最短距离法
五种常用系统聚类分析方法及其比较
五种常用系统聚类分析方法及其比较胡雷芳一、系统聚类分析概述聚类分析是研究如何将对象按照多个方面的特征进行综合分类的一种统计方法［１］。
然而在以往的分类学中，人们主要靠经验和专业知识作定性分类处理，许多分类不可避免地带有主观性和任意性，不能揭示客观事物内在的本质差别和联系；或者人们只根据事物单方面的特征进行分类，这些分类虽然可以反映事物某些方面的区别，但却往往难以反映各类事物之间的综合差异。
聚类分析方法有效地解决了科学研究中多因素、多指标的分类问题［２］。
在目前的实际应用中，系统聚类法和Ｋ均值聚类法是聚类分析中最常用的两种方法。
其中，Ｋ均值聚类法虽计算速度快，但需要事先根据样本空间分布指定分类的数目，而当样本的变量数超过３个时，该方法的可行性就较差。
而系统聚类法（Ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓ，也称层次聚类法）由于类与类之间的距离计算方法灵活多样，使其适应不同的要求。
该方法是目前实践中使用最多的。
这该方法的基本思想是：先将ｎ个样本各自看成一类，并规定样本与样本之间的距离和类与类之间的距离。
开始时，因每个样本自成一类，类与类之间的距离与样本之间的距离是相同的。
然后，在所有的类中，选择距离最小的两个类合并成一个新类，并计算出所得新类和其它各类的距离；接着再将距离最近的两类合并，这样每次合并两类，直至将所有的样本都合并成一类为止。
这样一种连续并类的过程可用一种类似于树状结构的图形即聚类谱系图（俗称树状图）来表示，由聚类谱系图可清楚地看出全部样本的聚集过程，从而可做出对全部样本的分类［３］。
二、五种常用系统聚类分析方法系统聚类法在进行聚类的过程中，需要计算类与类之间的距离。
根据类与类之间的距离计算方法的不同，我们可以将系统聚类法分为单连接法、完全连接法、平均连接法、组平均连接法与离差平方和法等。
１．单连接法（Ｓｉｎｇｌｅｌｉｎｋａｇｅ）单连接法又称最短距离法。
该方法首先将距离最近的样本归入一类，即合并的前两个样本是它们之间有最小距离和最大相似性；然后计算新类和单个样本间的距离作为单个样本和类中的样本间的最小距离，尚未合并的样本间的距离并未改变。
聚类分析
聚类分析聚类分析又称群分析，它是研究（样品或指标）分类问题的一种多元统计方法，所谓类，通俗地说，就是指相似元素的集合。
聚类分析内容非常丰富，按照分类对象的不同可分为样品分类（Q-型聚类分析）和指标或变量分类（R-型聚类分析）；按照分类方法可分为系统聚类法和快速聚类法。
1. 系统聚类分析先将n 个样品各自看成一类，然后规定样品之间的“距离”和类与类之间的距离。
选择距离最近的两类合并成一个新类，计算新类和其它类（各当前类）的距离，再将距离最近的两类合并。
这样，每次合并减少一类，直至所有的样品都归成一类为止。
系统聚类法直观易懂。
1.1系统聚类法的基本步骤：第一，计算n 个样品两两间的距离 ，记作D= 。
第二，构造n 个类，每个类只包含一个样品。
第三，合并距离最近的两类为一新类。
第四，计算新类与各当前类的距离。
第五，重复步骤3、4，合并距离最近的两类为新类，直到所有的类并为一类为止。
第六，画聚类谱系图。
第七，确定类的个数和类。
1.2 系统聚类方法：1.2.1最短距离法1.2.2最长距离法1.2.3中间距离法1.2.4重心法1.2.5类平均法1.2.6离差平方和法（Ward 法）上述6种方法归类的基本步骤一致，只是类与类之间的距离有不同的定义。
最常用的就是最短距离法。
1.3 最短距离法以下用ij d 表示样品i X 与j X 之间距离，用ij D 表示类i G 与j G 之间的距离。
定义类i G 与j G 之间的距离为两类最近样品的距离，即ij G G G G ij d D j J i i ∈∈=,min设类p G 与q G 合并成一个新类记为r G ，则任一类k G 与r G 的距离是：ij G X G X kr d D j j i i ∈∈=,min ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∈∈∈∈ij G X G X ij G X G X d d q j k i p j k i ,,min ,min min {}kq kp D D ,min = 最短距离法聚类的步骤如下：ij d {}ij d（1）定义样品之间距离，计算样品两两距离，得一距离阵记为)0(D ，开始每个样品自成一类，显然这时ij ij d D =。
