高考数学难点突破难点01集合思想及应用

合集下载

高中数学破题致胜微方法(集合应用剖析)：“数形结合思想”在集合运算中的应用含解析

数形结合思想方法是高中数学中常用的一种解题思想方法，在解答有关集合运算7及抽象集合问题时，一般要借助数轴或韦恩图求解，运用数形结合思想方法可以比较形象、直观地解决问题,往往有事半功倍的效果,平时我们要加强“数形结合”的思维训练.下面我们看几个例题.例1。

设全集{}{}R,|1,|0,U A x x B x x a ==>=+<且A,U B ≠⊂求实数a的取值范围。

解:{}{}A |1,|U x x B x x a =≤=<-，1a ∴≥-.思路点拨：首先化简并求解集合，然后借助数轴由已知所给的集合间的关系求出a 的取值范围.例2。

设集合{}{}||2|3,|8,,S x x T x a x a ST R =->=<<+=求实数a的取值范围。

解：第一步:化简集合，{}{}|15,|8S x x x T x a x a 或=<->=<<+。

第二步：借助数轴：1第三步：根据所给集合间的关系列不等式求解参数，1,3185a a a 得<-⎧∴-<<-⎨+>⎩。

例3。

某班级共有30人，其中15人喜爱篮球,8人喜爱足球，两项都不喜欢的有8人，则喜爱篮球但不喜爱足球的有_____人。

例4。

如图所示，I 是全集，A ，B ,C 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（）篮球足球x 15x 7x 8A.()A B CI B.()A B CI C.()A B C I D.()B A C解：选择B.注：对于韦恩图所表述的集合应做如下理解：阴影部分涉及谁就交谁，不涉及谁就交其补集 . 就此，我们看下面阴影部分所表示的集合：A B C I ()A B C I I ()()A B CAB C。

高三数学高考数学难点攻克与解题技巧分享与典型题型解析与解题思路探讨

高三数学高考数学难点攻克与解题技巧分享与典型题型解析与解题思路探讨数学作为高中阶段的重要学科之一，对于学生来说往往是最具挑战性的一门学科之一。

特别是在高考阶段，数学的难度系数也随之提升，考生们必须要有足够的准备和解题技巧才能更好地应对。

本文将分享一些高考数学的难点攻克方法和解题技巧，同时结合典型题型进行解析，以期能帮助广大考生在高考数学中取得更好的成绩。

一、高考数学的难点分析在高考数学中，有一些知识点和题型往往是考生们最头疼的难点。

下面我们就来分析一下这些难点并给出解题技巧。

1. 集合与函数集合与函数作为高考数学必学的知识点，常常出现在选择题和解答题中。

在解答集合与函数的问题时，考生需要注意以下几个方面：首先，对于集合的表示和操作要熟练掌握。

这包括交集、并集、差集等基本操作，以及集合的表示方法和判定集合之间的关系。

其次，对于函数的应用要灵活运用。

函数的定义域、值域、反函数等概念需要理解清楚，并能够熟练应用到各类问题中。

最后，要注意对于集合与函数的混合应用。

有些题目可能会结合集合和函数的性质进行综合求解，考生需要能够看清题目要求，灵活应用所学知识。

2. 三角函数三角函数是高考数学中的重点和难点之一。

学生在解三角函数相关的问题时，常常容易陷入一些常见的误区。

下面列举一些容易出错的地方：首先，角度的转化需要熟练。

弧度与角度之间的转化是解答三角函数问题的基础，考生需要通过练习熟练掌握。

其次，角度的定义域要注意。

例如，反三角函数的定义域需要符合对应三角函数值的范围，考生需要在解答问题时注意角度的合法性。

最后，要掌握三角函数的性质和常见的等式变形方法。

这样在解答复杂的三角函数问题时能够通过运用性质和等式来简化问题。

3. 函数与导数函数与导数是高考数学中的基础和重点内容，也是许多考生容易被绕晕的地方。

在解答函数与导数相关的问题时，考生需要注意以下几个难点：首先，对于函数的图像和性质要熟悉掌握。

通过观察函数的图像，可以大致了解函数的增减性、极值点等重要特征，从而更好地解答问题。

高考数学难点突破1??—集合集合是高中数...

高考数学难点突破1⃣️—集合集合是高中数...
高考数学难点突破1⃣️—集合
集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用
⃣️⃣️不花一分钱关注《智博伟才教育》：更多名师指导学习！免费培养智慧博学的伟大人才！[来看我][来看我][来看我][来看我] ⃣️⃣️祝愿更多的孩子进入清华北大‼ [祈祷][祈祷][比心][比心]
✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨
来源：精选提炼小红书作者：朴社长用户笔记、版权归原作者，智博伟才教育不拥有所有权，不承担相关法律责任。

免责声明：智博伟才教育头条号是面向普通网友的教育知识分享平台，目的是为了传递更多知识给需要的人，智博伟才教育网友发布爆料不代表本网赞同其观点和对其真实性负责。

如因作品内容涉嫌抄袭侵权/违法违规和其它问题，请在7日内联系小编删除。

高考数学考纲解读与热点难点突破专题01集合常用逻辑用语教学案文

专题01集合、常用逻辑用语【2019年咼考考纲解读】从近几年高考题来看，涉及本节知识点的高考题型是选择题或填空题•有时在大题的条件或结论中出现所以在复习中不宜做过多过高的要求，只要灵活掌握小型综合题型就可以了.要掌握以函数的定义域、值域、不等式的解集为背景考查集合的交、并、补的基本运算；要能够利用集合之间的关系，利用充要性求解参数的值或取值范围；要掌握命题的四种形式及命题真假的判断；还得注意以新定义集合及集合的运算为背景考查集合关系及运算•要活用“定义法”解题，重视“数形结合”，定义是一切法则和性质的基础，是解题的基本出发点，注意方法的选择，抽象到直观的转化•要体会数学语言的简洁性与明确性，发展运用数学语言交流问题的能力•体会分类讨论思想、数形结合思想、函数方程思想等数学思想在解题中的运用.【重点、难点剖析】一、集合的概念及运算1 •集合的运算性质及重要结论(1) A U A= A, A U ? = A, A U B= B U A.(2) A n A= A, A n ? = ?, A n B= B n A.⑶ A n(?U A) = ?, A U( ?U A) = U.⑷ A n B= A? A? B, A U B= A? B? A.2•集合运算中的常用方法(1) 数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴法求解.(2) 图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解.⑶Venn图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn图法求解.【方法技巧】解答集合问题的策略：(1) 集合的化简是实施运算的前提，等价转换是顺利解题的关键.解决集合问题，要弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；抓住集合中元素的三个性质，对互异性要注意检验；(2) 求交集、并集、补集要充分发挥数轴或韦恩图的作用；(3) 含参数的问题，要有分类讨论的意识•注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性.二、充分与必要条件的判断充分、必要条件与充要条件的含义若p、q中所涉及的问题与变量有关，p、q中相应变量的取值集合分别记为A, B,那么有以下结论:【方法技巧】命题真假的判定方法：(1) 一般命题p的真假由涉及到的相关知识辨别；(2) 四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；(3) p V q、p A q、「p命题的真假根据p, q的真假与逻辑联结词的含义判定；(4) 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要举出集合M中的一个x = x o,使得p(x o)不成立即可(也就是通常所说的“举一个反例”).要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中能找到一个x = X0，使p(x o)成立即可；否则，这一存在性命题是假命题.三、命题真假的判定与命题的否定1•四种命题的关系(1) 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2) 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.2. 复合命题真假的判断方法含逻辑联结词的命题的真假判断：“ p V q ”有真则真，其余为假；“p A q ”有假则假，其余为真；“綈P ”与“ P ”真假相反.3.全称量词与存在量词(1) 全称命题p ： ? x € M P (x )，它的否定綈 p ： ? x o € M 綈P (x o ). (2) 特称命题p ： ? X o € M p (x o )，它的否定綈 p ： ? x € M 綈p (x ). 【方法技巧】充分条件必要条件的判定方法：(1) 定义法：分清条件和结论；找推式，判断“p ? q ”及“q ? p ”的真假；下结论，根据推式及定义下结论； (2) 等价转化法：条件和结论带有否定词语的命题，常转化为其逆否命题来判断； (3) 集合法：小范围可推出大范围，大范围不能推出小范围. 【题型示例】题型一、集合的含义与表示、集合的运算A.刘 B. |{1・ C. 画 D.【答案】A【解析】根据集合交集中元素的特征，可以求得应卫②]，故选A.【变式探究】(2018 •全国卷H )已知集合 A = {(x , y)|x 2+ y 2< 3, x € Z , y €Z }，则A 中元素的个数为A. 9 B . 8 C . 5 D. 4【解析】由题意可知 A = {( —1,0) , (0,0) , (1,0) , (0，- 1) , (0,1) , ( — 1,— 1) , ( —1,1) , (1 ,- 1) , (1,1)}，故集合A 中共有9个元素，故选 A.【答案】A【变式探究】解决集合问题的 3个注意点 (1) 集合含义要明确：构成集合的元素及满足的性质.(2) 空集要重视：已知两个集合的关系，求参数的取值，要注意对空集的讨论.(3) “端点”要取舍：要注意在利用两个集合的子集关系确定不等式组时，端点值的取舍问题，一定要代入检验，否则可能产生增解或漏解现象.【变式探究】(2018年全国III 卷)已知集合料=*冰-1兰0}],尸{0丄2}],则|APiB = A •回 B.画 C.回 D. 【答案】C例1、(2018年全国I 卷)已知集合 *{0. 2}|, 2. -1. 0, 1, 2}贝 m"lB =【解析】由集合A得巨7],所以= 故答案选C.【变式探究】（2018年全国卷H）已知集合，—:二"二，则.A. B. C. D.【答案】C【解析】■•，. ：•.「、.；I-. : ，“ yr - 丁心、，故选Co【变式探究】（2018年全国III卷）已知集合^ =例十I三闻，B = {0丄"1，则A•回B. H C.回D.【答案】C【解析】由集合A得巨7],所以R「iB = e纠，故答案选C.【变式探究】（2018年浙江卷）已知全集U={1 , 2, 3, 4, 5} , A={1 , 3}，贝UA. "B. {1 , 3}C. {2 , 4 , 5}D. {1 , 2 , 3 , 4 , 5}【答案】C【解析】因为全集」.,所以根据补集的定义得'.?■■ = <■>■:,故选C.【变式探究】（2018年北京卷）已知集合A={（|| |<2）}, B={-2,0,1,2},则|ACW =A. {0,1}B. { -1,0,1}C. { -2,0,1,2}D. { -1,0,1,2}【答案】A【解析】2} = {x|-, ZAnB={0」]| ,故选A o【变式探究】（2018年天津卷）设集合A = , 3= {_1Q23 , C = {x€R|—1兰注2},则人UBWO【解析】由并集的定义可得：4UB = {-1Q12乳4}],结合交集的定义可知：|（AUB）门<2 = {_1』」}本题选择C选项。

