北师大版高中数学必修2：6.1垂直关系的判定(1)

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北师大版高中数学必修2：垂直关系的判定

直线与平面垂直的判定第一课时[学习目标] 1.理解直线与平面垂直的定义． 2.掌握直线与平面垂直的判定定理． 3.会利用判定定理证明或判断有关垂直的问题.【主干自填】1．直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的□01任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．2．直线与平面垂直的判定定理【即时小测】1．思考下列问题(1)旗杆AB与地面内任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置关系是什么？提示：异面垂直．(2)如果平面外一条直线l与平面α的两条相交直线垂直，那么l与α的位置关系是什么？提示：垂直．2．下列说法中正确的是( )A．如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥αB．如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥αC．如果直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线D．如果直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直提示：D 如图所示，直线l与α内的无数条直线垂直．但l与α斜交，故A不正确；同理B也不正确；同样由图，l不垂直于α，但α内有与l垂直的直线，且这样的直线有无数条，故C不正确，D正确．3．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β提示：C 选项A中的m，n可以相交，可以平行，也可以异面，故A错误；选项B中的α与β可以平行，也可以相交，故B错误；选项C是直线与平面垂直的重要结论，故C正确；选项D中的m与β的位置关系可以是平行、相交、m在β内，故D错误．4．如果一条直线垂直于①三角形的两边，②梯形的两边，③圆的两条直径，④正六边形的两条边，则能保证该直线与平面图形所在平面垂直的是( )A．①③ B．②C．②④ D．①②④提示：A 由直线与平面垂直的判定定理可知，①③能保证该直线与平面垂直，②④不能．因为梯形和正六边形中有平行的两条边．例1 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1.求证：(1)AC⊥平面B1D1DB；(2)BD1⊥平面ACB1.[证明] (1)∵BB1⊥平面ABCD，且AC平面ABCD，∴BB1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面B1D1DB.(2)连接A1B.由(1)知AC⊥平面B1D1DB，∵BD1平面B1D1DB，∴AC⊥BD1.∵A1D1⊥平面A1B1BA，AB1平面A1B1BA，∴A1D1⊥AB1.又∵A1B⊥AB1且A1B∩A1D1＝A1，∴AB1⊥平面A1D1B.∵BD1平面A1D1B，∴BD1⊥AB1，又∵AC∩AB1＝A，∴BD1⊥平面ACB1.类题通法线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件.[变式训练1]如图，Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，有AD＝DC＝BD.又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.(2)∵BA＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥平面ABC，∵BD平面ABC，∴SD⊥BD.∵AC∩SD＝D.∴BD⊥平面SAC.例2 如图，已知四棱锥S－ABCD中ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AE⊥SB于点E，EF ⊥SC于点F.(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.[证明] (1)∵SA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴SA⊥BC.∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC.又∵SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.又SB⊥AE，BC∩SB＝B，∴AE⊥平面SBC.又∵SC平面SBC，∴AE⊥SC.又EF⊥SC，EF∩AE＝E，∴SC⊥平面AEF.∵AF平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，AD∩SA＝A，∴DC⊥平面SAD.又AG平面SAD，∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG平面AEF，∴SC⊥AG.又SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC.∵SD平面SDC，∴AG⊥SD.类题通法线线垂直的证明方法(1)由线面垂直的定义，即l⊥α，aα⇒l⊥a.(2)平面几何中的结论，如等腰三角形的底面的中线垂直于底边、菱形的对角线互相垂直、勾股定理等．[变式训练2]如图，在空间四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD.证明取BD中点为E，连接AE，CE.∵AB＝AD，∴AE⊥BD.又∵CB＝CD，∴CE⊥BD.而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC.又∵AC平面AEC，∴AC⊥BD.例3 三棱锥P－ABC中，PO⊥平面ABC，PA⊥BC，PB⊥AC.求证：(1)O是△ABC的垂心；(2)PC⊥AB.[证明] (1)连接OA，OB.∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥BC.又PA⊥BC，PO∩PA＝P，∴BC⊥平面PAO.又AO平面PAO，∴BC⊥AO，即O在△ABC的BC边的高线上．同理，由PB⊥AC可得O在△ABC的AC边的高线上．∴O是△ABC的垂心．(2)连接OC，由(1)可知OC⊥AB.又由PO⊥平面ABC得PO⊥AB，又OC∩PO＝O，∴AB⊥平面PCO.又PC平面PCO，∴AB⊥PC.类题通法根据直线和平面垂直的定义，可由线面垂直证明线线垂直；根据直线和平面垂直的判定定理可由线线垂直证明线面垂直.本题的证明过程体现了线线垂直与线面垂直的相互转化.[变式训练3]已知点P是△ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC 上的射影一定是△ABC的( )A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心答案 B解析如图所示，设点P在平面ABC上的射影为O，连接OA，OB，OC.所以PO⊥平面ABC.因为PA＝PB＝PC，OP＝OP＝OP，且∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所以∠APO＝∠BPO＝∠CPO，所以△PAO ≌△PBO≌△PCO，所以AO＝BO＝CO.即点O到三角形三个顶点的距离相等，所以点O为△ABC 的外心．易错点⊳运用线面垂直的判定定理时忽略条件[典例] 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，O为ABCD的中心，试判断OB1与平面ABCD是否垂直？[错解] 如下图，连接BD，设AC∩BD＝O，连接OB1.∵AB1＝B1C，∴OB1⊥AC.又AC平面ABCD，∴OB1⊥平面ABCD.[错因分析] 错解在运用线面垂直的判定定理时，忽略了该定理的使用条件，从而致错．[正解]∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，∵OB1∩BB1＝B1，∴OB1不垂直于平面ABCD.课堂小结直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.1．下列说法中正确的个数是( )①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内两条直线垂直，则l⊥α；③若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α；④若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α；⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析对①②⑤，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．正确的是③④，故选B.2．已知直线m ，n 是异面直线，则过直线n 且与直线m 垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．至多一个 C ．有一个或无数个 D ．不存在答案 B解析若异面直线m ，n 垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．3．PA 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系不正确的是( )A ．PA ⊥BCB ．BC ⊥平面PAC C ．AC ⊥PBD ．PC ⊥BC 答案 C解析由已知得PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥BC ，即选项A 正确；又由已知AC ⊥BC ，且AC 与PA 交于点A ，得BC ⊥平面PAC ，进而BC ⊥PC ，即选项B 、D 正确；PA ⊥平面ABC ，可证得PA ⊥AC ，若AC ⊥PB ，得AC ⊥平面PAB ，故AC ⊥AB ，与已知矛盾，所以选项C 不正确，故选C.4．设l 、m 为不同的直线，α为平面，且l ⊥α ，下列说法错误的是( ) A ．若m ⊥α，则m ∥l B ．若m ⊥l ，则m ∥α C ．若m ∥α，则m ⊥l D ．若m ∥l ，则m ⊥α 答案 B解析 A 中，若l ⊥α，m ⊥α，则m ∥l ，所以A 正确；B 中，若l ⊥α，m ⊥l ，则m ∥α或m α，所以B 错误；C 中，若l ⊥α，m ∥α，则m ⊥l ，所以C 正确；若l ⊥α，m ∥l ，则m ⊥α，所以D 正确．平面与平面垂直的判定第二课时[学习目标] 1.理解二面角的有关概念． 2.会求简单的二面角的大小． 3.掌握两平面垂直的判定定理.【主干自填】1．二面角及其平面角(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成□01两部分，其中的□02每一部分都叫作半平面．03两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作(2)二面角：从一条直线出发的□04棱，这两个半平面叫作二面角的□05面．二面角的□(3)二面角的记法．如图，记作：二面角□06α－AB－β.