高二理科数学《1.4 生活中的优化问题举例(1)》

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1.4生活中的优化问题举例

例3、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的、经统计表明，耗油量y（关于行驶速度x（千米/小时小时）耗油量（升）关于行驶速度（千米小时）的函数解析式可以表示为：可以表示为：
1 3 3 y= x − x + 8(0 < x ≤120). 128000 80
若已知甲、乙两地相距千米。若已知甲、乙两地相距100千米。千米千米/小时的速度匀速行驶时（I）当汽车以千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到）当汽车以40千米小时的速度匀速行驶时，乙地要耗油为 17.5 升; 千米/小时（II）若速度为千米小时，则汽车从甲地到乙地需）若速度为x千米小时，行驶
具体的问题：具体的问题：汽油使用效率何时最高
我们知道，单位:L)与汽车的速度我们知道，汽油的消耗量 w (单位与汽车的速度 v 单位 (单位单位:km/h) 之间有一定的关系，汽车的消耗量 w 是汽车之间有一定的关系，单位的函数. 根据实际生活，思考下面两个问题：速度 v 的函数根据实际生活，思考下面两个问题：（1）是不是汽车的速度越快，汽油的消耗量越大）是不是汽车的速度越快，汽油的消耗量越大? 如何计算每千米路（2）当汽车的行驶路程一定时，是车速快省油还是）当汽车的行驶路程一定时，程的汽油消耗量？程的汽油消耗量？车速慢的时候省油呢？车速慢的时候省油呢？一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，我们就说汽油的使用效率越高（即越省油）。汽油的使用效率越高（即越省油）。越高
思考1 版心面积为定值128dm 思考1：版心面积为定值128dm2，海报的面积是否也为定值？的面积是否也为定值？
128 (x + 4)( + 2) x

