高等数学统考模拟试卷5

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高考模拟数学试卷五月

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. 3/4B. -5/2C. √2D. 02. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图像与x轴的交点坐标为（）A. (1, 0), (3, 0)B. (0, 1), (4, 0)C. (1, -1), (3, -1)D. (0, -1), (4, -1)3. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC的值为（）A. √3/2B. 1/2C. √2/2D. 14. 已知等差数列{an}中，a1 = 2，d = 3，则第10项an的值为（）A. 29B. 30C. 31D. 325. 若log2x - log2(2x - 1) = 1，则x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 56. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2在区间[-2, 2]上的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 已知直线l的方程为x + 2y - 1 = 0，则直线l的斜率为（）A. 1/2B. -1/2C. -2D. 29. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点坐标为（）A. (2, 3)B. (3, 2)C. (-2, -3)D. (-3, -2)10. 若等比数列{an}中，a1 = 1，公比q = -2，则第5项an的值为（）A. 32B. -32C. 16D. -16二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(1) = 2，f(-1) = 0，则f(0) = _______。

12. 若sinθ = 1/2，且θ为锐角，则cosθ = _______。

高三数学五月模拟试卷答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 【答案】A解析：由题意知，函数的定义域为R，且当x<0时，f(x)=x+2，当x≥0时，f(x)=x-2。

因此，f(x)在x=0处不连续。

2. 【答案】C解析：由三角函数的性质知，sin(π/6) = 1/2，cos(π/6) = √3/2，tan(π/6) = √3/3。

代入选项计算，只有C选项满足条件。

3. 【答案】B解析：由二次函数的性质知，当a>0时，函数开口向上，且顶点为函数的最小值点。

计算得a=1，b=-4，c=4，顶点坐标为(2, 0)。

4. 【答案】D解析：由复数的性质知，若z是复数，则|z|^2 = z·z，其中z是z的共轭复数。

计算得|z|^2 = 4，即|z| = 2。

5. 【答案】C解析：由数列的性质知，若数列{an}是等差数列，则an = a1 + (n-1)d，其中d是公差。

计算得d = 2，a6 = a1 + 5d = 3 + 10 = 13。

6. 【答案】B解析：由排列组合的性质知，从n个不同元素中取出m个元素的组合数C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]，其中n!表示n的阶乘。

计算得C(10, 3) = 10! / [3!(10-3)!] = 120。

7. 【答案】A解析：由向量的性质知，若向量a和向量b垂直，则a·b = 0。

计算得a·b = 3×(-1) + 4×2 = 5 ≠ 0，因此a和b不垂直。

8. 【答案】C解析：由函数的性质知，若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在区间[a, b]上一定存在最大值和最小值。

计算得f(x)在区间[0, 2π]上连续，因此一定存在最大值和最小值。

解析：由概率的性质知，若事件A和事件B互斥，则P(A∪B) = P(A) + P(B)。

计算得P(A∪B) = 1/4 + 1/6 = 5/12。

10. 【答案】B解析：由数列的性质知，若数列{an}是等比数列，则an = a1·r^(n-1)，其中r是公比。

2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学(五)

一、单选题二、多选题1. 已知i是虚数单位，若是实数，则实数（）A ．2B ．-2C ．1D ．-12. 设，则直线与直线垂直的充分不必要条件是（）A．B．C ．或1D ．或3. 教育部为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到相应的地区任教．现将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，则（）A．甲学校没有女大学生的概率为B．甲学校至少有两名女大学生的概率为C．每所学校都有男大学生的概率为D ．乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为4.已知，若，且均不相等，现有如下说法：①；②；③.则正确说法的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．35. 如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．若篮球的半径为个单位长度，灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则此时椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．6. 设为实数，若直线与直线平行，则值为（）A．B ．1C．D ．27. 不等式的解集为（）A．B．C．D．8. 已知数列的各项均为实数，为其前n 项和，若对任意，都有，则下列说法正确的是（）A．为等差数列，为等比数列B ．为等比数列，为等差数列C．为等差数列，为等比数列D．为等比数列，为等差数列9.设等差数列的前项和是，若，则（）A．B．C．D．10.已知函数(即，)则（）A ．当时，是偶函数B ．在区间上是增函数C ．设最小值为，则D ．方程可能有2个解2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学（五）2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学（五）三、填空题四、解答题11. 甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）A ．事件B与事件相互独立B．C．D．12.已知函数（）有两个不同的极值点，则下列说法正确的是（）A ．若，则曲线的切线斜率不小于B．函数的单调递减区间为C ．实数a的取值范围为D．若函数的所有极值之和小于，则实数a的取值范围为13. 已知正实数满足，的值为____________.14. 经过原点的直线交椭圆于P ，Q 两点，点P 在第一象限，若点P 关于x 轴的对称点称为M ，且，直线与椭圆交于点B ，且满足，则椭圆的离心率为_______．15. 在三棱锥中，底面与侧面均是边长为2的等边三角形，且，分别是，的中点，当三棱锥的体积最大时，______.16. 随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨.为拉动消费，某市政府分批发行亿元政府消费券.为了解政府消费券使用人群的年龄结构情况，在发行完第一批政府消费券后，该市政府采用随机抽样的方法在全市市民中随机抽取了人，对是否使用过政府消费券的情况进行调查，部分结果如下表所示，其中年龄在岁及以下的人数占样本总数的，没使用过政府消费券的人数占样本总数的.使用过政府消费券没使用过政府消费券总计45岁及以下9045岁以上总计200（1）请将题中表格补充完整，并判断是否有的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关？（2）现从岁及以下的样本中按是否使用过政府消费券进行分层抽样，抽取人做进一步访谈，然后再从这人中随机抽取人填写调查问卷，则抽取的人中恰好一个使用过政府消费券，一个没使用过政府消费券的概率为多少？附：，其中.0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.02417. 已知函数．(1)判断的单调性；(2)若，且存在唯一的，使得，求证：．18. 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线的焦点为,点是第一象限内抛物线上的一点,点的坐标为（1）若,求点的坐标;（2）若为等腰直角三角形,且,求点的坐标;（3）弦经过点,过弦上一点作直线的垂线,垂足为点,求证:“直线与抛物线相切”的一个充要条件是“为弦的中点”.19. 2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩．北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动．某校体育组组织了一次冰雪运动趣味知识竞赛，100名喜爱冰雪运动的学生参赛，现将成绩制成如下频率分布表．学校计划对成绩前15名的参赛学生进行奖励，奖品为冬奥吉祥物冰墩墩玩偶．成绩分组频率0.080.260.420.180.06(1)试求众数及受奖励的分数线的估计值；(2)从受奖励的15名学生中按表中成绩分组利用分层抽样抽取5人．现从这5人中抽取2人，试求这2人成绩恰有一个不低于90分的概率．20. 国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识．为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．(1)求图中a的值；(2)求这200人年龄的平均数（同一组数据用该组所在区间的中点值作代表）和中位数（精确到0.1）；(3)现要从年龄在与的两组中按照人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中任选3人进行问卷调查，求从中至少抽到2人进行问卷调查的概率．21. 已知函数.(1)求函数的单调递减区间;(2)求在上的解.。

2024年高考数学全真模拟试卷五(新高考、新结构)(全解全析)

