江苏省南京市、盐城市2015届高三二模考试数学试题word版含答案

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2015南京外国语学校二模江苏省南京市、盐城市2015届高三第二次模拟考试语文 Word版含答案

南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试语文 2015．03 注意事项：1．本试卷共160分。

考试用时150分钟。

2．答题前，考生务必将学校、姓名、班级、学号写在答题卡．．．的密封线内。

答案写在答题．．卡．上对应题目的横线上。

考试结束后，请交回答题卡．．．。

一、语言文字运用(16分)1．在下面一段话的空缺处依次填入词语，最恰当的一组是(3分)会说话的人不止一种：言之有物，实为心声，一謦一欬，俱带感情，这是第一种；长江大河，源远莫寻，牛溲马勃，悉成黄金，这是第二种；科学逻辑，字字推敲，▲，井井有条，这是第三种；嬉笑怒骂，▲，庄谐杂出，四座皆春，这是第四种；默然端坐，▲，片言偶发，快如霜刀，这是第五种；期期艾艾，隐蕴词锋，似讷实辩，▲，这是第六种。

A．无懈可击旁若无人以逸待劳以守为攻B．旁若无人无懈可击以逸待劳以守为攻C．旁若无人无懈可击以守为攻以逸待劳D．无懈可击旁若无人以守为攻以逸待劳2．下列各句中，没有病句的一项是(3分)A．为引导广大市民自觉养成文明排队、有序乘车、遵守公共交通的习惯，现长期面向社会招募站台引导志愿者。

B．国际民航组织处提议设立一个信息共享平台，以便民航客机及时回避并了解在飞越交战地区时可能遇到的危险。

C．在这部农村题材的小说中，温馨的乡村人际关系难见踪影，传统的乡村文化几乎毁坏殆尽，令人不禁感慨系之。

D．消费者通过网络交易平台购买商品或者接受服务，其合法权益受到损害的，可以向销售者或者服务者要求赔偿。

3．下列对偶句中，不含对比的一项是(3分)A．少妇城南欲断肠，征人蓟北空回首。

B．荷尽已无擎雨盖，菊残犹有傲霜枝。

C．人世几回伤往事，山形依旧枕寒流。

D．年年岁岁花相似，岁岁年年人不同。

4．下列理解，与漫画寓意符合的一项是(3分)A．赞美动物惊人的智慧。

B．调侃人类的自以为是。

C．启发人与动物平等相处。

D．讽刺机械刻板的科学研究。

5．羊年说羊，参照示例，以羊为对象，写一句生动形象的话。

2015江苏高三一模数学试题及答案(南京市盐城市)

2015年江苏省高三数学一模试题及答案南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，计70分. 1 •设集合 M —2,0,x?，集合 N —0,1，若 N M ，则 x=▲.a +i2•若复数z(其中i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数 a =▲ ___ .i3•在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是 9,10,9,7,10，则该组数据的方差是▲ ____ .甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为 0.2 ,甲、乙下和棋的概率为 0.5，则乙获胜的概率为 2 2 2 2若双曲线x -y =a (a 0)的右焦点与抛物线 y =4x 的焦点重合，则(x 0,0)成中心对称，X 。

• ［0,］，则 x 0 二 ______ ▲2X 2 + y 2且log 2 x log 2 y = 1，贝U 的最小值为 ▲ x —y111.设向量a =(sin2pcosF , b= (cos=1)，贝U 'a //b ”是“an”成立的 ▲ 条件(选填充2分不必要”、必要不充分”、充要”、既不充分也不必要”)• 12.在平面直角坐标系 xOy 中，设直线y =-X ■ 2与圆x 2 y^ r 2(r 0)交于A, B 两点，O 为坐标原4. 5.6. 运行如图所示的程序后，输出的结果为7. 2x -y 冬0若变量x, y 满足<x -2y +3色0，贝V 2川的最大值为 ______ ▲x _0若一个圆锥的底面半径为 1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为若函数f (X) =sin(「x •—)(「• 0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为6;i — 1 ；S — 0 ；While i v 8 ;i — i + 3 ;S — 2, i + S ■ End While [Print S 第6题图—，且该函数图象关于点2JI10 .若实数x, y 满足x y 0 ,5 3点，若圆上一点c满足OC =7OA+1O B，贝y r =▲.4 413 .已知f (x)是定义在［一2 ,上的奇函数，当( 0 ,时,f(x > x2 ,1函数g(x) =x 「2x • m .如果对于-洛•二［-2,2］, 他二［-2,2］，使得 g(x 2)二 f (x 1)，则实数 m 的取值范围是 ▲ __________ .14•已知数列心？满足3!=-1,a 2 a i,i -昂|=2n (n ・N *)，若数列QnJ 单调递减，数列订2・，单调递增，则数列 a / 的通项公式为a n =▲.6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并把答案写 xOy 中，设锐角〉的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点卩(为，％),将射线0P 绕坐标原点0按逆时针方向旋转后与单位圆交于点2(1) 求函数f G )的值域；(2) 设. ABC 的角代B,C 所对的边分别为a,b,c ,若 f(C) — 2，且 a= .2, c =1，求 b .16.(本小题满分14分)如图，在正方体 ABCD-ABC 1D 中，0, E 分别为BD,AB 的中点. (1) 求证：0E // 平面 BCGB ； (2) 求证：平面BQC _平面RDE .二、解答题(本大题共在答题纸的指定区域内) 15.在平面直角坐标系QX M ).记 fC)* y ?.第16题图。

江苏省南京市、盐城市2015届高三数学二模试卷word版

江苏省南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试数学试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分,共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上） 1. 函数x x x f cos sin )(=的最小正周期为 ▲ 。

2. 已知复数)31)(2(i i z +-=,其中i 是虚数单位,则复数z 在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限。

3. 如图是一个算法流程图,如果输入x 的值是41，则输出S 的值是 ▲ 。

4. 某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中,其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中，净重在区间[100，104］上的产品件数是 ▲ .5. 袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个,现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球若摸出红球，得2分，摸出黑球,得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是 ▲ 。

6. 如图，在平面四边形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点,若BE BA BDλμ=+（,R λμ∈），则 λμ+= ▲ . 7. 已知平面α，β，直线,m n ,给出下列命题:①若//m α，//,n m n β⊥，则αβ⊥ ②若//αβ，//,//m n αβ,则||m n③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥,则αβ⊥④若αβ⊥，,m n αβ⊥⊥，则m n ⊥。

其中是真命题的是 ▲ .（填写所有真命题的序号）.8. 如图，在ABC ∆中,D 是BC 上的一点.已知060B ∠=，2,AD AC ===AB = ▲ 。

9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C :24x y =的焦点为F ，定点A ,若射线F A 与抛物线C相交于点M ,与抛物线C 的准线相交于点N ,则FM ：MN = ▲ 。

10. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，且数列也为等差数列，则13a= ▲ .11. 已知知函数1()||1x f x x +=+，x R ∈，则不等式2(2)(34)f x x f x -<-的解集是 ▲ 。

江苏省南京市、盐城市2015届高三第二次模拟考试英语试题(含解析)

南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试英语试题本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分120分，考试用时120分钟。

注意事项：答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸上。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分听力（共两节，满分20分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题纸上。

第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What time is it now?A. About 3:30.B. About 4:00.C. About 4:30.2. What does the man mean?A. He will send someone right away.B. The woman can call later that day.C. He is going to repair the pipe later.3. Why are they collecting money?A. To buy a gift for Jenny.B. To pay for the ticket to Nanjing.C. To get some cash for the man.4. What can we learn from the conversation?A. The apartment is too small.B. The apartment is available.C. The apartment is in perfect condition.5. Who is the man looking for?A. His classmate.B. His teacher.C. His brother.第二节（共15小题；每小题1分，满分15分）听下面5段对话或独白。

南京市、盐城市2015届高三第一次模拟考试数学试题_含答案

i ←1 S ←0 While i ＜8 i ←i + 3 S ←2i + SEnd While Print S第6题图南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)参考公式:样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 圆锥的侧面积公式：rl s π=，其中是圆锥的r 底面半径，l 为母线长一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。

不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置。

1．设集合{}2,0,M x =，集合{}0,1N =，若N M ⊆，则x = ▲ . 2．若复数a iz i+=（其中i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a = ▲ . 3．在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9,10,9,7,10，则该组数据的方差是 ▲ .4．甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为 ▲ . 5．若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 6．运行如图所示的程序后，输出的结果为 ▲ .7．若变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值为 ▲ .8．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为 ▲ . 9．若函数()sin()(0)6f x x πωω=+>图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点0(,0)x 成中心对称，0[0,]2x π∈，则0x = ▲ .10．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为 ▲ .11．设向量(sin 2,cos )θθ=a ，(cos ,1)θ=b ，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的 ▲ 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) .12．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+，则r = ▲ .13．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21xf x =-，函数2()2g x x x m =-+. 如果对于1[2,2]x ∀∈-，2[2,2]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数m 的取值范围是 ▲ .14．已知数列{}n a 满足11a =-，21a a >，*1||2()n n n a a n N +-=∈，若数列{}21n a -单调递减，数列{}2n a 单调递增，则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并把答案写在答题纸的指定区域内）15．在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+. （1）求函数()f α的值域；（2）设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2f C =2a =1c =，求b .16．(本小题满分14分)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,O E 分别为1,B D AB 的中点. （1）求证：//OE 平面11BCC B ；（2）求证：平面1B DC ⊥平面1B DE .xy PQOα 第15题图BACDB 1A 1C 1D 1E第16题图O17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右准线方程为4x =，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为25.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当,,B F P 三点共线时，试确定直线l 的斜率.18．某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t （025t <≤，单位：米）；曲线BC 是抛物线250(0)y ax a =-+>的一部分；CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径. 假定拟建体育馆的高50OB =米.（1）若要求30CD =米，AD =245米，求t 与a 的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围；（3）若125a =，求AD 的最大值.（参考公式：若()f x a x =-，则()2f x a x'=--）FPOxAly B第17题图·第18题-甲 xy O ABCD 第18题-乙E ·F19．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数,,k m l （k m l <<），求证：“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有121321n n n n a b a b a b a b --++++13246n n +=⋅--，且集合*|,n n b M n n N a λ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围.20．已知函数()xf x e =，()g x mx n =+.（1）设()()()h x f x g x =-.① 若函数()h x 在0x =处的切线过点(1,0)，求m n +的值；② 当0n =时，若函数()h x 在(1,)-+∞上没有零点，求m 的取值范围；（2）设函数1()()()nx r x f x g x =+，且4(0)n m m =>，求证：当0x ≥时，()1r x ≥.南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. 1 2．－1 3． 654． 0.3 5．2 6． 42 7． 889． 512π10． 4 11．要不充分 1213. [5,2]-- 14. (2)13n --（说明：本答案也可以写成21,321,3n nn n ⎧--⎪⎪⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数12解读：方法1：（平面向量数量积入手）22225325539244164416OC OA OB OA OA OB OB⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭，即：222225159+cos 16816r r r AOB r =∠+，整理化简得：3cos 5AOB ∠=-，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则23cos 2cos 15AOB AOD ∠=∠-=-，得21cos 5AOD ∠=，又圆心到直线的距离为OD ==所以222212cos 5OD AOD r r ∠===，所以210r =，r =.方法2：（平面向量坐标化入手）设()11,A x y ，()22,B x y ,(),C x y ,由5344OC OA OB=+得125344x x x =+，125344y y y =+，则22222222121211112222535325251525251544441616816168x y x x y y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由题意得，()222112225251516168r r r x y x y =+++，联立直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>的方程，由韦达定理可解得：10r =.方法3：（平面向量共线定理入手）由5344OC OA OB =+得153288OC OA OB =+，设OC与AB 交于点M ，则A M B 、、三点共线。

江苏省盐城市2015届高三第三次模拟考试数学试题(含答案)