集合问题难点突破

例 2 对于任意的两个正数 m，n，定义运算⊙：当 m、n 都为偶数 m＋n 或都为奇数时，m⊙n＝；当 m、n 为一奇一偶时，m⊙n＝ mn，设 2 集合 A＝{(a， b)|a⊙b＝6， b∈N *}， a，则集合 A 中的元素个数为________． a＋b 【解析】 (1)当 a、都为偶数或都为奇数时， b ＝6⇒a＋b＝12， 2
本题为集合新定义创新题型，以集合新定义为载体，通过阅读与理解、信息迁移，考查考生分析问题和解决问题的能力，以及数形结合和化归转化的能力．
二、创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．
1 1 1 对于③， l＝时，当 S＝{x|m≤x≤ }，根据性质有 x2∈S，那么 m2≤ ， 2 2 2 2 2 解得－ ≤m≤ ；又根据性质有 m≤m2，解得 m≤0 或 m≥1.综合可 2 2 2 得－ ≤m≤0，即③正确； 2 综上所述，故选 D.
【答案】 D
通过非空集合S中元素属性的分析，结合题目中引入的相应的创新性质，通过不等式的相关知识，分别确定相应命题的正确性，通过具体代入分析，从而达到求解与判断的目的．
即 2＋10＝4＋8＝6＋6＝1＋11＝3＋9＝5＋7＝12，故符合题意的点(a， b)有 2×5＋1＝11 个； (2)当 a，为一奇一偶时， ab＝6⇒ab＝36， 1×36＝3×12＝4×9 b 即＝36，故符合题意的点(a，b)有 2×3＝6 个．综合(1)(2)，集合 A 中的元素个数为 17 个．
(对应学生用书P9)
探究高考中4种类型的集合创新问题数学思维的创新是思维品质的最高层次，在近几年高考中，相继出现了一些以考查考生探究能力和创新能力为目的的“创新题”，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现” 为目的，为高层次思维创造了条件，是挖掘、提炼数学思想方法，充分展示应用数学思想方法的良好载体，本文精选一些以集合为背景的创新题型，并分类解析，旨在探索题型规律，供同学们参考．一、创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题．新定义型信息题是试题改革的一个亮点，它能有效地考查考生独立获取信息、加工信息及继续学习的能力．

高考数学1轮复习热点难点精讲精析 1.1集合

一、集合的根本概念 1、相关链接(1 )由元素与集合的关系 ,可以分析集合中元素的特征：确定性、互异性和无序性 .(2 )在解决集合的概念的问题时 ,要注意养成自学使用符号的意识和能力 ,运用集合的观点分析、处理实际问题 .(3 )集合的表示方法：有列举法、描述法和Venn 图 ,在解题时要根据题目选择适宜的方法 . 注：①要特别注意集合中的元素所代表的特征 .如：A ={y|y =x 2+2},B ={(x,y)|y =x 2+2}.其中A 表示数集 ,B 表示二次函数y =x 2+2的图象上所有点组成的集合 ,二者不能混淆 .②注意集合中元素的互异性对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性. ③常见集合的意义集合{x|f(x) =0} {x|f(x)>0} {x|y =f(x)} {y|y =f(x)}{(x,y)|y=f(x)}集合的意义方程f(x) =0的解集不等式f(x)>0的解集函数y =f(x)的定义域函数y =f(x)的值域函数y =f(x)的图象上的点集2、例题解析例1． (1)设P 、Q 为两个非空实数集合 ,定义集合P +Q ={a +b|a ∈P,b ∈Q},假设P ={0,2,5},Q ={1,2,6},那么P +Q 中元素的个数是( )(A)9 (B)8 (C)7 (D)6(2) -3∈A ={a -2 ,2a 2 +5a ,12} ,那么a =______.【解题指导】(1)从P +Q 的定义入手 ,可列表求出a +b 的值.(2) -3是A 中的元素 ,说明A 中的三个元素有一个等于 -3 ,可分类讨论. 解析：(1)选B.根据新定义将a +b 的值列表如下：由集合中元素的互异性知P +Q 中有8个元素 ,应选B.(2)∵ -3∈A,∴a -2 = -3或2a 2+5a = -3 , ∴a = -1或.=-3a 2当a = -1时 ,a -2 =2a 2+5a = -3,不合题意;当.=-3a 2时 ,A ={-72, -3 ,12},符合题意, 故.=-3a 2答案：.=-3a 2例2．集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,假设{}0,1,2,4,16A B =,那么a 的值为( )A.0B.1 C 答案 D解析 ∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,应选D.例3．以下集合中表示同一集合的是 ( C )A ．M = {(3 ,2)} ,N = {(2 ,3)}B ．M = {(x ,y )|x + y = 1} ,N = {y |x +y= 1}C ．M = {4 ,5} ,N = {5 ,4}D ．M = {1 ,2} ,N = {(1 ,2)}答案：C解析：由集合中元素的特征 (确定性、无序性、唯一性 )即得 .二、集合间的根本关系和运算 1、相关链接(1 )子集与真子集的区别与联系：集合A 的真子集一定是其子集 ,而集合A 的子集不一定是其真子集；假设集合A 有n 个元素 ,刚其子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.(2 )全集是一个相对概念 ,一个全集又可以是另一个集合的子集或真子集 ,是我们为研究集合关系临时选定的一个集合.(3 )集合A 与其补集的区别与联系:两者没有相同的元素,两者的所有元素合在一起,就是全集. (4 )集合的根本运算包括交集、并集和补集.在解题时要注意Venn 图及补集思想的应用 . (5 )集合的简单性质：①;,,A B B A A A A A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂②;,A B B A A A ⋃=⋃=Φ⋃ ,A A φ⋃= ,A A B ⊆⋃ ,B A B ⊆③);()(B A B A ⋃⊆⋂④B B A B A A B A B A =⋃⇔⊆=⋂⇔⊆;；⑤S C (A ∩B ) = (S C A )∪ (S C B ) ,S C (A ∪B ) = (S C A )∩ (S C B ) . ⑥,,A B B C ⊆⊆⊆若则A C ；假设A B ,B C ,那么A C(6 )方法指导：①解决集合相等问题的一般思路假设两个集合相等,首|先分析元素在另一个集合中与哪一个元素相等,有几种情况等,然后列方程组求解,要注意挖掘题目中的隐含条件.②判断两集合关系的常用方法：<1>化简集合 ,从表达式中寻找两集合间的关系； <2>用列举法表示各集合 ,从元素中寻找关系. ③集合运算的常用方法<1>集合元素离散时借助Venn 图运算；<2>集合元素连续时借助数轴运算 ,借助数轴运算时应注意端点值的取舍.2、例题解析例1：(1)(2021·山东（高|考）)设集合M ={x|x 2+x -6<0}, N ={x|1≤x ≤3},那么M ∩N =( ) (A)［1 ,2) (B)［1 ,2］ (C)(2 ,3］ (D)［2 ,3］ (2)(2021·湖南（高|考）)设全集U =M ∪N ={1 ,2 ,3 ,4 ,5} ,M ∩UN ={2 ,4} ,那么N =( )(A){1 ,2 ,3} (B){1 ,3 ,5} (C){1 ,4 ,5} (D){2 ,3 ,4}(3)(2021·辽宁（高|考）)M ,N 为集合I 的非空真子集 ,且M ,N 不相等 ,假设N ∩I M =Ø ,那么M ∪N =( )(A)M (B)N (C)I (D)Ø 【解题指导】(1)化简集合M ,借助数轴求解. (2)借助于Venn 图知⊆UN M ，从而 .=UUMN N(3)借助于Venn 图寻找集合M ,N 的关系.解析:(1)选A.∵M ={x| -3<x<2},∴M ∩N ={x|1≤x<2}.(2)选B.∵U =M ∪N, {},,,∴⊆∴==UUUN M MN N 24又 {}.=∴=UNN U N 135，，，(3)选A.如图 ,∵N ∩I M =Ø,∴N ⊆M ,∴M ∪N =M.例2：集合A ={y|y 2 -(a 2 +a +1)y +a(a 2 +1)>0},B ={y|y 2-6y +8≤0} ,假设A ∩B ≠φ ,那么实数a 的取值范围为 ( )．分析：解决数学问题的思维过程 ,一般总是从正面入手 ,即从条件出发 ,经过一系列的推理和运算 ,最|后得到所要求的结论 ,但有时会遇到从正面不易入手的情况 ,这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．此题假设直接求解 ,情形较复杂 ,也不容易得到正确结果 ,假设我们先考虑其反面 ,再求其补集 ,就比拟容易得到正确的解答．解：由题知可解得A ={y|y>a 2+1或y<a}, B ={y|2如图由⎩⎨⎧≥+≤4122a a ,得⎩⎨⎧-≤≥≤332a a a 或 ∴3-≤a 或23≤≤a .即A ∩B ＝φ时a 的范围为3-≤a 或23≤≤a .而A ∩B ≠φ时a 的范围显然是其补集,从而所求范围为{}332|<<->a a a 或.注： (1 )一般地 ,我们在解时 ,假设正面情形较为复杂 ,我们就可以先考虑其反面 ,再利用其补集 ,求得其解 ,这就是 "补集思想〞．(2 )解决含参数问题的集合运算 ,首|先要理清题目要求 ,看清集合间存在的相互关系 ,注意分类讨论思想的应用 .空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系 ,在解题中漏掉它极易导致错解 . 三、集合与其他知识的综合应用例1： (本小题总分值13分)集合},,,,{321n a a a a A = ,其中)2,1(>≤≤∈n n i R a i ,)(A l 表示和)1(n j i a a j i ≤<≤+中24a 2+1a所有不同值的个数．(Ⅰ )设集合}8,6,4,2{=P ,}16,8,4,2{=Q ,分别求)(P l 和)(Q l ； (Ⅱ )假设集合}2,,8,4,2{n A = ,求证：2)1()(-=n n A l ； (Ⅲ ))(A l 是否存在最|小值 ?假设存在 ,求出这个最|小值；假设不存在 ,请说明理由 ? 解： (Ⅰ )由,1486,1284,1064,1082,862,642=+=+=+=+=+=+ 得5)(=P l .由,24168,20164,1284,18162,1082,642=+=+=+=+=+=+ 得6)(=Q l . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5分(Ⅱ )证明：因为)1(n j i a a j i ≤<≤+最|多有2)1(2-=n n C n 个值 ,所以.2)1()(-≤n n A l 又集合}2,,8,4,2{nA = ,任取),1,1(,n l k n j i a a a a l k j i ≤<≤≤<≤++ 当l j ≠时,不妨设l j < ,那么l k l j j j i a a a a a a +<≤=<++122 ,即l k j i a a a a +≠+.[当k i l j ≠=,时 ,l k j i a a a a +≠+.因此 ,当且仅当l j k i ==,时 , l k j i a a a a +=+. 即所有)1(n j i a a j i ≤<≤+的值两两不同 , 所以.2)1()(-=n n A l - - - - - - - - - - - - - - -9分 (Ⅲ ) )(A l 存在最|小值 ,且最|小值为32-n ．不妨设,321n a a a a <<<< 可得,1213121n n n n a a a a a a a a a a +<<+<+<<+<+-所以)1(n j i a a j i ≤<≤+中至|少有32-n 个不同的数 ,即.32)(-≥n A l 事实上 ,设n a a a a ,,,,321 成等差数列 ,考虑)1(n j i a a j i ≤<≤+ ,根据等差数列的性质 ,当n j i ≤+时 ,11-++=+j i j i a a a a ；当n j i >+时 ,n n j i j i a a a a +=+-+；[因此每个和)1(n j i a a j i ≤<≤+等于)2(1n k a a k ≤≤+中的一个 ,或者等于)12(-≤≤+n l a a n l 中的一个.所以对这样的32)(,-=n A l A ,所以)(A l 的最|小值为32-n . - - - - - - - - - - - - - - -13分例2： (本小题总分值12分 )集合{}2120A x x x =--< ,集合{}0822>-+=x x x B ,集合{}22430,0C x x ax a a =-+<≠ ,(Ⅰ )求()R AC B ； (Ⅱ )假设)(B A C ⊇ ,试确定实数a 的取值范围.解答： (Ⅰ )依题意得：{}{34,4A x x B x x =-<<=<-或}2x > ,()(3,2]R A C B =- ………4分 (Ⅱ )∴{}24A B x x =<<①假设0a = ,那么{}20C x x =<=∅不满足()C A B ⊇ ∴0a ≠ …6分 ②假设0a > ,那么{}3C x a x a =<< ,由()C A B ⊇得242343a a a ≤⎧⇒≤≤⎨≥⎩ ……………………8分 ③假设0a < ,那么{}3C x a x a =<< ,由()C A B ⊇得324a a a ≤⎧⇒∈∅⎨≥⎩ …………………10分综上 ,实数a 的取值范围为423a ≤≤ ………………12分。