2024年高考数学全真模拟试卷五（新高考、新结构）一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．cos 50cos 70sin 50cos160︒︒+︒︒=（）A ．BC ．12-D ．12【答案】C【解析】cos50cos70sin 50cos160︒︒+︒︒()cos 50cos 70sin 50cos 9070=︒︒+︒︒+︒cos50cos70sin 50sin 70=︒︒-︒︒()1cos 5070cos1202=︒+︒=︒=-.故选C.2．如图，已知集合{}2log 1,{1}A xx B x x =<=<∣∣，则阴影部分表示的集合为（）A ．()1,2B ．[)1,2C ．(]0,1D ．()0,1【答案】B【解析】因为{}{}2log 102,{1}A x x x x B x x =<=<<=<∣∣∣，所以{}01A B xx =<< ∣，(){}12A A B x x ⋂=≤<∣ð，即阴影部分表示的集合为[)1,2，故选B3．已知443243210()x m a x a x a x a x a +=++++，若0123481++++=a a a a a ，则m 的取值可以为（）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】A【解析】令1x =，有()443210118m a a a a a ++++==+，即2m =或4m =-.故选A.4．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =，cos (2)cos a B c b A =-，则ABC 面积的最大值为（）A B ．2C ．94D ．92【答案】A【解析】因为cos (2)cos a B c b A =-，由正弦定理可得：sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-，即()sin 2sin cos A B C A +=，sin 2sin cos C C A =，又()0,πC ∈，sin 0C ≠，故1cos 2A =；由()0,πA ∈，解得π3A =；由余弦定理，结合3a =，可得2219cos 22b c A bc+-==，即2292b c bc bc +=+≥，解得9bc ≤，当且仅当3b c ==时取得等号；故ABC 的面积11sin 922S bc A bc ==⨯3b c ==时取得等号.即ABC 故选A.5．已知点()3,0A ，点P 是抛物线2:4C y x =上任一点，F 为抛物线C 的焦点，则1PA PF +的最小值为（）A B C D 【答案】A【解析】由题意得()1,0F ，抛物线C 的准线方程为=1x -，设(),P x y ，则1PF x =+，PA =12PAPF x =++．令2x μ+=，则2x μ=-，由0x ≥，得2μ≥，所以1PAPF ==+，令1λμ=，则102λ<≤，所以1PA PF =+，故当317λ=，即113x =时，1PA PF +取得最小值17．故选A ．6．如图，现有棱长为6cm 的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥1A EFG -，且,,E F G 分别为棱11111,,A A A B A D 靠近1A 的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为（）A ．3πcm 2B ．336πcmC ．3πcm 2D ．372πcm【答案】B【解析】由题意1113 2A E A F AG===，设点1A到平面EFG的距离为d，而2 EF EG FG=== 122EFGS=⨯=11E AGF A EFGV V--=，得113331322223⨯⨯⨯⨯=，解得2d=，棱长为6的正方体的正方体的内切球的半径为3，棱长为6的正方体体对角线的长度为因为3，所以所求球形体积最大时即为棱长为6的正方体的正方体的内切球，则该球形饰品的体积的最大值为334π336πcm3⨯=.故选B.7．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右顶点分别为,A B，左焦点为,F P为椭圆上一点，直线AP与直线x a=交于点,M PFB∠的角平分线与直线x a=交于点N，若PF AB⊥，MAB△的面积是NFB面积的72倍，则椭圆C的离心率是（）A．18B．17C．16D．13【答案】B【解析】根据题意可得()()(),0,,0,,0A aB a F c--，则2AB a=，FB a c=+，又PF AB⊥可得90PFB∠= ，设P点坐标为()0,P c y-，如下图所示：将()0,P c y-代入椭圆方程可得()220221c ya b-+=，解得2bya=；可得()22PAbbaka c a a c==--，直线PA方程为()()2by x aa a c=+-，联立()()2by x aa a cx a⎧=+⎪-⎨⎪=⎩，解得22,bM aa c⎛⎫⎪-⎝⎭，即()(),2M a a c+易知PFB∠的角平分线倾斜角为45 ，斜率为1k=，直线FN方程为y x c=-，联立y x cx a=+⎧⎨=⎩，解得(),N a a c+；所以MAB △的面积为()()1222MAB S AB BM a a c a a c ==⋅+=+ ，NFB 面积为()21122NFB S FB BN a c ==+ ；即()()()227172224a a c a c a c +=⨯+=+，即()724a a c =+，可得7a c =；所以离心率17c e a ==.故选B 8．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01g =-B ．若()12024f =，则20241()2024n f n ==∑C ．函数()21f x -的图像关于直线12x =对称D ．()()111g g +-=-【答案】D【解析】对于A ，令0x y ==，可得()()()()()000000f f g g f =-=，得()00f =，令0y =，1x =，代入已知等式得()()()()()11010f f g g f =-，可得()()()()110100f g g f ⎡⎤-=-=⎣⎦，结合()10f ≠得()100g -=，所以()01g =，故A 错误；对于D ，因为()01g =，令0x =，代入已知等式得()()()()()00f y f g y g f y -=-，将()00f =，()01g =代入上式，得()()f y f y -=-，所以函数()f x 为奇函数.令1x =，1y =-，代入已知等式，得()()()()()21111f f g g f =---，因为()()11f f -=-，所以()()()()2111f f g g =-+⎡⎤⎣⎦，又因为()()()221f f f =--=-，所以()()()()1111f f g g -=-+⎡⎤⎣⎦，因为()10f ≠，所以()()111g g +-=-，故D 正确；对于B ，分别令1y =-和1y =，代入已知等式，得以下两个等式：()()()()()111f x f x g g x f +=---，()()()()()111f x f x g g x f -=-，两式相加易得()()()11f x f x f x ++-=-，所以有()()()21f x f x f x ++=-+，即()()()12f x f x f x =-+-+，有()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x -+=++--+-+=，即()()12f x f x -=+，所以()f x 为周期函数，且周期为3，因为()12024f =，所以()22024f -=，所以()()222024f f =--=-，()()300f f ==，所以()()()1230f f f ++=，所以()()()()()202411232024n f n f f f f ==++++∑ ()()()()020********f f f f =++==，故B 错误；对于C ，取()2πsin3f x x =，()2πcos 3g x x =，满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-及()()210f f -=≠，所以()()2π21sin213f x x -=-，又()0sin 00f ==，所以函数()21f x -的图像不关于直线12x =对称，故C 错误；故选D.二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．在复平面内，复数112z =对应的点为A ，复数211z z =-对应的点为B ，下列说法正确的是（）A ．121z z ==B ．2121z z z ⋅=C ．向量AB对应的复数是1D ．12AB z z =- 【答案】AD【解析】因为112z =，所以212z =-，所以11,,,22A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，121z z ==，A 正确；22121111222z z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫⎢⎥⋅=--=--=- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 错误；由上可得()1,0AB =- ，对应复数为1-，C 错误；1211i i 12222z z ⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭，1AB = ，D 正确.故选AD10．已知二面角A CD B --的大小为2π3，AC CD ⊥，BD CD ⊥，且1CD =，2AC BD +=，则（）A ．ABD △是钝角三角形B ．异面直线AD 与BC 可能垂直C ．线段AB 长度的取值范围是⎡⎣D ．四面体A BCD -【答案】AC【解析】对于选项A ：由题意可知，0BD CD ⋅= ，二面角A CD B --的大小为2π3，AC CD ⊥，BD CD ⊥，所以2π,3CA DB = ，所以()2πcos 03DA DB DC CA DB CA DB CA DB ⋅=+⋅=⋅=< ，所以ADB ∠是钝角，即ABD △是钝角三角形，故A 正确；对于选项B ：由题意知，0BD CD ⋅= ，0AC CD ⋅=，2π,3CA DB = ，1CD = ，所以()()22πcos 103AD BC AC CD BD CD AC BD CD AC BD ⋅=+⋅-=⋅-=-< ，所以异面直线AD 与BC 不可能垂直，故B 错误；对于选项C ：由题意可知，0BD CD ⋅= ，0AC CD ⋅=，1CD = ，所以()222222AB AC CD DBAC CD DB AC DB =++=+++⋅ 221AC DB AC DB =+++()21AC DBAC DB =+-+．设AC x =，由2AC BD +=，得2BD x =-，其中02x <<，所以()2222514AB x x x =-+=-+ ，所以245AB ≤< ，则线段AB 长度的取值范围是⎡⎣，故C 正确；对于选项D ：如图，过点A 作平面BCD 的垂线，垂足为E ，则πsin3AE AC =⋅，由题意，可知四面体A BCD -的体积为11πsin 323CD BD AC ⨯⨯⨯⨯⨯21212212AC BD AC BD +⎛⎫=⋅≤⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当1AC BD ==时，等号成立，故D 错误．故选AC.11．已知函数()()212cos1tan 2xf x x =-+，则下列说法正确的是（）A ．π2是()f x 的一个周期B ．()f x 的值域是⎡⎣C ．若()f x 在区间π,4t ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最小值，没有最大值，则t 的取值范围是π0,4⎛⎤⎝⎦D ．若方程()f x a =在区间ππ,42⎛⎫- ⎪⎝⎭上有3个不同的实根()123123,,x x x x x x <<，则()()12332x x x f x ++的取值范围是π44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】BC【解析】因为()()()212cos1tan cos 1tan sin cos 2xf x x x x x x =-+=+=+，由题意可知：()f x 的定义域为π|π,2A x x k k ⎧⎫=≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，关于原点对称，且()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-+-=+=，可得()f x 为偶函数，对于选项A ：因为π0,2A A ∈∉，可知π2不是()f x 的一个周期，又因为()()()()πsin πcos πsin cos f x x x x x f x +=+++=+=，可知π是()f x 的一个周期，故A 错误；对于选项B ：当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则sin 0,cos 0x x ≥>，可得()πsin cos 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则ππ3π,444x ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，可知：当ππ44x +=，即0x =时，()f x ；当ππ42x +=，即π4x =时，()f x 取到最大值1；所以()f x ⎡∈⎣，结合偶函数和周期性可知()f x 的值域是⎡⎣，故B 正确；对于选项C ：因为π,4x t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由选项B 可知：π04t <≤，故C 正确；对于选项D ：方程()f x a =的实根即为()y f x =与y a =的交点横坐标，作出()f x 在ππ,42⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，如图所示：由题意结合图象可知：(12233πππ,0,,,242a x x x x x ⎛⎫∈+=+=∈ ⎪⎝⎭，则()()12333ππ2sin 24x x x f x x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，因为3ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则3ππ3π,424x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，可得3πsin ,142x ⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()12333πππ2sin ,2442x x x f x x ⎛⎫⎛⎫++=+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误；故选BC.三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.12．已知向量()1,0a = ，()1,1b = ，若a b λ+ 与b垂直，则λ=.【答案】12-【解析】因为()1,0a = ，()1,1b = ，所以()1,a b λλλ+=+ ，又a b λ+ 与b垂直，所以()10a b b λλλ+⋅=++= ，解得12λ=-.13．举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是23，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量X ，则X 的数学期望()E X =；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是．【答案】139；313【解析】依题意随机变量X 的可能取值为1、2、3，则()213P X ==；()22221339P X ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭；()2213139P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以随机变量X 的概率分布为X123P232919所以随机变量X 的期望为()221131233999E X =⨯+⨯+⨯=.记“第i 次举起该重量”分别为事件,1,2,3i A i =，“甲选手挑战成功”为事件B ，则()3123226()111327P B P A A A ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，()()()21212222()1339P A B P A A P A P A ⎛⎫===-⨯= ⎪⎝⎭,所以()()()223|13P A B P A B P B ==，所以甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率为313.14．已知对任意()12,0,x x ∈+∞，且当12x x <时，都有：()212112ln ln 11a x x x x x x -<+-，则a 的取值范围是.【答案】(],2-∞【解析】因为对任意()12,0,x x ∈+∞，且当12x x <时()212112ln ln 11a x x x x x x -<+-恒成立，所以21212112ln ln x x a x a x x x x x --<-+恒成立，所以21211211ln ln a x a x x x x x -<-+-恒成立，所以22112111ln ln a x x a x x x x -+<-+恒成立①，令()()1ln ,0,f x a x x x x∞=-+∈+，由①式可得()()21f x f x <，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，所以()2210x ax f x x-+'=-≤在()0,∞+上恒成立，所以210x ax -+≥在()0,∞+上恒成立，所以1a xx ≤+在()0,∞+上恒成立，又12x x +≥=，当且仅当1x x=，即1x =时取等号，2a ∴≤.三、解答题：本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.15．（13分）已如曲线()()22ln ,f x ax x x b a b =+-+∈R 在2x =处的切线与直线210x y ++=垂直.(1)求a 的值；(2)若()0f x ≥恒成立，求b 的取值范围.【解析】（1）由于210x y ++=的斜率为12-，所以()22f '=，（2分）又()221f x ax x '=+-,故()224122f a '=+-=，解得12a =。

2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学(五)(高频考点版)

一、单选题二、多选题三、填空题1. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，且与的一个交点坐标是，则椭圆的长轴长为（）A ．4B ．2C．D．2. 已知数列为等差数列，为等比数列，，则（）A．B．C．D．3. 已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：mm ）与时间t （单位：min ）的函数关系可表示为，则在时的瞬时降雨强度为（）mm/min.A．B．C ．20D ．4004. 已知向量，，且，，则的最小值为（）A．B．C．D．5. 在中，“角为锐角”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知为虚数单位，则复数所对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7. 下列四组数中，满足的有（）A ．，，B ．，，C ．，，D ．，，8. 已知，则（）A．B．C．D．9.如图，过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦、，若与面积之和的最小值为16，则抛物线的方程为______.10. 已知矩形，沿对角线将折起，使二面角的平面角的大小为，则与之间距离为___________.2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学（五）(高频考点版)2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学（五）(高频考点版)四、解答题11. 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，4)，则a 在b 方向上的投影向量的坐标为________．12.已知直角三角形的斜边长为，则该直角三角形面积的最大值是____________．13.已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线平行.（i ）求a 的值；（ii ）证明：函数在区间内有唯一极值点；（2）当时，证明：对任意，.14.如图是等腰直角三角形，，平面，，是的中点.（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值.15. 设函数.(1)求函数图象的对称中心；(2)在锐角中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若，，求面积的最大值.16. 已知一个行列的数阵，它的每一行都是等差数列，且第一行的首项和公差均为1，每一列都是公比为2的等比数列．记．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．。

高三数学第五次模拟考试试题文含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校2021～2021第一学期高三第五次模拟考试文科数学试题一、选择题〔5×12＝60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的，请将正确选项需要用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目之答案标号〕1.集合，，那么M∩N中的元素个数为〔〕A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】，因此M∩N中的元素个数为2，选C.2.假设复数满足，那么复数的一共轭复数在复平面上所对应点在〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】所对应点在第二象限，选B.3.AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，说明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良〞．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，那么以下表达不正确的选项是〔〕A.这12天中有6天空气质量为“优良〞B.这12天中空气HY的是4月9日C.这12天的AQI指数值的中位数是90D.从4日到9日，空气质量越来越好【答案】C【解析】由图可知,不大于100天有6日到11日,一共6天,所以A对,不选.越来越小,D对.所以选C.4..设函数，那么〔〕A.3B.6C.9D.12【答案】C【解析】.应选C.视频5.设等差数列的前n项和为，假设是方程的两根，那么=〔〕A.9B.81C.5D.45【答案】B【解析】，选B.6.“〞是“直线与直线垂直〞的( )A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由直线与直线垂直得所以“〞是“直线与直线垂直〞的充分而不必要条件，选B.7.一空间几何体的三视图如下列图,那么该几何体的体积为()A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由三视图知几何体是一个简单的组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，对角线长是，侧棱长，高是，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是，高是，所以组合体的体积是，应选C.考点：几何体的三视图及体积的计算.【方法点晴】此题主要考察了几何体的三视图及其体积的计算，着重考察了推理和运算才能及空间想象才能，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规那么“长对正、宽相等、齐〞的原那么，复原出原几何体的形状，此题的解答中根据三视图得出上面一个四棱锥、下面是一个圆柱组成的组合体，得到几何体的数量关系是解答的关键，属于根底题.视频8.直线恒过定点A，点A也在直线上，其中均为正数，那么的最小值为〔〕A.2B.4C.6D.8【答案】D【解析】试题分析：由题；变形为，所以过定点，代入直线得，当且仅当时等号成立，获得最小值8考点：直线过定点问题及根本不等式的运用.9.函数的图像大致是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】，所以当时，函数单调递增，舍去B;当时，函数单调递减，舍去A;当时，函数单调递减且，舍去D;选C...................10.在递减等差数列中，，假设，那么数列的前n项和的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】设公差为，所以由，，得〔正舍〕，即，因为，所以数列的前项和等于，选D.点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间假设干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或者.11.在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，平面BCD，且AB=BC=CD，那么异面直线AC与BD所成角的余弦值为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，可补形成正方体如以下列图：所以异面直线与所成角就是与所以角，而为直角三角形，所以所成角为，。

