解得223(,)2121k k N k k --++ 又直线1CM l ⊥，14(3)(1)y x k y k x ⎧-=--⎪⎨⎪=-⎩解得22224342(,)11k k k k M k k +++++所以6AM AN==g为定值.(也可以用几何法证明)（10分）22．（本题满分12分）对于函数()f x,若存在x R∈使得00()f x x=成立，则称x为()f x的不动点.已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a=+++-≠.(1)若1,3a b==，求函数()f x的不动点；（2）若对任意实数b,函数()f x恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；(3)在（2）的条件下，若()y f x=图象上A、B两点的横坐标是函数()f x的不动点，且A、B两点关于直线2121y kxa=++对称，求b的最小值.22. 解：（1）若1,3a b==，22()42,()320f x x x f x x x x=++=⇒++=，2,1x⇒=--，则()f x的不动点为2,1--. （2分）（2）函数()f x恒有两个相异的不动点，所以方程()f x x=即210(0)ax bx b a++-=≠恒有两个不等实根，需要判别式大于0恒成立，即224(1)0440b a b b ab a-->⇔-+>对任意实数b恒成立，2(4)44001a a a⇒∆=--⨯<⇒<<，所以01a<<.（6分）（3）因为A、B两点关于直线2121y kxa=++对称，所以AB⊥直线且中点M在直线上设1122(,),(,)A x xB x x，由（2）知，12bx xa+=-所以AB的中点1212(,)(,)2222x x x x b bMa a++--即易知11ABk k=∴=-221()222121b b aba a a a∴-=--+⇒=-++由（2），01a<<所以211212aba aa=-=-=++min24a b====-（12分）。
2015广东高考数学试题B卷及部分答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学B 卷 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题1.若集合()(){}()(){}|410,|410M x x x N x x x =++==--=，则M N ⋂=A.∅B.{}1,4--C.{}0D.{}1,42.若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =A.32i -B.32i +C.23i +D.23i -3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A.x y x e =+B.1y x x =+C.122x x y =+ D.21y x =+ 4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有一个白球，1个红球的概率为A.1B.1121C.1021D.5215.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是 A.250x y -+=或250x y --= B. 250x y ++=或250x y +-=C.250x y -+=或250x y --=D. 250x y ++=或250x y +-=6.若变量,x y 满足约束条件45813,02x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则32z x y =+的最小值为 A.315 B.6 C.235D.4 7、已知双曲线C ：2222-1(00)x y a b a b=>>，的离心率为5e 4=，且其右焦点为F 2（5，0），则双曲线的方程为A 、22-143x y =B 、22-1169x y = C 、22-1916x y = D 、22-134x y = 8、若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值A 、大于5B 、等于5C 、至多等于4D 、至多等于3二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（9~13题）9、在4(1)x -的展开式中，x 的系数为 ．10、在等差数列{n a }中，若34567a a a a a ++++＝25，则28a a +＝＿＿＿11、设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若13,sin ,26a B C π===，则b ＝＿＿＿12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了＿＿＿＿条毕业留言（用数字作答）13、已知随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），若E （X ）＝30，D （X ）＝20，则p ＝＿＿＿（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的极坐标方程为2sin()24πρθ-=，点A 的极坐标为A （722,4π），则点A 到直线l 的距离为 ． 15、（几何证明选讲选做题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4,=AB EC 是圆O 的切线，切点为C ，1=BC ，过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD =_______.三、解答题16、（12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量（1）若m ⊥n ，求tanx 的值；（2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值； 17、（12分）某工厂36名工人的年龄数据如下表：（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值x 的方差s 2；（3）36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少？（精确到0.01%）18、(14分)如图2，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．点E 是CD 边的中点，点F<G 分别在线段AB ，BC 上，且AF=2F ，CG=2GB 。