1.4 生活中的优化问题举例

第一章导数及其应用1.4 生活中的优化问题举例基础过关练题组一利润最大问题1.(2019甘肃兰州一中高二上期末)已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-13x 3+81x-286,则该生产厂家获取的最大年利润为( ) A.300万元 B.252万元 C.200万元 D.128万元2.(2019河南名校高二联考)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每种植一万斤莲藕,成本增加0.5万元.已知销售额函数是f(x)=-18x 3+916ax 2+12x(x 是莲藕种植量,单位:万斤,销售额单位:万元,a 是常数),若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年的莲藕种植量应为( ) A.8万斤 B.6万斤 C.3万斤 D.5万斤3.(2019山东师范大学附属中学高二下期中)某小型玩具厂研发生产一种新型玩具,年固定成本为10万元,每生产千件该玩具需另投入3万元,设该厂年内共生产该新型玩具x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为F(x)万元,且满足函数关系:F(x)=11.1-x 230.(1)写出年利润G(万元)关于该新型玩具年产量x(千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在该新型玩具的生产中所获年利润最大?最大年利润为多少?4.(2019福建福州八县(市)协作校高二上期末联考)某校高一年级的一个学习兴趣小组进行社会实践活动,决定对某商场销售的商品A进行市场销售量调研,通过对该商品一个阶段的调研得知,该商品每日的销售量g(x)(单位:百件)与销售价格x(元/件)近似满足关系式g(x)=ax-2+2(x-5)2,其中2<x<5,a为常数.已知销售价格为3元/件时,每日可售出该商品10百件.(1)求函数g(x)的解析式;(2)若该商品的成本为2元/件,试确定该商品销售价格x的值,使该商场每日销售该商品所获得的利润(单位:百元)最大,并求出最大利润.题组二几何图形中面积与体积的最值问题5.如图,以长度为10的线段AB为直径作半圆(O为圆心),则它的内接矩形MNQP的面积S的最大值为( )A.10B.15C.25D.506.(2019山东德州高三下一模)在四面体C-ABD中,若AD=DB=AC=CB=1,则四面体C-ABD体积的最大值是( )A.2√327B.13C.2√39D.√337.(2019江西新余高三联考)如图所示,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的正方形ABCD 的中心为O.E,F,G,H 为圆O 上的点,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA 分别是以AB,BC,CD,DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以AB,BC,CD,DA 为折痕折起△EAB,△FBC,△GCD,△HDA 使得E,F,G,H 重合,得到四棱锥.当正方形ABCD 的边长变化时,所得四棱锥体积的最大值为( )A.3√3 cm 3B.8√53cm 3 C.3√3 D.16√53cm 3 8.(2020江苏徐州高三期末)如图,在圆锥SO 中,底面半径R 为3,母线长l 为5.用一个平行于底面的平面去截圆锥,所得截面圆的圆心为O 1,半径为r,现要以截面为底面,大圆锥底面圆心O 为顶点挖去一个倒立的小圆锥OO 1,记圆锥OO 1的体积为V(r).(1)将V(r)表示成r 的函数; (2)求V(r)的最大值.题组三用料最省、运费最低、效率最高问题9.已知铁道机车运行1小时所需成本由两部分组成,其中固定部分为m元,变动部分与运行速度v(单位:千米/时)的平方成正比,比例系数为k(k>0).如果机车匀速从甲站开往乙站,则当机车以千米/时的速度运行时,成本最省.10.(2019江苏海安高级中学高三下月考)某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐(上、下底面及侧面的厚度不计),易拉罐的体积为108π mL,设圆柱的高度为h cm,底面半径为r cm,且h≥4r,假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积有关.已知易拉罐侧面制造费用为m元/cm2,易拉罐上、下底面的制造费用均为n元/cm2(m,n为常数).(1)写出易拉罐的制造费用y(元)关于半径r(cm)的函数表达式,并求其定义域;(2)求易拉罐制造费用最低时r(cm)的值.11.(2019福建宁德高二下期中)某地修建一条大型输油管道需要通过120千米长的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站).经预算,修建一个增压站的工程费用为400万元,铺设距离为x千米的相邻两增压站之间的输油管道费用为(x2+x)万元.设余下工程的总费用为y万元.(1)试将y表示成关于x的函数;(2)需要修建多少个增压站才能使总费用y最小?能力提升练一、选择题1.(★★☆)一个正三棱柱内接于表面积为16π的球,则此三棱柱体积的最大值为( )A.4B.3C.8D.√152.(★★☆)某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式为y=181 000x 3-110x+18(0<x ≤120).若要使该汽车行驶200千米时的油耗最低,则汽车匀速行驶的速度应为( )A.60千米/时B.80千米/时C.90千米/时D.100千米/时二、填空题3.(2019广东佛山一中高二下期中,★★☆)母线长为1的圆锥体积最大时,其侧面展开图的圆心角φ等于 .4.(★★☆)当前,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生课外学习的一种趋势.假设某网校的套题每日的销售量y(单位:千套)与销售价格x(单位:元/套)满足的函数关系式为y=mx -2+4(x-6)2,其中2<x<6,m 为常数.已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.(1)实数m= ;(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),当销售价格为元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大(精确到0.1).5.(2019湖北宜昌高二期中联考,★★☆)现有一个边长为2的正方形纸板,若在纸板的四角截去四个边长均为x 的小正方形,然后做成一个无盖的方盒,则方盒的容积的最大值为 .6.(2019江西赣州高三摸底考试,★★☆)在一节手工课上,小明将一个底面半径为4、母线长为5的圆锥形橡皮泥捏成一个圆柱(橡皮泥的用量保持不变),则当这个圆柱的表面积最小时,该圆柱的底面半径为 .三、解答题7.