盐城市2015届高三年级第三次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知集合{}210A x x =-=，集合[0,2]B =，则AB = ▲ .2.若复数()(1)z x i i =++是纯虚数，其中x 为实数，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z = ▲ .3.根据如图所示的伪代码，则输出的S 的值为 ▲ .4.若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ .5.某单位有840名职工, 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[61, 120]的人数为 ▲ ．6.某公司从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，若这四人被录用的机会均等，则甲与乙中至少有一人被录用的概率为 ▲ ．7.若,x y 满足约束条件+20020x y x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩, 则目标函数z 2x y =+的最大值为 ▲ ．8.已知正四棱锥P ABCD -的体积为43，底面边长为2，则侧棱PA 的长为 ▲ . 9.若角+4πα的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线12y x =上，则tan α的值为 ▲ .10.动直线(y k x =与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB ∆的面积取得最大值时，k 的值为 ▲ .11.若函数()2()232x xf x k -=--⋅，则2k =是函数()f x 为奇函数的 ▲ 条件. (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)S 0 I 041Pr int While I I I S S I End While S←←≤←+←+第3题12.在边长为1的菱形ABCD 中，23A π∠=，若点P 为对角线AC 上一点，则PB PD ⋅的最大值为 ▲ .13.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若数列{}n a 满足2n n a S An Bn C +=++且0A >，则1B C A+-的最小值为 ▲ ． 14.若函数2()ln 2f x x ax bx a b =-++--有两个极值点12,x x ，其中10,02a b -<<>，且221()f x x x =>，则方程22[()]()10a f x bf x +-=的实根个数为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)已知(2sin ,sin cos )m x x x =-，(3cos ,sin cos )n x x x =+，记函数()f x m n =⋅. （1）求函数()f x 取最大值时x 的取值集合；（2）设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2f C =，c =ABC ∆面积的最大值.16．(本小题满分14分)在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，1BB BC =，点,,P Q R 分别是棱111,,BC CC B C 的中点.（1）求证:1A R //平面APQ ；（2）求证:平面APQ ⊥平面1ABC .A 1第16题某地拟建一座长为640米的大桥AB ，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A 、B 造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x 米时（其中64100x <<），中间每个桥墩的万元，桥面每1米长的平均造价为(2万元. （1）试将桥的总造价表示为x 的函数()f x ；（2）为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间(两端桥墩A 、B 除外)应建多少个桥墩？18. (本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于A 、B 两点. 当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时，弦AB. （1）求椭圆C 的方程；（2）若点E的坐标为(2，点AA 与原点O 的直线交椭圆C 于另一点P ，求PAB ∆的面积；（3）是否存在点E ，使得2211EA EB+若不存在，请说明理由.第17题设函数()ln f x x =，()()(0)1m x n g x m x +=>+.（1）当1m =时，函数()y f x =与()y g x =在1x =处的切线互相垂直，求n 的值；（2）若函数()()y f x g x =-在定义域内不单调，求m n -的取值范围；（3）是否存在实数a ,使得2()()()02ax a xf f e f x a⋅+≤对任意正实数x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由.20．(本小题满分16分)设函数21()1+f x px qx=+（其中220p q +≠），且存在无穷数列{}n a ，使得函数在其定义域内还可以表示为212()1n n f x a x a x a x =+++++.（1）求2a （用,p q 表示）；（2）当1,1p q =-=-时，令12n n n n a b a a ++=，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：32n S <；（3）若数列{}n a 是公差不为零的等差数列，求{}n a 的通项公式.盐城市2015届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修4—1：几何证明选讲）在ABC ∆中，已知CM 是ACB ∠的平分线，AMC ∆的外接圆交BC 于点N .若2AB AC =，AM =BN 的长.B.（选修4—2：矩阵与变换）若矩阵21a c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 属于特征值3的一个特征向量为11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求矩阵M 的逆矩阵1-M .C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为)4πρθ=-，以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1314x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），试判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知,,a b c 为正实数，求证：221188ab a b ++≥，并求等号成立的条件.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线,AC BD 交于点O ，4OA =，3OB =，4OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足(0)PM MC λλ=>.（1）当12λ=时，求直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值；（2）若二面角M AB C --的大小为4π，求λ的值.23．（本小题满分10分）设123*12341()(1)(2,)n nn n n n n F n a a C a C a C a C n n N +=-+-++-≥∈.（1）若数列{}n a 的各项均为1，求证：()0F n =；（2）若对任意大于等于2的正整数n ，都有()0F n =恒成立，试证明数列{}n a 是等差数列.盐城市2015届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. {}12. 2i -3. 154. 15. 36. 567. 613-10. 充分不必要 12. 12-13. 5二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（1）由题意，得()3sin 2cos 22sin(2)6f x m n x x x π=⋅=-=-，当()f x 取最大值时，即sin(2)16x π-=，此时22()62x k k Z πππ-=+∈，所以x 的取值集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.……………………………………7分（2）因()2f C =，由（1）得sin(2)16C π-=，又0C π<<，即112666C πππ-<-<，所以262C ππ-=，解得3C π=，在ABC ∆中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得223a b ab ab =+-≥，所以1sin 2ABC S ab C ∆=≤所以ABC ∆14分16. 证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC BC 且11BC B C =，因点,P R 分别是棱11,BC B C 的中点，所以1//BP B R 且1BP B R =，所以四边形1BPRB 是平行四边形，即1//PR BB 且1PR BB =，又11//AA BB 且11AA BB =，所以1//PR AA 且1PR AA =，即四边形1APRA 是平行四边形，所以1//AP A R ，又1A R ⊄平面APQ ，所以1//A R 平面APQ .………………7分（2）因1BB BC =，所以四边形11BCC B 是菱形，所以11B C BC ⊥，又点,P Q 分别是棱11,BC C C 的中点，即1//PQ BC ，所以1B C PQ ⊥. 因为AB AC =，点P 是棱BC 的中点，所以AP BC ⊥，由直三棱柱111ABC A B C -，知1BB ⊥底面ABC ，即1BB AP ⊥，所以AP ⊥平面11BCC B ，则1AP B C ⊥，所以1B C ⊥平面APQ ，又1B C ⊂平面1ABC ，所以平面APQ ⊥平面1ABC …………………………………………14分 17．解：（1）由桥的总长为640米，相邻两个桥墩的距离为x 米，知中间共有640(1)x-个桥墩，于是桥的总造价640()640(2)(1)100640f x x=+-+，即3112226408080()138033f x x x x -⨯=+-+ 3112225120080=138033x x x -+-+（64100x <<）………………………………7分（表达式写成()=1380f x 同样给分）（2）由（1）可求13122236404040()233f x x x x --⨯'=--，整理得3221()(98064080)6f x x x x -'=--⨯，由()0f x '=，解得180x =，26409x =-（舍），又当(64,80)x ∈时，()0f x '<；当(80,100)x ∈ 时，()0f x '>，所以当80x =，桥的总造价最低，此时桥墩数为6401=780-…………………………14分 18．解：（1）由c a =，设3(0)a k k =>，则c =，223b k =，所以椭圆C 的方程为2222193x y k k+=，因直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C的右焦点，即A B x x ==，代入椭圆方程，解得y k =±，于是23k =，即3k =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=………………………………5分（2）将x =22162x y +=，解得1y =±，因点A在第一象限，从而A ，由点E的坐标为，所以AB k =，直线PA的方程为y x =，联立直线PA 与椭圆C的方程，解得7()55B --，又PA 过原点O，于是(1)P -，4PA =，所以直线PA的方程为0x =，所以点B到直线PA的距离h ==，14255PAB S ∆=⋅⋅=………………10分（3）假设存在点E ，使得2211EA EB+为定值，设0(,0)E x ，当直线AB 与x轴重合时，有202222012211(6)x EA EB x ++==-，当直线AB 与x 轴垂直时，222200112662(1)6x EA EBx +==--，由20222001226(6)6x x x +=--，解得0x =，20626x =-，所以若存在点E，此时(3,0)E ，2211EA EB +为定值2. …………………………………………12分根据对称性，只需考虑直线AB过点E ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，又设直线AB的方程为x my =C 联立方程组，化简得22(3)30m y ++-=，所以12y y +=12233y y m -=+，又222222111111(1)EA m y y m y ===++，所以212122222222221212()21111(1)(1)(1)y y y y EA EB m y m y m y y +-+=+=+++，将上述关系代入，化简可得22112EA EB+=.综上所述，存在点(E ，使得2211EA EB +为定值2……………16分 19．解：（1）当1m =时，21()(1)ng x x -'=+，∴()y g x =在1x =处的切线斜率14n k -=，由1()f x x '=，∴()y f x =在1x =处的切线斜率1k =，∴1114n-⋅=-，∴5n = (4)分（2）易知函数()()y f x g x =-的定义域为(0,)+∞，又[]222212(1)2(1)11(1)()()(1)(1)(1)x m n x m n x m n x y f x g x x x x x x +--++--+-'''=-=-==+++，由题意，得12(1)x m n x+--+的最小值为负，∴(1)4m n ->（注：结合函数[]22(1)1y x m n x =+--+图象同样可以得到），∴2((1))(1)44m n m n +-≥->，∴(1)4m n +->，∴3m n ->（注：结合消元利用基本不等式也可）.……………………9分（3）令()x θ2=()()()ln 2ln ln ln 22ax a xf f e f ax a ax x x a x a⋅+=⋅-⋅+-，其中0,0x a >> 则()x θ'=1ln 2ln a a a x a x ⋅--+，设1()ln 2ln x a a a x a xδ=⋅--+2211()0a ax x x x xδ+'=--=-<∴()x δ在(0,)+∞单调递减，()0x δ=在区间(0,)+∞必存在实根，不妨设0()0x δ=即0001()ln 2ln 0x a a a x a x δ=⋅--+=，可得001ln ln 21x a ax =+-（*） ()x θ在区间0(0,)x 上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减，所以max 0()()x x θθ=，0000()(1)ln 2(1)ln x ax a ax x θ=-⋅--⋅，代入（*）式得0001()2x ax ax θ=+- 根据题意0001()20x ax ax θ=+-≤恒成立. 又根据基本不等式,0012ax ax +≥,当且仅当001ax ax =时,等式成立所以0012ax ax +=,01ax =01x a ∴=.代入（*）式得,1ln ln 2a a =,即12,a a=a =………………16分 (以下解法供参考，请酌情给分)解法2：()x θln 2ln ln ln 2(1)(ln 2ln )ax a ax x x a ax a x =⋅-⋅+-=--，其中0,0x a >> 根据条件2()()()02ax a xf f e f x a⋅+≤对任意正数x 恒成立即(1)(ln 2ln )0ax a x --≤对任意正数x 恒成立∴10ln 2ln 00ax a x a -≥⎧⎪-≤⎨⎪>⎩且10ln 2ln 00ax a x a -≤⎧⎪-≥⎨⎪>⎩，解得12x a a ≤≤且12a x a ≤≤，即12x a a ==时上述条件成立此时a =. 解法3：()x θln 2ln ln ln 2(1)(ln 2ln )ax a ax x x a ax a x =⋅-⋅+-=--，其中0,0x a >> 要使得(1)(ln 2ln )0ax a x --≤对任意正数x 恒成立，等价于(1)(2)0ax a x --≤对任意正数x 恒成立，即1()(2)0x x a a--≥对任意正数x 恒成立，设函数1()()(2)x x x a aϕ=--，则()x ϕ的函数图像为开口向上，与x 正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x 轴有一个交点，即12a a =，所以2a =. 20．解:（1）由题意，得2212(1)(1)1n n px qx a x a x a x +++++++=，显然2,x x 的系数为0，所以121+0++0a p a a p q =⎧⎨=⎩，从而1a p =-，22a p q =-.………………………4分（2）由1,1p q =-=-，考虑(3)n x n ≥的系数，则有120n n n a pa qa --++=，得1212120(3)nn n a a a a a n --=⎧⎪=⎨⎪--=≥⎩，即21n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 单调递增，且22211n n n n n n n a a b a a a a +++-==-，所以132435211111111()()()()n n n S a a a a a a a a +=-+-+-++-，当2n ≥时，12+12+121111311322n n n n n S a a a a a a ++=+--=--<.…………………………10分（3）由（2）120n n n a pa qa --++=，因数列{}n a 是等差数列，所以1220n n n a a a ---+=，所以12(2+)(1)n n p a q a --=-对一切3n ≥都成立，若0n a =，则0p q ==，与220p q +≠矛盾，若数列{}n a 是等比数列，又据题意{}n a 是等差数列，则{}n a 是常数列，这与数列{}n a 的公差不为零矛盾，所以210p q +=-=，即2,1p q =-=，由（1）知12a =，23a =，所以1n a n =+.………16分（其他方法：根据题意可以用p 、q 表示出1a ，2a ，3a ，4a ，由数列{}n a 为等差数列，利用2132a a a =+，3242a a a =+解方程组也可求得.）解法2：由（1）可知1a p =-，22a p q =-，因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d221d a a p q p =-=-+，2322a p q p =-+，24332a p q p =-+.又由（2）120n n n a pa qa --++=，所以3210,a pa qa ++=得2(1)2(1)0p p q p +-+=，若10,p +=即1,p =-时，11a =，21a =，0d =与条件公差不为零相矛盾，因此1,p ≠-则(1)2p p q +=.由4320a pa qa ++=,可得 222332(22)()0p q p p p q p q p q -++-++-=,整理可得 22(23)()20p q p q p p ++-++=代入(1)2p p q +=,21(2)(1)04p p p ++=,0p =或2p =- 若0p =,则0p q ==，与220p q +≠矛盾，若2p =-,则1q =,满足题意, 所以1n a n =+附加题答案B ．解：由题意，得2113111ac⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得12a c =⎧⎨=⎩，所以1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M . 设1xy z w -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M，则112102101xy zw -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦MM ，解得1221,,,3333x y z w =-===-，即112332133-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦M .…………………………10分C ．解：将直线l 与曲线C 的方程化为普通方程，得直线l ：4310x y -+=，曲线C ：22220x y x y +--=，所以曲线C 是以(1,1)为圆心，半径为的圆，所以圆心到直线l 的距离25d =<，因此，直线l 与曲线C 相交. …………………………10分22. 解：（1）以O 为坐标原点，建立坐标系O ABP -，则(4,0,0)A ，(0,3,0)B ，(4,0,0)C -，(0,3,0)D -，(0,0,4)P ，所以(4,0,4)PA =-，(0,6,0)DB =，(4,3,0)AB =-.当12λ=时，得48(,0,)33M -，所以48(,3,)33MB =-，设平面BDM 的法向量(,,)n x y z =，则60483033y x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，得0y =，令2x =，则1z =，所以平面BDM 的一个法向量(2,0,1)n =，所以0c o s ,PA n ==，即直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值10………………5分（2）易知平面ABC 的一个法向量1(0,0,1)n =.设(,0,)M a b ，代入PM MC λ=，得(,0,4)(4,0,)a b a b λ-=---，解得4141a b λλλ-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即44(,0,)11M λλλ-++，所以44(,3,)11MB λλλ-=++，设平面BDM 的法向量2(,,)n x y z =，则430443011x y x y z λλλ-+=⎧⎪⎨+-=⎪++⎩，消去y ，得(21)x z λ+=，令1x =，则21z λ=+，43y =，所以平面BDM 的一个法向量24(1,,21)3n λ=+，=13λ=或43-，因为0λ>，所以13λ=.……………10分23. 证：（1）因数列{}n a满足各项为1，即0123()(1)n nn n n n nF n C C C C C=-+-++-，由012233(1)n n nn n n n nx C C x C x C x C x+=+++++，令1x=-，则01230(1)n nn n n n nC C C C C=-+-++-，即()0F n=..………………………3分（2）当2n=时，1212232(2)0F a a C a C=-+=，即2132a a a=+，所以数列{}n a的前3项成等差数列.假设当n k=时，由1231234+1()(1)0k kk k k k kF k a a C a C a C a C=-+-++-=，可得数列{}n a的前+1k项成等差数列，………………………………………………………………………5分因对任意大于等于2的正整数n，都有()0F n=恒成立，所以(+1)0F k=成立，所以1231234+1123+1+112+13+14+12+1(1)0(1)0k kk k k k kk kk k k k ka a C a C a C a Ca a C a C a C a C+⎧-+-++-=⎪⎨-+-++-=⎪⎩，两式相减得，1122+1+12+13+1+1+1+2+1()()(1)()(1)0k k k k kk k k k k k k k ka C C a C C a C C a C--+-++--+-=，因111m m mn n nC C C+++=+，所以0121+1234+12(1)(1)0k k k kk k k k k k ka C a C a C a C a C-+-+-++-+-=，即01211234+12(1)(1)0k k k kk k k k k k ka C a C a C a C a C--+-+++-+-=，由假设可知234+12,,,,,k ka a a a a+也成等差数列，从而数列{}n a的前2k+项成等差数列.综上所述，若()0F n=对任意3n≥恒成立，则数列{}n a是等差数列. …………………10分。

2015届高三阶段性诊断考试(二模)数学(文)试题 Word版含答案

高三阶段性诊断考试试题文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()11z i +=（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数是A. 12i+B. 12i -C. 12i -+D. 12i --2.设{}{}21,,2,xP y y x x R Q y y x R ==-+∈==∈，则A. P Q ⊆B. Q P ⊆C. R C P Q ⊆D. R Q C P ⊆3.设命题21:32,:02x p x x q x --+<0≤-，则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.某工厂生产的甲、乙、丙三种型号产品的数量之比为2：3：5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中甲种产品有20件，则n= A.50 B.100 C.150 D.2005.已知不共线向量,,,a b a b a b a b a ---+r r r r r r r r r则与的夹角是A.2πB.3π C.4π D.6π 6. ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若a,b,c ，成等比数列，且c=2a ，则cosC=A.4B. 4-C.34D. 34-7.设函数()()()01xx f x a ka a a -=->≠-∞+∞且在，上既是奇函数又是减函数，则()()log a g x x k =+的图象是8.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为A.B.C.2D. 3π9.已知函数()()f x x R ∈满足()()11,1f f x '=<且，则不等式()2211f g x g x <的解集为A. 10,10⎛⎫⎪⎝⎭B. ()10,10,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C. 1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D. ()10,+∞10.设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 做与x 轴垂直的直线交两渐近线于A,B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若()4,,25OP OA OB R λμλμλμ=+=∈uu u r uu r uu u r ，则双曲线的离心率e 是A.B.C.52D.54二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.若x,y都是锐角，且1sin tan ,3x y x y ==+=则_________. 12.在边长为2的正方形ABCD 的内部任取一点M ，则满足90AMB ∠>的概率为___________（结果保留π）. 13.已知0,0a b >>，方程为22420x y x y +-+=的曲线关于直线10ax by --=对称，则2a bab+的最小值为________.14.已知抛物线24y x =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到y 轴的最短距离是_____.15.已知数列{}n a 满足()()11,log 12,n n a a n n n N *==+≥∈.定义：使乘积12k a a a ⋅⋅⋅⋅为正整数的()k k N*∈叫做“易整数”.则在[]1,2015内所有“易整数”的和为________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.16. （本小题满分12分）已知向量()cos ,cos ,3sin cos ,2sin 6m x x n x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且满足()f x m n =⋅u r r.（I ）求函数()f x 的的对称轴方程；（II ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到()g x 的图象，当[]0,x π∈时，求函数()g x 的单调递增区间.17. （本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，90,2,3,//A B AD BC EF AB ∠=∠===，且AE=1，M,N 分别是FC,CD 的中点.将梯形ABCD 沿EF 折起，使得1,BM =连接AD,BC,AC 得到（图2）所示几何体.（I ）证明：BC ⊥平面ABFE ；（II ）证明：AF//平面BMN.18. （本小题满分12分）已知函数()()()log 01,,2m n f x x m m a n =>≠且点在函数()f x 的图象上. （I ）若()n n n b a f a m =⋅=，当时，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（II ）设2lg n n n c a a =⋅，若数列{}n c 是单调递增数列，求实数m 的取值范围.19. （本小题满分12分）某超市举办促销活动，凡购物满100元的顾客将获得3次模球抽奖机会，抽奖盒中放有除颜色外完全相同的红球、黄球和黑球各1个，顾客每次摸出1个球再放回，规定摸到红球奖励10元，摸到黄球奖励5元，摸到黑球无奖励.（I ）求其前2次摸球所获奖金大于10元的概率；（II ）求其3次摸球获得奖金恰为10元的概率.20. （本小题满分13分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1，离心率为2.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若过点()2,0M 的直线与椭圆C 交于A,B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=uu r uu u r uu u r（O 为坐标原点），当PA PB -<uu r uu r 时，求实数t 的取值范围.21. （本小题满分14分）已知函数()()()2121,ln 23f x x k x kg x x x =+--+=. （I ）若函数()g x 的图象在（1，0）处的切线l 与函数()f x 的图象相切，求实数k 的值；（II ）当0k =时，证明：()()0f x g x +>；（III ）设()()()(),h x f x g x h x '=+若有两个极值点()1212,x x x x ≠，且()()1272h x h x +<，求实数k 的取值范围.。