occ曲线曲面计算距离
occ曲线曲面计算距离全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：OCC曲线曲面计算距离是计算计算机辅助设计和制造中的一个关键技术。
在现实世界中，我们经常需要对曲线曲面进行距离计算，例如在工程设计、医学成像、动画制作等领域。
通过计算曲线曲面之间的距离，我们可以更准确地对物体进行建模和分析，从而得到更好的设计方案和更高的效率。
在计算机辅助设计和制造中，OCC（OpenCASCADE）是一个非常流行的开源几何建模库，可以用于处理曲线曲面的各种操作，包括距离计算。
OCC提供了一系列的API（应用程序编程接口），使我们可以方便地对曲线曲面进行距离计算。
在OCC中，曲线曲面之间的距离通常可以分为两种情况：一种是点与曲面之间的距离，另一种是曲线与曲面之间的距离。
下面我们将分别介绍这两种情况的距离计算方法。
我们来看点与曲面之间的距离计算。
对于一个点和一个曲面，我们需要计算这个点到曲面最近点的距离。
在OCC中，可以通过以下步骤实现：1. 我们需要定义一个点和一个曲面。
点可以用gp_Pnt类表示，曲面可以用Geom_Surface类表示。
2. 然后，我们可以使用BRep_Tool::ClosestPoint函数来计算点到曲面的最近点。
3. 通过计算点到最近点的距离，即可得到点与曲面之间的距离。
在许多应用中，我们不仅需要计算曲线曲面之间的最短距离，还需要考虑曲线曲面之间的一般距离。
这时候，我们可以使用一些近似算法来进行计算，例如最小二乘法、拟合算法等。
这些算法可以帮助我们更精确地计算曲线曲面之间的距离，从而得到更可靠的结果。
OCC曲线曲面计算距离是一个非常重要的技术，在计算机辅助设计和制造中有着广泛的应用。
通过合理使用OCC提供的API和算法，我们可以方便地计算曲线曲面之间的距离，从而更好地进行建模和分析。
在未来的发展中，我们可以期待OCC技术的进一步改进和应用，为实际工程和科学领域提供更多可能性。
【此处应使用其他平台或方法进行验证】。
点到曲线的最短距离公式拉格朗日
标题：深度解析：点到曲线的最短距离公式拉格朗日在数学问题中，求解点到曲线的最短距离是一个非常经典的问题。
而其中用到的最短距离公式与拉格朗日乘数法紧密相关。
本文将深入探讨这一问题，从简单到复杂，逐步解析点到曲线的最短距离公式，并结合拉格朗日乘数法，带您领略这一数学奥妙。
一、点到曲线的距离概念我们首先来理解一下点到曲线的距离概念。
假设有一条曲线C，以及平面上的一个点P(x0, y0)，我们希望求解这个点到曲线C的最短距离。
为了方便起见，我们将曲线C表示为函数形式y=f(x)，那么点P到曲线C的距离可以表示为d(x)=(x-x0)^2+(f(x)-y0)^2的开方。
二、最短距离公式的推导接下来，我们将通过数学推导来得出点到曲线的最短距离公式。
我们希望最小化距离函数d(x)，因此需要求解d(x)的极值点。
根据极值点的性质，我们知道极值点的导数为0。
对d(x)求导可得d'(x)=0，进而得出f'(x)*(f(x)-y0)+(x-x0)=0。
这是一个方程，我们可以通过求解这个方程来得到最短距离的点。
三、拉格朗日乘数法的应用当我们面对多个约束条件进行最优化时，拉格朗日乘数法就能够派上用场。
在点到曲线的最短距离求解中，我们有一个显而易见的约束条件，那就是点P的坐标(x0, y0)必须在曲线C上。
我们可以建立拉格朗日函数L(x, y, λ)=d^2(x)-λ(g(x, y)), 其中λ为拉格朗日乘数，g(x, y)=0为约束条件。
通过对L(x, y, λ)进行偏导数运算，我们可以得出极值点的方程组，进而求解出最短距离的点。
四、结合实例分析为了更好地理解点到曲线的最短距离公式和拉格朗日乘数法，我们来看一个具体的例子。
假设曲线C为y=x^2，点P为(1, 2)。
我们可以按照上述方法，首先求出距离函数d(x)，再求出极值点的方程，最后应用拉格朗日乘数法来求解。
通过计算，我们得出最短距离的点为(1, 1)。
谱系聚类法
系统聚类分析实例
对中国大陆31个省级区域第三产业综合发展水平 进行类型划分及差异性程度分析---
聚类指标选择
(选取如下7项指标 )
① y1—— 人均 GDP ，它反映了经济社会发展的总 体状况和一般水平；
② y2—— 人均第三产业增加值，它反映了人均服 务产品占有量或服务密度； ③ y3—— 第二产业增加值比重，它反映了工业化 水平和产业结构现代化程度；