(2019山东烟台高三上期中,★★☆)某工厂加工一批零件,加工过程中会产生次品,根据经验可知,其次品率p 与日产量x(万件)之间满足函数关系式p={x6,1≤x <4,3x 2-3x+1,x ≥4,已知每生产1万件合格品可获利2万元,但生产1万件次品将亏损1万元.(次品率=次品数/生产量)(1)试写出加工这批零件的日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系式; (2)当日产量为多少时,可获得最大利润?最大利润为多少?8.(2020福建师大附中高二期末,★★☆)如图,有一块半径为20米,圆心角∠AOB=2π3的扇形展示台,展示台分成了四个区域:三角形OCD,弓形CMD,扇形AOC 和扇形BOD(其中∠AOC=∠BOD).某次菊花展在这四个区域依次摆放:泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是泥金香50元/米2,紫龙卧雪30元/米2,朱砂红霜40元/米2.(1)设∠COD=θ,试建立日效益总量y 关于θ的函数关系式; (2)试探求θ为何值时,日效益总量达到最大值.答案全解全析基础过关练1.C 令函数y=f(x)=-13x 3+81x-286,求导数,得f'(x)=-x 2+81,令f'(x)=0,解得x=9(负值舍去).当0<x<9时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增; 当x>9时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.因此,当x=9时,该生产厂家获取最大年利润,最大年利润为200万元.故选C. 2.B 设销售的利润为g(x)万元,由题意,得g(x)=-18x 3+916ax 2+12x-1-12x,x ∈(0,8],即g(x)=-18x 3+916ax 2-1,x ∈(0,8].当x=2时,g(2)=-1+94a-1=52,解得a=2,故g(x)=-18x 3+98x 2-1,则g'(x)=-38x 2+94x=-38x(x-6),当x ∈(0,6)时,g'(x)>0,当x ∈(6,8)时,g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减. 所以x=6时,利润最大. 故选B.3.解析 (1)依题意,G(x)=xF(x)-(10+3x)=8.1x-x 330-10(x>0).(2)由(1)得G'(x)=8.1-x 210=(9+x )(9-x )10,令G'(x)=0,解得x=9(负值舍去).当x ∈(0,9)时,G'(x)>0,G(x)单调递增;当x ∈(9,+∞)时,G'(x)<0,G(x)单调递减. ∴当x=9时,G(x)max =8.1×9-9330-10=38.6.故当年产量为9千件时,该厂在该新型玩具的生产中所获年利润最大,最大年利润为38.6万元.4.解析 (1)由题意得10=a 3-2+2(3-5)2,解得a=2,故g(x)=2x -2+2(x-5)2(2<x<5).(2)设商场每日销售该商品所获得的利润为h(x)百元,则h(x)=(x-2)g(x)=2+2(x-5)2(x-2)(2<x<5),从而h'(x)=4(x-5)(x-2)+2(x-5)2=6(x-3)(x-5). x 变化时,h(x),h'(x)的变化情况如下表:x (2,3) 3 (3,5) h'(x) + 0 - h(x)↗极大值↘由上表可得,x=3是函数h(x)在区间(2,5)内的极大值点,也是最大值点,此时h(x)=10,即该商品销售价格为3元/件时,该商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大利润为10百元. 5.C 如图,连结ON.设∠NOQ=θ(0<θ<π2),则NQ=5sin θ,OQ=5cos θ,∴矩形的面积S=5sin θ×2×5cos θ=25sin 2θ, ∴S'=50cos 2θ, 令S'=0,解得θ=π4,当0<θ<π4时,S'>0;当π4<θ<π2时,S'<0.∴当θ=π4时,S 取得最大值,最大值为25.6.A 如图,取AB 的中点E,连结CE,DE,设AB=2x(0<x<1),则CE=DE=√1-x 2, ∴当平面ABC ⊥平面ABD 时,四面体的体积最大,此时四面体的体积V(x)=13×12×2x ×√1-x 2×√1-x 2=13x-13x 3,则V'(x)=13-x 2,令V'(x)=0,解得x=√33(负值舍去). 当x ∈(0,√33)时,V'(x)>0,V(x)单调递增;当x ∈(√33,1)时,V'(x)<0,V(x)单调递减. 因此,当x=√33时,V(x)有最大值,V(x)max =13×√33-13×(√33)3=2√327. 故选A.7.D 由题知折起的四棱锥如图所示,取CD 的中点M,连结OM,EM,设正方形ABCD 的边长为a cm(0<a<5√2),则|OM|=a2 cm,|EM|=(5-a2)cm,则|EO|=√|EM |2-|OM |2=√25-5a cm,故四棱锥的体积V=13·a 2·√25-5a =13√25a 4-5a 5 cm 3.构造函数h(a)=25a 4-5a 5(0<a<5√2),求导,得h'(a)=100a 3-25a 4,由h'(a)>0得0<a<4,由h'(a)<0得a>4,故h(a)在(0,4)上单调递增,在(4,5√2)上单调递减.故当a=4时,h(a)取得最大值,也就是V 取得最大值,即所得四棱锥体积的最大值为13×√25×44-5×45=16√53cm 3.故选D.8.解析 (1)在△SAO 中,SO=√SA 2-AO 2=√52-32=4, 由△SNO 1∽△SAO 可知,SO 1SO =r R,所以SO 1=43r,所以OO 1=4-43r,所以V(r)=13πr 2·(4-43r)=49π(3r 2-r 3),0<r<3. (2)由(1)得V(r)=49π(3r 2-r 3),0<r<3,所以V'(r)=49π(6r-3r 2),令V'(r)=0,得r=2或r=0(舍去).当r ∈(0,2)时,V'(r)>0,所以V(r)在(0,2)上单调递增; 当r ∈(2,3)时,V'(r)<0,所以V(r)在(2,3)上单调递减. 所以当r=2时,V(r)取得最大值V(2)=16π9.9.答案 √mk解析设甲、乙两站相距s 千米,以速度v 匀速运行时成本最省,总成本为y 元, 则机车匀速从甲站到乙站所需时间t=sv ,∴y=(m+kv 2)s v =s (kv +mv ),求导,得y'=s (k -mv2),令y'=0,得v=√m k (负值舍去),∴函数在(0,√m k )上单调递减,在(√mk ,+∞)上单调递增,则v=√mk 为极小值点.∴当v=√m k时,y 有最小值,故答案为√mk.10.解析 (1)因为易拉罐的体积为108π mL,所以πr 2h=108π,即h=108r 2,易拉罐的侧面积为S=2πrh=2πr 108r 2=216πr,易拉罐的上、下两底面的面积和为S=2πr 2, 所以y=m216πr+2n πr 2=2π(108m r+nr 2),因为h ≥4r, 所以有108r 2≥4r,解得r ≤3,故0<r ≤3.综上,易拉罐的制造费用为y=2π·(108m r+nr 2),r ∈(0,3].