2014年高考真题——理科数学(广东B卷)Word版含解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0:11,,60,.22B B =∴答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 200,20B. 100,20C. 200,10D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA ++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系不确定 答案:D 8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130 答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C 10;:C 40;:C C C 80.104080130,D .x x x x x C C A C C ++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-x x 的解集为 .(][)(][),32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为 .'5'0:530:5,5,35,530.xx x y y eyy x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba. 2222222:2::cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,24,222, 2.ab Cc B a a b bB C C B B B C B aA B a b ba b c a c b b b a ab ab ac aa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= .51011912101112202019151201011:50,,l nl n l n ,l n l n l n ,220l n 20l n 20l n100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sincos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDFAEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ， （1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f. 55233:(1)()sin()sin ,12124322(2)(1):()sin(),4()()))44(sin coscos sin ))cos cos()sin )44443cos sin 42cos (0,),42f A A A fx x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴===+∴+-=++-+=+-+-===∴=∈解由得sin 433()sin()).44444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-===17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f ======解频率分布直方图如下所示(](](]044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.B C ξξ-=-=根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E. （1）证明：CF ⊥平面ADF ； （2）求二面角D －AF －E 的余弦值.:(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF ADAF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则0022,CD 2,30,130,==1,21324,,,,,22333EG .,4233193193622()()474747EHG D AF E DPC CDF CF CD DE CF CP EF DC DE DF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴==⋅======⋅∴==-为二面角的平面角设从而∥还易求得EF=从而易得故3476347257cos 47319GH EHG EH ∴∠===12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,(23,22,0),,,431,0),ADF CP (3,1,0),22AEF (xDP DC DA x y z DC A CF CP FDF CF F E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,19||||2n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为，离心率为3，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数()f x =，其中2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.222222122222:(1)(2)2(2)30,2123:210,44(1)4(2)0(2),21=01210:11230,23044(3)x x k x x k x x k x x k x x k k k k x x k x x k x x x x k x x k k +++++->++>++<-++->∆=--=-><-∴++--∴++-><->-+++<+++=∆=-+=解则①或②由①得方程的解为由得由②得:方程的判别式23'24(2)0(2),1230:112,11111(,1(12,12)(12,).(2)0,1()2(2k k x x k x k D k k k u f x u x ---><-∴-+++<-<-<-∴---<--+∴=-∞------+---+-+∞==-⋅⋅该方程的解为得设则23222'2'22)(22)2(22)2(1)(21)()(,1,10,21110,()0;()(11),10,21310,()0;()(1,1,10,21310,x k x x u x x x k i x x x x k f x ii x x x x k f x iii x x x x k f -⎡⎤++⋅+++⎣⎦=-+⋅+++∈-∞-+<+++>+>∴>∈--+<+++<-+<∴<∈--+>+++<-+<∴当时当时当时'2'()0;()(1),10,21110,()0.,():(,11,1,():(11),(1).x iv x x x x k f x f x D f x D >∈-++∞+>+++>+>∴<-∞---+---+∞当时综上在上的单调增区间为在上的单调减区间为22222222222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D ,g(x)0;g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,()(1)()(1),()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3][(2)(3k)]x x k x x k k k k k g f x f g x g g x g x x k x x k k x x k =+++++-∈>=+++-=++<->>⇔<-=+++++--+++-=++-+设由知当时又显然当时从而不等式2222[(2)(3)](3)(1)(225),()(3)(1)0,()(1),()(6,111311111,1111),2250,k x x k k x x x x k i x x x f x f g x x g x k x x +++-+=+-++<-∴-----<<--+-+--+<+->∴><+<-+∴-++<当欲使即亦即即2222(3)(1)0,225(2)(5)3(5)0,()(1),()(1);(1iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;(iv)1(()13,13)(1)0,,2ii x x x x x k x x k kk g x g f x f x x x x x k k g x g x x x x x <+->+++=++++<-++<<>-<<+---<--<+++<-++<∴><<+->++时此时即时不合题意212,142142,253(5)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,()(1)121,142,12)(12,3)(12)(1(,11k k k g x k x k g x x x g x g k x k k k k x x k f x f -----<-+<-++<∴<>+->∴<+---+-<-+-----⋃----⋃-+--⋃-+-+++<>时从而综合题意欲使则即的解集为:上所述。
