高中数学求函数值域的7类题型和16种方法

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求函数值域的几种方法

求函数值域的几种方法

求函数值域的几种方法函数是中学数学的重要的基本概念之一,它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系,应用十分广泛。

函数的基础性强、概念多,其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一,是高考的常见的题型。

下面就函数的值域的求法,举例说如下。

一.观察法通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。

例1求函数的值的值域。

≥0,故。

∴函数的值域为y≥3点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。

练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5})二.反函数法当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数12xyx+=+的值域。

点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。

解:显然函数12xyx+=+的反函数为:121yxy-=-,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。

点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。

练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。

(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y>1})三.配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3:求函数21(x-1)3(12)21(2)xxx x-+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪->⎩的值域。

点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。

解:由22x x -++≥0,可知函数的定义域为x ∈[-1,2]。

此时22x x -++=-21()2x -+94∈[0,94]∴≤32,函数的值域是[0, 32] 点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

求值域的方法大全及习题

求值域的方法大全及习题

求值域方法常用求值域方法(1)、直接观察法:利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数,如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。

例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。

例2、 求函数x 3y -=的值域。

【同步练习1】函数221xy +=的值域.(2)、配方法:二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题,均可用配方法,而后一情况要注意)(x f 的范围;配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。

例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。

(配方法、换元法)例4、设02x ≤≤,求函数1()4321x x f x +=-+g的值域.例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。

(配方法、换元法)例6、求函数x x y 422+--=的值域。

(配方法) 【同步练习2】1、求二次函数242y x x =-+-([]1,4x ∈)的值域.2、求函数342-+-=x x e y 的值域.3、求函数421,[3,2]xx y x --=-+∈-的最大值与最小值.4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈,求函数12()4325x x f x -=-⋅+的值域.6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。

(3)、换元法:(三角换元法)有时候为了沟通已知与未知的联系,我们常常引进一个(几个)新的量来代替原来的量,实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质,发现解题方向,这就是换元法.在求值域时,我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域.例1、求()f x x =+【同步练习3】求函数x x y 21--=的值域。

高考数学复习函数值域的13种求法

高考数学复习函数值域的13种求法

函数值域十三种求法1. 直接观察法利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域,对于一些比较简单的函数,如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。

例1. 求函数x 1y =的值域解:∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是:),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域 解:∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是:]3,[-∞2. 配方法二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题,均可用配方法,而后一情况要注意)(x f 的范围;配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解:将函数配方得:4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知:当x=1时,4y min =,当1x -=时,8y max =故函数的值域是:[4,8]评注:配方法往往需结合函数图象求值域.3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用) 对于形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++(1a ,2a 不同时为0)的函数常采用此法,就是把函数转化成关于x 的一元二次方程(二次项系数不为0时),通过方程有实数根,从而根的判别式大于等于零,求得原函数的值域.对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:.112..22222222b a y 型:直接用不等式性质k+xbx b. y 型,先化简,再用均值不等式x mx nx 1 例:y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx nx mx n d. y 型 x n法一:用判别式 法二:用换元法,把分母替换掉x x 1(x+1)(x+1)+1 1 例:y (x+1)1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解:原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-(1)当1y ≠时,R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得:23y 21≤≤ (2)当y=1时,0x =,而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解:两边平方整理得:0y x )1y (2x 222=++-(1) ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得:21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-,得2x 0≤≤由0≥∆,仅保证关于x 的方程:0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

高中数学:求函数值域的方法十三种(一)

高中数学:求函数值域的方法十三种(一)

2
2
26
又 ∵ 在 [m, n] 上 当
x
增大时
f (x)





f (x)max f (n) f (x)min f (m)
3n 3m
m 4, n 0
解得
评注:解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值,缩小了 m ,n 的取值范围,
避开了繁难的分类讨论,解题过程简洁、明了。
(2) 求函数 y x(x a) 在 x [1 , 1] 上的最大值。
【解析】(1)二次函数的对称轴方程为 x a ,
当 a
1 2
即a
1 时, 2
f ( x )max
f ( 2 ) 4a 5 ;
当 a 1 2
即 a1 2
时,
f ( x )max f ( 1 ) 2a 2

f ( x )max 42aa52,,aa2121 。
y
x2 x2 x
x 1
x2 x x2
11 x 1
1
(x
1 1)2
3
不妨令:
24
f (x) (x 1)2 3 , g(x) 24
1 ( f (x) 0) 从而 f (x)
f
(
x)
3,
4
注意:在本题中应排

f
(x)
0 ,因为
f
(x)
作为分母。所以
g(x) 0,
3 4

y
1,1
3
f (x)max f (x)min
f (1) f (n)
3n 3m
,无解
④若
,则
f f
( x) max ( x) min

函数值域的常见求法8大题型(解析版)