2015年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷

2015年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷一.填空题：本大题共20小题，每小题5分，计70分.1．（5分）（2015•盐城一模）设集合M={2，0，x}，集合N={0，1}，若N⊆M，则x= ．2．（5分）（2015•盐城一模）若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a= ．3．（5分）（2015•盐城一模）在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9，10，9，7，10，则该组数据的方差是．4．（5分）（2015•盐城一模）甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为．5．（5分）（2015•盐城一模）若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a= ．6．（5分）（2015•盐城一模）运行如图所示的程序后，输出的结果为．7．（5分）（2015•盐城一模）已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为．8．（5分）（2015•盐城一模）若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为．9．（5分）（2015•盐城一模）若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x0，0）成中心对称，，则x0= ．10．（5分）（2015•盐城一模）若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x+log2y=1，则的最小值为．11．（5分）（2015•盐城一模）设向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），则“∥”是“tanθ=”成立的条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．12．（5分）（2015•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r= ．13．（5分）（2015•盐城一模）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g （x）=x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是．14．（5分）（2015•盐城一模）已知数列{a n}满足a1=﹣1，a2＞a1，|a n+1﹣a n|=2n（n∈N*），若数列{a2n﹣1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{a n}的通项公式为a n= ．15．（5分）（2015•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=，且a=，c=1，求b．16．（15分）（2015•盐城一模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．（1）求证：OE∥平面BCC1B1；（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．17．（12分）（2015•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右准线方程为x=4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．18．（5分）（2015•盐城一模）某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t≤25，单位：米）；曲线BC是抛物线y=﹣ax2+50（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．假定拟建体育馆的高OB=50米．（1）若要求CD=30米，AD=米，求t与a的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围；（3）若，求AD的最大值．（参考公式：若，则）19．（5分）（2015•盐城一模）设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S n，若a1a5=64，S5﹣S3=48．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：“m=k+1且l=k+3”是“5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{b n}满足：对任意的正整数n，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1=3•2n+1﹣4n﹣6，且集合中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围．20．（5分）（2015•盐城一模）已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．A、（选修4-1：几何证明选讲）21．（5分）（2015•盐城一模）如图，已知点P为Rt△ABC的斜边AB的延长线上一点，且PC与Rt△ABC的外接圆相切，过点C作AB的垂线，垂足为D，若PA=18，PC=6，求线段CD的长．B、（选修4-2：矩阵与变换）22．（2015•盐城一模）求直线x﹣y﹣1=0在矩阵的变换下所得曲线的方程．23．（2015•盐城一模）在极坐标系中，求圆ρ=2cosθ的圆心到直线的距离．24．（8分）（2015•盐城一模）解不等式|x+1|+|x﹣2|＜4．25．（10分）（2015•盐城一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，动点P满足（λ＞0），当λ=时，AB1⊥BP．（1）求棱CC1的长；（2）若二面角B1﹣AB﹣P的大小为，求λ的值．26．（10分）（2015•盐城一模）设集合S={1，2，3，…，n}（n∈N*，n≥2），A，B是S的两个非空子集，且满足集合A中的最大数小于集合B中的最小数，记满足条件的集合对（A，B）的个数为P n．（1）求P2，P3的值；（2）求P n的表达式．2015年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大题共20小题，每小题5分，计70分.1．（5分）（2015•盐城一模）设集合M={2，0，x}，集合N={0，1}，若N⊆M，则x=1．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：根据条件N⊆M，确定元素关系，进行求解即可，从而得到x的值．解答：解：∵集合M={2，0，x}，N={0，1}，∴若N⊆M，则集合N中元素均在集合M中，∴x=1．故答案为：1．点评：本题主要考查集合的包含关系的应用，利用N⊆M，确定元素关系．一般集合中问题，如果含有参数，求解之后要注意对集合进行验证．属于基础题．2．（5分）（2015•盐城一模）若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=﹣1．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．解答：解：复数==﹣ai+1，∵Z的实部与虚部相等，∴﹣a=1，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，属于基础题．3．（5分）（2015•盐城一模）在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9，10，9，7，10，则该组数据的方差是．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据平均数与方差的公式进行计算即可．解答：解：数据9，10，9，7，10的平均数是=（9+10+9+7+10）=9，∴它的方差是s2=[（9﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（7﹣9）2+（10﹣9）2]=．4．（5分）（2015•盐城一模）甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为0.3．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：利用互斥事件概率加法公式及对立事件概率减法公式，结合已知计算求解．解答：解：∵“乙获胜”与“甲获胜”及“甲、乙下和棋”是互斥事件．且与“乙获胜”与“甲获胜与甲、乙下和棋的并事件”是互斥事件．∵甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，∴乙获胜的概率P=1﹣（0.2+0.5）=0.3．故答案为：0.3点评：正确理解互斥事件及其概率加法公式及对立事件概率减法公式，是解题的关键．5．（5分）（2015•盐城一模）若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a=．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线y2=4x的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c值，进而根据双曲线的性质得到答案．解答：解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），故双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点坐标为（1，0），故c=1，由双曲线x2﹣y2=a2的标准方程为：，故2a2=1，又由a＞0，∴a=．故答案为：点评：本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．6．（5分）（2015•盐城一模）运行如图所示的程序后，输出的结果为42．考点：伪代码．专题：算法和程序框图．解答：解：模拟执行程序，有i=1，s=0，满足条件i＜8，i=4，s=8，满足条件i＜8，i=7，s=22，满足条件i＜8，i=10，s=42，不满足条件i＜8，退出循环，输出s的值为42．故答案为：42．点评：本题考查循环结构框图的应用，注意退出循环的条件，考查计算能力，属于基础题．7．（5分）（2015•盐城一模）已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为8．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，设z=x+y，利用z的几何意义，先求出z的最大值，即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+y，则y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入z=x+y得z=1+2=3．即z=x+y最大值为3，∴2x+y的最大值为23=8．故答案为：8．点评：本题主要考查线性规划的应用以及指数函数的运算，利用z的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．8．（5分）（2015•盐城一模）若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中，圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，分析圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，∴圆锥的母线长l=2，故圆锥的高h==，故圆锥的体积V===，故答案为：．点评：本题考查的是圆锥的体积求解问题．在解答的过程当中充分体现了圆锥体积公式的应用以及转化思想的应用．值得同学们体会反思．9．（5分）（2015•盐城一模）若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x0，0）成中心对称，，则x0=．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用两角和的正弦公式化简f（x），然后由f（x0）=0求得[0，]内的x0的值．解答：解：∵函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，∴=π，∴ω=2∴f（x）=sin（2x+）．∵f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，∴f（x0）=0，即sin（2x0+）=0，∴2x0+=kπ，∴x0=﹣，k∈Z，∵x0∈[0，]，∴x0=．故答案为：．点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查了正弦函数的对称中心的求法，属于基本知识的考查．10．（5分）（2015•盐城一模）若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x+log2y=1，则的最小值为4．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．∴log2xy=1=log22，∴xy=2，∴==（x﹣y）+≥2=4，但且仅当x=1+，y=﹣1时取等号，故的最小值为4，故答案为：4．点评：本题考查了对数的运算性质和基本不等式，属于中档题11．（5分）（2015•盐城一模）设向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），则“∥”是“tanθ=”成立的必要不充分条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据向量平行的坐标关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若∥，则sin2θ﹣cosθcosθ=0，即2sinθcosθ﹣cosθcosθ=0，即cosθ（2sinθ﹣cosθ）=0，则cosθ=0或tanθ=，故∥”是“tanθ=”成立必要不充分条件，故答案为：必要不充分．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．12．（5分）（2015•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r=．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：设，由=+两边同时平方可求cosθ，结合θ的范围及公式可求，结合三角函数及点到直线的距离公式可求圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，进而可求r解答：解：由题意可得，=r设，θ∈[0，π]则==r2cosθ两边同时平方可得，=即×∴cosθ=∵，∴且cos∴=设圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，则d=rcos=即∴r=故答案为：点评：本题主要考查了直线与圆心的位置关系，三角函数知识的灵活的应用是求解本题的关键．13．（5分）（2015•盐城一模）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g （x）=x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是[﹣5，﹣2]．考点：指数函数综合题；特称命题．专题：函数的性质及应用．分析：求出函数f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．解答：解：∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴f（0）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1∈（0，3]，则当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣3，3]，若对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则等价为g（x）max≥3且g（x）min≤﹣3，∵g（x）=x2﹣2x+m=（x﹣1）2+m﹣1，x∈[﹣2，2]，∴g（x）max=g（﹣2）=8+m，g（x）min=g（1）=m﹣1，则满足8+m≥3且m﹣1≤﹣3，解得m≥﹣5且m≤﹣2，故﹣5≤m≤﹣2，故答案为：[﹣5，﹣2]点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强．14．（5分）（2015•盐城一模）已知数列{a n}满足a1=﹣1，a2＞a1，|a n+1﹣a n|=2n（n∈N*），若数列{a2n﹣1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{a n}的通项公式为a n=．考点：数列的函数特性；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：方法一：先采用列举法得a1=﹣1，a2=1，a3=﹣3，a4=5，a5=﹣11，a4=21，…，然后从数字的变化上找规律，得，再利用“累加求和”即可得出．方法二：由，，可得，而{a2n﹣1}递减，a2n+1﹣a2n﹣1＜0，故；同理，由{a2n}递增，得；又a2＞a1，可得，即可得出．解答：解：方法一：先采用列举法得a1=﹣1，a2=1，a3=﹣3，a4=5，a5=﹣11，a6=21，…，然后从数字的变化上找规律，得，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=（﹣1）n•2n﹣1+（﹣1）n﹣1•2n﹣2+…﹣22+2﹣1==．方法二：∵，，∴，而{a2n﹣1}递减，∴a2n+1﹣a2n﹣1＜0，故；同理，由{a2n}递增，得；又a2＞a1，∴，以下同上．点评：本题考查了含绝对值数列的单调性，考查了猜想归纳方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．15．（5分）（2015•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x1，y1），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q（x2，y2）记f（α）=y1+y2（1）求函数f（α）的值域；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=，且a=，c=1，求b．考点：任意角的三角函数的定义；直线与圆的位置关系．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据三角函数的定义求出函数f（α）的表达式，即可求出处函数的值域；（2）根据条件求出C，根据余弦定理即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）由三角函数定义知，y1=sinα，y2=sin（α+）=cosα，f（α）=y1+y2=cosα+sinα=sin（α+），∵角α为锐角，∴＜α+＜，∴＜sin（α+）≤1，∴1＜sin（α+）≤，则f（α）的取值范围是（1，]；（Ⅱ）若f（C）=，且a=，c=1，则f（C）═sin（C+）=，即sin（C+）=1，则C=，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即1=2+b2﹣2×b，则b2﹣2b+1=0，即（b﹣1）2=0，解得b=1．点评：本题主要考查三角函数的定义以及余弦定理的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．16．（15分）（2015•盐城一模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．（1）求证：OE∥平面BCC1B1；（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）：连接BC1，设BC1∩B1C=F，连接OF，可证四边形OEBF是平行四边形，又OE⊄面BCC1B1，BF⊂面BCC1B1，可证OE∥面BCC1B1．（2）先证明BC1⊥DC，再证BC1⊥面B1DC，而BC1∥OE，OE⊥面B1DC，又OE⊂面B1DE，从而可证面B1DC⊥面B1DE．解答：证明：（1）：连接BC1，设BC1∩B1C=F，连接OF，…2分因为O，F分别是B1D与B1C的中点，所以OF∥DC，且，又E为AB中点，所以EB∥DC，且d1=1，从而，即四边形OEBF是平行四边形，所以OE∥BF，…6分又OE⊄面BCC1B1，BF⊂面BCC1B1，所以OE∥面BCC1B1．…8分（2）因为DC⊥面BCC1B1，BC1⊂面BCC1B1，所以BC1⊥DC，…10分又BC1⊥B1C，且DC，B1C⊂面B1DC，DC∩B1C=C，所以BC1⊥面B1DC，…12分而BC1∥OE，所以OE⊥面B1DC，又OE⊂面B1DE，所以面B1DC⊥面B1DE．…14分解读：初稿是：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB的中点．（1）求证：BC1∥面B1DE；（2）求证：面B1DC⊥面B1DE讨论时，有老师提出第（1）小题偏难了，所以作了修改．点评：本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于基本知识的考查．17．（12分）（2015•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右准线方程为x=4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意知，直线l的方程为y=2（x﹣a），即2x﹣y﹣2a=0，利用点到直线的距离公式可得：右焦点F到直线l的距离为，化为a﹣c=1，又椭圆C的右准线为x=4，即，及其a2=c2+b2，解出即可．（2）方法一：由（1）知，F（1，0），直线BF的方程为，与椭圆方程联立可得P，即可得出k PA；方法二：由（1）知，F（1，0），直线BF的方程为，由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），联立直线得出交点代入椭圆方程即可得出．方法三：由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），与椭圆方程可得根与系数的关系，利用B，F，P三点共线k BP=k BF，解出即可．解答：解：（1）由题意知，直线l的方程为y=2（x﹣a），即2x﹣y﹣2a=0，∴右焦点F到直线l的距离为，∴a﹣c=1，又椭圆C的右准线为x=4，即，∴，将此代入上式解得a=2，c=1，∴b2=3，∴椭圆C的方程为．（2）方法一：由（1）知，F（1，0），∴直线BF的方程为，联立方程组，解得或（舍），即，∴直线l的斜率．方法二：由（1）知，F（1，0），∴直线BF的方程为，由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），联立方程组，解得，代入椭圆解得：或，又由题意知，得k＞0或，∴．方法三：由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），联立方程组，得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，，∴，，当B，F，P三点共线时有，k BP=k BF，即，解得或，又由题意知，得k＞0或，∴．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、三点共线，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18．（5分）（2015•盐城一模）某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t≤25，单位：米）；曲线BC是抛物线y=﹣ax2+50（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．假定拟建体育馆的高OB=50米．（1）若要求CD=30米，AD=米，求t与a的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围；（3）若，求AD的最大值．（参考公式：若，则）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）由CD=50﹣t=30，解得t=20．可得圆E：x2+（y﹣20）2=302，令y=0，得|AO|，即可得出|OD|=|AD|﹣|AO|，将点C代入y=﹣ax2+50（a＞0）中，解得a即可．（2）由于圆E的半径为50﹣t，可得CD=50﹣t，在y=﹣ax2+50中，令y=50﹣t，得，由题意知对t∈（0，25]恒成立，即恒成立，利用基本不等式的性质解出即可．（3）当时，，又圆E的方程为x2+（y﹣t）2=（50﹣t）2，令y=0，得，从而，方法一：利用导数研究其单调性极值即可；方法二：（三角换元）令，利用三角函数的单调性值域，解出即可；方法三：令，则题意相当于：已知x2+y2=25（x≥0，y≥0），求z=AD=5×（2x+y）的最大值．利用线性规划的有关知识解出即可．解答：解：（1）∵CD=50﹣t=30，解得t=20．此时圆E：x2+（y﹣20）2=302，令y=0，得，∴，将点代入y=﹣ax2+50（a＞0）中，解得．（2）∵圆E的半径为50﹣t，∴CD=50﹣t，在y=﹣ax2+50中，令y=50﹣t，得，则由题意知对t∈（0，25]恒成立，∴恒成立，而当，即t=25时，取最小值10，故，解得．（3）当时，，又圆E的方程为x2+（y﹣t）2=（50﹣t）2，令y=0，得，∴，从而，又∵，令f'（t）=0，得t=5，当t∈（0，5）时，f'（t）＞0，f（t）单调递增；当t∈（5，25）时，f'（t）＜0，f（t）单调递减，从而当t=5时，f（t）取最大值为25．答：当t=5米时，AD的最大值为25米．（3）方法二：（三角换元）令，则=，其中ϕ是锐角，且，从而当时，AD取得最大值为25米．方法三：令，则题意相当于：已知x2+y2=25（x≥0，y≥0），求z=AD=5×（2x+y）的最大值．根据线性规划知识，当直线y=﹣2x+z与圆弧x2+y2=25（x≥0，y≥0）相切时，z取得最大值为25米．点评：本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值、三角函数换元、线性规划的有关知识，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．（5分）（2015•盐城一模）设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S n，若a1a5=64，S5﹣S3=48．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：“m=k+1且l=k+3”是“5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{b n}满足：对任意的正整数n，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1=3•2n+1﹣4n﹣6，且集合中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围．考点：等差数列与等比数列的综合；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意和等比数列的性质先求出a3，由等比数列的通项公式、前n项和的定义求出公比q，代入等比数列的通项公式化简即可；（2）由充要条件的定义分别证明充分性、必要性，顺序分类讨论后分别利用等差数列的性质和a n进行证明；（3）由（1）化简a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1=3•2n+1﹣4n﹣6后，两边同乘以2再作差求出b n，注意验证n=1是否成立代入，利用作差判断数列{}的单调性，再求出符合条件的λ的范围．解答：解：（1）设等比数列{a n}的公比是q，∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，∴，解得a3=8，又∵S5﹣S3=48，∴，解得q=2，∴；…4分（2）（ⅰ）必要性：设5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列，①若2•5a k=a m+a l，则10•2k=2m+2l，∴10=2m﹣k+2l﹣k，∴5=2m﹣k﹣1+2l﹣k﹣1，∴，∴．…6分②若2a m=5a k+a l，则2•2m=5•2k+2l，∴2m+1﹣k﹣2l﹣k=5，左边为偶数，等式不成立，③若2a l=5a k+a m，同理也不成立，综合①②③，得m=k+1，l=k+3，所以必要性成立．…8分（ⅱ）充分性：设m=k+1，l=k+3，则5a k，a m，a l这三项为5a k，a k+1，a k+3，即5a k，2a k，8a k，调整顺序后易知2a k，5a k，8a k成等差数列，所以充分性也成立．综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立．…10分（3）因为，即，①∴当n≥2时，，②则②式两边同乘以2，得，③∴①﹣③，得2b n=4n﹣2，即b n=2n﹣1（n≥2），又当n=1时，，即b1=1，适合b n=2n﹣1（n≥2），∴b n=2n﹣1．…14分∴，∴，∴n=2时，，即；∴n≥3时，，此时单调递减，又，，，，∴．…16分点评：本题考查等差数列、等比数列的性质，作差法判断数列的单调性，考查分类讨论思想的运用，计算化简、变形能力与逻辑推理能力，属于难题．20．（5分）（2015•盐城一模）已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论．（2）求出r（x）的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可．解答：解：（1）①h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx﹣n．则h（0）=1﹣n，函数的导数f′（x）=e x﹣m，则f′（0）=1﹣m，则函数在x=0处的切线方程为y﹣（1﹣n）=（1﹣m）x，∵切线过点（1，0），∴﹣（1﹣n）=1﹣m，即m+n=2．②当n=0时，h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx．若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，即e x﹣mx=0在（﹣1，+∞）上无解，若x=0，则方程无解，满足条件，若x≠0，则方程等价为m=，设g（x）=，则函数的导数g′（x）=，若﹣1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（﹣1）=e﹣1，若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x=1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）=e，综上g（x）≥e或g（x）＜e﹣1，若方程m=无解，则e﹣1≤m＜e．（2）∵n=4m（m＞0），∴函数r（x）=+=+=+，则函数的导数r′（x）=﹣+=，设h（x）=16e x﹣（x+4）2，则h′（x）=16e x﹣2（x+4）=16e x﹣2x﹣8，[h′（x）]′=16e x﹣2，当x≥0时，[h′（x）]′=16e x﹣2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）=16﹣2=14＞0，即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）=16﹣16=0，即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，故r（x）≥r（0）=，故当x≥0时，r（x）≥1成立．点评：本题主要考查导数的几何意义的应用，以及利用导数研究函数单调性，在判断函数的单调性的过程中，多次使用了导数来判断函数的单调性是解决本题的关键，难度较大．A、（选修4-1：几何证明选讲）21．（5分）（2015•盐城一模）如图，已知点P为Rt△ABC的斜边AB的延长线上一点，且PC与Rt△ABC的外接圆相切，过点C作AB的垂线，垂足为D，若PA=18，PC=6，求线段CD的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；几何证明．分析：由切割线定理解得PB=2，在Rt△POC中，由面积法得OC•PC=PO•CD，解得线段CD的长．解答：解：由切割线定理，得PC2=PA•PB，解得PB=2，所以AB=16，即Rt△ABC的外接圆半径r=8，…5分记Rt△ABC外接圆的圆心为O，连OC，则OC⊥PC，在Rt△POC中，由面积法得OC•PC=PO•CD，解得．…10分．点评：本题考查切割线定理，考查面积法的运用，比较基础．B、（选修4-2：矩阵与变换）22．（2015•盐城一模）求直线x﹣y﹣1=0在矩阵的变换下所得曲线的方程．考点：矩阵变换的性质．专题：矩阵和变换．分析：本题可以根据点P（x，y）与矩阵作用前点Q（x'，y'）坐标之间的关系，通过代入法，求出点Q（x'，y'）的坐标间关系式，得到所求曲线的方程．解答：解：设P（x，y）是所求曲线上的任一点，它在已知直线上的对应点为Q（x'，y'），∵=，∴，解得，代入x'﹣y'﹣1=0中，得：，化简可得所求曲线方程为．点评：本题考查了矩阵与向量的积的运算、代入法求曲线的方程，本题难度不大，属于基础题．三.C、（选修4-4：坐标系与参数方程）23．（2015•盐城一模）在极坐标系中，求圆ρ=2cosθ的圆心到直线的距离．考点：圆的参数方程；直线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：将圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，利用化为直角坐标方程，可得圆心（1，0），把展开即可直角坐标方程，利用点到直线的距离公式即得出圆心到直线的距离．解答：解：将圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，普通方程为x2+y2﹣2x=0，圆心为（1，0），又，即，∴直线的普通方程为，故所求的圆心到直线的距离．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．24．（8分）（2015•盐城一模）解不等式|x+1|+|x﹣2|＜4．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：去绝对值，分当x＜﹣1时，当﹣1≤x≤2时，当x＞2时，三种情况，得到不等式解得它们，再求并集即可．解答：解：当x＜﹣1时，不等式化为﹣x﹣1+2﹣x＜4，解得；当﹣1≤x≤2时，不等式化为x+1+2﹣x＜4，解得﹣1≤x≤2；当x＞2时，不等式化为x+1+x﹣2＜4，解得；所以原不等式的解集为．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．25．（10分）（2015•盐城一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，动点P满足（λ＞0），当λ=时，AB1⊥BP．（1）求棱CC1的长；（2）若二面角B1﹣AB﹣P的大小为，求λ的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以点A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出棱CC1的长．（2）求出平面PAB的一个法向量，和平面ABB1的一个法向量，由已知条件利用向量法能求出λ的值．解答：解：（1）以点A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设CC1=m，则B1（3，0，m），B（3，0，0），P（0，4，λm），所以，，，…2分当时，有解得，即棱CC1的长为．…4分（2）设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），则由，得，即，令z=1，则，所以平面PAB的一个法向量为，…6分又平面ABB1与y轴垂直，所以平面ABB1的一个法向量为，因二面角B1﹣AB﹣P的平面角的大小为，所以|cos＜＞|==||，结合λ＞0，解得．…10分．点评：本题考查线段长的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，是中档题．26．（10分）（2015•盐城一模）设集合S={1，2，3，…，n}（n∈N*，n≥2），A，B是S的两个非空子集，且满足集合A中的最大数小于集合B中的最小数，记满足条件的集合对（A，B）的个数为P n．（1）求P2，P3的值；（2）求P n的表达式．考点：二项式定理的应用；子集与真子集．专题：综合题；二项式定理．分析：（1）当n=2时，即S={1，2}，由此能求出P2=1；当n=3时，即S={1，2，3}，分类讨论，可得P3=5．（2）设集合A中的最大元素为“k”，确定集合A、B的情况，可得集合对（A，B）共有2k﹣1（2n﹣k﹣1）=2n﹣1﹣2k﹣1对．由此能求出P n．解答：解：（1）当n=2时，即S={1，2}，此时A={1}，B={2}，所以P2=1，…2分当n=3时，即S={1，2，3}，若A={1}，则B={2}，或B={3}，或B={2，3}；若A={2}或A={1，2}，则B={3}；所以P3=5．…4分（2）当集合A中的最大元素为“k”时，集合A的其余元素可在1，2，…，k﹣1中任取若干个（包含不取），所以集合A共有种情况，…6分此时，集合B的元素只能在k+1，k+2，…，n中任取若干个（至少取1个），所以集合B共有种情况，所以，当集合A中的最大元素为“k”时，集合对（A，B）共有2k﹣1（2n﹣k﹣1）=2n﹣1﹣2k﹣1对， (8)分当k依次取1，2，3，…，n﹣1时，可分别得到集合对（A，B）的个数，求和可得．…12分点评：本题考查二项式定理的运用，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．。