2014-2015上学期高数I-B答案
510、填空题（共5小题, 每小题3分，共15分）1•设y - y (x)是由方程x-y U1+ 2cosy=0所确定，贝 dy =一2一dx.2 + s iny函数<111)2・数列的极限nmR R+L_e一的带有佩亚诺余项的三阶麦克劳林公式为+。
（4函数二（X —1）的凹区间 函数y 躱6的单调增区间为 [0,址）、计算题（共5小题，每小题10分，共50分）1.求不定积分Jarccosxdx;X解：原式=x arccosx + Jj- dx JI9 一x~-xarccosx2.蕊瞭盼 的古十1 r sin x-tanx 解：原式二- Iim£ 丁-j 丄一x 十u -------------_ J +tan x o----------- 孑 -----------暨南大学考试试卷■51010sin cosx （ x 」）3XT 0 寸，sin X -X, 131 X 「） X cosx1 2，—X_一 cosx二e sid?解:？dt sin + cosdxdx Jos 方t- sidtntd dv d si nt + C OS tdx 2- （- —— ■（ ------------dx dx dtCOS t -sint dx，所确定, nt2求Jydx104.求不定积分jja 2 — x 2dx,其中a ：＞0.；解：令 a si nt,其中 贝 U dx 二且 costdt, Ja2~x" = =a aco無式二fa? cos2tdt 二a3•设y 二y(x)由参数方程dt ）-e （cot 鸟一s i rt ）103因(2小过切线，所以y — Xo解得X 。
二1.因此切线方程为2Xn+2x~3 二 0.勻冷）.2得分 评阅人三、证明题(共1小题，每小题8分，共8分)旦t 2 22 一si n2t a 2■ X +C X fT 二 --- arc si 4 一 —c va c 2 a 25.求过点（3, 0）与曲线2-X 2 +C相切的直线方程; 101解：设切点为(Xo, r),X电，所以切线方程为X1. 一气球从离开观察员x=530m 处离地面铅直上升，观察员以0. 5 m/min （分）走向气球升空点，6分钟后，气球高度为h=500m 时，速率为140m/min （分）。
2014-2015年广东省高考理科数学试题及答案
绝密 ★ 启用前2014-2015年广东省高考理科数学试题及答案数学（理工类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．学科网在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A. 34i -+B. 34i --C. 34i +D. 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值学科网和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，学科网为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则学科网下面结论一定正确的是小学生 3500名初中生4500名 高中生2000名 小学 初中 30 高中 10年级 50 O 近视率/%A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。
广东实验中学2014-2015学年下学期高一年级期中考试数学试卷 Word版含答案
广东实验中学2014—2015学年（下）高一级模块考试数 学本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分。
考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上，并用2B 铅笔填涂学号．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第一部分 基础检测(共100分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式x x x 2522>-- 的解集是A. }15{-≤≥x x x 或B. }15{-<>x x x 或C. }51{≤≤-x xD. }51{<<-x x 2．在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且6πA =，12πB =，3a =，则c 的值为A ．6B ．32C ．D ．3．在ABC ∆中，若sin sin cos cos sin A A C A C -=，则ABC ∆的形状是 A ． 直角三角形 B ．正三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形4．{}n a 是等差数列，1a 与2a 的等差中项为1，2a 与3a 的等差中项为2，则公差=d A ．21 B ．23C ．1D ． 2 5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且公比1q ≠，若2a 、312a 、1a 成等差数列， 则公比q =A ．B C D6．如果0a b <<,那么下列不等式成立的是A ．11a b< B ．11a b-<- C ．2ab a -<- D ．2ab b < 7．已知,m n 是满足1m n +=，且使19m n+取得最小值的正实数.若函数y x α=过点2,3P m n ⎛⎫⎪⎝⎭，则α的值为 A. 3B. 2C.12D. 1-8．已知等比数列}{n a 前n 项和为n S ，则下列一定成立的是A ．若30a >，则20150a <；B ．若40a >，则20140a <；C ．若30a >，则20150S >；D ．若40a >，则20140S >．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．9．已知数列{}n a 为等差数列，若134a a +=，2410a a +=，则{}n a 的前n 项和n S =_____． 10．不等式213x x ++-≤的解集是11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z ++=______．12．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos 3A =，则b =______ 三、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．（本题满分14分）2009年推出一款新型家用轿车，购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、 养路费及汽油费共0.7万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用， 第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元．