现代控制理论：控制系统的状态空间模型
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现代控制理论 第九章 现代控制理论-控制系统的数学模型
1 C
∫ i (t )dt
= u c (t )
i (t ) | t = t 0 = i (t 0 )
u c (t ) | t = t 0 = u c (t 0 )
若将 i (t ) 和 u c (t ) 视为一组信息量，则这样一 组信息量就称为状态。这组信息量中的每个变 量均是该电路的状态变量。 状态:表征系统运动的信息和行为 状态 表征系统运动的信息和行为。 表征系统运动的信息和行为 状态变量：系统的状态变量就是确定系 统状态的最小一组变量。（或完全表征 系统运动状态的最小一 组变量。）
di dt
=
R x1 L
1 L
x2+ 1 u( t )
L
x
2
1 x c 1
y = x2 = u c (t )
写成矩阵— 写成矩阵—向量的形式为：
x
1
=
R L
1 L
x1
x
2
1 c
0
x2
+
1 L u( t )
0
y=
x1
0 1
x2
为状态向量
x 1 x2 T 令x =
则：
x=
R L
1 L
1 c
1 x+ L
状态方程 输出方程
一 、状态、状态变量和状态空间
R + u(t)
输入
L
+ + y C uc(t) _ 输出 _
i(t)
_
解：以 i(t) 作为中间变量，列写该回路的微分方程
di (t ) L + Ri (t ) + u c (t ) = u (t ) dt
求解这个微分方程组， 出现两个积分常数。 它们由初始条件
《现代控制理论》讲稿
《现代控制理论》讲稿
贺廉云
第1章 控制系统的状态空间模型
要点：
1 理解状态空间表示法概念；
2 掌握状态空间图示法；
3 掌握连续系统的数学模型转换；
4 了解多变量系统的传递函数阵及其求法
难点：
连续系统的数学模型转换
C=[ 0 0 1]
三状态空间模型的图示法
1. 基本元件
(a) (b) (c)
试求其传递函数阵。
解：根据式（1-10），可得
G（s）=
=
=
=
2传递函数阵的状态空间模型的实现
（1） 可控标准形的实现
对于单输入单输出（SISO）系统，传递函数阵退化成传递函数。要把SISO系统式G(s)=的传递函数形式转换成能控标准性的状态空间模型，即
图1-3 状态结构基本元件
a-积分器 b-加法器 c-比例器
2． 一阶标量微分方程 的一阶系统状态结构图
u
图1-4 一阶系统状态结构
1 由状态空间模型转换成传递函数
系统的状态方程
L G（s）=
= (1-10)
是A阵的特征多项式 * 表示伴随矩阵
例2 已知某一单一输入输出系统的状态空间表达式为
（1-11）
A= b= (1-12)
上述A阵是nn方阵，它的维数正好是传递函数的阶数，它的最后一行元素正还是传递函数分母（即系统的特征方程）所对应的稀疏，只不过均相差一个负号,其次对角线的元素均为1，其余为零，而b阵是一个列向量，最后一个元素为1，其余为零。正是b阵中的唯一的1对应友阵A的形式，是的输入信号u能对系统的每一个状态进行控制，因此称其为能控标准行。为了得到A阵和b阵的这种形式，应按下列规律选择状态变量：,于是有
贺廉云
第1章 控制系统的状态空间模型
要点：
1 理解状态空间表示法概念；
2 掌握状态空间图示法；
3 掌握连续系统的数学模型转换；
4 了解多变量系统的传递函数阵及其求法
难点：
连续系统的数学模型转换
C=[ 0 0 1]
三状态空间模型的图示法
1. 基本元件
(a) (b) (c)
试求其传递函数阵。
解：根据式（1-10），可得
G（s）=
=
=
=
2传递函数阵的状态空间模型的实现
（1） 可控标准形的实现
对于单输入单输出（SISO）系统，传递函数阵退化成传递函数。要把SISO系统式G(s)=的传递函数形式转换成能控标准性的状态空间模型，即
图1-3 状态结构基本元件
a-积分器 b-加法器 c-比例器
2． 一阶标量微分方程 的一阶系统状态结构图
u
图1-4 一阶系统状态结构
1 由状态空间模型转换成传递函数
系统的状态方程
L G（s）=
= (1-10)
是A阵的特征多项式 * 表示伴随矩阵
例2 已知某一单一输入输出系统的状态空间表达式为
（1-11）
A= b= (1-12)
上述A阵是nn方阵，它的维数正好是传递函数的阶数，它的最后一行元素正还是传递函数分母（即系统的特征方程）所对应的稀疏，只不过均相差一个负号,其次对角线的元素均为1，其余为零，而b阵是一个列向量，最后一个元素为1，其余为零。正是b阵中的唯一的1对应友阵A的形式，是的输入信号u能对系统的每一个状态进行控制，因此称其为能控标准行。为了得到A阵和b阵的这种形式，应按下列规律选择状态变量：,于是有
现代控制系统的状态空间模型
u x y
状态空间模型－－系统的内部描述。
第1章 控制系统的状态空间模型
一些特殊的模型
f ( x , u, t ) = A(t ) x + B (t )u
线性系统模型
& = A(t ) x + B (t )u x
g ( x , u, t ) = C (t ) x + D(t )u
y = C (t ) x + D(t )u
¾ 线性系统是实际非线性对象的线性化近似； ¾ 线性系统的处理方法可以为非线性系统问题的解决 提供思路
例子：倒立摆装置
用小车的位移和速度及摆杆 偏离垂线的角度和角速度来 描述系统的动态特性 小车的水平位移：y 小球中心位置：y + l sin θ
&& cos θ − mlθ & 2 sin θ = u & + mlθ y 水平方向： (M + m) &
u y l m mg
θ
M
&& = mg sin θ & cos θ + mlθ y 垂直方向： m&
g：重力加速度
非线性模型
例子：倒立摆装置
考虑在垂直位置附近的线性化模型
sin θ ≈ θ , cos θ ≈ 1
由