2015届南京市盐城市一模数学解析+试卷原终稿对比

南京市､盐城市2015届高三年级第一次模拟考试一､填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分．1．设集合M＝{2，0，x}，集合N＝{0，1}，若N M，则x＝答案:1a＋i▲．2．若复数z＝i (其中i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a＝▲．答案:－13．在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9，10，9，7，10，则该组数据的方差是．▲6答案:54．甲､乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲､乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为答案:0.3解读:为了体现新的《考试说明》，此题选择了互斥事件，选材于课本中的习题．▲．5．若双曲线x －y ＝a (a＞0)的右焦点与抛物线y ＝4x 的焦点重合，则a＝2▲．i←12答案:6．运行如图所示的程序后，输出的结果为▲．答案:42解读:此题的答案容易错为22．2x－y ≤0x－2y＋3 ≥07．若变量x，y 满足x ≥0 ，则2x＋y的最大值为答案:8▲．S←0While i＜8i←i+3S←2´i+SEnd WhilePrint S第6 题图8．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2 倍，则该圆锥的体积为3π3答案:ππ▲．9．若函数f(x)＝sin(ωx ＋6)(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，且该函数图象关于点(x0，0)成π中心对称，x0∈[0，2]，则x0＝▲．5π答案:12x2＋y210．若实数x，y 满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则x－y的最小值为▲．答案:4111．设向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，则“a//b”是“tanθ＝2”成立的高三数学答案第1 页共12 页▲条件(选填“充分不必要”2 2 2 2{)END､“必要不充分”､“充要”､“既不充分也不必要”) ．答案:必要不充分12．在平面直角坐标系 xOy 中，设直线 y ＝－x ＋2 与圆 x ＋y ＝r (r ＞0)交于 A ，B 两点，O 为坐标原点，若 5 3 OC OA OB圆上一点 C 满足＝4 ＋4 ，则 r ＝答案: ▲．解读:方法 1:(平面向量数量积入手) → OC2 ＝( 5 43 25 5 3 9 OA OB OA OA OB OB ＋4 )2＝16 2＋2·4 ·4 ＋16 2，即:251593r 2＝16r 2＋ 8 r 2cos ∠AOB ＋16r 2，整理化简得:cos ∠AOB ＝－5，过点 O 作 AB 的垂线交 AB 于 D ，则 312cos ∠AOB ＝2cos 2∠AOD －1＝－5，得 cos 2∠AOD ＝5，又圆心到直线的距离为 OD ＝ 2＝ 2，所以1 OD2 2cos 2∠AOD ＝5＝ r 2 ＝r 2，所以 r 2＝10，r ＝ 10．方法 2:(平面向量坐标化入手)设 A (x 1，y 1 )，B (x 2，y 25 3 OC OA OB)，C (x ，y )，由＝4 ＋4 得 5 3 5 3x ＝4x 1＋4x 2，y ＝4y 1＋4y 2 ， 535 3252515252515则 x ＋y ＝(4x 1＋4x 2) 2 ＋(4y 1＋4y 2) 2 ＝ 16x 1 2＋ 16 y 1 2 ＋ 8 x 1y 1＋16x 2 2 ＋ 16 y 22 ＋ 8 x 2y 2252515由题意得，r 2＝16 可解得:r＝．r 2 ＋ 16 r 2 ＋ 8 (x 1y 1＋x 2y 2)，联立直线 y ＝－x ＋2 与圆 x ＋y ＝r 2 (r ＞0)的方程，由韦达定理5 3 1 5 3OC OA OB OC OA OB方法 3:(平面向量共线定理入手)由＝4 ＋4 得2 ＝8 ＋8 ，设 OC 与 AB 交于点 M ，则 AMB 三4 点共线．由∠AMO 与∠BMO 互补结合余弦定理可求得AB ＝ r ，过点 O 作 AB 的垂线交 AB 于 D ，根据圆心22到直线的距离为 OD ＝＝，得( r ) ＋( ) ＝r ，解得 r ＝10，r ＝．3 4OC OA OB讨论时，有老师提出将题中的向量等式改为＝5 ＋5 ，这样可降低运算量，但因为此题已是第 12 题，故未采纳．13．已知 f ( x ) 是定义在 [ － 2 ， 2 ] 上的奇函数，当 x ∈ ( 0 ， 2 ] 时， f ( x ) ＝ 2 x － 1 ，函数 g ( x )＝ x － 2 x ＋ m ．如果对于x 1 ∈[－2，2]，x 2 ∈[－2，2]，使得g (x 2)＝f (x 1 )，则实数 m 的取值范围是 ▲．答案:[－5，－2] 解读:初稿是:已知 f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，且当 x ∈[0，2]时，f (x )＝2 －1，函数 g (x )＝a 2 x －2a 2 x ＋2a ，且对x 1∈[－2，2]，x 2∈[－2，2]，使得 f (x 2)＝g (x 1)，则实数 a 的取值范围是 ▲ 3 1．答案:[－4，2]2 2 2 → → →10→ → → → → → → → → 22 102 2 → → → → → →5 2 2 5 2 2 2 2 2 10 → → → 2 x22 2 2 2 n*讨论时，有老师提出该题的运算量偏大，且g(x)＝a x －2a x＋2a 这个函数不美观，且两个不等式有一个解在求交集时未起到作用，所以换成了g(x)＝x －2x＋m，并将题意作了相应修改．14．已知数列{a n}满足a1＝－1，a2＞a1，|a n＋1－a n|＝2 (n∈N)，若数列{a2n－1}单调递减，数列{a2n}单高三数学答案第2 页共12 页调递增，则数列{a n}的通项公式为a n＝▲．(－2)n－1答案: 3 ( 说明:本答案也可以写成－2n－132n－13 ))解读:|a n＋1－a n|＝2 (n∈N )这种模型2011 年的北京卷用过，2014 年的湖南卷上又用了．方法一:先采用列举法得a1＝－1，a 2＝1，a3＝－3，a4＝5，a5＝－11，a4＝21，···，然后从数字的变化上找规律，得a n＋1－a n＝(－1) 2 ，再利用累加法即可；方法二:因为a2n＋1－a2n＝±2，a2n－a2n－1＝±22n－1，所以两式相加，得a2n＋1－a2n－1＝±22n±22n－1，而{a2n－1}递减，所以a2n＋1－a2n－1＜0，故a2n＋1－a2n＝－22n；同理，由{a2n}递增，得a2n－a2n－1＝22n－1；又a2＞a1，所以a n＋1－a n＝(－1) 2 ，以下同上．初稿是:已知数列{a n}满足a1＝1，a 2＜a1，|an＋1－a n|＝2 (n∈N )，若数列{a2n－1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{a n}的通项公式为a n＝▲1，n＝1(－2)n－7．答案: 3)讨论时，有老师提出这样太为难学生了，得分率会很低，所以又作了修改，从而造成了本题的不足是与2014年的湖南卷的相似度偏大．二､解答题:15．在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(x1，y1)，将π射线OP绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2后与单位圆交于点Q(x2，y2)．记f(α)＝y1＋y2．(1)求函数f(α)的值域；(2)设ΔABC的角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若f(C)＝，且a＝，c＝1，求b．π2)＝cosα，………4分解:(1)由题意，得y1＝sinα，y2＝sin(α＋QyOαPxπ第15 题图所以f(α)＝sinα＋cosα＝2sin(α＋4)，………………6分πππ3π因为α∈(0，2)，所以α＋4∈(4，4 )，故f(α)∈(1，2]．πππ………………8分(2)因为f(C)＝sin(4＋C)＝2，又C∈(0，2)，所以C＝4，………………10分2{，n，nn *n＋1 n2nn＋1 nn *{，n ≥ 2 2 222 2 2 2 2在ΔABC中，由余弦定理得c ＝a ＋b －2ab cos C，即1＝2＋b －2 ×2b，解得b＝1．………………14分高三数学答案第3 页共12 页(说明:第(2)小题用正弦定理处理的，类似给分)解读:选择此题背景的意图是引导老师们要强化概念的教学，不能整天只是让学生做题．初稿是:在平面直角坐标系 xOy 中，设角 α 的始边与 x 轴的非负半轴重合，5πy 终边与单位圆交于点 A (x 1，y 1)，将射线 OA 按顺时针方向旋转 6 后与单位圆交于点 B (x 2，y 2)．记 f (α)＝x 1＋y 2，其中角 α 为锐角． (1)求函数 f (α)的值域；O αA x (2)设 ΔABC 的角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 f (C)＝0，且 a ＝，c ＝1，求 b ． 5πB第 15 题图答案:(1)由题意，得 x 1＝cos α，y 2＝sin(α－ ………………2 分5π16 3)， π所以 f (α)＝cos α＋sin(α－ 6 )＝ 2cos α－ 2 sin α＝cos(α＋3 )，………………6 分ππ π 5π 3 1 因为 α∈(0，2)，所以 α＋3∈(3， 6 )，故 f (α)∈(－ 2 ，2)．………………8 分π ππ (2)因为 f (C)＝cos( 3 ＋C )＝0，又 C ∈(0， 2)，所以 C ＝6 ， ………………10 分3在 ΔABC 中，由余弦定理得 c ＝a ＋b －2ab cos C ，即 1＝3＋b －2 3× 2 b ，解得 b ＝1 或 b ＝2．讨论时，有老师提出作为第 15 题，该题的运算量偏大，而且第(2)小题还有两结果，得分率会偏低． 16．(本小题满分 14 分)1C1如图，在正方体 ABCD －A 1 B 1 C 1 D 1 中，O ，E 分别为 B 1D ，AB 的中点． (1)求证:OE //平面 BCC 1B 1；(2)求证:平面 B 1DC ⊥平面 B 1DE ．证明(1):连接 BC 1，设 BC 1∩B 1C ＝F ，连接 OF ， ………2 分A 11C因为 O ，F 分别是 B 1D 与 B 1C 的中点，所以 OF //DC ，且 OF ＝ 2 DC，又 E 为 AB 中点，所以 EB //DC ，且 d 1＝1，AEB3从而 d 2＝d 3＝2，即四边形 OEBF 是平行四边形，所以 OE //BF ， ……………6 分A 1第 16 题图1C 1又 OE 面 BCC 1B 1，BF 面 BCC 1B 1，所以 OE //面BB 1DOFB 1DOD 1 B 1D3 2 2 22BCC 1B 1． (2)因为 DC ⊥面 BCC 1B 1，BC 1面 BCC 1 B 1， ……………8 分 C所以 BC 1⊥DC ，又 BC 1⊥B 1C ，且 DC ，B 1C 面 B 1DC ，DC ∩B 1 所以 BC 1⊥面 B 1DC ，…………12 分………… 10 分 C ＝C ， A EC 1而 BC 1//OE ，所以 OE ⊥面 B 1DC ，又 OE 面 B 1 所以面 B 1DC ⊥面 B 1DE ． ………14 分DE ， A 1解读:初稿是:如图，在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，E 为 AB 的中点．高三数学答案第 4 页共 12 页 CAEB 第 16 题图(1)求证:BC 1 //面 B 1D E ； (2)求证:面 B 1DC ⊥面 B 1DE ．讨论时，有老师提出第(1)小题偏难了，所以作了修改．x 2 y 217．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C :a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的右准线方程为 x ＝4，右顶点为 A ，上顶点为 B ，右焦点为 F ，斜率为 22 5的直线 l 经过点 A ，且点 F 到直线 l 的距离为 (1)求椭圆 C 的标准方程；5 ．(2)将直线 l 绕点 A 旋转，它与椭圆 C 相交于另一点 P ，当 B ，F ，P 三点共线时，试确定直线 l 的斜率．解:(1)由题意知，直线 l 的方程为 y ＝2(x －a )，即 2x －y －2a ＝0，第 17 题图 (2)分∴右焦点 F 到直线 l 的距离为|2c －2a | 5 a 22 5＝ 5 ，∴a －c ＝1，a 2……………4 分又椭圆 C 的右准线为 x ＝4，即 c ＝4，所以 c ＝ 4 ，将此代入上式解得 a ＝2，c ＝1，∴b 2＝3，x 2 y 2 ∴椭圆 C 的方程为 4 ＋ 3 ＝1； (2)由(1)知 B (0， )，F (1，0)， ∴直线 BF 的方程为 y ＝－ (x －1)， (6)分 ……………8 分联立方程组{4 ＋ 3 ＝1)，解得{y ＝5)或0－(－\s \do 1(\f (3\r (,3),5)))x ＝0y ＝ 3)(舍)，即 P (85 ，－3 3 5 )， …………12 分 ∴直线 l 的斜率 k ＝2－ 8 5 ＝ 3 3 2 ． ……………14 分其他方法:方法二: 由(1)知 B (0， 33率存在，设直线 l 的方程为 y ＝k (x －2)，联立方程组y ＝－ 3(x －1)y ＝k (x －2) )，解得 2k ＋ 3 x ＝k ＋ 3 － 3k y ＝ k ＋ 3)，代入椭圆解得:k ＝3 3 3－ 3k3 32 或 k ＝－ 2 ，又由题意知，y ＝＞0 得 k ＞0 或 k ＜－，所以 k ＝ 2 ．方法三:由题 A (2，0)，显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y ＝k (x －2)，联立方程组得(4k 2＋3 3 8 x ＝5 y ＝－ 3(x －1) 3 3 x 2 y 2{)，F (1，0)， ∴直线 BF 的方程为 y ＝－ (x －1)，由题 A (2，0)，显然直线 l 的斜{{k ＋ 33{x 2 y 23)x2－16k2x＋16k2－12＝0，x A＋x P＝4k2＋3，y＝k(x－2)＋＝14 3)，16k28k2－6－12k所以x P＝4k2＋3－2＝4k2＋3，y P＝4k2＋3，当B，F，P 三点共线时有，k BP＝k BF，高三数学答案第5 页共12 页－12k 4k 2＋3 － 3 8k 2－6 － 33 33－ 3k即 3 3 k ＝ 2 ．4k 2＋3 ＝ 1 ，解得 k ＝ 2 或 k ＝－ 2 ，又由题意知，y ＝k ＋ 3＞0 得 k ＞0 或 k ＜－ 3，所以x2 y2解读:初稿是:在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C :a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的右准线 l :x ＝4 与 x 轴交于点 H ，动直线 m 过椭圆 C 的右顶点 A ，且与 l 相交于点 M ，设点 M 的纵坐标 t ＝λAH (λ＞0)，其中当 λ＝2 时，椭圆yM2 5B ml的右焦点 F 到直线 m 的距离为 5 ．(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设椭圆 C 的上顶点为 B ，右焦点为 F ，直线 m 与椭圆 C 相交于点P ，当 P ，F ，B 三点共线时，试确定 λ 的值．答案同上．O · FA H P第 17 题图 x 讨论时，有老师认为，虽然此题没有科学性错误，但题目的条件比较别扭，会不会引起学生的疑问，即做第(2)小题时，用不用第(1)小题得到的椭圆方程?所以，后来把题目作了修改，使得题意更加简洁明了．此时的不足是第(2)小题的运算量偏小些，学生可避免字母运算． 18．某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示:曲线AB 是以点 E 为圆心的圆的一部分，其中E (0，t )(0＜t ≤25，单位:米)；曲线 BC 是抛物线 y ＝－ax ＋50(a ＞0)的一部分；CD ⊥AD ，且 CD 恰好等于圆 E 的半径．假定拟建体育馆的高 OB ＝50 米． (1)若要求 CD ＝30 米，AD ＝24 米，求 t F y B · A O C D x与 a 的值； (2)若要求体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 米，求 a 的取值范围；1(3)若 a ＝25，求 AD 的最大值．11 a －x(参考公式:若 f (x )＝，则 f '(x )＝－第 18 题-甲第 18 题-乙解:(1)因为 CD ＝50－t ＝30，解得 t ＝20． …………… 2 分此时圆 E :x ＋(y －20) ＝30 ，令 y ＝0，得 AO ＝10 ，所以 OD ＝AD －AO ＝24 －10 ＝14 ，将点 C (14 ，30)代入 y ＝－ax ＋50(a ＞0)中，1解得 a ＝49．………… 4 分 t (2)因为圆 E 的半径为 50－t ，所以 CD ＝50－t ，在 y ＝－ax 2 ＋50 中令 y ＝50－t ，得 OD ＝，t 则由题意知 FD ＝50－t ＋ ≤75 对 t ∈(0，25]恒成立，………… 8 分1 252525所以 ≤ ＋恒成立，而当＝，即 t ＝25 时，＋取最小值 10，2 5 a －x )2 2 2 55 5 5 5 2 aaat t t t t t E高三数学答案第6 页共12 页11故≤10，解得a≥100．