高考数学考纲解读与热点难点突破专题01集合、常用逻辑用语热点难点突破文

④命题p：“∃x0∈R，使ex0≥x0＋1且lnx0≤x0－1”的否定为綈p：“∀x∈R，都有ex<x＋1或lnx>x－1”，
故④不正确．
所以正确命题的个数为2，故选C.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】当m<0时，由图象的平移变换可知，函数f(x)必有零点；当函数f(x)有零点时，m≤0，所以
“m<0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的充分不必要条件，故选A.
【答案】A
9．已知命题p：∃x0∈R，x20－x0＋1≥0；命题q：若a<b，则
运算性质可知(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，即∁U(A∪B)＝{2,7,8}，故选D.
解法二：画出韦恩图(如图所示)，由图可知∁U(A∪B)＝{2,7,8}，故选D.
【答案】D
2．已知N是自然数集，设集合A＝Error!，B＝{0,1,2,3,4}，则A∩B＝()
A．{0,2} B．{0,1,2} C．{2,3} D．{0,2,4}
故选B.
【答案】B
10．已知集合A＝Error!，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝()
A．[－2,2]B．[0,2]
C．{(－2,4)，(2,}D．[2，＋∞)
【解析】由A＝Error!，得A＝(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
由B＝{y|y＝x2}，知集合B表示函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)，
②已知平面向量a，b，“|a|>1，|b|>1”不能推出“|a＋b|>1”，|a＋b|>1不能推出|a|>1且|b|>1，故②不正
确；
③已知a，b∈R，当a2＋b2≥1时，a2＋b2＋2|a|·|b|≥ 1，则(|a|＋|b|)2≥1，则|a|＋|b|≥1，又a＝0.5，b

集合难题讲解

集合难题讲解摘要：一、集合难题的概述二、集合难题的解决方法三、集合难题的实际应用正文：一、集合难题的概述集合难题是数学中的一个重要概念，它是指在一定条件下，需要对一组数据进行分类、统计和分析的问题。

集合难题在实际生活和学术研究中都有广泛的应用，如在计算机科学中的数据结构、概率论中的事件空间等。

解决集合难题需要运用逻辑思维、抽象思维和数学方法。

二、集合难题的解决方法解决集合难题的方法有很多，以下是一些常用的方法：1.列举法：对于简单的集合，可以逐个列举集合中的元素，这种方法直观且易于理解。

2.描述法：对于复杂的集合，可以通过给出集合的性质、特征或定义来描述集合。

3.运算法：利用集合的运算性质，如并集、交集、补集等，可以将复杂的集合问题简化为简单的集合运算问题。

4.图论法：对于涉及集合之间的关系的问题，可以借助图论的方法进行分析和解决。

5.代数法：通过引入变量和方程，可以将集合问题转化为代数问题，从而利用代数的方法进行求解。

三、集合难题的实际应用集合难题在实际应用中有很多，以下是一些例子：1.在计算机科学中，数据结构中的集合是一种重要的数据类型，如集合、字典等，它们可以用来存储和管理数据。

2.在概率论中，事件空间是一个重要的集合概念，它可以用来描述随机试验中的所有可能结果。

3.在统计学中，集合可以用来表示一组数据的特征和分布，如众数、中位数等。

4.在自然语言处理中，集合可以用来表示词汇表、语法树等，从而进行文本分析和处理。

5.在社会学中，集合可以用来表示人群的特征和分类，如年龄、性别、职业等。

总之，集合难题作为数学中的一个基本概念，它在学术研究和实际应用中都具有重要意义。

高考数学难点突破化归思想

高考数学难点突破化归思想化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或条件将问题通过变换加以转化，进而到达解决问题的思想 .等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法 .1.〔★★★★★〕一条路上共有 9 个路灯，为了节约用电，拟关闭其中 3 个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为.2.〔★★★★★〕平面向量a =(3 – 1),b =( 1 , 3).2 2（ 1〕证明 a ⊥ b ;（ 2〕假设存在不同时为零的实数 k 和 t ，使 x = a +(t 2– 3)b ， y =– k a +t b ，且 x ⊥ y ，试求函数关系式 k=f(t);〔 3〕据〔 2〕的结论，讨论关于 t 的方程 f(t)– k=0 的解的情况 .［例 1］对任意函数f(x), x ∈ D ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据 x 0∈ D ，经数列发生器输出x 1=f(x 0)；②假设 x 1 D ，那么数列发生器结束工作；假设x 1∈ D ，那么将 x 1 反应回输入端，再输出 x 2=f(x 1)，并依此规律继续下去 .现定义f ( x)4x 2x 1〔 1〕假设输入 x 0=49，那么由数列发生器产生数列{ x n } ，请写出 { x n } 的65所有项；〔 2〕假设要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0 的值；〔 3〕假设输入 x 0 时，产生的无穷数列{ x n } ，满足对任意正整数n 均有 x n ＜ x n+1；求 x 0 的取值范围 .命题意图：此题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力.属★★★★★级题目 .知识依托：函数求值的简单运算、方程思想的应用.解不等式及化归转化思想的应用 .解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言.错解分析：考生易出现以下几种错因：〔 1〕审题后不能理解题意 .〔 2〕题意转化不出数学关系式，如第 2问.〔 3〕第 3 问不能进行从一般到特殊的转化.技巧与方法：此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目.由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言 .这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换.解：〔 1〕∵ f(x)的定义域 D=〔–∞ ,– 1)∪ (– 1,+∞)∴数列 { x n } 只有三项， x 111, x 21, x 314x2 19 5〔 2〕∵ f ( x)x ,即 x 2 –3x+2=0x 1∴ x=1 或 x=2，即 x0=1 或 2 时4x n2 xn 1x nx n1故当 x 0=1 ， x n =1，当 x 0=2 ， x n =2〔 n ∈N * 〕〔 3〕解不等式4x2x，得 x ＜– 1 或 1＜ x ＜2x 1要使 x 1＜ x 2， x 2 ＜– 1 或 1＜ x 1＜ 2 于函数 f ( x)4 x 2 6x 14x 1若 x 1＜– 1， x 2=f( x 1)＞ 4，x 3 =f(x 2)＜ x 2若 1＜x 1 ＜2 ， x 2=f(x 1)＞ x 1 且 1＜ x 2＜ 2 依次推可得数列 { x n } 的所有均足x n+1＞ x n 〔n ∈ N * ) 上所述， x 1∈ (1,2)由 x 1=f(x 0),得 x 0∈ (1,2).［例 2］ C 1 的方程 x2y 21( a ＞ b ＞ 0)，曲 C 2 的方程 y= 1，且曲a 2b 2xC 1 与 C 2 在第一象限内只有一个公共点P.〔 1〕用 a 表示点 P 的坐；〔 2〕 A 、B 是 C 1 的两个焦点，当a 化，求△ ABP 的面函数 S(a)的域；（ 3〕 min{ y 1,y 2,⋯⋯ ,y n } y 1,y 2,⋯⋯ ,y n 中最小的一个 . g(a)是以 C 1 的半焦距的正方形的面，求函数 f(a)=min{ g(a), S(a)} 的表达式 .命意：本考曲的位置关系，函数的最等基知，考推理运算能力及合运用知解的能力.属★★★★★ 目 .知依托：两曲交点个数的化及充要条件，求函数域、解不等式 .解分析：第〔1〕中将交点个数化方程解的个数，考易出算，不能借助找到 a 、b 的关系 .第〔 2〕中考生易忽略 a ＞b ＞ 0 一性条件 .第〔 3〕中考生往往想不起将 min{ g(a),S(a)} 化解不等式 g(a) ≥S(a).技巧与方法：将以下手的目化自己熟掌握的根本，是用化思想的灵魂.要求必将各知的内涵及关做到化有目、化有梁、化有效果.解：〔 1〕将 y=1代入方程，得xx 2 1 1a2b 2 x2化，得 b 2x 4– a 2b 2x 2+a 2=0由条件，有4 4 2 2=a b – 4a b =0，得 ab=2 解得 x=a或 x=–a〔舍去〕22故 P 的坐 (a , 2 ).2 a(2)∵在△ ABP 中，｜ AB ｜ =2a 2b 2 ，高为2 ,a∴ S(a)1 2 a 2 b 22 2(1 4 )2aa 4∵ a ＞ b ＞ 0,b= 2a∴ a ＞ 2,即 a ＞ 2 ,得 0＜4＜ 1aa 4于是 0＜ S 〔 a 〕＜2 ，故△ ABP 的面积函数 S(a)的值域为 (0, 2 )(3)g( a)=c 2=a 2– b 2=a 2–4a 2解不等式 g(a)≥ S(a)，即 a 2–4≥ 2(14 )a 2a 484+24≥ 0，即 44整理，得 a – 10a (a – 4)(a – 6)≥ 0 解得 a ≤ 2 〔舍去〕或 a ≥ 46 .故 f(a)=min{ g( a), S(a)}a 24 a 46a2 ( 22(144 ) (a46 )a转化有等价转化与不等价转化 .等价转化后的新问题与原问题实质是一样的.不等价转化那么局部地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正.应用转化化归思想解题的原那么应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化 .常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.一、选择题1〔.★★★★〕两条直线l 1:y=x,l 2:ax – y=0 ，其中 a ∈ R ，当这两条直线的夹角在 (0, )2内变动时， a 的取值范围是 ()A. 〔0， 1〕B.〔3，3 〕3C.〔3， 1〕∪〔 1，3 〕D.〔 1， 3 〕32.〔★★★★〕等差数列{ a n } 和 { b n } 的前 n 和分用 S n 和 T n 表示，假设S n4n ，T n3n 5lima n的 ( )nb n46 4A.C.D.339二、填空3.〔★★★★〕某房有4 个人，那么至少有2 人生日是同一个月的概率是.〔列式表示即可〕4〔.★★★★★〕函数 f(x)=x 3– 3bx+3b 在〔 0，1〕内有极小， b 的取范是 .三、解答5.〔★★★★〕f( x)=lg( x+1),g(x)=2lg(2 x+t),(t ∈ R 是参数〕 .(1) 当 t=–1 ，解不等式 f(x)≤ g(x); (2) 如果 x ∈［ 0,1］， f(x)≤ g(x)恒成立，求参数 t 的取范 .6.〔★★★★★〕函数23n *且 a 1 、 a 2、 a 3、⋯⋯、 a nf(x)=a 1x+a 2x +a 3x +⋯ +a n x ， n ∈ N构成一个数列 { a n } ，足 f(1)= n 2.〔 1〕求数列 { a n } 的通公式，并求 lima n ；na n1（ 2〕明 0＜ f( 1)＜ 1.37.〔★★★★★〕A 、B 是双曲 2–y 2 x =1 上的两点，点 N 〔 1，2〕是段 AB 的2中点 .〔 1〕求直 AB 的方程；〔 2〕如果段 AB 的垂直平分与双曲相交于C 、D 两点，那么 A 、B 、 C 、 D 四点是否共？什么？8.〔★★★★★〕直y=a 与函数 y=x 3 –3x 的象有相异三个交点，求a 的取范 .参考答案● 点磁1.解析： 9 个灯中关3 个等价于在 6 个开启的路灯中， 3 个隔〔不包括两端外C 53 =10答案： 102.(1) 明：∵ a · b =31 3 =0，∴ a ⊥ b( 1)22(2)解：∵ x ⊥y ,∴ x · y =0即［ a +〔 t 2–3) b ］· (– k a +t b )=0 ，整理后得– k a 2+［ t – k(t 2– 3)］ a · b +t(t 2 – 3)· b 2=0 ∵ a · b =0, a 2=4, b 2=1∴上式化为– 4k+t(t 2–3)=0 ，∴ k=1t(t2–3).1 4f(t)=1(3)解：讨论方程t(t 2– 3)– k=0 的解的情况，可以看作曲线 t(t 2– 3)与直线 y=k44于是 f ′ (t)= 3(t 2– 1)= 3(t+1)( t – 1).44令 f ′ (t)=0,解得 t 1=– 1,t 2=1.当 t 变化时， f ′ (t),f(t)的变化情况如下表：t (–∞ ,– 1)– 1(–1,1)1 (1,+ ∞ )f ′ (t) + 0 – 0 + f(t)↗极大值↘极小值↗当 t=– 1 时， f(t)有极大值， f(t)极大值 = 1； 2 当 t=1 时， f(t) 有极小值， f(t) 极小值 =– 1.12而 f(t)= (t 2– 3)t=0 时，得 t=– 3 ,0, 3 .4所以 f(t)的图象大致如右：于是当 k> 1 或 k<– 1时，直线 y=k 与曲线 y=f(t)仅有2 2一个交点，那么方程有一解；当 k=1或 k=– 1时，直线与曲线有两个交点，那么方程22有两解；当 k=0，直线与曲线有三个交点，但 k 、t 不同时为零，故此时也有两解；当–1<k<021或 0<k<●歼灭难点训练一、 1.解析：分析直线 l 2 的变化特征，化数为形，两直线不重合，因此问题应该有答案： C2.解析：化和的比为项的比∵S2n 1( 2n 1) a 1 a 2 n 1( 2n 1)a n ;T 2 n 1 (2n 1)b n .2∴ a nS 2n 14( 2n 1) 8n 4 ,b nT2 n 13( 2n 1) 5 6n 2答案： A二、 3.答案：A 12414124.解析：化 f ′ (x)=3x 2– 3b 在〔 0，1〕内与 xf ′ (0)<0 且 f ′ (1)>0.答案： 0<b<1x 1 0 x 1三、 5.解： (1)原不等式等价于2x12即x 1 (2x 1) 24x 25x 0x125即5∴x ≥x40或 x4∴原不等式的解集{ x|x ≥5}.4x 1 0(2)x ∈［ 0,1 ］， f(x) ≤ g(x) 恒成立 . ∴ x ∈［ 0,1 ］2x t恒成立 . 即( x 1) (2x t )2x 1 0t 2x 恒成立t2xx 1即 x ∈［ 0,1］， t ≥– 2x+x 1 恒成立，于是化求– 2x+ 1 x ,x ∈［ 0,1］的最令 μ = x 1 ,x=μ 2 –1,μ ∈［ 1,2 ］ .∴ 2x+ x 1 =– 2(μ –1 217 4) +.8当 μ =1 即 x=0 ，– 2x+ x1 有最大 1∴ t 的取范是 t ≥ 1.2 2 26.(1)解： { a n } 的前 n 和 S n =a 1+a 2+⋯ +a n =f(1)= n ,由 a n =S n – S n – 1=n – (n –1) =2n – 1(n ≥*2),又 a 1=S 1 =1 足 a n =2n – 1.故 { a n } 通公式a n =2n – 1(n ∈ N )∴ lima nlim2n1 1nan 1n2n111 11(2) 明：∵ f()=1 · +3 · +⋯ +(2n –1)3n①3 3 9∴1 1)=1·1 1 1+(2 n –1)13 f(9 +3·+⋯ +(2 n – 3)3n n 1②3273①–②得： 2f(1 )=1· 1 +2 · 1 +2· 1 +⋯ +2· 1 – (2n – 1)·133 3 9 273n 3n 1∴ f(1 1 11 1 1 – (2n – 1)1n 1 )=2 + +9 ++⋯ +n 1 3n 1 =1–n.3 3 27 33∵ 3n (1 2) n 1 C 1n 2 C n 2 221 2n1 n ( n ∈ N * )∴ 0<n n1<1,∴ 0<1 –nn 1 <1，即 0<f( 1 )<13332– y 27.解： (1)设 AB ∶y=k(x –1)+2 代入 x=1.2整理得〔 2– k 2〕 x 2– 2k(2– k)x – (2–k) 2– 2=0 ①设 A(x 1,y 1)、 B 〔 x 2,y 2),x 1,x 2所以 2– k 2≠ 0 且 x 1+x 2= 2k (2 k) .又 N 为 AB 中点，2 k2有 1〔 x 1+x 2〕 =1.∴ k(2– k)=2– k 2,解得 k=1.故 AB ∶ y=x+1.2.消 y 有 x 2+6x(2)解出 A 〔– 1，0〕、B 〔 3，4 CD 的方程为 y=3–x.与双曲线方程联立–11=0 ②记 C(x 3,y 3)、 D (x 4,y 4)及 CD 中点 M (x 0,y 0)由韦达定理可得 x 0=– 3,y 0=6.∵ |CD |= ( x 3 x 4 )2 ( y 3 y 4 ) 24 10∴ |MC |=|MD |=1|CD |=2 10 .2又 |MA |=|MB|=( x 0 x 1 ) 2 ( y 0 y 1 )22 10 .即 A 、 B 、 C 、 D 四点到点 M 的距离相等，所以 A 、 B 、C 、 D 四点共圆 .8.提示： f ′( x)=3 x 2– 3=3(x – 1)(x+1)易确定 f( –1)=2 是极大值， f(1)= – 2 是极小值 .当– 2<a<2 时有三个相异交点 .。

