现代控制理论：控制系统的状态空间模型
现代控制理论第一章-控制系统数学模型
注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。
Y R ( (s s ) ) a b n n s s n n a b 1 1 s s b a 0 0 d b n a n 1 s s n n 1 a 1 b s 1 s a b 0 0
.
例1-4 已知描述系统的微分方程为 y 1 y 8 1y 9 6 2 y 4 1 0 u 6 60 u 40
xn
.
（二）辅助变量法 设 n 阶微分方程为： y ( n ) a n 1 y ( n 1 ) a 1 y a 0 y b n 1 u ( n 1 ) b 1 u b 0 u Laplace变换，求传递函数
U Y((ss))bn s1s nn 1a n b 1n s n 2 s1n 2 a 1sb 1sa 0b0
系统的状态方程和输出方程一起，称为系统状态空间表达式，或称 为系统动态方程，或称系统方程。
.
设： x1 i(t) x2 uC(t)
C0 1
x
x1
x
2
A
-
R
L 1
-
1 L
0
C
x Ax Bu
则可以写成状态空间表达式：
y Cx
1
B
L 0
推广到一般形式：
x Ax Bu y Cx Du
试求系统的状态空间表达式。
解 （1）待定系数法
【武汉大学】控制系统的状态空间模型【现代控制理论】
x&(t) ∫ x(t)
x1
x1+x2
x2
x k kx
(a) 积分器
(b) 加法器
(c) 比例器
图2-4 系统结构图中的三种基本元件
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
2.1.3线性系统状态空间模型的结构图
例 线性时变系统
x& A(t) x B(t)u
y
C (t
)
x
D(t
)u
x1
x
x2 ...
[
x1
x2
... xn ]T
xn
u1
y1
u2 系统内部状态 y2
…
x1,x2,…,xn
…
ur
ym
图2-1 多输入多输出系统示意图
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
2.1.1.1系统的状态和状态变量
状态变量是描述系统内部动态特性行为的变量。 – 它可以是能直接测量或观测的量,也可以是不能直接测量
的结构图如图2-5所示。
D(t)
+
u
+ B(t)
x& ∫
x C(t)
y
+
+
A(t)
现代控制理论 第九章 现代控制理论-控制系统的数学模型
1 C
it dt
uc (Baidu Nhomakorabea)
求解这个微分方程组， 出现两个积分常数。
it |tt0 it0
它们由初始条件
uc t |tt0 uc t0
it 和 uc t 就可以表征这个电路的行为。 若将 it 和 uc t 视为一组信息量，则这样一
组信息量就称为状态。这组信息量中的每个变 量均是该电路的状态变量。
第九章 状态空间分析法
第一节 状态空间表达式
“三域”模型及其相互关系
微分方程 t
（时域）
L
1
L
传递函数
s
（复域）
系统
F F 1
s j j s
频率特性
（频域）
对控制系统的分析（根轨迹法和频率响 应法），都以传递函数或频率特性的形式来 描述控制系统。
方法的局限性：
传递函数只描述系统输出与输入间的关系，不 涉及到系统内部状态的信息，因而这种描述不完整；
uc t
1 L
ut
duc (t) 1 it
dt
C
dit
dt
R L
it
1 L
uc t
1 L
ut
duc (t) 1 it
dt
C
这个方程组描述了系统状态变量和输入量之间的关系，
称为电路的状态方程。
第二章 控制系统的状态空间模型
y b3u b2 a2b3 x3 b1 a1b3 x2 b0 a0b3 x1
27
2.1 状态空间表达式的建立
x1 0 1 0 x1 0
x2
0
0
1
x2
0
u
x3 a0 a1 a2 x3 1
D
+ B
x
x
+
A
+ +y C
系统信号传递方框图
8
2 控制系统的状态空间模型 2.2 状态空间表达式的建立
用状态空间法进行系统分析或综合时，首先要建立 给定系统的状态空间表达式。
x(t) Ax(t) Bu(t) y(t) Cx(t) Du(t)
2.2 状态空间表达式的建立 建立状态空间表达式三种途径：
2.2.1 从系统的物理或化学机理出发进行推导
2.2.2 由系统高阶微分方程或传递函数转换得到
2.2.3 由系统传递函数方块图来建立
2.2 状态空间表达式的建立
从系统机理出发建立状态空间表达式
对不同控制系统，根据其机理，即相应的物理或化学 定律，可建立系统的状态空间表达式，步骤如下：