(4)二面角的平面角．以二面角的棱上□07任一点为端点，在两个半平面内分别作□08垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是□09直角的二面角叫作直二面角．如图二面角α－l－β，若有①O□10∈l；②OA□11α，OB□12β；③OA□13⊥l，OB□14⊥l，则∠AOB就叫作二面角α－l－β的平面角．2．两个平面互相垂直15直二面角，就说(1)两个平面互相垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是□这两个平面互相垂直．(2)两个平面互相垂直的判定定理【即时小测】1．思考下列问题(1)如何用字母来记作二面角？提示：如图，棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α－AB－β.有时为了方便，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－AB－Q.如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α－l－β或P－l－Q.(2)判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有其他的判定定理吗？提示：面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．这个定理简称“线面垂直，则面面垂直”．2．下列说法：①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是( )A．①③ B．②④ C．③④ D．①②提示：B3．设l是直线，α，β是两个不同的平面( )A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β提示：B 对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．4．如图，已知：PA垂直于圆O所在平面．AB是圆O的直径，C是圆周上一点．则图中垂直的平面共有________对．提示：3 平面PBC ⊥平面PAC ；平面PAC ⊥平面ABC ；平面PAB ⊥平面ABC .例1 如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，点E 在侧棱PB 上．求证：平面AEC ⊥平面PBD .[证明] ∵PD ⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD ， ∴PD ⊥AC .又ABCD 为正方形，AC ⊥BD ，PD ∩BD ＝D ， ∴AC ⊥平面PBD .又AC 平面AEC ， ∴平面AEC ⊥平面PBD . 类题通法证明平面与平面垂直常用的两种方法(1)证明一个平面过另一个平面的一条垂线． (2)证明二面角的平面角是直角．[变式训练1] 在四面体A －BCD 中，BD ＝2a ，AB ＝AD ＝CB ＝CD ＝AC ＝a ，如图．求证：平面ABD ⊥平面BCD . 证明 ∵△ABD 是等腰三角形，∴取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，则AE ⊥BD . 在△ABD 中，AB ＝a ，BE ＝12BD ＝22a ，∴AE ＝AB 2－BE 2＝22a .同理CE ＝22a .在△AEC 中，AE ＝CE ＝22a .AC ＝a ， ∴AC 2＝AE 2＋CE 2，∴AE ⊥CE .又BD ∩CE ＝E ， ∴AE ⊥平面BCD .又AE 平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BCD .例2 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1中点，求平面B 1DE 和底面ABCD 所成二面角的正切值．[解] 延长B 1E 和BA 交于点F ，连接DF ，则DF 是所求二面角的棱， ∵E 是AA 1的中点，故B 1E ＝EF ，从而AF ＝AB ＝CD ， ∴四边形FACD 为平行四边形，∴DF ∥CA .∵CA ⊥BD ，∴DF ⊥DB .∵B 1B ⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥DF ，DF ⊥平面BB 1D ，故B 1D ⊥DF .∴∠B 1DB 是所求二面角的平面角． ∴在Rt △B 1BD 中，tan ∠B 1DB ＝B 1B BD ＝22. 故平面B 1DE 与底面ABCD 所成二面角的正切值为22. 类题通法求二面角大小的步骤(1)找出这个平面角．(2)证明这个角是二面角的平面角．(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．[变式训练2]如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于D，E，SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小．解∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥AC，SA⊥BC，SA⊥AB，SA⊥BD.由已知SC⊥ED，SE＝EC，SB＝BC.∴SC⊥BE，∵DE∩BE＝E，∴SC⊥平面BED，∴SC⊥BD.又∵BD⊥SA，SC∩SA＝S，∴BD⊥平面SAC.∵AC平面SAC，∴BD⊥AC.同理BD⊥DE，即∠EDC是二面角E—DB—C的平面角．设SA＝1，则SA＝AB＝1，而AB⊥BC，∴SB＝BC＝2，∴SC＝2，在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，∴∠EDC＝60°.∴二面角E－BD－C为60°.例3 如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PB于E，AF ⊥PC于F.求证：(1)平面AEF⊥平面PBC；(2)PB⊥EF.[证明] (1)∵AB是⊙O的直径，C在圆上，∴AC⊥BC.又PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.又AF平面PAC，∴BC ⊥AF .又AF ⊥PC ，PC ∩BC ＝C ， ∴AF ⊥平面PBC .又AF 平面AEF ， ∴平面AEF ⊥平面PBC .(2)由(1)知AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB . 又AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ，∴PB ⊥平面AEF .又EF 平面AEF ，∴PB ⊥EF . 类题通法解决线线、线面、面面垂直关系要注意三种垂直关系的转化关系，即线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直.[变式训练3] 如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点，求证：(1)DE ＝DA ；(2)平面BDM ⊥平面ECA ； (3)平面DEA ⊥平面ECA .证明 (1)如图，取EC 的中点F ，连接DF .因为EC ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ，所以EC ⊥BC . 又BD ∥CE ，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD ⊥BC ，BD ⊥BA .因为CE ＝CA ＝2BD ，所以四边形DBCF 是矩形，所以DF ⊥CE . 因为DF ＝BC ＝AB ，EF ＝BD ，∠EFD ＝∠DBA ＝90°，所以△DEF ≌△ADB ，所以DE ＝DA .(2)取AC 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN 綊12EC ，而DB 綊12EC ，所以MN 綊DB ，所以点N 在平面BDM 内．因为EC ⊥平面ABC ，BN 平面ABC ，所以EC ⊥BN . 因为△ABC 是正三角形，点N 为AC 的中点，所以BN ⊥AC .又AC ∩EC ＝C ，所以BN ⊥平面ACE .因为BN 平面BDM ，所以平面BDM ⊥平面ECA . (3)因为DM ∥BN ，BN ⊥平面ACE ，所以DM ⊥平面ACE .又DM 平面ADE ，所以平面DEA ⊥平面ECA .易错点⊳判断面面位置关系时依据图形直观得出[典例] 如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为长方体，且底面ABCD 为正方形，试问截面ACB 1与对角面BB 1D 1D 垂直吗？[错解] 设AC 与BD 的交点为O ，连接B 1O ，则B 1O 是截面ACB 1与对角面BB 1D 1D 的交线．因为B 1O 是底面的斜线，所以截面ACB 1与底面不垂直，从而截面ACB 1不可能与对角面BB 1D 1D 垂直．[错因分析] 错解中由B 1O 与底面不垂直，就断定截面ACB 1不可能与对角面BB 1D 1D 垂直，这是没有根据的．[正解] 因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD . 因为BB 1⊥底面ABCD ，所以AC ⊥BB 1. 又BD ∩BB 1＝B ，故AC ⊥对角面BB 1D 1D .又AC 截面ACB 1，所以截面ACB 1⊥对角面BB 1D 1D . 课堂小结1.证明两个平面垂直的主要途径： (1)利用面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.2.证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的.3.下面的结论，有助于判断面面垂直：(1)m∥n，m⊥α，nβ⇒α⊥β；(2)m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β；(3)α∥β，γ⊥α⇒γ⊥β.1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角D1－AB－C的大小是( )A．30° B．45° C．60° D．90°答案 B解析易知AB⊥AD，AB⊥AD1，所以∠D1AD就是二面角D1－AB－C的平面角，显然∠D1AD ＝45°，所以二面角D1－AB－C的大小是45°.2．在空间四边形ABCD中，AD⊥BC，BD⊥AD，则必有( )A．平面ABD⊥平面ADCB．平面ABD⊥平面ABCC．平面BCD⊥平面ADCD．平面ABC⊥平面BCD答案 C解析因为AD⊥BC，BD⊥AD，BD∩BC＝B，所以AD⊥平面BCD.又AD平面ADC，所以平面BCD⊥平面ADC.故选C.3．直线l⊥平面α，l平面β，则α与β的位置关系是( )A．平行B．可能重合C．相交且垂直D．相交不垂直答案 C解析根据面面垂直的判定定理可知C正确．4．已知直线m，n与平面α，β，γ，下列可能使α⊥β成立的条件是( )A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝m，m⊥n，nβC．m∥α，m∥βD．m∥α，m⊥β答案 D解析选择适合条件的几何图形观察可得，A中α与β相交或平行；B中α，β相交，但不一定垂直；C中α∥β或α与β相交．。