高一集合题高考知识点分析

高一集合题高考知识点分析高考是每个高中生都会面对的考试，它决定着一个学生是否能够进入心仪的大学。

而高一时期，就是为高考做准备的重要阶段。

为了更好地应对高考，我们需要对高一集合题的高考知识点进行深入分析。

一、数学数学是高考中最重要的科目之一，也是很多学生头疼的科目。

高一的数学集合题主要包括集合的基本运算、集合的表示方法、集合的包含关系等。

1. 集合的基本运算集合的基本运算包括并集、交集、差集和补集。

高一的集合题一般会涉及这些基本运算，考查学生对集合运算的理解和应用能力。

2. 集合的表示方法集合的表示方法有四种：列举法、描述法、区间表示法和集合运算表示法。

高一的集合题中常常会要求学生根据具体情况选择适当的表示方法，并正确表示集合。

3. 集合的包含关系集合的包含关系包括真包含、假包含和相等三种情况。

高一的集合题中经常会涉及这些包含关系，考查学生对包含关系的理解和判断能力。

二、物理物理是高考中的另一门重要科目，它考查学生对自然界现象和物理规律的理解和应用能力。

高一的物理集合题主要包括力和运动、能量和功以及电和电路等方面的知识点。

1. 力和运动高一的物理集合题中常涉及力和运动之间的关系，包括力的合成和分解、运动的速度和加速度等。

学生需要掌握这些基本概念，并能够应用到具体问题中。

2. 能量和功能量和功是物理中的重要概念，高一的集合题中经常会要求学生计算物体的动能、势能和机械功等。

学生需要熟悉能量和功的计算公式，并能够灵活运用。

3. 电和电路电和电路也是高一物理集合题中的常见知识点，涉及电流、电压、电阻等方面。

学生需要了解电路中的基本元件和电流的分布情况，以及如何计算电路中的电流和电压等。

三、化学化学是一门应用性很强的科学，它与生活密切相关。

高一的化学集合题主要集中在化学反应、化学方程式和化学平衡等知识点上。

1. 化学反应化学反应是化学中的重要概念，高一的集合题中经常要求学生识别化学反应类型、写出化学方程式等。

高中数学必修一重难点知识“集合”知识点

高中数学必修一重难点知识“集合”知识点
集合是数学中最基本的概念，它已渗透到自然科学的各个领域，其应用十分广泛。

在集合学习过程中，若能够明确和运用常见的数学思想方法，就能够更深刻地理解集合概念，更全面地渗透集合观念，更灵活地解决集合问题。

1．集合中的数形结合思想
集合语言的转化
集合是一种基本的数学语言，其常见形式主要有：文字语言、符号语言及图形语言，这三种形式是紧密联系的。

用集合语言来包装其他知识点，则是近几年高考命题的一种常用手段。

因此能否灵活、准确地进行集合语言转换，透过现象把握集合问题的本质，对同学们来说，显得尤为重要。

本文试着结合一些具体的题目，说明如何灵活进行集合语言的互相转化，突破解题过程的思维瓶颈，以期对同学们的学习和备考有所帮助。

1、集合语言的符号化
2、集合语言的文字化
3、集合语言的图形化
● 注：建立图形语言与符号语言之间的对应关系，将抽象的符号语言转化为图形语言，让图形说话，化难为易，化抽象为具体，是解
决集合问题的一种重要思路。