1) 根据系统机理，列出微分方程； 2) 确定状态变量； 3) 消去中间变量； 4) 整理为标准的状态方程和输出方程形式。
x1 0
1.控制系统的状态空间模型
Chapter1控制系统的状态空间模型
1.1 状态空间模型
在经典控制理论中，采用n阶微分方程作为对控制系统输入量)(t u和输出量
)(t
y之间的时域描述，或者在零初始条件下，对n阶微分方程进行Laplace变换，得到传递函数作为对控制系统的频域描述，“传递函数”建立了系统输入量)]
(
[
)
(t
u
L
s
U=和输出量)]
(
[
)
(t
y
L
s
Y=之间的关系。传递函数只能描述系统的外部特性，不能完全反映系统内部的动态特征，并且由于只考虑零初始条件，难以反映系统非零初始条件对系统的影响。
现代控制理论是建立在“状态空间”基础上的控制系统分析和设计理论，它用“状态变量”来刻画系统的内部特征，用“一阶微分方程组”来描述系统的动态特性。系统的状态空间模型描述了系统输入、输出与内部状态之间的关系，揭示了系统内部状态的运动规律，反映了控制系统动态特性的全部信息。
1.1.1 状态空间模型的表示法
例1-1（
6
P例1.1.1）如下面RLC（电路）系统。试以电压u为输入，以电容上
的电压
C
u为输出变量，列写其状态空间表达式。
例1-1图 RLC电路图
解：由电路理论可知，他们满足如下关系
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
+
+
)(
d
)(
d
)(
)(
)(
d
)(
d
t i
t
t
u
C
t
u
t
u
t
Ri
t
t i
L
C
C
经典控制理论：消去变量)(t i，得到关于)
(t
u
C
的2
=
n阶微分方程：
)(
1
)(
1
d
)(
d
d
)(
d
2
2
t
u
LC
t
u
LC
t
t
u
L
R
t
t
u
C
C
C=
+
+
对上述方程进行Laplace变换：)
(
)
(
)
2
(2
2
2s
U
s
U
s
s
C
ω
ω
ζ=
+
+
得到传递函数：202202)(ωζω++=s s s G ，LC
现代控制理论--1.状态空间模型
现代控制原理预览
建模分析设计状态空间
表达式
建立
求解
转换
可控性
可观性
稳定性
状态反馈
状态观测器
最优控制
1
本部分主要教学内容
第一章状态空间模型建立
第二章系统性能分析
第三章状态反馈控制器设计
2
第一章状态空间模型建立
本章主要内容：
•1-1 状态空间模型基本概念
•1-2 状态空间模型的建立
•1-3 状态矢量的线性变换
•1-4 状态空间表达式的解
•1-5 从状态空间表达式求传递函数阵
3系统描述中常用的基本概念•系统的外部描述传递函数
•系统的内部描述状态空间描述
4
1.1状态空间模型基本概念
•（1）状态：是完全地描述动态系统运动状况的信息，系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运动的一组信息表征，定义系统运动信息的集合为状态。
•（2）状态变量：是指足以完全描述系统运动状态的最小个数的一组变量。
5
•（3）状态空间：以状态变量为坐标轴所构成的n维空间。在某一特定时刻t，状态向量是状态空间的一个点。
)(,),(1t x t x n )(t x 1.1状态空间模型基本概念
•（4）状态方程：描述系统状态变量与系统输入变量间关系的一阶微分方程组(连续系统)或一阶差分方程组（离散系统）。
•（5）输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出变量与状态变量、输入变量之间的m个代数方程，称为系统的输出方程。
6
)
()()()()()()()()()(t t t t t t t t t t u D x C y u B x A x
+=+= 线性连续时间系统状态空间表达式
线性离散时间系统状态空间表达式
)
()()()()()()()()()1(k k k k k k k k k k u D x C y u H x G x +=+=+R
现代控制理论习题解答(第五章)
第五章 状态反馈和状态观测器
3-5-1 已知系统结构图如图题3-5-1图所示。 (1)写出系统状态空间表达式；
(2)试设计一个状态反馈矩阵，将闭环极点特征值配置在j 53±-上。
)
(t y
题3-5-1图
【解】：
方法一：
根据系统结构直接设状态变量如题3-5-1图所示，写状态空间表达式：
[]x y u x x 10112101=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 23111=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--=c c U rank U