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高中数学学习材料唐玲出品§6 垂直关系6．1 垂直关系的判定(一)【课时目标】 1．掌握直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证明直线与平面垂直．1．定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．2．判定定理文字表述：如果一条直线和一个平面内的__________________都垂直，那么该直线与此平面垂直．符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥al ⊥b⇒l ⊥α．一、选择题1．下列命题中正确的个数是( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α； ③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线；④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直． A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．直线a ⊥直线b ，b ⊥平面β，则a 与β的关系是( ) A ．a ⊥β B ．a ∥βC ．a βD ．a β或a ∥β3．空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( ) A ．垂直且相交 B ．相交但不一定垂直 C ．垂直但不相交 D ．不垂直也不相交4．如图所示，定点A 和B 都在平面α内，定点P ∉α，PB ⊥α，C 是平面α内异于A 和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．16．从平面外一点P向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果PA＝PB＝PC，有如下命题：①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的内心；③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．其中正确命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条体对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是______________(写出所有符合要求的图形序号)．8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD．能力提升12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC．1．运用化归思想，将直线与平面垂直的判定转化为直线与平面内两条相交直线的判定，而同时还由此得到直线与直线垂直．即“线线垂直⇔线面垂直”．2．直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义．(2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β．§6垂直关系6．1垂直关系的判定(一)答案知识梳理2．两条相交直线aαbαa∩b＝A作业设计1．B[只有④正确．]2．D3．C[取BD 中点O ，连接AO ，CO ，则BD ⊥AO ，BD ⊥CO ， ∴BD ⊥面AOC ，BD ⊥AC ，又BD 、AC 异面，∴选C ．]4．B [易证AC ⊥面PBC ，所以AC ⊥BC ．]5．A [⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥平面ABC BC 平面ABC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥BC AC ⊥BC ⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ， ∴直角三角形有△PAB 、△PAC 、△ABC 、△PBC ．] 6．A[PO ⊥面ABC ．则由已知可得，△PAO 、△PBO 、△PCO 全等，OA ＝OB ＝OC ， O 为△ABC 外心．只有③正确．] 7．①④⑤8．∠A 1C 1B 1＝90° [如图所示，连接B 1C ，由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C ，因此，要证AB 1⊥BC 1，则只要证明BC 1⊥平面AB 1C ，即只要证AC ⊥BC 1即可，由直三棱柱可知，只要证AC ⊥BC 即可．因为A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC ，故只要证A 1C 1⊥B 1C 1即可． (或者能推出A 1C 1⊥B 1C 1的条件，如∠A 1C 1B 1＝90°等)] 9．90°解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN ．又∵MN ⊥B 1M ，∴MN ⊥面C 1B 1M ， ∴MN ⊥C 1M ． ∴∠C 1MN ＝90°．10．证明在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ， ∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ，又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF 平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，AB ∩BE ＝B ，∴CF ⊥平面EAB ．11．证明 (1)∵PA ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥PA ．又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩PA ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥PD ．(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG ．又∵G 、F 分别是PD ，PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形， ∴AG ∥EF ．∵PA ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ，∵CD ⊥平面PAD ，AG 平面PAD ． ∴CD ⊥AG ．∴EF ⊥CD ．∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD ． 12．证明连接AB 1，CB 1，设AB ＝1．∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC ．连接PB 1．∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32， PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94， OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21． ∴B 1O ⊥PO ，又∵PO ∩AC ＝O ， ∴B 1O ⊥平面PAC ．13．证明 (1)∵SA ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ， ∴SA ⊥BC ．又∵BC ⊥AB ，SA ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面SAB ．又∵AQ 平面SAB ，∴BC ⊥AQ ．又∵AQ ⊥SB ，BC ∩SB ＝B ， ∴AQ ⊥平面SBC ．(2)∵AQ⊥平面SBC，SC平面SBC，∴AQ⊥SC．又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A，∴SC⊥平面APQ．∵PQ平面APQ，∴PQ⊥SC．。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)课件第一章§6.1

典题例证技法归纳
题型探究
题型一直线与平面垂直的判定例1
在正方体A1B1C1D1-ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的
中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.
栏目导引
第一章
立体几何初步
【证明】如图所示，连接AC，BD,则O是AC和BD的交点，∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BO，∵B1B⊥平面ABCD，AC
∴BB1⊥AC. ∵E、F分别是棱AB、BC的中点， ∴AC∥EF， ∴EF⊥BO，EF⊥BB1.
平面ABCD，
又∵BO∩BB1＝B，
∴EF⊥平面BB1O.
栏目导引
第一章
立体几何初步
【名师点评】
证明直线与平面垂直时，一定要证明直线和
平面内两条相交直线垂直，如果没有考虑相交的情况就可能把本来不垂直的情况证明成垂直的，得到错误结论．
栏目导引
第一章
立体几何初步
又∵ AO 平面 AA1C1C， ∴ BD⊥ A1O. 在矩形 AA1C1C 中，
2 A1O＝ AA1 ＋ AO2， 2 OM＝ MC2＋ OC2， A1M＝ A1C2 ＋ C M . 1 1
设正方体的棱长为 1，则在△ A1OM 中， A1M2＝ A1O2＋ OM2， ∴∠ A1OM＝ 90° ，即 A1O⊥ OM. 又∵ BD∩ OM＝ O， BD 平面 MBD， OM 平面 MBD， ∴ A1O⊥平面 MBD.
平面角是直角的二面角叫作直二面角． ⑤直二面角： _____________ (2)平面与平面的垂直直二面角， ①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是 __________ 就说这两个平面互相垂直．
栏目导引