集合的文字语言、符号语言和图形语言三者是紧密联系的。

灵活、准确地进行语言转换，才能把握集合问题的本质，突破解题过程的思维瓶颈，优化思维过程，取得理想的解题效果。

高考数学二轮复习第01课时集合的语言及思想应用问题

第01课时集合的语言及思想应用问题【考点点悟】传道解惑，高屋建瓴集合作为近、现代数学的重要基础，集合语言、集合思想也已经渗透到数学的方方面面.集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用本课时主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用．1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.2.注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ,则有A =∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论.【小题热身】明确考点，自省反思1.设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的是A.123I S S S ⋂⋃=∅（）ðB.123I I S S S ⊆⋂（）痧C.123(I I I S S S ⋂⋂=∅痧?D.123I IS S S ⊆⋃（）痧 2.某班50人中，穿靴子的有37人，戴帽子的有18人，既穿靴子又戴帽子的有8人，则，既不穿靴子也不戴帽子的有人.3. 若非空集合}5312|{-≤≤+=a x a x A ，}223|{≤≤=x x B ，则能使)(B A A ⊆成立的所有a 的集合是 .4. 函数f x x x P x x M (),,=∈-∈⎧⎨⎩，其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f P y y f x x P (){|(),}==∈，f M y y f x x M (){|(),}==∈，给出下列四个判断： ①若P M ⋂=∅，则()()f P f M =∅ ②若P M ⋂≠∅，则()()f P f M ≠∅ ③若P M R ⋃=，则f P f M R ()()⋃= ④若P M R ⋃≠，则f P f M R ()()⋃≠ 其中正确判断有个.【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例 1. 已知集合2{|4260,}A x x mx m x R =-++=∈,若A ∩R -≠∅,求实数m 的取值范围.思路透析: 设全集23{|168240}{|1}2I m m m m m m ==--≥=≤-≥ 或 .若方程(1)的两根均为非负,则有m I ∈且4m ≥0,且26m +≥0,得m ≥32. 因此, 3{|}2m m ≥关于I 的补集{|1}m m ≤-即为所求实数m 的取值范围.点评：本题应用补集思想化正为反顺利求解,其思想也可称之为化归思想.例2. 如图一所示是一个5×4×4的长方体,上面有2×1×4,2×1×5,3×1×4的穿透的洞,剩下部分的体积为 .思路透析: 法一,将长方体分为四层,分别计算各层空洞的数量为:3、12、6、3，求和得有24个空洞,剩下的体积为80-24=56.法二,如图,用文氏图虚拟空洞的特征,然后作定性分析,应用交集思想得:所去掉的空洞共有2×4+2×5+3×4=30个,其中 2×1×4与2×1×5有2个公共的空洞, 2×1×4与3×1×4有2个公共的空洞, 3×1×4与2×1×5有3个公共的空洞, 而2×1×4、 3×1×4、2×1×5有 1个公共的空洞，故计算得空洞共有24个,即剩下的体积为80-24=56.点评:这是一道图形信息型开放题,解法二应用交集思想结合文氏图虚拟图象信息的主要特征,进行定性分析或定量计算,从而得到结论,在解题中是一种很好的尝试.例3. 在1~100的自然数中有个能被2或3整除的数.思路透析: 设集合A={在1~100中能被2整除的数}B={在1~100中能被3整除的数}，得A ∩B={在1~100中能被2且能被3整除的数}={在1~100中能被6整除的数}A ∪B={在1~100中能被2或3整除的数}∵Card(A)=50 Card(B)=33 Card(A ∩B)=16∴Card(A ∪B)=Card(A)＋Card(B)－Card(A ∩B)=67点评:设集合A 、B 含有有限个元素，用card(A)、card(B)分别表示集合A 、B 中元素的个数，根据集合的性质，不难得到以下结论：（1）Card(A ∪B)=Card(A)+Card(B )－Card(A ∩B);（2）如果全集为U ，A 、B 是U 的子集，则Card(U)=Card(A ∪B)＋Card[C u (A ∪B)]例4. 已知集合A ={z ||z －2|≤2,z ∈C },集合B ={w |w =21zi +b ,b ∈R },当A ∩B =B 时，求b 的值. 思路透析: 由w =21zi +b 得z =ib w 22-, ∵z ∈A ,∴|z －2|≤2,代入得|i b w 22-－2|≤2,化简得|w －(b +i )|≤1. ∴集合A 、B 在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A 表示以点(2，0）为圆心，半径为2的圆面，集合B 表示以点(b ,1)为圆心，半径为1的圆面.又A ∩B =B ，即B ⊆A ，∴两圆内含. 因此22)01()2(-+-b ≤2－1,即(b －2)2≤0，∴b =2.点评:复平面的运算常以集合的语言进行描述,此类语言可以结合几何语言进行解读. 例5. 设A ={(x ,y )|y 2－x －1=0},B ={(x ,y )|4x 2+2x －2y +5=0},C ={(x ,y )|y =kx +b },是否存在k 、b ∈N ,使得(A ∪B )∩C =∅，证明此结论.思路透析: ∵(A ∪B )∩C =∅，∴A ∩C =∅且B ∩C =∅3×1×4 2×1×5 2×1×4 1 2 8 6 1 1 5∵⎩⎨⎧+=+=bkx y x y 12 ∴k 2x 2+(2bk －1)x +b 2－1=0∵A ∩C =∅∴Δ1=(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0∴4k 2－4bk +1<0,此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0,即b 2>1 ① ∵⎩⎨⎧+==+-+b kx y y x x 052242 ∴4x 2+(2－2k )x +(5+2b )=0∵B ∩C =∅,∴Δ2=(1－k )2－4(5－2b )<0∴k 2－2k +8b －19<0,从而8b <20,即b <2.5 ②由①②及b ∈N ,得b =2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得⎪⎩⎪⎨⎧<--<+-032,018422k k k k ∴k =1,故存在自然数k =1,b =2,使得(A ∪B )∩C =∅.点评:本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题. 解决此题的闪光点是将条件(A ∪B )∩C =∅转化为A ∩C =∅且B ∩C =∅，这样难度就降低了.例6. 设f (x )=x 2+px +q ,A ={x |x =f (x )},B ={x |f ［f (x )］=x }.(1)求证：A ⊆B ;(2)如果A ={－1，3}，求B .思路透析: (1)证明：设x 0是集合A 中的任一元素，即有x 0∈A .∵A ={x |x =f (x )},∴x 0=f (x 0).即有f ［f (x 0)］=f (x 0)=x 0,∴x 0∈B ,故A ⊆B .(2)证明：∵A ={－1,3}={x |x 2+px +q =x },∴方程x 2+(p －1)x +q =0有两根－1和3，应用韦达定理，得⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=⨯---=+-313)1(),1(31q p q p ∴f (x )=x 2－x －3.于是集合B 的元素是方程f ［f (x )］=x ,也即(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3=x (*)的根. 将方程(*)变形，得(x 2－x －3）2－x 2=0解得x =1,3,3,－3.故B ={－3，－1，3，3}.点评: 本题为抽象函数的集合定义与表达方式预测题,编题中将集合中的元素以开放形式给出,考查了严密的逻辑思维推理.【即时测评】学以致用，小试牛刀1. 设I 是全集，集合P 、Q 满足P Q ，则下面结论中错误的是( )A.Q Q P =B.()I P Q U = ðC.I P Q =Φ ðD.()()I I I P Q P = 痧?2.在50个学生中,会讲英语的有36人,会讲日语的有20人,既不会讲英语又不会讲日语的有8人,则既会讲英语,又会讲日语的人数是( )A. 20B. 14C. 12D. 103. 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是( )A. 258B. 234C. 222D. 2104.奖券中有一半会中奖,( )张奖券.A.4B. 5C. 6D. 75. 集合M 由正整数的平方组成，即{}1,4,9,16,25,...M =，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的. M 对下列运算封闭的是（）A. 加法B. 减法C. 乘法D. 除法【课后作业】学练结合，融会贯通一、填空题:1.设A 、B 、I 均为非空集合，且满足I B A ⊆⊆，则下列各式中正确的序号是 . ①()I A B I = ð ②()()I I A B I = 痧 ③()I A B =∅ ð ④()()I II A B B = 痧? 2. 已知集合}1|{2==x x M 与集合}1|{==ax x N ，若N ⊂≠M 则实数a 的所有可能值的个数是 .3.对于两个集合1S 、2S 我们把一切有序对),(y x 所组成的集合（其中21,S y S x ∈∈），叫做1S 和2S 的笛卡尔积，记作21S S ⨯.如果{}2,11=S ，{}1,0,12-=S ，则21S S ⨯的真子集的个数为个.4.90名学生中参加数学竞赛的有63名，参加化学竞赛的有52名，两项竞赛都参加的至多有名？至少有名？5.已知集合(){}2,210,02A x y xx y x =-+-=≤≤且， (){}0,=+-=a y x y x B ，若B A 中有两个元素，则求实数a 的取值范围为 . 6. 已知集合{}0<=x x A ，{}22230B x x ax a A B =-++=≠∅ ,若，则实数a 的取值范围为 .7. 设1a ，2a ，3a ，4a ，5a 为自然数，A={1a ，2a ，3a ，4a ，5a }，B={21a ，22a ，23a ，24a ，25a }，且1a <2a <3a <4a <5a ，并满足A ∩B={1a ，4a }，1a ＋4a =10，A ∪B 中各元素之和为256，则集合A= .二、解答题:8. 集合A ={x |x 2－ax +a 2－19=0},B ={x |log 2(x 2－5x +8)=1}，C ={x |x 2+2x －8=0},求当a 取什么实数时，A ∩B ∅和A ∩C =∅同时成立.9. 设A ＝{X ∣X=a 2+b 2,a 、b ∈Z }，X 1，X 2∈A ，求证：X 1×X 2∈A .10.已知{a n }是等差数列，d 为公差且不为0，a 1和d 均为实数，它的前n 项和记作S n ,设集合A ={(a n ,nS n )|n ∈N *},B ={(x ,y )|41 x 2－y 2=1,x ,y ∈R }. 试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.(1)若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；(2)A ∩B 至多有一个元素；(3)当a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅.第01课时集合的语言及思想应用问题参考答案【小题热身】1. C2. 33. [6,9]4. 2【即时测评】1. C2. B3. C4. B5. C【课后作业】一、填空题:1. ①③④2. 33. 634. 52 , 255. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡45,16. (]1,-∞-7. {1，2，3，9，12 }或{1，3，5，9，11 }.二、解答题:8. 解析：log 2(x 2－5x +8)=1,由此得x 2－5x +8=2，∴B ={2,3}.由x 2+2x －8=0，∴C ={2,－4},又A ∩C =∅，∴2和－4都不是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，而A ∩B ∅,即A ∩B ≠∅,∴3是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，∴可得a =5或a =－2.当a =5时，得A ={2，3}，∴A ∩C ={2}，这与A ∩C =∅不符合，所以a =5(舍去)；当a =－2时，可以求得A ={3，－5}，符合A ∩C =∅，A ∩B ∅，∴a =－2. 9.证明:设X 1＝a 2+b 2，X 2=c 2+d 2，a 、b 、c 、d ∈Z则X 1×X 2＝(a 2+b 2)(c 2+d 2)＝a 2c 2+b 2d 2+b 2c 2+a 2d 2＝a 2c 2+2ac·bd+b 2d 2+b 2c 2-2bc·ad+a 2d 2＝(ac+bd)2+(bc-ad)2又a 、b 、c 、d ∈Z ，故ac+bd 、bc-ad ∈Z ，从而X 1X 2∈A. 10. 解析：(1)正确.在等差数列{a n }中，S n =2)(1n a a n +,则21=n S n (a 1+a n ),这表明点(a n ,nS n ）的坐标适合方程y 21=(x +a 1),于是点(a n , nS n )均在直线y =21x +21a 1上. (2)正确.设(x ,y )∈A ∩B ,则(x ,y )中的坐标x ,y 应是方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=1412121221y x a x y 的解，由方程组消去y 得：2a 1x +a 12=－4(*)，当a 1=0时，方程(*)无解，此时A ∩B =∅；当a 1≠0时，方程(*)只有一个解x =12124a a --,此时，方程组也只有一解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=1211214424a a y a a y ,故上述方程组至多有一解. ∴A ∩B 至多有一个元素.(3）不正确.取a 1=1,d =1,对一切的x ∈N *,有a n =a 1+(n －1)d =n >0,nS n >0,这时集合A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a 1=1≠0.如果A ∩B ≠∅,那么据(2）的结论，A ∩B 中至多有一个元素(x 0,y 0）,而x 0=5224121-=--a a ＜0,y 0=43201=+x a ＜0,这样的(x 0,y 0）∉A ,产生矛盾，故a 1=1,d =1时A ∩B =∅，所以a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅是不正确的.。