G p x p , Gq xq 则将 G p 和 Gq 合并成一个新类，
(3) 计算新类 Gr 与任一类 Gk 之间距离的递推公 式
Drk min d ij min
iGr , jGk
iG p , jGk
min d ij , min d ij
iGq , jGk
xp1• xp2•
d pq
xq1• xq2• xq3•
Dpq Max dij：xi G p，xj Gq
xp2• xp1• xp3•
d pq
2、 最长距离(Furthest neighbor )
xq1• xq2• xq3•
3、 类平均距离(Between-groups linkage )
Gr Gp Gq 递推公式： Drk max Dpk , Dqk
最长距离法容易被异常值严重地扭曲，一 个有效的方法是将这些异常值单独拿出来后 再进行聚类。
例 设抽取五个样品，每个样品只有一个变量，它 们是 1 ， 2 ， 3.5 ， 7 ， 9 。用最长距离法对 5 个样品进 行分类。
6.2系统聚类法 (Hierarchical Clustering Method)
系统聚类法又称为谱系聚类法,是聚类分析
聚类分析
聚类分析专题§引言俗话说，“物以类聚，人以群分”，在自然科学和社会科学等各领域中，存在着大量的分类问题。
分类学是人类认识世界的基础科学，在古老的分类学中，人们主要靠经验和专业知识进行定性的分类，很少利用数学工具进行定量的分类。
随着人类科学技术的发展，对分类的要求越来越高，以致有时仅凭经验和专业知识难以确切地进行分类，于是人们逐渐地把数学工具引用到了分类学中，这便形成了数值分类学这一学科，之后又将多元分析的技术引入到数值分类学，便又从数值分类学中分离出一个重要分支──聚类分析。
与多元分析的其它分析方法相比，聚类分析方法较为粗糙，理论上还不够完善，正处于发展阶段。
但是，由于该方法应用方便，分类效果较好，因此越来越为人们所重视。
这些年来聚类分析的方法发展较快，内容越来越丰富。
判别分析与聚类分析都是研究事物分类的基本方法，它们有着不同的分类目的，彼此之间既有区别又有联系。
各种判别分析方法都要求对类有事先的了解，通常是每一类都有一个样本，据此得出判别函数和规则，进而可对其它新的样品属于哪一类作出判断。
对类的事先了解和确定常常可以通过聚类分析得到。
聚类分析的目的是把分类对象按一定规则分成若干类，这些类不是事先给定的，而是根据数据的特征确定的。
在同一类里的这些对象在某种意义上倾向于彼此相似，而在不同类里的对象倾向于不相似。
聚类分析能够用来概括数据而不只是为了寻找“自然的”或“实在的”分类。
例如，在选拔少年运动员时，对少年的身体形态、身体素质、生理功能的各种指标进行测试，据此对少年进行分类，分在同一类里的少年这些指标较为相近。
类确定好之后，可以根据各类的样本数据得出选材的判别规则，作为选材的依据。
又如，根据啤酒中含有的酒精成分、纳成分、所含的热量“卡路里”数值，可以对啤酒进行分类。
聚类分析根据分类对象不同分为Q型聚类分析和R型聚类分析。
Q型聚类分析是指对样品进行聚类，R型聚类分析是指对变量进行聚类。
本章我们主要讨论Q型聚类。
最短距离法
最短距离法最短距离法是最近年来在分类学习和数据挖掘领域中较为流行的一种机器学习方法。
它的目的是从训练数据集中学习，并形成一种可以从新观察中推断出未知数据的判断方法。
本文介绍了最短距离法的基本概念、原理及其应用，结合例子进一步剖析了这种机器学习方法的核心思想。
一、什么是最短距离法最短距离法（k-nearest neighbors algorithm, k-NN）是一种基本分类算法，它通过测量不同特征值之间的距离来确定实例标签（类别）。
它的工作思路是：先从训练集中找出与当前实例（测试数据）最相似的k个实例，然后统计这k个实例中属于每一类别的实例数目，最后把当前实例分类到实例数目最多的类别中。
最短距离法的计算过程可以概括为：给定一个由N个特征表示的实例X，首先求出它到训练集中每个实例的距离，然后取出距离最小的k个实例，统计这k个实例中各类别的实例数，把X分类到实例数最多的类别中。
二、最短距离法的原理最短距离法的思想是，给定一个实例X，将它与训练集中的实例进行对比，利用距离的大小（越小越相似，越大越不相似）来判断X 的类别。
即：“物以类聚，人以群分”的思想。
最短距离法主要有两种距离计算方式：欧几里得距离（Euclidean Distance）和曼哈顿距离（Manhattan Distance），两者的计算方式不同，欧几里得距离适用于连续型变量，曼哈顿距离适用于离散型变量。