高中数学 1.6.1 垂直关系的判定课件北师大版必修2

求证：(1)直线 PA∥平面 DEF； (2)平面 BDE⊥平面 ABC. [思路分析] (1)由三角形的中位线定理易证 PA∥DE. (2)易证 DE⊥AC 及 DE⊥EF，故 DE⊥平面 ABC.
第二十六页，共40页。
[规范解答] (1)由于 D，E 分别是 PC，AC 的中点，则有 PA∥DE，
所有与l′平行的直线与l都垂直．
第十二页，共40页。
• 2．下列结论(jiélùn)正确的是( )
• A．若直线a与平面M内两条直线垂直，则 a⊥M
• B．若直线a与平面M内的无数条直线垂直，则a⊥M
• C．若直线a与平面M内的一个三角形两边垂直，则a⊥M
• D．若直线a与平面M内的一平行四边形两边垂直，则a⊥M
第二十三页，共40页。
• [规律总结] 1.利用直线和平面(píngmiàn)垂直的判定定理证明直线与平面(píngmiàn)垂直的步骤：
• (1)在这个平面(píngmiàn)内找两条直线，证明它和这两条直线垂直；
• (2)说明这个平面(píngmiàn)内的两直线是相交的直线；
• (3)根据判定定理得出结论．
• (2)二面角的定义：从一条二直面线角出的棱发的 _______二_面__角_的_面______图形，叫作二面角，这条直线叫作________________，这两个半平面叫作________________．
• α(—3A)B二—β面角的记法： 2∠α—AB—β
• 以直线AB为棱、半平面α，β为面的二面角，记作二面角______________，也可记作
第三十三页，共40页。
• (2)取BD的中点O，连接AO、CO，则∠AOC 为二面角A－BD－C的平面角．

【学考优化指导】2022-2021学年高一数学(北师大版)必修2练习：1.6.1 垂直关系的判定

§6垂直关系6.1 垂直关系的判定A 组1.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,与BC 1垂直的平面是( )A.平面DD 1C 1CB.平面A 1B 1CDC.平面A 1B 1C 1D 1D.平面A 1DB解析:由于易证BC 1⊥B 1C ,且CD ⊥平面BCC 1B 1,所以CD ⊥BC 1.由于B 1C ∩CD=C ,所以BC 1⊥平面A 1B 1CD. 答案:B2.下列结论正确的是( )A.若直线a ∥平面α,直线b ⊥a ,b ⫋平面β,则α⊥βB.若直线a ⊥直线b ,a ⊥平面α,b ⊥平面β,则α⊥βC.过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直D.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直解析:A 选项中满足条件的平面β与平面α可能垂直,也可能平行或相交,故A 错;C 选项中当平面外的直线与平面垂直时,过该直线有很多个平面与已知平面垂直,故C 错;过平面外一点有很多个平面与已知平面垂直,故D 错. 答案:B3,ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体,下面结论中错误的个数是( )①BD ∥平面CB 1D 1; ②AC 1⊥BD ; ③AC 1⊥平面CB 1D 1.A.0个B.1个C.2个D.3个解析:由于BD ∥B 1D 1,所以①正确;由于BD ⊥AC ,BD ⊥CC 1,所以BD ⊥平面ACC 1,所以BD ⊥AC 1,故②正确;由于AC 1⊥B 1D 1,AC 1⊥B 1C ,所以AC 1⊥平面CB 1D 1,故①②③全正确. 答案:A4.在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC ,PA=8,则点P 到BC 的距离是( ) A.√5B.2√5C.3√5D.4√5解析:如图所示,作PD ⊥BC 于点D ,连接AD.由于PA ⊥平面ABC , 所以PA ⊥BC ,PD ∩PA=P ,所以CB ⊥平面PAD ,所以AD ⊥BC. 由于AB=AC ,所以CD=BD=3.在Rt △ACD 中,AC=5,CD=3,所以AD=4, 在Rt △PAD 中,PA=8,AD=4, 所以PD=√82+42=4√5,故选D . 答案:D5.在正四周体P-ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,BC ,CA 的中点,下面四个结论中不成立的是( ) A.BC ∥平面PDF B.DF ⊥平面PAE C.平面PDF ⊥平面ABCD.平面PAE ⊥平面ABC解析:如图所示,∵BC ∥DF ,∴BC ∥平面PDF ,故A 正确.由题设知BC ⊥PE ,BC ⊥AE ,∴BC ⊥平面PAE.∴DF ⊥平面PAE ,故B 正确.∵BC ⊥平面PAE ,∴平面ABC ⊥平面PAE ,故D 正确.答案:C6.若直线l ⊥平面α,直线m ∥l ,则m 与α的位置关系是 . 答案:m ⊥α7.已知A 是△BCD 所在平面外一点,则△ABC ,△ABD ,△ACD ,△BCD 中,直角三角形最多有个.解析:当三棱锥底面及三个侧面同时为直角三角形时,如图,此时直角三角形最多为4个. 答案:48.如图所示,在正方形ABCD 中,E ,F 分别是BC,CD的中点,G 是EF 的中点,现在沿AE ,AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形,使B ,C ,D 三点重合,重合后的点记为H ,那么给出下面四个结论:①AH ⊥平面EFH ;②AG ⊥平面EFH ;③HF ⊥平面AEF ;④HG ⊥平面AEF.其中正确命题的序号是 .解析:在这个空间图形中,AH ⊥HF ,AH ⊥HE ,HF ∩HE=H ,所以AH ⊥平面EFH. 答案:①9.在空间四边形ABCD 中,若AB=AC ,DB=DC ,求证:BC ⊥AD.证明:取BC 的中点M ,连接AM ,MD.∵AB=AC ,DB=DC ,∴AM ⊥BC ,DM ⊥BC.又AM ∩MD=M ,∴BC ⊥平面AMD.∵AD ⫋平面AMD ,∴BC ⊥AD.10,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=1,DD 1=2,点P 为DD 1的中点.求证: (1)平面PAC ⊥平面BDD 1; (2)直线PB 1⊥平面PAC.证明:(1)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=1,所以底面ABCD 是正方形,则AC ⊥BD. 又DD 1⊥平面ABCD ,所以DD 1⊥AC. 由于BD ∩DD 1=D ,所以AC ⊥平面BDD 1. 由于AC ⫋平面PAC ,所以平面PAC ⊥平面BDD 1.(2)连接B 1C ,由题知PC 2=2,P B 12=3,B 1C 2=5,所以△PB 1C 是直角三角形,所以PB 1⊥PC. 同理可得PB 1⊥PA.由于PC ∩PA=P ,所以直线PB 1⊥平面PAC.B 组1.如图所示,BC 是Rt △ABC 的斜边,过A 作△ABC 所在平面α的垂线AP ,连接PB ,PC ,过A 作AD ⊥BC 于点D ,连接PD ,那么图中直角三角形的个数是 ( )A.4B.6C.7D.8解析:简洁证得PA ⊥BC ,又AD ⊥BC ,PA ∩AD=A ,所以BC ⊥平面PAD ,从而图中:△ABC ,△PAB ,△PAC ,△PAD ,△ABD ,△ACD ,△PBD ,△PCD 均为直角三角形.共有8个. 答案:D2,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点P 在侧面BCC 1B 1内运动,并且总保持AP ⊥BD 1,则动点P 在( ) A.线段B 1C 上 B.线段BC 1上C.BB 1中点与CC 1中点的连线上D.B 1C 1中点与BC 中点的连线上解析:易知BD 1⊥平面AB 1C ,故P ∈B 1C. 答案:A3.如图所示,已知四边形ABCD 是正方形,PA ⊥平面ABCD ,则图中全部相互垂直的平面共有( ) A.8对 B.7对 C.6对D.5对解析:由PA ⊥平面ABCD 可得平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAC ⊥平面ABCD.又ABCD 为正方形,CD ⊥AD ,由于PA ⊥CD ,PA ∩AD=A ,所以CD ⊥平面PAD ,所以平面PCD ⊥平面PAD ,平面PAB ⊥平面PAD.同理可得,平面PBC ⊥平面PAB ,平面PAC⊥平面PBD.共7对. 答案:B4.已知矩形ABCD ,AB=1,BC=√2,将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折,在翻折的过程中( ) A.存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直解析:若AB⊥CD,由于BC⊥CD,由线面垂直的判定可得CD⊥平面ACB,则有CD⊥AC,而AB=CD=1,BC=AD=√2,可得AC=1,那么存在这样的位置,使得AB⊥CD成立.答案:B5.在正四周体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论:①BC∥平面PDF;②DF⊥平面PAE;③平面PDF⊥平面ABC;④平面PAE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是.解析:画出图形,由判定定理得①②④正确.答案:①②④6,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,DE⊥平面ABCD.求证:(1)AB∥EF;(2)平面BCF⊥平面CDEF.证明:(1)由于四边形ABCD是矩形,所以AB∥CD,CD⫋平面CDEF,AB⊈平面CDEF,所以AB∥平面CDEF.又AB⫋平面ABFE,且平面ABFE∩平面CDEF=EF,所以AB∥EF.(2)由于DE⊥平面ABCD,BC⫋平面ABCD,所以DE⊥BC.由于BC⊥CD,CD∩DE=D,CD,DE⫋平面CDEF,所以BC⊥平面CDEF.又由于BC⫋平面BCF,所以平面BCF⊥平面CDEF.7.如下图所示,已知在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+√3,过点A作AE⊥CD,垂足为E,G,F分别为AD,CE的中点,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.(1)求证:BC⊥平面CDE;(2)求证:FG∥平面BCD.(1)证明:由已知得DE⊥AE,∵DE⊥EC,AE∩EC=E,∴DE⊥平面ABCE.又∵BC⫋平面ABCE,∴DE⊥BC.又BC⊥CE,DE∩CE=E,∴BC⊥平面DCE.(2)证明:取AB中点H,连接GH,FH.则GH∥BD,FH∥BC,则易得GH∥平面BCD,FH∥平面BCD.则易得平面FHG∥平面BCD,∴GF∥平面BCD.。