(1)设该辆轿车使用n 年的总费用(包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费） 为f (n )，求f (n )的表达式；(2)这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年，年平均费用最少)?BA14．（本题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且B b aC A c a sin )()sin )(sin (-=+-．（1）求角C 的大小；（2）若5=a ，7=c ，求ABC ∆的面积．15．（本题满分14分）已知数列{}n a 满足：11a =，1221,N n n a a n *+=+∈.数列{}n b 的前n 项和为n S ，219,N 3n n S n -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，N n *∈.求数列{}n c 的前n 项和n T .第二部分 能力检测(共50分)四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分． 16． 已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，若nn a n 212+=，则=n S .17．设正数c b a ,,满足,36941c b a c b a ++≤++则=+++cb ac b 32 .18．（本题满分14分）如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ， 另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步 行到C . 现有甲，乙两游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为min /50m . 在甲 出发min 2后，乙从A 乘车到B ，在B 处停留min 1后，再匀速步行到C . 假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ,山路AC 长为m 1260，经测量,1312cos =A 53cos =C . (1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟， 乙步行的速度应控制在什么范围内？19．（本题满分12分）若有穷数列1a ，2a ，3,,m a a （m 是正整数）满足条件：1(1,2,3,,)i m i a a i m -+==，则称其为“对称数列”．例如，1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”．（1）若}{n b 是25项的“对称数列”，且,13b ,14b 15,b ，25b 是首项为1，公比为2的等比数列．求}{n b 的所有项的和S ；（2）若}{n c 是50项的“对称数列”，且,26c ,27c 28,c ，50c 是首项为1，公差为2的等差数列．求}{n c 的前n 项和n S ，150,n n *≤≤∈N .20．（本题满分14分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知112a =， 2(1)n n S n a n n =--(n ∈*N ).(1) 求23,a a ；(2) 求数列{}n a 的通项； (3)设+11n n n b S S =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:52n T <(*n ∈N ).广东实验中学2014—2015学年高一级模块考试数学期中考参考解答1~8 BDCDABCC; 9.23522n n - ; 10. ［－2,1］; 11. 174;12. 13、解 (1)由题意得：每年的维修费构成一等差数列，n 年的维修总费用为2)]1(2.00[-+n n ＝0.1n 2－0.1n (万元) …………3分所以f (n )＝14.4＋0.7n ＋(0.1n 2－0.1n ) ＝0.1n 2＋0.6n ＋14.4(万元) …………6分 (2)该辆轿车使用n 年的年平均费用为 nn f )(＝0.1n 2＋0.6n ＋14.4n ＝0.1n ＋0.6＋14.4n …………8分≥20.1n ·14.4n＋0.6＝3(万元)．…………12分当且仅当0.1n ＝14.4n时取等号，此时n ＝12. …………13分答 这种汽车使用12年报废最合算．…………14分14 、（1）由已知和正弦定理得：（a +c ）（a -c ）=b （a -b ）…………2分故a 2-c 2=ab -b 2，故a 2+b 2-c 2=ab ，故cos C ＝2222a b c ab+-＝4分故C=60°…………5分9分12分15、解: （1）由1221n n a a +=+得11,N 2n n a a n *+-=∈，…………1分 又11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列，于是11(1)2n n a a n d +=+-=，N n *∈.…………3分 当1n =时，1211196,3b S -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭…………4分当2n ≥时，31193n n S --⎛⎫=- ⎪⎝⎭，231211299333n n n n n n b S S ----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=---=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，…………6分又1n =时12263n b -==，所以223n n b -=，N n *∈. …………7分（2）由（Ⅰ）知12n n a +=，223n n b -=，N n *∈， 所以21(1),N 3n n n n c a b n n -*⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭.…………9分所以1121111234(1)3333n n T n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1)等式两边同乘以13得 012111111234(1)33333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………(2) …………10分(1)-(2)得10121112111112(+1)3333331113=6+(+1)1313n n n n n T n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭-…………12分所以245251,N 443n n n T n -*+⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.…………14分16 、 )2)(1(23243+++-=n n n S n ; 17、 136 18、解:(1)∵1312cos =A ,53cos =C ∴），（、20π∈C A ∴135sin =A ,54sin =C .…………1分∴[]6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π…………2分根据sinB sinC AC AB =得m C ACAB 1040sin sinB== …………4分 (2)设乙出发t 分钟后,甲.