函数值域的常见求法8大题型(解析版)

函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一,是高考中的必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终。

在高考试卷中的形式千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求,考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法,其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。

满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法:对于简单函数的值域问题,可通过基本初等函数的图象、性质直接求解;2.逐层法:求f 1(f 2⋯f n (x ))型复合函数的值域,利用一些基本初等函数的值域,从内向外逐层求函数的值域;3.配方法:配方法是二次型函数值域的基本方法,即形如“y =ax x +bx +c (a ≠0)”或“y =a [f (x )]2+bf (x )+c (a ≠0)”的函数均可用配方法求值域;4.换元法:利用换元法将函数转化为易求值域的函数,常用的换元有(1)y =ax +b cx +d或y =cx +dax +b 的结构,可用“cx +d =t ”换元;(2)y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数,a ≠0,c ≠0),可用“cx +d =t ”换元;(3)y =bx ±a 2-x 2型的函数,可用“x =a cos θ(θ∈[0,π])”或“x =a sin θθ∈-π2,π2”换元;5.分离常数法:形如y =ax +b cx +d (ac ≠0)的函数,应用分离常数法求值域,即y =ax +b cx +d=ac +bc -adc 2x +d c ,然后求值域;6.基本不等式法:形如y =ax +bx(ab >0)的函数,可用基本不等式法求值域,利用基本不等式法求函数的值域时,要注意条件“一正、二定、三相等”,即利用a +b ≥2ab 求函数的值域(或最值)时,应满足三个条件:①a >0,b >0;②a +b (或ab )为定值;③取等号的条件为a =b ,三个条件缺一不可;7.函数单调性法:确定函数在定义域上的单调性,根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y =ax +b -cx +d (ac <0)的函数可用函数单调性求值域;(2)形如y =ax +bx的函数,当ab >0时,若利用基本不等式等号不能成立时,可考虑利用对勾函数求解;公众号:高中数学最新试题当ab <0时,y =ax +bx在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数,可直接利用单调性求解。

求值域的10种方法

求值域的10种方法

求值域的10种方法值域是一个函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

找到函数的值域通常是为了确定函数可能的取值范围,并且在数学和计算中都是非常重要的。

以下是求值域的10种方法:1.列举法列举法是最简单直接的方法。

通过观察函数的定义,给出一组有序的输出值,并将这些值组成一个集合。

这些值将构成函数的值域。

例如,对于函数f(x)=x^2,我们可以通过进行一系列的替换运算,然后给出输出值的集合{0,1,4,9,16,...}。

2.图像法在图像法中,我们首先绘制函数的图像,然后找到图像上所有纵坐标的值。

这些纵坐标的集合构成了函数的值域。

例如,对于函数f(x)=x^2,我们可以绘制一个抛物线形状的图像,然后观察所有纵坐标的值。

3.解析法解析法是通过使用代数表达式或方程来确定函数的值域。

例如,对于函数f(x)=x^2,我们可以使用代数方法将方程f(x)=y转化为x^2=y。

然后通过解这个方程,我们可以得到y可能的取值范围,即函数的值域。

4.图像逼近法在图像逼近法中,我们通过绘制函数的图像,并观察图像在最高和最低点之间所有可能的纵坐标值。

这些纵坐标的集合构成函数的值域。

5.猜测法猜测法是一种直觉方法,凭借对函数的直觉和理解猜测出其可能的取值范围。

这种方法通常需要一定的数学背景和经验,并且在实践中被广泛应用。

6.极值法在极值法中,我们通过找到函数的极大值和极小值来确定函数的值域。

极大值是函数图像的局部最高点,极小值是函数图像的局部最低点。

函数的值域就是极值点之间的所有可能的函数值。

7.夹逼法夹逼法是通过使用两个已知函数(夹逼函数)来夹住待求函数,然后确定待求函数的值域。

待求函数的值域将位于夹逼函数的值域之间。

8.对数法对数法是通过取函数的对数来确定函数的值域。

求函数的对数在一些问题中很有用,因为它可以将具有无穷大或无穷小解的问题转化为具有有限解的问题。

9.差集法差集法是通过找到函数定义域的补集,然后从全体实数集中去除差集的元素,得到函数的值域。

函数值域的十五种求法

函数值域的十五种求法

1. 直接观察法对于一些比较简单的函数,通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域例1. 求函数的值域。

解:∵∴显然函数的值域是:2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例2. 求函数的值域。

解:将函数配方得:∵由二次函数的性质可知:当x=1时,,当x=-1时,故函数的值域是:[4,8]3. 判别式法例3. 求函数的值域。

解:两边平方整理得:(1)∵∴解得:但此时的函数的定义域由,得由,仅保证关于x的方程:在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵∴∴代入方程(1)解得:即当时,原函数的值域为:注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。