北师大版高中数学必修二6.1垂直关系的判定.docx

6．1垂直关系的判定时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．给出下列命题：①过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行；②过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．其中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案：B解析：过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，而过这条直线可作无数个平面与已知直线平行，所以命题①错误；过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直，又过此点且在该平面内的直线有无数条，所以有无数条直线与已知直线垂直，命题②错误；易知命题③正确．2．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是()A．平面ABD⊥平面BDCB．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面ADCD．平面ABC⊥平面BED答案：D解析：由已知条件得AC⊥DE，AC⊥BE，于是有AC⊥平面BED，又AC⊂平面ABC，所以有平面ABC⊥平面BED成立．3．如图所示，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S－EFG中必有()A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF答案：A解析：折叠后，有些线线的位置关系不发生变化，如SG⊥GF，SG⊥GE.所以SG⊥平面GEF.4．如图，点A∈α，点B∈α，点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则动点C在平面α内的轨迹是()A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．两条平行直线D．半圆，但要去掉两个点答案：B解析：连接BC，由于PC⊥AC，PB⊥AC，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，说明动点C在以AB为直径的圆上，但不与点A，B重合．5．在四面体P－ABC中，P A＝PB＝PC＝AB＝BC＝CA，D，E，F分别为AB，BC，CA 的中点，下列结论中不成立的是()A．BC∥PDFB．DF⊥面P AEC．BC⊥面P AED．AE⊥面APC答案：D解析：∵D，F分别为AB，AC的中点，∴DF∥BC，故BC∥面PDF，故A项正确，又AB＝AC，PB＝PC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，PE⊥BC，∴BC⊥面P AE，又DF ∥BC，∴DF⊥面P AE，故B、C项正确，由于AE与AP不垂直，故AE与面APC不垂直．6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1内运动，并且总保持AP ⊥BD1，则动点P在()A．线段B1C上B．线段BC1上C．BB1中点与CC1中点的连线上D．B1C1中点与BC中点的连线上答案：A解析：易知BD1⊥平面AB1C，故P∈B1C.二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．在三棱锥P－ABC中，最多有__________个直角三角形．答案：4解析：不妨设P A⊥AB，P A⊥AC，则△APB，△P AC为直角三角形，由线面垂直的判定定理，可得P A⊥面ABC，由线面垂直的定义，可知P A⊥BC，若∠ABC＝90°，则BC⊥AB，∴BC⊥面P AB，即∠PBC＝90°，∴△ABC，△PBC为直角三角形，故直角三角形最多有4个．8．已知四棱锥P－ABCD中，ABCD为正方形，P A⊥平面ABCD，则平面PBD与平面P AC的位置关系是________．答案：平面PBD⊥平面P AC解析：因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥BD，在正方形ABCD中，BD⊥AC.又AC∩P A ＝A，所以BD⊥平面P AC.又BD平面PBD，所以平面PBD⊥平面P AC.9．已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若aα，bβ，cβ，a⊥b，a⊥c，则α⊥β；③若a⊥α，bβ，a∥b，则α⊥β.其中正确的命题是________(填序号)．答案：③解析：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记平面ADD1A1为α，平面ABCD为β，平面ABB1A1为γ，显然①错误；②只有在直线b，c相交的情况下才成立；易知③正确．三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．如图，在四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB ＝BC＝2，CD＝SD＝1.求证：SD⊥平面SAB.证明：∵AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，∴底面ABCD为直角梯形，AD＝(2－1)2＋22＝ 5.∵侧面SAB为等边三角形，∴SA＝SB＝AB＝2.又SD＝1，∴AD2＝SA2＋SD2，∴SD⊥SA.连接BD，则BD＝22＋12＝5，∴BD2＝SD2＋SB2，∴SD⊥SB.又SA∩SB＝S，∴SD⊥平面SAB.11．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．(1)求证：P A∥平面BDE；(2)求证：平面P AC⊥平面BDE.证明：(1)连接OE.因为O是AC的中点，E是PC的中点，所以OE∥P A.又OE平面BDE，P A⃘平面BDE，所以P A∥平面BDE.(2)因为PO⊥底面ABCD，BD平面ABCD，所以PO⊥BD.因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC.又PO∩AC＝O，所以BD⊥平面P AC.因为BD平面BDE，所以平面P AC⊥平面BDE.12.如图所示，已知三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB＝BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E.(1)求证：AP⊥平面BDE；(2)求证：平面BDE⊥平面BDF.证明：(1)∵PC⊥底面ABC，BD⊂平面ABC，∴PC⊥BD.由AB＝BC，D为AC的中点，得BD⊥AC.又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面P AC，又P A⊂平面P AC，∴BD⊥P A.由已知DE⊥P A，DE∩BD＝D，∴AP⊥平面BDE.(2)由BD⊥平面P AC，DE⊂平面P AC，得BD⊥DE.由D、F分别为AC、PC的中点，得DF∥AP.又由已知得，DE⊥AP，∴DE⊥DF BD∩DF＝D，∴DE⊥平面BDF.又DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF.。

北师大版高一数学必修2《1.6.1 垂直关系的判定》

1.6.1 垂直关系的判定知识点1：直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直.(2)画法:当直线与平面垂直时,通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.如图所示.(3)直线与平面垂直的判定定理①文字叙述:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.②符号表示:若直线a⫋α,直线b⫋α,直线l⊥a,l⊥b,a∩b=A,则l⊥α.③图形表示:④作用:线线垂直⇒线面垂直。