&& cos θ − mlθ & 2 sin θ = u & + mlθ ( M + m) & y && = mg sin θ & cos θ + mlθ m& y
是否可能？ 如何得到？
传递函数到状态空间模型
传递函数的一般形式：
状态空间模型－－系统的内部描述。
第1章 控制系统的状态空间模型
一些特殊的模型
f ( x , u, t ) = A(t ) x + B (t )u
线性系统模型
& = A(t ) x + B (t )u x
g ( x , u, t ) = C (t ) x + D(t )u
y = C (t ) x + D(t )u
¾ 线性系统是实际非线性对象的线性化近似； ¾ 线性系统的处理方法可以为非线性系统问题的解决 提供思路
例子：倒立摆装置
用小车的位移和速度及摆杆 偏离垂线的角度和角速度来 描述系统的动态特性 小车的水平位移：y 小球中心位置：y + l sin θ
&& cos θ − mlθ & 2 sin θ = u & + mlθ y 水平方向： (M + m) &
u y l m mg
θ
M
&& = mg sin θ & cos θ + mlθ y 垂直方向： m&
g：重力加速度
非线性模型
例子：倒立摆装置
考虑在垂直位置附近的线性化模型
sin θ ≈ θ , cos θ ≈ 1
由
&& cos θ − mlθ & 2 sin θ = u & + mlθ ( M + m) & y && = mg sin θ & cos θ + mlθ m& y
是否可能？ 如何得到？
传递函数到状态空间模型
传递函数的一般形式：
现代控制理论控制系统的状态空间模型
方程 x：小车的水平位移
x l sin : 摆心瞬时位置
m
x l
在水平方向，利用牛顿第二定律，得到
2024/6/22
9
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
设： x1 i(t) x2 uC (t)
x
x1
x2
A -1RL
-
1 L
0
C
1
b
L 0
C 0 1
x Ax bu
则可以写成状态空间表达式：
y Cx
内部描述
2024/6/22
10
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
uc
u
传函表示形式：
图 R-L-C网络
Uc (s)
1
U (s) LCS 2 RCS 1
外部描述
2024/6/22
7
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
一阶微分方程表示形式：
C
d uc dt
i
L
di dt
Ri
uc
u
di(t) R i(t) uC (t) u(t)
dt L
x1 x2
ub
x
x
a
18
1.1 状态空间模型
1.1.1 状态空间模型表达式
线性定常多变量系统
状态变量图：
输入向量
r×1 维
u
+ B
Bu
输入矩阵 +
n ×r维
传递矩阵 m×r维
x Ax Bu
y
Cx
Du
D
状态向量
+
x
∫
nx×1
维
2019-§2控制系统的状态空间模型-文档资料
弹簧平移运动是一个二阶线性系统。
（3）定义状态向量、控制向量和输出向量
x1 y
d2y dy m d2tfd tk yF i
x2 y x1
uFi ,
yy,
整理（2-2-2）式
mdd dxd2t 2yt2 f dxd2 ytkxy1 F u i （2-2-2）
（4）可将2阶微分方程表示的系统写成2个一阶微分
（2）状态变量可以测量或不可测量。
2.2 状态空间方程的建立
例2-2-1 力学系统 弹簧-质量-阻尼器系统如图示。 列出以拉力Fi为输入，以质量单元的位移y为输出的 状态方程。
k
M
y Fi
Ff Fk
M
y Fi
图 2-5 弹簧-质量-阻尼器系统
（1）确定输入变量：
系统入: Fi， 出：y
（2）基本定理：
§2 控制系统的状态空间模型
微分方程 → 单输入、单输出线性定常系统 状态空间方程 → 多变量系统，现代控制理 论的数学描述方法
两种表示方法可以互相转换。
2.1 状态空间的基本概念
被控对象的变量可以分为三类：
n 输入变量（控制变量和干扰变量）
u[u1,u2 ur]T
n 输出变量（被控变量）
y[y1,y2,ym]T
0
1
m
u
和
y1
0
x1 x2
得到
0 xm k
1m f xx1 2m 1 0u
y 1
0
x1 x2
状态方程 xAxBu 输出方程
y Cx
系数矩阵
0 1
A
（3）定义状态向量、控制向量和输出向量
x1 y
d2y dy m d2tfd tk yF i
x2 y x1
uFi ,
yy,
整理（2-2-2）式
mdd dxd2t 2yt2 f dxd2 ytkxy1 F u i （2-2-2）
（4）可将2阶微分方程表示的系统写成2个一阶微分
（2）状态变量可以测量或不可测量。
2.2 状态空间方程的建立
例2-2-1 力学系统 弹簧-质量-阻尼器系统如图示。 列出以拉力Fi为输入，以质量单元的位移y为输出的 状态方程。
k
M
y Fi
Ff Fk
M
y Fi
图 2-5 弹簧-质量-阻尼器系统
（1）确定输入变量：
系统入: Fi， 出：y
（2）基本定理：
§2 控制系统的状态空间模型
微分方程 → 单输入、单输出线性定常系统 状态空间方程 → 多变量系统，现代控制理 论的数学描述方法
两种表示方法可以互相转换。
2.1 状态空间的基本概念
被控对象的变量可以分为三类：
n 输入变量（控制变量和干扰变量）
u[u1,u2 ur]T
n 输出变量（被控变量）
y[y1,y2,ym]T
0
1
m
u
和
y1
0
x1 x2
得到
0 xm k
1m f xx1 2m 1 0u
y 1
0
x1 x2
状态方程 xAxBu 输出方程
y Cx
系数矩阵
0 1
A
现代控制理论(刘豹)第一章
第一章 控制系统的状态空间表达式
状态变量
状态向量
状态空间
状态方程
状态：表征 系统运动的信 息和行为 状态变量： 能完全表示系 统运动状态的 最小个数的一 组变量