4. 反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例4. 求函数值域。

解:由原函数式可得:则其反函数为:,其定义域为:故所求函数的值域为:5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。

例5. 求函数的值域。

解:由原函数式可得:,可化为:即∵∴即解得:故函数的值域为6. 函数单调性法例6. 求函数的值域。

解:令则在[2,10]上都是增函数所以在[2,10]上是增函数当x=2时,当x=10时,故所求函数的值域为:例7. 求函数的值域。

解:原函数可化为:令,显然在上为无上界的增函数所以,在上也为无上界的增函数所以当x=1时,有最小值,原函数有最大值显然y>0,故原函数的值域为7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作例8. 求函数的值域。

高中数学:求函数值域的方法十三种(二)

高中数学:求函数值域的方法十三种(二)

高中数学:求函数值域的方法十三种(二)五、判别式法:把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =;通过方程有实数根,判别式0∆≥,从而求得原函数的值域,形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++(1a 、2a 不同时为零)的函数的值域,常用此方法求解。

(解析式中含有分式和根式。

)【例1】求函数2211x x y x ++=+的值域。

【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程,由于x 取一切实数,故有(1)当时,解得:(2)当y=1时,,而故函数的值域为【例2】求函数y x =+的值域。

【解析】两边平方整理得:(1)∵∴解得:但此时的函数的定义域由,得由,仅保证关于x的方程:在实数集R 有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由求出的范围可能比y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵代入方程(1)解得:即当时,原函数的值域为:注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。

解法二:2(2)1(x 1)y x x x x =+-=+--]2,2[sin 1ππθθ-∈=-x )4sin(21cos sin 1πθθθ++=++=y 4344ππθπ≤+≤-14sin(22≤+≤-πθ原函数的值域为:【例3】已知函数222()1x ax b f x x ++=+的值域为[1,3],求,a b 的值。

【解析】2221x ax by x ++=+22(2)04(y 2)(y b)0y x ax y b a ⇒--+-=⇒∆=---≥2244(2b)y 8b a 0y -++-≤。

由于222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1,3],故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3}1221221328234y y b a b ab y y +=+=+⎧=±⎧⎪⇒⇒⎨⎨-===⎩⎪⎩【例4】求函数2212+++=x x x y 的值域。

高中函数求值域的九种方法和例题讲解

高中函数求值域的九种方法和例题讲解

高中函数值域和定义域的大小,是高中数学常考的一个知识点,本文介绍了函数求值域最常用的九种方法和例题讲解.令狐采学一.观察法通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。

点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x)的值域。

解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,故3+√(2-3x)≥3。

∴函数的知域为.点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。

练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5})二.反函数法当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。

解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y -1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。

点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。

练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。

(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y>1})三.配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。

点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。

解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。

此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

高中数学:求函数值域的方法十三种

高中数学:求函数值域的方法十三种

高中数学:求函数值域的十三种方法一、观察法(☆ ) 二、配方法(☆) 三、分离常数法(☆) 四、反函数法(☆) 五、判别式法(☆) 六、换元法(☆☆☆) 七、函数有界性八、函数单调性法(☆)九、图像法(数型结合法)(☆) 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、一一映射法 十三、 多种方法综合运用一、观察法:从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围。

【例1】求函数1y x =+的值域。

【解析】∵0x ≥,∴11x +≥, ∴函数1y x =+的值域为[1,)+∞。

【例2】求函数x 1y =的值域。

【解析】∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是:),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ,{}2,1,0,1-∈x ,求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ,而()()331==-f f ,()()020==f f ,()11-=f 所以:{}3,0,1-∈y 注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该题的定义域为R x ∈,则函数的值域为{}1|-≥y y 。

二. 配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题,均可使用配方法。

【例1】 求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。

【解析】将函数配方得:∵由二次函数的性质可知:当x=1 ∈[-1,2]时,,当时, 故函数的值域是:[4,8]【变式】已知,求函数的最值。

【解析】由已知,可得,即函数是定义在区间上的二次函数。

将二次函数配方得,其对称轴方程,顶点坐标,且图象开口向上。

显然其顶点横坐标不在区间内,如图2所示。

函数的最小值为,最大值为。

图2【例2】 若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ,(1)求函数()g t(2)当∈t [-3,-2]时,求g(t)的最值。