【练习】垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( )A.垂直B.斜交C.平行D.不能确定解析:梯形的两腰所在的直线相交,根据线面垂直的判定定理可知选项A正确.名师点拨理解线面垂直的判定定理注意以下几点:(1)定理可表述为“线线垂直,则线面垂直”.(2)“两条相交直线”是关键词,一定不要忽视这个条件,否则将导致结论错误,即“线不在多,相交就行”.(3)要证明一条直线与一个平面垂直,只需在平面内找到两条相交直线和该直线垂直即可,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点无关紧要.(4)线面垂直的判定定理与线面垂直的定义往往在证题过程中要反复交替使用.知识点2：二面角及其平面角(1)半平面的定义:一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫作半平面.(2)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面.(3)二面角的记法:以直线AB为棱,半平面α,β为面的二面角,记作二面角α-AB-β.(4)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.(5)直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角.【练习】给出下列命题:①两个相交平面组成的图形叫作二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是( )A.①③B.②④C.③④D.①②解析:由二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,可知①不对.画出图形,可知②正确.③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱,故③不对.由定义知④正确.故选B.知识点3：平面与平面垂直(1)两个平面互相垂直的定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(2)画法:在画两个垂直的平面时,通常把表示直立平面的平行四边形的竖边画成和表示水平平面的平行四边形的横边垂直.如图①②所示.(3)平面与平面垂直的判定定理①文字叙述:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.②符号表示:③图形表示:④作用:线面垂直⇒面面垂直【练习】已知直线m,n与平面α,β,γ,下列可能使α⊥β成立的条件是( )A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=m,m⊥n,n⫋βC.m∥α,m∥βD.m∥α,m⊥β解析:选择适合条件的几何图形观察可得,A中α∥β或α与β相交,B中α,β相交,但不一定垂直,C中α∥β或α与β相交.名师点拨理解面面垂直的判定定理注意以下几点:(1)定理可简记为“线面垂直,则面面垂直”,因此要证明平面与平面垂直,只需在其中一个平面内找另一个平面的垂线,即证“线面垂直”.(2)两个平面垂直的判定定理,不仅仅是判定两个平面垂直的依据,而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据.(3)要证α⊥β,可证α经过β的某一条垂线,也可证明β经过α的某一条垂线.思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)若直线l垂直于平面α内无数条直线,则有l⊥α. ( ╳)(2)若直线l垂直于平面α内任意直线,则有l⊥α. ( √)(3)若直线l垂直于α内的一个凸五边形的两条边,则有l⊥α. ( √)(4)一个二面角的平面角有且只有一个. ( ╳)(5)若直线l与平面α交于点O,且l与α不垂直,l⫋β,则α与β一定不垂直. ( ╳)【例1】如图所示,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于点H.求证:AH⊥平面BCD.证明:取AB的中点F,连接CF,DF,因为AC=BC,所以CF⊥AB.同理可得,DF⊥AB.又CF∩DF=F,所以AB⊥平面CDF.因为CD⫋平面CDF,所以AB⊥CD.又BE⊥CD,且BE∩AB=B,所以CD⊥平面ABE.因为AH⫋平面ABE,所以CD⊥AH.又AH⊥BE,BE∩CD=E,所以AH⊥平面BCD.反思感悟证明线面垂直的关键是：分析几何图形,寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形底边上的中线、梯形的高、菱形和正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法.变式训练1：如图所示,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆O上的点.求证:BC⊥平面PAC.分析:由AB是圆O的直径可知AC⊥BC,再结合PA⊥平面ABC,即可证明BC⊥平面PAC.证明:由AB是圆O的直径,得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC,BC⫋平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA⫋平面PAC,AC⫋平面PAC,所以BC⊥平面PAC.2,E,F分别是AB,PD的中点.【例2】如图所示,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,AD=PA=2,CD=2求证:(1)AF∥平面PCE;(2)平面PCE⊥平面PCD.分析:(1)要证AF∥平面PCE,只需证明AF平行于平面PCE内的一条直线即可,取PC的中点G,则该直线为GE. (2)要证明平面PCE⊥平面PCD,只需证明GE⊥平面PCD,而由(1)知GE∥AF,故只需证明AF⊥平面PCD即可.反思感悟怎样证明平面与平面垂直：1.证明面面垂直的方法:(1)证明两个半平面构成的二面角的平面角为90°;(2)证明一个平面经过另一个平面的一条垂线,将证明面面垂直的问题转化为证明线面垂直的问题.2.利用判定定理证明两个平面垂直时,一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图形中不存在这样的垂线,则可通过作辅助线来解决,而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明.变式训练2：已知正方形ABCD的边长为1,分别取边BC,CD的中点E,F,连接AE,EF,AF,以AE,EF,FA为折痕,折叠使点B,C,D重合于一点P.求证:(1)AP⊥EF;(2)平面APE⊥平面APF.题型三：对空间中线面关系理解不透彻而致误【典例】如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,则截面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗?纠错心得1.因为B1O与底面不垂直,就断定截面ACB1不可能与对角面BB1D1D垂直,这是毫无根据的.2.要克服上述错误,一定要将有关定理或性质的适用条件及内涵把握清楚,不能凭想当然进行毫无逻辑的论证.课后巩固练习：1.下列各种情况中,一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两条边;②梯形的两条边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.不能保证该直线与平面垂直的是( )A.①③B.②C.②④D.①②④解析:三角形的任何两边都相交;圆的任何两条直径都相交;但梯形中任意两边不一定相交,也可能平行;正六边形中也存在平行的两条边,因此不能保证该直线与平面垂直的是②④.故选C.答案:C2.在空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,则( )A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC解析:如图所示,∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,∴AD⊥平面BDC.又AD⫋平面ADC,∴平面ADC⊥平面DBC.答案:D3.如图所示,∠BCA=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中,(1)与PC垂直的直线有;(2)与AP垂直的直线有.解析:(1)因为PC⊥平面ABC,AB,AC,BC⫋平面ABC,所以与PC垂直的直线有AB,AC,BC.(2)∠BCA=90°,即BC⊥AC.又BC⊥PC,AC∩PC=C,所以BC⊥平面PAC,PA⫋平面PAC.所以BC⊥AP.答案:(1)AB,AC,BC (2)BC4.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别为A1D1和AA1的中点,则下列说法正确的个数为( )①C1M∥AC; ②BD1⊥AC; ③BC1与AC所成的角为60°; ④CD与BN为异面直线.A.1B.2C.3D.45.如图所示,四边形ABCD是菱形,PC⊥平面ABCD,E是PA的中点求证:平面BDE⊥平面ABCD.。

高中数学北师大版必修二1.6.1【教学课件】《垂直关系的判定》

文字语言
图形语言
符号语言
若 α ∩β ＝l，OA
α ，OB
β ，且 OA⊥l，OB⊥l，
则∠AOB 为二面角 α lβ 的平面角 0°≤θ ≤180°
取值范围直二面角
平面角是直角
的二面角叫作直二面角。源自北京师范大学出版社 | 必修二
巩固练习
如图 162，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，截面 C1D1AB 与底面 ABCD 所成二面角 C1ABC 的大小为
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
)
) )
)
北京师范大学出版社 | 必修二
教材整理 2
二面角
阅读教材 P37“练习 1”以下至倒数第 4 行部分，完成下列问题。 1.二面角的概念： (1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成其中的每一部分都叫作半平面。 (2)二面角：从一条直线出发的
记法
α⊥β
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2.平面与平面垂直的判定定理：文字语言符号语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直若直线 AB 平面 β ， AB⊥平面α ，则 β ⊥α
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巩固练习
空间四边形 ABCD 中，若 AD⊥BC，BD⊥AD，那么有( A.平面 ABC⊥平面 ADC B.平面 ABC⊥平面 ADB C.平面 ABC⊥平面 DBC D.平面 ADC⊥平面 DBC
北京师范大学出版社 | 必修二
例题解析
例 2 如图所示，△ABC 为正三角形，EC⊥平面 ABC，BD∥CE，且 CE＝CA＝2BD，M 是 EA 的中点。求证：(1)DE＝DA； (2)平面 BDM⊥平面 ECA。