由状态变量 构成的向量 x1(t) x2(t) : xn(t)
以各状态变量 x1(t),x2(t),…… xn(t)为坐标轴 组成的几维空 间。
S nY ( s ) + an −1S n −1Y ( s ) + ... + a0Y ( s ) = bm S mu ( s ) + ... + b0Y ( s )
(bm S m + bm −1S m −1 + ... + b0 ) Y ( s ) Z ( s ) G ( s) = Y ( s) / U ( s) = = ⋅ n n −1 ( S + an −1S + ... + a0 ) Z ( s) U ( s)
& x3 x3
x2 x1
机电工程系
∫
∫
∫
习题2 习题
已知离散系统的差分方程为
y (k + 2) + 3 y (k + 1) + 2 y (k ) = 2u (k + 1) + 3u (k )
试求系统的状态空间表达式，并画出其模拟结构图。
解：假设初始条件为零，系统微分方程的 Z 变换为：
z 2Y ( z ) + 3 zY ( z ) + 2Y ( z ) = 2sU ( z ) + 3U ( z )
S n Z ( s ) + an −1S n −1Z ( s ) + ... + a0 Z ( s ) = U ( s ) Y ( s ) = bn −1S
状态变量
状态向量
状态空间
状态方程
状态：表征 系统运动的信 息和行为 状态变量： 能完全表示系 统运动状态的 最小个数的一 组变量
由状态变量 构成的向量 x1(t) x2(t) : xn(t)
以各状态变量 x1(t),x2(t),…… xn(t)为坐标轴 组成的几维空 间。
S nY ( s ) + an −1S n −1Y ( s ) + ... + a0Y ( s ) = bm S mu ( s ) + ... + b0Y ( s )
(bm S m + bm −1S m −1 + ... + b0 ) Y ( s ) Z ( s ) G ( s) = Y ( s) / U ( s) = = ⋅ n n −1 ( S + an −1S + ... + a0 ) Z ( s) U ( s)
& x3 x3
x2 x1
机电工程系
∫
∫
∫
习题2 习题
已知离散系统的差分方程为
y (k + 2) + 3 y (k + 1) + 2 y (k ) = 2u (k + 1) + 3u (k )
试求系统的状态空间表达式，并画出其模拟结构图。
解：假设初始条件为零，系统微分方程的 Z 变换为：
z 2Y ( z ) + 3 zY ( z ) + 2Y ( z ) = 2sU ( z ) + 3U ( z )
S n Z ( s ) + an −1S n −1Z ( s ) + ... + a0 Z ( s ) = U ( s ) Y ( s ) = bn −1S
控制系统的状态空间描述
解： 方法一、直接根据微分方程求解
03
方法二、根据传递函数求解
状态方程的标准形式
状态方程的定义 状态方程 所谓状态方程，就是描述系统的状态之间以及输入和状态之间动态关系的一阶微分方程组。
3.2.2 状态空间表达式
向量矩阵形式为
状态向量
输入向量
维的函数向量
3、线性定常系统的状态方程
向量矩阵形式为
维的系数矩阵
维的系数矩阵
输出方程
输出方程的标准形式
解：列写回路的电压方程和节点的电流方程
选取 为状态变量，输出 ，得系统的状态空间表达式为
消去 并整理得
设初始条件为零，对上式两端进行拉普拉斯变换，得
写成向量矩阵形式为
其中
输入变量的Laplace变换象函数
2）数目最小的含义：是指这个变量组中的每个变量都是相互独立的。
二、状态向量
若一个系统有n个状态变量： ，用这n个状态变量作为分量所构成的向量 ，就称为该系统的状态向量，用 表示。
例 试建立下图所示电路网络的状态方程和输出方程。
01
考虑标量的一阶微分方程
02
用拉氏变换解有：
3.2.2 状态微分方程的解
定义矩阵指数函数为：
上式也经常写做状态转移矩阵的形式
系统的零输入响应为：
1.3 传递函数矩阵
例：系统如下图所示，输入为 和 ，输出为 。
较之传递函数，状态空间描述的优点有：
3、状态空间分析是一种时域分析方法，可用计算机直接在时域中进行数值计算。
2、由前面的分析可以看出，对于不同维数的系统，可以采用同一表达方式来进行描述，由此可见从低维系统得到的结论可以方便地推广到高维系统，只是计算复杂一些而已。
03
方法二、根据传递函数求解
状态方程的标准形式
状态方程的定义 状态方程 所谓状态方程，就是描述系统的状态之间以及输入和状态之间动态关系的一阶微分方程组。
3.2.2 状态空间表达式
向量矩阵形式为
状态向量
输入向量
维的函数向量
3、线性定常系统的状态方程
向量矩阵形式为
维的系数矩阵
维的系数矩阵
输出方程
输出方程的标准形式
解：列写回路的电压方程和节点的电流方程
选取 为状态变量，输出 ，得系统的状态空间表达式为
消去 并整理得
设初始条件为零，对上式两端进行拉普拉斯变换，得
写成向量矩阵形式为
其中
输入变量的Laplace变换象函数
2）数目最小的含义：是指这个变量组中的每个变量都是相互独立的。
二、状态向量
若一个系统有n个状态变量： ，用这n个状态变量作为分量所构成的向量 ，就称为该系统的状态向量，用 表示。
例 试建立下图所示电路网络的状态方程和输出方程。
01
考虑标量的一阶微分方程
02
用拉氏变换解有：
3.2.2 状态微分方程的解
定义矩阵指数函数为：
上式也经常写做状态转移矩阵的形式
系统的零输入响应为：
1.3 传递函数矩阵
例：系统如下图所示，输入为 和 ，输出为 。
较之传递函数，状态空间描述的优点有：
3、状态空间分析是一种时域分析方法，可用计算机直接在时域中进行数值计算。
2、由前面的分析可以看出，对于不同维数的系统，可以采用同一表达方式来进行描述，由此可见从低维系统得到的结论可以方便地推广到高维系统，只是计算复杂一些而已。