2023年普通高等学校招生考试模拟试题数学五(可编辑可打印)

5i 2-i,5,2023年普通高等学校招生考试模拟试题数学(五)本试卷共4 页,22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知x=1+i则复数x的虚部为A.-3B.- 1C.1D.32.已知集合A=(r l r=3k-2,k∈Z),B=(r l log2r△4),则A n B=A.( 7,10,13)B.(4,7,10,13)C.( 1,4,7,10,13)D.( 1,4,7,10,13,16)3.若双曲线-=1 的一条渐近线与圆r2+2r+y2=3相交于A,B两点,且l AB l=8^则m=A.2B.4C.5D.81 15.若函数f(r)=(ar+b)e r在点(0,f(0)处的切线方程为y=r+3,则f(r)的最大值为A.^B.2^C.eD.2e6.月牙泉 ,古称沙井 ,俗名药泉 ,自汉朝起即为"敦煌八景,之一,得名"月泉晓澈,,因其形酷似一弯新月而得名.如图所示,某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧,两段圆弧可以看成是/ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分,若<ACB=,AB的长约为20^,则该月牙泉模型的面积约为A.300^-50rB.120r+150^C.100r+180^D.120r+180^7.甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若S S乙甲=VV乙甲=34,A. B.C. D.3r8.设a=99ln97,b=98ln98,c=97ln99,则A.a△b△cB.c△b△aC.c△a△bD.b△a△c二、选择题:本题共4 小题,每小题5 分,共20分。

全国大联考2025届高三第五次模拟考试数学试卷含解析

全国大联考2025届高三第五次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若，则（） A ． B ． C ． D ．2．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（） A ．10 B ．3 C ．5D ．2 3．已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（）A ．82B ．8C ．42D ．44．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( )A ．0B ．2πC ．πD ．32π 5．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（）A ．16B ．12C ．8D ．6 6．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（）A 3B ．33C ．32D 37．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（） A ．c b a << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c << 8．已知变量的几组取值如下表：若y 与x 线性相关，且ˆ0.8yx a =+，则实数a =（） A ．74 B ．114 C ．94 D ．1349．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．2B ．32C ．2D ．1210．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3OM ON OP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．311．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若PA AB =，则球O 的表面积为（） A ．163π B ．94π C ．6πD ．9π 12．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( )A ．5B ．15CD ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023届高考模拟练习(五)数学试题

2023年高考模拟练习（四）数学试卷第I 卷（选择题）一、单选题（本题共8道小题每小题5分共40分）1.设集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0} B ＝{x |log 2x ＞1} 则A ∪B ＝（）A ．（﹣1 2）B ．（﹣1 3）C ．（2 3）D ．（﹣1 +∞）2.已知复数z 满足：z (2＋i )＝12－i 则|z |＝A.14B.22C.12 D.323.3D 打印属于快速成形技术的一种它是一种以数字模型文件为基础运用粉末状金属或塑料等可粘合材料通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型现正用于一些产品的直接制造特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上四个顶点在圆锥底面上）圆锥底面直径为102cm 母线与底面所成角的正切值为2．打印所用原料密度为1 g ／cm 3 不考虑打印损耗制作该模型所需原料的质量约为（取π≈3．14 精确到0．1）A ．609．4 gB ．447．3 gC ．398．3 gD ．357．3 g4.若函数f (x )=cos(x －6π) +cos(x +6π)+sin x +m 的最大值为1 则实数m ＝（）A ．1B ．﹣1C ．3D ．﹣35.如图有甲、乙、丙三个盘子和放在甲盘子中的四块大小不相同的饼按下列规则把饼从甲盘全部移到乙盘中：①每次只能移动一块饼；②较大的饼不能放在较小的饼上面则最少需要移动的次数为（）A ．7B ．8C ．15D ．166.2021年5月15日我国首次火星探测任务天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆在火星上首次留下中国印迹极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情．某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加该市举行的“我爱火星”知识竞赛已知甲同学被选出则乙同学也被选出的概率为（）A ．35B ．34C ．45D ．477.已知椭圆E ：221164x y +=的左右顶点分别为1A 2A 圆1O 的方程为()2231124x y ⎛++-= ⎝⎭动点P 在曲线E 上运动动点Q 在圆1O 上运动若12A A P △的面积为43记PQ 的最大值和最小值分别为m 和n 则m n +的值为（） 7 B. 7 C. 37 D. 478.若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线则实数a 的最大值为（） A. e 2 B. e e D. 2e二、多选题（本题共4道小题每小题5分共20分少选得2分多选不得分）9.下列说法正确的是（）A ．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本则个体 m 被抽到的概率是0.1B ．已知一组数据1 2 m 6 7的平均数为4 则这组数据的方差是5C ．数据27 12 14 30 15 17 19 23的第70百分位数是23D ．若样本数据1x 2x … 10x 的标准差为8 则数据121x - 221x - … 1021x -的标准差为32 10.（多选题）已知函数()()3sin 2cos20f x x x ωωω+>的零点构成一个公差为2π的等差数列把f (x )的图象沿x 轴向右平移3π个单位得到函数g (x )的图象则（） A ．g (x )在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭是g (x )的一个对称中心 C ．g (x )是奇函数D ．g (x )在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,2] 11.（多选题）已知点1,12P ⎛⎫- ⎪⎝⎭ O 为坐标原点 A 、B 为曲线2:2C y x =上的两点 F 为其焦点．下列说法正确的是（）．A ．点F 的坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．若P 为线段AB 的中点则直线AB 的斜率为-2C ．若直线AB 过点F 且PO 是AF 与BF 的等比中项则10AB =D ．若直线AB 过点F 曲线C 在点A 处的切线为1l 在点B 处的切线为2l 则12l l ⊥ 12.（多选题）已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1 点P 是线段BD 1上（不含端点）的任意一点点E 是线段A 1B 的中点点F 是平面ABCD 内一点则下面结论中正确的有（）A. CD ∥平面PBC 1B. 以A1为球心､2为半径的球面与该正方体侧面DCC1D1的交线长是22C.|EP|+|PF|的最小值是32D. |EP|+|PF|的最小值是3第II 卷（非选择题）三、填空题（本题共4道小题每小题5分共20分）13.已知a b 是单位向量若()2a b b -⊥ 则a b 的夹角为______．14.已知圆M ：x 2＋y 2-12x -14y ＋60＝0 圆N 与x 轴相切与圆M 外切且圆心N 在直线x ＝6上则圆N 的标准方程为________． 15.设0021a ,b ,a -b >>=,则22(4)(1)a b ab++的最小值为________. 16.已知函数()()222x x x x f x a a e e ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭有三个不同的零点1x 2x 3x 其中123x x x << 则3212312111x x x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为________.四、解答题（本题共6道小题,第17题10分,其余每题题12分共70分）17.(本小题满分10分)在等比数列{a n }中 123,,a a a 分别是下表第一二三行中的某一个数且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一列3 2 3 第二列4 65 第三列9 12 8（1）写出123,,a a a 并求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足2(1)log n n n n b a a =+- 求数列{b n }的前n 项和S n .18.(本小题满分12分)如图经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB AC根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P分别在两条公路边上建两个仓库M N（异于村庄A）要求PM＝PN＝MN＝2（单位：千米）．记∠AMN＝θ．（1）将AN AM用含θ的关系式表示出来；（2）如何设计（即AN AM为多长时）使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？19.(本小题满分12分)如图在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧面BB1C1C是边长为2的菱形AB＝3∠CBB1＝60°且∠ABB1＝∠ABC．（Ⅰ）证明：AB⊥CB1；（Ⅱ）若二面角A﹣CB1﹣B的平面角为60°求CA1与平面ACB1所成角的正弦值．20.(本小题满分12分)足球比赛全场比赛时间为90分钟在90分钟结束时成绩持平若该场比赛需要决出胜负需进行30分钟的加时赛若加时赛仍是平局则采取“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员双方轮流踢点球累计进球个数多者胜：②如果在踢满5轮前一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数则不需再踢譬如：第4轮结束时双方进球数比为2：0 则不需再踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平则采用“突然死亡法”决出胜负即从第6轮起双方每轮各派1人罚点球若均进球或均不进球则继续下一轮直到出现一方进球另一方不进球的情况进球方胜.（1）已知小明在点球训练中射进点球的概率是35.在一次赛前训练中小明射了3次点球且每次射点球互不影响记X为射进点球的次数求X的分布列及数学期望.（2）现有甲、乙两校队在淘汰赛中（需要分出胜负）相遇 120分钟比赛后双方仍旧打平须互罚点球决出胜负.设甲队每名球员射进点球的概率为35乙队每名球员射进点球的概率为12.每轮点球中进球与否互不影响各轮结果也互不影响.求在第4轮结束时甲队进了3个球并刚好胜出的概率.21.(本小题满分12分)已知F1(－1 0) F2(1 0)是椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点点P是C的上顶点且直线PF23(1)求椭圆C的方程；(2)过点F2作两条互相垂直的直线l1l2 . 若l1与C交于A B两点l2与C交于D E两点求|AB|＋|DE|的取值范围.22.(本小题满分12分)设函数()e x ax f x =a ≠0 a ∈R ．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＝1且m ∈（0 ln2）时函数()()1ln x m x x F x f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=（x ＞0）证明：F （x ）存在极小值点x 0 且m ＋ln x 0＜0．。

2022年高考数学模拟试题（五）

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题；每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知z （1+i ）=2-i （其中i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知全集U=Z ，集合A =x x =3n -1，n ∈Z {}，B =x x >3，x ∈Z {}，则A ∩B ）中元素的个数为A.4 B.3C.2D.13.已知f （x ）是定义在R 上的最小正周期为4的奇函数，且f （-1）=1，则f （2021）=A.1B.-1C.4D.-44.（x +1x2）10的展开式中x 的系数为A.30B.45C.90D.1205.我国在2020査年开展了第七次全国人口普，并于2021年5月11日公布了结果.自新中国成立以査来，我国共进行了七次全国人口普，下图为我国历査次全国人口普人口性别构成及总人口性别比（以女性为100，男性对女性的比例）统计图，则下列说法错误的是A.近三次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势B.我国历次全国人口普查总人口数呈逐次递增C.第五次全国人口普查时，我国总人口数已经突破12亿D.第七次人口普查时，我国总人口性别比最高6.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =45毅，a =3，则a -2b +4c sin A -2sin B +4sin C=A.229√3 B.32√C.83√3D.263√37.函数f （x ）=x 2-sin x 在［-2，2］上的图象大致为332x-2yyOO2x -2A B◇刘勇yy33OO2x -22x-2C D8.“log 2a >log 2b +1”是“2a >2b ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为3A.18πB.22πC.42πD.44π10.2021年1月20日0时25分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功将天通一号03星发射升空.卫星顺利进入预定轨道，任务获得圆满成功，中国航天发射迎来2021年开门红.若天通一号03星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R ，若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是125R ，15R ，则天通一号03星运行轨道（椭圆）的离心率是A.15B.19C.111D.11411.已知函数f （x ）=cos （ωx+φ）（ω>1，ω∈Z ，φ<π2）在区间［π3，3π4］上是单调函数，且图象过点（π12，0），则f （π4）=A.-3√2 B.3√2C.-12D.1212.若对任意的x 1，x 2∈（-∞，t ），且x 1>x 2，都有x 1e x 2-x 2e x 1e x 1-e x2>2，则实数t 的最大值为A.-2B.-1C.0D.1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考数学模拟试卷5