三、最短距离法的应用最短距离法的应用是模式分析的一个重要的挖掘工具，其主要用于分类任务。
它可以用于赛车、机器人、运动视觉系统等多种应用中。
由于最短距离法的简单性和高效的计算，它也被广泛应用于对用户行为分析、文档分类、图像分类、文字处理、计算生物学研究和金融研究等领域。
四、例子分析下面以一个简单的例子来说明最短距离法实例分类的过程：假设我们有一组三维数据，其中存在两类，[A类：[10,20,30], [20,30,40], [30,40,50]]，[B类：[50,60,70], [60,70,80], [70,80,90]]，现有一个需要分类的新实例：[40,50,60]，我们使用最短距离法来确定其类别。
最短距离法
最短距离法最短距离法是一种由欧几里得提出的测量距离的方法，也叫做欧几里得距离法。
这种方法的原理是，在给定的空间中，从一个特定的点到另一个特定的点的最短距离是直线上的点到点之间的距离。
最短距离法被用于很多不同科学方面，其中包括路径规划、旅行商问题和其他统计学上定义的距离度量。
它也可以用在数字图像处理、机器学习和数据挖掘应用中，用于衡量某两个数据实例的相似度。
最短距离法也被用于地理学、市场营销和消费者心理学等多个领域，它能够体现地理特征，以及人们对产品细节的认知。
例如，最短距离法可以帮助研究者从离消费者最近的供应商处采购消耗品。
此外，最短距离法也被用于计算模拟以及机器人路径规划，当机器人面临着空间限制而需要从一个点到另一个点时，它可以帮助机器人找到最短的路径。
最短距离法的计算可以用数学表示。
它公式为：距离=（（x_2-x_1）^2+（y_2-y_1）^2）^1/2其中，x_1和x_2分别表示两点的横坐标，y_1和y_2分别表示两点的纵坐标。
最短距离法使用起来非常简单，但是在计算上却非常耗时。
在实现此法时，需要考虑到时间和空间来源，以及计算量。
因此，有时候很难找到合适的解决方案来使用最短距离法。
在实际应用中，最短距离法还有一个重要的概念，就是弧长。
弧长是指两个坐标点之间的连线所在的抛物线的弧长，而不是两个点之间的直线距离。
这样的话，最短距离的计算就变得更加复杂，也更准确。
总而言之，最短距离法是一种重要的距离测量方法，它广泛应用于各个领域，能够帮助许多不同目的达到精准测量。
然而，它在实际应用中也有其计算耗时及复杂度的问题，因此有时候更适合使用更简单的方法来实现。
[精品]最短距离法
![[精品]最短距离法](https://img.taocdn.com/s3/m/28722cd09fc3d5bbfd0a79563c1ec5da50e2d6df.png)
最短距离法 最短距离法是从商品运输距离出发来考虑配送中心的设置位置。
它的目的是通过选择一个配送中心的设置位置，以使从这一点到各个网点的直线距离之和最小，从而节省运输费送。
最短距离发的计算公式如下：
∑∑==
=n i i n i i i d d X X 111 ∑∑===n i i n i i i d d Y Y 111
式中，),(Y X 为仓库坐标；),(i i Y X 为第i 个网点的坐标；i d 为仓库到底i 个网点的直线距离：22)()(Y Y X X d i i i
-+-=。
最短距离法的计算过程比较复杂。
按迭代法计算的过程如下：
（1） 假设一个仓库的的初始位置),(00Y X 。
（2） 以初始位置计算到各网点的距离i d 。
（3） 将i d 代入最短距离法公式计算，求出改善的仓
库位置),(i i Y X 。
（4） 比较),(00Y X 和),(i i Y X ，如果他们的差等于零，则说明已经找到配送中心的最佳位置。
否则重新计算i d ，并非返回到步骤（3）进一步计算。
这个过程需要反复进行下去，直至配送中心的位
置不在需要变动为止，即获得配送中心最佳位置。
第二章距离分类器和聚类分析
第二章 距离分类器和聚类分析2.1 距离分类器一、模式的距离度量通过特征抽取，我们以特征空间中的一个点来表示输入的模式，属于同一个类别的样本所对应的点在模式空间中聚集在一定的区域，而其它类别的样本点则聚集在其它区域，则就启发我们利用点与点之间距离远近作为设计分类器的基准。
这种思路就是我们这一章所要介绍的距离分类器的基础。
下面先看一个简单的距离分类器的例子。
例2.1作为度量两点之间相似性的距离，欧式距离只是其中的一种，当类别的样本分布情况不同时，应该采用不同的距离定义来度量。