现代控制理论-第二章 控制系统的状态空间描述
12 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
13 中南大C diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt duC diL L uC C R2 u dt dt
y(s) [C(sI A) B D]U (s)
1
1
得
9
G(s) C (sI A) B D
命题得证
中南大学信息学院自动化系
1
DgXu
例2.1.3
已知系统的状态空间描述为
x1 0 1 0 x1 0 x 0 1 1 x 1 u 2 2 x3 0 0 3 x3 1
28 中南大学信息学院自动化系
DgXu
故有(n-1) 个状态方程：
对xl求导数且考虑式 (2.3.12)，经整理有：
则式 (2.3.12) bn=0 时的动态方程为：
(2.3.16)
式中：
29 中南大学信息学院自动化系
DgXu
30 中南大学信息学院自动化系
DgXu
3)
化输入-输出描述为状态空间描述
11 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方 程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态 空间表达式； 二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达 式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用 的数学模型，故我们将介绍已知 n 阶系统微分方程或传递函 数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究 理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。
DgXu
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
13 中南大C diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt duC diL L uC C R2 u dt dt
y(s) [C(sI A) B D]U (s)
1
1
得
9
G(s) C (sI A) B D
命题得证
中南大学信息学院自动化系
1
DgXu
例2.1.3
已知系统的状态空间描述为
x1 0 1 0 x1 0 x 0 1 1 x 1 u 2 2 x3 0 0 3 x3 1
28 中南大学信息学院自动化系
DgXu
故有(n-1) 个状态方程：
对xl求导数且考虑式 (2.3.12)，经整理有：
则式 (2.3.12) bn=0 时的动态方程为：
(2.3.16)
式中：
29 中南大学信息学院自动化系
DgXu
30 中南大学信息学院自动化系
DgXu
3)
化输入-输出描述为状态空间描述
11 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方 程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态 空间表达式； 二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达 式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用 的数学模型，故我们将介绍已知 n 阶系统微分方程或传递函 数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究 理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。
现代控制理论1控制系统的状态空间模型3
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17
设 A有q个1的重根，其余互异，则变换阵
P111
P1'11
1 2!
P'' 111
L
(q
1
1)!
P ( q 1) 111
P( q 1)11
T
P112
P1'12
1 2!
P'' 112
L
(q
1
1)!
P ( q 1) 112
P( q 1)12
M M M M
M
M
P11n
P1'1n
1 2!
1
2 L
T
12
M
22 L
ML
1n1
n1 2
L
1
n
n2
M
nn1
1
则
T 1AT
2
O
n
20
A有重特征根情形
设 A有m个1的重根，其余互异，则变换阵
1
0
0
L
1
1
0
L
T
12
M
21
M
1
L
MO
M
M
ML
1n1
d
d 1
n1 1
1 2!
d2
d 12
n1 1
L
0
1L
0
m+1 L
0
2 m1
P'' 11n
L
(q
1
1)!
P ( q 1) 11n
P( q 1)1n
L
Pn11
L
Pn12
M M
L Pn1n
其中：P1'ij
17
设 A有q个1的重根，其余互异，则变换阵
P111
P1'11
1 2!
P'' 111
L
(q
1
1)!
P ( q 1) 111
P( q 1)11
T
P112
P1'12
1 2!
P'' 112
L
(q
1
1)!
P ( q 1) 112
P( q 1)12
M M M M
M
M
P11n
P1'1n
1 2!
1
2 L
T
12
M
22 L
ML
1n1
n1 2
L
1
n
n2
M
nn1
1
则
T 1AT
2
O
n
20
A有重特征根情形
设 A有m个1的重根，其余互异，则变换阵
1
0
0
L
1
1
0
L
T
12
M
21
M
1
L
MO
M
M
ML
1n1
d
d 1
n1 1
1 2!
d2
d 12
n1 1
L
0
1L
0
m+1 L
0
2 m1
P'' 11n
L
(q
1
1)!