乙距离为d,则1312)50100(1302)50100()130(222⨯+⨯⨯-++=t t t t d …………5分M∴)507037(20022+-=t t d …………7分∵13010400≤≤t 即80≤≤t …………8分 ∴3735=t 时,即乙出发3735分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. …………10分(3)由正弦定理sinBsinA ACBC =得50013565631260sin sinB ===A AC BC (m) …………11分 乙从B 出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V min /m ,则350710500≤-v …………12分 ∴3507105003≤-≤-v ∴14625431250≤≤v …………13分 ∴为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在⎥⎦⎤⎢⎣⎡14625,431250范围内…………14分19、（1）依题意，131,b =142b =，…，1212251322b b =⋅=.…………2分 则121252b b ==，112242b b ==，…，12142b b ==.…………4分则()12121212121()22 (12112)S b b b ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=++++=⨯+-1423=- ……………..6分 （2）依题意，502624249c c =+⨯=，因为}{n c 是50项的“对称数列”，所以15049,c c ==24947,c c ==…， 2526 1.c c ==所以当125n ≤≤时，250n S n n =-+；…………8分 当2650n ≤≤时，251(25)(25)(26)22n S S n n n =+-+⨯--⨯， n S =1250502+-n n .…………11分综上，22501255012502650,.n n nn n S n n n n **⎧-+≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩N N ，， ……………..12分20、 (1)当2n =时,2242S a =-,解得256a =； ………1分 当3n =时,3396S a =-, 解得31112a =； …………………2分 (2)当2n ≥时，()21(1)n n n S n S S n n -=---，整理得()2211(1)n n n S n S n n --=+-，即()1111n n n S nS nn -+-=- …………………………5分所以数列()1n n S n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公差为1的等差数列. …………………………6分所以()1n n S n n +=，即21n n S n =+ ………………………7分 代入2(1)n n S n a n n =--中可得()111n a n n =-+. …………………………8分(3) 由(Ⅱ)得21n n S n =+,()221n n b n n +=+, …………………9分当2k ≥时，()2221121121(1)(1)(1)1k k k k k b k k k k k k k k k k k k +++⎛⎫==⋅≤⋅==- ⎪+++++⎝⎭……11分 当1=n 时,13522T =<成立； ………………………12分 当2n ≥时,所以31111115252223341212n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦综上所述,命题得证. ………………………………………………………14分。
2015年全国高考文科数学试题及答案-广东卷
绝密★启用前 试卷类型：B一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N =（ ）A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1-【答案】C【解析】试题分析：{}1M N =，故选C ．考点：集合的交集运算．2. 已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i【答案】D考点：复数的乘法运算．3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =-C ．122x xy =+D ．sin 2y x x =+【答案】A【解析】试题分析：函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()1sin1f x -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x =-的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，所以函数()2cos f x x x =-是偶函数；函数()122x x f x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数()122x x f x =+是偶函数；函数()sin 2f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()sin 2f x x x =+是奇函数．故选A ． 考点：函数的奇偶性．4. 若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．2【答案】C中国校长网教学资源频道 历年全国高考试题/gaokaoshiti 考点：线性规划．5. 设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a=，c =，cos A =b c <，则b =（ ）AB ．2C ．D ．3【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以(22222b b =+-⨯⨯即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ．考点：余弦定理．6. 若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l至多与1l ，2l 中的一条相交 D ．l 与1l ，2l 都不相交【答案】A考点：空间点、线、面的位置关系．7. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1【答案】B【解析】试题分析：5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，恰有一件次品，有6种，分别是(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，设事件A =“恰有一件次品”，则()60.610P A ==，故选B ． 考点：古典概型． 8.已知椭圆222125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ） A ．9 B ．4 C ．3 D ．2【答案】C【解析】试题分析：由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ．考点：椭圆的简单几何性质．9. 在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】试题分析：因为四边形CD AB 是平行四边形，所以()()()C D 1,22,13,1A =AB +A =-+=-，所以()D C 23115A ⋅A =⨯+⨯-=，故选D ．