设,X Y 为空间中的两个点，两点之间的距离(),d X Y ，更一般的称为是范数X Y -，一个矢量自身的范数X 为矢量的长度。
作为距离函数应该满足下述三个条件： a) 对称性：()(),,d d =X Y Y X ；b) 非负性：(),0d ≥X Y ，(),0d =X Y 当且仅当=X Y ； c) 三角不等式：()()(),,,d d d ≤+X Y X Z Y Z 。
满足上述条件的距离函数很多，下面介绍几种常用的距离定义： 设()12,,,Tn x x x =X ，()12,,,Tn y y y =Y 为n 维空间中的两点1、 欧几里德距离：(Eucidean Distance)()()1221,ni i i d x y =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑X Y2、 街市距离：(Manhattan Distance)()1,ni i i d x y ==-∑X Y3、 明氏距离：(Minkowski Distance)()11,mnm i i i d x y =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑X Y当2m =时为欧氏距离，当1m =时为街市距离。
4、 角度相似函数：(Angle Distance)(),T d ⋅=X YX Y X Y1nTi i i x y =⋅=∑X Y 为矢量X 和Y 之间的内积，(),d X Y 为矢量X 与Y 之间夹角的余弦。
求曲线上点到直线距离最值的两种方法
求曲线上点到直线距离最值的两种方法方法一：最短距离法这种方法是通过计算曲线上每个点到直线的距离，然后找出最小距离和对应的点。
假设我们有一个曲线方程为 f(x)，要求的直线方程为 y = mx + c，其中 m 和 c 是直线的斜率和截距。
步骤如下：1.将曲线上的点表示为(x,f(x))，其中x的取值范围根据曲线的定义域确定。
2. 计算每个点的距离 d 到直线的距离，距离公式为：d = ，f(x) - mx - c， / sqrt(1 + m^2)，其中 sqrt 表示开方操作。
3. 遍历所有点，找到最小的距离 dmin 和对应的点 (xmin,f(xmin))。
4. 最小距离 dmin 和对应点 (xmin, f(xmin)) 就是曲线上点到直线距离的最小值。
这种方法的优点是简单易懂、易于实现。
缺点是需要计算每个点的距离，如果曲线上的点较多，则计算量会比较大。
方法二：最优化方法这种方法是基于最优化理论，通过对问题建模求解。
假设有一个曲线方程为 f(x)，要求的直线方程为 y = mx + c，其中m 和 c 是直线的斜率和截距。
步骤如下：1.定义一个目标函数G(m,c)，表示曲线上所有点到直线的距离之和。
2. 目标函数 G(m, c) 的定义为G(m, c) = ∑(，f(xi) - mxi - c，)，其中∑ 表示求和操作，xi 和 f(xi) 分别是曲线上的点的横坐标和纵坐标。
3. 将 G(m, c) 转化为最小化问题，即求解 min G(m, c)。
4.使用优化算法（如梯度下降法、牛顿法等）求解G(m,c)的最小值，得到对应的斜率m和截距c。
5.最小值对应的斜率m和截距c就是曲线上点到直线距离的最小值。
这种方法的优点是可以通过优化算法进行快速求解，适用于曲线上点的数量较多的情况。
缺点是需要定义目标函数和选择合适的优化算法，并且求解可能存在数值稳定性和局部最优解的问题。
综上所述，求曲线上点到直线距离的最值可以使用最短距离法或最优化方法进行求解。
曲线上一点到直线的最短距离-概述说明以及解释
曲线上一点到直线的最短距离-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学中，我们经常会遇到求解曲线上一点到直线的最短距离的问题。
这个问题在不同领域都有着广泛的应用，如工程设计、物理学和经济学等。
了解如何求解曲线上一点到直线的最短距离，可以帮助我们更好地理解曲线与直线之间的关系，并应用到实际问题中。
本文将介绍曲线方程与直线方程的基本概念，并详细讨论如何求解曲线上一点到直线的最短距离的方法。
首先，我们会学习曲线方程和直线方程的一般形式，并通过具体的例子来说明它们之间的区别和联系。
然后，我们将介绍常用的最短距离求解方法，包括垂直距离法和求解最优化问题的方法。