P ( q 1) 11n
P( q 1)1n
L
Pn11
L
Pn12
M M
L Pn1n
其中：P1'ij
现代控制理论--2控制系统的状态空间模型
方程)
4. 非线性定常系统:
X (t ) f X (t ) u(t ) Y (t ) g X (t ) u(t )
5.非线性时变系统：
x(t) f x(t), u(t), t y(t) g x(t), u(t), t
6.线性系统状态空间表达式的简便写法：
x1
y
x2 y
令
xn
1
yn2
xn
y n 1
x1 x2
x2
x3
xn1
xn
xn
yn
a1 yn1
=-an x1 an1x2
an1 y a1xn bu
an y
bu
0
K F(t)
y(t)
f
弹簧-质量-阻尼器系统
解：列基本方程：
d2y
dy
m dt 2 f dt ky u t
选择状态变量：取：
x1 (t) y(t)
故得：
x2(t) y(t)
x1(t) x2 (t)
x2 (t)
k m
x1
f m
x2
1 m
u
y(t) x1
将以上方程组写矩阵形式
u(t) 1
La
Ra
+++
x1 L
dt
x1
Ca
L
x2
dt
x2 1 Y(t)
1
Cm
J
+ x3 +
4. 非线性定常系统:
X (t ) f X (t ) u(t ) Y (t ) g X (t ) u(t )
5.非线性时变系统：
x(t) f x(t), u(t), t y(t) g x(t), u(t), t
6.线性系统状态空间表达式的简便写法：
x1
y
x2 y
令
xn
1
yn2
xn
y n 1
x1 x2
x2
x3
xn1
xn
xn
yn
a1 yn1
=-an x1 an1x2
an1 y a1xn bu
an y
bu
0
K F(t)
y(t)
f
弹簧-质量-阻尼器系统
解：列基本方程：
d2y
dy
m dt 2 f dt ky u t
选择状态变量：取：
x1 (t) y(t)
故得：
x2(t) y(t)
x1(t) x2 (t)
x2 (t)
k m
x1
f m
x2
1 m
u
y(t) x1
将以上方程组写矩阵形式
u(t) 1
La
Ra
+++
x1 L
dt
x1
Ca
L
x2
dt
x2 1 Y(t)
1
Cm
J
+ x3 +
现代控制理论第一章-控制系统数学模型
y b0
b1
bn1
xn
注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。
Y (s) R(s)
bn s n an s n
b1s b0 a1s a0
d
bn1sn1 b1s b0 ansn a1s a0
例1-4 已知描述系统的微分方程为 y18y 192y 640y 160u 640u
y bn1z(n1) b1z b0 z b0 x1 b1x2 bn1xn
写成矩阵形式
x1
x2
xn
0
0
0
a0
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0 0 0 a3
0
0
0 1 an1
x1 x2
xn
0 u 0
1
x1
第1章 控制系统数学模型
本课程的任务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系 统设计，本课程所研究的内容是基于系统的数学模型来进行的。因 此，本章首先介绍控制系统的数学模型。
本章内容为： 1、状态空间表达式 2、由微分方程求出系统状态空间表达式 3、传递函数矩阵 4、离散系统的数学模型 5、线性变换(状态变量选取非唯一）
写成矩阵形式
x1 0 1 0 x1 0
x2
0
0
1
x2
0
u
x3 a0 a1 a2 x3 b0
x1
y 1
0
0
x2
x3
状态图如下：
一般情况下，n 阶微分方程为： y(n) an1 y(n1) a1 y a0 y b0u
选择状态变量如下：
x1 y x1 x2 y x2 x3 y
0
x2
1 M
现代控制理论习题之状态空间模型
（1）
R1
ui
C1 uc1
R2
i1 u
C 2 i2 u o
c2
题 1-1 图 1
(2）
R
ui
iL
L
C uc
uo
题 1-1 图 2
【解】 ： (1) 设状态变量: x1 = u c1 、 x 2 = u c 2 而
i1 = C1 u c1 、 i 2 = C 2 u c 2
• •
根据基尔霍夫定律得：
u i = [C1 u c1 + (
c s+a
1 s
Y1 ( s )
U 2 (s)
d s+b
f s+e
Y2 ( s )
g
题 1-3 图 2
【解】 ： (1) 如题 1-3 图 3 设状态变量
3
U ( s)
K1 T1
6 x
x6
1 T1
K2 T2
4 x
1 T2
x4
K3
2 x
x2
1 T4
1 x 1 T4
x1
Y ( s)
x3
3 x
（4）传递函数为：
G(s) = −3s + 1 −3s + 1 = 4 2 2 3 s + 3s + 2 s + 0 s + 3s + 0 s + 2
4
状态空间表达式为：
⎡ 0 1 0 0⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ 0 0 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎥ x + ⎢0 ⎥ u =⎢ x ⎢0 ⎥ ⎢ 0 0 0 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣− 2 0 − 3 0⎦ ⎣1⎦ y = [1 − 3 0 0]x
(2) 设状态变量： x1 = i L 、 x 2 = u c 而
现代控制理论基础 第2章 控制系统的状态空间描述
【例3】建立图2－1所示RLC电路的状态方程。
取电容上的电压uC (t)和电感中的电流i(t)作为状态变量， 根据电路原理有
C duc (t) i(t) dt
di(t) L dt Ri(t) uc (t) u(t)
将上式中状态变量的一阶导数放在方程左边，其余项 移至方程右边，整理得一阶微分方程组为
状态空间法具备如下优点： （1）在数字计算机上求解一阶微分方程组或者差分方程
组，比求解与它相当的高阶微分方程或差分方程要容易。
（2）状态空间法引入了向量矩阵，大大简化了一阶微分方 程组的数学表示法。