高考数学模拟试卷5本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.供150分.测试用时120分钟.第一卷〔选择题共60分〕一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分．在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的．1．集合},12|{Z a a m m M ∈-==与},14|{Z b b n n N ∈±==之间的关系是〔A 〕M N 〔B 〕MN 〔C 〕=M N 〔D 〕M ∩φ=N2．一个正四棱锥的中截面面积是Q ,那么它的底面边长是〔A 〕Q 4 〔B 〕Q 2 〔C 〕Q 2 〔D 〕Q 3．函数x x y cos sin 3+=,]6,6[ππ-∈x 的值域是〔A 〕]3,3[- 〔B 〕]2,2[- 〔C 〕]2,0[ 〔D 〕]3,0[4．直线m 、n 和平面α,那么m ∥n 的一个必要但不充分条件是〔A 〕m ∥α且n ∥α 〔B 〕m α⊥且⊥n α〔C 〕m 、n 与α成等角〔D 〕m ∥α且n α⊂5．0()(>=a a x f x 且)1≠a ,0)21(1<-f ,那么)1(+=x f y 的图象是 y y y yx x x x〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕6．函数x x y 33-=,那么它的单调区间是〔A 〕)0,(-∞ 〔B 〕),0(+∞ 〔C 〕)1,1(- 〔D 〕)1,(--∞及),1(+∞ 7．假设向量a 、b 的坐标满足a )1,2(--=+b ,a )3,4(-=-b ,那么a ·b 等于〔A 〕5- 〔B 〕5 〔C 〕7 〔D 〕1-8．圆02422=++-+c y x y x 与y 轴交于A 、B 两点,圆心为P ,假设=∠APB ︒120,那么实数c 等于〔A 〕1 〔B 〕11- 〔C 〕9 〔D 〕119．一个项数是偶数的等比数列,它的偶数项的和是奇数项和的2倍,又它的首项为1,且中间两项的和为24,那么此等比数列的项数为〔A 〕12 〔B 〕10 〔C 〕8 〔D 〕610．直线a b y x (0cos =++α、)R b ∈的倾斜角的取值范围是〔A 〕),0[π 〔B 〕]4,0[π∪),43[ππ 〔C 〕)43,4[ππ 〔D 〕]2,4[ππ∪]43,2(ππ 11．设函数x x f 6sin)(π=,那么)2003()3()2()1(f f f f ++++ 的值等于〔A 〕21 〔B 〕23 〔C 〕231+ 〔D 〕0 12．由等式223144322314)1()1()1(+++++=++++x b x b x a x a x a x a x413)1(b x b +++定义),,,(),,,(43214321b b b b a a a a f =,那么),1,2,3,4(f 等于〔A 〕)4,3,2,1( 〔B 〕)0,4,3,0( 〔C 〕)2,2,0,1(-- 〔D 〕)1,4,3,0(--第二卷〔非选择题共90分〕二、填空题：本大题共4小题,每题4分,共16分．把答案填在题中横线上．13．53)tan(=+βα,31)3tan(=-πβ,那么)3tan(πα+的值是． 14．抛物线)1(2+=x a y 的准线方程是3-=x ,那么抛物线的焦点坐标是 .15．停车场划出一排6个停车位置,今有3辆不同型号的车需要停放,假设要求剩余的3个空车位连在一起,那么不同的停车方法数为．16．设函数||)(x x f =·c bx x ++,给出以下命题:①0=b ,0>c 时,0)(=x f 只有一个实数根；②0=c 时,)(x f y =是奇函数；③)(x f y =的图象关于点),0(c 对称；④方程0)(=x f 至多有2个实数根．上述命题中的所有正确命题的序号是．三、解做题：本大题共6小题,共74分,解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤．17．〔本小题总分值12分〕1<a ,解关于x 的不等式12>-x ax ． 18．函数)(log )(2m x x f +=,且)0(f 、)2(f 、)6(f 成等差数列．〔1〕求实数m 的值；〔2〕假设a 、b 、c 是两两不相等的正数,且a 、b 、c 成等比数列,试判断)()(c f a f +与)(2b f 的大小关系,并证实你的结论．19．〔本小题总分值12分〕在某次测试中,甲、乙、丙三人合格〔互不影响〕的概率分别是52,43,31, 测试结束后,最容易出现几人合格的情况？20．〔本小题总分值12分〕如图,在多面体ABCDE 中,⊥AE 面ABC ,BD ∥AE ,且BD BC AB AC ===2=,1=AE ,F 为CD 中点．〔1〕求证：⊥EF 面BCD ；〔2〕求多面体ABCDE 的体积；〔3〕求面CDE 与面ABDE 所成的二面角的余弦值．21．〔本小题总分值12分〕某村2022年底全村共有1000人,全年工农业总产值为840万元．〔1〕假设从2022年起该村每年的工农业总产值较上年增加14 万元,每年人口较上年净增数相同,要使该村人均产值年年都增长,那么该村每年人口的净增不超过多少人？〔2〕假设从2022年起该村每年工农业总产值较上年增长%10,每年人口较上年净增10人,那么到2022年该村能否实现年人均产值较2022年翻一番〔增加一倍〕的经济开展目标？22．〔本小题总分值14分〕动点P 与双曲线13222=-y x 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值,且 21cos PF F ∠的最小值为91-．〔1〕求动点P 的轨迹方程；〔2〕假设)3,0(D ,M 、N 在动点P 的轨迹上且DN DM λ=,求实数λ的取值范围．答案高三数学试卷参考答案一、选择题：CBDCBD ABCBDD 〔每题5分〕A B C ED F二、填空题：13．92 14．)0,1( 15．24 16．①②③ 三、解做题:17．解：不等式12>-x ax 可化为022)1(>-+-x x a ．………………………………………2分 ∵1<a ,∴01<-a ,故原不等式可化为0212<---x a x ,………………………… 4分故当10<<a 时,原不等式的解集为}122|{ax x -<<；………………………… 7分当0=a 时,原不等式的解集为φ；…………………………………………………… 9分故当0<a 时,原不等式的解集为}212|{<<-x ax ．………………………………12分 18.解: 解：⑴由)0(f 、)2(f 、)6(f 成等差数列,可得)2(log 22m +m 2log =)6(log 2m ++,…………………………………………2分即)6()2(2+=+m m m 且0>m ,解得2=m ．………………………………………4分⑵由)2(log )(2+=x x f ,可得222)2(log )2(log 2)(2+=+=b b b f , )]2)(2[(log )2(log )2(log )()(222++=+++=+c a c a c f a f ,…………………7分∵a 、b 、c 成等比数列,∴ac b =2,…………………………………………………8分又a 、b 、c 是两两不相等的正数, 故22)2(44444)(2)2)(2(+=++=++>+++=++b b b ac ac c a ac c a ,∴>++)]2)(2[(log 2c a 22)2(log +b ,即)(2)()(b f c f a f >+．………………12分19. 按以下四种情况计算概率,概率最大的就是最容易出现的情况.⑴三人都合格的概率1013143521=⨯⨯=P ………………………………………………2分 ⑵三人都不合格的概率为101)311()431()521(2=-⨯-⨯-=P ……………………… 4分 ⑶恰有两人合格的概率60233143)521(31)431(52)311(43523=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=P …………………………7分 ⑷恰有一人合格的概率6025602310110114=---=P ………………………………… 10分由此可知,最容易出现恰有１人合格的情况……………………………………………12分20. 解：〔1〕取BC 中点G ,连FG ,AG ．∵⊥AE 面ABC ,BD ∥AE ,∴⊥BD 面ABC ,又⊂AG 面ABC ,∴AG BD ⊥,又AB AC =,G 是BC 中点,∴BC AG ⊥,∴AG ⊥平面BCD ,∵F 是CD 的中点且2=BD ,∴FG ∥BD 且121==BD FG ,∴FG ∥AE , 又1=AE ,∴FG AE =,故四边形AEFG 是平行四边形,从而EF ∥AG ,∴⊥EF 面BCD ．…………………………………………………………………………4分〔2〕设AB 中点为H ,那么由2===BC AB AC 可得AB CH ⊥且3=CH ,又∵BD ∥AE ,∴BD 与AE 共面,又⊥AE 面ABC ,故平面⊥ABDE 平面ABC ,∴⊥CH 平面ABDE ,即CH 为四棱锥ABDE C -的高．故ABDE ABDE C S V 31=-·33]2)21(21[31=⨯⨯+⨯=CH ．……………………… 8分〔3〕过C 作DE CK ⊥于K ,连接KH ,由三垂线定理的逆定理得DE KH ⊥, ∴HKC ∠为二面角B DE C --的平面角. 易知5=EC ,5=DE ,22=CD , 由CK S BCE ⨯⨯=⨯⨯=∆5213)22(21, 可得3052=CK ,在CHK Rt ∆中, 410sin ==∠CK CH HKC ,故46cos =∠HKC , ∴面CDE 与面ABDE 所成的二面角的余弦值为46． ………………………………12分 21．解：〔1〕设从2022年起的第n 年〔2022年为第一年〕,该村的人均产值为n a , 每年人口较上年净增数为)0(>t t ,那么E D AC B FG H G)1(1000)1(14840-+-+=n t n a n ,……………………… 3分那么)10001000601(14)1(1000)1(14840tnt t t n t n a n +--+=-+-+=, …………………………………5分当且仅当0100060<-t ,即350<t 时,n a 随着n 的增大而增大, 故要使该村人均产值年年都增长,那么该村每年人口的净增不超过16人．…………７分〔另法：由1+<n n a a 恒成立求解〕〔2〕由2022年该村的人均产值为84.01000840==a 万元; 2022年该村的人均产值为10010001.184010+⨯=b 万元,……………………………………… 9分从而 +⨯+⨯+=+==01.01.01)1.01(1.1291999C C ab 226.201.01.012919>=⨯+⨯+>C C ,故到2022年该村能够实现年人均产值较2022年翻一番的经济开展目标．………… 12分22．解：(1)由题意52=c ,设a PF PF 2||||21=+〔5>a 〕,由余弦定理得1||||102||||2||||||cos 21221221222121-⋅-=⋅-+=∠PF PF a PF PF F F PF PF PF F ．……………… 4分又||1PF ·22212)2||||(||a PF PF PF =+≤,当且仅当||||21PF PF =时,||1PF ·||2PF 取最大值, 此时21cos PF F ∠取最小值110222--a a ,令91110222-=--a a ,解得 92=a ,5=c ,∴42=b ,故所求P 的轨迹方程为14922=+y x ．………… ７分〔2〕设),(t s N ,),(y x M ,那么由DN DM λ=,可得)3,()3,(-=-t s y x λ,故)3(3,-+==t y s x λλ,………………………………… 9分∵M 、N 在动点P 的轨迹上,故14922=+t s 且14)33(9)(22=-++λλλt s , 消去s 可得222214)33(λλλλ-=--+t t ,解得λλ6513-=t ,…………………… 12分又2||≤t ,∴2|6513|≤-λλ,解得551≤≤λ, 故实数λ的取值范围是]5,51[．………………………………………………………… 14分〔其他解法及评分标准略〕。