高中函数求值域的九种方法和例题讲解

高中函数求值域的九种方法和例题讲解

之吉白夕凡创作高中函数值域和定义域的大小,是高中数学常考的一个知识点,本文介绍了函数求值域最经常使用的九种办法和例题讲解.一.不雅察法通过对函数定义域、性质的不雅察,结合函数的解析式,求得函数的值域. 例1求函数y=3+√(2-3x)的值域.点拨:按照算术平方根的性质,先求出√(2-3x)的值域.解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,故3+√(2-3x)≥3.∴函数的知域为.点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性.本题通过直接不雅察算术平方根的性质而获解,这种办法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法.练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域.(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5})二.反函数法当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域.例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域.点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域.解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y -1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}.点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数.这种办法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要办法之一.练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域.(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y>1})三.配办法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配办法求函数值域例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域.点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求.解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2].此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评:求函数的值域不单要重视对应关系的应用,并且要特别注意定义域对值域的制约作用.配办法是数学的一种重要的思想办法.练习:求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四.判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域.例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域.点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域.解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2<x≤10/3当y=2时,方程(*)无解.∴函数的值域为2<y≤10/3.点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非正数,可求得函数的值域.常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数.练习:求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域.(答案:值域为y≤-8或y>0).五.最值法对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与鸿沟值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域.例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域.点拨:按照已知条件求出自变量x的取值规模,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域.解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较鸿沟的大小.当x=-1时,z=-5;当x=3/2时,z=15/4.∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4}.点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的最值.对开区间,若存在最值,也可通过求出最值而获得函数的值域.练习:若√x为实数,则函数y=x2+3x-5的值域为()A.(-∞,+∞)B.[-7,+∞]C.[0,+∞)D.[-5,+∞)(答案:D).六.图象法通过不雅察函数的图象,运用数形结合的办法得到函数的值域.例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域.点拨:按照绝对值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象.解:原函数化为-2x+1(x≤1)y=3(-1<x≤2)2x-1(x>2)它的图象如图所示.显然函数值y≥3,所以,函数值域[3,+∞].点评:分段函数应注意函数的端点.利用函数的图象求函数的值域,体现数形结合的思想.是解决问题的重要办法.求函数值域的办法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等办法求函数的值域七.单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域.例1求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域.点拨:由已知的函数是复合函数,即g(x)=-√1-3x,y=f(x)+g(x),其定义域为x≤1/3,在此区间内辨别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域.解:设f(x)=4x,g(x)=-√1-3x,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)=4x-√1-3x在定义域为x≤1/3上也为增函数,并且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为{y|y≤4/3}.点评:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域.练习:求函数y=3+√4-x的值域.(答案:{y|y≥3})八.换元法以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域.例2求函数y=x-3+√2x+1的值域.点拨:通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域.解:设t=√2x+1(t≥0),则x=1/2(t2-1).于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以,原函数的值域为{y|y≥-7/2}.点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域.这种解题的办法体现换元、化归的思想办法.它的应用十分广泛.练习:求函数y=√x-1–x的值域.(答案:{y|y≤-3/4}九.机关法按照函数的结构特征,付与几何图形,数形结合.例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域.点拨:将原函数变形,机关平面图形,由几何知识,确定出函数的值域.解:原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位正方形.设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,KC=√(x+2)2+1.由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5.当A、K、C三点共线时取等号.∴原函数的知域为{y|y≥5}.点评:对于形如函数y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数),均可通过机关几何图形,由几何的性质,直不雅明了、便利简捷.这是数形结合思想的体现.练习:求函数y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域.(答案:{y|y≥5√2})以上九种是函数求值域最经常使用的办法,下面介绍三种特殊情况下求值域的几种办法.十.比例法对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域.例4已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域.点拨:将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数.解:由3x-4y-5=0变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)∴x=3+4k,y=1+3k,∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1.当k=-3/5时,x=3/5,y=-4/5时,zmin=1函数的值域为{z|z≥1}.点评:本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题办法体现诸多思想办法,具有一定的创新意识.练习:已知x,y∈R,且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y 的值域.(答案:{f(x,y)|f(x,y)≥1})十一.利用多项式的除法例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域.点拨:将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和.解:y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1).∵1/(x+1)≠0,故y≠3.∴函数y的值域为y≠3的一切实数.点评:对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种办法.练习:求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域.(答案:y≠2)十二.不等式法例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域.点拨:先求出原函数的反函数,按照自变量的取值规模,机关不等式.解:易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],由对数函数的定义知x/(1-x)>01-x≠0解得,0<x<1.∴函数的值域(0,1).时间:二O二一年七月二十九日点评:考查函数自变量的取值规模机关不等式(组)或机关重要不等式,求出函数定义域,进而求值域.不等式法是重要的解题东西,它的应用很是广泛.是数学解题的办法之一.时间:二O二一年七月二十九日。

高中数学求函数值域解题方法大全

高中数学求函数值域解题方法大全

高中数学求函数值域解题方法大全高中数学求函数值域解题方法大全一、观察法:从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围。

例1:求函数y=x+1的值域。

解析:由于x≥-1,所以x+1≥0,因此函数y=x+1的值域为[1,+∞)。

例2:求函数y=1/x的值域。

解析:显然函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当x>0时,y>0;当x<0时,y<0.因此函数的值域是:例3:已知函数y=(x-1)-1,x∈{-1,1,2},求函数的值域。