北师大版必修2高中数学1.6.1《垂直关系的判定》ppt课件

【规范解答】连接PE，EC. ∵PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD, ∴BC⊥PA. ……………………………………………2分 ∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥AB，又∵PA∩AB=A， ∴BC⊥平面PAB. ……………………………………4分在Rt△PAE，Rt△CDE中， PA=AB=CD, AE=DE, ∴Rt△PAE≌Rt△CDE. ………………………………6分 ∴PE= CE, 即△PEC 是等腰三角形，
作二面角的平面角
1.正确理解二面角及其平面角的概念. (1)二面角是一个空间图形，而二面角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小表示，体现了由空间图形向平面图形转化的思想. (2)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ 的取值范围是0°≤θ ≤ 180°.
【规范解答】取AB中点E，连接DE、SE． ∵D是AC的中点. ∴ED∥BC，又BC⊥AB， ∴DE⊥AB． ∵SA=SB，E是AB的中点, ∴SE⊥AB.
又DE∩SE=E,∴AB⊥平面SED. 又SD 平面SED,∴AB⊥SD． ∵SA=SC，D为AC中点，∴SD⊥AC．又AB 平面ABC，AC 平面ABC，AB∩AC=A, ∴SD⊥平面ABC．
AE
设AB=2a则在Rt△ABE中，∠ABE=60°,
AE AB sinABE 3a.
BE=AB×cos∠ABE=a. 在Rt△BEF中∠FBE=30°，
EF BE tanFBE 3 a, 3
cosAEF EF 1 . AE 3
【典例】(12分)(2010·陕西高考改编) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD，AP=AB=2， BC 2 2， E，F分别是AD,PC的中点. 证明：BC⊥平面PAB，PC⊥平面BEF. 【审题指导】要证BC⊥平面PAB关键是要证BC⊥PA；要证PC⊥平面BEF，关键要通过线段长度的计算发现等腰三角形，利用等腰三角形的性质证明线线垂直.

北师大版高中数学必修二课件1.6.1垂直关系的判定(1)

1. 请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程. 2. 直线与平面垂直的判定定理，体现的教学思想方法是什么？
课后作业
课本P41习题1-6 A组 4，5，7
高8cm,它的顶端A挂
有两条长10m的绳子，
拉紧绳子并把它的下
Hale Waihona Puke 端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一
C
A
B
D
条直线上）C、D. 如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m,那么旗杆就和地面垂直,为什么?
例题解析
解：在ABC中，AC2 AB2 BC2
AB BC
同理AB BC
BD与BC相交于B
书脊AB和每页书与
A
桌面的交线的位置关系
如何？
此时，书脊AB和
B
桌面内的每条直线都
垂直吗？
引入新知
1.定义：一条直线和一个平面相交,且
和这个平面内的任意一条直线都垂直，那
么称这条直线和这个平面垂直.
记作 l
l
其中：交点A叫垂足
A
l 叫的垂线，
α
叫 l 的垂面
l l 内的任意一条直线
AB 平面
课内练习 1.判断：
(1) 过一点有且只有一条直线和已知平面垂直(√) (2) 过一点有且只有一个平面和已知直线垂直(√)
2.下列条件下,直线一定和平面垂直吗?
①一条直线和一个平面内的一条直线垂直
②一条直线和一个平面内的两条直线垂直 ③一条直线和一个平面内的无数条直线垂直
课堂小结
引入新知
2.判定定理：若直线l和平面α内
的两条相交直线m, n都垂直,则直线l
垂直平面α.

北师大版高一数学必修2《垂直关系的判定》

6.1 垂直关系的判定要点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直的定义如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥.直线l 叫平面α的垂线；平面α叫直线l 的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.要点诠释：(1)定义中“平面α内的任意一条直线”就是指“平面α内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，注意区别.(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式.(3)若,a b αα⊥⊂，则a b ⊥.2.直线和平面垂直的判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．图形语言：符号语言：,,,m n m n B l l m l n ααα⊂⊂=⎫⇒⊥⎬⊥⊥⎭特征：线线垂直⇒线面垂直要点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视.(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.相关的重要结论：①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条． ②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直．③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直．要点二、直线与平面所成的角1．直线与平面所成角的定义一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.要点诠释：(1)直线与平面平行，直线在平面上的射影是一条直线.(2)直线与平面垂直时射影是点.(3)斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.2．直线与平面所成的角θ的范围：直线和平面平行或直线在平面内，θ=0°．．直线和平面所成角的范围是0°≤θ≤90°．3．求斜线与平面所成角的一般步骤：(1)确定斜线与平面的交点即斜足；(2)经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；(3)解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形，求出线面角．要点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.表示方法：棱为AB 、面分别为αβ、的二面角记作二面角AB αβ--.有时为了方便，也可在αβ、内(棱以外的半平面部分)分别取点P Q 、，将这个二面角记作二面角P AB Q --.如果棱记作l ，那么这个二面角记作二面角l αβ--或P l Q --.2.二面角的平面角(1) 二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做二面角的平面角.(2)二面角的平面角θ的范围：0°≤θ≤180°．当两个半平面重合时，θ=0°；当两个半平面相交时，0°＜θ＜180°；当两个半平面合成一个平面时，θ=180°．直线和平面相交不垂直时，0°＜＜90° 垂直时，=90°二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.(3) 二面角与平面角的对比角二面角图形定义从半面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形从空间内二直线出发的两个半平面所组成的图形表示法由射线、点（顶点）、射线构成，表示为∠AOB由半平面、线（棱）、半平面构成，表示为二面角aαβ--(4) 二面角的平面角的确定方法方法1：（定义法）在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如右图，在二面角aαβ--的棱a上任取一点O，在平面α内过点O作OA⊥a，在平面β内过点O作BO⊥a，则∠AOB为二面角aαβ--的平面角．方法2：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如下图（左），已知二面角lαβ--，过棱上一点O作一平面γ，使lγ⊥，且OAγα=，OBγβ=．∴OAγ⊂，OBγ⊂，且l⊥OA，l⊥OB，∴∠AOB为二面角lαβ--的平面角．方法3：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通常用于求二面角的所有题目，具体步骤：一找，二证，三求．如上图（右），已知二面角A-BC-D ，求作其平面角．过点A 作AE ⊥平面BCD 于E ，过E 在平面BCD 中作EF ⊥BC 于F ，连接AF ．∵AE ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴AE ⊥BC ．又EF ⊥BC ，AE ∩EF=E ，∴BC ⊥平面AEF ，∴BC ⊥AF由垂面法可知，∠AFE 为二面角A-BC-D 的平面角．要点四、平面与平面垂直的定义与判定1.平面与平面垂直定义定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.表示方法：平面α与β垂直，记作αβ⊥.画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：2.平面与平面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号语言：,l l αβαβ⊥⊂⇒⊥图形语言：特征：线面垂直⇒面面垂直要点诠释：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可.题型讲解：类型一：直线与平面垂直的判定例：如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1上的任一点，M，N分别为AB，BC1的中点．（1）求证：MN∥平面DCC1；（2）试确定点D的位置，使得DC1⊥平面DBC．【总结升华】（1）判定线面垂直的方法：①利用线面垂直定义：一直线垂直于平面内的任意直线，则这条直线垂直于该平面．②用线面垂直判定定理：一直线与平面内的两相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直．③用线面垂直性质：两平行线之一垂直于平面，则另一条也必垂直于这个平面．（2）证明线线（或线面）垂直有时需多次运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，实现线线垂直与线面垂直的相互转化．类型二：直线和平面所成的角例．如图，三棱锥A-SBC中，∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC．求：直线AS与平面SBC所成的角．【总结升华】求直线与平面所成的角的步骤：作角，即作出或找到斜线与它的射影所成的角；证角，即证明所作的角即为所求；求角，求角或角的三角函数值．其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的突破口．类型三：二面角例：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-A 1C 1-B 1的正切值．【总结升华】求空间角如二面角、直线和平面所成的角等，都是找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值．举一反三：【变式1】已知Rt △ABC ，斜边BC α⊂，点A α∉，AO ⊥α，O 为垂足，∠ABO=30°，∠ACO=45°，求二面角A -BC -O 的大小．【总结升华】本题是用垂线法作二面角的平面角，求二面角的平面角关键是找出（或作出）平面角，再把平面角放到三角形中求解．类型四：平面与平面垂直的判定例、如图，在四棱锥P—ABCD中，PA=PB=PD=AB=BC=CD= DA=DB=2，E为PC的中点．（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：平面PBC⊥平面PDC．举一反三：【变式1】如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E 为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD．。