系统能控，可以设计状态反馈阵。 设状态反馈阵为][21k k K = 状态反馈控制规律为：Kx r u -= 求希望特征多项式：
34625)3()(*22++=++=s s s s f
求加入反馈后的系统特征多项式：
)22()3()(1212k s k k s bK A sI s f ++-++=+-=
依据极点配置的定义求反馈矩阵：
]1316[1316
34)22(6
)3(2
1112=⎩⎨
⎧==⇒⎩
⎨
⎧=+=+-K k k k k k 方法二：
[][][]1316)346(311110)(*1021
1
=++⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡--==--I A A A f U K c
方法三：（若不考虑原受控对象的结构，仅从配置极点位置的角度出发） 求系统传递函数写出能控标准型：
2
321)111()()(2
++-=+-+=s s s
s s s U s Y []x
y u x x 10103210
-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 求系统希望特征多项式：
34625)3()(*22++=++=s s s s f
现代控制理论1控制系统的状态空间模型3
1
2 L
T
12
M
22 L
ML
1n1
n1 2
L
1
n
n2
M
nn1
1
则
T 1AT
2
O
n
20
A有重特征根情形
设 A有m个1的重根，其余互异，则变换阵
1
0
0
L
1
1
0
L
T
12
M
21
M
1
L
MO
M
M
ML
1n1
d
d 1
n1 1
1 2!
d2
d 12
n1 1
L
0
1L
0
m+1 L
0
2 m1
1 j, 2 j ， 令 对 应 1 j 的 特 征 向 量 为 t1 j
则 变 换 阵 T ， 使
T 1AT
16
约当规范型
• 系数矩阵 A 线性无关的特征向量的个数小 于n。
➢系数矩阵 A 有重特征值 i ，其重数为 i ，但所有的重特征值 i 有
rank(i I A) n i
但所有的重特征值 i 都满足
rank(i I A) n i
13
• 例：
1 0 1
A 0 1
0
0 0 2
现代控制理论--2控制系统的状态空间模型
X 0
Cm
J
而输出方程为：
0 0 0
Ce La 1
f
x1 x2 x3
1 La 0 0
u
J
x1
Y 0
1
0
x2
x3
最后根据上述状态方程和输出方程可画出结构图
x1 x
0
u
1 a1
xn
0 b
0 X
其中：Ａ为一种规范形称为友矩阵，输入矩阵 的特点是，其最后一行元素与方程系数对应，而其 余各元皆为零。D=0无直联通道，
例：D-E. y 6 y 11y 6 y 6u S-E
多输入多输出系统
X ( t ) A X ( t ) B u( t )
n1
nn n1
nr r1
Ym(t1
)
C
mn
X(t
n1
)
D
mr
u( t
r1
)
其中：
A 系统矩阵 n n阶常数矩阵
B 控制矩阵(输入矩阵),n r阶常数矩阵. C-输出矩阵 m×n阶常数矩阵 D-直连矩阵 m×r阶常数矩阵
现代控制理论_制系统的状态空间表达式
第一章 控制系统的状态空间表达式
常用符号：
积分器
比例器 ki
加法器
注：有几个状态变量，就建几个积分器
注:负反馈时为－
D
u
x x
y
B
C
A
状态空间描述的模拟结构图绘制步骤：
⑴画出所有积分器； • 积分器的个数等于状态变量数，每个积分器的 输出表示相应的某个状态变量。
⑵根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和 比例器；
⑶用箭头将这些元件连接起来。
x x1 x2 xn T , n 1维状态向量
u u1 u2 ur T , r 1维输入向量
a11 a12 A a21 a22
an1 an2
a1n
a2n
,
ann
n n维系统矩阵, 表征各状态变量间的关系
b11 b12 B b21 b22
i
uc 1
1 C
iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§2控制系统的状态空间模型
和
y
1
x1 0 x2
0 k x m
1 x 0 f 1 1 u x2 m m
y 1
得到 状态方程
x1 0 x2
Ax Bu x
0 A k m 1 f m
C：输出矩阵m×n， D：关联矩阵m×r
注意：
（1）状态变量的选取不是唯一的，
（2）状态变量可以测量或不可测量。
2.2 状态空间方程的建立