（3）在控制系统的分析中，系统的初始条件对经典法感 到困难的问题，采用状态空间法就迎刃而解了。
（4）状态空间法能同时给出系统的全部独立变量的响应， 不但反映了系统的输入输出外部特性，而且揭示了系统 内部的结构特性，既适用单输入单输出系统又适用多输 入多输出系统。
x = A(t)x B(t)u
y
C (t ) x
D(t)u
式中，各个系数矩阵分别为
（2－8）
a11 (t)
A(t)
an1 (t)
c11 (t)
C
(t)
cm1 (t)
a1n (t)
b11 (t)
,
B(t)
ann (t)
bn1 (t)
c1n (t)
d11 (t)
,
D(t)
cmn (t)
述把系统的输出取为系统外部输入的直接响应， 显然这种描述回避了表征系统内部的动态过程 即把系统当成一个“黑匣”，认为系统的内部 结构和内部信息全然不知，系统描述直接反映 了输出变量与输入变量间的动态因果关系。
考察图2－1所示的n级RC网络。图中虚线框内 为具有放大器隔离的n级RC电路,设放大器的输入阻
现代控制理论控制系统的状态空间模型
线性时变系统的特点
线性时变系统的动态行为由线性时变微 分方程描述，其特点是系统参数随时间 变化。
线性时变系统的稳定性分析较为复杂，需要 考虑参数变化对系统稳定性的影响。
线性时变系统在航空航天、机器人、 化工等领域有广泛应用，其控制策 略需要根据具体应用场景进行设计。
05
非线性系统的状态空间 模型
状态空间模型的近似线性化
线性化方法
由于非线性系统的分析和设计通常比较复杂，因此常常采 用近似线性化的方法将非线性系统转化为线性系统进行分 析。
泰勒级数展开
一种常用的近似线性化方法是使用泰勒级数展开，将非线 性函数展开成多项式形式，并保留低阶项以获得近似的线 性模型。
局部线性化
另一种常用的近似线性化方法是局部线性化，即将非线性 系统在某个平衡点附近进行线性化处理，以获得该点附近 的线性模型。
线性微分方程具有叠加性和时不变性，即对于任意常数c，若x(t) 是方程的解，则cx(t)也是方程的解；同时，若在时间t=t0时， x(t0)=x0，则对于任意时间t>t0，x(t)都等于x0。
状态空间模型的建立
状态空间模型是一种描述控制系统动态行为的方法，它由状态方程和输出方程组成。状态方程描述了系统内部状态的变化规 律，输出方程描述了系统输出与内部状态和输入的关系。
状态空间模型的建立需要确定系统的状态变量、输入变量和输出变量，然后根据系统的物理特性和实际需求来选择合适的系 统矩阵A、B和C。
线性时不变系统的特点
01
线性时不变系统具有叠加性、 均匀性和时不变性，这些性质 使得线性时不变系统在分析和 设计上相对简单。
02
线性时不变系统的动态行为可 以通过系统的极点和零点来描 述，这些极点和零点决定了系 统的动态响应特性和稳定性。
状态空间模型
引言状态空间模型是应用状态空间分析法对动态系统所建立的一种数学模型, 它是应用现代控制理论对系统进行分析和综合的基础。
状态空间模型由描述系统的动态特性行为的状态方程和描述系统输出变量与状态变量间变换关系的输出方程组成。
在经典控制理论中，采用n 阶微分方程作为对控制系统输入量u(t )和输出量y( t)之间的时域描述，或者在零初始条件下，对n阶微分方程进行Laplace 变换，得到传递函数作为对控制系统的频域描述，“传递函数”建立了系统输入量U(s)=L[u(t)] 和输出量Y(s)=L[y(t)] 之间的关系。
传递函数只能描述系统的外部特性，不能完全反映系统内部的动态特征，并且由于只考虑零初始条件，难以反映系统非零初始条件对系统的影响。
现代控制理论是建立在“状态空间” 基础上的控制系统分析和设计理论，它用“状态变量”来刻画系统的内部特征，用“一阶微分方程组”来描述系统的动态特性。
系统的状态空间模型描述了系统输入、输出与内部状态之间的关系，揭示了系统内部状态的运动规律，反映了控制系统动态特性的全部信息。
龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。
由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。
该算法是构建在数学支持的基础之上的。
标准四阶龙格——库塔法的基本思想龙格和库塔提出了一种间接地运用Taylor 公式的方法，即利用y(x) 在若干个待定点上的函数值和导数值做出线性组合式，选取适当系数使这个组合式进Taylor 展开后与y(xi+1) 的Taylor 展开式有较多的项达到一致，从而得出较高阶的数值公式，这就是龙格—库塔法的基本思想。
一、实验原理龙格——库塔法龙格—库塔法是仿真中应用最广泛的方法。
它以泰勒展开公式为基础，用函数f 的线性组合代替f 的高阶导数项，避免了高阶导数的运算，又提高了精度。
泰勒公式的阶次取得越高，龙格—库塔法所得的误差等级越低，精度越高。
现代控制理论-控制系统的状态空间表达式
1.4 状态空间表达式的建立
• 注意的问题
– 实现条件是m≤n，否则是不可实现的
– 当m<n时，d=0
– 当m=n时，d=bn≠0 此时，系统的传递函数可写为
W
(s)
bnsn bn1sn1 b1s b0 sn an1sn1 a1s a0
bn
bn1 bnan1 sn1 bn2 bnan2 sn2 sn an1sn1 a1s a0
u
L2 C
di2
dt duc
dt
R1i2 i2
R1i1
R2i2
uc
0
C
uc
R2
1.3 状态空间表达式的建立
考虑到 三个变量是独立的，故可确定为系统的状态 变量，经整理上式变为
di1
dt
R1 L1
i1
R1 L1
i2
1 L1
u
di2 dt
R1 L2
i1
R1 R2 L2
i2
uc L2
duc dt
1 C
i2
现在令状态 x1 i1 x2 i2 x3 uc 将上式写成矩阵形式即为状态方程
1.3 状态空间表达式的建立
x1
x2
x3
RRL1 11
L2
0
R1
L1 R1 R2
L2 1
C
0 1
L2 0
x1 x2 x3
第1章 控制系统的状态空间表达式
系统动态过程的两类数学描述
• 系统的外部描述
外部描述常被称作输出—输入描述
例如，对SISO线性定常系统 u
y
时间域的外部描述：
y(n) an1 y(n1) a1 y(1) a0 y bn1u(n1) b1u (1) b0u
第1章 控制系统的状态空间表达式
例1 一阶标量微分方程：
ax bu x
u + +
b
x
a
x