(2)由(1)知y'=2π(-108m r 2+2nr),令y'=0,解得r=3√2m n3,①若3√2m n3<3,即2m<n,此时3√2m n3∈(0,3),当r ∈(0,3√2m n3)时,函数y=2π·(108m r +nr 2)单调递减; 当r ∈(3√2m n3,3)时,函数y=2π·(108m r+nr 2)单调递增.故当r=3√2m n3时,函数y=2π·(108m r+nr 2)取得最小值,即易拉罐的制造费用最低. ②若3√2m n3≥3,即2m ≥n,此时3√2m n3≥3,当r ∈(0,3]时,函数y=2π·(108m r+nr 2)单调递减,故当r=3时,函数y=2π·(108m r +nr 2)取得最小值,即易拉罐的制造费用最低.综上,若2m<n,则当r=3√2m n3时,易拉罐的制造费用最低;若2m ≥n,则当r=3时,易拉罐的制造费用最低. 11.解析 (1)依题意可知余下工程有120x段输油管道,有(120x-1)个增压站,故余下工程的总费用y=(x 2+x)·120x+400·(120x-1)=120x+48 000x-280,所以将y 表示成关于x 的函数为y=120x+48 000x-280(0<x<120).(2)由(1)知y=120x+48 000x-280(0<x<120),则y'=120-48 000x 2,令y'=0,得x=20(负值舍去), x 变化时,y,y'的变化情况如下表:x (0,20) 20 (20,120)y' - 0 + y↘极小值↗由上表易知,函数在x=20时取得最小值,此时120x-1=5,故需要修建5个增压站才能使总费用y 最小.能力提升练一、选择题1.C 设球的半径为R,根据球的表面积公式得4πR 2=16π,所以R=2. 设该正三棱柱底面边长为x,则底面等边三角形外接圆的半径为√33x,故该正三棱柱的高为2×√R 2-(√33x)2=2√4-x 23, 所以该正三棱柱的体积为V(x)=√34x 2×2√4-x 23=√32×√4x 4-x 63=√-x 6+12x 42(0<x<2√3).令f(x)=-x 6+12x 4,由f'(x)=-6x 3(x-2√2)·(x+2√2)=0,解得x=2√2(负值舍去),易知函数在x=2√2时取得最大值,此时V(2√2)=√34×8×2√4-83=8.2.C 设汽车行驶途中总的耗油量为f(x)升.若速度为x 千米/时,则时间为200x小时,所以f(x)=(181 000x 3-110x +18)·200x=1405x 2+3 600x-20(0<x ≤120),所以f'(x)=2405x-3 600x =2x 3-2×903405x (0<x ≤120).令f'(x)=0,得x=90.易知当x ∈(0,90)时,函数f(x)单调递减,当x ∈(90,120)时,函数f(x)单调递增. 所以x=90时,函数f(x)取得最小值.二、填空题 3.答案2√6π3解析设圆锥的底面半径为r,高为h, 因为圆锥的母线长为1,所以r 2+h 2=1,所以圆锥的体积为V(h)=13πr 2h=13π(1-h 2)h=13π(-h 3+h),0<h<1,求导可得,V'(h)=13π(-3h 2+1).令V'(h)=0,得h=√33(负值舍去), 当h ∈(0,√33)时,V'(h)>0,V(h)单调递增; 当h ∈(√33,1)时,V'(h)<0,V(h)单调递减. 故当h=√33时,体积取得最大值,此时r=2=√63, 此时φ=2πr 1=2π√63=2√6π3. 4.答案 (1)10 (2)3.3解析 (1)当x=4时,y=21,代入函数关系式y=m x -2+4(x-6)2,得m2+16=21,解得m=10.(2)设每日销售套题所获得的利润为f(x)元,由(1)可知,套题每日的销售量为y=10x -2+4(x-6)2,所以f(x)=(x-2)·[10x -2+4(x -6)2]=10+4(x-6)2(x-2)=4x 3-56x 2+240x-278(2<x<6),则f'(x)=12x 2-112x+240. 令f'(x)=0,得x=103或x=6(舍去).当x ∈(2,103)时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x ∈(103,6)时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减.所以x=103是函数f(x)在区间(2,6)内的极大值点,也是最大值点, 所以当x=103≈3.3时,函数f(x)取得最大值.故当销售价格约为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大. 5.答案1627解析由于在边长为2的正方形纸板的四个角截去四个边长均为x 的小正方形,做成一个无盖的方盒,所以无盖的方盒的底面是正方形,且边长为2-2x,高为x, 则无盖的方盒的容积为V(x)=(2-2x)2×x(0<x<1), 整理得V(x)=4x 3-8x 2+4x(0<x<1), 则V'(x)=12x 2-16x+4=4(3x-1)(x-1), 令V'(x)=0,得x=13或x=1(舍去).当x ∈(0,13)时,V'(x)>0,V(x)单调递增;当x ∈(13,1)时,V'(x)<0,V(x)单调递减.所以当x=13时函数V(x)取得最大值,最大值为V (13)=(2-23)2×13=1627,故答案为1627.6.答案 2解析设圆柱的底面半径为r,高为h,因为圆锥的高为22体积V=13π×42×3=16π,所以圆柱的体积V=πr 2h=16π,则h=16r2,圆柱的表面积S=2πr 2+2πrh=2π(r 2+rh)=2π(r 2+16r),设f(r)=r 2+16r(r>0),则f'(r)=2r-16r=2r 3-16r .令f'(r)=0,得r=2.当0<r<2时, f'(r)<0, f(r)单调递减; 当r>2时, f'(r)>0, f(r)单调递增.所以当r=2时, f(r)最小,从而圆柱的表面积S 最小,故答案为2.三、解答题7.解析 (1)当1≤x<4时,y=2x (1-x6)-x ·x6=2x-x 22,当x ≥4时,y=[x -(3x2-3x+1)x]×2-(3x2-3x+1)x=9-x-9x,所以所求函数关系式为y={2x -x 22,1≤x <4,9-x -9x,x ≥4.(2)当1≤x<4时,y=2x-x 22=-12(x-2)2+2,所以当x=2时,y 取得最大值2; 当x ≥4时,y=9-x-9x,y'=-1+9x2=9-x 2x 2<0,所以函数在[4,+∞)上单调递减,所以当x=4时,y 取得最大值114. 又114>2,所以当日产量为4万件时可获得最大利润,最大利润为114万元.8.解析 (1)依题意得,∠AOC=23π-θ2=π3-θ2,则y=12(π3-θ2)×202×40×2+12×202×sin θ×50+12×θ×202-12×202×sin θ×30=16 000(π3-θ2)+10 000sin θ+6 000θ-6 000sin θ=16 000π3+4 000sin θ-2 000θ,其中0<θ<2π3.(2)易得y'=4 000cos θ-2 000, 令y'=0,得θ=π3,当0<θ<π3时,y'>0,当π3<θ<2π3时,y'<0,所以,θ=π3是函数在区间0,2π3上的极大值点,且是唯一的极大值点,从而当θ=π3时,日效益总量达到最大值.。