例2-2-1 力学系统 弹簧-质量-阻尼器系统如图示。 列出以拉力Fi为输入，以质量单元的位移y为输出的 状态方程。
k
M
Ff Fk
M
Fi
y
Fi
y
图 2-5 弹簧-质量-阻尼器系统
dt
f是摩擦系数。
代入（2-2-1）式：
d y dy d y dy m fF fF ky2 Fi F ky Fk 2 i f m dtdt dt dt
2
2
（2-2-2 （2-2-1 ） ）
弹簧平移运动是一个二阶线性系统。
（3）定义状态向量、控制向量和输出向量
x1 y
1 x x2 y
x1 x2 k x2 u2 A2 R1 A2 R2 A2
现代控制理论习题之状态空间模型
结构图如图题 1-5 图 1 所示
u
3 x
x3
2 x
3 x2 x
1 x
x1
y
6
11
6
题 1-5 图 1
（2） G ( s) =
s + 3s + 1 s + 5s + 6 − 2s − 5 2s + 5 = = 1− 2 2 2 s + 5s + 6 s + 5s + 6 s + 5s + 6
x5
5 x
K5 T5
1 T5
题 1-3 图 3
1 = − x
1 1 x1 + x2 T4 T4
2 = K 3 ( x 4 − x3 ) x 3 = x2 x 4 = − x
K K 1 x 4 − 2 x5 + 2 x6 T2 T2 T2 K5 1 x2 − x5 T5 T5
5 = x 6 = − x
(2) 设状态变量： x1 = i L 、 x 2 = u c 而
1
iL = C uc
•
根据基尔霍夫定律得：
ui = R ⋅ i L + L i L + u c
•
整理得
⎡ R 1 ⎤ ⎢ − L ⎡x ⎢x ⎥=⎢ ⎣ 2 ⎦ ⎢ 1 ⎣ C 1⎤ − ⎥⎡ x ⎤ ⎡ 1 ⎤ 1 L ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ L ⎥u i x ⎥ 0 ⎥⎣ 2 ⎦ ⎢ ⎣0⎦ ⎦ ⎡ x1 ⎤ y = u 0 = [0 1]⎢ ⎥ ⎣x2 ⎦
现代控制理论：控制系统的状态空间模型资料
y(tk ) g[x(tk ), u(tk ), tk ]
2020/10/7
14
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
线性定常系 统
x Ax Bu
y
Cx
Du
线性离散系 统
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k) Cx(k) Du(k)
a1n
A a21 a22
a2n
an1 an2
ann
系统矩阵，
n×n矩阵。
2020/10/7
16
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
x Ax bu y cx du
单输入单输出系统状态空间模型
b1
b
b2
bn
输入矩阵，n×1列矩阵。
c c1，c2， ，cn
输出矩阵，1×n行矩阵
零初始条件
2020/10/7
6
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
例：设有如图所示的R-L-C网络， 试求其数学描述。
解：可以得到三种形式的数学描 述。
列写该回路的微分方程 ：
C
d uc dt
i
L
di dt
Ri
uc
u
图 R-L-C网络
2020/10/7
现代控制理论--3控制系统的状态方程求解-离散化
精确离散化方法(4/4)—例3-11
根据精确法计算式有
1 (1 - e 2T ) / 2 G (T ) (T ) 2T e 0 H (T ) (t )dtB
0 T T 0
1 (1 - e 2t ) / 2 0 1 2T - (1 - e 2T ) dt 2t 2T 1 4 e 0 2(1 - e )
比较,可知两式对任意的x(kT)和u(kT)成立的条件为 G(T)=(T)=eAT
H (T ) Φ(t )dtB e At dtB
0 0
T
T
上两式即为精确离散化法的计算式。
精确离散化方法(3/4)—例3-11
例3-11 试用精确离散化方法写出下列连续系统的离散化系 统的状态方程:
下面分别针对
线性定常连续系统和 线性时变连续系统
讨论离散化问题。
线性定常连续系统的离散化(1/3)
3.4.1 线性定常连续系统的离散化
本节主要研究线性定常连续系统状态空间模型的离散化,即
研究如何基于采样将线性定常连续系统进行离散化,建立 相应的线性定常离散系统的状态空间模型。 主要讨论的问题为两种离散化方法: 精确法和 近似法
于是该连续系统的离散化状态方程为
来自百度文库
1 (1 - e 2T ) / 2 T/ 2 - (1 - e 2T ) / 4 x(k 1) x( k ) u( k ) 2T 2T e 0 (1 - e ) / 2