§1－2 状态空间表达式的模拟结 构图
二. 绘制状态空间模拟结构图的例子
例2 三阶微分方程 ： a 2 a1 x a0 x bu x x
u
b
+ - -
x
a2
x
a1
x
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
●
状态变量在数学上是线性无关的。
● 状态变量的选取不是唯一的。
对于一个实际的物理系统,状态变量个数等于系统独立储能元 件的个数。
●
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
二. 状态向量
由系统状态变量构成的向量，称为系统的状态向量。
● 若一个系统有n个状态变量
状态变量看作是向量的分量，则就称为状态向量。
D 表征了输出与输入的关系，称为（前馈矩阵）直接传输 矩阵(m×r)；
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
说明：
●从状态空间表达式可以看出，输入引起系统状态的变化，而
状态和输入则决定了输出的变化。
●在输出方程中，若无特殊声明，均不考虑输入向量的直接传
输，即令D＝0；
●由于系统的状态空间描述完全由系统的参数矩阵决定，因而
1 K p K1 s
＋
故：
K p s K1 s
K1
Kp
＋
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
1 J1s
1 J1
Kn
Kb J 2S 2
Kb J2
Kn s
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
ax bu x
u + +
b
x
a
x
§1－2 状态空间表达式的模拟结 构图
二. 绘制状态空间模拟结构图的例子
例2 三阶微分方程 ： a 2 a1 x a0 x bu x x
u
b
+ - -
x
a2
x
a1
x
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
●
状态变量在数学上是线性无关的。
● 状态变量的选取不是唯一的。
对于一个实际的物理系统,状态变量个数等于系统独立储能元 件的个数。
●
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
二. 状态向量
由系统状态变量构成的向量，称为系统的状态向量。
● 若一个系统有n个状态变量
状态变量看作是向量的分量，则就称为状态向量。
D 表征了输出与输入的关系，称为（前馈矩阵）直接传输 矩阵(m×r)；
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
说明：
●从状态空间表达式可以看出，输入引起系统状态的变化，而
状态和输入则决定了输出的变化。
●在输出方程中，若无特殊声明，均不考虑输入向量的直接传
输，即令D＝0；
●由于系统的状态空间描述完全由系统的参数矩阵决定，因而
1 K p K1 s
＋
故：
K p s K1 s
K1
Kp
＋
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
1 J1s
1 J1
Kn
Kb J 2S 2
Kb J2
Kn s
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
【武汉大学】控制系统的状态空间模型【现代控制理论】
第二章 控制系统的状态空间模型
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
目录
2.1 状态和状态空间模型 2.2 根据系统机理建立状态空间模型 2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范形 2.5 传递函数阵 2.6 用MATLAB进行系统模型转换
现代控制理论
的结构图如图2-5所示。
D(t)
+
u
+ B(t)
x& ∫
x C(t)
y
+
+
A(t)
图2-5 多输入多输出线性时变系统的结构图
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
2.1.3线性系统状态空间模型的结构图
若需要用结构图表示出各状态变量、各输入变量和各输出变 量间的信息传递关系,则必须根据实际的状态空间模型,画出各 变量间的结构图。
x&(t) ∫ x(t)
x1
x1+x2
x2
x k kx
(a) 积分器
(b) 加法器
(c) 比例器
图2-4 系统结构图中的三种基本元件
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
2.1.3线性系统状态空间模型的结构图
例 线性时变系统
x& A(t) x B(t)u
y
C (t
)
x
D(t
)u
x1
x
x2 ...
[
x1
x2
... xn ]T
xn
u1
y1
u2 系统内部状态 y2
…
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
目录
2.1 状态和状态空间模型 2.2 根据系统机理建立状态空间模型 2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范形 2.5 传递函数阵 2.6 用MATLAB进行系统模型转换
现代控制理论
的结构图如图2-5所示。
D(t)
+
u
+ B(t)
x& ∫
x C(t)
y
+
+
A(t)
图2-5 多输入多输出线性时变系统的结构图
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
2.1.3线性系统状态空间模型的结构图
若需要用结构图表示出各状态变量、各输入变量和各输出变 量间的信息传递关系,则必须根据实际的状态空间模型,画出各 变量间的结构图。
x&(t) ∫ x(t)
x1
x1+x2
x2
x k kx
(a) 积分器
(b) 加法器
(c) 比例器
图2-4 系统结构图中的三种基本元件
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
2.1.3线性系统状态空间模型的结构图
例 线性时变系统
x& A(t) x B(t)u
y
C (t
)
x
D(t
)u
x1
x
x2 ...
