高考数学二轮复习 概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数 第二讲 概率、随机变量及其分布列 理

专题七概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数第二讲概率、随机变量及其分布列
1．若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2．若事件A与事件B互为对立事件，则P(A∪B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．
一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝P（AB）
P（A）
为在事件A发生的条件
下，事件B发生的条件概率．特别地，对于古典概型，由于组成事件A的各个基本事件发生
的概率相等，因此其条件概率也可表示为：P(B|A)＝n（AB）n（A）
.
1．事件A与事件B相互独立．
设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．
2．独立重复试验．
在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(√)
(2)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(×)
(3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(×)
(4)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X 服从两点分布．(×) (5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(×)
1．(2014·新课标Ⅰ卷)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(D )
A.18
B.38
C.58
D.78
解析：由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有24
＝16种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：①一天一人，另一天三人，有C 14A 2
2＝8种不同的结果；②周六、周日各2人，有C 2
4＝6种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有8＋6＝14种不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1416＝7
8
.故选D.
2．甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组(每组两个队)进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为(D )
A.16
B.14
C.13
D.12
解析：所有可能的比赛分组情况共有4×C 24C 2
2
2！＝12种，甲、乙相遇的分组情况恰好有6
种．故选D.
3．(2015·广东卷)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为(B )
A ．0.4
B ．0.6
C ．0.8
D ．1
解析：记3件合格品为a 1，a 2，a 3，2件次品为b 1，b 2，则任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，共10个元素．
记“恰有1件次品”为事件A ，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)}，共6个元素．
故其概率为P(A)＝6
10
＝0.6.
4．(2015·新课标Ⅰ卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(A )
A ．0.648
B ．0.432
C ．0.36
D ．0.312
解析：3次投篮投中2次的概率为P(k ＝2)＝C 2
3×0.62
×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k ＝3)＝0.63
，所以通过测试的概率为P(k ＝2)＋P(k ＝3)＝C 2
3×0.62
×(1－0.6)＋0.63
＝0.648.故选A.
5．已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示：
若E(X)＝0，D(X)＝1，则a ＝512，b ＝1
4
．
解析：由题知a ＋b ＋c ＝1112，－a ＋c ＋16＝0，12×a ＋12×c ＋22
×112＝1，解得a ＝512，b
＝1
4.
一、选择题 1．若x∈A ，且
1
x
∈A ，则称A 是“伙伴关系集合”，在集合M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－1，0，13，1
2，1，2，3，4的所有非空子集中任选一集合，则该集合是“伙伴关系集合”
的概率为(A )
A.
117 B.151 C.7255 D.4255
2．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为(C )
A.
1180 B.1288 C.1360 D.1480
解析：四个数字之和为23的情况有：09：59，18：59，19：58，19：49四种，基本事件总数为60×24＝1 440，故所求概率为P ＝41 440＝1360
.
3．(2014·陕西卷)设样本数据x 1，x 2，…， x 10的均值和方差分别为1和4，若 y i ＝x i
＋a(a 为非零常数，i ＝1，2，…，10)，则y 1，y 2，…， y 10的均值和方差分别为(A )
A ．1＋a ，4
B ．1＋a ，4＋a
C ．1，4
D ．1，4＋a
解析：由题得：x 1＋x 2＋…＋x 10＝10×1＝10；(x 1－1)2
＋(x 2－1)2
＋…＋(x 10－1)2
＝10×4＝40.
y 1，y 2，…y 10的均值和方差分别为： 均值y －＝1
10(y 1＋y 2＋…＋ y 10)
＝1
10[(x 1＋a)＋(x 2＋a)＋…＋(x 10＋a)] ＝1
10[(x 1＋x 2＋…＋x 10)＋10a] ＝
10＋10a
10
＝1＋a. 方差＝
110[(y 1－y －)2＋(y 2－y －)2＋…＋(y 10－y －)2]＝110
[(x 1＋a)－(1＋a)]2
＋[(x 2＋a)
－(1＋a)]2
＋…＋[(x 10＋a)－(1＋a)]＝110[(x 1－1)2＋(x 2－1)2＋…＋(x 10－1)2
]＝4010
＝4.故选A.
4．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占1
6，而且三好学生中女生占
一半．现在从该班同学中任选一名参加某一座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为(C )
A.16
B.112
C.18
D.110
解析：设事件A 表示“任选一名同学是男生”，事件B 表示“任选一名同学为三好学生”，则所求概率为P(B|A)．
依题意得P(A)＝4060＝23，P(AB)＝560＝112.