大学期末复习试题资料整理中国高考数学难点突破分类讨论思想

难点38 分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异,分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多,利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样,具有较高的逻辑性及很强的综合性,树立分类讨论思想,应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体,明确分类的标准,分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” ●难点磁场1.(★★★★★)若函数514121)1(31)(23+-+-=x ax x a x f 在其定义域内有极值点,则a 的取值为 .2.(★★★★★)设函数f (x )=x 2＋｜x –a ｜＋1,x ∈R .(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)求函数f (x )的最小值.●案例探究［例1］已知{a n }是首项为2,公比为21的等比数列,S n 为它的前n 项和. (1)用S n 表示S n ＋1;(2)是否存在自然数c 和k ,使得21>--+cS c S k k 成立. 命题意图:本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力,属★★★★★级题目.知识依托:解决本题依据不等式的分析法转化,放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质.错解分析:第2问中不等式的等价转化为学生的易错点,不能确定出k k S c S <<-223. 技巧与方法:本题属于探索性题型,是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时,采取优化结论的策略,并灵活运用分类讨论的思想:即对双参数k ,c 轮流分类讨论,从而获得答案.解:(1)由S n =4(1–n21),得 221)211(411+=-=++n n n S S ,(n ∈N *) (2)要使21>--+c S c S k k ,只要0)223(<---kk S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ,(k ∈N *) 故只要23S k –2＜c ＜S k ,(k ∈N *) 因为S k ＋1＞S k ,(k ∈N *) ①所以23S k –2≥23S 1–2=1. 又S k ＜4,故要使①成立,c 只能取2或3.当c =2时,因为S 1=2,所以当k =1时,c ＜S k 不成立,从而①不成立.当k ≥2时,因为c S >=-252232,由S k ＜S k ＋1(k ∈N *)得 23S k –2＜23S k ＋1–2 故当k ≥2时,23S k –2＞c ,从而①不成立. 当c =3时,因为S 1=2,S 2=3,所以当k =1,k =2时,c ＜S k 不成立,从而①不成立因为c S >=-4132233,又23S k –2＜23S k ＋1–2 所以当k ≥3时,23S k –2＞c ,从而①成立. 综上所述,不存在自然数c ,k ,使21>--+cS c S k k 成立. ［例2］给出定点A (a ,0)(a ＞0)和直线l :x =–1,B 是直线l 上的动点,∠BOA 的角平分线交AB 于点C .求点C 的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.命题意图:本题考查动点的轨迹,直线与圆锥曲线的基本知识,分类讨论的思想方法.综合性较强,解法较多,考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托:求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点. 错解分析:本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件,构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.技巧与方法:精心思考,发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发,探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质.解法一:依题意,记B (–1,b ),(b ∈R ),则直线OA 和OB 的方程分别为y =0和y =–bx . 设点C (x ,y ),则有0≤x ＜a ,由OC 平分∠AOB ,知点C 到OA 、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式得｜y ｜=21||b bx y ++ ①依题设,点C 在直线AB 上,故有 )(1a x ab y -+-= 由x –a ≠0,得a x y a b -+-=)1( ② 将②式代入①式,得y 2［(1–a )x 2–2ax ＋(1＋a )y 2］=0若y ≠0,则(1–a )x 2–2ax ＋(1＋a )y 2=0(0＜x ＜a )若y =0则b =0,∠AOB =π,点C 的坐标为(0,0)满足上式.综上,得点C 的轨迹方程为(1–a )x 2–2ax ＋(1＋a )y 2=0(0＜x ＜a )(i)当a =1时,轨迹方程化为y 2=x (0≤x ＜1) ③此时方程③表示抛物线弧段；(ii)当a ≠1,轨迹方程化为)0(11)1()1(22222a x a a y a a a a x <≤=-+--- ④ 所以当0＜a ＜1时,方程④表示椭圆弧段；当a ＞1时,方程④表示双曲线一支的弧段.解法二:如图,设D 是l 与x 轴的交点,过点C 作CE ⊥x 轴,E 是垂足.(i)当｜BD ｜≠0时,设点C (x ,y ),则0＜x ＜a ,y ≠0由CE ∥BD ,得)1(||||||||||a xa y EA DA CE BD +-=⋅=. ∵∠COA =∠COB =∠COD –∠BOD =π–∠COA –∠BOD∴2∠COA =π–∠BOD∴COACOA COA 2tan 1tan 2)2tan(-=∠ BOD BOD tan )tan(-=∠-π∵xy COA ||tan = )1(||||||tan a xa y OD BD BOD +-== ∴)1(||1||22a x a y x y x y +--=-⋅整理,得 (1–a )x 2–2ax ＋(1＋a )y 2=0(0＜x ＜a )(ii)当｜BD ｜=0时,∠BOA =π,则点C 的坐标为(0,0),满足上式.综合(i)、(ii),得点C 的轨迹方程为(1–a )x 2–2ax ＋(1＋a )y 2=0(0≤x ＜a )以下同解法一.解法三:设C (x ,y )、B (–1,b ),则BO 的方程为y =–bx ,直线AB 的方程为)(1a x ab y -+-= ∵当b ≠0时,OC 平分∠AOB ,设∠AOC =θ,∴直线OC 的斜率为k =tan θ,OC 的方程为y =kx 于是2212tan 1tan 22tan kk -=-=θθθ又tan2θ=–b∴–b =212k k - ① ∵C 点在AB 上 ∴)(1a x a b kx -+-= ② 由①、②消去b ,得)(12)1(2a x k k kx a --=+ ③ 又xy k =,代入③,有 )(12)1(22a x xy x y x x y a --⋅⋅⋅+ 整理,得(a –1)x 2–(1＋a )y 2＋2ax =0 ④当b =0时,即B 点在x 轴上时,C (0,0)满足上式:a ≠1时,④式变为11)1()1(22222=-+---a a y a a a a x 当0＜a ＜1时,④表示椭圆弧段；当a ＞1时,④表示双曲线一支的弧段；当a =1时,④表示抛物线弧段.●锦囊妙计分类讨论思想就是依据一定的标准,对问题分类、求解,要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是:1.由概念内涵分类.如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.2.由公式条件分类.如等比数列的前n 项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见,但不明显、有些应用问题也需分类讨论.在学习中也要注意优化策略,有时利用转化策略,如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)已知122lim =+-∞→nn nn n a a 其中a ∈R ,则a 的取值范围是( ) A.a ＜0 B.a ＜2或a ≠–2C.–2＜a ＜2D.a ＜–2或a ＞22.(★★★★★)四面体的顶点和各棱的中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有( )A.150种B.147种C.144种D.141种二、填空题3.(★★★★)已知线段AB 在平面α外,A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3,则线段AB 的中点到平面α的距离为 .4.(★★★★★)已知集合A ={x ｜x 2–3x ＋2=0},B ={x ｜x 2–ax ＋(a –1)=0},C ={x ｜x 2–mx ＋2=0},且A ∪B =A ,A ∩C =C ,则a 的值为 ,m 的取值范围为 .三、解答题5.(★★★★)已知集合A ={x ｜x 2＋px ＋q =0},B ={x ｜qx 2＋px ＋1=0},A ,B 同时满足: ①A ∩B ≠∅,②A ∩B ={–2}.求p 、q 的值.6.(★★★★)已知直角坐标平面上点Q (2,0)和圆C :x 2＋y 2=1,动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0).求动点M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.7.(★★★★★)已知函数y =f (x )的图象是自原点出发的一条折线.当n ≤y ≤n ＋1(n =0,1,2,…)时,该图象是斜率为b n 的线段(其中正常数b ≠1),设数列{x n }由f (x n )=n (n =1,2,…)定义.(1)求x 1、x 2和x n 的表达式；(2)计算∞→n lim x n ； (3)求f (x )的表达式,并写出其定义域.8.(★★★★★)已知a ＞0时,函数f (x )=ax –bx 2(1)当b ＞0时,若对任意x ∈R 都有f (x )≤1,证明a ≤2b ;(2)当b ＞1时,证明:对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b ；(3)当0＜b ≤1时,讨论:对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1的充要条件.参考答案●难点磁场1.解析:即f (x )=(a –1)x 2＋ax –41=0有解. 当a –1=0时,满足.当a –1≠0时,只需Δ=a 2–(a –1)＞0.答案:252252+-<<--a 或a =1 2.解:(1)当a =0时,函数f (–x )=(–x )2＋｜–x ｜＋1=f (x ),此时f (x )为偶函数.当a ≠0时,f (a )=a 2＋1,f (–a )=a 2＋2｜a ｜＋1.f (–a )≠f (a ),f (–a )≠–f (a )此时函数f (x )既不是奇函数,也不是偶函数.(2)①当x ≤a 时,函数f (x )=x 2–x ＋a ＋1=(x –21)2＋a ＋43 若a ≤21,则函数f (x )在(–∞,a ］上单调递减. 从而函数f (x )在(–∞,a ]上的最小值为f (a )=a 2＋1若a ＞21,则函数f (x )在(–∞,a ]上的最小值为f (21)=43＋a ,且f (21)≤f (a ).②当x ≥a 时,函数f (x )=x 2＋x –a ＋1=(x ＋21)2–a ＋43 若a ≤–21,则函数f (x )在［a ,＋∞］上的最小值为f (–21)=43–a ,且f (–21)≤f (a )；若a ＞–21,则函数f (x )在［a ,＋∞)单调递增. 从而函数f (x )在［a ,＋∞］上的最小值为f (a )=a 2＋1.综上,当a ≤–21时,函数f (x )的最小值为43–a ；当–21＜a ≤21时,函数f (x )的最小值是a 2＋1；当a ＞21时,函数f (x )的最小值是a ＋43. ●歼灭难点训练一、1.解析:分a =2、｜a ｜＞2和｜a ｜＜2三种情况分别验证.答案:C2.解析:任取4个点共C 410=210种取法.四点共面的有三类:(1)每个面上有6个点,则有4×C 46=60种取共面的取法；(2)相比较的4个中点共3种；(3)一条棱上的3点与对棱的中点共6种.答案:C二、3.解析:分线段AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况解决.答案:1或24.解析:A ={1,2},B ={x ｜(x –1)(x –1＋a )=0},由A ∪B =A 可得1–a =1或1–a =2；由A ∩C =C ,可知C ={1}或∅.答案:2或3 3或(–22,22)三、5.解:设x 0∈A ,x 0是x 02＋px 0＋q =0的根.若x 0=0,则A ={–2,0},从而p =2,q =0,B ={–21}. 此时A ∩B =∅与已知矛盾,故x 0≠0.将方程x 02＋px 0＋q =0两边除以x 02,得 01)1()1(020=++x p x q . 即01x 满足B 中的方程,故01x ∈B . ∵A ∩B ={–2},则–2∈A ,且–2∈B .设A ={–2,x 0},则B ={01,21x -},且x 0≠2(否则A ∩B =∅).若x 0=–21,则01x –2∈B ,与–2∉B 矛盾. 又由A ∩B ≠∅,∴x 0=01x ,即x 0=±1. 即A ={–2,1}或A ={–2,–1}.故方程x 2＋px ＋q =0有两个不相等的实数根–2,1或–2,–1∴⎩⎨⎧=-⋅-==---=⎩⎨⎧-=⨯-==+--=2)1()2(3)12(21)2(1)12(q p q p 或 6.解:如图,设MN 切圆C 于N ,则动点M 组成的集合是P ={M ｜｜MN ｜=λ｜MQ ｜,λ＞0}.∵ON ⊥MN ,｜ON ｜=1,∴｜MN ｜2=｜MO ｜2–｜ON ｜2=｜MO ｜2–1设动点M 的坐标为(x ,y ),则2222)2(1y x y x +-=-+λ即(x 2–1)(x 2＋y 2)–4λ2x ＋(4λ2＋1)=0.经检验,坐标适合这个方程的点都属于集合P ,故方程为所求的轨迹方程.(1)当λ=1时,方程为x =45,它是垂直于x 轴且与x 轴相交于点(45,0)的直线； (2)当λ≠1时,方程化为:2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 它是以)0,12(22-λλ为圆心,|1|3122-+λλ为半径的圆. 7.解:(1)依题意f (0)=0,又由f (x 1)=1,当0≤y ≤1,函数y =f (x )的图象是斜率为b 0=1的线段,故由10)0()(11=--x f x f ∴x 1=1又由f (x 2)=2,当1≤y ≤2时,函数y =f (x )的图象是斜率为b 的线段,故由 b x x x f x f =--1212)()( 即x 2–x 1=b1 ∴x 2=1＋b 1 记x 0=0,由函数y =f (x )图象中第n 段线段的斜率为b n –1,故得111)()(---=--n n n n n b x x x f x f 又由f (x n )=n ,f (x n –1)=n –1∴x n –x n –1=(b1)n –1,n =1,2,…… 由此知数列{x n –x n –1}为等比数列,其首项为1,公比为b 1. 因b ≠1,得∑==n k n x 1(x k –x k –1)=1＋b 1＋…＋1)1(111--=--b b b bn n 即x n =1)1(1---b b b n (2)由(1)知,当b ＞1时,11)1(lim lim 1-=--=-∞→∞→b b b b b x n n n n 当0＜b ＜1,n →∞, x n 也趋于无穷大.∞→n lim x n 不存在. (3)由(1)知,当0≤y ≤1时,y =x ,即当0≤x ≤1时,f (x )=x ;当n ≤y ≤n ＋1,即x n ≤x ≤x n ＋1由(1)可知f (x )=n ＋b n (x –x n )(n =1,2,…),由(2)知当b ＞1时,y =f (x )的定义域为［0,1-b b ); 当0＜b ＜1时,y =f (x )的定义域为［0,＋∞).8.(1)证明:依设,对任意x ∈R ,都有f (x )≤1 ∵ba b a x b x f 4)2()(22+--= ∴ba b a f 4)2(2=≤1 ∵a ＞0,b ＞0∴a ≤2b .(2)证明:必要性:对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1⇒–1≤f (x ),据此可以推出–1≤f (1) 即a –b ≥–1,∴a ≥b –1对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1⇒f (x )≤1.因为b ＞1,可以推出f (b 1)≤1即a ·b1–1≤1,∴a≤2b,∴b–1≤a≤2b充分性:因为b＞1,a≥b–1,对任意x∈［0,1］.可以推出ax–bx2≥b(x–x2)–x≥–x≥–1即ax–bx2≥–1因为b＞1,a≤2b,对任意x∈［0,1］,可以推出ax–bx2≤2b x–bx2≤1即ax–bx2≤1,∴–1≤f(x)≤1综上,当b＞1时,对任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件是b–1≤a≤2b.(3)解:∵a＞0,0＜b≤1∴x∈［0,1］,f(x)=ax–bx2≥–b≥–1即f(x)≥–1f(x)≤1⇒f(1)≤1⇒a–b≤1即a≤b＋1a≤b＋1⇒f(x)≤(b＋1)x–bx2≤1即f(x)≤1所以当a＞0,0＜b≤1时,对任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件是a≤b＋1.。