1.4生活中的优化问题举例

又V=πR2h(定值),
则h

V
R 2
.
P37A6

S
(R)

2R

V
R
2
2R2

2V R
2R2.
由S ( R)

2V R2
4R 0.
解得R 3
V.
2
当R (0, 3 V )时，S '(R) 0; 当R (3 V ,)时，S'(R) 0;
2
用导数解决数学问题
注：所得结果符合问题的实际意义
解：设两段铁丝的长度分别为x, l-x,
其中0<x<l 则两个正方形面积和为
S

s1

s2

( x)2
1 16
(2x2

2lx

l2)
S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
16
8
令S 0,得x l
n
f (r) R r 2r

2
r(R r)
m n mn
(1) 它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大。
解：存储量=磁道数×每磁道的比特数
f (r) R r 2r 2 r(R r)
m n mn
(2) 为求f(r)的最大值，先计算 f (r) 0
因此，r 2是f (r)取惟一的极小值点，
也是最小值点，f (6)为最大值。
（1）半径为2时，利润最小。这时 f(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值；（2）半径为6时，利润最大。

1.4 生活中的优化问题举例

1.4 生活中的优化问题举例
【使用说明】
1、预习本节课教材，用红笔画出疑惑之处；
2、请同学们用严谨认真的学习态度先预习再完成本节课导学案的相应内容；
3、（1）班同学需完成全部导学案；（3）班、（6）班遇到标有“★”题目可选做。

【学习目标】
1．了解导数在解决实际问题中的作用．
2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
【学法指导】
1．在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想．
2．感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力．
探究案
例1如图所示，现有一块边长为a的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
.
训练案
题型二强度最大、用料最省问题
例2横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？
★跟踪训练2挖一条隧道，截面拟建成矩形上方加半圆，如果截面积为20 m2，当宽为多少时，使截面周长最小，用料最省？。

1.4生活中的优化问题举例

课前探究学习课堂讲练互动
[思路分析] (1)利用题中等量关系找出 y 与 x 的函数关系式，将 x ＝100 代入所求关系式判断 y>0 还是 y<0； (2)求出(1)中函数关系式的导函数，再利用导数求最值．解 (1)由题意，每年销售 Q 万件，共计成本为(32Q＋3)万元．销售收入是(32Q＋3)· 150%＋x· 50%，所以年利润 y＝(年收入)－(年成 3 1 1 本)－(年广告费)＝ (32a＋3)＋ x－(32Q＋3)－x＝ · (32Q＋3－x) 2 2 2
题的主要思路．另外需注意：
①合理选择变量，正确给出函数关系式． ②与实际问题相联系． ③必要时注意分类讨论思想的应用．
课前探究学习
课堂讲练互动
【变式 3】已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C＝ 1 100＋4q，价格 p 与产量 q 的函数关系式为 p＝25－8q.求产量 q 为何值时，利润 L 最大？
[思路探索] 解答本题可先设出未知量，根据已知条件寻求未
知量间的关系，写出面积函数，进而用导数法求函数的最值以及取最值时变量的取值．
课前探究学习课堂讲练互动
解设广告的高和宽分别为 x cm，y cm， y－25 则每栏的高和宽分别为 x－20，，其中 x>20，y>25. 2 y－25 两栏面积之和为 2(x－20)· 2 ＝18 000， 18 000 由此得 y＝＋25. x－20 广告的面积
课前探究学习
课堂讲练互动
[思路探索] 分析各已知条件之间的关系 ― → 适当选取变量 ― → 构造函数关系 ― →
导数法求最值 ― 确定点C的位置 → 解如图，由题意知，只有点 C 位于线段 AD 上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点 C 距点 D 为 x km， BC＝ BD2＋CD2＝则 x2＋402，又设总的水管费用为 y 元，依题意有 y＝3a(50－x)＋ 5a x2＋402(0<x<50)．

1.4 生活中的优化问题举例

解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数. 设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必须大于m，且最外面的磁道不存储任何信息，
Rr 故磁道数最多可达 .由于每条磁道上的比特数 m
相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达 2 pr .
n R-r 2 pr 2 p 所以磁盘总存储量 f （r） = . = r （R-r） m n mn
r
f '(r) f (r)
(0，2)
2
0
(2，6]
减函数↘
+
增函数↗
-1.07p
因此，当r>2时，f′(r)>0,它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当r<2时，f′(r)<0,它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低. Ⅰ.半径为2cm时，利润最小,这时f(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值； Ⅱ.半径为6cm时，利润最大.
答：应使用版心宽为8dm，高为16dm，海报四周空白面积最小.
总结提升
1.设出变量找出函数关系式；确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义. 2.在实际应用题目中，若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或最小值. (所说的区间也适用于开区间或无穷区间)
二、如何求函数的极值与最值？（1）确定定义域（2）求导数f′(x) 一般步骤（3）求f′(x)=0的根（4）列表（5）判断求f(x)在闭区间[a,b] (1) 求f(x)在区间(a,b)内极值； (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、上的最值的步骤 f(b）比较,从而确定函数的最值

1.4生活中的优化问题(带答案)

1。

4生活中的优化问题举例1．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为() A。

错误!cm B．错误!cm C.错误!cm D．错误!cm ［答案] D2．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3:4，那么容器容积最大时，高为()A．0.5m B．1m C．0。

8m D．1.5m[答案］ A［解析］设容器底面相邻两边长分别为3x m、4x m,则高为错误!＝错误!(m），容积V＝3x·4x·错误!＝18x2－84x3错误!，V′＝36x－252x2,由V′＝0得x＝1或x＝0（舍去)．x∈错误!时，V′〉0，x∈错误!时，V′<0，7所以在x＝错误!处，V有最大值，此时高为0。