…………10分1(3)当a＝25时，OD＝5 t，又圆E 的方程为x2＋(y－t)2＝(50－t)2，令y＝0，得x＝±10 25－t，所以AO＝1025－t，从而AD＝f(t)＝10 ＋5 (0＜t≤25)，…………12分215(\r(,25－t)－2\r(,t))又因为f'(t)＝5(－＋)＝25－t·t，令f'(t)＝0，得t＝5，…………14分当t∈(0，5)时，f'(t)＞0，f(t)单调递增；当t∈(5，25)时，f'(t)＜0，f(t)单调递减，从而当t＝5 时，f(t)取最大值为25 ．答:当t＝5 米时，AD的最大值为25 米．…………16分(说明:本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法解决，类似给分)解读:此题取材于射阳中学新建体育馆的模型，是一道原创题，初稿中只有(2)(3)两小题，讨论中有老师认为此题的起点偏高，还要给中等偏下的学生送点分，所以又设计了第(1)小题．π(3)方法二:令t＝25cos2α，α∈[0，2)，则AD＝10 25－t＋5 t＝10×5sinα＋5×5cosα105sin55cos255)，其中是锐角，且tan，2从而当时，AD 取得最大值为25 米．2方法三:令x＝，y＝，则题意相当于:已知x ＋y ＝25(x≥0，y≥0)，求z＝AD＝5×(2x＋y)的最大值．根据线性规划知识，当直线y＝－2x＋z 与圆弧x ＋y ＝25(x≥0，y≥0)相切时，z 取得最大值为255米．19．设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为S n，若a1a5＝64，S5－S3＝48．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对于正整数k，m，l(k＜m＜l)，求证:“m＝k＋1 且l＝k＋3”是“5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；(3)设数列{b n}满足:对任意的正整数n，都有a1b n＋a2b n－1＋a3b n－2＋…＋a n b1bn＝3·2n＋1－4n－6，且集合M＝{n|an≥λ，n∈N*}中有且仅有3 个元素，试求λ的取值范围．解:(1)∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a1a5＝a32＝64，∴a3＝8，又∵S5－S3＝48，∴a4＋a5＝8q 2＋8q＝48，∴q＝2，∴a n＝8·2n－3＝2n；…………4分(2)(ⅰ)必要性:设5a k，a m，al这三项经适当排序后能构成等差数列，①若2·5a k＝a m＋a l，则10·2 ＝2 2m－k－1＝1 m＝k＋12l －k－1＝4 l＝k＋3＋2，∴10＝2＋2，∴5＝2m－k－1＋2l－k－1，…………6分②若2a m＝5a k＋a l，则2·2 ＝5·2 ＋2，∴2－2 ＝5，左边为偶数，等式不成立，③若2a l＝5a k＋a m，同理也不成立，综合①②③，得m＝k＋1，l＝k＋3，所以必要性成立．(ⅱ)充分性:设m＝k＋1，l＝k＋3，…………8分则5a k，a m，al这三项为5ak，ak＋1，a k＋3，即5a k，2ak，8a k，调整顺序后易知2a k，5ak，8ak成等差数列，a25－t t25－t t551525－t t 2 22 2k m{){)，∴．∴l m－k l－km k l m＋1－k l－k123n－1n2 3 4 n所以充分性也成立．综合(ⅰ)(ⅱ)，原命题成立．…………10分(3)因为a 1b n＋a2b n－1＋a3b n－2＋…＋a n b1＝3·2n＋1－4n－6，即21b n＋22b n－1＋23b n－2＋…＋2n b1＝3·2n＋1－4n－6，(*)∴当n≥2时，2 b n－1＋2 b n－2＋2 b n－3＋…＋2b1＝3·2 －4n－2，(**)则(**)式两边同乘以2，得2b n－1＋2 b n－2＋2 b n－3＋…＋2 b1＝3·2n＋1－8n－4，(***)高三数学答案第7 页共12 页∴(*)－(***)，得2b n＝4n－2，即bn＝2n－1(n≥2)，又当n＝1 时，2b1＝3·2 －10＝2，即b1＝1，适合b n＝2n－1(n≥2)，∴b n＝2n－1．………14 分bn2n－1bn bn－12n－12n－35－2n∴an＝2n，∴an－an－1＝2n－2n－1＝2n，bn bn－1b2b1∴n＝2时，an－an－1＞0，即a2＞a1；bn bn－1bn∴n≥3时，an－an－1＜0，此时{an}单调递减，b1 1 b2 3 b3 5 b4771又a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，∴16＜λ≤2．……………16分解读:第(2)小题本来是探求“5a k，a m，a l”这三项能否构成等差数列的，但考虑到学生的答案可能有多种形式，所以将它改成了充要条件的证明题．1本题的初稿是:设数列{a n}的前n 项和为S n，若存在实数λ∈(1，＋∞)，使得λa n≤a n＋1≤λa n与1λSn ≤S n＋1≤λSn对任意n∈N 都成立，则称{an}是“可控”数列．(1)已知数列{a n}的通项公式为an＝r(r 是不为0的常数)，试判断{a n}是否是“可控”数列，并说明理由；(2)已知等比数列{a n}的公比q≠1，若当λ＝4时，{a n}是“可控”数列，求公比q 的取值范围；(3)已知等差数列{a n}的公差d≠0，若{an}是“可控”数列，求λ的取值范围．讨论时，大家认为此题的形式很美，但题目较难，特别是第(3)小题超难，而且考查的知识与江苏高考不太吻合，所以只能忍痛不用．第二稿是:设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，a 2＝4，a1a4＝32，数列{bn}满足:对任意的正整数n，都有a1b1＋a2b2＋…＋a n b n＝(n－1)·2n＋1＋2．(1)求数列{a n}与{bn}的通项公式；bnbn＋1(2)若集合M＝{n|an≥λ，n∈N }中元素的个数为4，试求实数λ的取值范围；(3)将数列{a n}与{bn}按a1，b1，a2，b2，a3，b3，…，an，b n，…的顺序排好后，再删去其中小于2015 的项，剩下的项按原来的顺序构成一个新数列{c n}，试求数列{c n}的前n 项和T n．更换后，第(1)(2)问还不错，第(3)小题也有创意，但第(3)小题的运算太繁琐，批阅起来麻烦，所以临时又换成了一道现在这个较为常规的题目．20．已知函数f(x)＝e ，g(x)＝mx＋n．(1)设h(x)＝f(x)－g(x)．①若函数h(x)在x＝0处的切线过点(1，0)，求m＋n 的值；②当n＝0 时，若函数h(x)在(－1，＋∞)上没有零点，求m 的取值范围；1nx(2)设函数r(x)＝f(x)＋g(x)，且n＝4m(m＞0)，求证:当x≥0 时，r(x)≥1．解:(1)由题意，得h'(x)＝(f(x)－g(x))'＝(e －mx－n)'＝e －m，所以函数h(x)在x＝0 处的切线斜率k＝1－m，又h(0)＝1－n，所以函数h(x)在x＝0 处的切线方程y－(1－n)＝(1－m)x，将点(1，0)代入，得m＋n＝2．1……………2分……………4分2**xx x(2)方法一:当n＝0，可得h'(x)＝(e－mx)'＝e－m，因为x＞－1，所以e＞xx x x e，1①当m≤e时，h'(x)＝e －m＞0，函数h(x)在(－1，＋∞)上单调递增，而h(0)＝1，高三数学答案第8 页共12 页11 1 1所以只需 h (－1)＝e ＋m ≥0，解得 m ≥－e ，从而－e ≤m ≤e ． 1……………6 分②当 m ＞ e 时，由 h '(x )＝e －m ＝0，解得 x ＝ln m ∈(－1，＋∞)，当 x ∈(－1，ln m )时，h '(x )＜0，h (x )单调递减；当 x ∈(ln m ，＋∞)时，h '(x )＞0，h (x )单调递增．所以函数 h (x )在(－1，＋∞)上有最小值为 h (ln m )＝m －m ln m ，1令 m －m ln m ＞0，解得 m ＜e ，所以 1e ＜m ＜e ．综上所述，m ∈[－e ，e )．方法二:当 n ＝0，e ＝mx ①当x ＝0 时，显然不成立；……………10 分exex exx －ex ex (x －1)②当 x ＞－1 且 x ≠0 时，m ＝ x ，令 y ＝ x ，则 y '＝ x 2 ＝ x 2 ，当－1＜x ＜0 时，y '＜0，函数 y ＝ exexexx 单调递减，0＜x ＜1 时，y '＜0，函数 y ＝ x 单调递减，当 x ＞1 时，y '＞0，函数 y ＝ x 单调递增，又 11y | x ＝－1＝－e ，y | x ＝1 ＝e ，由题意知 m ∈[－e ，e )．n m1 nx1 n 1 4x(3)由题意，r (x )＝f (x )＋g (x )＝ex ＋ m ＝ex ＋x ＋4，14x而 r (x )＝ex ＋x ＋4≥1 等价于 e x (3x －4)＋x ＋4≥0，令 F (x )＝e (3x －4)＋x ＋4，则 F (0)＝0，且 F '(x )＝e (3x －1)＋1，F '(0)＝0，……………12 分令 G (x )＝F '(x )，则 G '(x )＝e (3x ＋2)，因 x ≥0，所以 G '(x )＞0，所以导数 F '(x )在[0，＋∞)上单调递增，于是 F '(x )≥F '(0)＝0，从而函数 F (x )在[0，＋∞)上单调递增，即 F (x )≥F (0)＝0． ……………14 分……………16 分解读:此题的初稿是:已知函数 f (x )＝e ，g (x )＝mx ＋n (其中 e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…)． (1)若函数 y ＝f (x )－g (x )在 x ＝0 处的切线过点(1，0)，求 mn 的最大值；1(2)当 n ＝0 时，若函数 y ＝f (x )－g (x )在(－1，＋∞)总有意义，求 m 的取值范围； 1nxm(3)设 m ＞0，n ＞0，若函数 y ＝ f (x ) ＋g (x ) x 在区间[0，＋∞)上的最小值为 1，求 n 的最大值．解答:(3)由题意，r (x )＝ 1 f (x ) ＋ nx g (x ) 1 ＝ex ＋m nx ＋1 ，令 t ＝ m n ＞0，1 x 则 r (x )＝ex ＋tx ＋1，因 r (0)＝1，所以题意等价于 r (x )≥1 对 x ∈(0，＋∞)上恒成立， ………12 分1xx x x x ＋ x x x x x而r(x)＝ex ＋tx＋1≥1 等价于e [(t－1)x＋1]－tx－1≤0，高三数学答案第9 页共12 页令 F (x )＝e [(t －1)x ＋1]－tx －1，则 F (0)＝0，所以存在 x 0＞0，使得函数 F (x )在(0，x 0)上单调递减，即导数 F '(x )＝e [(t －1)x ＋t ]－t ≤0 在(0，x 0)上恒成立，而 F '(0)＝0，所以存在 x 1∈(0，x 0)，导数 F '(x )在(0，x 1)上单调递减．令 G (x )＝F '(x )，即导数 G '(x )≤0 在(0，x 1)上恒成立，又可求得 G '(x )＝e [(t －1)x ＋2t －1]，由 G '(0)≤0， 1解得 t ≤2 ，……………14 分1反过来，当 t ≤2时，G '(x )≤0 在[0，＋∞)上恒成立，所以导数 F '(x )在(0，＋∞)上单调递减，即导数 F '(x )≤0 在(0，＋∞)上恒成立，即函数 F (x )在(0，＋∞)上单调递减，即最大值 F (0)＝0．m1综上所述， n 的最大值为2． ……………16 分讨论时将第(1)(2)小问作了合并，使得题目更简洁些，但大家都对第(3)小问提出了异议，原因是平时学习的常规方法都行不通，这样不仅会成为一道废题，而且还会误导学生，所以又将它改为上述的常规题．附加题答案21． A ､(选修 4—1:几何证明选讲)如图，已知点 P 为 RtΔABC 的斜边 AB 的延长线上一点，且 PC 与 RtΔABC 的外接圆相切，过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 D ，若 PA ＝18，PC ＝6，求线段 CD 的长．ACDB P解:由切割线定理，得 PC ＝PA ·PB ，解得 PB ＝2，所以 AB ＝16，即 Rt ΔABC 的外接圆半径 r ＝8，……5 分记 RtΔABC 外接圆的圆心为 O ，连 OC ，则 OC ⊥PC ，24第 21-A 题图在 RtΔPOC 中，由面积法得 OC ·PC ＝PO ·CD ，解得 CD ＝5 ． ………………10 分 B ､(选修 4—2:矩阵与变换) 求直线 x －y －1＝0 在矩阵 M ＝[2 2 ]的变换下所得曲线的方程．解:设 P (x ，y )是所求曲线上的任一点，它在已知直线上的对应点为 Q (x '，y ')，则 { 2 2 2 2 x ' x ' －＋ 2 2 2 2 y' y '＝y )，解得{y '＝＝ 222 2 (x ＋y ) (y －x ))，………………5 分22代入 x '－y '－1＝0 中，得 2 (x ＋y )－ 2 (y －x )－1＝0，2化简可得所求曲线方程为 x ＝ 2 ．xx x 2 2 2－2 22 2＝x x '22C､(选修4—4:坐标系与参数方程)π………………10分在极坐标系中，求圆ρ＝2cosθ的圆心到直线2ρsin(θ＋3)＝1 的距离．解:将圆ρ＝2cosθ化为普通方程为x ＋y －2x＝0，圆心为(1，0)，………………4分高三数学答案第10 页共12 页π 1 3又 2ρsin(θ＋3)＝1，即 2ρ(2sin θ＋ 2 cos θ)＝1，所以直线的普通方程为 x＋y －1＝0， 3－1………………8 分故所求的圆心到直线的距离 d ＝ 2 ．………………10 分 D ､解不等式|x ＋1|＋|x －2|＜4．3解:当 x ＜－1 时，不等式化为－x －1＋2－x ＜4，解得－2＜x ＜－1；当－1≤x ≤2 时，不等式化为 x ＋1＋2－x ＜4，解得－1≤x ≤2；5当 x ＞2 时，不等式化为 x ＋1＋x －2＜4，解得 2＜x ＜2；3 5所以原不等式的解集为(－2，2)． (3)分 ………………6 分………………9 分………………10 分22．(本小题满分 10 分)如图，在直三棱柱 ABC －A1 B 1 C 1 中，AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝4，动点 P 满 A 1 C1 → →CP CC 1 足＝λ (λ＞0)，当 λ＝2时，AB1⊥BP ．B 1P(1)求棱 CC 1 的长；(2)若二面角 B 1 π－AB －P 的大小为3，求 λ 的值．AC解:(1)以点 A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1 分别为 x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设 CC 1＝m ，则 B 1(3，0，m )，B (3，0，0)，P (0，4，λm )，→ → → AB 1 PB AB所以＝(3，0，m )，＝(3，－4，－λm )，＝(3，0，0)， ………………2 分B第 22 题图→ → AB 1 PB当 λ＝2时，有 · ＝(3，0，m )·(3，－4，－2 2 1 2 m )＝0………………4 分(2)设平面 PAB 的一个法向量为 n 1＝(x ，y ，z )， → → AB ， ·n 1＝0→ →3x ＝0 x ＝0 则由，得 3x －4y －3 2λz ＝0 ，即 4y ＋3 2λz ＝0 ， 3 2λ3 2λ令 z ＝1，则 y ＝－ 4 ，所以平面 PAB 的一个法向量为 n1＝(0，－ 4 ，1)，………………6 分又平面 ABB1 与 y 轴垂直，所以平面 ABB 1 的一个法向量为 n2 ＝(0，1，0)， π 因二面角 B 1－AB －P 的平面角的大小为3 ，所以 cos n 1, n 22 (3 24 3 2 2 43 11 解得 m ＝3 ，即棱 CC 的长为 3 ． 1{ ) {) { )PB ·n 1＝0 1)*126，结合λ＞0，解得λ＝9 ．………………1分23．设集合S＝{1，2，3，…，n}(n∈N，n≥2)，A，B是S 的两个非空子集，且满足集合A 中的最大数小于集高三数学答案第11 页共12 页合 B 中的最小数，记满足条件的集合对(A ，B )的个数为 P n (1)求 P 2，P 3 的值；．(2)求 P n 的表达式．解:(1)当 n ＝2 时，即 S ＝{1，2}，此时 A ＝{1}，B ＝{2}，所以 P 2＝1， ………………2 分当 n ＝3 时，即 S ＝{1，2，3}，若 A ＝{1}，则 B ＝{2}，或 B ＝{3}，或 B ＝{2，3}；若 A ＝{2}或 A ＝{1，2}，则 B ＝{3}；所以 P 3＝5． ………………4 分 (2)当集合 A 中的最大元素为“k ”时，集合 A 的其余元素可在 1，2，…，k －1 中任取若干个(包含不取)，所以0 1 2 k －1 集合 A 共有 C ＋C ＋C ＋...＋C ＝2 种情况， (6)分n －k 此时，集合 B 的元素只能在 k ＋1，k ＋2，…，n 中任取若干个(至少取 1 个)，所以集合 B 共有 C ＋C 2 3 n －k ＋C ＋…＋C ＝2 －1 种情况，所以，当集合 A 中的最大元素为“k ”时，k －1 n －k n －1 k －1 对， ………………8 分当 k 依次取 1，2，3，…，n －1 时，可分别得到集合对(A ，B )的个数，求和可得 P n ＝(n －1)·2 －(2 ＋2 ＋2 ＋…＋2 )＝(n －2)·2 n －1 ＋1． ………………10 分高三数学答案第 12 页共 12 页 k 1 k 1 k 1 k 1 －－－－ k －1 1 n k n k n k －－－ n －k 集合对(A ，B )共有 2 (2 －1)＝2 －2n －1 0 1 2 n －2。