故P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝11223
＝1
8
.
5．(2015·福建卷改编)如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f(x)＝x 2
，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于(A
)
A.57
B.79
C.512
D.713 解析：由题意知，阴影部分的面积 S ＝⎠
⎛1
2(4－x 2
)dx ＝(4x －13x 3)|21＝53，
∴ 所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝5
12
.
6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组
的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(A )
A.13
B.12
C.23
D.34 二、填空题
7．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位长度，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1
2，质点P 移动5次后位于点(2，3)的
概率是5
16
．
解析：点P 移动5次后到达点(2，3)可看作是5次移动中选择2次右移、3次上移，故有C 25
种不同的移动方法，而所有的移动方法有25
种，故所求的概率为P ＝C 2
525＝5
16
.
8．(2015·江苏卷)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为5
6
．
解析：由古典概型概率公式，得所求事件的概率为P ＝C 2
4－C 2
2C 24＝5
6.
三、解答题
9．(2014·全国大纲卷)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．
分析：(1)首先用字母表示有关的事件，A i 表示事件：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2；B 表示事件：甲需使用设备；C 表示事件：丁需使用设备；D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．将D 分解为互斥事件的和；D ＝A 1·B ·C ＋A 2·B ·C －
＋A 2·B －
·C ＋A 2·B ·C ，再利用互斥事件的概率加法公式计算P(D)；
(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，先用分解策略分别求P(X ＝i)(i ＝0，1，2，3，4)，最后利用离散型随机变量数学期望公式求E(X)的值．
解析：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2；B 表示事件：甲需使用设备；C 表示事件：丁需使用设备；D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．
(1)D ＝A 1·B ·C ＋A 2·B ·C －＋A 2·B －
·C ＋A 2·B ·C ，又P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i )＝C i
2×0.52
，i ＝0，1，2，
∴P(D)＝P(A 1·B ·C ＋A 2·B ·C －＋A 2·B －·C ＋A 2·B ·C)＝P(A 1·B ·C)＋P(A 2·B ·C －
)
＋P(A 2·B －·C)＋P(A 2·B ·C)＝P(A 1)P(B)P(C)＋P(A 2)P(B)P(C －)＋P(A 2)P(B －
)P(C))＋P(A 2)P(B)·P(C)＝0.31.
(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4.
P(X ＝0)＝P(B －·A 0·C －)＝P(B －)P(A 0)P(C －)＝(1－0.6)×0.52
×(1－0.4)＝0.06， P(X ＝1)＝P(B·A 0·C －＋B －·A 0·C ＋B －·A 1·C －)＝P(B)P(A 0)P(C －)＋P(B －
)P(A 0)P(C)＋P(B －)P(A 1)P(C －)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52
×(1－0.4)＝0.25，
P(X ＝4)＝P(A 2·B ·C)＝P(A 2)P(B)P(C)＝0.52
×0.6×0.4＝0.06， P(X ＝3)＝P(D)－P(X ＝4)＝0.25，
P(X ＝2)＝1－P(X ＝0)－P(X ＝1)－P(X ＝3)－P(X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38.
∴数学期望E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.
10．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与
轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为1
2
，且各局胜负相互独立，求：
(1)打满3局比赛还未停止的概率；
(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E(ξ)． 解析：令A k ，B k ，C k 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜．
(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为P(A 1C 2B 3)＋P(B 1C 2A 3)＝123＋123＝1
4
.
(2)ξ的所有可能值有2，3，4，5，6，且 P(ξ＝2)＝P(A 1A 2)＋P(B 1B 2)＝122＋122＝1
2，
P(ξ＝3)＝P(A 1C 2C 3)＋P(B 1C 2C 3)＝123＋123＝1
4，
P(ξ＝4)＝P(A 1C 2B 3B 4)＋P(B 1C 2A 3A 4)＝124＋124＝1
8，
P(ξ＝5)＝P(A 1C 2B 3A 4A 5)＋P(B 1C 2A 3B 4B 5)＝125＋125＝1
16，
P(ξ＝6)＝P(A 1C 2B 3A 4C 5)＋P(B 1C 2A 3B 4C 5)＝125＋125＝1
16
.
故ξ的分布列为：
从而E(ξ)＝2×
2＋3×
4
＋4×
8
＋5×
16
＋6×
16
＝
16
.
11。