[
x1
x2
... xn ]T
xn
u1
y1
u2 系统内部状态 y2
…
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零初始条件
2015/10/9
6
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
例：设有如图所示的R-L-C网络， 试求其数学描述。 解：可以得到三种形式的数学描 述。 列写该回路的微分方程 ：
d uc C i dt L di Ri u u c dt
2015/10/9 7
状态: 完全描述系统时域行为的一个最小变量组。 “完全”：若给定了t=t0时刻这组变量的值和t≥t0时输 入的时间函数，那么系统在t ≥ t0的任何瞬时的行为就 完全确定了。 “最小”：指这个变量组中的每个变量都是独立的。
状态变量: 最小变量组中的每一个变量。
2015/10/9
12
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
2015/10/9 17
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
非线性系 统
f ( x, u, t ) x y(t ) g ( x, u, t )
x(tk 1 ) f ( x, u, tk ) y(tk ) g ( x, u, tk )
A：n n维 B：n m维 C：p n维
16
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
Ax bu x
y cx du
b1 b b 2 bn
输入矩阵，n×1列矩阵。
单输入单输出系统状态空间模型
c c1，c2， ，cn
输出矩阵，1×n行矩阵
d为直接联系输入量、输出量的前向传递（前馈）系数， 又称前馈系数。
阻 尼 系 数
位移
2015/10/9
23
1.1 状态空间模型 1.1.2 实例
令 x1 y
x2 y
---弹性系数
u (t ) m y b y ky
向量矩阵表示形式：
阻 尼 系 数
位移
1 0 x k x 2 m
2015/10/9
2015/10/9 22
1.1 状态空间模型 1.1.2 实例
例：设有如图所示的机械系统，试求其数学描 述。 解：根据牛顿力学原理： 令 x1 y
x2 y
---弹性系数
u (t ) m y b y ky
1 x2 x k b 1 x y y y u (t ) 则动态方程： 2 m m m k b 1 x1 x2 u (t ) m m m y x1
2015/10/9
5
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
外部描述： 高阶微分方程
y (n) (t ) a1 y (n1) (t ) an y(t ) b0u (m) (t ) b1u (m1) (t ) bmu(t )
传递函数：
G( s)
b0 s m b1 s m1 bm s n a1 s n1 an
一阶微分方程表示形式：
d uc C i dt L di Ri u u c dt
图 R-L-C网络
u (t ) u (t ) di (t ) R i (t ) C dt L L L
du C (t ) 1 i (t ) dt C
2015/10/9
说明： 状态变量并不一定是系统的输出变量，也不一定是物 理上可测量的或可观测的，但在实际应用中还是选 择易测量的量。 状态变量选择方法： (1) 系统中储能元件的输出物理量：如电容电压、电 感电流 (2) 系统输出及其各阶导数 (3) 使系统的状态方程成为某种标准形式
2015/10/9
13
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
x2 uC (t )
R - L A 1 C 1 - L 0
1 b L 0
x1 x x2
C 0 1
Ax bu x 则可以写成状态空间表达式： y Cx
内部描述
2015/10/9 11
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式 状态空间法的基本概念
R 1 1 di i i uc u dt L L L du 1 u c c i dt c
9
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
向量矩阵表示形式：
u (t ) u (t ) di (t ) R i (t ) C dt L L L du C (t ) 1 i (t ) dt C
Modern Control Theory 第一章
控制系统的状态空间模型
2015/10/9
1
本章内容提纲
1.1 状态空间模型
1.2 传递函数和状态空间模型间的转换
1.3 状态空间模型的性质
2015/10/9
2
1.1 状态空间模型
是描述系统的另外一种数学模型,是现代控制 理论的基础. 不仅可以描述系统的输入输出之间的关系,而 且还可以描述系统的内部特性.
i(t ) uC (t ) 0 1 u ( t ) C
2015/10/9
如果将电容上的电压作为电路的输出量，则 该方程是联系输出量和状态变量关系的方程， 称为该电路的输出方程或观测方程。这是一 个矩阵代数方程。
10
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
设： x1 i(t )
该方程描述了电路的状态变量 和输入量之间的关系，称为该 电路的状态方程，这是一个矩 阵微分方程。
di(t ) R dt L du (t ) 1 C dt C
1 i(t ) 1 L L u (t ) 0 0 uC (t )
2015/10/9
3
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式 系统描述方法 外部描述： ( 输入-输出描述)：描述的前提是把 系统视为一个“黑箱”，不去表征系统的内部结 构和内部变量，只是反映外部变量间的因果关系， 即输入—输出间的因果关系。表征这种描述的数 学方法为传递函数表示式。
2015/10/9
线性离散系 统
(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) x 线性时变系 y(t ) C (t ) x(t ) D(t )u (t ) 统
2015/10/9 15
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
Ax bu x
y cx du
状态变量
测 量 部 件
y1 yn
输出变量
2015/10/9
21
1.1 状态空间模型 1.1.2 实例
•步骤：
由系统机理建立状态空间描述
根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方程；
选择有关的物理量作为状态变量； 导出状态空间表达式。
状态变量的选取原则:
系统储能元件的输出; 系统输出及其各阶导数; 使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对角线标 准型和约当标准型）;
2015/10/9 26
1.1 状态空间模型 1.1.2 实例
1 v1, x4 y 2 v2 所选的状态变量: x1 y1 , x2 y2 , x3 y
1 B1 y 1 k1 y1 k2 ( y2 y1 ) B2 ( y 2 y 1 ) M1 y 2 B2 ( y 2 y 1 ) k2 ( y2 y1 ) f M2 y
图 R-L-C网络
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
消去中间变量 i (t ) ：
d 2uc duc LC RC uc u dt dt
图 R-L-C网络
传函表示形式：
U c ( s) 1 U ( s) LCS 2 RCS 1
外部描述
2015/10/9
8
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
状态向量: 用状态变量作为分量构成的向量。
x(t ) [ x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )]T
状态空间：以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间。 状态方程：
(t ) f [ x(t ), u(t ), t ], x
x(tk 1 ) f [ x(tk ),u(tk ),tk ]
1 x1 0 1 u, b m x2 m
x1 y 1 0 x2
24
1.1 状态空间模型 1.1.2 实例
例 试列出在外力f作用 下，以质量 M1 , M2 的 位移y1 , y2为输出的状态 空间描述。
x Kx
ax bu x
u
加法器
注:负反馈时为－
2015/10/9
x1 x2
x1 x2
b
x
a
x
19
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
状态变量图： 输入向量 r× 1 维 传递矩阵 m× r维 线性定常多变量系统
D
Ax Bu x y Cx Du
4
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式 系统描述方法
内部描述：是基于系统内部分析的一类数学模 型，它需要有2个数学方程来组成。一个是反映 系统内部变量组和输入变量组间的因果关系的 数学表达式，称状态方程。另一个是表征系统 内部变量组及输入变量组和输出变量组间转换 关系的数学表达式，称输出方程。
B1
质量块受力图如下：
B2
k1 y1
k2 ( y2 y1 )