解析:因为x∈{-1,1,2},而f(-1)=f(3)=3,f(2)=-1,f(1)=-∞,所以:y∈{-1,3}。

注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该题的定义域为x∈R,则函数的值域为{y|y≥-1}。

二、配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题,均可使用配方法。

例1:求函数y=x2-2x+5,x∈[-1,2]的值域。

解析:将函数配方得:y=(x-1)2+4,当x=1∈[-1,2]时,y取得最小值4,当x=-1或x=2时,y取得最大值8,因此函数的值域是:[4,8]。

变式:已知f(x)=ax2+bx+c,其中a>0,且在区间[-1,1]内的最小值为1,求函数在[-2,2]上的最值。

解析:由已知,可得a>0,且f(x)在x=0处取得最小值1,即b=0.又因为在区间[-1,1]内的最小值为1,所以a≤4.将f(x)配方得:f(x)=a(x-1)2+1,当x=-2或x=2时,f(x)取得最大值5a+1;当x=1时,f(x)取得最小值1.因此,当a=4时,函数在[-2,2]上的最值分别为9和17.当a<4时,函数在[-2,2]上的最值分别为1和5a+1.三、其他方法:对于一些特殊的函数,可以采用其他方法求解。

例:已知函数f(x)=sinx+cosx,求函数的值域。

高中函数值域的7类题型和16种方法

高中函数值域的7类题型和16种方法

高中函数值域的7类题型和16种方法函数值域是指函数输出值的集合。

在高中数学中,我们常常遇到一些关于函数值域的问题。

下面将介绍高中函数值域的7类题型以及解决这些问题的16种方法。

1. 函数值域的确定式题:给出一个函数的解析式,要求确定函数的值域。

解决方法:- 通过分析函数的定义域和性质推导函数的值域。

- 使用函数的图像来确定函数的值域。

- 借助导数和极值的概念来确定函数的值域。

2. 函数值域的确定性问题:给出一个函数的图像,要求确定函数的值域。

解决方法:- 通过观察图像的特点,确定函数的最大值和最小值。

- 借助极值和区间的概念,确定函数的值域。

3. 函数值域的不等式问题:给出一个函数的不等式解析式,要求确定函数的值域。

解决方法:- 分析给定不等式的解集,确定函数的值域。

- 将不等式转化为等式,解出方程,确定函数的值域。

4. 函数值域的集合表示问题:给出一个函数的值域,要求将其表示为集合。

解决方法:- 分析函数的定义域和性质,将函数的值域表示为集合。

- 借助函数的图像来表示函数的值域。

5. 函数值域的推导题:给出一个函数的值域,要求推导出函数的解析式。

解决方法:- 分析给定的值域,推导出函数的定义域和性质,再根据推导出的定义域和性质写出函数的解析式。

6. 函数值域的综合题:综合运用多种方法,确定函数的值域。

解决方法:- 根据题目要求,运用不同的方法来确定函数的值域。

- 分析题目中给出的条件,结合函数的性质来确定函数的值域。

7. 函数值域的实际问题:将函数值域与实际问题联系起来,解决实际问题。

解决方法:- 将实际问题转化为函数模型,通过确定函数的值域来解决实际问题。

- 根据实际问题给出的条件和约束,运用适当的方法来确定函数的值域,作为问题的解答。

以上是高中函数值域的7类题型和16种方法。

对于不同类型的问题,我们可以根据题目要求和给定条件,选择合适的方法来求解函数的值域。

通过练习这些题型,我们可以提高对函数值域的理解和分析能力。

高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)

高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)
构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。
练习:求函数 y = x2 + 9 + (5 − x)2 + 4 的值域。(答案:{y|y≥ 5 2 })
九、比例法:
对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函 数,进而求出原函数的值域。
例:已知 x,y∈R,且 3x-4y-5=0,求函数 z = x2 + y2 的值域。
例:求函数 y = x - 3 + 2x +1 的值域。 点拨:通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值, 确定原函数的值域。
解:设 t = 2x +1 (t≥0),则
x = t2 -1 。 2
于是 y = t2 -1 - 3 + t = (t +1)2 − 4 ≥ 1 − 4 = − 7 .
( )( ) 例:已知 2x2 - x - 3 3x2 + x +1 ≤ 0 ,且满足 x + y = 1,求函数 z = xy + 3x 的值域。
点拨:根据已知条件求出自变量 x 的取值范围,将目标函数消元、配方,可 求出函数的值域。
解:3x2 + x +1 0 ,上述分式不等式与不等式 2x2 - x - 3 ≤ 0 同解,解之得
3 3 3
3
点评:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区 间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值 域。
练习:求函数 y = 3 + 4 - x 的值域。(答案:{y|y≥3})
七、换元法:
以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形 式,进而求出值域。