高中数学必修2第一章 6.1《直线与平面垂直的判定》教学设计

《直线与平面垂直的判定》教学设计一．教学内容课题：直线与平面垂直的判定（第一课时）教材：普通高中课程标准实验教科书北师大版《必修2》第一章第六节二．教学目标：⒈知识与技能：掌握直线与平面，并能进行简单应用。

⒉过程与方法：在合作探究中，逐步构建知识结构；通过直观感知，操作确认，提高学生的空间想象能力、几何直观能力，欣赏事物的能力，培养学生动手实践的能力。

⒊情感、态度与价值观：垂直关系在日常生活中有广泛的实例，通过本节的教学，可以让学生感受数学就在身边，提高学生的学习立体几何的兴趣，培养学生团队合作的精神。

4.数学思想：在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.三．教材分析：本节课是第六节“垂直关系”中“线面垂直”的第一课时，是立体几何的核心内容之一，在学生学习了平行关系之后，本节仍然以长方体为载体来学习，是对学生“直观感知，操作确认，归纳总结，初步运用”的认知过程的一个再强化。

四．学情分析：学生已经学习了直线和平面，平面和平面平行的判定及性质，学习了两条直线（共面或异面）相互垂直的位置关系，有了“通过观察，操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的空间想象能力，几何直观能力和推理论证能力。

五．教学的重点和难点：重点：线面垂直的定义，线面垂直的判定的定理难点：线线垂直于线面垂直的相互转化，应用六．教学准备多媒体课件：展示相关资料，图片，例题及习题。

学案：引导学生学习的资料，例题。

教具：学生实验需要，辅助展示相关情节。

观察我们教室及身边现有的物体，你能找出直线与平面“垂直”的例子吗？注：这里所有的“垂直”都是直观的，没有定义的。

然后通过“两条直线（共面或异面）相互垂直的位置关系”得出的直线也都垂直．师生活动：教师用实物演示三角板变化而移动的过程，引导学生得从线与线的垂直来定义线面垂直实际是把高维的问题转化为，判定下列说法的对错内的无数条直线都垂直，那么直线l和平面大胆引导学生去发现，敢于猜想b A l a l b ⎪⇒=⎬⎪⊥⎪⊥⎪⎭）和直线与平面垂直的定义相比八．板书设计教案说明一．数学本质、地位、作用分析：垂直关系式立几中的核心内容之一也是高考考查空间位置关系的重要方面，各种题型都有涉及，难度以简单，中档题为主，通常与其他问题综合考察，如角度、距离等。

北师大版高中数学必修二6.1垂直关系的判定课件(共20张PPT)

与影子所在直线的位置关系是什么？
随着时间的推移呢？
B1
A
B C1
、直线与平面垂直的定义
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，
我们说直线（2）BC 平面PAC l 与平面互相垂直，记作 l
例题:如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是
如图，圆O所在一平面为，AB是圆O 的直径，C 是圆周上一点,且PA AC, PA AB,求证：
问题2：（1）在阳光下观察直立于地面旗杆AB 及它在地面的影子BC，旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么？随着时间的推移呢？
A B
知识探究（一）：直线与平面垂直的定义
问问题题3：2：旗（杆1A）B与在地阳面光上下任观意察一直条立不于过地旗面杆旗底杆AB 部及B的它直在线地B面1C的1的影位子置BC又，是旗什杆么所？在直线
（2）BC 平面PAC
解：（ 1）
A
O
B
AB ,AC , 且 AB AC A
(2)C为圆O上一点C， AB为圆直径
P A A C , P A A B BC AC
PA 又 BC PA BC
由1得BCPA,又PAAC A
BC面PAC
知识小结
1.直线与平面垂直的概念
问题1：请同学们观察图片,说出双子塔与水面、葡萄架柱与地面是什么位置关系？知识探究（一）：直线与平面垂直的定义（1）在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么？随着时间的推移呢？
知识探究（一）：直线与平面垂直的定义
地面是什么位置关系？（1）在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么？随着时间的推移呢

高中数学北师大版必修二课件第1章 6.1 垂直关系的判定

成才之路 ·数学
北师大版 ·必修2
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
第一章
立体几何初步
第一章
§6 6.1 垂直关系
垂直关系的判定
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
英国发明家瓦特获得了蒸汽机专利后，从一个大学实验员
一跃成为波士顿 —瓦特公司的老板，还成为英国皇家学会的会员，因此引起了许多旧贵族的嫉妒和不满．据说，在一次皇家音乐会上，有个贵族嘲讽地对瓦特说：“乐队指挥手里拿的东西在物理学家眼里仅仅是根中正确的序号是________． [答案] ①③ [解析] ①正确；②中b与α可能平行，也可能在α内，故不正确；③易知正确．
5．在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E、F分别是棱AB，BC
的中点，O是AC、BD的交点，如图所示，则EF与平面BB1O的关系是________．
特别提示：应用判定定理证明平面与平面垂直的关键是：在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面．
1.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于
( ) A．平面OAB C．平面OBC [答案] C [解析] 由于OA⊥OB，OA⊥OC，且OB∩OC＝O，所以 OA⊥平面OBC. B．平面OAC D．平面ABC
2．下列结论正确的是(
)
A．若直线a与平面M内两条直线垂直，则a⊥M B．若直线a与平面M内的无数条直线垂直，则a⊥M C．若直线a与平面M内的一个三角形两边垂直，则a⊥M D．若直线a与平面M内的一平行四边形两边垂直，则 a⊥M [答案] C [解析] A中漏掉相交两字，B中无数条不等价于任何一
[思路分析] 利用直线与平面垂直的概念和判定定理解