通过这些方法，我们可以准确地计算出曲线上任意一点到直线的最短距离。
在结论部分，我们将总结所得的结果，并探讨曲线上一点到直线的最短距离在实际应用中的前景。
我们会通过实例来阐述这个问题的具体应用场景，以及如何利用最短距离的求解结果来解决实际问题。
最后，我们还会提出一些进一步的研究方向，以期在该领域做出更深入的探索和应用。
通过本文的阅读，读者将能够全面了解曲线上一点到直线的最短距离的求解方法，以及它在实际问题中的应用。
同时，读者也将更深入地理解曲线与直线之间的关系，并能够运用所学知识解决类似的几何问题。
希望本文能够对读者的学习和研究有所启发，为他们在相关领域的进一步探索提供参考和指导。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构展开讨论曲线上一点到直线的最短距离的问题：第一部分引言，旨在引入读者对本文的主题进行一个概括性的了解。
首先，我们将给出整篇文章的背景和动机，解释为什么研究曲线上一点到直线的最短距离是一个值得关注的问题。
接着，我们将介绍整篇文章的结构，简要概括每个部分的内容，并给出我们的研究目的。
第二部分正文，将着重讨论曲线方程与直线方程，这是解决问题的基础。
我们将简要介绍曲线方程和直线方程的一般形式，然后给出两者之间的关系。
接着，我们将详细探讨如何求解曲线上一点到直线的最短距离。
第十二章 聚类分析
第十二章聚类分析聚类分析（CLUSTER）是将样本或变量进行分类的一种方法。
通常用相似性指标“距离”和“相似系数”来衡量研究对象的联系紧密程度，从而进行合理分类。
“距离”常用来对样本分类，即把每一个样本看作是m维空间（若样本被m个变量所描述）的一个点，把距离较近的点归为一类，距离较远的点归为不同的类。
“相似系数”用来对变量分类，将变量间相似系数较大的归为一类，较小的归为不同类。
第一节距离和相似系数一、距离1、“欧几里得”距离A和B两点由m个变量所描述，其坐标分别是(x1,x2,…,x m)和(y1,y2,…,y m)，那么d(A,B)=例如：某次收视率调查中的部分数据如表1，则1号被访者和2号被访者的Array“距离”为：d(A,B)=表1：原始数据-上述测量的距离存在问题：（1）同一个变量单位不同会导致不同的距离；（2）不同变量的度量不一致，无法判断变量值大小和变量的重要程度，从而无法判断距离的意义。
因而需要对原始数据进行标准化。
表2：标准化数据2、SPSS 聚类分析中提供的距离（1）欧式距离（EUCLID ），等于 （2）欧式距离的平方（SEUCLID ），等于变量差2+变量差2+……（3）曼哈顿距离（BLOCK ），等于变量差的绝对值之和（4）切比雪夫距离（CHEBYCHEV ），等于变量差中绝对值最大者（5）幂距离POWER(p,r)，等于变量差的绝对值的p 次方之和，再求r 方根。
2、相似系数（1）变量间的相关系数即皮尔逊相关系数； …（2）变量间的夹角余弦，即将两变量分别看成n 维空间的向量时的夹角余弦值。
相关系数一般针对定距变量，对于定类变量特别是二项变量也可引入虚拟变量后计算相关系数。
例1：假定5个样本（人）具有如下指标：（1）请对个体进行分类；（2）对变量进行分类。
表3：五个人的六种身体特征指标解：变量中包含定距和定类变量，可以全部变成虚拟变量（也可将后四个虚拟），令X 1= ；X 2= ；X 3= ； ; X 4= ；X 5= ；X 6= ，表3可转化为表4：（1）根据两个个体共同特征的多少来对个体分类，以欧式距离的平方来进行聚类，个体之间的距离越小越相似，可求得： d 2(1,2)=(0-1)2+(0-1)2+(0-1)2+(1-0)2+(0-0)2+(1-0)2=5； d 2(1,3)=(0-0)2+(0-1)2+(0-0)2+(1-1)2+(0-0)2+(1-0)2=2； d 2(1,4)=(0-0)2+(0-0)2+(0-1)2+(1-0)2+(0-0)2+(1-1)2=2；d 2(1,5)=(0-1)2+(0-1)2+(0-1)2+(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=6；同理计算其他距离，得到下表：表5：5个体间距离1,身高≥170 0,身高＜170 1,体重≥130 ^1,双眼皮 0,单眼皮1,高鼻梁 0,低鼻梁1,用左手 0,用右手1,女 0,男根据距离大小，判断相似程度。
八年级最短距离知识点总结
八年级最短距离知识点总结在初中数学中，八年级的最短距离是一个重要而且基础的知识点。