函数值域求法十五种

函数值域求法十五种

函数值域求法十五种在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。

研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。

确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。

对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。

本文就函数值域求法归纳如下,供参考。

基本知识1.定义:因变量y的取值范围叫做函数的值域(或函数值的集合)。

2.函数值域常见的求解思路:⑴划归为几类常见函数,利用这些函数的图象和性质求解。

⑵反解函数,将自变量x用函数y的代数式形式表示出来,利用定义域建立函数y的不等式,解不等式即可获解。

⑶可以从方程的角度理解函数的值域,从方程的角度讲,函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。

特别地,若函数可看成关于x的一元二次方程,则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件,利用判别式求出函数的值域。

⑷可以用函数的单调性求值域。

⑸其他。

1. 直接观察法对于一些比较简单的函数,通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域例1. 求函数的值域。

解:∵∴显然函数的值域是:2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例2. 求函数的值域。

解:将函数配方得:∵由二次函数的性质可知:当x=1时,,当x=-1时,故函数的值域是:[4,8]3. 判别式法例3. 求函数的值域。

解:两边平方整理得:(1)∵∴解得:但此时的函数的定义域由,得由,仅保证关于x的方程:在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵∴∴代入方程(1)解得:即当时,原函数的值域为:注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。

高中数学求值域的10种方法

高中数学求值域的10种方法

求函数值域的十种方法一.直接法(观察法):对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。

例1.求函数1y =的值域。

【解析】0≥11≥,∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

【练习】1.求下列函数的值域:①32(11)y x x =+-≤≤; ②x x f -+=42)(;③1+=x xy ;○4()112--=x y ,{}2,1,0,1-∈x 。

【参考答案】①[1,5]-;②[2,)+∞;③(,1)(1,)-∞+∞;○4{1,0,3}-。

二.配方法:适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题,均可使用配方法。

例2.求函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域。

【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。

∵11x -≤≤,∴321x -≤-≤-,∴21(2)9x ≤-≤,∴23(2)65x -≤--+≤,∴35y -≤≤。

∴函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域为[3,5]-。

例3.求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。

【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解,为便于计算不妨设:)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得:][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ,从而得出:]0,2y ⎡∈⎣。

说明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为:0)(≥x f 。

例4.若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。

【分析与解】本题可看成第一象限内动点(,)P x y 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。

利用两点(4,0),(0,2)确定一条直线,作出图象易得:2(0,4),(0,2),lg lg lg lg[(42)]lg[2(1)2]x y x y xy y y y ∈∈+==-=--+而,y=1时,y x lg lg +取最大值2lg 。

数学-值域12种归纳(学生版)

数学-值域12种归纳(学生版)

专业专心专注值域12类归纳1.一、热点题型归纳题型一:值域基础1:幂函数求值域1若函数f (x )=ax 2+bx +c (a ,b ,c ∈R )的定义域和值域分别为集合A ,B ,且集合{(x ,y )|x ∈A ,y ∈B }表示的平面区域是边长为1的正方形,则b +c 的最大值为_________.方法归纳基本规律1.幂函数主要考察一元二次函数2.二次函数在进行讨论的时候要首先考虑二次项系数为0的情况,然后根据题意,去讨论开口或者讨论Δ.1设二次函数f x =mx 2-2x +n m ,n ∈R ,若函数f x 的值域为0,+∞ ,且f 1 ≤2,则m 2n 2+1+n 2m 2+1的取值范围为___________.2已知函数f (x )=x 3-3x 在x ∈5-m 2,m -1 的值域为a ,b b >a ,则实数m 的取值范围为________.3已知函数y =x 2+2x 在闭区间[a ,b ]上的值域为[-1,3],则a ⋅b 的最大值为________.题型二:值域基础2:指数函数求值域1函数f (x )=a +b e x+1(a ,b ∈R )是奇函数,且图象经过点ln3,12 ,则函数f (x )的值域为____方法归纳基本规律1、底数讨论单增单减讨论。

2、“一点一线”伴随。

1函数f (x )=3-x 2+1(x ∈R )的值域为_________.2关于函数f (x )=14x+2的性质,有如下四个命题:①函数f (x )的定义域为R ;②函数f (x )的值域为(0,+∞);③方程f (x )=x 有且只有一个实根;④函数f (x )的图象是中心对称图形.其中正确命题的序号是_____.3已知函数f x =4x -2x +1+4,x ∈-1,1 ,则函数y =f x 的值域为( ).A.3,+∞B.3,4C.3,134D.134,4题型三:值域基础3:对数函数求值域第1页共7页自信自强博观而约取 厚积而薄发1设函数f (x )=log a x (a >0且a ≠1)的定义域为[m ,n ](m <n ),值域为[0,1],若n -m 的最小值为13,则实数a 的值是_____________.方法归纳基本规律1.对数函数中y =|log a x |要注意f (b )=f (c )时。