2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学(五)(2)

一、单选题二、多选题1. 已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若，则（）A ．0B ．4C．D．2. 已知函数是奇函数，且当时，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．3.已知函数（，，，）的部分图象如图所示，令，方程的两个不同的解分别为，，则的最小值为（）A．B．C．D．4. 已知集合，则（）A ．B．C．D．5. 已知直线与平行，则实数a 的值是（）A．B ．2C．D ．-26. 已知集合，，则（）A．B．C．D．7.已知集合，则（）A．B．C．D．8. 已知集合，则（）A．B．C ．或D ．或9. 已知定义在的函数满足，且，当时，，则（）A．B．是偶函数C ．在上单调递减，在上单调递增D ．不等式的解集是10.某校研究性学习小组根据某市居民人均消费支出的统计数据，制作年人均消费支出条形图（单位：元）和年人均消费支出饼图（如图）.已知年居民人均消费总支出比年居民人均消费总支出提高，则下列结论正确的是（）2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学（五）(2)2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学（五）(2)三、填空题A ．年的人均衣食支出金额比年的人均衣食支出金额高B ．年除医疗以外的人均消费支出金额等于年的人均消费总支出金额C ．年的人均文教支出比例比年的人均文教支出比例有提高D ．年人均各项消费支出中，“其他”消费支出的年增长率最低11.如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点P 在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，则（）A ．CP长度的最小值为B ．存在点P，使得C ．存在点P ，存在点，使得D ．所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为12. 某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计，结果如下：月份编号x 12345销量y （万件）5096142185227若与线性相关，其线性回归方程为，则下列说法正确的是（）A．线性回归方程必过B．C．相关系数D ．6月份的服装销量一定为272.9万件13. 对于抛物线，设直线过的焦点，且与的对称轴的夹角为.若被所截得的弦长为，则抛物线的焦点到顶点的距离为________.14. 如图，边长为的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点、分别在正方形对角线和上移动，且.则下列结论：①长度的最小值为；②当时，与相交；③始终与平面平行；四、解答题④当时，为直二面角．正确的序号是__________．15. 已知，则___________.16. 已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若对任意，恒成立，求a 的取值范围．17. 已知直三棱柱如图所示，其中，，点D 在线段上（不含端点位置）.(1)若，求点到平面的距离；(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.18. 的内角，，的对边分别是，，，设．(1)若，求；(2)若，求的面积的最大值．19. 在某市的一次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，，第六组，画出频率分布直方图如图所示.(1)求第三组的频率；(2)估计该市学生这次测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第25百分位数.20. 已知直三棱柱中，D 为的中点．(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；①；②；③．(2)若，，，求直线与平面ABD 所成角的正弦值．21. 已知椭圆的左､右焦点分别为.(1)以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点，求椭圆的离心率；(2)已知，设点是椭圆上一点，且位于轴的上方，若是等腰三角形，求点的坐标；(3)已知，过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作，若动直线也过点且与椭圆交于两点（均不同于），是否存在定直线，使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成等差数列？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由.。

高三数学模拟试卷五

高三数学模拟试卷五第一部分：选择题1. 题目：已知向量a = (3, -2, 1) 和 b = (1, 4, -3)，则 a · b 等于多少？解析：向量 a · b 的结果等于 a 的 x 分量与 b 的 x 分量的乘积再加上a 的 y 分量与b 的 y 分量的乘积再加上 a 的 z 分量与 b 的 z 分量的乘积。

所以，可以计算得到：a · b = 3 × 1 + (-2) × 4 + 1 × (-3) = 3 - 8 - 3 = -8。

2. 题目：已知三角形 ABC，AB = 3 cm，AC = 4 cm，BC = 5 cm，则△ABC 的面积等于多少？解析：由海伦公式可知，三角形的面积S = √（p × (p - a) × (p - b) ×(p - c)），其中 p 为半周长，a、b、c 为三角形的三条边。

所以，根据已知条件，可以计算得到 p = (3 + 4 + 5) / 2 = 6，代入公式计算得：S =√（6 × (6 - 3) × (6 - 4) × (6 - 5)）= √（6 × 3 × 2 × 1）= √36 = 6。

3. 题目：若 2x + 3y = 8，4x + ky = 11，则 k 的值等于多少？解析：可以使用消元法解这个方程组。

首先，将第一个方程的两边同时乘以 2，得到 4x + 6y = 16。

然后，将第二个方程的两边同时乘以3，得到 12x + 3ky = 33。

接下来，将两个方程相减，得到 (4x + 6y) - (12x + 3ky) = 16 - 33，化简得到 -8x + (6 - 3k)y = -17。

由于这个方程对于任意 x 和 y 都成立，所以 -8x + (6 - 3k)y = -17 的系数必须都为 0，即-8 = 0 和 6 - 3k = 0。

河北省2023届高三模拟(五)数学试题

一、单选题二、多选题1. 已知A ．B ．C是双曲线上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F，若且，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．2. 达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：(其中).根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）A．B．C．D．3. 设，，，则a ，b ，c 的大小关系为（）A．B．C．D．4.下列函数中，与函数的值域相同的函数为（）A．B．C．D．5.如图，在正方体中，为线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是（）A．B．C．D．6. 已知函数，若恒成立．则a 的取值范围为（）A．B．C．D．7. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．8. 已知，则的值为（）A ．3B ．－3C．D．9. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）河北省2023届高三模拟（五）数学试题三、填空题四、填空题五、填空题A ．表面积为的球体B．体积为的正四面体C ．体积为的圆柱体D ．底面直径为，高为的圆锥10. 已知数列满足：，设，数列的前项和为，则下列选项正确的是（）A．数列单调递增，数列单调递减B．C．D．11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数），对于函数以下结论正确的是（）A．是函数为偶函数的充分不必要条件；B ．是函数为奇函数的充要条件；C ．如果，那么为单调函数；D．如果，那么函数存在极值点.12. 已知直线与交于A ，B 两点，写出满足“面积为”的m 的一个值______．13.设等差数列的前n 项和为，已知，，则_______．14.已知随机变量，且，则______.15. 已知集合，集合，则=________；=________.16.已知数列的前项和为，且，记，则________；若数列满足，则的最小值是________．17. 阅读下面题目及其解答过程．．）求证：函数是偶函数；）求函数的单调递增区间．的定义域是，都有又因为是偶函数．时，，在区间上单调递减．时，时， ④ ，在区间 ⑤ 上单调递增．的单调递增区间是．以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出正确的选项，并填写在相应的横线上（只需填写“A”或“B”）．六、解答题七、解答题八、解答题九、解答题空格序号选项①（A）（B）②（A）（B）③（A ）2（B）④（A）（B）⑤（A）（B）18. 已知为锐角，，求的值.19. 如图1所示是一种作图工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ，N ，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D 为旋杆上的一点且在M ，N两点之间，且．当滑标在滑槽内做往复运动，滑标在滑槽内随之运动时，将笔尖放置于处进行作图，当和时分别得到曲线和．如图2所示，设与交于点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．(1)求曲线和的方程；(2)已知直线与曲线相切，且与曲线交于A ，B 两点，记的面积为，证明：．20. 如图，四棱锥的底面为正方形， E 为PB 的中点.证明：平面.21. 足球比赛全场比赛时间为90分钟，在90分钟结束时成绩持平，若该场比赛需要决出胜负，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜：②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为2：0，则不需再踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜.(1)已知小明在点球训练中射进点球的概率是.在一次赛前训练中，小明射了3次点球，且每次射点球互不影响，记X 为射进点球的次数，求X 的分布列及数学期望.(2)现有甲、乙两校队在淘汰赛中（需要分出胜负）相遇，120分钟比赛后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负.设甲队每名球员射进点球的概率为，乙队每名球员射进点球的概率为.每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.求在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出的概率.十、解答题22. 世界卫生组织建议成人每周进行至5小时的中等强度运动.已知社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，且三个社区的居民人数之比为.(1)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；(2)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且.现从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率.。

2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学(五)

一、单选题二、多选题1. 已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，.，若点M 为的中点，则下列说法正确的个数为（）（1）平面（2）四棱锥的体积为12（3）平面（4）四棱锥外接球的表面积为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，，a n ，6S n 成等差数列，若t ＝a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1，则（）A．B．C．D．3. 设双曲线C:的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为A ．2B．C．D ．44. 如图，点在半径为的上运动，若，则的最大值为（）A．B．C．D．5. 设，，，若，则（）A．B．C ．2D ．06. i是虚数单位，（）A．B．C．D．7. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（）A．B．C．D．8. 设，，函数，若恒成立，则（）A ．，B ．，C ．，D ．，9. 已知实数x ，y 满足则（）A ．的取值范围为B ．的取值范围为C．的取值范围为D ．的取值范围为10. 如图，在正方体中，棱长为4，分别为的中点，分别为上的一点，且满足，，设正方体的体积为，几何体的体积为，则下列结论正确的是（）2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学（五）2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学（五）三、填空题四、解答题A．B ．点到平面的距离为定值C ．当时，D ．当时，11. 等差数列的首项，设其前项和为，且，则（）A．B．C．D ．的最大值是或者12.等差数列的前项和为，已知，，则（）A．B．的前项和中最小C．的最小值为-49D．的最大值为013. 已知向量，满足：=，⊥，则=_______14.已知、、为空间中两两互相垂直的单位向量，，且，则的最小值为__________．15. 已知函数，①若有且只有一个根，则实数的取值范围是_______．② 若关于的方程有且仅有个不同的实根，则实数的取值范围是_______．16. 为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如表：运动鞋款式A B C D E 回访顾客（人数）700350300250400满意度注：1．满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值；2．对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率．(1)从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率；(2)从A 、E 两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和数学期望；(3)用“”和“”分别表示对A 款运动鞋满意和不满意，用“”和“”分别表示对B款运动满意和不满意，试比较方差与的大小．（结论不要求证明）17. 某兴趣小组为了研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，请一所中学校医务室人员统计近期昼夜温差情况和到该校医务室就诊的患感冒学生人数，如下是2021年10月、11月中的5组数据：日期10月8日10月18日10月28日11月8日11月18日昼夜温差x （℃）8116155就诊人数y131712199(1)通过分析，发现可用线性回归模型拟合就诊人数y 与昼夜温差x 之间的关系，请用以上5组数据求就诊人数关于昼夜温差的线性回归方程（结果精确到0.01）；(2)一位住校学生小明所患感冒为季节性流感，传染给同寝室每个同学的概率为0.6．若该寝室的另3位同学均未患感冒，在与小明近距离接触后有X 位同学被传染季节性流感，求的分布列和期望．参考数据：，．参考公式：，．18. 在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，.（I ）证明：平面；（II ）若，求二面角的余弦值.19. 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．20. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，∠BAF ＝90°，AD ＝2，AB ＝AF ＝2EF ＝2，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（2）若二面角D ﹣AP ﹣C 的正弦值为，求PF 的长度．21. 以为直径的圆经过、两点，延长、交于点，将沿线段折起，使点在底面的射影恰好为的中点.若，，线段、的中点分别为.(1)判断四点是否共面，并说明理由；(2)求四棱锥的体积.。