下面，我们将从定义、性质、解法等角度来对这个知识点进行总结。
一、定义
最短距离，是指平面上一点到直线的最短距离。
其中，这个点不在这条直线上。
二、性质
1.最短距离所在的直线与所求点的连线垂直。
2.在一个固定的直线上，点到这条直线的最短距离是唯一的。
3.当点到直线垂线的长度小于直线段的长度时，点到直线的最短距离在这个垂线段上。
三、解法
1.利用垂直关系求最短距离
(1) 给定一直线和一点，求过这个点且垂直于这条直线的直线，这个垂足点就是这个点到这条直线的最短距离。
(2) 给定两条直线，求它们的距离，可以先在其中一条直线上
求出一个点，使得这个点到另一条直线的最短距离为所求距离。
2.利用解析几何的方法
(1) 直线方程式法
已知直线的解析式，然后求该直线上离点的距离最短的点。
(2) 点坐标法
已知点的坐标，然后求该点到直线上离它最近的点的坐标。
以上是对于八年级最短距离知识点的总结。
掌握这一知识点，不仅可以更好地理解解析几何中的相关内容，而且也有助于提高数学解题的效率。
最短距离公式
最短距离公式最短距离公式是数学中的一个重要概念，它可以用来计算两个点之间的最短距离。
在实际生活中，最短距离公式被广泛应用于地图导航、工程设计、运输物流等领域。
本文将对最短距离公式的原理、应用和优化进行详细介绍。
一、最短距离公式的原理最短距离公式是基于勾股定理的推导而来的。
勾股定理指的是：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
根据勾股定理，我们可以得出最短距离公式的基本形式：d = √((x2-x1) + (y2-y1))其中，d表示两点之间的最短距离，x1和y1分别表示第一个点的横纵坐标，x2和y2分别表示第二个点的横纵坐标。
最短距离公式的原理就是通过勾股定理计算出两点之间的距离。
二、最短距离公式的应用1.地图导航地图导航是最短距离公式的常见应用之一。
在地图上，我们可以将地点的坐标表示为经纬度或平面直角坐标系中的坐标，通过最短距离公式计算两个地点之间的距离，从而确定最短路径。
地图导航软件如高德地图、百度地图等都是基于最短距离公式实现的。
2.工程设计在工程设计中，最短距离公式可以用来计算两个点之间的距离，从而确定物体的大小、位置、形状等参数。
例如，在建筑设计中，可以利用最短距离公式计算出建筑物的高度、宽度、长度等参数；在机械设计中，可以利用最短距离公式计算出机械零件之间的距离，从而确定机械的尺寸和形状。
3.运输物流在运输物流中，最短距离公式可以用来计算货物的运输距离、时间和成本。
例如，在物流配送中，可以利用最短距离公式计算出配送点之间的距离，从而确定最短路径和最优配送方案；在货物运输中，可以利用最短距离公式计算出货物的运输距离和时间，从而确定运输成本和时间。
三、最短距离公式的优化最短距离公式的计算量较大，特别是在大规模数据的情况下。
为了提高计算效率，可以采用以下优化技术：1.分段计算将距离的计算分成多个步骤，每次计算两个点之间的距离，然后将这些距离相加得到总距离。
这种方法可以避免单次计算量过大，提高计算效率。
聚类分析详解
聚类分析应注意的问题
（1）所选择的变量应符合聚类的要求
如果希望依照学校的科研情况对高校进行分类，那么可以 选择参加科研的人数、年投入经费、立项课题数、支出经 费、科研成果数、获奖数等变量，而不应选择诸如在校学 生人数、校园面积、年用水量等变量。因为它们不符合聚 类的要求，分类的结果也就无法真实地反映科研分类的情 况。
以上我们对例6.3.1采用了多种系统聚类法进行聚类，其结果 都是相同的，原因是该例只有很少几个样品，此时聚类的过 程不易有什么变化。一般来说，只要聚类的样品数目不是太 少，各种聚类方法所产生的聚类结果一般是不同的，甚至会 有大的差异。从下面例子中可以看到这一点。
动态聚类法（快速聚类）
聚类分析工具及案例分析
SPSS IBM SPSS Modeler（以前叫Clementine，商业化软件） SAS(SAS Enterprise Miner) 商业数学软件MATLAB 数据挖掘软件WEKA（免费的，非商业化） IBM DB2 Intelligent Miner 其他（如DBMiner、See5等）
详细步奏和实例
最长距离法的聚类步奏
最长距离法与最短距离法的并类步骤完全相同，只 是类间距离的递推公式有所不同。
递推公式：
D M J m a x D K J,D L J