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题01集合常用逻辑用语热点难点突破文

专题01 集合、常用逻辑用语1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{3,4,5}，B ＝{1,3,6}，则集合{2,7,8}是( ) A ．A ∪B B ．A ∩B C ．∁U (A ∩B )D ．∁U (A ∪B )【解析】解法一：由题意可知∁U A ＝{1,2,6,7,8}，∁U B ＝{2,4,5,7,8}，∴(∁U A )∩(∁U B )＝{2,7,8}．由集合的运算性质可知(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )，即∁U (A ∪B )＝{2,7,8}，故选D.解法二：画出韦恩图(如图所示)，由图可知∁U (A ∪B )＝{2,7,8}，故选D.【答案】D2．已知N 是自然数集，设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪6x ＋1∈N ，B ＝{0,1,2,3,4}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,2} B ．{0,1,2} C ．{2,3} D ．{0,2,4} 【解析】∵6x ＋1∈N ，∴＋1应为6的正约数，∴＋1＝1或＋1＝2或＋1＝3或＋1＝6，解得＝0或＝1或＝2或＝5，∴集合A ＝{0,1,2,5}，又B ＝{0,1,2,3,4}，∴A ∩B ＝{0,1,2}，故选B.【答案】B3．已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a ＝( ) A ．－1 B ．2C ．－1或2D ．1或－1或2【答案】C4．已知集合A ＝{(，y )|2＝4y }，B ＝{(，y )|y ＝}，则A ∩B 的真子集个数为( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．7【解析】由⎩⎨⎧ x 2＝4y ，y ＝x 得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4，即A ∩B ＝{(0,0)，(4,4)}，∴A ∩B 的真子集个数为22－1＝3，故选B. 【答案】B5．已知集合A ＝{|y ＝4－x 2}，B ＝{|a ≤≤a ＋1}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞) B ．[－1,2] C ．[－2,1]D ．[2，＋∞)【解析】集合A ＝{|y ＝4－x 2}＝{|－2≤≤2}，因A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，所以有⎩⎨⎧a ≥－2，a ＋1≤2，所以－2≤a ≤1，故选C.【答案】C6．设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{|∈A ，且∉B }．若A ＝{∈N |0≤≤5}，B ＝{|2－7＋10<0}，则A －B ＝( )A ．{0,1}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,5}【解析】∵A ＝{∈N |0≤≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{|2－7＋10<0}＝{|2<<5}，A －B ＝{|∈A 且∉B }，∴A －B ＝{0,1,2,5}，故选D.【答案】D7．下列说法正确的是( )A ．“若a >1，则a 2>1”的否命题是“若a >1，则a 2≤1”B ．“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题C ．存在0∈(0，＋∞)，使30>40成立D ．“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题【答案】D8． “m <0”是“函数f ()＝m ＋log 2(≥1)存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当m <0时，由图象的平移变换可知，函数f ()必有零点；当函数f ()有零点时，m ≤0，所以“m <0”是“函数f ()＝m ＋log 2(≥1)存在零点”的充分不必要条件，故选A.【答案】A9．已知命题p ：∃0∈R ，20－0＋1≥0；命题q ：若a <b ，则1a >1b，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧(綈q ) C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )【解析】2－＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34>0，所以∃0∈R ，使20－0＋1≥0成立，故p 为真命题，綈p 为假命题，又易知命题q 为假命题，所以綈q 为真命题，由复合命题真假判断的真值表知p ∧(綈q )为真命题，故选B.【答案】B10．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 24－y 23＝1，B ＝{y |y ＝2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．{(－2,4)，(2,4)}D ．[2，＋∞)【解析】由A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 24－y 23＝1，得A ＝(－∞，－2]∪[2，＋∞)．由B ＝{y |y ＝2}，知集合B 表示函数y ＝2的值域，即B ＝[0，＋∞)，所以A ∩B ＝[2，＋∞)，故选D. 【答案】D11．已知a ，b 都是实数，那么“2a >2b ”是“a 2>b 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】充分性：若2a >2b ，则2a －b >1，∴a －b >0，∴a >b .当a ＝－1，b ＝－2时，满足2a >2b ，但a 2<b 2，故由2a >2b 不能得出a 2>b 2，因此充分性不成立．必要性：若a 2>b 2，则|a |>|b |.当a ＝－2，b ＝1时，满足a 2>b 2，但2－2<21，即2a <2b ，故必要性不成立．综上，“2a >2b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件，故选D.【答案】D12．给出下列命题：①已知a ，b ∈R ，“a >1且b >1”是“ab >1”的充分条件；②已知平面向量a ，b ，“|a |>1，|b |>1”是“|a ＋b |>1”的必要不充分条件； ③已知a ，b ∈R ，“a 2＋b 2≥1”是“|a |＋|b |≥1”的充分不必要条件；④命题p ：“∃0∈R ，使e 0≥0＋1且ln 0≤0－1”的否定为綈p ：“∀∈R ，都有e<＋1且ln>－1”．其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】①已知a ，b ∈R ，“a >1且b >1”能够推出“ab >1”，“ab >1”不能推出“a >1且b >1”，故①正确；②已知平面向量a ，b ，“|a |>1，|b |>1”不能推出“|a ＋b |>1”，|a ＋b |>1不能推出|a |>1且|b |>1，故②不正确；③已知a ，b ∈R ，当a 2＋b 2≥1时，a 2＋b 2＋2|a |·|b |≥1，则(|a |＋|b |)2≥1，则|a |＋|b |≥1，又a ＝0.5，b ＝0.5满足|a |＋|b |≥1，但a 2＋b 2＝0.5<1，所以“a 2＋b 2≥1”是“|a |＋|b |≥1”的充分不必要条件，故③正确；④命题p ：“∃0∈R ，使e 0≥0＋1且ln 0≤0－1”的否定为綈p ：“∀∈R ，都有e<＋1或ln>－1”，故④不正确．所以正确命题的个数为2，故选C. 【答案】C13．下列说法中正确的个数是( )(1)若命题p ：∃0∈R ，20－0≤0，则綈p ：∃0∈R ，20－0>0；(2)命题“在△ABC 中，A >30°，则sin A >12”的逆否命题为真命题；(3)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的充分必要条件；(4)若统计数据1，2，…，n 的方差为1，则21,22，…，2n 的方差为2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知条件p ：a ≤b ＋c2，条件q ：A ≤B ＋C2，那么条件p 是条件q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】在△ABC 中，若a ≤b ＋c2，由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc≥b 2＋c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 222bc＝34(b 2＋c 2)－12bc 2bc≥34×2bc －12bc 2bc ＝12，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立，所以0<A ≤π3，所以B ＋C ≥2π3≥2A ，即A ≤B ＋C 2.若A≤B ＋C2，由A ＋B ＋C ＝π，得0<A ≤π3，令A ＝π3，B ＝π6，C ＝π2，满足A ≤B ＋C 2，此时令a ＝3t (t >0)，则b ＝t ，c ＝2t ，由3t >1＋22t ＝32t ，得a >b ＋c2. 综上，条件p 是条件q 成立的充分不必要条件．故选A. 【答案】A15．已知函数f ()＝x 2x 2－2x ＋2.命题p 1：y ＝f ()的图象关于点(1,1)中心对称，命题p 2：若a <b <2，则f (a )<f (b )．则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：(綈p 1)∧(綈p 2)，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( )A ．q 1，q 3B ．q 1，q 4C ．q 2，q 3D ．q 2，q 4【答案】B16．命题“∃0∈R ，a sin 0＋cos 0≥2”为假命题，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－3，3)【解析】由题意，命题“∀∈R ，a si n ＋cos <2”为真命题，则a 2＋1<2，∴－3<a <3，则实数a 的取值范围是(－3，3)．17．已知集合A ＝{|2－－6≤0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x ≤1，则A ∩B ＝________. 【解析】∵A ＝{|2－－6≤0}＝[－2,3]，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x ≤1＝[1，＋∞)∪(－∞，0)，∴A ∩B ＝[－2,0)∪[1,3]．【答案】[－2,0)∪[1,3]18．若条件p ：|＋1|>2，条件q ：>a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．【解析】綈p 是綈q 的充分不必要条件等价于q 是p 的充分不必要条件，条件p ：|＋1|>2即>1或<－3.因为条件q ：>a ，故a ≥1.【答案】a ≥119．已知命题p ：∀∈[2,4]，log 2－a ≥0，命题q ：∃0∈R ，20＋2a 0＋2－a ＝0.若命题“p ∧(綈q )”是真命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】命题p ：∀∈[2,4]，log 2－a ≥0⇒a ≤1.命题q ：∃0∈R ，20＋2a 0＋2－a ＝0⇒a ≤－2或a ≥1，由p ∧(綈q )为真命题，得－2<a <1.【答案】－2<a <120．设集合A ＝{|2＋2－3>0}，B ＝{|2－2a －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________．【解析】A ＝{|2＋2－3>0}＝{|>1或<－3}，设函数f ()＝2－2a －1，因为函数f ()＝2－2a －1图象的对称轴为直线＝a (a >0)，f (0)＝－1<0，根据对称性可知若A ∩B 中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有⎩⎨⎧ f 20，f 3>0，即⎩⎨⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a <43，即34≤a <43. 【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43。