现代控制理论习题集
中断状态受如下约束
试求最优控制是下列性能指标
取极小值，且求出最优轨线。
6.6设一阶离散系统方程为
边界条件为： 。试求最优控制序列，使下列性能指标
取极小值，并求出状态序列。
6.7设系统状态方程及边界条件为:
; ,
试求最优控制是指标 取极值，并求出最优轨线及最优性能指标。
3.4给定线性定常系统
式中
试将该状态空间表达式化为能控标准形和能观测标准形。
3.5给定线性定常系统
式中
试将该状态方程化为能观测标准形。
第四章
4.1试确定下列二次型是否为正定的。
4.2试确定下列二次型是否为负定的。
4.3试确定下列非线性系统的原点稳定性。
考虑下列二次型函数是否可以作为一个可能的Lyapunov函数：
米/秒
试求x1(t)，x2(t)，x3(t)和x4(t)对t的响应曲线。
5.13考虑4.4节讨论的倒立摆系统。假设M、m和l的值与4.4节中的相同。对于该系统，状态变量定义为
试求该系统的状态空间表达式。
假设采用状态反馈控制律 ，试设计一个稳定的控制系统。考虑以下两种情况下的期望闭环极点
情况1： ；
情况2：
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状态空间模型
引言
状态空间模型是应用状态空间分析法对动态系统所建立的一种数学模型, 它
是应用现代控制理论对系统进行分析和综合的基础。状态空间模型由描述系统的动态特性行为的状态方程和描述系统输出变量与状态变量间变换关系的输出方程组成。
在经典控制理论中，采用n 阶微分方程作为对控制系统输入量u(t )和输出量
y( t)之间的时域描述，或者在零初始条件下，对n阶微分方程进行Laplace 变换，得到传递函数作为对控制系统的频域描述，“传递函数”建立了系统输入量U(s)=L[u(t)] 和输出量Y(s)=L[y(t)] 之间的关系。传递函数只能描述系统的外部特性，不能完全反映系统内部的动态特征，并且由于只考虑零初始条件，难以反映系统非零初始条件对系统的影响。
现代控制理论是建立在“状态空间” 基础上的控制系统分析和设计理论，它
用“状态变量”来刻画系统的内部特征，用“一阶微分方程组”来描述系统的动态特性。系统的状态空间模型描述了系统输入、输出与内部状态之间的关系，揭示了系统内部状态的运动规律，反映了控制系统动态特性的全部信息。
龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。该算法是构建在数学支持的基础之上的。
标准四阶龙格——库塔法的基本思想
龙格和库塔提出了一种间接地运用Taylor 公式的方法，即利用y(x) 在若干个待定点上的函数值和导数值做出线性组合式，选取适当系数使这个组合式进Taylor 展开后与y(xi+1) 的Taylor 展开式有较多的项达到一致，从而得出较高阶的数值公式，这就是龙格—库塔法的基本思想。
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测 量 部 件
y1 yn
输出变量
2015/10/9
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1.1 状态空间模型 1.1.2 实例
•步骤：
由系统机理建立状态空间描述
根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方程；
选择有关的物理量作为状态变量； 导出状态空间表达式。
状态变量的选取原则:
系统储能元件的输出; 系统输出及其各阶导数; 使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对角线标 准型和约当标准型）;
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1.1 状态空间模型 1.1.2 实例
1 v1, x4 y 2 v2 所选的状态变量: x1 y1 , x2 y2 , x3 y
1 B1 y 1 k1 y1 k2 ( y2 y1 ) B2 ( y 2 y 1 ) M1 y 2 B2 ( y 2 y 1 ) k2 ( y2 y1 ) f M2 y
Modern Control Theory 第一章
控制系统的状态空间模型
2015/10/9
1
本章内容提纲
1.1 状态空间模型
1.2 传递函数和状态空间模型间的转换
1.3 状态空间模型的性质
2015/10/9
2
1.1 状态空间模型
是描述系统的另外一种数学模型,是现代控制 理论的基础. 不仅可以描述系统的输入输出之间的关系,而 且还可以描述系统的内部特性.