函数值域的十五种求法

函数值域的十五种求法

1.直接观察法对于一些比较简单的函数,通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域例1.求函数的值域。

解:∵?∴显然函数的值域是:2.配方法?配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例2.求函数的值域。

解:将函数配方得:∵由二次函数的性质可知:当x=1时,,当x=-1时,故函数的值域是:[4,8]3.判别式法例3.求函数的值域。

解:两边平方整理得:(1)∵?∴解得:但此时的函数的定义域由,得由,仅保证关于x的方程:在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由?求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵?∴∴代入方程(1)解得:?即当时,原函数的值域为:注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。

4.反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例4.求函数值域。

解:由原函数式可得:则其反函数为:,其定义域为:故所求函数的值域为:5.函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。

例5.求函数的值域。

解:由原函数式可得:,可化为:?即∵?∴即?解得:故函数的值域为6.函数单调性法例6.求函数的值域。

解:令?则在[2,10]上都是增函数所以在[2,10]上是增函数当x=2时,当x=10时,故所求函数的值域为:例7.求函数的值域。

解:原函数可化为:令,显然在上为无上界的增函数所以,在上也为无上界的增函数所以当x=1时,有最小值,原函数有最大值显然y>0,故原函数的值域为7.换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作?例8.求函数的值域。

解:因即故可令∴∵∴∴故所求函数的值域为例9.求函数的值域。

求函数值域的12种方法

求函数值域的12种方法

求函数值域的12种方法函数是中学数学的重要的基本概念之一,它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系,应用十分广泛。

函数的基础性强、概念多,其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一,是高考的常见的题型。

下面就函数的值域的求法,举例说如下。

一.观察法通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。

点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x)的值域。

解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,故3+√(2-3x)≥3。

∴函数的知域为.点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。

练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5})二.反函数法当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。

解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。

点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。

练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。

(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y>1})三.配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。

点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。

解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。

此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

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求函数值域的7类题型和16种方法一、函数值域基本知识1.定义:在函数()y f x =中,与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合)。

2.确定函数的值域的原则①当函数()y f x =用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合;②当函数()y f x =用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合; ③当函数()y f x =用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定; ④当函数()y f x =由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。

二、常见函数的值域,这是求其他复杂函数值域的基础。

函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。

一般地,常见函数的值域:1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.2.二次函数()20y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.,3.反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01xy aa a =>≠且的值域为{}0y y >.5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.6.正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型题型一:一次函数()0y ax b a =+≠的值域(最值)1、一次函数:()0y ax b a =+≠ 当其定义域为R ,其值域为R ;2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值,只需分别求出()(),f m f n ,并比较它们的大小即可。

若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时,需结合函数图像来确定函数的值域。

题型二:二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域(最值)1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , 当其 定义域为R 时,其值域为()()224 044 04ac b y a aac b y a a ⎧-≥>⎪⎪⎨-⎪≤<⎪⎩2、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间[],m n 上的值域(最值)首先判定其对称轴2bx a=-与区间[],m n 的位置关系 (1)若[],2b m n a -∈,则当0a >时,()2bf a-是函数的最小值,最大值为(),()f m f n 中较大者;当0a <时,()2bf a-是函数的最大值,最大值为(),()f m f n 中较小者。

(2)若[],2bm n a-∉,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大(小)值。

特别提醒:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时,要结合图像来确函数的值域; ③当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。

例1:已知 ()22f x x --的定义域为[)3,-+∞,则()f x 的定义域为 (],1-∞ 。

例2:已知()211f x x -=+,且()3,4x ∈-,则()f x 的值域为 ()1,17 。

题型三:一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{}0x x ≠,值域为{}0y y ≠ 2、形如:cx dy ax b+=+的值域:(1)若定义域为b x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭时,其值域为c y R y a ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭(2)若[],x m n ∈时,我们把原函数变形为d byx ay c-=-,然后利用[],x m n ∈(即x 的有界性),便可求出函数的值域。

例3:函数23321x x y -=-的值域为[)1,3,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ;若[]1,2x ∈时,其值域为 11,511⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 。

例4:当(]3,1x ∈--时,函数1321xy x -=+的值域 34,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭。

(2)已知()312x f x x -+=-,且[)3,2x ∈-,则()f x 的值域为 6,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 。

例5:函数2sin 13sin 2x y x -=+的值域为[)1,3,5⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦ ;若3,22x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,其值域为 12,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭。

题型四:二次分式函数22dx ex cy ax bx c++=++的值域一般情况下,都可以用判别式法求其值域。

但要注意以下三个问题: ①检验二次项系数为零时,方程是否有解,若无解或是函数无意义,都应从值域中去掉该值;②闭区间的边界值也要考查达到该值时的x 是否存在;③分子、分母必须是既约分式。