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题01集合常用逻辑用语教学案理

专题01 集合、常用逻辑用语【2019年高考考纲解读】从近几年高考题来看,涉及本节知识点的高考题型是选择题或填空题．有时在大题的条件或结论中出现,所以在复习中不宜做过多过高的要求,只要灵活掌握小型综合题型就可以了．要掌握以函数的定义域、值域、不等式的解集为背景考查集合的交、并、补的基本运算；要能够利用集合之间的关系,利用充要性求解参数的值或取值范围；要掌握命题的四种形式及命题真假的判断；还得注意以新定义集合及集合的运算为背景考查集合关系及运算．要活用“定义法”解题,重视“数形结合”,定义是一切法则和性质的基础,是解题的基本出发点,注意方法的选择,抽象到直观的转化．要体会数学语言的简洁性与明确性,发展运用数学语言交流问题的能力．体会分类讨论思想、数形结合思想、函数方程思想等数学思想在解题中的运用．【网络构建】【重点、难点剖析】一、集合的概念及运算1．集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A．(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A．(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A．2．集合运算中的常用方法(1)数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴法求解．(2)图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解．(3)Venn图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn图法求解．【方法技巧】解答集合问题的策略：(1)集合的化简是实施运算的前提，等价转换是顺利解题的关键．解决集合问题，要弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；抓住集合中元素的三个性质，对互异性要注意检验；(2)求交集、并集、补集要充分发挥数轴或韦恩图的作用；(3)含参数的问题，要有分类讨论的意识．注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性．二、充分与必要条件的判断充分、必要条件与充要条件的含义若p、q中所涉及的问题与变量有关，p、q中相应变量的取值集合分别记为A，B，那么有以下结论：p与q的关系集合关系结论p⇒q，q⇒/p A B p是q的充分不必要条件p⇒/q，q⇒p B A p是q的必要不充分条件p⇒q，q⇒p A＝B p是q的充要条件p⇒/q，q⇒/p A B，B A p是q的既不充分也不必要条件【方法技巧】命题真假的判定方法：(1)一般命题p的真假由涉及到的相关知识辨别；(2)四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；(3)p∨q、p∧q、┐p命题的真假根据p，q的真假与逻辑联结词的含义判定；(4)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(也就是通常所说的“举一个反例”)．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在性命题是假命题．三、命题真假的判定与命题的否定1．四种命题的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2．复合命题真假的判断方法含逻辑联结词的命题的真假判断：“p∨q”有真则真，其余为假；“p∧q”有假则假，其余为真；“綈p”与“p”真假相反．3．全称量词与存在量词(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．【方法技巧】充分条件必要条件的判定方法：(1)定义法：分清条件和结论；找推式，判断“p⇒q”及“q ⇒ p”的真假；下结论，根据推式及定义下结论；(2)等价转化法：条件和结论带有否定词语的命题，常转化为其逆否命题来判断；(3)集合法：小范围可推出大范围，大范围不能推出小范围．【题型示例】题型一、集合的含义与表示、集合的运算例1、(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( ) A．9 B．8 C．5 D．4【解析】由题意可知A＝{(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(0，－1)，(0,1)，(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}，故集合A中共有9个元素，故选A．【答案】A【变式探究】解决集合问题的3个注意点(1)集合含义要明确：构成集合的元素及满足的性质．(2)空集要重视：已知两个集合的关系，求参数的取值，要注意对空集的讨论．(3)“端点”要取舍：要注意在利用两个集合的子集关系确定不等式组时，端点值的取舍问题，一定要代入检验，否则可能产生增解或漏解现象．【变式探究】[2018·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝( )A.{x|－1<x<2}B.{x|－1≤x≤2}C.{x|x<－1或x>2}D.{x|x≤－1或x≥2}【命题意图】本题考查集合补集的运算、一元二次不等式的解法，考查学生的计算能力．【答案】B.【解析】∵x2－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}，∴∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B.【变式探究】[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( ) A．9 B.8 C.5 D.4【命题意图】本题考查集合中元素的个数，考查了学生的理解能力与推理能力．【变式探究】（2018年浙江卷）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}【答案】C【解析】因为全集，，所以根据补集的定义得，故选C.【变式探究】（2018年天津卷）设全集为R，集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，结合交集的定义可得：.本题选择B选项.【变式探究】（2018年北京卷）设集合则A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，（2，1）C. 当且仅当a<0时，（2，1）D. 当且仅当时，（2，1）【答案】D【解析】若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.【变式探究】（2018年江苏卷）已知集合，，那么________．【答案】{1，8}【解析】由题设和交集的定义可知：.【变式探究】（2018年北京卷）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A B=A. {0，1}B. {–1，0，1}C. {–2，0，1，2}D. {–1，0，1，2}【答案】A【解析】，因此A B=，选A.【变式探究】(1)若A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，A∩B＝B，则实数m的取值范围是________．【答案】[－1，＋∞)题型二充分与必要条件的判断例2 、（2018年浙江卷）已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得，由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.【变式探究】（2018年天津卷）设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不重复条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】绝对值不等式，由.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A 选项.【变式探究】(2018·北京卷)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】|a －3b |＝|3a ＋b |⇔|a －3b |2＝|3a ＋b |2⇔a 2－6a ·b ＋9b 2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2⇔2a 2＋3a ·b －2b2＝0，又∵|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝0⇔a ⊥b ，故选C ．【方法技巧】充分、必要条件的3种判断方法(1)利用定义判断：直接判断“若p ，则q ”“若q ，则p ”的真假．在判断时，确定条件是什么，结论是什么．(2)从集合的角度判断：利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．(3)利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假．【变式探究】 [2017·天津卷] 设θ∈R，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查了充分条件与必要条件，考查三角函数的图象及性质，考查学生的计算能力及推理能力．【答案】A.【解析】当⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12时，可解得0<θ<π6，即0<sin θ<12，故充分性成立；由sin θ<12可取θ＝0，但此时不满足条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，故必要性不成立．故选A. 【变式探究】命题“∀x∈R，∃n∈N *，使得n≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x∈R，∃n∈N *，使得n<x 2B ．∀x∈R，∀n∈N *，使得n<x 2C ．∃x∈R，∃n∈N *，使得n<x 2D ．∃x∈R，∀n∈N *，使得n<x 2【答案】D.【解析】由全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题得，命题“∀x∈R，∃n∈N *，使得n≥x 2”的否定形式是“∃x∈R，∀n∈N *，使得n<x 2”．【变式探究】已知命题p ：函数f(x)＝2ax 2－x －1在(0，1)内恰有一个零点；命题q ：函数y ＝x 2－a在(0，＋∞)上是减函数．若p 且綈q 为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(1，2]D ．(－∞，1]∪(2，＋∞) 【答案】C.【解析】由题意可得，对命题p ，令f(0)·f(1)<0，即－1·(2a －2)<0，得a>1；对命题q ，令2－a<0，即a>2，则綈q 对应的a 的范围是(－∞，2]．因为p 且綈q 为真命题，所以实数a 的取值范围是1<a≤2.故选C. 题型三命题真假的判定与命题的否定例3、[2017·全国卷Ⅰ]设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2；p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4 【答案】B【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )．对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题．对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0. 当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i∈ R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.则z 1＝z2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇒ a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i∈R ，则b ＝0⇒z －＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题，故选B. 【变式探究】下列命题正确的是( )A ．命题“∃x ∈[0,1]，使x 2－1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1]，都有x 2－1≤0” B ．若命题p 为假命题，命题q 是真命题，则(綈p )∨(綈q )为假命题 C ．命题“若a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0”及它的逆命题均为真命题D ．命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0” 【答案】D【方法技巧】解决命题的判定问题应注意的3点(1)判断四种命题真假有下面两个途径，一是先分别写出四种命题，再分别判断每个命题的真假；二是利用互为逆否命题是等价命题这一关系来判断它的逆否命题的真假．(2)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立．要判定一个特称(存在性)命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可．(3)含有量词的命题的否定，需从两方面进行：一是改写量词或量词符号；二是否定命题的结论，两者缺一不可．【变式探究】“∀x ∈R ，x 2－πx ≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－πx <0B．∀x∈R，x2－πx≤0C．∃x0∈R，x20－πx0≤0D．∃x0∈R，x20－πx0<0【答案】D【解析】全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是“∃x0∈R，x20－πx0<0”．故选D．【变式探究】命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为( )A．∀x∈[1,2]，x2－3x＋2>0B．∀x∉[1,2]，x2－3x＋2>0C．∃x0∈[1,2]，x20－3x0＋2>0D．∃x0∉[1,2]，x20－3x0＋2>0【答案】C【解析】由全称命题的否定的定义知，命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为“∃x0∈[1,2]，x20－3x0＋2>0”，故选C.。

高中数学破题致胜微方法(集合应用剖析)：集合中的易错问题

集合是高中数学的入门知识，是现代数学的基本语言，在以后的其他知识中经常出现，例如函数中的定义域、值域等，集合知识在每年的高考中必考，且以选择题较多，重点考察基础应用，属于高考试题中“送分”的题目.集合题目虽然简单，但集合涉及的概念多，并且有很强的逻辑性，有容易失分的情况.例如在初学时可能会对一些细节性的知识理解不到位，或者解题时对一些细节问题的忽视而造成错误.为了避免这些失误，我们对集合问题中常犯的错误进行剖析，帮助大家突破这些易错点，做到在集合的习题中不失分.一、元素与集合、集合与集合之间的关系：在学习了“集合与集合的关系”后，可能会与之前所学的“元素与集合的关系”混淆，错误常出现在符合的运用上.通常我们使用的符号有：集合与集合的关系，“包含类符号”：,,,,,元素与集合的关系，“属于类符号”：，例：以符号“∈”与“⊆”的应用举例：1.元素与集合的关系：，11,2,32.集合与集合的关系：0， 11,2,33.错解举例：判断{}πR ，两者的关系.二、描述法表示集合时，对元素的形式、属性的理解：用描述法表示的集合x x p 中，x 表示元素的形式，x p 表示元素所具有的性质. 例1：集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则A B = ．常见错解：解方程组0,,2x y x y +=⎧⎨-=⎩ 得1,,1x y =⎧⎨=-⎩{}11A B =-，∴.分析：产生错误的原因在于没有弄清楚集合中元素的形式，混淆点集与数集．集合AB ，中的元素都是有序数对，即平面直角坐标系中的点，而不是数. 因此AB ，是点集，而不是数集．{}(11)A B =-，∴.例2：已知集合{}{}22|2,R ,|616,R A y y x x x B y y x x x ==-∈==++∈，求A B .常见错解：令222616x x x x -=++，得2x =-，所以8y =，则{}8AB =.分析：本题中(){}|,R A y y f x x ==∈，表示函数()f x 的值域，因此求A B 实际上是求两个函数值域的交集. 正解：由{}(){}{}22|2,R |11,R |1A y y x x x y y x x y y ==-∈==--∈=≥-， {}(){}{}22|616,R |37,R |7B y y x x x y y x x y y ==++∈==++∈=≥， {}7.A B y y ∴=≥例3：设集合A ＝{y ∣y ＝x 2＋1，x ∈R }，B ＝{x ∣y ＝x ＋2}，求Ａ∩Ｂ．常见错解：显然Ａ＝{y ∣y ≥1}，{x ∣y ≥2}．所以A ∩B =B ．分析：错因在于对集合中的代表元素不理解.集合A 中的代表元素是y ，是表示函数的值域；但集合B 中的元素为x ，是表示函数的定义域.正解：A ＝{y ∣y ≥1}，B ＝{ x ∣x ≥0}，所以故A ∩B =A .三、忽略集合中元素的互异性，未检验：例：已知集合{}{}222,3,42,0,7,422A a a B a a a =++=+-- ，，且{}37A B =，，求a 的值．常见错解：∵{}37A B =，，∴2427a a ++=，2450(5)(1)0a a a a +-=⇔+-=∴，5a =-∴或1a =.（2）当1a =时，2423a a +-=，21a -=，满足{}37A B =，且集合B 中元素互异．∴a 的值为1．四、忽略空集的特殊情况：例. 设集合{}{}2230,10,A x x x B x ax =--==-=且,A B B =求实数a 的值.常见错解：由{}13,1,,A B a ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭又,A B B =故,B A ⊆所以131-=或a 分析：忽视了B =∅的情形．五、其他问题：以上给出的是重点的基础习题中常出现的几个易错点，包括常见的错误解答及错因.当然还会有其他易错之处，例如：1.子集的个数问题：例如：忽略子集和真子集的区别，忽略空集是任意非空集合的真子集、集合本身是子集.2.解不等式，不知道怎么解答.3.不会求函数的值域、定义域等等.下面给出几道练习题来巩固一下.练习题：1.设集合A ={1，2，3，4，5，6}，B ={4，5，6，7，8}，则满足S A ⊆且SB ≠∅的集合S 的个数是( )A .57B .56C .49D .8 2.已知{}41|≤≤-=x x A ，{}121|-≤≤+=m x m x B ，求当A B ⊆求实数m 的取值范围.3. 设全集{}{}22323212S a a A a =+-=-，，，，，{}5S C A =，求a 的值． 4. 已知集合(){}{},,lg 0,,x xy xy x y =，求x ＋y 的值.5. 设A ={x |x 2+(b +2)x +b +1=0，ｂ∈R}求Ａ中所有元素之和．练习题解析：1.设集合A ={1，2，3，4，5，6}，B ={4，5，6，7，8}，则满足S A ⊆且SB ≠∅的集合S 的个数是( )A .57B .56C .49D .8解析：2.已知{}41|≤≤-=x x A ，{}121|-≤≤+=m x m x B ，求当A B ⊆求实数m 的取值范围.解：因为当B =∅时，A B ⊆亦成立.（1）当B =∅时，则121->+m m ，解得：2<m .（2）当B ≠∅时，要使A B ⊆，应有121,11,,214m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解得：252≤≤m . 综上，所以m 的取值范围为：25≤m . 3. 设全集{}{}22323212S a a A a =+-=-，，，，，{}5S C A =，求a 的值．解：∵{}5S C A =， 5S ∈∴且5A ∉，2235a a +-=∴，2280a a +-=∴，2a =∴或4a =-.当2a =时，213a -=，此时满足3S ∈．当4a =-时，219a S -=∉，4a =-∴应舍去.2a =∴．4. 已知集合(){}{},,lg 0,,x xy xy x y =，求x ＋y 的值.5. 设A ={x |x 2+(b +2)x +b +1=0， b ∈R}求A 中所有元素之和．解：集合A 中的元素是方程的根，由于22)1(4)2(b b b =+-+=∆，当b =0时，方程有二重根－1，由集合中元素的互异性，集合A ={－1}，所以元素之和为－1；当b ≠0时，x 1 ＋x 2 ＝－b －2．。