1 x1 0 1 u, b m x2 m
x1 y 1 0 x2
24
1.1 状态空间模型 1.1.2 实例
例 试列出在外力f作用 下，以质量 M1 , M2 的 位移y1 , y2为输出的状态 空间描述。
状态向量: 用状态变量作为分量构成的向量。
x(t ) [ x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )]T
状态空间：以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间。 状态方程：
(t ) f [ x(t ), u(t ), t ], x
x(tk 1 ) f [ x(tk ),u(tk ),tk ]
B1
质量块受力图如下：
B2
k1 y1
k2 ( y2 y1 )
1 M1 y
1 B1 y
f
M1
2 y 1 ) B2 ( y
M2
2 M2 y
1 B1 y 1 k1 y1 k2 ( y2 y1 ) B2 ( y 2 y 1 ) y 则有：M1
2 y 1 ) k2 ( y2 y1 ) f y2 B2 ( y 及： M 2
x1 x 2 x 式中： xn
n维状态矢量
2015/10/9
单输入单输出系统状态空间模型
a11 a A 21 an1
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
系统矩阵，
n×n矩阵。
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式 系统描述方法 外部描述： ( 输入-输出描述)：描述的前提是把 系统视为一个“黑箱”，不去表征系统的内部结 构和内部变量，只是反映外部变量间的因果关系， 即输入—输出间的因果关系。表征这种描述的数 学方法为传递函数表示式。
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1 x3 x 状态方程： x2 x4 k1 k2 k2 B1 B2 B2 3 x1 x2 x3 x4 x M1 M1 M1 M1 k2 k2 B2 1 4 x1 x2 x3 f x M2 M2 M2 M2
R 1 1 di i i uc u dt L L L du 1 u c c i dt c
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
向量矩阵表示形式：
u (t ) u (t ) di (t ) R i (t ) C dt L L L du C (t ) 1 i (t ) dt C
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1.1 状态空间模型 1.1.2 实例
例：设有如图所示的机械系统，试求其数学描 述。 解：根据牛顿力学原理： 令 x1 y
x2 y
---弹性系数
u (tBaidu Nhomakorabea) m y b y ky
1 x2 x k b 1 x y y y u (t ) 则动态方程： 2 m m m k b 1 x1 x2 u (t ) m m m y x1
图 R-L-C网络
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
消去中间变量 i (t ) ：
d 2uc duc LC RC uc u dt dt
图 R-L-C网络
传函表示形式：
U c ( s) 1 U ( s) LCS 2 RCS 1
外部描述
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
非线性系 统
f ( x, u, t ) x y(t ) g ( x, u, t )
x(tk 1 ) f ( x, u, tk ) y(tk ) g ( x, u, tk )
A：n n维 B：n m维 C：p n维
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
Ax bu x
y cx du
b1 b b 2 bn
输入矩阵，n×1列矩阵。
单输入单输出系统状态空间模型
c c1，c2， ，cn
输出矩阵，1×n行矩阵
d为直接联系输入量、输出量的前向传递（前馈）系数， 又称前馈系数。
i(t ) uC (t ) 0 1 u ( t ) C
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如果将电容上的电压作为电路的输出量，则 该方程是联系输出量和状态变量关系的方程， 称为该电路的输出方程或观测方程。这是一 个矩阵代数方程。
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
设： x1 i(t )
x Kx
ax bu x
u
加法器
注:负反馈时为－
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x1 x2
x1 x2
b
x
a
x
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
状态变量图： 输入向量 r× 1 维 传递矩阵 m× r维 线性定常多变量系统
D
Ax Bu x y Cx Du
该方程描述了电路的状态变量 和输入量之间的关系，称为该 电路的状态方程，这是一个矩 阵微分方程。
di(t ) R dt L du (t ) 1 C dt C
1 i(t ) 1 L L u (t ) 0 0 uC (t )