2023年高考数学模拟试题（五）参考答案

2023年高考数学模拟试题(五)参考答案一㊁选择题1.A 2.D 3.D 4.D图15.A 提示:由题意知O P ң㊃O A ң=x -3y ,设z =x -3y ,如图1,当直线z =x -3y ,即y =13x -13z 经过点A 0,2时,直线在y 轴上的截距最大,进而可得z 最小,所以O P ң㊃O Aң的最小值为-6㊂6.B 7.B 8.C 9.D10.B 提示:由S a ㊃O A ң+S b ㊃OB ң+S c ㊃O C ң=0,得O A ң=-S b S a O B ң-S c S aO C ң,由a ㊃O A ң+b ㊃O B ң+c ㊃O C ң=0,得O A ң=-b a O B ң-c a O C ң,根据平面向量基本定理可得-S b S a =-b a ,-S c S a =-c a ,所以S b S a =b a ,S c Sa 图2=ca ,如图2,延长C O 交A B于E ,延长B O 交A C 于F ,则S b S a =|A E ||B E |㊂又S bS a =b a ,所以|A E ||B E |=b a =|A C ||B C |,所以C E 为øA C B 的平分线㊂同理可得,B F 是øA B C 的平分线㊂所以O 为әA B C 的内心㊂11.C 提示:双曲线C 的渐近线方程为y =ʃba x ,因为双曲线C 的一条渐近线经过点P (3,3),所以3=b a ˑ3,故ba=3,所以e 2=c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b2a2=4,所以e =2,选项A 正确;因为P F 1ң㊃P F 2ң=0,所以点P 在圆x 2+y 2=c 2上,所以c =23,又离心率e =2,所以a =3,所以b =c 2-a 2=9,所以双曲线C 的方程为x 23-y 29=1,选项B 正确;әP O F 2的面积为23ˑ32=33,选项C 错误;设A (x 0,y 0),F 2(c ,0),由F 2A ң=3P F 2ң,得(x 0-c ,y 0)=3(c -3,-3),所以x 0=4c -33,y 0=-9,代入渐近线方程y =-3x ,得-9=-3(4c -33),所以c =332,所以双曲线C 的焦距为2c =33,选项D 正确㊂图312.B 提示:令f (x )>0,两边同时除以e x,可得xe x >a (x +1)㊂如图3,分别绘制函数F (x )=xex与G (x )=a (x +1)的图像,其中G (x )恒过定点(-1,0)㊂为了符合题意,函数F (x )与G (x )的交点需位于A ,B 之间,此时a 的取值范围为23e 2,12e㊂二㊁填空题13.fx =x 3+x +1(答案不唯一)㊂14.84 提示:从A 区域开始种,当A 区域与C 区域种相同的花时,则有C 14ˑC 13ˑ1ˑC 13=36(种)不同的种法;当A 区域与C 区域种不同的花时,则有C 14ˑC 13ˑC 12ˑC 12=48(种)不同的种法㊂综上可得共有84种不同的种法㊂15.1150提示:根据题意可得U =311s i n (100πt ),在[0,0.02]内,令311㊃s i n (100πt )=3112,可得t 1=1600,t 2=5600;令311s i n (100πt )=-3112,可得t 1=7600,t 2=11600㊂综上可得,电压的绝对值低于3112的时间为2100-2ˑ5600-1600=1150㊂16.x 24+y 2=1 提示:由题意知k A B =-3,设A B 与x 轴的交点为C ,则øA C F =60ʎ,øA FC =30ʎ㊂设A F =a ,则O A =a2,O F =3a 2,所以A 0,a 2,即有b =a 2,直线l 的方程为y =-3x +a2,联立x 2a 2+y 2b2=1,y =-3x +a2,b =a 2, 解得x =0,y =a2,或x =4313a ,y=-1126a ,所以B 4313a ,-1126a,所以A B =0-4313a2+a 2+1126a2=8313a ,S әA B F =12A F ㊃A B =12ˑa ˑ8313a =16313,又a >0,所以a =2,b =a2=1,所以椭圆Γ的标准方程为x 24+y 2=1㊂三、解答题17.(1)因为4a n +1=4a n a n +1+1,所以a n +1=14(1-a n ),所以a 2=14(1-a 1)=13,a 3=14(1-a 2)=38,所以b 1=22a 1-1=-4,b 2=22a 2-1=-6,b 3=22a 3-1=-8㊂(2)b n为等差数列,理由如下:因为b n =22a n -1,所以a n =b n +22b n,所以a n +1=b n +1+22b n +1,代入4a n +1=4a n a n +1+1,得2b n +1+4b n +1=b n +2b n ㊃b n +1+2b n +1+1,整理得b n +1-b n =-2,所以b n 是公差为-2的等差数列㊂(3)由(1)(2)知,b n =-4+(n -1)ˑ(-2)=-2n -2,即22a n -1=-2n -2,所以2a n -1=1-n -1,a n =n 2(n +1)㊂所以a nn 2=1n2㊃n 2(n +1)=12n (n +1)=121n -1n +1㊂所以S n =121-12+1212-13+ +121n -1n +1=121-12+12-13+ +1n -1n +1=121-1n +1 <12㊂图418.(1)如图4,连接A C 交B D 于点O ,连接M O ㊂因为A B =A D ,CB =CD ,所以әA C D ɸәA C B ,所以A C ʅB D ㊂又因为A B =A D ,øB A D =60ʎ,所以әA B D 是正三角形,所以A O =23s i n 60ʎ=3,C O =C B 2-O B 2=6㊂因为P A ʊ平面BDM ,且P A ⊂平面P A C ,平面P A C ɘ平面B DM =M O ,所以P A ʊM O ㊂所以P M P C =A O A C =33+6=13,即λ=13㊂图5(2)如图5,以O 为坐标原点,O B 为x 轴,O C 为y 轴,过点O 且垂直于平面A B -C D 的直线为z 轴,建立空间直角坐标系Ox yz ㊂因为点P 在平面A B C D 上的投影恰好是әA B D 的重心,所以P E ʅ平面A B C D ,A E =2E O ,所以A E =2,E O =1㊂因为直线P A 与平面A B C D 所成角的正切值为32,所以在R t әP A E 中,t a n øP A E =P E A E =32,所以P E =32A E =3,所以A (0,-3,0),B (3,0,0),C (0,6,0),D (-3,0,0),P (0,-1,3)㊂由(1)知,λ=13,所以O M ң=O P ң+P M ң=O P ң+13P C ң=0,43,2,所以M 0,43,2,A P ң=(0,2,3),A D ң=(-3,3,0),OB ң=(3,0,0),O M ң=0,43,2㊂设平面P A D 的一个法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则m ㊃A D ң=-3x 1+3y 1=0,m ㊃A P ң=2y 1+3z 1=0,取x 1=3,得y 1=1,z 1=-23,所以m =3,1,-23㊂设平面B DM 的一个法向量为n =(x 2,y 2,z 2),则n ㊃O B ң=3x 2=0,n ㊃O M ң=43y 2+2z 2=0,取y 2=3,得x 2=0,z 2=-2,所以n =(0,3,-2)㊂所以c o s <m ,n >=m ㊃n|m ||n |=3+4313ˑ409=13020,所以平面B DM 与平面P A D 的夹角的余弦值为13020㊂19.由题意可得10(0.010+b +0.030+0.016+a +0.008)=1,即a +b =0.036㊂因为平均数为77分,所以10(0.010ˑ55+b ˑ65+0.030ˑ75+0.016ˑ85+a ˑ95+0.008ˑ105)=77,即65b +95a =2.7㊂联立a +b =0.036,65b +95a =2.7,解得a =0.012,b =0.024㊂因为前250名进入复赛,在1000名大学生中占比为25%,原问题等价于估计频率直方图中的75百分位数㊂经统计,落到区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)内的概率分别为0.1,0.24,0.3,0.16㊂因为0.1+0.24+0.3<0.75<0.1+0.24+0.3+0.16,所以75百分位数在区间[80,90)内,为80+0.75-0.640.16ˑ10=80+558ʈ87,由此估计进入复赛的分数线为87分(注:回答86分也可以得分)㊂(2)由题知,P 1=23,P n =45P n -1+(1-P n -1)ˑ13=715P n -1+13,所以P n -58=715P n -1-58,又因为P 1-58=124ʂ0,所以P n -58是以124为首项,715为公比的等比数列,所以P n -58=124ˑ715n -1,即P n =58+124ˑ715n -1,故P 10=58+124ˑ7159㊂20.(1)当l ʅx 轴时,A B 为抛物线E 的通径,此时A B =2p ,易知O F ʅA B ,所以O F 是әO A B 的高,所以әO A B 的面积S =12ˑA B ˑO F =p 22=2,解得p =2,所以抛物线E 的方程为y 2=4x ㊂(2)依题意可设直线l 的方程为x =m y +1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立x =m y +1,y 2=4x ,消去x 整理得y 2-4m y -4=0,Δ>0,y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4㊂根据抛物线的定义可得F A =x 1+1,F B =x 2+1,所以F A ㊃F B =(x 1+1)(x 2+1)=(m y 1+2)(m y 2+2)=m 2y 1y 2+2m (y 1+y 2)+4=4m 2+4㊂设直线l 1的方程为x =m 1y +1,同理可得F C ㊃F D =4m 21+4㊂因为F A ㊃F B =F C ㊃F D ,所以4m 2+4=4m 21+4,故m =m 1(舍),或m +m 1=0,其中m ,m 1分别是直线l 与直线l 1的斜率的倒数,所以直线l 与直线l 1的斜率之和为0,此时A B =F A +F B =x 1+x 2+2=m (y 1+y 2)+2=4m 2+4㊂同理可得C D =4m 2+4,当C D =8时,解得m =ʃ1,所以直线l 的方程为x =ʃy +1㊂21.(1)对函数f (x )求导可得f '(x )=m x +1-1x =m x 2+x -1x㊂若m =0,则f '(x )=x -1x㊂令f '(x )=0,得x =1,所以当0<x <1时,f '(x )<0,f (x )在(0,1)上单调递减;当x >1时,f'(x )>0,f (x )在(1,+ɕ)上单调递增㊂若m <0,设g (x )=m x 2+x -1,Δ=1+4m ,当m ɤ-14时,Δɤ0,g (x )ɤ0,所以f '(x )ɤ0,f (x )在(0,+ɕ)上单调递减;当-14<m <0时,Δ>0,令g (x )=0,得x 1=-1-1+4m 2m >0,x 2=-1+1+4m 2m>0,且x 1>x 2,当0<x <x 2或x >x 1时,g (x )<0,即f'(x )<0,所以f (x )在0,-1+1+4m 2m,-1-1+4m 2m,+ɕ上单调递减;当x 2<x <x 1时,g (x )>0,即f '(x )>0,所以f (x )在-1+1+4m 2m ,-1-1+4m2m上单调递增㊂若m >0,则Δ>0㊂令g (x )=0,得x 1=-1-1+4m2m<0(舍去),x 2=-1+1+4m2m>0㊂当0<x <x 2时,g (x )<0,即f '(x )<0,所以f (x )在0,-1+1+4m2m上单调递减;当x >x 2时,g (x )>0,即f '(x )>0,所以f (x )在-1+1+4m2m,+ɕ上单调递增㊂(2)由(1)知,-14<m <0,a ,b 是m x2+x -1=0的两根,所以a +b =-1m㊂因为f (a )=12m a 2+a -l n a ,f (b )=12m b 2+b -l n b ,所以f (a )-f (b )=12m (a +b )(a -b )+(a -b )-(l n a -l n b )=12(a-b )-(l n a -l n b ),故2[f (a )-f (b )]=(a -b )-2(l n a -l n b )㊂因为a +b =-1m,所以要证2[f (a )-f (b )]<(4m +1)(a -b ),只需证l n a -l n b >2(a -b )a +b ,等价于l n a b >2a b-1ab+1㊂设a b =t ,则t >1,所以l n t >2(t -1)t +1,所以只需证l n t -2(t -1)t +1>0㊂令g (t )=l n t -2(t -1)t +1(t >1),则g '(t )=1t -2(t +1-t +1)(t +1)2=(t -1)2t (t +1)2>0,所以g (t )在(1,+ɕ)上单调递增,所以g (t )>g (1)=0,所以l n t -2(t -1)t +1>0,即2[f (a )-f (b )]<(4m +1)(a -b )㊂22.(1)由曲线C 1的参数方程可得曲线C 1的普通方程为y ㊃c o s α-x ㊃s i n α=0,则极坐标方程为θ=α(ρɪR )㊂由曲线C 2的极坐标方程可得曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2x =3,即(x -1)2+y 2=4㊂(2)将θ=α代入曲线C 2的极坐标方程得ρ2-2ρc o s α-3=0㊂设A ,B 两点对应的参数分别为ρ1,ρ2,则ρ1ρ2=-3㊂所以O A ㊃O B =ρ1ρ2=3㊂23.(1)当x <-3时,f x =-x -2 -x +3 =-2x -1;当-3ɤx ɤ2时,f x =-x -2 +x +3 =5;当x >2时,f x =x -2 +x +3 =2x +1㊂综上可得,f x m i n =5㊂(2)由(1)可知f x ȡx +a ⇒5ȡx +a ,解得x +a ȡ-5,x +a ɤ5㊂当x ɪ-3,2 时,欲使不等式f x ȡx +a 恒成立,则x +a m i n ȡ-5,x +a m a x ɤ5,解得-2ɤa ɤ3㊂(责任编辑王福华)。

2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学(五)答案

2023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷数学（五）注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5,7B =，则A B ⋂的子集共有（）A.2个B.3个C.4个D.8个【答案】C 【解析】【分析】先通过集合的交集运算得出A B ⋂，即可根据集合内元素的个数得出子集个数.【详解】集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5,7B =，{}1,3A B ∴= ，则A B ⋂的子集共有224=个，故选：C.2.已知复数52i2iz =-，则z =（）A.1B.35C.355D.【答案】D 【解析】【分析】根据复数的乘法、除法运算，以及模的定义求解.【详解】因为()()()542i 2i 2i 2i 2i 24i 24i 2i 2i i 2i 2i 2i 555z +-+======-+--⋅--+，所以255z ==，故选:D.3.在ABC 中，记AB m = ，AC n =u u ur r ，则()CB AB AC ⋅+=u u u r u u u r u u u r （）A.m n- B.22m n+u r r C.22n m-r u r D.22m n-u r r 【答案】D 【解析】【分析】利用向量线性运算和向量数量积的运算律可直接求得结果.【详解】()()()2222CB AB AC AB AC AB AC AB AC m n ⋅+=-⋅+=-=- .故选：D.4.已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则()f x 的单调递增区间为（）A.()2,3 B.()3,4 C.(),3-∞ D.()3,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间.【详解】由2040x x ->⎧⎨->⎩得：24x <<，即()f x 的定义域为()2,4；()()()()23112424x f x x x x x -'=-=---- ，∴当()2,3x ∈时，()0f x ¢>；当()3,4x ∈时，()0f x '<；()f x \的单调递增区间为()2,3.故选：A.5.如图，已知正四棱锥P ABCD -的底面边长和高分别为2和1，若点E 是棱PD 的中点，则异面直线PA 与CE 所成角的余弦值为（）A.B.3311C.6D.66【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，然后用向量方法即可求解【详解】连接,AC BD 交于O ，由题意，以O 为原点，分别以OB →,OC →，OP →的方向为x 轴，y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，由正四棱锥P ABCD -的底面边长和高分别为2和1可得AC BD ==，所以()()()()10,0,1,0,,0,,,,0,,22P A C D E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以()10,1,22PA CE ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，设异面直线PA 与CE 所成的角为θ，所以12332cos 11PA CE PA CEθ-⋅===⋅故选：B6.某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产5mm 规格的芯片，现有25块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为5块，10块，10块，若甲、乙、丙生产该芯片的次品率分别为0.1，0.2，0.3，则从这25块芯片中任取一块芯片，是正品的概率为（）A.0.78B.0.64C.0.58D.0.48【答案】A 【解析】【分析】设B =“任取一块芯片是正品”，()1,2,3i A i =分别表示芯片由甲、乙、丙三条生产线生产，根据互斥事件的概率公式以及全概率公式，即可求得答案.【详解】设B =“任取一块芯片是正品”，()1,2,3i A i =分别表示芯片由甲、乙、丙三条生产线生产，根据题意可得∶12351010()0.2,()0.4,()0.4252525P A P A P A ======，123(10.10.9,(10.20.8,()10.30|)|).7|P B A P B A P B A =-==-==-=，由全概率公式可得∶112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.20.90.40.80.40.70.78=⨯+⨯+⨯=.故选：A7.已知()1sinsin 2222x x x f x ⎫=-+⎪⎭.若存在0π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()20132f x m m ≤--有解，则实数m 的取值范围为（）A.[]0,3 B.(][),03,-∞+∞ C.1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.(]5,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】利用正弦余弦的二倍角公式及正弦两角和公式化简函数，然后将问题转化为函数在区间上成立问题，求出最值，解不等式即可.【详解】()1sin sin 2222x x x f x ⎫=-+⎪⎭1cos sin sin22222x x x x =-+()1cos 1sin 222x x -=-+1sin cos 22x x =+ππcos sin sin cos 66x x=+πsin 6x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若存在0π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()20132f x m m ≤--有解，则问题转化为在0π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上()20min132m m f x --≥⎡⎤⎣⎦因为0ππ6x ≤≤，所以0ππ7π366x ≤+≤，所以()0112f x -≤≤，所以221133022m m m m --≥-⇒-≥，解得：3m ≥或0m ≤即实数m 的取值范围为：(][),03,-∞+∞ ，故选：B.8.已知(),,1,a b c ∈+∞，且1ln 1e a a ---=，2ln 2e b b ---=，4ln 4e c c ---=，其中e 是自然对数的底数，则（）A.a b c <<B.b a c<< C.b<c<aD.c b a<<【答案】A 【解析】【分析】由题意可得1ln e 1a a --=+，2ln e 2b b --=+，4ln e 4c c --=+，令()e x f x x -=+，利用导函数可得ln ln ln a a b b c c -<-<-，再令()ln g x x x =-，利用导函数求()g x 单调性即可求解.【详解】由题意可得1ln e 1a a --=+，2ln e 2b b --=+，4ln e 4c c --=+，令()exf x x -=+，则()e 1x f x -'=-+，因为当0x >时()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()()()124f f f <<，即ln ln ln a a b b c c -<-<-，令()ln g x x x =-，则()11g x x'=-，因为当1x >时，()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，又因为(),,1,a b c ∈+∞且()()()g a g b g c <<，所以a b c <<，故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.空气质量指数大小分为五级.指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围[)0,50，[)50,100，[)100,200，[)200,300，[]300,500分别对应“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重污染”五个等级.如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法正确的是（）A.这14天中有5天空气质量指数为“轻度污染”B.从2日到5日空气质量越来越好C.这14天中空气质量的中位数是196.5D.连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日【答案】ABC 【解析】【分析】根据趋势图可判断出空气质量指数位于[)100,200的天数，知A 正确；由2日到5日空气质量指数依次下降知B 正确；由中位数的定义可计算知C 正确；根据方差与数据波动幅度之间的关系可知D 错误.【详解】对于A ，由空气质量指数趋势图可知：这14天中，空气质量指数位于[)100,200的天数有4,6,9,10,11日，则有5天空气质量指数为“轻度污染”，A 正确；对于B ，从2日到5日空气质量指数依次下降，则空气质量越来越好，B 正确；对于C ，将14天空气质量指数按照从小到大顺序排序，中位数为第7和第8个数的平均数，即179214196.52+=，C 正确；对于D ，若连续三天空气质量指数方差最小，则连续三天数据波动幅度最小，显然5日到7日数据波动幅度最大，则方差应为最大，D 错误.故选：ABC .10.密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0—07”，478密位写成“4—78”.若()2sin cos sin 2ααα-=，则角α可取的值用密位制表示可能是（）A.10—50B.2—50C.13—50D.42—50【答案】BD 【解析】【分析】通过三角恒等变换化简()2sin cos sin 2ααα-=，得出,12k k Z παπ=+∈或5,12k k Z παπ=+∈，再通过题意对选项一一化为弧度制，即可判断是否符合题意.【详解】()2sin cos sin 2ααα-=Q ，22sin 2sin cos cos 2sin cos αααααα∴-+=，22sin cos 1αα+= ，4sin cos 1αα∴=，即1sin 22α=，,12k k Z παπ∴=+∈或5,12k k Z παπ=+∈，对于选项A ：密位制10—50对应的角的弧度制为105072600020ππ⨯=，不符合题意，故选项A 错误；对于选项B ：密位制2—50对应的角的弧度制为2502600012ππ⨯=，符合题意，故选项B 正确；对于选项C ：密位制13—50对应的角的弧度制为135092600020ππ⨯=，不符合题意，故选项C 错误；对于选项D ：密位制42—50对应的角的弧度制为4250172600012ππ⨯=，符合题意，故选项D 正确；综上所述，选项BD 正确，故选：BD.11.已知点A ，B 分别是双曲线22:14x C y -=的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，则下列说法正确的是（）A.双曲线CB.双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为1C.12k k 为定值14D.存在点P ，使得1212k k +=【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，求出c =，得到离心率；B 选项，求出焦点坐标和渐近线方程，得到焦点到渐近线的距离；C 选项，设(),P m n ，表达出12,22n n k k m m ==+-，结合2214m n -=求出1214k k =；D 选项，设(),P m n ，0,0m n >>，由渐近线方程得到2mn >，结合2214m n -=得到1212m k k n +>=.【详解】A 选项，由题意得：2a =，1b =，故c ===故离心率为52c a =，A 正确；B 选项，双曲线C 的焦点为()，渐近线的方程为20y x ±=，故焦点到渐近线的距离为1d ==，B 正确；C 选项，由题意得：()()2,0,2,0A B -，设(),P m n ，则2214m n -=，2214m n -=，故12,22n n k k m m ==+-，21222224241414n n n k k m m m m m =⋅=-=--=+-，C 正确；D 选项，设(),P m n ，0,0m n >>，2214m n -=，2244m n -=，因为渐近线的方程为20y x ±=，故2m n >，即2mn >，使得2122221222222444n n mn n mn n mn mn m m k m m mnn k -++=+====--+->+，D 错误；故选：ABC12.已知()221f x x =+，()4g x x =-，若方程()()()()420f x g x f x g x ax a ---+++=有四个不同的实数根，则满足上述条件的a值可以为（）A.1-B.15C.35D.1【答案】BC 【解析】【分析】通过分类讨论去绝对值，得出()()24601a x a x ++-=>，()()24601a x a x -+-=<-，与()20441ax x x a ++=≤-，再根据根的数量确定a 的取值范围，即可对选项一一验证.【详解】当()()f x g x ≤时，即2214x x +≤-，解得1x ≤，当()()f x g x >时，即2214x x +>-，解得1x >，则当1x >时，()()()()f x g x f x g x -=-，此时方程()()()()420f x g x f x g x ax a ---+++=，即()2420g x ax a -+++=，即2460x ax a ++-=，此时若1x >则()()24601a x a x ++-=> ①，此时若1x <-则()()24601a x a x -+-=<- ②，当1x ≤时，()()()()f x g x g x f x -=-，此时方程()()()()420f x g x f x g x ax a ---+++=，即()2420f x ax a -+++=，即()24041ax a x x +=-+≤ ③，其中方程①与②最多各有一个实数根，方程③最多有两个不同的实数根，原方程有四个不同的实数根，∴方程①与②各有一个实数根，方程③有两个不同的实数根，对于方程()20441ax x x a ++=≤-有两个不同的实数根，可以等价为：2Δ640118540340a a a a a ⎧=+>⎪⎪-<<⎪⎨⎪-≤⎪-≤⎪⎩解得405a <≤，对于选项A ：405a <≤取不到1-，故选项A 错误；对于选项B ：当15a =时，方程①的根为26111>，方程②的根为2619-<-，符合题意，故选项B 正确；对于选项C ：当35a =时，方程①的根为18113>，方程②的根为1817-<-，符合题意，故选项C 正确；对于选项D ：405a <≤取不到1，故选项D 错误；综上所述，选项BC 正确，故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含4x 的项的系数为______.【答案】1458-【解析】【分析】利用赋值法，令1x =，则13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式各项系数之和为2n ，即可求得n ；再由二项展开式的通项求得含4x 项的系数.【详解】令1x =，则13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式各项系数之和为62642==n ，则6n =,其中通项()()66621661C 3C 31rrr rr rr r T x x x ---+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，令624r -=，则1r =，则()1154426C 311458T x x =⋅⋅-=-，故含4x 的项的系数为1458-.故答案为：1458-.14.设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为2，3，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，则12V V 的值是______.【答案】23##2:3【解析】【分析】利用圆柱体的侧面积和体积公式求解即可.【详解】设甲的高为1h ，乙的高为2h ，由题意可得122π22π3h h ⨯⨯=⨯⨯，所以1232h h =，所以()()211222π223π3h V V h ⨯⨯==⨯⨯，故答案为：2315.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则30n S n+的最小值为__________．【答案】612【解析】【分析】先由“两个等差数列的公共项构成的新的等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数”得n S ，再应用基本不等式求得30n S n+的最小值.【详解】解：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为8，公差为15的等差数列{}n a ，则2(1)151815222n n n S n n n -=+⨯=+∴30153011612222n S n n n +=++≥+=当且仅当1530=2n n，即2n =时，等号成立，∴30n S n +的最小值为612．故答案为：612.16.抛物线()2:20C y px p =>的焦点到直线10x y -+=的距离为528，点M 是C 上任意一点，点N 是圆()22:31D x y -+=上任意一点，则MN 的最小值是______.【答案】1112-【解析】【分析】根据焦点到直线的距离可构造方程求得p ，得到抛物线方程；由圆的方程可得圆心和半径；设()2,M t t ，利用两点间距离公式可表示出DM ，根据二次函数性质求得minDM；由圆的几何性质可知所求最小值为minDMr -.【详解】由抛物线方程得：焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，8=，解得：12p =，∴抛物线2:C y x =，设()2,M t t ；由圆的方程可知：圆心()3,0D ，半径1r =，DM ∴=则当252t =时，min112DM ==，min1111122MN r ∴=-=.故答案为：12-.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin sin sin sin A B A B +-=)sin sin A C C -.（1）求角B 的大小；（2）若BC 边上的高为2b c -，求sin C .【答案】（1）π6B =（2）1sin 5C =【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理边角互化即可求解；（2）利用面积公式可得52b c =，再利用正弦定理边角互化即可求解.【小问1详解】由题意可得222sin sin sin sin A B A C C -=-，根据正弦定理可得222a b c -=-，所以222c a b ac+-=又根据余弦定理可得2223cos 22c a b B ac +-==，因为()0,πB ∈，所以π6B =.【小问2详解】因为11(2)sin 22ABC S a b c ac B =-= ，即52b c =，由正弦定理可得5sin sin 2B C =，所以21sin sin 55C B ==.18.设等差数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，()*141n n n a S a n +=+∈N .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设5nn a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]2.62=.【答案】（1）21n a n =-（2）16【解析】【分析】(1)根据,n n a S 的关系求出数列的首项公差即可求解；(2)根据定义分别写出数列{}n b 的前10项，求和即可.【小问1详解】设等差数列公差为d ，因为()*141n n n a S a n +=+∈N，所以当2n ≥时，1141n n n Sa a --=+，所以1114411n n n n n n a a S S a a -+--=+--，所以114n n n n n a a a a a +-=-，因为0n a >，所以1124n n a a d +--==，所以2d =，令1n =得1121141(2)1a a a a a =+=++整理得211210a a -+=解得11a =，所以12(1)21n a n n =+-=-.【小问2详解】由（1）得215n n b -⎡⎤=⎢⎣⎦，所以215n n b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的前10项和等于1357111315195555557559155⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦001112233316=+++++++++=.19.某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，竞赛成绩的频率分布表如下：竞赛成绩[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[)90,100频率0.080.240.360.200.12（1）估计该校学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知样本中竞赛成绩在[)50,60的男生有2人，从样本中竞赛成绩在[)50,60的学生中随机抽取3人进行调查，记抽取的男生人数为X ，求X 的分布列及期望.【答案】（1）75.4（2）分布列见解析；期望()34E X =【解析】【分析】（1）利用每组区间的中点值乘以该组的概率，加总和即可得到平均数的估计值；（2）根据频率分布表可求得样本中竞赛成绩在[)50,60的总人数，进而确定X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，进而得到分布列；根据数学期望公式可计算求得期望值.【小问1详解】平均数为550.08650.24750.36850.20950.1275.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】由题意知：样本中竞赛成绩在[)50,60的共有1000.088⨯=人，其中有男生2人，则X 所有可能的取值为0,1,2，()3638C 2050C 5614P X ∴====；()216238C C 30151C 5628P X ====；()126238C C 632C 5628P X ====；X ∴的分布列为X12P5141528328∴数学期望()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=.20.如图所示的几何体中，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，四边形PDCE 为矩形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，F 为PA 的中点，N 为PC 与DE 的交点，PD =112AB AD CD ===.（1）求证：//FN 平面ABCD ；（2）若G 是线段CD 上一点，平面PBC 与平面EFG 所成角的余弦值为6，求DG 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）49-.【解析】【分析】（1）连接AC ，证明//FN AC ，利用线面平行的判定定理即得；（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.【小问1详解】因为四边形PDCE 为矩形，则N 为PC 的中点，连接AC，在PAC △中，F ，N 分别为PA ，PC 的中点，则有//FN AC ，而直线FN ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以//FN 平面ABCD ；【小问2详解】因为平面PDCE ⊥平面ABCD ，DP DC ⊥，平面PDCE ⋂平面ABCD CD =，DP ⊂平面PDCE ，所以DP ⊥平面ABCD ，又//AB CD ，AB AD ⊥，故DC AD ⊥，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z轴，建立空间直角坐标系，则12(00(100),(110),(020),(02(0),,22,,,,,,,,P A B C E F ，设()0,,0G t ，[]0,2t ∈，所以(11,,,,(110)PB BC ==-，1222,,FE ⎛=- ⎪⎝⎭，(0,2GE t =-，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，则0m PB x y m BC x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得(1,m =，设平面EFG 的法向量为(),,n a b c =r ，则()12202220n FE a b nGE t b ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩ ，令b =，得)2n t =+-r，所以cos ,6m n n n m m ⋅==⋅，整理可得298110t t +-=，解得11549t -=或11549t =(舍去)，即DG 的长为49.21.设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为P，离心率为22，O 是坐标原点，且OP FP ⋅=.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线，分别与C 交于A ，B ，M ，N 四点，求四边形AMBN 面积的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据题意，结合离心率及椭圆,,ab c 的关系列出方程即可得到结果；（2）当1l ，2l 中有一条斜率不存在时，122AMBN S ==；当1l ，2l 的斜率都存在时，设过点()1,0F -的两条互相垂直的直线1l ：1x ky =-，直线2l ：11x y k=--，联立22112x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩求出AB 与MN ，所以12S AB MN =⋅代入整理成关于k 的式子，求式子的值域即可.【小问1详解】设椭圆C 的焦距为2c ，则22c a =，所以a =因为222a b c =+，所以b c =，又OP FP ⋅=，,OP b FP a ==，所以ab =，即1c =所以1a b ==所以2212x y +=【小问2详解】当1l ，2l 中有一条斜率不存在时，设直线1l 的方程为=1x -，此时直线2l 与x 轴重合，即AB MN ==，所以122AMBN S ==；当1l ，2l 的斜率都存在时，设过点()1,0F -的两条互相垂直的直线1l ：1x ky =-，直线2l ：11x y k=--由22112x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210k y ky +--=此时()224420k k ∆=++>，∴12222k y y k +=+，12212y y k -⋅=+则AB ==)()222122k k k k+=++.把上式中的k 换成1k -得：MN =则四边形AMBN 的面积为12S AB MN =⋅=)())22221112122k k k k k k ++⋅⋅=++()()()222241212k k k +++令21k t +=，则1t >，且221k t +=+，22121k t +=-()()()22222241421212kt S t t kk +===+-++2411924t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，()1t >，∴1629S ≤<，所以四边形AMBN 的面积的取值范围是16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦.22.已知函数()()()ln 21f x x m x m m =+-+-∈R .（1）当4m =时，求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在正整数m ，使得()0f x ≤恒成立，若存在求出m 的最小值，若不存在说明理由.【答案】（1）函数()f x 的单调减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.（2）存在正整数3m =【解析】【分析】（1）当4m =时，对函数()f x 求导，令()0f x ¢>和()0f x '<，即可求出函数()f x 的单调区间；（2）要使()0f x ≤恒成立，即()max 0f x ≤恒成立，讨论2m ≤和m>2，求出()f x 的单调性，即可知要使()max 1ln02f x m m =-≤-，令()()()ln 22g m m m m =-+>，对()g m 求导，得出()g m 的单调性，即可得解.【小问1详解】当4m =时，函数()ln 23f x x x =--的定义域为()0,∞+，()1122x f x x x-'=-=，令()0f x ¢>，解得：102x <<；令()0f x '<，解得：12x >，所以函数()f x 的单调减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】()()ln 21f x x m x m =+-+-的定义域为()0,∞+，()()2112m x f x m x x-+=+'-=，若20m -≥，即2m ≤，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，无最大值；若20m -<，即m>2，函数()f x 在10,2m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在1,2m ∞⎛⎫+ ⎪-⎝⎭上单调递减.当12x m =-时，函数()f x 取得最大值，且()max 11ln 22f x f m m m ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭，要使()0f x ≤恒成立，即()max 0f x ≤，所以1ln02m m -≤-，即()ln 20m m -+≥，令()()()ln 22g m m m m =-+>，()()1110222m g m m m m -=+=>>--'所以()g m 在()2,+∞上单调递增，当m 趋近于2时，()0g m <，()3ln130g =+>，所以存在最小正整数3m =，使得()()ln 20g m m m =-+>，即是使得()0f x ≤恒成立.。

高三数学五月模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若f(x)在区间[0, 2]上的最大值为4，则f(x)在区间[2, 4]上的最小值为：A. -4B. 0C. 4D. 82. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面上的几何意义是：A. z的实部为0B. z的虚部为0C. z的实部与虚部相等D. z的实部与虚部互为相反数3. 在三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=CD，若∠BAC=60°，则∠BAD的度数为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=35，S10=70，则数列的公差d为：A. 1B. 2C. 3D. 45. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得极值，则a+b+c的值为：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定6. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为Q，则点Q的坐标为：A. (3,2)B. (2,3)C. (3,3)D. (2,2)7. 若向量a=(1,2)，向量b=(2,1)，则向量a+b的模长为：A. √5B. √2C. 2D. 18. 已知数列{an}的通项公式为an = 3^n - 2^n，则数列的前5项和S5为：A. 510B. 330C. 210D. 1509. 在圆锥的底面半径为r，高为h的圆锥中，圆锥的体积V与底面半径r的关系式为：A. V = πr^2hB. V = (1/3)πr^2hC. V = (1/2)πr^2hD. V = (1/4)πr^2h10. 若等比数列{an}的公比为q，且a1=2，a2=4，则q的值为：A. 2B. 1/2C. 1D. 0二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点为__________。