考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．10. 若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且， (){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200【答案】D中国校长网教学资源频道 历年全国高考试题 /gaokaoshiti考点：推理与证明．二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11~13题）11. 不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示）【答案】()4,1-【解析】试题分析：由2340x x --+<得：41x -<<，所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-，所以答案应填：()4,1-．考点：一元二次不等式．12. 已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，nx 的均值5x =，则样本数据121x +，221x+，⋅⋅⋅，21n x +的均值为．【答案】11考点：均值的性质．13. 若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+5c =-，则b = ．【答案】1【解析】试题分析：因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以(2551b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1．考点：等比中项． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C的参数方程为2x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 【答案】()2,4-【解析】试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x +=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-． 考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．15. （几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =，C E =，则D A = ．【答案】3中国校长网教学资源频道 历年全国高考试题 /gaokaoshiti 考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知tan 2α=．()1求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； ()2求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【答案】（1）3-；（2）1．考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.17、（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．()1求直方图中x 的值；()2求月平均用电量的众数和中位数；()3在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5．【解析】试题解析：（1）由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=得：0.0075x =，所以直方图中x 的值是0.0075中国校长网教学资源频道 历年全国高考试题 /gaokaoshiti 考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（众数、中位数）；3、分层抽样.18、（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．()1证明：C//B 平面D P A；()2证明：C D B ⊥P ；()3求点C 到平面D P A 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3． 【解析】试题解析：（1）因为四边形CD AB 是长方形，所以C//D B A ，因为C B⊄平面D P A ，D A ⊂平面D P A ，所以C//B 平面D P A（2）因为四边形CD AB 是长方形，所以C CD B ⊥，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，C B ⊂平面CD AB ，所以C B ⊥平面DC P ，因为DP ⊂平面DC P ，所以C D B ⊥P（3）取CD 的中点E ，连结AE和PE ，因为D C P =P ，所以CD PE ⊥，在Rt D ∆PE 中，PE ===DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，PE ⊂平面DC P ，所以PE ⊥平面CD AB ，由（2）知：C B ⊥平面DC P ，由（1）知：C//D B A ，所以D A ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以D D A ⊥P ，设点C 到平面D P A 的距离为h ，因为C D CD V V-P A P-A =三棱锥三棱锥，所以D CD 1133S h S ∆P A ∆A ⋅=⋅PE ，即CD D S h S ∆A ∆P A ⋅PE ===，所以点C 到平面D P A考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.19、（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+． ()1求4a 的值；()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式． 【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．中国校长网教学资源频道考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.历年全国高考试题/gaokaoshiti。
2014年广东卷数学试题及答案(理)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.54.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B. （1,-1,0） C. （0,-1,1） D. （-1,0,1）6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A 、200,20B 、100,20C 、200,10D 、100,107、若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．14,l l 既不垂直也不平行D ．14,l l 的位置关系不确定8.设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A ．60 B90 C.120 D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。