x2 uC (t )
R - L A 1 C 1 - L 0
1 b L 0
x1 x x2
C 0 1
Ax bu x 则可以写成状态空间表达式： y Cx
内部描述
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式 状态空间法的基本概念
v1
k1
y1 k 2
M1 M2
y2
f
v2
B1
B2
解：该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：
1 v1 , x4 y 2 v2 x1 y1 , x2 y2 , x3 y
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1.1 状态空间模型 1.1.2 实例
k1
y1 k 2
M1 M2
v1
y2
f
v2
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
外部描述： 高阶微分方程
y (n) (t ) a1 y (n1) (t ) an y(t ) b0u (m) (t ) b1u (m1) (t ) bmu(t )
传递函数：
G( s)
b0 s m b1 s m1 bm s n a1 s n1 an
线性离散系 统
(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) x 线性时变系 y(t ) C (t ) x(t ) D(t )u (t ) 统
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
Ax bu x
y cx du
阻 尼 系 数
位移
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1.1 状态空间模型 1.1.2 实例
令 x1 y
x2 y
---弹性系数
u (t ) m y b y ky
向量矩阵表示形式：
阻 尼 系 数
位移
1 0 x k x 2 m
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式 系统描述方法
内部描述：是基于系统内部分析的一类数学模 型，它需要有2个数学方程来组成。一个是反映 系统内部变量组和输入变量组间的因果关系的 数学表达式，称状态方程。另一个是表征系统 内部变量组及输入变量组和输出变量组间转换 关系的数学表达式，称输出方程。
输出方程： y(t ) g[ x(t ), u(t ), t ]
y(tk ) g[ x(tk ),u(tk ),tk ]
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
线性定常系 统
Ax Bu x y Cx Du
x(k 1) Gx(k ) Hu(k ) y(k ) Cx(k ) Du(k )
Du
u
+
B
Bu
x
Ax
∫
A
状态向量 n× 1 维
+
x
C Cx
+
y
输出向量 m×1 维
输入矩阵 n ×r维
+
输出矩阵 m× n 维
系统矩阵 n×n方阵
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
被控过程动力学描述
u1 ur
输入变量
执 行 部 件
被 控 对 象
x1 xn
零初始条件
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
例：设有如图所示的R-L-C网络， 试求其数学描述。 解：可以得到三种形式的数学描 述。 列写该回路的微分方程 ：
d uc C i dt L di Ri u u c dt
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一阶微分方程表示形式：
d uc C i dt L di Ri u u c dt
图 R-L-C网络
u (t ) u (t ) di (t ) R i (t ) C dt L L L
du C (t ) 1 i (t ) dt C
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状态: 完全描述系统时域行为的一个最小变量组。 “完全”：若给定了t=t0时刻这组变量的值和t≥t0时输 入的时间函数，那么系统在t ≥ t0的任何瞬时的行为就 完全确定了。 “最小”：指这个变量组中的每个变量都是独立的。
状态变量: 最小变量组中的每一个变量。
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
系统矩阵 输入矩阵 输出矩阵
D：p m维 直接输入矩阵
输入引起状态的变化是一动态过程，必须用微分(差分)方 程来描述。
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式 状态空间模型的图示法 基本元件
积分器
x
注：有几个状态变量，就建几个积分器
K
x
一阶线性系统 比例器
说明： 状态变量并不一定是系统的输出变量，也不一定是物 理上可测量的或可观测的，但在实际应用中还是选 择易测量的量。 状态变量选择方法： (1) 系统中储能元件的输出物理量：如电容电压、电 感电流 (2) 系统输出及其各阶导数 (3) 使系统的状态方程成为某种标准形式
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式