例6:2216x x y x x +-=+-; ()21,,7⎛⎤+∞⋃-∞ ⎥⎝⎦例7:2221x x y x +-=-; {}1y R y ∈≠ 例8:432+=x x y ; 33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例9:求函数()211,21x y x x x -=∈-+∞++的值域解:由原函数变形、整理可得:()22110yx y x y +-++=求原函数在区间()1,-+∞上的值域,即求使上述方程在()1,-+∞有实数解时系数y 的取值范围 当0y =时,解得:()11,x =∈-+∞ 也就是说,0y =是原函数值域中的一个值 …① 当0y ≠时,上述方程要在区间()1,-+∞上有解,即要满足()10f -<或02112y y ≥⎧⎪-⎨->-⎪⎩解得:108y <≤ ……②综合①②得:原函数的值域为:10,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型五:形如y ax b =+± 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题,然后求其值域。

例10: 求函数x x y -+=142在[]8,1x ∈-时的值域 []4,4- 题型六:分段函数的值域:一般分别求出每一分段上函数的值域,然后将各个分段上的值域进行合并即可。

如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出,从图像上便可很容易地得到函数的值域。

例11: 21++-=x x y [)3,+∞ 例12: 241y x x =-++ (],5-∞题型七:复合函数的值域对于求复合函数的值域的方法是:首先求出该函数的定义域,然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。

例13:)11y x =-≤≤ []0,2 例14:y =50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、函数值域求解的十六种求法 (1)直接法(俗名分析观察法):有的函数结构并不复杂,可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。

即从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围。

或由函数的定义域结合图象,或直观观察,准确判断函数值域的方法。

注意此法关键是定义域。

例1:已知函数()112--=x y ,{}2,1,0,1-∈x ,求函数的值域。

{}1,0,3-例2:求函数1y =的值域。

[1,)+∞例3:求函数()1y x =≥的值域。

)+∞例4:求函数y [)1,+∞(2)配方法:二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解,但在转化的过程中要注意等价性,特别是不能改变定义域。

对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题,均可使用配方法。

例1.求函数322+--=x x y 的值域。

分析与解答:因为0322≥+--x x ,即13≤≤-x ,4)1(2++-=x y ,于是:44)1(02≤++-≤x ,20≤≤y 。

例2.求函数x x x y 422++=在区间]4,41[∈x 的值域。

分析与解答:由x x x y 422++=配方得:62242+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=++=x x x x y , 当241≤≤x 时,函数24++=x x y 是单调减函数,所以41186≤≤y ; 当42≤≤x 时,函数24++=xx y 是单调增函数,所以76≤≤y 。

所以函数在区间]4,41[∈x 的值域是41186≤≤y 。

(3)最值法:对于闭区间上的连续函数,利用函数的最大值、最小值,求函数的值域的方法。

例1 求函数y =3-2x -x 2 的值域。

解:由3-2x -x 2≥0,解出定义域为[-3,1]。

函数y 在[-3,1]内是连续的,在定义域内由3-2x -x 2 的最大值为4,最小值为0。

∴函数的值域是[0,2]例2:求函数2xy =,[]2,2x ∈-的值域。

1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦例3:求函数2256y x x =-++的值域。

73,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(4)反函数法(逆求或反求法):利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域。

即通过反解,用y 来表示x ,再由x 的取值范围,通过解不等式,得出y 的取值范围。

对于形如)0(≠++=a bax dcx y 的值域,用函数和它的反函数定义域和值域关系,通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。

例1:求函数1212xxy -=+的值域。

解:由1212x xy -=+解得121xy y -=+, ∵20x>,∴101yy->+,∴11y -<< ∴函数1212xxy -=+的值域为(1,1)y ∈-。

(5)分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法。

小结:已知分式函数)0(≠++=c dcx bax y ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为)(bc ad dcx c adb c a y ≠+-+=,用复合函数法来求值域。

例1:求函数125xy x -=+的值域。

解:∵177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++, ∵72025x ≠+,∴12y ≠-,∴函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-。

(6)换元法(代数/三角):对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数,可以考虑运用代数或三角代换,将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数,从而求得原函数的值域。

当根式里是一次式时,用代数换元;当根式里是二次式时,用三角换元。

对形如()1y f x =的函数,令()f x t =;形如,,,,0)y ax b a b c d ac =+≠均为常数的t =[]cos ,0,x a θθπ=∈,或令sin ,,22x a ππθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦. 例1:求函数2y x =+解:令t =0t ≥),则212t x -=,∴22151()24y t t t =-++=--+ ∵当12t =,即38x =时,max 54y =,无最小值。

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