5m。

3．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(）A．R B．2R C.错误!R D．错误!R［答案］ C［解析］设圆锥高为h,底面半径为r，则R2＝（h－R）2＋r2，∴r2＝2Rh－h2, ∴V＝错误!πr2h＝错误!h(2Rh－h2)＝错误!πRh2－错误!h3，V′＝错误!πRh－πh2。

令V′＝0得h＝错误!R.当0<h〈错误!R时，V′〉0；当错误!<h〈2R时，V′〈0。

因此当h＝错误!R时，圆锥体积最大．4．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度（单位:℃)为f（x）＝错误!x3－x2＋8(0≤x≤5），那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（）A．8 B．错误!C．－1 D．－8［答案］ C[解析］瞬时变化率即为f′（x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x）＝(x－1）2－1，又x∈[0,5],故x＝1时,f′（x）min＝－1.5．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋错误!x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总利润最大时，产量应定为__________件．[答案］25[解析]设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知a＝错误!。

1.4 生活中的优化问题举例

2
分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售 1 mL 的饮料，制造商可获利
4
达标检测
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张竖向张贴的海报，要求版心面积为 128dm2,上、下两边各空 2dm,左、右两边各空 1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
5
7
1 f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) 0, 且 g ( ) 0 则不等式 f ( x ) g( x ) 0 的解集 2
1 1 (, ) (0, ) . 是 2 2 4.函数 f(x)＝x2＋2ax＋1 在[0,1]上的最小值为 f(1)， a 的取值范则
围为
2
．
15 5.已知函数 y＝－x －2x＋3 在[a,2]上的最大值为，则 a 等 4 于 .
2
探究展示
已知函数 f(x)＝ ln x－ax2＋ (2－ a)x ( a R ). (1)讨论函数 f(x)的单调性 ; (2)求函数 f(x)的极值.
3
精讲点拨
你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是 0.8 r 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm . 问题：①瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ ②瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
归纳延伸
导数是研究函数单调性、极值、最值的工具；正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意：①合理选择变量，正确给出函数表达式；②与实际问题相联系；③必要时注意分类讨论思想的应用.

高中数学1.4 生活中的优化问题举例

-12-
1.4 生活中的优化问题举例
探究一
探究二
探究三
课前篇自主预习课课堂堂篇篇探探究究学学习习数学建模当堂检测
反思感悟费用最省问题的求解策略用料最省、造价最低一般都是与表面积有关,此类问题的求解思路是找到变量之间的关系,借助关系建立函数关系式,然后借助导数予以求解.
-13-
1.4 生活中的优化问题举例
探究三
数学建模当堂检测
分析:用变量x表示出包装盒的底边长和高,再求侧面积与容积的
最大值.
解:设包装盒的高为h cm,底面边长为a cm.
由已知得 a= 2x,h=60-22�� = 2(30-x),0<x<30. (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800, 所以当 x=15 时,S 取得最大值.
-11-
1.4 生活中的优化问题举例
课前篇自主预习课课堂堂篇篇探探究究学学习习
探究一
探究二
探究三
数学建模当堂检测
解:设直径为 d,高为 h,表面积为 S,
由
�� 2
2
πh=500,得
h=2��020π0,
又 S=
�� 2
2π+dπh=π4��2 + 2 0��00,
答案:根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值.
【思考2】你能列举几个有关利润的等量关系吗? 答案:(1)利润=收入-成本.
(2)利润=每件产品的利润×销售件数.
-3-
1.4 生活中的优化问题举例
课前篇自主预习课堂篇探究学习