最长距离法容易被异常值严重地扭曲，一个有效的 方法是将这些异常值单独拿出来后再进行聚类。
三、中间距离法
类与类之间的距离既不取两类最近样品间的距离，也不取两 类最远样品间的距离，而是取介于两者中间的距离。
二是计算样品或变量的相似系数，用相似系数来描述样品 或变量之间的亲疏程度。
聚类分析特点
聚类分析是一种建立分类的多元统计分析方法，它能将一 批样本（或变量）数据根据其诸多特征，按照在性质上的 亲疏程度在没有先验知识的情况下进行自动分类，产生多 个分类结果。类内部的个体在特征上具有相似性，不同类 间个体特征的差异性较大。
GeodesicDistance：两点间的最短距离之法截弧等角航线测地线
GeodesicDistance：两点间的最短距离之法截弧等⾓航线测地线Geodesic Distance：两点间的最短距离之法截弧/等⾓航线/测地线Author：zhoulujun Date：2020-03-13屏幕集合李，两点间最短的线叫直线，曲⾯上两点之间最短的连线叫 "测地线 "也叫 "短程线 "。
WebGIS⾥⾯，我们会接触到法截弧、等⾓航线，这些线有和来由，有何区别？测地线的定义曲⾯上两点之间最短的连线叫"测地线"也叫"短程线".要求曲⾯上两点间最段距离需要⽤到微积分,⽽且跟曲⾯的形状有关。
例如素测地线：上半平⾯Η=﹛(x,y)|y>0,x,y∈R﹜,装备黎曼度量 (dxdx+dydy)÷y²给出双曲⼏何的模型之⼀此时测地线为垂直实轴的射线以及以实轴上点为圆⼼的测地半圆:测地线如果从测绘学科来讲的话可能会更加容易理解⼀些。
测地线⼜被称为⼤地线，也就是⼤地上两点间距离最近的线。
测地线的历史渊源"geodesic"（测地线）⼀词来源于 geodesy（测地学），是⼀门测量地球⼤⼩和形状的学科。
就从 geodesic 的本意来说，就是地球表⾯两点之间的最短路径，因此 Geodesic Distance 最初是指地球表⾯两点之间的最短距离，但随后这⼀概念便被推⼴到了数学空间的测量之中。
例如在图论中，Geodesic Distance 就是图中两节点的最短路径的距离。
这与我们平时在⼏何空间通常⽤到的 Euclidean Distance（欧⽒距离），在平⾯上A、B两点间距离最近的线是连结这两点的直线段，⽽平⾯三⾓形、多边形的边就是有这些线段组成的；在⾮欧⼏何上，球⾯上A、B两点间距离最短的线是连结这两点的⼤圆弧，在球⾯上的三⾓形（球⾯三⾓形）、多边形的边也是由这些⼤圆弧组成的。
曲线上到直线距离最短点的求法
曲线上到直线距离最短点的求法
求曲线上到直线距离最短点的时候，需要求解一个最小化问题。
最
小化问题在数学中是指求取一个函数在某个区间（即 x1 <= x <= x2 ）
上的最小值，或者最大值。
在求曲线上到直线距离最短点的情况下，可以把曲线到直线之间的距
离函数定义为 d(x) = [(x - x1)² + (y - y1)²]½，其中 (x1, y1) 为直线上的一点，(x, y) 为曲线上的一点，然后求 d(x) 在 [x1, x2] 区间的最小值即可。
此时可以使用数学上的拟牛顿法来求解，也可利用线性规划的求解方
法求解，二者的步骤有类似的地方，但拟牛顿法的计算量更小一些。
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最短距离法 最短距离法是从商品运输距离出发来考虑配送中心的设置位置。
它的目的是通过选择一个配送中心的设置位置，以使从这一点到各个网点的直线距离之和最小，从而节省运输费送。
最短距离发的计算公式如下：
∑∑==
=n i i n i i i d d X X 111 ∑∑===n i i n i i i d d Y Y 111
式中，),(Y X 为仓库坐标；),(i i Y X 为第i 个网点的坐标；i d 为
仓库到底i 个网点的直线距离：22)()(Y Y X X d i i i -+-=。
最短距离法的计算过程比较复杂。
按迭代法计算的过程如下：
（1） 假设一个仓库的的初始位置),(00Y X 。
（2） 以初始位置计算到各网点的距离i d 。
（3） 将i d 代入最短距离法公式计算，求出改善的仓
库位置),(i i Y X 。
（4） 比较),(00Y X 和),(i i Y X ，如果他们的差等于零，
则说明已经找到配送中心的最佳位置。
否则重新
计算i d ，并非返回到步骤（3）进一步计算。
这个过程需要反复进行下去，直至配送中心的位
置不在需要变动为止，即获得配送中心最佳位置。