2015年江苏省大联考高考数学二模试卷(文科)

2015年江苏省大联考高考数学二模试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．(★★★★)设集合M={x|- ＜x＜}，N={x|x 2≤x}，则M∩N= {x|0 } ． 2．(★★★★)函数y=lnx-2x在点（1，2）处的切线方程为 x+y-3=0 ．3．(★★★)已知sin2α= sinα，α∈（0，π），则sin2α= ．4．(★★★)设=（，cosθ）与=（-1，2cosθ）垂直，则cos2θ= ．5．(★★★)在正三角形ABC中，AB=3，D是BC上一点，且=3 ，则•= ．6．(★★★)设函数f（x）= 的最小值为-1，则实数a的取值范围是 a≥- ．7．(★★★★)已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则ω= 2 ，φ= ．8．(★★★)若四边形ABCD满足：+ =0，（+ ）•=0，则该四边形的形状是菱形．9．(★★★★)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，bsinA=4，则边长a= 5 ．10．(★★★)已知非零向量，的夹角为60o，且满足，，则的最大值为 1 ．11．(★★★)若函数f（x）=sinωx+ cosωx（x∈R，ω＞0），又f（α）=-2，f（β）=0，且|α-β|的最小值为，则函数g（x）=f（x）-1在-2π，0上零点的个数为 1 ．12．(★★)已知△ABC各角的对应边分别为a，b，c，且满足+ ≥1，则角A的取值范围是（0，．13．(★★★)已知函数f（x）= ，函数g（x）=asin（x）-2a+2（a＞0），若存在x1∈0，1，对任意x 2∈0，1都有f（x 1）=g（x 2）成立，则实数a的取值范围是，1 ．14．(★★★)已知△ABC的三边a，b，c和其面积S满足S=c 2-（a-b）2，则tanC= ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(★★★)已知两个集合A={x|m＜}，B={x|log x＞2}p：实数m为小于5的正整数，q：“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．（1）若p是真命题，求A∩B；（2）若p且q为真命题，求m的值．16．(★★★)已知向量=（sinαωx，cosωx），=（cosωx，-cosωx）（ω＞0）函数f（x）= •的最小正周期为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设△ABC的三边a、b、c满足b 2=ac，且边b所对的角为x，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实数解，求实数k的取值范围．17．(★★★)已知在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，△ABC的面积S= ，且bc=1．（1）求b 2+c 2的最大值；（2）当b 2+c 2最大时，若bsin（-C）-csin（-B）=a，求角B和C．18．(★★★)在平行四边形ABCD中，E是DC的中点，AE交BD于点M，| |=4，||=2，、的夹角为．（1）若，求λ+3μ的值；（2）当点P在平行四边形ABCD的边BC和CD上运动时，求的取值范围．19．(★★)已知函数f（x）=cos（2x- ）+2sin（x- ）cos（x- ），x∈R．（1）若对任意x∈- ，，都有f（x）≥a成立，求a的取值范围；（2）若先将y=f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）- 在区间-2π，4π内的所有零点之和．20．(★★)已知函数，a为正常数．（1）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调增区间；（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x 1，x 2∈（0，2，x 1≠x 2，都有，求a的取值范围．。

2015年3月2015届高三第二次全国大联考(江苏版)数学卷(原卷版)

【学科网学易大联考】2015年第二次全国大联考【江苏版】一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1．已知复数z =201532i i-(i 是虚数单位)，则复数z 所对应的点位于复平面的第象限． 2．已知全集U=N ，集合{}10A x x =->，则=A C U ．3．若样本321,,a a a 的方差是2，则样本12322015,22015,22015a a a +++的方差是．4．已知双曲线22221y x a b-=的一个焦点与圆x 2+y 2－10x =05，则该双曲线的准线方程为．5．已知实数x ∈[3，9]，执行如右图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为．6．若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－36，S 13=－104，则a 5与a 7的等比中项为． 7．定义在R 上的奇函数()f x ，对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-，当(02)x ∈，时，()4x f x =，则(2015)f = ．8. 一个三棱柱恰好可放入一个正四棱柱的容体中，底面如图所示，其中三棱柱的底面AEF 是一个直角三角形，∠AEF = 90︒，AE = 2，EF = 1，三棱柱的高与正四棱柱的高均为1，则此正四棱柱的体积为．开始结束Yn ←1输入x 输出xn ←n +1 x ←2x +1n ≤3 N（第8题）FEDCBA9．已知函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，2π]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为．.10．已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上，且P A =PB ,则0x的取值范围为． 11. 已知函数20151()sin 201521xf x x =++在[]2015,2015-上的最大值分别为,M m ，则M m += ．12．在ABC ∆中，2AC BC ⋅=且两中线AD 与BE 互相垂直，求ABC ∆面积的最大值． 13．设P (x ，y)为函数22y x =+(x >图象上一动点，记353712x y x y m x y +-+-=+--，则当m 最小时，点 P的坐标为．14．设椭圆和双曲线有公共焦点12F F ，，两曲线的一个公共点为P ，且123F PF π∠=，记12e e ，分别为椭圆和双曲线的离心率，则1211e e +的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（本小题满分14分）如图，在xoy 平面上，点)0,1(A ，点B 在单位圆上，θ=∠AOB （πθ<<0） (I) 若点)54,53(-B ，求)42tan(πθ+的值；(II)若OC OB OA =+，四边形OACB 的面积用θS 表示，求OC OA S ⋅+θ的取值范围.16．（本小题满分14分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，底面1111A B C D 是正方形，E 是棱1AA 上任意一点，F 是CD 的中点． (I) 证明：BD 1EC ⊥； (II)若AF ∥平面C 1DE ，求1AEA A的值． D 1C 1B 1A 1FEDCBA17．（本小题满分14分）下图是一块平行四边形园地 ABCD ，经测量，AB = 20 m ，BC = 10 m ， ∠ABC = 120 °．拟过线段 AB 上一点 E 设计一条直路 EF （点 F 在四边形 ABCD 的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为 3:1 的左、右两部分分别种植不同花卉．设 EB = x ，EF = y （单位：m ）．（Ⅰ）当点 F 与点 C 重合时，试确定点 E 的位置；（Ⅱ）求 y 关于 x 的函数关系式；（Ⅲ）请确定点 E ，F 的位置，使直路 EF 长度最短．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A ，B 是圆 O ：221x y +=与 x 轴的两个交点（点 B 在点 A 右侧），点(2,0)Q -， x 轴上方的动点 P 使直线 PA ，PQ ，PB 的斜率存在且依次成等差数列． (I) 求证：动点 P 的横坐标为定值；（II ）设直线 PA ，PB 与圆 O 的另一个交点分别为 S ，T ，求证：点 Q ，S ，T 三点共线．19．（本小题满分16分）设二次函数2()f x ax bx c =++的导函数为().f x '（Ⅰ）若 a = 1，c = 2 ，且在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y =()f x '恰与抛物线 y = f (x ) 相切，求 b 的值；（II ）若 ,()()x R f x f x '∀∈≥恒成立，（ⅰ）求证： c ≥a > 0 ；（ⅱ）求222b ac +的最大值．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足5459342,S a a a a a =+=+.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值； (Ⅲ)是否存在正整数m ，使得221mm S S -恰好为数列{}n a 中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由.数学Ⅱ 附加题部分【理】21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【选做题】（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题） A ．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，在△ABC 中，CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆O 交BC 于点N . 若AB =2AC ，求证：BN =2AM .B ．【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知曲线C ，在矩阵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线2218C y x =：，求曲线C 的方程．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为22312sin ρθ=+，直线l的参数方程为,1x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数，t ∈R )．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大．D ．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）求函数：y =最大值．【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22.（本小题满分10分）学校足球队进行罚点球训练，队员在一轮训练中最多可罚4次，并规定，一旦命中该队员即停止此轮练习，否则一直罚到第4次为止. 已知一选手罚点球的命中率为0.8，求一轮练习中，该选手的实际罚球次数X 的分布列，并求X 的数学期望. 23. （本小题满分10分）已知多项式5431111()52330f n n n n n =++-.(Ⅰ)求(1)f -及(2)f 的值；(Ⅱ)试探求对一切整数n ，()f n 是否一定是整数？并证明你的结论．MC NBO ·A。

江苏省南京市、盐城市2015届高三第一次模拟考试数学 Word版含答案

南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．设集合{}2,0,M x =，集合{}0,1N =，若N M ⊆，则x = ▲ . 答案：1 2．若复数a iz i+=（其中i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a = ▲ . 答案：－13．在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9,10,9,7,10，则该组数据的方差是 ▲ . 答案：654．甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为 ▲ . 答案：0.3解读：为了体现新的《考试说明》，此题选择了互斥事件，选材于课本中的习题。

5．若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 答案：226．运行如图所示的程序后，输出的结果为 ▲ . 答案：42解读：此题的答案容易错为22。

7．若变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值为 ▲ .答案：88．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为 ▲ . 答案：33π 9．若函数()sin()(0)6f x x πωω=+>图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点0(,0)x 成中心对称，0[0,]2x π∈，则0x = ▲ .答案：512π 10．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为 ▲ .答案： 4i ←1S ←0While i ＜8 i ←i + 3 S ←2´i + S End While Print S第6题图11．设向量(sin 2,cos )θθ=a ，(cos ,1)θ=b ，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的 ▲ 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) . 答案：必要不充分12．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+，则r = ▲ . 答案：10 解读：方法1：（平面向量数量积入手）22225325539244164416OC OA OB OA OA OB OB⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭，即：222225159+c o s 16816r r r A O B r =∠+，整理化简得：3cos 5AOB ∠=-，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则23cos 2cos 15AOB AOD ∠=∠-=-，得21cos 5AOD ∠=，又圆心到直线的距离为222OD ==，所以222212cos 5OD AOD r r ∠===，所以210r =，10r =. 方法2：（平面向量坐标化入手）设()11,A x y ，()22,B x y ,(),C x y ,由5344OC OA OB =+得125344x x x =+，125344y y y =+，则22222222121211112222535325251525251544441616816168x y x x y y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由题意得，()222112225251516168r r r x y x y =+++，联立直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>的方程，由韦达定理可解得：10r =. 方法3：（平面向量共线定理入手）由5344OC OA OB =+得153288OC OA OB =+，设OC 与AB 交于点M ，则A M B 、、三点共线。

江苏省南京市、盐城市2015届高中三年级第二次模拟考试数学试题

P
E N
H
A
M
O
F GB
(i) 在 Rt △ONF中， NF＝ OFsin θ＝ 10sin θ， ON＝ OFcos θ＝ 10cosθ ．
已知矩阵 A
3 0 ， A 的逆矩阵 A 1 2a
1 0
3 b1
E
F
B
DC
（第 21A 题图）
（ 1）求 a, b 的值；
（ 2）求 A 的特征值。
C．选修 4-4 ：坐标系与参数方程
x2
xs
在平面直角坐标系
xoy 中，已知曲线 C： y
s2 ( s为参数 ) ，直线 l ：
y4
线 C 与直线 l 交于 A， B 两点，求线段 AB的长度。
…………………… 3 分
因为 PC 平面 ABCD， BC 平面 ABCD，所以 BC PC． …………………… 5 分
因为 PC 平面 PAC， AC 平面 PAC， PC∩ AC＝ C，
所以 BC 平面 PAC．
…………………… 7 分
（ 2）如图，因为 AB∥ DC， CD 平面 CDM，N AB 平面 CDM，N
4－ 3 3 ＝ 10 ．
………………… 10 分 ………………… 14 分
.
.
.
16．（本小题满分 14 分） 1
如图，在四棱锥 P— ABCD中， AD＝CD＝ 2AB， AB∥ DC， AD⊥ CD， PC⊥平面 ABCD．（ 1）求证： BC⊥平面 PAC；（ 2）若 M为线段 PA的中点，且过 C， D， M三点的平面与 PB交于点 N，求 PN： PB的值．
11. 已知知函数 f ( x) x 1 ， x R ，则不等式 f ( x2 2x) f (3x 4) 的解集是

2015届南京市、盐城市高三二模英语试题及答案

南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试英语本试卷分选择题和非选择题两部分。

总分值120分，考试用时120分钟。

注意事项：答题前，考生务必将自己的学校、、考试号写在答题纸上。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分听力〔共两节，总分值20分〕做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题纸上。

第一节〔共5小题；每题1分，总分值5分〕听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最正确选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来答复有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What time is it now?A. About 3:30.B. About 4:00.C. About 4:30.2. What does the man mean?A. He will send someone right away.B. The woman can call later that day.C. He is going to repair the pipe later.3. Why are they collecting money?A. To buy a gift for Jenny.B. To pay for the ticket to Nanjing.C. To get some cash for the man.4. What can we learn from the conversation?A. The apartment is too small.B. The apartment is available.C. The apartment is in perfect condition.5. Who is the man looking for?A. His classmate.B. His teacher.C. His brother.第二节〔共15小题；每题1分，总分值15分〕听下面5段对话或独白。

江苏省南京市、盐城市2015届高三第一次模拟考试数学含答案

江苏省南京市、盐城市2015届高三第一次模拟考试数学含答案南京市和盐城市的2015届高三年级第一次模拟考试包含了14个填空题，每个小题5分，共计70分。

1.设集合M={2,0,x}，集合N={0,1}，若N是M的子集，则x=1.2.如果复数z=-1，则z^2+2z的值为0.3.在一次射箭比赛中，某运动员的5次射箭的环数分别是9.10.9.7.10，则该组数据的方差是4.8.4.如果a+i（其中i为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数a=0.5.如果双曲线x^2-y^2=a^2（a>0）的右焦点与抛物线y^2=4x的焦点重合，则a=2.6.运行如下程序后，输出的结果为42：i←1S←0While i<8i←i+3S←2×i+SEndWhilePrint S7.如果x-2y+3≤0且x+y≥0，则2的最大值为3.8.如果一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为3π。

9.如果函数f(x)=sin(ωx+π/6)（ω>0）的图像中，相邻的两条对称轴之间的距离为π/2，且该函数的图像关于点(x,0)成中心对称，其中x∈[0,5π/12]，则x=5π/12.10.如果实数x,y满足x>y>0且log2x+log2y=1，则x-y的最小值为4.11.设向量a=(sin^2θ,cosθ)，b=(cosθ,1)，则“a//b”是“tanθ=1/2”成立的必要不充分条件。

12.在平面直角坐标系xOy中，设直线y=-x+2与圆x^2+y^2=r^2（r>0）交于A,B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足OC=10，则r=√26.13.已知f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数，当x∈(0,2]时，f(x)=x^2-1.如果对于任意x∈[-2,2]，存在x2∈[-2,2]，使得g(x2)=f(x1)，则实数m的值为1.14.该文章中没有第14题，可能是因为该模拟考试只包含了13个填空题。

2015年江苏省盐城市、南京市高考一模数学试卷【解析版】

2015年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷一.填空题：本大题共20小题，每小题5分，计70分.1．（5分）设集合M＝{2，0，x}，集合N＝{0，1}，若N⊆M，则x＝．2．（5分）若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a ＝．3．（5分）在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9，10，9，7，10，则该组数据的方差是．4．（5分）甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为．5．（5分）若双曲线x2﹣y2＝a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则a＝．6．（5分）运行如图所示的程序后，输出的结果为．7．（5分）已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为．8．（5分）若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为．9．（5分）若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x0，0）成中心对称，，则x0＝．10．（5分）若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x+log2y＝1，则的最小值为．11．（5分）设向量＝（sin2θ，cosθ），＝（cosθ，1），则“∥”是“tanθ＝”成立的条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝﹣x+2与圆x2+y2＝r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足＝+则r＝．13．（5分）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣1，函数g（x）＝x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）＝f（x1），则实数m的取值范围是．14．（5分）已知数列{a n}满足a1＝﹣1，a2＞a1，|a n+1﹣a n|＝2n（n∈N*），若数列{a2n﹣1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{a n}的通项公式为a n＝．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x1，y1），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q（x2，y2）记f（α）＝y1+y2（1）求函数f（α）的值域；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）＝，且a ＝，c＝1，求b．16．（15分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．（1）求证：OE∥平面BCC1B1；（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右准线方程为x＝4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．18．（5分）某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t ≤25，单位：米）；曲线BC是抛物线y＝﹣ax2+50（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．假定拟建体育馆的高OB＝50米．（1）若要求CD＝30米，AD＝米，求t与a的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围；（3）若，求AD的最大值．（参考公式：若，则）19．（5分）设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S n，若a1a5＝64，S5﹣S3＝48．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：“m＝k+1且l＝k+3”是“5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{b n}满足：对任意的正整数n，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1＝3•2n+1﹣4n﹣6，且集合中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围．20．（5分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝mx+n．（1）设h（x）＝f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x＝0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n＝0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）＝+，且n＝4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．A、（选修4-1：几何证明选讲）21．（5分）如图，已知点P为Rt△ABC的斜边AB的延长线上一点，且PC与Rt△ABC的外接圆相切，过点C作AB的垂线，垂足为D，若P A＝18，PC＝6，求线段CD的长．B、（选修4-2：矩阵与变换）22．求直线x﹣y﹣1＝0在矩阵的变换下所得曲线的方程．三.C、（选修4-4：坐标系与参数方程）23．在极坐标系中，求圆ρ＝2cosθ的圆心到直线2ρsin（θ+）＝1的距离．24．（8分）解不等式|x+1|+|x﹣2|＜4．25．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，动点P满足（λ＞0），当λ＝时，AB1⊥BP．（1）求棱CC1的长；（2）若二面角B1﹣AB﹣P的大小为，求λ的值．26．（10分）设集合S＝{1，2，3，…，n}（n∈N*，n≥2），A，B是S的两个非空子集，且满足集合A中的最大数小于集合B中的最小数，记满足条件的集合对（A，B）的个数为P n．（1）求P2，P3的值；（2）求P n的表达式．2015年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大题共20小题，每小题5分，计70分.1．（5分）设集合M＝{2，0，x}，集合N＝{0，1}，若N⊆M，则x＝1．【解答】解：∵集合M＝{2，0，x}，N＝{0，1}，∴若N⊆M，则集合N中元素均在集合M中，∴x＝1．故答案为：1．2．（5分）若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a＝﹣1．【解答】解：复数＝＝﹣ai+1，∵Z的实部与虚部相等，∴﹣a＝1，解得a＝﹣1．故答案为：﹣1．3．（5分）在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9，10，9，7，10，则该组数据的方差是．【解答】解：数据9，10，9，7，10的平均数是＝（9+10+9+7+10）＝9，∴它的方差是s2＝[（9﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（7﹣9）2+（10﹣9）2]＝．故答案为：．4．（5分）甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为0.3．【解答】解：∵“乙获胜”与“甲获胜”及“甲、乙下和棋”是互斥事件．且与“乙获胜”与“甲获胜与甲、乙下和棋的并事件”是互斥事件．∵甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，∴乙获胜的概率P＝1﹣（0.2+0.5）＝0.3．故答案为：0.35．（5分）若双曲线x2﹣y2＝a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则a＝．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0），故双曲线x2﹣y2＝a2（a＞0）的右焦点坐标为（1，0），故c＝1，由双曲线x2﹣y2＝a2的标准方程为：，故2a2＝1，又由a＞0，∴a＝．故答案为：6．（5分）运行如图所示的程序后，输出的结果为42．【解答】解：模拟执行程序，有i＝1，s＝0，满足条件i＜8，i＝4，s＝8，满足条件i＜8，i＝7，s＝22，满足条件i＜8，i＝10，s＝42，不满足条件i＜8，退出循环，输出s的值为42．故答案为：42．7．（5分）已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为8．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z＝x+y，则y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入z＝x+y得z＝1+2＝3．即z＝x+y最大值为3，∴2x+y的最大值为23＝8．故答案为：8．8．（5分）若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为．【解答】解：∵圆锥的底面半径r＝1，侧面积是底面积的2倍，∴圆锥的母线长l＝2，故圆锥的高h＝＝，故圆锥的体积V＝＝＝，故答案为：．9．（5分）若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x0，0）成中心对称，，则x0＝．【解答】解：∵函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，∴＝π，∴ω＝2∴f（x）＝sin（2x+）．∵f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，∴f（x0）＝0，即sin（2x0+）＝0，∴2x0+＝kπ，∴x0＝﹣，k∈Z，∵x0∈[0，]，∴x0＝．故答案为：．10．（5分）若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x+log2y＝1，则的最小值为4．【解答】解：∵log2x+log2y＝1，∴log2xy＝1＝log22，∴xy＝2，∴＝＝（x﹣y）+≥2＝4，但且仅当x＝1+，y＝﹣1时取等号，故的最小值为4，故答案为：4．11．（5分）设向量＝（sin2θ，cosθ），＝（cosθ，1），则“∥”是“tanθ＝”成立的必要不充分条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．【解答】解：若∥，则sin2θ﹣cosθcosθ＝0，即2sinθcosθ﹣cosθcosθ＝0，即cosθ（2sinθ﹣cosθ）＝0，则cosθ＝0或tanθ＝，故∥”是“tanθ＝”成立必要不充分条件，故答案为：必要不充分．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝﹣x+2与圆x2+y2＝r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足＝+则r＝．【解答】解：由题意可得，＝r设，θ∈[0，π]则＝＝r2cosθ∵＝+两边同时平方可得，＝即×∴cosθ＝∵，∴且cos∴＝设圆心O到直线x+y﹣2＝0的距离为d，则d＝r cos＝即∴r＝故答案为：．13．（5分）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣1，函数g（x）＝x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）＝f（x1），则实数m的取值范围是[﹣5，﹣2]．【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴f（0）＝0，当x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣1∈（0，3]，则当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣3，3]，若对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）＝f（x1），则等价为g（x）max≥3且g（x）min≤﹣3，∵g（x）＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2+m﹣1，x∈[﹣2，2]，∴g（x）max＝g（﹣2）＝8+m，g（x）min＝g（1）＝m﹣1，则满足8+m≥3且m﹣1≤﹣3，解得m≥﹣5且m≤﹣2，故﹣5≤m≤﹣2，故答案为：[﹣5，﹣2]14．（5分）已知数列{a n}满足a1＝﹣1，a2＞a1，|a n+1﹣a n|＝2n（n∈N*），若数列{a2n﹣1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{a n}的通项公式为a n＝．【解答】解：方法一：先采用列举法得a1＝﹣1，a2＝1，a3＝﹣3，a4＝5，a5＝﹣11，a6＝21，…，然后从数字的变化上找规律，得，∴a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝（﹣1）n•2n﹣1+（﹣1）n﹣1•2n﹣2+…﹣22+2﹣1＝＝．方法二：∵，，∴，而{a2n﹣1}递减，∴a2n+1﹣a2n﹣1＜0，故；同理，由{a2n}递增，得；又a2＞a1，∴，以下同上．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x1，y1），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q（x2，y2）记f（α）＝y1+y2（1）求函数f（α）的值域；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）＝，且a ＝，c＝1，求b．【解答】解：（Ⅰ）由三角函数定义知，y1＝sinα，y2＝sin（α+）＝cosα，f（α）＝y1+y2＝cosα+sinα＝sin（α+），∵角α为锐角，∴＜α+＜，∴＜sin（α+）≤1，∴1＜sin（α+）≤，则f（α）的取值范围是（1，]；（Ⅱ）若f（C）＝，且a＝，c＝1，则f（C）═sin（C+）＝，即sin（C+）＝1，则C＝，由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，即1＝2+b2﹣2×b，则b2﹣2b+1＝0，即（b﹣1）2＝0，解得b＝1．16．（15分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．（1）求证：OE∥平面BCC1B1；（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．【解答】证明：（1）：连接BC1，设BC1∩B1C＝F，连接OF，…2分因为O，F分别是B1D与B1C的中点，所以OF∥DC，且，又E为AB中点，所以EB∥DC，且d1＝1，从而，即四边形OEBF是平行四边形，所以OE∥BF，…6分又OE⊄面BCC1B1，BF⊂面BCC1B1，所以OE∥面BCC1B1．…8分（2）因为DC⊥面BCC1B1，BC1⊂面BCC1B1，所以BC1⊥DC，…10分又BC1⊥B1C，且DC，B1C⊂面B1DC，DC∩B1C＝C，所以BC1⊥面B1DC，…12分而BC1∥OE，所以OE⊥面B1DC，又OE⊂面B1DE，所以面B1DC⊥面B1DE．…14分17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右准线方程为x＝4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．【解答】解：（1）由题意知，直线l的方程为y＝2（x﹣a），即2x﹣y﹣2a＝0，∴右焦点F到直线l的距离为，∴a﹣c＝1，又椭圆C的右准线为x＝4，即，∴，将此代入上式解得a＝2，c＝1，∴b2＝3，∴椭圆C的方程为．（2）方法一：由（1）知，F（1，0），∴直线BF的方程为，联立方程组，解得或（舍），即，∴直线l的斜率．方法二：由（1）知，F（1，0），∴直线BF的方程为，由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），联立方程组，解得，代入椭圆解得：或，又由题意知，＜0得k＞0或，∴．方法三：由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），联立方程组，得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，，∴，，当B，F，P三点共线时有，k BP＝k BF，即，解得或，又由题意知，＜0得k＞0或，∴．18．（5分）某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t ≤25，单位：米）；曲线BC是抛物线y＝﹣ax2+50（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．假定拟建体育馆的高OB＝50米．（1）若要求CD＝30米，AD＝米，求t与a的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围；（3）若，求AD的最大值．（参考公式：若，则）【解答】解：（1）∵CD＝50﹣t＝30，解得t＝20．此时圆E：x2+（y﹣20）2＝302，令y＝0，得，∴，将点代入y＝﹣ax2+50（a＞0）中，解得．（2）∵圆E的半径为50﹣t，∴CD＝50﹣t，在y＝﹣ax2+50中，令y＝50﹣t，得，则由题意知对t∈（0，25]恒成立，∴恒成立，而当，即t＝25时，取最小值10，故，解得．（3）当时，，又圆E的方程为x2+（y﹣t）2＝（50﹣t）2，令y＝0，得，∴，从而，又∵f′（t）＝5＝，令f'（t）＝0，得t＝5，当t∈（0，5）时，f'（t）＞0，f（t）单调递增；当t∈（5，25）时，f'（t）＜0，f（t）单调递减，从而当t＝5时，f（t）取最大值为25．答：当t＝5米时，AD的最大值为25米．（3）方法二：（三角换元）令，则＝，其中ϕ是锐角，且，从而当时，AD取得最大值为25米．方法三：令，则题意相当于：已知x2+y2＝25（x≥0，y≥0），求z＝AD＝5×（2x+y）的最大值．根据线性规划知识，当直线y＝﹣2x+与圆弧x2+y2＝25（x≥0，y≥0）相切时，z取得最大值为25米．19．（5分）设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S n，若a1a5＝64，S5﹣S3＝48．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：“m＝k+1且l＝k+3”是“5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{b n}满足：对任意的正整数n，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1＝3•2n+1﹣4n﹣6，且集合中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比是q，∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，∴，解得a3＝8，又∵S5﹣S3＝48，∴，解得q＝2，∴；…4分（2）（ⅰ）必要性：设5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列，①若2•5a k＝a m+a l，则10•2k＝2m+2l，∴10＝2m﹣k+2l﹣k，∴5＝2m﹣k﹣1+2l﹣k﹣1，∴，∴．…6分②若2a m＝5a k+a l，则2•2m＝5•2k+2l，∴2m+1﹣k﹣2l﹣k＝5，左边为偶数，等式不成立，③若2a l＝5a k+a m，同理也不成立，综合①②③，得m＝k+1，l＝k+3，所以必要性成立．…8分（ⅱ）充分性：设m＝k+1，l＝k+3，则5a k，a m，a l这三项为5a k，a k+1，a k+3，即5a k，2a k，8a k，调整顺序后易知2a k，5a k，8a k成等差数列，所以充分性也成立．综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立．…10分（3）因为，即，①∴当n≥2时，，②则②式两边同乘以2，得，③∴①﹣③，得2b n＝4n﹣2，即b n＝2n﹣1（n≥2），又当n＝1时，，即b1＝1，适合b n＝2n﹣1（n≥2），∴b n＝2n﹣1．…14分∴，∴，∴n＝2时，，即；∴n≥3时，，此时单调递减，又，，，，∴．…16分20．（5分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝mx+n．（1）设h（x）＝f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x＝0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n＝0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）＝+，且n＝4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．【解答】解：（1）①h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e x﹣mx﹣n．则h（0）＝1﹣n，函数的导数h′（x）＝e x﹣m，则h′（0）＝1﹣m，则函数在x＝0处的切线方程为y﹣（1﹣n）＝（1﹣m）x，∵切线过点（1，0），∴﹣（1﹣n）＝1﹣m，即m+n＝2．②当n＝0时，h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e x﹣mx．若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，即e x﹣mx＝0在（﹣1，+∞）上无解，若x＝0，则方程无解，满足条件，若x≠0，则方程等价为m＝，设g（x）＝，则函数的导数g′（x）＝，若﹣1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（﹣1）＝﹣e ﹣1，若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x＝1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）＝e，综上g（x）≥e或g（x）＜﹣e﹣1，若方程m＝无解，则﹣e﹣1≤m＜e．（2）∵n＝4m（m＞0），∴函数r（x）＝+＝+＝+，则函数的导数r′（x）＝﹣+＝，设h（x）＝16e x﹣（x+4）2，则h′（x）＝16e x﹣2（x+4）＝16e x﹣2x﹣8，[h′（x）]′＝16e x﹣2，当x≥0时，[h′（x）]′＝16e x﹣2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）＝16﹣8＝8＞0，即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）＝16﹣16＝0，即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，故r（x）≥r（0）＝，故当x≥0时，r（x）≥1成立．A、（选修4-1：几何证明选讲）21．（5分）如图，已知点P为Rt△ABC的斜边AB的延长线上一点，且PC与Rt△ABC的外接圆相切，过点C作AB的垂线，垂足为D，若P A＝18，PC＝6，求线段CD的长．【解答】解：由切割线定理，得PC2＝P A•PB，解得PB＝2，所以AB＝16，即Rt△ABC的外接圆半径r＝8，…5分记Rt△ABC外接圆的圆心为O，连OC，则OC⊥PC，在Rt△POC中，由面积法得OC•PC＝PO•CD，解得．…10分．B、（选修4-2：矩阵与变换）22．求直线x﹣y﹣1＝0在矩阵的变换下所得曲线的方程．【解答】解：设P（x，y）是所求曲线上的任一点，它在已知直线上的对应点为Q（x'，y'），∵＝，∴，解得，代入x'﹣y'﹣1＝0中，得：，化简可得所求曲线方程为．三.C、（选修4-4：坐标系与参数方程）23．在极坐标系中，求圆ρ＝2cosθ的圆心到直线2ρsin（θ+）＝1的距离．【解答】解：将圆ρ＝2cosθ化为ρ2＝2ρcosθ，普通方程为x2+y2﹣2x＝0，圆心为（1，0），又，即，∴直线的普通方程为，故所求的圆心到直线的距离．24．（8分）解不等式|x+1|+|x﹣2|＜4．【解答】解：当x＜﹣1时，不等式化为﹣x﹣1+2﹣x＜4，解得；当﹣1≤x≤2时，不等式化为x+1+2﹣x＜4，解得﹣1≤x≤2；当x＞2时，不等式化为x+1+x﹣2＜4，解得；所以原不等式的解集为．25．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，动点P满足（λ＞0），当λ＝时，AB1⊥BP．（1）求棱CC1的长；（2）若二面角B1﹣AB﹣P的大小为，求λ的值．【解答】解：（1）以点A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设CC1＝m，则B1（3，0，m），B（3，0，0），P（0，4，λm），所以，，，…2分当时，有解得，即棱CC1的长为．…4分（2）设平面P AB的一个法向量为＝（x，y，z），则由，得，即，令z＝1，则，所以平面P AB的一个法向量为，…6分又平面ABB1与y轴垂直，所以平面ABB1的一个法向量为，因二面角B1﹣AB﹣P的平面角的大小为，所以|cos＜＞|＝＝||，结合λ＞0，解得．…10分．26．（10分）设集合S＝{1，2，3，…，n}（n∈N*，n≥2），A，B是S的两个非空子集，且满足集合A中的最大数小于集合B中的最小数，记满足条件的集合对（A，B）的个数为P n．（1）求P2，P3的值；（2）求P n的表达式．【解答】解：（1）当n＝2时，即S＝{1，2}，此时A＝{1}，B＝{2}，所以P2＝1，…2分当n＝3时，即S＝{1，2，3}，若A＝{1}，则B＝{2}，或B＝{3}，或B＝{2，3}；若A＝{2}或A＝{1，2}，则B＝{3}；所以P3＝5．…4分（2）当集合A中的最大元素为“k”时，集合A的其余元素可在1，2，…，k ﹣1中任取若干个（包含不取），所以集合A共有种情况，…6分此时，集合B的元素只能在k+1，k+2，…，n中任取若干个（至少取1个），所以集合B共有种情况，所以，当集合A中的最大元素为“k”时，集合对（A，B）共有2k﹣1（2n﹣k﹣1）＝2n﹣1﹣2k﹣1对，…8分当k依次取1，2，3，…，n﹣1时，可分别得到集合对（A，B）的个数，求和可得．…12分。

南通市、扬州市、连云港市2015届高三第二次调研测试数学试卷和参考答案及评分建议

（第4题）南通市、扬州市、连云港市2015届高三第二次调研测试数学学科试卷和参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．命题“x ∃∈R ，20x >”的否定是“ ▲ ”．【答案】x ∀∈R ，20x ≤2．设1i i 1ia b +=+-(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则ab 的值为 ▲ ．【答案】03．设集合{}11 0 3 A =-，，，，{}2 1B x x =≥，则AB = ▲ ．【答案】{}1 3-，4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ．【答案】115．一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2) 如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 ▲ ．【答案】0.026．若函数()π()2sin 3f x x ω=+(0)ω>的图象与x 轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为 ▲ ．【答案】π27．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线ln y x =在e x =(e 为自然对数的底数)处的切线与直线 30ax y -+=垂直，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】e -8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =3 cm ，AD =2 cm ，1AA =1 cm ，则三棱锥11B ABD - 的体积为 ▲ cm 3．【答案】19．已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为2，前n 项和为n S ．若544k k S a +-=(k *∈N )，则k 的值为 ▲ ．【答案】7AA 1BCB 1C 1D 1D（第8题）BDC（第12题）AA B CDMNQ（第15题）10．设32()4(3)f x x mx m x n =++-+(m n ∈R ，)是R 上的单调增函数，则m 的值为 ▲ ．【答案】611．在平行四边形ABCD 中，AC AD AC BD ⋅=⋅3=，则线段AC 的长为 ▲ ．12．如图，在△ABC 中，3AB =，2AC =，4BC =，点D 在边BC 上，BAD ∠=45°，则tan CAD ∠的值为 ▲ ．13．设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg lg 4lg lg z zx y+的最小值为 ▲ ．【答案】9814．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=，圆2C ：222(17)(30)x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ，B ，满足2PA AB =，则半径r 的取值范围是 ▲ ．【答案】[]5 55，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，平面BAD ⊥平面CAD ，BAD ∠=90°．M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点．（1）求证：//CD 平面MNQ ；（2）求证：平面MNQ ⊥平面CAD ．证明：（1）因为M ，Q 分别为棱AD ，AC 的中点，所以//MQ CD ， (2)分又CD ⊄平面M N Q ，MQ ⊂平面M N Q ，故//CD 平面M N Q ． …… 6分（2）因为M ，N 分别为棱AD ，BD 的中点，所以//MN AB ，又90BAD ∠=°，故M N A D ⊥． …… 8分因为平面BAD ⊥平面C A D ，平面BAD 平面C A D A D =，且MN ⊂平面ABD ，所以MN ⊥平面A C D ． …… 11分又MN ⊂平面MNQ ，平面M N Q ⊥平面C A D ． …… 14分（注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“MN ⊥平面ACD ”，扣1分．）16．（本小题满分14分）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；（2）测试成绩为“优”的3名男生记为1a ，2a ，3a ，2名女生记为1b ，2b ．现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛． ① 写出所有等可能的基本事件； ② 求参赛学生中恰有1名女生的概率．解：（1）记“测试成绩为良或中”为事件A ，“测试成绩为良”为事件1A ，“测试成绩为中” 为事件2A ，事件1A ，2A 是互斥的. …… 2分由已知，有121923()()5050P A P A ==，． …… 4分因为当事件1A ，2A 之一发生时，事件A 发生，所以由互斥事件的概率公式，得1212192321()()()()505025P A P A A P A P A =+=+=+=． …… 6分（2）① 有10个基本事件：12()a a ，，13()a a ，，11()a b ，，12()a b ，，23()a a ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，，12()b b ，． …… 9分 ② 记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件B ．在上述等可能的10个基本事件中，等级优良中不及格人数519233事件B 包含了11()a b ，，12()a b ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，．故所求的概率为63()105P B ==．答：（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为21；（2）参赛学生中恰有1名女生的概率为35． ……14分（注：不指明互斥事件扣1分；不记事件扣1分，不重复扣分；不答扣1分．事件B 包含的6种基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分．）17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=a (1，0)，=b (0，2).设向量=+x a (1cos θ-)b ， k =-y a 1θ+b ，其中0πθ<<.（1）若4k =，π6θ=，求x ⋅y 的值；（2）若x //y ，求实数k 的最大值，并求取最大值时θ的值.解：（1）（方法1）当4k =，π6θ=时，(12=-，x ，=y (44-，)， (2)分则⋅=x y (1(4)3443⨯-+⨯= …… 6分（方法2）依题意，0⋅=a b ， …… 2分则⋅=x y (()(22142421⎡⎤+⋅-+=-+⨯⎢⎥⎣⎦a b a b a b(421443=-+⨯⨯= ． …… 6分（2）依题意，()122cos θ=-，x ，()2sin k θ=-，y ，因为x //y ，所以2(22c o s )s i n k θθ=--，整理得，()1s i n c o s 1kθθ=-，…… 9分令()()s i n c o s 1f θθθ=-，则()()c o s c o s 1s i n (s i n )f θθθθθ'=-+- 22c o s c o s 1θθ=-- ()()2c o s 1co s 1θθ=+-. …… 11分令()0f θ'=，得1cos 2θ=-或cos 1θ=，又0πθ<<，故2π3θ=.列表：故当2π3θ=时，m i n ()f θ=，此时实数k取最大值. …… 14分（注：第（2）小问中，得到()122cos θ=-，x ，)2k θ，，及k 与θ的等式，各1分．）18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222 1 ( 0 )y x a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为(0)F c ，.00( )P x y ，为椭圆上一点，且PA PF ⊥.（1）若3a =，b 0x 的值；（2）若00x =，求椭圆的离心率；（3）求证：以F 为圆心，FP 为半径的圆与椭圆的右准线2a x =相切.解：（1）因为3a =，b =2224c a b =-=，即2c =，由PA PF ⊥得，0000132y y x x ⋅=-+-，即22006y x x =--+, …… 3分又2200195x y +=，所以204990x x +-=，解得034x =或03x =-(舍去) ． …… 5分（第18题）θ()2π0 3，2π3()2π π3，()f θ'-0 +f θ（2）当00x =时,220y b =，由PA PF ⊥得，001y y a c⋅=--，即2b ac =，故22a c ac -=， …… 8分所以210e e +-=，解得e = …… 10分（3）依题意，椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c -，且2200221x y a b+=，① 由P A P F ⊥得，00001y y x a x c⋅=-+-,即2200()y x c a x ca =-+-+, ② 由①②得，()2002()0a b ac x a x c ⎡⎤-⎢⎥++=⎢⎥⎣⎦，解得()2202a a ac c x c --=-或0x a =-(舍去). (13)分所以PF ==0c a x a=-()222a a ac c c a c --=+⋅2a c c =-，所以以F 为圆心，FP 为半径的圆与右准线2a x c=相切. …… 16分（注：第（2）小问中，得到椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c-，得1分；直接使用焦半径公式扣1分．）19．（本小题满分16分）设a ∈R ，函数()f x x x a a =--．（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）若对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（3）当4a >时，求函数()()y f f x a =+零点的个数．解：（1）若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，令0x =得，(0)(0)f f =-，即(0)0f =，所以0a =，此时()f x x x =为奇函数． …… 4分（2）因为对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，所以min ()0f x ≥．当0a ≤时，对任意的[2 3]x ∈，，()0f x x x a a =--≥恒成立，所以0a ≤； …… 6分当0a >时，易得22 () x ax a x a f x x ax a x a ⎧-+-<⎪=⎨--⎪⎩，，，≥在(2a ⎤-∞⎥⎦，上是单调增函数，在 2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调减函数，在[) a +∞，上是单调增函数，当02a <<时，m i n()(2)2(2)0f x f a a ==--≥，解得4a ≤，所以4a ≤；当23a ≤≤时，m i n()()0f x f a a ==-≥，解得0a ≤，所以a 不存在；当3a >时，{}{}m i n()m i n (2)(3)m i n 2(2)3(3)0f x f f a a aa =----，=，≥，解得92a ≥，所以9a ≥；综上得，43a ≤或9a ≥． …… 10分（3）设[]()()F x f f x a =+，令()t f x a x x a =+=-则()y f t ==t t a a --，4a >，第一步，令()0f t =t t a a ⇔-=，所以，当t a <时，20t a t a -+=，判别式(4)0a a ∆=->，解得1t =2t =；当t a ≥时，由()0f t =得，即()t t a a -=，解得3t 第二步，易得12302a t t a t <<<<<，且24a a <， ① 若1x x a t -=，其中210a t <<，当x a <时，210x a x t -+=，记21()p x x ax t =-+，因为对称轴2a x a =<， 1()0p a t =>，且21140a t ∆=->，所以方程210t a t t -+=有2个不同的实根；当x a ≥时，210x ax t --=，记21()q x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，1()0q a t =-<，且22140a t ∆=+>，所以方程210x a x t --=有1个实根，从而方程1x x a t -=有3个不同的实根； ② 若2x x a t -=，其中2204a t <<，由①知，方程2x x a t -=有3个不同的实根；③ 若3x x a t -=，当x a >时，230x a x t --=，记23()r x x ax t =--，因为对称轴a x a =<，3()0r a t =-<，且23340a t ∆=+>，所以方程230x a x t --=有1个实根；当x a ≤时，230x a x t -+=，记23()s x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<， 3()0s a t =>，且2334a t ∆=-，2340a t ->⇔324160a a --<， …… 14分记32()416m a a a =--，则()(38)0m a a a '=->，故()m a 为(4)+∞，上增函数，且(4)160m =-<，(5)90m =>，所以()0m a =有唯一解，不妨记为0a ，且0(45)a ∈，，若04a a <<，即30∆<，方程230x a x t -+=有0个实根；若0a a =，即30∆=，方程230x a x t -+=有1个实根；若0a a >，即30∆>，方程230x a x t -+=有2个实根，所以，当04a a <<时，方程3x x a t -=有1个实根；当0a a =时，方程3x x a t -=有2个实根；当0a a >时，方程3x x a t -=有3个实根．综上，当04a a <<时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为7；当0a a =时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为8；当0a a >时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为9． …… 16分（注：第（1）小问中，求得0a =后不验证()f x 为奇函数，不扣分；第（2）小问中利用分离参数法参照参考答案给分；第（3）小问中使用数形结合，但缺少代数过程的只给结果分．）20．（本小题满分16分）设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q (1q ≠)的等比数列．记n n n c a b =+．（1）求证：数列{}1n n c c d +--为等比数列；（2）已知数列{}n c 的前4项分别为4，10，19，34． ① 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；② 是否存在元素均为正整数的集合A ={1n ，2n ，…，} k n (4k ≥，k *∈N )，使得数列 1n c ，2n c ，…，k n c 为等差数列？证明你的结论．解：（1）证明：依题意，()()111n n n n n n c c d a b a b d +++--=+-+- ()()11n n n n a a d b b ++=--+-(1)0n b q =-≠， …… 3分从而2111(1)(1)n n n n n n c c d b q q c c d b q ++++---==---，又211(1)0c c d b q --=-≠，所以{}1n n c c d +--是首项为1(1)b q -，公比为q 的等比数列． (5)分（2）① 法1：由（1）得，等比数列{}1n n c c d +--的前3项为6d -，9d -，15d -，则()29d -=()()615d d --，解得3d =，从而2q =， …… 7分且11114 3210 a b a b +=⎧⎨++=⎩，，解得11a =，13b =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅． …… 10分法2：依题意，得1111211311410219334a b a d b q a d b q a d b q +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，，，， …… 7分消去1a ，得1121132116915d b q b d b q b q d b q b q +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩，，，消去d ，得2111321112326b q b q b b q b q b q ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，，消去1b ，得2q =，从而可解得，11a =，13b =，3d =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅． (10)分② 假设存在满足题意的集合A ，不妨设l ，m ，p ，r A ∈()l m p r <<<，且l c ，m c ， p c ，r c 成等差数列，则2m p l c c c =+，因为0l c >，所以2m p c c >， ① 若1p m >+，则2p m +≥，结合①得，112(32)32(32)32m p m p --⎡⎤-+⋅>-+⋅⎣⎦13(2)232m m ++-+⋅≥，化简得，8203m m -<-<， ②因为2m ≥，m *∈N ，不难知20m m ->，这与②矛盾，所以只能1p m =+，同理，1r p =+，所以m c ，p c ，r c 为数列{}n c 的连续三项，从而122m m m c c c ++=+，即()11222m m m m m m a b a b a b +++++=+++，故122m m m b b b ++=+，只能1q =，这与1q ≠矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A ． …… 16分（注：第（2）小问②中，在正确解答①的基础上，写出结论“不存在”，就给1分．）南通市、扬州市、连云港市2015届高三第二次调研测试数学学科试卷和参考答案及评分建议数学Ⅱ（附加题）A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点．求证：A P B C A C C P⋅=⋅．证明：因为PC为圆O的切线，所以P C A C B P∠=∠，……3分又C P A C P B∠=∠，故△C A P∽△B C P，……7分所以AC APBC PC=，即AP BC AC CP⋅=⋅．……10分B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵232a⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M的一个特征向量，求实数a的值．解：设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵M属于特征值λ的一个特征向量，则232a⎡⎤⎢⎥⎣⎦23λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦23⎡⎤⎢⎥⎣⎦，……5分P（第21 - A题）故262 123 a λλ+=⎧⎨=⎩，，解得4 1. a λ⎧⎨=⎩=，…… 10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线π3θ=与曲线210cos 40ρρθ-+=相交于A ，B 两点，求线段AB 中点的极坐标．解：（方法1）将直线π3θ=化为普通方程得，y =，将曲线210c o s 40ρρθ-+=化为普通方程得，221040x y x +-+=, …… 4分联立221040y x y x ⎧=⎪⎨+-+=⎪⎩，并消去y 得，22520x x -+=，解得112x =，22x =，所以AB 中点的横坐标为12524x x += (8)分化为极坐标为()5π 23，． (10)分（方法2）联立直线l 与曲线C 的方程组2π310cos 40θρρθ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，，…… 2分消去θ，得2540ρρ-+=，解得11ρ=，24ρ=， …… 6分所以线段AB 中点的极坐标为()12π23ρρ+，，即()5π 23，． …… 10分（注：将线段AB 中点的极坐标写成()5π 2π ()23k k +∈Z ，的不扣分．）D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设实数a ，b ，c 满足234a b c ++=，求证：2228a b c ++≥．证明：由柯西不等式，得()()222222123a b c ++++≥()223a b c ++， …… 6分因为234a b c ++=，故22287a b c ++≥， …… 8分当且仅当123a b c ==，即27a =，47b =，67c =时取“=”． (10)分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(84)A -，，(2)P t ，(0)t <在抛物线22y px =(0)p >上．（1）求p ，t 的值；（2）过点P 作PM 垂直于x 轴，M 为垂足，直线AM 与抛物线的另一交点为B ，点C 在直线 AM 上．若PA ，PB ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1232k k k +=，求点C 的坐标．解：（1）将点(84)A -，代入22y px =，得1p =， …… 2分将点(2)P t ，代入22y x =，得2t =±，因为0t <，所以2t =-． …… 4分（2）依题意，M 的坐标为(20)，，直线AM 的方程为2433y x =-+，联立224332y x y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，并解得B ()112，，…… 6分所以113k =-，22k =-，代入1232k k k +=得，376k =-， …… 8分从而直线PC 的方程为7163y x =-+，联立24337163y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩，并解得C ()823-，． (10)分（第22题）23．（本小题满分10分）设A ，B 均为非空集合，且AB =∅，AB ={ 123，，，…，}n (n ≥3，n *∈N )．记A ， B 中元素的个数分别为a ，b ，所有满足“a ∈B ，且b A ∈”的集合对(A ，B )的个数为n a ．（1）求a 3，a 4的值；（2）求n a ．解：（1）当n =3时，AB ={1，2，3}，且AB =∅，若a =1，b =2，则1B ∈，2A ∈，共01C 种；若a =2，b =1，则2B ∈，1A ∈，共11C 种，所以a 3=01C 11+ C 2=；…… 2分当n =4时，A B ={1，2，3，4}，且A B =∅，若a =1，b =3，则1B ∈，3A ∈，共02C 种；若a =2，b =2，则2B ∈，2A ∈，这与AB =∅矛盾；若a =3，b =1，则3B ∈，1A ∈，共22C 种，所以a 4=02C 22+ C 2=． (4)分（2）当n 为偶数时，AB ={1，2，3，…，n }，且AB =∅，若a =1，b 1n =-，则1B ∈，1n -A ∈，共02C n -（考虑A ）种；若a =2，b 2n =-，则2B ∈，2n -A ∈，共12C n -（考虑A ）种； ……若a =1n -，b 1n =+，则1n -B ∈，1n +A ∈，共22C n n --（考虑A ）种；若a =2n ，b 2n =，则2n B ∈，2n A ∈，这与AB =∅矛盾；若a 12n =+，b 12n =-，则12n +B ∈，12n -A ∈，共22C n n -（考虑A ）种； ……若a =1n -，b 1=，则1n -B ∈，1A ∈，共（考虑A ）22C n n --种，所以a n =02Cn -+12Cn -+…+222C n n --+22C nn -+…+122222C 2C n n n n n -----=-； …… 8分当n 为奇数时，同理得，a n =02C n -+12C n -+…+222C 2n n n ---=，综上得，122222C 2 .n n n n n n a n ----⎧⎪-=⎨⎪⎩，为偶数，，为奇数 …… 10分。

南京市、盐城市2015届高三第一次模拟考试数学试题-含答案

i ←1 S ←0 While i ＜8 i ←i + 3 S ←2´i + S End While Print S第6题图南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)参考公式:样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 圆锥的侧面积公式：rl s π=，其中是圆锥的r 底面半径，l 为母线长一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。

不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置。

1．设集合{}2,0,M x =，集合{}0,1N =，若N M ⊆，则x = ▲ . 2．若复数a iz i+=（其中i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a = ▲ . 3．在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9,10,9,7,10，则该组数据的方差是 ▲ .4．甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为 ▲ . 5．若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 6．运行如图所示的程序后，输出的结果为 ▲ .7．若变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值为 ▲ .8．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为 ▲ . 9．若函数()sin()(0)6f x x πωω=+>图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点0(,0)x 成中心对称，0[0,]2x π∈，则0x = ▲ .10．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为 ▲ .11．设向量(sin 2,cos )θθ=a ，(cos ,1)θ=b ，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的 ▲ 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) .12．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，则r = ▲ .13．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21xf x =-，函数2()2g x x x m =-+. 如果对于1[2,2]x ∀∈-，2[2,2]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数m 的取值范围是 ▲ .14．已知数列{}n a 满足11a =-，21a a >，*1||2()n n n a a n N +-=∈，若数列{}21n a -单调递减，数列{}2n a 单调递增，则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并把答案写在答题纸的指定区域内）15．在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+. （1）求函数()f α的值域；（2）设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2f C =2a =1c =，求b .16．(本小题满分14分)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,O E 分别为1,B D AB 的中点. （1）求证：//OE 平面11BCC B ；（2）求证：平面1B DC ⊥平面1B DE .xy PQOα 第15题图BACDB 1A 1C 1D 1E第16题图O17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右准线方程为4x =，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为25.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当,,B F P 三点共线时，试确定直线l 的斜率.18．某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t （025t <≤，单位：米）；曲线BC 是抛物线250(0)y ax a =-+>的一部分；CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径. 假定拟建体育馆的高50OB =米.（1）若要求30CD =米，AD =245米，求t 与a 的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围；（3）若125a =，求AD 的最大值.（参考公式：若()f x a x =-，则()2f x a x'=--）FPOxAly B第17题图·第18题-甲 xy O ABCD 第18题-乙E ·F19．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数,,k m l （k m l <<），求证：“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有121321n n n n a b a b a b a b --++++L13246n n +=⋅--，且集合*|,n n b M n n N a λ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围.20．已知函数()xf x e =，()g x mx n =+.（1）设()()()h x f x g x =-.① 若函数()h x 在0x =处的切线过点(1,0)，求m n +的值；② 当0n =时，若函数()h x 在(1,)-+∞上没有零点，求m 的取值范围；（2）设函数1()()()nx r x f x g x =+，且4(0)n m m =>，求证：当0x ≥时，()1r x ≥.南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. 1 2．－1 3． 654． 0.3 5．2 6． 42 7． 889． 512π10． 4 11．要不充分 1213. [5,2]-- 14. (2)13n --（说明：本答案也可以写成21,321,3n nn n ⎧--⎪⎪⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数12解读：方法1：（平面向量数量积入手）22225325539244164416OC OA OB OA OA OB OB⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ，即：222225159+cos 16816r r r AOB r =∠+，整理化简得：3cos 5AOB ∠=-，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则23cos 2cos 15AOB AOD ∠=∠-=-，得21cos 5AOD ∠=，又圆心到直线的距离为OD ==所以222212cos 5OD AOD r r ∠===，所以210r =，r =.方法2：（平面向量坐标化入手）设()11,A x y ，()22,B x y ,(),C x y ,由5344OC OA OB=+u u u r u u u r u u u r得125344x x x =+，125344y y y =+，则22222222121211112222535325251525251544441616816168x y x x y y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由题意得，()222112225251516168r r r x y x y =+++，联立直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>的方程，由韦达定理可解得：r =.方法3：（平面向量共线定理入手）由5344OC OA OB =+u u u r u u u r 得153288OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，设OC与AB 交于点M ，则A M B 、、三点共线。

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