1.4 生活中的优化问题举例

1．4 生活中的优化问题举例【教学目标】1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．【教法指导】本节学习重点：利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．本节学习难点：导数在解决实际问题中的作用．【学习目标】1.了解导数在解决实际问题中的作用．2.会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．【课引】生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题？这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题．【课前测试】：函数f(x)＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________．【解】令f ′(x)＝3x 2－12＝0，得x ＝－2或x ＝2，列表得：故答案为32．【教学过程】探究点面积、容积最大问题某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为64π3立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y 千元．(1)将y 表示成r 的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r 和l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．【解】 (1)因为容器的体积为64π3立方米，所以4πr 33＋πr 2l ＝643π，解得l ＝643r 2－43r ，所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝⎛⎭⎫643r 2－43r ＝128π3r －8πr23，两端两个半球的表面积之和为4πr 2，所以y ＝⎝⎛⎭⎫128π3r －8πr 23×3＋4πr 2×4＝128πr＋8πr 2. 又l ＝643r 2－43r >0⇒r <243，所以定义域为(0，243)．(2)由(1)得y ′＝－128πr 2＋16πr＝16π（r 3－8）r 2，所以令y ′>0得2<r <243；令y ′<0得0<r <2，所以当r ＝2时，该容器的建造费用最小为96π千元，此时l ＝83.1．在本例条件下，求该容器表面积的最小值．解：因为容器的体积为64π3立方米，所以4πr 33＋πr 2l ＝643π，解得l ＝643r 2－43r ，所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝⎛⎭⎫643r 2－43r ＝128π3r －8πr 23，两端两个半球的表面积之和为4πr 2，故该容器的表面积y ＝128π3r －8πr 23＋4πr 2＝128π3r ＋4πr 23，则y ′＝－128π3r 2＋8πr 3＝8π（r 3－16）3r 2，令y ′＝0，解得r ＝316，易知当r ＝316时，表面积取得最小值，y min ＝16π·34.2．若由于场地的限制，该容器的半径要限制在⎝⎛⎦⎤0，32范围内，求容器建造费用的最小值．解：由例题解析知，y ′＝－128πr 2＋16πr ＝16π（r 3－8）r 2，所以令y ′>0得2<r <243；令y ′<0得0<r <2，故当r ∈⎝⎛⎦⎤0，32时，函数单调递减，故当r ＝32时，y min ＝310π3.利用导数解决几何问题，往往是求体积、面积的最值，首先看清题意，分析几何图形的特征，设出变量，列出目标函数式，注明定义域，再转化为用导数求最值．若在定义域内只有一个极值，则这个极值便为最值．用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为x ，容器的体积为V ，则V ＝(90－2x )(48－2x )x (0＜x ＜24)，即V ＝4x 3－276x 2＋4 320x . 因为V ′＝12x 2－552x ＋4 320，由V ′＝12x 2－552x ＋4 320＝0，得x 1＝10，x 2＝36.因为0＜x ＜10时，V ′＞0，10＜x ＜36时，V ′＜0，x ＞36时，V ′＞0，所以当x ＝10时，V 有极大值V (10)＝19 600.又因为0＜x ＜24，所以V (10)也是最大值．所以当x ＝10时，V 有最大值V (10)＝19 600.故当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm 3.1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：选C.因为x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )(9＋x )，令y ′＝0，解得x ＝9或x ＝－9(舍去)，当x ∈(0，9)时，y ′>0，当x ∈(9，＋∞)时，y ′<0，所以y 先增后减．所以当x ＝9时函数取得最大值．选C.2．将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，则这两个数为( ) A ．2和6 B ．4和4 C ．3和5D ．以上都不对解析：选B.设一个数为x ，则另一个数为8－x ，其立方和y ＝x 3＋(8－x )3＝512－192x＋24x 2且0≤x ≤8，则y ′＝48x －192.令y ′＝0，即48x －192＝0，解得x ＝4.当0≤x <4时，y ′<0；当4<x ≤8时，y ′>0，所以当x ＝4时，y 取得极小值，也是最小值．所以这两个数为4和4.3．甲、乙两地相距400 km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100 km/h ，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (km/h)的函数关系式为P ＝119 200v 4－1160v 3＋15v .(1)求全程运输成本Q (元)关于速度v (km/h)的函数关系式；(2)为使全程运输成本最低，汽车应以多大速度行驶？并求出最低运输成本．解：(1)汽车从甲地到乙地需用400v h ，故全程运输成本为Q ＝400P v ＝v348－5v 22＋6000(0<v ≤100)．(2)由第一问得Q ′＝v 216－5v ，令Q ′＝0，得v ＝80(v ＝0舍去)．当0<v <80时，Q ′<0；当80<v ≤100时，Q ′>0.所以当汽车的速度为80 km/h 时，全程运输成本最低，最低运输成本为2 0003元．。

1.4生活中的优化问题举例

x1 (0,2), 所以当 x 2 时, S ( x )max 3 2 3 32 3 ,0) 时,矩形的最大面积是 . 因此当点B为( 2 2 9
2 3
3 32 3 . 9
3
• [练习4] 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a 元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
问题2: 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
• 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗? • 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
例2：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？
[解析]
每月生产 x 吨时的利润为
1 2 f(x)＝(24200－5x )x－(50000＋200x) 1 3 ＝－5x ＋24000x－50000 (x≥0)． 3 2 由 f ′(x)＝－5x ＋24000＝0 解得 x1＝200，x2＝－200(舍去)．因 f(x)在[0，＋∞)内只有一个点 x＝200 使 f ′(x)＝0， 1 故它就是最大值点，且最大值为：f(200)＝－ 5 ×2003 ＋ 24000×200－50000＝3150000(元)
练习2:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省? 解设圆柱的高为h,底面半径为R.
则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2.

1.4生活中的优化问题举例

C
A
解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= 202 + x2 = 400 x 2 km.
又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂 C的总运费为 y 5t CD 3t BD 5t 400 x 2 3t (100 x )
因此，x=16是函数s(x)的极小值点，也是最小值点。所以，当版心高为16cm,宽为8cm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16cm,宽为8cm为 8 x 16
解法二：由解法(一)得
512 512 S ( x ) 2x 8 2 2x 8 x x
当 r (0, 2) 时 , f '( r ) 0 当 r (2, 6) 时 , f '( r ) 0
当半径r＞２时，f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r＜２时，f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减，即半径越大，利润越低．
1.半径为２cm 时，利润最小，这时 f (2) 0
类型三：利润最大问题
例1 某商品生产成本Ｃ与产量q的函数关系式为 C 100 4q 1 ,价格p与产量q的函数关系式为 p 25 q 8 求产量 q 为何值时，利润 L 最大？
1 解：利润L pq C (25 q )q (100 4q ) 8 1 2
q 21q 100 1 8 L ' q 21, 令L ' 0, 4
180 （元） x 17，利W 最大房价： 10 17 350
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.

1.4生活中的优化问题举例

思考与探究
练习1、一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x, 其中0<x<l 则两个正方形面积和为
x 2 lx 2 S s1 s2 ( ) ( ) 4 4 1 2 2 (2 x 2lx l ) 16
例 6：如图所示，在二次函数 f ( x ) 4 x 2 的图象与 x 轴所围成的图形中有一个内接矩形 ABCD ，设点 B 的坐标为 ( x , 0) ，问 x 取何值时，矩形的面积最大？
【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y），且x ＞0，y ＞0，则另一个在抛物线上的顶点为（－x，y），在x轴上的两个顶点为（－x，0）、（x，0），其中0＜ x ＜2．设矩形的面积为S，则S ＝2 x（4－x2），0＜ x ＜2． 2 2＝0，得x ＝ 3 由S′（x）＝8－6 x ，易知 3 2 3 是S在（0，2）上的极值点， x ＝3 即是最大值点，所以这种矩形中面积最大者的边长为和．
s( x ) ( x 4)( 128 2) 128 x
2x
512 8, x 0 x
求导数，有 S ' ( x ) 2
512 令s' ( x ) 2 2 0, x
128 128 于是宽为 8 x 16
512 , 2 x
解得，x=16 (x=-16舍去）
1.4 生活中的优化问题举例
-------与利润及其成本有关的最值问题
例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比
大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 0.8πr 2 分，其中 r是瓶子的半径，单

生活中的优化问题举例(一)

例1：海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
x
分析：已知版心的面积，你能否设计出版心的高，求出版心的宽，从而列出海报四周的面积来？
2 ．解决实际应用问题时，要把问题中所
涉及的几个变量转化成函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化完成，函极值和端点的函数值数的最值要由确定，当定义域是开区间且函数只有一个极值时，这个极值也就是它的最值． 3 ．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道导数导数是求函数最大(小)值的有力工具，运用可以解决一些生活中的优化问．
18x －84x
2
3
3 0<x< ，V′＝36x－252x2， 14

1 1 由 V′＝0 得 x＝7或 x＝0(舍去)． x∈0，7时， V′>0， 1 3 x∈7，14时，V′<0，所以在
1 x＝7处，V 有最大值，此
时高为 0.5m.
[答案]
A
当r 0,2时, f r 是减函数, 你能解释它的实际意义吗?
图1.4 4
y
一、选择题 1 ．曲线 y ＝ ln(2x － 1) 上的点到直线 2x － y ＋ 3 ＝ 0 的最短距离为( )
A. 5 C．3 5
[解析]
B．2 5 D．0
设曲线在点 P(x0， y0)处的切线与 2x－y＋3＝0

1.4 生活中的优化问题举例

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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
思考题 1 (1)设有一个容积 V 一定的有铝合金盖的圆柱形
铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的 3 倍，问如何设计使总造价最小 ?
【解析】设圆柱体高为 h，底面半径为 r，又设单位面积铁的造价为 m，桶总造价为 y，则
y＝3mπr2＋m(πr2＋2πrh)．
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【思路分析】适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值．可确定点 C 的位置．
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【解析】方法一：根据题意知，只有点 C 在线段 AD 上某一适当位置，才能使总运费最省，设 C 点距 D 点 x km，则
由于 V＝πr2h，得 h＝πVr2.
所以 y＝4mπr2＋2mr V(r＞0)．
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所以 y′＝8mπr－2mr2V. 令 y′＝0，得 r＝(4Vπ)13，此时 h＝πVr2＝4(4Vπ)13. 该函数在(0，＋∞)内连续可导，且只有一个使函数的导数为零的点，问题中总造价的最小值显然存在．当 r＝(4Vπ)13时，y 有最小值，即总造价最小．
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【解析】方法一：设上底长为 2x，如图所示：
连接 OD，作 DP⊥BC，则梯形的高 DP＝ R2－x2，记梯形的面积为 S，则有
S＝2R＋2 2x·h＝(R＋x) R2－x2(0＜x＜R)．
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S′＝ R2－x2－（RR＋2－x）x2·x＝R2－RR2x－－x22 x2，

(完整)生活中的优化问题举例

§1.4生活中的优化问题举例（一)教材分析本节内容是数学选修2-2 第一章导数及其应用1。

4生活中的优化问题举例，是在学习了导数概念、导数的计算及导数在研究函数中的应用后体会导数在解决实际问题中的作用。

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习可知,导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节利用导数，解决一些生活中的优化问题。

教材首先给出背景性的问题，在生活经验的基础上,逐步引入到数学问题中，按照学生的思维过程,逐步展开问题,解决问题，让学生体会数学建模的过程.培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力，进一步培养学生应用数学的意识。

课时分配本节内容用1课时的时间完成，通过两个例题的教学，培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力，进一步培养学生应用数学的意识。

教学目标：重点: 通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，让学生体会数学建模的过程，体会导数在解决实际问题中的作用。

难点:让学生发现问题、分析问题、解决问题,数学建模。

知识点：利用导数求函数最大(小）值，解决一些生活中的优化问题。

能力点：主动发现问题、分析问题、解决问题，曾强数学的应用意识。

教育点：利用导数,解决一些生活中的优化问题。

自主探究点：分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域,再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决.考试点：利用导数求函数最大（小）值，解决一些生活中的优化问题。

易错易混点:建立适当的函数关系,并确定函数的定义域.拓展点：利用导数解决优化问题的基本思路：教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小）值的有力工具．这一节，我们利用导数,解决一些生活中的优化问题。

二、探究新知探究(一）:海报版面尺寸的设计【背景材料】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm。